Operaciones Con Funciones
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OPERACIONES CON OPERACIONES CON OPERACIONES CON OPERACIONES CON FUNCIONESFUNCIONESFUNCIONESFUNCIONES
MTRO. ALEJANDRO NARVÁEZ H
OPERACIONES BÁSICAS
• SUMA
• RESTA
MTRO. ALEJANDRO NARVÁEZ
HERAZO
• RESTA
•MULTIPLICACIÓN
• DIVISIÓN
SUMA Y RESTA• Notación:(((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( ))))xgxfxgf ++++====++++
(((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( ))))xgxfxgf −−−−====−−−−
MULTIPLICACIÓN
MTRO. ALEJANDRO NARVÁEZ
HERAZO
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN• Notación:
(((( ))))(((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]] (((( ))))[[[[ ]]]]xgxfxgf ∗∗∗∗====∗∗∗∗
(((( ))))(((( )))) (((( ))))(((( ))))xgxf
xgf ====/
Ejemplo con operaciones básicasEjemplo con operaciones básicasEjemplo con operaciones básicasEjemplo con operaciones básicas
• SeanencontrarSolución:Solución:Solución:Solución:Para la suma tenemos:
(((( )))) (((( )))) 11938 ++++====++++==== xxgyxxf
(((( ))))(((( )))) (((( ))))(((( ))))xgfyxgf /++++
MTRO. ALEJANDRO NARVÁEZ
HERAZO
Para la suma tenemos:
y para la división:
(((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))11938 ++++++++++++====++++====++++ xxxgxfxgf
(((( ))))(((( )))) 1417 ++++====++++ xxgf
(((( ))))(((( )))) (((( ))))(((( )))) 119
38
++++++++
========x
x
xg
xfxgf /
OPERACIONES CON FUNCIONESOPERACIONES CON FUNCIONESOPERACIONES CON FUNCIONESOPERACIONES CON FUNCIONES
1. VALORES FUNCIONALES
MTRO. ALEJANDRO NARVÁEZ
HERAZO
2. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
3. INVERSA DE UNA FUNCIÓN
1. Valores funcionales1. Valores funcionales1. Valores funcionales1. Valores funcionales
• Un valor funcional es aquel que resulta de sustituir una constante en la función en lugar de la variable independiente.
MTRO. ALEJANDRO NARVÁEZ
HERAZO
independiente.
Por ejemplo:
Sea hallar f(2)(((( ))))54
232
++++−−−−
====x
xxf
1. Valores funcionales1. Valores funcionales1. Valores funcionales1. Valores funcionales
Solución: Solución: Solución: Solución:
Por lo tanto el valor
(((( )))) (((( ))))(((( ))))
(((( ))))58
243
524
2232
2
++++−−−−
====++++−−−−
====f
MTRO. ALEJANDRO NARVÁEZ
HERAZO
Por lo tanto el valor funcional (que es el valor que toma la función) cuando x= 2 es:
(((( ))))13
102 ====f
2. Composición de funciones2. Composición de funciones2. Composición de funciones2. Composición de funciones
• El procedimiento para realizar la composición entre funciones, es muy semejante es muy semejante es muy semejante es muy semejante al que utilizamos para al que utilizamos para al que utilizamos para al que utilizamos para encontrar el valor de una encontrar el valor de una encontrar el valor de una encontrar el valor de una
MTRO. ALEJANDRO NARVÁEZ
HERAZO
encontrar el valor de una encontrar el valor de una encontrar el valor de una encontrar el valor de una función para una constantefunción para una constantefunción para una constantefunción para una constante, y consiste en sustituir toda una función en lugar de la variable independiente de la otra como se muestra a continuación
2. Composición de funciones2. Composición de funciones2. Composición de funciones2. Composición de funciones
• Notación:
• Ejemplo:
(((( ))))(((( )))) (((( ))))(((( ))))xgfxgf ====o
MTRO. ALEJANDRO NARVÁEZ
HERAZO
• Ejemplo:Sean
Hallar
(((( )))) (((( )))) xxgyx
xxf 34
15
27−−−−====
−−−−++++
====
(((( ))))(((( )))) (((( ))))(((( ))))xfgyxgf oo
2. Composición de funciones2. Composición de funciones2. Composición de funciones2. Composición de funciones
• Solución:Solución:Solución:Solución:Para hallar haremos lo siguiente:
(((( ))))(((( ))))xgf o
(((( ))))(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))xfxgfxgf 34 −−−−========o
MTRO. ALEJANDRO NARVÁEZ
HERAZO
por lo que:
(((( ))))(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))xfxgfxgf 34 −−−−========o
(((( )))) (((( ))))(((( )))) 11520
22128
1345
234734
−−−−−−−−++++−−−−
====−−−−−−−−++++−−−−
====−−−−x
x
x
xxf
(((( ))))(((( ))))x
xxgf
1519
2130
−−−−−−−−
====o
2. Composición de funciones2. Composición de funciones2. Composición de funciones2. Composición de funciones
Para hallar haremos lo siguiente:
(((( ))))(((( ))))xfg o
(((( ))))(((( )))) (((( ))))(((( ))))
−−−−++++
========15
27
x
xgxfgxfg o
MTRO. ALEJANDRO NARVÁEZ
HERAZO
(((( )))) (((( ))))(((( ))))15
273154
15
2734
15
27
−−−−++++−−−−−−−−
====
−−−−++++
−−−−====
−−−−++++
x
xx
x
x
x
xg
(((( ))))(((( ))))15
10
15
10
15
621420
−−−−++++
−−−−====−−−−−−−−−−−−
====−−−−
−−−−−−−−−−−−====
x
x
x
x
x
xxxfg o
3. Inversa de una función3. Inversa de una función3. Inversa de una función3. Inversa de una función
• La inversa de una función es aquella operación por medio de la cual el dominio y el contradominio (codominio) cambian de asignación, en
MTRO. ALEJANDRO NARVÁEZ
HERAZO
cambian de asignación, en otras palabras la variable independiente se convierte en dependiente y viceversa.
3. Inversa de una función3. Inversa de una función3. Inversa de una función3. Inversa de una función
Para encontrar esta nueva función, se sustituye “y” en lugar de , se despeja “x” de la ecuación, se sustituye “x” en lugar de “y” y “y” en
(((( ))))xf
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HERAZO
“x” en lugar de “y” y “y” en lugar de “x” y por último esta última “y” se sustituye por que es la notación con la que se identifica a la función inversa de
(((( ))))xf 1−−−−
(((( ))))xf
3. Inversa de una función3. Inversa de una función3. Inversa de una función3. Inversa de una función
• Ejemplo:Encontrar la función inversa de (((( ))))
15
27
−−−−++++
====x
xxf
MTRO. ALEJANDRO NARVÁEZ
HERAZO
Solución:Solución:Solución:Solución:
15
27
−−−−++++
====x
xy (((( )))) 2715 ++++====−−−− xyx
275 ++++====−−−− xyxy 275 ++++====−−−− yxxy
3. Inversa de una función3. Inversa de una función3. Inversa de una función3. Inversa de una función
Solución (conclusión):Solución (conclusión):Solución (conclusión):Solución (conclusión):
(((( )))) 275 ++++====−−−− yyx
2++++====y
x2++++
====x
y
MTRO. ALEJANDRO NARVÁEZ
HERAZO
Por lo que la inversa de la función es:
75
2
−−−−++++
====y
yx
75
2
−−−−++++
====x
xy
(((( ))))75
21
−−−−++++
====−−−−
x
xxf
3. Inversa de una función3. Inversa de una función3. Inversa de una función3. Inversa de una función
• Para comprobar si una función es inversa de otra, debe cumplir con la siguiente condición:
MTRO. ALEJANDRO NARVÁEZ
HERAZO
(((( ))))(((( )))) (((( ))))(((( )))) xxffyxxff ======== −−−−−−−−oo
11