DOCENTE :Luis Fernando Arias Londoño

OPERACIONES ALGEBRAICAS

I. LA SUMA Y LA RESTA

1. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE MONOMIOS Y POLINOMIOS CON COEFICIENTES ENTEROS Y FRACCIONARIOS.

2. Introducción y supresión de signos de agrupación.

3. Leyes de los exponentes enteros para la multiplicación.

4. Multiplicación por polinomios.

5. Definición de producto y producto notable.

5.1. Cuadrado de un binomio.

5.2. Binomios conjugados.

5.3. Binomio con un término común.

5.4. Cubo de un binomio.

5.5. Teorema del binomio.

5.6. Binomio por un trinomio cuyo producto es igual a una suma o diferencia de cubos

5.7. Cuadrado de un trinomio.

6. Leyes de los exponentes enteros para la división.

7. División de polinomios.

8. División sintética.

9. Factorización.

9.1. Factor común.

9.2. Diferencia de cuadrados.

9.3. Trinomios con término de segundo grado.

9.4. Suma y diferencia de cubos.

9.5. Por agrupación.

Así como la aritmética surgió la necesidad que tenían los pueblos primitivos de medir el tiempo y de contar sus posesiones, el origen del álgebra es muy posterior puesto que debieron transcurrir muchos siglos para que el hombre llegara al concepto abstracto de número que es el fundamento del álgebra.

El gran desarrollo experimentado por el álgebra se debió sobre todo a los matemáticos árabes y, muy en particular, a Al-Hwarizmi (siglo IX d.C.), que sentó las bases del álgebra tal como la conocemos hoy en día. Los primeros vestigios históricos sobre el desarrollo del álgebra en la antigüedad han sido encontrados en Egipto. Los egipcios desarrollaron muchísimos las matemáticas como consecuencia de la creación de las pirámides y otros monumentos y de las inundaciones del Nilo que contribuyeron a desarrollar la agrimensura y con ella la geometría. En los documentos escritos hallados se han encontrado ingeniosos métodos de resolución de ecuaciones de segundo grado, lo cual pone de manifiesto la familiaridad de los egipcios con el álgebra

1. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE MONOMIOS Y POLINOMIOS CON COEFICIENTES ENTEROS Y FRACCIONARIOS.

SUMA La suma de monomios y polinomios es asunto de combinar términos semejantes.

EJEMPLO: Supongamos que se desea sumar 3x 2 7 x 3 y 5x 2 2 x 9 , es decir deseamos encontrar

3x 2 7 x 3 5x 2 2 x 9

Al aplicar las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva podemos escribir: 3x 2 7 x 3 5 x

2 2 x 9 3x 2 5 x 2 7 x 2 x 3 9 3 5x 7 2x 3 9 2 8x 2 5x 6 EJEMPLO: 3 2

1 De manera semejante, la suma de 4 x 3 x 2 x 3 y 6 x 3 x 2 9 , se escribe como: 7 7 3 3 2 3 1 2

3 2 1 2 4 x x 2 x 3 6 x x 9 4 x 6 x x x 2 x 3 9 3 3 7 7 7 7 2 10

x 3 x 2 2 x 12 7 EJEMPLO: Para sumar 3x 7 x 2 2 y 4 x 2 3 5x ; primero escribimos ambos

polinomios en orden descendente, colocamos los términos semejantes en una columna y luego sumamos 7 x

2 3x 2 4 x 2 5 x 3 7 x 2 4 x 2 3x 5 x 2 3 3x 2 2x 5 3x 2 2x 5

EJEMPLO: Del mismo modo que en aritmética, podemos sumar o restar más de dos polinomios. Por ejemplo,

para sumar los polinomios 7 x x 2 3 , 6 x 2 8 2 x y 3x x 2 5 , escribimos cada polinomio en orden

descendente con los términos semejantes en la misma columna y sumamos: 7 x x 2 3 6 x 2

8 2 x 3x x 2 5 x 2 7 x 3 6 x 2 2 x 8 x 2 3x 5 x 2 6x 2 x 7 x 2 x 3x

3 8 5 2 6 x 2 2 x 6 6x 2 2x 6 3-2

3. OPERACIONES ALGEBRAICAS RESTA Para restar polinomios, primero recordemos que a-(b+c)=a-b-c Para

eliminar los paréntesis de una expresión precedida por un signo menos (de resta) debemos cambiar el signo

de cada término dentro del paréntesis. Esto es lo mismo que multiplicar cada término dentro de los

paréntesis por -1. EJEMPLO: Efectuar la operación 3x 2 2 x 1 4 x 2 5x 2 3x 2 2 x 1 4

x 2 5 x 2 3x 2 2 x 1 4 x 2 5 x 2 SOLUCIÓN: 3x 2 4 x 2 2 x 5 x 1 2 x 2 7 x

1 x 2 7x 1 EJEMPLO: 2 2 3 2 Resolver x y x y 5 10 2 2 3 2 2 2 3 43 2 7 SOLUCIÓN: x y

x y x y x2 y x y x2 y 5 10 5 10 10 10 EJEMPLO: Restar 8x4 5x3 y 3x2 y 2 y 4 x4 2 x3 y 5x2

y 2 8 x 4 5 x3 y 3x 2 y 2 4 x 4 2 x3 y 5 x 2 y 2 8 x 4 5 x3 y 3x 2 y 2 4 x 4 2 x3 y 5 x 2 y

2 SOLUCIÓN: 4 x 4 3x3 y 2 x 2 y 2 EJEMPLO: 1 2 1 1 1 1 1 Restar x y xy 2 x3 y x 2 y xy 2

x3 3 4 6 6 3 4 1 3 1 2 1 x x y xy 2 6 3 4 1 1 1 SOLUCIÓN: x 3 x 2 y xy 2 4 6 3 1 1 7 x3 x 2 y xy

2 12 6 12 3-3

4. OPERACIONES ALGEBRAICAS EJERCICIOS 3.1: Resolver los ejercicios siguientes: 1.- 2 y y 1 6 y 2 y

1 2 2 2.- 4x 3x 1 5x x 1 2 2 3.- z 4z 1 2z z 1 2 2 4.- y 3 y 5 y 4 y 3

2 2 5.- 2xy 6xy x 2xy x 2 6.- 5ax 3ax 4 2ax 3 2 2 7.- 2x y z x 2 y z x y

2z x 3 y 4z 8.- a b c a b c a b c a b c 9.- 2g 3h k 2g 3h k 2g

2h 2k 3g h k 10.- 2x 2 y z x 2 y z 3x 2 y z x 4 y 5z 3 2 1 1 1 1

11.- a 2 b2 ab b2 ab b2 4 3 3 9 6 3 9 25 1 1 5 7 1 7 12.- m2 n 2

15mn n 2 m2 m 2 30mn 3 17 34 4 2 17 34 4 34 1 3 3 1 1 1 3 1 13.- b

2 m cn 2 b 2 m 6 cn b 2 m cn 4 2cn b 2 m 2 5 4 10 4 25 5 8 5 2 3 2 5

14.- a a a 6 8 6 1 3 15.- a b 8a 6b 5 2 5 2 3 1 7 1 2 1 16.- x3 y 2 xy 4 x 4

y x3 y 2 x 2 y 3 xy 4 7 9 7 8 8 14 3 3 2 1 7 5 3 3 3 5 17.- m6 n6 m4 n2 m2 n4

m4 n 2 m2 n 4 n6 13 3 20 14 5 10 7 9 5 7 5 1 1 18.- a3 ab2 6 a 2b ab 2 6 8 8

4 3 19.- 0.2a3 0.4ab2 0.5a 2b 0.8b3 0.6ab2 0.3a 2b 0.4a3 6 0.8a 2b 0.2a 3 0.9b3

1.5a 2b 3-4

5. OPERACIONES ALGEBRAICAS 3.2 INTRODUCCIÓN Y SUPRESIÓN DE SIGNOS DE AGRUPACIÓN En ocasiones

es necesario eliminar paréntesis antes de combinar términos semejantes. Por ejemplo, para combinar

términos semejantes en 3x 5 2 x 2 tenemos que suprimir los paréntesis primero. Si hay un signo más

(o ningún signo) enfrente de los paréntesis, podemos simplemente eliminar; esto es, a b a b a b

a b EJEMPLO: 3x 5 2 x 2 3x 5 2 x 2 3x 2 x 5 2 3x 2 x 5 2 5x 3 La

eliminación de paréntesis precedidos por un signo menos se hará de la manera siguiente: EJEMPLO: 8 x 2x

1 x 3 8 x 2 x 2 x 3 8x 2 x 2 x 8 x 2 x x 2 3 5x 1 En ocasiones los

paréntesis se presentan dentro de otros paréntesis. Para evitar confusión, utilizamos diferentes símbolos de

agrupación. De este modo, por lo general no escribimos x 5 3 , sino x 5 3. Para combinar

términos semejantes en tales expresiones, los símbolos de agrupación más internos se eliminan primero.

EJEMPLO: x 2 1 2 x 5 x 2 3x 2 3 x 2 1 2 x 5 x 2 3x 2 3 x 2 2 x 4

3x 2 x5 x 2 2 x 4 3x 2 x 5 2 x 2 3x 1 Como efecto de la propiedad distributiva

tenemos, que: ab c ab ac La propiedad distributiva también puede extenderse a más de dos números

dentro de los paréntesis. Por tanto ab c d ab ac ad . Además b c a ba ca 3-5

6. OPERACIONES ALGEBRAICAS 3.3 LEYES DE LOS EXPONENTES ENTEROS PARA LA MULTIPLICACIÓN Los

exponentes se han utilizado para indicar el número de veces que se repite un factor en un producto. Por

ejemplo, x 3 x x x . La notación exponencial proporciona un modo sencillo para multiplicar

expresiones que contienen potencias de la misma base. PRIMERA LEY DE LOS EXPONENTES. Los exponentes

se suman para multiplicar dos potencias de la misma base. Considera que m y n son enteros positivos: x m

x n x m n Esta regla significa que para multiplicar expresiones con la misma base, mantenemos la base y

sumamos los exponentes. Antes de aplicar la regla del producto, hay que asegurarnos de que las bases sean

las mismas. Por supuesto algunas expresiones pueden tener coeficientes de 1. Por ejemplo, la expresión 3x 2

tiene coeficiente numérico de 3. De manera similar, el coeficiente numérico de 5x 3 es 5. Si decidimos

multiplicar 3x 2 por 5x 3 , solo multiplicamos números por números (coeficientes) y letras por letras. Este

procedimiento es posible debido a las propiedades conmutativa y asociativa de la multiplicación. Luego de

aplicar estas dos propiedades, escribimos: EJEMPLO: 3x 5x 3 5x 2 3 2 x 3 15x 23 15x 5

EJEMPLO: 8x y 4xy 2x y 8 4 2x 2 2 5 3 2 x1 x 5 y1 y 2 y 3 64 x 8 y 6 SEGUNDA LEY

DE LOS EXPONENTES. Los exponentes se multiplican par elevar una potencia a otra potencia. Si m y n son

enteros positivos: x m n x mn Cuando se eleva una potencia a una potencia, mantenemos las bases y

multiplicamos los exponentes. 3 Considera la expresión x 4 , que significa que x 4 está elevado al cubo.

Esta expresión puede simplificarse como se muestra enseguida: x x x x x x 4 3 4 4 4 4 4 4 12

En forma parecida y y y y y y y 2 5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 y10 Debido a que la

multiplicación es en realidad una suma que se repite, es posible obtener los mismos resultados en los

ejemplos anteriores al multiplicar entre sí los exponentes. 3-6

7. OPERACIONES ALGEBRAICAS EJEMPLO: 5 3 6 536 518 EJEMPLO: x y 2 3 3 x2 y3 x2 y3 x2 y3

x2 x2 x2 y3 y3 y3 x y 2 3 3 3 x 23 y 33 x6 y9 TERCERA LEY DE LOS

EXPONENTES. Mediante las propiedades asociativa y conmutativa de la multiplicación es posible escribir Una

potencia de un producto es igual al producto de las potencias de cada uno de los factores. Simbólicamente:

ab a n b n n EJEMPLO: 2 x 3 2 x 2 x 2 x 222 x x x 23 x 3 8x 3 EJEMPLO: 3xy 3

x y 2 4 4 4 2 4 81x 4 y 8 EJEMPLO: 2x y 2 x y 2 3 3 3 2 3 3 3 8x 6 y 9 Ene general se

cumple: x n x n Si n es número par x n x n Si n es número impar EJEMPLO: 24 2 4 16 25

25 32 3-7

8. OPERACIONES ALGEBRAICAS 3.4 MULTIPLICACIÓN POR POLINOMIOS La multiplicación de polinomios es una

operación algebraica que tiene por objeto hallar una cantidad llamada producto dadas dos cantidades

llamadas multiplicando y multiplicador, de modo que el producto sea con respecto del multiplicando en signo

y valor absoluto lo que el multiplicador es respecto a la unidad positiva. Tanto el multiplicando como el

multiplicador reciben el nombre de factores del producto. La multiplicación de polinomios cumple la

propiedad distributiva. Es decir, que dados tres polinomios cualesquiera x, y, z se cumplirá que xy z x yz

. Esta ley acostumbra a enunciarse diciendo que los factores se pueden agrupar de cualquier manera.

Asimismo, el producto de polinomios también cumplía la propiedad conmutativa. Es decir, que dados los

polinomios cualesquiera x, y , se cumplirá que xy yx . Esta ley acostumbra a enunciarse diciendo que el

orden de los factores no altera el producto. Por lo que respecta al signo del producto de dos factores, pueden

presentarse los cuatro puntos siguientes: a) Si dos factores tienen el mismo signo positivo, su producto

también tendrá signo positivo. x y xy b) Si el multiplicador tiene signo positivo y el

multiplicando tiene signo negativo, el producto tendrá signo negativo. x y xy c) Si el

multiplicando tiene signo positivo y el multiplicador tiene signo negativo, el producto tendrá signo negativo.

x y xy d) Si dos factores tienen ambos signo negativo, su producto tendrá signo positivo. x

y xy Por lo que podemos concluir en la Regla de los Signos, siguiente: + + =+ + - =- - + =- - -

=+ En la multiplicación algebraica pueden considerarse los tres casos siguientes: a) Multiplicación de

monomios. b) Multiplicación de un polinomio por un monomio c) Multiplicación de polinomios

MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS. Para multiplicar monomios, se multiplican sus coeficientes y a continuación

se escriben las letras diferentes de los factores ordenados alfabéticamente, elevadas a un exponente igual a

la suma de los exponentes que cada letra tenga en los factores. El signo del producto será el que le

corresponda al aplicar la regla de los signos. 3-8

9. OPERACIONES ALGEBRAICAS EJEMPLO: Multiplicar 3x 3 5 x 4 SOLUCIÓN: 3x 5x 3 5 x 3 4

3 4 15x 7 EJEMPLO: Multiplicar 8ab 2 3a 2 b 2 c Solución: 8ab 2 3a b c 8 3 a 2 2 1 2

b 22 c1 24a 3b 4 c EJEMPLO: Multiplicar 4 x 5x 3 y 2 2 x 2 y SOLUCIÓN: 4 x 5x y

2 x y 4 5 2 x 3 2 2 13 2 y 21 40 x 6 y 3 EJEMPLO: Multiplicar 2a 3bc 4a 2 b 2

c 2 5abc 6ab 2 SOLUCIÓN: 2a bc 4a b c 5abc 6ab 2 4 5 6 a 3 2 2 2 2 3 2

11 b1 21 2 c1 21 240a 7 b 6 c 4 El producto es negativo por que hay un número impar de

factores negativos. MULTIPLICACIÓN DE UN POLINOMIO POR UN MONOMIO Para multiplicar un polinomio por

un monomio se multiplica cada uno de los términos del polinomio por el monomio, teniendo en cuenta la

regla de los signos, y se suman todos los productos parciales así obtenidos. EJEMPLO: Multiplicar 3a 3 5a 2

4 3a SOLUCIÓN: 3a 3 5a 2 4 3a 3a 3a 5a 3a 4 3a 3 2 9a 4 15a 3 12a

EJEMPLO: Multiplicar: x 3 3x 2 y 3xy 2 y 3 2 xy SOLUCIÓN: x 3 3x 2 y 3xy 2 y 3 2 xy x

3 2 xy 3x 2 y 2 xy 3xy 2 2 xy y 3 2 xy 2 x 4 y 6 x 3 y 2 6 x 2 y 3 2 xy 3 3-9

10. OPERACIONES ALGEBRAICAS EJEMPLO: 2 1 5 4 2 5 1 2 Multiplicar: a 3b 2 a 2 b 3 ab b ab

3 4 6 5 2 SOLUCIÓN: 2 3 2 1 2 3 5 4 2 5 1 2 a b a b ab b ab 3 4 6 5 2 2 1 1 1

5 4 1 2 2 5 1 2 a 3b 2 ab 2 a 2 b 3 ab 2 ab ab b ab 3 2 4

2 6 2 5 2 1 1 5 1 a 4 b 4 a 3b 5 a 2 b 6 ab 7 3 8 12 5 EJEMPLO: 2 4 2 3 2 4 5 6 2

Multiplicar: x y x y y por a 2 x3 y 2 3 5 6 9 2 4 2 3 2 4 5 6 x y x y y 3 5 6 2 SOLUCIÓN: a 2 x 3 y 2 9 4

2 5 a 2 x7 y 4 a 2 x5 y 6 a 2 x3 y8 27 15 27 MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS Para multiplicar un

polinomio por otro se multiplican todos los términos del multiplicando por cada uno de los términos del

multiplicador, teniendo en cuenta la regla de los signos, y a continuación se efectúa la suma algebraica de

todos los productos parciales así obtenidos. EJEMPLO: Multiplicar: 2a 3 3a 2 b 4ab 2 2b 3 3a 2 4ab

5b 2 2a 3a b 4ab 3 2 2 2b 3 3a 2 4ab 5b 2 6a 5 9a 4 b 12a 3 b 2 6a 2 b 3 8a 4 b 12a 3 b 2

16a 2 b 3 8ab 4 10a 3 b 2 15a 2 b 3 20ab 4 10b 5 6a 5 a 4 b 10a 3 b 2 25a 2 b 3 28ab 4 10b 5

3 - 10

11. OPERACIONES ALGEBRAICAS EJEMPLO: Multiplicar: 3x 2 2 x 1 4 x 2 2 x 2 2 x 2 3x 4

SOLUCIÓN: Se multiplican los dos primeros términos 3x 2 2 x 1 4x 2 2x 2 12 x 4 8 x 3 4 x 2 6x3

4x 2 2x 6x 2 4x 2 12 x 4 2 x 3 2 x 2 6 x 2 A continuación el resultado obtenido lo multiplicamos

por el otro polinomio. 12 x 4 2 x 3 2 x 2 6 x 2 2 x 2 3x 4 24 x 6 - 4 x 5 4 x 4 12 x 3 4 x 2 36 x 5

6 x 4 6 x 3 18 x 2 6 x 48 x 4 8 x 3 8 x 2 24 x 8 24 x 6 - 32 x 5 38 x 4 26 x 3 30 x 2 30 x 8

3 - 11

12. OPERACIONES ALGEBRAICAS EJERCICIOS 3.2: Resolver los ejercicios siguientes: 1.- 2x y 3xy 2 3 5

2.- 4xy 5x y 2 2 4 3.- 2a a b c 2 4.- 3x y 2x y 5xy 2 3 2 2 4x 2 y 2 5.- 2a b3a

2b 6.- x 4 2x 3 3 x 2 2x 3 7.- a 1 a 1 8.- 2ab 3a bc 2 4 2 9.- 3b c 8ab c

2 3 3 10.- 2x yz 4x y 2 3 3 2 1 2 2 2 11.- a b a 2 3 5 2 6 1 4 2 3 2 4 1 6 5 3 4 3

12.- x x y x y y a x y 5 3 5 10 7 13.- 3a 5b 6c 3 a 2 x3 10 2 4 1 4 3 3 4 x

x y y x y 2 2 14.- 9 3 7 2 3 2 3 15.- a b a b 3 4 3 3 3 1 2 2 2 1 3 2 2 5 2 2

16.- m m n mn n m n mn 4 2 5 4 3 2 3 1 1 2 1 1 3 3 2 1 1 17.- x x x x x

2 3 4 4 2 5 10 1 1 1 1 18.- 2 a 3 b 3 a 2 b 1 2 2 2 1 3 19.- a ab b a b 4 3

4 2 3 - 12

13. OPERACIONES ALGEBRAICAS 3.5. DEFINICIÓN DE PRODUCTO Y PRODUCTO NOTABLE Un producto es el

resultado de multiplicar dos o más números. Los números que se multiplican se llaman factores o divisores

del producto. Se llaman productos notables (o productos especiales) a ciertos productos que cumplen reglas

fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación. 3.5.1.

Cuadrado de un binomio El cuadrado de la suma de dos números es igual al cuadrado del primer número,

más el doble del producto del primer número multiplicado por el segundo, más el cuadrado del segundo.

Consideremos que x y . Tendremos que x y x y x y . Por tanto 2 2 x y x y x2

xy xy y 2 x2 2xy y 2 Es decir x y x 2 2 xy y 2 2 EJEMPLO: Desarrollar x 2 2 SOLUCIÓN:

Tendremos que el cuadrado del primer número: x 2 El doble del producto del primer número por el segundo:

2 x 2 4 x El cuadrado del segundo número: 2 2 4 Así pues x 2 x 2 4 x 4 2 EJEMPLO: Al

desarrollar 3x 2 y 2 SOLUCIÓN: Tendremos que el cuadrado del primer número: 3x 9 x 2 2 El doble

del producto del primer número por el segundo: 2 3x 2 y 12 xy El cuadrado del segundo número: 2

y 4 y 2 2 Así pues 3x 2 y 9 x 2 12 xy 4 y 2 2 EJEMPLO: Al desarrollar 4 x 2 3 y 3 2

SOLUCIÓN: 4 x 2 3y3 4 x 2 2 2 2 4x 2 3y 3 3y 3 2 16 x 4 24 x 2 y 3 9 y 6 El

cuadrado de la diferencia de dos números es igual al cuadrado del primer número menos el doble del

producto del primer número multiplicado por el segundo, más el cuadrado del segundo número. 3 - 13

14. OPERACIONES ALGEBRAICAS Consideremos que x y . 2 Tendremos que x y x y x y . 2

Por tanto x y x y x 2 xy xy y 2 x 2 2 xy y 2 Es decir x y x 2 2 xy y 2 2 EJEMPLO:

Desarrollar x 3 2 SOLUCIÓN: x 32 x 2 2 x 3 32 x 2 6x 9 EJEMPLO: Desarrollar 2

x 4 y 2 2 x 4 y 2 2 x 2 2 2 x 4 y 4 y 2 SOLUCIÓN: 4 x 2 16 xy 16 y 2 EJEMPLO:

Desarrollar 2 x 3 5 y 2 2 SOLUCIÓN: 2 x 3 5y2 2 x 2 3 2 2 2x 3 5 y 2 5 y 2 2 4 x

6 20 x 3 y 2 25 y 4 EJEMPLO: 2 Desarrollar 4a 2 3b3 SOLUCIÓN: 4a 3b 4a 2 3 2 2(4a 2 )

3b3 3b3 2 2 2 16a 4 24a 2b3 9b6 3.5.2 Binomios conjugados El producto de dos números por su

diferencia es igual al cuadrado del primer número menos el cuadrado del segundo número. Consideremos el

producto: x y x y x y x y x2 xy xy y 2 x2 y 2 Es decir x y x y x 2 y 2

EJEMPLO: Multiplicar x 4x 4 3 - 14

15. OPERACIONES ALGEBRAICAS SOLUCIÓN: Cuadrado del primer número: x x 2 2 Cuadrado del segundo

número: 4 16 2 Así pues, x 4x 4 x 2 16 EJEMPLO: Multiplicar 5x 2 y 5x 2 y SOLUCIÓN:

Cuadrado del primer número: 5 x 25 x 2 2 Cuadrado del segundo número: 2 y 4 y 2 2 Así pues, 5x

2 y 5x 2 y 25x 2 4 y 2 EJEMPLO: Multiplicar 5x 2 3 y 3 5x 2 3 y 3 25x SOLUCIÓN:

Cuadrado del primer número: 5 x 2 2 4 Cuadrado del segundo número: 3 y 9 y 3 2 6 Así pues, 5x 2 y

5x 2 y 25x 9 y 2 3 2 3 4 6 EJEMPLO: Multiplicar 3 8x 8x 3 SOLUCIÓN: Cuadrado del primer

número de la diferencia: 3 9 2 Cuadrado del segundo número de la diferencia: 8 x 64 x 2 2 Así pues,

3 8x 8x 3 9 64 x 2 3.5.3. Binomio con un término común El producto de dos binomios del tipo x a

x b es igual al cuadrado del primer término, más el producto de la suma de los dos segundos términos

por el primer término, más el producto de los segundos términos. Se trata de demostrar que x a x b

x 2 a bx ab . Tendremos que: x a x b x 2 ax bx ab x 2 a b x ab Es decir x

a x b x 2 a bx ab , tal como queríamos demostrar. EJEMPLO: Comprobar que x 4x 5 x 2

4 5x 4 5 . 3 - 15

16. OPERACIONES ALGEBRAICAS x 4 x 5 SOLUCIÓN: Tendremos x 2 4 5 x 4 5 . x 2 9

x 20 EJEMPLO: Comprobar que x 2x 3 x 2 2 3x 2 3 SOLUCIÓN: Tendremos x 2 x

3 x 2 2 3 x 2 3 . 2 x x6 EJEMPLO: Comprobar que x 6x 4 x 2 6 4x 6 4 .

SOLUCIÓN: Tendremos x 6 x 4 x 2 6 4 x 6 4 . 2 x 2 x 24 EJEMPLO: Comprobar que

x 5x 3 x 2 5 3x 5 3 . SOLUCIÓN: Tendremos x 5 x 3 x 2 5 3 x 5

3 . 2 x 8 x 15 3.5.4. Cubo de un binomio El cubo de la suma de dos números es igual al cubo del

primer número, más el triple del producto del cuadrado del primer número por el segundo, más el triple del

producto del primer número por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo. Consideremos x y

x y x y x y x y x y x 2 2 xy y 2 x y , por lo 3 2 tanto x 2 2 xy y2 x y x 2

2x 2 y xy 2 x 2 y 2 xy 2 y 3 x 2 3 x 2 y 3 xy 2 y 3 Es decir x y x 2 3x 2 y 3xy 2 y 3 3

EJEMPLO: Desarrollar x 2 3 SOLUCIÓN: Cubo del primer número: x x 3 3 Triple del producto del

cuadrado del primer número por el segundo: 3 x 2 6 x 2 2 3 - 16

17. OPERACIONES ALGEBRAICAS Triple del producto del primer número por el cuadrado del segundo: 3 x

2 12 x 2 Cubo del segundo número: 2 8 3 Así pues x 2 x 3 6 x 2 12 x 8 3 EJEMPLO:

Desarrollar 3x 2 y 3 SOLUCIÓN: Cubo del primer número: 3x 27 x 3 3 Triple del producto del

cuadrado del primer número por el segundo: 3 3x 2 y 54 x 2 y 2 Triple del producto del primer

número por el cuadrado del segundo: 3 3x 2 y 36 xy 2 2 Cubo del segundo número: 2 y 8 y 3 3

Así pues 3x 2 y 27 x 3 54 x 2 y 36 xy 2 8 y 3 3 EJEMPLO: Desarrollar 3a 2 2b 3 3 SOLUCIÓN:

3a 2 2b 3 3a 3 2 3 33a 2 2b 3 33a 2 2b 3 2b 3 2 2 3 27a 6 54a 4 b 3 36a 2 b

6 8b 6 El cubo de la diferencia de dos números es igual al cubo del primer número, menos el triple del

producto del cuadrado del primer número por el segundo más el triple del producto del primer número por el

cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo número. Consideremos x y x y x y x y

x y x y x 2 2 xy y 2 x y , por lo 3 2 tanto x 2 2 xy y2 x y x 2 2x 2 y xy 2 x 2 y 2 xy

2 y 3 x 2 3x 2 y 3xy 2 y 3 Es decir x y x 2 3x 2 y 3xy 2 y 3 3 EJEMPLO: Desarrollar x 3 3

SOLUCIÓN: Cubo del primer número: x x 3 3 Triple del producto del cuadrado del primer número por el

segundo: 3x 3 9 x 2 2 3 - 17

18. OPERACIONES ALGEBRAICAS Triple del producto del primer número por el cuadrado del segundo: 3x

3 27 x 2 Cubo del segundo número: 3 27 3 Así pues x 3 x 3 9 x 2 27 x 27 3 EJEMPLO:

Desarrollar 2 x 3 y 3 2 x 3 y 3 2 x 3 32 x 2 3 y 32 x 3 y 2 3 y 3 SOLUCIÓN: 8

x 3 36 x 2 y 546 xy 2 27 y 3 EJEMPLO: Desarrollar 4a 2 2b 3 3 SOLUCIÓN: 4a 2 2b 3 4a 3 2 3

34a 2 2b 3 34a 2 2b 3 2b 3 2 2 3 64a 6 96a 4 b 3 48a 2 b 6 8b 6 3.5.5. Teorema

del binomio El teorema del binomio es una fórmula (por esto se llama también fórmula del binomio) con la

cual se puede escribir directamente los términos del desarrollo de una potencia entera y positiva de un

binomio. Para formarnos una idea de la estructura del desarrollo de a b : n Por multiplicación directa

podemos obtener a b 1 a b a b 2 a 2 2ab b2 a b 3 a3 3a 2b 3ab2 b3 a b 4

a 4 4a3b 6a 2b2 4ab3 b4 a b 5 a5 5a 4b 10a3b2 10a 2b3 5ab4 b5 De acuerdo con

estos desarrollos nos podemos dar una idea acerca de la ley que siguen en su formación: 1. Si el exponente

del binomio es n, hay n+1 términos en el desarrollo. 2. Para cada valor de n, el desarrollo de a b

empieza con a n y termina con b n . En n cada término los exponentes de a y b suman n. 3. Las potencias de

a disminuyen de 1 en 1 al pasar de cada término al siguiente. La b aparece por primera vez en el segundo

término con exponente 1 que aumenta de 1 en 1. El exponente de b siempre es una unidad menor que el

número de orden del término. 3 - 18

19. OPERACIONES ALGEBRAICAS 4. El primer coeficiente es la unidad, el de cualquier otro término se obtiene

multiplicando en el término anterior su coeficiente por el exponente de a y dividiendo ese producto entre el

número de términos anteriores al que se trata de formar. Cierta simetría constituye una característica del

desarrollo del binomio. Esta simetría se puede apreciar al disponer los coeficientes en el siguiente orden que

se conoce como Triángulo de Pascal, para valores enteros no negativos de n en el desarrollo de a b . n

n0 1 n 1 1 1 n2 1 2 1 n3 1 3 3 1 n4 1 4 4 1 6 n5 1 5 10 10 5 1 n6 1 6 15 20 15 6 1 n7 1 7 21 35

35 21 7 1 A estos números se les llama coeficientes binomiales o binómicos, dado que cada renglón se

observa que el primer y último elemento es 1 porque los coeficientes del primer y último término son iguales

a 1. Cada elemento se puede obtener como la suma de los dos que se encuentra a su izquierda y derecha en

el renglón superior. Así, para n=6, el segundo coeficiente 6 es la suma de los elementos 1 y 5 que se

encuentran a su izquierda y derecha en el renglón superior; el tercer coeficiente 15 se obtiene de manera

similar como la suma de los elementos 5 y 10 del renglón superior, y así sucesivamente. EJEMPLO:

Desarrollar por el teorema del binomio: a 2b 4 SOLUCIÓN: Como en este caso n=4, utilizaremos los

coeficientes binomiales con las potencias correspondientes para cada término del desarrollo. Es decir, a

2b 1 a 4 a 2b 6 a 2b 4 a 2b 1 2b 4 4 3 1 2 2 1 3 4 efectuando las potencias,

se tiene: a 2b 1 a 4 4 a3 2b 6 a 2 4b2 4 a 8b3 116b4 4 efectuando los productos:

a 2b a 4 8a3b 24a 2b2 32ab3 16b4 4 3 - 19

20. OPERACIONES ALGEBRAICAS EJEMPLO: Desarrollar por el teorema del binomio: 3a 2b 4 SOLUCIÓN:

Procediendo de manera semejante a la anterior, se tiene: 3a 2b 1 3a 4 3a 2b 6 3a 2b

4 3a 2b 1 2b 4 4 3 1 2 2 1 3 4 efectuando las potencias: 3a 2b 181a 4 4 27a3 2b

6 9a 2 4b2 4 3a 8b3 116b4 4 efectuando los productos: 3a 2b 81a 4 216a3b 216a

2b2 96ab3 16b4 4 3.5.6. Binomio por un trinomio cuyo producto es igual a una suma o diferencia de

cubos. La suma algebraica de dos términos, por un trinomio que consta del cuadrado del primer término

menos el producto de los dos, más el cuadrado del segundo término, es igual a la suma de los cubos de los

dos términos algebraicos. Se trata de demostrar que x 3 y 3 x y x 2 xy y 2 . Tendremos: x 2 xy

y2 x y x3 x 2 y xy 2 x 2 y xy 2 y 3 x3 y3 Es decir x y x 2 xy y 2 x 3 y 3 , tal como

queríamos demostrar. EJEMPLO: Comprobar que x 3 1 x 1 x 2 x 1 2 3 2 SOLUCIÓN: x 1 x

x 1 x3 x x x x 1 2 x 1 EJEMPLO: Comprobar que 27 x 3 8 y 3 3x 2 y 9 x 2 6 xy 4 y 2

SOLUCIÓN: 3x 2 y 9 x 2 6 xy 4 y 2 27 x3 18x 2 y 12xy 2 18x 2 y 12xy 2 8y 3 27 x3 8

y 3 3 - 20

21. OPERACIONES ALGEBRAICAS EJEMPLO: Comprobar que 64b 6 27c 3 4b 2 3c 16b 4 12b 2 c 9c 2

2 6 2 2 2 2 SOLUCIÓN: 4b 3c 16b 12b c 9c 64b 48b c 36b c 48b c 36b c 27c 2 4 2 2 2

3 64b6 27c3 La diferencia de dos términos, por un trinomio que consta del cuadrado del primer término

más el producto de los dos, más el cuadrado del segundo término, es igual a la diferencia de los cubos de los

dos términos algebraicos. Se trata de demostrar que x 3 y 3 x y x 2 xy y 2 . Tendremos: x

y x 2 xy y 2 x3 x 2 y xy 2 x 2 y xy 2 y 3 x3 y 3 Es decir x y x 2 xy y 2 x 3 y 3 ,

tal como queríamos demostrar. EJEMPLO: Comprobar que x 3 8 x 2 x 2 2 x 4 SOLUCIÓN: x 2

x 2 x 4 x 2x 4x 2x 4x 8 2 3 x3 8 EJEMPLO: Comprobar que 64 x 3 27 y 3 4 x 3 y 16

x 2 12 xy 9 y 2 SOLUCIÓN: 4 x 3 y 16 x 2 12 xy 9 y 2 64 x3 48x 36 xy 48x 36xy 27 y

3 64 x3 27 y 3 EJEMPLO: Comprobar que 8a 6 27b 9 2a 2 3b 3 4a 4 6a 2 b 3 9b 6

SOLUCIÓN: 2a 3b 2 3 4a 4 6a 2b3 9b6 8a 6 12a 4b3 18a 2b6 12a 4b3 18a 2b6 27b9 8a 6

27b9 3.5.7. Cuadrado de un trinomio El cuadrado de un polinomio es igual a la suma de los cuadrados de

cada uno de los términos, más el doble producto de cada término por los que le siguen tomados de dos en

dos. a b c2 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc 3 - 21

22. OPERACIONES ALGEBRAICAS EJEMPLO: Efectuar 2 x 3 y 5 z 2 2 x 3 y 5z 2 2 x 2 3 y 2

5z 2 22 x 3 y 22 x 5z 23 y 5z SOLUCIÓN: 4 x 2 9 y 2 25 z 2 12 xy 20 xz 30 yz

EJEMPLO: 2 1 2 Efectuar x y z 3 5 SOLUCIÓN: 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 x y z x

y z 2 x y 2 x z 2 y z 2 2 3 5 3 5 3 5 3 5 1 4 2 4 2 4 x2 y z 2

xy xz yz 9 25 15 3 5 EJEMPLO: Efectuar a 2b 3c 2 SOLUCIÓN: a 2b 3c 2 a 2 2b2 3c 2

2a 2b 2a 3c 22b 3c a 2 4b 2 9c 2 4ab 6ac 12bc 3 - 22

23. OPERACIONES ALGEBRAICAS EJERCICIOS 3.3: Desarrollar los siguientes productos notables: 1. x 22

22. 2 x 2 3 y 2 2 2. 3 a 2 23. 2a 2 4 2 3. 2 x y 2 24. 2a 3 4b 2 2 4. 3 5 y 2

25. x 4 2y 3 2 5. 2a 3 2 26. 3x 3 2 y 2 2 6. 2a 3b 2 27. 4a 5 3b 4 2 7. 2 4a 2 2

28. x y x y 8. 3a 4b 2 29. m n m n 9. 2x 3 6b 2 30. a x x a 10. 2

x 3 3 y 2 2 31. x2 a 2 x2 a 2 11. 3x 4 2 y 3 2 32. 2a 11 2a 12. 3x 2 y z 3

2 33. n 1 n 1 34. 1 3ax 3ax 1 13. 4a 2 y 3 3c 2 d 3 2 35. 2m 9 2m 9 14.

2 x y 4mn 2 3 3 2 36. a3 b2 a3 b2 15. 3x 5 4 y 6 2 37. y 2 3 y y 2 3 y 16. x

3 2 38. 1 8xy 8xy 1 17. 2a 4 2 39. 6 x2 m2 x 6 x2 m2 x 18. 4 2 x 2 40. a m

bn a m bn 19. 3x 2 y 2 41. 3x a 5 y m 5 y m 3xa 20. 5x 3 y 2 42. a x1 2b

x1 2b x1 a x1 21. x 2 y 2 2 43. 2a b2a b 3 - 23

24. OPERACIONES ALGEBRAICAS 44. 2 x 3 y 2 x 3 y 69. x 5 4 x 5 6 45. 4 2a 4 2a

70. x 6 4x 6 8 46. 2m 2 3n 2 2m 2 3n 2 71. xy 3xy 2 47. 3x 23x 2 72. ab

4ab 6 48. 2 x 42 x 4 73. x 2 y 2 2 x 2 y 2 5 49. 2 4 y 2 4 y 74. a b 5a b

4 3 3 50. 3x 53x 5 75. a 3a 6 51. 2 x 3 y 2 2 x 3 y 2 76. a 2 3 52. 2x 2

3x 2 x 2 3x 77. x 1 3 53. 3 4ab3 4ab 78. m 3 3 54. x 3x 4 79. n 4 3 55.

a 5a 2 80. 2x 1 3 56. a 3a 8 81. 1 3 y 3 57. x 2x 3 58. a 6a 2

82. 2 y 2 3 83. 1 2n 3 59. a 4a 5 60. a 1a 4 84. 4n 3 3 61. a 2a 3 85.

a 2 2b 3 62. x 7x 8 86. 2 x 3 y 3 63. x 2 3 x 2 4 87. 1 a 2 3 64. a 2 3a

5 2 88. 3a 3 2 y 3 3 65. x 2 2x 7 2 89. 5 2 x 3 66. x 3 5x 4 3 90. x 5 3 67.

a 3 15a 4 3 68. x 4 3x 2 4 3 - 24

25. OPERACIONES ALGEBRAICAS 3.6. LEYES DE LOS EXPONENTES ENTEROS PARA LA DIVISIÓN am Lo

siguiente indica una regla para simplificar expresiones de la forma an 35 3 3 3 3 3 3 3 3

33 3 2 33 Se puede apreciar que podemos restar los exponentes para encontrar el exponente del

cociente. Por lo que para cualquier número real a excepto el 0 (cero), y para cualquier par de números

completos m y n am a mn con m n an EJEMPLO: Al simplificar las siguientes expresiones tenemos: 45

44444 4 52 4 3 porque 43 4 2 44 x6 xxxxxx x 62 x 4 porque x4 x 2 xx p5 q7 p

5 2 q 7 5 p 3 q 2 p q 2 5 Por si el exponente mayor está en el denominador, es decir si n es mayor

que m entonces: am n 1 mn n m a a EJEMPLO: x2 xx 1 x2 1 1 3 o bien 5 52 3 x 5

xxxxx x x x x EJEMPLO: 6 x 3 y 2 2 3 x x x y y 3x 2 6 x 3 y 2 3x 31 3x 2 o bien 4

2 2 2 xy 4 2 x y y y y y2 2 xy 4 y y Tenemos que para todo número real a excepto el 0, y para

todo número completo m 1 a m am 3 - 25

26. OPERACIONES ALGEBRAICAS EJEMPLO: 1 1 Como en el caso: 4 2 m 3 42 m3 1 a ab 1 a Ya

que el exponente solo afecta a b b1 b Sabemos que cualquier número diferente de cero dividido entre sí

mismo es igual a 1. Por a2 a2 ejemplo 2 1 . Si utilizamos la regla anterior, encontramos que 2 a 22 a 0

1 a a Podemos establecer la siguiente definición: a0=1, para cualquier número real excepto el cero. p0=1

30=1 3.7. DIVISIÓN DE POLINOMIOS La división algebraica es la operación que consiste en hallar uno de los

factores de un producto, que recibe el nombre de cociente dado el otro factor, llamado divisor, y el producto

de ambos factores llamado dividendo. De la definición anterior se deduce que el dividendo coincide con el

producto del divisor por el cociente. Así por ejemplo, si dividimos 8xy 2 xy 4 , se cumplirá que 4 2 xy

8xy cociente dividendo divisor dividendo cociente divisor Si el residuo no fuera igual a cero, entonces:

dividendo residuo cociente divisor divisor Para efectuar una división algebraica hay que tener en cuenta

los signos, los exponentes y los coeficientes de las cantidades que se dividen. (+)÷(+)=+ (–)÷(–)=+

(+)÷(–)=– (–)÷(+)=– DIVISIÓN DE UN MONOMIO POR OTRO Para dividir dos monomios se divide el coeficiente

del dividiendo entre el coeficiente del divisor y a continuación se escriben las letras ordenadas

alfabéticamente, elevando cada letra a un exponente igual a la diferencia entre el exponente que tiene en el

dividendo y el exponente que tiene en el divisor. El signo del cociente será el que corresponda al aplicar la

regla de los signos. 3 - 26

27. OPERACIONES ALGEBRAICAS EJEMPLO: Dividir 8x 6 4 x 4 SOLUCIÓN: 8x 6 4 x 4 8x 6 : 4 x 4

8 : 4x 64 2 x 2 EJEMPLO: 12 x 3 y 2 z Dividir 3xy 12 x 3 y 2 z SOLUCIÓN: 12 : 3x 31 y 21 z

10 4 x 2 yz 3xy EJEMPLO: 18a 3b 4 c 2 Dividir 6a 3 b 2 c 2 18a 3b 4 c 2 SOLUCIÓN: 18 : 6a 33

b 42 c 22 3b 2 6a 3 b 2 c 2 En ocasiones el cociente de dos monomios es fraccionario y, por

consiguiente, la división propiamente dicha no puede efectuarse en los siguientes casos: a) Cuando una letra

está elevada a un exponente menor al que se halla elevada dicha letra en el divisor. b) Cuando el divisor

contiene alguna letra que no se halla en el dividendo. EJEMPLO: 12a 2 b 3 c 2 Dividir 18a b c d 3abcd 3 4

2 DIVISIÓN DE UN POLINOMIO POR UN MONOMIO Para dividir un polinomio por un monomio se divide cada

uno de los términos del polinomio por el monomio teniendo en cuenta la regla de los signos, y se suman los

cocientes parciales así obtenidos. EJEMPLO: Dividir 4 x 3 6 x 2 8x 2 x SOLUCIÓN: 4 x 3 6 x

2 8 x 2 x 4 x 3 2 x 6 x 2 2 x 8 x 2 x 2 x 2 3x 4 3 - 27

28. OPERACIONES ALGEBRAICAS EJEMPLO: 6 x 4 y 9 x 3 y 2 12 x 2 y 3 6 xy 4 Dividir 3xy 6 x 4 y 9 x 3 y

2 12 x 2 y 3 6 xy 4 6 x 4 y 9 x 3 y 2 12 x 2 y 3 6 xy 4 SOLUCIÓN: 3xy 3xy 3xy 3xy 3xy 2 x 3 3x 2

y 4 xy 2 2 y 3 EJEMPLO: 3x 3 y 2 5 x 2 y 6 xy 2 Dividir 4x 2 y 3x 3 y 2 5 x 2 y 6 xy 2 3x 3 y 2 5 x 2 y

6 xy 2 4x 2 y 4x 2 y 4x 2 y 4x 2 y SOLUCIÓN: 3 5 3y xy 4 4 2x DIVISIÓN DE UN POLINOMIO POR UN

POLINOMIO. Para dividir dos polinomios se procede de la manera siguiente: 1) Se ordena el dividendo y el

divisor con respecto a una misma letra. 2) Se divide el primer término del dividendo entre el primer término

del divisor, obteniéndose así el primer término del cociente 3) Se multiplica el primer término del cociente

por todo el divisor y el producto así obtenido se resta del dividendo, para lo cual se le cambia de signo y se

escribe cada término de su semejante. En el caso de que algún término de este producto no tenga ningún

término semejante en el dividendo, es escribe dicho término en el lugar que le corresponda de acuerdo con

la ordenación del dividendo y del divisor. 4) Se divide el primer término del resto entre el primer término del

divisor, obteniéndose de este modo el segundo término del cociente. 5) El segundo término del cociente se

multiplica por todo el divisor y el producto así obtenido se resta del dividendo, cambiándole todos los signos.

6) Se divide el primer término del segundo resto entre el primer término del divisor y se repiten las

operaciones anteriores hasta obtener cero como resto. EJEMPLO: Dividir: 5 x 2 xy 3 y 2 15 x 4 7 x 3 y 6

x 2 y 2 7 xy 3 3 y 4 3 - 28

29. OPERACIONES ALGEBRAICAS 3x 2 2 xy y 2 5 x 2 xy 3 y 2 15 x 4 7 x 3 y 6 x 2 y 2 7 xy 3 3 y 4

15 x 4 3 x 3 y 9 x 2 y 2 10 x 3 y 3 x 2 y 2 7 xy 3 3 y 4 10 x 3 y 2 x 2 y 2 6 xy 3 5 x 2 y 2 xy 3 3

y 4 5 x 2 y 2 xy 3 3 y 4 0 Para resolver la operación anterior se procedió del modo siguiente: En primer

lugar se han ordenado dividendo y divisor en orden ascendente con respecto a la letra y y en orden

descendente con respecto a la letra x. A continuación se ha dividido el primer término del dividendo, 15x 4 ,

entre el primer término del divisor, 5x 2 , obteniéndose 3x 2 , por cada uno de los términos del divisor,

obteniéndose como resultado 15x 4 3x 3 y - 9 x 2 y 2 , que se escribe debajo de los términos semejantes

del dividendo cambiando los signos de todos los términos semejantes, obteniéndose como primer resto 10 x

3 y 3x 2 y 2 7 xy 3 3 y 4 . Después se ha dividido 10 x 3 y entre 5x 2 obteniéndose como cociente 2

xy , que es el segundo término del cociente. Multiplicando 2 xy por todos los términos del divisor que se

obtiene como resultado 10 x 3 y 2 x 2 y 2 6 xy 3 , que se escribe debajo de los términos semejantes del

primer resto cambiando los signos de todos sus términos para efectuar la resta. A continuación se ha

procedido a efectuar la reducción de términos semejantes, obteniéndose como segundo resto 5x 2 y 2 xy 3

3 y 4 Finalmente se ha dividido 5 x 2 y 2 entre 5x 2 , obteniéndose como cociente y2 . Multiplicando y 2 por

todos los términos del divisor se obtiene como producto 5x 2 y 2 xy 3 3 y 4 , que se escribe debajo de los

términos semejantes del segundo resto cambiando los signos de todos lo términos para efectuar la resta. A

continuación se ha procedido a efectuar la reducción de términos semejantes, obteniéndose como tercer

resto 0, con lo cual queda acabada la división. EJEMPLO: Dividir: x 4 5x 3 11x 2 12 x 6 x 2 3x

3 3 - 29

30. OPERACIONES ALGEBRAICAS x 2 2x 2 x 2 3 x 3 x 4 5 x 3 11x 2 12 x 6 - x 4 3x 3 3x 2 2 x

3 8 x 2 12 x 6 SOLUCIÓN: 2x3 6x 2 6x 2x 2 6x 6 - 2x 2 6x 6 0 EJEMPLO: Dividir: 1 a a 5 -

3a 2 1 2a a 2 3a 3 2a 2 3a 1 a 2 2a 1 a 5 3a 2 a 1 a 5 2a 4 a 3 2a 4 a 3 3a 2 a

1 2a 4 4a 3 2a 2 SOLUCIÓN: 3a 3 5a 2 a 1 3a 3 6a 2 3a a 2 2a 1 a 2 2a 1 0 EJEMPLO:

Dividir: 8 y 6 21x 3 y 3 x 6 24 xy 5 3xy x 2 y 2 3 - 30

31. OPERACIONES ALGEBRAICAS SOLUCIÓN: x 4 3 x 3 y 8 x 2 y 2 42 xy 3 118 y 4 x 2 3 xy y 2 x 6

21x 3 y 3 24 xy 5 8y6 x 6 3x 5 y x 4 y 2 3 x 5 y x 4 y 2 21x 3 y 3 24 xy 5 8y6 3x 5 y 9 x 4 y 2

3x 3 y 3 8 x 4 y 2 18 x 3 y 3 24 xy 5 8y6 8 x 4 y 2 24 x 3 y 3 8x 2 y 4 42 x 3 y 3 8x 2 y 4 24 xy

5 8y6 42 x 3 y 3 126 x 2 y 4 42 xy 5 118 x 2 y 4 18 xy 5 8y6 118 x 2 y 4 354 xy 5 118 y 6 336

xy 5 126 y 6 Se dice que una división de un polinomio por otro es inexacta cuando: a) Si después de

ordenar los dos polinomios, el primer término del dividendo no es divisible entre el primer término del divisor.

b) Si el último término del dividendo no es divisible entre el último término del divisor. c) Si en el primer

término de algún dividendo parcial la letra ordenatriz tiene menor exponente que en el primer término del

divisor. 3.8. DIVISIÓN SINTÉTICA La división sintética es un procedimiento práctico para hallar el cociente y el

residuo de la división de un polinomio entero en x por x-a. Dividamos x 3 5x 2 3x 14 entre x 3 x 2 2x

3 x3 x 3 5 x 2 3 x 14 x 3 3x 2 2 x 2 3 x 14 2x 2 6x 3 x 14 3x 9 5 3 - 31

32. OPERACIONES ALGEBRAICAS Podemos apreciar que el cociente x 2 2 x 3 es un polinomio en x de un

grado menor que el del dividendo; que el coeficiente del primer término del cociente es igual al coeficiente

del primer término del dividendo y que el residuo es 5. Sin efectuar la división, el cociente y el residuo

pueden hallarse por la siguiente regla práctica: 1) El cociente de un polinomio en x cuyo grado es 1 menos

que el grado del dividendo. 2) El coeficiente del primer término del cociente es igual al coeficiente del primer

término del dividendo. 3) El coeficiente de un término cualquiera del cociente se obtiene multiplicando el

coeficiente del término anterior por el segundo término del binomio divisor, cambiando el signo y sumando

este producto con el coeficiente del término que ocupa el mismo lugar en el dividendo. 4) El residuo se

obtiene multiplicando el coeficiente del último término del divisor, cambiando de signo y sumando este

producto con el término independiente del dividendo. EJEMPLO: Dividamos x 3 5x 2 3x 14 entre x 3

SOLUCIÓN: Dividendo Divisor x3 5x 2 3x 14 x 3 1 5 3 14 3 1 3 3 2 3 6 3 3 9 1 -2

-3 +5 Resultado x 2 2 x 3 residuo: 5 EJEMPLO: 2 x 3 5x 2 7 x 8 Efectuar por división sintética x4

SOLUCIÓN: Dividendo Divisor 2 5 7 8 x 4 24 8 34 12 194 76 4 2 3 19 68 Resultado 2 x 2

3x 19 residuo: 68 3 - 32

33. OPERACIONES ALGEBRAICAS EJEMPLO: Efectuar por división sintética x 2 8x 5 x 2 SOLUCIÓN:

Dividendo Divisor 1 8 5 x 2 1 2 2 10 2 20 2 1 - 10 25 Resultado x 10 residuo: 25 EJEMPLO:

Efectuar por división sintética x 5 16 x 3 202 x 81 entre x 4 SOLUCIÓN: Como este polinomio es

incompleto, pues le faltan los términos x 4 y x 2 , al escribir los coeficientes ponemos 0 en los lugares que

debían ocupar los coeficientes de estos términos. Dividendo Divisor 1 0 - 16 0 - 202 81 x 4 4 16 0 0 808

4 1 4 0 0 - 202 727 Como el dividendo es de 5° grado, el cociente es de 4° grado los coeficientes del

cociente son 1, 4, 0, 0 y -202, el cociente es x 4 4 x 3 202 y el residuo es -727 3 - 33

34. OPERACIONES ALGEBRAICAS 3.9. FACTORIZACIÓN Factorizar una expresión algebraica es hallar dos o

más factores cuyo producto es igual a la expresión propuesta. La factorización puede considerarse como la

operación inversa a la multiplicación, pues el propósito de ésta última es hallar el producto de dos o más

factores; mientras que en la factorización, se buscan los factores de un producto dado. Se llaman factores o

divisores de una expresión algebraica, a los términos que multiplicados entre sí dan como producto la

primera expresión. Factorización 24 2 2 2 3 24 2 3 4 24 4 6 24 8 3 24 12

2 Multiplicación Al factorizar una expresión, escribimos la expresión como un producto de sus

factores. Supongamos que tenemos dos números 3 y 5 y se pide que los multipliquemos, escribiremos 3 5

15 . En el proceso inverso, tenemos el producto 15 y se nos pide que lo factoricemos; entonces tendremos

15 3 5 Al factorizar el número 20, tendremos 20 4 5 o 20 10 2 . Advierte que 20 4 5 y 20

10 2 no están factorizados por completo. Contienen factores que no son números primos. Los primeros

números primos son 2, 3, 5, 7, 11, etc. Puesto que ninguna de esas factorizaciones está completa, notamos

que en la primera factorización 4 2 2 , de modo que 20 2 2 5 mientras que la segunda

factorización 10 2 5 , de modo que 20 2 5 2 , en cualquier caso la factorización completa para

20 es 2 2 5 . De ahora en adelante cuando digamos factorizar un número, queremos decir factorizarlo

por completo. Además se supone que los factores numéricos son números primos. De 1 esta manera no

factorizamos 20 como 20 80 . 4 Con estos preliminares fuera del camino, ahora podemos factorizar

algunas expresiones algebraicas. 3 - 34

35. OPERACIONES ALGEBRAICAS 3.9.1. Factor común. Para comenzar, comparemos las multiplicaciones con

los factores y veamos si podemos descubrir un patrón. 4 x 4 y 4x y 5a 10b 5a 2b 2 x 2 6 x

2 xx 3 3a 2 6ab 3aa 2b Usan la propiedad distributiva. Cuando multiplicamos, tenemos que: ab c

ab ac . Cuando factorizamos ab ac ab c . Para factorizar un binomio, debemos hallar un factor

(en este caso a) que sea común a todos los términos. El primer paso para tener una expresión

completamente factorizada es seleccionar el máximo factor común, ax n . Aquí tenemos como hacerlo:

Máximo factor común (MFC).- El término ax n , es el MFC de un polinomio sí: 1. a es el máximo entero que

divide cada uno de los coeficientes del polinomio, y 2. n es el mínimo exponente de x en todos los términos

del polinomio. De este modo para factorizar 6 x 3 18x 2 , podríamos escribir 6 x 3 18x 2 3x 2 x 2 6 x

Pero no está factorizado por completo por que 2 x 2 6 x puede factorizarse aún más. Aquí el mayor entero

que divide a 16 y 8 es 6, y el mínimo exponente de x en todos los términos es x 2 . De esta manera la

factorización completa es 6 x 3 18x 2 6 x 2 x 3 . Donde 6x 2 es el MFC. EJEMPLO: 8 x 24 8 x 8

3 Factorizar 8x 3 EJEMPLO: 6 y 12 6 y 6 2 Factorizar 6 y 2 EJEMPLO: 10 x 2 25 x 3

5 x 2 2 5 x 2 5 x Factorizar 5 x 2 5 x 2 3 - 35

36. OPERACIONES ALGEBRAICAS EJEMPLO: 6 x 3 12 x 2 18 x 6 x x 2 6 x 2 x 6 x 3 6 xx 2 2 x

3 Factorizar EJEMPLO: 10 x 6 15 x 5 20 x 4 30 x 2 5 x 2 2 x 4 5 x 2 3x 3 5 x 2 4 x 2 5 x 2

6 5 x 2 2 x 4 3x 3 4 x 2 6 Factorizar EJEMPLO: 2 x 3 4 x 4 8 x 5 2 x 3 1 2 x 3 2 x 2 x 3 4

x 2 2 x 3 1 2 x 3 4 x 2 Factorizar EJEMPLO: 3 2 1 5 1 1 1 x x 3x 2 x 5 Factorizar 4 4 4 4 4

4 1 3x 2 x 5 4 3.9.2. Diferencia de cuadrados. Aquí tenemos un producto notable A B A B A2

B 2 podemos utilizar esta relación para factorizar una diferencia de cuadrados. A2 B 2 A B A B

EJEMPLO: x 2 4 x 2 22 Factorizar x 2x 2 EJEMPLO: Factorizar 4 x 2 25 2 x 5 2 x 52

x 5 2 2 EJEMPLO: Factorizar 9a 8 b 4 49 3a 4 b 2 7 3a b 2 2 4 2 7 3a 4 b 2 7 3.9.3.

Trinomios con término de segundo grado. Del estudio de los productos notables sabemos que el cuadrado de

un binomio es un trinomio; tales trinomios se llaman trinomios cuadrados perfectos. 3 - 36

37. OPERACIONES ALGEBRAICAS x 32 x 2 6 x 9 x 32 x 2 6 x 9 Los trinomios x 2 6 x 9, x 2

6 x 9 , son trinomios cuadrados porque son cuadrados de un binomio. Los siguientes puntos ayudan a

identificar un trinomio cuadrado. A. Dos de los términos deben de ser cuadrados A 2 y B 2 B. No debe haber

signo de menos en A 2 o en B 2 C. Si multiplicamos A y B y duplicamos el resultado, obtenemos el tercer

término 2AB o su inverso aditivo -2AB. ¿Es x 2 6 x 11 un trinomio cuadrado? La respuesta es no porqué

solo hay un término al cuadrado (x2) y (11) no es cuadrado de algún número. Para factorizar trinomios

cuadrados podemos utilizar las siguientes relaciones: A 2 2 AB B 2 ( A B) 2 A 2 2 AB B 2 ( A B) 2

Hay que recordar que se deben de sacar primero los factores comunes, si es posible. EJERCICIOS 3.4: 1.- x 2

14 x 49 2.- x 2 6x 9 3.- 16 x 2 56 xy 49 y 2 4.- 9 x 2 18xy 9 y 2 5.- 36m 2 48mn 16n 2 6.- 16 x

2 40 x 25 7.- x 2 4 xy 4 y 2 8.- x 2 2x 1 3.9.4. Suma y diferencia de cubos. Es fácil verificar,

mediante la multiplicación del segundo miembro de cada ecuación, las siguientes fórmulas de factorización

para la suma y la diferencia de dos cubos. A3 B 3 A B A 2 AB B 2 A3 B 3 A B A 2 AB B

2 3 - 37

38. OPERACIONES ALGEBRAICAS EJEMPLO: Factorizar y 3 27 , observemos primero que se puede escribir en

otra forma: y 3 33 Así, advertimos que se trata de la diferencia de dos cubos. Si aplicamos la fórmula de

factorización y usamos los siguientes valores A=y, y B=3, obtenemos: y 3 27 y 3 33 y 3 y 2 3 y

9 EJEMPLO: Factorizar 8x 3 27 2 x 33 2 x 3 4 x 2 6 x 9 3 EJEMPLO: Factorizar t 3 1

t 1 t 2 t 1 3.9.5. Por Agrupación. Podemos utilizar la propiedad distributiva para factorizar algunos

polinomios con cuatro términos. Consideremos x 3 x 2 2 x 2 . No hay ningún factor diferente de 1. Sin

embargo podemos factorizar a x 3 x 2 y 2 x 2 por separado: x 3 x 2 x 2 x 1 2 x 2 2x 1 Por lo

tanto x 3 x 2 2 x 2 x 2 x 1 2x 1 . Podemos utilizar la propiedad distributiva una vez más y

sacamos el factor común: x+1 x 2 x 1 2x 1 x 1 2 x 2 Este método se llama factorización

por grupos (o por agrupación). No todas las expresiones con cuatro términos se pueden factorizar con este

método. EJEMPLO: 6 x 3 9 x 2 4 x 6 6 x 3 9 x 2 4 x 6 3x 2 x 3 22 x 3 2 2 x 3 3x 2

2 EJEMPLO: Factorizar x 3 x 2 x 1 x 3 x 2 x 1 x x 1 1x 1 2 x 1 x 2 1

3 - 38

39. OPERACIONES ALGEBRAICAS EJEMPLO: Factorizar x 3 2 x 2 x 2 x 3 2 x 2 x 2 x 2 x 2

1 x 2 x 2 x 2 1x 2 x 2x 2 1 x 2x 1x 1 EJEMPLO: Factorizar x 2 y 2 ay 2

ab bx 2 y 2 x 2 a bx 2 a x 2 a y 2 b 3 - 39

40. OPERACIONES ALGEBRAICAS RESPUESTA DEL EJERCICIO 3.1: 1.- 2 y y 1 6 y 2 y 1 2 2 2.- 4x

3x 1 5x x 1 2 2 3.- z 4z 1 2z z 1 2 2 4.- y 3 y 5 y 4 y 3 2 2 5.- 2xy 6xy

x 2xy x 2 6.- 5ax 3ax 4 2ax 3 2 2 7.- 2x y z x 2 y z x y 2z x 3 y 4z

8.- a b c a b c a b c a b c 9.- 2g 3h k 2g 3h k 2g 2h 2k 3g h

k 10.- 2x 2 y z x 2 y z 3x 2 y z x 4 y 5z RESULTADOS DEL EJERCICIO 3.2: 1.-

2x y 3xy 6x y 2 3 5 3 8 2.- 4xy 5x y 20x y 2 2 4 3 6 3.- 2aa b c 2aa 2a b

2ac 2a 2ab 2ac 2 2 3 4.- 3x y 2 x y 5xy 4 x y 3x y 2 x y 3x y 5xy 3x y 4 x y

2 3 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 6 x 5 y 3 15 x 3 y 3 12 x 4 y 3 5.- 2a b3a 2b 6a 2 ab 2b 2 6.- x 4

2 x 3 3 x 2 2 x 3 x 6 4 x 5 7 x 4 6 x 3 3x 2 6 x 9 7.- a 12 a 13 a 123 a

15 8.- 2ab 3a bc 6a b c 2 4 2 5 3 2 9.- 3b c 8ab c 24ab c 2 3 3 5 4 10.- 2x yz 4x y 8x y z

2 3 3 2 5 3 3 3 - 40

41. OPERACIONES ALGEBRAICAS RESULTADOS DEL EJERCICIO 3.3: 1.- x 2 x 4 x 4 28.- x y x y

x 2 y 2 2 2 2.- 3 a 9 6a a 2 29.- m n m n m2 n2 2 3.- 2 x y 4 x 2 4 xy y 2 2

30.- a x x a a 2 x 2 4.- 3 5 y 9 30 y 25 y 2 2 31.- x2 a 2 x2 a 2 x4 a 4 5.- 2a

3 4a 2 12a 9 2 32.- 2a 11 2a 4a 2 1 33.- n 1 n 1 n2 1 6.- 2a 3b 4a 2 12ab

9b 2 2 34.- 1 3ax 3ax 1 1 9a 2 x 2 7.- 2 4a 2 2 4 16a 16a 2 4 35.- 2m 9 2m 9

4m2 81 8.- 3a 4b 9a 24ab 16b 2 2 2 36.- a3 b2 a3 b2 a6 b4 9.- 2 x 3 6b 4x 24x

b 36b 2 6 3 2 37.- y 2 3 y y 2 3 y y 4 9 y 2 10.- 2 x 3 y 4 x 12 x y 9 y 3 2 2 6 3 2 4 38.-

1 8xy 8xy 1 1 64 x 2 y 2 11.- 3x 2 y 9 x 12 x y 4 y 4 3 2 8 4 3 6 39.- 6 x2 m2 x 6 x2

m2 x 36 x4 m4 x2 12.- 3x y z 9 x y 6 x yz z 2 3 2 4 2 2 3 6 40.- a m bn a m bn a 2m

b2n 13.- 4a 2 y 3 3c 2 d 3 2 16a 4 y 6 24a 2 y 3c 2 d 3 9c 4 d 6 41.- 3x a 5 y m 5 y m 3xa

9 x 2a 25 y 2m 42.- a x1 2b x1 2b x1 a x1 a 2 x2 4b2 x2 14.- 2 x 2 y 3 4mn3 2 4 x 4 y

6 16 x 2 y 3 mn3 16m 2 n 6 43.- 2a b2a b 4a 2 b 2 15.- 3x 5 4 y 6 2 9 x10 12 x 5 y 6

16 y12 44.- 2 x 3 y 2 x 3 y 4 x 2 9 y 2 16.- x 3 x 2 6 x 9 45.- 4 2a 4 2a 16 4a 2 2

17.- 2a 4 4a 2 16a 16 2 46.- 2m 2 3n 2 2m 2 3n 2 4m 4 9n 4 18.- 4 2 x 16 16 x 4

x 2 2 47.- 3x 23x 2 9 x 2 4 19.- 3x 2 y 9 x 2 12 xy 4 y 2 2 48.- 2 x 42 x 4 4 x 2 16

20.- 5x 3 y 25x 2 30 xy 9 y 2 2 49.- 2 4 y 2 4 y 4 16 y 2 50.- 3x 53x 5 9 x 2 25

21.- x 2 y 2 x 2x y y 2 4 2 2 4 51.- 2 x 3 y 2 2 x 3 y 2 4 x 6 y 4 22.- 2 x 3 y 4 x 6 x y

9 y 2 2 2 4 2 2 4 52.- 2 x 2 3x 2 x 2 3x 4 x 4 9x 2 23.- 2a 4 4a 16a 16 2 2 4 2 53.- 3

4ab3 4ab 9 16a 2 b 2 24.- 2a 4b 4a 16a b 16b 3 2 2 6 3 2 4 54.- x 3x 4 x 2 7 x 12

25.- x 2 y x 4 x y 4 y 4 3 2 8 4 3 6 55.- a 5a 2 a 2 7a 10 26.- 3x 2 y 9 x 12 x y 4

y 3 2 2 6 3 2 4 56.- a 3a 8 a 2 5a 24 27.- 4a 3b 16a 12a b 9b 5 4 2 10 5 4 8 57.- x 2x

3 x 2 5x 6 3 - 41

42. OPERACIONES ALGEBRAICAS 58.- a 6a 2 a 2 4a 12 77.- x 1 x3 3x 2 3x 1 3 59.- a

4a 5 a 2 a 20 78.- m 3 m3 9m2 27m 27 3 60.- a 1a 4 a 2 5a 4 79.- n 4 n3

12n2 48n 64 3 61.- a 2a 3 a 2 a 6 80.- 2 x 1 8a3 12 x 2 6 x 1 3 62.- x 7x 8

x 2 x 56 81.- 1 3 y 1 9 y 27 y 2 27 y 3 3 63.- x 2 3 x 2 4 x 4 x 2 12 82.- 2 y 2

8 12 y 2 6 y 4 y 6 3 64.- a 2 3a 5 a 8a 15 2 4 83.- 1 2n 1 6n 12n2 8n3 3 65.- x 2

2x 7 x 5x 14 2 4 2 84.- 4n 3 64n3 144n2 108n 9 66.- x 5x 4 x x 20 3 3 3 6 3

67.- a 15a 4 a 11a 60 85.- a 2 2b a6 6a 4b 12a 2b2 8b3 3 3 3 6 3 68.- x 3x 2 x

x 6 86.- 2 x 3 y 8x3 36 x 2 y 54 xy 2 27 y3 3 4 4 8 4 69.- x 4x 6 x 2 x 24 87.- 1 a

2 1 3a 2 3a 4 a 6 5 5 10 5 3 70.- x 6 4x 8 x 4 x 32 6 12 6 88.- 3a3 2 y3 27a9 54a6

y3 36a3 y 6 8 y9 71.- xy 3xy 2 x 2 y 2 xy 6 72.- ab 4ab 6 a 2 b 2 2ab 24 89.- 5 2

x 125 150 x 60 x 2 8x3 3 73.- x 2 y 2 2 x 2 y 2 5 x 4 y 4 3x 2 y 2 10 90.- x 5 x3

15x 2 75x 125 3 74.- a 3b 5 a 3b 4 a 6 b 2 a 3b 20 75.- a 3a 6 a 2 9a 18 76.- a

2 a3 6a 2 12a 8 3 RESPUESTA DEL EJERCICIOS 3.4: x 2 14 x 49 x 7 4.- 9 x 2 18xy 9 y 2

3x 3 y 2 2 1.- x 2 6 x 9 x 3 5.- 36m 2 48mn 16n 2 6m 4n 2 2 2.- 16 x 2 56 xy 49 y 2

4 x 7 y 6.- 16 x 2 40 x 25 4 x 5 2 2 3.- x 2 4 xy 4 y 2 x 2 y 2 7.- x 2 2 x 1 x 1 2

8.- 3 - 42