Universidad Fermín Toro.

Cabudare-LaraElectricidad

Alumno:Kendrys Méndez19454323

Operaciones de

Conjuntos

Conjunto es una colección de objetos o entidades distinguibles y bien definidas. Los objetos (números, letras, puntos, etc.) que constituyen un conjunto se les llama miembros o elementos del conjunto

DEFINICION DE CONJUNTO

Teoría de Conjuntos Normalmente se utilizan letras mayúsculas A, B, X, Y …. Para

denotar Conjuntos

Y para denotar a los elementos se utilizan letras minúsculas a,b,c,…, números, símbolos o variables.

CONJUNTO UNIVERSALRe

laci

ones

Ent

re C

onju

ntos

Si se habla de un conjunto de números es útil establecer una población general de números denominado CONJUNTO UNIVERSO o CONJUNTO REFERENCIA

Cuyos elementos son los posibles candidatos para formar los conjuntos que intervienen en una discusión determinada.

El conjunto Universal se denomina : U

CONJUNTO UNIVERSAL Re

laci

ones

Ent

re C

onju

ntos

Ejemplo

Si U=N, el conjunto de los números naturales

A = { 1, 2, 3, 4, 5 }B={ x/x es un numero primo }C = { x/x es un numero natural par }

A, B y C son subconjuntos propios de U

DIAGRAMA DE VENN

Los Diagramas de Venn son una manera esquemática de representar los conjuntos y los conceptos de la teoría de conjuntos.

Constituyen un auxiliar didáctico valioso para visualizar las relaciones de: Pertenencia, Inclusión y las Operaciones con conjuntos.

U

A B

C

El Rectángulo representa conjunto Universal

Los círculos se han utilizado para representar a cada uno de los conjuntos.

DEFINICIONES DE CONJUNTO

EXTENCION

COMPRENSION

Un Conjunto puede ser definido:

EXTENSION escribiendo cada uno de los elementos que componen el conjunto dentro de llaves o separados por una coma.

DEFINICION DE CONJUNTO EXTENSION

1.- Sea A el conjunto de las vocales

A= { a, e, i, o, u } 2.- Sea B el conjunto de los día

B= { lunes , martes, miércoles, jueves, viernes}

COMPRESION escribiendo dentro de las llaves las características de los elementos que pertenecen al conjunto , como sigue

DEFINICION DE CONJUNTO COMPRESION

Sea A es el conjunto de las vocales

Se escribe A= {x/x es una vocal}Y se lee El conjunto de todas las x tales que x es una vocal Sea D el conjunto de los números pares

Se escribe D= {x/x es un numero natural par }Y se lee El conjunto de todas las x tales que x es un

numero natural par”

RELACIÓN DE INCLUSION

Decimos que esta incluido un conjunto cuando todos los elementos de uno de ellos están en el otro.

Diremos que:

un conjunto A está contenido en un conjunto B, si todos los elementos del conjunto A están en el conjunto B.

Se representa simbólicamente por:A Ì B o bien B Ì A.Sinónimos de la frase “estar contenido en” son: “estar incluido en”, “ser subconjunto de”

La expresión B Ì A s e lee también como: “B contiene a A”, “B incluye a A” o bien “B es un super conjunto de A”.

CONJUNTO VACIO

Un conjunto VACIO es el que carece de elementos, se simboliza { } o por Ø .

Ejemplo de conjunto Vacio:

El conjunto cuyos miembros son los hombres que viven actualmente con mas 500 años de edad.

CONJUNTO POTENCIA

Dado un conjunto A, el conjunto de partes de A, denominado por Ã(A),

Es el conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de A

En la lista de subconjuntos de A hay que tener en cuenta dos subconjuntos especiales el mismo A, ya que A Î A, y el conjunto vacio

Ø

CONJUNTO POTENCIA

EjemploSi A = { a, b, c } entonces

Ã(A)={ {a}, {b}, {c}, { a, b }, { a, c }, { b, c }, { a, b, c, }, {Ø} }

•Los elementos del Conjunto Ã(A) son a su vez conjunto•Un conjunto cuyos miembros son conjuntos se llama Familia de Conjuntos•Ã(A) es un ejemplo de una familia de conjuntos

NOTA: Si un conjunto M tienes n elementos Ã(M) constara de 2n elementos

2n = 23 = 2 x 2 x 2 = 8

Decimos que dos conjuntos A y B son iguales (A = B ) si todos los elementos de A pertenecen a B

IGUALDAD DE CONJUNTOSRe

laci

ones

Ent

re C

onju

ntos

A= { x, y } B= { y, x }

Esto es:A=B,

entonces x î A, implica que x î B y

Que y î B, implica que y î A.

Ejemplo de Igualdad de Conjuntos……………

IGUALDAD DE CONJUNTOSRe

laci

ones

Ent

re C

onju

ntos

Si

M= { 1, 3, 5, 7, 9 } y

L= {x/x es impar ^ 1 ≥ x ≤ 9 }

Esto significa que

M=L

UNION DE CONJUNTOSO

pera

cion

es c

on C

onju

ntos

La unión de dos conjuntos A y B, denominada por A U B que se lee A unión B, es el nuevo de Conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o B o a ambos conjuntos.

A U B ={x Î U/ x Î A v x Î B}

U

A B

En el diagrama de Venn, la región sombreada corresponde al conjunto A U B

UNION DE CONJUNTOSO

pera

cion

es c

on C

onju

ntos

Ejemplo

A U B ={ a, b, c, d, e, f}

U

A B

Si A={ a, b, c, d } B= { c, d, e, f }Entonces:

INTERSECCION DE CONJUNTOSO

pera

cion

es c

on C

onju

ntos

A | B ={x î U/ x Î A ^ x Î B }

U

A B

La intersección de dos conjuntos A y B, denotada A | B, que se lee A intersección B.

Es el nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y a B, es decir, por los elementos comunes a ambos conjuntos

En este diagrama de Venn la región

sombreada corresponde al conjunto A |B

INTERSECCION DE CONJUNTOSO

pera

cion

es c

on C

onju

ntos

A U B También se llama suma lógica de los conjuntos A y BA | B Se denomina también el producto lógico de los conjuntos Ay B

Si A={ a, b, c, d } B= { c, d, e, f }

Observe que los elementos c y d pertenecen simultáneamente a los conjuntos A y B

A | B = { c, d }

Ejemplo:

DIFERENCIA DE CONJUNTOSO

pera

cion

es c

on C

onju

ntos

A - B ={ x Î U/ x Î A ^ x Î B }

La Diferencia de dos conjuntos A y B, denotada A – B, que se lee A menos B, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y que no pertenecen a B

Simbólicamente:

UA

B

UA B

DIFERENCIA DE CONJUNTOSO

pera

cion

es c

on C

onju

ntos

Ejemplo 1:

Si A={ a, b, c } B= { c, d} A-B={ a, b }

Ejemplo 2:

Si A={ 3, 4, 5, 6 } B= { 4, 5 } A-B={ 3, 6}

Ejemplo 3:

Si A={ 1, 2, 3 } B= { 6, 7 } A-B={1, 2, 3 }

DIFERENCIA SIMÉTRICA DE CONJUNTOSO

pera

cion

es c

on C

onju

ntos

Simbólicamente:

La Diferencia Simétrica de dos conjuntos A y B, denotada A B, que se lee A diferencia B, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o a B pero no pertenecen simultáneamente a ambos conjuntos

A B ={x Î U / x Î A v xÎ B , ^ x Î A | B}

A diferencia simétrica de B es igual ax Tal que x pertenece a A o x pertenece a B, y x pertenece

a A intersección B

DIFERENCIA SIMETRICA DE CONJUNTOSO

pera

cion

es c

on C

onju

ntos

Ejemplo:

UA B

En el siguiente grafico se muestra A B

Observe que las regiones a la izquierda y a la derecha corresponden a los

conjuntos A-B y B-A

Por eso también

A B={ A – B } U { B- A }

A B={ A U B } - { B Î A }

A={ 1, 2, 3, 4 } B= { 4, 5 } A B = { 1, 2, 3, 5 }

COMPLEMENTEOS DE UN CONJUNTOSO

pera

cion

es c

on C

onju

ntos

El complemento de un conjunto A con respecto al conjunto U, denota

A΄, es el conjunto de elementos de U que no pertenecen a A

Simbólicamente: A΄={x Î U/ x Ï A }

UA

A΄= U – A Ejemplo:

A = { X/X es un numero natural par}

Sea U = N (el conjunto de los números naturales)

A΄ = { X/X es un numero natural impar}=U -A

ALGEBRA CONJUNTOS O

pera

cion

es c

on C

onju

ntos

es el estudio de las operaciones básicas que pueden realizarse con conjuntos, como la unión, intersección y complementación

PRODUCTO CARTESIANOO

pera

cion

es c

on C

onju

ntos

Es el conjunto dando entre la operación de dos productos, cuyos elementos son todos los pares ordenados que pueden formarse tomando el primer elemento del par ordenado del primer conjunto y el segundo elemento del par ordenado del segundo conjunto.

Ejemplo

Si el conjunto A está formado por los elementos 3, 5, 7 y 9, mientras que el conjunto B alberga los elementos m y r, el producto cartesiano de ambos conjuntos es el siguiente:

A x B = {(3,m), (3,r), (5, m), (5,r), (7,m), (7,r), (9,r), (9,r)}

PARTICION DE CONJUNTOSO

pera

cion

es c

on C

onju

ntos

El concepto de partición es equivalente al de relación de equivalencia toda relación de equivalencia sobre un conjunto A define una partición de A, y viceversa. Cada elemento de la partición corresponde a una clase de equivalencia de la relación.

•El conjunto {1, 2, 3} tiene exactamente 5 particiones:

• { {1}, {2}, {3} } •{ {1, 2}, {3} } •{ {1, 3}, {2} } •{ {1}, {2, 3} } •{ {1, 2, 3} }

Ejemplo:

CARDINALIDAD DE UN CONJUNTOO

pera

cion

es c

on C

onju

ntos

La cardinalidad de un conjunto es el número de elementos que posee ese conjunto.El símbolo que representa la cardinalidad de un conjunto es .

Ejemplo:

El conjunto tiene cinco elementos. Por tanto, se tiene que .