UNIVERSIDAD LAICA ELOY ALFARO DE MANABÍEXTENSIÓN EN EL CARMEN

ORGANIZACIÓN DEL COMPUTADOR Y

LABORATORIO DE HARDWARE

REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS EN COMPLEMENTOS

AUTORES:

VERA PERALTA TEOROBLES MACÍAS PAÚLEL COLADO

2009-2010

Representación en número de complemento

En matemáticas, los números negativos en cualquier base se representan del modo habitual, precediéndolos con un signo "−". Sin embargo, en una computadora, hay varias formas de representar el signo de un número. Este artículo trata cuatro métodos de extender el sistema binario para representar números con signo: signo y magnitud, complemento a uno, complemento a dos y exceso N.

Para la mayoría de usos, las computadoras modernas utilizan típicamente la representación en complemento a dos, aunque pueden usarse otras en algunas circunstancias

Signo y Magnitud

Un primer enfoque al problema de representar el signo de un número podría consistir en asignar un bit para representar el signo, poner ese bit (a menudo el bit más significativo) a 0 para un número positivo, y a 1 para un número negativo. Los bits restantes en el número indican la magnitud (o el valor absoluto). Por lo tanto en un byte con solamente 7 bits (aparte del bit de signo) la magnitud puede tomar valores desde 01111111(+127)a 0 (0), y de aquí a 11111111 (-127). Así se puede representar números desde. Una consecuencia de esta representación es que hay dos maneras de representar 0, 00000000 (0) y 10000000 (-0). De este modo 43 decimal codificado en un [byte] de ocho bits es 10101011. Este enfoque es directamente comparable a la forma habitual de demostrar el signo (colocando "+" o "-" al lado de la magnitud del número). Algunas de las primeras computadoras binarias ( la IBM 7090) utilizaron esta representación, quizás por su relación obvia con la práctica habitual

Complemento a unoComo alternativa para representar números negativos puede usarse un sistema conocido como complemento a uno. La forma del complemento a uno de un número binario es un NOT bit a bit aplicado al número – Recordemos que el complemento a uno de un número positivo no sufre ningún cambio ( C1(2)= 00000010 C1(-2)= 11111101). Como en la representación de signo-y-magnitud, el complemento a uno tendrá dos representaciones del 0: 00000000 (+0) y 11111111 (-0). Como ejemplo, el complemento a uno de 0101011 (43) se convierten en 1010100 (-43). El rango para la representación en complemento a uno con 8 bits es -127 a +127 (en base 10). Para sumar dos números representados en este sistema, uno hace una suma binaria convencional, pero es necesario sumar el último acarreo obtenido al resultado de la suma. Para ver porqué esto es necesario, consideramos el caso de la suma de -1 (11111110) a +2 (00000010). ¡La adición binaria solamente da a 00000000, que no es la

respuesta correcta! Solamente cuando se suma el acarreo al resultado obtenemos el resultado correcto (00000001).

Este sistema numérico de representación era común en computadoras más antiguas; el PDP-1 y la serie de UNIVAC 1100/2200, entre muchas otras, utilizaron la aritmética en complemento a uno. (Una observación de terminología: El sistema es conocido como “complemento a uno” porque la negación de x se forma restando x a una cadena larga de unos. La aritmética del complemento a dos, por otra parte, forma la negación de x restando la potencia de dos que utiliza un bit más en la representación (Siguiendo con el ejemplo de 8 bits el número a restar sería 100000000).

Complemento a dosValores con números de 8 bits

Valor del complemento a dos Valor sin signo

00000000 0 0

00000001 1 1

... ... ...

01111110 126 126

01111111 127 127

10000000 −128 128

10000001 −127 129

10000010 −126 130

... ... ...

11111110 −2 254

11111111 −1 255

Los problemas de las múltiples representaciones del 0 y la necesidad del acarreo de salida, se evitan con un sistema llamado Complemento a dos. En el complemento a dos, los números negativos se representan mediante el patrón de bits que es un bit mayor (sin signo) que el complemento a uno del valor positivo. En el complemento a dos, hay un solo cero (00000000). Para negar un número (negativo o positivo) invertimos todos los bits y añadimos un 1 al resultado. La suma de un par de números enteros en complemento a dos es la misma que la suma de un par de números sin signo (excepto para la detección de desbordamiento si se usa). Por ejemplo, la suma en complemento a dos de 127 y –128 da el mismo patrón de bits que la suma sin signo del 127 y 128, tal y como se puede ver en la tabla de abajo. El valor -8, representado en binario con cuatro bits (1000) es un caso especial, ya que su complemento a dos es el mismo, es necesario cinco bits para su representación (01000).

Una forma fácil de implementar el complemento a dos es la siguiente:

Ejemplo 1 Ejemplo 2

1. Empezando desde la derecha encontramos el primer '1' 0101001 0101100

2. Hacemos un NOT a todos los bits que quedan por la izquierda 1010111 1010100

Tabla de comparaciónLa tabla siguiente compara la representación de los enteros entre 8 y -8 (incluidos) usando 4 bits.Representación de enteros de 4 bits

Decimal Entero positivo

Signo y magnitud

Complemento a 1

Complemento a 2

BCD- exceso 8

+8 1000 n/a n/a n/a 1111

+7 0111 0111 0111 0111 1110

+6 0110 0110 0110 0110 1101

+5 0101 0101 0101 0101 1100

+4 0100 0100 0100 0100 1011

+3 0011 0011 0011 0011 0011

+2 0010 0010 0010 0010 1001

+1 0001 0001 0001 0001 1000

(+)0 0000 0000 0000 0000 0111

(−)0 n/a 1000 1111 n/a n/a

−1 n/a 1001 1110 1111 0110

−2 n/a 1010 1101 1110 0101

−3 n/a 1011 1100 1101 0100

−4 n/a 1100 1011 1100 0011

−5 n/a 1101 1010 1011 0010

−6 n/a 1110 1001 1010 0001

−7 n/a 1111 1000 1001 0000

−8 n/a n/a n/a 1000 n/a

EJERCICIOS

COMPLEMENTOS DE LA BASE MENOS A1 DE UN NÚMERO

77 77 13

63 36 1

14 (1)13 14

99

63

36 complemento de 9 de 63

82 82 61

20 79 1

62 (1)61 62

99

20

79 complemento de 9 de 20

512 512 381

130 869 1

382 (1)381 382

999

130

869 complemento de 9 de 130

CALCULO DE COMPLEMENTO A1 DE UN NÚMERO BINARIO

Restar: 1 0 0 0 1 1 1 - 1 0 0 1 0

1 0 0 0 1 1 1

0 0 1 0 0 1 0

0 1 1 0 1 0 1

1 0 0 0 1 1 1

1 1 0 1 1 0 1

(1)0 1 1 0 1 0 0

(1)0 1 1 0 1 0 0

1

0 1 1 0 1 0 1