Opciones

Como funciona

Precio

Ejemplos

¿Por qué opciones?

• Debilidad de los futuros: Hemos visto que los futuros pueden reducir el riesgo de la pérdida pero la empresa no puede tener ganancia cuando el mercado sube

• Opciones dan una posibilidad de tomar apuestos de subida (upside bet) o de bajada (downside bet)

Definición

• Las opciones son contratos que dan al comprador, a cambio de una prima (premium), el derecho (mas no la obligación) de comprar (en el caso de una opción de compra) o de vender (en el caso de una opción de venta), una cantidad del bien subyacente a un precio de ejercicio (exercise or strike price) predeterminado por un periodo o en una fecha determinada

Ejemplo

• Un call opción de un contrato de comprar bonos en precio de 70. Supongamos que el contrato abra en t y tiene vencimiento en T. Podemos pensar 70 como F(t, T).

• Hay dos posiciones posible: larga y corta (long y short)

• la ganancia de una posición larga es S(T)-F(t, T) = S(T) - 70

Ejemplo

• La diferencia crucial entre el futuro y la opción es que el poseedor del contrato de la opción va a ejercer su derecho si S(T)-70>0

• Es decir que el poseedor va a ganar si el precio del bono sube arriba de 70

• Por ejemplo, si el precio del bono es 80, el valor intrínseco de la opción es 10(=80-70)

Valor de opción

• El valor intrínseco (intrinsic o exercise value), medido como el diferencial entre el precio del bien subyacente y el precio de ejercicio de la opción

• Como el precio de ejercicio de la opción se fija desde un inicio, este valor solo puede cambiar durante la vida de la opción por cambios en el precio del bien subyacente

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

0 1

0 2

0 3

0 4

0

Gananciao pérdida

Valor de bien subyacente S(T)

Para el futuro

Para el poseedorde call opción

¿Por qué?

• Hay dos interesados en una opción de call (también se llama opción de compra): el poseedor (holder) y el escritor (writer)

• El poseedor tiene el derecho de ejercer su opción• Entonces, ¿por qué el escritor va a vender? Tiene

una obligación• El escritor va a recibir una prima en t (seguro)

Notación

• Vamos a escribir (S-X)+ para una función que tiene valor de S-X si S>X y 0 si SX

• S puede tener cualquier dimensión en el tiempo

• El contrato puede tener una condición que dice que el poseedor puede ejercer su opción antes de t

• Podemos tener (S(u)-X)+ para u

Una póliza de seguros como una opción

• Ejemplo: Tenemos una póliza de seguros contra incendio. Una compañía de seguros acepta una prima en t en canje de una promesa de pagar por un daño S(u) en tiempo u T en exceso de un deducible X para un incendio que ocurre no más tarde de T

• ¿Cuánto es el valor de la póliza?

Dos advertencias

• La analogía entre seguros y opciones es útil pero no es perfecto

• Seguros de incendio es personal: el poseedor de la póliza no puede pasar a una tercer persona su póliza pero un poseedor de opción sí puede

• En el momento que la compañía paga su daño, la póliza no se cancela pero en caso de opción sí

Ejemplos de las opciones

• CBOE tiene

Dow Jones Industrial Average (DJX)

Dow Jones Industrial Average LEAPS

OEX® - S&P 100® Index Options

OEX® -(Reduced-Value) LEAPS

SPX S&P 500® Index Options

SPX (Reduced-value) LEAPS

Terminologías de opción

• Una call opción (opción de la compra) da derecho al poseedor para comprar un bien (ej. Acciones) en o antes de una fecha fija

• Una put opción (opción de la venta) da derecho al poseedor para vender un bien en o antes de una fecha fija

• ¿Qué es la diferencia entre un poseedor de una call y un escritor de una put?

opciones

calls

puts

Compra: compra de calls:derecho de compra (paga la prima)

Venta: venta de calls:obligación de vender (recibe la prima)

Compra: compra de puts:derecho de vender (paga la prima)

Venta: venta de calls:obligación de compra (recibe la prima)

utilidad

pérdida

prima

Precio deejercicio

Precio deequilibrio

Precio debien

En el dineroFuera del dinero A favor del dinero

Poseedor de call

utilidad

pérdida

prima

Precio deejercicio

Precio deequilibrio

Precio debien

En el dineroFuera del dinero A favor del dinero

Escritor de call

utilidad

pérdida

prima

Precio deejercicio

Precio deequilibrio

Precio debien

En el dineroA favor del dinero

Fuera del dinero

Poseedor de put

utilidad

pérdida

prima

Precio deejercicio

Precio deequilibrio

Precio debien

En el dineroA favor del dinero

Fuera del dinero

Escritor de put

precio compra callvende call resultado0 -1 2 11 -1 2 12 -1 2 13 -1 2 14 -1 2 15 -1 2 16 0 2 27 1 2 38 2 2 49 3 2 5

10 4 1 511 5 0 512 6 -1 513 7 -2 514 8 -3 515 9 -4 516 10 -5 517 11 -6 518 12 -7 519 13 -8 5

-10

-5

0

5

10

15

0 10 20

compra call

vende call

resultado

0

1

2

3

4

5

6

0 10 20

resultado

Bull SpreadAlcista Spread

Y bear spread?

precio compra 1 callcompra 1 putresultado0 -2 5 31 -2 4 22 -2 3 13 -2 2 04 -1 1 05 0 0 06 1 -1 07 2 -2 08 3 -2 19 4 -2 2

10 5 -2 3

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

0 5 10 15

compra 1call

compra 1put

resultado

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0 5 10 15

resultado

StrangleCuna

precio compra 1 callventa 1 callcompra 1 callventa 2 callresultado0 -2 1 -1 2 -11 -2 1 -1 2 -12 -2 1 -1 2 -13 -2 1 -1 2 -14 -1 1 -1 2 05 0 1 -1 2 16 1 1 -1 2 27 2 1 -1 2 38 3 0 -1 0 29 4 -1 -1 -2 1

10 5 -2 -1 -4 011 6 -3 -1 -6 -112 7 -4 0 -8 -113 8 -5 1 -10 -114 9 -6 2 -12 -115 10 -7 3 -14 -116 11 -8 4 -16 -117 12 -9 5 -18 -118 13 -10 6 -20 -119 14 -11 7 -22 -1

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

0 10 20

compra 1 call

compra 1 call

venta 2 call

resultado

-2

-1

0

1

2

3

4

0 5 10 15 20

resultado

ButterflyMariposa

precio compra 1 callventa 1 callventa 1 callcompra 1 callresultado0 -2 3 3 -2 21 -2 3 3 -2 22 -2 3 3 -2 23 -2 3 3 -2 24 -1 3 3 -2 35 0 3 3 -2 46 1 2 3 -2 47 2 1 3 -2 48 3 0 3 -2 49 4 -1 2 -2 3

10 5 -2 1 -2 211 6 -3 0 -2 112 7 -4 -1 -2 013 8 -5 -2 -2 -114 9 -6 -3 -1 -115 10 -7 -4 0 -116 11 -8 -5 1 -117 12 -9 -6 2 -118 13 -10 -7 3 -119 14 -11 -8 4 -1

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

0 10 20

compra 1 call

venta 1 call

venta 1 call

compra 1 call

resultado

-2

-1

0

1

2

3

4

5

0 5 10 15 20

resultado

EagleCondor

subyacente

valor

Fijar un precio de la opción por arbitraje

• El 1 de julio de 1999 puedes comprar una call de Telmex por $65. El precio de acciones de Telmex en esta fecha es también $65 (en el dinero)

• Supongamos que el precio de acción puede subir 25% ó bajar 20%

• Supongamos que la tasa de interés es 2.5% (6 meses)

Valuación de la opción

• Con esta información podemos valuar la opción con el método de arbitraje

• Vamos a crear dos portafolios con el mismo “pay-off” en enero 1, 2000.

• Primero voy a dar sus valores y después voy a explicar ¿por qué?

Portafolio construcción

Dos posibilidades: (1) compra una call, (2) compra la acción y presta dinero

precio (acción) $52 $81.25

compra 1 call 0 16.25

compra 5/9 acción y presta $28.89/(1+0.025)

compra 5/9 acción 28.89 45.14

dinero+interés -28.89 -28.89

total payoff 0 16.25

Resultado

• Valor de una call = valor de 5/9 acción menos préstamo

• Entonces, valor de call (en junio) =65x5/9-28.18 = 7.93

• El número de acciones necesario para replegar una call se llama “hedge ratio” o delta de los opciones

• Aquí, delta = spread de precio de opciones/spread de precio de acción

Otro método

• Sabemos que el rendimiento sin riesgo es 2.5%

• Supongamos que el inversionista es neutral al riesgo

• Supongamos que la probabilidad de la subida de 25% del precio de acción es p, entonces, la probabilidad de la caída del precio de acción de 20% es (1-p)

Otro método

• Entonces, 2.5%=px25%+(1-p)x(-20%) dice que p=.5

• Es decir, hay dos posibilidades con igual probabilidad de cambio en el precio de la acción

• El valor de la opción es calculado por la misma acción

Otro método

• Entonces, valor esperado (¿en qué fecha?) de call es .5x16.25+.5x0=8.125

• Es decir, el valor presente de la opción es 8.125/(1+0.025)=$7.93

• No hemos explicado porque podemos usar valor sin riesgo

• Se llama un método de neutral al riesgo

Valuación de put

Dos posibilidades: (1) compra una put, (2) vende la acción y presta dinero al banco

precio (acción) $52 $81.25

compra 1 put 13 0

vende 4/9 acción y paga banco 36.11/1.025

vende 4/9 acción -23.11 36.11

dinero+interés 36.11 36.11

total payoff 13 0

Valuación de put

• Valor de put=-valor de 4/9 acción+préstamo

• Entonces, valor de put=-65x4/9+35.23=6.34

• También, opción delta es (0-13)/(81.25-52)

• ¿Podemos aplicar el método de riesgo neutral aquí?

• La pregunta de “timing”

Put Call Parity

inversión S1>E S1<E

Compraacción

-S0 S1 S1

Compraput

-P 0 E-S1

prestar E/(1+r) -E -E

total -S0 -P +E/(1+r)

S1-E 0

Compracall

-C S1-E 0

Ejemplo de put call parity

• - S0 - P + E/(1+r) = - C

• En nuestro ejemplo, S0 = 65, C = 7.93, E = 65, y P = 6.34

• ¿Son consistente?

Caso general

• La condición de no arbitraje tiene una consecuencia muy fuerte

• Podemos demostrar que

• donde G es la prima y hay dos condiciones g(0, t)=0 y G(P(T), T)=max{P(T)-X, 0}

02

12

22

rG

t

G

P

GrP

dP

GP

Formula de Black y Scholes

• Solución es la formula de Black y Scholes

)()()()),(( 2)(

1 dXedtPttPG tTr

tT

tTrXtPd

))(5.0()/)(log( 2

1

tT

tTrXtPd

))(5.0()/)(log( 2

2

Los Griegos

P

Gdelta

_

2

2

_P

Ggamma

t

Gtheta

_

Los Griegos

r

Grho

_

G

Vvega _

Caso de Black y Scholes

)( 1d

tTP

d

)( 1

)()(2

2)(

1 dXredtT

P tTr

Caso de Black y Scholes

)()( 2)( dXetT tTr

)( 1dtTPV

¿Por qué hedge?

• Punto de vista de inversionista extranjero

• CETES tienen altas tasas de interés (en relación de Treasury Bills)

• Pero, la inversión en CETES tiene riesgo en el tipo de cambio

• Hedge con futuros casi puede eliminar este riesgo

¿Por qué hedge?

• Pero el mercado necesita dos lados: la demanda y la oferta

• Entonces, ¿quiénes son el otro lado?

• Negocios mexicanos: tienen que comprar machinas de los EEUU en el futuro

• Con contratos de futuro, pueden fijar el precio antes de la compra

Usos de los futuros

• Operaciones de especulación

• Operaciones de spread

• Operaciones de cobertura para posiciones expuestas a riesgo

• Posiciones para expectativas en los movimientos de las tasas de interés

• Spreads entre futuros y opciones