Ondas en Tres Dimensiones Dr. Juan Pablo...

TEMA I.7Ondas en Tres Dimensiones

Dr. Juan Pablo Torres-Papaqui

Departamento de AstronomıaUniversidad de Guanajuato

DA-UG (Mexico)

[email protected]

Division de Ciencias Naturales y Exactas,Campus Guanajuato, Sede Noria Alta

TEMA I.7: Ondas en Tres Dimensiones J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 1 / 20

Ondas en Tres Dimensiones

En la Figura I.7.1 se ven ondas circulares bidimensionales sobre lasuperficie del agua.

Estas ondas se generan mediante una fuente puntual que se mueve haciaarriba y hacia abajo con MAS. En este caso la longitud de onda es ladistancia entre crestas de ondas sucesivas, que son concentricas,denominadas frentes de onda.

En el caso de un foco o fuente puntual de sonido, las ondas se miden entres dimensiones. Se mueven alejandose del foco en todas direcciones y losfrentes de onda son ahora superficies esfericas concentricas. Para ondascirculares o esfericas, los rayos son lıneas radiales (ver Figura I.7.2).

A una distancia grande de un foco puntual, una parte pequena del frentede onda puede sustituirse aproximadamente por un plano y los rayos sonaproximadamente lıneas paralelas; este tipo de onda se llama onda plana.


Ondas en fuentes puntuales

Figura I.7.1: Frentes de onda circulares que divergen a partir de un foco puntualen una cubeta de ondas.



Figura I.7.2: El movimiento de los frentes de onda pueden representarse medianterayos que se dibujan perpendiculares a los frentes de onda.



Un foco puntual emite ondas uniformemente en todas direcciones, laenergıa a una distancia r del mismo estara distribuida uniformemente sobreuna corteza esferica de radio r y superficie 4πr2. Si la potencia emitida porel foco es P, la potencia por unidad de area a una distancia r del focosera P/(4πr2). La potencia media por unidad de area que esta incidiendoperpendicularmente a la direccion de propagacion se denomina Intensidad:

I =Pm

ADefinicion de Intensidad

Las unidades de la intensidad son vatios o watts por metro cuadrado. Auna distancia r de un foco puntual, la intensidad vale:

I =Pm

4πr2Intensidad debida a un foco puntual



La intensidad varıa inversamente con el cuadrado de la distancia.

Existe una relacion entre la intensidad de una onda y la energıa por unidadde volumen del medio por el que se propaga la onda. Consideremos laonda esferica que acaba de alcanzar el radio r1 (ver Figura I.7.3).

El volumen interior al radio r1 contiene energıa debido a que las partıculasen esta region estan oscilando con MAS. La region exterior a r1 nocontiene energıa porque las ondas todavıa no han alcanzado dicha region.



Figura I.7.3: Volumen de la corteza = ∆V = A ∆r = A ν ∆t.



Despues de un intervalo de tiempo ∆t, la onda, en su movimiento,sobrepasa r1, en una distancia corta ∆r = ν∆t. La energıa total en elmedio se ve incrementada en la energıa contenida en la corteza esferica desuperficie A, de espesor ν∆t y volumen ∆V = A∆r = Aν∆t. La energıamedia de la corteza esferica es

(∆E )m = ηm∆V = ηmAν∆t

donde ηm es la densidad de energıa media.

El incremento de energıa por unidad de tiempo es la potencia que entra enla corteza. Ası pues, la potencia media incidente es

Pm =(∆E )m

∆t= ηmAν



Y la intensidad de las ondas es

I =Pm

A= ηmν

Por lo tanto, la intensidad es igual al producto de la velocidad de la ondaν por la densidad de energıa media ηm. Sustituyendo ηm = 1

2ρω2s2

0 en laexpresion anterior resulta

I = ηmν =1

2ρω2s2

0ν =1

2

P20

ρν

en donde se ha tenido en cuenta que s0 = P0/(ρων), o P0 = ρωνs0

maxima amplitud de presion - maxima amplitud de desplazamiento s0.

Este resultado es una propiedad general de las ondas armonicas.


Ondas Sonoras Armonicas

Las ondas sonoras armonicas pueden generarse mediante un diapason o unaltavoz que vibre con movimiento armonico simple. La fuente vibrantehace que las moleculas de aire proximas oscilen con movimiento armonicosimple alrededor de sus posiciones de equilibrio.

Estas moleculas chocan con otras moleculas primas haciendolas oscilar y,por lo tanto, propagan la onda sonora. La ecuacion (y(x , t) =A sen(κx − ωt)) describe una onda sonora armonica si la funcion de onday(x , t) se reemplaza por s(x , t), el desplazamiento de las moleculasrespecto a su posicion de equilibrio.

s(x , t) = s0sen(κx − ωt)



Estos desplazamientos se verifican a lo largo de la direccion del movimientode la onda y dan lugar a variaciones de densidad y presion del aire.

Como la presion del gas es proporcional a su densidad, el cambio depresion es maximo cuando la variacion de densidad es maxima. Cuando eldesplazamiento es cero, los cambio de presion y densidad son maximos omınimos. Cuando el desplazamiento es maximo o mınimo, los cambios depresion y densidad son nulos. Una onda de desplazamiento dada por laecuacion anterior implica un onda de presion dada por

p = p0 sen(κx − ωt − π

2

)donde p representa el cambio de presion respecto a la presion de equilibrioy p0 es el valor maximo de este cambio.



Se puede demostrar que la maxima amplitud de presion p0

esta relacionada con la maxima amplitud de desplazamiento s0 por

p0 = ρωνs0

en donde ν es la velocidad de propagacion y ρ la densidad de equilibrio delgas. Ası, cuando una onda sonora se propaga con el tiempo, eldesplazamiento de las moleculas del aire, la presion y la densidad varıantodas ellas senosoidalmente con la frecuencia de la fuente vibrante.



Ejemplo: Un altavoz

El diafragma de un altavoz de 30 cm de diametro vibra con una frecuenciade 1 kHz y una amplitud de 0.020 mm. Suponiendo que las moleculas deaire proximas al diafragma tienen esta misma amplitud de vibracion,determinar (a) la amplitud de la presion justo enfrente del diafragma, (b)la intensidad de sonora en esta posicion, (c) la potencia acustica irradiada,y (d) si el sonido se irradia uniformemente en la semiesfera anterior,determinar la intensidad a 5 m del altavoz.

(a) P0 = ρωνs0

=

(1.29

kg

m3

)(2π[103Hz ])

(344

m

s

)(2 × 10−5m) = 55.1

N

m2


Velocidad de una Onda Longitudinal

(b) I = 12ρω

2s20ν

=1

2

(1.29

kg

m3

)(2π[103Hz ])2(2 × 10−5m)2

(344

m

s

)= 3.46

W

m2

(c) P = IA

=

(3.45

W

m2

)π (0.15m)2 = 0.245W

(d) I = Pm2πr2

=Pm

2π(5m)2= 1.56 × 10−3 W

m2


Nivel de Intensidad

Nuestra percepcion de la sonoridad no es proporcional a la intensidad sinoque varıa logarıtmicamente. Usaremos, por lo tanto, una escala logarıtmicapara describir el nivel de intensidad de una onda sonora β, el cual se mideen decibelios (dB) y se define por

β = 10 logI

I0

Definicion - Nivel de intensidad dB, en donde I es la intensidad fısica delsonido e I0 es un nivel de referencia, que tomamos como umbral deaudicion:

I0 = 10−12 W /m2

En esta escala, el umbral de audicion es β = 10 log( II0

) = 0 dB y el

umbral de dolor (I = 1 W /m2) es β = 10 log( 110−12 ) = 10 log 1012 = 120

dB. Ası pues, el intervalo de intensidades fısicas de 10−12 W /m2 a 1W /m2 corresponden a un intervalo de niveles de sensacion sonora de 0 dBa 120 dB.


Nivel de Intensidad

Ejemplo: Pruebas de Sonido

Un material absorbente del sonido atenua el nivel de sonoridad en 30 dB¿En que factor disminuye la intensidad?

β = 10 logI

I0

30 dB = 10 log(I

I0)

I = 103I0


Nivel de Intensidad

Ejemplo: Ladrido de un perro

El ladrido de un perro tiene una potencia de 1 mW . (a) ¿Cual es le nivelde intensidad a una distancia de 5 m? (b) ¿Cual sera el nivel de intensidadde dos perros ladrando al mismo tiempo?

Solucion: (a) Sustituyendo en

I =10−3W

4π(5m)2= 3.18 × 10−6W /m2

obtenemos

β = 10 logI

Io= 10 log

3.18 × 10−6W /m2

10−12W /m2= 65 dB


Nivel de Intensidad

(b) Notese que dos perros generaran 2I , sustituyendo

β = 10 logI

Io= 10 log

2 I

Io

β = 10 log(2) + 10 logI

Io

β = 10 log(2) + 10 log3.18 × 10−6W /m2

10−12W /m2

β = 10 log(2) + 65 dB = 3 dB + 65 dB = 68 dB


Nivel de Intensidad

Ejercicio: Y sı ahora tenemos cuatro perros ladrando al mismo tiempo.¿Que parara?

Ejercicio: Una fuente puntual radia el sonido uniformemente en todasdirecciones, y a una distancia de 10 m se tiene una intensidad de I = 10−4

W /m2. ¿A que distancia de la fuente la intensidad es de 10−6 W /m2?¿Que potencia esta radiando dicha fuente?


Nivel de Intensidad

Fuente I/I0 dB Descripcion100 0 Umbral de audicion

Respiracion normal 101 10 Escasamente audibleRumor de hojas 102 20Conversacion en voz muy 103 30 Apenas ruidosobaja (a 5 m)Biblioteca 104 40Oficina tranquila 105 50 Poco ruidosoConversacion normal (a 1 m) 106 60Trafico denso 107 70Oficina ruidosa con maquinas; 108 80Fabrica de tipo medioCamion pesado (a 15 m); 109 90 Exposicion constanteCataratas del Niagra dana al oıdoTren de metro antiguo 1010 100Ruido de construccion (a 3 m) 1011 110 Umbral del dolorConcierto de rock con 1012 120amplificadores (a 2 m)Remachadora neumatica; 1013 130AmetralladoraDespegue de un reactor (cercano) 1015 150Motor de cohete grande (cercano) 1018 180


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