Msc. Diego Freire Quiroga

Son aquellas ondas que no necesitan un medio materialpara propagarse. Incluyen, entre otras, la luz visible ylas ondas de radio, televisin y telefona.

Todas se propagan en el vaco a una velocidad Todas se propagan en el vaco a una velocidadconstante, muy alta (300 0000 km/s) pero no infinita.Gracias a ello podemos observar la luz emitida por unaestrella lejana hace tanto tiempo que quizs esa estrellahaya desaparecido ya o enterarnos de un suceso queocurre a miles de kilmetros prcticamente en elinstante de producirse

Las ondas electromagnticas se propagan mediante unaoscilacin de campos elctricos y magnticos. Loscampos electromagnticos al "excitar" los electrones denuestra retina, nos comunican con el exterior ypermiten que nuestro cerebro "construya" el escenariodel mundo en que estamos.del mundo en que estamos.

Las O.E.M. son tambin soporte de lastelecomunicaciones y el funcionamiento complejo delmundo actual.

Las cargas elctricas al ser aceleradas originan ondaselectromagnticas.

El campo E originado por la carga acelerada depende de ladistancia a la carga, la aceleracin de la carga y del seno deldistancia a la carga, la aceleracin de la carga y del seno delngulo que forma la direccin de aceleracin de la carga yal direccin al punto en que medimos el campo.

Un campo elctrico variable engendra un campo magnticovariable y este a su vez uno elctrico, de esta forma lasOEM se propagan en el vacio sin soporte material.

Los campos producidos por las cargas en movimientopueden abandonar las fuentes y viajar a travs del espacio(en el vacio) crendose y recrendose mutuamente. Loexplica la tercera y cuarta ley de Maxwell.

Las radiaciones electromagnticas se propagan en el vacio ala velocidad de la luz "c". Y justo el valor de la velocidad dela luz se deduce de las ecuaciones de Maxwell, se halla apartir de dos constantes del medio en que se propaga paralas ondas elctricas y magntica .

Los campos elctricos y magnticos son perpendicularesentre si ( y perpendiculares a la direccin de propagacin) yestn en fase: alcanzan sus valores mximos y mnimos almismo tiempo y su relacin en todo momento est dada.

El campo elctrico procedente de un dipolo est contenidoen el plano formado por el eje del dipolo y la direccin depropagacin. El enunciado anterior tambin se cumple sisustituimos el eje del dipolo por la direccin de movimientode una carga acelerada.

Las ondas electromagnticas son todas semejantes(independientemente de como se formen) y slo sediferencian en su longitud de onda y frecuencia. La luz esuna onda electromagntica

Las ondas electromagnticas transmiten energa incluso enel vacio. Lo que vibra a su paso son los campos elctricos ymagnticos que crean a propagarse. La vibracin puede sercaptada y esa energa absorberse.

Gradiente

Si se aplica este operador a un campo escalar, se obtiene un vector con mdulo y direccin, representado por una flecha en el espacio, segn la siguiente expresin:

El vector representa cunto vara el campo escalar respecto a cada uno de sus ejes. Si el campo escalar es un potencial, entonces su gradiente ser una fuerza

Halle el gradiente de:

f(x,y) = x2 -x3y2 + y4

f(x,y,z)= x2z2Sen4y f(x,y,z)= x2z2Sen4y

Evaluado en el punto (-2,/3,1)

La intensidad de campo electrosttico Epuede derivarse como el gradiente negativode un potencial elctrico escalar V, es decirde un potencial elctrico escalar V, es decir

E = - V

Halle E de:

V= 2xy2 3xz2

Evaluado en el Punto (4, - 3)

Divergencia: El concepto se entiende a partir del teorema de la

divergencia o teorema de Gauss. La divergencia del vector representa el flujo neto que emerge por unidad devolumen de una superficie cerrada.volumen de una superficie cerrada.

La Divergencia se define como las derivadasparciales de un campo Vectorial,

En el estudio de campos vectoriales esconveniente representar grficamente lasconveniente representar grficamente lasvariaciones de los campos mediante lneas decampo dirigidas, las llamadas Lneas de flujo,las cuales son lneas dirigidas que indican encada punto la direccin del campo vectorial.

La magnitud del campo en un punto se representa con la densidad o la longitud de las lneas.

Representacin de Lneas de Flujo.

En la figura (a), se muestra que el campo enla regin A es mas fuerte que en la regin B,ya que hay mayor densidad de lneasdirigidas al igual longitud.

En la figura (b), la reduccin en la longitud de En la figura (b), la reduccin en la longitud delas flechas al alejarse del punto q indica uncampo radial que es mas fuerte en la regiocercana a q

En la figura (c), se muestra un campouniforme

El flujo de un campo vectorial es anlogo alflujo de un fluido incompresible, como elagua.

En el caso de un volumen con una superficiecerrada, habr un exceso de flujo que salecerrada, habr un exceso de flujo que salepor la superficie si el volumen contiene unafuente o un sumidero en el caso de entrar porla superficie.

Es decir,

Una divergencia neta positiva indica la presencia de una fuente de fluido en el interior del volumen.

Una divergencia neta negativa indica la presencia de un sumidero.

El flujo de salida neto del fluido por unidad de volumen es entonces una medida de la fuerza de la fuente encerrada.

Se define a la divergencia de un campo vectorial A en un punto como el flujo neto de salida de A por unidad de volumen conforme el volumen alrededor del punto tiende a cero.

En general la Divergencia de A, es unacantidad escalar cuya magnitud puede variarde un punto a otro al variar.

Esta definicin es valida para cualquier Esta definicin es valida para cualquiersistema de Coordenadas, por supuesto, laexpresin de div A, como la de A, dependerde las eleccin del sistema de coordenadas.

Considere un volumen diferencial con lados x, y, Z centrados alrededor de un punto P (Xo, Yo, Zo) en el campo vector A.

El valor de la div A generalmente depende de la posicin del punto donde se calcula.

Con el operador diferencial Nabla podemos escribir la ecuacin como * A.

* A = div A

Calcule la divergencia de A en los puntos indicados si :

A = (2xyz y2)ax + (x2z 2xy)ay + (x

2y)az ,en PA (2,3,-1)A

Respuesta = -10.00.

En los puntos Resp. 8.96

La 1era Ecuacin es la definicin de la Divergencia.

La 2da ecuacin es el La 2da ecuacin es el resultado de aplicar la definicin a un elemento diferencial de volumen en coordenadas cartesianas.

La tercera esta expresada usando el nuevo termino div D.nuevo termino div D.

Dada la ley de Gauss.

Se obtiene por unidad de volumen. Se obtiene por unidad de volumen.

A medida que el volumen tiende a cero,

La expresin debe verse entonces como:

Esta es la primera de las cuatro ecuaciones deMaxwell como se aplican en la electrosttica ylos campos magnticos estables y estableceque el flujo elctrico por unidad de volumenque el flujo elctrico por unidad de volumenque sale de un pequeo volumen unitario esexactamente igual a la densidad de cargavolumtrica que existe en el.

Esta ecuacin se llama forma puntual de la ley de Gauss.

La ley de Gauss relaciona el flujo que sale de cualquier superficie cerrada con la carga cualquier superficie cerrada con la carga encerrada y la primera ecuacin de Maxwell establece exactamente lo mismo, pero lo hace por unidad de volumen y para un volumen cada vez mas pequeo

Cuando se considera que la divergencia se puede expresar como la suma de tres derivadas parciales, la primera ecuacin de Maxwell tambin se conoce como la forma diferencial de la ley de Gauss. diferencial de la ley de Gauss.

La Ley de Gauss se conoce como la forma integral de la primera ecuacin de Maxwell.

Un campo cuya divergencia es nula se denomina solenoidal

Encontrar una expresin para la densidad de carga volumtrica asociada con cada uno de los siguientes campos.

a) D = (4xy/z) ax + (2x2/y) ay (2x

2y/z2)az a) D = (4xy/z) ax + (2x2/y) ay (2x

2y/z2)az

Respuesta: (4y/z3) (x2+z2)

Rotacional El significado fsico del vector A, y este representa una

intensidad de campo elctrico, la circulacin ser una fuerzaelectromotriz alrededor de la trayectoria cerrada.

Se estableci, que el flujo de salida neto de unvector A, a travs de una superficie que limitaun volumen indica la presencia de una fuente.

A esta fuente puede denominarse fuente deflujo y que la divergencia de A (div A) es unaA esta fuente puede denominarse fuente deflujo y que la divergencia de A (div A) es unamedida de la fuerza de la fuente de flujo.

Otro tipo de fuente, llamada fuente de vrtice,ocasiona la circulacin de un campo vectorial asu alrededor.

La circulacin de un campo vectorialalrededor de una trayectoria cerrada, sedefine como la integral de lnea escalar delvector a lo largo de la trayectoria.

El significado fsico del vector A, y esterepresenta una intensidad de campoelctrico, la circulacin ser una fuerzaelectromotriz alrededor de la trayectoriacerrada.cerrada.

Puede existir una circulacin del Vector Aaunque Divergencia de A ser igual a 0.

El rotacional de un campo vectorial A,es un vector cuya magnitud es lacirculacin mxima de A por unidadde rea conforme el rea tiende a ceroy cuya direccin es la direccin de lade rea conforme el rea tiende a ceroy cuya direccin es la direccin de lanormal al rea cuando sta estaorientada de manera que la circulacinsea mxima

Puesto que la normal a un rea puede apuntar en dos direcciones opuestas, seguimos la regla de la mano derecha, cuando los dedos de la mano derecha siguen la direccin de dl, el pulgar apunta a la la direccin de dl, el pulgar apunta a la direccin an .

Un campo Vectorial cuyo rotacional es nulo se denomina campo irrotacional o Conservativo.

Se llega a la forma puntual de la ley circuital de Ampere

Esta es la segunda de las cuatro ecuaciones de Maxwell cuando se aplican a condiciones que no varan con el tiempo.

Dado el Campo Vectorial F = x2 2xy + yz2

Hallar:

Rotacional x F

Respuesta: (Z2 )i (2y)K

Dado el Campo Vectorial

F(x,y,z) = x2y, x+z, xyz.

Hallar su rotacional x F Hallar su rotacional x F

Respuesta: (xz-1, -yz, 1-x2)

Calcular el valor del vector densidad de corriente :

En PA (2,3,4) si H= x2zay y

2xaz

Respuesta: -16ax + 9ay + 16 az A/m2

Las ecuaciones de Maxwell son un conjunto de cuatroecuaciones (originalmente 20 ecuaciones) quedescriben por completo los fenmenoselectromagnticos. La gran contribucin de JamesClerk Maxwell fue reunir en estas ecuaciones largosClerk Maxwell fue reunir en estas ecuaciones largosaos de resultados experimentales, debidos a Coulomb,Gauss, Ampere, Faraday y otros, introduciendo losconceptos de campo y corriente de desplazamiento, yunificando los campos elctricos y magnticos en unsolo concepto: el campo electromagntico.

Una onda plana uniforme es una solucin particular de lasecuaciones de Maxwell teniendo E la misma direccin, magnitudy fase en planos infinitos perpendiculares a la direccin depropagacin, lo mismo para el campo H.

De manera estricta, una onda plana uniforme no existe en la De manera estricta, una onda plana uniforme no existe en lapractica, ya que para crearla se requerira una fuente de extensininfinita.

Sin embargo, si estamos lo suficientemente alejados de la fuente,el frente de onda, (la superficie de fase constante), sera casiesfrica y una porcin muy pequea de una esfera gigante es casiun plano.

Cuando se consideran ondas electromagnticas en elespacio libre se observa que el medio carece de fuente(V = J=0).

En estas condiciones, las ecuaciones de Maxwell slo sepueden escribir en trminos de E y H.

Se presupone la existencia de una onda plana uniforme enla que ambos campos, E y H, se encuentran en el planotransversal, es decir, el plano cuya perpendicular es ladireccin de propagacin y ambos campos tienen unamagnitud constante en el plano transversal.

Dicha onda a menudo se denomina onda electromagnticatransversal (TEM).

Supngase que E= Exax o que el campo elctrico estpolarizad en la direccin de Z, la variacin espacial de Esolamente puede ser con Z. Al utilizar la ecuacin delMaxwell en el rotacional de E, se reduce a una ecuacincon un solo termino.

La direccin del rotacional de E en la ecuacin anteriordetermina la direccin de H, la cual se observa a lo largo dela direccin y.

Por lo tanto, en un a onda plana uniforme, las direccionesde E, H y de la propagacin son mutuamentede E, H y de la propagacin son mutuamenteperpendiculares.

Utilizando el campo magntico dirigido hacia y, y el hechode que ste varia solamente con z, se simplifica la ecuacindel rotacional de H

Las ecuaciones anteriores se puede escribir como

A partir de la ecuaciones de la onda y derivando conrespecto al tiempo podemos determinar la velocidad depropagacin, la misma que se conoce como la ecuacin dela onda del campo elctrico TEM polarizado en x en elespacio libre.

De ahora en adelante, puesto que las ondas sonsinusoidales, su velocidad se expresa como la velocidad defase Vp. Las ondas se puede escribir como:

Adems, el nmero de onda en el espacio libre se definecomo,

Los trminos t y k0z tienen unidades angulares ygeneralmente se expresan en radianes.

Se sabe que es la frecuencia radian, que mide elcorrimiento de fase por unidad de tiempo; tiene unidades derad/s.rad/s.

De forma similar, se puede expresar que k0 se interpretaracomo una frecuencia espacial, que en este caso mide elcorrimiento en fase por unidad de distancia a lo largo de ladireccin z en rad/m. Se puede ver que k0 es la constante defase de la propagacin sin perdidas de ondas planasuniformes en el espacio libre.

La longitud de onda en el espacio libre es la distancia en la que la fase espacial experimenta un corrimiento de 2radianes, suponiendo un tiempo constante.

Utilizando el campo que se propaga hacia adelante en la ecuacin.

Se puede escribir

Las ecuaciones indicadas pueden utilizarse para obtener la Las ecuaciones indicadas pueden utilizarse para obtener la forma vectorial sinusoidal en estado estable de la ecuacin de onda en el espacio libre.

Donde la ultima igualdad es identidad que define el vector laplaciano de Es:

Se puede ver que utilizando esta ecuacin y Se puede ver que utilizando esta ecuacin y sustituyndola, se obtiene

Donde

Impedancia Intrnseca de un medio

En el aire (espacio libre) tenemos: En el aire (espacio libre) tenemos:

El tratamiento analtico de la onda plana uniforme seamplia a la propagacin en un material dielctrico depermitividad y permeabilidad .

Se supone que el medio es homogneo ( los parmetros y Se supone que el medio es homogneo ( los parmetros y son constantes respecto a la posicin) e isotrpicos ( en elque y no cambian con la orientacin del campo. Laecuacin de Helmholtz es

Donde el numero de onda es una funcin de las propiedades del material, como lo describe y .

Para Exs, se tiene

(1)

Una caracterstica importante de la propagacin de ondas en dielctricos es que k puede tener un valor complejo y, como tal, se conoce con el nombre de constante de propagacin compleja, de hecho una solucin general de la ecuacin anterior, permite la posibilidad de un complejo k, y es muy comn escribirlo en trminos de sus partes real e imaginaria de la manera siguiente:

Una solucin a (1) ser:

Multiplicando esta ecuacin por y tomando la parte Multiplicando esta ecuacin por y tomando la parte real se obtiene una forma del campo que puede visualizar de una manera mas fcil:

Esto se conoce como una onda plana uniforme que sepropaga hacia adelante en la direccin z con fase constantet, pero que (para los valores positivos de ) pierde amplitudal incrementarse en Z de acuerdo con el factor .

Por lo tanto el efecto de una k con valor complejo es la Por lo tanto el efecto de una k con valor complejo es laobtencin de una onda de propagacin que cambia suamplitud con la distancia.

Si es positivo, se llama coeficiente de atenuacin, Si es negativo, se llama coeficiente de ganancia. Este ltimo efecto podra presentarse en amplificadores

lser.

El coeficiente de atenuacin se mide en nepers por metro(Np/m), de tal forma que el exponente de e se mide enunidades adimensionales llamadas nepers.

Las formas en que los procesos fsicos en un material Las formas en que los procesos fsicos en un materialpueden afectar el campo elctrico de la onda se describenpor medio de la permitividad compleja de la forma

Dos importantes mecanismos que originan una permitividadconstante, y por lo tanto generan perdidas en la onda) son lelectrn ligado u oscilaciones inicas y el relajamientodipolar.

Un mecanismo adicional es la conduccin de electroneslibres o huecos.libres o huecos.

Tambin pueden presentar se perdidas que surgen comorespuesta del medio al campo magntico y estas se modelana travs de una permeabilidad compleja,

Como ejemplos de dichos medios estn los materialesferrimagnticos o ferritas.

La respuesta magntica es, en general, muy dbilcomparada con la respuesta del dielctrico en la mayora delos materiales destinados para la propagacin de ondas.

Sustituyendo la ecuacin de la permitividad compleja en K,la ecuacin de K resuelta queda como:la ecuacin de K resuelta queda como:

Notese la presencia de un segundo factor radical, que sehace unitario y real a medida que desaparece.

Para un valor de diferente de cero, k es compleja por loque se presentan perdidas que pueden cuantificarse pormedio del coeficiente de atenuacin .medio del coeficiente de atenuacin .

La constante de fase (y en consecuencia, la longitud deonda y la velocidad de fase) tambin ser afectada por .

y se encuentra calculando las partes real e imaginaria dejk, de la ecuacin anterior, por lo cual se obtiene:

Se puede observar que un valor de (perdida) se obtiene de la parte imaginaria de la permitividad que est presente.

La presencia de la relacin / , se conoce con el nombre de tangente de prdidas.

Ya sea que se presente perdidas o no, se puede ver a partirde una forma de campo que la velocidad de fase de la ondaest dada por:

La longitud de onda es la distancia que se requiere paraefectuar un cambio de fase de 2 radianes.

Lo cual conduce a la definicin fundamental de longitud deonda:

Puesto que se tiene una onda plana uniforme, el campomagntico se puede encontrar por medio de

Donde la impedancia intrnseca es ahora una cantidadcompleja.

Por lo consiguiente los campos elctricos y magnticos yano estn en fase.

Un caso especial es el de un medio libre de perdidas o undielctrico perfecto, en e que = 0, por lo que = , por locual esto conduce que = 0 y se puede expresar comocual esto conduce que = 0 y se puede expresar como

Como = 0, el campo real asume la forma:

Esto se puede expresar como una onda que viaja en ladireccion +Z a una velocidad de fase Vp, donde

La longitud de onda es: La longitud de onda es:

Donde 0 es la longitud de onda en el espacio libre. Nteseque rr >1, por lo tanto, la longitud de onda es mas corta yla velocidad es menor en todos los medios reales que en elespacio libre

Asociado con Ex, se encuentra la intensidad de campomagntico.

Donde la impedancia intrnseca es, Donde la impedancia intrnseca es,

Una vez mas, los dos campos son perpendiculares entre s,perpendiculares a la direccin de propagacin y estn enfase entre s en cualquier punto.

Muchas GraciasMuchas Gracias

Una emisora de radio situada a 90 km de una casa generauna seal de radio con una frecuencia de 0,7 MHz Cuantaslongitudes de onda hay entre la estacin y la casa

El vector campo elctrico en una onda electromagnticaplana viene dado por:

a) Comprobar que cumple la ecuacin de la onda:a) Comprobar que cumple la ecuacin de la onda:

b) Utilizando los valores dePara calcular C y comprobar que es aproximadamente 3x108

m/s

Una OEM plana que tiene un campo elctrico de amplitudde 3 V/M y una frecuencia de 1 MHz. Determinar laecuacin de onda que representa al campo elctrico si laecuacin de onda que representa al campo elctrico si laonda avanza en el eje y el campo esta polarizado en el Z.

Una antena emite una onda electromagntica de frecuencia de 50 Khz.

A) calcule su longitud de onda.

B) determine la frecuencia de una onda sonora de la misma longitud de onda (c= sonora de la misma longitud de onda (c= 3x108 m/s; vsonido= 340 m/s)

Una onda plana uniforme de 100 Mhz se propaga sinperdidas para el cual Er= 5 y ur=1.

Encuentre:a) Vpa) Vpb) c) d) Ese) Hs

Determine , , Vp, , a una onda de 1 Mhz en agua fresca,a esta frecuencia las perdidas en el agua son despreciables,lo que significa que se puede suponer que = 0. En elagua r =1 y a 1 MHz = 81.

Respuestas: = 0.19 rad/m : 33 m Vp= 3.3 x 107 m/s : 42