Ondas capilares: Qué son y situación...

Ondas capilares: Qué son y situaciónactual.

Jose Hernández Muñoz

31 de mayo de 2016

Jose Hernández Muñoz Ondas capilares: Qué son y situación actual.

Contexto

Master Física de la Materica Condensada y SistemasBiológicos.(UAM)

Pedro Tarazona (UAM).

Enrique Chacón (ICMM-CSIC).

Contexto

Ondas Capilares

Fluctuaciones de la interfase líquido-vapor debidas a laTemperatura.

La razón de llamar ondas a estas fluctuaciones es debido a quetrabajamos en el espacio de Fourier.

Ondas CapilaresFluctuaciones de la interfase líquido-vapor debidas a laTemperatura.

Función de Correlación y de Estructura

Llamaré función de correlación a:

G (z1, z2, ~q) =< ρq(z1)ρ−q(z2) > (1)

La función estructura se define como:

Svol(z1, ~q) =

∫dz2G (z1, z2, ~q) (2)

G (z1, z2, ~q) =< ρq(z1)ρ−q(z2) > (1)

Svol(z1, ~q) =

∫dz2G (z1, z2, ~q) (2)

G (z1, z2, ~q) =< ρq(z1)ρ−q(z2) > (1)

Svol(z1, ~q) =

∫dz2G (z1, z2, ~q) (2)

¿Como estudiar las ondas capilares?

Vías principales:I CWT, Madlestam.I Actual DFT, Van der Waals.

¿Como estudiar las ondas capilares?

Vías principales:I CWT, Madlestam.I Actual DFT, Van der Waals.

Capillary Wave Theory (CWT)

La interfase líquido vapor como una superficie matemáticafluctuante.

Cuyo Hamiltoniano es:

HCW [ξ] = σ0A0 +A0

q2σ(q)|ξq|2. (3)

Por el teorema de equipartición tenemos que:

< |ξq|2 >=kBT

σ(q)q2A0(4)

La interfase líquido vapor como una superficie matemáticafluctuante.Cuyo Hamiltoniano es:

HCW [ξ] = σ0A0 +A0

q2σ(q)|ξq|2. (3)

< |ξq|2 >=kBT

σ(q)q2A0(4)

La interfase líquido vapor como una superficie matemáticafluctuante.Cuyo Hamiltoniano es:

HCW [ξ] = σ0A0 +A0

q2σ(q)|ξq|2. (3)

< |ξq|2 >=kBT

σ(q)q2A0(4)

Divergencia de CWT: a que es debida?

< |ξq|2 >=kBT

σ(q)q2A0(5)

Las razones de la existencia de esta divergencia son:I Nuestro modelo no tiene en cuenta la gravedad.

I Nuestro modelo presupone un sistema infinito.

Divergencia de CWT: a que es debida?

< |ξq|2 >=kBT

σ(q)q2A0(5)

Las razones de la existencia de esta divergencia son:I Nuestro modelo no tiene en cuenta la gravedad.I Nuestro modelo presupone un sistema infinito.

DFT,rama de statistical mechanics, en funcionales dedensidades. Tales que:

I Son extremales, cuando las funciones de distribuciónestán evaluadas en el equilibrio.

I Su valor extremal coincide con el valor de equilibrio delpotencial termodinámico en cuestión.

Los potenciales que solemos usar son Ω y F .

Alejandonos del equilibrio

En equilibrio nada fluctua, son las fluctuaciones lo que te sacadel equilibrio.

Por tanto nos interesa δ2Ωδρ(~r1)δρ(~r2)

Alejandonos del equilibrio

En equilibrio nada fluctua, son las fluctuaciones lo que te sacadel equilibrio.

Por tanto nos interesa δ2Ωδρ(~r1)δρ(~r2)

Relación δ2Ωδρ(~r1)δρ(~r2)|eq con G (~r1, ~r2)

Usamos la función de correlación directa, C (z1, z2, ~q), queviene definida como:

C (z1, z2, ~q) =

∫d ~R12

δρ(~r1)δρ(~r2)|eqe i~q ~R12 (6)

Su relación viene dada por la ecuación de Orstein Zernicke.∫dz2C (z1, z2, ~q)G (z2, z3, ~q) = δ(z1 − z3) (7)

Relación δ2Ωδρ(~r1)δρ(~r2)|eq con G (~r1, ~r2)

Usamos la función de correlación directa, C (z1, z2, ~q), queviene definida como:

C (z1, z2, ~q) =

∫d ~R12

δρ(~r1)δρ(~r2)|eqe i~q ~R12 (6)

Su relación viene dada por la ecuación de Orstein Zernicke.∫dz2C (z1, z2, ~q)G (z2, z3, ~q) = δ(z1 − z3) (7)

¿Como definir un funcional?

Todo funcional realista uno se basa en:I Su termodinámica en el bulk.I Su no localidad. (FMT,WDA,LDA,...)

Un ejemplo es:

Ω[ρ(~r)] =

∫d~rρ(~r) [ln(ρ(~r))− 1 + ∆ϕHS(ρ(~r)] +

∫d~rd~r ′ρ(~r)ρ(~r ′)U(|~r − ~r ′|)−

∫d~rµρ(~r),

Todo funcional realista uno se basa en:I Su termodinámica en el bulk.

I Su no localidad. (FMT,WDA,LDA,...)Un ejemplo es:

Ω[ρ(~r)] =

∫d~rρ(~r) [ln(ρ(~r))− 1 + ∆ϕHS(ρ(~r)] +

∫d~rd~r ′ρ(~r)ρ(~r ′)U(|~r − ~r ′|)−

∫d~rµρ(~r),

Un ejemplo es:

Ω[ρ(~r)] =

∫d~rρ(~r) [ln(ρ(~r))− 1 + ∆ϕHS(ρ(~r)] +

∫d~rd~r ′ρ(~r)ρ(~r ′)U(|~r − ~r ′|)−

∫d~rµρ(~r),

Un ejemplo es:

Ω[ρ(~r)] =

∫d~rρ(~r) [ln(ρ(~r))− 1 + ∆ϕHS(ρ(~r)] +

∫d~rd~r ′ρ(~r)ρ(~r ′)U(|~r − ~r ′|)−

∫d~rµρ(~r),

¿Es consistente tu funcional?

Para ello tienes que calcular las curvas de coexistencia y deestabilidad.

¿Es consistente tu funcional?Para ello tienes que calcular las curvas de coexistencia y deestabilidad.

0 0,2 0,4 0,6 0,8ρ

c(q=0)<0

c(q)<0

c(q)>0

Link CWT-DFT

Para realizar el link usaremos generic one-site IS definitions.Y por tanto:

σDF (q) =KbT (

∫dzW ′

0(z)ρeq(z))2

q2∫ ∫

dz1dz2G (z1, z2, q)Wq(z1)Wq(z2), (8)

Donde W es la ventana que usamos para definir IS.

Link CWT-DFT

Para realizar el link usaremos generic one-site IS definitions.

Y por tanto:

σDF (q) =KbT (

∫dzW ′

0(z)ρeq(z))2

q2∫ ∫

dz1dz2G (z1, z2, q)Wq(z1)Wq(z2), (8)

Link CWT-DFT

Para realizar el link usaremos generic one-site IS definitions.Y por tanto:

σDF (q) =KbT (

∫dzW ′

0(z)ρeq(z))2

q2∫ ∫

dz1dz2G (z1, z2, q)Wq(z1)Wq(z2), (8)

Problemas

Si se hace directamente el link falla estrepitosamente.

¿Por que sucede esto?

Nuestra G (~r1, ~r2) es del sistema Bulk-interfase-Bulk, no solode ondas capilares.

Problemas

Si se hace directamente el link falla estrepitosamente.¿Por que sucede esto?

Problemas

Si se hace directamente el link falla estrepitosamente.¿Por que sucede esto?

¿Entonces que hacemos?

Hay que quitar las contribuciones a G (~r1, ~r2) que no sondebidas a CW.

¿Como hacer esto?

Hay varías propuestas, solo hablaré de dos, Tarazona-Chacón yParry.

¿Como hacer esto?

Tarazona-Chacón filtro

Las CW conectan las fluctuaciones de una fase con la otra.

Figura : Congelamos la interfase.

Tarazona-Chacón filtroLas CW conectan las fluctuaciones de una fase con la otra.

Tarazona-Chacón filterLas CW conectan las fluctuaciones de una fase con la otra.

Parry filter

I En un funcional simétrico el exceso es debido a lascontribuciones de bulk.

I Mientrás que en casos asimétricos se define una funciónsuave que va de el valor de una fase de bulk a otra.

Parry filter

I En un funcional simétrico el exceso es debido a lascontribuciones de bulk.

I Mientrás que en casos asimétricos se define una funciónsuave que va de el valor de una fase de bulk a otra.

¿Cuanto filtran?

To take home

I Las ondas capilares son fluctuaciones debidas a estar elsistema a una cierta Temperatura.

I La función de correlación esta relacionada confluctuaciones de densidad.

I DFT nos da la función de correlación de todo nuestrosistema.

I Actualmente solo hay dos filtros válidos:T-C Las ondas capilares conectan las fluctuaciones de

distintas fases.Parry El exceso de correlación es debida a tener en cuenta las

correlaciones en el bulk.

To take home

distintas fases.

Parry El exceso de correlación es debida a tener en cuenta lascorrelaciones en el bulk.

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