INTRODUCCIÓN

Cuando disfrutamos de las olas en una playa, estamos experimentando un movimiento ondulatorio. Los rizos en un estanque, los sonidos musicales que escuchamos, otros sonidos que no podemos oír, los movimientos de un resorte largo y flojo estirado sobre el piso: todos éstos son fenómenos ondulatorios. Pueden ocurrir ondas siempre que un sistema es perturbado de su posición de equilibrio y cuando esta perturbación puede viajar o propagarse de una región del sistema a otra. El sonido, la luz, las olas del mar, la transmisión de radio y televisión, y los terremotos, son fenómenos ondulatorios. Las ondas son importantes en todas las ramas de la física y la biología; de hecho, el concepto de onda es uno de los hilos unificadores más importantes que corren por toda la tela de las ciencias naturales. Este capítulo y los dos siguientes tratan las ondas mecánicas, ondas que viajan dentro de algún material llamado medio. Comenzaremos por deducir las ecuaciones básicas que describen a las ondas, incluido el importante caso especial de las ondas periódicas en las que la configuración de la onda se repite conforme la onda se propaga. El Cap. 20 trata de lo que sucede cuando dos o más ondas ocupan el mismo espacio, dando pie a la interferencia, y el Cap. 21 se ocupa de un tipo de onda mecánica de especial importancia llamada sonido. No todas las ondas son mecánicas. Otra clase muy amplia es la de las ondas electromagnéticas, que incluyen la luz, las ondas de radio, la radiación infrarroja y ultravioleta, los rayos x y los rayos gamma. Las ondas electromagnéticas no necesitan un medio; pueden viajar por el espacio vacío. Otra clase más de fenómenos ondulatorios es el comportamiento tipo onda de las partículas atómicas y subatómicas. Este comportamiento forma parte de los cimientos de la mecánica cuántica, la teoría básica que se usa para analizar la estructura atómica y molecular. Volveremos a las ondas electromagnéticas en capítulos posteriores. Mientras tanto, podemos aprender el lenguaje esencial de las ondas en el contexto de las ondas mecánicas.

TIPOS DE ONDAS MECÁNICAS

Una onda mecánica es una perturbación que viaja por un material o sustancia que el medio de la onda. Al viajar la onda por el medio, las partículas que forman el medio sufren desplazamientos de varios tipos, dependiendo de la naturaleza de la onda. La Fig.19-1 muestra 3 variedades de ondas mecánicas. En la Fig.19-1a el medio es un hilo o cuerda tensado. Si imprimimos al extremo izquierdo una pequeña sacudida hacia arriba, la sacudida viaja a lo largo del hilo. Secciones sucesivas del hilo repiten el movimiento que dimos al extremo, pero en instantes posteriores sucesivos. Dado que los desplazamientos del medio son perpendiculares o transversales a la dirección en que la onda viaja por el medio, decimos que se trata de una onda transversal. En la Fig.1b el medio es un líquido o gas en un tubo con una pared rígida en el extremo derecho y un pistón móvil en el izquierdo.

Si damos al pistón un solo movimiento hacia delante y hacia atrás, el desplazamiento y las fluctuaciones de presión viajarán a lo largo del medio. Esta vez los movimientos de las partículas del medio son en la misma línea en que viaja la onda, y decimos que se trata de una onda longitudinal.

En la Fig. 19-1c el medio es agua en un canal, como una zanja de irrigación. Si movemos la tabla plana de la izquierda hacia delante y hacia atrás una vez, una alteración ondular viajará a lo largo del canal. En este caso los desplazamientos del agua tienen tanto longitudinal como transversal. Cada uno de estos sistemas tiene un estado de equilibrio. Para la cuerda estirada, es el estado en que el sistema está en reposo, tendido en la línea recta. Para el fluido en un tubo, es un estado en que el fluido está en reposo con presión uniforme, y para el agua en una zanja es una superficie lisa y plana de agua. En cada caso el movimiento ondulatorio es una alteración del estado de equilibrio que viaja de una región del medio a otra, y siempre hay fuerzas que tienden a restablecer el sistema a su posición de equilibrio cuando se le desplaza, Estos ejemplos tienen tres cosas en común. Primera: la perturbación siempre viaja o se propaga por el medio con una rapidez definida llamada rapidez de propagación o simplemente rapidez de la onda, determinada en cada caso por las propiedades mecánicas del medio. Usaremos el símbolo υ para esta rapidez. (La rapidez de la onda no es la rapidez con que se mueven las partículas cuando son movidas por la onda. Segunda: El medio mismo no viaja por el espacio; sus partículas individuales realizan movimientos alrededor de sus posiciones de equilibrio. Lo que viaja es la configuración global de la perturbación ondulatoria. Tercera: para poner en movimiento cualquiera de estos sistemas, debemos aportar energía realizando trabajo mecánico sobre el sistema. La onda transporta esta energía de una región del medio a la otra. Las ondas transportan energía, pero no materia, de una región a otra.

19-5 : (a). La grafica de y(x,t) v/s la coordenada x para un instante especifico, en este caso para t=0, describe la forma de la onda en ese instante (b) la grafica de y(x,t) V/s el tiempo para una coordenada especifica , en este caso x=0 , describe el movimiento de una partícula en esa coordenada en función del tiempo . la escala vertical esta exagerada tanto en (a) como en (b)

ONDAS PERIÓDICAS

La onda transversal en una cuerda estirada de la Fig. 19- 1 es un ejemplo de un pulso de onda. La mano sacude la cuerda una vez, ejerciendo una fuerza transversal sobre ella. El resultado es un solo pulso que viaja a lo largo de la cuerda. La tensión de la cuerda restablece su forma recta una vez que el pulso ha pasado. Ocurre una situación más interesante cuando imprimimos al extremo libre de la cuerda un movimiento repetitivo, o periódico. Entonces, cada partícula de la cuerda tendrá un movimiento periódico al propagarse de la onda, y tendremos una onda periódica. En particular, suponga que movemos verticalmente la cuerda con un movimiento armónico simple (MAS) de amplitud A, frecuencia ƒ, frecuencia angular ω= 2πƒ y periodo T=1/ƒ = 2π/ ω. En la Fig. 19-2 se muestra una posible configuración experimental. Como veremos, las ondas periódicas con MAS son especialmente fáciles de analizar; las llamamos ondas senoidales. Resulta también que cualquier onda periódica puede representarse como una combinación de ondas senoidales. Por tanto, este tipo de movimiento ondulatorio merece atención especial. En la Fig.19-2 la onda que avanza por el hilo es una sucesión continua de alteraciones senoidales transversales. La Fig. 19-3 muestra la forma de una parte del hilo cerca del extremo izquierdo a intervalos de ⅛ de periodo, para un tiempo total de un periodo. La forma de onda avanza uniformemente hacia la derecha, como indica la flecha roja que señala a una cresta específica. Al moverse la onda, cualquier punto del hilo (el punto rojo, por ejemplo) oscila verticalmente alrededor de su posición de equilibrio con un MAS. Cuando una onda senoidal pasa por un medio, todas las partículas del medio experimentan un movimiento armónico simple con la misma frecuencia.¡CUIDADO! No confunda el movimiento de la onda transversal a lo largo del hilo con el de una partícula del hilo. La onda avanza con rapidez constante υ a lo largo del hilo, mientras que el movimiento de la partícula es armónico simple y perpendicular a la longitud del hilo. Para una onda periódica, la forma del hilo en cualquier instante es una configuración repetitiva. La longitud de una configuración de onda completo es la distancia entre una cresta y la siguiente, o de un valle al siguiente, o de cualquier punto al punto correspondiente en la siguiente repetición de la forma. Llamamos a esta distancia longitud de onda de la onda, denotada con λ. La configuración de onda viaja con rapidez constante υ y avanza una longitud de onda en el lapso de un periodo T. Por tanto, la rapidez de la onda υ está dada por υ = λ/T o, dado que ƒ = 1/T,

υ = λƒ (onda periódica).

CONCEPTOS CLAVES

Una onda es una perturbación del equilibrio que viaja, o se propaga, de una región del espacio a otra. La rapidez de propagación se denomina rapidez de la onda. Las ondas pueden ser transversales, longitudinales o una combinación de ambas.

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En una onda periódica, la perturbación en cada punto es una función periódica de la distancia. Una onda periódica tiene una frecuencia y longitud de onda definidas. En las ondas periódicas senoidales cada partícula del medio oscila en movimiento armónico simple.

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La función de onda sitúa cada punto en el medio en que se propaga la onda en cualquier instante.

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La rapidez de las ondas en un medio, tal como un hilo estirado está determinada por las propiedades elásticas e inerciales del medio.

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Una onda sonora en un gas es una onda longitudinal. La rapidez de la onda está determinada por la temperatura y la masa molecular del gas.

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Las ondas transportan energía por el espacio. En el caso de las ondas senoidales, la razón de transporte de energía es proporcional al cuadrado de la frecuencia y al cuadrado de la amplitud.

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Ondas Mecánicas

La rapidez de propagación es igual al producto de la longitud de la onda y frecuencia. La frecuencia es una propiedad de toda onda periódica porque todos los puntos del hilo oscilan con la misma frecuencia f.

En muchas situaciones importantes la rapidez de la onda V depende únicamente de las propiedades mecánicas del medio. En este caso aumentar f hace que λ disminuya de

modo que el producto V = λ f no cambie, y la ondas de todas las frecuencias se propagan con la misma rapidez. En este capitulo solo consideraremos ondas de este tipo. (En capítulos posteriores estudiaremos la propagación de ondas de luz en sustancias para las que la rapidez de la onda depende de la frecuencia; ésta es la razón por la que los

prismas descomponen la luz blanca en un espectro y por la que las gotas de lluvia crean un arco iris).

Para entender la mecánica de una onda periódica longitudinal, consideramos un tubo largo lleno de un fluido, con un pistón en el extremo izquierdo como en la Fig. 19-1b.Si empujamos el pistón, comprimimos el fluido cerca de el, aumentando la presión en esta región. Luego, esta región empuja la región vecina de fluido, etc., y un pulso de onda viaja por el tubo.Suponga ahora que movemos el pistón con un movimiento armónico simple a lo largo de una línea paralela al eje del tubo (Fig.19-4). Este movimiento forma regiones en el fluido en las que la presión y densidad son mayores o menores que los valores de equilibrio. A una región de mayor presión la llamamos comprensión. En la figura, representamos las comprensiones con regiones oscuras. Una región de presión reducida es una expansión; en la figura, estas regiones se representan con áreas claras. La flecha roja indica la posición de una comprensión en particular; las comprensiones y expansiones avanzan hacia la derecha con una rapidez constante VEl movimiento de una sola partícula del medio, como la indicada con un punto rojo en la figura 19-4 es un MAS paralelo a la dirección de propagación de la onda. La longitud de onda es la distancia de una comprensión a la siguiente o de una expansión a la siguiente.

La ecuación fundamental V = λ f se cumple para las ondas longitudinales igual que para las transversales y, de hecho, para todos los tipos de ondas periódicas. En este capitulo solo consideraremos situaciones en las que la rapidez de las ondas longitudinales no dependen de la frecuencia.

EJEMPLOS:

Las ondas sonoras son ondas longitudinales en aire. La rapidez del sonido depende de la temperatura; a 20ºC es de 344 m/s.Calcule la longitud de onda sonora en el aire a 20ºC si f = 262 Hz (la frecuencia aproximada del Do central de un piano).Solución:

El “Do alto” que cantan las sopranos de floreos y cadencias en el canto (coloratura) está dos octavas arriba del Do central.Cada octava corresponde a un factor de 2 en la frecuencia, así que la frecuencia del Do alto es cuatro veces la del Do central f =4 (262 Hz) = 1048 Hz. La rapidez de las ondas sonoras no cambia por cambios en la frecuencia, así que la longitud de onda es la cuarta parte, λ= (1.31m)/4 = 0.328m.

Descripción matemática de una onda

Muchas características de las ondas periódicas pueden describirse usando los conceptos de la rapidez de onda, periodo, frecuencia y longitud de onda, pero es común que necesitemos una descripción más detallada de las posiciones y movimientos de partículas individuales del medio en instantes específicos durante la propagación de una onda, una función que describe la posición de cualquier partícula en el medio en cualquier

instante. Nos concentraremos en las ondas senoidales, en las que cada partícula tiene MAS alrededor de su posición de equilibrio.Como ejemplo específico, examinemos las ondas de un hilo estirado. Si ignoramos el pandeo del hilo por la gravedad, la posición de equilibrio es de una línea recta, la cual tomamos como eje x. El valor de y depende de qué partícula estamos considerando (es decir, y depende de x) y también del instante t en que la consideramos. Así, para calcular el desplazamiento (respecto al equilibrio) de cualquier partícula en cualquier instante. Con esto podemos calcular la velocidad y aceleración de cualquier partícula, la forma del hilo y todo lo que nos interese acerca del comportamiento del hilo en cualquier instante.

Función de onda de una onda senoidalVeamos cómo determinar la forma de la función de onda para una onda senoidal.

Suponga que una onda senoidal viaja de izquierda a derecha (dirección de x creciente) por el hilo, como en la Fig. 19-3. Cada partícula de hilo oscila con un MAS de la misma amplitud y frecuencia, pero las oscilaciones de partículas en diferentes puntos del hilo no están todas coordinadas. La partícula marcada con el punto rojo en la Fig. 19-3 está en su máximo valor positivo de y en t = 0 y vuelve a y = 0 en t = 2T/8; esto mismo sucede con una partícula en el centro de la banda sombreada en t = 4T/8, y t = 6T8, exactamente medio periodo después. Para dos partículas cualesquiera de hilo, el movimiento de la partícula de la derecha se retrasa respecto al de la partícula de la izquierda en una cantidad proporcional a la distancia entre partículas.Así los movimientos cíclicos de diversos puntos del hilo están desfasados uno respecto a otro en diversas fracciones de un ciclo. Estas diferencias se llaman diferencias de fase, y decimos que la fase del movimiento es diferente para puntos distintos. Por ejemplo, si un punto tiene su desplazamiento positivo máximo al mismo tiempo que otro tiene su desplazamiento negativo máximo, los dos están desfasados medio ciclo. (Ésta es el caso del punto rojo de la Fig. 19-3 y un punto en el centro de la banda sombreada).Suponga que el desplazamiento de una partícula en el extremo izquierdo del hilo (x=0), donde se origina la onda, está dado por

x=Asenφ

ω=φrad

t φ rad=ωt ω=2π

Tx=Asenφ

x=Asenωtx=Asen 2πft

Y= y(x,t) , función de onda.Para x=0 , y=Asen 2πft=Asenωt

Y(x,t)= Asenω(t− xv )=Asen 2 πf (t− x

v )Y(x,t)= Asen 2 πf ( t

T− x

λ )k=2 π

λ Número de onda

λ=2 πk y f =

ω2π

En v=λf

ω=vk Onda periódica.y ( x , t )=A sen (ωt−kx ) (Onda senoidal)Para t=0 , y=A sen (−kx )=−Asenkx

, y=−Asen 2π xλ

Para x=0 y=A senωt

y=A sen2 π tT

Para una onda que viaja en la dirección –x

Y(x,t)= Asenω(t + xv )=Asen2 π ( t

T+ x

λ )Como: y ( x , t )=Asen ( ωt ± kx ) , ωt ± kx se denomina fase de onda.

Para y= A , 1=sen (ωt ± kx )Entonces los valores que puede tomar

ωt ± kx son : π2 ,

5 π2

Para y=0 , los valores que puede tomar :ωt ± kx son : 0 , π ,2 π ,

ωt ± kx=cte .

ω dωdt

−k dxdt

=0

ω dωdt

=k dxdt

dxdt

=ωk rapidez de fase.

Podemos reescribir la función de onda dad por la Ec. (19-3) de varias formas útiles.

Podemos expresarla en términos del periodo T= 1l f y de longitud de onda λ=Vf

y ( x , t )=Asen2 π ( tT

− xλ )

(Onda senoidal que se mueve en la dirección +X)Obtenemos otra forma útil de la función de onda si definimos una cantidad k llamada número de onda:

k=2 πλ (Número de onda)

Sustituyendo λ=2 πK y f = ω/2π en la relación V = λ f obtendremos

ω=VK

Ahora podemos reescribir la Ecuación anterior como:y ( x , t )=Asen ( ωt+kx ) , ωt+kx se denomina fase de onda.Y corresponde a una onda que se mueve en la dirección +X

Cuál de estas formas de la función de onda y (x, t) usemos en un problema específico es cuestión de comodidad. Observe que ω está en rad/s, así que, por coherencia, el número de onda k debe estar en rad/m en las Ecuaciones. (19-6) y (19-7). (Algunos físicos definen el número de onda como 1/ λ en lugar de 2π/λ. Al leer otros textos, verifique cómo se definió este término.)En la Fig. 19-5a se representa gráficamente la función de onda y(x, t) en función de x para un instante específico t. Esta gráfica da el desplazamiento y de una partícula respecto a su posición de equilibrio en función de la coordenada x de la partícula. Si se trata de una onda transversal en un hilo, la curva de la Fig. 19-5ª representa la forma del hilo en ese instante, como una instantánea del hilo. En particular, en t = 0,

y (x ,t=0)=Asen (−Kx )=−AsenKx=−Asen2 π xλ

En la Fig. 19-5b se muestra una gráfica de la función de onda vs. El tiempo t para una coordenada x específica. Esta curva da el desplazamiento y de la partícula en esa coordenada en función del tiempo; es decir, describe el movimiento de la partícula. Específicamente, en la posición x = o.

y (x=0 ,t)=Asenωt=Asen 2 π tT

Esto es congruente con lo que dijimos originalmente sobre el movimiento en x = 0,

CUIDADO Asegúrese de entender la diferencia entre Figs. 19-5a y 19-5b. En particular, observe que la Fig. 19-5b no es una imagen de la forma del hilo; es una gráfica de posición y de una partícula en x = 0 en función del tiempo.Podemos modificar las Ecuaciones. (19-3) a (19-7) para representar una onda que viaja en la dirección x negativa. En este caso el desplazamiento del punto x en el instante t es el

mismo que el punto x=0 en un instante posterior (t + xV ), asi que sustituimos por t por (t + x

V ), en la ecuación obtenida para una onda que viaja en la dirección +X:

y ( x , t )=Asen2 πf (t+ xV ) = Asen2π ( t

T+ x

λ )=Asen(ωt+Kx) , que corresponde a la ecuación de

onda para una perturbación que se mueve en la dirección -

En la expresión y (x, t) = A sen (ωt ±kx ) para una onda que viaja en la dirección –x o +x, la cantidad (ωt ±kx ) se denomina fase, y desempeña el papel de una cantidad angular (siempre en radianes) en la Ecuación. (19-7) o (19-8); su valor para valores cualesquiera de x y t determina qué parte del ciclo senoidal está ocurriendo en un punto e instante dados. Para una cresta positiva (donde y = A y la función de seno vale 1), la fase podría ser π/2, 5 π/2, etc.; para un punto de desplazamiento cero podría ser 0, π, 2π, etc. La rapidez de onda es la rapidez con que tenemos que movernos con la onda para mantenernos junto a un punto con la dase dada, tal como una cresta específica de una onda en un hilo. Para una onda que viaja en la dirección +x, eso implica ωt-kx=constante. Derivando respecto a t, obtenemos ω=k dx/dt, o

Si comparamos esto con la ecuación apropiada, vemos que dx/dt es igual a la rapidez V de la onda.Por esta relación, a veces se llama a velocidad de fase de la onda. (Rapidez de fase seria un mejor término.)

Estrategia para resolver problemasOndas mecánicas

1.- Es útil distinguir entre problemas de cinemática y problemas de dinámica . en los primeros solo nos interesa describir el movimiento; las cantidades pertinentes son: rapidez de onda , longitud de onda , numero de onda, frecuencia o frecuencia angular , amplitud y la posición , velocidad y aceleración de las partículas individuales. En problemas de dinámica intervienen conceptos como fuerza y masa ; la relación entre la rapidez de onda y las propiedades mecánicas de un sistema es un ejemplo de ello.

Ejemplo de aplicación:

Onda en un tendedero Su primo Tito está jugando con la cuerda para tender, desata un extremo, tensa la cuerda y mueve el extremo hacia arriba y hacia abajo senoidalmente con

f =2.00 Hz y A = 0.075m. La rapidez de onda es V =12.0 m/s. En t = 0, el extremo tiene cero desplazamiento y se mueve en la dirección +y. Suponga que ninguna onda rebota del extremo lejano para no complicar la configuración de la cuerda. a) Calcule la amplitud, frecuencia angular, periodo, longitud de onda y número de onda de la onda. b) Escriba una función de onda que describa a la onda. c) Escriba ecuaciones para el desplazamiento en función del tiempo del extremo que sujeta Tito y de un punto a 3.00 m de ese extremo.Solución a) La amplitud de A de la onda es la del movimiento del extremo de la cuerda, A = 0.075 m. La frecuencia angular es

ONDAS MECÁNICAS

ω = 2π f = (2π rad/ciclo) (2.00 ciclos/s) = 4.00π rad/s = 12.6 rad/s.

El periodo es T = 1/f = 0.500 s. Obtenemos la longitud de onda de la Ec. (19-1):

λ=υf =

12.0 m/ s2.00 s s−1=6.00m .

Obtenemos el número de onda de la Ec. (19-5) o (19 -6):

k=2πλ

=2 π rad6.00 m

=¿ 1.05 rad/m, o bien

k=ωυ

=4.00 π rad /s12.0m /s = 1.05 rad/m.

b) Tomamos como x= 0 la coordenada del extremo de la cuerda que sujeta Tito, y como dirección +x la dirección en que la onda se propaga por la cuerda. La función de onda está dada entonces por la Ecuación. (19-4):

y ( x , t )=A sen2 π ( tT

− xλ)

= (0.075 m) sen 2π ¿ )

= (0.075 m) sen [(12.6 rad/s) t – (1.05 rad/m) x].

Podemos obtener esta misma ecuación de la Ecuación. (19-7) usando los valores de ω y k que obtuvimos antes. La cantidad (12.6 rad/s) t – (1.05 rad /m) x es la fase de un punto x de la cuerda en el instante t.

c) Con la dirección +x que escogimos, los dos puntos en cuestión están en x= 0 y x-0 +3.00 m. Para cada uno, podemos obtener una expresión para el desplazamiento en función de t sustituyendo estos valores de x en la función de onda obtenida en el apartado (b):

y ( x=0 , t )=(0.075 m ) sen2 π ( t0.500 s

− 06.00 m

)

¿(0.075m)sen (12.6 rad /s) T,

y ( x=+3.00m, t )=(0.075 m ) sen2 π ( t0.500 s

−3.00 m6.00 m

)

¿ (0.075 m ) sen¿t – π rad¿ .

Las fases de estos dos puntos separados por media longitud de onda(λ /2=(6.00 m ) /2=3.00 m)

Difieren enπ radiantes. Ambos oscilan con un MAS con la misma frecuencia y amplitud, pero sus oscilaciones están desfasadas medio ciclo.Usando la expresión anterior para y (x=0 ,t) , ¿puede demostrar que el extremo de la cuerda en x= 0 se mueve en la dirección positiva en t= 0 como se dijo al principio?

VELOCIDAD Y ACELERACION DE PARTICULAS EN UNA ONDA SENOIDAL

De la función de onda podemos obtener una expresión para la velocidad transversal de cualquier amplitud en una onda transversal, que llamamos υy en un punto x dado, derivamos la función de onda y (x ,t ) respecto a t, manteniendo x constante. Si la función de onda es

y ( x , t )=A sen (ωt−kx ) ,Entonces

υy ( x ,t )=∂ y (x , t )∂t

=ω A cos (ωt−kx ) . (19-

9)En esta expresión, ∂ es una d modificada para recordarnos que y(x,t) es una función de dos variables y que sólo estamos que una de ellas (t) varíe. La otra (x) es constante porque estamos examinando un punto dado del hilo. Ésta es una derivada parcial. Si Ud. no ha llegado a ese punto en sus cursos de cálculo, no se preocupe; es una idea sencilla. La Ecuación. (19-9) muestra que la velocidad transversal de una partícula varía con el tiempo, lo esperado en un movimiento armónico simple. La rapidez máxima de una partícula es ωA ; ésta puede ser mayor, menor o igual que la rapidez de la onda υ, dependiendo de la amplitud y frecuencia de la onda.La aceleración de cualquier partícula es la segunda derivada parcial de y (x ,t ) respecto a t:

ay ( x , t )= ∂2 y (x , t)∂ t 2 = (ωt−kx )=−ω2 y ( x ,t ) . (1)

La aceleración de una partícula es igual a -ω2 por su desplazamiento, que es el resultado que obtuvimos en la Sec. 13-3 para el movimiento armónico simple. También podemos calcular derivadas parciales de y(x,t) respecto a x, manteniendo t constante. Esto equivale a estudiar la forma del hilo en un momento dado, como una instantánea. La primera derivada ∂ y ( x , t )/∂ x es la pendiente del hilo en cualquier punto.La segunda derivada parcial segunda respecto a x es la curvatura del hilo:

∂2 y ( x , t)∂ x2 = −k 2 A sen (ωt−kx )=−k2 y ( x , t ) (2)

Por las Ecuaciones. (1) y (2) y la relación ω=υk , vemos que

∂2 y(x , t) /∂t 2

∂x2 = ω2

k2 =υ2,

La función de onda y=A sen(ωt+kx)también satisface esta relación.

La Ecuación. (2), llamada ecuación de onda, es una de las más importantes en la física. Siempre que ocurre, sabemos que una perturbación puede propagarse como una onda a lo largo del eje x con una rapidez υ. La perturbación no tiene que ser una onda senoidal; veremos en la siguiente sección que cualquier onda en un hilo obedece la Ecuación. (2), sea periódica o no. Posteriormente veremos que los campos eléctricos y magnéticos satisfacen la

∂2 y ( x , t)∂ x2 =

1υ2 ∂2 y ( x , t)

∂ t 2 (ecuación de onda)

ecuación de la onda; la rapidez de la onda resulta ser la de la luz, lo que nos llevará a la conclusión de que la luz es una onda electromagnética.La Fig. 19-6a , muestra la velocidad υy y la aceleración ay , dadas por las Ecs. (19-9) y (19-10), para varios puntos de un hilo cuando una onda senoidal pasa por él. Observe que en los puntos donde el hilo tiene curvatura hacia arriba ¿> 0), la aceleración del punto es positiva (ay=∂2 y /∂t 2 > 0); esto sale en la ecuación de onda, Ec. (19-12). Por la misma razón, la aceleración es negativa (ay=∂2/∂ t2 < 0) en los puntos donde el hilo tiene curvatura hacia abajo( ∂2 y /∂ x2 < 0), y la aceleración es 0 (ay=∂2 y /∂t 2 = 0) En los puntos de inflexión donde la curvatura es 0 (∂2 y /∂ x2=0). Subrayamos otra vez que υy y ay son la velocidad y aceleración transversales de puntos en el hilo; estos puntos se mueven en la dirección y, no en la dirección de propagación de la onda. Los movimientos transversales de varios puntos del hilo pueden verse en la Fig. 19-6b.El concepto de función de onda es igualmente útil para las ondas longitudinales, y todo lo que hemos dicho sobre funciones de onda se puede adaptar a este caso. La cantidad y aún mide el desplazamiento de una partícula del medio respecto a su posición de equilibrio; la diferencia es que ahora es paralelo al eje x en lugar de perpendicular a él. Veremos las ondas longitudinales con detalle en la Sec. 19-6.

VELOCIDAD DE UNA ONDA TRANSVERSAL

Una de las propiedades clave de cualquier onda es su rapidez. Las ondas de luz en el aire tiene una rapidez de propagación mucho mayor que las de sonido (3.00 108 m/s vs. 344 m/s); es por esto que vemos el relámpago de un rayo antes de oír el trueno. En esta sección veremos qué determina la rapidez de propagación de un tipo de onda específico: ondas transversales en un hilo. La rapidez de estas ondas es importante por derecho propio porque es una parte esencial del análisis de los instrumentos musicales de cuerda, como veremos en el Cap. 20. Además, la rapidez de muchos tipos de ondas mecánicas tiene la misma expresión matemática básica que la rapidez de ondas en un hilo.Las cantidades físicas que determinan la rapidez de las ondas transversales en un hilo son la tensión del hilo y su masa por unidad de longitud (también llamada densidad de masa lineal). Podríamos suponer que aumentar la tensión aumenta las fuerzas de restitución que tienden a enderezar el hilo cuando se le perturba, aumentando así la rapidez de la onda. También podríamos suponer que aumentar la masa haría el movimiento más lento, reduciendo la rapidez. Resulta que ambas ideas son correctas. Desarrollaremos la relación exacta entre rapidez de onda, tensión y masa por unidad de longitud usando dos métodos distintos. El primero es conceptualmente sencillo y considera una forma de onda específica; el segundo es más general pero también más formal. Escoja el que más le guste.

RAPIDEZ DE ONDAS EN UN HILO: PRIMER MÉTODOConsideramos un hilo perfectamente

flexible (fig. 19-7). En la posición de equilibrio la tensión es F, y la densidad de masa lineal (masa por unidad de longitud) es µ. (Cuando partes del hilo están desplazadas respecto al equilibrio, la masa por unidad de longitud disminuye un poco y la tensión aumenta un poco.) Ignoraremos el peso del hilo, de modo

Velocidad de una onda transversal

Consideremos un hilo perfectamente flexible (ver figura anterior) . En la posición de equilibrio la tensión F , y la densidad de la masa lineal (masa por unidad de longitud) es μ (Cuando partes de hilo están desplazadas respecto del equilibrio , la masa por unidad de longitud disminuye un poco y la tensión aumenta un poco). Ignoramos el peso del hilo, de modo que cuando el hilo este en reposo en la posición de equilibrio forme una línea perfectamente recta como en la figura adjunta

Comenzando en el instante t=0 aplicamos una fuerza transversal constante F y y al extremo izquierdo del hilo. Podríamos esperar que el extremo se moviera con una aceleración constante; eso sucedería si a la fuerza se aplicara a una masa puntual. Aquí, el efecto de la fuerza F y es poner sucesivamente más y más masa en cada movimiento. Como se muestra en la figura, la onda viaja con una rapidez constante V , así que el punto de división P entre las porciones en movimiento y estáticas se mueve con la misma rapidez constante V.La figura muestra que todas las partículas de la parte del hilo en movimiento se mueven hacia arriba con velocidad constante V y, no aceleración constante. Para entender esto observamos que el impulso de la fueraF y hasta el instante t es F yt. Según el según el teorema del impulso-cantidad de movimiento, el impulso es igual al cambio en la componente trasversal total de la cantidad de movimiento (mV y – 0 de la parte del hilo en movimiento).Dado que el sistema empezó sin cantidad de movimiento trasversal, esto es igual a la cantidad de movimiento total en el instante t:

F y t .=mV y

Así, la cantidad d movimiento total debe aumentar proporcionalmente con el tiempo.Sin embargo, dado que el punto de división P se mueve con una rapidez constante, la longitud del hilo que esta en movimiento y, por tanto, la masa total m en movimiento también son proporcionales al tiempo t durante el cual la fuerza ha estado actuando. Por tanto, el cambio de cantidad de movimiento debe estar asociado únicamente a la cantidad creciente de masa en movimiento, no a una velocidad creciente de un elemento de masa individual. Es decir, mvy cambia porque cambia m, no vy. En el instante t, el extremo izquierdo del hilo ha subido una distancia V yt.y el punto de frontera P ha avanzado una distancia Vt. La fuerza total en el extremo izquierdo del hilo tiene componentes F yF y.¿Por que F? No hay movimiento en la dirección a lo largo del hilo, Así que no hay ninguna fuerza horizontal no compensada. Por tanto F, la magnitud de la componente horizontal, no cambia cuando el hilo se desplaza. En la posición desplaza la tensión es (F² mas F y.² y) ½ (mayor que F), y el hilo se estira un poco.

Para deducir una expresión para la rapidez de la onda υ, aplicamos otra vez el teorema del impulso-cantidad de movimiento a la parte del hilo en movimiento en el estante t, es decir, la parte a la izquierda de P en la Fig.19-7b. El impulso transversal (fuerza transversal multiplicada por el tiempo) es igual al cambio de cantidad de movimiento transversal de la parte en movimiento (masa multiplicada por el componente transversal de la velocidad). El impulso de la fuerza transversa lF y. en el instante t esF yt. . En la figura, el triangulo rectángulo cuyo vértice esta en P, con catetosV yt y Vt, es semejante al triangulo cuyo vértice esta en la posición de la mano, con catetos F y y F. Por tanto.

F y

F=

V y tVt

De donde: F y=FV y

V

de donde , el impulso transversal esta dado por: F y t=FV y

Vt

La masa de la parte en movimiento del hilo es el producto de la masa por unidad de longitud µ y la longitud Vt, o sea µVt. La cantidad de movimiento transversal es el producto de esta masa y la velocidad transversal V y

Cantidad de movimiento transversal= (µVt)V y

Observamos una vez mas que la cantidad de movimiento aumenta con el tiempo no porque la masa se mueva con mayor rapidez, como solía suceder en el Cap.8, sino porque mas masa se esta poniendo en movimiento. No obstante, el impulso de la fuerza Fy sigue siendo igual al cambio total de cantidad de movimiento del sistema. Aplicando esta relación, obtenemos.

FV y

Vt=μVt V y

Despejando V, tenemos: V=√ Fμ

La ecuación anterior confirma nuestra predicción de que la rapidez de una onda V

debe aumentar al aumentar la tensión F, pero disminuir cuando la masa por unidad de longitud µ disminuye.Observe que V yno aparece en la; por tanto, la rapidez de la onda no depende de.V y Nuestro cálculo considero solo un tipo muy especial de pulso, pero podemos considerar cualquier forma de perturbación ondulatoria como una serie de pulsos con diferentes valores de V y .Así, aunque dedujimos la ecuación para un caso especial, es valida para cualquier movimiento ondulatorio transversal en un hilo, incluidas la onda senoidal y las otras ondas periódicas. Observe que la rapidez de la onda no depende de la amplitud ni la frecuencia de la onda, concordancia con nuestros supuestos.

Rapidez de una onda en un hilo: segundo método.

He aquí una deducción alternativa de la ecuación anterior. Si Ud. No maneja con confianza las derivadas parciales, puede pasarla por alto. Aplicamos la → →segunda ley de Newton ∑F = ma, a un pequeño segmento de hilo cuya longitud en la posición de equilibrio es Δx (fig. 19-8). La masa del segmento es m = µΔx; las fuerzas en los extremos se representan en términos de sus componentes X e Y. Las componentes X tienen magnitud igual F y su suma es 0 porque el movimiento es transversal y no hay componente de aceleración en la dirección X. Para obtener F1 y y F2 y, observamos que el

cociente F1 y

Fes igual en magnitud a la pendiente del hilo en el punto X, y

F2 y

Fque es igual

a la pendiente en el punto x + Δx. Teniendo cuidado con los signos vemos que

F1 y

F=−( ∂ y

∂ x )x ,

F2 y

F=−( ∂ y

∂ x )x+∆ x

La notación nos recuerda que las derivadas se calculan en los puntos x y x+∆ x,

respectivamente. Por lo que vemos que la componente neta y de la fuerza.

F y=F1 y+F2 y= F[( ∂ y∂ x )

x+∆ x−( ∂ y

∂ x )x]

Ahora igualamos F y a la masa m = µΔx multiplicada por la componente y de la aceleración ∂2 y∂ t2 y obtenemos:

F[( ∂ y∂ x )

x+∆ x−( ∂ y

∂ x )x]=μ ∆ x ∂2 y

∂ t 2

O bien, dividiendo entre FΔx

F [(∂ y∂ x )

x+∆ x−( ∂ y

∂ x )x ]

∆ x=μ ∂2 y

∂t 2

Ahora tomamos el limite cuando Δ x →0. En este limite, el lado izquierdo de la Ecuación, se convierte en la derivada de Δy/Δx respecto a x (con t constante), es decir, la segunda derivada (parcial) de y respecto a x:

∂2 y∂ t2 = μ

F∂2 y∂t 2

Por fin llegamos al desenlace de nuestra historia. La ecuación tiene exactamente la misma forma que la ecuación de onda, Ecuación, que dedujimos al final de la Sección. Esa ecuación y esta describen el mismo movimiento, así que deben ser idénticas. Si comparamos las dos ecuaciones, vemos que para que así suceda debemos tener…

V=√ Fμ

Que es la misma expresión que la ecuación deducida anteriormente.En esta deducción no hicimos supuestos especiales acerca de la forma

de la onda. Puesto que nuestra deducción nos llevo a redescubrir la Ecuación. (19-12), la ecuación de onda, concluimos que la ecuación de onda es valida para las ondas en un hilo, sea cual sea su forma. Ejemplo:

En el ejemplo 19-2 la densidad de masa lineal de la cuerda para tender es de 0.250 Kg./m.¿ Cuanta tensión debe aplicar Tito para producir la rapidez de la onda observada de 12.0 m/s?

Solución:

Usamos la Ecuación.(19-13); despejando F.

F= µV² = (0.25 Kg./m)(12.0 m/s)²=36.0 Kg ∙ m/s ²

=36.0 N =8.09 lb.

Tito escapa de aplicar esta fuerza.

Ejemplo

Un extremo de una cuerda de nylon esta a un soporte estacionado en la boca de un pozo de mina vertical de 80.0 mt de profundidad (Fig. 19-9). La cuerda esta tensada por una caja de minerales de 20.0 Kg. atada al extremo inferior. La masa de la cuerda es de 2.0 Kg. El geólogo que esta en el fondo envía señales a su colega de arriba tirando lateralmente de la cuerda a.) Calcule la rapidez de una onda transversal en la cuerda b.) Si a un punto de la cuerda se le imparte un movimiento armónico simple transversal con la frecuencia de 2.00 Hz, ¿Qué longitud de onda tiene la onda?

Solución:

a): Ignoremos la variación de tensión a lo largo de la cuerda causada por su peso. La tensión F en la base de la cuerda es igual al peso de la carga de 20.0 Kg.

F= (20.0 kg) (9.80 m/s ²)= 196 N

La masa por unidad de longitud es

μ=mL =

2kg80 m

=0,0250

La rapidez de la onda esta dada por la Ecuación:

V=√ Fμ

V=√ Fμ

= √ 196 N0,0250 Kg /m

=88,5 m /s

Entonces: 88.5 ט m/s

44.3 = —— = ————— = ג m ƒ 2.00 s ¹

Si consideramos el peso de la cuerda, la rapidez de la onda aumentara y la longitud de la onda disminuirá conforme la onda suba por la cuerda, ya que la tensión irá en aumento. ¿Puede Ud. Comprobar que la rapidez de la onda al llegar arriba es 92.9 m/s?

Velocidad de una onda longitudinal

Las velocidades de propagación de las ondas longitudinales y transversales dependen de las propiedades mecánicas del medio. Podemos deducir relaciones para las ondas longitudinales análogas a la Ec. (19-13) para ondas transversales en un hilo al igual que en la explicación de la función de onda de la Sec. 19-4, x es la coordenada medida a lo largo del medio de la onda, pero en una onda longitudinal el desplazamiento y tiene la misma dirección que la onda, en lugar de ser perpendicular como en una onda transversal.He aquí una deducción de la rapidez de una onda longitudinal en un fluido en un tubo. Este tema es importante, ya que cuando la frecuencia de una onda longitudinal esta dentro del intervalo que capta el oído humano la llamamos sonido. Todos los instrumentos musicales de viento son básicamente tubos en los que una onda longitudinal (sonido) se propaga en un fluido (aire). La voz funciona con el mismo principio; las ondas sonoras se propagan en el tracto vocal, que es básicamente un tubo lleno de aire conectado a los pulmones en un extremo (la laringe) y el aire exterior en el otro (la boca). Los pasos de nuestra deducción

son paralelos a los de la Ec.(19-13) e invitamos al lector a comparar las dos. La fig 19-10 muestra un fluido (líquido o gas) con densidad p

En un tubo con área transversal A. En el estado de equilibrio, el fluido esta sometido a una presión uniforme p. En la Fig.19-10a el fluido esta en reposo. En el instante t=0 el pistón del extremo izquierdo comienza a moverse hacia la derecha con una rapidez constante vy . Esto inicia un movimiento ondulatorio que viaja a la derecha a lo largo del tubo, donde secciones sucesivas de fluido comienzan a moverse y a comprimirse en instantes sucesivamente posteriores. La Fig. 19-10b muestra el fluido en el instante t. Todas las porciones a la izquierda de P se mueven a la derecha con rapidez V y, y todas las porciones a la derecha están aun en reposo. La frontera entre las porciones en movimiento y estacionarias viaja a la derecha con una rapidez igual a la rapidez de propagación o rapidez de la onda V . En t el pistón se ha movido a una distanciaV y t y la frontera ha avanzado una distancia Vt. Al igual que con las alteraciones transversales en un hilo, podemos calcular la rapidez de propagación a partir del teorema del impulso-cantidad de movimiento.La cantidad de fluido puesta en movimiento en el tiempo t es la cantidad que originalmente ocupaba una sección del cilindro con longitud Vt, área transversal A y volumen VtA. La masa de este es pVtA, y su cantidad de movimiento longitudinal (a lo largo del tubo) es.

Cantidad de movimiento longitudinal= (pVtA)V y. Ahora al calculamos el aumento de presión, triangulo p, en el fluido en

movimiento. El volumen original de este fluido, Avt, disminuyo en una cantidad AV yt. Por la definición del modulo de volumen B, Esc. (11-13) de la Sec.11-6,

- Δ p

B=−Cambio de Presi ón

Cambio fraccionario deVolumen =

-AV y t/AVt

∆ p=BV y

V

La presión en el fluido en movimiento es p+∆ p , y la fuerza ejercida sobre el por el pistón es (p+∆ p)A. la fuerza neta sobre el fluido en movimiento es ∆ pA en consecuencia , el impulso longitudinal es :

∆ pAt=BV y

VAt

19-10 Propagación de una onda longitudinal en un fluido confinado en un tubo. (a) Fluido en equilibrio (b) Parte del fluido en movimiento. La fuerza neta sobre este fluido esta hacia la izquierda e igual:

∆ pAt=BV y

VAt

Dado que el fluido en reposo en t = 0, el cambio de cantidad de movimiento hasta el instante t es igual a la cantidad de movimiento en t. Aplicando el teorema del impulso-cantidad de movimiento, vemos que

BV y

VAt = ρVtAV y

υSi despejamos υ, obtenemos

V=√Bρ

(Rapidez de una onda longitudinal en un fluido)

VELOCIDAD DE UNA ONDA LONGITUDINAL.

La presión en el fluido en un movimiento p + Δp, y la fuerza ejercida sobre él por el pistón es (p + Δp)A. La fuerza neta sobre el fluido en movimiento (ver Fig. 19-10b) es ΔpA, y el impulso longitudinal esAsí, la rapidez de propagación de un pulso longitudinal en un fluido sólo depende del módulo de volumen Β y de la densidad ρ del medio. Aunque dedujimos la Ecuación. (19-21) para ondas en un tubo, también se aplica a ondas longitudinales en un líquido o sólido. Así, la rapidez de las ondas de sonido que viajan en el aire, agua o roca se determina con esta ecuación. Vea detalles en la Sec. 19-7. Si una onda longitudinal se propaga en una varilla o barra sólida, la situación es un tanto diferente. La varilla se expande un poco el lateral cuando se comprime longitudinalmente, mientras que un fluido en un tubo con sección transversal constante no puede hacerlo. Usando el mismo razonamiento que nos llevó a la Ecuación. (19-21), podemos demostrar que la rapidez de un pulso longitudinal en la varilla está dada por

V=√ γρ

(Rapidez de una onda longitudinal en una varilla solida)

Donde γ es el módulo de Young o de elasticidad del material.CUIDADO ► La Ecuación anterior, se aplica sólo a una varilla o barra cuyas laterales están libres para abombarse y encogerse un poco al viajar la onda; no se aplica a ondas longitudinales en un líquido o sólido, ya que aquí el movimiento lateral de cualquier elemento es impedido por material circundante. La rapidez de las ondas longitudinales en un volumen de materia está dado por la

Ecuación V=√ Bρ

Observe la similitud de forma de las Ecuaciones. En todas estas ecuaciones para la rapidez de una onda, sea transversal o longitudinal, el numerador es una propiedad elástica que describe la fuerza de restitución y el denominador es una propiedad inercial del medio.

Al igual que la deducción para una onda transversal en un hilo, son válidas para cualquier onda periódica, no sólo para el caso especial que vimos aquí.

Visualizar la relación entre el movimiento de las partículas y de la onda no es tan fácil en el caso de las ondas longitudinales como en el de las transversales en un hilo.La Fig. 19-11 le ayudará a entender estos movimientos. Para usar la figura, pegue dos tarjetas borde con borde con un espacio de 1mm entre ellas, formando una ranura delgada. Coloque las tarjetas sobre la figura con la ranura en forma horizontal en la parte superior del diagrama, y muévalas hacia abajo con una rapidez constante. Las porciones de las curvas senoidales que se ven por las ranuras corresponden a una fila de partículas en un medio que viaja una onda senoidal longitudinal. Cada partícula tiene un MAS alrededor de su posición de equilibrio, con retardos o desplazamientos de fase que aumentan continuamente a lo largo de la ranura. Las regiones de expresión y expansión máxima se mueven de izquierda a derecha con una rapidez constante. Mover la tarjeta hacia arriba simula una onda que viaja de derecha a izquierda.

ONDAS MECÁNICAS

La tabla 19-1 lista la rapidez del sonido en varios medios materiales. Las ondas sonoras viajan más lentamente en el plomo que en el aluminio o acero porque el plomo tiene un módulo de volumen menor y mayor de densidad.

EJEMPLO:

Longitud de onda sonar Un barco usa un sistema sonar para detectar objetos submarinos (Fig. 19-12). El sistema emite ondas sonoras submarinas y mide el tiempo que tarda la onda reflejada (eco) en volver al detector. Determine la rapidez de la onda con f = 262 Hz.

SOLUCIÓN Usamos la Ec. (19-21) para calcular la rapidez de la onda. De la tabla 11-2, la compresibilidad del agua (el recíproco del módulo de volumen) es k = 45.8 x 10¹¹ Paˉ¹, así que Β = (1/45.8) x 10¹¹ Pa. La densidad del agua es ρ = 1.00 x³ Kg/m³ Obtenemos:

V=√ Bρ=√(1/45,8)x 1011 Pa

1,00 x103 kg /m3 =1480 m /s

Este valor concuerda con el valor experimental de la tabla 19-1; es 4 veces mayor que la rapidez del sonido en el aire a temperaturas ordinarias. La longitud de onda es

λ=Vf

=1480m /s

262( 1s) = 5,65 m

Una onda con esta frecuencia en el aire tiene λ = 1.31 m, como habíamos calculado anteriormente . Los delfines emiten ondas sonoras de alta frecuencia (del orden de 1000 000 Hz) y usan los ecos para guiarse y cazar. La longitud de onda correspondiente en el agua es de 1.48 cm. Con este sistema de “sonar” se puede detectar objetos del tamaño de λ (pero no mucho menores). La visualización ultrasónica es una técnica médica que usa el mismo principio físico; ondas sonoras de muy alta frecuencia y longitud de onda muy corta, llamadas ultrasonido, barren el cuerpo humano, y se usan los “ecos” de los órganos para crear una imagen. Con ultrasonidos de f = 5 MHz = 5 x 10elevado a 6 Hz, la longitud de onda en el agua (principal constituyente del cuerpo) es de 0.3 mm, así que pueden distinguirse rasgos de este tamaño en la imagen, El ultrasonido se usa para estudiar el funcionamiento de las válvulas cardiacas, detectar tumores y hacer exámenes prenatales; es más sensible que los rayos x para distinguir los diversos tipos de tejidos y no ofrece el peligro de radiación de esos rayos.

EJEMPLO:

Calcule la rapidez del sonido en una varilla de plomo.

SOLUCIÓN: De la tabla 11-1, γ=1.6 x 10¹º Pa, y de la tabla 14-1, ρ=11.3 x 10³ kg/m³. Vemos que

V=√ γρ=√ 1,6 x1010 Pa

11,3 x 103 kg/m3 =1,2 x 103 m /s

Esto es más del triple de la rapidez del sonido en el aire. Observe que nuestro resultado es la rapidez con que una onda sonora viaja por una varilla de plomo. En la tabla 19-1 puede verse que

el sonido viaja aún más rápidamente en un medio ilimitado de plomo; la razón es que para el plomo el módulo de volumen es mayor que el módulo de Young.

ONDAS SONORAS EN GASES

En la sección anterior dedujimos la Ec. (19-21), υ = √ B/p, para la rapidez de las ondas longitudinales en un fluido con módulo de volumen B y densidad p, y podemos usarla para calcular la rapidez del sonido en un gas ideal. El módulo de volumen se define en general como en la Ec.(11-13); para cambios de presión y volumen infinitesimales, B = -V dp/dV, así que necesitamos saber cómo varía P con V para un gas ideal. Si la temperatura es constante, entonces por la ley de los gases ideales, pV es constante, y podemos usar esto para calcular dp/dV. Sin embargo, cuando un gas se comprime adiabáticamente de modo que no hay flujo de calor, su temperatura aumenta, y cuando se expande adiabáticamente, la temperatura disminuye. En un proceso adiabático para un gas ideal, la Ec.(17-24) dice que pV ۙ es constante (recuerde que γ = Cρ / Cv es el cociente adimensional de las capacidades caloríficas), y obtenemos un resultado diferente para B. Cuando una onda viaja por un gas, ¿las compresiones y expansiones son adiabáticas o hay suficiente conducción de calor entre capas adyacentes del gas para mantener una temperatura casi constante en todos los puntos? Dado que las conductividades térmicas de los gases son muy pequeñas, resulta que para las frecuencias de sonido ordinarias, digamos de 20 a 20 000 Hz, la propagación del sonido es casi adiabática. Por ello, en la Ec. (19-21) usamos el módulo de volumen adiabático B аd' deducido suponiendo que

pV ۙ = constante. (19-23)

Derivamos la Ec. (19-23) respecto a V:

dpdV

(V γ )+γ p V γ−1=0

Dividiendo entre V ۙۙ ˉ¹ y reorganizando, obtenemos

Badiabático=−V dpdV

=γp

(19 – 24)

En un proceso isotérmico, pV = constante; invitamos al lector a demostrar que el módulo del volumen isotérmico es:

Bisotérmico=p (19- 25)

El módulo adiabático es mayor que el isotérmico en un factor de γ.Combinando las Ecuaciones. ( 19-21) y (19-24) vemos que,

v=√ γpB

(rapidez del sonido en gas ideal) (19-26)

Podemos obtener otra forma útil usando la Ec. (16-5) para la densidad ρ de un gas

pM ρ = ——, RT

Donde R es la constante de los gases, M es la masa molecular y T es la temperatura absoluta. Combinando esto con la Ec. (19-26) obtenemos

v=√ γRTM

(rapidez del sonido en un gas ideal) (19-27)

Para un gas dado, γ, R y M son constantes, y la rapidez de la onda es proporcional a √T.Excepto por el factor numérico de 3 en una y γ en la otra, esta expresión es idéntica a la Ec.(16-19), que da la rapidez eficaz de las moléculas de un gas ideal. Esto demuestra que la rapidez del sonido y la de las moléculas están muy relacionadas, pero explorar esta relación en detalle rebasa el alcance de este texto.

De otro modo:

ρ=mV , entonces: m=ρV

ρ0 Adx= ρA (dx+dψ )ρ0 dx=ρ (dx+dψ )

ρ=ρ0 dx

dx+dψ , simplificando por dx, se obtiene:

ρ=ρ0

1+ dψdx

Se establece que: (1+ dψdx )

−1

≈ 1−dψdx siempre que

dψdx

≪1

Entonces: ρ=ρ0(1−dψdx )

ρ=ρ0−ρ0dψdx

ρ−ρ0=− ρ0dψdx

Como P=f(ρ)Como la diferencia de presión: P- Po es muy pequeña, Po : presión de equilibrio.

P=P0+( ρ−ρ0 )( dPdρ )

0

A bajas frecuencias la transferencia es adiabática, esto es: P V γ=cte .A altas frecuencias la velocidad se aproxima a la ecuación de transformación isotérmica, esto es PV=cte.

Relación entre la presión y el volumen en una transformación adiabática es:P0 V 0γ=P V γ

De donde se obtiene: P0

P0γ =

PP γ

( dPdρ )

0=

γ P0

ρ0 , donde γ corresponde al índice adiabático.

La diferencia de presión con respecto a la de equilibrio será:

P=P0−P0dψdx

γ

P−P0≈−P0dψdx

γ

Desplazamiento de un elemento de volumen:

P= FA , entonces F=PA

F+F´= maPA-PÁ= ρ0 Adx a

( P−P ´ ) A=(−ρ0 Adx ) d2ψd t2

d ( FN )=(−ρ0 Adx ) d2ψdt 2

De donde: d2ψd t 2 =

F N

ρ0 Adxd2ψd t 2 =

γ P0 d2ψρ0 d x2

v=√ γ P0

ρ0

Como además: P0 V 0

T 0=cte. , :

P0V 0

T 0=nR

PV= nRT, donde n=mM

,dondem correspondea lamasa del gas . M a lamasa molecular y n al numerode moles .

Entonces: P0 V 0=mM

R T0 , de donde se obtiene: P0=m

M V 0R T0

Reemplazando en :

v=√ γ P0

ρ0

v=√ γ mM V 0

R T 0

ρ0

o bien : v=√ γ ρ0 R T 0

M ρ0 de donde :

v=√ γRT 0

M

Problemas de ondas estacionarias

1.- Onda Estacionaria en Cuerda.

La cuerda Mi alta de una guitarra mide 64 cm de longitud y tiene una frecuencia fundamental de 330 Hz. Al presionar hacia abajo en el primer traste (el más próximo al clavijero) la cuerda se acorta de modo que se toca en una nota Fa que tiene una frecuencia de 350 Hz. ¿ A qué distancia está el traste del extremo del mango de la cuerda?.

2-Problema Ejemplo Interferencia.

Suponga dos parlantes separados 1 metro excitados por un mismo oscilador y que emiten un sonido de frecuencia 1150 Hz. Una persona está a 4.0 m de uno de los parlantes, ¿ A qué distancia debe estar del segundo parlante para notar interferencia destructiva? Suponga que la velocidad de propagación del sonido en el aire es de 343 m/s.

3.- Una cuerda de 75 cm de longitud y de 20 g/m de densidad lineal está sujeta por uno de sus extremos y por el otro está unida a una fuente vibrante de 80 Hz. Sabiendo que a esa frecuencia le corresponde el tercer armónico, calcular la velocidad de propagación de las ondas transversales en la cuerda y la tensión de la misma.

4.-¿Qué es una onda estacionaria?. Dibuja los tres primeros modos de vibración de una cuerda de longitud L, ¿Cuánto valen sus longitudes de onda?. Si v es la velocidad de propagación de las ondas trasversales en la cuerda. ¿Cuánto valen sus frecuencias?.

5.- ¿Cuál es la diferencia entre una onda longitudinal y una onda trasversal?.

6.-Una barra de aluminio cuyo módulo de Young es 7.0·1010 N/m2, densidad 2.7 g/cm3 y sección 5 cm2, trasmite un movimiento ondulatorio producido por una fuente de 100 Hz de frecuencia y 20 W de potencia. Calcular: la velocidad de propagación, la longitud de onda, el periodo, la frecuencia angular, el número de onda y la amplitud del movimiento ondulatorio armónico. Escribir la ecuación

de la onda armónica. Fórmulas               

7.-Dos ondas presentes en una cuerda al mismo tiempo vienen dadas por las expresiones

Ψ1=0.014·sen(4.8x-29t-0.21) mΨ2=0.014·sen(4.8x-29t-0.35) m

 Hallar:

7.1.-        La amplitud, el número de onda, la longitud de onda, la velocidad de propagación y la frecuencia.

   Obtener la amplitud y la fase de la onda armónica resultante Ψ= Ψ1+ Ψ2

8.-Un hombre A está situado entre dos altavoces que vibran con la misma frecuencia y en fase. Si la mínima frecuencia a la cual se observa interferencia destructiva es 122 Hz. Determinar la velocidad de propagación de las ondas. A qué otras frecuencias se observa interferencia destructiva

9. Dada la ecuación de una onda y = 10 sen 2π(t/2 - x/0'1). Calcule la velocidad de propagación, el período y la longitud de onda.

(2 S , 5 cm/s , 10 cm )

10. Una onda transversal se propaga en una cuerda según la ecuación y = 0'4 cos (100t - 0'5x) (S.I.).

Calcular:9.1.- La velocidad de propagación de la onda 9.2.- El estado de vibración de una partícula a 20 cm del foco en el instante 0'5 s.

(200 m/s , desplazamiento 0,374 cm con una velocidad de 14,30 m/s y una aceleración de

-3740 ms2)

11.- La ecuación de una onda es y = 0'5 cos 4π(10t - x) (S.I.). Calcular 11.- La velocidad de propagación de la misma 11.2.-La diferencia de fase entre dos puntos separados 0'5 m.

(10 m/s , 6,28 rad )

12. Una onda armónica sinusoidal, transversal y polarizada se propaga en una cuerda en el sentido positivo de las X con una amplitud de 10 cm, frecuencia de 20 Hz y velocidad de 8 m/s. Encuentra:12.1.- La ecuación de la onda 12.2.-La velocidad de vibración de las partículas en función del tiempo 12.3.-La posición de las mismas.

(y = 0.1 cos(40πt – 5πx) (si se hubiese propagado en el sentido negativo del eje X, el signo dentro de la fase hubiese sido positivo), 5π rad/m , y’ = -4π sen(40πt – 5πx) (m/s) )

13.- Una onda de frecuencia 500 Hz tiene una velocidad (de fase) de 300 m/s. Calcular:13.1.- La separación entre dos puntos que tengan una diferencia de fase de 60º. 13.2.-Escribir la ecuación de la onda.

(π/3k. )

14.- Una onda viene representada por : y = 2 cos 2π(t/4 - x/60). Determinar:14.1.- El carácter de la onda.14.2.-La velocidad de propagación-14.3.-La diferencia de fase en un instante dado de dos puntos separados 120 cm en dirección de propagación de la onda.

(Es una onda viajera (no estacionaria), que se propaga hacia el sentido positivo del eje X pues el signo que hay entre la variable t y la variable x en la fase es negativo. Además, es una onda unidimensional, se propaga en una sola dirección, pues la posición queda determinada sólo por la componente X.

15 m/s , 0.126rad)

15.- Un foco sonoro emite una onda sonora Φ = Φ0 sen (3'015t - 9x) unidades S.I. Calcular:15.1.- La longitud de onda.15.2.-La frecuencia.15.3.-La velocidad de propagación.

(0.7 m; 0.48 Hz; 0.335 m/s)

16.- Una onda armónica sinusoidal, transversal y polarizada se propaga por una cuerda en sentido de las x positivas. Su amplitud es de 10 cm, la frecuencia de 25 Hz, la v de 10 m/s. Encontrar:16.- La ecuación de la onda.16.2.-El instante en que la vibración de un punto a 50 cm del foco es máxima.

(y = y0 cos (ω t - kx + Φ0) , 0.04 s)