DOCUMENTO OLIMPIADAS

ANTECEDENTES TEÓRICOS

La resolución de problemas es considerada en la actualidad una de las partes esenciales de la educación matemática.

Mediante la resolución de problemas, los estudiantes desarrollan tanto competencias cognitivas como afectivas. Plantean y verifican hipótesis, experimentan, fortalecen procedimientos, clarifican y fortalecen conceptos, trabajan su autoestima. Lo anterior requiere de una planificación y de una de una puesta en escena adecuada por parte del profesor o profesora.

Lester(1985) propone que los profesores deben desempeñar tres funciones en la enseñanza de estrategias de resolución de problemas:

I. Facilitar el aprendizaje de estrategias, ya sea con su instrucción directa o bien con el diseño de los materiales didácticos adecuados.

II. Ser un modelo de pensamiento para sus alumnos y alumnas.

III. Ser un monitor externo del proceso de aprendizaje de los estudiantes, aportando, en un primer momento, las ayudas necesarias que faciliten la ejecución de determinadas actuaciones cognitivas las cuales, sin esta ayuda externa, el alumno y alumna no podría realizar.

En un segundo momento, el docente irá retirando gradualmente esta ayuda, en la medida en que el estudiante sea capaz de utilizarla de manera cada vez más autónoma

George Pólya (1887-1985) nacido Budapest, Hungría, es considerado dentro de los teóricos como el padre o precursor de la resolución de problemas. La obra de Pólya es bien conocida por los matemáticos y educadores, ya sean investigadores o profesores que se limitan a la labor docente. Sus libros:

• “Cómo plantear y resolver problemas”.• “Matemáticas y razonamiento plausible”.• “La découverte des mathématiques”

Son de lectura obligada para todo profesor que sienta que la enseñanza de las matemáticas debe ir más allá de mantener a los alumnos "quietos y callados" en sus asientos, reproduciendo algoritmos y acumulando contenidos.

Pólya, plantea cuatro etapas en la resolución de problemas matemáticos:

Primero: Comprender el problema:

¿Cuál es la incógnita?, ¿cuáles son los datos?, ¿cuáles son las condiciones?, ¿es posible satisfacerlas?, ¿son suficientes para determinar la incógnita, o no lo son? ¿son irrelevantes, o contradictorias?, etc.

Segundo: Diseñar un plan: ¿Seconoce un problema relacionado?, ¿se puede replantear el problema?, ¿se puede convertir en un problema más simple?, ¿se pueden introducir elementos auxiliares?, etc.

Tercero: Poner en práctica el plan: aplicar el plan, controlar cada paso, comprobar que son correctos, etc.

Cuarto: Examinar la solución: ¿S puede chequear el resultado?, ¿el argumento?, ¿podría haberse resuelto de otra manera?, ¿se pueden usar el resultado o el método para otros problemas?, etc.

Las estrategias más frecuentes que se utilizan en la resolución de problemas, según Fernández (1992), son:

• Ensayo-error. • Empezar por lo fácil, resolver un problema semejante más sencillo. • Manipular y experimentar manualmente. • Descomponer el problema en pequeños problemas (simplificar). • Experimentar y extraer pautas (inducir). • Resolver problemas análogos (analogía). • Seguir un método (organización). • Hacer esquemas, tablas, dibujos (representación). • Hacer recuento (conteo). • Utilizar un método de expresión adecuado: verbal, algebraico, gráfico,

numérico (codificar, expresión, comunicación).

Se dice que existe un problema, siempre que queremos conseguir algo y no sabemos como hacerlo, en otras palabras, tenemos una meta más o menos clara y no existe un camino inmediato y directo para alcanzarla; por lo tanto nos vemos obligados a elegir una vía indirecta, a hacer un rodeo.

Newell y Simón(1972), postulan que un problema es una situación en la que un individuo desea hacer algo para alcanzar una meta, pero desconoce la acción que deberá llevar para lograrla.

Una manera de clasificar los problemas es distinguir entre problemas bien definidos y mal definidos. Los problemas bien definidos, reciben toda la información necesaria (Solución-meta y caminos para alcanzar la meta), los mal definidos no reciben instrucciones necesarias. No existe un criterio claro sobre los pasos o movimientos lícitos para alcanzar solución-meta.

Ejemplo de un problema mal definido: Roberto le pregunta a Jano por las edades de sus tres hijas, Jano le responde -el producto de sus edades es 36 y la suma de sus edades es el número de tu casa Roberto-. Roberto piensa un

rato y le dice a Jano, ¡me falta un dato!, Jano le dice que la hija mayor tiene los ojos azules. Roberto lo mira y le dice gracias, ya tengo la respuesta. ¿Cuáles son las edades de las hijas de Jano? ¿Cómo lo supo Roberto?

Sugerencias Para estas primeras ORPMAT 2007

Utilice diversos tipos de problemas: Enigmas, de Ingenio, de lógica, aritméticos, geométricos, algebraicos. Por ejemplo:

1) ¿Cómo podemos poner a dos niñas sobre una misma hoja de papel de periódico sin cortarlo y sin que las niñas se puedan tocar?

2) ¿Qué es lo que se encuentra una vez en un minuto, dos veces en cada momento y nunca en un siglo?

3) La fecha del último mes pasado, sumada a la del primer jueves del mes que viene, da 38. Sabiendo que todas las fechas mencionadas ocurren en un mismo año, ¿en qué mes estamos?.

Además utilice distintos recursos: Geoplanos, Tangram, Puzzles aritméticos, rompecabezas geométricos, Sudoku, cuadrados mágicos, palos de fósforos.

Problema ¿De la siguiente igualdad se pueda escribir 140?.

Hay 3 pentaminós distintos que se ajustan a una caja rectangular de dimensión 4x2.

Responde:

a) ¿Cuántos hexaminós se ajustan a una caja de dimensiones de 2 x 4?b) ¿Cuántos hexaminós se ajustan a una caja de dimensiones de 3 x 4?

Resolución de Problemas (primera fase) (7º a 8º Básico)

1) Pablo está en un segundo piso, en el cual hay tres ampolletas que se conectan, cada una de ellas, a tres interruptores, respectivamente, del primer piso. ¿Qué debe hacer Pablo para bajar una sola vez al primer piso y saber, al volver al segundo piso, cual interruptor enciende la respectiva ampolleta?

2) Usando sólo cuatro cuatros, las operaciones de adición sustracción, multiplicación, división y el uso de paréntesis, escriba el número 8. Por ejemplo:

3) Si mido una cuerda de dos en dos metros me sobra un metro. Si la mido de tres en tres, me sobran dos metros. Si la mido de cuatro en cuatro, me sobran tres metros. Si lo hago de cinco en cinco, me sobran cuatro metros. Si la mido de seis en seis, me sobran cinco metros. Sabiendo que la cuerda tiene menos de 100 metros, ¿Cuál es longitud de la cuerda?

4) En el mundo de los animales extintos se encuentran el Pegaso y el Dinosaurio. El Pegaso miente los lunes, martes y miércoles, y el Dinosaurio miente los jueves, viernes y sábados. En todas las demás ocasiones ambos animales dicen la verdad. Un día ambos animales extintos mantuvieron la siguiente conversación:- Ayer me tocó mentir - dijo el Pegaso- También a mí me toco mentir - contestó el Dinosaurio

¿En qué día de la semana estaban?

5) Completa este cuadro para hallar cuántos polígonos hay de cada tipo.

6) Disponemos de jaulas y pájaros. Al poner cada pájaro en una jaula, sobra uno. Al poner dos pájaros en cada jaula, sobra una. ¿Cuántos pájaros y jaulas tenemos?

7) Una diagonal une dos vértices no adyacentes de un polígono. Dibuja sólo las diagonalesnecesarias para dividir la figura dada en las figuras que se dan a conocer para cada caso.

a) Dos triángulos equiláteros b) Dos triángulos rectángulosDos cuadriláteros Dos triángulos isósceles

8) ¿Cuál es el área de la región Achurada?

9) Tenemos un cubo 4x4x4 formado por 64 cubos de 1x1x1 . Hacemos seis agujeros de tamaño 4x1x1, atravesando el cubo grande como se indica en la figura. ¿Cuántos cubos 1x1x1 quedan del cubo inicial?

Resolución de Problemas (primera fase)(De 1º a 2 º Medio)

1) Una ventana cuadrada mide 1 metro de lado. Como estaba orientada al sur y entraba demasiada luz se disminuyó su tamaño a la mitad, tapando parte de ella. Tras ello la ventana seguía teniendo forma cuadrada y tanto su anchura como su altura seguían siendo de 1 metro. ¿Puede Ud. da una explicación de tan extraño fenómeno?

2) La hermana pequeña de Danilo ha cambiado las teclas o claves de la calculadora nueva que tiene su hermano, sin decirle nada a éste. Las teclas originales y las nuevas son las que se muestran en los siguientes dibujos:

Si Danilo presiona la tecla en la que hay un 4, el número que entra realmente en la calculadora es un 5 que, por otra parte, es lo que aparece en la pantalla. Sin darse cuenta de este asunto, Danilo ingresa en la calculadora un número primo p de dos dígitos, y otro número primo q de dos dígitos (utilizando lo que él ve, claro) y ordena sumarlos. Sorprendentemente, la respuesta que aparece es ¡la respuesta correcta!

¿Sabrías decir qué dos números primos p y q introdujo Danilo en su calculadora?

3) Se tienen tres vasos transparentes del mismo tamaño y diez monedas de un peso. Ocupando todas las monedas y los tres vasos. Muestre la forma de dejar en cada vaso un número impar de monedas de un peso.

4) Si fuera andando a 4 km/h llegaría 5 minutos tarde al colegio, pero como iré a 5 km/h llegaré 10 minutos antes de la hora de entrada. ¿A qué distancia está el colegio de mi casa?

5) Escriba un número de tres cifras, a continuación copie nuevamente dicho número y forme así un número de 6 cifras; divídalo por 7; el resultado obtenido divídalo por 11 y, finalmente, el nuevo resultado divídalo por 13.

El número pensado siempre es el resultado de la última operación, ¿por qué?

6) ¿Cuántos triángulos hay de hasta 12cm de perímetro con las unidades de sus lados todas enteras?

¿Cuál de todos los que tienen de perímetro 12 crees tú que es el de mayor área? Explícalo.

7) En una reunión hay 9 personas. La primera da la mano a una persona; la segunda da la mano a 2 personas; la tercera da la mano a 3 personas,..., la octava da la mano a 8 personas. ¿Cuántas veces da la mano la novena persona?Si en la reunión hubiera 100 personas y la primera da la mano a una persona, la segunda da la mano a 2 personas, la tercera da la mano a 3 personas,..., la 99ª da la mano a 99 personas, ¿a cuántas personas da la mano la persona número 100? ¿Puedes generalizar el problema a cualquier número de personas?

8) El señor McGregor, un comerciante londinense, telefoneó a Scotland Yard para decir que su tienda había sido robada. Se capturaron tres sospechosos, A, B, C, para su interrogatorio. El inspector Sherlock Holmes estableció sin ninguna duda los siguientes hechos:a) Cada uno de los tres hombres A, B, C, había estado en la tienda el día del robo, y nadie más había estado en ella ese día.b) Si A es culpable, entonces tenía un cómplice y sólo uno.c) Si B es inocente, también lo es C.d) Si dos, y sólo dos, son culpables, entonces A es uno de ellos.e) Si C es inocente, también lo es B.¿A quién inculpó el inspector Sherlock Holmes?

60º A

B

C

A

Problemas Muestra: Olimpiadas de Resolución de problemas (3º y 4º Medio)

1) Se tiene un triángulo equilátero ABC cuyo lado mide 6cm. Queremos inscribir en él un nuevo triángulo equilátero DEF de modo que sea perpendicular a , además sea perpendicular a y, por último, sea perpendicular a . Determine la longitud del lado del DEF.

2) Halle la suma 1 + 11 + 111 + ... + 111 ... 1 , si el último sumando es unnúmero de n cifras.

3) En la figura, el área del mayor círculo es 1 m2. La circunferencia menor es tangente a la circunferencia mayor y a los lados del ángulo inscrito que mide 60º.¿Cuál es el área del círculo menor?.

4) Pablo le pregunta a Luis por las edades de sus tres hijas. Luis le dice que el producto de las edades es 36 y la suma, por de las edades, por coincidencia, es el número de la casa del mismo Pablo. Pablo piensa un rato y le dice a Luis que le falta un dato. Luis lo mira y le dice que la hija mayor tiene los ojos verdes. Al cabo de un rato Pablo grita, ¡¡ lo tengo!! ¿Cuáles son las edades de las hijas de Luis, y como lo descubrió Pablo?

5) Un ingeniero que mide 168cm, desea saber la capacidad de un estanque esférico, para ello se coloca de frente a éste de tal manera que su frente toca la superficie del estanque. Un ayudante mide la distancia de sus pies al punto de tangencia del estanque con el suelo, midiendo 3m.Cuál es la capacidad del estanque.

Soluciones 5º a 8º Básico

1) Pablo debe bajar, apretar el primer interruptor y esperar 2 minutos, luego apretar el segundo interruptor por un tiempo breve y subir. La ampolleta más caliente será vinculada al primer interruptor, la que está tibia al segundo interruptor y la fría al tercer interruptor.

2) (4 +4 ) - (4 - 4)

3) 59 metros

4) El Jueves

5)

6) Hay cuatro pájaros y tres jaulas

7)

Soluciones 1º a 2º Medio

1) La siguiente figura muestra la solución.

2) Solución 53 y 47

3)

4) Solución 5 Km.

5) El número de seis cifras que tiene esas características es múltiplo de de 1001 y además , así al dividir sucesivamente el número por 7, 11 y 13, se llegará al mismo número.

6) 10 triángulos

7) La novena persona da la mano 4 veces. La persona número 100 da la mano 50 veces.

8) A los tres

Soluciones 3º a 4º Medio

1) cm

2)12345…n

3)

4) 2años, 2años y 9 años

5)

Cualquier duda o sugerencia escribir a orpmat2007@upla.cl

SUGERENCIA PARA TRABAJAR EN LAS OLIMPIADAS

.-Para trabajar más problemas o construir un nuevo instrumento para seleccionar a los estudiantes, se sugiere visitar la página http://www.sectormatematica.cl/olimpiadas.htm

Los textos que entrega el ministerio de educación propone problemas diversos que pueden ser utilizados en la preparación de los estudiantes.