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    Revista Escolar de la Olimpada Iberoamericana de Matemtica

    Nmero 18 (Marzo - abril 2005)ISSN 1698-277X

    ndice

    Artculos, notas y lecciones de preparacin olmpica

    Rafael Snchez Lamoneda y Jorge Salazar: OlimpiadasMatemticas enVenezuela 2000-2004.

    Francisco Bellot:Tringulos especiales (2)

    Problemas de nivel medio y de Olimpiadas

    Cinco problemas de la Olimpiada britnica

    Problemas para los ms jvenes

    Cinco problemas rumanos (de la revista Gazeta Matematica)

    Problemas

    Nota del editor Propuestos 86-90

    Resueltos:

    Solucin del problema 78, por Glauber Moreno Barbosa (Brasil)Solucin del problema 81, por Daniel Lasaosa Medarde (Pamplona, Espaa).Recibida una solucin a la primera parte del problema, por Jos M Pedret(Esplugues de Llobregat, Barcelona, Espaa).Solucin del problema 82, por Daniel Lasaosa Medarde (Pamplona, Espaa).Recibida otra solucin de Walter Carballosa (La Habana, Cuba)Recibidas soluciones al problema 83 por: Jess lvarez Lobo (Asturias,Espaa); Miguel Amengual Covas (Cala Figuera, Mallorca Espaa); RicardoBarroso Campos (Sevilla, Espaa); Walter Carballosa (La Habana, Cuba);Dones Colmenrez (Barquisimeto, Venezuela); Francisco Crdoba ; DanielLasaosa Medarde (Pamplona, Espaa); William Rodrguez Chamache (Per); yBruno Salgueiro Fanego (Galicia, Espaa). Presentamos la solucingeneralizada de Miguel Amengual Covas (Cala Figuera, Mallorca, Espaa) y laanaltica de Jess lvarez Lobo (Asturias, Espaa).Solucin al problema 85, por Carlos M. Casas Cuadrado (Madrid, Espaa).

    Propuestos

    Propuestos 86-90

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    Divertimentos matemticos

    El Profesor y el Antiprofesor

    Comentario de pginasPgina de geometra interactiva, del Prof. William Rodrguez Chamache (Per)

    Editor: Francisco Bellot Rosado

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    Olimpiadas Matematicas en Venezuela.20002004

    Rafael Sanchez LamonedaJorge Salazar

    Introducci onLas Olimpiadas Matem aticas se organizan por primera vez en Venezuela en elano escolar de 1975-76 como un programa para la promoci on de las matem aticasentre los j ovenes de la escuela secundaria. El Centro Nacional para el Mejo-ramiento de la Ensenanza de la Ciencia, CENAMEC, acoge el proyecto quepropone el profesor Saulo Rada del Instituto Pedag ogico de Caracas y con elapoyo de esta instituci on, el Ministerio de Educacion y el Consejo Nacional deInvestigaciones Cientcas y Tecnol ogicas, CONICIT, se organiza la PrimeraOlimpiada Matem atica Venezolana, OMV. Toda la logstica de organizacion lallevaba adelante un Comite Organizador conformado por profesores de variasinstituciones educativas y cientcas del pas. De esta manera comienza el pro-grama de Olimpiadas Matem aticas en Venezuela, logrando en 27 anos, unaparticipacion de mas de un mill on de jovenes a todo lo ancho y largo del pas.Este programa naliz o en el ano 2003.

    El exito de la OMV como programa de promoci on de las matematicas di oorigen a muchas otras olimpiadas de matem atica y competencias anes enVenezuela, siendo muy exitosa la Olimpiada Recreativa de Matem aticas, ORM,una iniciativa particular, que tuvo su origen en la solicitud que hiciese una al-calda de la Region Capital a un grupo de profesores relacionados con el ComiteOrganizador de la OMV. La ORM ha ido creciendo hasta convertirse en unacompetencia que se realiza en mas de quince estados del pas y que en el ano2004 llego a su edicion numero 12. M as adelante volveremos a tratar sobre estacompetencia.

    En el ano 2000, con el objetivo de promover las competencias de matematicas

    en Venezuela y de llevar adelante un amplio programa de selecci on y entre-namiento de estudiantes para participar en olimpiadas matem aticas interna-cionalmente, se fundo la Asociacion Venezolana de Competencias Matematicas,ACM. La ACM es una asociacion civil sin nes de lucro que con el apoyo de la

    Universidad Central de Venezuela. Facultad de Ciencias. Escuela de Matem aticas.CaracasVenezuela. [email protected]

    Universidad Pedag ogica Experimental Libertador. CaracasVenezuela. [email protected]

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    Asociacion Matem atica Venezolana, AMV, y el aval de la Academia Venezolana

    de Ciencias Fsicas, Matem aticas y Naturales, lleva adelante un programa na-cional de entrenamiento de estudiantes que ha producido resultados interesantes,como se vera mas adelante en este trabajo.

    La ACM, consciente de la importancia de un concurso nacional de matematicas,acogio como uno de sus programas a la ORM, comenz o la organizaci on de laOlimpiada Juvenil de Matem aticas, OJM, en el 2004 y desde el 2002 es miembrode la Organizacion Canguro sin Fronteras, lo cual le da el derecho de organizaren Venezuela y as lo hace desde el 2002, el Canguro Matem atico, la competencia juvenil de matem aticas de mayor difusion en el mundo entero.

    En las sesiones siguientes damos una explicaci on del programa de olimpiadasmatem aticas que la ACM lleva adelante con el apoyo academico de la AMV,mostramos los resultados alcanzados a nivel internacional entre los a nos 2000y 2004 y presentamos algunas estadsticas signicativas sobre el crecimientoen la participacion de estudiantes en nuestra Olimpiada. Finalizamos con unapequena muestra del tipo de ex amenes que se aplican en la ORM y la OJM.

    Programa.

    Podemos dividir nuestro programa de actividades en dos partes:

    1. Organizaci on de Olimpiadas Matem aticas

    2. Entrenamiento y participaci on internacional.

    Organizaci on de Olimpiadas Matematicas.

    La Asociaci on Venezolana de Competencias Matematicas y la Asociaci on Matem aticaVenezolana organizan una olimpiada matem atica dirigida a los estudiantes enedad escolar que abarca nueve niveles, desde tercer grado de Educaci on Basica,hasta el segundo ano de Educaci on Media y Diversicada. Nuestro sistema es-colar consta de nueve anos de Educaci on Basica y dos de Educacion Media yDiversicada, como escolaridad previa a la entrada a las universidades.

    Nuestra Olimpiada Matem atica est a dividida en las dos competencias yamencionadas en la introducci on, la ORM de 3 o a 6o grado y la OJM de 7 o enadelante. Ambos eventos constan de tres pruebas, la preliminar, la nal regionaly la nal nacional. La prueba preliminar es el Canguro Matem atico. En la nalregional participa el quince por ciento de los que presentaron la prueba prelimi-

    nar. Los ganadores reciben premios por regi on, los cuales consisten en medallasde oro, plata y bronce. Finalmente los ganadores regionales de medallas de oropresentan la prueba nal o nal nacional y de ah se seleccionan los ganadoresnacionales de nuestra Olimpiada. Los ex amenes de las nales regional y nacionalson de desarrollo. A los participantes se les plantean un grupo de problemas aresolver en un tiempo determinado y se corrige todo el procedimiento de res-olucion. La nal nacional tiene un formato similar al de la lMO (Olimpiada

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    Internacional de Matem aticas, por sus siglas en ingles), pero se hace en dos das

    consecutivos.Los mejores estudiantes en nuestras competencias nacionales toman parteen dos eventos internacionales por correspondencia, la Olimpiada Matem aticade Mayo, organizada desde Argentina por la Olimpiada Matem atica Argentina,OMA,y en la cual participan estudiantes de Iberoamerica, y la Olimpiada Boli-variana de Matem aticas, competencia dirigida a j ovenes de Bolivia, Colombia,Ecuador, Panam a, Per u y Venezuela y organizada por las Olimpiadas Colom-bianas de Matematicas.

    Entrenamiento y participaci on internacional.

    Participamos regularmente en las siguientes competencias internacionales

    1. Olimpiada Internacional de Matematicas. IMO

    2. Olimpiada Iberoamericana de Matem aticas. OIM.

    3. Olimpiada Matem atica de Centroamerica y El Caribe. OMCC.

    4. Olimpiada Bolivariana de Matem aticas. OBM.

    5. Olimpiada Iberoamericana de Matem aticas Universitaria. OIMU.

    Tenemos un programa de entrenamiento en cinco ciudades del pas, Caracas,Valencia, Barquisimeto, Maracaibo y Merida y con sede en las universidades m asimportantes de esas regiones. En el mismo participan anualmente alrededor de250 jovenes de 7o a 9o de Escuela B asica y de los dos anos de la Educaci on Mediay Diversicada. El programa es permanente y nuevos estudiantes ingresan enel mes de octubre de cada ano. De Octubre a Diciembre hay clases los s abadosy adem as en el ano 2004 comenzamos a atender los estudiantes por medio denuestro sitio en internet (http://www.acm.org.ve. En Enero un grupo de unmaximo de diez estudiantes va a un entrenamiento especial de tres semanas enla Universidad Antonio Nari no, en Bogot a, este entrenamiento es organizado porlas Olimpiadas Colombianas de Matem aticas. Los otros estudiantes contin uancon su programa de clases sabatinas y mensualmente, a partir de Febrero, losmejores estudiantes son convocados a jornadas intensivas de entrenamiento enel Instituto Venezolano de Investigaciones Cientcas, IVIC, o en el Instituto deEstudios Avanzados, IDEA, estas jornadas se hacen durante los nes de semana.En Junio, Julio y Septiembre, los equipos que competir an en la OMCC, la IMO

    y la OIM, son concentrados la semana previa a su partida, en el IVIC o IDEA, junto al jefe y el tutor de cada delegacion.El programa de entrenamiento tiene como objetivo preparar a los partici-

    pantes para competir en Olimpiadas de Matem aticas. Los temas que se cubrenson los clasicos de estas competencias y se hace un gran enfasis en la resoluci on deproblemas olmpicos. Regularmente un estudiante que ingresa al programa re-quiere de dos a nos de entrenamiento para poder asistir a una IMO y al menos un

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    ano para la OMCC. Hay que tener presente que no solamente hay que ense narles

    temas totalmente nuevos, tambien hay que entrenarlos en una forma de pen-sar y trabajar en matem aticas, desconocida para la mayora de ellos, pues lasexigencias tradicionales de la escuela, se basan en la repetici on de conceptos yalgoritmos.

    Los instructores del programa de entrenamiento son profesores de univer-sidades y j ovenes con experiencia en olimpiadas matematicas. Cabe destacarque la participacion de los estudiantes con experiencia en olimpiadas ha sidofundamental y nos ha permitido mejorar la interacci on con los estuiantes enentrenamiento.

    Resultados y Estadisticas: 2000-2004.

    En esta secci on mostramos los resultados obtenidos con nuestro programa deOlimpiadas Matem aticas. El trabajo que hacemos desde el a no 2000 tiene dosobjetivos:

    1. Detectar jovenes con talento para las matem aticas

    2. Promocionar el estudio de las matem aticas en estudiantes y maestros

    Con el primer objetivo pretendemos conseguir j ovenes con talento para estu-diar matematicas y que efectivamente elijan esa carrera al ingresar a la universi-dad. Desde el an no 2000 hemos reclutado para nuestras escuelas de matematicascinco estudiantes que ocupan en estos momentos los mejores lugares de su grupoy que adem as contin uan con nosotros como entrenadores de nuevos estudiantes.

    En relaci on a la promocion de las matematicas los n umeros que les presen-tamos al nal de esta seccion muestran el avance y consolidaci on de nuestroprograma. La adicion del Canguro Matem atico le ha agregado un valor adi-cional a nuestra competencia, pues nos permite hacer comparaciones muy utilescon estudiantes de otros pases, ademas las pruebas del Canguro tienen un granvalor por la diversidad de personas que colaboran en su elaboraci on.

    Otro aspecto importante es la cantidad de medallas y premios alcanzadosentre los a nos 2000 y 2004, en competencias internacionales: En la IMO, dosmedallas de plata, dos de bronce y tres menciones honorcas. Nunca antes,en todas las participaciones espor adicas de Venezuela en la IMO, (a nos 1981,1982, 1989, 1997, 1998, 1999) habamos obtenido alg un premio. En la OIM, unamedalla de oro, cuatro de plata, cinco de bronce y cuatro menciones honorcas.En el a no 2001 ganamos la Copa Puerto Rico que se otorga al pas de mayorprogreso en esta competencia. En la OMCC, una medalla de oro, cuatro deplata, cuatro de bronce, tres menciones honorcas y en el 2004 la Copa ElSalvador, equivalente a la Copa Puerto Rico de la OIM. Adem as de una cantidadimportante de medallas en la OBM, la OMM y la OIMU.

    Las siguientes tablas muestran el aumento de la participaci on en los anos2000 a 2004 y la participacion en el Canguro Matematico en el a no 2004.Recuerdese que el Canguro es el certamen preliminar de nuestra olimpiada.

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    Ecolier Benjamin Cadet Junior Student 1 Student 2 totalANZOATEGUI 218 229 145 96 92 49 829

    ARAGUA 415 554 404 118 109 84 1684BOL IVAR 567 557 384 175 210 204 2097

    CARABOBO 2453 2403 614 300 128 113 6011COJEDES 42 40 65 18 31 23 219GU ARICO 41 33 56 25 24 33 212

    LARA 153 169 86 23 27 39 497M ERIDA 34 43 45 12 26 25 185

    MIRANDA 1649 1684 1039 416 327 267 5382N.ESPARTA 541 630 350 186 145 63 1915

    D.CAPITAL 208 534 36 0 0 0 778SUCRE 35 49 51 25 38 28 226T ACHIRA 11 19 30 27 15 6 108

    ZULIA 920 938 513 289 155 130 2945TOTAL 7287 7882 3818 1710 1327 1064 23088

    Tabla 1. N umero de participantes por estado y grado. Canguro Matematico 2004

    REGIONES 2000 2001 2002 2003 2004 TOTALANZOATEGUI 700 829 1529

    ARAGUA 650 1500 1800 588 1680 6218BARUTA 1200 1200 2200 2200 2200 9000

    BOL IVAR 1500 1500 765 2097 5862CARABOBO 2000 6500 6500 3688 6001 24689COJEDES 119 219 338

    D.CAPITAL 450 2300 4500 2004 6160 15414GU ARICO 4000 212 4212

    LARA 12000 142 497 12639M ERIDA 185 185

    N.ESPARTA 5000 2800 2000 732 1915 12447POTUGUESA 250 500 750

    SUCRE 226 226T ACHIRA 450 300 750

    ZULIA 1200 3500 1615 2945 9260TOTAL 22700 17500 26000 11853 25466 103519

    Tabla 2. N umero de participantes por a nos y regiones

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    Examenes

    A continuacion les presentamos algunas de las Pruebas de la ORM y OJM delano 2004.

    1. Olimpiada Recreativa de Matematicas. Prueba Nacional 2004Tercer Grado

    Problema 1 En tu hoja de respuesta se te presentan cuatro geoplanos. Dibuja enel primer geoplano un tri angulo con s olo 3 clavos en su interior, en elsegundo geoplano un rectangulo con s olo 4 clavos en su interior, enel tercer geoplano un pent agono con solo 5 clavos en su interior y enel cuarto geoplano un hexagono con solo 6 clavos en su interior.

    Problema 2 En un juego se establecen las siguientes reglas: Primer jugador gana:Bs. 3. Cualquier otro jugador gana: lo que gan o el anterior jugadormas Bs. 5 Cu anto gana el decimo jugador?

    Problema 3 Hay 50 mangos en las cinco cajas de la gura. Cu antos mangos hayen cada caja?

    stos dos envases contienen en

    otal 27 mangos Estos dos envases contienen en total18 mangos

    Estos dos envases contienen en total18 mangos

    Estos dos envases contienen entotal 18 mangos

    A B C D E+ + + + = 50

    Explica c omo obtienes tu respuestaProblema 4 Un bombero, apagando un fuego, est a parado en el peldano mitad

    de la escalera. Sube tres peldanos, pero el fuego hace que baje 5pelda nos. Vuelve a subir 7 peldanos para extinguir el fuego y nal-mente sube 6 peldanos para alcanzar el ultimo peldano de la escalera.Cuantos pelda nos en total tiene la escalera? Explica c omo obtienestu respuesta

    Problema 5 Pedro trabaja el n de semana en una tienda de ropa para caballeros.El gana bonos especiales por vender algunos artculos: gana Bs. 4.000por cada chaqueta, gana Bs. 3.000 por un par de pantalones y gana

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    Bs. 1.000 por cada camisa que venda. No recibe bonos si vende cor-

    batas o medias. Al nal del domingo, Pedro recibi o de bono especialBs. 20.000 por siete artculos que vendi o. Cuales son los posiblesartculos que Pedro vendi o?

    2. Olimpiada Recreativa de Matematicas. Prueba Nacional 2004Sexto Grado

    Problema 1 Observa c omo las abejas comienzan a construir su panal: crece en ca-pas. Cuantos hexagonos hay en el borde de la quinta capa? Explicacomo obtuviste tu respuesta

    Problema 2 En julio 9, Guillen y Mora tenan un promedio de bateo de 250.Guillen tena 20 hits en 80 turnos y Mora tena 15 hits en 60 turnos.Si manana batean de cuatro, cuatro, cu al sera el promedio de cadauno?

    Problema 3 En la multiplicacion de abajo, las letras representan dgitos dife-rentes. Calcula la suma A + B + C + D + E. Explica c omo obtuvisteel dgito que representa cada letra.

    A B C D E

    4

    E D C B A

    Problema 4 Pedro, Ana y Gustavo ganan un total de Bs. 15.000 lavando carros.Cada uno de ellos gano una cantidad diferente de dinero. Pero e-llos convienen en compartir sus ganancias en partes iguales y en esesentido, Pedro dio la mitad de su ganancia para repartirlo en partesiguales entre Ana y Gustavo. Pero entonces Ana tena mucho dineroy por tanto le dio Bs. 1000 a cada uno de los otros dos. Finalmente,para que los tres tuvieran la misma cantidad de dinero, Gustavo ledio Bs. 200 a Pedro. Cuanto dinero se gano cada uno originalmente?

    Problema 5 Un papel de forma cuadrada de 20 cm de lado tiene una cara de colorgris y la otra cara de color blanco. Dividimos cada lado en cuatropartes iguales y doblamos las puntas del cuadrado por los segmentospunteados que se indican en la gura 1, con lo que obtenemos lasituaci on de la gura 2. Calcula la supercie del cuadrado gris y ladel cuadrado ABCD que lo contiene en la gura 2.

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    Figura 1

    20 cm

    Figura 2

    A

    B

    C

    D

    3. Olimpiada Recreativa de Matem aticas. Prueba Regional 2004Cuarto Grado

    Problema 1 Se te presenta la misma gura tres veces. Se quiere pintar cada regi oncon un solo color: de rojo (R) o de azul (A). Coloca la letra R o laletra A en cada region de tal forma que las guras sean coloreadasen forma diferente. De cuantas formas diferentes puedes colorear lagura?

    Problema 2 Un Zu es igual a la mitad de un Zo. Tres Za es igual a la mitad deun Zu.Cu antos Za es un Zo? Explica como obtienes la respuesta.

    Problema 3 En una tienda venden tres artculos a Bs. 30 cada uno y dos artculosa Bs. 40 cada uno. Cuantas cantidades diferentes de dinero puedeobtener la tienda con la venta de esos artculos? Puedes explicarmediante una tabla tu respuesta.

    Problema 4 Observa las balanzas en equilibrio:

    50 kg 10 kg 50 kg

    Cuanto pesa la bola negra? Explica como obtienes la respuesta.

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    6. Olimpiada Juvenil de Matematicas Final Nacional. Junio de

    2004. 2o

    de Diversicado.Problema 1 Se denota con P (n ) y con S (n ) el producto y la suma, respectiva-

    mente, de los dgitos del entero positivo n. Por ejemplo: P (34) = 12y S (34) = 7 . Si n es un numero de dos dgitos y P (n ) + S (n ) = n,cual es el dgitos de las unidades de n ?

    Problema 2 Denimos una nueva operaci on en el conjunto de los n umeros realesmediante la f ormula a b = a + b2 . Si x (x 14) = x , halla el valorde x.

    Problema 3 Un tri angulo rectangulo tiene catetos de longitudes a y b. Una cir-cunferencia de radio r es tangente a los dos catetos y tiene su centrosobre la hipotenusa del tri angulo rectangulo. Demuestra que:

    1a

    + 1b

    = 1r

    .

    Problema 4 Una banda musical de la Asociaci on Venezolana de CompetenciasMatem aticas est a marchando en formaci on. Al inicio, la banda formaun cuadrado con igual numero de columnas que de las, pero luegocambian a la forma de un rect angulo con cinco columnas mas que elnumero de las. Cuantos m usicos tiene la banda?

    Problema 5 En cada planeta de un sistema solar hay un astr onomo observandoal planeta mas cercano al suyo. Las distancias entre los planetasson distintas dos a dos. Demuestre que si la cantidad de planetas esimpar, entonces hay por lo menos un planeta al que nadie observa

    Conclusiones

    Si bien en Venezuela se comenzaron a organizar Olimpiadas Matem aticas en elano 1975, desde el ano 2000 con la aparici on de la Asociaci on Venezolana deCompetencias Matem aticas y la participaci on de la comunidad matem atica delpas, representada por la Asociaci on Matem atica Venezolana, se le ha dado aestas competencias un valor agregado que se muestra en los resultados obtenidosinternacionalmente. La meta a mediano plazo es lograr una mayor participaci onde los maestros y profesores de la Escuela B asica, as como extender nuestroprograma a todos los estados del pas.

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    TRINGULOS ESPECIALES(2)Francisco Bellot Rosado

    II. Tringulos especiales definidos por relaciones entre sus ngulos

    II.1 Tringulo con uno de sus ngulos doble de otro: A 2B

    Mediante el teorema del coseno se puede obtener fcilmente la siguiente relacin entre suslados

    a 2 b 2 bc .

    Si OD y OE son las distancias de O a los lados BC y CA, se verifica

    ODOE

    b " c

    a

    (este resultado se encuentra en Mathesis 1939). La primera parte fu un problema propuestoen Valladolid en la 1 Fase de la O . M . E . 1990.

    La longitud de la bisectriz interior desde A es bca ;AI a " b; II a 2bc 4b 1 2cos A .La circunferencia que pasa por A,I,B corta respectivamente a los lados CB y CA en puntos

    P,Q tales que

    QA AI IP PB a " b.

    Las rectas PI,PA son respectivamente paralelas a AB,BQ. La recta PQ pasa por el pie de la

    bisectriz interior del ngulo C y |PQ | c.OC corta a AB en un punto que dista b del punto A.( Estas propiedades son de G . de Longchamps )Se verifican adem s las relaciones

    cos A c " b2b

    ,cos B c b2a

    , r r a a " 2ba 2b

    .

    ( Barisien , Mathesis 1912)

    Algunos problemas relativos a este tri ngulo:

    Problema 39 : Si en un tri ngulo b 4c cos 30 A2 cos 30 " A2 , entonces A 2C

    y se tiene

    a 2 c b c .

    Problema 40 : En el tri ngulo ABC , B 40, C 80. Probar que

    9a 2b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 a 3 b 3 c 3 2

    ( Ioan Tomescu , en Gazeta Matematica )Problema 41 : Si en un tri ngulo a 4, b 5, c 6, entonces C 2 A.

    Problema 42 : Si en el tri ngulo ABC se tiene A 2 B 4C , entonces

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    a 2 c a b " c

    Si A = 7 , B 2 = 7 , C

    4 = 7 , entonces :

    1) Los puntos A , B, C son v rtices de un pol gono regular de 14 lados .2) OH OI a R 23) R 2r a4) I a H R5) a 2 b 2 c 2 7 R2

    6) Si B es el v rtice A 1 , C es A 3 , y A A7 (v rtices del pol gono regular antes mencionado ),entonces OI a HA6 es un paralelogramo cuyo centro coincide con el centro del c rculo de los 9 puntos de ABC .

    7) El punto medio del segmento HA 6 coincide con uno de los puntos de intersecci n delc rculo circunscrito y el de los 9 puntos de ABC .

    8) Los tri ngulos AI a H , HBI a , I a HC son semejantes .9) Las rectas BC ,CA, AB cortan a la recta HI a en puntos sim tricos de A , B y C con respecto a

    las bisectrices de los ngulos C , A, B de ABC ( para los ngulos C y B deben tomarse lasbisectrices exteriores ).

    10) Los cuadrados de las longitudes de los lados del tri ngulo OI a A6 y los cuadrados de laslongitudes de los lados del tri ngulo A 6 I a H forman una progresi n geom trica de raz n 2.

    ( Los 10 apartados forman un problema del libro de P .S. Modenov Problems in Geometry , Mir , Moscow , 1981).

    Para este tri ngulo, si BD y CE son las bisectrices interiores, Li nard prob en Mathesis , vol .3,las propiedades

    b 2 c AE , a 2 b CD , ab c CE , ac b BD , a 2 BD CE

    Igualmente para este tri ngulo, en Mathesis vol .64 (1955) se demuestra que

    ( ( U

    R2 y que cotF 7 .

    II .2 Tri ngulo con uno de sus ngulos triple de otro : A 3B

    En la Olimpiada checa y eslovaca de 1997 se propuso el siguiente problema :Si en un tri ngulo , A 3 B, entonces se verifica a 2 " b 2 a " b bc 2 . Es cierto el

    rec proco ?La primera parte se reduce a comprobar una identidad trigonom trica, una vez que se

    sustituyen los lados en funci n de los senos de los ngulos opuestos mediante el teorema de lossenos.El rec proco es en general falso: como la funci n seno tiene per odo 2 = , los lados del tri ngulo

    tienen la forma

    a K sin3 B, b K sin B, c K sin4 B

    (porque C = " 4 B ,tambi n en el caso en que

    A 3 B " 360 , y C 540 " 4 B,

    por ejemplo cuando A 15, B 125 , C 40. Para un tri ngulo con esos ngulos, laigualdad a 2 " b 2 a " b bc 2 se mantiene, pero A p 3 B.Q

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    16/46

    Para tri ngulos cuyos ngulos verifican la proporci n

    A : B : C 1 : 3 : 9

    se pueden demostrar las siguientes relaciones:

    HH a HH b " HH c R2 ,

    OI 2 OH 2 5 R2

    bc ca ab 13 R2

    1cos F 1 13

    ( Mathesis , vol .68 (1959); as como tambi n

    cos Bcos C cos C cos A cos Acos B " 14

    (Victor Th bault, en American Mathematical Monthly , E 1301,1958)

    Observaci nEn Crux Mathematicorum 1984, p.36-39, Oene Bottema y L o Sauv estudiaron la existencia

    de un tri ngulo para el que se verificase la relaci n

    cos A : cos B : cos C l : m : n.

    II .3 Tri ngulo con uno de sus ngulos cu druple de otro : A 4B

    En la Competici n Matem tica Mediterr nea de 1999, Bulgaria (por medio de la Prof. EmiliaVelikova) propuso el siguiente problema:

    En el tri ngulo ABC , A 4 B. Demostrar que

    a 2 bc 3 a 2 " b 2 bc b 2 " a 2 bc 2 .

    (Dejamos la demostraci n a los lectores, recomend ndoles que utilicen los dos casos (A 2B yA 3B) anteriores).

    II .4 Tri ngulo con ngulos en progresi n aritm tica : C A 2BHayo Ahlburg (residente en Benidorm, Alicante, Espa a) propuso en Crux Mathematicorum

    (1982, p.78) el problema de demostrar que para estos tri ngulos se verifican las propiedadessiguientes:

    i) sin A " B sin A " sin C ii) a 2 " b 2 c a " c iii) A, C , O , I , H , I b estn en una circunferencia de radio R.(Observaci n: como este tri ngulo tiene un ngulo de 60 , ver el siguiente tipo de tri ngulos)

    II .5 Tri ngulo con un ngulo de 60 120

    Para fijar ideas, supongamos A 60 A 120 .

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    Lemoine demostr en 1900 que, en estos casos, la recta de Euler HO es perpendicularrepectivamente a la bisectriz interior o exterior del ngulo A.

    En Mathesis 1897 y 1914, D prez , Goormaghtig y Barisien probaron los 9 resultadossiguientes para el caso A 60 :

    1) O 9 est en la bisectriz interior desde A

    2) El punto de Feuerbach I es el punto medio de AI3) Llevando sobre AB y AC las longitudes AC b, ABU c, los ocho puntosB,C,B ,C,O,H,I, I a estn en una circunferencia.

    4) OH |b " c |5) p R r 3 r a 36) r p

    a

    3

    7) R AH 8) AI 2r 9) cos B 2c b2a ,cos C

    2b c2a

    10) La circunferencia BCO corta a la simediana AK en un centro is gono de ABC y a lamediana AG en un centro isodin mico de ABC. (Emmerich)

    En la Enciclopedia de Geometr a de Shiiko Iwata (vol.3, p.440 y siguientes) se recogen variosresultados de V ctor Th bault en Mathesis (1930) en relaci n con estos tri ngulos:

    11) AH AO R12) O 9 I OH 13) a 2 b 2 c 2 6 R2 4r R r Algunos problemas sobre estos tri ngulos:

    Problema 43 : Probar que si en el tri ngulo ABC , A 60, entonces

    3 b 2 c 2 4 h b2 h c2 .

    Es cierto el rec proco ? (Gazeta Matematica 1968)Problema 44 : En ABC , A 60. Probar que la distancia entre el baicentro G y el centro

    isgono interior (desde donde los lados del tri ngulo se ven bajo el mismo ngulo ) es |b c |3 . (Ioan

    Tomescu, Gazeta Matematica 1964)Problema 45 :Si BE y CF son las bisectrices interiores del tri ngulo ABC , con A 60,

    entonces las circunferencias ABE y ACF se cortan sobre el lado BC ( Mathesis 1935)Problema 46 :Si, en el tri ngulo ABC , se verifica

    sin A sin B sin C cos A cos B cos C

    3 ,

    entonces al menos un ngulo del tri ngulo es de 60. ( W . J . Blundon Am . Math . Monthly , E 1936, 1966, p.1122)

    Problema 47 : El tri ngulo ADC es tal que C 120 . La bisectriz interior de C corta a AD en B. Probar que 2 CB es la media arm nica de CA y CD. (Am. Math. Monthly, 1904, p.16)

    Problema 48 : Si en el tri ngulo ABC se verifica

    cos3 A cos3 B cos3 C 1,

    alguno de los ngulos del tri ngulo es de 120 .

    Tri ngulos especiales definidos mediante otras condiciones sobre sus ngulos

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    II .6 El tri ngulo tal que tan A tan B tan C Se cumplen las propiedades siguientes ( Mathesis , 1907 y 1922):a) H es el punto medio de la altura desde A.

    b)cos A cos Bcos C 1

    2sin Bsin C

    tan B tan C 2

    c) Los puntos medios de las alturas desde B y C est n situados sobre OC y OB; la recta queune esos puntos medios pasa por G.

    d) b 2 c 2 " a 2 h a2 ; 3a 2 b 2 c 2 16 R2 (Thbault)e) 3cos A cos B " C f) 3a 4 " 2 b 2 c 2 a 2 " b 2 " c 2 2 0

    II .7 El tri ngulo tal que cot A cot B cot C Thbault y Goormaghtigh estudiaron este tri ngulo en Mathesis, 1922; se cumplen las

    propiedades :a) 3 a 2 b 2 c 2

    b) a 2 bc cos Ac) h a a tan Ad) cot F 2cot Ae) La distancia del punto de Lemoine K al lado BC es la cuarta parte de la altura desde A

    (Thbault)f) G pertenece a la recta que pasa por los pies de las alturas desde B y C (Goormaghtig)

    II .8 El tri ngulo tal que sin A sin Bsin C Resultados de Th bault en Mathesis 1922 :a) h a a , pues c sin B h a b sin C , as que h a2 bc sin A abc2 R ;usando el teorema de los senos en la condici n del problema, resulta2 Ra bc , es decir a 2 h a2 .b) 5 " 1 b2c 5 1

    II .9 El tri ngulo tal que cos B cos C 1En este tri ngulo se tiene: OI 5 BC ; AI IH . En efecto: De la identidad conocida

    cos A cos B cos C 1 r R , resulta R cos A r , y esto quiere decir que OA m ID ,es decir,OI 5 BC .

    Por otra parte, de AI r sin A2

    obtenemos AI AH 1

    2sin A2.

    Transformando en producto cos B cos C 2sin A2 cosB C

    2 1 y por lo tanto AI AH cos

    B C 2 .

    esto quiere decir que IAH B C 2 y por la definici n de coseno, AIH 90.Q En este tri ngulo tambi n se verifican las relaciones

    sin 2 B2

    sin 2 C 2

    12

    ; tan 2 A2

    R " r R r .

    II .10 El tri ngulo tal que cos A cos B cos C En este tri ngulo se cumplen las relaciones siguientes:i) 4 p p " b p " c abc

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    ii) R r aiii) O pertenece a la recta que une los pies de las bisectrices interiores de B y C.iv) H a OI .(V.Th bault)i) es una consecuencia del teorema del coseno.

    ii) r a

    S p a , R

    abc4S as que la igualdad a demostrar es 4 S

    2

    abc p " a y usando i) resultala f rmula de Her n.iii) Si M 1 , M 2 , M 3 son los puntos medios de los lados del tri ngulo, la igualdad que define los

    tringulos es OM 1 OM 2 OM 3 , de donde se deduce la conclusi n.iv) M 1 H a R sin C " B si suponemos c b. Entonces

    OM 1 M 1 H a

    cos A

    sin C B . Si D es el punto de tangencia del inc rculo con BC,

    se tiene ID DH a r

    AI sin C B2

    sin A2sin C B2

    OM 1

    M 1 H a

    ID DH a

    , de donde se deduce que O,I, H a estn

    alineados. Q Otras propiedades de este tri ngulo:v) Las rectas que unen los v rtices A,B,C con los puntos de tangencia del exc rculo I a con

    BC,CA,AB concurren en un punto del c rculo circunscrito a ABC.vi) El c rculo de di metro AH a pasa por el punto de Feuerbach I del tri ngulo.vii) a 2 p b 2 p " c c 2 p " b .Neuberg, en Mathesis 1923, demostr mediante coordenadas trilineales que si la recta H b H c

    pasa por I, entonces cos A cos B cos C .

    II .11 El tri ngulo tal que cos2 A cos2 C cos2 BBarisien prob el resultado siguiente:

    Si BO es tangente a la circunferencia que pasa por O, C y H a , entonces se verifican lasrelaciones

    i) a 2 " b 2 c 2 2 R2ii) cos2 A cos2 C cos2 B.En efecto, de la condici n del problema se desprende que

    R2 ac cos B, *

    que junto con el teorema del coseno ( b 2 a 2 c 2 " 2ac cos B da i).Por otro lado, a 2 4 R2 sin 2 A 2 R2 1 " cos2 A y sustituyendo en i) resulta directamente

    ii). Q

    II .12 El tri ngulo tal que 2tan A tan B tan C Se puede probar que esta expresi n es equivalente a OH 5 BC .En efecto, sea M 1 el punto medio de BC; entonces OH 5 BC se expresa mediante

    OM 1 HH a , pero OM 1 R cos A, HH a 2 Rcos Bcos C resulta que cos A 2cos Bcos C ' ' Por otro lado, 2tan A tan B tan C 2sin Acos A

    sin Bcos B

    sin C cos C

    sin B C

    cos Bcos C

    sin Acos Bcos C y resulta claramente (**). Q

    II .13 El tri ngulo tal que tan 2 A2 tanB2 tan

    C 2

    Probemos que esta igualdad es equivalente a estas dos:i) a b c b 2 c 2

    ii) KI 5 BC En efecto, la igualdad trigonom trica se escribe

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    p " b p " c p p " a

    p " c p " a p p " b

    p " a p " b p p " c

    p " a p

    y desarrollando se obtiene i).Por otro lado KI 5 BC se escribe igualando r a la primera coordenada trilineal absoluta del

    punto de Lemoine, que es 2aSa 2 b 2 c 2

    ,y desarrollando y simplificando, teniendo en cuenta que S pr , se obtiene i). Q Por su parte, C.W.Trigg, utilizando coordenadas trilineales demostr (A.M.Monthly

    1951,E964) que tan 2 A2 tanB2 tan

    C 2 es equivalente a que la recta que une el punto de Gergonne

    con el de Nagel sea paralela a BC.Si a , N a son los pies de las cevianas de Gergonne y Nagel desde A, entonces

    A a

    CA AB BC

    1 p b

    1

    p c

    1 p a

    a p " a p " b p " c

    .

    Anlogamente,

    AN NN a

    p " b p " c p " a

    a p " a

    Igualando las fracciones y desarrollando se obtiene a b c b 2 c 2 Q

    II .14 El tri ngulo tal que cot 2 A cot Bcot C Thbault demostr que, para este tri ngulo,i) a 2 b 2 c 2 b 4 c 4

    ii) H b H c y AK son las diagonales de un paralelogramoiii) OH AK En efecto, la condici n del problema se expresa en funci n de senos y cosenos; operando y

    teniendo en cuenta los teoremas del seno y el coseno se obtiene i).Sea K 1 el pie de la simediana desde A: entonces

    BK 1CK 1

    c 2

    b 2(teor. de la simediana), de aqu que

    CK 1CB

    b 2

    b 2 c 2, y por otra parte

    CH bCA

    a cos C

    b

    a 2 b 2 c 2

    2b 2 utilizando i)

    2b4

    b2 c2

    2b 2

    b 2

    b 2 c 2

    CK 1CB . Esto demuestra que

    K 1 H b 5 BA, y anlogamente se demuestra que K 1 H c 5 CA, de donde se deduce ii).iii) se puede probar mediante coordenadas trilineales. Q

    II .15 El tri ngulo cot A cot B o cot C Thbault prob en Mathesis (1932) que , en este tri ngulo , se verifican las relacionesi) cot F 2ii) a 2 8Siii) 5 a 4 6 b 2c 2 .

    Problemas sobre tri ngulos definidos mediante otras relaciones entre sus ngulosProblema 49 : Si las tangentes de los ngulos de un tri ngulo est n en progresi n aritm tica ,

    la recta de Euler es paralela a un lado . ( Am. Math . Monthly , E 259, 1937, p.104)Problema 50 : Determinar la relaci n que existe entre los ngulos de un tri ngulo cuyo

    baricentro est en la circunferencia inscrita (V . Cristescu , en Gazeta Matematica 1895)

    Problema 51 : Los tres ngulos de un tri ngulo est n en progresi n aritm tica ; demostrar que

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    1 cos B 1 cos C 1 " cos A 2cos Acos Bcos C

    (Murray Klamkin, en Crux Mathematicorum, 1990, p.109)

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    PROBLEMAS DE NIVEL MEDIO Y DE OLIMPIADAS(18)

    Cinco problemas de la Olimpiada britnica:

    1996, #1: Una funcin f est definida para todos los enteros positivos y satisface

    f 1 1996,

    f 1 f 2 C f n n 2 f n , n 1.

    Calcular el valor exacto de f 1996 .

    1995, #1: Hallar todos los cuadrados perfectos que terminan en tres cuatros. Probar que ningncuadrado perfecto puede terminar en cuatro cuatros.

    1993,#3: Para cada entero positivo c, la sucesin de enteros u n se define mediante

    u 1 1, u 2 c

    u n 2n 1 u n 1 n 2 1 u n 2 , n K 3.

    Determinar los valores de c para los que esta sucesin tiene la siguiente propiedad:

    u i divide a u j siempre y cuando i J j.

    1991,#3 : ABCD es un cuadriltero inscrito en una circunferencia de radio r . Las diagonales AC y BD se cortan en E . Probar que, si AC es perpendicular a BD , entonces

    EA2 EB2 EC 2 ED 2 4r 2 (*).

    Es cierto que, si (*) se cumple, entonces AC es perpendicular a BD? Justifique la respuesta.

    1988, #1: Hallar todos los enteros a , b, c tales que

    x a x 10 1 x b x c para todo x.

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    PROBLEMAS PARA LOS MS JVENES(18)

    Cinco problemas rumanos

    Presentamos a continuacin cinco problemas rumanos, de la coleccin de problemas de larevista Gazeta Matematica , correspondientes a la Clase 5 (primero de la Educacin secundaria enaquel pas), tomados de la recopilacin Gazeta Matematica : a bridge over three centuries , cuyoseditores son Vasile Berinde y Eugen Paltanea, libro publicado por la Sociedad de Cienciasmatemticas de Rumania, y presentado en el ICME 11 de Copenhague 2004.

    18.1: Probar que si un nmero entero positivo es mltiplo de 19 ms 10, nunca puede sercuadrado o cubo perfecto.

    18.2: Hallar las cifras a y b para que el nmero (escrito en el sistema decimal) 543 ab 2 seadivisible por 42.

    18.3:Probar que, para cualquier valor del entero positivo n, la fraccin

    65n 339n 2

    es irreducible.18.4:El nmero inmediatamente siguiente a la suma de tres nmeros primos es un nmero

    primo. Hallar los cuatro nmeros primos del enunciado.18.5:Probar que existen tres enteros positivos x, y, z tales que

    x2 y2 z2 41 13 .

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    Nota del editor

    En el nmero 17 de la Revista Escolar de la OIM se deslizaron algunos errores que fueronpuestos de manifiesto por algunos lectores y que fueron, en consecuencia, corregidos. Pido

    disculpas y al mismo tiempo doy las gracias por haberlas advertido.

    En otro orden de cosas, el editor, en el ejercicio de sus funciones, ha mantenidocorrespondencia sobre el problema 61, del que publicamos un contraejemplo de los dos recibidos,con el autor del contraejemplo publicado y con el proponente del problema. Como resultado finalde esta correspondencia, podemos enunciar de la manera siguiente el problema, que llamaremosProblema 61 (Corregido):

    Problema 61(Correccin)Propuesto por Laurentiu Modan, Bucarest, RumaniaSe considera la sucesin

    Sn k 1

    n1k 2

    .

    i) Demostrar que

    40074008

    S2004 80154008

    ii) Demostrar que

    limn v . Sn

    32 ,4

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    Solucin de Glauber Moreno Barbosa, Rio de Janeiro, Brasil.

    Problema 78 (propuesto por Juan Bosco Romero Mrquez, vila, Espaa)

    Resolver en enteros positivos la ecuacin xy

    + yx

    = xz

    + yz

    :En primer lugar se aslan las bases de las potencias del problema:

    (I) Analizando el caso (1):

    Desarrollando la expresin tenemos:

    =+=+

    (2) yy ; x o

    (1) yy ; x

    :hiptesis)dostienenseesto(cony-y

    -

    :quetenemosas ,y-y-

    xzz

    xzz

    xz

    xzz

    x z y x z z y x

    x z y x z z y x

    N

    N x x

    x x y x y x

    y

    y

    z y

    y z z x y

    (3) . , , , -Igualando. , , 0y-y0- y-y-queTenemos xzxz

    N k z y xk x x N z y x x x x x

    z y

    z y z y

    =>>=

    ( )( )

    ( )( )

    ( )=+=

    =+==+

    =+=

    =+

    =+=

    +=+

    +==

    (2)' 21

    o (1)' 1 2

    21

    :expresinlardesarrollapara,doConsideran. :quenemosTambin te

    .(6) 2Sumando :queconcluyese,diferenciaunaesparaexpresinlaysumaunaes

    paraexpresinlaademsysrespectivaposicionesytrminoslosconsexpresionesonComo(5)

    (4)

    :quededucese ,baselacontenerdebenfactoresestos,searesultadoelqueParafactores.dosendescomponese expresinLa

    . ,quedepartira ,queconcluirpuedeseesocon,x

    zz

    c yb

    ycb

    ycb

    baba z

    yba

    ba

    yb

    ya

    z

    y y z

    y y

    y y y y

    x x x

    x x x x x x

    acbba x x x x x

    x x x x x

    k x x

    k x x

    x xk xk x x

    N k xk xk xk xk x xk x

  • 8/3/2019 olimpiada iberoamericana 18

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    Analicemos el primer caso (1):

    A partir de (9), se consideran las expresiones que siguen a continuacin para desarrollar unasolucin:

    Para x = 2:

    ( )

    (7) 22 22 :tenemospor2 doSustituyen222 :quetenemos1ndoMultiplica

    . j 2tipodelson,quetenemosesocon,2 1222 :(6)departirA

    j

    ==+=+=+

    =+=+=+

    ya yaac

    yc yc

    c

    acaca yba

    x x x x x x x x x x

    N x x x x x x x x x

    ( )

    ( )( )

    . 21 quetenemosnaturales,nmerosporsolamentecompuestaesty2factorelposee(9),expresinlaComo

    (9). 12x 1444:tenemos(3)en(8)doSustituyen

    (8) 2 22222

    :sistemaelobtienese(7)y(4)departiramanera,estaDe

    2z

    zz

    2

    N d k

    k k xk xk k

    k xk xk x x x x

    k x x

    d

    y y y y

    ya

    ya

    =+

    +=+==++

    +=+=+==

    +=

    ( )( )

    .4 o 2quetienese2,factorelexistesolamente2Como .2 2 (10)e 2 )((1)'Como

    .1212 12 21As, 2

    factores)enrdescomponepuedeseno1:n(Observaci21 (10) 2

    2

    22

    2

    =======

    +===+=+

    +=+=

    x x xbe x x x x

    k k k zd

    k k x

    e

    beeb

    d d d d

    d

    e

    ( )

    ( )

    ( )( )

    ( )( ) ( ).(13) 2'' siendo b' ,' 222

    considerarpuedeseformaestadepar,esquetenemos22 112:arribadesistemaely(12)doConsideran

    121

    :sistemasiguienteelconsideraseos,consecutivparesson1,1que,Ya (12). 112 12 12 doConsideran

    impar.ser12 quetienese 2 paraqueparidadladeTeoremaelporsabese,(11) 212 122

    :expresinlaendosustituyeny2casoesteencomo,1 12

    obtienese12(9)en,2 (8)expresinladoSustituyen

    ''2

    22

    222

    2

    22

    22

    2

    =+=+=+=

    +=+=

    ++===+

    +=+=

    ===

    +==

    zba N at t t nn

    nt nt

    nnnnnn

    z

    x x x x x

    k x xk

    ba z

    z z

    z z z

    z

    y z y z

    y z y z

    z y

  • 8/3/2019 olimpiada iberoamericana 18

    28/46

    Tenemos un nuevo sistema:

    Analizando el caso (2):

    ( ) ( ) ( ) ( )( )

    ( )

    ( ) ( ) ( ) ( )

    ( )

    ( ) ( ) ( ) 121 22 22 e 1 22 modeloelenComo1 22 112:tienesey0as impar,2

    conesmodootroUabsurdo.unesque0,2 queconharaque ,0siesocurrirpuedeestoquemodonicoelyimpares2 quetieneseesocon,122 122 igualdadlaAnalizando

    .con, , 122demodelomismodelesarribadecasoEl .122

    122 122 12212

    :expresinlaendosustituyeny4tenemoscomo,12

    (15),endosustituyeny,2 2 (8),enindicseComo

    (15). 12122 122 12 (9),enindicseComo

    :4xPara

    1212012y

    12

    121221212

    12

    12

    22222

    ===========

    == +==

    >==

    ======

    =+=+=

    +=+=+=

    =

    z yr r s

    r

    sr N sr

    x

    x x

    xk k x

    k k k k x

    z z zsr

    r r s

    s

    r sr sr

    sr

    z y

    y z y z y z y z

    y z

    y y

    z

    z z

    z

    :sistemaelobtienese(6)cony21 queelen(1),casoalanlogoescasoeseComo =+= c yb x x x

    .y 9log2 2log9log2 2log9log2 2log9log 29

    :ydevalorelencontrarpuedese,logaritmoslosdereglaslasUtilizando.29 29 212

    y.devalorelhallarparadevalorelsustituirdebeSe .yquetenemos212(11)endoSustituyen

    222

    23

    2

    N y y y

    z N z

    y y

    y y y

    y z

    =====

    ===+

    =+

    ( )

    ( )

    .5 2''expresinlaen' e ' devalorelssustituimo 2'' (13),enafirmseComo

    .2' 222 (14) e 1' 2122ementeconsecuent,1'quetenerquetienesequelopor

    112tenerpuedeseslomaneraestade2,factorelporsolamentecompuestonmeroungenera2enrsedescomponepuedesloquenmerounporexpresinestadeproductoelpues

    absurdounseraesoembargosinimpar,esellaquevese12expresinlaObservando. 'e'''cuando,2122comoescritaserpuedeindicadaarribaexpresinLa

    (14) 222 222 2222

    2

    ''

    1'

    '

    '

    ''

    ''''''

    '

    ==+=+

    =====

    =

    =+=

    =+=+=+=

    =

    z zbaba zba

    bac

    N cbca

    t t t

    ab

    a

    c

    c

    ca

    ababbb

    a

  • 8/3/2019 olimpiada iberoamericana 18

    29/46

    .* ),;;();;(o )1;1;4();;(:sonsolucionesLasresuelto.esttambin(2)encasoelparaqueconcluirpuedesesolucinlaObservando

    N x x x x z y x z y x ==

    ( )

    ( )

    resuelto.est* , , quetieneseementeConsecuent .

    igualdadlatieneseenunciado,alconformeMas,. 0 quetienese(3),enexpusoseComo

    0 02

    :(5) e (4)sistemaelenvalores estosdosustituyenmodo,esteDe.queconcluyese(16)conmaneraestade,2

    2obtienese,2en(16)doSustituyen

    .(16) 2 e 0 121quetieneseesoCon

    2

    21

    N z y x z y x z x y y

    y x y x z y x x x xk x x

    k k k xk x x xk x x

    k x x

    ba ya x x x x x x x x

    yb x xc x x

    x x x

    x x x

    z x

    z z x y

    z y z y z y

    y yba

    yb

    ya

    ya y ya yba

    ybcc

    yba

    ycb

    ====

    +=+====

    ===+==+=

    ====+=+

    =====+=+

    =+

  • 8/3/2019 olimpiada iberoamericana 18

    30/46

    Problema 81Propuesto por Juan Bosco Romero Mrquez, (vila, Espaa). Dedicado a la memoriadel Profesor Miguel de Guzmn Ozmiz.SeaOMNPun paralelogramo y ABCDun cuadriltero inscrito enOMNP. Sean:

    E OM BC = ; F OP BC = ; G DA MN = ; H DA PN = ; I CD OM = ; J AB PN = ; K AB OP= ; L CD MN = .

    Si X DA BC = ; Y CD AB= ; U IH EJ = ; V FL KG= ,

    demostrar que X , Y , U , V estn en lnea recta y calcular la razn doble ( X ,Y ,U ,V ).

    Solucin de Daniel Lasaosa Medarde, Pamplona, Navarra, Espaa.

    Por serOMNPun paralelogramo, se tieneOM =PN y OP= MN . Adems, las siguientesrelaciones son obvias por semejanza entre tringulos o como consecuencia del teoremade Thales:

    AM AB AG GM BM BG AO AK AD DO KO DK

    = = = = = ; BN BJ BC JN CN CJ BM AB BE AM EM AE

    = = = = = ;

    CP CF CD FP DP DF CN BC CL BN LN BL

    = = = = = ; DO AD DI IO AO AI DP DH CD CP HP CH

    = = = = = ;

    O M

    N P

    A

    BC

    DE

    F

    G

    H

    I

    L

    K

    J

    X

    Y

    U

    V

    U

    U

    O M

    N P

    A

    BC

    DE

    F

    G

    H

    I

    L

    K

    J

    X

    Y

    U

    V

    U

    U

  • 8/3/2019 olimpiada iberoamericana 18

    31/46

    BX GX BGFX DX DF

    = = ; AX EX AE HX CX CH

    = = ; BY LY BLKY DY DK

    = = ; AY IY AI JY CY CJ

    = = .

    EU IU EI JU HU HJ

    = = ; FV KV FK LV GV GL

    = = .

    Por lo tanto, se tiene que

    1 1

    1 1

    CI CI CY CD CJ CH DY DI IY HJ IY DI IY DI AI AI

    CI CD CH YI IY AI CH DI DI AI

    + + + ++= = = = = ++ +,

    11

    1 1

    AI AH AD HX HX AI CH CH DH DH

    AH AH AX AD AE AI XD DH HX EI HX DH HX DH CH CH

    ++ += = = = =+ + + + +,

    luego

    1 DY IU HX HJ EI AI CH YI UH XD AI CH HJ EI

    += =+,

    y por el recproco del teorema de Menelao aplicado al tringulo DHI , los puntos X , Y yU estn alineados. De la misma forma,

    1 1

    1 1

    BF BC BLFX FX BL DF CF CF DF

    BF BF BC BX BL BG XC FX CF LGCF FX CF FX DF DF

    + + += = = = =+ + + + +

    ,

    1 1

    1 1

    DL DL CD DY DF DK CY LY CL FK CL LY CL LY BL BL

    DL CD DF YL LY BL DF CL CL BL

    + + += = = = = ++ +,

    luego

    1 LV FX CY GL BL DF FK VF XC YL FK GL BL DF

    += =+,

    y por el recproco del teorema de Menalo aplicado al tringuloCFL, los puntos X , Y yV tambin estn alineados, luego X , Y , U y V estn en la misma recta, q.e.d..Una vez que sabemos que X , Y , U y V estn en la misma recta, podemos aplicar elteorema de Menelao a los tringulos DXY y CXY , pues estn alineados H , I y U por unlado, yF , Ly V por el otro. Luego como

    HX HX AD DH CH OP DH AX HX DH AE CH DP

    += = ,

    ID DI CY IY OD CJ AI YI CD DI IY OP AI

    = =+,

  • 8/3/2019 olimpiada iberoamericana 18

    32/46

    CF BX FX CF BG DF CPFX FX BC CF DF PN

    = =+,

    LC CL LY DY CN BL DK YL CL CD LY PN BL

    = =+,

    entonces la raz doble pedida es

    .

    UX VY ID HX CF YL DO CJ AI OP CH CP BG DF PN BLUY VX YI DH FX LC OP AI DP AE CH PN DF CN BL DK

    DO CH CP BL CJ AI BG DF CJ AI BG DF DP AI CN DF AE CH BL DK AE CH BL DK

    = = = =

    Pero,

    1 1

    1 1

    ,

    BN DO AM CPCJ AI PN CP JN OM AM IO BM DPCN AO BL DK MN BM LN OP DP KO DP BM CP AM

    AM CP MN MN AM CP BM DP

    DP BM PN PN BM DPCP AM

    + + + + = = + + + +

    = =

    1 1

    1 1

    ,

    AM CP DO BN BG FD MN BN GM OP DO FP AO CN BM DP AE CH OM AO EM PN CN HP

    CN AO BN DO DO BN

    PN PN DO BN AO CN CN AO MN MN AO CN BN DO

    + + + + = = + +

    + +

    = =

    luego podemos expresar la razn doble como

    ( ), , ,

    .

    UX VY CJ AI BG DF MN AM CP PN DO BN X Y U V UY VX AE CH BL DK PN BM DP MN AO CN AM BN CP DO AO BM CN DP

    = = =

    =

  • 8/3/2019 olimpiada iberoamericana 18

    33/46

    Problema 82Propuesto por Jos Luis Daz Barrero, Barcelona, Espaa.Sean un entero positivo. Probar que

    ( )( ) 2 21

    1 2 1n

    k nk

    n k F F +=

    + + ,siendoF n es eln-simo nmero de Fibonacci, definido porF 1=F 2=1, F n=F n1+F n2.

    Solucin de Daniel Lasaosa Medarde, Pamplona, Navarra, Espaa.Se utilizarn para demostrar la desigualdad varios resultados intermedios, que acontinuacin se enuncian y demuestran.

    Para todon1, ( )21 2 1n

    n n nF F F + += + .

    Se demuestra por induccin. El resultado es obviamente cierto paran=1, puesF 3=2,F 2=F 1=1, siendo entonces ambos miembros iguales a 1. Si el resultado es cierto paran=m, entonces se tiene

    ( )( )

    ( ) ( ) ( )

    2 22 3 1 1 3 1 1 3 1

    13 1 2 3 1 3 11 1 ,

    m m m m m m m m m m m mm m

    m m m m m m m m

    F F F F F F F F F F F F

    F F F F F F F F + + + + + + + + +

    ++ + + + + + +

    = + = + = + = +

    con lo que el resultado es cierto param+1 y queda finalizada la demostracin.

    Para todon1, 2 11

    n

    k n nk

    F F F +=

    = .Se demuestra por induccin. Este resultado es obviamente cierto paran=1, puesF 2=F 1=1, siendo ambos miembros iguales a 1. Si este resultado es cierto paran=m,entonces en virtud del resultado anterior,

    ( ) ( )( ) ( )

    ( )

    11 12 2 2

    1 2 1 2 1 2 11 1

    12 2 22 1 2 2 2 1

    1 1

    1 ,

    m mm m

    k m k m m m m m m m mk k

    mm m m m m m m

    F F F F F F F F F F F

    F F F F F F F

    + + ++ + + + + + +

    = =+

    + + + + + +

    = + = + = +

    = = =

    con lo que el resultado es tambin cierto param+1, y queda finalizada la demostracin.

    Para todon1, ( )21 11

    1 12

    nn

    k k n

    k

    F F F + +=

    + = .

  • 8/3/2019 olimpiada iberoamericana 18

    34/46

    El resultado se cumple paran=1, pues entonces los dos miembros son iguales a 1. Sieste resultado es cierto paran=m, entonces, en virtud de los resultados anteriores,

    ( ) ( )

    ( ) ( ) ( )

    12

    1 2 1 1 2 1 1 3 1

    1 11 1

    12 22 2

    1 1 1 1

    2 21 1 1 1

    1 ,2 2

    m mm m

    k k m m k k m m m m m

    k k m m

    mm m

    F F F F F F F F F F F

    F F

    +

    + + + + + + + + += =

    + ++

    + +

    + + = + = + =

    + = =

    siendo por lo tanto cierto paran=m+1, lo cual concluye la demostracin.

    Utilizando los resultados anteriores, el sumatorio del enunciado se puede escribir como

    ( )( )

    ( ) ( )( )

    ( ) ( )

    ( )

    2 2 21 1

    1 1 1 1 1

    22 1 2

    2 22 2 1 1 1 2 1 1 1

    222 1 2 1 2

    22 1

    2 1 2 2

    2 1 1 1 1

    1 1

    2 1 1 2 1

    1 2

    jn n n n

    k k k j j n nk j k k j

    n nn n n n n n n

    n n n n n n n n n n

    n n n n n n n

    n n

    n k F F F F F F F

    F F F F F F F

    F F F F F F F F F F

    F F F F F F F

    F F

    + += = = = =

    + + +

    + + + + + + +

    + + + + +

    + +

    + = =

    = + = + + = + = + = = +=

    ( )( ) ( )221 1 1 ,n nF F +

    dndose la igualdad si y slo siF n+1=1 o F n=1, es decir, si y slo sin=1 o 2. A partir deesta desigualdad se demuestra trivialmente la del enunciado, tomando la raz cuadrada

    del primer y ltimo miembro, y sumando 1 a ambos lados de la desigualdad resultante.

  • 8/3/2019 olimpiada iberoamericana 18

    35/46

    Problema 83 *. Propuesto por Alex Sierra Crdenas, Medelln, Colombia.Sea ABC un tringulo issceles con AB = AC. Sea X un punto de BC distinto de los extremos, y sean m AX , m BX ,mCX las mediatrices de AX, BX y CX, respectivamente.

    Demostrar que la suma de las magnitudes de los dos segmentos que se determinan al cortarse m BX y mCX con m AX y la base BC, es igual a la magnitud de la mediana de ABC relativa a la base.

    ( En primer lugar, elegiremos un sistema de coordenadas cartesianas ortonormales, y representaremos el tringuloissceles haciendo coincidir su base BC con el eje de abscisas y su altura relativa al vrtice C con el eje deordenadas.

    Denotaremos por a la altura relativa al vrtice C (que coincide con la mediana relativa a la base BC, por ser iguales los lados AB y AC) y por b la semibase BC.

    Teniendo en cuenta que las coordenadas del punto medio de un segmento son la semisuma (media aritmtica) delas coordenadas de sus extremos, resulta inmediato el clculo de las coordenadas de los puntos medios de AX, BX y CX, que hemos denotado por M, P y Q, respectivamente.

    Asimismo, es inmediato comprobar que los tringulos MHP y MHQ son iguales. En efecto, son tringulosrectngulos y tienen comn el ngulo en M. Adems, los catetos son iguales puesto que

    En consecuencia, HP = h = HQ, de donde, con referencia a la figura, se obtiene:

    Jess lvarez Lobo. Oviedo. Principado de Asturias. Espaa. Ingeniero. Profesor de Matemticas.

    .22222

    MH xb xbb x x MH =+===

    .22

    )()( OAaaahqh pq pQQPP ==+=++=+=+

    0,

    2b xP

    + 0,

    2b xQ( )0, x X ( )0,b B ( )0,bC

    ( )a A ,0

    AX m

    BX m CX m

    2,

    2a x M

    pb xP ,

    2

    + qb xQ ,

    2

    ( )0,0O

    h

    h H H

    MH y MH

  • 8/3/2019 olimpiada iberoamericana 18

    36/46

    Problema 83

    Sea ABC un tringulo issceles con AC AB= . Sea X un punto de BC distinto de los extremos, y sean AX m , BX m , CX m las mediatrices de AX , BX y CX , respectivamente. Demostrar que la suma de lasmagnitudes de los dos segmentos que se determinan al cortarse BX m y

    CX m con AX m y la base BC , es igual a la magnitud de la mediana de ABC relativa a la base.

    Solucin de Miguel Amengual Covas, Cala Figuera, Mallorca, Espaa.

    Con mayor generalidad, sea AX m una recta arbitraria que biseca el

    segmento AX .Sean P y Q , respectivamente, los puntos de interseccin de BX m y CX m

    con AX m .Sea L el punto medio de AX y M , U , V , W los respectivos pies de las

    perpendiculares trazadas por A, L, P , Q sobre BC .

    Al ser AC AB= , el punto M anteriormente definido es el punto medio dela base BC , con lo que AM es la mediana relativa a la base de ABC y severifica que

    ( ) ( ) VM XW VM XC MX VM XC MX VX MC BV BM VM ==++=== 2 ,de donde

    XW VM = (1)

    mBX

    mCX

    mAX

    B CM

    A

    X

    L

    V

    P

    W

    Q

    U

  • 8/3/2019 olimpiada iberoamericana 18

    37/46

    El teorema de Thales, habida cuenta que LX AL= y que LU AM , dainmediatamente

    UX MU = (2)

    A partir de (1) y (2),

    UW UX XW MU VM VU =+=+=

    de donde se sigue que LU es la paralela media del trapecioPVWQ y, porconsiguiente,

    2QW PV LU += (3)

    Por otra parte, los tringulos AMX y LUX son semejantes; por tanto,2:: == LX AX LU AM y

    LU AM =2 (4)

    Finalmente, de (3) y (4),QW PV AM +=

    y la demostracin es completa.

  • 8/3/2019 olimpiada iberoamericana 18

    38/46

    Carlos M. Casas Cuadrado Problema 85

    1/4

    Problema 85

    (Enviado por Bruno Salgueiro Fanego; fu propuesto con el #8 en la Oposiciones aProfesores de Educacin Secundaria de Galicia en 2004).

    En un autobs se encuentrann viajeros. En la prxima parada baja cada viajeroindependientemente de los otros con probabilidad p. La probabilidad de que al autobsno suba ya un ningn nuevo viajero es p0 y la de que suba un pasajero es 1 - p0.

    a) Hallar la probabilidad de que despus de la salida del autobs de la parada seencuentren en ln pasajeros.

    b) Hallar la probabilidad de que, despus de dos paradas se encuentren nuevamenten pasajeros en el autobs. (Nota: en los clculos debe tenerse en cuenta que unviajero que subi en la primera parada puede bajarse en la segunda conprobabilidad p).

    Solucin

    Primero vamos a ver las probabilidades que entran en juego en el problema, paradespus hacer una tabla con ellas, que simplificarn notablemente la resolucin delproblema.

    Pasajeros que se bajan: Al ser p la probabilidad de que un pasajero se baje, y al haber npasajeros, la probabilidad de que se bajen x pasajeros es:

    xxbajar p)(1px)!x!(n

    n!(x)P

    =

    Para los propsitos de este problema, las probabilidades que necesitamos son:

    nbajar p)(1(0)P =

    1-nbajar p)np(1(1)P =

    2-n2bajar p)(1p2

    1)-n(n(2)P =

    Pasajeros que suben: Segn el enunciado, es p0 la probabilidad de que no suba nadie, y1-p0 la probabilidad de que suba un pasajero.

    Para una parada general del autobs, tenemos el siguiente cuadro resumen:

  • 8/3/2019 olimpiada iberoamericana 18

    39/46

    Carlos M. Casas Cuadrado Problema 85

    2/4

    PasajerosAntes Pasajeros bajan Probabilidad

    Pasajerossuben Probabilidad

    Pasajerosdespus Probabilidad total

    Ninguno 0p n 0n pp)(1 Ninguno np)(1

    1 0p-1 n+1 )p(1p)(1 0n

    Ninguno 0p n-1 01-n pp)np(1 1 1-np)np(1

    1 0p-1 n )p(1p)np(1 01-n

    Ninguno 0p n-2 02-n2 pp)(1p21)-n(n

    2 2-n2 p)(1p2

    1)-n(n 1 0p-1 n-1 )p(1p)(1p2

    1)-n(n0

    2-n2

    n

    3 ms ? ? ? n-2 menos ?

  • 8/3/2019 olimpiada iberoamericana 18

    40/46

    Carlos M. Casas Cuadrado Problema 85

    3/4

    Ahora podemos empezar a resolver el problema.

    a) Probabilidad de que despus de la salida del autobs, haya n pasajeros:

    Simplemente hay que sumar las probabilidades de la tabla de la pgina anterior,obteniendo:

    Pa,n,n= )p(1p)np(1pp)(1 01-n0n +

    Otras resultados de inters para el segundo apartado son:

    Pa,n,n-1= )p(1p)(1p2 1)-n(npp)np(1 02-n201-n +

    Pa,n,n+1= )p(1p)(1 0n

    donde el primer subndice indica que es la probabilidad del apartado a (una sola parada),el segundo subndice indica el nmero de pasajeros inicial y el tercer subndice indica elnmero de pasajeros final.

    b) Probabilidad de que despus de 2 paradas haya n pasajeros en el autobs:

    Para este apartado hay que combinar astutamente los resultados de la tablaanterior. Primero vemos las posibilidades que hay. Ya que en cada parada n aumentacomo mucho 1, y puede bajar hasta 0, las posibilidades son:

    Antes Despus de la1 paradaDespus de la

    2 paradan+1nn

    n-1

    n

    Por lo que habr que sumar las probabilidades de cada una de las tres posibilidadesdescritas, teniendo en cuenta que para la primera y para la tercera, el nmero inicial depersonas para la 2 parada es n+1 y n-1 respectivamente (no n, como en el cuadro). As,tendremos:

    Pb1=Pa,n,n+1Pa,n+1,n=

    = )p(1p)(1 0n

    +

    ++ )p(1p)(1p21)n(n

    pp)1)p(1(n 01-n2

    0n

  • 8/3/2019 olimpiada iberoamericana 18

    41/46

    Carlos M. Casas Cuadrado Problema 85

    4/4

    Pb2=Pa,n,nPa,n,n=[ ]201-n0n )p(1p)np(1pp)(1 +

    Pb3=Pa,n,n-1Pa,n-1,n=

    = + )p(1p)(1p2

    1)-n(npp)np(1 02-n201-n )p(1p)(1 01-n

    Con esto, la solucin del apartado b) es simplemtente sumar las probabilidadesde las tres opciones:

    Pb = Pb1+ Pb2+ Pb3

  • 8/3/2019 olimpiada iberoamericana 18

    42/46

    PROBLEMAS 86-90

    Problema 86.Propuesto por Jos Luis Daz Barrero, Barcelona, Espaa.

    Demostrar que

    limn v .

    1n !

    k 1

    n sin 3 ka sin 3 = 3 ka

    sin ka sin ka = 3

    no depende de a y calcularlo.

    Problema 87.Propuesto por Laurentiu Modan, Bucarest, Rumania. Ligeramente modificado por el editor.Se considera la sucesin xn definida por

    xn ln k 1

    n

    1 12 2

    k 1 .

    i)Probar que

    1 2 n ln2 xn J 2 12 n " 1

    , n K 1.

    ii) Estudiar la convergencia de xn y, en su caso, hallar el lmite.

    Problema 88.Propuesto por Jos Luis Daz-Barrero, Barcelona, Espaa.Sea

    f : a , b R

    una funcin estrictamente positiva y continua. Probar que para cualesquiera x1 , x2 , C , xn a , b , existe un nmero x a J x J b tal que

    1n !

    k 1

    n1

    f 2005 xk

    1/2005

    1

    f x .

    Observacin : La notacin f 2005 xk representa la potencia de exponente 2005 del nmero f xk .

    Problema 89Propuesto por el editor; es un problema original de Lewis Carroll.Obtener la conclusin que se deduce de las 10 premisas siguientes:1)Los nicos animales de esta casa son gatos.2)Todo animal al que le gusta mirar a la Luna sirve como animal de compaa.3)Cuando aborrezco a un animal lo hago apartarse de mi camino.4)Slo son carnvoros los animales que merodean por la noche.

    5)Todos los gatos matan ratones.6)Los animales de esta casa son los nicos que me pueden aguantar.

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    7)Los canguros no sirven como animales de compaa.8)Slo los carnvoros matan ratones.9)Aborrezco a los animales que no pueden aguantarme.10)A los animales que merodean por la noche les gusta mirar a la luna.

    Problema 90Propuesto por el editor.Por un punto P, interior a un tringulo dado ABC, se trazan paralelas a los tres lados del

    mismo, formndose as tres paralelogramos y tres tringulos. Para qu punto P es mnima la sumade las reas de los tres tringulos?

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    En Twenty years before the blackboard(AMM1998), Michael Stueben recopila ancdotas y vivencias de susaos como Profesor de Matemticas. De este libro entresacamos las propiedades del Profesor y del quellama Antiprofesor:

    El Profesor El Antiprofesor Preocupado

    Que Ayuda

    Respetuoso Comprensivo

    Amistoso

    Premia

    Escucha

    Provoca empata

    Tiene sentido del humor

    Sabe perdonar

    Motivador

    Ambiguo

    Ignora al estudiante

    Desdeoso Sarcstico

    Distante

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