OFDM Complete Complemenetary codes system

UNIVERSIDADMIGUELHERNADEZDEELCHE

ESCUELASUPERIORDEELCHE

INGENIEROTECNICODETELECOMUNICACIONES,ESPECIALIDADENSISTEMASDETELECOMUNICACION

DiseodeunsistemadeComunicacionesconaccesomultiplexadoporDivisindeCdigosbasadoenCdigos

CompletamenteComplementarios

PROYECTOFINDECARRERA

Septiembre2015

AUTOR:FranciscoJosPrezBotellaDIRECTOR:MiguelSepulcreRibes

VISTO BUENO Y CALIFICACIN DEL PROYECTO Ttulo proyecto:

Proyectante: Francisco Jos Prez Botella Director/es: Miguel Sepulcre Ribes

Lugar y fecha:

CALIFICACIN NUMRICA MATRCULA DE HONOR Mritos justificativos en el caso de conceder Matrcula de Honor:

Lugar y fecha:

DISEO DE UN SISTEMA DE COMUNICACION CON ACCESO MULTIPLEXADOPOR DIVISION DE CODIGOS BASADO EN CODIGOS COMPLETAMENTE

Conforme presidente: Fdo.:

Conforme secretario: Fdo.:

Conforme vocal: Fdo.:

VB director/es del proyecto: Fdo.: Miguel Sepulcre Ribes

Escuela Politcnica Superior de Elche

Universidad Miguel Hernndez

COMPLEMENTARIOS

AgradecimientosA mi mujer Ana, por su paciencia y a mi director Miguel por sus indicaciones.

Indice de Contenidos1 Introduccin..................................................................................................12 Sistemas CDMA............................................................................................32.1 Historia y Evolucin........................................................................................32.1.1 Pioneros......................................................................................................32.1.2 Implementaciones modernas.......................................................................6

2.2 CDMA para UMTS..........................................................................................72.3 El Formato CDMA UMTS................................................................................72.4 Cdigos CDMA.............................................................................................102.4.1 Cdigos de Scrambling..............................................................................112.4.2 Orthogonal Variable Spreading Factor (OVSF) codes...............................17

2.5 Limitaciones de los sistemas CDMA y sus cdigos utilizados......................193 Cdigos Ortogonales.................................................................................213.1 Historia y principios Matemticos.................................................................213.1.1 Introduccin Histrica................................................................................213.1.2 Principios Matemticos..............................................................................21

3.2 Caractersticas y funciones de Correlacin Peridica y Aperidica..............223.3 Cdigos Complementarios Completamente Ortogonales.............................233.3.1 Elementos de los cdigos complementarios..............................................243.3.2 Construccin de cdigos complementarios completamente ortogonales,

Extendidos y Super complementarios........................................................243.4 Funciones de correlacin de los CCC..........................................................31

4 Anlisis de rendimiento de los CCC.........................................................374.1 Herramientas................................................................................................374.1.1 Filtro correlador basado en el par FFT/IFFT..............................................384.1.2 Desplazamiento y Matriz tridimensional de CCC.......................................39

4.2 Comportamiento frente a fenmenos del canal............................................404.2.1 Comportamiento frente al MAI...................................................................414.2.2 Comportamiento frente a Interferencias Multi-trayecto..............................484.2.3 Comportamiento con ruido........................................................................504.2.4 Comportamiento frente a Correlaciones parciales.....................................544.2.5 Correlacin Cruzada..................................................................................57

4.3 Conclusiones................................................................................................585 Caractersticas y decisiones en el diseo del sistema propuesto..........615.1 Esquema General........................................................................................615.2 Simplificacin del receptor, Matched Filters vs RAKE..................................635.3 Simplificacin de los procesos de cambio de ratio de transmisin y calidad

de servicio....................................................................................................635.4 Mapeo PAM, QAM........................................................................................655.5 Transformaciones lineales en el emisor y el receptor...................................675.6 Aportaciones de otros trabajos.....................................................................685.6.1 Conclusiones.............................................................................................70

6 Bibliografa..................................................................................................71

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Introduccin

1 IntroduccinApplied mathematics will always need pure mathematics just as anteaters will always need ants.

Paul Halmos

Se cumple este ao el Vigsimoquinto aniversario del primer sistema de Telefona mvil comercial de uso general implantado en Espaa. Coincidiendo con el Mundial de Ftbol, la Compaa Telefnica Nacional de Espaa CTNE, lanz un servicio basado en el estndar nrdico NMT, denominado tcnicamente aqu TMA-450. Aunque con evidentes carencias respecto a cuestiones como privacidad en las comunicaciones, este estndar cuenta ya con elementos que definen una red celular como Handover, FullDuplex y aun siendo un sistema analgico, una sealizacin digital usada como transmisin de datos utilizando una modulacin FFSK.

Por otro lado en 1971 ya estaba operacional en la Universidad de Hawai la primera red de computadores unida por un protocolo que defina una red de paquetes inalmbrica, ALOHA. En su evolucin naceran los protocolos mas utilizados en la actualidad por lo que a redes locales y metropolitanas de datos se refieren, la caracterstica esencial de estos protocolos radica en la gestin de las colisiones debidas al acceso al medio por parte de varios usuarios, en definitiva la gestin de un recurso.

Partiendo de la premisa fundamental en las telecomunicaciones modernas como es la digitalizacin de las seales a transmitir, en este trabajo presentaremos una familia de cdigos, sus propiedades y un ejemplo de implementacin de un sistema de Telecomunicaciones Inalmbrico, aunque la base fundamental puede aplicarse a sistemas pticos o electromagnticos por cable conductor. Este sistema recoge los trabajos de mltiples autores reflejados en las referencias bibliogrficas, la premisa fundamental que inspira el mismo es el comportamiento de diferentes grupos de secuencias binarias frente a operaciones o funciones de Correlacin entre ellos o frente a ellos mismos cuando existe un desplazamiento en las secuencias que componen el grupo.

Ya que pretendemos sintetizar nuevas ideas y tendencias en el diseo y uso de cdigos ortogonales, es lgico que partamos de los estndares CDMA actuales en uso. En el Capitulo 2 realizaremos esta revisin con una perspectiva temporal, con especial nfasis en las secuencias que soportan las diferentes versiones de los sistemas de acceso por multiplexacin de cdigo.

1

Introduccin

Resaltaremos las principales carencias y limitaciones, la inherentes debidas a la eleccin del tipo de cdigo y la complejidad de las soluciones adoptadas para la solucin de estas limitaciones.

Ser en tercer capitulo donde abordemos los fundamentos matemticos del sistema propuesto. Presentaremos estos grupos de secuencias que proporcionan una serie de caractersticas necesarias para poder recuperar una seal de entre varias a travs de una operacin de correlacin y suma. Nos centremos en estos grupos de secuencias por su comportamiento frente a la interferencia Multiusuario (MAI) y frente a los fenmenos de desviacin o retardo temporal provocados por diferentes fuentes de seales o fenmenos como la interferencia multi-trayecto (MI).

En el Capitulo 4 analizaremos el comportamiento de estos cdigos frente a unas condiciones de canal, examinaremos las virtudes expuestas en el anterior prrafo, con un grupo de secuencias de ejemplo y una herramienta que conforma la base fundamental de nuestro sistema, un filtro correlador basado en el par FFT/IFFT.

Con los conceptos y premisas de los captulos anteriores, en el Capitulo 5 planteamos las premisas y caractersticas de nuestro sistema propuesto, describiendo y exponiendo los elementos de la transmisin y recepcin, algunas estrategias de mejora de la eficiencia y aprovechamiento de las virtudes de los cdigos para simplificar el sistema. Nuestro sistema se alinea con los actuales sistemas de telecomunicacin emergentes, basados casi enteramente en multiplexacin por divisin de frecuencia ortogonal (OFDM) pero aportando algunas singularidades al tratarse de un sistema CDMA

La memoria se cierra con la seleccin de documentacin interesante, a nuestro entender, relacionada con la cuestin tratada en el trabajo.

2

Sistemas CDMA

2 Sistemas CDMA

el Acceso Mltiple por Divisin de Cdigo (CDMA) es un tipo de esquema de acceso a los recursos de red que ha sido ampliamente utilizado en los sistemas de acceso mviles de tercera generacin as como en otras tecnologas. La tecnologa CDMA ofreci unas ventajas significativas, en comparacin a las usadas anteriormente como GSM, en trminos de eficacia general, mas especficamente en cuanto a la utilizacin del espectro radioelctrico.

CDMA usa un tipo de espectro ensanchado (Spread Spectrum) con la utilizacin de diferentes cdigos para la canalizacin de las comunicaciones de los diferentes usuarios o estaciones Hasta el momento de su aparicin, el acceso al canal se realizaba mediante divisin o adjudicacin de frecuencias o slots de tiempo.

2.1 Historia y Evolucin

2.1.1 PionerosCDMA se basa en un tipo de transmisin conocido como Espectro Ensanchado por

secuencia directa. En la tecnologa de espectro ensanchado dos formas diferentes de esquema de transmisin son utilizados, la anteriormente nombrada y la de salto de frecuencia (Frequency Hopping).

La tecnologa de Salto de Frecuencia fue inventada donde muy pocos podran esperar, en Hollywood. Sus creadores as mismo fueron dos personajes alejados de las ctedras, de los institutos tecnolgicoso de los laboratorios de las empresas, una estrella del start-system y un msico vanguardista, sus nombres Hedy Lamarr y George Antheil [R. Malik, Spread ]

Lamarr, nacida en Austria en 1914 con el nombre de Hedwig Eva Maria Kiesler, dispona de un considerable talento para las ciencias aplicadas. Aun sin formacin, durante su primer matrimonio con el proveedor militar Fritz Mandl, asisti a numerosos encuentros y reuniones de negocios con este, quedando expuesta y aprendiendo rpidamente sistemas complejos de tecnologa militar.

George Antheil haba estado al frente de la msica de vanguardia en Europa durante los aos 20. Tras el ascenso del Nazismo opt por volver a Estados Unidos, haba estado

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Sistemas CDMA

ya en amrica disfrutando de una beca, instalandose en California y por casualidad, conociendo a Lamarr en una fiesta.

De este encuentro surgi una amistad, sus conversaciones versaban frecuentemente sobre el esfuerzo de guerra y las mejoras militares. Hedi estaba preocupada por la debilidad de los sistemas de guiado de los torpedos, ya que la comunicacin era fcilmente interceptada y el torpedo desviado de su objetivo, fue entonces cuando ide un sistema en el que la comunicacin entre el sistema gua y el torpedo cambiara la frecuencia de transmisin a otras predefinidas por una secuencia que solo el torpedo y su gua conociesen. Por otra parte George Antheil ide en base a sus experimentos con la msica mecnica un dispositivo mecnico similar a una pianola donde se reproducira la secuencia, las dos nicas condiciones para que el sistema funcionara eran que se iniciara ambas secuencias al mismo tiempo, y que los rotores de las pianolas tuvieran una buena estabilidad rotatoria.

Su diseo original constaba de 88 frecuencias (el nmero de teclas de un piano) y fue el primer sistema de espectro expandido por salto de frecuencia. En cualquier caso aun consiguiendo la patente US 2.292.387 por su Sistema secreto de telecomunicaciones, los militares americanos no acabaron de convencerse de su puesta en prctica y no sera hasta los aos 60 durante el bloqueo a Cuba donde usaran por primera vez esta tecnologa de transmisin.

La tcnica de espectro expandido por secuencia directa , Direct-sequence spread spectrum (DSSS), conforma la base de los sistemas CDMA de acceso general ms extendidos en la actualidad. Estos sistemas derivan de los remarcables trabajos sobre comunicaciones seguras realizados durante la primera mitad del siglo XX, una buena recopilacn historica se puede encontrar en [R. Scholtz, The Origins of Spread-Spectrum Communications,].

En los aos 30 la modulacin en banda ancha se propuso como una manera de transmisin de la informacin inalmbrica, sin la distorsin asociada a los sistemas FM de banda estrecha. En 1933 Edwin Armstrong propuso un sistema en la que el ancho de banda de transmisin era expandido ms all del ancho de banda de la informacin en un sistema de FM. Propuso as mismo el uso de un limitador de amplitud para eliminar los efectos de la variacion de amplitud resultante del ensanchamiento del ancho de banda y del canal mvil.

Esta idea fue recogida por Gustav Guanella en 1938 al presentar el Radar de onda continua, un mtodo de transmisin en el que la seal transmitida estaba compuesta por mltiples frecuencias, donde la energa de cada una de estas es pequea en

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Sistemas CDMA

comparacin con la energa total de la seal. Los ejemplos de tales seales para Guanella incluan seales acsticas, ruido electromagntico y un oscilador cuya frecuencia se tambalea rpidamente entre un lmite inferior y superior. El Rango entre los lmites se consegua ajustando un mecanismo interno de retraso al retraso de la seal debido a la propagacin del canal. Los errores en el desplazamiento del retraso eran detectados por medio de la correlacin cruzada de la seal interna emitida retrasada con un versin desplazada 90 en fase de la seal reflejada. Vemos aqu ya una aplicacin de la correlacin de seales en sistema e comunicacin, concepto primordial en los sistemas CDMA

Objeto 1: Gustav Guanella

Sin duda alguna otra de las contribuciones ms importantes al desarrollo de las tecnologas de Expansin por secuencia directa fue el trabajo de Claude Shannon en el campo de la teora de la informacin, ya que establece los parmetros y elementos bsicos de cualquier sistema de telecomunicaciones.

1. Un dispositivo fuente transmisor de informacin2. Un canal o medio fsico de transmisin3. Un receptor que decodifica el mensaje y obtiene una versin aproximada del

mensaje transmitido4. Una fuente de ruido que cambia el mensaje durante su paso por el canal de una

manera no predecible

Tambin estableci los parmetros matemticos caractersticos sobre los cuales reside cualquier sistema de telecomunicacin

1. El ratio de transmisin de la informacin2. La capacidad de un canal para manejar esa informacin3. La cantidad media de informacin en cualquier tipo de mensaje

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Sistemas CDMA

Entre los conceptos ms importantes en lso que trabajo Shannon y otros destacaremos:El teorema de Shannon-Hartley dictamina la capacidad de un canal , es decir, el limite mximo de la velocidad de transmisin de la informacin respecto a la potencia de la seal transmitida a travs de un canal analgico afectado por AWGN.

C=Blog2(1+ SN ) 2.12.1.2 Implementaciones modernas

Como hemos visto las races de los sistemas de transmisin por ensanchamiento del espectro las podemos encontrar e los aos 40 del siglo XX. Con la mejora de la tecnologa electrnica estas tcnicas de transmisin se empezaron a utilizar para disimular u ocultar transmisiones militares en vista de su capacidad para no ser detectadas en ausencia de los cdigos correctos

Tras la revolucin de las transmisiones mviles en los aos 80, una, entonces pequea, compaa llamada Qualcomm que estaba trabajando sobre transmisiones basadas en DSS, empez a evaluar su utilizacin como base de un esquema de acceso mltiple para sistemas mviles, es decir acceso mltiple por divisin de cdigo, CDMA

Qualcomm se uni a los operadores Nynex y Ameritech para desarrollar el primer sistema experimental CDMA. Mas tarde al equipo se unieron Motorola y AT&T prestando sus recursos para acelerar el desarrollo

Como resultado se comenz a establecer la primera especificacin en 1990, con el apoyo del CTIA, la asociacin de la industria de las telecomunicaciones mviles y la TIA un grupo de estandarizacin fue creado. Este grupo public el primer estndar CDMA conocido como IS-95, cuya publicacin formal fue titulada IS-95A en 1995 [G. D.Mandyam, J. Lai, J. D. Gibson, and G. Mandvam, Giridhar Mandvam. Elsevier Science,2002.].

El primer sistema CDMA fue lanzado en septiembre de 1995 por Hutchison Telephone Co. Ltd. En Hong Kong y SK Telecom en Korea, seguido rpidamente por varias redes en Estados Unidos. Su desarrollo condujo a la serie de estndares CDMA2000.El uso de CDMA no se redujo al sistema CDMA2000 ya que era necesario hacer evolucionar los sistemas basados en GSM para que pudieran transportar datos y mejorara su desempeo en la eficiencia del uso del espectro. Una foram de CDMA con una ancho de banda mayor conocido como WCDMA fue adoptado.

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Sistemas CDMA

2.2 CDMA para UMTSLa eleccin de CDMA como sistema usado en 3G UMTS fue motivada por unas

determinadas razones tcnicas. Ofrece ventajas significativas sobre los esquemas usados en los anteriores sistemas 2G, que eran predominantemente sistemas de aceso mltiple por divisin de tiempo TDMA.

Los principales beneficios ofrecidos son[71]: Mejora de la eficiencia espectral: el uso de CDMA como esquema de acceso

mltiple en combinacin con una modulacin de tipo QPSK resulta en mejoras de la eficiencia espectral, estas por supuesto pueden variar considerablemente segn las condiciones de propagacin, pero el orden de mejora es dos o tres veces respecto a GSM.

Las Estaciones base adyacentes pueden usar la misma frecuencia o canal de servicio: una capacidad inherente a la forma de operar del sistema CDMA.

Handover mejorado: Una capacidad inherente del sistema CDMA es el soft handover, la capacidad de recibir por parte de un equipo usuario dos seales al mismo tiempo con diferentes cdigos ortogonales desde dos estaciones base diferentes, esto mejora enormemente el cambio de estacin y la continuidad de la comunicacin

Mejora de la seguridad en las telecomunicaciones: Se reduce considerablemente la posibilidad de interpretacin de las comunicaciones, ya que es necesario conocer los cdigos usados en cada comunicacin.

2.3 El Formato CDMA UMTS

En CDMA los datos a transmitir son codificados usando un cdigo de expansin particular para cada usuario (o canal lgico). De esta manera solo los receptores indicados son capaces de correlar y decodificar la seal, las seales restantes aparecen como ruido para el receptor. Esto permite un mismo canal fsico de radio frecuencia ser utilizado por diferentes usuarios o canales lgicos simultneamente

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Sistemas CDMA

Objeto 2: Sistema CDMA genrico

Cada dato en una seal CDMA se multiplica por una secuencia de chips o cdigo de expansin para incrementar el ancho de banda, En WCDMA a cada canal de la capa fsica se le asigna un cdigo de expansin nico pero variable. El grado total de expansin varia para que la seal compuesta final ocupe el ancho de banda requerido. El grado de expansin varia en consonancia con las necesidades de velocidad de transmisin de cada una de las aplicaciones necesarias, sealizacin sincronizacin de trama, informacin de canal, acceso asignado etc....

Para el canal de bajada, estacin base equipo usuario, la velocidad de smbolo e transmisin es de 3.8 Mega smbolos al segundo, Al ser la modulacin empleada QPSK (estamos hablando del estndar primario), dos bits de informacin pueden llegar a ser transmitidos por cada smbolo, alcanzando as un ratio de transmisin mxima del doble de la velocidad de smbolo, es decir , 7,8 Mbps. Por tanto, si, por ejemplo la velocidad de transmisin de informacin es de 15kbps, necesitaramos un factor de ensanchamiento (spreading factor) de 512 par adecuar la seal al ratio de transmisin de chip o smbolo y consecuentemente al ancho de banda del canal requerido. Obviamente si los datos a transmitir requieren de una velocidad de transmisin de datos mayor, el factor de ensanchamiento disminuira. Las consecuencias, tengamos presente, de variar la longitud de una secuencia de ensanchamiento es modificar su ganancia de procesamiento, factores de ensanchamiento mayores (secuencias ms largas) son ms fcilmente correladas por el receptor y consecuentemente una potencia de transmisin menor es necesaria para el mismo ratio de Errores de Smbolo.

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Sistemas CDMA

Objeto 3: Proceso de ensanchamiento y Scrambling genrico

La condicin de los cdigos usados para ensanchar la seal es que estos han de ser ortogonales para permitir a mltiples usuarios o canales operar sin interferencia mutua, o al menos que esta sea residual respecto a la seal recuperada, como pasa en los cdigos usados en CDMA actualmente. Los cdigos usados en 3G y WCDMA son los Cdigos ortogonales con factor de ensanchamiento variable (OVSF). Estos cdigos deben permanecer absolutamente sincronizados entre si para poder ser operativos. Al no poder cumplirse esta condicin un segundo grupo de cdigos (Scrambling Codes) se usan para la sincronizacin como se muestra en al figura 3, estos segundos cdigos tiene la peculiaridad de no aumentar el ancho e banda y ser secuencias pseudoaleatorias. En el canal de Bajada los OVSF se usan para distinguir los canales de usuario y el cdigo pseudoaleatorio numrico (PN) par sincronizar e identificar la estacin base o nodoB. En el canal de subida los OVSF se usan para diferenciar los servicios de cada usuario y los PN para identificar a los equipos de usuario.

En el enlace ascendente se puede elegir entre millones de PNs, estos se generan usando un cdigo especifico de terminal sobre el que se calcula el cdigo PN. Para el enlace descendiente existen un total de 512 cdigos, cada uno de estos puede ser asignado a un NodoB.

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Sistemas CDMA

2.4 Cdigos CDMAComo hemos indicado en lo sistemas CDMA se utilizan fundamentalmente dos tipos

de cdigos segn sus propiedades respecto al aumento o ensanchado del ancho de banda En la siguiente tabla resumimos dichos cdigos segn su funcin primaria en un sistema CDMA clsico.

Cdigos de Sincronia

Cdigos de canales

Cdigos Scrambling ,EA

Cdigos Scrambling, ED

Tipo Cdigos Gold

Cdigos de sincrona Primaria (PSC) y secundara (SSC)

Cdigos Ortogonales con

factor de Ensanchamiento variable (OVSF)

Cdigos Walsh

Cdigos largos: Segmentos de Cdigos Gold

Cdigos Cortos: Cdigos S(2)

Pseudo Noise PN , Valores complejos

Segmentos de Cdigos Gold

Pseudo Noise PN , Valores complejos

Longitud 256 Chips 4-512 Chips 38400 Chips largos256 Chips Cortos

38400 Chips

Duracin 66,67 s 1,04 s 133,34 s

10 ms

66,67 s

10 ms

Cantidad de Cdigos

1 Primario16 secundarios

Igual al factor de Ensanchamiento

4...256 EA4...512 ED

16,777,256 512 Primarios15 Secundarios

por cada Primario

Ensanchado de BW (Spreading)

NO SI NO NO

Uso Permite a los terminales de usuario localizar y sincronizarlos principales canales de control e las Estaciones Base NodeB

EA: Permite separar varios

datos segn su tipo, control,

potencia, payload etc..

ED: Permite la

conexin con los diferentes

terminales en el

Diferenciar y separar

terminales de usuario

Diferenciar y Separar los

distintos Sectores en una

determinada Zona

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Sistemas CDMA

Cdigos de Sincronia

Cdigos de canales

Cdigos Scrambling ,EA

Cdigos Scrambling, ED

mismo NodoB Objeto 4: Tabla Resumen delos principales cdigos empleados en CDMA : Nota EA, Enlace

Ascendente; ED, Enlace Descendente

2.4.1 Cdigos de ScramblingExpondremos los cdigos de scrambling continuacin. La finalidad de nuestro

proyecto es poder encontrar cdigos de ensanchamiento con las propiedades adecuadas para poder obviar usarlos. No obstante debemos decir tambin los cdigos de Scrambling realizan la importante funcin de enmascarar en una misma transmisin cdigos de ensanchado idnticos, permitiendo as la reutiliazcin de estos.

Los cdigos Scrambling usados en CDMA son dos;1. Gold Codes en su versin de alfabeto Real y Complejo, dependiendo de su

finalidad (los complejos han de ser utilizados en el procesamiento de seal con componentes desfasadas I+Q).

2. S(2) Codes con alfabeto Complejo.

Y la exposicin que haremos a partir de ahora esta recogido en el papel tcnico publicado por el ETSI, TS 25.213 [E. T. S. Institute and 3GPP, TS 125 213 - V12.0.0 -Universal Mobile Telecommunications System (UMTS); Spreading and modulation(FDD). European Telecommunications Standards Institute, p. 51, 2014.]. Los cdigos o secuencias de Gold Son secuencias binarias generadas a partir de dos cdigos Pseudo-aleatorios de Longitud mxima secuencias ML o m-sequences, por lo tanto introduciremos en primer lugar las secuencias de ruidos pseudo-aleatrorio, Pseudo-Noise en ingls, de mxima longitud en primer lugar.

Las secuencias PN de longitud mxima, maximal length en ingles y abrevindose como m-codigos son generadores secuencias binarias capaces de proporcionar en su salida todas las combinaciones de secuencias binarias posibles sobre los 2m-1desplazamientos cclicos, siendo m el nmero de celdas de un registro LFSR (Linear Feedback Shift Register).

Para generar una m-sequence las conexiones de retroalimentacin de los LFSRs se conectan de acuerdo a un Polinomio primitivo, o generador.

Un polinomio generador se dice primitivo cuando no puede ser factorizado (es decir si es primo), y en caso de ser factor de XN+1, donde N=2m-1.

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Sistemas CDMA

Por ejemplo si deseamos construir una m-sequence generadora usando 3 registros, m=3, el polinomio primitivo que dictamine la conexin de retroalimentacin puede ser definido de la siguiente manera.

N=2m12.2

x7+1=(x+1)( x3+x+1)(x3+x2+1) 2.3

Como el nmero de registros es 3, la longitud de las secuencias ser 2m=3-1=7 debemos elegir un polinomio primitivo de grado 3 de la ecuacin 2.3 vemos que tenemos dos opciones. Presentamos el LFSR usando el polinomio x3 + x + 1.

Objeto 5: LFSR usando G[3 1 0]

Generacin del las sequencias

Las secuencias largas de scrambling son construidas a partir de la suma posicional en mdulo 2 de segmentos de 38400 chips de longitud generadas desde 2 m-sequences binarias, estas a su vez se generan a partir de 2 polinomios generadores de grado 25.

La primera m-sequence se genera a partir del polinomio x 25+x3+1

La segunda se genera a partir del polinomio x 25+x3+x 2+ x+1

Estos son los polinomios elegidos en el estandar UMTS [ref rgg].

Las secuencias resultantes constituyen por lo tanto segmentos de un grupo de secuencias Gold.

Las secuencia Gold binaria z n , se genera a partir de dos m-secuencias x n e y como:

z n(i)=x n(i)+ y(i)modulo2, i=0,1,2 , ...,2252 2.4

Se genera en principio una secuencia larga clong ,1 ,n ,la segunda secuencia clong ,2 ,n es una versin desplazada 16.777.232 chips o posiciones en el registro

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Sistemas CDMA

Sean n23 ... n0 la representacin binaria de la secuencia de scrambling numero n ,

con n0 siendo el bit menos significativo. La secuencia x depende de la secuencia de

Scrambling n elegida y la denotamos como x n en la secuencia.

Siguiendo, sea x n(i) y y (i) el iesimo smbolo de la secuencia x n e y respectivamente

Las m-secuencias x n e y son construidas de la siguiente manera:

Condiciones Iniciales:

x n(0)=n0 , xn(1)=n1 ,... , x n(22)=n22 , xn(23)=n23 , xn(24)=1 2.5

y(0)= y (1)=....= y(23)= y(24)=12.6

Los siguientes smbolos se definen recursivamente en base a los polinomios elegidos anteriormente como:

x n(i+25)=x n(i+3)+x n(i )modulo 2, i=0,... ,22527 2.7

y( i+25)= y(i+3)+ y (i+2)+ y(i+1)+ y (i )modulo 2, i=0,... ,22527 2.8

la secuencia binaria Gold z n ya la definimos en 2.4, por su parte La secuencia Gold con valores reales bipolares se define como:

Zn(i )={+1 si zn(i)=01 si z n(i)=1 para i=0,1,2 , ... ,2252 2.9clong ,1 ,n y clong ,2 ,n se definen de la siguiente manera:

clong ,1 ,n(i)=Z n(i) , i=0,1,2 , .. ,2252 2.10

clong ,2 ,n(i)=Z n(i+16777232)modulo(2251) , i=0,1,2 ,... ,2252 2.11

Por ltimo definiremos los valores complejos de la secuencia de scrambling:

C long , n(i)=clong ,1 ,n(i)(1+ j (1)i clong ,2 ,n(2 i /2 )) 2.12

Donde i=0,1 ,... ,2252 y denota redondeo al entero menor ms cercano

En la figura 6 se ilustra un esquema del generador de secuencias usado en el enlace ascendente con los 25 registros. Los taps o derivaciones marcados por el polinomio primitivo utilizado y las operaciones aditivas que resultan en las dos secuencias Gold largas genradas

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Sistemas CDMA

Objeto 6: Generador de secuencias Scrambling (para el enlace ascendente)

Las secuencias cortas de Scrambling c short ,1 ,n(i) y c short ,2 ,n(i) se obtienen a partir de una secuencia perteneciente a la familia de cdigos cuaternarios S(2) (de las llamadas S-series) extendidos peridicamente. Una secuencia cuaternaria es aquel que su alfabeto son 4 valores diferentes p.ej [0,1,2,3]. ref].

Sean n23 ... n0 la representacin binaria del cdigo nmero numero n .

la ensima secuencia cuaternaria S(2) z n(i) ,0n16777215 se obtiene por la suma

mdulo 4 de tres secuencias; una secuencia cuaternaria a (i) y dos secuencias binarias

b (i) y d (i) , de tal modo que las secuencias iniciales viene determinado por el cdigo

numero n .

La secuencia modulo con una longitud 255 se genera de acuerdo a la relacin:

z n(i)=a (i)+2b (i)+2d (i) 4, i=0,1 , ...,254 i=0,1 , ...,254 2.13

Donde la secuencia cuaternaria a (i) se genera recursivamente desde el polinomio

g 0( x)=x8+3x5+x3+2x+3 de la siguiente manera:

a (0)=2n0+1 modulo4 2.14

a (i)=2n0+1 modulo 4, i=1,2 , ...,7 2.15

a (i)=3a (i3)+a (i5)+3a (i6)+2a (i7)+3a (i8)modulo 4, i=8,9 , ...,254 2.16

la secuencia binaria b (i) es generada de manera recursiva a travs del polinomio

g 1(x)=x8+x7+x5+x+1 como:

b (i)=n8+i modulo 2, i=1,2 ,...7 2.17

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Sistemas CDMA

b (i)=b(i1)+b (i3)b( i7)+b (i8) modulo 2, i=8,9,...254 2.18La tercera secuencia d (i) es generada por el polinomio g 2( x)=x

8+x 7+ x5+ x4+1 como:

d (i)=n16+ i modulo 2 i=0,1... ,7 2.19

d (i)=d (i1)+d (i3)+d (i4)d (i8) modulo 2 i=8,9... ,254 2.20

La secuencia z n(i) se extiende hasta la longitud de 256 chips haciendo

zn(255)=z n(0)

El mapeo desde z n(i ) a las secuencias de valor real bipolar c short ,1 ,n(i) y

c short ,2 , n(i) , para i=0,1... ,255 se muestra en la siguiente tabla

z n(i) c short ,1 , n(i) c short ,2 ,n(i)0 +1 +11 -1 +12 -1 -13 +1 -1

Objeto 7: Tabla de mapeo de las seuencias

Por ultimo, la secuencia corta de valores complejos c short ,n , , se define como:

C short ,n(i)=cshort ,1 ,n (i mod 256)(1+ j(1)i c short ,2 ,n(2 ( i mod 256)/ 2)) 2.21

Donde i=0,1,2 ,... y denota redondeo al entero menor ms cercano

Una implementacin de un generador de secuencia corta de scrambling para una secuencia de 255 chips a extebder por un chip se muestra en la figura 8

Objeto 8:Generador de secuenca corta de scrambling para una secuencia de 255 chips

15

Sistemas CDMA

Propiedades de las secuencias de ScramblingLas secuencias de Scrambling y en general las secuencias PN tiene tres

propiedadaes principales [ref on the propier of pseurandom]

Balanceo:

En cualquier periodo de la secuencia el numero de unos binarios difiera del de

ceros binarios como mximo en uno (para una longitud de periodo impar).

pn=+1+1+11+111 pn=+1Distribucin Run-length: Un run o pasada es una secuencia de un tipo de dgitos binarios. Entre las

ejecuciones de unos y ceros en cada periodo es deseable que aproximadamente la mitad de pasadas o ejecuciones de cada tipo sean de longitud uno, la cuarta parte de longitud 2 la octava de longitud 3 etc...

Autocorrelacin: En el capitulo 3 entraremos ms a fondo en los conceptos de correlacin cruzada

y autocorrelacin, digamos aqu tan solo que las secuencias PN deben tener una buena autocorrelacin peridica , esta es la propiedad fundamental por al que son utilizados como elemento sincronizador.

Correlacin cruzada: La correlacin cruzada nos indica el grado de similitud de dos seales distintas.

En la practica la correlacin cruzada no es perfecta en secuencias PN por lo tanto tampoco la ortogonalidad de las transmisiones, lo que conduce a interferencias entre canales o usuario e interferencias multiacceso (MAI)

2.4.2 Orthogonal Variable Spreading Factor (OVSF) codesLos cdigos OVSF no son sino una forma de construir cdigos ortogonales tipo walsh.

Se acaba generando una estructura en rbol que permite obtener factores de ensanchamiento variables, lo cual permite finalmente obtener velocidades de transmisin diferentes.

Los cdigos Walsh corresponden a las columnas de una matriz cuadrada especial conocida como la matriz de Hadamard. Para un conjunto de cdigos Walsh de longitud n, tendremos una matriz cuadrada de n cdigos Walsh de forma que tenemos una matriz nxn. La primera columna de esta matriz contiene una serie de 1s y las siguiente columnas contienen una serie de -1s y 1s combinados. Cada columna es ortogonal

16

Sistemas CDMA

entre s y tienen la misma aparicin de los bits binarios. Esta matriz se define recursivamente de la siguiente manera:

W 1=[1] W 2n=[W n W nW n W n ] 2.22donde n es una potencia de 2 que indica la dimensin de la matriz y W n hace

referencia al operador lgico NOT en todos los bits de esa matriz.

Las secuencias Walsh obtenidas de las filas y columnas de una matriz de Haddamard como la definida anteriormente son secuencias ortogonales y tienen las siguientes propiedades:

Las secuencias de Walsh son secuencias binarias con valores de +1 y -1.

La longitud de las secuencias de Walsh son siempre potencia de 2.

Siempre hay L secuencias diferentes de longitud L. Las secuencias de Walsh son mutuamente ortogonales solo si estn

sincronizadas. Si dos secuencias de Walsh tienen desplazamientos en el tiempo, la funcin de

correlacin cruzada puede tomar valores mayores que el pico de la funcin de autocorrelacin, el cual es igual a la longitud L de la secuencia. Aunque tambin es posible que la funcin de correlacin cruzada tome un valor de cero incluso cuando existe cualquier desplazamiento en el tiempo.

Todas las secuencias de Walsh empiezan por +1.

Generacin de los cdigos OVSFLa generacin de cdigos con factor de ensanchamiento variable se puede realizar

usando el rbol generador expuesto en la figura 9

Objeto 9 Arbol de cdigo para a generacin de OVSF

17

Sistemas CDMA

En la figura 9, los cdigos de ensanchamientothe son descritos unvocamente como

C ch , SF ,k , Donde SF es el factor de ensanchamiento o spreading del cdigo y k es el nmero de cdigo, 0 k SF-1.

El mtodo de generacin del cdigo de ensanchamiento viene definido de la siguente manera:

2.23

El valor ms a la izquierda en cada cdigo es el transmitido en primer lugar. Las propiedades de ortogonalidad de estos cdigos son similares a las de los cdigos Walsh. El orden de las funciones de la matriz no es el mismo que el de la matriz de Hadamard, pero las funciones en s son las mismas [71]. Las secuencias pertenecientes a la misma rama forman un conjunto de cdigos ortogonales, es ms, dos secuencias cualesquiera de diferentes ramas son ortogonales excepto si una secuencia es la madre de la otra. En tal caso se produce una situacin de bloqueo de rama, y ningn cdigo descendiente puede ser utilizado.

En estos cdigos ortogonales, si dos secuencias llegaran al mismo tiempo al receptor, la interferencia que se causaran entre dos usuarios sera nula. Lo que ocurre en el enlace ascendente, es que es muy difcil que los terminales emitan a la vez y los cdigos estn alineados en el tiempo. Si existiera algn desplazamiento en el tiempo, las propiedades de correlacin cruzada empeoraran mucho, por lo que resultara poco aconsejable su utilizacin en el enlace ascendente.

18

Sistemas CDMA

2.5 Limitaciones de los sistemas CDMA y sus cdigos utilizados

Los sistemas basados en CDMA nacieron y se desarrollaron en un momento donde las redes de circuitos eran la opcin mayoritaria en las telecomunicaciones, asi mismo como explicamos en el Capitulo 3, los efectos del canal en el contexto de las comunicaciones inalmbricas no estaban bien estudiadas, y el desarrollo de los cdigos usados no fueron coordinados con las necesidades del sistema de transmisin.

Las desventajas de los sistemas CDMA usando los cdigos actuales se pueden resumir en las siguientes afirmaciones [H. Chen, Next Generation CDMA Technologiesfor Futuristic Wireless Communications, in ICETE 2008, 2008, p. 64]

Diseados para el trfico de voz;

Se necesita un Frame largo para detectar la seal transmitida.

No se adapta bien a rfagas de trfico de alta velocidad de transmisin.

Diseado para una transmisin continua de datos a baja velocidad.

Incapaces de adaptarse bien a un trfico multimedia con QoS;

Dificultad de ajustar la velocidad de transmisin de datos instantneamente.

El cambio de la velocidad de transmisin de datos implica siempre un cambio en

la ganancia de procesado (PG). El cambio de la velocidad de transmisin de datos necesita cambios en la

potencia de transmisin. El cambio de la velocidad de transmisin de datos en Un usuario afecta al plan de

asignacin de cdigos de toda la celda. El cambio de la velocidad de transmisin de datos supone una cantidad de trfico

de control considerable.

Implementacin compleja

Necesidad de control de la potencia de transmisin muy precisa (efecto near-far).

Detectores Multiusuario para decorrelar las seales de usuario.

Necesidad de sistemas RAKE para la deteccin y separacin de seales bajo el

efecto del Multicamnino. Sectorizacin de antenas para reducir la interferencia co-canal.

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Sistemas CDMA

Rendimiento muy condicionado por las interferencias;

La interferencia por el acceso mltiple de usuarios es seria (MAI).

los receptores RAKE sufren en condiciones de interferencia Multicamino.

La capacidad del sistema esta muy por debajo de la ganancia de procesado (PG).

Insuficiente Ortogonalidad de los cdigos usados;

Solo la funcin de correlacin peridica se tiene en cuenta en el proceso de

diseo de los cdigos. Las transmisiones Uplink no son ortogonales en absoluto.

Pobres caractersticas de correlacin aperidica de los cdigos usados.

Pobres caractersticas de correlacin parcial de los cdigos usados.

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Cdigos Ortogonales

3 Cdigos Ortogonales

3.1 Historia y principios Matemticos

3.1.1 Introduccin HistricaEn general existen dos tipos de cdigos CDMA. El primer tipo son los cdigos

unitarios los cuales funcionan asignando un cdigo o secuencia por usuario. Estos pueden ser as mismo clasificados en general en dos sub-grupos, cdigos quasi-ortogonales ( como secuencias-m cdigos Gold cdigos Kasami etc..) y por otra parte cdigos estrictamente ortogonales (Secuencias Walsh-Hadamard , cdigos OVSF etc.). Otros cdigos unitarios menos conocidos incluiran cdigos GMW, cdigos No codes, cdigos Bent y otros.

El segundo tipo comprende los cdigos complementarios, estos fueron estudiados por primera vez por Marcel Golay y Turyn a principios de los aos 60 [M.J.E.Golay,Complementary series, IRE Trans. on Information Theory, vol. IT-7, pp.82-87, April 1961]para la posible aplicacin de los mismos en sistemas de radar. En este caso a cada usuario se le asignan dos o mas cdigos, como veremos ms adelante es la suma de las correlaciones de todos los cdigos asignados a un usuario lo que define el resultado final.

Debemos tener en cuenta adems que los alfabetos de los cdigos ortogonales pueden ser binarios, naturales, reales o incluso complejos como en el caso de secuencias Chu o Frank-Zadoff.

3.1.2 Principios MatemticosLa construccin de cdigos completamente complementarios se basa en operaciones

de transformacin de matrices de Hadammard, al igual que los cdigos Walsh, no siendo esta tcnica la nica, ya que Naoki Suehiro ya propuso una forma de obtencin de grupos autocomplementarios a partir de las Secuencias Complementarias de Marcel Golay [71] y las secuencias que seguan manteniendo su ortogonalidad en los desplazamientos pares [R. Turyn, Hadamard matrices, Baumert-Hall units, four-symbolsequences, pulse compression, and surface wave encodings, J. Comb. Theory Ser. A,16, pp. 313333, 1974.]. Una excelente articulo sobre el trabajo de Golay se puede leer en [M. G. Parker, K. G. Paterson, and C. Tellambura, Golay Complementary

21

Cdigos Ortogonales

Sequences, in Wiley Encyclopedia of Telecommunications, vol. 7228, no. 1811, J. G.Proakis, Ed. Hoboken, NJ, USA: John Wiley & Sons, Inc., 2003, pp. 118.], mientras que un novedoso mtodo basado en aproximaciones algebraicas ha sido publicado por Chen y otros en [71]

3.2 Caractersticas y funciones de Correlacin Peridica y Aperidica

Se calcula la correlacin entre dos seales con el objeto de medir su grado de similitud. Es, por lo tanto una medida de la dependencia con otra seal o consigo misma.

Dada una familia A con M cdigos binarios unitarios de longitud L {A=am [l ]{1,1}; 0mM1 ; 0lL1} , la funcin de auto-correlacin

discreta peridica (ACF) se obtiene de la expresin 3.1 cuando m=s y la funcin de correlacin cruzada (CCF) peridica cuando ms

Ram , as=l=0

L1

am [ l ]as[ l+] 3.1

En la expresin anterior las secuencias a m y a s son peridicas es decir

am=(. . . ,am [0] , am [1] , . . . , am[ L1] ,am[0] , am[1] , . . . am[L1] , . . .) , por lo que la

suma l+ se realiza en modulo L . La funcin de Correlacin aperidica viene definida sin embargo por

Cam ,as [ ]={ l=0L1

am[l ]a s[ l+] , 0L1

l=0

L1+

am[ l]as [l ] , 1L0

0, L

3.2

Cuando m=s se obtiene la AFC aperidica, y cuando ms la CCF aperidica.Normalmente y con objeto de simplificar, se considera la funcin de correlacin

aperidica solo en el rango 0L1 .

Para el desfase cero el valor de las funciones de correlacin peridica y aperidica coinciden; es decir, el valor del pico principal de auto-correlacin es el mismo se trate o no de emisiones peridicas.

22

Cdigos Ortogonales

Existen varios autores que delimitaron las cotas mximas de correlacin como medida de las bondades de una familia de cdigos ( en ingles bound) nombraremos como referencia a Welch y Sidelnikov

Los cdigos ideales debern tener un pico muy elevado en la ACF para =0 y lbulos laterales nulos en 0 . Adems estaran incorrelados, esto es la CCF es cero para cualquier desplazamiento entre los cdigos de la misma familia, eliminando as cualquier interferencia entre ellos

Ram ,a s { L , =0, m=s0, 1L1, m=s0, 0L1, ms 3.3No obstante, es imposible encontrar familias de cdigos binarios unitarios con ACF y

CCF ideales simultneamente [ref algebraic aproocah]

3.3 Cdigos Complementarios Completamente Ortogonales

Los cdigos de ensanchamiento o Spreading Codes se encuentran en el corazn de cualquier tecnologa o sistema CDMA. Un sistema CDMA se basa en estos para diferenciar diferentes usuarios en un acceso mltiple al canal. Por ello, la eleccin de los cdigos de ensanchamiento determinan en gran medida la efectividad fundamental del sistema. Como ha probado la experiencia, los cdigos firma deberan seleccionarse con anterioridad a la implementacin de la arquitectura CDMA , de hecho, el tipo de cdigo a utilizar, debe seleccionarse conjuntamente con el diseo del sistema CDMA.

Existen varias lecciones a aprender de la aplicacin de la tecnologa CDMA. Cuando se disearon los primeros sistemas CDMA basados en tcnicas de espectro ensanchado ( los que dieron lugar al estndar IS95), la combinacin de diseo de cdigos de ensanchado conjuntamente con el diseo de la arquitectura del sistema no fue bien entendido, por lo tanto, los procesos de diseo fueron separados. Los ingenieros podan elegir los cdigos desarrollados por matemticos que trabajaban en el campo de la Teora de la Informacin. La mayora de estos cdigos disponibles (Gold, Kasami, M-sequences, Walsh-Hadamard) haban sido hallados en el contexto de trabajo de la investigacin de sistemas de Radares, donde tan slo las funciones de auto-correlacin son importantes.

Cuando se disearon estos cdigos, la teora de la propagacin de la seal a travs de un canal estaba en sus inicios. Prcticamente nadie entenda bien entonces los efectos del desvanecimiento de canal y la propagacin multi-camino, esto es, los cdigos

23

Cdigos Ortogonales

empleados en la arquitectura CDMA preceden en varias dcadas a las primeras generaciones de sistemas CDMA, y sus limitaciones han llevado a sostener unnimemente que estos sistemas estn limitados por auto-interferencia. Esto no es, en absoluto, cierto cuando tratamos con cdigos completamente complementarios.

3.3.1 Elementos de los cdigos complementariosLas propiedades ortogonales de las diferentes variedades de cdigos

complementarios se basan en las de cada bandada (en ingles y a partir de ahora usaremos la terminologa inglesa flock). Cada Grupo G de cdigos complementarios ortogonales CCO, est compuesto por un nmero determinado de flocks F la funcin de correlacin cruzada CCF entre estos flocks del grupo es siempre cero para cualquier desplazamiento de las secuencias. Por otro lado cada flock esta formado a su vez por un nmero determinado de cdigos o secuencias elemento J, estos cdigos constitutivos de cada flock tienen exactamente la misma longitud o tamao K. Las propiedades ortogonales dentro de cada flock se basa en los siguientes procesos.

Cada cdigo elemento ha de transmitirse en el sistema por un canal diferenciado

y sin interferencia entre ellos, ya sea en un esquema de divisin de frecuencia, divisin de tiempo o mixto.

La funcin de correlacin del flock es la suma de las funciones de correlacin de

cada uno de los cdigos elemento.

Entonces tenemos que la funcin de auto-correlacin del flock nos dar un pico en el desfase o desplazamiento cero y lbulos nulos para cualquier otro desplazamiento de las secuencias en su conjunto

3.3.2 Construccin de cdigos complementarios completamente ortogonales, Extendidos y Super complementarios

La aproximacin al algoritmo de generacin de los Cdigos (Super) Complementarios comienzan al igual que sus antecesores con tres matrices ortogonales A,B, y D. Estas matrices son cuadradas y de iguales dimensiones.

Construccin de cdigos Complementarios completamente ortogonales

Asumamos que A es una matriz ortogonal de dimensiones NXN, y Ai es la iesima fila de A. Asumamos tambin que la norma de cada elemento es la unidad. Asumiremos que las restantes matrices cumplen las mismas condiciones, entonces podremos generar, a partir de las matrices A y B, N secuencias nuevas C1.....CN cada una de ellas con una longitud de N2 de la siguiente manera.

24

Cdigos Ortogonales

{ C 1=(b11A1 , b12A2 , , b1N AN )=(c11 , c12 , , c1 N 2)C2=(b21A1 ,b22A2 , ,b2N AN )=(c21 , c22 , , c2 N 2)C N=(bN1 A1 , bN2 A2 , , bNN AN )=(c N1 , cN2 , , cN N 2) 3.4Recordemos que realizamos multiplicacin de elemento bij por fila Ai.

Rescatemos ahora la tercera matriz ortogonal D de dimensiones NXN y cuyo valor absoluto para cualquier j y k sea 1 es decir |djk|=1 para j=1,2,3,...,N y K=1,2,3,...,N. Podremos construir un grupo de N secuencias Eij (i,j=1,2,3,...,N) de longitud N2 a partir de cada Ci (i = 1,2,3,...,N) y D de la siguiente manera

E ij { ci1 d j1 , c i2 d j2 , , ci N d jNci (N +1 )d j1 , ci (N +2)d j2 , , ci (2N) d jN ci (N 2N +1)d j1 , ci (N 2N +2)d j2 , , c i(N 2)d jN 3.5Se puede probar que el grupo de secuencias {Ei1,......,EiN} es un cdigo auto-

complementario de orden N , y adems cualquier dos cdigos auto-complementarios p. ej. {E11,......,E1N} , {E21,......,E2N} generados son complementarios cruzados entre s. [ref parker golay comp]

Ejemplo:

Seguiremos el mtodo descrito anteriormente para generar un simple ejemplo de un cdigo completamente complementario. Consideraremos matrices ortogonales Walsh-Hadamard, aunque cualquier otro tipo de matriz ortogonal puede usarse.

Asumamos tres matrices Hadamard A, B y D de dimensiones 2X2.

{A=(+ ++ - )

B=(+ ++ - )D=(+ ++ - )

3.6

Usando la expresin 3.4 obtendramos la nueva matriz C las operaciones seran C1 = ( b11[+]A1[++]=++; b12[+]A2[+-]=+-) y C2 = ( b21[+]A1[++]=++; b22[-]A2[+-]=-+)

25

Cdigos Ortogonales

{C1=( + + + - )C2= ( + + - + ) 3.7Volviendo a rescatar la tercera matriz D y usando el algoritmo 3.5 generamos el

cdigo complementario E, describimos las operaciones realizadas.

E 11 {c11 [+ ]d 11[+ ]=+ , c12[+ ]d 12[+ ]=+c1((N +1)=2+1=3)[+ ]d 11[+ ]=+ , c14 [- ]d 12[+ ]=-E 12 {c11[+ ]d 21[+ ]=+ , c12 [+ ]d 22[-]=-c1((N +1)=2+1=3)[+ ]d 21[+ ]=+ , c14[- ]d 22[ -]=+

E 21 {c21 [+ ]d 11[+ ]=+ , c22[+ ]d 12[+ ]=+c2((N +1)=2+1=3)[- ]d 11[+ ]=- , c24 [+ ]d 12[+ ]=+E 22 {c21[+ ]d 21[+ ]=+ , c22[+ ]d 22 [- ]=-c2((N +1)=2+1=3)[- ]d 21[+ ]=- , c24 [+ ]d 22[- ]=- 3.8

Nuestro cdigo completamente complementario resultante esta compuesto por 2 flocks N=2 cada uno de estos por 2 cdigos de longitud 4.

E {E11=(+++-)E 12=(+-++)E 21=(++-+)E 22=(+---) 3.9En los siguientes apartados veremos cmo utilizar este cdigo base para que tras las

transformaciones pertinentes podamos usarlo como base de nuestro sistema de comunicacin.

Extensin de Cdigos Completamente ortogonalesLos cdigos complementarios extendidos son Cdigos Complementarios

Completamente Ortogonales, cuya longitud de los cdigos elementos se ha aumentado, aunque no consiguiendo soportar mas usuarios concurrentes, por si mismos ya poseen una ganancia de proceso mayor siendo mas robustos a la hora de ser correlados [H.-H.Chen, The Next Generation CDMA Technologies, Jul. 2007.]

26

Cdigos Ortogonales

Para extender los cdigos elemento del ejemplo anterior realizaremos lo siguiente. Para cada uno de los cdigos elemento, este procedimiento ya lo hemos utilizado en 26.

E11=F {+++-

(+ ++ - ) x D=(+ ++ - )}=F11(+)D1(++) ; F 12(+)D2(+-) ; F 21(+)D1(++ ) ; F22(-)D2(+-)3.10

Hemos ordenado el cdigo elemento de la manera que aparece en el primer parntesis multiplicando los elementos de la derecha por la primera fila de la matriz D y los de la izquierda por la fila inferior, quedando los cdigos elementos de la siguiente manera.

E {E 11=(+++-++-+)E12=(++-++++-)E 21=(+++---+-)E22=(++-+---+) 3.11Este procedimiento se puede realizar tantas veces como queramos, siempre

podremos extender un Cdigo Complementario a la longitud Nn en base a otro de longitud Nn-1

Generacin de Cdigos Super ComplementariosDe los anteriores conceptos se puede deducir que los cdigos completamente

complementarios ofrecen un grupo de cdigos pequeo bajo la restriccin de una longitud de cdigo elemento L fija, o lo que es lo mismo una ganancia de procesamiento (PG). Si la longitud de los cdigos elemento es N2, el tamao del grupo de los cdigos complementarios es simplemente N. En este grupo, cada flock consiste en N cdigos elemento y cada cdigo elemento tiene una longitud de N2. Por lo tanto el valor de Ganancia de Procesamiento (PG) ser N2 X N el cual es un nmero bastante grande en comparacin con el tamao del grupo N.

Por Ejemplo si necesitamos un cdigo con 64 flocks. N=64, necesitaramos tener una ganancia de proceso en ese sistema CDMA de 64X642=262144, difcilmente alcanzable.

Para salvar este obstculo de diseo, se propusieron los Cdigos Super complementarios, ademas en nuestro proyecto tambin proponemos operaciones de rotacin de los cdigos que en determinadas situaciones nos permiten aumentar el payload de la transmisin.

27

Cdigos Ortogonales

Los cdigos super complementarios nos permiten dar servicio a un gran nmero de usuarios en multiacceso sobre una ganancia de procesamiento relativamente baja.

Para obtener cdigos super complementarios partamos de la base de un cdigo complementario extendido, como por ejemplo nuestro anterior ejemplo

E { E1=(E 11 , E12)E 2=(E 21 , E 22) 3.12Procedemos a dividir cada cdigo elemento previamente extendido a ocho valores en

3.11 Eij (i, j=1,2) en hasta 4 segmentos de igual longitud Ti1 , Ti2 Ti3 Ti4 , obteniendo as

E { E11=T 1=(T 11 , T 12 ,T 13 , T 14)E 12=T 2=(T 21 ,T 22 ,T 23 , T 24)E 21=T 3=(T 31 ,T 32 ,T 33 , T 34)E 22=T 4=(T 41 ,T 42 ,T 43 ,T 44) 3.13Los valores resultantes de esta segmentacin los utilizaremos como cdigos semillas

para la generacin de un cdigo Super Complementario.

Seguiremos usando el caso N=2, a partir de los resultados de 3.13 Realizaremos la extensin siguiendo el algoritmo descrito en [71]

{S 1=(T 11 , T 21 , T 12 ,T 22 ,T 13 , T 23 , T 14 , T 24)=(S (11) , S (12) , S (13)... , S (17) , S (18))S 2=(T 11 , T 21 , T 12 , T 22 , T 13 ,T 23 ,T 14 , T 24)=(S(21) , S (22) , S(23) ... , S(27) , S (28))S 3=(T 21 ,T 11 ,T 22 ,T 12 , T 23 , T 13 ,T 24 , T 14)=(S (31) , S (32) , S(33)... , S (37) , S(38))S 4=(T 21 , T 11 , T 22 , T 12 , T 23 ,T 13 ,T 24 ,T 14)=(S(41) , S (42) , S(43) ... , S(47) , S (48))S 5=(T 31 , T 41 ,T 32 ,T 42 ,T 33 , T 43 , T 34 , T 44)=(S(51) , S(52) , S (53) ... , S(57) , S (58))S 6=(T 31 , T 41 ,T 32 ,T 42 ,T 33 , T 43 , T 34 , T 44)=(S(61) , S(62) , S (63) ... , S (67) , S (68))S 7=(T 41 , T 31 ,T 42 ,T 32 ,T 43 ,T 33 , T 44 , T 34)=(S (71) , S(72) , S (73) ... , S (77) , S (78))S 8=(T 41 , T 31 ,T 42 , T 32 ,T 43 ,T 33 , T 44 ,T 34)=(S(81) , S(82) , S (83) ... , S(87) , S (88))

3.14

Debemos resaltar las siguientes observaciones:

Tras cada interaccin aplicando el algoritmo, se dobla el nmero de cdigos

elementos de cada flock. En el desarrollo en 3.13 de tener 4 elementos Ti1 . Ti4 pasamos a 8 tras la primera interaccin, tras una segunda tendramos 16 cdigos elementos.

As mismo, el numero de flocks tambin se duplica S(i)

28

Cdigos Ortogonales

La longitud de cada cdigo elemento permanece invariable

Veamos un ejemplo a partir de la extensin que hicimos en 3.11:

Primero volveremos a extender el cdigo una vez mas utilizando el algoritmo expuesto en 3.10

E11=F {+++-++-+

(+++-++-+

) x D=(+ ++ - )}=F11(+)D1(++); F 12(+)D2(+-) F21(+ )D1(++); F 22(-)D2(+-) ;F31(+ )D 1(++); F 32(+)D2(+-); F 41(-)D1(++ ) ; F42(+)D2(+-)3.15

Quedando E11=(+++-++-++++---+-)

Y el grupo entero como

E { E11=(+++-++-++++---+-)E 12=(+++---+-+++-++-+)E 21=(+++-++-+---+++-+)E 22=(+++---+----+--+-) 3.16La longitud de cada cdigo elemento se ha duplicado hasta 16 smbolos, as pues

nuestros segmentos tras dividir en cuatro partes la longitud de cada cdigo elemento sera de 4 smbolos

E { E 11=T 1=(T 11(+++-) ,T 12(++-+) ,T 13(+++-) ,T 14(--+-))E12=T 2=(T 21(+++-) , T 22(--+-) ,T 23(+++-) , T 24(++-+))E 21=T 3=(T 31(+++-) ,T 32 (++-+) ,T 33(---+) , T 34(++-+))E 22=T 4=(T 41(+++-) ,T 42(--+-) , T 43(---+) , T 44(--+-)) 3.17Finalmente aplicaremos el algoritmo expresado en 3.14 quedando nuestra familia de cdigos Super Complementarios de la siguiente manera:

29

Cdigos Ortogonales

S 1=(T 11 ,T 21 ,T 12 , T 22 , T 13 ,T 23 ,T 14 , T 24)S1=(+++- , +++- ,++-+ --+- +++- , +++- --+- , ++-+)

S 2=(T 11 , T 21 , T 12 ,T 22 ,T 13 , T 23 ,T 14 ,T 24)S 2=(+++- , ---+ , ++-+ , ++-+ ,+++- , ---+ , --+- , --+-)

S 3=(T 21 ,T 11 ,T 22 ,T 12 , T 23 , T 13 ,T 24 ,T 14)S3=(+++- , +++- , --+- , ++-+ , +++- , +++- , ++-+ ,--+-)

S 4=(T 21 , T 11 , T 22 , T 12 ,T 23 ,T 13 ,T 24 ,T 14)S 4=(+++- , ---+ , --+- ,--+- , +++- , ---+ , ++-+ , ++-+)

S5=(T 31 ,T 41 ,T 32 ,T 42 ,T 33 , T 43 , T 34 ,T 44)S5=(+++- , +++- , ++-+ , --+- ,---+ ,---+ , ++-+ ,--+-)

S6=(T 31 , T 41 ,T 32 ,T 42 ,T 33 , T 43 , T 34 ,T 44)S6=(+++- , ---+ , ++-+ , ++-+ ,---+ , +++- , ++-+ ,++-+)

S7=(T 41 , T 31 ,T 42 ,T 32 ,T 43 ,T 33 , T 44 , T 34)S 7=(+++- , +++- ,--+- , ++-+ , ---+ , ---+ , --+- , ++-+ ,)

S8=(T 41 , T 31 ,T 42 ,T 32 ,T 43 ,T 33 , T 44 , T 34)S 8=(+++- ,---+ ,--+- , --+- ,---+ , +++- , --+- , --+-)

3.18

En este ejemplo hemos demostrado como se pueden disear diferentes familias de cdigos adaptadas a distintas necesidades. Dependiendo del PG que se necesite, atendiendo a las distintas condiciones de canal, bit rate, usuarios, servicios distintos etc..

3.4 Funciones de correlacin de los CCCHemos expuesto en 3.3.1,la funcin de correlacin de los CCC y sus variantes se

obtiene de la suma de las correlaciones parciales de los cdigos elementos. Veamos un ejemplo que nos pruebe esto.

Tomemos como ejemplo el Flock 2, se puede realizar con cualquier flock del cdigo, con la ayuda de la funcin xcorr() de matlab calculamos la autocorrelacin del flock nmero 2; y veamos si es cierto que las funciones de correlacin en los cdigos ortogonales completamente complementarios y sus derivados se calculan sumado las correlaciones parciales de de sus cdigos elementos.

Autocorrelacin del segundo flock:

S 2=(+++- ,---+ ,++-+ ,++-+ ,+++- ,---+ ,--+- , --+-)

Cdigo Matlab:

30

Cdigos Ortogonales

>> % vectores del flock 2 derivados en el ejemplo>> % S2="+++-","---+","++-+","++-+","+++-","---+","--+-","--+-">> %Construimos los vectores>> S21=[1,1,1,-1];>> S22=[-1,-1,-1,1];>> S23=[1,1,-1,1];>> S24=[1,1,-1,1];>> S25=[1,1,1,-1];>> S26=[-1,-1,-1,1];>> S27=[-1,-1,1,-1];>> S28=[-1,-1,1,-1];>> %Realizamos las correlaciones parciales>> ac1=xcorr(S21);>> ac2=xcorr(S22);>> ac3=xcorr(S23);>> ac4=xcorr(S24);>> ac5=xcorr(S25);>> ac6=xcorr(S26);>> ac7=xcorr(S27);>> ac8=xcorr(S28);>> %Sumamos las correlaciones parciales>> actotalS=ac1+ac2+ac3+ac4+ac5+ac6+ac7+ac8;

A continuacin ilustramos las correlaciones parciales

Elemento 1 Elemento 2


31

Cdigos Ortogonales


Elemento 7 Elemento 8 Objeto 10 Autocorrelaciones parciales para el flock 2, no normalizadas

Resaltemos que estamos realizando correlaciones lineales. En el prximo capitulo probaremos que obtenemos los mismos resultados resultados realizando las correlaciones en con la transformada discreta de Fourier, realizando por lo tanto correlaciones circulares

Graficamos la suma de las correlaciones parciales para obtener la correlacin total

32

Cdigos Ortogonales

Objeto 11:Suma de Autocorrelacioenes parciales para el flock 2, no normalizada

Debemos observar el pico de correlacin es 32, es decir en los cdigos completamente complementarios el factor de normalizacin siempre es el numero de elementos de la matriz de transmisin NxN, en este caso recordemos que se trata de Flocks con ocho cdigos elemento de cuatro valores cada uno

Correlacin cruzada entre el flock 2 y el flock 3

S 2=(+++- ,---+ ,++-+ ,++-+ ,+++- ,---+ ,--+- ,--+-)S 3=(+++- , +++- ,--+- ,++-+ ,+++- , +++- ,++-+ ,--+-)

Cdigo Matlab>> %Vectores del Flock 3 construidos en el ejemplo>> % S3 = "+++-","+++-","--+-","++-+","+++-","+++-","++-+","--+-">> % Construimos los vectores>> S31=[1,1,1,-1];>> S32=[1,1,1,-1];>> S33=[-1,-1,1,-1];>> S34=[1,1,-1,1];>> S35=[1,1,1,-1];>> S36=[1,1,1,-1];>> S37=[1,1,-1,1];>> S38=[-1,-1,1,-1];>> cc231=xcorr(S21,S31);>> cc232=xcorr(S22,S32);>> cc233=xcorr(S23,S33);>> cc234=xcorr(S24,S34);>> cc235=xcorr(S25,S35);>> cc236=xcorr(S26,S36);>> cc237=xcorr(S27,S37);>> cc238=xcorr(S28,S38);>> % Sumamos las correlaciones cruzadas parciales>> cctotal23=cc231+cc232+cc233+cc234+cc235+cc236+cc237+cc238;

A continuacin ilustramos las correlaciones cruzadas parciales

Elemento1 Elemento2

33

Cdigos Ortogonales

Elemento3 Elemento4

Elemento5 Elemento6

Elemento7 Elemento8 Objeto 12: Correlacines cruzadas parciales entre los flocks 2 y 3 del cdigo complementario

construido en el ejemplo

Ilustramos la suma de correlaciones cruzadas para obtener al correlacin total

34

Cdigos Ortogonales

Objeto 13:Suma de correlaciones cruzadas parciales entre los flocks 2 y 3

En el siguiente capitulo pondremos a prueba las propiedades de estos cdigos en cuanto a sus funciones de correlacin.

35

Anlisis de rendimiento de los CCC

4 Anlisis de rendimiento de los CCC

Habiendo definido los cdigos ortogonales completamente complementarios en el capitulo anterior, su construccin y su propiedades bsicas respecto a las funciones de correlacin, en este capitulo propondremos y probaremos un mtodo para correlar estos cdigos usando las propiedades de la correlacin circular que estos cdigos poseen. Con estas propiedades podremos utilizar como mtodo de correlacin la transformada directa e inversa de Fourier, ms exactamente la versin digital de esta optimizada con el algoritmo de la transformacin rpida (FFT/IFF).

Los beneficios de poder operar con los CCC de esta forma, radica en la posibilidad de implementar un sistema CDMA usando, y aprovechando, los procesadores digitales de seal que incorporan todo sistema de telecomunicacin actual basado en multiplexado por divisin de frecuencia ortogonal (OFDM). Esto conduce a unos diseos ms simples y con menos elementos electrnicos, como por ejemplo receptores RAKE

4.1 HerramientasUsaremos un Cdigo Completamente Complementario formado por 8 Flocks, cada

flock esta constituido por 8 cdigos elemento y cada uno de estos por ocho valores [1,-1]. La eleccin de usar 8 flocks de 8 cdigos elemento de longitud 8, se basa fundamentalmente en una convencin que adoptamos al ser un byte la palabra de menos tamao histricamente mas usada. En absoluto es una imposicin de los cdigos usados, recordemos que en el capitulo anterior, establecimos que se podan construir cdigos con las particularidades necesarias para una determinada funcin. As por ejemplo, podramos generar un Cdigo con tan solo dos flocks y extender la longitud de los cdigos elementos lo suficiente como para poder ser utilizado como gua para poder sincronizar dispositivos en el enlace ascendente, ya que tan solo la estacin base o nodo es el nico actor que debe transmitir uno ( o los dos alternados por ejemplo) de esos flocks.

Aplicaremos a cada cdigo elemento una rotacin circular de sus elementos igual a al longitud del cdigo elemento

Usaremos un correlador basado en la transformad rpida de Fourier

37


La seal a transmitir esta compuesta por los elementos de una matriz que son la suma de los cdigos elementos de cada flock, por lo tanto y basados en la definicin de nuestro CCC esta matriz estar compuesta por ocho filas y ocho columnas.

4.1.1 Filtro correlador basado en el par FFT/IFFTUsamos la propiedad de la transformada de Fourier respecto a la correlacin,

{ f ( x) g ( x) }=F (u)G *(u ) 4.1En la anterior ecuacin el operador estrella define la operacin de correlacin. Esta

propiedad nos dice que la transformada de la correlacin entre dos funciones es igual a producto de la transformada de una de esas funciones por el conjugado de la transformada de la otra.

Esta propiedad se cumple tanto para la transformada continua como para la versin discreta. Para cualquier tipo de sistema de comunicacin digital se usa la transformada Discreta de Fourier, ya que anlisis, manipulaciones y transformaciones se prefieren realizar sobre la versin digitalizada de la seal en banda Base.

Cuando hablamos de transformada rpida de Fourier FFT estamos haciendo referencia a un algoritmo de implementacin de la Transformada discreta de la misma [ref numeric].

La propuesta utilizar la FFT como filtro correlador no es tampoco ninguna novedad, Hasan, Arslan y Thompsosn proponen en [M. Hasan, T. Arslan, and J. S. Thompson,Low-Power-Adaptive MC-CDMA Receiver Architecture, ETRI J., vol. 29, no. 1, pp. 7988, 2007.] un sistema MC-CDMA dos arquitecturas de procesadores FFT de 256 puntos radix-4 de bajo consumo, reconfigurables dinmicamente como 4 bloques de 64 puntos y 16 bloques de 16 puntos.

Cuando realizamos operaciones de correlacin sobre la transformada de Fourier, estamos realizando una correlacin circular, destacamos que en nuestras operaciones, no ha sido necesario rellenar con ceros los vectores, y que los resultados obtenidos son buenos usando una FFT con un tamao de Puntos igual a la longitud del cdigo elemento a correlar. Una buena explicacin de las diferencias entre correlacin circular y lineal, peridicas, aperidicas, y su aplicacin para sistemas GPS nos sirvi de bastante ayuda [C. Yang, FFT acquisition of periodic, aperiodic, puncture, and overlaid codesequences in GPS, Proc. ION GPS, no. September, pp. 1114, 2001.].

En cualquier caso y tras varios intentos hemos implementado una forma de realizar estas operaciones con un conjunto de cdigos como los cdigos complementarios que recordemos necesitan sumar todas sus correlaciones parciales de cada cdigo elemento.

38


El proceso es el siguiente:1. Obtenemos la transformada rpida de la secuencia elemento de la matriz de

transmisin a correlar.2. Obtenemos la transformada rpida del cdigo elemento a correlar.3. Calculamos el conjugado de la FFT del cdigo elemento obtenido en el paso 2.4. Realizamos las operaciones 1, 2 ,3 tantas veces como cdigos elemento tenga el

Flock.5. Sumamos los valores complejos de todos los vectores obtenidos.6. Obtenemos la transformada rpida inversa del vector suma anteriores.7. Descartamos los valores imaginarios, los valores reales ser el resultado de la

funcin de correlacin.

4.1.2 Desplazamiento y Matriz tridimensional de CCCSi estos cdigos poseen buenas propiedadaes de correlacin tanto peridica como

aperidica, significa que podremos encontrar el pico de autocorrelacin en cualquier desplazamiento , pudiendo as mejorara con mucho la capacidad del sistema

Transformaremos una matriz de dos dimensiones de cada flock del cdigo complementario donde las filas corresponden a los cdigos elemento y las columnas a cada valor o elemento constitutivo de ese cdigo elemento [1,-1], en otra matriz done los desplazaremos los valores de los cdigos elementos hacia la izquierda obteniendo tantos desplazamientos como nmero de elementos o longitud L de cada cdigo elemento.

En nuestro desarrollo no hemos extendido exactamente as los flocks que forman un CCC , si no que cada plano del eje z representa una rotacin de los cdigos elementos. El comando usado para construir la matriz con los cdigos incluyendo el desplazamientos es:CrCC3 = cat(3, [gallery('circul', v31)] , [gallery('circul', v32)] , [gallery('circul', v33)] , [gallery('circul', v34)] , [gallery('circul', v35)] , [gallery('circul', v36)] , [gallery('circul', v37)] , [gallery('circul', v38)]);

39


14: Extensin por rotacin ciclica de un flock

En el ejemplo anterior hemos construido la matriz tridimensional de un flock perteneciente a un CCC. En la figura 14 se podr observar con ms claridad el proceso y el aspecto final , en cada cdigo elemento que forma el flock, desplazamos hacia la derecha ciclicamente un valor o chip. Por lo tanto conseguiremos L rotaciones distintas, siendo L la longitud de los cdigos elemento del flock, esto lo hacemos con todos los cdigos elementos de todos los flocks del grupo CCC. Aprovechando las buenas caractersticas de correlacin aperidica, podremos conseguir por lo tanto un mximo de L operaciones de ensanchamiento distintas en un mismo flock.

4.2 Comportamiento frente a fenmenos del canalA continuacin simularemos algunos fenmenos del canal que pueden influir en la

decorrelacin de un sistema CDMA. No se tiene en cuenta un tipo de transmisin especifica, ya que en principio los CCC pueden ser transmitidos en varios sistemas siempre que se respete que no exista interferencia entre los cdigos elementos de la matriz de transmisin, es decir es posible usar una multiplexacin por tiempo TDM, por frecuencia y sus derivados FDM, o mixta

40


4.2.1 Comportamiento frente al MAILa interferencia MAI, es decir, la interferencia de acceso mltiple, es, como hemos

visto en captulos anteriores , el fenmeno por antonomasia de un sistema CDMA usando cdigos unitarios, afirmamos que este tipo de interferencia se debe a la ortogonalidad imperfecta de los cdigos unitarios, especialmente frente a recepciones asncronas.

Utilizamos una matriz de transmisin formada por los ocho flocks del grupo cada uno de ellos con un desplazamiento de un chip con un patrn de bits bipolares 1, -1, -1. 1,1, -1, 1, -1. Es decir, para el primer flock transmitiremos un 1 usando los cdigos elemento en su disposicin natural tras ser construidos, para el segundo flock, multiplicaremos un -1 por la versin rotada un chip a al derecha de todos sus cdigos elementos, para el tercer flock un -1 con la versin con dos chips rotados etc..Cdigo Matlab;TXMatall = CrCC(1,:,:) + (-1*CrCC2(2,:,:)) + (-1*CrCC3(3,:,:)) + (CrCC4(4,:,:));>> TXMatall = TXMatall + CrCC5(5,:,:) + (-1*CrCC6(6,:,:)) + CrCC7(7,:,:) + (-1*CrCC8(8,:,:));

Quedara una matriz con los siguientes valores, donde la primera fila es la suma de todos los primeros cdigos elemento de los 8 flocks, la segunda los segundos y as hasta sumar los ocho cdigos elementos de los ocho flocks, recordemos que cada cdigo elemento se ha de transmitir por un canal distinto

Objeto 15: Matriz de transmisin

Procedamos a correlar el primer flock

% Correlacion con primer flockMaiflokc1comp = zeros(1,8);for i=1:8Maiflokc1comp = Maiflokc1comp + (fft(TXMatall(1,:,i),8).*conj(fft(CrCC(1,:,i))));endMaiflokc1 = real(ifft(Maiflokc1comp,8));% normalizamosMaiFlokc1 = Maiflokc1/64;

La figura del flock decorrelado queda

41


Objeto 16: Correlacin del primer Flock

Para el segundo flock% Correlacion con 2nd flockMaiflokc2comp = zeros(1,8);for i=1:8Maiflokc2comp = Maiflokc2comp + (fft(TXMatall(1,:,i),8).*conj(fft(CrCC2(1,:,i))));endMaiflokc2 = real(ifft(Maiflokc2comp,8));MaiFlokc2 = Maiflokc2/64;

Objeto 17: Correlacin del Segundo Flock

Las restantes operaciones dan las siguientes figuras

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Objeto 18: Correlaciones de los diferentes Flocks

Observamos como los flocks de este CCC muestran sus picos de auto-correlacin y muy pocos valores debidos a la correlacin cruzada. Ademas es interesante observar que hemos usados versiones de los flocks con valores rotados, desplazados, pro loq ue etamso calculando funcione de correlacin aperidicas

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Como de buenos son nuestros cdigos (y nuestro decorrelador basado en FFT/IFFT) bajo un escenario de mxima capacidad.Escenario Propuesto:

Codificaremos para cada Flock 8 bits, transmitiendo un total de 64 bits.

A partir del primer grupo de 8 bits , iremos rotando circularmente un bit hacia la derecha para cada Flock; es decir para el primer flock un desplazamiento, para el segundo 2 etc...en octavo flock, por tanto ser el que transmita el patrn original

Patrn original : [1 1 -1 1 -1 -1 1 -1]Cdigo generador de la matriz de transmision:Creamos una estructura (Scc)donde mantener los cdigos y las operaciones% Estructura que mantiene los CCC% Asignamos los CCC circulares a la estructurafor n=1:8Scc(n).cc=eval(sprintf('CrCC%d',n));end% Patron de transmisiontxbits = [1 1 -1 1 -1 -1 1 -1];% Construimos la matriz TXFullTXFull= zeros(1,8,8);for i=1:8circbits = circshift(txbits,[0 i]);for j=1:8TXFull = TXFull + (circbits(j) * Scc(i).cc(j,:,:));endend

Nuestra matriz de transmisin queda de la siguiente manera

Objeto 19:Matriz de transmisin, con 64 bits ensanchados

Esta Matriz la haremos correlar usando nuestro filtro adaptado para cada uno de los Flocks.

Inicializamos los objetos dentro de la estructura Sccfor i=1:8Scc(i).compcor = zeros(1,8);Scc(i).realcor = zeros(1,8);Scc(i).normcor = zeros(1,8);end

realizamos la correlacin para cada uno de los Flocks y normalizamosfor i=1:8;

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Cod Elemen.1 0 0 0 0 0 0 0 0Cod Elemen.2 0 0 0 0 0 0 0 0Cod Elemen.3 0 0 0 0 0 0 0 0Cod Elemen.4 0 0 0 0 0 0 0 0Cod Elemen.5 -8 8 -8 -8 8 -8 8 8Cod Elemen.6 8 -8 8 8 -8 8 -8 -8Cod Elemen.7 8 -8 -8 -4 -8 8 8 4Cod Elemen.8 22 -22 10 6 -22 22 -10 -6


for j=1:8;Scc(i).compcor = Scc(i).compcor + (fft(TXFull(1,:,j),8).*conj(fft(Scc(i).cc(1,:,j))));endendfor i=1:8;Scc(i).realcor = real(ifft(Scc(i).compcor,8));Scc(i).normcor =Scc(i).realcor/64;end

Exponemos a continuacin una representacin de los valores normalizados y los bits transmitidos. Los picos de amplitud de las autocorrelaciones deberan coincidir con el signo del bit transmitido en fuente, ademas, la amplitud de la correlacin debera ser prxima a |1|. Un decisor con un determinado umbral ajustado, ser capaz entonces de devolvernos los bits transmitidos en fuente.

Observamos que no todos los valores de las siguientes correlaciones son exactamente uno, con cdigos perfectamente ortogonales esto no pasara, pero seguramente no encontraremos otros cdigos con valores reales, otra cosa seria usar valores complejos. que se comporten mejor que estos con la misma capacidad de transmisin, al menos no los hemos encontrado en nuestra investigacin bibliogrfica.

Objeto 20:Flock 1, bits: en fuente [-1 1 1 -1 1 -1 -1 1]

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Objeto 21:Flock 2, bits en fuente: [1 -1 1 1 -1 1 -1 -1]

Objeto 22:Flock 3, bits en fuente: [-1 1 -1 1 1 -1 1 -1]

Objeto 23:Flock 4, bits en fuente: [-1 -1 1 -1 1 1 -1 1]

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Objeto 24:Flock 5, bits en fuente: [1 -1 -1 1 -1 1 1 -1]

Objeto 25:Flock 6, bits en fuente: [-1 1 -1 -1 1 -1 1 1]

Objeto 26:Flock 7, bits en fuente: [1 -1 1 -1 -1 1 -1 1]

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Objeto 27:Flock 8, bits en fuente: [1 1 -1 1 -1 -1 1 -1]

4.2.2 Comportamiento frente a Interferencias Multi-trayectoQueremos observar como modifica los resultados de la correlacin las

transformaciones de la seal sufridas por la seal en un un canal con interferencia multi-trayecto. Nos interesa evaluar, adems, si estos resultados son coherentes con esa transformacin, y tener la posibilidad de usar los CCC como seal piloto o gua para poder aplicar algn tipo de ecualizacin a la seal recibida, pudiendo de esa manera recuperar una versin ms fiel de la seal transmitida.

Asumimos la transmisin de un bit valor 1 peridicamente.

Asumimos que el retardo temporal sean mltiplo de chips, en nuestro ejemplo el canal transforma la transmisin con el siguiente patrn que hemos elegido por convencin;

RetardoTray. Principal Retardo 2x Retardo 4x Retardo 7x

Ganancia 0,6 0,25 0,1 0,25

Cdigo Matlab;TXRaylFlock1 = (0.6*CrCC(1,:,:)) + (0.25*CrCC(2,:,:)) + (0.1*CrCC(4,:,:)) + (0.05*CrCC(7,:,:));FFTRayFlock1 = zeros(1,8);for i=1:8;FFTRayFlock1 = FFTRayFlock1 + (fft(TXRaylFlock1(1,:,i),8).*conj(fft(CrCC(1,:,i))));endCorrRaylFlock1 = zeros(1,8);CorrRaylFlock1 = real(ifft(FFTRayFlock1,8));NormRaylFlock1 = CorrRaylFlock1/64;

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Objeto 28:Matriz de transmisin con retardo

La matriz anterior representa los valores que obtendramos tras una demodulacin sin aplicar ecualizacin ninguna, eso si suponemos un canal sin ruido. Tras proceder a la correlacin obtenemos los siguientes valores sin normalizar

Objeto 29: Vector del resultado de la correlacin, no normalizado

Que tras aplicar la normalizacin establecida en numero de cdigos elemento de los flocks por longitud de los mismos queda con los siguientes valores

Objeto 30: Vector del resultado de la correlacion, valores normalizados

Objeto 31:Grficas de los valores resultantes de la correlacin,Izda no normalizados, Dcha normalizados

Es interesante observar como mientras para la parte inicial del vector se ha podido recuperar perfectamente la distribucin de las ganancias transformadas por el canal valores 1,2 y 4, en la parte final no ocurre lo contrario. La explicacin radica en que estamos utilizando transformadas de 8 puntos para las correlaciones con la FFT, es decir la mitad de puntos que podramos utilizar.

Recordemos que en el capitulo anterior en una correlacin lineal de flocks con cdigos elemento de cuatro valores de longitud, el vector de correlacin era de longitud siete, de la misma manera, aqu perdemos espectro de la correlacin. En esa parte perdida , encontraramos valores que haran ecualizar los valores residuales de las posiciones 6,7 y 8 que observamos y enmascaran los ltimos valores transformados por el canal. Es el

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38,4 16 0,2 6,4 2,4 1 3,2 0,4

0,60 0,25 0,00 0,10 0,04 0,02 0,05 0,01

Cod Elemen.1 1.00 0.7000 1.0000 0.2000 0.4000 1.0000 -0.4000 0.5000Cod Elemen.2 0.3000 -0.4000 0.3000 0.9000 0.7000 -0.3000 -0.7000 -0.8000Cod Elemen.3 0.3000 0.9000 0.7000 -0.3000 -0.7000 -0.8000 0.3000 -0.4000Cod Elemen.4 1.0000 -0.2000 0.4000 1.0000 -0.4000 0.5000 1.0000 0.7000Cod Elemen.5 1.0000 0.7000 1.0000 -0.2000 0.4000 1.0000 -0.4000 0.5000Cod Elemen.6 0.3000 -0.4000 0.3000 0.9000 0.7000 -0.3000 -0.7000 -0.8000Cod Elemen.7 -0.2000 0.3000 1.0000 0.8000 0.9000 1.0000 -0.3000 0.5000Cod Elemen.8 0.2000 0.7000 -0.4000 -0.8000 0.4000 -0.5000 -0.9000 -0.7000


mismo efecto que podemos encontrar en las digitalizacin de una seal cuando observamos aliasing.

4.2.3 Comportamiento con ruidoComo no hemos definido un sistema de modulacin especifico, En este apartado

definiremos como ruido, aquellos valores que tras la demodulacin, aparecen como variaciones de la decisin correcta, es decir, del valor que debera haberse transmitido. Como de buenos son los CCC recuperando el bit transmitido con una modificacin aleatoria de la matriz formada por los cdigos elemento ?

Estableceremos en el siguiente escenario varios niveles de ruido aadido en el proceso de correlacin. Obviamente el ruido en este contexto, como hemos dicho, es ruido tras la demodulacin sin aplicar ningn criterio de ecualizacin ni a priori ni con conocimiento de las condiciones de canal. En el siguiente capitulo estableceremos por diseo una modulacin I+Q y QAM con un diseo especifico de constelacin.

Procedemos a generar un vector de ruido de 64 posiciones que es la matriz de transmisin para el cdigo CC elegidosigma=1; mu=0sigma=1; mu=0;noise = sigma * randn(1,64)+mu;matnoise = reshape(noise,[8,8]);

La matriz con los valores de ruido queda como

Objeto 32:Tabla de valores de ruido generado, representacion limitada a cuatro decimales

Para realizar la prueba usaremos el caso ms extremo, es decir, la matriz de transmisin utilizada en el escenario de mxima capacidad del punto 4.2.1, El cdigo utilizado para realizar la correlacin es tambin el mismo.

Aportamos los resultados para los flocks 4,6 en los casos de sumar la matriz de ruido tal cual y la misma matriz multiplicada por tres

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0,5377 3,5784 -0,1241 0,4889 -1,0689 -0,1022 1,0933 -0,76971,8339 2,7694 1,4897 1,0347 -0,8095 -0,2414 1,1093 0,3714-2,2588 -1,3499 1,4090 0,7269 -2,9443 0,3192 -0,8637 -0,22560,8622 3,0349 1,4172 -0,3034 1,4384 0,3129 0,0774 1,11740,3188 0,7254 0,6715 0,2939 0,3252 -0,8649 -1,2141 -1,0891-1,3077 -0,0631 -1,2075 -0,7873 -0,7549 -0,0301 -1,1135 0,0326-0,4336 0,7147 0,7172 0,8884 1,3703 -0,1649 -0,0068 0,55250,3426 -0,2050 1,6302 -1,1471 -1,7115 0,6277 1,5326 1,1006


Caso1 Matriz de ruido sumada tal cual;

Objeto 33: Auto Correlacin de los Flocks 4 y 6 con ruido

Valores de la correlacin normalizados

Objeto 34: Tabla con los valores normalizados

Podemos observar que con las desviaciones en todas las decisiones del detector a la hora de recuperar los valores a correlar, con estos niveles de desviacin todava ha podido recuperar unos niveles de amplitud que proporcionarn una correcta decisin, el valor absoluto mnimo es |0,758|, incluso con un umbral exigente como |0,70|, ambos flocks han sido capaces de mantener la informacin de todos los bits transmitidos.

Caso2En este caso la matriz 32 ha sido multiplicada por 3, elegimos estos valores por

convencin.

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Flock 4 -1,125691 -0,799692 0,931475 -1,079966 0,964966 1,102496 -1,254324 1,031209Flock 6 -0,758155 1,014328 -0,839132 -0,779348 0,610854 -0,959821 0,95199 0,869605


Objeto 35: Auto Correlacin de los Flocks 4 y 6 con ruido multiplicado por 3


Objeto 36: Tabla con los valores normalizados ruido x3

Asumamos ahora que el umbral de decisin sobre el valor final sea de 1si >0,5 y -1- si


Objeto 37: Auto Correlacin de los Flocks 4 y 6 con ruido multiplicado por 5


Objeto 38: Tabla con los valores normalizados ruido x5

Manteniendo el umbral de decisin a 0,5 el resultado del decisor sera para el flock 4 [-1,0,0,-1,1,1,-1,1] siendo los bis de origen [-1 -1 1 -1 1 1 -1 1] es decir 2 fallos de ocho, para el flock 6 [0,1,0,-1,0,-1.1.1] sobre la transmisin de [-1 1 -1 -1 1 -1 1 1] lo que significa tres fallos de ocho.

Por lo tanto nuestro sistema tiene una buena inmunidad frente al ruido. Como podemos formular esta sentencia?. Analicemos lo que realmente est pasando aqu, En realidad estamos desviando los resultados de la deteccin, por ejemplo en una demodulacin QAM, en unos valores que sobrepasan con mucho los normales, de hecho no estamos realizando la ecualizacin,cuantizacin o decisin propias de estos sistemas usando MMSE, ML o MRC, quiz no los necesitemos.

Analizemos los valores de las desviaciones en la matriz de ruido inicial, contaremos que valores superan un [1,-1], [2,-2][3,-3], en el contexto que trabajamos esto significa ue el elemento cuantizador del demodulador ha elegido errneamente un nivel a devolver, 1 2 3 posiciones sobre lo transmitido.

Para el primer Caso

Objeto 39: Ocurrencias de errores en el decisor, Tabla de ruido x1

Vemos que en total ha habido 27 errores de decisin, de los cuales 22 veces se ha devuelto un error en un rango de un nivel de cuantizacin, 3 con un error de dos niveles

53

Flock 4 -1,628453 -0,498458 0,157375 -0,899828 0,824831 2,012481 -1,771621 0,656044Flock 6 -0,290774 1,071641 -0,195658 -0,89674 -0,445731 -0,799103 0,759952 1,348025

Valores cantidad>=1 o =2 o =3 o


de cuantizacin y 2 con 3 o ms niveles. Estamos hablando de una tasa de error del 42,19%.

Respecto a la matriz de ruido generado multiplicado por 3 los resultados son;

Objeto 40:Ocurrencias de errores en el decisor, Tabla de ruido x3

Por lo tanto estaramos hablando del 73,44% de errores en la demodulacin y deteccin.

Por ltimo en el tercer caso;

Objeto 41: Ocurrencias de errores en el decisor, Tabla de ruido x5

56 Errores sobre 64, la mayora de ms de tres niveles sobre los valores demodulados, estamos hablando de un 87,5% de tasa de error y aun as pudimos recuperar informacin.

4.2.4 Comportamiento frente a Correlaciones parciales

Correlacin parcial con cambio de bitPropongamos un escenario en el que la sincronizacin entre el emisor y receptor no

se ha conseguido, proponemos un caso extremo en el que la matriz a correlar esta formada por un chip de valor 1 en las columnas uno a cuatro y un chip de valor -1 (si el chip fuera en el mismo sentido tendramos un desplazamiento en el pico de autocorrelacin) las columnas cinco a ocho, utilizamos el primer flock

partial = cat(2,CrCC(1,1:4,:),(-1*(CrCC(1,5:8,:))));

La matriz queda de esta forma

Objeto 42: Matriz de transmisin con cambio de sentido de bit

54

Valores cantidad>=1 o =2 o =3 o =1 o =2 o =3 o


Y La correlacin

Objeto 43: Autocorrelacin parcial con cambio de bit, valor normalizado

El vector resultante es

Objeto 44: Valores de la autocorrelacin parcial con cambio de bit

Como era de esperar la correlacin ha sido incapaz de recupe

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