ФМН 2012 4(В1)(AdobePDF) Математика...

№ 4 (24), 2012 Физико-математические науки. Математика

1

ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ ПОВОЛЖСКИЙ РЕГИОН

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

№ 4 (24) 2012

СОДЕРЖАНИЕ

МАТЕМАТИКА Ладошкин М. В. Гомотопически устойчивый аналог

симплициального объекта.…. ................................................................................. 3

Медведик М. Ю. Субиерархический метод решения задачи дифракции электромагнитных волн на неплоских экранах сложной геометрической формы с использованием базисных функций крышек......…….. ....................... 12

Валовик Д. В., Смирнов Ю. Г. О распространении связанных электромагнитных ТЕ- и ТМ-волн в плоском слое с керровской нелинейностью.............. .................................................................. 21

Смолькин Е. Ю. Метод задачи Коши для решения нелинейной задачи сопряжения на собственные значения для ТМ-волн, распространяющихся в круглом двухслойном диэлектрическом волноводе с керровской нелинейностью........ ..................................................... 49

Смирнов Ю. Г., Медведик М. Ю., Максимова М. А. Решение задачи дифракции электромагнитной волны на экранах сложной формы... ................ 59

Валовик Д. В., Эргашева Е. Р. Задача дифракции электромагнитных ТЕ-волн на нелинейном слое.............. .................................................................. 73

Бойков И. В., Рязанцев В. А. Устойчивость решений параболических уравнений с дробными производными…...... ...................................................... 84

Бойков И. В., Гринченков Г. И. Метод граничных интегральных уравнений в задачах механики композитных материалов и многослойных пластин...... 101

Геращенко С. И., Геращенко С. М., Кучумов Е. В. Моделирование тестовой задачи на основе замкнутой системы интегродифференциальных уравнений, описывающих работу электрохимической ячейки......... .............. 115

ФИЗИКА

Кревчик В. Д., Разумов А. В., Губина С. А., Губин Т. А., Гаврина З. А. Макроскопические квантовые эффекты в спиральной нанотрубке, связанные с асимметрией электрон-фотонного и электрон-фононного взаимодействий в продольном магнитном поле.........…. ................................. 125

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

2

Кревчик В. Д., Семенов М. Б., Зайцев Р. В., Арынгазин А. К., Ямамото К., Рудин В. А., Кревчик П. В., Егоров И. А. Особенности диссипативного туннелирования в квантовой молекуле с учетом двух фононных мод диэлектрической матрицы........ .................................................................... 135

Макеева Г. С., Голованов О. А., Ширшиков Д. Н. Влияние магнитостатического диполь-дипольного и обменного взаимодействий в системах ферромагнитных наночастиц на эффективную магнитную проницаемость 3D-нанокомпозита..... ............... 150

Светухин В. В., Тихончев М. Ю. Моделирование взаимодействия каскадов атомных смещений с обогащенными хромом преципитатами в сплаве FeCr........ ........................................................ 162

Журавлев В. М., Зиновьев Д. А. Интегрируемые модели динамики сжимаемой среды в собственном поле тяготения. Метод подстановок Коула – Хопфа........... ......................................................... 174

Щиголев В. К., Семенова Е. А. Космологические модели скалярных полей в геометрии лиры.......... .......................................................... 191

Булярский С. В., Вострецова Л. Н., Ермаков М. С. Определение энергетических параметров электронных состояний в полупроводниковых углеродных нанотрубках............... ................................ 205

Силантьев А. В. Исследование наносистем в рамках модели Хаббарда..... ........ 214

Гадомский О. Н., Степин С. Н., Ушаков Н. М., Алтунин К. К., Русин А. А., Зубков Е. Г. Усиленное оптическое пропускание композитных наноструктурных толстых пленок с квазинулевым показателем преломления (I. Экспериментальные данные)........ ..................... 227

Печерская Р. М., Печерская Е. А., Метальников А. М., Кондрашин В. И., Соловьев В. А. Синтез и свойства нанокристаллических пленок диоксида олова, полученных методом пиролиза аэрозолей..... ........................ 237

Горюнов В. А., Гришаев В. Я., Никишин Е. В. Кинетика фотопроводимости при возбуждении высокочастотными импульсами..…. .. 242


3

МАТ ЕМА ТИ К А УДК 512.662.1

М. В. Ладошкин

ГОМОТОПИЧЕСКИ УСТОЙЧИВЫЙ АНАЛОГ СИМПЛИЦИАЛЬНОГО ОБЪЕКТА1

Аннотация. Рассматривается вопрос построения гомотопически устойчивого аналога симплициального объекта. Предъявляется конструкция высших сим-плициальных операторов, доказывается теорема об их существовании на го-мологиях цепного комплекса. Доказательство теоремы существования кон-структивно, что позволяет строить полученные высшие симплициальные множества как гомотопически устойчивые аналоги симплициальных на гомо-логиях цепных комплексов. Ключевые слова: симплициальный объект, гомологии, гомотопическая устой-чивость, SDR-ситуация, высшие симплициальные операторы. Abstract. The article considers the construction of homotopy steady analog of sim-plicial object. The author introduces a design of highest simplicial operators and proves a theorem of their existence on chain complex homologies. The proof of the existence theorem is constructive, which allows to build the received highest simplicial sets as homotopy steady analogs, that are simplicial on chain complex homologies. Key words: simplicial object, homology, homology stability, SDR-situation, the higher simplicial operators.

Введение

В последнее время в алгебраической топологии актуальным является процесс создания аналогов алгебраических структур, которые были бы устойчивы при переходе к гомотопическому случаю. Первые работы в этом направлении относятся к 70-м годам прошлого века (Дж. Мэй, Т. Кадеишви-ли, В. Смирнов) и касались построения аналога градуированных и дифферен-циальных алгебр [1].

Результаты, представленные в данной работе, являются обобщением работ, начатых в [2], однако отличаются от нее отсутствием геометрической реализации и, соответственно, более простым алгоритмом получения высших симплициальных соотношений. Аналоги высших граней и вырождений, не-обходимые для построения продолжения всей симплициальной структуры, были получены автором в [3, 4]. Основными результатами данной работы яв-ляется сама конструкция аналога симплициального объекта, а также доказа-тельство его теоремы существования.

1 Работа выполнена в рамках проекта «Построение гомотопически устойчиво-

го аналога симплициального объекта» ФЦП «Научные и научно-педагогические кад-ры инновационной России на 2009–2013 гг.». Государственный контракт № П1226 от 7 июня 2010 г.


4

Все основные утверждения, конструкции и доказательства теорем при-водятся над полем характеристики 2, т.е. над Z2. Подобный прием является часто используемым в алгебраической топологии, так как позволяет избежать постоянной записи знаков, а также проверки их совпадения. Однако боль-шинство утверждений, верных для случая поля характеристики 2 остаются верными и для произвольного случая.

1. Основные сведения о высших симплициальных гранях и вырождениях

Сначала напомним основное определение симплициального множества, следуя [5].

Определение 1. Симплициальное множество К – упорядоченный набор множеств, индексированный неотрицательными целыми числами, рассматри-ваемый вместе с отображениями 1:i q qd K K и 1:i q qs K K , 0 i q , которые удовлетворяют следующим условиям:

(i) 1i j j id d d d , если i j ,

(ii) 1i j j is s s s , если i j ,

(iii) 1i j j id s s d , если i j ,

1 ,j j j jd s id d s

1i j j id s s d , если 1.i j (1)

Элементы qK будем называть q-симплексом или симплексом размер-ности q. Отображения id и js называют соответственно операторами граней и вырождений.

Перейдем к описанию аналога симплициальной грани согласно [3]. Для этого рассмотрим сначала упорядоченный набор натуральных чи-

сел 1,..., ki i , в котором каждый индекс также принадлежит множеству нату-ральных чисел.

Определение 2. Будем обозначать ( )jt i для числа ji , входящего в 1,..., ki i , если 1 ,..., tr j r ji i i i и 1 ,..., tr j r j . Другими словами, t – коли-

чество чисел 1r si i , стоящих правее si . Также можно сказать, что ( )jt i – чис-

ло инверсий в подстановке 1( ,..., )ki i , соответствующих элементу ji .

Определение 3. Будем обозначать ji для числа ji , входящего

в 1,..., ki i , если j ji i t , где t вычисляется согласно определению 2. Рассмотрим цепной комплекс X , т.е. модуль iX C , где каждый

iC – модуль, снабженный последовательностью отображений 1:i i id C C , называемых дифференциалами и удовлетворяющих условию

1( ) 0i id d . (2)

Определим на этом комплексе структуру ∆∞-множества.


5

Определение 4. ∆∞-множеством будем называть цепной комплекс X с дифференциалом d, снабженный набором отображений

1 2, ,..., 1: ,ni i i m mX X

которые удовлетворяют следующим условиям:

i id d , (3)

1 2( ), ( ),..., ( ) 0,ni i i (4)

где – подстановка из симметрической группы kS , а суммирование идет по всем подстановкам, действующим на данный набор 1,..., ki i .

Отображения 1 2, ,..., ni i i будем называть высшими гранями.

В работе [4] показано существование ∆∞-множеств на гомологиях цеп-ного комплекса с заданными на нем симплициальными гранями.

Приведем аналогичные построения для симплициальных вырождений согласно [5].

Определение 5. Будем обозначать ˆji для числа ji , входящего в 1,..., ki i ,

если ˆj ji i t , где t вычисляется согласно определению 2. Определим на цепном комплексе структуру высших симплициальных

вырождений. Определение 6. Будем говорить, что на цепном комплексе X с диффе-

ренциалом d заданы высшие симплициальные вырождения, если цепной ком-плекс снабжен набором отображений

1 2, ,..., ni i is

1 2, ,..., 1: ,ni i i m ms X X

которые удовлетворяют следующим условиям:

;i ids s d (5)

1 2ˆ ˆ ˆ( ), ( ),..., ( ) 0ni i is , (6)

где – подстановка из симметрической группы kS , а суммирование идет по всем подстановкам, действующим на данный набор 1,..., ki i . Отображения

1 2,. ,..,

ki i is s s будем называть высшими вырождениями.

В работе [4] доказано существование структуры высших симплициаль-ных вырождений гомологий цепного комплекса, на котором заданы цепные вырождения, удовлетворяющие условиям (ii) из определения 1.

2. Построение гомотопически устойчивого аналога симплициального объекта

Опишем структуру гомотопически устойчивого аналога симплициаль-ного объекта.

Определение 7. Рассмотрим ∆∞-множество с определенными на нем высшими вырождениями. Будем называть этот объект S∞-объектом, если вы-полняются следующие условия:


6

1 1( ),..., ( ) ( ),..., ( ) 0;t t n

k

i i i iS I

(7)

1 1ˆ ˆ ˆ ˆ( ),..., ( ) ( ),..., ( ) 0.k k n

k

i i i iS I

s s

(8)

Суммирование в формулах (7), (8) идет в первом случае по всем возмож-ным перестановкам из симметрической группы kS , а во втором – по множе-ству I всех разбиений набора 1 2( ( ), ( ),..., ( ))ni i i или 1 2ˆ ˆ ˆ( ( ), ( ),..., ( ))ni i i на два строго упорядоченных блока: или 1( ( ),..., ( ))ki i и 1( ( ),..., ( ))k ti i , или 1ˆ ˆ( ( ),..., ( ))ki i и 1ˆ ˆ( ( ),..., ( ))k ti i , т.е. блоки, в которых выполняется условие 1 2( ) ( ) ... ( )ki i i и 1 2( ) ( ) ... ( )k k ni i i (или

1 2ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ... ( )ki i i и 1 2ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ... ( )k k ni i i ); символ 1( )i рас-сматривается в смысле определения 3; символ 1ˆ ( )i рассматривается в смыс-ле определения 5.

Существование S∞-объектов непосредственно следует из результатов, полученных в [3, 4]. Заметим лишь, что гомологии цепных комплексов рас-сматриваются как комплексы с нулевым дифференциалом.

Формулы (7) и (8) для высших симплициальных соотношений играют роль условий (i) и (ii) из формулы (1) определения 1.

Рассматривая определение симплициального множества, следует отме-тить, что в состав условий, определяющих указанную алгебраическую струк-туру, входят не только симплициальные грани и вырождения порознь, но и соотношения, которые определяют их взаимосвязь. В определении 1 этим условиям будут соответствовать соотношения (iii).

Опишем аналог этих конструкций в гомотопически устойчивом случае. Для этого нам придется дополнить высшие вырождения и высшие грани (∆∞-множество) дополнительными операциями, которые образуют связь, со-единяющую в единое целое два вышеуказанных понятия.

Определение 8. Будем называть S∞-объект высшим симплициальным множеством, или, для краткости, S∞-множеством, если на нем дополнительно заданы отображения 1 2

1 2

, ,...,, ,...,

tk

j j ji i is , удовлетворяющие условию: для любой упо-

рядоченной последовательности 1,..., ki i 1,..., tj j выполняется соотношение

1 1( ),..., ( ) ( ),..., ( ) 0,t t n

k

i i i iS I

r r

(9)

где суммирование идет в первом случае по всем возможным перестановкам из симметрической группы kS , а во втором – по множеству I всех разбие-ний набора 1 2( ( ), ( ),..., ( ))ni i i на два строго упорядоченных блока

1( ( ),..., ( ))ki i и 1( ( ),..., ( ))k ti i , т.е. блоки, в которых выполняется условие

1 2( ) ( ) ... ( )ki i i и 1 2( ) ( ) ... ( )k k ni i i , символ 1( )i рассмат-ривается в смысле определения 3. Символ

1( ),..., ( )ti ir будет иметь в данной формуле различное значение в зависимости от значений, входящих в него индексов, а именно:


7

1

1 1

11

( ),.., ( )

ˆ ˆ( ),.., ( ) ( ),.., ( )

( ),..., ( )( ),..., ( )

, если ( ) для некоторых и ;


если ( ) для некоторых и ,,

( ) для некоторых и .

t

t t

tt

i i q k

i i i i q k

q kp ps s

q k

s i q k

r s s j q k

s i q ks

p j q k

Таким образом, кратко описывая правило определения значения симво-ла

1( ),..., ( )ti ir , можно сказать, что оно сохраняет принадлежность символа

после действия на него подстановки, т.е. символы, относящиеся к вырожде-ниям и граням, остаются связанными с высшими гранями и вырождениями соответственно.

Легко видеть, что определение S∞-множества является обобщением по-нятия S∞-объекта. Более того, в определении S∞-множества можно обойтись без использования понятия S∞-объекта, если принять понятие высшего сим-плициального оператора 1 2

1 2

, ,...,, ,...,

tk

j j ji i is как обобщение понятия высшей грани и

высшего вырождения. Другими словами, высшая грань – это высший сим-плициальный оператор, в котором присутствуют только нижние индексы, высшее вырождение – высший симплициальный оператор только с верхними индексами. Обобщая вышесказанное, можно дать другое определение S∞-объекта.

Определение 9. Будем называть высшим симплициальным множе-ством, или, для краткости, S∞-множеством, цепной комплекс X с заданными на нем высшими операторами 1 2

1 2

, ,...,, ,...,

tk

j j ji i is , удовлетворяющими следующим

условиям:

1 2 1 2, ,..., , ,...,

;k ki i i i i i

d s s d (10)

1 2 1 2, ,..., , ,..., ,t tj j j j j jd s s d (11)

и для любой упорядоченной последовательности 1,..., ki i 1,..., tj j выполняется соотношение

1 1( ),..., ( ) ( ),..., ( ) 0,t t n

k

i i i iS I

r r

(12)

где суммирование идет в первом случае по всем возможным перестановкам из симметрической группы kS , а во втором – по множеству I всех разбие-ний набора 1 2( ( ), ( ),..., ( ))ni i i на два строго упорядоченных блока

1( ( ),..., ( ))ki i и 1( ( ),..., ( ))k ti i , т.е. блоки, в которых выполняется усло-вие

1 2( ) ( ) ... ( )ki i i и 1 2( ) ( ) ... ( )k k ni i i ,

значение символа 1( ),..., ( )ti ir будет определяться по следующей схеме:


8

1

1 1

11

( ),.., ( )

ˆ ˆ( ),.., ( ) ( ),.., ( )

( ),..., ( )( ),..., ( )



если ( ) для некоторых и ,,

( ) для некоторых и .

t

t t

tt

i i q k

i i i i q k

q kp ps s

q k

s i q k

r s s j q k

s i q ks

p j q k

Рассмотрим пример использования соотношений (9), (12). Рассмотрим последовательность (1, 2; 4). Символ «;» в данной записи

будет отделять индексы, относящиеся к граням, от индексов, относящихся к вырождениям. Применяя все подстановки, получим следующие последова-тельности:

(1, 2; 4), (2, 1; 4), (1; 4; 2), (2; 4, 1), (4; 1, 2), (4; 2, 1).

Применим к каждой последовательности определения 3, 5. Получим последовательности (для наглядности выделены символы, относящиеся к вы-рождениям):

(1, 2, 4), (1, 1, 4), (1, 3, 2), (1, 3 ,1), (2, 1, 2), (2, 1, 1).

Применяя описанное в определении 9 правило, получим симплициаль-ное соотношение

4 4 3 31,2 4 1 2 1 1 1 1 1 2 2 1,2 0.s s s s s s

При этом заметим, что последовательности (2, 1, 1) не будет соответ-ствовать ни одно упорядоченное разбиение на блоки, а последовательности (1, 2, 4) будет соответствовать два таких разбиения.

Определенные выше S∞-множества будут являться гомотопически устойчивыми аналогами симплициальных объектов.

3. Существование S∞-множества

Покажем, что S∞-множества существуют. Для этого сформулируем и докажем следующую теорему.

Теорема 1. На гомологиях цепного комплекса, на котором задана структура симплициального множества, грани и вырождения которого явля-ются цепными отображениями, существует структура S∞-множества.

Доказательство. То, что на гомологиях цепного комплекса существует структура S∞-объекта, является следствием доказанных в [4, 5] теорем суще-ствования.

Приведем алгоритм построения отображений 1 21 2

, ,...,, ,...,

tk

j j ji i is на гомологиях

цепного комплекса. Рассмотрим стандартную SDR-ситуацию цепных ком-плексов C и H(C), т.е. систему отображений {η : C → H(C):ξ, h}, если для отображений

h : C → C, η : C → H(C), ξ : H(C) → C

выполняются следующие условия:

dh + hd = ξη + id; hξ = 0; ηh = 0; hh = 0; ηξ = id. (13)


9

Отображение h : C → C является гомотопией между отображением ξη и тождественным отображением. Отображение η : C → H(C) – выбор класса гомологий по представителю; отображение ξ : H(C) → C – выбор представи-теля в классе. В общем случае отображение ξ является неоднозначным, одна-ко путем фиксации разложения C в прямую сумму D⨁H(C) однозначность отображения ξ может быть достигнута. Поскольку мы рассматриваем все мо-дули над полем характеристики 2, то разложение в прямую сумму всегда су-ществует и однозначно определяет отображение ξ путем выбора представите-ля из второго слагаемого. Заметим, что отображения η и ξ являются цепными, т.е. перестановочны с дифференциалом в соответствующих комплексах (диф-ференциал в комплексе гомологий рассматривается как тривиальный).

Теперь определим отображение 1 21 2

, ,...,, ,...,

tk

j j ji i is следующим образом. Рас-

смотрим последовательность 1,..., ki i 1,..., tj j . Запишем соответствующую ей последовательность

1 2 1 2, , ,..., , , ,...,k ti i i j j js s s . Будем применять к каждой па-ре операторов из данной последовательности симплициальные соотношения до тех пор, пока это возможно. Получим набор последовательностей

1 1 2 2, , , , ..., ,k ti j i j i js s s (индексы могут изменяться в соответствии с соотно-

шениями). Тогда определим отображение tk

jjjiiis

,...,,,...,,21

21 по формуле

1 21 21 2

, ,...,, ,..., ( .... ) ,

tkk

j j jt t ti i is r hr h hr (14)

где суммирование идет по всем полученным наборам последовательностей

1 1 2 2, , , , ..., ,k ti j i j i js s s , а символ ktr обозначает грань или вырождение, в за-висимости от того, какой из двух частей описываемого относится прообраз индекса kt .

Покажем, что определенные таким образом операторы удовлетворяют высшим симплициальным соотношениям (10)–(12). Для этого рассмотрим действие дифференциала на операторе 1 2

1 2

, ,...,, ,...,

tk

j j ji i is . Последовательность

1,..., ki i 1,..., tj j будем считать упорядоченной. Используя правило Лейбница, можем записать

1 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2, ,..., , ,..., , ,...,, ,..., , ,..., , ,...,t t tk k kj j j j j j j j ji i i i i i i i id s d s s d . Подставим в полученную формулу выражения для определения выс-

ших смешанных операторов из формулы (14). Получим следующее выражение:

1 2 1 2 1 21 2, ,...,, ,..., ( .... ) ( .... ) ,t k kkj j j t t t t t ti i id s d r hr h hr r hr h hr d где параметр суммирования и значения символа

ktr определяются аналогично

формуле (14). Поскольку отображения η, ξ, rt – цепные, то дифференциалы можно

внести в суммы и провести до первой встреченной гомотопии, т.е. получить выражение


10

1 2 1 2 1 21 2, ,...,, ,..., ( .... ) ( .... ) .t k kkj j j t t t t t ti i id s r dhr h hr r hr h hdr Учитывая определение гомотопии, мы сможем в слагаемых, входящих

в первую сумму, поменять дифференциал и гомотопию, т.е. получить выра-жение вида

1 2 1 2 1 21 2, ,...,, ,..., ( .... ) ( .... )t k kkj j j t t t t t ti i id s r hdr h hr r r h hr

1 2 1 2( .... ) ( .... ) .

k kt t t t t tr r h hr r hr h hdr (15) Рассмотрим вторую сумму:

1 2( .... ) .

kt t tr r h hr Она будет равна нулю, так как последовательности

1 2, ,

kt t tr r r получены в

результате действия симплициальных соотношений (i), (ii), (iii). Поэтому все наборы 1 2, , kt t t можно будет разбить на пары, отличающиеся только первыми двумя числами, а остальные будут совпадать, причем отличие будет таковым:

1 2 1 2 2 11( .... ) ( .... ) .k kt t t t t t t tr r h hr r r r r h hr Знак в последнем индексе зависит от того, грани или вырождения

означают символы 2tr . Если две грани или грань и вырождение, то ставится

минус, что соответствует операции r ; если два подряд вырождения, то ста-вится +, что соответствует операции r̂ . Учитывая симплициальные соотно-шения (i), (ii), (iii), выражение в каждой из скобок равно нулю, независимо от знака. Поэтому формула (15) примет вид

1 2 1 21 2, ,...,, ,..., ( .... )t kkj j j t t ti i id s r hdr h hr 1 2 1 2

( .... ) ( .... ) .k kt t t t t tr r h hr r hr h hdr

Продолжим процесс далее. Пользуясь тем, что отображения η, ξ, rt цеп-ные, продолжим движение дифференциала по первой сумме. Затем будем по-следовательно заменять dh на hd + id + ξη. Получим

1 2 1 2 1 21 2, ,...,, ,..., ( .... ) ( .... )t k kkj j j t t t t t ti i id s r hdr h hr r hr hr 1 2 1 2 3 1 2

( .... ) ( .... ) ( .... ) .k k kt t t t t t t t t tr r h hdr r hr r hr r hr h hdr

По соображениям, аналогичным ранее приведенным, четвертое слагае-мое будет равно нулю. Продолжая данный процесс, получим

1 2 1 21 2, ,...,, ,..., ( ... ... )t kkj j j t t ti i id s r r h hr , где суммирование идет, кроме всех наборов 1 2, , ..., kt t t , еще и по всем ме-стам, на которых может стоять отображение ξη. Поскольку будут перебраны все возможные варианты перемножений каждого из наборов на другой, то


11

для доказательства теоремы становится достаточно заметить, что из всевоз-можных последовательностей

1 2, , ...,

kt t tr r r , входящих в определение смешан-ного высшего оператора, только одно является упорядоченным, т.е. удовле-творяет условию 1 2 ... kt t t . Следует заметить, что выражение

1 2...t tr hr определяет либо смешанный высший оператор, либо высшую

грань, либо высшее вырождение, причем в обоих случаях – упорядоченные. Таким образом, мы получим, что

1 2 1 11 2, ,..., ( ),.., ( ) ( ),.., ( ), ,..., 0,t t t nkk

j j ji i i ii i i

S Id s r r

где символы 1( ),.., ( )ti ir понимаются в смысле определения 9, суммирование

идет по всем упорядоченным блокам и всем подстановкам симметрической группы. Так как дифференциал в гомологиях равен нулю, мы получаем

1 1( ),.., ( ) ( ),.., ( ) 0,t t nk

i i i iS I

r r

что и требовалось доказать. Эти рассуждения позволяют сделать вывод о справедливости утверждения теоремы.

Список литературы 1. Кадеишвили , Т . В . К теории гомологий расслоенных пространств / Т. В. Ка-

деишвили // Успехи математических наук. – 1980. – Т. 35, № 3 (213). – С. 183–188.

2. Смирнов , В . А . А∞-симплициальные объекты и А∞-топологические группы / В. А. Смирнов // Математические заметки. – 1999. – Т. 66, № 6. – С. 913–919.

3. Ладошкин , М . В . Аналог симплициальных граней в А∞-случае / М. В. Ладо-шкин // Вестник МГОУ. Сер. Физика-математика. – 2011. – № 3. – С. 10–18.

4. Ладошкин , М . В . Построение аналога симплициальных вырождений в А∞-случае / М. В. Ладошкин // Известия высших учебных заведений. Поволж-ский регион. Физико-математические науки. – 2011. – № 2. – С. 80–90.

5. May, J . P. Simplicial objects in algebraic topology / J. P. May // Van Nostred, Math. Studies. – 1967. V. 11. – 162 p.

Ладошкин Михаил Владимирович кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математики, Мордовский государственный педагогический институт имени М. Е. Евсевьева (г. Саранск)

Ladoshkin Mikhail Vladimirovich Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of mathematics, Mordovia State Pedagogical University named after M. E. Evsevyev (Saransk)

E-mail: [email protected]

УДК 512.662.1

Ладошкин, М. В. Гомотопически устойчивый аналог симплициального объекта /

М. В. Ладошкин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2012. – № 4 (24). – С. 3–11.


12

УДК 517.6 М. Ю. Медведик

СУБИЕРАРХИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН НА НЕПЛОСКИХ

ЭКРАНАХ СЛОЖНОЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ БАЗИСНЫХ ФУНКЦИЙ КРЫШЕК1 Аннотация. Рассмотрена задача дифракции электромагнитной волны на не-плоском экране, расположенном в свободном пространстве. Задача сведена к интегральному уравнению. Построен метод Галеркина для решения инте-грального уравнения с использованием функций «крышек». Рассмотрено при-менение субиерархического метода для решения интегрального уравнения. Представлены численные результаты. Ключевые слова: задача дифракции, интегральное уравнение, субиерархиче-ский метод, численные результаты. Abstract. The article considers a problem of electromagnetic wave diffraction on a nonplanar screen located in free space. The problem is reduced to an integral equa-tion. The author has applied the Galerkin method for solving integral equation with the “Rooftop” basic functions. The article also considers the application of the sub-hierarchical method for solving integral equations and introduces the numerical re-sults. Key words: diffraction problem, integral equation, subhierarchical method, numeri-cal results.

Введение

Настоящая работа посвящена численному исследованию векторной за-дачи дифракции электромагнитной волны на экранах. Это задача дифракции электромагнитного поля на бесконечно тонких и идеально проводящих экра-нах, имеющих сложную геометрическую форму. Она сводится к векторному интегродифференциальному уравнению на поверхности экрана [1, 2] и реша-ется численно с помощью проекционного метода.

Рассматриваемая задача является классической в электродинамике и активно решается с 1949 г. Использование в радиотехнике и электронике ан-тенн и печатных плат сложной геометрической формы требует построения новых математических моделей для процессов распространения электромаг-нитных волн в таких устройствах. При этом возникла необходимость иссле-дования нового широкого класса задач электродинамики, характеризующихся сложной геометрией и пространственным расположением. Многочисленные пакеты прикладных программ не позволяют получить эффективное решение данной задачи.

Последние десятилетия характеризуются бурным развитием компью-терной техники. Это способствовало активному применению методов ком-пьютерного моделирования для решения подобных задач на экранах канони-ческой формы. Однако следует подчеркнуть, что проблема эффективного

1 Работа выполнена при поддержке ФЦП «Научные и педагогические кадры инновационной России» на 2009–2013 годы, соглашение № 14.В37.21.1950.


13

численного решения задач дифракции на тонких экранах в настоящее время, по-видимому, пока не решена даже с использованием самых мощных совре-менных ЭВМ.

Для получения результатов задач на экранах сложной геометрической формы используются субиерархические методы [3–8], которые позволяют не производить повторные вычисления, связанные с формирование матричных элементов. Субиерархические методы эффективно используются совместно с параллельными вычислительными алгоритмами и реализуются на вычисли-тельном кластере.

Постановка задачи

Пусть M – замкнутая не обязательно связанная поверхность в 3R класса С . Пусть M , , i j

ii j – объединение ко-

нечного числа связанных ориентированных незамкнутых и непересекающих-ся поверхностей класса С в 3R . Край \j j j поверхности j есть кусочно-гладкая кривая без точек самопересечения, состоящая из конечного числа простых дуг класса С , сходящихся под углами, отличными от нуле-вого: j

j . Рассмотрим задачу дифракции стороннего монохроматического элек-

тромагнитного поля 0 0,E H на бесконечно тонком идеально проводящем экране , расположенном в свободном пространстве с волновым числом

2 2 1, ( ), Im 0 ( 0)k k i k k (рис. 1).

Рис. 1.

Данная задача сводится к векторному интегродифференциальному

уравнению [1]

2: (grad (Div ) ) tLu A u k Au f , (1)

X2

X1

X3

E E0


14

где A является интегральным оператором

exp( )

( ) ,ik x y

Au u y dsx y

(2)

0: 4 tf kE и Div – это тангенциальная дивергенция на . Здесь танген-циальный вектор u – так называемая поверхностная плотность тока.

Для изучения задачи дифракции на экране введем векторное про-странство распределений W .

Положим для любого вещественного s [9]

2: | : ,s sH u u H R 2: : supp u .s sH u H R

Скалярное произведение и норма в 2sH R определяются обычным образом

_____2

ˆ ˆ, ,s

su v u v d

1/22 2, ; : 1 .ssu u u Здесь и всюду ниже, где не указана область интегрирования, подразу-

мевается интеграл по 2R . sH является (замкнутым) подпространством 2sH R с индуцированными скалярным произведением и нормой. Далее 2 /s sH H R H ; в sH вводится скалярное произведение и

норма факторпространства. Пространства sH и sH антидвой-ственны друг к другу при всех s R ; sH можно получить замыканием

0C в пространстве 2sH R [9]. В дальнейшем нас будут интересовать главным образом пространства

вектор-функций, поэтому через ,u v будем обозначать векторы

1 2 1 2, , ,T Tu u u v v v и т.д. При этом sH в записи su H уже понимает-ся как декартово произведение двух экземпляров пространства sH со ска-лярным произведением и нормой

_____

21 1 2 2 ˆ ˆ, , , ,

ss s su v u v u v u v d

22 2 2 21 2 ˆ .ss s su u u u d


15

Сохраним те же обозначения для пространств в векторном случае, так как во всех ситуациях из контекста ясно, о каком пространстве идет речь.

Определим гильбертово пространство W W как пополнение 0C по норме

2 2

2 1 1ˆ ˆWu u d u d

со скалярным произведением

_____ _____1 1ˆ ˆ ˆ ˆ, Wu v u v d u v d

,

где û обозначает преобразование Фурье распределения u , и пространство

' :W W антидвойственно к W . Определение [10]. Волновое число k является нерезонансным, если

уравнение 0L k u имеет только тривиальные решения. Утверждение [10]. Если k является нерезонансным и 0k , тогда

оператор : 'L k W W является непрерывно обратимым.

Решение задачи на экране канонической формы

Рассмотрим n-мерное пространство nV W . Будем проводить аппрок-симации u элементами n nu V . Методом Галеркина находим nu из системы уравнений

( , ) ( , )n nAu v f v v V . (3)

Эти уравнения определяются конечномерным оператором :n n nA V V , где nV есть антидуальное пространство к nV .

Допустим, что подпространства nX и nY являются линейными оболоч-ками базисных и тестовых функций 1,...,n nX span z z , 1,...,n nY span v v . Представим nu в виде линейной комбинации базисных функций

1

n

n n nk

u z

и подставим это выражение в формулу (3). В результате получим эквива-лентную систему линейных алгебраических уравнений порядка n

1

, , , 1,...,n

k k j jk

Az v f v j n , (4)

относительно неизвестных коэффициентов k . Построим равномерную сетку на экране канонической формы. Под фи-

гурой канонической формы для рассматриваемой задачи будем понимать


16

прямоугольный параллелепипед, разбитый на элементарные параллелепипе-ды i . Элементами сетки (конечными элементами) будут являться грани элементарных параллелепипедов (рис. 2).

Носителем базисных функций будут всевозможные пары конечных элементов, имеющих общее ребро. На рис. 3 изображены всевозможные но-сители, которые могут быть образованы одним ребром. Их количество равно шести. Всего вариантов ребер три – это ребра, параллельные оси 0X, 0Y, 0Z. Число носителей, образующих шаблон, равно 18.

Рис. 2

Рис. 3

Базисную функцию , ,j x y z , отвечающую ребру j , определим по

правилу

i

Z

Y

0

i

Z

X0

iY

X 0


17

1 1 1

2 2 2

, , в ,

, ,, , в

j j j jj

jj

j j j jj

j

lx x y y z z

Sx y z

lx x y y z z

S

(5)

и 0j вне прямоугольников ,j j . Здесь jl – длина j -го ребра; jS

–

площадь прямоугольника ; jC – середина ребра с номером j . Отметим несколько важных свойств функций j . Нормирование

функций , ,j x y z выполнено так, что нормальная составляющая (к ребру) этих функций в середине ребра равна 1, т.е. 1j jn C . Нормальные со-ставляющие функции на границе j носителя j j j

равны нулю,

0jj n . Функции , ,j x y z являются поверхностными сеточными функциями, т.е. как минимум одна из ее компонент равна нулю.

Следуя схеме метода Галеркина (3), можно получить решение инте-грального уравнения на экране канонической формы. Для этого составляется система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) на базе элементов экрана сложной геометрической формы. Каждый элемент СЛАУ рассчитыва-ется путем вычисления четырехкратного интеграла

2( , ) ( , )div ( )div ( ) ( , ) ( ) ( )ij i j i j i jA A G x y x y ds k G x y x y ds

по паре носителей i и j . Здесь exp( )

( , )ik x y

G x yx y

– известная функ-

ция Грина. Правая часть СЛАУ определяется падающим полем , 1,...,j jf f ds j N

. Система линейных алгебраических уравнений ре-

шалась методом сопряженных градиентов.

Применение субиерархического метода в задаче электромагнитных волн на неплоских экранах сложной геометрической формы

Рассмотрим алгоритм построения решения для задачи дифракции на неплоских экранах сложной геометрической формы. Будем предполагать, что в нашем распоряжении находится базовая матрица, составленная при реше-нии задачи на экране канонической формы одним из проекционных методов. Для решения задачи дифракции на экране сложной формы необходимо, что-бы данная поверхность целиком принадлежала экрану канонической формы, для которого матрица уже насчитана. Используя субиерархический метод, можно построить матрицу для экрана сложной формы, пользуясь элементами посчитанной матрицы, составленной при решении задачи на экране канониче-ской формы. Для этого создадим вектор, описывающий геометрию фигуры W .


18

Далее, используя процедуру «выделения», описанную в [3], опишем геомет-рию нового экрана.

Следует заметить, что метод работает и в случае использования в каче-стве базового экрана не только экрана канонической формы. В этом случае на экран сложной конфигурации налагается то же условие, что и раньше: он должен целиком принадлежать базовому экрану. Таким образом, один раз решив задачу на экране базовой формы, мы можем использовать полученные результаты для решения серии задач на экранах сложной геометрической формы. Данный подход имеет большое практическое значение в инженерных расчетах.

На рис. 4 представлен еще один экран сложной геометрической формы, на котором производился расчет поверхностных токов. Рассматриваемый экран имеет форму уголка и состоит из двух плоских перпендикулярных квадратных платин размером , соединенных между собой ребром. Здесь – длина волны, 0 2 /k . На рис. 5 представлены расчеты модулей по-верхностных токов. Для удобства восприятия и визуализации значения по-верхностных токов на экране уголковый экран разложили в форме пластины размером 2 .

Рис. 4

Рис. 5

Y

X

Z


19

Построенная модель представляет интерес при расчете печатных плат и многослойных структур. Для решения рассматриваемой задачи использовал-ся суперкомпьютерный комплекс Московского государственного универси-тета имени М. В. Ломоносова.

Список литературы 1. Ильинский , А . С . Дифракция электромагнитных волн на проводящих тонких

экранах / А. С. Ильинский, Ю. Г. Смирнов. – М. : Радиотехника, 1996. – 177 с. 2. Самохин , A. Б . Интегральные уравнения и итерационные методы в электро-

магнитном рассеянии / A. Б. Самохин. – М. : Радио и цвязь, 1998. – 160 с. 3. Медведик , М . Ю . Применение субиерархического метода в задачах электро-

динамики / М. Ю. Медведик // Вычислительные методы и программирование. – 2012. – Т. 13. – С. 87–97.

4. Медведик , М . Ю . Параллельный алгоритм расчета поверхностных токов в электромагнитной задаче дифракции на экране / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смир-нов, С. И. Соболев // Вычислительные методы и программирование. – 2005. – Т. 6. – С. 99–108.

5. Медведик , М . Ю . Субиерархический параллельный вычислительный алго-ритм и сходимость метода Галеркина в задачах дифракции электромагнитного поля на плоском экране / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Сер. Естественные науки. – 2004. – № 5. – С. 5–19.

6. Антонов , А . В . Разработка Web-ориентированного вычислительного ком-плекса для решения трехмерных векторных задач дифракции электромагнитных волн на основе субиерархических параллельных алгоритмов и ГРИД-технологий / А. В. Антонов, М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных за-ведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2007. – № 4. – С. 60–67.

7. Медведик , М . Ю . Субиерархический параллельный вычислительный алго-ритм для решения задач дифракции электромагнитных волн на плоских экранах / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Радиотехника и электроника. – 2008. – Т. 53, № 4. – С. 441–446.

8. Медведик , М . Ю . Субиерархический метод для решения псевдодифференци-ального уравнения в задаче дифракции в слоях, связанных через отверстие / М. Ю. Медведик, И. А. Родионова, Ю. Г. Смирнов // Радиотехника и электроника. – 2012. – Т. 57, № 3. – С. 281–290.

9. Трибель , Х . Теория интерполяции, функциональные пространства, дифферен-циальные операторы / Х. Трибель. – М. : Мир, 1980. – 664 с.

10. Смирнов , Ю . Г . Математические методы исследования задач электродинами-ки / Ю. Г. Смирнов. – Пенза : Изд-во ПензГУ, 2009. – 268 с.

11. Hänninen, I . Singularity subtraction integral formulae for surface integral equations with RWG, rooftop and hybrid basis functions / I. Hänninen M., Taskinen and J. Sarvas // Prog. Electromagn. Res. PIER. – 2006. – V. 63. – P. 243–278.

12. Смирнов , Ю . Г . О разрешимости векторных интегродифференциальных уравнений в задаче дифракции электромагнитного поля на экранах произвольной формы / Ю. Г. Смирнов // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 1994. – Т. 34, № 10. – С. 1461–1475.

13. Rao, S . M. Electromagnetic Scattering by Surface of Arbitrary Share / S. M. Rao, D. R. Wilton and A. W. Glisson // IEEE Transactions on antennas and propagation. – 1982. – V. Ap-30. – P. 409–417.

14. Смирнов , Ю . Г . О сходимости методов Галеркина для уравнений с операто-рами, эллиптическими на подпространствах, и о решении уравнения электриче-


20

ского поля / Ю. Г. Смирнов // Журнал вычислительной математики и математиче-ской физики. – 2007. – Т. 47, № 1. – С. 129–139.

Медведик Михаил Юрьевич кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет

Medvedik Mikhail Yuryevich Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University

E-mail: [email protected]

УДК 517.6

Медведик, М. Ю. Субиерархический метод решения задачи дифракции электромаг-

нитных волн на неплоских экранах сложной геометрической формы с ис-пользованием базисных функций крышек / М. Ю. Медведик // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2012. – № 4 (24). – С. 12–20.


21

УДК 517.927, 517.968, 519.6 Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов

О РАСПРОСТРАНЕНИИ СВЯЗАННЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ТЕ- И ТМ-ВОЛН В ПЛОСКОМ

СЛОЕ С КЕРРОВСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ1 Аннотация. Исследуется распространение связанных ТЕ- и ТМ-волн в плос-ком нелинейном слое. Нелинейность выражается законом Керра. Показано, что физическая задача сводится к нелинейной двухпараметрической задаче на собственные значения для системы (нелинейных) обыкновенных дифференци-альных уравнений. Доказано существование связанных поверхностных ТЕ- и ТМ-волн. Указаны интервалы локализации соответствующих парных соб-ственных значений рассматриваемой нелинейной задачи. Ключевые слова: связанные электромагнитные волны, уравнения Максвелла, нелинейность Керра, двухпараметрическая задача на собственные значения. Abstract. The researchers investigate coupled electromagnetic TE and TM wave propagation in a nonlinear plane layer. Nonlinearity inside the layer is described by Kerr law. It is shown that physical problem is reduced to a nonlinear twoparameter eigenvalue problem for a system of (nonlinear) ordinary differential equations. The authors prove the existence of coupled surface TE and TM waves and find the inter-vals of localization of paired eigenvalues. Key words: coupled electromagnetic waves, Maxwell’s equations, Kerr nonlinearity, twoparameter eigenvalue problem.

1. Постановка задачи

Рассмотрим электромагнитные волны, проходящие через однородный, изотропный, немагнитный диэлектрический слой. Диэлектрическая проница-емость в слое зависит от электрического поля по закону Керра. Слой распо-ложен между двумя полупространствами x h и x h в декартовой систе-ме координат Oxyz . Полупространства заполнены изотропной немагнитной средой без источников и имеют постоянные диэлектрические проницаемости

1 и 3 соответственно ( 1 и 3 – произвольные действительные постоян-ные). Считаем, что всюду 0 – магнитная проницаемость вакуума.

Предполагаем гармоническую зависимость полей от времени в виде [1]

, , , , , cos , , sin ;x y z t x y z t x y z t E E E

, , , , , cos , , sin ,x y z t x y z t x y z t H H H где – круговая частота; , , , E E H H – вещественные искомые функции.

Образуем комплексные амплитуды полей E , H :

i E E E ; i H H H .

Везде ниже множители cos t и sin t будем опускать.

1 Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 11-01-00330; Гранта Пре- зидента РФ, МК-2074.2011.1; ФЦП «Научные и педагогические кадры инновацион- ной России» на 2009–2013 гг., соглашения № 14.В37.21.1950, 8171, 8860.


22

Электромагнитное поле E , H удовлетворяет уравнениям Максвелла

rot i H E , rot i E H ; (1)

условию непрерывности касательных составляющих компонент поля на гра-нице раздела сред x h , x h и условию излучения на бесконечности: электромагнитное поле экспоненциально затухает при x в областях x h и x h . Диэлектрическая проницаемость внутри слоя имеет вид

22 E , и 2 , – произвольные постоянные. Будем искать решение

уравнений Максвелла во всем пространстве. Рассмотрим ТЕ-волны, распространяющиеся в рассматриваемой струк-

туре

0, ,0 TyEE , ,0, Tx zH HH , где , ,y yE E x y z , , ,x xH H x y z , , ,z zH H x y z ; T – операция транспонирования.

Можно показать [2], что компоненты yE , xH , zH в этом случае не за-висят от y . Кроме того, волны, распространяющиеся вдоль границы z разде-ла сред, гармонически зависят от z . Учитывая сказанное, получаем, что

E Ei zy yE x e , H Ei zx xH x e , H Ei zz zH x e ,

где E – спектральный параметр (постоянная распространения ТЕ-волны). Аналогичные выводы имеют место и для ТМ-волн, т.е. для ТМ-волн,

,0, Tx zE EE , 0, ,0 TyHH , распространяющихся в рассматриваемой структуре, можно показать [2], что компоненты xE , zE , yH могут быть выбраны в виде

E Mi zx xE x e , E Mi zz zE x e , H Mi zy yH x e ,

где M – спектральный параметр (постоянная распространения ТМ-волны). Мы предполагаем и E , и M действительными для того, чтобы E не

зависело от z . Оставаясь в рамках предположений и выводов, сделанных для ТЕ- и

ТМ-волн, в рассматриваемой структуре мы можем изучать связанное (одно-временное) распространение ТЕ- и ТМ-волн в указанной структуре. А имен-но, рассмотрим электромагнитное поле

, , Tx y zE E EE , , , Tx y zH H HH , (2) где

E , E , E ,M E Mi z i z i zx x y y z zE x e E x e E x e


23

H , H , H .E M Ei z i z i zx x y y z zH x e H x e H x e (3)

Тот факт, что возможно взять различные E и M для волн ТЕ- и ТМ-типов, легко можно доказать, подставив поля (2) в систему Максвелла (1).

Таким образом, рассматривается задача P: найти постоянные распро-странения E и M , и соответствующие им собственные функции, описы-вающие распространение электромагнитного поля (2) в волноведущей струк-туре, указанной на рис. 1, при условии, что поля (2) удовлетворяют системе уравнений Максвелла (1), соответствующим условиям сопряжения и услови-ям на бесконечности, а компоненты полей (2) имеют вид (3)1.

2. Дифференциальные уравнения задачи

Подставляя поля (2) в систему (1), получаем

2

E E E ,

1E E E ,

1 E E E ,

MM x z x

Ey y y

M x z z

ii

i ii

i ii

(4)

где x

.

Пусть 2 20k . Выполним нормировку системы (4) в соответствии

с формулами 0x k x , 0d dkdx dx

, 0

EE k

, 0

MM k

, 0

jj

,

0

. По-

лучаем из (4)

2 20 0

2 2 2 20 0 0

2 2 20 0 0

E E E ,

E E E ,

E E E .

M M x z x

E y y y

M x z z

k i i

k k

k i k

(5)

Положим теперь Exi X , E y Y , Ez Z и, опуская значок тильды, получаем из (5)

2

,

,

,

M M

E

M

X Z X

Y Y Y

X Z Z

(6)

где

1 Физическая постановка рассматриваемой задачи есть в [3], там же см. неко-торые обсуждения и численные эксперименты.


24

1

2 2 22

3

, ,

, ,

, .

x h

X Y Z h x h

x h

Система уравнений (6) – основная система, которую мы будем изучать. Введем обозначения:

2 21 1E Ek ,

2 23 3E Ek ,

2 21 1M Mk ,

2 23 3M Mk .

Система (6) в полупространствах x h и x h является линейной и ее решения (с учетом условий на бесконечности) имеют вид

– для x h :

1

1

1

1

21

1 1

,

,

;

M

E

M

h x h k

h x h k

h x h kM M

X x C e

Y x C e

Z x k C e

(7)

– для x h :

3

3

3

1

2

13 1

,

,

.

M

E

M

h x h k

h x h k

h x h kM M

X x C e

Y x C e

Z x k C e

(8)

Внутри слоя h x h система (6) принимает вид [3]

2 2 22

2 2 2 22

2 2 22

,

,

.

M M

E

M

X Z X Y Z X

Y Y X Y Z Y

X Z X Y Z Z

(9)

3. Условия сопряжения

Как известно (см., например, [4, 5]) касательные составляющие элек-тромагнитного поля непрерывны на границе раздела сред, а нормальная со-ставляющая на границе раздела сред имеет скачок. Касательными составля-ющими в рассматриваемом случае являются компоненты yE , zE , yH , zH . Нормальной составляющей является компонента xE . Но известно, что вели-чина xE остается непрерывной на границе раздела сред. Легко видеть из си-стемы (9), что непрерывность xE следует из непрерывности yH . Из непре-

рывности yH получаем, что MZ X непрерывна на границе раздела. Из всего сказанного получаем следующие условия сопряжения для функций X , Y , Y , Z :


25

0, 0, 0, 0,M x h x h x h x hZ X Y Y Z

0, 0, 0, 0,M x h x h x h x hZ X Y Y Z (10)

где 0 0 00 0

lim limx x x x x x

f f x f x

.

Заметим, что постоянные 1hC и 2

hC считаются известными (начальные условия). Таким образом, остаются неизвестными: две постоянные в полупро-странстве x h ; четыре постоянные внутри слоя и две постоянные распро-странения E и M ; всего восемь неизвестных. Условий (10) также восемь.

Введем следующие обозначения для граничных значений полей внутри слоя:

: 0 , : 0 , : 0 , : 0 ,h h h hX X h Y Y h Y Y h Z Z h : 0 , : 0 , : 0 , : 0 .h h h hX X h Y Y h Y Y h Z Z h

Используя (7), (8) для граничных значений полей в полупространствах x h и x h , получаем

1 10 , 0 ,h hX h C X h C

2 20 , 0 ,h hY h C Y h C

1 2 3 20 , 0 ,h hE EY h k C Y h k C

1 11 1 3 10 , 0 .h hM M M MZ h k C Z h k C Из условий сопряжения (10) и последних формул, получаем

12 1 2 1 1, , ,

h h hh h E h M MY C Y k C Z k C

12 3 2 3 1, , .h h h

h h E h M MY C Y k C Z k C (11)

Сформулируем нелинейную задачу сопряжения на собственные значения (задача Р), к которой свелась исходная задача о распространении волн. Требу-ется найти пару чисел ,E M таких, что существует не равное тожде-ственно нулю решение , ,X Y Z системы (9), причем в полупространствах x h и x h функции , ,X Y Z описываются выражениями (7) и (8) соот-ветственно и функции , ,X Y Z удовлетворяют условиям сопряжения (10).

Определение. Пару чисел ,E M , при которых существует не рав-ное тождественно нулю решение , ,X Y Z системы (9), причем в полупро-странствах x h и x h функции , ,X Y Z описываются выражениями (7) и (8) соответственно, функции , ,X Y Z удовлетворяют условиям сопряже-ния (10), будем называть парными собственными значениями задачи Р. Функции , ,X Y Z , соответствующие парным собственным значениям ,E M , будем называть собственными функциями задачи Р.


26

4. Функции Грина Из системы (6) получаем

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 1 2 2 2 2 1 2 2 22 2

,

,

.

M M M

E

M M M

X k Z k X Y Z X

Y k Y X Y Z Y

Z k Z k X Y Z Z X Y Z X

Пусть

2 2 21f X Y Z Y ,

1 2 2 2 2 1 2 2 22 2 2M Mf k X Y Z Z X Y Z X , где 2 22E Ek ,

2 22M Mk .

Тогда

2 2 2 22

12

2

,

,

.

M M

E

M

X k Z X Y Z X

Y k Y f

Z k Z f

(12)

Будем обращать линейные части второго и третьего уравнений (12). Пусть

22

1 2 EdL kdx

, 2

22 2 M

dL kdx

.

Построим функции Грина для следующих краевых задач (см., напри-мер, [6]):

1 11 1

,

0;x xx h x h

L G x s

G G

и 2 2

2 2

,

0.x h x h

L G x s

G G

Искомые функции Грина имеют вид

1

cos cos, ,

sin 2,

cos cos, ;

sin 2

E E

E E

E E

E E

k x h k s hx s h

k k hG x s

k x h k s hs x h

k k h

(13)

2

sin sin, ,

sin 2,

sin sin, .

sin 2

M M

M M

M M

M M

k x h k s hx s h

k k hG x s

k x h k s hs x h

k k h

(14)


27

Используя вторую формулу Грина, получаем

h

h

hh

vLu uLv dx u v uv

. (15)

Полагая в (15) 1v G , получаем

1 1 1 1 1 ,h

x h

x hh

G L u uL G dx u x G x s

, (16)

и, полагая в (15) 2v G , получаем

2 2 2 2 2 ,h

x hx x h

h

G L u uL G dx u x G x s

. (17)

Тогда из (15), используя (16), (17), получаем

1 1 1 1, , ,h

h

Y s G x s f x dx Y h G h s Y h G h s

, (18)

2 2 2 2, , ,h

x xx h x hh

Z s G x s f x dx Z h G x s Z h G x s

. (19)

Вычислим и подста

ФМН 2012 4(В1)(AdobePDF) Математика...

Documents

Transcript of ФМН 2012 4(В1)(AdobePDF) Математика...