OCTAEDRO

OCTAEDRO.Si en cada vértice de un poliedro concurren 4 triángulos equiláteros

entonces obtenemos un OCTAEDRO (octa = 8, edros = caras):

Cada vértice poliédrico vale 60º x 4 = 240º , es decir, menos de 360º.

Construye un octaedro:Sirviéndote de una cartulina, tijeras, reglas y pegamento dibuja 8 triángulos equiláteros con sus correspondientes solapas. Corta la cartulina por el contorno del dibujo.Dobla la cartulina por las líneas del contorno de los triángulos y solapas. Extiende el pegamento por encima de las solapas y después las pegas.

¿Cuántos vértices tiene un octaedro?Respuesta: 6 vértices¿Cuántas aristas tiene un octaedro?Respuesta: 12 aristas¿Cuántas caras concurren en un vértice del octaedro?Respuesta: 4 caras

VOLUMEN DEL OCTAEDRO.

Vamos a deducir la fórmula y para ello nos servimos de lo estudiado en el cálculo del volumen del tetraedro.En la siguiente figura hemos dibujado un octaedro:

En primer lugar calculamos el valor de la apotema. El triángulo rectángulo en color amarillo nos muestra un cateto que es la apotema (ap), la arista (a) que es la hipotenusa y el segundo cateto (a/2). Aplicando el teorema de Pitágoras:

Extraemos la raíz cuadrada en ambos términos de la igualdad:

Ahora vamos a calcular el área de una cara:Conocemos la base del triángulo equilátero que es una de sus 8 caras (a) y conocemos la altura del triángulo (ap):

El triángulo rectángulo de color verde tiene como hipotenusa el valor de la ap (apotema) , uno de los catetos es la altura de la mitad del octaedro que lo hemos representado por (h).

Para calcular el volumen vas a fijarte en la figura que tienes a continuación:

El otro cateto vale la mitad de la arista, es decir a/2

En la siguiente figura puedes ver una aclaración:

En esta última figura ves que uno de los catetos vale a/2

La altura h de la mitad del octaedro vale teniendo en cuenta el teorema de Pitágoras:

La mitad del octaedro sería incluyendo los datos que nos interesan:

Fíjate que la base de esta mitad del octaedro es un cuadrado que tiene un lado cuyo valor es el de la arista (a).El volumen de este semioctaedro será, teniendo en cuenta que se trata de un poliedro y no un prisma (tenemos que dividir por 3):

El volumen del octaedro será el doble, es decir:

ICOSAEDRO.

Si en cada vértice de un poliedro concurren 5 triángulos equiláteros entonces obtenemos un ICOSAEDRO (eikos = 20, edros = caras).

Cada vértice poliédrico vale 60º x 5 = 300º , es decir, menos de 360º. Si concurrieran más de 5 triángulos equiláteros no podríamos dibujar en poliedro regular.Construye un icosaedro:Sirviéndote de una cartulina, tijeras, reglas y pegamento dibuja 20 triángulos equiláteros con sus correspondientes solapas. Corta la cartulina por el contorno del dibujo.Dobla la cartulina por las líneas del contorno de los triángulos y solapas. Extiende el pegamento porencima de las solapas y después las pegas.

No podemos construir más poliedros regulares cuyas caras sean triángulos equiláteros iguales debido a que no pueden concurrir más de 5 ángulos de 60º.

RECTÁNGULOS ÁUREOS EN LA CONSTRUCCIÓN DEL ICOSAEDRO

1) Partimos de tres rectángulos áureos iguales:

2) Las disponemos del modo siguiente para que los planos creados por estos cartones sean perpendiculares entre sí y por los puntos medios de los mismos:

3) Hacemos unas ranuras a los tres rectángulos áureos para que nos encajen entre sí:

4) Por la ranura del cartón de color amarillo atraviesas el de color naranja-marrón.El cartón de color verde-azul tiene una ranura más larga y cada una de las dos mitades deben atravesar al de color amarillo por los dos lados del cartón de color naranja-marrón. Esto lo ves en la figura siguiente en la que hemos aumentado el tamaño de los rectángulos áureos:

5) Una vez que hayas encajado los trozaos de cartón tendrás una figura como la tienes a continuación:

6) Ahora no tienes más que unir los vértices de los tres rectángulos áureos con cordel pegándolo a los vértices y aparecen, por fin, las caras del icosaedro (triángulos equiláteros).

En cada vértice concurren 5 triángulos equiláteros. Es importante ver que un icosaedro quedaría inscrito en una esfera sirviéndonos de la figura anterior:

Área del icosaedro regular

Volumen del icosaedro regular

VOLUMEN DEL ICOSAEDRO

Se trata del centro del triángulo equilátero.

OA=OB=OC

OD=OE=OF

El área del triángulo de la figura anterior vale:

La mayor dificultad se encuentra en el cálculo de la altura de la pirámide.

Calculamos el lado mayor del rectángulo áureo y para ello dibujamos un cuadrado de 1 de lado:

Ahora tenemos que calcular la altura de la pirámide para hallar después su volumen. Por Pitágoras tenemos:

Como el icosaedro tiene 20 pirámides del mismo volumen, a este último resultado multiplicaremos por 20 y simplificamos:

OCTAEDRO DEL LOUVRE

PLAZA EUROPA(ZARAGOZA)