OChF 2013 - Prueba Teórica - Final Nacional

SOCIEDAD CHILENA DE FISICA OLIMPIADA CHILENA DE FISICA 2013 OLIMPIADA CHILENA DE FISICA 2013

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PRUEBA TEORICA FINAL NACIONAL

TIEMPO:

4,5 HORAS (270 MINUTOS)

INSTRUCCIONES

La prueba consta de tres problemas. Lea cuidadosamente cada problema hasta el final, y observe que en algunos casos se le entrega algunas indicaciones tiles para resolver los problemas.

Cada problema tiene una puntuacin que se indica al comienzo de su enunciado. Por su parte, cada seccin dentro de cada problema lleva el mismo puntaje.

Junto con el enunciado, Ud. recibir un cuadernillo de doce hojas en blanco para sus respuestas. Cada problema se responde en un conjunto separado de hojas.

Una vez que resuelva la prueba, identifique claramente cada una de las hojas que utiliz, con su nombre, RUN y regin, y entrgalas al examinador.

Puede utilizar calculadora cientfica no programable, la que debe mostrar al examinador antes de iniciar la prueba.

No est permitido usar telfono ni cualquier otro dispositivo de comunicacin accesible a internet.

NOMBRE REGION

NUMERO TOTAL DE HOJAS DE RESPUESTA

(NO SE INCLUYE LOS ENUNCIADOS NI ESTA HOJA)


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PROBLEMA 1. ESTRELLAS BINARIAS. [20 PUNTOS] Una proporcin muy alta de las estrellas que podemos observar en el cielo estn constituidas por un par o ms estrellas que orbitan en conjunto. Las estrellas binarias son, en particular, dos estrellas que orbitan en torno al centro de masa del sistema y son reconocidas como tales estudiando sus propiedades cinemticas y espectroscpicas. Con esta motivacin en la mente, en este problema consideraremos en primer lugar la formacin de un sistema binario a partir de dos cuerpos de igual masa m , separados entre s una distancia l , y que reciben un impulso inicial que les proporciona a ambos una misma velocidad inicial v0 en direcciones opuestas (ver figura). Ambos cuerpos interactan entre s solamente por gravitacin universal y no se encuentran sometidos a ninguna otra fuerza. Adems, consideraremos ambos cuerpos relativamente pequeos respecto de su separacin. a) Para qu valores de m , v0 y l , quedarn ambos

cuerpos en rbita circular de radio l / 2 ? b) Bajo qu condiciones, para los parmetros m ,

v0 y l , los cuerpos quedarn efectivamente en rbita (esto es, en una trayectoria cerrada y, en general, elptica?

c) Cul ser, en el ltimo caso, la mnima distancia

que alcanzarn entre s los dos cuerpos a lo largo de su trayectoria?

Considere ahora un sistema estelar binario recin descubierto, donde las observaciones astronmicas han permitido determinar el perodo del sistema, T , y la distancia entre ambas estrellas, l . Las estrellas orbitan en torno al centro de masa del sistema y suponga rbitas circulares para simplificar sus clculos. d) Si ambas estrellas tuvieran aproximadamente la misma masa, me , determine su valor en trminos de

T y l (y constantes numricas universales). e) Si no ha sido posible obtener de las observaciones ninguna informacin sobre las masas individuales

de las dos estrellas, m1 y m2 , determine al menos la masa total del sistema binario, M = m1 +m2 . Notas. 1. La fuerza de gravitacin postulada por Newton, que Ud muy bien conoce, es una fuerza central y por lo tanto,

conserva el momentum angular. 2. El centro de masa es un punto en la lnea que une los dos cuerpos, de masas m1 y m2 , tal que las distancias

desde ese punto hasta cada uno de los dos cuerpos, r1 y r2 , respectivamente, satisfacen la ecuacin

m1r1 = m2r2 .

2012 Semifinal Exam Part A 4

Question A3

This problem inspired by the 2008 Guangdong Province Physics OlympiadTwo infinitely long concentric hollow cylinders have radii a and 4a. Both cylinders are insulators;

the inner cylinder has a uniformly distributed charge per length of +; the outer cylinder has auniformly distributed charge per length of .

An infinitely long dielectric cylinder with permittivity = 0, where is the dielectric constant,has a inner radius 2a and outer radius 3a is also concentric with the insulating cylinders. Thedielectric cylinder is rotating about its axis with an angular velocity c/a, where c is the speedof light. Assume that the permeability of the dielectric cylinder and the space between the cylindersis that of free space, 0.

a. Determine the electric field for all regions.

b. Determine the magnetic field for all regions.

Question A4

Two masses m separated by a distance l are given initial velocities v0 as shown in the diagram.The masses interact only through universal gravitation.

lv0

v0

a. Under what conditions will the masses eventually collide?

b. Under what conditions will the masses follow circular orbits of diameter l?

c. Under what conditions will the masses follow closed orbits?

d. What is the minimum distance achieved between the masses along their path?

Copyright c2012 American Association of Physics Teachers


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PROBLEMA 2. CERAMISTA EN LA PLATAFORMA. [20 PUNTOS] Una plataforma se encuentra apoyada en el piso por medio de un sistema de resortes, de constante elstica efectiva k , balanceados de modo que la plataforma se mantiene siempre en posicin horizontal. Supondr en este problema que tanto la masa de la plataforma como la del sistema de resortes son despreciables. Una persona, de masa mH , se encuentra inicialmente fuera de la plataforma, mientras que sobre sta se halla una porcin de arcilla, de masa mA . Todo el sistema se encuentra en reposo. En determinado momento, la persona se sube a la plataforma lenta y cuidadosamente, de modo que aquella no oscile y solamente baje el conjunto hacia una nueva posicin de equilibrio, ubicada una distancia vertical D respecto de la posicin anterior. En lo que sigue, la persona nunca se despega de la plataforma.

a) La persona levanta lentamente la porcin de arcilla hasta sostenerla a una altura h sobre la

plataforma, despus de lo cual la suelta. Entonces, en ese preciso momento en que la persona suelta la arcilla, y debido a esta accin, la persona y la plataforma comienzan a oscilar juntos de arriba a abajo. Suponga, luego, que el instante posterior en que la arcilla choca con la plataforma corresponde justo al momento en que la plataforma completa exactamente una oscilacin (note que la plataforma inicia la oscilacin desde el punto ms bajo). Determine la altura h para que esto ocurra as, y exprsela en trminos de k , D , mA , mH y la aceleracin de gravedad g .

b) Suponga que la colisin resultante entre la arcilla y la plataforma es completamente inelstica,

quedando as la arcilla unida a la plataforma. Esta colisin alterar el movimiento oscilatorio de la plataforma, cambiando sus propiedades. Encuentre la razn entre la amplitud de la oscilacin de la plataforma despus de la colisin, Af , y la amplitud de la oscilacin antes del choque, Ai . Determine Af / Ai en trminos de k , D , mA , mH y g .

c) Bosqueje un grfico de la posicin de la plataforma y la del bloque de arcilla como funcin del

tiempo, poniendo t = 0 en el instante en que la persona suelta la masa de arcilla. Muestre una oscilacin completa despus de que la arcilla ha colisionado con la plataforma. Dibuje ambas curvas en un mismo grfico y en su hoja de respuestas.

d) El experimento descrito es posible solamente si la razn r = mA /mH es menor que un valor crtico

rc . Si no fuera as, la plataforma podra no alcanzar a completar una oscilacin completa antes de que la arcilla choque con ella. La ecuacin para determinar rc tiene algunas complicaciones. Pero, puede obtenerse una estimacin de rc suponiendo que la arcilla choca con la plataforma cuando aquella ha completado solamente media oscilacin (es decir, la plataforma se encuentra en el punto ms alto de

D


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la oscilacin). Considerando el h calculado en la parte (a), estime rc con base en dicho argumento. D su respuesta en trminos de k , D , mA , mH y g .

e) Considera que su estimacin de la razn rc es demasiado grande (sobreestimada) o demasiado

pequea (subestimada) de lo que debiera ser exactamente? Haga un diagrama de la posicin de la arcilla y de la plataforma en funcin del tiempo para defender su argumentacin.

Nota. La frecuencia angular de oscilacin de un cuerpo de masa m sujeto a un resorte de constante elstica k es ! = k /m . La energa potencial elstica provista por el resorte al cuerpo es Ee =

12 kx

2 , donde x es la longitud de deformacin del resorte respecto de su largo natural.


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PROBLEMA 3. LA RADIACION DEL SOL Y SUS CONSECUENCIAS. [24 PUNTOS] Con una radiacin solar promedio entre 6.0 y 7.0 kWh/m2 por da, el Norte Grande de Chile es la zona del mundo que recibe mayor cantidad de radiacin solar, particularmente en el desierto de Atacama que se ubica en esa regin. Esto ha llevado a considerar al Sol como la principal fuente de energa para nuestro pas, particularmente en la produccin de energa elctrica. Pero, tambin tiene otros usos y, adems, interesantes consecuencias para el movimiento de la Tierra. Este problema trata sobre la radiacin solar y tiene dos partes. En la primera parte, nos concentraremos en la cantidad de radiacin solar recibida en el norte de Chile y de su utilizacin en las salinas, para obtener sal. En la segunda parte, veremos los efectos que tiene la radiacin solar en la cinemtica de la rbita terrestre. Se denomina constante solar a la potencia por unidad de superficie perpendicular a la direccin de propagacin que llega a las capas altas de la atmsfera terrestre desde el Sol. Esta constante tiene por valor k = 1,366 kW/m2. Debido a la absorcin y difusin en la atmsfera, a la superficie de la Tierra slo llega, en das soleados, una fraccin ! de la radiacin del Sol.

Primera parte. En este problema supondremos que la trayectoria aparente del Sol est en un plano perpendicular a la superficie de la Tierra (ver figura).1 En un da soleado, la energa que se recibe en cada momento en la superficie de la Tierra depende de la posicin angular del Sol, es decir, del ngulo ! que se muestra en la figura. Naturalmente, este ngulo vara a lo largo del da. a) Para un da soleado y para una posicin angular del Sol, ! , determine una expresin para la potenciaP !( ) que deposita la radiacin solar en una pequea rea S de la superficie terrestre, en trminos de k y ! .

b) Demuestre que la potencia media, P , de la radiacin que recibe una superficie de rea S ,

promediada en un da, esto es, para 0 !" ! # , es 2

P = 2!"kS .

(Vea las notas al final del ejercicio.)

c) Determine el valor numrico de ! , aplicable al Norte Grande, considerando un promedio de la

densidad superficial de energa irradiada en un da de 6.5 kWh/m2, sealado ms arriba. 1 El desierto de Atacama se ubica entre los 17 y 29 latitud sur. Por consiguiente, en la regin ms central del 2 Se considera que la lnea del horizonte es aproximadamente rasante al suelo.

!

XXII OLIMPIADA ESPAOLA DE FSICA

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Problema 1. Murcia: Sol, mar y salinas.

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En las salinas, la energa solar se utiliza para evaporar el agua de mar y extraer la sal disuelta. El proceso es complejo y se lleva a cabo mediante la parcelacin de las aguas en distintos estanques: almacenadores, calentadores y cristalizadores en los que se precipita la sal. Nos concentraremos en estos ltimos estanques. Supongamos que los estanques de cristalizacin de una salina ubicada en el Norte Grande tienen una profundidad media h = 0,15 m y con una concentracin de sal del 4,5% en masa, esto es, Cm = 0,045 . Considere condiciones de presin y temperatura normales, de modo que la densidad del agua es ! = 1,03"103 kg/m3 y su calor de vaporizacin es L = 2,4 !103 kJ/kg. d) Considerando que el tiempo medio de insolacin en un da es T = 12 h, determina el nmero N de

das soleados que se necesitan para evaporar el agua de los estanques de cristalizacin y calcule su valor. Suponga que la humedad relativa es extremadamente baja y en todo momento se halla muy lejos de la saturacin del aire.

Segunda parte. Estudiemos ahora aspectos relativos a la emisin de energa por el Sol y su efecto en la rbita terrestre. e) Como se ha mencionado, la constante solar k es la densidad superficial de potencia que llega a las

capas altas de la atmsfera terrestre desde el Sol. A partir de ese dato y sabiendo que la distancia Tierra-Sol es R = 1.49 !1011 m, determine una expresin para la potencia total emitida por el Sol, PS , y calcule su valor.

f) La energa que emite el Sol conlleva una disminucin de su masa de acuerdo con la conocida

frmula de Einstein E = mc2 , donde c es la velocidad de la luz, c = 2.998 !108 m/s. Determine una expresin para la masa que pierde el Sol en cada segundo, S , y calcule su valor.

g) Por ltimo, estudie si la prdida de masa afecta de forma apreciable al radio de la rbita de la Tierra

en torno al Sol. Teniendo en cuenta la ley de Gravitacin Universal y la conservacin del momento angular de la Tierra respecto al Sol, determine la variacin relativa del radio de la rbita terrestre, !R / R , en funcin de la variacin relativa de la masa del Sol, !MS /MS . Considere una rbota circular.

h) Calcule la variacin anual del radio de la rbita terrestre, sabiendo que la masa actual del Sol es

MS = 1,99 !1030 kg. [Ver Notas en la pgina siguiente]


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Notas. 1. El valor medio f de una funcin f x( ) en un intervalo !x = x2 " x1 se define como

f = 1!x f x( )dxx1

x2

" , expresin que calcula el rea bajo la curva f x( ) entre x1 y x2 . Geomtricamente, este valor medio coincide con la altura de un rectngulo de base !x cuya rea sea igual a la comprendida entre la curva f x( ) y el eje X, entre x1 y x2 , tal como se muestra en la figura. Esta explicacin le servir, junto con la Nota 2, para calcular lo que necesite sin conocer tcnicas de integracin. 2. En sus clculos, bastar que aplique:

sin! d!!1

!2

" = #cos! 2 + cos!1 cos! d!!1

!2

" = sin! 2 # sin!1

3. Cuando R vara una cantidad !R , la variacin de 1/ R es: ! 1R"#$

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