Observaciones sobre “El significado del teorema de ... · Teorema de Bernoulli, e.d. la...
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Observaciones sobre “El significado del teorema de Bernoulli para la teoría de la inferencia estadística” Andrés RIvAOULIÁ (Universidad Complutense) 1. En STBTIEí interpreté la razón £ del número de casos favorables al t acaecimiento de un suceso respecto del número total de casos, como su pro- babilidad p de ocurrencia. Introduje además la variable aleatoria ‘proporción de casos observables en n observacionesk a la que denoté por Jft, que expre- sa la proporción cíe> número a de veces ‘exilo. p.c. ‘cara’. ‘tino’, etc., en ti ensayos independientes. En su Ars Con¡et--tandi Bernoulli demuestra que es tantas veces como se quiera (p.c. c veces) más probable que];> se sitúe dentro de un intervalo p±s centrado en j>, cítie fuera de él, o sea: P/(p — c) = .f, = y + e)] = cP[(p — e)> j¿ ó f> > (p + e)] c.d., la Lev de los grandes número>s (1> hm P(f, e/p—e, p+eI)= 1, n —# A. Rivadulla: “El significado del teorema de Bernoulli para a teoría de la inferencia estadística’. Revisto de Filoso/la, Y época, vol. X (1997>. nún~. 17. pgs. 69-82. RriIxtc~ dc fil ~t>/ii¡Aj cuí. xi tV5>si. aún. 9, íms. 267.269 Serv¡c¡o de Publiaic¡nncc tjn¡vcrsitiíi (nmpii.ic-ns& Madrid
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Observacionessobre “El significado delteoremade Bernoulli para la teoría de la
inferencia estadística”
AndrésRIvAOULIÁ(UniversidadComplutense)
1. En STBTIEí interpretéla razón £ del númerode casosfavorablesalt
acaecimientode un sucesorespectodel númerototal de casos,como su pro-babilidadp de ocurrencia.Introdujeademásla variablealeatoria‘proporciónde casosobservablesen n observacioneska la quedenotépor Jft, que expre-
sa la proporcióncíe> númeroa de veces ‘exilo. p.c. ‘cara’. ‘tino’, etc., en ti
ensayosindependientes.En su Ars Con¡et--tandi Bernoulli demuestraquees tantasvecescomo se
quiera(p.c. c veces)más probableque];> se sitúedentrode un intervalop±s
centradoen j>, cítie fuerade él, o sea:
P/(p — c) =.f, =y + e)] = cP[(p — e)> j¿ ó f> > (p + e)]
c.d., la Lev de los grandesnúmero>s
(1> hm P(f, e/p—e, p+eI)= 1,n—#
A. Rivadulla: “El significadodel teoremade Bernoulli para a teoríade la inferenciaestadística’.Revistode Filoso/la, Yépoca,vol. X (1997>. nún~. 17. pgs.69-82.
RriIxtc~dc fil ~t>/ii¡Aj cuí. xi tV5>si. aún. 9, íms.267.269 Serv¡c¡ode Publiaic¡nncc tjn¡vcrsitiíi (nmpii.ic-ns& Madrid
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segúnla cual, si ji crece indefinidamente,convergea 1 la probabilidadP de
quela distanciade la frecuenciarelativaobservablef,a la probabilidadcono-
cidap se reduzcatanto comoqueramos.
II. Decíamosen STBTIC § 3. que,si en p — c =f0 =p + e restábamos
primero p, luego J%, y finalmente multiplicábamospor -1, obteníamos
— e =p =f> + E . Ello parecíajustificar la expresión
(2) hm P(pe /7% —c,f,>±cj)z=]n—~o
que afirma la convergenciaa 1 de la probabilidadP de que la probabilidaddesconocidap se encuentredentro de un intervalo f+c arbitrariamentepequeñocentradoen Ico Y planteala preguntaacercade la inversión del
Teoremade Bernoulli, e.d. la posibilidadde la inferenciade laprobabilidaddesconocida—la ley general—a partir de frecuenciasrelativasobservadas—lo particular—, consagrandoasí la inducción como forma de descubri-
mientocientífico.El análisisdeestasupuestainversióndel Teoremade Bernoulli lo vamos
a llevara caboaquíplanteandotressituacionesdiferentes:
i) Supongamosquep fueseunavariablealeatoria.Entonces
(3> P(peÍp —e, 1% +c/)= Jf(p)dp
f,—c
y, siftp) es la funciónde densidaddeprobabilidad
(n+ 1»a!(n — a)!
dondea esel númerode veces‘éxito’ en n ensayosbinomialesindependien-tes,entonces(3) es la solución cJe Rayesal problemade la estimaciónde r’condicionadaal conocimientodisponibledel númeroa de veces‘éxito’en n
experimentosaleatoriospreviamenterealizados.(2) y (3) son puesincompa-tibles.
()bse,-vac-ionessobre ‘‘Fis ignilhado del teorenicídeBernoulli - . - -- 269
Ii> Tomemosahorap constante,como hemoshechoen 1. Parau fijo, e.d.
para valoresdadosdef,, P(p e j~> —c, f, +c]) sólo puedeser 1 ó 0, de-
pendiendode quep estéo no estédentrodel intervalo 1],, — E~ f, + ~lLuego en estecaso(2) es falsa.
iii) Supongamosfinalmente p constante, fi, variable aleatoria, y
P(p ~U, —n f, +e]) la probabilidadde intervalosf<,±cquecontienenap.
Ahorabien.el cálculode la probabilidadde a veces‘éxito’ cnnensayosbino-iniales independientesdependeesencialmentedep. Luego reformulando(2)como
hm P(pcfj%—c, j%+c/\p)= 11~ -4’”
resultatrivialmenteverdadera.En ningunode los tres casosla inversión del Teoremade Bernoulli es
posible, ya que en 1) e.> problemade Bernoulli se transformaen el de Bayes.
Este resultadoes compatiblecon la solución lógico-filosófica negativadel>oroblema de la induccion.
