Objetivos: Dominar los modelos asociados a la generación de radiación ionizante mediante la...

Objetivos: Dominar los modelos asociados a la generación de radiación ionizante mediante la resolución de problemas.

1

Generadores de Radiación Ionizante Formulas & Ejercicios

www.gphysics.net – UFRO-Master-Fisica-Medica-1-Ejercicios-08.08

Dr. Willy H. GerberInstituto de Fisica

Universidad AustralValdivia, Chile

1.2 Modelo del Filamento – Modelo Mecánico Cuántico

Función de onda[-]

Vector de onda[m]

Largo de onda[m]

Impulso[kg m/s]

Energía[J]

z/L

Lzm

h,

Largo del conductorPosición dentro del conductorMasa del electrón [kg](9.11x10-31 kg)Constante de Planck(6.63x10-34 Js, 1.055x10-34 Js)

n = 1, 2, 3,… numero de estado


1.2 Modelo del Filamento – Distribución de electrones según Fermi

1

0

0 5

F(E)

E/EF

EF=100kT

EF=kTEF=2kT

EF=10kT

Energía delEstado[J]

Numero de Estado conEnergía < E[-]Numero deEstados conEnergía entreE y E+dE

Probabilidadde ocupaciónde estados

Energía de Fermi [J o eV]

N: Numero de electrones / m3


1.2 Modelo del Filamento – Corriente de electrones libres

Impulso mínimopara escaparconductorDistribución deelectrones

Densidad decorriente

Constante

Función de trabajo [J]Constante de Boltzmann [J/K] (1.38x10-23J/K)Carga elemental [C} (1.6x10-19 C)Temperatura absoluta

ϕkeT

(Ecuación de Richardson-Dushman)


1.3 Emitir Rayos Gamma y Partículas - Child-Langmuir

cátodo ánodo

Flujo de electrones[1/m2]

Potencial entre Placas [V]

Velocidad de los Electrones [m/s]

Distribución deElectrones [-]

Energía delElectrón [J o eV]

*** Para j inferior al j calculado con la ecuación de Richardson-Dushman (efecto saturación)

***

Constante de campo8.85x10-12 C2/N m2

ε0


Modelo de Filamento

6

Modelamiento del sistema filamento-placas(p: placa, f: filamento, a: ánodo)

Superficie del filamento [m2]Sección del filamento [m2]Largo del Filamento [m]Constante de Stefan Boltzmann[5.6704x10-8 J/sm2K4]Grado de emisión [-]

SALσ

ε

Caso Tungsteno:


1.3 Emitir Rayos Gamma y Partículas - Betatrón

Potencial inducidoen el anillo

Campo eléctricoen el anillo

Impulso delElectrón en el anillo

Fuerza de Lorentz para retener al electrónen el anillo

Impulso por efectode la fuerza de Lorentz

Relación de Wideroe

Energía del electrón


Campo magnético operación [T]Campo magnético retención [T]Radio del anillo [m]Potencial inducido [V]Campo eléctrico [N/C=V/m]Impulso [kg m/s]Velocidad [m/s]Masa del electrón [kg]Carga del electrón [C]

1.3 Emitir Rayos Gamma y Partículas - Ciclotrón

Fuerza paraRetener el electrón

Velocidad angular

Frecuencia angular de operación

Periodo de campo acelerador


1.3 Emitir Rayos Gamma y Partículas - Klistrón

Energía inicial

Energía tras buncher

Señal en buncher

Potencial en buncher


1.3 Emitir Rayos Gamma y Partículas - Klistrón


Aceleración en buncher

Factor de propagación del haz

Factor de acoplamiento

Caso perfil cuadrado

Angulo de transito

Variación de energía

Guía de Ondas

11

Periodo de la oscilación del generador RF:

Distancia entre disco:

En que la fase depende del diseño, o sea de la solución formal de la ecuación de las cavidad.


Guía de Ondas

12

Ecuaciones claves para el calculo de la estructura de la guía de onda para el caso de alta velocidad:

Angulo de transición

La energía ganadatras n cavidades

Largo de cavidad

Factor de propagación

1 2 3 4 n n+1

dn dn+1d1 d2 d3 d4

Haz


1.4 Guía de Ondas – Ondas fuera de una cavidad

Ecuación de onda

Solución onda plana

Velocidad de fase

Velocidad de grupo

PerpendicularidadVector de onda yamplitud

Relación dedispersión


1.4 Guía de Ondas – Ondas en cavidades infinita

Ecuación de ondasCavidad cilíndrica

Condiciones deborde

Solución

Velocidad de fase

Velocidad de grupo

Relación dedispersión

Frecuencia de cut-off


1.4 Guía de Ondas – Funciones de Bessel del primer tipo

s n=0 n=1 n=2 n=3

1 2.405 3.832 5.135 6.379

2 5.520 7.016 8.147 9.760

3 8.654 10.173 11.620 13.017

4 11.792 13.323 14.796 16.224

5 14.931 16.470 17.960 19.410

6 18.071 19.616 21.117 22.583

7 21.212 22.760 24.270 25.749

8 24.353 25.903 27.421 28.909

9 27.494 29.047 30.571 32.050

Raíces Jn


1.4 Guía de Ondas – Ondas en cavidades periódicas

Ansatz

Condicionesde borde

con

SolucionesModo TM010


Densidad de energía Energía

Cabezal del Linac

Caso distintas velocidades (energías)


Perfil del haz

Corrección de la forma del perfil del haz: modelo de la fuente puntual

RayosGamma

Inte

nsid

ad

Compensador

Colimador


Perfil del haz

Corrección de la forma del perfil del haz


Ejercicios 1

20www.gphysics.net – UFRO-Master-Fisica-Medica-1-Ejercicios-08.08

1. Cuales son los largos de onda de los primer tres estados en un filamento representado por un conductor “unidimensional” de largo 5 mm? (5.00x10-3m, 2.50x10-3m, 1.67x10-3m)

2. Cuales son los impulsos para los estados descritos en 1? (1.33x10-31 kg m/s,2.65x10-31 kg m/s, 3.98x10-31 kg m/s)

3. Cuales las energías de los estados descritos en 1? Exprese el resultado en eV (6.07x10-14 eV, 2.43x10-13 eV, 5.46x10-13 eV)

4. Si el conductor se define como un volumen de 5 mm de largo y 0.1 mm de radio de Tungsteno (densidad 19.25 g/cm3, peso molar 183.84 g/mol) y cada átomo contribuye con un electrón; cuantos electrones de conducción contiene? (9.902x1018)

5. Cual es la energía de Fermi del filamento antes descrito? Exprese el resultado en eV (5.83eV)

6. Si se toma como referencia que las típicas energías de partículas son del orden de kT (donde k es la constante de Boltzmann y T la temperatura), a que temperatura correspondería la función de trabajo del Tungsteno que es 4.52 eV? Que significa que la temperatura que puede alcanzar del filamento antes de fundirse sea 3695 K? (5.24x10+4 K; muy pocos electrones contribuyen al flujo)

Mecánica Cuántica

Modelo del Filamento

Ejercicios 2

7. Si la función de trabajo del Tungsteno es 4.52 eV, cual es la velocidad mínima que tiene que tener el electrón para abandonar la superficie del filamento? Considere la aproximación no relativista. (1.90x10+6m/s)

8. Cual es el error (diferencia entre masa relativista y masa no relativista) para la velocidad calculada en el ejercicio anterior? (2.01x10-5)

9. Si se asume que el gamma es 0.5, cual seria la máxima densidad de corriente para las temperaturas 20C, 100C, 1000C, 2000C y 3000C? (3.63x10-67A/m2, 2.04x10-50A/m2, 1.67x10-6A/m2, 3.48x10+2A/m2, 7.91x10+5A/m2)

10. Depende la velocidad final de los electrones de la distancia entre las placas? Porque? (No, la energía es igual a la fuerza por la distancia recorrido, pero la fuerza es proporcional al inverso de la distancia)

11. Cual es la velocidad que tienen los electrones al alcanzar el ánodo si el potencial aplicado es 20 kV, 40 kV, 80 kV, 120 kV y 150 kV (8.38x10+7 m/s, 1.19x10+8 m/s, 1.68x10+8 m/s, 2.05x10+8 m/s, 2.30x10+8 m/s)

12. Cual es la corriente que se puede generar entre filamento y ánodo si ambos están a 2 cm, el haz tiene un radio de 1 mm y el potencial aplicado es 1 kV, 5 kV, 10 kV, 20 kV y 50 kV (1.84x10+2 A/m2, 2.06x10+3 A/m2, 5.83x10+3 A/m2, 1.65x10+4 A/m2, 6.52x10+4 A/m2))

Modelo simple de placas


Ejercicios 3

13. Supongamos que un filamento de Tungsteno opera a 3300 K, cual seria la resistencia de este si su largo es de 5 cm y el radio es 0.02 mm. (41.16 Ω)

14. Que corriente debe de existir si el filamento del ejercicio anterior se encuentra en equilibrio radiactivo y la temperatura ambiente es de 20C? Asuma el grado de emisión como 1. (1.013 A)

15. Que potencial tiene que ser aplicado al filamento del ejercicio anterior para lograr la corriente calculada? (41.7 V)

16. Uno de los primeros betatrón generaba electrones con energías de 2 MeV y tenían un radio del orden de 50 cm. De que orden tenían que ser los campos magnéticos? (0.0267 T)

17. Cual es la masa relativista del electrón con la energía indicada en el ejercicio anterior? (6.67x10-3 kg)

18. Cuanto le falta a la velocidad v del electrón para alcanzar la velocidad de la luz c? Indique el resultado como la fracción (c-v)/c. (6.83x10-29)

19. Si con los parámetros del betatrón se construye un ciclotrón, con que velocidad angular tienen girar los electrones? (4.68 GHz)

Betatrón/Ciclotrón


Ejercicios 4

20. Si a la entrada del Klistrón se aplica un potencial de 80 kV, con que velocidad entra el electrón al buncher? (8.38x10+7 m/s)

21. Si la señal que se aplica en el buncher opera con una frecuencia de 2.8 GHz. Cual es el largo del bunch que se genera? (18.8 cm)

22. Considerando los datos del ejercicio anterior, cual es el factor de propagación del haz? (33.4 1/m)

23. De que tamaño es el factor de acoplamiento si en el caso del ejercicio anterior se supone que el campo es constante a lo largo de un buncher de 1 cm? (98.2 1/m)

24. Si el potencial aplicado al buncher es de 500 V, cual es la energía que se le “agrega” o “resta” a los electrones según el ciclo de la señal en el ejercicio anterior? Indique el resultado en keV. (49.08 keV)

25. Si deseamos acelerar electrones hasta una energía de 6MeV, que velocidad debemos lograr? Indique el resultado en fracción de la velocidad de la luz (0.966)

26. Si la guía es operada con una radio frecuencia de 2.8 GHz, de que largo debe ser la ultima cavidad? (53.3 mm)

Klistrón

Guía de Ondas


Ejercicios 4

27. De que tamaño debe ser la primera cavidad si entra con la energía máximaque resulta de sumar la energía de entrada al Klistrón (ejercicio 20) y aquella que este le suma (ejercicio 24)? (53.3 mm – o sea en este caso las cavidades casi no varían desde la primera a la ultima porque la velocidad inicial es cercana a la de la luz)

28. Cual es el largo máximo de las cavidades de la guía de onda descrita por los ejercicios anteriores? (53.7 mm)

29. Cuanta energía suministra cada cavidad si esta tiene un largo de 53.3 mm, la radio frecuencia es de 2.8 GHz y el voltaje máximo es de 150kV? Indique el resultado en MeV. (95.98 keV)

30. Cuantas cavidades tenemos que tener en la guía para lograr electrones de 6 MeV si al ingresar tienen una energía de 50keV? (62)

31. Para una guía de ondas de 1 cm de radio y largo infinito, cual es la primera frecuencia angular de corte? (7.22x10+10 1/s)

32. Cual es la velocidad de grupo de una onda en una cavidad infinita para el caso de vector de onda cero? (cgrupo=c)

33. Porque la guía de onda de largo infinito no logra acelerar electrones? (Porque la velocidad de grupo de las ondas (c) se adelantan a la de los electrones (v < c) que deben acelerar)


Ejercicios 5

34. Si el electrón que sale del Linac tiene una energía de 6 MeV, que intensidad tiene que tener el campo magnético para que lo logre deflectar en tan solo 15 cm? (1.13x10-2 T)

35. Si un electrón tuviese una energía en un 0.1% menor a los 6 MeV, cual seria la diferencia entre el radio de la trayectoria de este electrón con respecto del de 6 MeV? (0.658 mm)

36. Si la distancia entre la fuente virtual y el paciente es de 2 m, el colimador esta a 50 cm de la fuente virtual y este ultimo tiene un ancho de 2 cm; cual es el ancho del haz a la altura del paciente y cual es el decrecimiento en el borde del haz respecto del centro si no existiera un filtro corrector? (8 cm, 0.998)

Colimador y focalizador


Objetivos: Dominar los modelos asociados a la generación de radiación ionizante mediante la...

Documents

Transcript of Objetivos: Dominar los modelos asociados a la generación de radiación ionizante mediante la...