O remate do Ronaldo

O remate do RonaldoO remate do Ronaldo

...e o Modellus...e o Modellus

António Manuel Marques do Amaral - LAMEGO - 1998


O remate do O remate do Ronaldo e o Ronaldo e o

ModellusModellus

O remate do O remate do RonaldoRonaldo Ronaldo, o melhor

avançado do mundo, corre com a bola nos seus pés ao longo da linha lateral do campo de futebol, perseguido de muito perto por um defesa da equipa adversária...Ronaldo quer rematar à baliza mas claro que só vai fazê-lo quando estiver nas melhores condições, isto é, quando o ângulo com que vê a baliza seja o maior possível.

A que distância da linha de fundo vai ele rematar?

Educação e Matemática n.º 45José Paulo Viana

A distância à linha de fundo do remate do Ronaldo

De acordo com os elementos da figura, podemos obter:

30 7 ,32

d

232,3730

32,73032,37

1

3032,37

)( d

d

dd

ddtgtg

• Quando a amplitude do ângulo for máxima também será máximo o valor da expressão anterior.Os valores obtidos são:

32,3730maxd 32,37302

32,7

Arctgmax

O Ronaldo rematará aproximadamente a 33,46 metros O Ronaldo rematará aproximadamente a 33,46 metros da linha de fundo (6,24º).da linha de fundo (6,24º).

O ângulo de remate em qualquer posição no campo de futebol

Sejam C o comprimento de meia linha de fundo,B a largura da baliza, d a distância do Ronaldo à linha de fundo e x a distância à linha lateral, conforme é esquematizado na figura.

• Em qualquer posição no campo de futebol, a amplitude do ângulo de remate é dada por:

C B

d

x

).()(

2 xCBxCd

BdArctg

A distância à linha de fundo para um ângulo de remate máximo, em qualquer posição no campo

de futebolOO ângulo de remate é máximo para a distância da linha de fundo dada pela expressão:

• sendo a amplitude máxima do ângulo de remate dada pelo valor de:

O ângulo máximo de remate é obtido O ângulo máximo de remate é obtido quando Ronaldo se posicionar no terreno quando Ronaldo se posicionar no terreno de jogo sobre uma hipérbole equilátera de de jogo sobre uma hipérbole equilátera de vértices nos postes da baliza e focos vértices nos postes da baliza e focos distanciados destes dedistanciados destes de

))(().()( xCxBCxCBxCd max

max

max d

BArctg

xCBxC

BArctg

xCBxC

xCBxCBArctg

2

).()(2

).()(2

).()(

22

2

B

1

22

22

2

2

2

B

d

B

BCx

Outras curiosidades do ângulo máximo no terreno de jogo

Considerando a figura, que esquematiza uma situação de ângulo máximo de remate, obtém‑se:

Fora da «Fora da «faixa da balizafaixa da baliza», o ângulo máximo de remate é obtido », o ângulo máximo de remate é obtido quando forem iguais os ângulos adjacentes a este, com um dos quando forem iguais os ângulos adjacentes a este, com um dos seus lados paralelo a um das linhas de fundo ou lateral.seus lados paralelo a um das linhas de fundo ou lateral.

máx

C B

d

x

máx

T1

T2

)(

).()(

).()(

).()()(

).()(

tg

BxC

xCBxC

xCBxC

xCBxCxC

xCBxC

xCtg


Fora da «Fora da «faixa da balizafaixa da baliza», o ângulo máximo de remate é obtido », o ângulo máximo de remate é obtido quando forem semelhantes os triângulos rectângulos T1 e T2, quando forem semelhantes os triângulos rectângulos T1 e T2, sendo a razão de semelhança:sendo a razão de semelhança:

máx

C B

d

x

máx

T1

T2

BxC

xCBxC

xCBxC

xC

T

Tr

)(

).()(

).()(2

1


Fora da «Fora da «faixa da balizafaixa da baliza», o ângulo máximo de remate é obtido », o ângulo máximo de remate é obtido quando forem semelhantes os rectângulos, R1 e R2, quando forem semelhantes os rectângulos, R1 e R2, construídos pelas respectivas diagonais, cujos extremos são a construídos pelas respectivas diagonais, cujos extremos são a posição do Ronaldo e cada um dos postes da baliza.posição do Ronaldo e cada um dos postes da baliza.

máx

C B

d

x

máx

T1

T2


A distância à linha de fundo, para se obter ângulo máximo de A distância à linha de fundo, para se obter ângulo máximo de remate, é meio proporcional entre a largura de R1 e o remate, é meio proporcional entre a largura de R1 e o comprimento de R2, isto é:comprimento de R2, isto é:

máx

C B

d

x

máx

T1

T2

BxC

d

d

xC max

max

)(


Para se obter ângulo máximo de remate, a distância à linha de fundo é o comprimento do lado do quadrado de área equivalente à do rectângulo cujos comprimentos dos lados são as distâncias da posição do Ronaldo às rectas que são paralelas às linhas laterais e contêm os postes das balizas. Isto é:

C + B-x

C-x

x

dm áx

dm áx

O PROBLEMA DO Ronaldo É APENAS UM O PROBLEMA DO Ronaldo É APENAS UM PROBLEMA DE QUADRATURA DE UM PROBLEMA DE QUADRATURA DE UM

RECTÂNGULO.RECTÂNGULO.

Posição no campo de futebol para um ângulo de remate constante

Para ângulo de remate constante, o Ronaldo deve Para ângulo de remate constante, o Ronaldo deve posicionar‑se sobre arcos de circunferência de raio e centros posicionar‑se sobre arcos de circunferência de raio e centros variáveis, deslocando‑se estes sobre uma recta paralela à linha variáveis, deslocando‑se estes sobre uma recta paralela à linha lateral e que contém o centro do terreno.lateral e que contém o centro do terreno.

Como já vimos, ).()(

2 xCBxCd

Bdtg

Fazendo

ktg

Podemos obter:

2222

2

1

22

k

kB

k

Bd

BCx


...e o Sketchpad...e o Sketchpad


Ronaldo e o Sketchpad(segundo a solução de João Janeiro)

BAC

R

O desenho está feito à escala.AB designa a baliza e R a posição do Ronaldo sobre a linha lateralPodemos deslocar o ponto R sobre a linha lateral

Segundo a solução de João Janeiro

Ronaldo e o Sketchpad

B: (37.32, 0.00)

A: (30.00, 0.00)

C: (0.00, 0.00)

Animate

m BRA = 6.24°

R: (0.00, -33.54)

yB - yR = 33.54

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Ronaldo e o Sketchpad(segundo a solução de Eduardo Veloso)

p

BAC

R

MV

O

Tangentes

C (O, OA)

C (A, MC)

Ronaldo e o SketchpadSegundo a solução de Eduardo Veloso

O desenho está feito à escala.AB designa a baliza e R a posição do Ronaldo sobre a linha lateralPodemos deslocar o ponto R sobre a linha lateral

B: (37.32, 0.00)

A: (30.00, 0.00)

C: (0.00, 0.00)

Animate

R: (0.00, -33.47)

yB - yR = 33.47

m BRA = 6.24°

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m BOA = 12.48°

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