Numeros_complejos (2)

7/23/2019 Numeros_complejos (2)

1/69

C


2/69

Historia defnicin

par-binomio

defnicinpolar-trigon.

operacionespolar-trigon.

AmpliacinFractales, cao

operacionespar-binomio


3/69

Historia

C


4/69

C

Csoluciona

el defecto algebraico

de Rde que existan

ecuaciones polinmicas

con coeficientes reales

que no tienen soluciones

reales.

Ej.x2+ 1 = 0.

N Z Q R C


5/69

Girolamo Cardano

(1501-1576)Ars Magna (1545)

Considerada como la fecha de

nacimiento de los nmeros

complejos.

!esolucin de ecuaciones detercer " cuarto grado.

Divide 10 en dos partes,

de modo que una por la otrad 40.

x(10!x)"40

#olu$i%n intrigante.

1##


6/69

Rafael Bombelli (1526-1572)resol$i la situacin operando

como lo hacemos ho" con nmeros complejos.

%orma general de la ecuacin cbica" solucin&

%uncionaba bien en algunos casos' como&

(ero en otros ... &

Cardano sab)a que x = * es solucin de esta ecuacin.

+

+2

+

+2

+

+22+22

'

++=

=+

pqqpqqx

qpqpxx

+++ 1010,1010,-20 +==+ xxx

+++ 21212121-*1# +==+ xxx


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Ren Desar!es

(15"6-1650)

0 a/os despus de ombelli&

A pesar de que podemos pensarque la e$ua$i%n

x3- 6x2+ 13x - 10 = 0 tiene tres

ra&$es, 'ni$amente una de ellas es

real, la $ual es , las otras dos*

son simplemente

imaginarias.

!en escartes


8/69

+os n'meros imaginarios

son un ex$elente

maravillosoreugio del-sp&ritu #anto,una espe$ie de

aniio entre ser no ser

Go!!fried #on$eibni!%

(1&6'6 1&716)

9tros trminos que han sidousados para referirse a los

nmeros complejos inclu"en &

#oisti$ados 6Cardano8

#in sentido 6:per8/nexpli$ales 65irard8

/n$omprensiles 6;u"gens8

/mposiles6i$ersos autores8


9/69

-stos n'meros no son nada,ni menos que nada, lo $ualne$esariamente los a$eimaginarios, o imposiles.

form*lam li!!era i+,$eonard .*ler (1777)

$eonard .*ler(1&707 1&7/)

Con Euler los imaginarios se

incorporan definiti$amente en la


10/69

>arl %riedrich Gauss(1777-1!!"

3'meros &ntegros complexos

>. %. 5auss 61,18

A los n'meros enteros se

an agregado las ra$$iones

a las $antidades ra$ionales,

las irra$ionalesa las positivas, las negativas

a las reales, las imaginarias.

?@Au es un nmero complejoB 5auss dio la respuestasatisfactoria definiti$a en 1,1 al establecer la

interpretacin geomtrica&x+iy (x,y).


11/69

i*el de G*%m3n

(1"6-200')

?4a $isualiDacin de los nmeros

reales mediante los puntos de una

rectao de los nmeros complejos

mediante los puntos del planonosolamente penetr sin gran resistencia

en el anlisis' sino que se puede decir

con raDn que' en el caso de los

nmeros complejos' esta$isualiDacin 6rgand' 5auss8 fue

lo que hiDo posible $encer la fuerte

oposicin de la comunidad

matemtica al dar carta de ciudadan)a

a los nmeros complejos.-l rin$%n de la piarra6 ensaos de

visualia$i%n en an2lisis matem2ti$o.


12/69

defnicin#orma de par

y binnica

C


13/69

Fn n4mero omleoes un par ordenado de

nmeros reales a , escrito como6

" 6a,8(3ota$i%n en $omponentes o

$oordenadas $artesianas).ase llama la ar!e realde& Re(z)6" a

se llama la ar!e imainariade& m(z) 6"

Dos n'meros $ompleos son iguales si s%lo si sus partes reales e

imaginarias son iguales6

(x1,1) " (x,) sii x1" x, 1"

El conjunto de nmeros complejos' se denota por C

{ }= '&8'6& .a.a7


14/69

(01)se llama la *nidad imainaria" se denota por&

Gi a= 0' se dice que es un imainario *ro.

Gi b= 0'se comporta como un n4mero real.

z = a + !i

Fn nmero complejoz = (a,!)se escribe comnmente

como &

(+os ingenieros el"c#ricosa menudo usan $%para evitar $onusiones $on els&molo i, que aso$ian a la intensidad el$tri$a).

6nota$i%n algerai$a o !in&mica,aio en textos de anta8o8

8106 ,i =


15/69

C

" a 9 i

" 6a,8

8106 ,i

=


16/69

l plano compl jo


17/69

El plano complejo6(lano D' de rgand o de 5auss8

Eje real

Eje imaginario

z8 (9:)

x

)

r

-emplo6


18/69

-emplo6

ibujar el nmero complejo " !:!ien el plano complejo

x

)

+

2

i2+


19/69


20/69

conjugadoEl on*ado de un nmero complejo " x + i

se define como&

5rficamente el conjugado

es una reflexin respecto

al eje real.

5

i)x5 =

x

5)

5)


21/69

conjugado

Es sencillo

demostrar

que&21212121

21212121

HH 55555555

55555555

==

=+=+

i)x5 =

55=

228866 )xi)xi)x55 +=+=


22/69

opuestoEl o*es!o de un nmero complejo

" x + i se define como&

5rficamente elopuesto

es una reflexin

respecto al punto 60'08

5

i)x

x

5)

5


23/69

Guma " producto

;*ma


24/69

618

628

p

e modo que podemos sustituir siempre&

Ejemplo&

ii

iiiiii

22+81012681#,6

J28#6+*KJ+8#62*K8+286#*6

+=++=+++=+

1800681068086062 =++=++= iiii

12 =i( ) 1111 2 === ii


25/69

(otencias de i

(or ejemplo&1816186 2+*2#* === iii

1

1

1

#

*

+

2

=

=

=

=

=

i

ii

iii

i

11

i

i


26/69

!esta

i$isin

6operacin in$ersa a la

suma8

6operacin in$ersa al producto8

.l oien!e de dos n4meros

omleos se alla m*l!iliando el n*merador :

denominador or el on*ado del denominador

8686 2121 ))ixx5 +=

Guma " resta de nmeros complejos


27/69

Guma " resta de nmeros complejos

en el plano complejo

En la suma 6" la resta8los nmeros complejos

se comportan como $ectores

x

)

15

2521 55

+

12 55

-emplos6


28/69

618

628

-emplos6

Gean& 1"1; 9 :i " !< 9 i

;allar el in$erso de i&

ii

i

i

ii==

=

1

11

=++=

8278627682786+1,6

DD

2

1

iiii

#+

#7120

27

82786+1,622

i!!

i!!i

=++=

- l


29/69

Calcular&

=e(1) " 1;, =e() " !


30/69

$e: de la*s*ra=1 9 " 1pertenecena7.

$e: asoia!i#a=

(1 9 ) 9 :" 1 9 ( 9 :)

(1) :" 1 (:)

$e: dis!rib*!i#a=

1 ( 9 :) " 1 9 1:

op ed des geb c s

4a suma " el producto dotan

a C de estructura de cuerpo.

$e: onm*!a!i#a=

1

9

"

9 1

1" 1


31/69

09 " 90 " 6Ne*!ro ara la s*ma8

9(!) " (!)9 " 0 6>*es!o ara la s*ma8

>1 " 1 > " 6?den!idad ara el rod*!o8

> !1" !1 > " 1 6?n#erso ara el rod*!o8

@CA es *n *ero&No es osible ordenar el on*n!o de los n4meros omleos&

Careen de sen!ido e9resiones omo % 0 o %1 E %2

6(ara todo D distinto de 08


32/69

$na #alacia ...


33/69

%alacia@1=L1B

11-1-111-1818616-1818616

2 =====

i


34/69

C

Forma polar


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El plano complejo6(lano D' de rgand o de 5auss8

Fd*lo&

Iambin llamado ?$alor absoluto6el mdulo de un real es su $alor absoluto8

r*men!o&

Eje real

Eje imaginario


36/69

%orma polar

%orma trigonomtrica

x

)r

sin

cos

r)

rx

=

=

sincos irr

i)x5

+=

+=

( ) sincos ir5 +=

r5=

-emplo6


37/69

argumento&

p

Escribir el siguiente nmero complejoz1=1Ai'

en formapolar " trigonomtrica&

mdulo&

sol*iFn

x

)

i5 +=11

1

12

1

r

+=

*sin

*cos21

i

2816816 2211 =+==5r

*H1

1arctanarg 1 =

=5

*H1

2=5

-emplo6


38/69

ibujar el nmero complejo " !:!ien el plano complejo "

e$aluar mdulo " argumento


39/69

operacionespolar-trigon.

C

< lti li i


40/69


41/69

p j p p j

x

)

1r 15

25

2r

21rrr=

+=

21555=


42/69


43/69

(otencias

( ) nnn mm =

8Jsin68Kcos6 ninr5 nn +=

%rmula de


44/69

(otencias enteras de complejos

en forma polar&

( )

( )

( )

( )

( ) ...'1'0sincos

82sin682cos6

8sin68cos6

2sin2cos

sincos

22

11

22

=+=

+=

+=

+=

+=

nninr5

ir5

ir5

ir5

ir5

nn

( ) 8sin68cos6sincos nini n +=+

El teorema de


45/69

generar identidades trigonomtricas. (or ejemplo&

Qgualando las partes reales e imaginarias&

+22+

+

sinsincossincoscos8sin6cossincos

iiii

+=+=+

+2

2+

sinsincossin

sincoscoscos

=

=

(otencias iguales


46/69

(otencias iguales

istintos nmeros complejos pueden lle$ar al mismo

resultado al realiDarles una misma potencia R

.s!o nos lle#a al 3l*lo de raJes

( )

( )( )

( ) *01120*

2,0

*070

*

1P0

*0*00

*

100

*0

*

10

112

112

112

12

==

==

==

=

S1P02

S2,02

S1002

S102

S*01


47/69


48/69

!a)ces

se llama la ra)D ensima de D a cualquier nmero

T que cumple& ?n = D' " se escribe como

Mdulo de w

ngulo de w

(artimos de un nmero complejo D

n 5?=

1'0'1'US+0 =

+=

=

n@nn

r= n

r5=

!a)ces


49/69

Gean ?" =($os9 i sin)

" r($os9 i sin)


50/69

!a)D cuarta R

Primer ngulo

ngulo a aadir

( )

( )

( )

( )

2,0

1P0

100

10

**0

2

2

2

2

1

S1P02

S2,02

S1002

S102

S10

*

S*0=

SP0*

S+0=

S*01

'$emplo raJes de la *nidad


51/69

'$emplo raJes de la *nidad

#

,*

#

+

#

*2

#

21

S00

20##

S0

1

1

1

1

1

*'1'011

11

=

=

=

==

==

=

+

?

?

?

?

?

@n

@

1=n

5


52/69

i$isin

8Jsin68Kcos62

1

2

1 += ir

r

5

5

=OO m

m

m

m

i$isin de nmeros complejos en el plano complejo


53/69

15

x

)

=

5

25

2

r

1r

2

1

r

r

r=

2

1

5

55=

ampliacin


54/69

C


55/69

Fractales

Fn fra!al es un objeto geomtrico cu"a

estructura bsica se repite en diferentes escalas


56/69

enoit

andelbro!

public en 1P7#

su primer ensa"o

sobre fractales

Gu construccin se basa en la iteracin de un nmero

complejo' es decir se hace una operacin " sta se repite

con el resultado R.

DD2+ C. 6conjunto de


57/69

Benoi! andelbro!(


58/69

p

i

c

a

c

El f)sicoLmatemtico ntonio r ha modelado

matemticamente el crecimiento de los tumores' o

al menos' eso es lo que defiende. En 1PP, publica

la primera ecuacin de crecimiento tumoral en lamejor re$ista del mundo de f)sica. ? R Este f)sico

espa/ol ha logrado $urar un cncer de h)gado

terminal con una ecuacin R .http&HHTTT.periodistadigital.comHsaludHobject.phpBo=,2P#7

geometr)a fractal' como son la red $ascular'

las ramificaciones bronquiales' la red

neuronal' la disposicin de las glndulas' etc.

Diseo

de


59/69


60/69

$os fra!ales an es!ado siendo *sados

omerialmen!e en la ind*s!ria

inema!or3fia en elJ*las omo ;!ar Oars

: ;!ar HreP&

!!=s!arars&:a&om

!!=&!rePminal&omne#o:aesebdesaras&

Elcine

isita la web de un

artista:

escucha msica

fractal


61/69

mis fractales

Otros programas:Xaos

IfsAttrActoR

Fractal hecho conel programaapophysis.

www.apophysis.org

http&HHTTT.arraUis.esH[s"sifusHsoftTare.html

!!=ome&anadoo&nl

la*rens&lare

Botnica


62/69


63/69

Caos

3@4a $ibracin de las alas

de una mariposa en rasil

pueLde desencadenar uncicln en IejasB3.

6(oincar8


64/69

Causas pequeasproducen

comienDos de la dcada del 0' 4orenDse puso a elaborar un

modelo matemtico para predecir fenmenosatmosfricos' " por casualidad descubri que la

misma herramienta matemtica que utiliDaba estaba

fallando&

eL*eSos ambios en las ondiiones iniiales

rod*ian diferenias asombrosas

los fractales son la

representacin grafica

Ejemplos de sistemas

caticos inclu"en la

atmsfera terrestre el


65/69

representacin grafica

del caos.atmsfera terrestre' el

Gistema Golar' las placas

tectnicas' los fluidos en

rgimen turbulento " loscrecimientos de

poblacin.

'n la "caa el *0se empearon a investigar $omportamientos

$a%ti$os en el ritmo $ard&a$o, las rea$$i%nes qu&mi$as, el

mer$ado urs2til *.


66/69

Cuaterniones

Cuaterniones ehipercomplejos


67/69

;ir Oilliam Roan

Tamil!on (1/05 - 1/65)

4os cuaterniones son nmeroscomplejos en cuatro dimensiones

en lugar de dos 6;amilton 1,*8.

s) un cuaternin qse expresa

como& q " a9i9$9@d dondea,,$,dson nmeros reales.

p p j

\4a propiedadEl softTare de $uelo del# # l b


68/69

conmutati$a no se

cumple para el productode cuaterniones].

4os cuaterniones se emplean para

describir dinmicas en

dimensiones' en f)sica " en

grficos por ordenador 6para hacer

pel)culas " juegos8.

#pa$e #uttleusaba

cuaterniones para el

control de na$egacin "$uelo

BibliorafJa


69/69

BibliorafJa

asada en la presentacin de artolo 4uque

http&HHTTT.disa.bi.ehu.esH 6nS complejosLarchi$o ppt8

http&HHTTT.arraUis.esH[s"sifusHindex.html 6rea fractalL$arios8

http&HHes.Tebfractales.comH 6imgenesLsoftTare8

http&HHTTT.di$ulgamat.netHTeborriaUHExposicionesHrte

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