NÚMEROS REALESNÚMEROS REALES

Luis Figueroa S.

NÚMEROS REALESNÚMEROS REALES

NÚMEROS REALES RNÚMEROS REALES R

Formado por:Formado por:

I. I. Números NaturalesNúmeros Naturales:: NN = = {1,2,3,..∞+}{1,2,3,..∞+}

IIII. . Números EnterosNúmeros Enteros: : zz == {-∞,…,-2,-1,0,1,2,..,{-∞,…,-2,-1,0,1,2,..,∞+}∞+}

IIIIII. . Números RacionalesNúmeros Racionales: : QQ = { = {xx//xx = = mm//n; n; m y n sonm y n son números enteros, donde m≠o}números enteros, donde m≠o}

IV.IV. Números IrracionalesNúmeros Irracionales: : II = { = {xx//x x es representado por unes representado por un decimal decimal no periódico}no periódico}

VV. . Números RealesNúmeros Reales: : RR = { = {xx//x x Q Q óó II}}VIVI. . Números ComplejosNúmeros Complejos: : CC = { = {xx//x x a + ba + bi; i; donde: a, b sondonde: a, b son R R yy i i == √-1}√-1}

Llamaremos sistema de números reales a un Llamaremos sistema de números reales a un conjunto conjunto

R, consta de 2 operaciones: adición (a+b) R, consta de 2 operaciones: adición (a+b)

y multiplicación (a.b) “Leyes de composición y multiplicación (a.b) “Leyes de composición interna”,interna”,

y una relación de orden denotado por “<” y el y una relación de orden denotado por “<” y el axioma axioma

del supremo.del supremo.

Definición:Definición:

1º Ley de Composición 1º Ley de Composición InternaInterna

Además debe cumplir los siguientesAdemás debe cumplir los siguientes

axiomas:axiomas:

i)i) Cerradura: V a,b E R a+b E Cerradura: V a,b E R a+b E RR

ii)ii) Conmutativa: a+b=b+a ; V a,b E Conmutativa: a+b=b+a ; V a,b E RR

iii)iii) Asociativa: (a+b)+c=a+(b+c) ; V a,b,c E Asociativa: (a+b)+c=a+(b+c) ; V a,b,c E RR

iv)iv) Identidad Aditiva: a+0=0+a=a V a E R, 0 E Identidad Aditiva: a+0=0+a=a V a E R, 0 E RR

v)v) Opuesto Aditivo: a+(-a)=(-a)+a=0, y es único Opuesto Aditivo: a+(-a)=(-a)+a=0, y es único

tal que V a E tal que V a E R R , -a E , -a E RR

T: R x R R(a, b) + (a,b) = a+b

2º Ley de Composición 2º Ley de Composición InternaInterna

Además de los siguientes axiomas:Además de los siguientes axiomas:

i.i. Cerradura: V a, b Cerradura: V a, b E E R =R => a.b > a.b E E RR

ii.ii. Conmutativa: a.b = b.a V a, b Conmutativa: a.b = b.a V a, b E E RR

iii.iii. Asociativa: ( a. b) .c = a ( b . c) ;V a, b, c Asociativa: ( a. b) .c = a ( b . c) ;V a, b, c E E R R

R x R R

(a,b) a.b

TEOREMASTEOREMAS

TEOREMA DE IGUALDAD PARA LA ADCIONTEOREMA DE IGUALDAD PARA LA ADCION Si a=b entonces a+c=b+c, para todo a,b,c Si a=b entonces a+c=b+c, para todo a,b,c R R TEOREMA DE IGUALDAD PARA LA TEOREMA DE IGUALDAD PARA LA

MULTIPLICACIONMULTIPLICACION Si a=b entonces a.c=b.c, para todo a,b,c Si a=b entonces a.c=b.c, para todo a,b,c RR TEOREMA DE LA CANCELACION PARA LA TEOREMA DE LA CANCELACION PARA LA

ADICIONADICION Sean a,b,c Sean a,b,c R; Si a+c=b+c entonces a=bR; Si a+c=b+c entonces a=b TEOREMA DE LA CANCELACION PARA LA TEOREMA DE LA CANCELACION PARA LA

MULTIPLICACIONMULTIPLICACION Sean a,b,c Sean a,b,c R; Si a.c=b.c y cR; Si a.c=b.c y c0, entonces a=b0, entonces a=b

SUSTRACION DE NÚMEROS REALESSUSTRACION DE NÚMEROS REALES

Para cualquier números reales a,b R, definiremos a la sustración de números reales por:

a-b=a+(-b)

DIVISIÓN DE NÚMEROS REALESDIVISIÓN DE NÚMEROS REALES

Para cualquier números reales a,b R donde b 0, definiremos al cociente de números reales por:

a/b=a.b-1

DESIGUALDADESDESIGUALDADES

La correspondencia entre los números reales y los puntos de un a recta pueden usarse para dar una interpretación geométrica de la relación de orden entre los números reales

La relación a<b significa que sobre una recta numérica el punto A corresponde al numero “a”, que se encuentra a la izquierda del punto B correspondiente al número “b”.

I) Un número real “a” es positivo si, a>0

II) Un número real “a” es negativo si, a<0

AXIOMAS DE LA REALCION AXIOMAS DE LA REALCION ORDENORDEN a,b,c a,b,c R, se tiene R, se tiene

O1.- Orden de tricotomia: una y solo una de O1.- Orden de tricotomia: una y solo una de las siguientes posibilidades se cumple: a=b las siguientes posibilidades se cumple: a=b a<b a<b a>b a>b

O2.- Orden transitivo: si a<b O2.- Orden transitivo: si a<b b<c b<c a<c a<c

O3.- Orden de adición: si a<b O3.- Orden de adición: si a<b a+c<b+c a+c<b+c

O4.- Orden Multiplicativo: si a<b y c>0 O4.- Orden Multiplicativo: si a<b y c>0

a.c<b.ca.c<b.c