APRENDIZAJES ESPERADOS1.Dado un nmero determina si es primo o compuesto.

2.Determina cuntos y cuales son los divisores de un nmero, as como la suma, suma de inversas y producto de los mismos.

3.Determina la descomposicin cannica de un nmero.

4.Resuelve correctamente ejercicios y problemas referidos a los divisores de un nmero natural.

COMENTARIO PREVIO

Fue el matemtico griego EUCLIDES el primero en descubrir que los nmeros primos constituyen una serie infinita. Las investigaciones de los matemticos griegos les condujeron rpidamente al concepto de nmero primo, basndose en el cual ERATOSTENES construy su famosa criba para encontrar los nmeros primos en la serie de los nmeros naturales.

Considerando el campo de los nmeros enteros positivos se clasificar de acuerdo a la cantidad de divisores del siguiente modo.

Biografa de Euclides

Matemtico griego. Poco se conoce a ciencia cierta de la biografa de Euclides, pese a ser el matemtico ms famoso de la Antigedad.

Es probable que Euclides se educara en Atenas, lo que explicara con su buen conocimiento de la geometra elaborada en la escuela de Platn, aunque no parece que estuviera familiarizado con las obras de Aristteles. Ense en Alejandra, donde alcanz un gran prestigio en el ejercicio de su magisterio durante el reinado de Tolomeo I Ster; se cuenta que ste lo requiri para que le mostrara un procedimiento abreviado para acceder al conocimiento de las matemticas, a lo que Euclides repuso que no exista una va regia para llegar a la geometra (el epigrama, sin embargo, se atribuye tambin a Menecmo como rplica a una demanda similar por parte de Alejandro Magno).

La tradicin ha conservado una imagen de Euclides como hombre de notable amabilidad y modestia, y ha transmitido as mismo una ancdota relativa a su enseanza, recogida por Juan Estobeo: un joven principiante en el estudio de la geometra le pregunt qu ganara con su aprendizaje; Euclides, tras explicarle que la adquisicin de un conocimiento es siempre valiosa en s misma, orden a su esclavo que diera unas monedas al muchacho, dado que ste tena la pretensin de obtener algn provecho de sus estudios. Euclides fue autor de diversos tratados, pero su nombre se asocia principalmente a uno de ellos, los Elementos, que rivaliza por su difusin con las obras ms famosas de la literatura universal, como la Biblia o el Quijote. Se trata, en esencia, de una compilacin de obras de autores anteriores (entre los que destaca Hipcrates de Quos), que las super de inmediato por su plan general y la magnitud de su propsito.CONTENIDO TERICO

NMERO PRIMO

Es aquel nmero que tiene nicamente 2 divisores: el mismo y la unidad.

P: nmero primo (# primo absoluto)

Tabla de Nmeros Primos Menores que 200

23571113171923

293137414347535961

67717379838997101103

107109113127131137139149151

157163167179181191193197199

Observaciones

1. No existe frmula para hallar todos los nmeros primos.

2. La serie de los nmeros primos es ilimitada, o sea que por ms grande que sea un nmero primo, siempre hay otro nmero primo mayor. (Euclides, Elementos, IX-20)

3.Si P es un nmero primo mayor que 2 es de la forma: P =

4.Si P es un nmero primo mayor que 3 es de la forma: P =

5. Nmeros simples: Son aquellos nmeros que tienen a lo ms dos divisores.

La unidad: Es el nico que tiene un solo divisor.

Primos absolutos: Son aquellos nmeros que poseen exactamente dos divisores, usualmente se dice nmero primo. {2; 3; 5; 7; 11; }

6. Nmero compuesto: Son aquellos nmeros que tienen ms de 2 divisores. {4; 6; 8; 9; 10; 12;. . .}

6 ( {1; 2; 3; 6}, el nmero seis posee 4 divisores.

Todo nmero compuesto tiene por lo menos un divisor primo.

7. Todo nmero primo que divide a un producto de varios factores, divide por lo menos a uno de los factores.

NMEROS PRIMOS RELATIVOS O PRIMOS ENTRE SI (PESI)

Son dos o ms nmeros que tienen como nico divisor comn a la unidad.

Ejemplo 1

NmeroDivisores

101 ; 2 ; 5 ; 10

211 ; 3 ; 7 ; 21

( 10 y 21 son PESI

Generalizacin del Teorema de Arqumedes

Todo nmero que divide a un producto de varios factores y es primo con todos ellos menos uno, divide a ste.

Ejemplo: 11 x 17 x 19 x 4 . N = ( N =

NMEROS PRIMOS ENTRE SI DOS A DOS (PESI 2 A 2)

Un conjunto de nmeros resultar ser PESI 2 a 2 si precisamente al tomarlos en pareja resultan ser primos entre s.

Ejemplo 1: Son 8; 9 y 25 PESI 2 a 2?

Resolucin

Divisores de 8: 1 ; 2; 4; 8

Divisores de 9: 1 ; 3; 9

Observacin

A. Dos nmeros enteros consecutivos siempre son PESI.

B. Dos nmeros impares consecutivos tambin son PESI

CRITERIO PARA RECONOCER SI UN NMERO ENTERO ES PRIMO

Para saber si un nmero dado es primo o no, se deben seguir los siguientes pasos:

a. Extraer la raz cuadrada, aproximadamente por defecto.

b. Enumerar los nmeros primos menores a esta aproximacin

c. Aplicar las condiciones de divisibilidad del nmero por cada uno de estos nmeros primos.

d.Si en ninguno de los casos es divisible, se dice que el nmero es primo.

Ejemplo 1: Es 853 nmero primo?

Resolucin

a)

( 29, . . .

b) Los nmeros primos menores que: 29,. . .

{2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29}

c)Cmo 853 no es divisible por ninguno de estos nmeros entonces podemos afirmar que es un nmero primo.

REGLA PARA DETERMINAR LOS DIVISORES DE UN NMERO

a) Se descompone el nmero en factores primos.

b) Se escribe el 1 (que es divisor de todo nmero) y a continuacin se pone las diversas potencias del primer factor primo.

c) Se multiplica los divisores hallados por las diferentes potencias del segundo factor primo.

d) Se multiplica todos los factores hallados anteriormente por las diferentes potencias del tercer factor y as sucesivamente. El ltimo divisor hallado al formar stos productos es el nmero dado.

Tabla de divisores de 240:240(24x3x5

(((

111

235

4

8

16

A continuacin, hallamos la tabla de divisores:

124816

x336122448

x5510204080

153060120240

Nmero de divisores =

Nmero de divisores primos = = 3 ( son divisores primos {2; 3; 5}.

Nmero de divisores compuestos =

(

Sea N un nmero compuesto:

DESCOMPOSICIN CANNICA

(Teorema fundamental de la Aritmtica o Teorema de Gauss)

Todo nmero entero mayor que uno (compuesto) se puede descomponer como el producto de sus factores primos elevados a exponentes enteros positivos, dicha descomposicin es nica.

Sea N el nmero compuesto:

A, B, C ( factores primos.

(, (, ( ( Exponentes (nmeros enteros positivos)

ESTUDIO DE LOS DIVISORES DE UN NMERO

I. Cantidad de divisores: D(N)

El nmero total de divisores de un nmero es igual al producto, de los exponentes de los factores primos aumentados en 1.

Ejemplo:

720 = 24 x 32 x 51

D (720) = (4 + 1) (2 + 1) (1 + 1) ( D (720) = 5 x 3 x 2 = 30

II. Suma de divisores: SD(N)

Ejemplo: 240 = 24 x 3 x 5

( SD (240) = 744

Importante: Todo nmero que tenga un nmero impar de divisores es un nmero cuadrado perfecto.

Ejemplo: 9 ( {1, 3, 9} ; D (9) = 3.

36 ( {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} D (36) = 9

III.Suma de las inversas de los divisores: SID(N)

Ejemplo:

(

IV. Producto de divisores de un nmero: PD(N)

Ejemplo: D(720) = 30 (

(

DESCOMPOSICION CANONICA DEL FACTORIAL DE UN NMERO

Consideraciones:

0! = 1! = 1

2! = 1 x 2 = 2

3! = 1 x 2 x 3 = 6

4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24

5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120

6! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 720

7! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 = 5040

8! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 = 40 320

n! = 1 x 2 x 3 x . . . ...(n-2)(n-1) x n

Ejemplo: Hallar la descomposicin cannica de 20!.

Solucin:

20! = 1 x 2 x 3 x . . . x 19 x 20

20! = 2( x 3( x 5( x 7( x 11 x 13 x 17 x 19

Clculo de ( :

Clculo de ( :

Clculo de ( :

Clculo de ( :

Reemplazando: 20! = 218 x 38 x 54 x 72 x 11 x 13 x 17 x 19

01.Calcular los divisores de 240.

RESOLUCIN

Descomponiendo 240:

240

120

60

30

15

5

12

2

2

2

3

5

240 = 24 ( 3 ( 5

Luego: 240 tiene 20 divisores

(3 divisores primos: 2; 3; 5)

1

4816

6122448

10204080

153060120240

02.Calcular la cantidad de divisores de 26 160.

RESOLUCIN

Descomponiendo cannicamente tenemos:

26 160 = 26 ( 32 ( 5 ( 7

Luego; Aplicando frmula tenemos:

D (26160) = (6+1) (2+1) (1 + 1) (1 + 1)

D (26160) = 84

03.Cuntos divisores ms tiene 3600 que el nmero 980?

RESOLUCIN

Descomponiendo cada nmero en el producto de sus factores primos:

3600 = 24 ( 32 ( 52

980 = 24 ( 5 ( 72

Clculo de cantidad de divisores:

D(3600) = (4 + 1) (2+ 1) (2 + 1) = 45

D(980) = (2 + 1) (1 + 1) (2 + 1) = 18

Nos piden: 45 18 = 27

04.Si el nmero: 15(30x) tiene 294 divisores. Hallar "x".

RESOLUCIN

Sea: N = 15 (30x) ( N = 2x ( 3x + 1 ( 5x + 1

Hemos hecho una descomposicin cannica, luego: D(N) ( (x +1) (x + 2) (x + 2) = 294

Dando forma: (x + 1) (x + 2)2 = 6 (7)2

Comparando:

05.Si el nmero 8x tiene 19 divisores. Hallar "x".

RESOLUCIN

Sea: N = 8x ( N = 23x

Luego: D(N) = (3x + 1) = 19

Despejando x:

01. Indicar todos los divisores de 1260.

02. Determine cuntos y cules son los divisores de 72.

03. Para el nmero 1440, determine Cuntos divisores tiene?; Cuntos son compuestos?; Cuntos son primos?; Es perfecto, defectuoso o abundante?.

04. Para los nmeros: 60 y 496, determine:

a) El nmero de divisores primos.

b) El nmero de divisores compuestos

c) El nmero de divisores.

d) La suma de todos sus divisores.

e) La suma de sus divisores compuestos.

f) La suma de las inversas de sus divisores

g) El producto de los divisores.05. Dado el nmero 315 000, determine:

a) El nmero de divisores.

b) El nmero de divisores pares.

c) El nmero de divisores impares.

d) El nmero de divisores mltiplos de 3.

e) El nmero de divisores mltiplos de 21.

f) El nmero de divisores que terminan en cero.

06. En la descomposicin cannica de 240!, hallar el exponente de 7

07. En cuntos ceros termina 180!?

08. Hallar el valor de K, si: 25 x 15K tiene 24 divisores.

a) 2b) 3c) 4d) 5e) N.A

09. Hallar la suma de los dgitos del menor nmero impar "N" que tiene cuatro factores primos y tiene 24 divisores positivos.

a) 14 b) 16c) 18

d) 20e) N.A

010. Si el nmero: N = 25.3x.5x ; tiene 20 divisores compuestos. Hallar "x".

a) 4b) 5c) 2

d) 3e) N.A

11.Indicar la proposicin falsa:

a) Nmero primo absoluto es aqul que tiene slo dos divisores que son el mismo nmero y la unidad

b) Un conjunto de nmeros que tienen como nico divisor comn la unidad son PESI

c) Los nmeros 6, 14, 20 y 28 son compuestos

d) Todo nmero primo es

e) El nmero 1 no es primo ni compuesto

12.Dar el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones:

1. Los divisores propios de 12 son: 1, 2, 3, 4 y 6

2. 28 es un nmero perfecto

3. 180 es un nmero defectuoso

Es correcto:

a) VVVb) FFVc) VFV

d) VVFe) FFF

13.Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

1. El nmero 197 es primo

2. El nmero 14 700 tiene 18 divisores impares

3. El nmero: tiene 194 divisores compuestos

Es correcto:

a) VVVb) VVFc) FVV

d) VFVe) FFV

14.Al descomponer en factores primos, el nmero representado por 3 450, la suma de dichos factores primos es:

a) 12b) 33c) 23

d) 37e) 31

15.Indique la relacin correcta:

1. 1752. 1393. 121

A) Es un nmero primo

B) Nmero que tiene slo 3 divisores

C) La diferencia de sus factores primos es 2

Es correcto:

a) 3C; 1B; 2Cb) 1A; 2B; 3Cc) 3A; 1B; 2C

d) 2A; 3B; 1Ae) 3A; 2B; 1C

16.Al descomponer cannicamente 4 400 se obtiene: . Hallar x + y + z

a) 6b) 7c) 8

d) 9e) 10

17.Calcular: n, si; tiene 81 divisores

a) 1b) 2c) 3

d) 4e) 5

18.Cuntos divisores tiene:

a) 72b) 99c) 648

d) 729e) 1 446

19.Si el nmero tiene 152 divisores compuestos, hallare el valor de n

a) 1b) 3c) 5

|d) 7e) 9

20.Hallar el valor de a si: tiene 20 divisores pares

a) 6b) 4c) 9/2

d) 9/8e) 11/2

01.Si: A = 202 ( 453 y B = 123 ( 302, Cuntos divisores tiene A ( B?

a) 1248b) 624c) 720

d) 814e) N.A.

02.Calcular la suma de todos los nmeros primos que existen entre 30 y 50.

a) 142b) 199c) 172

d) 184e) 190

03.Hallar el valor de "x" para que el nmero A = 10 ( 12x, tenga 36 divisores.

a) 0b) 1c) 2

d) 3e) 4

04.Cuntas veces debemos multiplicar 5 al nmero 12, para que el producto tenga 24 divisores?

a) 0b) 1c) 2

d) 3e) 4

05.Cul es el menor nmero que tenga 6 divisores?

a) 6b) 8c) 10

d) 12e) 15

06.Un nmero tiene como factores primos: 2; 3 y 5. Si ste nmero tiene 20 divisores y es el menor posible, cul es la suma de sus cifras?

a) 6b) 8c) 7

d) 5

e) 4

07.Cuantos divisores de 540 son mltiplos de 2?

a) 12b) 14c) 16

d) 18e) 15

08.Cuntos divisores de 1200 son mltiplos de 10?

a) 14b) 16c) 18

d) 13e) 11

09.Cuntos divisores de 640 no son mltiplo de 20?

a) 8b) 10c) 12

d) 14e) 9

10.Si: A = 122 ( 303 y B = 15 ( 202. Cuntos divisores tiene A/B?

a) 10b) 12c) 16

d) 19e) 20

11.Si: N = 50 ( 722 y M = 152 ( 203. Cuntos divisores tiene ?

a) 320b) 408c) 352

d) 145e) N.a.

12.Si: A = 20 ( 483 y B = 15 ( 302. Cuntos divisores de A ( B son mltiplos de 1000?

a) 172b) 210c) 98

d) 108e) 196

13.Cuntos ceros se deben poner a la derecha de 9 para que el resultado tenga 239 divisores compuestos?

a) 4b) 5c) 6

d) 8e) 9

14.Si: y se sabe que N tiene 18 divisores mltiplos de 21 pero no de 5, hallar n

a) 5b) 4c) 3

d) 2e) 1

15.Si: tiene divisores. Cuntos divisores tiene ?

a) 9b) 18c) 21

d) 36e) 45

16.Hallar: a + b, si tiene 12 divisores y tiene 33 divisores

a) 12b) 15c) 8

d) 10e) 3

17.Si: tiene 3 divisores ms que el nmero . Hallar la diferencia de M y N

a) 1 444b) 1 525c) 1 400

d) 1 732e) 1 445

18.Si: tiene N divisores. Cuntos divisores tendr ?

a) (5N 1)/3b) (5N 2)/2c) (5N 3)/2

d) (5N 3)/3e) (6N 5)/2

19.Cuntas cifras debe tener: , para tener 24 divisores?

a) 10b) 12c) 13

d) 15e) 16

20.Si: tiene 4 divisores y tiene 3 divisores, hallar: a + b

a) 1b) 2c) 3

d) 4e) 5

01. Hallar la suma de los divisores de 24 que sean mltiplos de 3.

a) 24b) 45c) 18

d) 36e) N.A

02. De los divisores de 180, hallar la suma de los que sean mltiplos de 6.

a) 432b) 528c) 682

d) 316e) N.A

03. Cuntos ceros se debe poner a la derecha de 9 para que el resultado tenga 239 divisores?

a) 5b) 8c) 10

d) 16e) N.A

04. Cuntas veces hay que multiplicar por 8 el nmero 300 para que el resultado tenga 126 divisores?

a) 5b) 8c) 10

d) 16e) N.A

05. Si 12x tiene 63 divisores compuestos. Calcule "x".

a) 5b) 8c) 4

d) 6e) N.A

06. Cuntos ceros debe tener: N = 20000...000. Para que el resultado tenga 56 divisores?

a) 5b) 8c) 10

d) 16e) N.A

07. Si N = 13k+2 - 13k tiene 75 divisores compuestos. Hallar "k".

a) 2b) 3c) 4

d) 6e) N.A

08. Sabiendo que: 12 x 30n tiene el doble de la cantidad de divisores que 12n x 30. Hallar el valor de "n".

a) 3b) 4c) 5

d) 6e) N.A09. Cuntos nmeros de la forma tienen 8 divisores?

a) 3b) 4c) 5

d) 6e) N.A

010. Cuntos ceros debe tener: 300. 0; Para que admita 288 divisores?

a) 8b) 10c) 11

d) 12e) N.A11.Descomponer polinmicamente cada nmero:

a) 2000b) 5200c) 7200

12.Descomponer cannicamente 420 e indicar los factores primos.

13.Descomponer cannicamente 770 e indicar los factores.

14.Determinar el nmero de divisores de 720.

15.Cuntos divisores tiene B = 152 ( 483.

16.Si A = 153 ( 482, B = 122 ( 30. Cuntos divisores tiene: ?

17.Cul es el producto de los divisores de 400?

18.Cul es la suma de las inversas de los divisores de 1080?

19.Cuntos divisores mltiplos de 5 tiene 480?

20.Cuntos divisores mltiplos de 6 tiene 7200?

21.Si: , tiene divisores, hallar: a + b

a) 44b) 40c) 36

d) 21e) 9

22.Cunto nmeros de la forma: tiene 24 divisores?

a) 1b) 2c) 3

d) 4e) 5

23.Si la descomposicin cannica de cierto nmero es: , hallar la suma de sus dos mayores cifras

a) 8b) 9c) 10

d) 11e) 12

24.Si: A y B tienen la misma cantidad de divisores, hallar cuantos divisores tiene A, siendo: y

a) 205b) 336c) 308

d) 136e) 288

25.Si el nmero M tiene 56 divisores compuestos, cuntos nmeros divisores mltiplos de 6 tiene ?

a) 24b) 21c) 20

d) 18e) 25

26.Sea: , donde a y b son primos absolutos, con a ( b.

Si: y . Hallar:

a) 96b) 120c) 144

d) 160e) 180

27.Si: tiene divisores y , tiene divisores. Hallar (( + (), siendo a y b consecutivos (b > a)

a) 5b) 4c) 3

d) 2e) 1

28.Determinar la suma de los divisores de un nmero capica de tres cifras, tal que la suma de sus cifras sea 9, sabiendo que su nmero de divisores es el mayor posible

a) 720b) 724c) 728

d) 732e) 736

EJERCICIOS RESUELTOS

PRCTICA DE CLASE

TAREA DOMICILIARIA

EJERCICIOS PROPUESTOS

78

73

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