Números Naturales II

Teora de Conjuntos I Construcin de

Una manera econmica de trabajar con la definicin de natural, nos la d lasiguiente:

Proposicin1. Son equivalentes:1. n es un natural

2. i) n es un conjunto transitivo.

ii) es asimtrica sobre n : x,y n x y & y xiii) Si b es un conjunto tal que b n, entonces

a) b tiene n mnimo; yb) b tiene n mximo.

3. i) n es un conjunto transitivo.ii) es irreflexiva sobre n : x n x xiii) es tricotmica sobre n : x,y n x y y x y xiv) Si b es un conjunto tal que b n, entonces

a) b tiene n minimal; yb) b tiene n maximal.

Prueba: TAREA.

Notacin:

x / x es un natural

De principio, es una clase, quedar pendiente el respoder a la pregunta: existe ? es decir, V ? Por lo pronto, pasemos a ver que nuestra definicin de nmeronatural nos est funcionando bien; veamos la propiedad (1):

Proposicin2. Todo elemento de un natural, es un natural; o bien: es una clase transitiva.

Prueba: Sea n y x n. Veamos que x :i). x es transitivo: Es inmediato de que n es transitivo y de que es transitiva sobre

n.ii). es asimtrica sobre x : Ver la observacin.iii). Sea b tal que b x. Puesto que n es transitivo y x n, tenemos que

b n. As, b tiene tanto n mximo como n mnimo y por tanto (Tarea) b tienex mximo y x mnimo. De hecho:

Rafael Rojas Barbachano 4


minx b minn b y maxx b maxn b

Otra propiedad que vemos que tienen los de la lista, es:

(5): A los de la lista, los podemos descomponer de la siguiente manera:

2 0,1 0 1 1 1,3 0,1,2 0,1 2 2 2,4 0,1,2,3 0,1,2 3 3 3,5 4 4, . . .

Y por supuesto, podemos escribir que 1 0 0 0 0. Al 0, nopodemos descomponerlo, ste ocupa un lugar privilegiado. Abusando de lanotacin, solo para dar una idea de lo que est pasando, escribimos esto como:

n 1 n n

Esto nos d la idea de que los de la lista, los podemos ir recorriendo uno por unopartiendo desde el 0. Lo primero que tenemos que tener en cuenta es que con losaxiomas que tenemos (de hecho, con ZF1, ZF3 y ZF4 ), podemos probar:

x!yy x xlo que nos define una funcional:

Definicin5._ : V V

x, x x xSi a es un conjunto, al conjunto a le llamaremos, el Sucesor de a.

Observaciones:

i). _ x,y / y x x w / x y w x,y & y x x .ii). 0 1, 1 2, 2 3, 3 4, . . .iii). x x x & x xiv). 0 IMG _ , o equivalentemente, xx 0

Como veremos ms adelante ahora es imposible la funcional sucesor alrestringirla a los nmeros naturales, , trabaja a las mil maravillas: Entre unnatural y su sucesor no hay otro -el sucesor de un natural, es su Sucesor Inmediato-,y tambin es inyectiva: No hay dos naturales con el mismo sucesor.

Estas propiedades, en general, no son ciertas. Al decir que el sucesor es un



sucesor inmediato, lo que queremos es que la funcional sucesor trabajara de lasiguiente manera:

xy x y & y x

Bien podra ser nadie, hasta ahora, nos lo impide que hubiera un conjunto a tal, quea a y en este caso, a a a a a a y, obviamente, tendramos quea a a. Ahora, la inyectividad de la sucesor, sera tener que:

x,y x y x y

Para ver que esto en general no ocurre, pensemos que hubiera dos conjuntos b y ctales que b c, y que b c y c b. Pero si esto fuera as, tendramos que:

b b b b c c b c c clo que negara la inyectividad de la sucesor.

En cambio, si tuvieramos a la mano al axioma de buena fundacin, ABF, sta dospropiedades si valdran en general (ver la Tarea 1). Y por supuesto, hay casosparticulares aparte de los naturales en los que alguna de estas propiedades sonciertas.

Ahora, regresando con la idea de que cada natural, salvo por el 0, lo podemosescribir decamos: descomponer como el sucesor del anterior, introducimos lasiguiente,

Definicin6. Una clase I es Inductiva syssa) 0 Ib) x x I x I

As, una clase inductiva es una que tiene como elemento al 0 y es cerrado bajo lafuncional sucesor. Como es de esperarse:

Proposicin3. es una clase inductiva:a) 0 b) x x x

Prueba:a). 0 : Trivial.b). Sea n , veamos que n :

i) n es transitivo : Pues si x n n n, entonces tenemos dos casos; x n ox n. En ambos casos tenemos que x n y como n n n n, concluimos quex n.



ii) es asimtrica sobre n : Sean x,y n n n, tenemos tres casos.Si x,y n, la es asimtrica sobre n. Si x,y n, entonces x n y y sabemos que es irreflexiva sobre n. El ltimo caso, s.p.g., es cuando x n y y n, es decirx n y; en este caso no puede ser que y x, pues si lo fuera, por la transitividadde y la irreflexividad de , concluiramos que n n.iii) Sea b un conjunto tal, que b n. Tenemos que b n n y por tanto, haydos casos:

n b Aqu, b n y como n , b tiene n mnimo, el cual nos sirve comoel n mnimo. Anlogamente para el n mximo.

n b El n mximo de b es n. Ahora, fijmonos en b n. Si b n ,entonces b n y n es el n mnimo. Si b n , entonces b n tiene unn mnimo, el cual nos sirve para ser el n mnimo de b. Con esto obtenemos que todo aquel conjunto que est en la lista es un nmero

natural.

La definicin que dimos de inductivo es para clases en general pero,Hay conjuntos inductivos?

La respuesta no es nada trivial: Con los axiomas que tenemos hasta ahora:No podemos probar ni refutar la existencia de conjuntos inductivos!

As pues, necesitamos postular dicha existencia. Adems esto nos ayudar aprobar que la clase de los nmeros naturales, , es un conjunto.

ZF7 : Axioma de Infinito :Hay un conjunto Inductivo.

x x & y y x y x

Lo primero que debemos notar es que un conjunto inductivo, digamos i, tendraque tener a todos los elementos de nuestra lista:

0,0, 0, . . . iY decimos todos pero, recordemos que, solamente tenemos definidos a los primerosde ellos. Informalmente hablando, i para todo conjunto inductivo i. Para aterrizaresta idea, empezamos con la siguiente,

Definicin7. Sea la interseccin de todos los conjuntos inductivos. En smbolos: i / i es inductivo

Esta definicin est justificada por ZF7 (la interseccin de una clase no-vaca,



existe; es un conjunto). Veamos que todos los naturales pertenecen a .

Proposicin4. Cada nmero natural pertenece a todo conjunto inductivo. Ensmbolos:

Prueba: La haremos por reduccin a lo absurdo. Supongamos pues, . As, hayconjuntos n e i tales que n , i es inductivo y n i. Por la proposicin3, tenemosque n . Sea

b n i x n / x ipuesto que n n i, tenemos que b n. Por tanto, b tiene un n mnimo enn, digamos m : As,

i). m b yii). x n x b m x m x

O, equivalentemente,i). m n y m i. Yii). x n x m x i

( tenemos ii) por contrapositiva y gracias a que es tricotmica sobre n .Af1.

1. m : Pues m n y n , y es transitiva.2. m m : Puesto que i y m i (por i).) tenemos que m .3. m i : Por ii).

Por Af1.1 y Af1.2 tenemos que m tiene un elemento m mximo, digamos p. As,(*). p m y(**). x x m x p x pPor Af1.3 tenemos que p i y por ser inductivo, p i. Pero,

Af2. p m. Por (*), p m. Por un lado, p m. Y por otro lado, ya que m , m es

transitivo as, p m. Concretando, p p p m. Veamos que m p p. Pero esto es inmediato de (**).

Esta ltima afirmacin contradice el hecho de que m i. Concluimos que nopuede haber tales conjuntos n e i y por tanto .



Con esto, concluimos con el resultado ms importante de la seccin:

Corolario5.1. V. (Por ZF6)2. es un conjunto transitivo. (Por Prop23. es un conjunto inductivo. (Por Prop34. . ( Por 3 y propiedades de la 5. .6. es el menor conjunto inductivo. (Por 5, 3 y definicin de .


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