XXIII Olimpiada Thales

NÚMEROS AMIGOS:

Solución Menú

El número romano Zipi = CCXX, tiene un gran amigo que, obviamente, se llama Zape. Zape es el gran amigo de Zipi porque es la suma de todos los divisores de Zipi (sin contar al propio Zipi).¿Podrías averiguar qué número es Zape y cómo se expresa en números romanos?Comprueba también que Zipi es el gran amigo de Zape porque es la suma de todos sus divisores (excepto Zape).

Solución:

MenúEnunciado

Sigamos con las pistas del enunciado…

Empecemos averiguando el número Zipi.

Zipi = 220

El número romano Zipi = CCXX tiene un gran amigo que…

Recuerda que C=100 y X=10 en

números romanos con lo que…

Vayamos por partes…

Zape es el gran amigo de Zipi porque es la suma de todos los

divisores de Zipi (sin contar al propio Zipi)….

Así es que para saber qué número es Zape,

¡tendremos que calcular todos los divisores de 220!

Solución:

MenúEnunciado

Vamos a empezar factorizando a Zipi:

Para calcular todos sus divisores, basta ir cogiendo sus factores de todas

las formas posibles… ¡Fíjate!

220

110 255 511 11

1

220 = 22 x 5 x 11

2

Solución:

MenúEnunciado

220 = 22 x 5 x 11

Un solo factor

Factores que

cogemos

11X5X2X

Divisor11522

Solución:

MenúEnunciado

220 = 22 x 5 x 11

Dos factores

Un solo factor

Factores que

cogemos5x11=55XX2x11=22XX2x5 =10XX2x2 = 4XX

11X5X2X

Divisor11522

Solución:

MenúEnunciado

220 = 22 x 5 x 11

2x5x11=110XXX

22x11=44XXX

22x5=20XXX

5x11=55XX2x11=22XX2x5 =10XX2x2 = 4XX

11X5X2X

Divisor11522

Dos factores

Un solo factor

Factores que

cogemos

Tres factores

Solución:

MenúEnunciado

220 = 22 x 5 x 11

220XXXX

2x5x11=110XXX

22x11=44XXX

22x5=20XXX

5x11=55XX2x11=22XX2x5 =10XX2x2 = 4XX

11X5X2X

Divisor11522

Dos factores

Un solo factor

Factores que

cogemos

Tres factores

¡Y los cuatro!

Solución:

MenúEnunciado

220XXXX110XXX44XXX20XXX55XX22XX10XX4XX

11X5X2X

Divisor11522

Volvamos de nuevo a nuestra pista:

Zape es el gran amigo de Zipi porque es la suma de todos los

divisores de Zipi (sin contar al propio Zipi)….

Así que para encontrar a Zape, basta sumar todos los divisores de Zipi

quitando a Zipi=220.

1+2+5+11+4+10+22+55+20+44+110

Zape = 284

¡Y que no se nos olvide el 1!

Solución:

MenúEnunciado

Ahora sólo nos queda expresar Zape en números romanos…

Zape = 284 Zape = CCLXXXIV

Recuerda que L=50, V=5 y I=1, así que tenemos que:

Comprobemos ahora que Zape es también la suma de todos los divisores

de Zipi:

284 = 1 x 22 x 71

284

142 271 71

1

2

284XXX

142XX

4XX

71X

2X

Divisor7122

1+2+71+4+142=220Quitando a Zape y añadiendo el 1…

¡¡¡JUSTO ZIPI!!!

Solución:

MenúEnunciado

ESO SÍ QUE ES SER BUENOS AMIGOS

¿NO CREES?