NÚMERO FRACCIONARIO 5t0

Colegio: TALENTOS QQuuiinnttoo

AAññoo

AArriittmmééttiiccaa--55ttoo--22ddaaCCllaassee--0044--0088VVII22001122 1

TEMA: NÚMERO FRACCIONARIO Concepto Llamados también “Fracciones””, “quebrados”, “números quebrados” o “fracciones racionales”, vienen a ser las cantidades en las cuales la unidad se divide en partes iguales, de las cuales se toman una o más de una. (fracciones positivas) Notación

B

Af ; Se lee: “A sobre B”, “A entre B” o “A – B avos”

Forma General

F =

0;; bBAB

A

Nota:

Las formas 0

0 y

0

a; a son formas no determinadas en este

nivel, por lo que evitamos su uso. Estructura a Numerador b Denominador

- Numerador: indica el número de partes que se consideran de la unidad. - Denominador: Indica el número total de partes en que se ha dividido

la unidad, todas ellas iguales.

Nota: Los números fraccionario dan lugar a un conjunto de números que contiene al conjunto de números naturales (N) y al conjunto de números enteros (Z), conocido como el Conjunto de Números Racionales (Q) Números

Fraccionarios N Z Q

ON Z

Q


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Clasificación Los números fraccionarios se clasifican: 1) Por las relaciones entre sus términos a. Fracción Propia: Aquella menor que la unidad

(b

a 1 a b)

Ej. etc,;9

7

8

3

b. Fracción Impropia: Aquella mayor que la unidad.

(b

a 1 a b)

Ej. etc,;8

37

5

17

OBS. Las fracciones impropias constituyen los números mixtos, es decir,

aquellos que poseen parte entera y parte fraccionaria.

Ej. 5

23

5

17

3

5

2

17

5

17

c. Fracciones iguales a la unidad: Aquellas donde el numerador es

igual al denominador, por lo que el valor de la fracción es igual a uno.

ba

b

a1

Ej. 18 ; 27 , etc. 18 27 2) Las agrupaciones de fracciones: a. Fracciones homogéneas: Son aquellas que poseen el mismo denominador.

Ej. 16

9;

16

27;

16

3;… son fracciones homogéneas

b. Fracciones heterogéneas: Son aquellas que poseen diferentes

denominadores entre sí.


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Ej. ;81

8;

3

26;

5

7 … son fracciones heterogéneas.

3) Por la naturaleza del denominador:

a. Fracciones comunes; corrientes u ordinarias: son aquellas que poseen un denominador el cual es potencia de 10.

Ej. ;2000

5;

20

30;

8

5 … son fracciones comunes.

b. Fracciones decimales: son aquellas fracciones cuyos

denominadores son potencia de 10.

Ej. ;10000

42;

100

73… son fracciones decimales

4) Por su carácter como número racional a. Fracciones reducibles o reductibles: son aquellas fracciones que

poseen divisores comunes tanto en el numerador como en el denominador, distintos de la unidad.

Forma general: Si:

b

af es fracción reductible f

bk

ak / K = MCD (a,b)

K N - 1

Ej. 30 = 3(10) ; Como 10 es MCD (30 ; 50) 50 = 5(10) 30 es fracción reductible 50 b. Fracciones irreductibles o irreducibles: Son aquellas fracciones

que no posee divisores comunes que no sea la unidad, es decir, los elementos de la fracción son números PRIMOS ENTRE sí (PESI)

Forma general:

b

aSi es fracción irreductible a y b son PESI

Ej. ;9

8;

5

3;

7

5… son fracciones irreductibles


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c. Fracciones equimúltiplo: es aquella agrupación de fracciones en las que el numerador de la primera fracción es equimúltiplo con el numerador de la segunda, y el denominador de la primera es equimúltiplo con el denominador de la segunda. Ej. 15/6 y 24/72.

15 = 3(5) ; 24 = 3(8) …, luego 15 es equimúltiplo de 24 6 = 3(2) 72 3(24) 6 es equimúltiplo de 72 (por el factor 3) 15 ; 24 son equimúltiplos 6 72 d. Fracción equivalente: es aquella fracción que contiene un número de

veces a la otra. Ej. 18 y 54 son fracciones equivalentes porque 8 24

18(3) = 54 y 8(3) = 24 Principios

1) b

aSi es fracción propia

kb

ka

b

a

(a b) kb

ka

b

a

(k Z)

2) b

aSi es fracción impropia

kb

ka

b

a

(a b) kb

ka

b

a

3) Toda fracción esta en relación directamente proporcional con su

numerador y en relación inversamente proporcional con su denominador, así:

* Para el a k (a) k () a k (a) k Numerador b b b b


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* Para el a_ (a) k () a__ (a) k Denominador bk b b k b 4) Si 2 fracciones son irreductibles entonces todas las potencias enteras

positivas de dichas fracciones (al mismo exponente) también serán fracciones irreductibles.

5) Si a 2 fracciones equivalentes no irreductibles se les divide por el MCD de

los 4 términos de dichas fracciones, entonces se obtendrán 2 fracciones irreductibles.

Ejemplos:

I) 75,04

3 ; Sí

14

1318,0

5

4

14

13

4

3

Sí 14

1366,0

3

2

14

13

4

3

II) 33,13

4 ; Sí

13

1425,1

4

5

13

14

3

4

Sí 13

1450,1

2

3

13

14

3

4

III) 4

3y

5

4 son fracciones irreductibles

16

9

4

32

;

25

16

5

42

luego: 16

9 y

25

16 son fracciones irreductibles

IV) 24

16 ,

80

32 no son fracciones irreductibles; MCD (16; 24; 32; 80) =

8…. Dividiendo las fracciones entre 8: 20

1 ;

12

1 fracciones irreductibles.


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V) 2

5

6

15

6

3.5

6

53

ó

18

5

3

1

6

5

3

6

5

6) Toda fracción es equivalente a si misma. 7) MCD y MCM de fracciones: MCD ( a ; c ; e ) = _MCD (numeradores)__ b d f MCM (denominadores)

MCM ( a ; c ; e ) = _ __MCM (numeradores)_ b d f MCD (denominadores) Ejemplo: I) MCD ( 12 ; 4 ; 20 ) = MCD ( 12; 4; 20 ) = _4_ = _1_ 8 3 5 MCM ( 8; 3; 5 ) 100 25 2) MCD ( 5 ; 6 ; 14 ) = MCD ( 5; 6; 14 )__ = _230 = 105 4 8 6 MCM ( 4; 8; 6 ) 2 8) Divisibilidad de fracciones:

d

c

b

a

d

c

e

b

a () a =

c

b = d

OBS. 1) Mínimo Común Denominador de Fracciones: es el MCM de los

denominadores de fracciones irreductibles con que se homogeniza a fracciones heterogéneas.

2) División Racional: Es la división en que se obtiene el cociente verdadero

o exacto de 2 enteros.


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Forma general:

D d qv = q + d

r ;

r qv * qv = Cociente exacto o verdadero (qvQ) Donde: * r = residuo * d = divisor Ej.: 330 24 q v = 13 + 18

3

18 13 24 4

q v = 13 ¾ Operaciones con fracciones.- 1) Adición y sustracción

bd

bcad

d

c

b

a Ejm.

15

22

15

1210

5

4

3

2

12

7

12

815

5

2

4

5

2) Multiplicación

...bdf

...ace...

f

e

d

c

b

a Ejm.

15

8

5.3

4.2

5

4

3

2

3) División

bc

ad

b

a

c

d

d

c

b

a

Ejm.

6

5

4.3

5.2

5

4

3

2


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Obs: 1) Número mixto: es aquel originado, a raíz de las fracciones impropias, de

la suma entre un número entero y una fracción. Ejm. 8

21

8

52

2) Fracción de fracción: Es aquella en donde el numerador y el denominador son fracciones.

3) Fracción reiterativa: Aquella que es el resultado de un producto de

fracciones. Fracción Continua Simple (FCS).- Son fracciones cuyos denominadores son sumas sucesivas de fracción y números enteros. Forma general:

)1n(

5

4

3

2

1

a

1

1a

1a

1a

1a

1afcs

*a1; a2; a3; … an = Reducidas, convergentes o cocientes incompletas

Notación: Fcs = 1n32 a;...;a;a;a 1

; donde: a1 Z

a2; a3; …a(n+1) Z+

*a1

2 = Cociente Incompleto

*

1a

1

2

Fracción integrante


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Fcs =

1n432 a

1

a

1

a

1

a

1a


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PROBLEMAS PARA LA CLASE 1) Un hombre tenía 30L de agua, los 4/5

los envaso en botellas de ¾ de litro y el resto en botellas de ½ litro. Hallar la cantidad total de botellas. Rpta.:

2) Antonio llego tarde a una conferencia y se perdió 1/7 de ella, 3 minutos más tarde llego José y escuchó los 5/6 de la conferencia. Si la conferencia empezó a las 10 a.m. ¿A que hora terminó? Rpta.:

3) Si es que avanzo los ¾ de un trayecto y luego retrocedo la mitad de lo avanzado, me encontraría a 10m. antes del punto medio del trayecto. Hallar la distancia total del trayecto en metros. Rpta.:

4) Hallar la suma de términos de la fracción equivalente a 9/40 tal que la suma de los cuadrados de sus términos sea: 485 809. Rpta.:

5) Un comerciante vende sus pantalones de la siguiente manera: del total que tenía 1/3 mas 4 a S/. 50 cada uno y finalmente vende la mitad de los que le quedaban, mas 4, a S/. 30 cada uno, con lo que se le acaban los pantalones. Hallar la suma de cifras de la cantidad de pantalones y la cantidad de soles que recaudo. Rpta.:

6) ¿Cuál es la suma de las cifras del numerador de la fracción equivalente a 101/171 sabiendo que la diferencia de sus términos está comprendida entre 9 660 y 9790? Rpta.:

7) Entre dos coleccionistas tenían 224 monedas antiguas. El primero le dio al segundo la sexta parte de sus monedas y mas tarde cedió el segundo al primero la cuarta parte de las monedas que tenían inicialmente, con los que los dos

tenían el mismo número de monedas ¿Cuántas monedas tenía el que poseía más monedas? Rpta.:

8) Hallar una fracción equivalente a 7/12, sabiendo que si al término menor se le suma 70, para que el valor de la fracción permanezca inalterable, entonces el otro término debe triplicarse.

Dar como respuesta el doble de la suma del numerador con el denominador. Rpta.:

9) En una mina de carbón se venden 5/8 de lo sacado por día s/. 12 000 la tonelada; los 2/5 del resto se vende como carbón escogido a s/. 13 500 la tonelada. Quedan aún 450 toneladas de polvo que se venden a s/. 10 000 la tonelada. ¿Cuánto carbón se saca de esta mina por día y cuánto vale? Rpta.:

10) Cierta tela después de lavada se encoge 1/5 de su longitud y 1/16 de su ancho. ¿Cuántos metros deben comprarse para que después de lavada se disponga de 100 m

2, sabiendo que el ancho original

es de 80 cm? Rpta.:

11) Cada vez que un alumno entra a la cafetería gasta un tercio de lo que tiene mas 40 soles. Al salir por tercera vez se da cuenta que se quedo sin dinero. ¿Cuánto dinero tenia al comienzo? Rpta.:

12) Una pelota cae desde una altura de 1.20 m. y en cada rebote se eleva una altura igual a los 2/3 de altura de la cual cayo. Hallar el espacio total vertical recorrido por la pelotita hasta quedar en reposo. Rpta.:


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13

11

13

11

13

R

PROBLEMAS PARA LA CASA 1) Una persona entra a una Iglesia con una

suma compuesta exclusivamente de monedas de 20 centavos, da a un pobre ½ centavo por cada moneda que tenía y, entonces ocurre un milagro, las monedas que le quedaban se transformaron en monedas de 50 centavos. El devoto gasto luego 7 de estas monedas y regreso a su casa con el doble de lo que tenía antes de llegar a la Iglesia. Determinar la suma primitiva.

a) 98 b) 99 c) 100 d) 101 e) 102 2) Un inglés y un alemán beben un barril de

cerveza por espacio de 2 horas, al cabo de los cuales el ingles se queda dormido y el alemán se bebe lo que queda en 2 horas y 48 minutos. Pero si el alemán se hubiera quedado dormido en lugar del ingles y este hubiera continuado, habría tardado en vaciar el barril cuatro horas y cuarenta minutos ¿Qué parte del contenido del barril bebió en total el alemán?

a) 4/5 b) 5/6 c) 1/2 d) 2/3 e) 9/10 3) Jaimito tiene cierto número de cartas

para entregar. En el primer distrito por donde pasa deja los 2/3, y luego en el siguiente entrega 400 cartas. En el tercer y último distrito que recorre entrega los 2/7 de los que tenía al inicio, quedando libre para ir a descansar. ¿Cuántas cartas entrego ese día?

a) 8000 b) 6000 c) 6200 d) 8400 e) 7600 4) Si:

Entonces (2R - 3) es: a) Mayor que 5 b) Menor que 4 c) Un número racional d) Un número irracional e) No se pude determinar

5) Una avenida esta plantada en ambos lados de árboles. La décima parte de la longitud lo ocupan cerezo, los 2/9 del resto ciruelos; ½ el nuevo resto perales; 1/3 del nuevo resto manzanas y los 168 metros restantes duraznos. ¿A cuanto asciende el número de árboles plantado, si la distancia entre árbol y árbol es igual a 12 metros?

a) 60 b) 61 c) 121 d) 124 e) 122

6) Un comerciante vende los ¾ de un lote de bolsas de azúcar, mas 1/74 de bolsa; enseguida vende los ¾ del resto mas ¼ de bolsa, después de otras dos ventas hechas en las misma condiciones, el comerciante se queda sin azúcar. ¿Cuántas bolsas habían luego de la primera venta?

a) 105 b) 90 c) 30 d) 26 e) 21

7) Encontrar la fracción irreductible A/B sabiendo que: B tiene 6 divisores. Si: A/B = D/E, con E cuadrado perfecto, D tiene 8 divisores; el producto D.E tiene 48 divisores. A es el menor número posible y lo mismo ocurre con B un a vez elegido A. indicar el valor de (A + B).

a) 50 b) 51 c) 52 d) 53 e) 54 8) Un perro sigue a una liebre que le lleva

88 saltos de ventaja, el perro da 8 saltos, mientras que la liebre de 9; pero 5 saltos del perro equivalen a 7 saltos de la liebre. ¿Cuántos saltos debe dar el perro para alcanzar a la liebre?

a) 280 b) 320 c) 340


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d) 300 e) N.A.

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