Nu Me Rico

download Nu Me Rico

of 23

Transcript of Nu Me Rico

  • 8/8/2019 Nu Me Rico

    1/23

    TEMA 1

    Problemas resueltos de Calculo Numerico

    1. Interpolacion y aproximacion

    1. Escribir los polinomios de interpolaci on de Lagrange y de Newton para los siguientesdatos:

    xi -2 0 1

    f(xi) 0 1 -1

    Escribir ambos polinomios en la formaa+bx+cx2 con el fin de verificar que son identicos.

    SOLUCION:

    Metodo de Lagrange:

    Construimos los polinomios de Lagrange, i(x), i = 0, 1, 2.

    0(x) =(x x1)(x x2)

    (x0 x1)(x0 x2) =(x 0)(x 1)

    (2 0)(2 1) =1

    6x (x 1)

    1(x) =

    (x

    x0)(x

    x2)

    (x1 x0)(x1 x2) =(x + 2)(x

    1)

    (0 + 2)(0 1) = 1

    2 (x + 2) (x 1)2(x) =

    (x x0)(x x1)(x2 x0)(x2 x1) =

    (x + 2)(x 0)(1 + 2)(1 0) =

    1

    3(x + 2) x

    El polinomio de interpolacion viene dado por

    p2(x) =

    2i=0

    f(xi)i(x) = f(x0)0(x) + f(x1)1(x) + f(x2)2(x)

    = 0

    1

    6x (x 1)

    + 1

    1

    2(x + 2)(x 1)

    1

    1

    3(x + 2) x

    = 12

    (x + 2)(x 1) 13

    (x + 2)x = 1 76

    x 56

    x2

    Metodo de Newton:

    Escribimos el polinomio de interpolacion en la forma

    p2(x) = f(x0) + f[x0, x1](x x0) + f[x0, x1, x2](x x0)(x x1)

  • 8/8/2019 Nu Me Rico

    2/23

    2 1. PROBLEMAS RESUELTOS DE CALCULO NUMERICO

    Calculamos la tabla de diferencias divididas

    xi f(xi

    -2 01/2

    0 1 -5/6

    -21 -1

    Luego,

    p2(x) = 0 +1

    2(x + 2) 5

    6(x + 2)(x 0) = 1 7

    6x 5

    6x2

    2. Determinar un polinomio p(x) = ax6 + bx4 + cx2 + d que satisfaga los siguientes datos

    p(0) = 2 , p(

    1) = 8 , p(0) =

    2 , p(

    1) = 8 .

    SOLUCION:

    p(x) = a x6 + b x4 + c x2 + d

    p(x) = 6a x5 + 4b x3 + 2c x

    p(x) = 30a x4 + 12b x2 + 2c

    Al imponer las condiciones de interpolacion se tiene

    p(0) = 2 d = 2p(1) = 8 a + b + c + d = 8p(0) = 2 2c = 2

    p(

    1) = 8

    30a + 12b + 2c = 8

    Resolviendo el sistema anterior obtenemos

    a = 379

    , b =100

    9, c = 1, d = 2.

    El polinomio pedido sera

    p(x) = 376

    x6 +100

    9x4 x2 + 2.

    3. En estudios de polimerizaci on inducida por radiaci on, se emplea una fuente de rayosgamma para obtener dosis medidas en radiaci on. Sin embargo, la dosis vara con laposicion del aparato, segun los datos que se dan a continuacion.

    Posicion Dosis(en pulgadas) (105 rads/h)1.0 2.711.5 2.982.0 3.203.0 3.20

    (a) Cual es la estimacion para el nivel de dosis en 2.5 pulgadas?

  • 8/8/2019 Nu Me Rico

    3/23

    1. INTERPOLACION Y APROXIMACION 3

    (b) Si se efectua una nueva medicion que indica que a 3.5 pulgadas el nivel de dosiscorrespondiente es de 298, cual sera ahora la estimacion para el nivel de dosis en2.5 pulgadas?

    SOLUCION:

    (a) Calculamos el polinomio de interpolacion para los datos de la tabla anterior. Utilizamos elmetodo de Newton.

    xi f(xi)1.0 2.71

    0.541.5 2.98 -0.1

    0.44 -0.29/32.0 3.20 -0.44/1.5

    03.0 3.20

    El polinomio de interpolacion vendra dado por

    p3(x) = 2.71 + 0.54(x 1) 0.1(x 1)(x 1.5) 0.293

    (x 1)(x 1.5)(x 2).Ahora podemos estimar la dosis de radiacion para x = 2.5 evaluando el polinomio deinterpolacion en ese punto.

    p3(2.5) = 2.71 + 0.54(1.5) 0.1(1.5)(1) 0.293

    (1.5)(0.5) = 3.2975.

    (b) Observemos que ahora disponemos de un dato mas de interpolacion. Una forma de obtenerel nuevo polinomio de interpolacion es anadir este dato a nuestra tabla de diferencias divi-didas y completarla.

    xi f(xi)1.0 2.71

    0.541.5 2.98 -0.1

    0.44 -0.29/32.0 3.20 -0.44/1.5 0.29/7.5

    0 03.0 3.20 -0.44/1.5

    -0.443.5 2.98

    El nuevo polinomio de interpolacion sera

    p4(x) = 2.71 + 0.54(x 1) 0.1(x 1)(x 1.5) 0.29

    3(x 1)(x 1.5)(x 2) +

    0.297.5

    (x 1)(x 1.5)(x 2)(x 3).La estimacion del nivel de radiacion para x = 2.5 sera ahora

    p4(2.5) = 3.2975 +0.29

    7.5(1.5)(0.5)(0.5) = 3.283

  • 8/8/2019 Nu Me Rico

    4/23

    4 1. PROBLEMAS RESUELTOS DE CALCULO NUMERICO

    4. Para los valores siguientes

    E 40 60 80 100 120

    P 0.63 1.36 2.18 3.00 3.93

    donde E son los voltios y P los kilovatios en una curva de perdida en el nucleo para unmotor electrico.

    (a) Elaborar una tabla de diferencias divididas(b) Calcular el polinomio de interpolacion de Newton de segundo grado para E =

    80, 100, 120. Utilizarlo para estimar el valor de P correspondiente a E = 90 voltios.

    SOLUCION:

    (a) Calculamos la tabla de diferencias divididas

    xi f(xi)40 0.63

    0.036560 1.36 0.0001125

    0.041 -0.000001875

    80 2.18 0 0.0000000521

    0.041 0.00002292

    100 3.00 0.00013750.0465

    120 3.93

    (b) En la tabla anterior hemos marcado los coeficientes del polinomio de interpolaci on paraE = 80, 100, 120. El polinomio sera

    p2(x) = 2.18 + 0.041(x 80) + 0.0001375(x 80)(x 100).

    La estimacion de P para E = 90 se obtendra evaluando el polinomio de interpolacion enx = 90. En nuestro caso

    p(90) = 2.18 + 0.041(10) + 0.0001375(10)(10) = 2.57625

    5. Una funcion f(x) de la que solamente se conocen los datos de la tabla que figura a con-tinuacion, alcanza un maximo en el intervalo [1, 1.3]. Hallar la abscisa de dicho maximo.

    xi 1.0 1.1 1.2 1.3f(xi) 0.841 0.891 0.993 1.000

    Interpreta los resultados.

    SOLUCION:

    La solucion de este problema pasa necesariamente por determinar una funcion que interpole oaproxime los datos anteriores. A continuacion calculamos el punto donde esta funcion alcancesu maximo o su mnimo. Por tanto, una primera estrategia puede ser calcular el polinomio deinterpolacion.

  • 8/8/2019 Nu Me Rico

    5/23

    1. INTERPOLACION Y APROXIMACION 5

    xi f(xi)1.0 0.841

    0.51.1 0.891 2.6

    1.02 -24.51.2 0.993 -4.75

    0.071.3 1.00

    El polinomio de interpolacion sera

    p(x) = 0.841 + 0.5(x 1) + 2.6(x 1)(x 1.1) 24.5(x 1)(x 1.1)(x 1.2)= 35.541 93.65x + 83.45x2 24.5x3

    Calculamos los puntos crticos

    p

    (x) = 0 73.5x2

    + 166.9x 93.65 = 0 x = 1.25754x = 1.01321Para precisar si hay maximo o mnimo recurrimos a la segunda derivada.

    p(x) = 147x + 166.9

    p(1.25754) = 17.95838 < 0 max. relativop(1.01321) = 17.95813 > 0 mn. relativo

    Puesto que

    p(1.25754) = 1.018062648073915

    deducimos que la funcion p(x) alcanza su maximo absoluto en el intervalo [1, 1.3] en el punto deabscisa x = 1.25754.

    Otra forma de abordar este problema sera utilizando interpolacion lineal a trozos. De acuerdocon este nuevo modelo y observando los datos de la tabla anterior concluiramos que la funcion

    f(x) alcanzara su maximo absoluto en x = 1.30.

    6. En la siguiente tabla, R es la resistencia de una bobina en ohms y T la temperatura dela bobina en grados centgrados. Por mnimos cuadrados determinar el mejor polinomiolineal que represente la funcion dada.

    T 10.50 29.49 42.70 60.01 75.51 91.05R 10.421 10.939 11.321 11.794 12.242 12.668

    SOLUCION:

    Se trata de ajustar una funcion del tipo

    R = a + b T

    al conjunto de datos (Ti, Ri). Matricialmente el sistema que tenemos que resolver vendra dadopor

    6i=1

    16

    i=1

    Ti

    6i=1

    Ti

    6i=1

    T2i

    a

    b

    =

    6i=1

    Ri

    6i=1

    TiRi

  • 8/8/2019 Nu Me Rico

    6/23

    6 1. PROBLEMAS RESUELTOS DE CALCULO NUMERICO

    Construimos la siguiente tabla

    Ti Ri T2i TiRi

    10.50 10.421 110.25 109.420529.49 10.939 869.6501 322.5911142.70 11.321 1823.29 483.406760.01 11.794 3601.2001 707.7579475.51 12.242 5701.7601 924.3924291.05 12.668 8290.1025 1153.4214

    309.26 69.385 20396.2628 3700.99107

    Por tanto, el sistema que tenemos que resolver sera,6a + 309.26b = 69.385

    309.26a + 20396.2628b = 3700.99107

    a = 10.1222293891b = 0.0279752430495

    Luego, la solucion vendra dada por

    R = 10.1222293891 + 0.0279752430495 T

    7. Aproximar mediante los mnimos cuadrados un polinomio de grado dos a los siguientesdatos

    xi 1 2 4 10 16yi 6 1 2 4 5

    SOLUCION:

    Se trata de ajustar una funcion del tipo

    y = a + b x + c x2

    al conjunto de datos (xi, yi).Matricialmente el sistema que tenemos que resolver vendra dado por

    5i=1

    15

    i=1

    xi

    5i=1

    x2i

    5i=1

    xi

    5i=1

    x2i

    5i=1

    x3i

    5i=1

    x2i

    5i=1

    x3i

    5i=1

    x4i

    a

    b

    c

    =

    5i=1

    yi

    5i=1

    xiyi

    5i=1

    x2i yi

    Construimos la siguiente tabla

    xi yi x2i x

    3i x

    4i xiyi x

    2i yi

    1 6 1 1 1 6 62 1 4 8 16 2 44 2 16 64 256 8 32

    10 4 100 1000 10000 40 40016 5 256 4096 65536 80 128033 18 377 5169 75809 136 1722

  • 8/8/2019 Nu Me Rico

    7/23

    1. INTERPOLACION Y APROXIMACION 7

    Por tanto, el sistema que tenemos que resolver sera,

    5a + 33b + 377c = 18

    33a + 377b + 5169c = 136377a + 5169b + 75809c = 1722

    a = 4.08582

    b = 0.45685c = 0.03355

    Luego, la solucion vendra dada por

    y = 4.08582 0.45685x + 0.03355x2

    8. Hallar la funcion del tipo

    g(x) = a

    x +b

    x

    que mejor se ajuste, mediante el criterio de los mnimos cuadrados, a los datos

    (1, 2) , (2, 4) , (3, 0).

    SOLUCION:

    Matricialmente el sistema que tenemos que resolver vendra dado por

    3i=1

    xi

    3i=1

    1xi

    3i=1

    xi

    3i=1

    1

    x2i

    a

    b

    =

    3i=1

    xi yi

    3i=1

    1

    xiyi

    Construimos la siguiente tabla

    xi 1/

    xi 1/x2i

    xi yi yi/xi

    1 1 1 2 22 0.7071 0.25 5.65685 24 0.5 0.0625 0 07 2.20711 1.3125 7.65685 4

    Por tanto, el sistema que tenemos que resolver sera,7a + 2.20711b = 7.65685

    2.20711a + 1.3125b = 4

    a = 0.43556b = 2.20774

    Luego, la solucion vendra dada por

    y = 0.43556

    x +2.20774

    x.

    9. En la siguiente tabla aparecen recogidos los datos de poblacion de un pequeno barrio deuna ciudad en un periodo de 20 anos. Como ingeniero que trabaja en una compana deservicio debes pronosticar la poblacion que habra dentro de 5 anos, para poder anticiparla demanda de energa. Emplea un modelo exponencial y regresion lineal para hacer estaprediccion.

    t 0 5 10 15 20p 100 212 448 949 2009

  • 8/8/2019 Nu Me Rico

    8/23

    8 1. PROBLEMAS RESUELTOS DE CALCULO NUMERICO

    SOLUCION:

    Pretendemos ajustar una funcion del tipo

    p = a ebt .

    Se trata de un modelo de aproximacion no lineal. Tomando logaritmos y denotando P = ln p yA = ln a se llega al modelo lineal

    lnp = ln

    a ebt

    = ln a + b t P = A + b t.Ahora nuestro objetivo sera ajustar una funcion del tipo P = A + b t al conjunto de datos (ti, Pi).Matricialmente el sistema que tenemos que resolver sera

    5i=1

    15

    i=1

    ti

    5

    i=1

    ti

    5

    i=1

    t2i

    A

    b

    =

    5i=1

    Pi

    6

    i=1

    tiPi

    Construimos la siguiente tabla

    ti pi Pi = lnpi t2i tiPi0 100 4.6052 0 05 212 5.3566 25 26.783

    10 448 6.1048 100 61.04815 949 6.8554 225 102.83120 2009 7.6054 400 152.10850 30.5274 750 342.77

    Por tanto, el sistema que tenemos que resolver sera,

    5A + 50b = 30.527450A + 750b = 342.77

    A = 4.60564 a = eA = e4.60564 = 100.0470b = 0.149984

    Luego, la solucion vendra dada por

    p(t) = 100.0470 e0.149984 t.

    La poblacion estimada en los proximos 5 anos se obtendra calculando p(25). En nuestro caso,

    p(25) = 100.0470e3.7496 4252.

    2. Resolucion numerica de ecuaciones

    10. Probar que la ecuacion

    ex 2ex = 0tiene una unica solucion real. Obtenerla mediante el metodo de Newton-Raphson (3 it-

    eraciones). Utiliza 5 cifras decimales en los calculos.

    SOLUCION:

    Consideramos la funcion

    f(x) = ex 2ex.Buscamos un intervalo donde haya alternancia de signo

    f(0) = 1 , f(1) = 1.9825

  • 8/8/2019 Nu Me Rico

    9/23

    2. RESOLUCION NUMERICA DE ECUACIONES 9

    Puesto que f es una funcion continua, el teorema de Bolzano nos garantiza la existencia de almenos una solucion en el intervalo (0, 1). Ademas se tiene que

    f(x) = ex + 2ex = 0 , x IR,por lo que la solucion es unica.

    Apliquemos el metodo de Newton para obtener de forma aproximada la solucion.

    xn+1 = xn f(xn)f(xn)

    , n 0.

    Elegimos como punto de arranque un x0 [0, 1] tal que f(x0)f(x0) > 0. En este caso, puestoque

    f(x) = ex 2ex,

    podemos tomar como punto de arranque cualquier x0 [0, 1].Partiendo de x0 = 0 generamos las siguientes aproximaciones

    x0 = 0

    x1 = x0 f(x0)f(x0)

    = 0 f(0)f(0)

    = 13

    = 0.33333

    x2 = x1 f(x1)f(x1)

    = 0.33333 f(0.33333)f(0.33333)

    = 0.34654

    x3 = x2 f(x2)f(x2)

    = 0.34654 f(0.34654)f(0.34654)

    = 0.34657

    En este caso, podemos resolver algebraicamente la ecuacion para obtener la solucion exacta.

    ex 2ex = 0 e2x 2 = 0 x = 12

    ln2 = 0.346573590279972

    11. Aproximar mediante el metodo de la regula falsi la raz de la ecuacion

    x3 2x2 5 = 0

    en el intervalo [1, 4], realizando 5 iteraciones y utilizando cinco cifras decimales.

    SOLUCION:

    Definimos la funcion f(x) = x3 2x2 5. Puesto que f(1) = 6 y f(4) = 27, el teorema deBolzano nos garantiza la existencia de al menos una solucion en el intervalo (1, 4). Ademas, puesto

    quef(x) = 6x 4 > 0 , x [1, 4],

    la funcion f es convexa en [1, 4]. Esto nos asegura que hay solucion unica en [1, 4] y que el metodode regula falsi es convergente. Generamos las aproximaciones

    xn = an f(an)(bn an)f(bn) f(an) , n = 0, 1,

  • 8/8/2019 Nu Me Rico

    10/23

    10 1. PROBLEMAS RESUELTOS DE CALCULO NUMERICO

    partiendo de a0 = 1, b0 = 4. Los valores an y bn se eligen en cada paso de forma que f(an)f(bn) 0. Puesto que f(x) = 1/x2podemos tomar como punto de arranque x0 = 4.

    x0 = 4

    x1 = x0 f(x0)f(x0)

    = 4 f(4)f(4)

    = 3.181725815

    x2 = x1 f(x1)f(x1)

    = 3.181725815 f(3.181725815)f(3.181725815)

    = 3.146284844

    x3 = x2 f(x2)f(x2)

    = 3.146284844 f(3.146284844)f(3.146284844)

    = 3.146193221

    14. Resolver la ecuacion diferencial

    y

    + y

    3y

    y = 0.SOLUCION:

    El conjunto fundamental de soluciones de la ecuacion diferencial anterior se obtiene resolviendola ecuacion caracterstica

    r3 + r2 3r 1 = 0.

    Dado que la ecuacion es polinomica de grado impar sabemos que tiene al menos una solucionreal. Las posibles soluciones racionales de esta ecuacion son 1. La comprobacion mediante laregla de Ruffini nos revela que ninguna de ellas es solucion. Hemos de buscar, por tanto, races

    irracionales. En este caso, la regla de Ruffini no es operativa. Afortunadamente podemos obteneruna solucion aproximada utilizando el metodo de Newton-Raphson.

    Comenzamos definiendo la funcion f(r) = r3 + r2 3r 1 y buscamos un intervalo donde hayaalternancia de signo.

    f(1) = 2 , f(2) = 5

    Tenemos, por tanto, asegurada la existencia de solucion en el intervalo [1, 2]. Ademas,

    f(r) = 3r2 + 2r 3

    cuyas races son 1.38742588672 y 0.72075922005, por lo que f(x) = 0, x [1, 2]. Esto nosgarantiza que la solucion en [1, 2] es unica. Generamos las aproximaciones

    rn+1 = rn f(rn)f(rn)

    , n = 0, 1,

    partiendo de un punto r0 [1, 2] tal que f(r0)f(r0) > 0.

  • 8/8/2019 Nu Me Rico

    13/23

    2. RESOLUCION NUMERICA DE ECUACIONES 13

    Puesto que f(r) = 6r 2, entonces f(2)f(2) > 0. Podemos tomar r0 = 2.r0 = 2

    r1 = r0 f(r0)f(r0)

    = 2 f(2)f(2)

    = 1.6153846154

    r2 = r1 f(r1)f(r1)

    = 1.6153846154 f(1.6153846154)f(1.6153846154)

    = 1.4939568508

    r3 = r2 f(r2)f(r2)

    = 1.4939568508 f(1.4939568508)f(1.4939568508)

    = 1.4813275882

    r4 = r3 f(r3)f(r3)

    = 1.4813275882 f(1.4813275882)f(1.4813275882)

    = 1.4811943189

    r5 = r4 f(r4)f(r4)

    = 1.4811943189 f(1.4811943189)f(1.4811943189)

    = 1.4811943041

    r6 = r5

    f(r5)

    f

    (r5)

    = 1.4811943041

    f(1.4811943041)

    f

    (1.4811943041)

    = 1.48119430409

    Podemos tomar como solucion r 1.48119430409. Ahora para determinar las otras solucionesaplicamos la regla de Ruffini

    1 1 -3 -11.48119430409 1.48119430409 3.67513087056 0.999999999989

    1 2.48119430409 0.67513087056 -0.000000000011

    y resolvemos la ecuacion

    r2 + 2.48119430409r + 0.67513087056 = 0

    r = 0.31110781746r = 2.17008648663

    La solucion general de la ecuacion diferencial sera

    y = c1e1.48119430409x + c2e

    0.31110781746x + c3e2.17008648663x , c1, c2, c3

    IR .

    15. La velocidad hacia arriba de un cohete se puede calcular usando la siguiente formula

    v = u lnm0

    m0 q t g t,

    donde v = velocidad hacia arriba, u = la velocidad con la que el combustible sale relativaal cohete, m0 = masa inicial del cohete en el tiempo t = 0, q = razon de consumo decombustible y g = aceleracion hacia abajo debido a la gravedad (considerese la gravedadconstante = 9.8 m/s2). Si u = 2200 m/s, m0 = 160000 Kg y q = 2680 Kg/s, calcule eltiempo para el cual v = 1000 m/s.

    SOLUCION:

    Se trata de resolver la ecuacion

    1000 = 2200 ln

    160000160000 2680 t

    9.8 t

    Simplificando se llega a la ecuacion equivalente

    0.00445454545454 t + ln(4000 67 t) 7.83950418556 = 0 .Definimos la funcion

    f(t) = 0.00445454545454 t + ln(4000 67 t) 7.83950418556

  • 8/8/2019 Nu Me Rico

    14/23

    14 1. PROBLEMAS RESUELTOS DE CALCULO NUMERICO

    y buscamos un intervalo donde haya alternancia de signo

    f(25) = 0.0233348 , f(26) = 0.00145126.Luego existe una solucion en el intervalo [25, 26]. Ademas,

    f[t] = 0.00445454545454 674000 67t = 0 , t > 0,

    lo que nos asegura que la solucion buscada es unica.

    Generamos las aproximaciones mediante el algoritmo

    tn+1 = tn f(tn)f(tn)

    , n = 0, 1,

    partiendo de un punto inicial t0 [25, 26] tal que f(t0)f(t0) > 0. En nuestro caso f(t) =4489/(4000 67t)2, por lo que f(26)f(26) > 0 y podemos tomar, t0 = 26.

    t0 = 26

    t1 = t0 f(t0)f(t0)

    = 26 f(26)f(26)

    = 25.9424508478

    t2 = t1 f(t1)f(t1)

    = 25.9424508478 f(25.9424508478)f(25.9424508478)

    = 25.9423929821

    t3 = t2 f(t2)f(t2)

    = 25.9423929821 f(25.9423929821)f(25.9423929821)

    = 25.9423929820

    La solucion aproximada sera t 25.9423929820.

    3. Derivacion e Integracion Numerica

    16. Obtener la derivada segunda en x = 3.7 para la funcion f(x) de la que se conocen los

    siguientes datosxi 1 1.8 3 4.2 5

    f(xi) 3.00 4.34 6.57 8.88 10.44

    SOLUCION:

    Calculamos el polinomio de interpolacion de la funcion f para el conjunto de datos.

    xi f(xi)1.0 3.00

    1.6751.8 4.34 0.0916667

    1.85833 -0.01996533.0 6.57 0.027778 0.00379774

    1.925 -0.004774314.2 8.88 0.0125

    1.955.0 10.44

    El polinomio de interpolacion vendra dado por

    p(x) = 3 + 1.675(x 1) + 0.0916667(x 1)(x 1.8) 0.0199653(x 1)(x 1.8)(x 3) +0.00379774(x 1)(x 1.8)(x 3)(x 4.2)

    = 1.68395 + 1.03148 x + 0.338715 x2 0.0579427 x3 + 0.00379774 x4

  • 8/8/2019 Nu Me Rico

    15/23

    3. DERIVACION E INTEGRACION NUMERICA 15

    Ahora podemos estimar el valor de f(3.7) evaluando p(3.7). En nuestro caso,

    p(x) = 1.03148 + 0.677431 x 0.173838 x2 + 0.05191 x3

    p

    (x) = 0.677431 0.347656 x + 0.0455729 x2Luego,

    f(3.7) 0.677431 0.347656 (3.7) + 0.0455729 (3.7)2 = 0.014991717. Dado un circuito con un voltaje V(t), una inductancia L y una resistencia R, la primera

    ley de Kirchoff que lo modela es

    V = LdI

    dt+ RI.

    La siguiente tabla recoge los valores experimentales de I correspondientes a varios tiempost dados en segundos.

    Si la inductancia L es constante e igual a 0.97 henrios y la resistencia R es de 0.14ohmios, aproximar el voltaje V cuando t = 0.97.

    t 0.95 0.96 0.97 0.98 0.99 1.0I 0.90 1.92 2.54 2.88 3.04 3.10

    SOLUCION:

    Dado que conocemos I(0.97) = 2.54, el problema se reduce a calcular I(0.97). Para ello calculamosel polinomio de interpolacion p(t) para el conjunto de datos de la tabla anterior. La derivada deeste polinomio para t = 0.97 nos dara una estimacion de I(0.97).

    ti Ii0.95 0.90

    102

    0.96 1.92 -200062 20000.97 2.54 -1400 -250000/3

    34 50000/3 00.98 2.88 -900 -250000/3

    16 40000/30.99 30.4 -500

    61.00 3.10

    El polinomio de interpolacion vendra dado por

    p(t) = 0.90 + 102(t 0.95) 2000(t 0.95)(t 0.96) +20000(t 0.95)(t 0.96)(t 0.97) 250000

    3(t 0.95)(t 0.96)(t 0.97)(t 0.98)

    =

    91858.4 + 358719.83 t

    525191.67 t2 + 341666.67 t3

    250000

    3t4 .

    Luego,

    p(t) = 358719.83 1050383.33 t + 1025000 t2 333333.33 t3

    Evaluando en t = 0.97 se tiene

    I(0.97) p(0.97) = 358719.83 1050383.33(0.97) + 1025000 (0.97)2 333333.33(0.97)3 = 46.1667

  • 8/8/2019 Nu Me Rico

    16/23

    16 1. PROBLEMAS RESUELTOS DE CALCULO NUMERICO

    Por tanto,

    V(0.97) = 0.97 I(0.97) + 0.14 I(0.97) = 0.97(46.1667) + 0.14(2.54) = 45.1373

    18. Utilizar la formulas usuales de derivacion numerica para calcular un valor aproximado dela derivada de la funcion f(x) = (1 + x)ex en el punto x = 0.6 para h = 0.1, 0.01, 0.001.Comparar los resultados obtenidos con el valor exacto.

    SOLUCION:

    En nuestro caso se tiene que

    f(x) = ex + (1 + x)ex = (2 + x)ex .

    Por tanto,

    f(0.6) = (2 + 0.6)e0.6 = 4.737508881015323

    Al aplicar la formulas de derivacion numerica se obtiene

    f(0.6)

    f(0.6 + h)

    f(0.6)

    h

    h Valor aproximado Error0.1 5.0798952207499504 0.3423863397346274

    0.01 4.7704471413621885 0.0329382603468655330.001 4.7407900922387114 0.003281211223388425

    f(0.6) f(0.6 + h) f(0.6 h)2h

    h Valor aproximado Error0.1 4.7514884832480853 0.013979602232762289

    0.01 4.7376485777921973 0.000139696776874309590.001 4.7375102779729783 0.13969576553307661 105

    f(0.6) 4f(0.6 + h) 3f(0.6) f(0.6 + 2h)2h

    h Valor aproximado Error0.1 4.7068724881917579 0.030636392823565117

    0.01 4.7372269244113419 0.000281956603981114990.001 4.7375060845467054 0.27964686175607767 105

  • 8/8/2019 Nu Me Rico

    17/23

    3. DERIVACION E INTEGRACION NUMERICA 17

    19. De una funcion f conocemos los siguientes datos

    x 0 1 2 3

    f(x) 2 -2 -1 0

    Calcular un valor aproximado de

    3

    0

    f(x)dx a partir de:

    (a) Un polinomio de interpolacion, a lo sumo de grado tres, p(x) obtenido de dichosdatos.

    (b) La recta y(x) que mejor se ajusta a estos datos en el sentido de los mnimos cuadra-dos.

    (c) La regla del trapecio compuesta.SOLUCION:

    (a) Construimos la tabla de diferencias divididas

    xi f(xi)0 2 41 2 5

    21 562 1 0

    13 0

    El polinomio de interpolacion sera

    p(x) = 2 4x + 52

    x(x 1) 56

    x(x 1)(x 2) = 2 496

    x + 5 x2 56

    x3

    Luego,

    3

    0

    f(x)dx 3

    0

    p(x)dx = 3

    0 2 49

    6x + 5 x2 5

    6x3 dx =

    21

    8

    (b) Se trata de ajustar una funcion del tipo y(x) = a + b x al conjunto de datos (xi, yi) dondeyi = f(xi). Los coeficientes a y b se obtienen resolviendo el sistema

    4i=1

    14

    i=1

    xi

    4i=1

    xi

    4i=1

    x2i

    a

    b

    =

    4i=1

    yi

    4i=1

    xiyi

    Para ello construimos la siguiente tabla

    xi yi x2i xiyi

    0 2 0 0

    1 -2 1 -22 -1 4 -23 0 9 06 -1 14 -4

    Luego, 4a + 6b = 16a + 14b = 4 a =

    1

    2, b = 1

    2

  • 8/8/2019 Nu Me Rico

    18/23

  • 8/8/2019 Nu Me Rico

    19/23

    3. DERIVACION E INTEGRACION NUMERICA 19

    21. Obtener un valor aproximado de

    0

    sen x dx utilizando:

    (a) El metodo de Simpson.

    (b) El polinomio de interpolacion en los puntos 0, /2, .Explicar razonadamente lo que sucede en los apartados anteriores.

    SOLUCION:

    (a)

    0

    sen x dx 06

    f(0) + 4f

    2

    + f()

    =

    6[0 + 4 1 + 0] = 2

    3

    (b) Calculamos el polinomio de interpolacion de la funcion f(x) = sen x en los puntos x =0, /2, . Para ello construimos la tabla de diferencias divididas

    xi f(xi)0 0

    2//2 1 4/22/

    0

    El polinomio de interpolacion vendra dado por

    p(x) =2

    x 4

    2x

    x 2

    = 4

    2x(x ).

    Luego,

    0

    sen x dx

    0 4

    2x(x

    ) dx =

    4

    2x3

    3

    x2

    2

    0

    =2

    3

    No es casualidad la coincidencia de resultados en los apartados (a) y (b), puesto que la f ormulade Simpson,

    ba

    f(x)dx =b a

    6

    f(a) + 4f

    a + b

    2

    + f(b)

    ,

    se obtiene precisamente integrando el polinomio de interpolacion de la funcion f en los puntos

    a, (a + b)/2 , b. En nuestro caso, estos puntos se corresponden con 0, /2, .

    22. Estimar mediante la regla de Simpson el valor de la integral

    10

    cos xdx

    dividiendo el intervalo de integracion en dos subintervalos iguales y utilizando en loscalculos seis cifras decimales redondeadas.

    SOLUCION:

    Dividimos el intervalo [0, 1] en los subintervalos

    0, 12

    y1

    2, 1

    . Ahora aplicamos la formula de

  • 8/8/2019 Nu Me Rico

    20/23

    20 1. PROBLEMAS RESUELTOS DE CALCULO NUMERICO

    Simpson para estimar el valor de la integral en cada uno de los subintervalos.

    10

    cos

    x dx = 1

    2

    0

    cos

    x dx + 11

    2

    cos

    x dx

    1

    2 06

    f(0) + 4f

    1

    4

    + f

    1

    2

    +

    1 12

    6

    f

    1

    2

    + 4f

    3

    4

    + f(1)

    =

    1

    12

    f(0) + 4f

    1

    4

    + 2f

    1

    2

    + 4f

    3

    4

    + f(1)

    =

    1

    12[1 + 4(0.877583) + 2(0.760244) + 4(0.647860) + 0.54302] = 0.763547

    En este caso podemos calcular el valor exacto de la integral. En efecto, efectuando el cambio devariable x = t2 se obtiene:

    10

    cos x dx = x = t2

    dx = 2t dt =10

    2t cos t dt = u = 2t du = 2 dtdv = cos t dt v = sen t

    = [2t sen t + 2 cos t]1

    0= 2 sen 1 + 2 cos 1 2 = 0.763547.

    4. Resolucion numerica de ecuaciones diferenciales

    23. Consideremos el problema de valores iniciales

    y = x2y 1.2y , y(0) = 1 .(a) Resolverlo de manera analtica.(b) Calcular una solucion aproximada en el intervalo [0, 2] aplicando el metodo de Euler

    conh = 0.5, h = 0.25 y h = 0.1. Comparar los resultados obtenidos con los valoresexactos.

    SOLUCION:

    (a) La ecuacion diferencial puede resolverse mediante separacion de variables

    dy

    dx= (x2 1.2)y dy

    y= (x2 1.2)dx.

    Por integracion se llega a

    ln y =1

    3x2 1.2 x + c y = k e 13x21.2x.

    Al imponer las condiciones iniciales, y(0) = 1, se obtiene k = 1, luego la solucion vendradada por

    y(x) = e1

    3x21.2x.

    (b) Tomando la funcion f(x, y) = x2y 1.2y, el metodo de Euler con paso h nos proporcionalas aproximaciones

    yk+1 = yk + h f(xk, yk) = yk + h(x2kyk 1.2yk) , k = 0, 1, ,

    partiendo de y0 = y(0) = 1, donde xk = k h.

  • 8/8/2019 Nu Me Rico

    21/23

    4. RESOLUCION NUMERICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES 21

    Para h = 0.5 se generan las siguientes aproximaciones

    k xk yk y(xk) ek = |yk y(xk)|0 0 1. 1. 01 0.5 0.4 0.5721618727 0.17216187272 1.0 0.21 0.4203503845 0.21035038453 1.5 0.189 0.5091564206 0.32015642064 2.0 0.288225 1.305605172 1.017380172

    Para h = 0.25 se generan las siguientes aproximaciones

    k xk yk y(xk) ek = |yk y(xk)|0 0.00 1. 1. 01 0.25 0.7 0.7446867144 0.044686714372 0.50 0.5009375 0.5721618727 0.071224372743 0.75 0.3819648437 0.4679588099 0.085993966144 1.00 0.3210891968 0.4203503845 0.09926118773

    5 1.25 0.3050347369 0.4278603878 0.12282565096 1.50 0.33267851 0.5091564206 0.17647791067 1.75 0.4200066188 0.7308539261 0.31084730738 2.00 0.6155722007 1.305605172 0.6900329713

    Para h = 0.1 se generan las siguientes aproximaciones

    k xk yk y(xk) ek = |yk y(xk)|0 0.0 1. 1. 01 0.1 0.88 0.8872161261 0.0072161261422 0.2 0.77528 0.7887283347 0.013448334753 0.3 0.68534752 0.7039837539 0.018636233864 0.4 0.6092739453 0.6321259184 0.022851973145 0.5 0.545909455 0.5721618727 0.026252417776 0.6 0.4940480567 0.5230909131 0.029042856357 0.7 0.45254802 0.4840017935 0.031453773538 0.8 0.4204171106 0.4541474594 0.033730348799 0.9 0.3968737524 0.4330075996 0.0361338472710 1. 0.381395676 0.4203503845 0.0389547084811 1.1 0.3737677625 0.416306574 0.0425388115212 1.2 0.3741415303 0.4214728148 0.047331284513 1.3 0.383120927 0.4370679226 0.0539469956114 1.4 0.4018938524 0.4651788455 0.0632849930915 1.5 0.4324377852 0.5091564206 0.076718635416 1.6 0.4778437527 0.5742636505 0.0964198978617 1.7 0.542830503 0.6687577893 0.125927286318 1.8 0.634568858 0.8057353019 0.1711664439

    19 1.9 0.7640209051 1.006353431 0.242332526220 2.0 0.9481499432 1.305605172 0.3574552289

    24. Usar el metodo de Euler con h = 0.2 para estimar la solucion del siguiente problema devalor inicial en x = 2

    y = ey , y(1) = 0

    SOLUCION: Tomamos la funcion f(x, y) = ey y generamos las aproximaciones

    yk+1 = yk + h f(xk, yk) = yk + h eyk , k = 0, 1,

  • 8/8/2019 Nu Me Rico

    22/23

    22 1. PROBLEMAS RESUELTOS DE CALCULO NUMERICO

    partiendo de y0 = y(1) = 2. En este caso, xk = 1 + k h. Las aproximaciones obtenidas se recogenen la siguiente tabla

    k xk yk

    0 1 01 1.2 0.22 1.4 0.44428055163 1.6 0.75615413314 1.8 1.1821678315 2. 1.834455188

    El valor aproximado de y(2) obtenido viene dado por

    y(2) 1.83445518825. Utilizar el metodo de Euler mejorado con h = 0.2 para obtener un valor aproximado de

    y(1) en el problema de valores iniciales

    y = 3x2 , y(0) = 0.

    Comparar con el resultado exacto.

    SOLUCION:

    La solucion de la ecuacion diferencial y = 3x2 viene dada por y = x3 + c. Al imponer la condicioninicial, y(0) = 0, se obtiene y = x3.

    Consideramos ahora la funcion f(x, y) = 3x2. Las aproximaciones generadas por el metodo deEuler mejorado o metodo del trapecio vienen dadas por

    yk+1 = yk +h

    2[f(xk, yk) + f(xk + h, yk + h f(xk, yk))] , k = 0, 1,

    partiendo de y0 = y(0) = 0, donde xk = k h. En la practica se calcula yk+1 en la forma

    yk+1 = y

    k+

    h

    2(K1 + k2)

    dondeK1 = f(xk, yk) K2 = f(xk + h, yk + h K1).

    Las aproximaciones obtenidas se recogen en la siguiente tabla

    k xk K1 K2 yk y(xk) |yk y(xk)|0 0 0 0 01 0.2 0 0.12 0.012 0.008 0.0042 0.4 0.12 0.48 0.072 0.064 0.0083 0.6 0.48 1.08 0.228 0.216 0.0124 0.8 1.08 1.92 0.528 0.512 0.0165 1. 1.92 3. 1.02 1. 0.02

    26. Utilizar el metodo de Runge-Kutta para obtener un valor aproximado de y(0.5) para el

    siguiente problema de valor inicial y comparar con la solucion exacta.

    y = y2 , y(0) = 1 , h = 0.1

    SOLUCION:

    Resolviendo la ecuacion diferencial por separacion de variables se obtiene

    dy

    y= dx 1

    y= x + c y = 1

    x c

  • 8/8/2019 Nu Me Rico

    23/23

    4. RESOLUCION NUMERICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES 23

    Al imponer la condicion inicial, y(0) = 1, se obtiene c = 1. La solucion sera, por tanto,y(x) =

    1

    1 x.

    Tomando la funcion f(x, y) = y2, el metodo de Runge-Kutta genera las siguientes aproximaciones

    yk+1 = yk +h

    6(K1 + 2K2 + 2K3 + K4) , k = 0, 1,

    donde

    K1 = f(xk, yk)

    K2 = f

    xk +

    1

    2h, yk +

    1

    2h K1

    K3 = f

    xk +

    1

    2h, yk +

    1

    2h K2

    K4 = f(xk + h, yk + h K3)

    partiendo de y0 = y(0) = 1 y tomando xk = k h.Los resultados se recogen en la siguiente tabla

    k xk K1 K2 K3 K4 yk y(xk) |yk y(xk)|0 0 1. 1. 01 0.1 1.0 1.1025 1.1133 1.2350 1.11111049 1.11111111 0.6211062 0.2 1.2345 1.3755 1.3921 1.5633 1.24999799 1.25 0.2011053 0.3 1.5625 1.7639 1.7907 2.0422 1.42856618 1.42857142 0.5231054 0.4 2.0408 2.3428 2.3892 2.7805 1.66665326 1.66666667 0.000013415 0.5 2.7777 3.26 3.3476 4.0057 1.99996326 2. 0.00003674