NOVENA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE...

13 Novena Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología

4. PRUEBAS Y SOLUCIONES

4.1 MATEMÁTICA

NOVENA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE MATEMÁTICA NIVEL I

INSTRUCCIONES:

A continuación se le presenta una serie de ocho problemas, resuélvalos correctamente

en el cuadernillo de trabajo. El tiempo de la prueba es de 120 minutos.

Problema 1: (18 puntos)

Encuentre la solución de:

a. 11 1 4 (7)16 2x x x b. 3 1

6 2 6 2x x


Se sabe que sen cos 2 . Calcule el valor de 4 4sen cos .


Encuentre el área sombreada en función de “”, donde “E” es el centro del círculo

inscrito en el cuadrado.

E 2



En un salón de clases se encuentran 100 estudiantes para participar en una única

disciplina (matemática o física) de la olimpiada. El 10% de los estudiantes que

participarán en matemática, habrían querido participar en física y no en matemática.

El 10% de los estudiantes que participarán en física, habrían querido participar en

matemática y no en física. Los demás están contentos en lo que participarán.

Realizada una encuesta, resulta que el 74% del total habrían querido participar en

matemática sin importar en que participaron. ¿Cuántos participaron en matemática?


Halle las ecuaciones de las dos rectas tangentes a la elipse 22

136

9

yx que pasan por

el punto (12,3).


La montaña rusa de un parque de diversiones está formada por un tramo horizontal

de 10 metros y por un segundo tramo que se asemeja, a la gráfica de una función

coseno, como se muestra en la figura. A 75 metros del inicio del segundo tramo, uno

de los carros de la montaña sufre desperfectos mecánicos y se detiene. En ese instante,

un segundo carro se aproxima por la montaña desde una altura de 15 metros y

viajando con una velocidad vertical de 10 m/s. Determine a qué ritmo se acorta la

distancia entre ambos carros.

10 m

20 m

15 m

85 m

10 m

110 m



Demuestre que el sistema dado de 100 incógnitas y 100 ecuaciones, tiene solución

única:

1 2 3

2 3 4

99 100 1

100 1 2

0

0

0

0

x x x

x x x

x x x

x x x


Demuestre que: El volumen máximo del cilindro circular recto que se puede inscribir

en una pirámide de base cuadrada de lado L y altura H ; como el que se muestra en la

figura, el radio del cilindro no depende de la altura H , sino, que únicamente del lado

L , de la base.

h (cilindro)

H(pirámide)

L


SOLUCIÓN DE LA PRUEBA


Encuentre la solución de:

a. 11 1 4 (7)16 2x x x b. 3 1

6 2 6 2x x

Solución

1. a. 11 1 4 (7)16 2x x x

Primero hacemos unas transformaciones algebraicas:

41 1 (4)4 (7)2 2x x x

2 41 1 (4)2 (7)2 2x x x

Ahora hacemos el cambio 2xz , con lo que obtenemos lo siguiente:

2 41 1 4 7z z z

O bien:

2 41 1 4 7z z z

Elevando al cuadrado:

2 2 41 2 1 4 7z z z z

Eliminamos el 1:

2 2 42 4 7z z z z

Elevando nuevamente al cuadrado:

4 3 2 2 44 4 4 7z z z z z

Reduciendo términos e igualando a cero:

4 38 4 0z z

Factorizando:

34 2 1 0z z

De la que obtenemos 1

0 & 2

z z

Regresando a la substitución 2xz , obtenemos las siguientes ecuaciones:


1

0 2 & 22

x x

La primera de las cuales no tiene solución y la segunda nos da 1x

Por lo tanto la solución es 1x , lo cual se puede comprobar.

b.

3 1

6 2 6 2x x

El primer paso a seguir será pasar todo al lado izquierdo.

3 1

6 2 6 2

3 10

2(3 ) 2(3 )

3 3 (3 )0

2 3 3

2 3 20

2 3 3

x x

x x

x x

x x

x

x x

Seguidamente se deja expresada la desigualdad en una sola fracción.

3 20

3 3

x

x x

Los puntos críticos a evaluar en la tabla se encuentran igualando cada uno de

las expresiones encerradas en paréntesis a cero, para 3

2x nos queda igual

a cero, para 3x y 3x es indefinido.

Se ordenan los valores críticos, y se generan intervalos abiertos de la

siguiente manera:

Intervalos: 3 3

, 3 , 3, , , 3 , 3,2

2


El siguiente paso será generar una tabla para determinar si el resultado de

evaluar un valor dentro de cada intervalo hace que se cumpla o no la

desigualdad. Recordar que la desigualdad es la siguiente:

3 20

3 3

x

x x

INTERVALO 3 x 3 2x 3 x

3 2

3

3

x

x x CONCLUSION

, 3

NO CUMPLE

3

3,2

SI CUMPLE

3

, 32

NO CUMPLE

3,

SI CUMPLE

La conclusión se lleva a cabo analizando el signo obtenido en la última

columna. Si el signo resultante es negativo significa que la desigualdad

efectivamente es menor cero, mientras que si es positivo el resultado de la

desigualdad es mayor que cero. Para el presente problema se necesita que el

resultado sea menor o igual que cero.

Solución:

3

3, 3,2



Se sabe que sen cos 2 . Calcule el valor de 4 4sen cos .

Solución

Hagamossen cos p .

Entonces del teorema del Binomio

44 4 3 2 2 3 4sen cos sen 4sen cos 6sen cos 4sen cos cosp

22 2 2sen cos sen 2sen cos cos 2sen cos 1p

Luego, despejando de la primera identidad

4 4 4 3 2 2 3

4 2 2 2 2

24

24 2 2

4 2 4 2

4 2

sen cos 4sen cos 6sen cos 4sen cos

4sen cos sen cos 6sen cos

64sen cos 2sen cos

4

62 1 1

4

3 32 2 3

2 2

1 1

2 2

p

p

p

p p p

p p p p

p p

Sustituyendo, 2p tenemos que

4 4 1 1sen cos 2 2

2 2



Encuentre el área sombreada en función de “”, donde “E” es el centro del círculo

inscrito en el cuadrado.

E 2

Solución

El área sombreada está relacionada de manera directa con el radio del círculo

inscrito: “” el cual tiene el mismo valor en las dos semicircunferencias que

delimitan el área sombreada.

Se puede observar que las regiones sombreadas son iguales en sus áreas, en

las cuales se puede afirmar que una sola de ellas está formada por las

regiones, siguientes:

De las cuales llamaremos, región uno (R1) a la siguiente sección:


La cual está formada por un triángulo equilátero de lado “” y por dos

pequeñas regiones de igual área, que surgirán como diferencia del área de un

arco menos el triángulo equilátero:

Calculando el área del triángulo equilátero, se tiene:

1

2TA bh

b y 3

2h

21 3 3

2 2 4TA

Calculando el área de la segunda región, como la diferencia de la región del

sector circular menos el triángulo equilátero se tiene:

21

2scA r

2 21

2 3 6scA

2 2 23 3

6 4 6 4ssA

22 3 3

6ssAT

De donde R1 tendrá un área total, como suma del área del triángulo y el total

de la pequeña región, como se muestra a continuación:


2 23 2 3 31

4 6R

24 3 3

112

R

El siguiente cálculo será una región a la cual denominaremos región dos R2,

la cual se muestra a continuación:

En donde al trazar un tercer radio que parta del centro del semicírculo, se

obtiene la siguiente imagen:

Donde claramente se ve que dicha región es la diferencia entre un cuarto de

círculo de radio “” y la región calculada para R1, por lo tanto el valor para R2

será:

2 21 4 3 3

24 12

R

23 3

212

R

Calculadas las regiones, se sabe que el área sombreada total es el doble de las

áreas calculadas para la R1 y R2, por lo tanto la respuesta será:

2 2

2

4 3 3 3 32 1 2 2 2 2

12 12

2

AS R R

AS



En un salón de clases se encuentran 100 estudiantes para participar en una única

disciplina (matemática o física) de la olimpiada. El 10% de los estudiantes que

participarán en matemática, habrían querido participar en física y no en matemática.

El 10% de los estudiantes que participarán en física, habrían querido participar en

matemática y no en física. Los demás están contentos en lo que participarán.

Realizada una encuesta, resulta que el 74% del total habrían querido participar en

matemática sin importar en que participaron. ¿Cuántos participaron en matemática?

Solución

Número de estudiantes de matemática.x

Número de estudiantes de f ca ísiy .

1090

74100 100

yx

100x y

Resolviendo el sistema de ecuaciones tenemos:

80 ; 20x y

80 estudiantes participaron en matemática.



Halle las ecuaciones de las dos rectas tangentes a la elipse 22

136

9

yx que pasan por

el punto (12,3).

Solución

22

136 9

yx

22

2 21

6 3

yx

La figura muestra la gráfica de la elipse y de las dos rectas tangentes que

pasan por el punto (12,3)

Encontrando la pendiente en cualquier punto de la elipse

dy

mdx

2 ´2

036 9

yyx

9

18 2 4

x xm y

y y

Si ( , )a b es el punto de tangencia en la elipse, la pendiente de la recta

tangente está dada por

Δ 3

Δ 12

y bm

x a

la pendiente de la recta es igual a la pendiente dentro de la elipse

3

12 4

b a

a b


simplificando

2 24 12 12 0b b a a Ecuación # 1

2 24 36a b Ecuación # 2

236 4a b sustituir en Ecuación # 1

212 4 24 9 ² 4 ² 36 0b b b b

2 9 ² 3 0b b

2

2 22 93 bb

2 29 6 36 4b b b

25 6 27 0b b

(5 9)( 3) 0b b

Resolviendo Ecuación 9

& 35

b b

236 4a b

Para 9

5b

2

9 2436 4

5 5a

2425

9 345

m

Ecuaciones de rectas tangentes 0 0( )y y m x x

29 24( )

5 53y x

2 48 27

3 15 15y x

Ecuaciones de las rectas tangentes

2

53

y x

Y para

3 0b a

3y

Las rectas tangentes son 2

53

y x & 3y



La montaña rusa de un parque de diversiones está formada por un tramo horizontal

de 10 metros y por un segundo tramo que se asemeja, a la gráfica de una función

coseno, como se muestra en la figura. A 75 metros del inicio del segundo tramo, uno

de los carros de la montaña sufre desperfectos mecánicos y se detiene. En ese instante,

un segundo carro se aproxima por la montaña desde una altura de 15 metros y

viajando con una velocidad vertical de 10 m/s. Determine a qué ritmo se acorta la

distancia entre ambos carros.

10 m

20 m

15 m

85 m

10 m

110 m

Solución

Como primer paso debemos construir la función trigonométrica que modela la

forma de la montaña. Para una mejor explicación incluiremos la gráfica para

su análisis.

Claramente vemos una amplitud de 10A , un periodo 100T , y un

corrimiento de 10 m. Con toda esta información podemos construir la

siguiente función trigonométrica.

10cos 10

50 5y x

y

x


Como segundo paso construiremos la función que modele la distancia entre

los dos carros, para ello elegimos como𝑃(𝑥, 𝑦) la posición del primer carro, y

como 𝑄(85, 10) la posición del segundo carro. Con esto tenemos para la

función distancia.

2 2 2(85 ) (10 )D x y

Tercer paso. Derivemos de manera implícita la ecuación de la distancia.

2 2 85 2(10 )dydD dx

D x ydt dt dt

85 10dydx

x ydD dt dtdt D

Cuarto paso. Ahora para determinar dD

dt es necesario conocer lo siguiente:

el ritmo horizontal al cual se mueve el carro, es decir dx

dt, también es

necesario conocer el valor de la coordenada x cuando 15 my , y por último

la distancia entre ambos carros para los valores de x y y antes calculados.

Cálculo de x

10cos 10

50 5y x

1 1050

cos ( ) 1010

yx

Sustituyendo el valor de 15y

26.67x

Cálculo de dx

dt

2

5

101 ( )

10

dy

dx dtdt y

18.37 /dx

m sdt

Cálculo de D

2 2(85 ) (10 )D x y

2 2(85 26.67) (10 15)D

58.54D m


Cálculo de dD

dt

85 10

85 26.67 (18.37) 10 15 ( 10)

58.54

19.16 m/s

dydxx y

dD dt dtdt D

dD

dt



Demuestre que el sistema dado de 100 incógnitas y 100 ecuaciones, tiene solución

única:

1 2 3

2 3 4

99 100 1

100 1 2

0

0

0

0

x x x

x x x

x x x

x x x

Solución

Primero sumamos y agrupamos.

1 2 3 0x x x

2 3 4 0x x x

3 4 5 0x x x

4 5 6 0x x x

5 6 7 0x x x

96 97 98 0x x x

97 98 99 0x x x

98 99 100 0x x x

99 100 1 0x x x

100 1 2 0x x x

Siguiendo el patrón de las líneas punteadas obtenemos:

1 2 3 4 5 6 97 98 99 1003 3 3 3 0x x x x x x x x x x

Todos las cantidades entre paréntesis son igual a 0. Por lo tanto,

100 0x


Permutando los elementos obtenemos

2 3 4 5 6 7 98 99 100 13 3 3 3 0x x x x x x x x x x

Por lo tanto,

Continuando con el procedimiento concluimos que la solución es única (sol.

trivial):

1 2 3 100 0x x x x



Demuestre que:El volumen máximo del cilindro circular recto que se puede inscribir

en una pirámide de base cuadrada de lado L y altura H ; como el que se muestra en la

figura, el radio del cilindro no depende de la altura H , sino, que únicamente del lado

L , de la base.

h (cilindro)

H(pirámide)

L

Solución

Primero hacemos un corte de las figuras con un plano vertical que pase por el

eje central de ambas. El corte, queda de la siguiente forma:

Se coloca un sistema cartesiano de tal forma que el origen está en el centro de

la base la pirámide, por lo que los vértices del triángulo tienen las

coordenadas indicadas en la figura de la derecha

La pendiente de la recta de la derecha es


0 2

0 2

H Hm

L L

Por lo tanto la ecuación de la recta que une el vértice superior con el vértice

derecho es

2H

y x HL

El volumen del cilindro circular recto es 2 .V r h Por lo que el volumen del

cilindro inscrito 2

& H

r x h x HL

es

2 2( )( )

HV x x H

L

O equivalentemente

3 22 HV x Hx

L

Para optimizar dicho volumen, derivamos con respecto a 𝑥, e igualamos a

cero:

26´ 2

HV x Hx

L

260 2

Hx Hx

L

6

0 ( 2 )Hx

x HL

Que tiene como soluciones: 0 & 3

Lx x

Si evaluamos 3

Lx en la segunda derivada nos da negativo, por lo que

3

Lx nos da un máximo, y dado que no depende de la altura H de la

pirámide, sino que solamente de L , queda demostrado.


NOVENA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA

EXAMEN DE MATEMÁTICA NIVEL II

INSTRUCCIONES:

A continuación se le presenta una serie de diez problemas, resuélvalos correctamente

en el cuadernillo de trabajo. El tiempo de la prueba es de 120 minutos.


Combinar la suma de las dos integrales iteradas en una sola integral iterada

convirtiendo a coordenadas polares. Evaluar la integral iterada resultante. Grafique la

región en R2.

28/ 13 3 /2 4 16

0 0 8/ 13 0

x x

dydx dydx


Se gira la curva 21x y que se encuentra en el plano xy alrededor del eje x en el

intervalo 0 1y . Trace la gráfica y encuentre:

a. El área de la superficie generada por integral definida

b. La ecuación de la superficie generada en R3.

c. El área de la superficie generada por integral doble.


Utilizando la serie

0

!

nx

n

xe

n encuentre

2

0.5

2

0

xx e dx con error 0.001


Los siguientes puntos son los vértices de un paralelepípedo,

0,0,0 , 2,2,3 , 1,1,0 , 1,1,3 , 1,0,2 , 0,1,1 , 2,1,2 , 1,2,1

a. Trace la gráfica del paralelepípedo.

b. Encuentre el área superficial del paralelepípedo.

c. Encuentre el volumen del paralelepípedo.



Encuentre la solución de la ecuación diferencial:

4 24dy

x y x ydx


Al medir los lados de un triángulo se obtienen que miden 5 metros y 2 metros con

posibles errores de 10 centímetros, siendo el ángulo entre ellos de 3 con un posible

error de 0.02 radianes. Encuentre el error al calcular el área utilizando diferenciales.


Utilice el Teorema de la divergencia de Gauss para encontrar el flujo hacia el exterior

de F a través de la frontera de la región entre las esferas

2 2 2 2 2 21 & 2x y z x y z


Dado el campo vectorial, ( , , ) , ,E x y z yz zx xy la superficie en forma de cono

3 2 2, , : ,0 1S x y z z x y zR

y C la frontera del cono, tomado con la orientación positiva (en dirección contraria al

reloj),

a. Calcule C

E dr sin usar el teorema de Stokes.

b. Calcule C

E dr usando el teorema de Stokes.


Encuentre

a. 2 4 6

2x x x

dxe e e

b.

0 ln x dx


Una masa " "m unida a un resorte lo estira y el valor de la constante del resorte es

2k a m , esta masa experimenta una fuerza numéricamente igual a 2ma su velocidad

instantánea. Además existe una fuerza externa al sistema 0( )F t f t (donde 0" "f es

una constante). Describa de qué tipo de movimiento se trata y encuentre la ecuación

de posición de la masa, si se sabe que la masa partió del reposo y desde el origen.




Combinar la suma de las dos integrales iteradas en una sola integral iterada

convirtiendo a coordenadas polares. Evaluar la integral iterada resultante. Grafique la

región en R2.

28/ 13 3 /2 4 16

0 0 8/ 13 0

x x

dydx dydx

Solución

Eje polar

Eje x

0.9828

2

Eje y

Se observa que en coordenadas polares el radio varía entre 0 y 4 mientras que el

ángulo varía entre 0 y 0.9828 rad. Por lo tanto la integral iterada resultante es.

2. 0.9828 4

0 0

7.8623rdrd



Se gira la curva 21x y que se encuentra en el plano xy alrededor del eje x en el

intervalo 0 1y . Trace la gráfica y encuentre:


b. La ecuación de la superficie generada en R3.


Solución

La siguiente figura muestra en forma aproximada la superficie generada

x

y

z

S


3

2

1 11

2 2 214 6

00 0

2 ( 2 ) 1 4 1 8 4 1sA y y dy y ydy y

3 32 22 1 1

3 6 64 1 0 1 5 5 1sA

b. La ecuación de la superficie generada en 3R .

2 21x y z


2 21x y z

2

xy

y

2

zz

y


2 2

2 2

1 ( 2 ) ( 2 )

1 4 4

yz

yz

s

R

s

R

A y z dydz

A y z dydz

2

2

3

2

1 1 2 1

2 2 2

1 0 01

2 1 2 1

2 21

8

0 0 0 0

2 21

21 1

12 120

0 0

21

12 60

1 4 4 1 4

1 4 1 4 8

1 4 5 5 1

5 5 1 5 5 1

z

s

z

A y z dydz r rdrd

r rdrd r rdrd

r d d

Que es el mismo resultado del inciso a.



Utilizando la serie

0

!

nx

n

xe

n encuentre

2

0.5

2

0

xx e dx con error 0.001

Solución

Partiendo de

2

2

0

2 2

0 0

2 22

0

!

( ) ( 1)

! !

( 1)

!

nx

n

n n nx

n n

n nx

n

xe

n

x xe

n n

xx e

n

Integrando a ambos lados se tiene

2

2

0.5 0.5

2

0 0

0.

0.52 2 2 3

0 0

5

2

0

2 3 2 3

0 0

2

0

3

0

( 1) ( 1)

! 2 3 !

( 1) (0.5) ( 1) (0)

2 3 ! 2 3 !

( 1) (0.5)

2 3 !

n n n n

n n

n n n n

n n

n

x

xn

n

x e dx dx

x e dx

x x

n n n

n n n n

n n

2

0. 2 25

2

0

3

0

5 73

( 1) (0.5)

2 3 !

0.5 0.5(0.5) 1 1 10.03597

3 5 14 24 160 1792

xn n

n

x e dxn n

Como es una serie alternante, el valor para 2n es 1

1792, el cual es menor

que el error.


x

y

z

12

1

2

3

1

2

-1

-1

A

B

C

D

E

F

G

H


Los siguientes puntos son los vértices de un paralelepípedo,

0,0,0 , 2,2,3 , 1,1,0 , 1,1,3 , 1,0,2 , 0,1,1 , 2,1,2 , 1,2,1

a. Trace la gráfica del paralelepípedo.

b. Encuentre el área superficial del paralelepípedo.

c. Encuentre el volumen del paralelepípedo.

Solución

Como primer paso, se deberá graficar los puntos en tres dimensiones para

establecer los vértices, se nombrarán los puntos con letras para no tener

problemas a la hora de su localización en los ejes coordenados, de la siguiente

forma:

0,0,0 , 2,2,3 , 1,1,0 , 1,1,3 , 1,0,2 , 0,1,1 , 2,1,2 , 1,2,1A B C D E F G H

Luego se unirán los puntos de manera que se pueda visualizar la forma de la

gráfica, estableciendo los vértices adyacentes y sus aristas. Y obtener la

siguiente gráfica.

a.

Dada la gráfica del paralelepípedo, se puede observar cuales de sus aristas

son adyacentes y poder resolver los incisos posteriores del problema.

b. Cálculo del área superficial: Se sabe que para calcular el área superficial del

paralelepípedo, este está formado por 3 pares de paralelogramos paralelos y

que el área de los paralelogramos sumados dará el total del Área Superficial.

Para el cálculo del área de un paralelogramo, se sabe que se usará la

magnitud del producto cruz de dos vectores formados por aristas adyacentes,

las cuales se establecerán como se ve en la gráfica:


x

y

z

12

1

2

3

1

2

-1

-1

A

B

C

D

E

F

G

H

u

v

w

Los cuáles serán nombrados de la manera siguiente: 1,1,0AC u ,

elvector 0,1,1AF v y el vector 1,0,2AE w (los vectores se

pueden formar entre cualquier par de puntos en el paralelepípedo, más sin

embargo usar el punto en el origen facilitará el cálculo). Como se puede

observar en la gráfica, de la magnitud del producto cruz de cada pareja de

vectores se encontrará el área superficial de un paralelogramo, se duplicará

cada valor calculado y al sumar todos los valores duplicados se tendrá el total

del área superficial:

b.1 Cálculo del área superficial del paralelogramo entre los vectores: u y v

ˆ ˆ ˆ

1 1 0 1, 1,1

0 1 1

i j k

u v

2 2 2

1 1 1 3u v

b.2 Cálculo del área superficial del paralelogramo entre los vectores: u y w

ˆ ˆ ˆ

1 1 0 2, 2, 1

1 0 2

i j k

u w

2 2 2

2 2 1 9u w

b.3 Cálculo del área superficial del paralelogramo entre los vectores: w y v


ˆ ˆ ˆ

1 0 2 2, 1,1

0 1 1

i j k

w v

2 2 2

2 1 1 6w v

De donde se obtiene un total del área superficial de:

2 3 2 9 2 6 14.363SA u2

c. Cálculo del volumen en R3, para éste cálculo se sabe que el volumen de un

paralelepípedo es el triple producto escalar de tres vectores adyacentes y no

coplanares, en este caso se tomarán los vectores formados en la gráfica del

inciso (b), donde el triple producto escalar se definirá como: u v w y cuyo

calculo será:

3

1 1 0

0 1 1 3

1 0 2

3 u

V u v w

V

De donde el determinante del triple producto escalar muestra que el volumen

de este paralelepípedo es de 3 unidades cúbicas.



Encuentre la solución de la ecuación diferencial:

4 24dy

x y x ydx

Solución

Ecuación de Bernoulli se sustituye

1 1 2 1nz y y y 2dz y dy

Trabajando en la ecuación diferencial

4 24xy y x y

3 2

2 1 3

2 1 3

4

4

4

y y x yx

y y y xx

y y y xx

Nos queda una ecuación lineal

34z z x

x

Se encuentra el factor de integración

44ln 4

dxxxu e e x

Multiplicando por el factor de integración

4 5 1

4 5 1

4 1

4 1

4

4 1

4

4

4

( )

( )

ln

ln

1

( ln )

x z x z x

x dz x zdx x dx

d x z x dx

d x z x dx

x z x c

x y x c

yx c x


h

x

y


Al medir los lados de un triángulo se obtienen que miden 5 metros y 2 metros con

posibles errores de 10 centímetros, siendo el ángulo entre ellos de 3 con un posible

error de 0.02 radianes. Encuentre el error al calcular el área utilizando diferenciales.

Solución

La figura siguiente muestra un triángulo y los elementos del mismo

utilizados en la solución del problema

3 3 3

1sen

2

1sen sen cos

2

12sen (0.1) 5sen (0.1) (2)(5)cos (0.02)

2

7 3 0.10.3531

40 2

A xy

dA y dx x dy xy d

dA

dA



Utilice el Teorema de la divergencia de Gauss para encontrar el flujo hacia el exterior

de F a través de la frontera de la región entre las esferas

2 2 2 2 2 21 & 2x y z x y z

Solución

Por teorema de la divergencia de Gauss:

S V

F dS FdV

x

y

z

1

2

Planteamos la integral triple utilizando el teorema

ˆˆ ˆ

yx zFF F

F i j kx y z

S V

F dS FdV

Utilizando coordenadas esféricas

2 2

2

0 0 1V

FdV F sen d d d



Dado el campo vectorial, ( , , ) , ,E x y z yz zx xy la superficie en forma de cono

3 2 2, , : ,0 1S x y z z x y zR

y C la frontera del cono, tomado con la orientación positiva (en dirección contraria al

reloj),

d. Calcule C

E dr sin usar el teorema de Stokes.

e. Calcule C

E dr usando el teorema de Stokes.

Solución

Sea S la superficie cono, y sea C la curva circular que define la base del cono

S , como se muestra en la figura siguiente

x

y

z

2 2z x y

C

a. Podemos parametrizar la circunferencia C por

cos , sen ,1 0 2 .C t t t t

y su derivada es

sen , cos , 0C t t t

Al calcular directamente la integral

C

E dr obtenemos.


2 2

0 0

2 22

2

0 0

2

0

( ) sen , cos , sen cos sen , cos ,0

sen 2sen cos cos2

2

0

C

E C t C tE d dt t t t t t t dt

tt t dt tdt

r

b. Del teorema de Stokes,

C S

Sr Ed dE ∬

Como

, , , , 0,0,0 0E yz zx xy

x y zentonces

0 0

C S S

E dS dE dr S∬ ∬



Encuentre

a. 2 4 6

2x x x

dxe e e

b.

0 ln x dx

Solución

a.

2 4 6 2 32 2 2

1 2x x x x x x

dx dxe e e e e e

Si se sustituye

2xu e

entonces 2 2

2

x dudu e dx dx

u

2 3 2 32 2 2

2 2

2 2

2

1

1

x x xdx du

u u u ue e e

duu u u

Por fracciones parciales

2 22 2

1

11

A B Cu D

u u u uu u u

Donde

1

1

1

0

A

B

C

D

2 22 2

1 1 1

11

u

u u u uu u u

entonces

2 22 2

1 1

11

du udu du du

u u u uu u u


2 2 22 31

2 2

1 1 1 2 1 1 1

2 21

udu du du du

u u u u u

1

2 1 1

32

1 1 1 3ln ln 1 tan

2 2 2

uu u u C

u

Retornando a la variable x

22 4 2 1

2 3 22 2 2

2 1 1 2 1ln ln 1 3 tan

2 3

xx x x

xx x x

edx e e e C

ee e e

22 4 2 1

2 32 2 2

2 1 2 12 ln 1 3 tan

2 3

xx x x

x x x

edx x e e e C

e e e

b. Descomponiendo en una suma de integrales

Resolver

1

0 0 1

1

01

ln ln ln

lim ln lim ln

u

utt

x dx x dx x dx

x dx x dx

Calculando la integral usando integración por partes

ln xdx

Hacer:

lnu x

dxdu

x

dv dx

v x

ln xdx ln lndx

x x x x x x Cx

De la integral impropia entonces:


1

00 1

1

0 1

0

0

ln lim ln lim ln

lim ln lim ln

lim 1ln1 1 ln lim ln 1ln1 1

1 lim ln lim ln 1

u

utt

u

ut t

ut

ut

x dx x dx x dx

x x x x x x

t t t u u u

t t t u u u

Calculando los límites por aparte

0 0

ln

1lim ln lim1t t

t

t t

t

por L´Hopital

0 00

2

1

lim ln lim lim 01t tt

tt t t

t

Para el otro límite

lim ln lim ln 1

1

u uu u u u u

Entonces

0

ln 1 (0 0) 1x dx

, Por lo que la integral diverge.



Una masa " "m unida a un resorte lo estira y el valor de la constante del resorte es

2k a m , esta masa experimenta una fuerza numéricamente igual a 2ma su velocidad

instantánea. Además existe una fuerza externa al sistema 0( )F t f t (donde 0" "f es

una constante). Describa de qué tipo de movimiento se trata y encuentre la ecuación

de posición de la masa, si se sabe que la masa partió del reposo y desde el origen.

Solución

Movimiento Forzado amortiguado

Datos:

2

0

masa

2

m

k a m

ma

F t f t

Condiciones iniciales:

0 0

0 0

x

x

Ecuación diferencial del resorte

0

20

20

2 0

2

2

2

mx x kx f t

mx ma x a mx f t

f tmx ma x a mx

m m

f tx ax a x

m

Calculando cx

2

2 2

2

1 2

2 0

2 0

0

0

,

at atc

x ax a x

r ar a

r a

r a r a

r a a

x t c e c te


Calculando px

0

p

p

p

x At B

x A

x

2 0

2 0

2 2 0

2

2 ( )

2

p p

f tx ax a x

m

f taA a At B

m

f taA a At a B

m

Por lo tanto para :t

2 0

02

fa A

m

fA

a m

Además

2

0 02

2 2 2

03

2 0

222

2

aA a B

f faaA a m amB

a a a

fB

a m

Entonces:

0 02 3

2p

f fx t t

a m a m

Por lo tanto:

0 01 2 2 3

2

c p

at at

x t x t x t

f fx t c e c te t

a m a m

Para encontrar 1c y 2c se aplican condiciones iniciales


Encontrando 1c :

0 01 2 2 3

01 3

01 3

0 0

2

20

2

at at

x

f fx t c e c te t

a m a m

fc

a m

fc

a m

Encontrando 2c :

01 2 2

01 2 2

02 1 2

0 0 0 02 3 2 2 2

02 2

0 0

2 2

at at at

x

fx t ac e c e ate

a m

fo ac c

a m

fc ac

a m

f f f fc a

a m a m a m a m

fc

a m

Entonces la ecuación de posición de la masa es:

0 0 0 03 2 2 3

2 2at atf f f fx t e te t

a m a m a m a m


4.2 FÍSICA

NOVENA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE FÍSICA NIVEL I

INSTRUCCIONES:

A continuación se le presenta una serie de cuatro problemas, resuélvalos

correctamente en el cuadernillo de trabajo. El tiempo de la prueba es de 120 minutos.

Problema 1:

Una tabla uniforme de masa 10.0 kg está sostenida por un caballete de 3.00 pies de

altura, para que uno de sus extremos descanse en el piso y el oro contra un muro. El

centro del caballete está a 4.00 pies del muro. Si el ángulo que forma la tabla con el

piso es de 50.0º, justo cuando esta pierde contacto con el suelo. ¿Qué fuerza ejerce la

pared sobre la tabla? ¿Qué ángulo forma la fuerza que ejerce el caballete sobre la

tabla, respecto a la tabla?


1.00 m

1.00 cm

Problema 2:

Una vara uniforme con longitud de 1.00 m se encuentra en

posición vertical a una altura de 100,000 km desde el centro

de la tierra (medido desde la base de la vara). Una cuenta se

encuentra a una distancia de 1.00 cm de la base de la vara

(como se muestra en la figura) de tal modo que puede resbalar

a lo largo de ella sin fricción. El sistema se deja caer desde el

reposo. Considere el radio de la tierra 6,400 kmR y la

aceleración de caída libre en la superficie de la tierra 210 m/sg .

a. Encuentre una expresión para la aceleración instantánea

a.1) de la cuenta y a.2) de la vara en función de su altura.

b. Utilizando la diferencia entre la aceleración de la vara y la cuenta en el instante

en que empiezan la caída libre, estime cuánto tiempo le toma a la cuenta

desprenderse de la vara. ¿Es una aproximación adecuada? Justifique su respuesta.

Problema 3

Un cilindro flota verticalmente en un líquido de densidadkg

1.00L

(kilogramos por

litro) y superficie en la base de 21.6 10 mA . La altura del cilindro es 0.800 mh

. La densidad del cilindro eskg

0.800L

c .

a. ¿Cuál es la fuerza neta aplicada sobre el cilindro?

b. ¿Cuál es la aceleración ( )a z ?

c. ¿Cuál es la posición ( )z t , usando como condición (0) 0.0100 mz ?

d. Grafique los resultados del inciso c.

e. Si ahora se agrega una fuerza de viscosidad de la forma 0.3f uv v , encuentre

las ecuaciones diferenciales que rigen el movimiento. No es necesario resolverlas.


Problema 4

Un yo-yo formado por dos discos de radio “a” y uno de radio “b” (eje) se conecta por

medio de un hilo a una masa M, pasando por una polea, la cual está formada por dos

discos, uno de radio “r” y el otro de radio “R” (como se detalla en la figura); el sistema

parte del reposo y el yo-yo rueda sin resbalar sobre la superficie rugosa horizontal.

Determinar.

a. La magnitud de la aceleración angular del yo-yo

b. La magnitud de la aceleración del bloque.

c. El tiempo que tarda en caer el bloque 2.00m desde que se libera el sistema.

a

b

yo-yo

R

r

polea

M

P

2.0 m

yo-yo polea

a = 0.40m ma = 5.0kg

b = 0.15m mb = 2.5kg

R = 0.30m mR = 2.0kg

r = 0.10m mr = 1.0kg

M = 16.0 kg



Problema 1:

Una tabla uniforme de masa 10.0 kg está sostenida por un caballete de 3.00 pies de

altura, para que uno de sus extremos descanse en el piso y el oro contra un muro. El

centro del caballete está a 4.00 pies del muro. Si el ángulo que forma la tabla con el

piso es de 50.0º, justo cuando esta pierde contacto con el suelo. ¿Qué fuerza ejerce la

pared sobre la tabla? ¿Qué ángulo forma la fuerza que ejerce el caballete sobre la

tabla, respecto a la tabla?

Solución

La siguiente figura será usada para calcular algunas longitudes en el

problema

50º

3

4

D

d

3 pies3.92 pies

sen50ºD

4 pies6.22 pies

cos50ºd

Longitud de la tabla 10.14 piesL D d

El centro de gravedad de tabla está a 5.07 pies de cada extremo


El diagrama de cuerpo libre de la tabla es el siguiente

x

y

50º

3.92

1.15

5.07

98 Nmg

1F

2F

3F

Para calcular el valor de la fuerza 3F que ejerce la pared sobre la tabla se

tiene

0 (con respecto al punto donde está el caballete

3 15.20 NF

Para obtener la dirección de la fuerza en el caballete se tiene que

∑ 𝐹𝑥 = 0, entonces 𝐹1 = 15.20 N

∑ 𝐹𝑦 = 0, entonces 𝐹2 = 98 N

El ángulo de la fuerza respecto al eje x es

𝜃 = tan−1 (98 𝑁

15.20 𝑁) = 81.2°

Con respecto a la barra el ángulo es 31.2º


1.00 m

1.00 cm

Problema 2:

Una vara uniforme con longitud de 1.00 m se encuentra en

posición vertical a una altura de 100,000 km desde el centro

de la tierra (medido desde la base de la vara). Una cuenta se

encuentra a una distancia de 1.00 cm de la base de la vara

(como se muestra en la figura) de tal modo que puede resbalar

a lo largo de ella sin fricción. El sistema se deja caer desde el

reposo. Considere el radio de la tierra 6,400 kmR y la

aceleración de caída libre en la superficie de la tierra 210 m/sg .

a. Encuentre una expresión para la aceleración instantánea

a.1) de la cuenta y a.2) de la vara en función de su altura.

b. Utilizando la diferencia entre la aceleración de la vara y la cuenta en el instante

en que empiezan la caída libre, estime cuánto tiempo le toma a la cuenta

desprenderse de la vara. ¿Es una aproximación adecuada? Justifique su respuesta.

Solución

a. La aceleración instantánea de cada objeto en caída libre se obtiene como la

razón entre la fuerza gravitacional total 𝐹𝐺 ejercida sobre el objeto y su masa.

Denótese con 𝑀 la masa de la tierra, ℎ la altura desde el centro de la tierra,

𝑏 = 1.00 𝑐𝑚 y 𝑙 = 1.00 𝑚.

Para el caso de la cuenta:

𝑎𝑐 =𝐹𝐺𝑐

𝑚𝑐=

𝐺𝑀

(ℎ + 𝑏)2

Note que 𝑔 = 𝐺𝑀/𝑅2, de modo que 𝐺𝑀 = 𝑔𝑅2 y 𝑎𝑐 puede reescribirse como:

𝑎𝑐 =𝑔𝑅2

(ℎ + 𝑏)2

Para el caso de la vara, la fuerza gravitacional sobre el cuerpo rígido es la

suma de la fuerza que actúa sobre cada parte del mismo:

𝐹𝐺𝑣 = ∫𝐺𝑀𝑚𝑣

𝑙(ℎ + 𝑦)2𝑑𝑦

𝑙

0

=𝐺𝑀𝑚𝑣

𝑙(

1

ℎ−

1

ℎ + 𝑙) =

𝐺𝑀𝑚𝑣

ℎ(ℎ + 𝑙)

(Alternativamente, el resultado se puede aproximar considerando la vara

como una masa puntual ubicada en su centro de masa, es decir, ubicado a

una altura de ℎ + 𝑙/2. La aproximación ℎ(ℎ + 𝑙) ≈ (ℎ + 𝑙/2)2 se justifica dado

que ℎ ≫ 𝑙).

La aceleración instantánea de la vara𝑎𝑣 está dada entonces por:

𝑎𝑣 =𝐹𝐺𝑣

𝑚𝑣=

𝐺𝑀

ℎ(ℎ + 𝑙)=

𝑔𝑅2

ℎ(ℎ + 𝑙)


b. La aceleración de la cuenta y de la vara en el instante en que empieza la

caída se puede calcular usando las expresiones del inciso (a).

Tomandoℎ = ℎ0 = 100,000 𝑘𝑚:

𝑎0𝑐 − 𝑎0𝑣 =𝑔𝑅2

(ℎ0 + 𝑏)2−

𝑔𝑅2

ℎ0(ℎ0 + 𝑙)= 𝑔𝑅2

ℎ0(𝑙 − 2𝑏) − 𝑏2

ℎ0(ℎ0 + 𝑙)(ℎ0 + 𝑏)2

Note que la expresión anterior puede simplificarse tomando en cuenta

queℎ0 ≪ 𝑙, 𝑏. Despreciando los términos en el numerador y denominador que

no acompañan al máximo exponente de ℎ0. (Adicionalmente se puede tomar

𝑙 ≪ 𝑏 para simplificar el factor 𝑙 − 2𝑏 ≈ 𝑙)

∆𝑎0 = 𝑎0𝑐 − 𝑎0𝑣 ≈𝑔𝑅2ℎ0(𝑙 − 2𝑏)

ℎ04 ≈

𝑔𝑅2𝑙

ℎ03

Si los objetos caen una distancia ∆ℎ corta en comparación con ℎ0 antes que la

cuenta se desprenda de la vara, se puede justificar tomar la aceleración de los

cuerpos como constante ya que el cambio en las aceleraciones es pequeño

durante el intervalo de tiempo. Asumiendo ∆𝑎 = ∆𝑎0 constante se obtiene el

tiempo de caída antes de que la cuenta se desplace 𝑏 = 1.00 𝑐𝑚 más que la

vara:

𝑏 =∆𝑎0

2𝑡2 ⇒ 𝑡 = √

2𝑏ℎ03

𝑔𝑅2𝑙≈ 7 × 103𝑠

La distancia que recorren en éste tiempo es (tomando aceleración constante,

orden de magnitud)

∆ℎ = (𝑔𝑅2

ℎ02 ) (

𝑡2

2) ≈ (

𝑔𝑅2

ℎ02 ) (

𝑏ℎ03

𝑔𝑅2𝑙) =

𝑏𝑟

𝑙≈ 106𝑚

Nótese que ∆ℎ es dos órdenes de magnitud menor que ℎ0, lo que lo hace

considerablemente menor, sin embargo no lo suficiente para justificar la

simplificación en aplicaciones que requieran exactitud de 2 o más cifras

significativas.


Problema 3

Un cilindro flota verticalmente en un líquido de densidadkg

1.00L

(kilogramos por

litro) y superficie en la base de 21.6 10 mA . La altura del cilindro es 0.800 mh .

La densidad del cilindro eskg

0.800L

c .

a. ¿Cuál es la fuerza neta aplicada sobre el cilindro?

b. ¿Cuál es la aceleración ( )a z ?

c. ¿Cuál es la posición ( )z t , usando como condición (0) 0.0100 mz ?

d. Grafique los resultados del inciso c.

e. Si ahora se agrega una fuerza de viscosidad de la forma 0.3f uv v , encuentre

las ecuaciones diferenciales que rigen el movimiento. No es necesario resolverlas.

Solución

a. Las dos fuerzas que actúan sobre el cilindro son el peso y la fuerza de

Arquímides. De manera que la fuerza neta es

neta ( ) (156.8)(0.800 ) NAg h z z F

Donde z representa la altura del cilindro que está bajo el agua.

b. Ahora bien, la aceleración es

( ) (156.8)(0.800 )12.25(0.800 )

12.8

Ag h z zz

m Ah

Fa

c. La posición está dada por la ecuación

2

212.25(0.800 )

d zz

dt

si se haceu = z – 0.800, se tiene que

2

212.25

d uu

dt

Que es un oscilador armónico simple, por lo que

0 cos 12.25u u t

y entonces

0 cos 12.25 0.800z u t

y 0 0 0.800u z , con 0 (0) 0.0100z z , de manera que

( ) 0.81cos(3.5 ) 0.800z t t


d. La gráfica se muestra en la figura siguiente

e. Si se agrega esta fuerza, entonces se tiene que

2

212.25(0.800 ) 0.3

d z dzz

dtdt


Problema 4

Un yo-yo formado por dos discos de radio “a” y uno de radio “b” (eje) se conecta por

medio de un hilo a una masa M, pasando por una polea, la cual está formada por dos

discos, uno de radio “r” y el otro de radio “R” (como se detalla en la figura); el sistema

parte del reposo y el yo-yo rueda sin resbalar sobre la superficie rugosa horizontal.

Determinar.

a. La magnitud de la aceleración angular del yo-yo

b. La magnitud de la aceleración del bloque.

c. El tiempo que tarda en caer el bloque 2.00m desde que se libera el sistema.

a

b

yo-yo

R

r

polea

M

P

2.0 m

yo-yo polea

a = 0.40m ma = 5.0kg

b = 0.15m mb = 2.5kg

R = 0.30m mR = 2.0kg

r = 0.10m mr = 1.0kg

M = 16.0 kg

Solución

Iyo-yo 2Ia Ibp p p

2 2 21Ia m m r 1.20 kg m

2p a a a ar

2 2 2 2 21 1Ib m m r (2.5 kg)(0.15 m) (2.5 kg)(0.4 m) 0.428 kg m

2 2p b b b ar

2 2

2

Iyo-yo 2 1.20 kg m 0.482 kg m

2.83 kg m

p

2 2cm

2

1 1Ipolea (2 kg)(0.3 m) (1 kg)(0.10 m)

2 2

0.095 kg m

IR Ir


Sumatoria de torques para el yo-yo respecto al punto de contacto

1 yo-yo yo-yo

21 yo-yo

( ) (I )( )

(0.4 m 0.15 m) (2.83 kg m )( )

p

pt I

a b T

T

21 yo-yo(5.15 kg m )( )T Ecuación 1

Diagrama de cuerpo libre de la polea

W

N

1T

2T

Sumatoria de torques respecto al eje centroidal de la polea

cm cm polea

2 1 cm polea

t I

RT rT I

22 1 polea(0.30 m)T (0.10 m) (0.095 kg m )( )T Ecuación 2

Relación de aceleraciones

yo-yo polea

yo-yo polea

poleayo-yo polea

atg atg

( ) ( )

( )0.667

b r

r

b

Diagrama de cuerpo libre del bloque

M

W=Mg

2T


Sumatoria de fuerzas en Y, +

M

2 M

2 M

22

( )

(16.0 kg)(9.8 m/s ) (16.0 kg)

yF M a

T W M a

T Mg Ma

T

Como

M polea( )a R

2 polea(156.8 N) (16.0 kg)( 1.30 m)T

2 poleaT 156.8 N (4.8 kg m)( ) Ecuación 3

Sustituyendo yoyo = 0.667polea en la ecuación 1

1 yoyo

1 polea

(5.15 kg m)( )

T (5.15 kg m)(0.667 )

T

1 poleaT 3.44 Ecuación 4

Sustituyendo ecuación 4 en ecuación 2

22 polea polea

2 polea

polea2

2 polea

(0.30 m)T (0.10 m)(3.44 ) (0.095 kg m )( )

(0.30 m)T (0.439)( )

(0.439)( )

0.30 m

(1.46 kg m)

T

T

Como la ecuación 3 es

2 poleaT 156.8 N (4.8 kg m)( )

Igualando con 2 polea(1.46 kg m)T

polea polea

polea

2polea

156.8 N (4.8 kg m)( ) (1.46 kg m)

156.8 N (6.26 kg m)

25.05 rad/s

a. Aceleración angular del yo-yo.

2yoyo polea

2

0.667 (0.667)(25.05 rad/s )

16.71 rad/s


b. Aceleración del bloque

2bloque polea (25.05 rad/s )(0.30 m)

7.52 m/s

a R

c. Tiempo que tarda el bloque en caer 2m.

20

1

2

2(2 m)2

7.52 m/s

0.729 s

y v t at

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NOVENA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA

EXAMEN DE FÍSICA NIVEL II

INSTRUCCIONES:

A continuación se le presenta una serie de cuatro problemas, resuélvalos

correctamente en el cuadernillo de trabajo. El tiempo de la prueba es de 120 minutos.

Problema 1:

Entre dos esferas metálicas concéntricas de radios 𝑅1 = 2 cm y 𝑅2 = 4 cm se aplica una

diferencia de potencial de 1000𝑉 ¿Cuál es la energía expresada en 𝑒𝑉, que debería

tener un electrón para que permanezca moviéndose en un plano que pase por el centro

de las esferas describiendo una órbita de radio 𝑅 = 2.5 cm?

Problema 2:

Considere una cuerda de longitud 𝐿 hecha de material aislante. A lo largo de la cuerda

se colocan tres cuentas cargadas positivamente con cargas 𝑞1, 𝑞2, 𝑞3 y luego se conectan

los extremos de la misma. En equilibrio de fuerzas las cargas pueden estar

desplegadas de dos maneras: a lo largo de una línea recta o en forma triangular.

a. Encuentre la magnitud de la tensión de la cuerda para cada una de estas

configuraciones.

b. ¿Bajo qué condición de las cargas q1, q2, q3 es posible la configuración de equilibrio

en forma de triangular?


Problema 3:

Un alambre rígido rectangular (ver figura) de ancho W = 36.8 cm y longitud l =89.0

cm,cae en una región donde existe un campo magnético. La línea punteada está

localizada en 𝑧 = 0, con el eje positivo hacia abajo. El campo magnético es

constantecon magnitud|𝐵| = 0.88T , y está dirigido perpendicular al eje , saliendo del

papel paraz < 0. (para z > 0, |𝐵| = 0). El alambre tiene una masa M = 0.88kg

y una resistencia totalR = 2.30.

En T= 0, el alambre está en reposo, y no existe corriente a través de él; asimismo, su

parte inferior está localizada en z= 0. Inmediatamente después, se deja en caída libre,

yen ese instante, aparece una corriente. Utilice g = 9.8 m/s2.

Para todas las preguntas, asuma que 𝑧(𝑡) < 1, de tal manera que el alambre siempre

se encuentre dentro de la región con campo magnético

a. ¿Cuál es el flujo magnético total (en unidades SI) cuando𝑧(𝑡) = 59.0 cm, debido al

campo magnético externo?

b. Encuentre la magnitud y dirección (a favor, o en contra de las agujas del reloj) de

la corriente inducida𝐼(𝑡) en el alambre cuando la rapidez de caída es v=5.00m/s.

c. ¿Cuáles la fuerza magnética (magnitud y dirección) neta (en Newtons) en el

alambre cuando 𝑣 = 5 m/s.

d. ¿Cuál es la magnitud de la velocidad terminal de caída del alambre (en m/s)? Se le

llama velocidad terminal cuando se llega a la velocidad máxima, y el objeto no

acelera más.


Problema 4:

Un cable de longitud infinita lleva una corriente𝐼 = 5.00 Ahacia la derecha. Está

ubicado por encima de un alambre rectangular de ancho 𝑤 = 12.0 cm y longitud 𝐿 =16.0 cm, como se muestra en la figura. La distancia que separa el alambre infinito y la

parte superior del alambre rectangular es ℎ = 1.20 cm. La resistencia del alambre

rectangular 𝑅 = 0.48 Ω

a. ¿Cuál es la magnitud (en teslas) del campo magnético debido al alambre infinito en

el punto P, a una distancia𝑟 = 4.60 cm del alambre?

b. Calcule la magnitud del flujo magnético(en T.m2) a través del alambre rectangular

debido al campo magnético creado por el alambre infinito.

c. Suponga que la corriente en el alambre infinito inicia a incrementar en el tiempo,

según la función𝐼 = 𝑏𝑡, con 𝑏 = 89.0 A/s. ¿Cuál es la magnitud (en Amperes) de la

corriente inducida en el alambre rectangular?

d. ¿En qué dirección (a favor o en contra de las agujas del reloj) se encuentra la

corriente inducida en el alambre rectangular, según los datos del inciso anterior?



Problema 1:

Entre dos esferas metálicas concéntricas de radios 𝑅1 = 2 cm y 𝑅2 = 4 cm se aplica una

diferencia de potencial de 1000𝑉 ¿Cuál es la energía expresada en 𝑒𝑉, que debería

tener un electrón para que permanezca moviéndose en un plano que pase por el centro

de las esferas describiendo una órbita de radio 𝑅 = 2.5 cm?

Solución

Como el campo eléctrico sobre las esferas es radial, la fuerza sobre el electrón

también lo es:

𝐹 = 𝑒𝐸 =𝑚𝑣2

𝑅

La energía cinética del electrón es:

𝐾 =1

2𝑚𝑣2 =

𝑒

2𝐸𝑅

Expresando el campo para 𝑟 = 𝑅, en función de la diferencia de potencial

entre las esferas:

𝑉1 − 𝑉2 = − ∫𝑄

4𝜋𝜀0

𝑅1

𝑅2

𝑑𝑟

𝑟2=

𝑄

4𝜋𝜀0(

1

𝑅1−

1

𝑅2)

𝐸𝑟=𝑅 =𝑄

4𝜋𝜀0𝑅2=

𝑉1 − 𝑉2

𝑅2 (1

𝑅1−

1

𝑅2)

Y sustituyendo 𝐸 en la ecuación de la energía cinética resulta:

𝐾 =𝑒(𝑉1 − 𝑉2)𝑅1𝑅2

2𝑅(𝑅2 − 𝑅1)

Sustituyendo los datos del problema se tiene la energía del electrón:

𝐾 = 𝑒(1000𝑉)(0.02)(0.04)

2(0.025)(0.02)= 800𝑒𝑉


Problema 2:

Considere una cuerda de longitud 𝐿 hecha de material aislante. A lo largo de la cuerda

se colocan tres cuentas cargadas positivamente con cargas 𝑞1, 𝑞2, 𝑞3 y luego se conectan

los extremos de la misma. En equilibrio de fuerzas las cargas pueden estar

desplegadas de dos maneras: a lo largo de una línea recta o en forma triangular.

a. Encuentre la magnitud de la tensión de la cuerda para cada una de estas

configuraciones.

b. ¿Bajo qué condición de las cargas q1, q2, q3 es posible la configuración de equilibrio

en forma de triangular?

Solución

a. Para el caso unidimensional, suponga (sin pérdida de generalidad) que las

cargas están distribuidas de la manera mostrada en la Figura siguiente.

Denótese por 𝐹𝑖𝑗 a la magnitud de la fuerza electrostática entre las cargas 𝑞𝑖 y

𝑞𝑗, y denótese por 𝑇 a la tensión de la cuerda.

La sumatoria de fuerzas sobre cada una de las cargas está dada por:

𝐹21 + 𝐹31 − 2𝑇 = 0 (para 𝑞1)

𝐹12 − 𝐹32 = 0 (para 𝑞2)

𝐹23 + 𝐹13 − 2𝑇 = 0 (para 𝑞3)

Reescribiendo la expresión de la fuerza de Coulomb en la ecuación para la

carga 𝑞2:

𝑘𝑞1𝑞2

𝑟122

=𝑘𝑞2𝑞3

𝑟232

⇒𝑟12

𝑟23= √

𝑞1

𝑞3

Donde 𝑘 es la constante de Coulomb. Tomando en cuenta la restricción de la

longitud de la cuerda 𝑟12 + 𝑟23 = 𝐿/2 y sustituyendo en la expresión anterior

se obtiene:

𝑟12 =𝐿

2(

1

1 + √𝑞3/𝑞1

)

De la ecuación para la carga 𝑞1 se obtiene ahora la expresión para la tensión de la

cuerda:

𝑘𝑞1𝑞2

𝑟122

+𝑘𝑞1𝑞3

(𝐿/2)2= 2𝑇 ⇒ 𝑇 =

2𝑘

𝐿2(𝑞1𝑞2 + 2𝑞2√𝑞1𝑞3 + 𝑞2𝑞3+𝑞1𝑞3)


⇒𝑇 =2𝑘

𝐿2((√𝑞1𝑞2 + √𝑞2𝑞3)

2+𝑞1𝑞3)

Similarmente se obtienen las expresiones para los casos en que 𝑞1 o 𝑞3 estén

en medio de las demás cargas.

Para el caso bidimensional, las cargas están distribuidas de forma triangular

como se muestra en la figura. Nótese que para cada vértice, debido a que la

magnitud de la tensión es la misma en ambas direcciones, la suma vectorial

de ambas tiene la dirección de la bisectriz del ángulo entre ellas. Dado que el

sistema está en equilibrio de fuerzas, este debe ser el mismo caso para la

suma de las fuerzas de Coulomb en la dirección opuesta. Se sigue que la

magnitud de la fuerza electrostática sobre una carga, provocada por cada una

de las demás cargas, es igual a la tensión de la cuerda 𝑇.

𝐹21 = 𝐹31 ; 𝐹12 = 𝐹32

⇒ 𝑘𝑞2𝑞1

𝑙32 =

𝑘𝑞3𝑞1

𝑙22 ;

𝑘𝑞1𝑞2

𝑙32 =

𝑘𝑞3𝑞2

𝑙12

⇒ 𝑙12𝑞1 = 𝑙2

2𝑞2 = 𝑙32𝑞3

Sustituyendo la relación anterior en la ecuación de restricción de longitud𝑙1 +𝑙2 + 𝑙3 = 𝐿 se obtiene:

𝑙1 =𝐿

1 + √𝑞1

𝑞2+ √

𝑞1

𝑞3

; 𝑙2 =𝐿

1 + √𝑞2

𝑞3+ √

𝑞2

𝑞1

; 𝑙3 =𝐿

1 + √𝑞3

𝑞1+ √

𝑞3

𝑞2

Dado que la magnitud de la fuerza electrostática entre cualquier par de

cargas es igual a la tensión, se tiene que:

𝑇 = 𝐹12 =𝑘𝑞2𝑞1

𝑙32 =

𝑘𝑞2𝑞1

𝐿2(1 + √

𝑞3

𝑞1+ √

𝑞3

𝑞2)

2

=𝑘

𝐿2(√𝑞1𝑞2 + √𝑞2𝑞3 + √𝑞3𝑞1)

2

b. Adicionalmente a la condición de restricción de longitud, la longitud de los

lados de un triángulo debe cumplir con la desigualdad triangular, de modo

que se debe cumplir que:


𝑙1 + 𝑙2 > 𝑙3

𝑙3 + 𝑙1 > 𝑙2

𝑙2 + 𝑙3 > 𝑙1

Sustituyendo la relación 𝑙12𝑞1 = 𝑙2

2𝑞2 = 𝑙32𝑞3 en la desigualdad triangular se

obtienen las condiciones sobre las cargas:

√𝑞3

𝑞1+ √

𝑞3

𝑞2< 1 ; √

𝑞2

𝑞3+ √

𝑞2

𝑞1< 1 ; √

𝑞1

𝑞2+ √

𝑞1

𝑞3< 1

⇒

√𝑞3𝑞2 + √𝑞3𝑞1 < √𝑞1𝑞2

√𝑞2𝑞1 + √𝑞2𝑞3 < √𝑞3𝑞1

√𝑞1𝑞3 + √𝑞1𝑞2 < √𝑞2𝑞3


Problema 3:

Un alambre rígido rectangular (ver figura) de ancho W = 36.8 cm y longitud l =89.0

cm,cae en una región donde existe un campo magnético. La línea punteada está

localizada en 𝑧 = 0, con el eje positivo hacia abajo. El campo magnético es

constantecon magnitud|𝐵| = 0.88T , y está dirigido perpendicular al eje , saliendo del

papel paraz < 0. (para z > 0, |𝐵| = 0). El alambre tiene una masa M = 0.88kg

y una resistencia totalR = 2.30.

En T= 0, el alambre está en reposo, y no existe corriente a través de él; asimismo, su

parte inferior está localizada en z= 0. Inmediatamente después, se deja en caída libre,

yen ese instante, aparece una corriente. Utilice g = 9.8 m/s2.

Para todas las preguntas, asuma que 𝑧(𝑡) < 1, de tal manera que el alambre siempre

se encuentre dentro de la región con campo magnético

a. ¿Cuál es el flujo magnético total (en unidades SI) cuando𝑧(𝑡) = 59.0 cm, debido al

campo magnético externo?

b. Encuentre la magnitud y dirección (a favor, o en contra de las agujas del reloj) de

la corriente inducida𝐼(𝑡) en el alambre cuando la rapidez de caída es v=5.00m/s.



d. ¿Cuál es la magnitud de la velocidad terminal de caída del alambre (en m/s)? Se le

llama velocidad terminal cuando se llega a la velocidad máxima, y el objeto no

acelera más.


Solución

Para todas las preguntas, asuma que𝑧(𝑡) < 1, de tal manera que el alambre

siempre se encuentre dentro de la región con campo magnético

a. ¿Cuál es el flujo magnético total (en unidades SI) cuando𝑧(𝑡) = 59.0 cm,

debido al campo magnético externo?

Φ𝐵 = ∫ 𝐵 ∙ 𝑑𝑆 = 𝐵 ∙ 𝐴 = 𝐵(𝑊)(𝑙 − 0.59)

Φ𝐵 = (0.88)(0.368)(0.89 − 0.59) = 97.15𝑋10−3 𝑇𝑚2

b. Encuentre la magnitud y dirección (a favor, o en contra de las agujas del

reloj) de la corriente inducida𝐼(𝑡) en el alambre cuando la rapidez de caída es

v=5.00m/s.

De la ley de Faraday, se dice

𝜖 = 𝑉 = −𝑑ΦB

𝑑𝑡= −𝐵

𝑑

𝑑𝑡𝐴

Asimismo, la Ley de Ohm,

𝐼 =𝑉

𝑅

𝐼 = −𝐵

𝑅

𝑑

𝑑𝑡𝐴

Y como el área transversal está cambiando en función del tiempo (solo en el

eje ), entonces

𝑑

𝑑𝑡𝐴 = 𝑊

𝑑

𝑑𝑡𝑧 = 𝑊𝑣

donde ves la rapidez con la que cae el alambre, y W es el ancho del mismo.

Finalmente,

𝐼 = −𝐵

𝑅

𝑑

𝑑𝑡𝐴 = −

𝐵𝑊𝑣

𝑅= −

(0.88)(0.368)(5)

2.3= −704𝐴

La corriente es 𝐼(𝑡) = 0.704 Aen contra de las agujas del reloj.



= 𝐼 ∫ 𝑑𝑙 × 𝑐

La integral de línea se simplifica, ya que solamente la sección horizontal

superior del alambre genera fuerza magnética (los tramos verticales anulan

la fuerza entre sí). Por lo tanto,

|| = 𝐼𝑊𝐵


El vector resultante del producto cruz va en dirección vertical, hacia arriba.

𝐹 = (0.704)(0.368)(0.88) = 0.228 N

d. ¿Cuál es la magnitud de la velocidad terminal de caída del alambre (en m/s)?

Se le llama velocidad terminal cuando se llega a la velocidad máxima, y el

objeto no acelera más.

La velocidad terminal la alcanza cuando la fuerza magnética alcanza la

misma magnitud que la fuerza gravitacional, pero en dirección contraria.

∑ 𝑦 = 0

− 𝐹𝐵=0

𝑚𝑔 = (𝐼)(𝑊)(𝐵)

y en el inciso (b) ya habíamos calculado la magnitud de la corriente (𝐼)en

función de la rapidez (v)

𝐼 =𝐵𝑊𝑣

𝑅

Al sustituir y despejar se obtiene

𝑚𝑔

𝑊𝐵=

𝐵𝑊𝑣

𝑅

𝑣 =𝑚𝑔𝑅

𝑊𝐵2= 189.3 m/s

La velocidad terminal es𝑣 = 189.3 m/s


Problema 4:

Un cable de longitud infinita lleva una corriente𝐼 = 5.00 Ahacia la derecha. Está

ubicado por encima de un alambre rectangular de ancho 𝑤 = 12.0 cm y longitud 𝐿 =16.0 cm, como se muestra en la figura. La distancia que separa el alambre infinito y la

parte superior del alambre rectangular es ℎ = 1.20 cm. La resistencia del alambre

rectangular 𝑅 = 0.48 Ω

a. ¿Cuál es la magnitud (en teslas) del campo magnético debido al alambre infinito en

el punto P, a una distancia𝑟 = 4.60 cm del alambre?

b. Calcule la magnitud del flujo magnético(en T.m2) a través del alambre rectangular

debido al campo magnético creado por el alambre infinito.

c. Suponga que la corriente en el alambre infinito inicia a incrementar en el tiempo,

según la función𝐼 = 𝑏𝑡, con 𝑏 = 89.0 A/s. ¿Cuál es la magnitud (en Amperes) de la

corriente inducida en el alambre rectangular?


corriente inducida en el alambre rectangular, según los datos del inciso anterior?

Solución

a. ¿Cuál es la magnitud ( en teslas) del campo magnético debido al alambre

infinito en el punto P, a una distancia r=4.60cm del alambre?

Con base a la Ley de Ampere, para un alambre infinito, la magnitud del

campo magnético B a una distancia r del centro se define por

𝐵 =𝜇0 𝐼

2𝜋𝑟

𝐵 =(4𝜋 × 10−7)(5)

(2𝜋)(0.046)= 21.74 × 10−6 𝑇


b. Calcule la magnitud del flujo magnético(en T.m2) a través del alambre

rectangular debido al campo magnético creado por el alambre infinito.

Φ𝐵 = ∫ ∙ 𝑑𝑆 = ∫ (𝜇0𝐼

2𝜋𝑟) (𝐿𝑑𝑟)

ℎ+𝑤

ℎ

Φ𝐵 =𝜇0𝐼𝐿

2𝜋∫

𝑑𝑟

𝑟

ℎ+𝑤

ℎ

=𝜇0𝐼𝐿

2𝜋ln (

ℎ + 𝑤

ℎ)

Φ𝐵 =4𝜋 × 10−7(5)(0.16)

2𝜋ln (

0.012 + 0.12

0.012)

Φ𝐵 = 383.7 × 10−9 T ⋅ m2

c. Suponga que la corriente en el alambre infinito inicia a incrementar en el

tiempo, según la función𝐼 = 𝑏𝑡, con 𝑏 = 89.0 A/s. ¿Cuál es la magnitud (en

Amperes) de la corriente inducida en el alambre rectangular?

De la Ley de Faraday

𝜖 = −𝑑Φ𝐵

𝑑𝑡

y del inciso anterior, donde ya estaba calculado el flujo magnético

Φ𝐵 =𝜇0𝐼𝐿

2𝜋ln (

ℎ + 𝑤

ℎ)

Además, de la Ley de Ohm I=V/R

𝐼𝑖𝑛𝑑 =𝜖

𝑅= −

𝑑

𝑑𝑡

𝜇0𝐼𝐿

2𝜋ln (

ℎ + 𝑤

ℎ)

𝐼𝑖𝑛𝑑 = −𝜇0𝐿

2𝜋𝑅ln (

ℎ + 𝑤

ℎ)

𝑑

𝑑𝑡𝐼

y como

𝑑

𝑑𝑡𝐼 =

𝑑

𝑑𝑡𝑏𝑡 = 𝑏

se obtiene

𝐼𝑖𝑛𝑑 = −𝑏𝜇0𝐿

2𝜋𝑅ln (

ℎ + 𝑤

ℎ) = −14.23𝜇𝐴

La magnitud de la corriente inducida en el alambre rectangular es I=14.23A


corriente inducida en el alambre rectangular, según los datos del inciso

anterior?

En contra de las agujas del reloj.


4.3 QUÍMICA

NOVENA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE QUÍMICA NIVEL I

INSTRUCCIONES:

A continuación se le presentan dos series generales de problemas, con instrucciones y

valor adjunto. Está permitido el uso de Tabla Periódica, y calculadora. No está

permitido el uso de celular.

PRIMERA SERIE: Selección múltiple (50 pts.)

Consta de 20 preguntas de selección múltiple todas corresponden a la parte teórica.

Subraye la respuesta correcta. Si necesita razonar una respuesta, hágalo, indicando el

número de inciso que se razona.

1. Se requiere para un estudio quitosano (un polisacárido obtenido por des acetilación

de la quitina) de alta densidad, lamentablemente se cuenta con distintos

proveedores que cuentan con quitosano de diferentes marcas. ¿Cuál de los

siguientes quitosanos tiene mayor densidad?

a. Chitosan DC (0.7 g/mL)

b. Chitosan IC (400 Kg/m3)

c. Chitsan AD (600 mg/cm3)

d. Chitsan IG (0.85 slug/ft3)

e. Ninguna de las anteriores

2. ¿Cuál de las siguientes proposiciones es verdadera?

a. La potencia es una propiedad básica de la materia.

b. La temperatura es la cantidad de calor que posee un cuerpo.

c. La intensidad luminosa es una propiedad básica de la materia.

d. La intensidad eléctrica se mide en amperios.

e. c y d son verdaderas.

f. ninguna es verdadera.


3. ¿Cuál de las siguientes proposiciones es falsa?

a. Las sales dobles se derivan de los hidrácidos con 2 H sustituibles.

b. El Uranio es considerado como un metal de transición interna.

c. Una reempe 6s es de mayor energía 4f.

d. La combustión de una vela es un cambio químico

e. Los compuestos con enlace iónico se quiebran fácilmente.

4. El siguiente elemento se clasifica como un metal noble:

a. Boro

b. Magnesio

c. Cesio

d. Rutenio

e. Galio

5. Un equipo internacional de investigadores reunidos en un grupo de investigación

en Alemania, logró sintetizar y probar la existencia de 13 átomos de un nuevo

elemento químico (Z = 114). Publicado en el 2010, el experimento consistió en

bombardear una superficie recubierta por plutonio por iones calcio. Dos Núcleos

atómicos fueron fundidos (Fusión nuclear) para formar un núcleo de un nuevo

elemento. Dos isótopos fueron encontrados en la investigación con números de

masa de 288 y 289. Sobre este nuevo elemento es correcto afirmar qué:

a. Es considerado un elemento Transuránico.

b. Presenta átomos estables de masa de 288 y 289.

c. Su número atómico es la suma de dos números atómicos.

d. a y b son correctas.

e. Todas las anteriores son correctas.

6. En cuál de las siguientes parejas de iones debe esperarse mayor parecido en el

comportamiento químico?

a. V+3, Ni+2

b. Fe+3, Cu+

c. Co+2, Ni+2

d. Na+, Cl+

e. Ninguno de los anteriores.


7. La diferencia de electronegatividad entre el átomo de fósforo y el de cloro es de 0.9,

lo cual indica que el enlace entre ambos es:

a. Iónico

b. Metálico

c. Covalente polar

d. Covalente no polar

e. Covalente apolar

8. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre la electronegatividad es falsa?

a. En un período de elementos, la electronegatividad aumenta con el

número atómico.

b. Dentro de un grupo, la electronegatividad disminuye a medida que el

número atómico aumenta.

c. En un grupo, la electronegatividad aumenta a medida que el número

atómico disminuye.

d. En un período de elementos, la electronegatividad disminuye con el

aumento del número atómico.

e. La electronegatividad aumenta con el aumento del número de masa.

9. ¿Cuántos dominios no enlazantes hay alrededor del átomo central del amoníaco?

a. Uno

b. Dos

c. Tres

d. Ninguno

e. Todos son enlazantes

10. Respecto a la fórmula LiH2AsO4 se afirma:

a. Es una sal básica.

b. Es un compuesto ternario.

c. Su nombre es Arseniato diácido de litio.

d. Corresponde al Ácido arsénico de litio.

e. Es un óxido básico.

11. En nomenclatura Stock, el nombre de CuSO3 es:

a. Sulfito de Cobalto I.

b. Monosulfito de Cobre.

c. Sulfato Cuproso.

d. Sulfito de Cobre II.

e. Monosulfato de Cobalto.


12. Es un ejemplo de compuesto cuaternario:

a. Carbonato ácido de sodio.

b. Ácido fosfórico.

c. Hidróxido de galio.

d. Sulfato de aluminio.

e. Sulfuro de sodio y potasio.

13. Para la reacción: 2H2 + O2 → 2H2O + 572.4 kj.¿Cuál de las siguientes

proposiciones es falsa?

a. La reacción es exotérmica.

b. Se liberan 572.4 kj por cada mol de agua que se forma.

c. Dos moles de hidrógeno reaccionan con un mol de oxígeno.

d. Se liberan 572.4 kj de calor por cada 2 moles de hidrógeno reaccionado.

e. Se liberan 572.4 kj de calor por cada mol de O2 oxígeno reaccionado.

14. Según la cinética química las reacciones se clasifican en:

a. Oxido reducción.

b. Síntesis.

c. Instantáneas.

d. Endotérmicas.

e. Composición.

15. ¿Cuántos milimoles están contenidos en 0.3 miligramos de NaOH?

a. 0.75 mmoles.

b. 0.120 mmoles.

c. 0.057 mmoles.

d. 7.5 X 10-3mmoles.

e. 1.2 x 10-5mmoles.


16. Un gas ideal sigue la Ecuación de Estado: PV/nT=R. Suponga que sí hay cierta

interacción entre partículas (por ejemplo en el vapor de agua). ¿A cuál variable

habría que multiplicar por un factor de interacción, para acercarlo a la

realidad?(Del agua, se puede considerar que su tamaño es despreciable, dadas sus

longitudes de enlace, pero no que sea neutra, dado su ángulo de enlace, c. 104.45°,

y su suma vectorial de electronegatividad).

a. P

b. V

c. n

d. T


17. Un pistón rígido está dividido justo a la mitad por un émbolo sujetado por un

pestillo, todos aislados. Hay gases ideales a ambos lados del émbolo. La presión del

lado derecho se designa por Pd y la del izquierdo por Pi, con Pd mayor que Pi. Se

retira el pestillo y el émbolo se mueve:

a. La temperatura de la derecha aumenta.

b. La temperatura de la derecha disminuye.

c. La temperatura de la derecha no cambia.

d. No puede predecirse el comportamiento de la temperatura.

18. Un sistema está compuesto por 2 gases, A y B, en un recipiente rígido. Se

introduce un tercer gas por un proceso isotérmico, entonces:

a. La presión parcial de A disminuye.

b. La presión parcial de A aumenta.

c. La presión parcial de A no cambia.

19. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?

a. La energía cinética del electrón cuando sale del átomo de pende la

frecuencia del fotón.

b. El primer número cuántico da la energía potencial del electrón.

c. La energía del fotón es inversamente proporcional a la longitud de onda.

d. El segundo número cuántico da el campo magnético generado.

e. El Hamintoniano se determina por n+l.


20. Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera.

a. El crecimiento de un árbol es un cambio físico.

b. La sublimación es un cambio químico.

c. Un fotón es materia.

d. La radiación microondas ioniza átomos de aluminio.

e. Ninguna de las anteriores es verdadera.

Segunda Serie (50 puntos):

A continuación encontrará 5 problemas. Resuélvalos correctamente en el espacio de

trabajo. Deje constancia escrita, objetiva, lógica, explicita y ordenada de todo

su procedimiento y todas sus suposiciones. Resalte sus resultados y ecuaciones

más importantes de forma inequívoca y anote la respuesta específica.

Tema 1

Se quieren preparar 1,000 ml de etanol al 75% v/v para ello se cuenta con una solución

de etanol al 96% v/v (solución A) y con un aguardiente al 36% v/v (solución B). Y solo

se cuenta con una balanza para medir. ¿Cuántos g de cada solución hay que mezclar?

Tema 2

En el salón para arreglarselasuñas, se utilizan un equipo de 1350 W/m2, la

frecuencia de los rayos UV es de 78.9 THz. ¿Cuántos fotones inciden en las

uñas de las manos si tienen un ancho y alto promedio de un centímetro, la

sesión dura 240 s?

Tema 3

Realice las tres estructuras de resonancia para el ion NCO-. Utilice las cargas

formales para determinar cuál es la estructura más estable.

Tema 4

Una mezcla formada porBaO y Na2O con masa de 8 gramos se disolvió en agua. La

solución formada se le agregó ácido sulfúrico diluido, para convertir los óxidos en

sulfatos, el sulfato de Bario se precipita de la solución pero el sulfato de sodio es

soluble y permanece en la solución. El sulfato de bario precipitado es recogido por

filtración, encontrándose que ya seco tiene una masa de 3.88g. ¿Qué porcentaje de la

mezcla original de óxido es óxido de bario?

Tema 5

Un GLP está compuesto por propano (C3H8) y butano (C4H10) y su densidad es de 1.519

g/L a 20°C y 0.808 bar. Se ha quemado, con combustión completa, el contenido total de

un cilindro y se han producido 54.575 kg CO2. Calcule la masa de GLP que contenía el

cilindro.



PRIMERA SERIE

1. a 6. c 11. d 16. a

2. e 7. c 12. a 17. c

3. c 8. d 13. b 18. c

4. d 9. a 14. c 19. d

5. e 10. c 15. d 20. e

SEGUNDA SERIE






Tema 1

Se quieren preparar 1,000 ml de etanol al 75% v/v para ello se cuenta con una solución

de etanol al 96% v/v (solución A) y con un aguardiente al 36% v/v (solución B). Y solo

se cuenta con una balanza para medir. ¿Cuántos g de cada solución hay que mezclar?

Solución

Datos

Volumen total = 1000 mL al 75% v/v

Va = ? al 96% v/v

Vb = ? al 36% v/v

Sabemos que

𝑉𝑡 = 𝑉𝑎 + 𝑉𝑏

1000 = 𝑉𝑎 + 𝑉𝑏

1000 ∗ 0.75 = 0.96 ∗ 𝑉𝑎 + 0.36 ∗ (1000 − 𝑉𝑎)

Resolviendo la ecuación anterior se obtiene

𝑉𝑎 = 650 mL 𝑦𝑉𝑏 = 350 mL

También se tiene que

masa total = masa de 𝐴 + masa de 𝐵


Y a de más

masa de 𝐴 = masa de etanol + masa de agua

De igual manera la masa de la solución B

Como no sabemos la densidad de las soluciones solo la densidad del etanol

determinamos la masa de etanol y agua en cada solución:

Para la solución A

650 mL de A × 96 mL eta

100 mL de A ×

0.78 g eta

1 mL eta= 486.72 g de eta

650 mL de A × 4 mL agua

100 mL de A ×

1.0 g agua

1 mL agua= 26 g de agua

𝐦𝐚𝐬𝐚 𝐀 = 𝟒𝟖𝟔. 𝟕𝟐 𝐠 𝐞𝐭𝐚 + 𝟐𝟔 𝐠 𝐚𝐠𝐮𝐚 = 𝟓𝟏𝟐. 𝟕𝟐 𝐠 𝐝𝐞 𝐀

Para la solución B

350 mL de B × 36 mL eta

100 mL de B ×

0.78 g eta

1 mL eta= 98.28 g de eta

350 mL de B × 64 mL agua

100 mL de B ×

1.0 g agua

1 mL agua= 224.00 g de agua

𝐦𝐚𝐬𝐚 𝐁 = 𝟗𝟖. 𝟐𝟖 𝐠 𝐞𝐭𝐚 + 𝟐𝟐𝟒. 𝟎𝟎 𝐠 𝐝𝐞 𝐚𝐠𝐮𝐚 = 𝟑𝟐𝟐. 𝟐𝟖 𝐠 𝐝𝐞 𝐁

Tema 2

En el salón para arreglarse las uñas, se utilizan un equipo de 1350 W/m2, la

frecuencia de los rayos UV es de 78.9 THz. ¿Cuántos fotones inciden en las

uñas de las manos si tienen un ancho y alto promedio de un centímetro, la

sesión dura 240 s?

Solución

# fotones =Energía total(Et)

Energía fotón (Ef)=

1350 W/m2

6.626 × 10−34 ∗ 78.9 × 1012= 2.58 × 1022

# fotones que inciden en las uñas de las manos:

# fotones = (2.58 × 1022)

sm2×

1m2

(100cm)2×

1 cm2

1 uña× 10 uñas × 240 s

= 6.19 × 1022 fotones


Tema 3

Realice las tres estructuras de resonancia para el ion NCO–. Utilice las cargas

formales para determinar cuál es la estructura más estable.

Solución

NCO–= 1(5) + 1(4) +1(6) + 1 = 16 electrones

a)b) c)

Cargas formales:

a) N: 5 – 7 = -2 b) N: 5 – 6 = -1 c) N: 5 – 5 =

0

C: 4 – 4 = 0 C: 4 – 4 = 0 C: 4 - 4 = 0

O: 6 – 5= 1 O: 6 – 6 = 0 O: 6 – 7 = -1

-1 -1 -1

Respuesta: La estructura c) es la más estable.

Tema 4

Una mezcla formada porBaO y Na2O con masa de 8 gramos se disolvió en agua. La

solución formada se le agregó ácido sulfúrico diluido, para convertir los óxidos en

sulfatos, el sulfato de Bario se precipita de la solución pero el sulfato de sodio es

soluble y permanece en la solución. El sulfato de bario precipitado es recogido por

filtración, encontrándose que ya seco tiene una masa de 3.88g. ¿Qué porcentaje de la

mezcla original de óxido es óxido de bario?

Solución

La reacción principal es

BaO + Na2O + H2O + 2H2SO4 → BaSO4 + Na2SO4 + 3H2O

3.88 g BaSO4 ×137.33 g Ba

233.39 g BaSO4= 2.28 g Ba

2.28 g Ba ×153.33 g BaO

137.33 g Ba= 2.55 g BaO

% BaO =2.55 g BaO

8 g muestra× 100 = 31.875%


Tema 5

Un GLP está compuesto por propano (C3H8) y butano (C4H10) y su densidad es de 1.519

g/L a 20°C y 0.808 bar. Se ha quemado, con combustión completa, el contenido total de

un cilindro y se han producido 54.575 kg CO2. Calcule la masa de GLP que contenía el

cilindro.

Solución

Datos:

𝜌 = 1.519 g.L-1

T = 293.15 K

P = 0.797434 atm

R = 0.08206 atm.L.mol-1.K-1

𝑀 = 𝜌𝑅𝑇

𝑃= 45.823 g/mol

M1 (propano) = 44.0962 g/mol

M2 (butano) = 58.123 g/mol

𝑦1 = 𝑀 − 𝑀2

𝑀1 − 𝑀2= 0.8769

𝑦2 = 0.1231

m (CO2) = 54.575 kg

n (CO2) = 1 240.09 mol

C3H8 3CO2

C4H10 4CO2

sea x=masa del GLP

𝑥 =𝑚 ∗ 𝑀

3𝑦1 + 4𝑦2= 18 195 𝑔 = 40.08 lb


NOVENA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE QUÍMICA NIVEL II

INSTRUCCIONES:

A continuación se le presentan dos series generales de problemas, con instrucciones y

valor adjunto. Está permitido el uso de Tabla Periódica y calculadora. No está

permitido el uso de celular.


Consta de 20 preguntas de selección múltiple todas corresponden a la parte teórica.

Subraye la respuesta correcta. Si necesita razonar una respuesta, hágalo, indicando el

número de inciso que se razona.

1. Del complejo activado que aparece en el transcurso de una reacción química

podemos decir:

a. Su contenido energético es mayor que el de los productos y de los

reactivos.

b. Su contenido energético es un promedio aritmético entre los contenidos

energéticos de los reactivos y productos.

c. Su contenido energético es mayor de que el de los productos, pero menor

que el de los reactivos.

d. Su contenido energético es menor que el de los productos, pero mayor que

el de los reactivos.

e. Ninguno.

2. La velocidad inicial de una reacción de segundo orden es 5 molLs

8 10 y la

concentración inicial de la sustancia reaccionante es 0.50 mol/L. La constante de la

velocidad para la reacción es:

a. 4.2 x 10-4

b. 1.2 x 10-4

c. 3.2 x 10-4

d. 2.1 x 10-4

e. Ninguna


3. Considere un recipiente cúbico perfectamente rígido. El recipiente está dividido

por la mitad mediante el uso de una membrana, cuya naturaleza nos es

indiferente. Del lado izquierdo hay un gas ideal, y el lado derecho está al vacío.

La membrana se rompe y el gas se expande por todo el recipiente; entonces:

a. T aumenta

b. T disminuye

c. T constante

4. En una combustión de hidrocarburo, ¿cuál enlace tiene mayor energía?

a. Carbono-Hidrógeno

b. Carbono-oxígeno

5. Un pistón rígido está dividido justo a la mitad por un émbolo sujetado por un

pestillo, todos aislados. Hay gases ideales a ambos lados del émbolo. La presión del

lado derecho se designa por Pd y la del izquierdo por Pi, con Pd mayor que Pi. Se

retira el pestillo y el émbolo se mueve; el trabajo del lado derecho es:

a. 𝑃𝑑 ∫ 𝑑𝑉𝑑

b. 𝑃𝑖 ∫ 𝑑𝑉𝑑

c. ∫ 𝑃𝑑 . 𝑑𝑉𝑑

d. ∫ 𝑃𝑖 . 𝑑𝑉𝑑


6. En la reacción indicada ¿qué sustancia se oxida y cuál se reduce?

3NO2–+ Cr2O7

2– + 8 H+ → 2 Cr3+ + 3 NO3– + 4 H2O

a. N del NO2– se reduce; Cr del Cr2O7

2– se oxida.

b. N del NO2– se oxida; Cr del Cr2O7

2– se reduce.

c. O del NO2– se oxida; Cr del Cr2O7

2– se reduce.

d. Cr3+ se reduce; N del NO2– se oxida.

e. N del NO3– se oxida; Cr3+ se reduce.


7. Calcule la Eo de la siguiente celda electroquímica:

Pt I Fe3+(ac), Fe2+

(ac) II Zn2+(ac)I Zn

Dados los siguientes potenciales de reducción:

Fe3+ (ac) + 1e → Fe2+ (ac) Eo = +0.771 V

Zn2+ (ac) + 2e → Zn (s) E o = – 0.763 V

a. +1.534 V

b. -0.008 V

c. +0.008 V

d. +1.802 V

e. +2.305 V

8. Indique en cada una de las siguientes afirmaciones si es verdadera o falsa:

a. Si algo se oxida, pierde electrones.

b. Para la reacción: Fe3+ (ac) + Co2+ (ac) → Fe2+ (ac) + Co3+ (ac); Fe3+ es el

agente reductor y Co2+ es el agente oxidante.

9. La fase dispersa del coloide espuma, es gas. ¿Cuál es el medio de dispersión para la

crema batida y para el plástico, respectivamente?

a. Gas, líquido

b. Gas, Sólido

c. Líquido, Sólido

d. Son correctas b y c

e. Todas son correctas

10. La presión de agua es mayor en el fondo del lago Nyos (Camerún), la

concentración de dióxido de carbono se acumula de forma gradual hasta un nivel

peligroso según:

a. Ley de Raoult

b. Ley de Henry

c. El nivel de saturación

d. todas las anteriores

e. ninguna de las anteriores

11. ¿Cuál es la principal desventaja que presenta la ósmosis inversa como método de

desalinización?

a. Presión alta

b. Cambio de fase

c. Membrana semipermeable

d. Son correctas b y c



12. El amoniaco es una base débil con Kb =1.8 x 10-5, y al preparar soluciones acuosas

presenta como producto un conjugado ácido que a la vez presenta un equilibrio de

hidrólisis, si entrara en juego el principio de Lechatelier y considera el valor de la

constante básica de equilibrio hacia donde se desplaza el equilibrio:

a. Productos y reactivos

b. Reactivos

c. Productos

d. Reactivos y catalizador


13. Cuando se muerde un pedazo de papel aluminio que oprime la amalgama dental

(Ag2Hg3) se produce una corriente débil sensible al nervio del diente con sensación

desagradable. Indicar la celda galvánica producida en la boca, indicar ánodo,

cátodo y electrólito. Considere que los potenciales de reducción son E0Al+3 /Al=

2.356V, E0Ag+ /Ag = +0.771 V

a. ánodo= amalgama, cátodo= papel aluminio, electrolito= saliva

b. ánodo = saliva, cátodo = amalgama, electrolito = calcio del diente

c. ánodo= papel aluminio, cátodo = amalgama, electrolito = saliva

d. No se puede proponer una redox


14. El acumulador de plomo la solución electrolítica que contiene tiene como soluto:

a. Dióxido de plomo

b. Sulfato de plomo

c. Ácido sulfúrico

d. Plomo


15. Una reacción cuya constante de equilibrio a 25ºC es 2.10 indica que a esa

temperatura:

a. El/\ Gº para esa reacción es claramente negativo

b. La reacción es espontánea a esa temperatura

c. Cuando se alcanza el equilibrio, la reacción está muy desplazada hacia la

derecha

d. Ninguna de las respuestas anteriores es verdadera

e. Todas son verdaderas


16. Un equilibrio homogéneo es aquel en el cual:

a. Todos los componentes se encuentran en el mismo estado físico

b. Todos los componentes son gaseosos

c. Todos los componentes se encuentran disueltos

d. Todos los componentes son homogéneos

e. Ninguna es correcta

17. Dada la siguiente ecuación: N + O <==> 2 NO; /\ H = –180.2 KJ a 25°C y 1 atm,

representativa de un equilibrio químico podemos decir de ella que:

a. La constante de equilibrio se duplica si se duplica la presión.

b. La reacción se desplaza hacia la izquierda si se aumenta la temperatura.

c. Si se aumenta la presión, disminuye el valor de la constante de

equilibrio.

d. Si se aumenta la temperatura, la constante de equilibrio no varía


18. Se tienen 1000 ml de una solución 0.5 M de KOH con pH = 13.7. Si a esta solución

se le adiciona 1 mol de KOH es muy probable que:

a. Permanezca constante la concentración de la solución

b. Aumente la concentración de iones [OH]

c. Permanezca constante el pH de la solución

d. Aumente la concentración de iones [H+]


19. ¿Cuál de las siguientes proposiciones es falsa?

a. Los coloides se encuentran en la sangre y el protoplasma

b. Existen coloides indeseables como el humo y el smog.

c. Los coloides se usan en pinturas y plásticos

d. Las partículas coloidales a diferencias de las partículas de una solución

son lo suficiente grandes para reflejar la luz (efecto Tyndall)

e. Las partículas coloidales no pueden separarse por una ultra centrífuga

20. ¿Qué tipo de uniones presentan las moléculas de agua entre sí para mantenerse

unidas?

a. Fuerzas de Van Der Waals

b. Puentes de Hidrógeno

c. Enlaces covalentes

d. Enlaces iónicos

e. Fuerza de gravedad







Tema 1:

De una solución de sulfato de sodio (Na2SO4)se toman 25.00 mL y se tratan con un

exceso de BaCl2. Si el Sulfato de Bario (BaSO4) precipitado y purificado tiene una

masa de 1.756 g ¿Cuál es la Molaridad de la solución de Na2SO4?

Tema 2:

Se tiene el siguiente equilibrio:

NH4HS (s) NH3(g) + H2S (g)

Cuya constante es Kp = 1,7 a 50oC.

Dato importante: R= 0.082 atm*L*mol-1*K-1

Responda:

a. En un recipiente de 1 L, donde previamente se ha hecho el vacío, se introducen 20.4 g de

NH4HS, y se caliente a 50oC. Calcule los moles de cada especie presentes en el equilibrio.

b. Calcule la composición del sistema en equilibrio si en un recipiente de 1 L, en donde

previamente se ha hecho vacío, se introducen 0.001 moles de NH3 y 0.1 mol de H2S.

Tema 3:

La constante de velocidad para la formación del yoduro de hidrógeno a partir de los

elementos: H2(g) + → 2Hl(g)

Es 2.7 x 10-4 L/mol – s a 600 K y 3.5 x 10-3 L/mol –s a 650 K.

a. Encuentre la energía de activación Ea*

b. Calcule la constante de velocidad a 700 K

Tema 4:

Calcule la temperatura de llama adiabática cuando se quema acetileno (C2H2) con

combustión completa en el aire. El flujo de acetileno es de 16.67E-3 kg.s-1 con un

exceso de aire de 30 por 100. Considere el aire compuesto por 21 por 100 mol de

oxígeno y el resto es nitrógeno.

Tema 5:

a. La electrólisis de una disolución de Cr3+ (ac) se lleva a cabo utilizando una

corriente de 7.60 A. ¿Qué masa de Cr (s) se habrá depositado después de 2.00

días?

b. ¿Qué amperaje se necesita para que se depositen 0.250 mol de Cr a partir de una

disolución de Cr3+ en un periodo de 8.00 horas?



PRIMERA SERIE

1. a 6. b 11. c 16. a

2. c 7. a 12. b 17. b

3. c 8. a:V, b:F. 13. c 18. b

4. b 9. c 14. c 19. e

5. d 10. b 15. d 20. b

SEGUNDA SERIE

Tema 1:

De una solución de sulfato de sodio (Na2SO4)se toman 25.00 mL y se tratan con un

exceso de BaCl2. Si el Sulfato de Bario (BaSO4) precipitado y purificado tiene una

masa de 1.756 g ¿Cuál es la Molaridad de la solución de Na2SO4?

Solución

Na2SO4 + BaCl2→ BaSO4 + 2 NaCl

Paso 1: Determinarlosgramos de SO4

gramos SO4 = (96 g SO4 / 233.34 g BaSO4) x 1.756 g BaSO4 = 0.722 g SO4

paso 2: Determinar los gramos de Na2SO4

gramosNa2SO4 = (142 g Na2SO4/96 g SO4) x 0.722 g SO4 = 1.067 g Na2SO4

paso 3: Determinar moles deNa2SO4

moles Na2SO4 = 1.067 g Na2SO4/(142 g / molNa2SO4) = 7.51*10-3 moles

Na2SO4

paso 4. Determinar M

M = (7.51x10-3moles/ 0.025L) = 0.3005 moles/L


Tema 2:

Se tiene el siguiente equilibrio:

NH4HS (s) NH3(g) + H2S (g)

Cuya constante es Kp = 1,7 a 50oC.

Dato importante: R= 0.082 atm*L*mol-1*K-1

Responda:

a. En un recipiente de 1 L, donde previamente se ha hecho el vacío, se introducen

20.4 g de NH4HS, y se caliente a 50oC. Calcule los moles de cada especie presentes

en el equilibrio.

b. Calcule la composición del sistema en equilibrio si en un recipiente de 1 L, en

donde previamente se ha hecho vacío, se introducen 0.001 moles de NH3 y 0.1 mol

de H2S.

Solución

Se trata de un equilibrio heterogéneo y la expresión de Kp es:

Kp =pNH3 * pH2S

El número de moles iniciales de NH4HS es:

20.4 g NH4HS ×1 mol deNH4HS

51 g NH4HS= 0.4moles de NH4HS

Construyendo tabla para plantear el problema:

NH4HS NH3 H2S

Moles inicial 0,4 0 0

Moles transformados X

Moles Formados X X

Moles al equilibrio 0.4 - X X X

a. Dado que al equilibro existe mismo número de moles de amoniaco y ácido

sulfhídrico:

p = pNH3= pH2S

Por lo tanto: Kp= p2 = 1.7 de ahí que la presión es de 1.30 atm.

Calculando moles por la ley de gas ideal:

X = nNH3 = nH2S =1.39 atm ∗ 1L

0.081atm ∗ L ∗ mol−1 ∗ K−1 ∗ (273 + 50)K= 0.049 moles (NH3 y H2S)

Los moles de NH4HS en el equilibrio serían entonces: 0.351


b. Las presiones correspondientes a los dos gases son:

PNH3 =0.001mol ∗ 0.082 atm ∗ L ∗ mol−1 ∗ K−1 ∗ (273 + 50)K

1L= 0.0265 atm

PH2S =0.1 mol ∗ 0.082 atm ∗ L ∗ mol−1 ∗ K−1 ∗ (273 + 50)K

1L= 2.65 atm

La tabla de planteamiento queda de la siguiente manera:

NH4HS NH3 H2S

Presión inicial 0 0.0265 2.65

Presión de lo formado p p

Moles Formados X

Al equilibrio X 0.0265 -p 2.65-p

Sustituyendo en la expresión de Kp:

1.7 = (2.65 − 𝑝)(0.0265 − 𝑝)

al despejar p se obtiene: p = 3,23 atm.

El número de moles correspondiente a dicha presión es:

n =3.23 atm ∗ 1L

0.082 atm ∗ L ∗ mol−1 ∗ K−1 ∗ (273 + 50)K= 0.122 moles

Los moles de NH3 y H2S transformados son mayores que los respectivos moles

iniciales, lo que significa que en estas cantidades se gastan completamente y

no se alcanza el equilibrio.


Tema 3:

La constante de velocidad para la formación del yoduro de hidrógeno a partir de los

elementos: H2(g) + → 2Hl(g)

Es 2.7 x 10-4 L/mol *s a 600 K y 3.5 x 10-3 L/mol *s a 650 K.

a. Encuentre la energía de activación Ea*

b. Calcule la constante de velocidad a 700 K

Solución

a.

log3.5 × 10−3

2.7 × 10−4=

Ea

2.303 × 8.31 J/(mol ∗ K)× (

1

600 K−

1

650 K)

log(1.30 × 103) = 1.11 =Ea

2.303 × 8.31 J/mol× 1.28 × 10−4

O sea que

Ea =1.11 × 2.303 × 8.31 J/mol

1.28 × 10−4= 1.66 × 105J/mol

b.

Sustituya Ea = 1.66 x 105 J/mol y

K1 =2.7x10-4 L/(mol * s) (T1 = 600K)

K2 = ¿? (T2 =700K)

Y se obtiene

logK2

2.7 × 10−4 L

mol∗S

=1.66 × 105 J/mol

2.303 × 8.31 J/(mol ∗ K)× (

1

600 K−

1

700 K) = 2.07

Tomando antilogaritmos

K2

2.7 × 10−4

L/(mol ∗ s)= 102.07 = 1.2 × 102

O sea que

K2 = (1.2 × 102) × (2.7 × 10−4

)L/(mol ∗ s) = 3.2 × 10−2L/(mol ∗ s)


Tema 4:

Calcule la temperatura de llama adiabática cuando se quema acetileno (C2H2) con

combustión completa en el aire. El flujo de acetileno es de16.67 E−3 kg ∗ s−1 con un

exceso de aire de 30 por 100. Considere el aire compuesto por 21 por 100 mol de

oxígeno y el resto es nitrógeno.

Solución

C2H2 + 2.5 O2 2CO2 + H2O

M (acetileno) = 16.67 E−3 kg ∗ s−1

n (acetileno) = 639.5 mol/s

Datos:

Calores de formación:

C2H2 = 226.75 kJ/mol

CO2= –393.52 kJ/mol

H2O = –285.84 kJ/mol

Gases de chimenea, base seca: flujo y calores específicos: ni, Cpi.

O2 472.126 mol/s ; 29.4 J/mol-K

N2 7 696.39 mol/s ; 29.12 J/mol-K

CO2 1 259 mol/s ; 36.9 J/mol-K

Calor de reacción:

∆𝐻 =(2(−393.52) − 285.84 − 226.75)𝑘𝐽

𝑠

Temperatura de llama adiabática, base seca:

𝑇 = ∆𝐻

Σ𝑛𝑖𝐶𝑝𝑖+ 25

T = 288 °C.


Tema 5:

a. La electrólisis de una disolución de Cr3+ (ac) se lleva a cabo utilizando una

corriente de 7.60 amp. ¿Qué masa de Cr (s) se habrá depositado después de 2.00

días?

b. ¿Qué amperaje se necesita para que se depositen 0.250 mol de Cr a partir de una

disolución de Cr3+ en un periodo de 8.00 horas?

Solución

a.

760 amp × 2.00 d ×24 hr

1 d×

60 min

1 hr×

60 s

1 min×

1 C

1 amp ∗ s×

1 F

96,485 C

×1 mol Cr

3 F×

52.00 g Cr

1 mol Cr= 236 g Cr(s)

b.

0.250 mol Cr ×3F

1 mol Cr×

96,485 C

F×

1 amp ∗ s

1 C×

1

8.00 hr×

1 hr

60 min×

1 min

60 seg

= 2.51 amp


4.4 BIOLOGÍA

NOVENA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE BIOLOGÍANIVEL I

INSTRUCCIONES GENERALES:

Esta prueba consta de cinco series. Debe responder TODA la prueba con tinta azul o

negra. Puede utilizar calculadora, pero no celular. El tiempo máximo para responder

es de 120 minutos.


Instrucciones: A continuaciónencontrará 30 preguntas de selección múltiple. Elija la

opción correcta y marque una X en la casilla correspondiente de la hoja de respuestas.

Sólo ahí se calificará la respuesta (0.67 puntos c/u)

1. El agua es una molécula polar, porque:

a. Tiene un pH de 7 y una temperatura de ebullición de 100 °C.

b. En un extremo tiene carga positiva parcial y en el otro, carga negativa

parcial.

c. Disuelve cualquier sustancia, excepto las sustancias oleaginosas.

d. En estado sólido es más densa que en estado líquido.

2. Entre el grupo amino y el grupo carboxilo de los ____________ se forman enlaces

__________.

a. Carbohidratos / glucosídicos.

b. Aminoácidos / peptídicos.

c. Carbohidratos / peptídicos.

d. Lípidos / glucosídicos.


3. Los siguientes enunciados se refieren al transporte activo:

I. La difusión facilitada es un tipo de transporte activo.

II. Algunas proteínas de transporte actúan como bombas que desplazan las

sustancias a través de las membranas a favor de sus gradientes de

concentración.

III. Algunas proteínas de transporte actúan como bombas que desplazan las

sustancias a través de las membranas en contra de sus gradientes de

concentración.

IV. El transporte activo permite a una célula mantener concentraciones internas

de pequeñas moléculas que difieren de las concentraciones de sus alrededores.

V. La bomba de sodio y potasio transloca tres iones de sodio por tres iones de

potasio.

¿Cuáles de los enunciados anteriores son VERDADEROS?

a. I y V

b. I y III

c. II y V

d. III y IV

4. ¿Cuál de las siguientes moléculas es un polímero de reserva ramificado, que puede

encontrarse en células hepáticas y musculares?

a. Almidón

b. Amilosa

c. Glucógeno

d. Amilopectina

5. La estructura general de un fosfolípido consiste en:

a. Una cabeza hidrofílica y dos colas hidrofóbicas.

b. Dos moléculas de glicerol unidas a un ácido graso.

c. Un grupo fosfato unido a dos ácidos grasos.

d. Una cola hidrofílica y una cola hidrofóbica.


6. Los siguientes enunciados se refieren a la estructura de las proteínas:

I. La estructura secundaria resulta de la unión de una cadena alfa con una

lámina beta.

II. La estructura terciaria de una proteína es favorecida por interacciones

hidrófobas e interacciones de van der Waals.

III. La estructura terciaria de una proteína es favorecida por puentes disulfuro.

IV. La hemoglobina, una proteína globular con estructura cuaternaria, posee

cuatro subunidades polipeptídicas de tipo beta.

V. La estructura primaria de una proteína es su secuencia de aminoácidos.

¿Cuáles de los enunciados anteriores son FALSOS?

a. I y II

b. II y V

c. I y IV

d. III y II

7. En los ___________ se comparten electrones entre átomos.

a. Enlaces iónicos

b. Puentes disulfuro

c. Enlaces covalentes

d. b y c son correctas

8. A diferencia de las cetosas, las aldosas:

a. Poseen un grupo carbonilo en el extremo de la molécula.

b. Contienen tres grupos hidroxilo.

c. Poseen 3 carbonos, como por ejemplo, la ribulosa.

d. Son azúcares de 6 carbonos.

9. La señalización paracrina es una señalización…

a. A larga distancia en la que una célula nerviosa libera neurotransmisores

y estimula la célula diana.

b. Local en la que una célula secretora actúa sobre células diana cercanas

descargando moléculas de un regulador al líquido extracelular.

c. A larga distancia en la cual células especializadas liberan hormonas en

los vasos del sistema circulatorio.

d. Local en la cual células especializadas liberan hormonas en los vasos del

sistema circulatorio.


10. En la ______________ el agente selector es el ambiente, mientras que en la

_________________ dicho agente son los seres humanos.

a. Selección natural // evolución convergente

b. Selección artificial // selección natural

c. Selección natural // selección artificial

d. Homoplasia // homología

e.

11. ¿Cuál de las siguientes NO es una afirmación que apoya la selección natural:

a. La sobreproducción de individuos de una población conduce a una lucha

por la existencia.

b. Los individuos cuyos rasgos heredados les confieren una probabilidad

elevada de sobrevivir y reproducirse probablemente tendrán mayor

descendencia que los individuos con una aptitud menor.

c. Los rasgos adquiridos en una generación son automáticamente

heredados a la siguiente.

d. La capacidad desigual de los individuos para sobrevivir y reproducirse

producirá un cambio gradual en la población.

12. Los ácidos son __________ y las bases son _______________.

a. Donadores de H+ y aceptoras de OH-

b. Aceptores de H+ y aceptoras de H+

c. Donadores de OH- y donadoras de OH-

d. Donadores de H+ y aceptoras de H+

13. El nitrógeno es:

a. El principal componente estructural de los huesos.

b. Un componente de la clorofila, de las proteínas y los ácidos nucleicos.

c. El principal ion negativo del líquido intersticial, importante en el

equilibrio hídrico.

d. El principal catión del líquido intersticial, importante en el equilibrio

hídrico.

14. El siguiente es un oligoelemento que funciona como cofactor enzimático en el

metabolismo del hierro y participa en la síntesis de melanina:

a. Cobre

b. Azufre

c. Fósforo

d. Flúor


15. ¿Cuál de los siguientes enunciados es FALSO?

a. El grupo fosfato es una forma ionizada de un grupo de ácido fosfórico.

b. El ATP impulsa el trabajo mecánico al fosforilar las proteínas motoras.

c. La hidrólisis del ADP genera ATP más fosfato inorgánico.

d. El ATP impulsa el trabajo químico al fosforilar reactivos clave, como el

ácido glutámico.

16. Asumiendo que una molécula de ADN específica presenta un 28% de guanina (G),

responda:

¿Cuáles serán los porcentajes del resto de las bases nitrogenadas?

a. A 28%, C 22%, T 28%

b. A 22%, C 22%, T 28%

c. A 22%, C 28%, T 22%

d. A 22%, C 28%, U 28%

17. Es el mecanismo propuesto por Darwin a través del cual ocurre el cambio

evolutivo.

a. Selección natural

b. Homoplasia

c. Extinción

d. Homología

18. En un sistema de síntesis de proteínas in vitro, la adición de un ARNm humano a

la maquinaria de traducción de E. coli (ribosomas, ARNt) provoca la síntesis de

una proteína muy parecida a la cifrada por dicho ARNm en su organismo de

procedencia. ¿Qué característica del código genético explica de mejor manera dicho

resultado?

a. La existencia de codones de parada.

b. El código genético es universal.

c. Un mismo codón codifica para más de un aminoácido.

d. Los codones son homólogos.

19. Si las frecuencias alélicas de una población permanecen constantes entre

generaciones,…

a. La población está experimentando cambio evolutivo.

b. Se dice que la población está en equilibrio genético.

c. Ha ocurrido microevolución.

d. Esa población se extinguirá.


20. En cierto tipo de moléculas, un átomo de carbono puede formar enlaces

____________ con otro átomo de carbono.

a. Dobles

b. Simples

c. Iónicos

d. a y b son correctas


a. Los isótopos radiactivos tienen aplicaciones en paleontología.

b. El isótopo radiactivo más utilizado para estimar la edad de los fósiles es

el 13C.

c. La vida media de un isótopo es el número de años requerido para que la

muestra original se desintegre al 50%.

d. El tritio y el deuterio son isótopos del hidrógeno.

22. La mayoría de enzimas del cuerpo humano…

a. Tienen una temperatura óptima que oscila entre los 35 °C y los 40°C.

b. Aceleran su actividad cuando se acoplan a los inhibidores competitivos.

c. Funcionan mejor en ambientes con pH que oscila entre 2 y 4.

d. Son inhibidores alostéricos.

23. El ácido oleico es una molécula ___________que presenta enlaces dobles de carbono

y es __________ a temperatura ambiente.

a. Insaturada//líquida

b. Insaturada// sólida

c. Saturada//líquida

d. Saturada//anfipática

24. En la especiación alopátrica…

a. Ocurren barreras reproductivas que aíslan a una parte de la población

sin una separación geográfica de la población progenitora.

b. De las plantas se generan nuevas especies por el mecanismo de

alopoliplodía.

c. El flujo génico se interrumpe cuando una población se divide en dos

subpoblaciones geográficamente aisladas.

d. Se producen individuos poliploides fértiles.


25. Las unidades de moléculas menores que componen una macromolécula reciben el

nombre de:

a. Polímeros

b. Monomoléculas

c. Oligómeros

d. Monómeros

26. Célula humana que contiene 22 autosomas y un cromosoma X.

a. Óvulo

b. Espermatozoide

c. Cigoto

d. a y b son correctas

27. ¿Cuál de las siguientes condiciones impide que se cumpla el equilibrio de Hardy-

Weinberg?

a. Apareamiento al azar.

b. Selección natural.

c. Ausencia de mutaciones.

d. Tamaño de la población extremadamente grande.

28. Los isómeros presentan la misma fórmula molecular, pero diferente estructura y

por esa razón presentan propiedades diferentes.

a. Verdadero, ejemplos de isómeros son la glucosa y fructosa.

b. Verdadero, ejemplos de isómeros son la ribosa y desoxirribosa.

c. Falso, los isómeros poseen la misma estructura y diferente fórmula

molecular.

d. Falso, son los isótopos los que poseen la misma fórmula molecular y

diferente estructura.

29. El rompimiento de enlaces de hidrógeno, puentes disulfuro y enlaces iónicos

modifica la configuración tridimensional de una proteína cambiando sus

propiedades. Este proceso se llama ________________________.

a. Hidrólisis

b. Desnaturalización

c. Ionización

d. Catálisis


30. El concepto filogenético de especie…

a. Analiza una especie en función de su nicho ecológico, en relación a su

papel en la comunidad biológica.

b. Se centra desde el punto de vista morfológico en especies discretas

conocidas a través del registro fósil.

c. Define a una especie como un conjunto de organismos con una historia

genética única.

d. Define a una especie como un grupo de organismos que son

fenotípicamente similares y que parecen diferentes de otros grupos de

organismos.


SEGUNDA SERIE: Verdadero o falso (15 puntos)

Instrucciones: A continuación se presentan 15 enunciados. Lea cada enunciado y

marque una X en la columna V de la hoja de respuestas, si el enunciado es

VERDADERO. Marque una X en la columna F de la hoja de respuestas, si el

enunciado es FALSO (1 punto c/u).

ENUNCIADO

1 La función única de la división celular es la reproducción.

2 La meiosis puede llevarse a cabo en cualquier tipo de célula (somática).

3 La meiosis es la reducción de la carga genética, de una condición diploide

(2n) a una condición haploide (n).

4 En la espermatogénesis, la sinapsis ocurre durante la Profase I.

5 El hecho de que no existan dos seres humanos idénticos (excepto los gemelos

idénticos) se debe a la recombinación sexual.

6 Las tasas de mutación tienden a ser altas en animales y plantas, si se

comparan con las tasas de mutación de los microorganismos.

7 Un error de la meiosis puede ocurrir cuando los cromosomas homólogos

migran al mismo polo de la célula en la anafase.

8 La herencia poligénica se refiere a un efecto aditivo de dos o más genes

sobre un carácter fenotípico.

9 Muchas enfermedades humanas, como la mayoría de formas de cáncer,

tienen componentes tanto genéticos como ambientales; es decir, son

multifactoriales.

10 Es más probable que un hombre exprese una enfermedad ligada al sexo

debido a que es un hemicigoto.

11 La poliploidía es una alteración cromosómica bastante común en las

plantas, que puede generar individuos triploides (generalmente fértiles) o

tetraploides (siempre estériles).

12 El cariotipo refleja el patrón cromosómico de una especie evidenciando las

características de longitud, posición del centrómero y patrón de tinción de

los cromosomas.

13 El producto final de la meiosis I lo constituyen 4 células genéticamente

distintas.

14 La “no disyunción” se refiere a una mutación puntual que ocurre en la

Meiosis II.

15 El flujo génico es una de las condiciones que rompen el equilibrio Hardy-

Weinberg en una población.


TERCERA SERIE. Apareamiento (30 pts.)

Instrucciones: Escriba en la columna C el número que relaciona el término de la

columna A con la información de la columna B. Vea el ejemplo 0. Algunas filas de la

columna C deben permanecer en blanco (1 punto c/u). Tome en cuenta que la tabla

continúa en las páginas 10 y 11.

COLUMNA

A

B

C

0. Nucleoplasma Porción del retículo endoplasmático libre de

ribosomas

1. Adenina

Orgánulo que consiste en pilas de sacos

membranosos que modifican, almacenan y

transportan productos del retículo

endoplásmático

2. ADN ligasas

Formas replicadas de un cromosoma unidas entre

sí por el centrómero y que eventualmente se

separan en la anafase

3. ADN polimerasas

Par de cromosomas del mismo largo, posición del

centrómero y patrones de tinción, uno heredado

de cada progenitor

4. Aparato de Golgi Tipo de orgánulo que contiene pigmentos para

llevar a cabo fotosíntesis

5. AUG

Orgánulos especializados que convierten los

lípidos en carbohidratos durante la germinación

de las semillas

6. UAG-CGU-ACA

Doble membrana a lo largo de la línea media de

una célula vegetal en división; entre cada una de

las membranas se forma la nueva pared celular

7. Cebador

Canal abierto en la pared celular de una célula

vegetal a través del cual extensiones del citosol se

conectan con una célula adyacente

8. Conclusión del

experimento de

Hershey y Chase

Medio interno semilíquido del núcleo celular 0

9. Cromátides hermanas Orgánulo celular que funciona como sitio de la

síntesis proteica en el citoplasma

10. Cromosomas

homólogos

Región donde se localiza el ADN de la célula

procarionte

11. Desmosoma Síntesis de ARN a partir de un molde de ADN

12. Glioxisoma Orgánulo digestivo que hidroliza macromoléculas

https://es.wikipedia.org/wiki/Carbohidrato




13. Helicasa

Estructura protectora de cada extremo de un

cromosoma eucariótico; ADN repetitivo en la

molécula de ADN de los cromosomas

14. Lisosoma Membrana que encierra a la vacuola central

15. M. Meselson y F.

Stahl

Pequeño anillo de ADN que transporta genes

accesorios separados de aquellos de un

cromosoma bacteriano.

16. Nucleoide Equivalencia entre el número de bases de A y T y

el número de bases de G y C

17. Nucleolo Un tipo de pirimidina

18. Pili

Sus investigaciones de cristalografía de rayos X

ayudaron a deducir la estructura de la doble

hélice del ADN

19. Placa celular

Sus investigaciones concluyeron que la

replicación del ADN sigue el modelo

semiconservador

20. Plásmido Enzimas que catalizan la elongación de una

cadena de ADN en la horquilla de replicación

21. Plasmodesma Enzimas que unen el esqueleto de azúcar- fosfato

de los fragmentos de Okasaki

22. R. Franklin Cadena de nucleótidos inicial, sirve como punto

de partida para la replicación del ADN

23. Reglas de Chargaff Enzima que desenrolla la doble hélice del ADN y

separa las dos cadenas parentales

24.

Retículo

endoplasmático liso

Codón de inicio que codifica para metionina

25. Ribosoma Codón de terminación

26. Tonoplasto

Estructuras de adherencia en la superficie de

algunos procariontes que pueden utilizarse para

la transferencia de material genético

27. Traducción

Síntesis de un polipéptido utilizando la

información genética codificada en una molécula

de mARN

28. Transcripción

Secuencia de bases complementarias de ARN

mensajero para esta secuencia de ADN: ATC-

GCA-TGT

29. UAA El ADN, no la proteína, actúa como el material

genético del fago T2

30. Uracilo Retículo endoplasmáticorecubierto por ribosomas


Secuencia de bases complementarias de ARN

mensajero para esta secuencia de ADN: TAG-

CGT-ACA

Centro organizador de los microtúbulos,

importante en la división celular

Un tipo de purina

Proyecciones citoplasmáticas que aumentan el

área superficial de la célula eucariota

Tipo de unión intercelular en las células animales

que funciona como anclaje

Las bacterias R vivas fueron transformadas en

bacterias S patógenas por una sustancia

desconocida a partir de las células S muertas

Estructura especializada de la célula implicada

en la producción de ribosomas

CUARTA SERIE: Genética y herencia (20 pts.)

Instrucciones: A continuación se presentan 10 preguntas sobre genética. Se le

proporcionarán hojas adicionales en las que deberá resolver los problemas. Deje

constancia del procedimiento de los problemas No. 4 a No. 10. Al finalizar marque la

letra de la respuesta correcta en la hoja de respuestas. No se calificarán los problemas

sin procedimiento o que no tengan la respuesta marcada en la hoja de respuestas. (2

puntos c/u).

1. El número de autosomas y el número de cromosomas sexuales en una célula

somática y en un gameto humano, respectivamente, son:

a. 22, 1; 44, 2

b. 46 ; 23

c. 23 ; 46

d. 44, 2; 22, 1

2. ¿Cuál es el número de aminoácidos, codones y bases nitrogenadas que conforman

el código genético?

a. 20/64/3

b. 20/64/4

c. 20/64/5

d. 64/20/5



a. La enfermedad de Huntington es causada por un alelo dominante letal.

b. Las personas con síndrome de Down poseen un cromosoma 21 adicional

en cada célula somática.

c. La anemia drepanocítica se debe a la sustitución de tres aminoácidos en

la hemoglobina.

d. El síndrome de Klinefelter produce varones (XXY) con crecimiento

mamario y testículos que degeneran lentamente.

4. El genotipo de los individuos F1 en un cruzamiento tetrahíbrido es AaBbCcDd. En

el supuesto de que haya una distribución independiente de cada par de alelos,

¿cuáles son las probabilidades de que la descendencia F2 tenga el genotipo

siguiente: aabbccdd?

a. 1/16

b. 1/64

c. 1/256

d. 1/8

5. En el ganado Shorthorn, el alelo (R) para el pelaje rojo no es dominante sobre el

blanco (R´). La combinación heterocigótica (RR´) produce el pelaje ruano. ¿Qué

fenotipos podría esperar un ganadero del cruce entre una vaca ruano y un toro

blanco?

a. Ruano y blanco

b. Ruano, blanco y rojo

c. Ruano

d. blanco

6. En un cruce entre una variedad de tomates rojos híbridos y de tamaño normal

homocigóticos (RrNN) con una variedad amarilla enana (rrnn), ¿qué proporción de

los tomates rojos que se obtienen en la F2 serán enanos? Utilice los siguientes

símbolos: R → rojo; r → amarillo y N → tamaño normal; n → enana.

(Los alelos dominantes son color rojo y tamaño normal).

a. 7/28

b. 3/16

c. 1/16

d. 1/2


7. Una mujer lleva en uno de sus cromosomas X un gen letal recesivo (f), y en el otro,

el dominante normal (F). ¿Cuál será la proporción de sexos “femenino: masculino”

en la descendencia de esta mujer si procrea con un hombre normal?

a. 3 : 1

b. 1: 3

c. 1: 1

d. 2: 1

8. Julio y Rebeca tuvieron 4 hijos con los siguientes tipos sanguíneos: A, B, AB y O.

Sin embargo, Teresa, la madre de Julio, argumenta que el niño con tipo sanguíneo

O no es su nieto. ¿Podría tener razón? Julio es tipo A y Rebeca es tipo B.

a. Podría tener razón, si Julio es homocigoto y Rebeca heterocigota.

b. Tiene razón, un hombre tipo A y una mujer tipo B sólo pueden tener hijos

tipo AB.

c. No tiene razón; el niño tipo O es definitivamente su nieto.

d. Tiene razón; un hombre tipo A y una mujer tipo B no pueden tener un

hijo tipo O.

9. Si las frecuencias genotípicas en una población en equilibrio genético son de 0.64

RR, 0.32 Rr y 0.04 rr, ¿cuáles son las frecuencias alélicas de R y r?

a. R=0.2 y r=0.8

b. R=0.16 y r=0.2

c. R=0.8 y r=0.2

d. R=0.4 y r=0.6

10. Una población está en equilibrio Hardy-Weinberg. Si el genotipo recesivo bb tiene

una frecuencia de 0.2, ¿cuál es la frecuencia para el alelo B?

a. 0.45

b. 0.50

c. 0.55

d. 0.65


QUINTA SERIE: Esquemas (15 puntos)

Instrucciones:Complete la información requerida en cada esquema (puntos

especificados en cada inciso).

1. Explique en qué consistió el experimento de Engelmann y qué aportes brindó al

estudio de la fotosíntesis. Escriba una conclusión de este experimento. La

siguiente figura contiene información sobre dicho experimento (3 puntos cada

inciso).

Breve explicación del experimento:

Aportes al estudio de la fotosíntesis:

Conclusión del experimento:


2. Observe la figura del ciclo de Calvin que se presenta a continuación y complete la

información que hace falta sobre las líneas de color negro. Debe escribir el nombre

de 3 fases y el nombre de 3 intermediarios en el ciclo. (1 punto c/u).


NOVENA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE BIOLOGÍA NIVELII

INSTRUCCIONES GENERALES:

Esta prueba consta de cinco series. Debe responder TODA la prueba con tinta azul o

negra. Puede utilizar calculadora, pero no celular. El tiempo máximo para responder

es de 120 minutos.


Instrucciones: A continuación encontrará 40 preguntas de selección múltiple. Elija

la opción correcta y marque una X en la casilla correspondiente de la hoja de

respuestas. Sólo ahí se calificará la respuesta. (0.5 puntos c/u)

1. El agua es una molécula polar, porque:

a. Tiene un pH de 7 y una temperatura de ebullición de 100 °C.

b. En un extremo tiene carga positiva parcial y en el otro, carga negativa

parcial.

c. Disuelve cualquier sustancia, excepto las sustancias oleaginosas.

d. En estado sólido es más densa que en estado líquido.

2. Entre el grupo amino y el grupo carboxilo de los ____________ se forman enlaces

__________.

a. Carbohidratos / glucosídicos.

b. Aminoácidos / peptídicos.

c. Carbohidratos / peptídicos.

d. Lípidos / glucosídicos.


3. Los siguientes enunciados se refieren al transporte activo:

I. La difusión facilitada es un tipo de transporte activo.

II. Algunas proteínas de transporte actúan como bombas que desplazan las

sustancias a través de las membranas a favor de sus gradientes de

concentración.

III. Algunas proteínas de transporte actúan como bombas que desplazan las

sustancias a través de las membranas en contra de sus gradientes de

concentración.

IV. El transporte activo permite a una célula mantener concentraciones internas

de pequeñas moléculas que difieren de las concentraciones de sus

alrededores.

V. La bomba de sodio y potasio transloca tres iones de sodio por tres iones de

potasio.

¿Cuáles de los enunciados anteriores son VERDADEROS?

a. I y V

b. I y III

c. II y V

d. III y IV

4. ¿Cuál de las siguientes moléculas es un polímero de reserva ramificado, que puede

encontrarse en células hepáticas y musculares?

a. Almidón

b. Amilosa

c. Glucógeno

d. Amilopectina

5. Es el mecanismo propuesto por Darwin a través del cual ocurre el cambio

evolutivo.

a. Selección natural

b. Homoplasia

c. Extinción

d. Homología

6. El número de autosomas y el número de cromosomas sexuales en una célula

somática y en un gameto humano, respectivamente, son:

a. 22, 1; 44, 2

b. 46 ; 23

c. 23 ; 46

d. 44, 2; 22, 1


7. El genotipo de los individuos F1 en un cruzamiento tetrahíbrido es AaBbCcDd. En

el supuesto de que haya una distribución independiente de cada par de alelos,

¿cuáles son las probabilidades de que la descendencia F2 tenga el genotipo

siguiente: aabbccdd?

a. 1/16

b. 1/64

c. 1/256

d. 1/8

8. En un cruce entre una variedad de tomates rojos híbridos y de tamaño normal

homocigóticos (RrNN) con una variedad amarilla enana (rrnn), ¿qué proporción de

los tomates rojos que se obtienen en la F2 serán enanos? Utilice los siguientes

símbolos: R → rojo; r → amarillo y N → tamaño normal; n → enana. (Los

alelos dominantes son color rojo y tamaño normal).

a. 7/28

b. 3/16

c. 1/16

d. 1/2

9. Una mujer lleva en uno de sus cromosomas X un gen letal recesivo (f), y en el otro,

el dominante normal (F). ¿Cuál será la proporción de sexos “femenino: masculino”

en la descendencia de esta mujer si procrea con un hombre normal?

a. 3 : 1

b. 1:3

c. 1:1

d. 2:1

10. Julio y Rebeca tuvieron 4 hijos con los siguientes tipos sanguíneos: A, B, AB y O.

Sin embargo, Teresa, la madre de Julio, argumenta que el niño con tipo sanguíneo

O no es su nieto. ¿Podría tener razón? Julio es tipo A y Rebeca es tipo B.

a. Podría tener razón, si Julio es homocigoto y Rebeca heterocigota.

b. Tiene razón, un hombre tipo A y una mujer tipo B sólo pueden tener hijos

tipo AB.

c. No tiene razón; el niño tipo O es definitivamente su nieto.

d. Tiene razón; un hombre tipo A y una mujer tipo B no pueden tener un

hijo tipo O.


11. Si las frecuencias genotípicas en una población en equilibrio genético son de 0.64

RR, 0.32 Rr y 0.04 rr, ¿cuáles son las frecuencias alélicas de R y r?

a. R=0.2 y r=0.8

b. R=0.16 y r=0.2

c. R=0.8 y r=0.2

d. R=0.4 y r=0.6

12. Una población está en equilibrio Hardy-Weinberg. Si el genotipo recesivo bb tiene

una frecuencia 0.2, ¿cuál es la frecuencia para el alelo B?

a. 0.45

b. 0.50

c. 0.55

d. 0.65

13. El genoma de los virus puede estar formado por:

a. ADN de cadena doble

b. ADN de cadena simple

c. ARN de cadena doble o simple

d. Todas son correctas

14. Los siguientes enunciados se refieren al tema de virus, priones y viroides:

I. La cubierta proteica que encierra al genoma viral se denomina capsómero.

II. Las envolturas de los herpes virus derivan de la membrana nuclear del

huésped.

III. Los viroides son moléculas circulares de ARN.

IV. Los priones son proteínas infecciosas que causan enfermedades cerebrales en

algunos animales.

V. El virus de la hepatitis C es un virus del grupo de los poxvirus que presenta

envoltura.

¿Cuáles de los enunciados anteriores son FALSOS?

a. I y II

b. II y III

c. I y V

d. III y IV


15. El orden en que suceden los eventos de un ciclo lítico de un fago, como T4, es el

siguiente: (1) Fijación, (2) Entrada del ADN del fago y degradación del ADN del

huésped, (3) Síntesis del genoma y de las proteínas virales, (4) Ensamblaje y (5)

Liberación.

a. Falso, la síntesis del genoma ocurre inmediatamente después de la

fijación del fago.

b. Falso, el ensamblaje sucede luego de la liberación cuando la célula

huésped se lisa.

c. Verdadero, la fijación es necesaria para que se inicie el ciclo.

d. Verdadero, los mismos pasos emplea el fago lamda (λ) en el ciclo lisógeno.

16. Son ejemplos de mecanismos de transferencia de genes y recombinación genética

en bacterias:

a. Transformación, transducción y conjugación

b. Traducción y gemación

c. Gemación y transcripción

d. Bipartición, transcripción y gemación

17. Dos formas frecuentes de los procariontes son las siguientes:

a. Helicoidales y lineales

b. Esféricas y helicoidales

c. Amorfas e icosaedros

d. Lineales e icosaedros

18. Las _______________ de las bacterias contienen __________________, cuya cantidad,

entre otras características, sirve para catalogarlas como:

__________________________.

a. Paredes celulares / fimbrias/ proteobacterias alfa o beta

b. Membranas celulares / capsómeros / grampositivas o gramnegativas

c. Paredes celulares / peptidoglucano/grampositivas o gramnegativas

d. Membranas celulares / peptidoglucano / proteobacterias gamma o

arqueas

19. Elija la opción que corresponde al modelo nutricional de los procariontes del

género Sulfolobus y Anabaena, respectivamente.

a. Fotoautótrofo//fotoheterótrofo

b. Quimioautótrofo//Fotoautótrofo

c. Fotoheterótrofo// Quimioheterótrofo

d. Ambos son quimioheterótrofos


20. Las endosporas….

a. Permiten a algunos procariontes, como Bacillusanthracis, sobrevivir en

condiciones inhóspitas.

b. Se forman alrededor de la pared celular de los micoplasmas, como una

cubierta adicional.

c. Son frágiles y no resisten temperaturas elevadas, en colonias de

cianobacterias fijan nitrógeno.

d. Sólo pueden sobrevivir dentro de las células animales y dependen de

ellas para obtener ATP.

21. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es VERDADERA?

a. La endosimbiosis en serie es un modelo del origen de los eucariontes que

consiste en una secuencia de eventos endosimbióticos, por el cual las

mitocondrias, los cloroplastos y tal vez otras estructuras celulares se

derivan de procariontes pequeños que han sido engullidos por células de

mayor tamaño.

b. La Panspermia es una hipótesis que explica cómo la vida se originó en la

tierra, y luego se trasladó a otros planetas por medio de asteroides.

c. De acuerdo a la “Deriva Continental”, al final de la era Mesozoica, las

masas continentales formaban el gran continente Pangea.

d. a y c son correctas.

22. Los ____________________ son organismos abundantes en el fitoplancton; su

proliferación produce el fenómeno denominado “marea roja” en aguas costeras.

a. Cinetoplástidos

b. Apicomplexos

c. Dinoflagelados

d. Parabasálidos

23. Tipo de alveolado que tiene sacos por debajo de la membrana plasmática:

a. Dinoflagelados

b. Apicomplexos

c. Ciliados

d. Todos son correctos


24. Algas unicelulares, pertenecientes al grupo Bacillariophyta. Tienen una pared

compuesta de cristales de sílice hidratado incluidos en una matriz orgánica.

a. Diatomeas

b. Foraminíferos

c. Algas pardas

d. Radiolarios

25. ¿Cuál de los siguientes protistas NO está apareado con un componente que lo

caracteriza?

a. Euglena – paramilón

b. Apicomplexo – clorofila b

c. Alga parda – algina

d. Alga roja – ficoeritrina

26. Los siguientes son rasgos derivados que aparecen exclusivamente en las plantas

(embriofitas), pero que están ausentes en las carofíceas.

a. Meristemas apicales

b. Gametangios multicelulares

c. Embriones multicelulares y dependientes

d. Todas son correctas

27. Un estudiante observa una planta no vascular en un laboratorio. A simple vista

parece ser un gametofito aplanado y con forma de hígado. Además, observa que los

gametangios están elevados sobre gametóforos, como si fuesen sombrillas en

miniatura. ¿Podría usted ayudar a dicho estudiante diciéndole a cuál de los

siguientes Phyla pertenece esta planta?

a. Anthocerophyta

b. Bryophyta

c. Hepatophyta

d. Pterophyta

28. En una gira de campo, se encontró una planta con las siguientes características:

posee tallos horizontales; brotes con vernación circinada que se desenrollan

conforme crecen; al observar la cara inferior del esporófilo había presencia de

cúmulos de esporangios (soros). ¿A qué Phylum de plantas vasculares pertenece el

ejemplar?

a. Anthocerophyta

b. Licophyta

c. Pterophyta

d. Coniferophyta


29. El siguiente es un ejemplo de gimnosperma:

a. Ginkgo biloba

b. Cycas revoluta

c. Welwitschiamirabilis

d. Todas las anteriores

30. Si al germinar, una semilla tiene un cotiledón, la planta desarrollará además:

1. Sistema radical homorrizo.

2. Sistema radical alorrizo.

3. Hojas con nerviación retinervada.

4. Hojas con nerviación paralelinervia.

5. Disposición de los haces vasculares como los de la figura A.

6. Disposición de los haces vasculares como los de la figura B.

Seleccione la respuesta correcta:

a. 1,3,6

b. 2,4,6

c. 2,3,5

d. 1,4,5

31. Los cuerpos de los hongos forman una red de filamentos diminutos llamados

_____________, que forman una masa entretejida o _____________. Los filamentos

poseen paredes celulares compuestas de _____________.

a. Haustorios, hifas, quitina

b. Soredios, septo, celulosa

c. Hifas, micelio, quitina

d. Micelio, hifas, celulosa

32. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre los hongos es FALSA?

a. Los hongos son importantes en los ecosistemas por su función como

descomponedores.

b. En una simbiosis entre hongos y animales, algunos hongos prestan

servicios digestivos a los animales.

c. Los líquenes son una asociación simbiótica de microorganismos

fotosintéticos contenidos en una masa de hifas de hongos.

d. Rhizopusstolonifer, el moho negro del pan, es un ascomiceto que produce

ascosporas.

A

B


33. Algunos investigadores utilizaron al hongo Neurosporacrassa para formular la

hipótesis “un gen-una enzima”. Este hongo se reproduce asexualmente

produciendo un número enorme de conidios haploides. ¿A qué Phylum pertenece

este hongo?

a. Chytridiomycota

b. Zygomycota

c. Ascomycota

d. Basidiomycota

34. Hongos que se caracterizan por ser los únicos con esporas flageladas.

a. Chytridiomycota

b. Zygomycota

c. Ascomycota

d. Basidiomycota

35. En los deuterostomados…

a. el celoma se forma a partir de divisiones en el mesodermo.

b. el ano se desarrolla a partir del blastoporo.

c. la boca se desarrolla a partir del blastoporo.

d. no se forma celoma y la segmentación es espiral y determinada.

36. En el grupo ______________ se incluyen invertebrados suspensívoros sin tejidos

verdaderos. Es considerado el grupo más ancestral de los animales.

a. Porifera

b. Tardigrada

c. Onychophora

d. Mollusca


37. Los siguientes enunciados se refieren a invertebrados.

I. Los rotíferos son gusanos segmentados; viven como parásitos en el intestino

de algunos vertebrados.

II. Los lofoforados son artrópodos de agua dulce que producen larvas con

simetría radial.

III. Muchos moluscos raspan el alimento con un órgano en forma de banda

llamado rádula.

IV. Las sanguijuelas son hirudíneos del PhylumAnnelida.

V. Obelia es un género de equinodermo que habita en aguas marinas poco

profundas cercanas a las costas.

VI. Los primeros artrópodos, como los trilobites, tenían una segmentación

pronunciada, pero sus apéndices no variaban mucho entre uno y otro

segmento.

Elija la opción que contenga tres enunciados VERDADEROS.

a. I, II y III

b. II, III y IV

c. III, IV y VI

d. I, II y V

38. ¿Cuál de las siguientes características no corresponde al Orden de insectos que las

precede?

a. Isoptera Insectos sociales que producen grandes colonias. Algunos poseen

dos pares de alas, mientras otros carecen de ellas.

b. Diptera Poseen solo un par de alas; el segundo par está modificado como

órganos de equilibrio llamados halterios. Su cabeza es grande y

móvil.

c. Hemiptera Poseen dos pares de alas, uno más rígido y el otro membranoso;

poseen un aparato bucal picador-chupador.

d. Odonata Insecto pequeño sin alas con cuerpo aplanado y ojos reducidos.

Habita en la hojarasca o debajo de la corteza de vegetales.

39. Vertebrados que se caracterizan por poseer metamorfosis, y realizar respiración

por la piel:

a. Anfibios

b. Anfioxos

c. Reptiles

d. Tunicados


40. Los amniotas incluyen a los:

a. Peces, anfibios y equinodermos

b. Reptiles, aves y mamíferos

c. Anfibios y reptiles

d. Urodelos, anuros y ápodos

SEGUNDA SERIE: Verdadero o falso (20 puntos)

Instrucciones. Acontinuación se presentan 40 enunciados. Lea cada enunciado y

marque una X en la columna V de la hoja de respuestas, si el enunciado es

VERDADERO. Marqueuna X en la columna F de la hoja de respuestas, si el

enunciado es FALSO. (0.5 puntos c/u)

ENUNCIADO

1 Los animales endotermos necesitan consumir mucho más alimento que los

ectotermos de tamaño equivalente.

2 La vitamina K es utilizada en la síntesis de colágeno; su deficiencia en el

organismo provoca escorbuto.

3 El pepsinógeno es la forma activa de la pepsina.

4 La enterogastrona, secretada por el duodeno, inhibe el peristaltismo y la

secreción ácida gástrica, para retrasar la digestión cuando el quimo ácido rico

en grasas entra en el duodeno.

5 El páncreas produce varias enzimas hidrolíticas y una solución alcalina rica

en bicarbonato.

6 Los anfibios tienen un corazón de dos cámaras y un circuito único de flujo

sanguíneo, mientras que los mamíferos tienen un corazón con cuatro cámaras

y un circuito de circulación doble.

7 La fase de contracción del ciclo cardíaco se denomina sístole y la fase de

relajación es la diástole.

8 La región denominada nodo senoauricular (SA), o maracapaso, establece la

velocidad y el momento de la contracción de las células musculares cardiacas.

9 Las dos venas cavas vacían la sangre en la aurícula izquierda, desde la cual,

la sangre con escaso contenido de oxígeno se dirige hacia el ventrículo

izquierdo.

10 Las proteínas plasmáticas, denominadas fibrinógenos, son factores de

coagulación que ayudan a sellar filtraciones cuando los vasos sanguíneos se

lesionan.

11 Durante la exhalación se contraen los músculos costales y el diafragma, y

disminuye el volumen pulmonar.


12 Un descenso del pH disminuye la afinidad de la hemoglobina por el O2,

fenómeno denominado efecto Bohr, descrito por el fisiólogo danés Christian

Bohr.

13 Desde la cavidad nasal y la faringe, el aire inhalado se desplaza por la laringe,

el esófago, los bronquios y bronquiolos para terminar en los alveolos.

14 Los linfocitos que migran desde la médula ósea al timo se convierten en

células T.

15 La inmunoglobulina cuya presencia en la leche materna confiere inmunidad

pasiva al lactante es la IgE.

16 Los macrófagos desempeñan un papel esencial al iniciar una respuesta

inmunitaria secundaria, pues presentan los antígenos a las células T helper de

memoria.

17 Cada receptor de célula T para un antígeno dado está formado por dos

cadenas polipeptídicas diferentes, una cadena alfa y una cadena beta, unidas

por un puente disulfuro.

18 El lupus eritematoso sistémico y la artritis reumatoide son ejemplos de

enfermedades auto inmunitarias.

19 El principal desecho nitrogenado de los mamíferos, anfibios y tiburones es el

ácido úrico.

20 El segmento inicial expandido de la nefrona, donde ingresa el filtrado de la

sangre, recibe el nombre de asa de Henle.

21 La orina sale de cada riñón a través de un conducto llamado túbulo distal.

22 Lo orina es isoosmótica con respecto al líquido intersticial de la médula

interna del riñón e hiperosmótica con respecto a la sangre y al líquido

intersticial de cualquier otra región del organismo.

23 La hormona que estimula la contracción del útero y las células de las

glándulas mamarias es la melatonina.

24 Las prostaglandinas son ácidos grasos modificados; algunas de ellas ayudan a

inducir la fiebre e inflamación.

25 En los seres humanos, la glándula tiroides se compone de un lóbulo localizado

en la cara dorsal de la tráquea y produce dos hormonas: triyodotironina y

tiroxina.

26 La calcitonina es una hormona regulada por los ciclos de luz/oscuridad.

27 La partenogénesis es un proceso por medio del cual se desarrolla un huevo no

fecundado; los adultos haploides, producidos por partenogénesis, originan

óvulos sin experimentar meiosis.

28 Las glándulas de Bartholin secretan moco hacia el vestíbulo de la vagina para

mantenerlo lubricado.


29 Durante las primeras 2 a 4 semanas de desarrollo, el embrión humano obtiene

nutrientes directamente del endometrio.

30 Los espermatozoides se producen en el epidídimo y de allí pasan a los túbulos

seminíferos.

31 La ovogonia se divide por meiosis y produce un ovocito secundario y tres

cuerpos polares.

32 Los astrocitos son células de sostén esenciales para la integridad estructural

del sistema nervioso.

33 La dopamina es un neurotransmisor del grupo de las aminas biógenas.

34 En el desarrollo del encéfalo humano, el mielencéfalo da origen al hipotálamo.

35 La sustancia gris del cerebro se compone de dendritas, axones amielínicos y

cuerpos neuronales.

36 Laurasia y Gondwana se separaron en los continentes actuales al final de la

era Paleozoica.

37 La extinción masiva del Pérmico, que define el límite entre las eras Paleozoica

y Mesozoica, acabó con un altísimo porcentaje de las especies de animales

marinos, pero también afectó a los animales terrestres.

38 En la especiación alopátrica, el flujo génico se interrumpe cuando una

población se divide en dos subpoblaciones geográficamente aisladas.

39 Un ejemplo de evolución divergente es la que se observa al comparar la

anatomía del canguro rojo (marsupial) y la liebre de la Patagonia (euterio), o

la del topo marsupial y el topo común.

40 Los brazos, los miembros anteriores, las aletas y las alas de diferentes

mamíferos son estructuras análogas que representan variaciones sobre una

parte estructural que ya existía en el ancestro común.

TERCERA SERIE: Completación o preguntas de desarrollo breve (35 puntos)

Instrucciones: Escriba en los espacios en blanco la palabra o palabras que completan

las siguientes oraciones o dé respuesta a las preguntas, si se le solicita.

1. El________________________________ es un orgánulo que consiste en pilas de sacos

membranosos que modifican, almacenan y transportan productos del retículo

endoplasmático.

2. El_______________________ es la región que contiene el ADN en el citoplasma de

los procariontes.


3. El________________________________ es la estructura protectora de cada extremo

de un cromosoma eucariótico; el ADN repetitivo en el extremo de la molécula de

ADN de los cromosomas.

4. Escriba la secuencia de bases complementarias de ARN mensajero para esta

secuencia de ADN:

TAG-CGT-ACA

_________________________________

5. El pequeño anillo de ADN que transporta genes accesorios separados de aquellos

de un cromosoma bacteriano se llama: ____________________________________.

6. Escriba 2 ejemplos de factores abióticos:

___________________________ ___________________________

7. ¿Cuál es la relación entre la capacidad de carga, la capacidad ecológica y la huella

ecológica para la población de un país? Defina cada término en su respuesta.

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

8. Escriba dos ejemplos de factores limitantes de la distribución de especies:

___________________________

___________________________

9. La/El _________________________ es el empleo de organismos vivos generalmente

procariontes, hongos o plantas para desintoxicar sistemas contaminados.


10. En un breve párrafo, explique lo que indican los datos de la siguiente pirámide de

distribución etaria de una población humana:

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

11. El incremento de actividades agrícolas y ganaderas en Izabal fragmentó las

poblaciones de mono aullador, dejando una población de 10,000 individuos para

1960, que continuó su reducción hasta una población de 50 individuos en 2010. Sin

embargo, en las reservas de Petén, sur de México y Belice, se han mantenido

poblaciones importantes. ¿Cuál de las siguientes estrategias incrementaría con

mayor rapidez la diversidad genética de la población de monos aulladores de

Izabal? Subraye la estrategia, y en un breve párrafo, explique por qué razón es la

más adecuada.

i. Establecer una reserva que proteja el hábitat de la población.

ii. Capturar individuos para su procreación en cautiverio, seguido por su

reintroducción.

iii. Introducir individuos de la misma especie que han sido transportados de

otras poblaciones.

iv. Controlar las poblaciones de depredadores y competidores de la especie

en peligro.

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________


12. ___________________________________ y _______________________________son dos

ejemplos de especies de plantas vulnerables a la sobreexplotación en Guatemala.

13. En los biomas acuáticos se pueden distinguir tres zonas. En la parte superior o

zona ___________________, penetra suficiente luz para que se lleve a cabo la

fotosíntesis. En la parte inferior o zona _____________________ la cantidad de luz

es escasa. En el fondo de los biomas acuáticos, el sustrato se denomina zona

__________________________.

14. Un ___________________________ es un área de transición entre un río y el mar,

que presenta patrones de flujo complejos. Durante el ascenso de la marea, el agua

de mar penetra en el canal de dicho bioma y retrocede durante su descenso. Con

frecuencia se produce una mezcla de canales, islas, diques y plataformas de fango.

15. En el bioma llamado ___________________ la vegetación es por lo general herbácea

y está compuesta de líquenes, musgos, pastos y hierbas pequeñas de hoja ancha,

entre otros. Hay una capa permanente de tierra congelada que impide la filtración

del agua. Los inviernos son largos y fríos y el promedio de temperatura en algunas

áreas desciende por debajo de los – 30°C.

16. La ________________________ es la pérdida de la capacidad de respuesta a los

estímulos que transmiten información escasa o nula.

17. Explique brevemente en qué consiste la teoría del forrajeo óptimo.

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

18. La selección natural puede adquirir la forma de selección ____________________ en

la que los miembros de un sexo elijen parejas de acuerdo a con características

específicas del otro sexo, como el canto del cortejo; o de selección

___________________, que implica la competencia entre miembros de un sexo en

busca de una pareja.

19. Escriba dos ejemplos de reservorios de nitrógeno que posee la Tierra:

a) ______________________________

b) ______________________________


SERIE: Esquemas (15 puntos)

Instrucciones:Complete la información requerida en cada esquema (puntos

especificados en cada inciso).

1. Explique en qué consistió el experimento de Engelmann y qué aportes brindó al

estudio de la fotosíntesis. Escriba una conclusión de este experimento. La

siguiente figura contiene información sobre dicho experimento (7 puntos).

Breve explicación del experimento:

Aportes al estudio de la fotosíntesis:

Conclusión del experimento:


2. Observe la figura del ciclo de Calvin que se presenta a continuación y complete la

información que hace falta sobre las líneas de color negro. Debe escribir el nombre

de 3 fases y el nombre de 3 intermediarios en el ciclo. (0.5 puntos c/u).

[CH2O] (sugar)O2

NADPH

ATP

ADP

NADP+

CO2H2O

LIGHTREACTIONS

CALVINCYCLE

Light

3 CO2

Rubisco

3 P P

Fase 1: _____________________

6 P

____________________________6 ATP

6 ADP

CICLO DE CALVIN

P

P3

6 NADP+

6

6 NADPH

P i

6 P

_____________________________

P

6 P

____________________

P1

G3P

Fase 2: ________________

Glucosa y otros compuestos orgánicos

3

3 ADP

ATP

Fase 3: _______

P5

G3P

Fase 2________


3. Observe la siguiente figura del catabolismo de moléculas alimenticias que se

emplean como combustible para la respiración celular. Escriba la palabra

correspondiente a cada número para completar la figura. (0.5 puntos c/u)

1 _________________________________ 6______________________________

2 _________________________________ 7 _____________________________

3 _________________________________ 8 _____________________________

4 _________________________________ 9 _____________________________

5 _________________________________ 10 ____________________________

Proteínas Carbohidratos Lípidos

Glucos

a

Gliceraldehído

3-P

1 2 3 4

5

6 8

7

9

10


QUINTA SERIE. Desarrollo de tema (10 puntos)

Instrucciones: A continuación se presenta un tema. Desarróllelo en dos páginas

(máximo, incluyendo ésta y la página al reverso). Cuide la redacción y ortografía.

Incluya al menos un esquema para ilustrar el tema.

Tema: “Crecimiento secundario en las plantas”

Subtemas: -Cambium vascular y tejido vascular secundario

-Cambium de corcho y producción de peridermo


4.5 TECNOLOGÍA

NOVENA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DEL AREATECNOLOGÍA

INSTRUCCIONES:

A continuación se le presenta una serie de problemas, cada problema tiene una

valoración en puntos, debe tratar de realizar programas de computadora que

resuelvan cada problema, puede resolver los problemas en cualquier orden deseado, al

finalizar de resolver cada problema debe solicitar que sea validado con el archivo de

prueba que le será entregado por los jueces, deberá generar su salida y entregarla

para su verificación, si la verificación es correcta habrá obtenido los puntos en que se

ha valorado el problema. Recuerde que el tiempo utilizado para resolver los problemas

también es parte de la competencia. A menos que se indique otro método, los

problemas deberán solicitar el nombre del archivo de entrada y generar la salida a un

archivo nombrado salidaN.txt, donde N corresponde al número de problema.

Problema No. 1 (15 pts.)

En un universo paralelo, existen 8 elementos base que componen toda la materia.

Cada elemento base es representado con una letra y se representan en la siguiente

lista: Q, W, E, R, A, S, D, F. Toda la materia de este universo paralelo puede

representarse utilizando una lista con los elementos base que la constituyen, por

ejemplo, una materia WA se representaría en la lista [W,A].

En el universo paralelo, se pueden definir materiales compuestos, formados por 2

elementos base y se representarán con las otras 18 letras del alfabeto, por ejemplo, Q y

F podrían combinarse para formar el elemento T, de manera que si 2 elementos base

que conforman un elemento compuesto aparecen al final de la lista de elementos que

representa una materia específica, entonces los 2 elementos base de la lista serán

sustituidos por el elemento compuesto que forman. Por ejemplo, si se tiene la lista de

elementos [A, Q, F] o [A, F, Q] se convertiría en la lista [A, T].

Adicionalmente, en el universo paralelo existen elementos base que pueden ser

opuestos, es decir, destruyen la lista de elementos cuando este caso se da.

Por ejemplo, suponga que Q y F se combinan para formar T y que R y F son

elementos opuestos, entonces, si se tienen los siguientes materiales ocurrirán los

siguientes eventos:


Material QF genera la lista de elementos [T] (Q y F se combinan para formar T)

Material QEF genera la lista de elementos [Q, E, F] (Q y F no se combinan porque

no están consecutivos en la lista).

Material RFE genera la lista de elementos [E] (R y F son opuestos y eliminan la

lista cuando tuvo la forma [R, F])

Material REF genera la lista de elementos [] (R y F son opuestos y eliminan la

lista).

Material RQF genera la lista de elementos [R, T] (Q y F se combinan para formar T,

entonces no se da el caso R y F que generaría la eliminación de la lista por ser

opuestos).

Material RFQ genera la lista de elementos [Q] (R y F son opuestos y se eliminan)

El problema consiste en crear un simulador que dados los elementos base que

componen un material del universo paralelo, pueda establecer la lista de elementos

que describen su comportamiento basándose en reglas para crear elementos

compuesto y definición de elementos opuestos.

Entrada

Un archivo de texto cuya primera línea define el número de casos a simular T, y luego

vienen T líneas que representan cada caso a simular. Cada línea contiene un caso a

simular conteniendo los siguientes elementos separados por un espacio en blanco:

Primero viene un entero C seguido por C hileras de 3 caracteres, cada una de las

cuales contendrá 2 elementos base y el elemento compuesto que forman, esto indica

que estas parejas de elementos base forman un elemento compuesto. A continuación

viene un entero D y D hileras de 2 caracteres que representan dos elementos base que

son opuestos entre ellos. Finalmente la línea contiene un entero N seguido por una

hilera de N caracteres que representa el material de N elementos base que lo

componen. Considere que la lista de materiales se lee de izquierda a derecha para

construir la lista y que las reglas de composición y oposición se aplican conforme se

crea la lista iniciando al final de la misma.

Salida

En un archivo de texto, por cada caso a simular, deberá generar una línea con el

formato “Caso #x: y” donde “x” es el número de caso que se simula y “y” representa la

lista de elementos del material en la forma [e0, e1,…] donde ei corresponde al i-ésimo

elemento de la lista de elementos del material.

Ejemplo:

Entrada

5

0 0 2 EA

1 QRI 0 4 RRQR

1 QFT 1 QF 7 FAQFDFQ

1 EEZ 1 QE 7 QEEEERA


0 1 QW 2 QW

Salida

Caso #1: [E, A]

Caso #2: [R, I, R]

Caso #3: [F, D, T]

Caso #4: [Z, E, R, A]

Caso #5: []


La música y la matemática siempre tienen una relación muy cercana. Desde

Pitágoras se conoce que la armonía tonal está estrechamente relacionada a la relación

numérica de las frecuencias.

Un pianista perezoso, que suele tocar melodías muy largas compuestas por

Kindermann, ha aprovechado esta estrecha relación. Sin embargo, este pianista

normalmente toca solo la mitad o una cuarta parte de las notas totales.

Increíblemente, la audiencia nunca ha notado su truco. La razón principal es que este

pianista siempre toca melodías que tienen una característica particular que es mejor

descrita por la secuencia de melodías que se describe en la figura 1.

Figura 1. Una secuencia generada por Kindermann

La figura 1, muestra la siguiente secuencia de melodías.

DO DO RE DO RE RE MI DO RE RE MI RE MI MI FA DO

Sin embargo, si se seleccionan solo las segundas notas, se obtiene la misma

secuencia de melodías


DO DO RE DO RE RE MI DO

Esto es exactamente la misma melodía. Y si se seleccionan solamente las cuartas

notas, se obtendrá exactamente la misma melodía


DO DO RE DO RE RE MI DO

DO DO RE

Al pianista perezoso le gustaría continuar tocando este tipo de melodías, pero él

no conoce cómo completar la melodía que se presentó en la figura 1.

Su trabajo es construir un algoritmo que permita completar esa melodía.


Un buen tip para hacer el trabajo podría ser asumir que cada nota será

representada por un entero. Entonces, DO=1, RE=2, MI=3, FA=4, SOL=5, etc.

Entonces, la secuencia presentada en la figura 1 puede ser vista de la siguiente forma:

Un algoritmo posible para genera la secuencia se muestra en la tabla 1. Cada

número decimal es expresado utilizando una representación binaria, y entonces, se

suman los 1’s que existen en esa representación. Este valor representa la nota.

Número

decimal

Número

binario

Suma de

dígitos “1”

Tono 2da. nota 4ta. nota

1 1 1 DO

2 10 1 DO DO

3 11 2 RE

4 100 1 DO DO DO

5 101 2 RE

6 110 2 RE RE

7 111 3 MI

8 1000 1 DO DO DO

9 1001 2 RE

10 1010 2 RE RE

11 1011 3 MI

12 1100 2 RE RE RE

13 1101 3 MI

14 1110 3 MI MI

15 1111 4 FA

16 10000 1 DO DO DO

… … … … … …

Tabla 1. Tip para generar la secuencia

Entrada

El archivo de entrada consiste de una línea que contiene un número entero positivo “n”

que representa el número total de casos a evaluar. A continuación vienen “n” líneas

que contienen 3 números enteros positivos (total, cant, pos), donde “total” representa

el total de tonos a generar, “cant” representa la cantidad de tonos que deben ser

mostrados como resultado, y “pos” representa el punto inicial. Por ejemplo, si cant=2 y

pos=1, entonces significa que se necesita generar la secuencai de 2 valores iniciando

desde la posición número uno. No es posible que “pos” tenga un valor mayor que

“total”, y obviamente, tampoco es posible que ((pos + cant) – 1) > total.


Salida

Un archivo con “n” líneas indicando el número de caso (Caso 1:), un espacio, y luego, la

secuencia de enteros positivos separados por un espacio, donde cada entero representa

una nota de la melodía, si no se cumplen las condiciones se debe mostrar el mensaje

“No es posible”.

Ejemplo de entrada

5

16 3 10

2 2 1

5 5 2

8 1 8

15 15 1

Ejemplo de salida

Caso 1: 2 3 2

Caso 2: 1 1

Caso 3: No es posible

Caso 4: 1

Caso 5: 1 1 2 1 2 2 3 1 2 2 3 2 3 3 4


Hemos estado recibiendo telegramas de felicitación por las olimpiadas de ciencias. El

problema es que los telegramas se han enviado en código Morse.

En el código Morse, cada letra del alfabeto se sustituye por una secuencia de

puntos y rayas de la siguiente manera:

A .- h .... o --- v ...-

b -... i .. p .--. w .--

c -.-. j .--- q --.- x -..-

d -.. k -.- r .-. y -.--

e . l .-.. s ... z --..

f ..-. m -- t -

g --. n -. u ..-


La única forma de poder saber que palabra nos están trasmiten es por medio del

espacio en blanco que limita cada palabra que nos envían, y un salto de línea para que

termine la palabra, por consiguiente necesitamos saber qué es lo que nos están

tratando de decir.

Ejemplo de Entrada:

…. --- .-..

--- .-.. .. -- .--. .. .- -.. .- …

Salida Correspondiente:

Hola

Olimpiadas


¿De cuantas maneras diferentes se puede hacer cambio una cantidad de dinero, dada

una lista de monedas?

Escribir un programa que dado

Una cantidad N y varios tipos de monedas M

Una lista de M monedas M = M1,M2,M3, … ,M4

Imprima cuantas maneras diferentes existen de hacer sencillo la cantidad

utilizando las monedas de la lista.

Dado un valor N, si queremos hacer sencillo N centavos con X cantidad de

monedas, y tenemos infinitas monedas de cada valor de la lista de monedas M = M1,

M2, M3,…, Mn, ¿De cuantas maneras podemos hacer cambio la cantidad N utilizando

X monedas?, no importa el orden de las monedas.

Restricciones

1≤Mi≤50

1≤N≤250

1≤X≤50

Formato de Entrada

La primera línea contendrá 2 enteros, N y M respectivamente

La segunda contiene la lista de los valores de las monedas disponibles

Formato de Salida

Un entero que representa el número de maneras en las que se puede hacer cambio la

cantidad N, dada la lista infinita de monedas M utilizando X monedas.


Ejemplo de Entrada y Salida

Ejemplo de

entrada

Ejemplo de

salida

4 3

1 2 3 4

10 4

2 5 3 6 5


Las matrículas de los automóviles en España están compuestas por dos partes. La

primera consiste en un número decimal de 4 dígitos que se va incrementando de uno

en uno. Cuando se llega al último valor (9999), se reinicia la cuenta (en 0000) y se

incrementa la segunda parte, que contiene letras.

Esta segunda parte consiste en tres letras consecutivas, excluyendo las vocales y

la letra Ñ. Cuando, tras recorrer todos los números, se incrementa la letra, se pasa a la

siguiente en el abecedario en la letra situada más a la derecha, saltándose las vocales

y la Ñ. Si para ella se acaba el abecedario, se vuelve al principio (B) y se incrementa la

anterior con este mismo procedimiento.

Entrada

La entrada consta de una serie de casos de prueba. Cada uno aparece en una línea,

conteniendo una combinación de números y letras (en mayúscula) correspondiente a

una matrícula. Consulta el ejemplo para más información. El último caso de prueba,

que no deberá procesarse, contendrá la última matrícula posible, 9999 ZZZ.

Salida

Para cada caso de prueba se mostrará una línea en la que aparecerá la matrícula que

va a continuación de la dada, con las letras en mayúscula. Si se encuentra la última

matricula (9999 ZZZ) se mostrará la palabra FINAL

Formato de Entrada

1234 BBB

9999 BBZ

9999 BBD

9999 ZZZ

Formato de Salida

1235 BBB

0000 BCB

0000 BBF

FINAL

NOVENA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE...

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