Notas Tc09

Facultad de Matematicas

Universidad de Sevilla

Teorıa de Conjuntos

Curso 2009–2010

Contenido

A La Teorıa de Conjuntos de Zermelo–Fraenkel 1

I. La Teorıa de Conjuntos de Zermelo–Fraenkel 3

1. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2. La idea intuitiva de conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.A. El lenguaje de la Teorıa de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.B. Clases y conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3. La Teorıa de Conjuntos de Zermelo–Fraenkel . . . . . . . . . . . . . . . 12

4. Extensionalidad, Vacıo y Separacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5. Axiomas del Par, de la Union y de las Partes . . . . . . . . . . . . . . . 16

6. Par ordenado. Axioma del Producto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . 17

7. Relaciones y aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

8. Funciones. Axioma de Reemplazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

II. Buenos ordenes. Ordinales 25

1. Clases bien ordenadas [[Z−∗ ]] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.A. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.B. Los teoremas de minimizacion, induccion y recursion . . . . . . 26

1.C. Isomorfismos entre clases bien ordenadas . . . . . . . . . . . . . 28

2. Numeros ordinales [[Z−∗ ]] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.A. La clase de los numeros ordinales . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.B. Ord como clase bien ordenada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.C. Ordinales lımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.D. Conjuntos bien ordenados y ordinales . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.E. Teoremas de induccion y recursion sobre Ord . . . . . . . . . . 37

i

II Contenido

3. El teorema del buen orden [[ZF∗]] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4. Sucesiones de ordinales [[ZF−∗ ]] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5. Aritmetica ordinal [[ZF−∗ ]] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6. Numeros naturales [[ZF−∗ ]] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

III. Cardinales 47

1. El numero de elementos de un conjunto [[ZF−∗ ]] . . . . . . . . . . . . . . 47

2. Conjuntos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.A. Algebra de conjuntos finitos [[Z−∗ ]] . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.B. Conjuntos D–finitos [[ZF−∗ ]] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3. Conjuntos numerables [[ZF−∗ ]] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4. Numeros enteros y racionales [[ZF−∗ ]] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.A. Numeros enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.B. Numeros racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.C. Ordenes totales densos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5. Conjuntos no numerables. La funcion ℵ [[ZF∗]] . . . . . . . . . . . . . . 58

6. Aritmetica cardinal [[ZF∗]] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6.A. Suma y producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6.B. Exponenciacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

7. Numeros reales [[ZF∗]] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

7.A. Completacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

7.B. Topologıa de la recta real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

7.C. El cardinal de R. La Hipotesis del Continuo, CH . . . . . . . . 66

8. Aritmetica cardinal infinita [[ZF∗]] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

9. Exponenciacion cardinal [[ZF∗]] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

9.A. Cofinalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

9.B. Cardinales regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

9.C. El lema de Konig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

9.D. Las funciones Continuo y Gimel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

9.E. La Hipotesis Generalizada del Continuo, GCH . . . . . . . . . 75

10. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Contenido III

IV. El axioma de regularidad 83

1. La clase WF [[ZF∗]] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

2. El axioma de regularidad [[ZF∗]] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3. ∈–Induccion y ∈–recursion [[ZF−∗ ]] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3.A. Relaciones adecuadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3.B. Teoremas de induccion y recursion sobre relaciones bien funda-mentadas y adecuadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

V. El Axioma de Eleccion 91

1. Resultados conjuntistas equivalentes a AC . . . . . . . . . . . . . . . . 91

1.A. El Axioma de Eleccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

1.B. Principios maximales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

2. Cardinales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3. Formas debiles del Axioma de Eleccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4. Equivalencias bajo el axioma de regularidad . . . . . . . . . . . . . . . 95

5. Espacios compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

B Teorıa Descriptiva de Conjuntos 101

VI. Espacios Polacos 103

1. Espacios Polacos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

1.A. Conjuntos Gδ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

1.B. Arboles [[ZF∗]] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

1.C. El espacio metrico Aω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

2. Inmersiones entre Espacios Polacos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

2.A. El Conjunto de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

2.B. Esquemas de Lusin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

3. Espacios Polacos no numerables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

3.A. Espacios Polacos perfectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

3.B. El teorema de Cantor–Bendixson [[ZF∗ + ACω]] . . . . . . . . . 112

3.C. La derivada de Cantor–Bendixson [[ZF∗]] . . . . . . . . . . . . . 114

IV Contenido

4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

VII. Conjuntos de Borel 117

1. σ–Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

1.A. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

1.B. Cardinal de σ–algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

1.C. Funciones medibles y productos de σ–algebras . . . . . . . . . . 121

2. Conjuntos de Borel, B(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

2.A. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

2.B. Espacios Borel isomorfos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

3. Conjuntos de Borel y CH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

VIII. Medida y Categoricidad 131

1. Ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

1.A. Conjuntos de Primera Categorıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

1.B. Conjuntos medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

2. Conjuntos con la propiedad de Baire, BP(X) . . . . . . . . . . . . . . . 133

2.A. BP(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

2.B. B(X) ⊂ BP(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

3. Medidas de Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

3.A. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

3.B. Σ11 ⊆MEµ,BP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

3.C. Conjuntos de Bernstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

3.D. Conjuntos de Lusin. La Conjetura de Borel y CH . . . . . . . . 140

4. Medidas de probabilidad [[ZFC∗]] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

IX. Apendice 147

1. Espacios Polacos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

1.A. Espacios metricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

1.B. Conjuntos Gδ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

1.C. Teoremas de Transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

2. Conjuntos de primera categorıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

Contenido V

2.A. Conjuntos nunca densos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

2.B. Conjuntos densos y abiertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

2.C. Espacios de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

3. Conjuntos de medida fuerte cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

Parte A

La Teorıa de Conjuntos deZermelo–Fraenkel

1

Capıtulo I

La Teorıa de Conjuntos deZermelo–Fraenkel

§1 Objetivos

Los objetivos basicos de la Teorıa de Conjuntos son los siguientes.

1. Fundamentar las Matematicas: Desde el punto de vista de la Teorıa de Conjuntostodos los objetos matematicos son conjuntos.

(–) En Algebra se estudia la estructura de grupo. Un grupo es un conjunto con unaoperacion entre sus elementos que satisface ciertas propiedades. En Algebra esirrelevante la naturaleza conjuntista de los elementos de un grupo: dos gruposisomorfos son identicos. Sin embargo, desde la fundamentacion que proporcionala Teorıa de Conjuntos, los elementos de un grupo tambien son conjuntos.

A lo largo del curso se describiran los objetos mas importantes en Matematicas:

(–) Conjuntos basicos en Matematicas: Numeros naturales (II.6), enteros, racionales(III.3) y reales (III.7).

(–) Conjuntos esenciales en Matematicas: Aplicaciones y relaciones (I.7).

Para obtener esta descripcion se introduce la Teorıa de Conjuntos de Zermelo–Fraenkel.Para la Teorıa de Conjuntos este objetivo es secundario. Por ejemplo, se define elconjunto de los numeros reales, R, y las operaciones aritmeticas habituales (suma yproducto), la relacion de orden y el valor absoluto. Sin embargo, se considera que apartir de estas definiciones, con una formacion basica en Matematicas, se puede probarsin grandes dificultades que: R es un cuerpo conmutativo, el orden es total y denso, ycon respecto al valor absoluto es un espacio metrico separable y completo.

2. Conjuntos y clases: La idea intuitiva de que toda coleccion de objetos es un conjuntoes inconsistente (ver I.2). Existen colecciones de objetos que no son conjuntos y lasdenominaremos clases propias. Es importante determinar que ciertas clases son propias.

3

4 1. Objetivos

La clase de todos los conjuntos y la clase de los numeros ordinales son los ejemplosmas importantes de clases propias.

3. Induccion y recursion: Las pruebas por induccion y las definiciones por recursion sonherramientas basicas en Matematicas. Sin embargo, no es posible justificar determina-das construcciones usando esta metodologıa (induccion y recursion) sobre los numerosnaturales, conjunto que se denota por ω. Para ello introduciremos la clase de los nume-ros Ordinales (ω es un ordinal) y demostramos que esta clase satisface los teoremas deinduccion y recursion. En el curso veremos numerosas aplicaciones del uso de inducciony recursion sobre la clase de los numeros ordinales y sobre ordinales mayores que ω;por ejemplo, en el estudio sobre subconjuntos de R: conjuntos de Borel, analıticos, deBaire y medibles. Historicamente, el primer resultado cuya prueba requiere una defini-cion por recursion sobre un ordinal mayor que ω, trata sobre la existencia y estructuradel mayor subconjunto sin puntos aislados de un conjunto (cerrado) de numeros reales(para mas detalles ver VI.3.C).

Puntos aislados: En lo que sigue R es el conjunto de los numeros reales.

(–) Sean a, b ∈ R tales que a < b. El intervalo abierto de extremos a y b, (a, b),es

(a, b) = {c ∈ R : a < c < b}.(–) Sea A ⊆ R.

(–) Sea a ∈ A. Diremos que a es aislado en A si existen b1 < b2 ∈ R talesque A ∩ (b1, b2) = {a}.

(–) A′ = {a ∈ A : a no aislado en A}.(–) Por recursion sobre n ∈ ω definimos A(n).

A(n) =

{A, si n = 0;

A(m)′, si n = m + 1.

Sea A ⊆ R. Diremos que A es n–Cantor si

∀m < n [A(m) 6= ∅] ∧ A(n) = ∅.Seguidamente describiremos conjuntos n–Cantor. Sea a ∈ R.

Un conjunto 1–Cantor: Sea A1,a = {a}. Es evidente que A1,a es 1–Cantor.

Un conjunto 2–Cantor: Para cada n ∈ ω sea an = a− 1n+1

. Sea

A2,a = {an : n ∈ ω} ∪ {a}.Para todo n ∈ ω, an es aislado en A2,a. Por tanto, A′

2,a = A1,a = {a}. Enconsecuencia, A2,a es 2–Cantor.

Un conjunto 3–Cantor: Sea A3,a =⋃

n∈ω A2,an ∪ {a}. Entonces

A′3,a = (

⋃n∈ω A′

2,an) ∪ {a} = (

⋃n∈ω A1,an) ∪ {a} = (

⋃n∈ω{an}) ∪ {a} = A2,a.

Por tanto, A3,a es 3–Cantor.

Un conjunto 4–Cantor: Sea A4,a =⋃

n∈ω A3,an ∪ {a}. Entonces A′4,a = A3,a.

Por tanto, A4,a es 4–Cantor.

Capıtulo I. La Teorıa de Conjuntos de Zermelo–Fraenkel 5

Un conjunto ω–Cantor: Sea A(ω) =⋂

n∈ω A(n). Diremos que un conjunto esω–Cantor si

∀n ∈ ω [A(n) 6= ∅] ∧ A(ω) = ∅.¿Existe un conjunto ω–Cantor? Sean ~b = {bk : k ∈ ω} una sucesion creciente denumeros reales, y A~b =

⋃k∈ω Ak+1,bk

. Entonces

(–) A(1)~b

=⋃

k∈ω A(1)k+1,bk

=⋃

k≥1 Ak,bk;

(–) A(2)~b

=⋃

k∈ω A(2)k+1,bk

=⋃

k≥2 Ak−1,bk.

Por tanto, ⋂n∈ω A(n) = ∅.

En consecuencia, A~b es ω–Cantor.

Un conjunto (ω + 1)–Cantor: Sea A(ω+1) = A(ω)′. Diremos que A es (ω + 1)–Cantor si

A(ω) 6= ∅ ∧ A(ω+1) = ∅.¿Existe un conjunto (ω + 1)–Cantor? En el ejemplo anterior supongamos que lasucesion {bk : k ∈ ω} es convergente. Sean c = limk∈ω bk, y

A~b,c = A~b ∪ {c}.Entonces para todo n ∈ ω, c ∈ A

(n)~b,c

. En consecuencia, A(ω)~b,c

= {c} y A(ω+1)~b,c

= ∅.Por tanto, A~b,c es (ω + 1)–Cantor.

Mas importante, que el ejemplo anterior, para la consolidacion de la Teorıa de Conjun-tos es la prueba del Teorema del Buen Orden: Todo conjunto puede ser bien ordenado.En este caso es necesaria una definicion por recursion sobre la clase de los ordinales.

Las pruebas por induccion y las definiciones por recursion sobre clases bien ordenadases la forma mas comun de estas metodologıas. La propiedad fundamental para aplicarestas herramientas es que todo subconjunto no vacıo tiene un elemento minimal. Puestoque no es necesario que exista un unico elemento minimal, podemos usar induccion yrecursion sobre ordenes parciales que verifiquen la propiedad anterior.

4. Cardinales: El objetivo principal de la Teorıa de Conjuntos es estudiar el conceptode cardinal (numero de elementos) de un conjunto. En el Capıtulo III estableceremoslas propiedades basicas de las operaciones entre cardinales infinitos. Mientras que lasuma y el producto de cardinales (asociadas a la union y al producto cartesiano) tienenuna solucion elemental, la exponenciacion (asociada a las partes de un conjunto) noes posible determinarla. En este sentido, uno de los problemas mas conocidos es laHipotesis del Continuo, CH: para todo A ⊆ R, ¿es A numerable o tiene el cardinal deR? La Hipotesis del Continuo es independiente de la Teorıa de Conjuntos de Zermelo–Fraenkel; es decir, en esta teorıa no se puede probar la Hipotesis del Continuo ni sunegacion.

La Segunda Parte del curso esta dedicada esencialmente al estudio de la Hipotesis delContinuo. Algunos de estos resultados proporcionan evidencia sobre la validez de la

6 1. Objetivos

Hipotesis de Continuo; en cambio, otros lo hacen sobre la validez de su negacion.

(–) Evidencia a favor de CH: Ver Teorema B.1.

(–) Evidencia en contra de CH: Ver Teoremas B.2 y B.4.

5. El Axioma de Eleccion, AC: El Axioma de Eleccion es el axioma de la Teorıa deConjuntos que ha suscitado mas controversia. El Capıtulo V esta dedicado al estu-dio del Axioma de Eleccion. Se probara la equivalencia del Axioma de Eleccion conotras propiedades (lema de Zorn, . . . ) usadas en Matematicas. Uno de los objetivos esaprender a determinar cuando se usa el Axioma de Eleccion y si es posible eliminar suuso. En algunos casos el Axioma de Eleccion solo hace que la prueba sea mas simple.En otros, la prueba del resultado en su forma mas general usa el Axioma de Eleccion;sin embargo, casos particulares de este, de gran interes, no requieren el Axioma deEleccion para su demostracion. Por ejemplo:

Lema. (AC). Si A es un conjunto infinito, existe f : A −→ A2 biyectiva.

La prueba de este resultado requiere el uso del Axioma de Eleccion. Sin embargo, setiene que:

Lema.

(–) Si A es un conjunto numerable infinito, existe f : A −→ A2 biyectiva.

(–) Existe f : R −→ R2 biyectiva.

Veamos otro ejemplo.

Lema. Sean X de Hausdorff y A ⊆ X.A compacto =⇒ A cerrado.

Demostracion: Supongamos que A no es cerrado. Entonces existe a ∈ cl(A) − A.Puesto que X es de Hausdorff, para cada x ∈ A existen Gx y Ux abiertos tales que

(–) x ∈ Gx, a ∈ Ux,

(–) Gx ∩ Ux = ∅.Es evidente que A ⊆ ⋃

x∈A Gx. Puesto que A es compacto, existen Gx1 , . . . , Gxn talesque A ⊆ Gx1 ∪ . . . ∪Gxn . Entonces

(–) a ∈ Ux1 ∩ . . . ∩ Uxn .

(–) A ∩ (Ux1 ∩ . . . ∩ Uxn) = ∅.Lo cual esta en contradiccion con a ∈ cl(A).

La prueba anterior usa el Axioma de Eleccion para elegir Gx y Ux. Para los siguientesespacios es posible eliminar el uso del axioma de eleccion.

Espacios segundo numerables: Sea B = {Vn : n ∈ ω} una base numerable de X. Paracada x ∈ X sean

Gx = Vn

Ux = Vm

}⇐⇒ (n, m) = (µ(k, k′))

{x ∈ Vk ∧ a ∈ Vk′

Vk ∩ Vk′ = ∅.


Espacios metricos: Para cada x ∈ X sean

r = d(x, a)Gx = B(x, r/2)Ux = B(a, r/2)

En ambos casos la prueba procede como anteriormente.

Sin embargo, la prueba del lema no requiere el uso del Axioma de Eleccion.

Nueva prueba: Supongamos que A no es cerrado, sea a ∈ cl(A)− A. SeaGA = {G ∈ G(X) : ∃U ∈ G(X) (a ∈ U ∧G ∩ U = ∅)}.

Se tiene que:

Aserto. Para todo x ∈ A existe G ∈ GA tal que x ∈ G.

Prueba del aserto: Sea x ∈ A. Puesto que X es de Hausdorff, existen Gx y Ux

abiertos tales que x ∈ Gx, a ∈ Ux y Gx ∩ Ux = ∅. Lo que prueba el aserto. 2

Por el aserto, A ⊆ ⋃GA. Puesto que A es compacto, existen G1, . . . , Gn ∈ GA tales queA ⊆ G1 ∪ . . . ∪Gn. Sean U1, . . . , Un ∈ G(X) tales que para todo j, 1 ≤ j ≤ n,

(–) a ∈ Uj,

(–) Gj ∩ Uj = ∅.Entonces

(–) a ∈ U1 ∩ . . . ∩ Un.

(–) A ∩ (U1 ∩ . . . ∩ Un) = ∅.Lo cual esta en contradiccion con a ∈ cl(A). ¥

Resumen de resultados:

Resumimos a continuacion los resultados mas importantes que se presentan en el curso.

Resultados de la Parte A:

Teorema A.1.

(a) La clase de los ordinales, Ord, es una clase propia.

(b) La relacion α < β es un buen orden sobre Ord

Teorema A.2. Son equivalentes:

(a) El Axioma de Eleccion.

(b) Todo conjunto puede ser bien ordenado.

Teorema A.3.

(a) |A| ≤ |B| ∧ |B| ≤ |A| =⇒ |A| = |B|.(b) |A| < |P(A)|.

Teorema A.4. ℵ0 < |R| = |Rn| = 2ℵ0 .

Teorema A.5.

8 2. La idea intuitiva de conjunto

(a) ℵα + ℵβ = ℵα · ℵβ = max(ℵα,ℵβ).

(b) ℵα < 2ℵα = ℵℵαα .

(c) (AC). ℵα+1 ≤ 2ℵα . ℵα < cf(2ℵα).

Teorema A.6. (AC). ℵα+1 es regular.

Teorema A.7. (AC). Supongamos GCH(≡ ∀α (2ℵα = ℵα+1)). Para todo λ ≥ ℵ0,κ ≥ 2

κλ =

λ+, si κ ≤ λ;κ+, si cf(κ) ≤ λ < κκ, si λ < cf(κ).

Resultados de la Parte B:

Teorema B.1. Sea X un espacio Polaco.

(a) A ∈ B(X) ∧ ℵ0 < |A| =⇒ |A| = 2ℵ0 .

(b) A ∈ Σ11(X) ∧ ℵ0 < |A| =⇒ |A| = 2ℵ0 .

(c) (AC). A ∈ Π11(X) ∧ ℵ0 < |A| =⇒ |A| = ℵ1 ∨ |A| = 2ℵ0 .

Teorema B.2. Si todo subconjunto de R de medida fuerte cero es numerable, entonces2ℵ0 6= ℵ1.

Teorema B.3. Sean X un espacio Polaco no numerable y µ una medida de probabi-lidad de Borel no trivial sobre X. Entonces

B(X) = ∆11(X) ⊂ Σ1

1(X) ⊂MEµ(X),BP(X).

AC =⇒MEµ(X), BP(X) ⊂ P(X);MEµ(X) 6⊆ BP(X);BP(X) 6⊆MEµ(X).

Teorema B.4. (AC). Supongamos que existe una medida de probabilidad no trivialsobre X; es decir, una aplicacion µ : P(X) −→ [0, 1], tal que:

(a) µ(∅) = 0, µ(X) = 1,

(b) {An : n ∈ ω} ⊆ P(X) disjunta =⇒ µ(⋃

An) = Σn∈ω µ(An),

(c) ∀x ∈ X (µ({x}) = 0).

Entonces 2ℵ0 6= ℵ1. Mas aun, existe κ debilmente inaccesible tal que κ ≤ 2ℵ0 .

§2 La idea intuitiva de conjunto

En Matematicas el procedimiento basico para describir los objetos de estudio es carac-terizarlos mediante una definicion. Por ejemplo, sea R el conjunto de los numeros reales

Definicion: Sea f una aplicacion de R en R. Diremos que f es continua si

∀x∀ε > 0∃δ > 0 ∀y [d(x, y) < δ =⇒ d(f(x), f(y)) < ε].


Por tanto, debemos proceder a definir lo que es un conjunto.

“Definicion”: Un conjunto es cualquier coleccion de objetos que verifican unadeterminada propiedad.

La definicion de funcion continua se basa en otros conceptos definidos con anterioridad:aplicacion, numeros reales, 0, relacion de orden, distancia.

La definicion de conjunto se construye usando: coleccion, objetos, propiedad. Esta de-finicion es (en apariencia) circular pues “coleccion” y “objetos” son palabras sinonimasde conjunto. Mas aun, en I.2.A y I.2.B veremos que la “definicion” de conjunto dadaanteriormente es “incorrecta”.

2.A El lenguaje de la Teorıa de Conjuntos

Notas I.2.1. (Primera incorreccion: La paradoja de Berry). Sea P (n) la pro-piedad:

P (n) ≡ n es un numero natural definible con menos de mil sımbolos.

Consideremos el conjunto:

C = {n : P (n)}.Sea m el menor numero natural que no esta en C. Se tiene que:

(a) Existe m. Basta observar que C es finito.

(b) m /∈ C. Se sigue de la definicion de m.

(c) m ∈ C. En efecto, m esta definido por:

“el menor numero natural no definible con menos de mil sımbolos”.

Lo anterior es una definicion de m que usa menos de mil sımbolos.

De (b) y (c) se sigue una contradiccion.

El lenguaje de la Teorıa de Conjuntos. La contradiccion obtenida en I.2.1 se debea que la propiedad P (n) que considerabamos para definir al conjunto C no tiene unaformulacion adecuada. Ahora precisaremos lo que entenderemos que es una propiedad.

(–) El lenguaje de la Teorıa de Conjuntos consta de un unico sımbolo de predicadobinario, ∈ (pertenencia).

Ademas, tiene los simbolos habituales:

(–) variables: x, y, . . .;

(–) = (igualdad);

(–) conectivas proposicionales: ∨ (disyuncion), ∧ (conjuncion),→ (implicacion),↔ (equivalencia), ¬ (negacion); y

(–) cuantificadores: ∃ (existencial) y ∀ (universal).

Las formulas del lenguaje de la Teorıa son:

10 2. La idea intuitiva de conjunto

(–) x = y, (x es igual a y).

(–) x ∈ y (x pertenece a y).

(–) Si Φ y Ψ son formulas, entonces las siguientes expresiones son formulas

(–) Φ ∨Ψ, Φ ∧Ψ, Φ → Ψ, Φ ↔ Ψ, ¬Φ.

(–) Si Φ(x) es una formula, entonces son formulas

(–) ∃x Φ(x) (existe x tal que Φ(x)).

(–) ∀x Φ(x) (para todo x se tiene Φ(x)).

Usaremos

(–) ∀x ∈ y Φ(x) para denotar a ∀x (x ∈ y → Φ(x)).

(–) ∃x ∈ y Φ(x) para denotar a ∃x (x ∈ y ∧ Φ(x)).

(–) ∃!x Φ(x) para denotar a ∃x Φ(x) ∧ ∀x∀y (Φ(x) ∧ Φ(y) → x = y).

(–) x 6= y para denotar a ¬(x = y).

(–) x /∈ y para denotar a ¬(x ∈ y).

Ahora podemos precisar que es una propiedad:

(–) Una propiedad es una formula del lenguaje de la Teorıa de Conjuntos.

No se trata de realizar un desarrollo formal de la Teorıa de Conjuntos. Por tanto,las propiedades sobre conjuntos se presentaran, analizaran y demostraran de la formahabitual en Matematicas, con las notaciones especıficas de la Teorıa de Conjuntos, verI.2.3. Sin embargo, debemos tener presente que toda propiedad sobre conjuntos queconsideremos debe transcribirse sin ambiguedad al lenguaje de la Teorıa de Conjuntos.Por ejemplo, la propiedad P (x) (considerada en I.2.1)

“x es un numero natural definible con menos de mil sımbolos”

solo la aceptarıamos si la transcribimos al lenguaje de la Teorıa de Conjuntos.

Extensiones por definicion. El lenguaje de la Teorıa de Conjuntos es muy simple,solo tiene el sımbolo ∈ (pertenencia). Describir en este lenguaje propiedades sobreconjuntos es en general muy laborioso. Por ello el lenguaje se extiende anadiendolenuevos simbolos que hace mas simple la descripcion de propiedades. Este proceso deextension del lenguaje se realiza en ciertas condiciones, descritas mas abajo en (a) y(b), de forma que no es posible:

(–) describir nuevas propiedades en la extension (es decir, toda formula de la exten-sion es equivalente a una del lenguaje original);

(–) probar mas propiedades sobre conjuntos (la extension es conservativa).

Los metodos de extension se dividen en los siguientes tipos:

(a) Predicados: Sean Φ(x1, . . . , xn) una formula y p un nuevo sımbolo predicado n–ario. Se tiene que:

Aserto. T + p + [p(x1, . . . , xn) ↔ Φ(x1, . . . , xn)] es conservativa sobre T.

Ejemplos: Contencion (x ⊆ y); x es una aplicacion; x es un ordinal (Ord(x)); x


e y tienen el mismo cardinal (|x| = |y|).(b) Funciones: Sean Φ(x1, . . . , xn, y) una formula y f un nuevo sımbolo de funcion

n–aria (si n = 0, se considera un nuevo sımbolo de constante). Se tiene que:

Aserto. Si T ` ∀~x ∃!y Φ(~x, y), entonces la teorıa T + f + [f(~x) = y ↔ Φ(~x, y)] esconservativa sobre T.

Ejemplos: El conjunto vacıo (∅); la union de x e y (x∪ y); las partes de x (P(x));el conjunto de los numeros naturales (ω); el conjunto de los numeros reales (R);el cardinal de un conjunto (card(x)); la funcion aleph (ℵα).

2.B Clases y conjuntos

Sea Φ(x) una formula. La coleccion de los conjuntos que satisfacen Φ(x) diremos quees una clase, que notaremos por:

{x : Φ(x)}.Usaremos

(–) las letras a, b, c, . . ., A,B,C, . . . para designar conjuntos.

(–) las letras A,B,C, . . . (en negrita) para designar clases.

Sea A la clase {x : Φ(x)}. Probar que

(–) A es una clase propia, es decir que no es un conjunto, consiste en establecer que:

¬∃y ∀x [x ∈ y ↔ Φ(x)].

(–) A es un conjunto consiste en establecer que:

∃y ∀x [x ∈ y ↔ Φ(x)].

Teorema I.2.2. (Segunda incorreccion: La paradoja de Russell). La clase

{x : x /∈ x}es una clase propia.

Demostracion: Supongamos que R = {x : x /∈ x} es un conjunto. Entonces

R ∈ R ⇐⇒ R /∈ R.

Lo cual es una contradiccion. ¥

Nota I.2.3. (Operaciones y relaciones entre clases). En lugar de usar directa-mente formulas del lenguaje de la Teorıa de Conjuntos, para referirnos a propiedadessobre conjuntos, usaremos el concepto de clase.

Sean A = {x : Φ(x)} y B = {x : Ψ(x)} clases. En primer lugar prestaremos atenciona las relaciones basicas entre conjuntos: pertenecia, ∈, e igualdad, =.

(–) Escribiremos x ∈ A y x /∈ A en lugar de Φ(x) y ¬Φ(x), respectivamente.

12 3. La Teorıa de Conjuntos de Zermelo–Fraenkel

Nota: Observemos que si escribimos a ∈ A, entonces a es un conjunto. Si B esuna clase propia, no tiene ningun sentido escribir B ∈ A.

(–) A = B representara: ∀x (x ∈ A ⇐⇒ x ∈ B); es decir,

∀x [Φ(x) ↔ Ψ(x)].

(–) A 6= B representara: ¬(A = B).

Ahora describiremos sobre clases las relaciones y operaciones basicas sobre conjuntos.

(–) A ⊆ B representara: ∀x (x ∈ A =⇒ x ∈ B).

(–) A ⊂ B representara: A 6= B ∧A ⊆ B.

(–) Ac = {x : x /∈ A}.(–) A ∩B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}.(–) A ∪B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}.(–) A−B = {x : x ∈ A ∧ x /∈ B}.(–)

⋃A = {x : ∃y ∈ A (x ∈ y)}.

(–)⋂

A = {x : ∀y ∈ A (x ∈ y)}.(–) P(A) = {x : x ⊆ A}.(–) La clase vacıa, ∅, es la clase definida por:

∅ = {x : x 6= x}.(–) Par no ordenado de x e y, {x, y}, es la clase definida por:

{x, y} = {z : z = x ∨ z = y}.(–) La clase universal, V, es la clase definida por:

V = {x : x = x}.

§3 La Teorıa de Conjuntos de Zermelo–Fraenkel

Si los conjuntos son los objetos basicos de las Matematicas, entonces no disponemos,como en el caso de las funciones continuas, de objetos mas simples a partir de loscuales podamos definir lo que es un conjunto. La solucion consiste en caracterizarlos conjuntos como los elementos de un sistema de objetos con una relacion binariaentre ellos (relacion de pertenencia) que satisfacen determinadas propiedades (formulasdel lenguaje de la Teorıa de Conjuntos) que denominaremos axiomas. Los conjuntosque existen son aquellos cuya existencia se puede probar usando estos axiomas. Losconjuntos satisfacen las propiedades que podamos deducir a traves de los axiomas.

La Teorıa de Conjuntos aparecio en la primeras decadas del siglo XX. Con anterio-ridad, durante mas de dos milenios, se desarrollaron conceptos, metodos y resultadosmatematicos muy importantes. Los axiomas de la Teorıa de Conjuntos sirven parafundamentar y unificar toda esta metodologıa; en particular, el desarrollo que se habıallevado a cabo en la segunda mitad del siglo XIX. Por tanto, la configuracion del sistemaaxiomatico es un acto convencional que esta guiado por la necesidad de clarificar ciertosconceptos y justificar metodos y resultados sobre estos.


La primera axiomatica de conjuntos aparecio en 1908. E. Zermelo introdujo estos axio-mas para justificar la prueba del Teorema del Buen Orden que habıa presentado en1904. Los axiomas que presentamos son esencialmente los que considero Zermelo conligeras modificaciones. El Axioma de Reemplazamiento fue introducido por Fraenkel(1922), el Axioma de Regularidad por Hausdorff (e independientemente por otros)(1920). T. Skolem (1925) propuso que el concepto de propiedad se sustituyese por elde formula del lenguaje de primer orden de la Teorıa de Conjuntos.

Axiomas: Los axiomas de la Teorıa de Conjuntos de Zermelo–Fraenkel garantizan quelos conjuntos satisfacen determinadas propiedades. Dividimos los axiomas en cuatrogrupos.

Grupo I: Existencia de determinados conjuntos:

(–) Axioma del Vacıo, Ax0;

(–) Axioma del Infinito, Ax8.

Grupo II: Propiedades basicas de la relacion de pertenencia:

(–) El caracter fundamental: Axioma de Extensionalidad, Ax1.

Lo importante es la extension de un conjunto no la intencion (propiedadescon las se puede definir dicho conjunto).

(–) Descripcion estructural: Axioma de Regularidad, Ax9.

Es posible, sin usar este axioma, describir los objetos basicos de las Matema-ticas de tal forma que todos ellos lo satisfacen.

Este axioma afirma que la relacion de pertenencia es bien fundamentada.Esto permite realizar pruebas por induccion sobre la relacion de pertenencia.Sin embargo, en Matematicas la naturaleza conjuntista de los elementos deun conjunto es, en general, irrelevante; por tanto, es poco habitual usarinduccion y recursion sobre la relacion de pertenencia entre los elementosde un conjunto para establecer propiedades de dicho conjunto.

Grupo III: Procesos para obtener conjuntos.

(–) Usando propiedades:

{Axioma de Separacion, Ax2;Axioma de Reemplazamiento, Ax7.

(–) Mediante operaciones:

Axioma del Par, Ax3;Axioma de la Union, Ax4;Axioma de las Partes, Ax5;Axioma del Producto Cartesiano, Ax6.

Grupo IV: Axioma de Eleccion, AC, Ax10.

Todo conjunto puede ser bien ordenado.

Este axioma es puramente existencial: afirma que existe un buen orden. Sin em-bargo, para conjuntos muy importantes (por ejemplo, los numeros reales) noexiste una descripcion explıcita de un buen orden del conjunto. Por ello su usoha generado muchas controversias.

14 3. La Teorıa de Conjuntos de Zermelo–Fraenkel

Los axiomas de la Teorıa de Conjuntos de Zermelo–Fraenkel son los siguientes.

Ax0. Axioma del Conjunto Vacıo. Existe un conjunto que no tiene elementos.

∃y ∀x (x /∈ y).

Ax1. Axioma de Extensionalidad. Si dos conjuntos tienen los mismos elementos,entonces son iguales.

A ⊆ B ∧B ⊆ A =⇒ A = B.

Ax2. Axioma de Separacion (esquema). Sea C una clase. Para todo conjunto Ala clase

{x : x ∈ A ∧ x ∈ C} = {x ∈ A : x ∈ C} = C ∩ A

es un conjunto.

Ax3. Axioma del Par. Para cualesquiera conjuntos x, y, la clase

{x, y} = {z : z = x ∨ z = y}es un conjunto.

Ax4. Axioma de la Union. Para todo conjunto A, la clase⋃A = {y : ∃x ∈ A (y ∈ x)}

es un conjunto.

Ax5. Axioma de las Partes. Para todo conjunto A, la clase

P(A) = {x : x ⊆ A}es un conjunto.

Ax6. Axioma del Producto Cartesiano. Para cualesquiera conjuntos A y B, laclase

A×B = {〈x, y〉 : x ∈ A ∧ y ∈ B}es un conjunto.

Ax7. Axioma de Reemplazamiento (esquema). Si F es una funcion, entoncespara todo conjunto A la clase

F[A] = {y : ∃x (x ∈ A ∧ F(x) = y)} = {F(x) : x ∈ A}es un conjunto

Ax8. Axioma del Infinito.

∃x (∅ ∈ x ∧ ∀y ∈ x (y ∪ {y} ∈ x)).

Ax9. Axioma de Regularidad.

x 6= ∅ =⇒ ∃y ∈ x (x ∩ y = ∅).Ax10. Axioma de Eleccion, (AC). Para todo conjunto A existe f tal que

f es una aplicacion ∧ dom(f) = A ∧ ∀y ∈ A (y 6= ∅ =⇒ f(y) ∈ y).

Diremos que f es una funcion de eleccion sobre A.


En los capıtulos que siguen usaremos las siguientes teorıas.

Ext. Sep. Par Un. Partes Cart. Rp Inf. Reg. Elec.

Z sı sı si sı sı no sı sı noZ− sı sı sı sı no si no sı sı noZ−∗ sı sı sı sı no sı no sı no noZF sı sı sı sı sı sı sı sı noZFC sı sı sı sı sı sı sı sı sıPA sı sı sı sı sı sı ¬Inf sı sı

Si T es una teorıa, notaremos por

(–) T∗ = T−Ax. Regularidad.

(–) T− = T−Ax. Partes.

(–) TF = T + Ax. Reemplazamiento.

(–) TC = T + AC.

En las siguientes secciones de este capıtulo describiremos las notaciones que vamos ausar a lo largo del curso (algunas de ellas se han empleado para formular los axiomas)y estableceremos algunas propiedades elementales sobre conjuntos.

No se trata de desarrollar de forma axiomatica la Teorıa de Conjuntos. No estamosinteresados en especificar los axiomas usados en cada demostracion. Sin embargo,

(–) en cada capıtulo al inicio de una seccion o subseccion indicaremos los axiomasque usaremos en las pruebas de los resultados que allı aparecen;

(–) el capıtulo V esta dedicado al estudio del Axioma de Eleccion.

En los capıtulos que siguen los resultados que se obtengan estaran probados en ZFC.Sin embargo, debido a la posicion particular que ocupa el Axioma de Eleccion, escri-biremos las siglas AC (Axiom of Choice) delante de todos los resultados cuya prueba(o al menos la prueba que presentamos) dependa de este axioma. Por ejemplo,

Lema. (AC). Si A es un conjunto infinito, existe f : A −→ A2 biyectiva.

§4 Extensionalidad, Vacıo y Separacion

Proposicion I.4.1. Ax0 ∧ Ax1 =⇒ ∃!y ∀x (x /∈ y).

Definicion I.4.2. (El Conjunto Vacıo). A = ∅ ⇐⇒ ∀x (x /∈ A).

Lema I.4.3. Ax2 =⇒ Ax0.

Demostracion: Sea A un conjunto. Por Ax2, la clase B = {x : x ∈ A ∧ x 6= x} esun conjunto. Ademas, ∀x (x /∈ B). ¥

16 5. Axiomas del Par, de la Union y de las Partes

Lema I.4.4. (Ax2). Sea A una clase. Si existe un conjunto B tal que A ⊆ B, entoncesA es un conjunto.

Demostracion: Sea B un conjunto tal que A ⊆ B. Entonces (por el axioma deseparacion) C = {x : x ∈ B ∧ x ∈ A} es un conjunto. Es evidente que

∀x (x ∈ A ⇐⇒ x ∈ C),

Por tanto, A es un conjunto. ¥

Teorema I.4.5. Ax2 =⇒ V es una clase propia.

Demostracion: En caso contrario, por Ax2, la clase {x : x ∈ V ∧ x /∈ x} es unconjunto. Es decir, {x : x /∈ x} es un conjunto. Lo cual esta en contradiccion con elteorema I.2.2, paradoja de Russell. ¥

§5 Axiomas del Par, de la Union y de las Partes

Definicion I.5.1.

(a) {x, y} = {u : u = x ∨ u = y}.(b) {x} = {x, x}.

Definicion I.5.2.

(a)⋃

A = {z : ∃u (u ∈ A ∧ z ∈ u)}.(b) A ∪B =

⋃{A,B} = {z : z ∈ A ∨ z ∈ B}.(c)

⋂A = {z : ∀u (u ∈ A → z ∈ u)}.

(d) A ∩B =⋂{A,B} = {z : z ∈ A ∧ z ∈ B}.

(e) A−B = {z : z ∈ A ∧ z /∈ B}.(f) A4B = (A−B) ∪ (B − A).

Lema I.5.3. [(Ax1, Ax2)]

(a) A 6= ∅ =⇒ ⋂A es un conjunto.

(b)⋂ ∅ = V. Sin embargo, si entendemos que ∅ ⊆ P(A) (es decir, si consideramos a∅ como una familia de subconjuntos de A), definimos

⋂ ∅ = A

(c) A ∩B es un conjunto.

(d) A−B es un conjunto.

Definicion I.5.4.

(a) A ⊆ B ⇐⇒ ∀z (z ∈ A =⇒ z ∈ B). [[A es un subconjunto de B]].


(b) A ⊂ B ⇐⇒ A ⊆ B ∧ A 6= B. [[A es un subconjunto propio de B]].

(c) P(A) = {z : z ⊆ A}.

Definicion I.5.5.

(a) Si A ∩B = ∅, diremos que A y B son disjuntos.

(b) Diremos que A es una coleccion de conjuntos disjuntos dos a dos (o una colecciondisjunta) si para cualesquiera B, C ∈ A tales que B 6= C, entonces B ∩ C = ∅.

§6 Par ordenado. Axioma del Producto Cartesiano

Definicion I.6.1. (Par ordenado). 〈x, y〉 = {{x}, {x, y}}.

Teorema I.6.2. 〈x, y〉 = 〈z, u〉 =⇒ x = z ∧ y = u.

Demostracion: Veamos primero que x = z.

〈x, y〉 = 〈z, u〉 =⇒ {{x}, {x, y}} = {{z}, {z, u}}=⇒ {x} ∈ {{z}, {z, u}}=⇒ {x} = {z} ∨ {x} = {z, u}=⇒ z ∈ {x}=⇒ z = x.

Para concluir la prueba del teorema probaremos primero el siguiente resultado.

Aserto I.6.2.1. {x1, x2} = {x1, x3} =⇒ x2 = x3.

Prueba del aserto: Primero observemos que

x3 ∈ {x1, x3} =⇒ x3 ∈ {x1, x2} [[{x1, x2} = {x1, x3}]]=⇒ x3 = x1 ∨ x3 = x2.

Supongamos que x3 = x1. Entonces

x2 ∈ {x1, x2} =⇒ x2 ∈ {x1, x3} [[{x1, x2} = {x1, x3}]]=⇒ x2 ∈ {x3} [[x1 = x3]]=⇒ x2 = x3.

Lo que prueba el aserto. 2

Veamos ahora que y = u.

x = z〈x, y〉 = 〈z, u〉

}=⇒ 〈x, y〉 = 〈x, u〉=⇒ {{x}, {x, y}} = {{x}, {x, u}}=⇒ {x, y} = {x, u} [[I.6.2.1]]=⇒ y = u [[I.6.2.1]].

Lo que prueba el teorema. ¥

18 7. Relaciones y aplicaciones

Lema I.6.3. [(Ax2, Ax5)]

(a) ∀x ∀y, z ∈ x [{y, z} es un conjunto].

(b) ∀x ∀y, z ∈ x [〈y, z〉 es un conjunto].

Definicion I.6.4. (Producto Cartesiano).A×B = {〈x, y〉 : x ∈ A ∧ y ∈ B}.

Proposicion I.6.5. Ax2 ∧ Ax3 ∧ Ax4 ∧ Ax5 =⇒ Ax6.

§7 Relaciones y aplicaciones

Definicion I.7.1.

(a) x es un par ordenado ⇐⇒ ∃y ∃z (x = 〈y, z〉).

(b)

{Π1(x) = y ⇐⇒ ∀u [u ∈ y ↔ ∃v ∃w (x = 〈v, w〉 ∧ u ∈ v].

Π2(x) = y ⇐⇒ ∀u [u ∈ y ↔ ∃v ∃w (x = 〈w, v〉 ∧ u ∈ v].

Observemos que: Π1(x) =

{y, si ∃w (x = 〈y, w〉);∅, en cualquier otro caso.

(c) R es una relacion ⇐⇒ ∀y (y ∈ R =⇒ y es un par ordenado).

(d)

{dom(R) = {y : ∃z (〈y, z〉 ∈ R)}rang(R) = {z : ∃y (〈y, z〉 ∈ R)}

(e) R|A = {〈z, u〉 ∈ R : z ∈ A ∧ u ∈ A} = R ∩ (A× A).

(f) R es una relacion sobre A ⇐⇒ R es una relacion ∧ dom(R), rang(R) ⊆ A.

(g) R−1 = {〈y, x〉 : 〈x, y〉 ∈ R}.

Proposicion I.7.2.

(a) dom(R) y rang(R) son conjuntos.

(b) R|A es un conjunto.

Definicion I.7.3.

(a) R es una relacion de equivalencia sobre A si:

(a.1) R es una relacion sobre A, y

(a.2)

∀y ∈ A (〈y, y〉 ∈ R)∀y, z ∈ A (〈y, z〉 ∈ R =⇒ 〈z, y〉 ∈ R)∀y, z, u ∈ A (〈y, z〉 ∈ R ∧ 〈z, u〉 ∈ R =⇒ 〈y, u〉 ∈ R).


(b) < es una relacion de orden parcial sobre A si:

(b.1) < es una relacion sobre A, y

(b.2)

{ ∀y ∈ A (y 6< y)∀y, z, u ∈ A (y < z ∧ z < u =⇒ y < u)

(c) < es una relacion de orden total sobre A si:

(c.1) < es una relacion de orden parcial sobre A, y

(c.2) ∀y, z ∈ A (y < z ∨ z < y ∨ y = z).

(d) Sean < una relacion de orden parcial sobre A, B ⊆ A (B 6= ∅), y z ∈ A. Diremosque:

(d.1) z es un elemento maximal de B si: z ∈ B ∧ ∀u ∈ B (z 6< u).

(d.2) z es un elemento minimal de B si: z ∈ B ∧ ∀u ∈ B (u 6< z).

(d.3) z es el mayor elemento de B si: z ∈ B ∧ ∀u ∈ B (u ≤ z).

(d.4) z es el menor elemento de B si: z ∈ B ∧ ∀u ∈ B (z ≤ u).

(d.5) z es una cota superior de B si: ∀u ∈ B (u ≤ z).

(d.6) z es una cota inferior de B si: ∀u ∈ B (z ≤ u).

(d.7) z es el supremo de B, z = sup(B), si: z es la menor cota superior de B.

(d.8) z es el ınfimo de B, z = inf(B), si: z es la mayor cota inferior de B.

Definicion I.7.4.

(a) f es una aplicacion ⇐⇒{

f es una relacion ∧∀x∀y ∀z (〈x, y〉 ∈ f ∧ 〈x, z〉 ∈ f =⇒ y = z)

Si f es una aplicacion y 〈x, y〉 ∈ f , escribiremos f(x) = y. Usaremos indistinta-mente los terminos aplicacion y funcion.

(b) f|A = {〈y, z〉 ∈ f : y ∈ A}.Observemos que f|A, considerando f como una aplicacion, no coincide con f|A,considerando f como una relacion.

(c) f : A −→ B ⇐⇒ f aplicacion ∧ dom(f) = A ∧ rang(f) ⊆ B.

Leeremos f : A −→ B como f es una aplicacion de A en B.

(d) Si f : A −→ B y g : B −→ C, g ◦ f = {〈u, v〉 : ∃w (〈u,w〉 ∈ f ∧ 〈w, v〉 ∈ g)}(e) Sea f : A −→ B.

(e.1) f es suprayectiva ⇐⇒ rang(f) = B.

(e.2) f es inyectiva ⇐⇒ ∀z, u ∈ A (f(z) = f(u) =⇒ z = u).

(e.3) f es biyectiva ⇐⇒ f es suprayectiva e inyectiva.

(f) AB = {f : f es una aplicacion de A en B}.

(g)

{f [C] = {y : ∃x (x ∈ C ∧ f(x) = y)},f−1[C] = {x : f(x) ∈ C}.

Proposicion I.7.5.

20 8. Funciones. Axioma de Reemplazamiento

(a) AB es un conjunto.

(b) Sean f : A −→ B, C ⊆ A y D ⊆ B. Entonces f|C , , f [C] y f−1[D] son conjuntos.

(c) f : A −→ B ∧ g : B −→ C =⇒ g ◦ f : A −→ C. En particular, g ◦ f es unconjunto.

Lema I.7.6. Sea f : A −→ B una aplicacion inyectiva. Entonces

(a) f−1 es una aplicacion, y

(b) dom(f−1) = rang(f) y rang(f−1) = A.

§8 Funciones. Axioma de Reemplazamiento

Definicion I.8.1.

(a) Sea R una clase. Diremos que R es una relacion (binaria) si

∀x ∈ R (x es un par ordenado).

(b) Sea F una relacion. Diremos que F es una funcion si

∀x ∀y ∀z (〈x, y〉, 〈x, z〉 ∈ F =⇒ y = z).

Notaremos

(b.1) F(x) = y ⇐⇒ 〈x, y〉 ∈ F.

(b.2) dom(F) = {x : ∃y (〈x, y〉 ∈ F)}.(b.3) rang(F) = {y : ∃x (〈x, y〉 ∈ F)}.

(c) F : A −→ V ⇐⇒ F funcion ∧ dom(F) = A.

Lema I.8.2. Ax7 =⇒ Ax2.

Demostracion: Sean C una clase y A un conjunto. Veamos que A∩C es un conjunto.Sea F : C −→ V la funcion: F(x) = x. Por el Axioma de Reemplazamiento

F[A] = {F(x) : x ∈ A}.es un conjunto. Por tanto,

{x ∈ A : x ∈ C}es un conjunto. Lo que prueba el resultado. ¥

Lema I.8.3. Ax5 ∧ Ax7 =⇒ Ax3.

Demostracion: Por el Axioma de las Partes, Ax5, existe P(∅). Usando otra vez elAxioma de las Partes, P(P(∅)) es un conjunto. Ademas, P(P(∅)) = {∅, {∅}}. Sean ay b conjuntos. Consideremos la funcion F definida por

F(x) =

{a, si x = ∅;b, en caso contrario.


Entonces F[P(P(∅))] = {a, b}. Por el Axioma de Reemplazamiento, Ax7, {a, b} es unconjunto. ¥

Proposicion I.8.4. Ax3 ∧ Ax4 ∧ Ax7 =⇒ Ax6.

Definicion I.8.5. Sea I un conjunto. Una familia de conjuntos sobre I, {Aj : j ∈ I},es una aplicacion H tal que

(a) dom(H) = I, y

(b) para todo j ∈ I, H(j) = Aj.

Puesto que {Aj : j ∈ I} = H[I], por el Axioma de Reemplazamiento, una familia deconjuntos sobre I es un conjunto.

Proposicion I.8.6. Sean C una clase y A un conjunto.

(a) Si existe F : A −→ C suprayectiva, entonces C es un conjunto.

(b) Si existe F : C −→ A inyectiva, entonces C es un conjunto.

Demostracion: ((a)): Sea F : A −→ C suprayectiva. Entonces C = F[A]. Entonces,por el Axioma de Reemplazamiento, C es un conjunto.

((b)): Sea D = F[C]. Puesto que D ⊆ A, D es un conjunto. Puesto que F es inyectiva,F−1 es una funcion. Ademas, F−1[D] = C. Puesto que D es un conjunto, por el Axiomade Reemplazamiento, C es un conjunto. ¥

§9 Ejercicios

Ejercicio I.9.1. (I.4.1). Ax0 ∧ Ax1 =⇒ ∃!y ∀x (x /∈ y).

Ejercicio I.9.2. (I.5.3). [(Ax1), (Ax2)]

(a) A 6= ∅ → ∃!y ∀z (z ∈ y ↔ ∀u (u ∈ A → z ∈ u)).

(b) ∀x∀y ∃!u∀z (z ∈ u ↔ z ∈ x ∧ z /∈ y).

Ejercicio I.9.3. (I.5.3).

(a) Si A 6= ∅, entonces⋂

A es un conjunto.

(b)⋂ ∅ = V. Sin embargo, si entendemos que ∅ ⊆ P(A) (es decir, si consideramos a∅ como una familia de subconjuntos de A), definimos

⋂ ∅ = A

Ejercicio I.9.4. (I.6.3). [(Ax2, Ax4)]

22 9. Ejercicios

(a) ∀x ∀y, z ∈ x [{y, z} es un conjunto].

(b) ∀x ∀y, z ∈ x [〈y, z〉 es un conjunto].

Ejercicio I.9.5. (I.6.5). Ax2 ∧ Ax3 ∧ Ax4 ∧ Ax5 =⇒ Ax6.


(a) dom(x) y rang(x) son conjuntos.

(b) x|y es un conjunto.


(a) AB es un conjunto.

(b) Sean f : A −→ B, C ⊆ A y D ⊆ B. Entonces f|C , , f [C] y f−1[D] son conjuntos.

(c) f : A −→ B ∧ g : B −→ C =⇒ g ◦ f : A −→ C es un conjunto.

Ejercicio I.9.8. (I.7.6). Si f : A −→ B es una aplicacion inyectiva, entonces

(a) f−1 es una aplicacion, y

(b) dom(f−1) = rang(f) y rang(f−1) = A.

Ejercicio I.9.9. (I.8.4). Ax3 ∧ Ax4 ∧ Ax7 =⇒ Ax6.

Ejercicio I.9.10.

(a) Encontrar dos conjuntos A y B tales que A 6= B y⋃

A =⋃

B.

(b) Para todo B ∈ A, B ⊆ ⋃A.

(c) A ⊆ B =⇒ ⋃A ⊆ ⋃

B.

(d) ∀C ∈ A (C ⊆ B) =⇒ ⋃A ⊆ B.

Ejercicio I.9.11. Definimos la diferencia simetrica de dos conjuntos como sigue

A4B = (A−B) ∪ (B − A).

Probar que

(a) A4B es un conjunto.

(b) A4B = B4A.

(c) A4 (B4C) = (A4B)4C.

(d) A ∩ (B4C) = (A ∩B)4 (A ∩ C).

(e) A4B = C ⇐⇒ A4C = B.

(f) A4∅ = A.

(g) A4A = ∅.


(h) A4B = C4B ⇐⇒ A = C.

(i) A4B = ∅ ⇐⇒ A = B.

(j) A4B = (A ∪B)− (A ∩B).

(k) (A ∪ C)4 (B ∪ C) = (A4B)− C.

(l) A ∪ C = B ∪ C ⇐⇒ A4B ⊆ C.

(m) ∀A,B ∃!C (A4C = B).

(n) A, B disjuntos ⇐⇒ A ∪B = A4B.

(n) A ∪B = A4B4 (A ∩B).

Ejercicio I.9.12. Sean A y B conjuntos y F una funcion. Probar que

(a) F−1[⋃

A] =⋃{F−1[C] : C ∈ A}.

(b) A 6= ∅ =⇒ F−1[⋂

A] =⋂{F−1[C] : C ∈ A}.

(c) F−1[A−B] = F−1[A]− F−1[B].

Ejercicio I.9.13. Sean A y B conjuntos. Probar que las siguientes clases son con-juntos.

(a) {R : R relacion sobre A}.(b) {{{x}} : x ∈ A ∪B}.(c) {A ∪ C : C ∈ B}.(d) {P(C) : C ∈ A}.(e) {C ∪D : C ∈ A, D ∈ B}.

En cada caso especificar los axiomas que se usan.

Ejercicio I.9.14. Sea A un conjunto. Probar que:

(a) {x : x /∈ A} es una clase propia.

(b) Si ∅ /∈ A, {f : f funcion de eleccion sobre A} es un conjunto. ¿Que sucede si∅ ∈ A?

(c) ¿Es {f : f aplicacion ∧ dom(f) = A} una clase propia?

(d) No existe ningun conjunto cuyos elementos sean los conjuntos que no pertenecena algun elemento de A.

(e) No existe ningun conjunto cuyos elementos sean los conjuntos que no pertenecena algun elemento de un elemento de A.

Ejercicio I.9.15. Sea f : A −→ B.

(a) Sea g la aplicacion de dominio P(A) definida por: g(C) = f [C]. Probar que

f inyectiva =⇒ g : P(A) −→ P(B) inyectiva

(b) Sea g : B −→ P(A) definida por: g(c) = {x ∈ A : f(x) = c}. Probar que

24 9. Ejercicios

f suprayectiva =⇒ g inyectiva

¿Es cierto el recıproco?

Ejercicio I.9.16.

(a) Demostrar que siguiente definicion sirve para definir el concepto de par ordenado;es decir, 〈x, y〉 = 〈x′, y′〉 ↔ x = x′ ∧ y = y′.

〈x, y〉 = {{{x}, ∅}, {{y}}}(b) Determinar cuales de las siguientes propuestas puede servir como definicion de

par ordenado.

(b.1) 〈x, y〉 = {{x, ∅}, y}.(b.2) 〈x, y〉 = {{x, ∅}, {y, ∅}}.(b.3) 〈x, y〉 = {{x, ∅}, {y}}.

Ejercicio I.9.17. Usando el axioma de regularidad, Ax9, probar que: ∀x (x /∈ x).

Capıtulo II

Buenos ordenes. Ordinales

§1 Clases bien ordenadas [[Z−∗ ]]

1.A Introduccion

Definicion II.1.1. Sean A una clase y < una relacion sobre A; es decir, < ⊆ A×A.Sean x, y ∈ A. Notaremos

(–) x < y si 〈x, y〉 ∈ <.

(–) x ≤ y si x < y ∨ x = y.

(–) x 6< y si 〈x, y〉 /∈ <.

Diremos que < es un buen orden sobre A si

(a) < es un orden total sobre A; es decir,(a.1) < es irreflexiva: ∀x ∈ A (x 6< x).

(a.2) < es transitiva: ∀x, y, z ∈ A (x < y ∧ y < z =⇒ x < z).

(a.3) ∀x, y ∈ A (x ≤ y ∨ y ≤ x).

(b) < es adecuada a izquierda: ∀x ∈ A ({y ∈ A : y < x} es un conjunto).

(c) ∀B [B ⊆ A ∧B 6= ∅ =⇒ ∃x (x ∈ B ∧ ∀y ∈ B (y 6< x))].

Nota II.1.2. Sea < un buen orden sobre A. Sea B ⊆ A tal que B 6= ∅. Por II.1.1-(c)existe x ∈ A tal que

(–) x ∈ B.

(–) ∀y ∈ B (x ≤ y), [[el orden es total]].

Diremos que x es un elemento <–minimal. Ademas, el elemento x es unico. Notaremos

x = infA,<(B), o bien x = (µy)A,<(y ∈ B).

Si la clase A y la relacion de orden < estan determinadas por el contexto, escribiremos

25

26 1. Clases bien ordenadas [[Z−∗ ]]

x = inf(B) o x = (µy)(y ∈ B).

Notas II.1.3. Sean < un buen orden sobre A y B ⊆ A. Diremos que B es un segmentoinicial de A si:

∀x, y ∈ A [x ∈ B ∧ y < x =⇒ y ∈ B].

Se tiene que

Aserto II.1.3.1. B y C segmentos iniciales =⇒{

B segmento inicial de C ∨C segmento inicial de B

Para todo x ∈ A sea

Ax = {y ∈ A : y < x}.Por II.1.1-(b), Ax es un conjunto. Ademas, Ax es un segmento inicial de A. Puestoque el orden es total, se tiene que:

Aserto II.1.3.2. x 6= y =⇒ Ax 6= Ay. 2

1.B Los teoremas de minimizacion, induccion y recursion

Teorema II.1.4. (Minimizacion). Sean < un buen orden sobre A y B ⊆ A. En-tonces

B 6= ∅ =⇒ ∃x [x ∈ B ∧ ∀y ∈ B (x ≤ y)].

Notaremos x = inf(B) = (µz)(z ∈ B).

Demostracion: Sea a ∈ A tal que a ∈ B. Entonces, por II.1.1-(b),

(–) C = {z ∈ A : z ≤ a} es un conjunto.

Por tanto, (axioma de separacion)

(–) D = {z ∈ C : z ∈ B} es un conjunto.

Puesto que a ∈ D, D 6= ∅. Por tanto, de II.1.1-(c) se sigue que existe b ∈ A tal queb = inf(D). Se tiene que:

(–) b ∈ B. [[b ∈ D ⊆ B]].

(–) ∀y ∈ B (b ≤ y). [[∀y ∈ D (b ≤ y), {y < b : y ∈ D} = {y < b : y ∈ B}]].Lo que prueba el teorema. ¥

Corolario II.1.5. Sea B un segmento inicial de A. Entonces

B = A ∨ ∃x (B = Ax).

Demostracion: Supongamos que B 6= A. Entonces existe x = inf(A−B). Es evidenteque B = Ax. ¥

Capıtulo II. Buenos ordenes. Ordinales 27

Teorema II.1.6. (Induccion). Sean < un buen orden sobre A y B ⊆ A. Entonces

∀x ∈ A [∀y < x (y ∈ B) =⇒ x ∈ B] =⇒ A = B.

La parte ∀y < x (y ∈ B) se denomina hipotesis de induccion.

Demostracion: Supongamos lo contrario; es decir,

(1) ∀x ∈ A [∀y < x (y ∈ B) =⇒ x ∈ B].

(2) ∃x ∈ A (x /∈ B).

(2) =⇒ A−B 6= ∅=⇒ ∃a ∈ A (a = inf(A−B)) [[II.1.4]]=⇒ ∀y < a (y ∈ B)=⇒ a ∈ B [[(1)]].

Lo cual esta en contradiccion con a ∈ A−B. ¥

Teorema II.1.7. (Definicion por recursion, ZF−∗ ). Sean < un buen orden sobreA y G : V −→ V. Entonces existe una unica funcion F : A −→ V tal que:

∀x ∈ A [F(x) = G(F|Ax)].

Demostracion: Existencia: Sea C la clase definida por:

f ∈ C ⇐⇒{

f aplicacion ∧ dom(f) segmento inicial de A ∧∀y ∈ dom(f) [f(y) = G(f|Ay)].

Sea F =⋃

C. Las siguientes propiedades son consecuencia inmediata de la definicionde F.

(1) dom(F) =⋃

f∈C dom(f) =⋃{dom(f) : f ∈ C}.

(2) dom(F) es un segmento inicial de A.

(3) f, g ∈ C =⇒ dom(f) ⊆ dom(g) ∨ dom(g) ⊆ dom(f).

Se tiene que:

Aserto II.1.7.1.

(i) f, g ∈ C ∧ dom(f) ⊆ dom(g) =⇒ f = g|dom(f).

(ii) F es una funcion.

(iii) f ∈ C ∧ x ∈ dom(f) =⇒ F|Ax = f|Ax .

(iv) dom(F) = A.

Prueba del aserto: ((i)): Observemos que

f = g|dom(f) ⇐⇒ ∀x ∈ dom(f) (f(x) = g(x)).

Probaremos, por induccion, la parte derecha de la equivalencia anterior. Sea a ∈dom(f) tal que ∀x < a [f(x) = g(x)]. Entonces

(∗) f|Aa = g|Aa .

Por tanto,

28 1. Clases bien ordenadas [[Z−∗ ]]

f(a) = G(f|Aa) [[f ∈ C y definicion de C]]= G(g|Aa) [[(∗)]]= g(a) [[g ∈ C y definicion de C]].

De lo anterior por II.1.6, ∀x ∈ dom(f) (f(x) = g(x)).

((ii), (iii)): Se siguen de (i).

((iv)): Supongamos lo contrario. Entonces A − dom(F) 6= ∅. Por tanto, existea = inf(A − dom(F)). Luego, dom(F) = Aa. En consecuencia, dom(F) es unconjunto. Por tanto, F es un conjunto.

Sea y ∈ dom(F). Entonces existe f ∈ C tal que y ∈ dom(f). Se tiene que:

F(y) = f(y)= G(f|Ay) [[f ∈ C]]= G(F|Ay) [[f|Ay = F|Ay , (iii)]].

De lo anterior se sigue que F ∈ C. Por tanto, F ∪ {〈a,G(F)〉} ∈ C. Luego,a ∈ dom(

⋃C) = dom(F). Contradiccion. 2

Como en la prueba de la parte (iv) del aserto anterior se obtiene que para todo x ∈ A,

F(x) = G(F|Ax).

Lo que prueba la existencia.

Unicidad: Sea F′ : A −→ V tal que para todo x ∈ A,

F′(x) = G(F′|Ax).

Veamos que F = F′. Sea a ∈ A tal que (hipotesis de induccion)

∀x < a (F′(x) = F(x)).

Entonces

F(a) = G(F|Aa)= G(F′|Aa

) [[Hip. Ind. F|Aa = F′|Aa]]

= F′(a).

Lo que prueba la unicidad. ¥

1.C Isomorfismos entre clases bien ordenadas

Definicion II.1.8. Sean < una relacion de buen orden sobre A y <′ una relacion debuen orden sobre B.

(a) Diremos que una funcion F : A −→ B es:

(a.1) creciente: si ∀x, y ∈ A (x < y ⇐⇒ F(x) <′ F(y)).

(a.2) un isomorfismo (F : A ∼= B): si F es biyectiva y creciente.

(b) Diremos que A y B son isomorfas, A ∼= B, si existe un isomorfismo de A en B.


En los resultados que siguen < es una relacion de buen orden sobre A y <′ es unarelacion de buen orden sobre B.

Proposicion II.1.9. F : A −→ A creciente =⇒ ∀x ∈ A [x ≤ F(x)].

Demostracion: Sea C = {y ∈ A : y ≤ F(y)}. Veamos que A = C. Supongamos locontrario; es decir, A−C 6= ∅. Entonces por II.1.4 existe a = inf(A−C). Por tanto,

a /∈ C =⇒ a 6≤ F(a)=⇒ F(a) < a=⇒ F(F(a)) < F(a) [[F creciente]]=⇒ F(a) ∈ A−C.

Puesto que F(a) < a, lo anterior esta en contradiccion con a = inf(A−C). ¥

Corolario II.1.10.(a) F : A ∼= A =⇒ F = idA.

(b) F,G : A ∼= B =⇒ F = G.

Demostracion: ((a)): Supongamos lo contrario; es decir,

(–) ∃x ∈ A [x 6= F(x)].

Entonces, por II.1.4, existe

(–) a = (µx)(x 6= F(x)).

En consecuencia, a 6= F(a); luego, por II.1.9, a < F(a). Ademas, se tiene que:

Aserto II.1.10.1. ∀b ∈ A (F(b) 6= a).

Prueba del aserto: Sea b ∈ A. Entonces: b < a ∨ a ≤ b. Ademas,

b < a =⇒ F(b) = b a ≤ b =⇒ F(a) ≤ F(b)=⇒ F(b) 6= a [[b < a]] =⇒ F(b) 6= a [[a < F(a)]].


El aserto anterior esta en contradiccion con que F es suprayectiva.

((b)): Sean F,G : A ∼= B. Entonces G−1 ◦ F : A ∼= A. Por (a), G−1 ◦ F = idA. Portanto, F = G. ¥

Corolario II.1.11.(a) A no es isomorfa a una subclase suya estrictamente acotada. Es decir,

C ⊆ A ∧ ∃x ∈ A ∀y ∈ C [y < x] =⇒ A 6∼= C.

(b) A no es isomorfa a una seccion inicial suya.

(c) Ax∼= Ay =⇒ x = y.

Demostracion: Es evidente que (b) se sigue de (a) y que (c) se sigue de (b). Portanto, es suficiente probar (a). Sean C ⊆ A y a ∈ A tales que ∀y ∈ C (y < a).Supongamos que existe F : A ∼= C. Entonces

30 2. Numeros ordinales [[Z−∗ ]]

(–) F : A −→ A es creciente, y

(–) F(a) ∈ C.

Por tanto, F(a) < a. Lo cual esta en contradiccion con II.1.9. ¥

Lema II.1.12. F : A ∼= B =⇒ ∀x ∈ A [F|Ax : Ax∼= BF(x)].

Demostracion: Sea a ∈ A. Puesto que F es creciente, lo unico que es necesarioprobar es que F|Aa : Aa −→ BF(a) es suprayectiva. Sea b ∈ B tal que b <′ F(a). Puestoque F es biyectiva, existe c ∈ A tal que F(c) = b. Entonces F(c) <′ F(a). Por tanto,c < a; es decir, c ∈ Aa. Luego, b = F(c) = F|Aa(c). ¥

Teorema II.1.13. Se verifica una y solo una de las condiciones siguientes:(a) A ∼= B.

(b) ∃y ∈ B (A ∼= By).

(c) ∃x ∈ A (Ax∼= B).

Demostracion: De II.1.11 se sigue que solo puede darse una de estas condiciones.Sea

F = {〈x, y〉 ∈ A×B : Ax∼= By}.

De II.1.11-(c) y II.1.12 se sigue que

(–) F : dom(F) ∼= rang(F),

(–) dom(F) es un segmento inicial de A y

(–) rang(F) es un segmento inicial de B.

Se tiene que:

Aserto II.1.13.1. dom(F) = A ∨ rang(F) = B.

Prueba del aserto: Supongamos que dom(F) 6= A y rang(F) 6= B. Sean

(–) a = inf(A− dom(F)) y b = inf(B− rang(F)).

Entonces F : Aa∼= Bb. Por tanto, 〈a, b〉 ∈ F. Lo cual esta en contradiccion con

la definicion de a y b. 2

De lo anterior se sigue el resultado. ¥

§2 Numeros ordinales [[Z−∗ ]]

2.A La clase de los numeros ordinales

Definicion II.2.1. Diremos que una clase A es transitiva, y notaremos Trans(A), si

∀y ∈ A (y ⊆ A).


Lema II.2.2.(a) Trans(A) =⇒ Trans(A ∪ {A}). [[A conjunto]].

(b) ∀y ∈ A (Trans(y)) =⇒ Trans(⋂

A) ∧ Trans(⋃

A).

Definicion II.2.3. (Ordinales).

Ord(x) ⇐⇒ Trans(x) ∧ (∈ relacion de buen orden sobre x).

Usaremos α, β, δ, γ, . . . como variables sobre ordinales. Representaremos a la clase delos ordinales por:

Ord = {x : Ord(x)}.

Ejemplos II.2.4.(a) Conjuntos transitivos:

(a.1) 0 = ∅, {0}, {0, {0}}. Son tambien ordinales.

(a.2) {0, {0}, {{0}}}. No es ordinal.

(b) {{0}} no es transitivo.

Lema II.2.5.(a) 0 ∈ Ord.

(b) α /∈ α.

(c) a ∈ α =⇒ a ∈ Ord. Por tanto, Ord es una clase transitiva.

(d) α ∪ {α} ∈ Ord.

Demostracion: ((a)): Trivial.

((b)): Puesto que ∈ es una relacion de orden en α, no es reflexiva. Por tanto, α /∈ α.

((c)): Puesto que α es transitivo si a ∈ α, a ⊆ α. Puesto que ∈ es un buen orden enα, 〈a,∈〉 es un buen orden. Por tanto, es suficiente probar el siguiente aserto.

Aserto II.2.5.1. a es transitivo.

Prueba del aserto: Sea b ∈ a. Veamos que b ⊆ a. Sea c ∈ b. Puesto que α estransitivo, a, b, c ∈ α. Puesto que ∈ es una relacion de orden en α (en particulares una relacion transitiva),

c ∈ b ∧ b ∈ a =⇒ c ∈ a.

Lo que prueba que b ⊆ a. 2

Del aserto se sigue (c).

((d)): Por II.2.2-(a), α∪{α} es transitivo. Ademas, por (b), ∈ es un orden total sobreα ∪ {α}. Veamos que es un buen orden. Sea B ⊆ α ∪ {α} no vacio. Sea B′ = B ∩ α.Consideremos los siguientes casos

Caso 1: B′ 6= ∅. Entonces b = inf(B′) = inf(B).

Caso 2: B′ = ∅. Entonces B = {α}. Por tanto, B tiene elemento mininal.


De lo anterior se sigue que ∈ bien ordena a α ∪ {α}. ¥

Definicion II.2.6.(a) α + 1 = α ∪ {α}.(b) 0 = ∅, 1 = {0}, 2 = {0, 1}, . . . , n + 1 = {0, 1, . . . , n}, . . .

Lema II.2.7. α + 1 = β + 1 ⇐⇒ α = β.

Demostracion: Supongamos que α 6= β. Entonces

α + 1 = β + 1 =⇒ α ∪ {α} = β ∪ {β}=⇒ α ∈ β ∪ {β} ∧ β ∈ α ∪ {α}=⇒ α ∈ β ∧ β ∈ α [[α 6= β]]

=⇒ α ∈ α [[α transitivo]].

Lo cual esta en contradiccion con II.2.5-(b). ¥

2.B Ord como clase bien ordenada

Lema II.2.8. Sean α ∈ Ord y A ⊆ α. Si A es transitivo, entonces(a) A ∈ Ord.

(b) A = α ∨ A ∈ α.

Demostracion: ((a)): Puesto que A ⊆ α, entonces ∈ bien ordena al conjunto A.Puesto que A es transitivo, de lo anterior se sigue que A ∈ Ord.

((b)): Supongamos que A 6= α. Sea β = inf(α− A). Por definicion, β /∈ A. Ademas,

(β ⊆ A): De la definicion de β se sigue que: ∀γ ∈ β (γ ∈ A).

(A ⊆ β): Sea γ ∈ A. Puesto que γ, β ∈ α y ∈ es una relacion de orden total sobre α

β = γ ∨ β ∈ γ ∨ γ ∈ β.

Veamos que no se dan los dos primeros casos:

(–) Supongamos que β = γ. Entonces β ∈ A. Contradiccion.

(–) Supongamos que β ∈ γ. Puesto que A es transitivo, β ∈ A. Contradiccion.

Por tanto, γ ∈ β. Luego, A ⊆ β. ¥

Definicion II.2.9. En la clase de los ordinales, Ord, definimos la relacion < comosigue:

α < β ⇐⇒ α ∈ β.

Lema II.2.10.

(a) α ∈ β ⇐⇒ α < β ⇐⇒ α ⊂ β.


(b) α ≤ β ⇐⇒ α ⊆ β.

Demostracion: (α ∈ β ⇐⇒ α < β): Se tiene por definicion.

(α ∈ β =⇒ α ⊂ β): En efecto,

α ∈ β =⇒{

α ⊆ β [[β transitivo]]α 6= β [[II.2.5-(b)]]

=⇒ α ⊂ β.

(α ⊂ β =⇒ α ∈ β): En efecto,

α ⊂ β =⇒{

α ⊆ βα 6= β

}=⇒ α ∈ β [[α transitivo y II.2.8]].

Lo que prueba el resultado. ¥

Teorema II.2.11. La relacion < es un buen orden sobre Ord.

Demostracion: El teorema se sigue de los lemas II.2.12, II.2.13 y II.2.14. ¥

Lema II.2.12. < es un orden total sobre Ord.

Demostracion: (α 6< α): Se sigue de II.2.5-(b).

(α < β ∧ β < γ =⇒ α < γ): En efecto,

α < β ∧ β < γ =⇒ α ∈ β ∧ β ∈ γ=⇒ α ∈ γ [[γ es transitivo]]=⇒ α < γ.

(α < β ∨ α = β ∨ β < α): Consideremos el conjunto α ∩ β.

Puesto que α∩ β ⊆ α y, por II.2.2-(b), α∩ β es transitivo, entonces por II.2.8, α∩ βes un ordinal. Sea δ = α ∩ β. Entonces

(–) δ ⊆ α =⇒ δ ≤ α.

(–) δ ⊆ β =⇒ δ ≤ β.

Se tiene que:

Aserto II.2.12.1. δ = α ∨ δ = β.

Prueba del aserto: Supongamos lo contrario. Entonces δ < α y δ < β. Portanto, δ ∈ α y δ ∈ β. Luego, δ ∈ α ∩ β = δ. Lo cual esta en contradiccion conII.2.5-(b). 2

Supongamos que δ = α. Entonces α = δ = α ∩ β ⊆ β. Por tanto, α ≤ β. ¥

Lema II.2.13. α = {β : β < α}. Por tanto, ∀α ∈ Ord ((Ord)α es un conjunto).

Demostracion: Es consecuencia inmediata de II.2.5-(c) y la definicion de <. ¥

Lema II.2.14. Sea C ⊆ Ord tal que C 6= ∅. Entonces


(a)⋂

C ∈ Ord.

(b) inf(C) =⋂

C. Por tanto, C tiene primer elemento.

Demostracion: Puesto que C 6= ∅, ⋂C es un conjunto.

((a)): Sea α ∈ C. Entonces

(–)⋂

C es un conjunto transitivo. [[II.2.2-(b)]].

(–)⋂

C ⊆ α.

Por tanto, de II.2.8 se sigue que⋂

C ∈ Ord.

((b)): Sea β =⋂

C. Se tiene que

Aserto II.2.14.1. ∀δ ∈ C [β ≤ δ].

Prueba del aserto: Sea δ ∈ C. Entoncesδ ∈ C =⇒ ⋂

C ⊆ δ=⇒ β ⊆ δ [[

⋂C = β]]

=⇒ β ≤ δ [[II.2.10]].

Lo que prueba el resultado. 2

Aserto II.2.14.2. β ∈ C.

Prueba del aserto: Supongamos lo contrario. Entonces

β /∈ C =⇒ ∀δ ∈ C (δ 6= β)=⇒ ∀δ ∈ C (β < δ) [[II.2.14.1]]=⇒ ∀δ ∈ C (β ∈ δ) [[II.2.10]]=⇒ β ∈ ⋂

C = β.

Lo cual esta en contradiccion con II.2.5-(b). 2

De los asertos se sigue (b). ¥

Teorema II.2.15. Ord es una clase propia.

Demostracion: En caso contrario, por II.2.5-(c) y II.2.11, Ord es un ordinal. Portanto, Ord ∈ Ord. Lo cual esta en contradiccion con II.2.5-(b). ¥

Corolario II.2.16.(a) Sea A ⊆ Ord tal que Trans(A). Se tiene uno de los siguientes casos:

(a.1) A = Ord. Por tanto, A es una clase propia.

(a.2) A ∈ Ord. Por tanto, A es un conjunto.

(b) A ⊆ Ord =⇒ ⋃A ∈ Ord. Esto permite definir sup(A) =

⋃A.

(c) α + 1 = inf({β : α < β}).

Demostracion: ((a)): Supongamos que A 6= Ord. Sea α = ınf(Ord − A). Puestoque A es transitiva, como en II.2.8 se obtiene que A = α.

((b)): Por II.2.2-(b),⋃

A es transitivo. Por tanto, el resultado se sigue de (a).


((c)): Puesto que α < α + 1, α + 1 ∈ {β : α < β}. Ademas,

α < β =⇒ α ⊆ β ∧ α ∈ β =⇒ α ∪ {α} ⊆ β =⇒ α + 1 ≤ β.

Por tanto, α + 1 =⋂{β : α < β} = inf({β : α < β}). ¥

2.C Ordinales lımites

Definicion II.2.17.(a) α sucesor: α ∈ Suc ⇐⇒ ∃β (α = β + 1).

(b) α lımite: α ∈ Lim ⇐⇒ α 6= 0 ∧ α /∈ Suc.

(c) Sea A una clase.

A inductiva ⇐⇒ ∅ ∈ A ∧ ∀y ∈ A (y ∪ {y} ∈ A).

Lema II.2.18.(a) Axioma del Infinito ⇐⇒ ∃A (A conjunto inductivo).

(b) α ∈ Lim ⇐⇒ α inductivo.

Lema II.2.19. Sea α 6= 0. Son equivalentes:(a) α ∈ Lim.

(b) ∀β < α (β + 1 < α).

(c) α =⋃

α.

Demostracion: ((a) =⇒ (b)): Sea β < α. Entonces β + 1 ≤ α. Puesto que α eslımite, α 6= β + 1. Por tanto, β + 1 < α.

((b) =⇒ (c)): Por II.2.2-(b),⋃

α ⊆ α. Veamos que α ⊆ ⋃α.

β ∈ α =⇒ β < α=⇒ β + 1 < α [[(b)]]=⇒ β + 1 ∈ α=⇒ β ∈ ⋃

α [[β ∈ β + 1]].

((c) =⇒ (a)): Supongamos que α es sucesor. Sea β ∈ Ord tal que α = β +1. Entonces⋃α =

⋃(β ∪ {β}) = (

⋃β) ∪ β = β 6= α.

Lo cual esta en contradiccion con (c). ¥

Definicion II.2.20. La clase de los numeros naturales, ω, esta definida por

ω = {α ∈ Ord : α /∈ Lim ∧ ∀β ∈ α (β /∈ Lim)}.

Lema II.2.21.(a) ω es transitiva (como clase).

(b) ω es inductiva (como clase).


(c) A inductiva =⇒ ω ⊆ A.

Demostracion: ((a) y (b)): Ejercicios.

((c)): Sea A una clase inductiva. Veamos que ω ⊆ A. Es decir, veamos que

∀α (α ∈ ω =⇒ α ∈ A).

Procedemos por induccion sobre Ord. Supongamos que, hipotesis de induccion,

∀β < α (β ∈ ω =⇒ β ∈ A).

Veamos que

α ∈ ω =⇒ α ∈ A.

Supongamos que α ∈ ω. Entonces α = 0 ∨ α ∈ Suc. Consideremos los siguientes casos:

Caso 1: α = 0. Entonces de A inductiva se sigue que α ∈ A.

Caso 2: α ∈ Suc. Entonces existe β ∈ Ord tal que α = β + 1. Por tanto,

α ∈ ω =⇒ β ∈ ω [[β < α y (a)]]

=⇒ β ∈ A [[Hip. Ind. [[β < α]]]]

=⇒ β + 1 ∈ A [[A inductiva]]

=⇒ α ∈ A [[α = β + 1]].

Lo que prueba (c). ¥

Lema II.2.22. (Ax. Infinito).(a) ω es un conjunto.

(b) ω =⋂{A : A conjunto inductivo}

(c) ω ∈ Ord.

(d) ω ∈ Lim.

(e) ω = inf({α : α ∈ Lim}).

Demostracion: ((a)): Por el Axioma del Infinito y II.2.18-(a) existe un conjuntoinductivo, A. Por II.2.21-(c), ω ⊆ A. Por tanto, ω es un conjunto.

((b)): Ejercicio.

((c)): Puesto que ω ⊆ Ord y, por II.2.21-(a), es transitivo, entonces de II.2.16-(a)se sigue que ω ∈ Ord.

((d)): Por II.2.21-(b), ω es inductivo. Por tanto, de (c) y II.2.18-(b) se sigue queω ∈ Lim.

((e)): Se tiene que:

α ∈ Lim =⇒ α inductivo [[II.2.18-(b)]]=⇒ ω ⊆ α [[(b)]]=⇒ ω ≤ α.

Por tanto, ω = inf({α : α ∈ Lim}). ¥


Lema II.2.23. Son equivalentes:(a) Axioma del Infinito.

(b) ω es un conjunto.

Notas II.2.24. (ZF−∗ ). Lista de ordinales:

0, 1, 2, 3, . . . , ω, ω + 1, ω + 2 = (ω + 1) + 1, ω + 3, . . .

Para obtener ω + ω necesitamos el Axioma de Reemplazamiemto, pues

ω + ω = sup({ω + n : n ∈ ω}).

2.D Conjuntos bien ordenados y ordinales

Lema II.2.25. α ∼= β =⇒ α = β.

Demostracion: Supongamos que α < β. Entonces α ∼= β esta en contradiccion conII.1.11-(a). ¥

Teorema II.2.26. (ZF−∗ ). Sea A una clase bien ordenada. Se tiene una y solo unade las siguientes posibilidades:(a) A ∼= Ord. Por tanto, A es una clase propia.

(b) ∃!α ∈ Ord [A ∼= α]. Por tanto, A es un conjunto.

Demostracion: Se sigue de II.1.13. ¥

Definicion II.2.27. (ZF−∗ ). Sea 〈A,<〉 un conjunto bien ordenado.

OT(〈A,<〉) = α ⇐⇒ 〈A,<〉 ∼= α.

2.E Teoremas de induccion y recursion sobre Ord

Teorema II.2.28. (Induccion). Sea C ⊆ Ord una clase.(a) (1a forma): ∀α [∀β < α (β ∈ C) =⇒ α ∈ C] =⇒ C = Ord.

(b) (2a forma): Si

(b.1) 0 ∈ C,

(b.2) α ∈ C =⇒ α + 1 ∈ C, y

(b.3) ∀β < α (β ∈ C) =⇒ α ∈ C, si α es lımite,

entonces C = Ord.

Teorema II.2.29. (Recursion, (ZF−∗ )).(a) Sea G : V −→ V una funcion. Existe una unica funcion F : Ord −→ V tal que:

38 3. El teorema del buen orden [[ZF∗]]

F(α) = G(F|α).

(b) Sean a un conjunto y G,H : V −→ V funciones. Existe una unica F : Ord −→ Vtal que

(b.1) F(0) = a,

(b.2) F(α + 1) = G(F(α)), y

(b.3) F(α) = H({F(β) : β < α}); si α es lımite.

§3 El teorema del buen orden [[ZF∗]]

Definicion II.3.1. Un conjunto A es bien ordenable (o puede ser bien ordenado) siexiste un buen orden sobre A; es decir,

A bien ordenable ⇐⇒ ∃R (R buen orden sobre A).

Lema II.3.2. Sea A un conjunto.(a) Si existe f : A −→ Ord inyectiva, entonces A es bien ordenable.

(b) Si existen δ ∈ Ord y f : δ −→ A biyectiva, entonces A es bien ordenable.

Demostracion: La parte (b) se sigue de (a). Probemos (a). Sea f : A −→ Ordinyectiva. Consideremos la relacion <′ sobre A definida como sigue:

x <′ y ⇐⇒ f(x) < f(y).

Es evidente que <′ bien ordena al conjunto A. ¥

Teorema II.3.3. (Teorema del Buen Orden (Zermelo), (AC)) Todo conjuntopuede ser bien ordenado.

Demostracion: Sean A un conjunto y G una funcion de eleccion sobre P(A). Porrecursion definimos F : Ord −→ A. Sea a ∈ A. ]]Recordar que F[α] = {F(β) : β ∈ α}]].

F(α) =

{G(A− F[α]), si A 6= F[α];a, en caso contrario.

Se tiene que:

Aserto II.3.3.1. ∃α ∈ Ord (A = F[α]).

Prueba del aserto: Supongamos lo contrario. Sean β1 < β2 ∈ Ord. Entonces

β1 < β2 =⇒ F(β1) ∈ F[β2];A 6= F[β2] =⇒ F(β2) = G(A− F[β2]) ∈ A− F[β2]

}=⇒ F(β2) 6= F(β1).

Por tanto, F es inyectiva. Luego, por I.8.6, Ord es un conjunto. Lo cual esta encontradiccion con II.2.15. 2

Sean

(–) δ = inf({α : A = F[α]}), y


(–) H = F|δ.

Entonces H es un conjunto. Ademas, puesto que H[δ] = F[δ] = A, H es suprayectiva.Como en el aserto se prueba que H es inyectiva. Por tanto, H : δ −→ A es biyectiva.Luego, II.3.2, A es bien ordenable. ¥

Teorema II.3.4. (Zermelo). Son equivalentes:(a) El Axioma de Eleccion.


Demostracion: ((a) =⇒ (b)): Se sigue de II.3.3.

((b) =⇒ (a)): Sea < un buen orden sobre⋃

A. Sea F : A −→ V la aplicacion definidapor:

F (B) =

{inf<(B), si B 6= ∅;∅, si B = ∅.

Sea B ∈ A tal que B 6= ∅. Puesto que B ⊆ ⋃A, entonces F (B) = inf(B) ∈ B. Por

tanto, F es un funcion de eleccion sobre A. ¥

§4 Sucesiones de ordinales [[ZF−∗ ]]

Definicion II.4.1.(a) Una α–sucesion es una aplicacion de dominio α.

(b) Una sucesion es una funcion de dominio Ord. Una sucesion F es un sucesion deordinales si rang(F) ⊆ Ord.

(c) Sea F una sucesion de ordinales.(c.1) F es continua si para todo α ∈ Lim

sup({F(β) : β < α}) = F(α).

(c.2) F es normal si: F es creciente y continua.

Lema II.4.2.(a) Sea F continua. Son equivalentes:

(a.1) F es normal.

(a.2) ∀α [F(α) < F(α + 1)].

(b) F normal ∧ α ∈ Lim =⇒ F(α) ∈ Lim.

(c) F y G normales =⇒ F ◦G normal.

Lema II.4.3. ∀α ∃β > α [β ∈ Lim].

Demostracion: Sea F : ω −→ Ord la funcion definida por recursion:

40 4. Sucesiones de ordinales [[ZF−∗ ]]

(–) F (0) = α.

(–) F (n + 1) = F (n) + 1.

Sea β = sup({F (n) : n ∈ ω}). Entonces

α = F (0) < F (1) ≤ β.

Veamos que β es lımite. Sea γ < β. Entonces existe n ∈ ω tal que γ < F (n). Por tanto,

γ + 1 ≤ F (n) < F (n) + 1 = F (n + 1) ≤ β.

Lo que prueba el lema. ¥

Lema II.4.4. Sea F una funcion normal y β ∈ Ord tal que F(0) ≤ β. Entonces

∃α [F(α) ≤ β ∧ ∀γ (α < γ =⇒ β < F(γ))].

Es decir, ∃α [F(α) ≤ β < F(α + 1)].

Demostracion: Puesto que F es creciente, {γ : β < F(γ)} 6= ∅. Por tanto, existe

δ = inf({γ : β < F(γ)}).Puesto que F(0) ≤ β, δ 6= 0. Ademas, se tiene que:

Aserto II.4.4.1. δ es sucesor.

Prueba del aserto: De la definicion de δ se sigue que

(1) ∀γ < δ (F(γ) ≤ β).

Supongamos que δ no es sucesor. Puesto que δ 6= 0, entonces δ es lımite. Portanto,

F(δ) = sup({F(γ) : γ < δ}) [[F continua]]≤ β [[(1)]].

Lo cual esta en contradiccion con la definicion de δ. 2

Por el aserto, existe α tal que δ = α + 1. Puesto que F es creciente, de la definicion deδ se sigue que

F(α) ≤ β ∧ ∀γ [α < γ =⇒ β < F(γ)].


Teorema II.4.5. (Punto fijo). F normal =⇒ ∀α ∃β ≥ α (F(β) = β).

Demostracion: Sea G : ω −→ Ord definida por:

(–) G(0) = α.

(–) G(n + 1) = F(G(n)).

Sea β = sup({G(n) : n ∈ ω}). Veamos que F(β) = β. Si F(α) = α, el resultado estrivial. Supongamos que α < F(α). Entonces

Aserto II.4.5.1. β es lımite.

Se tiene que:


F(β) = sup({F(γ) : γ < β}) [[Aserto, F continua]]= sup({F(G(n)) : n ∈ ω}) [[Ejercicio]]= sup({G(n + 1) : n ∈ ω})= β.


Nota II.4.6. Sea β el ordinal obtenido en la prueba anterior. Se tiene que:(–) β = inf({γ : α ≤ γ ∧ F(γ) = γ}), y

(–) F(α) 6= α =⇒ β ∈ Lim ∧ cf(β) = ω. [[Ver III.9.1]].

§5 Aritmetica ordinal [[ZF−∗ ]]

Definicion II.5.1.(a) Suma.

(–) α + 0 = α,

(–) α + (β + 1) = (α + β) + 1,

(–) α + β = sup({α + γ : γ < β}), si β es lımite.

(b) Producto.

(–) α · 0 = 0,

(–) α · (β + 1) = α · β + α,

(–) α · β = sup({α · γ : γ < β}), si β es lımite.

(c) Exponenciacion.

(–) α0 = 1,

(–) αβ+1 = αβ · α,

(–) αβ = sup({αγ : 0 < γ < β}), si β es lımite.

Proposicion II.5.2.(a) (Propiedades de la Suma).

(a.1) (Normal) Para todo α la funcion Fα : Ord −→ Ord, definida por:

Fα(β) = α + β

es normal.

(a.2) (Asociativa) (α + β) + γ = α + (β + γ).

(a.3) No es conmutativa. [[1 + ω 6= ω + 1]].

(b) (Propiedades del Producto).

(b.1) (Normal) Para todo α ≥ 1 la funcion Fα : Ord −→ Ord definida por:

Fα(β) = α · βes normal.

42 5. Aritmetica ordinal [[ZF−∗ ]]

(b.2) (Distributiva (por la izquierda)) α · (β + γ) = α · β + α · γ.

(b.3) (Asociativa) α · (β · γ) = (α · β) · γ.

(b.4) No es conmutativa. [[2 · ω 6= ω · 2]].

(b.5) No es distributiva por la derecha. [[(1 + 1) · ω = 2 · ω 6= ω · 2 = ω + ω =1 · ω + 1 · ω]].

(c) (Propiedades de la Exponenciacion).

(c.1) (Normal) Para todo α ≥ 2 la funcion Fα : Ord −→ Ord definida por:

Fα(β) = αβ

es normal.

(c.2) αβ · αγ = αβ+γ.

(c.3) (αβ)γ = αβ·γ.

Nota II.5.3. Las operaciones anteriores nos permite ampliar la lista de ordinales:

0, 1, 2, . . . , ω, ω + 1, . . . ,

ω · 2 = ω + ω, ω · 2 + 1, . . . , ω · 3, . . . , ω · 4, . . . , ω · ω = ω2, . . . , ω3, . . . ,

ωω, . . . , ωω · ω = ωω+1, . . . , ωω2, . . . , ωωω

, . . .

Se define:

ε0 = sup({F(n) : n ∈ ω})

donde F : ω −→ Ord es la funcion definida por: F(n) =

{ω, si n = 0;

ωF(m), si n = m + 1.

Lema II.5.4. β ≤ γ =⇒

β + α ≤ γ + α

β · α ≤ γ · αβα ≤ γα

Lema II.5.5. α ≤ γ =⇒ ∃!β (α + β = γ).

Lema II.5.6. ∀α ∀β > 0 ∃!σ, ρ (α = β · σ + ρ ∧ 0 ≤ ρ < β ∧ σ ≤ α).

Lema II.5.7. Para cualesquiera α > 0 y β > 1, existen γ, δ, ρ unicos tales que:

0 < δ < β ∧ ρ < βγ ∧ α = βγ · δ + ρ.

Teorema II.5.8. (Forma Normal de Cantor). Sea β > 1. Para todo α > 0 exis-ten k ∈ ω, γ0, . . . , γk, δ0, . . . , δk unicos tales que:(a) γ0 > γ1 > . . . > γk.

(b) ∀i ≤ k (0 < δi < β).

(c) α = βγ0 · δ0 + βγ1 · δ1 + . . . + βγk · δk.


§6 Numeros naturales [[ZF−∗ ]]

Definicion II.6.1. Recordemos que (ver II.2.20) ω es el conjunto de los numerosnaturales. Definimos [[usaremos n,m, i, j, . . . como variables sobre numeros naturales]]

x es un numero natural ⇐⇒ x ∈ ω.

Teorema II.6.2. Sea A una clase.

(a) Principio de Induccion.

(a.1) (Primera version): 0 ∈ A ∧ ∀n ∈ ω (n ∈ A =⇒ n+1 ∈ A) =⇒ ω ⊆ A.

(a.2) (Segunda version): ∀n ∈ ω (∀m < n (m ∈ A) =⇒ n ∈ A) =⇒ ω ⊆ A.

(b) Teorema de Recursion. Para cualesquiera a ∈ A y G : A × ω −→ A, existeuna unica F : ω −→ A tal que

F(0) = a,

F(n + 1) = G(F(n), n).

Proposicion II.6.3. Para todo n,m ∈ ω,(a) n + m = m + n.

(b) n ·m = m · n.

Definicion II.6.4. (La funcion de Cantor).(a) Sea J : ω2 −→ ω la funcion definida por

J(n,m) =(n + m) · (n + m + 1)

2 + n.

(b) Sean K, L : ω −→ ω las funciones definidas por

K(i) = inf({n ∈ ω : ∃m ∈ ω (J(n,m) = i)});L(i) = inf({m ∈ ω : ∃n ∈ ω (J(n,m) = i)}).

Lema II.6.5.(a) J es biyectiva.

(b) Para todo i ∈ ω, J(K(i), L(i)) = i.

§7 Ejercicios

Ejercicio II.7.1. (II.1.3).(a) x 6= y =⇒ Ax 6= Ay.

44 7. Ejercicios

(b) B y C segmentos iniciales =⇒{

B segmento inicial de C ∨C segmento inicial de B

Ejercicio II.7.2. (II.2.2).(a) Trans(A) =⇒ Trans(A ∪ {A}). [[A conjunto]].

(b) Si ∀y ∈ A (Trans(y)), entonces Trans(⋂

A) y Trans(⋃

A).

Ejercicio II.7.3.(a) Trans(A) ⇐⇒ ⋃

A ⊆ A ⇐⇒ A ⊆ P(A).

(b) Trans(A) =⇒ Trans(⋃

A).

Ejercicio II.7.4. (II.2.18).(a) Axioma del Infinito ⇐⇒ ∃A (A conjunto inductivo).

(b) α ∈ Lim ⇐⇒ α inductivo.

Ejercicio II.7.5. (Ax. Infinito, (II.2.22)). ω =⋂{A : A inductivo}

Ejercicio II.7.6. (II.2.23). Son equivalentes:(a) El Axioma del Infinito.

(b) ω es un conjunto.

Ejercicio II.7.7. (II.4.5.1). Sea F una funcion normal. Sea G : ω −→ Ord la apli-cacion definida por:

G(0) = α, G(n + 1) = F(G(n)).

Sea β = sup({G(n) : n ∈ ω}). Probar que si α < F(α), entonces β es lımite.

Ejercicio II.7.8. (II.6.3). Para todo n,m ∈ ω,(a) n + m = m + n.

(b) n ·m = m · n.

Ejercicio II.7.9. (II.6.5).(a) J es biyectiva.

(b) Para todo i ∈ ω, J(K(i), L(i)) = i.

Ejercicio II.7.10. Sean A una clase, F : A −→ A y B ⊆ A. Probar que existeC ⊆ A tal que(a) B ⊆ C.

(b) ∀x (x ∈ C =⇒ F(x) ∈ C).

(c) Para toda clase C′ ⊆ A


B ⊆ C′ ∧ ∀x ∈ C′(F(x) ∈ C′) =⇒ C ⊆ C′.

Ejercicio II.7.11. Sean α, β ∈ Ord.(a) Sean

(–) Conjunto: A = α× {0} ∪ β × {1}.(–) Relacion: 〈〈γ1, δ1〉, 〈γ2, δ2〉 ∈ R ⇐⇒ (δ1 < δ2) ∨ (δ1 = δ2 ∧ γ1 < γ2).

Se tiene que: α + β ∼= 〈A,R〉(b) Sean

(–) Conjunto: A = α× β.

(–) Relacion: 〈〈γ1, δ1〉, 〈γ2, δ2〉〉 ∈ R ⇐⇒ (δ1 < δ2) ∨ (δ1 = δ2 ∧ γ1 < γ2).

Se tiene que: α · β ∼= 〈A,R〉.(c) Sean

(–) Conjunto: Ex(α, β) = {f : f : β −→ α ∧ {δ ∈ β : f(δ) 6= 0} es finito }.(–) Relacion: 〈f, g〉 ∈ R ⇐⇒ (γ = sup({δ ∈ β : f(δ) 6= g(δ)} → f(γ) < g(γ)).

Se tiene que: αβ ∼= 〈Ex(α, β), R〉.

Ejercicio II.7.12. Definir sobre ω dos buenos ordenes <1, <2 tales que:〈ω, <1〉 ∼= ω + ω 〈ω,<2〉 ∼= ω · 3.

Ejercicio II.7.13. Sea F : Ord −→ Ord la funcion definida por

F(α) = (ωω + ω) · α.

(a) ¿Es F normal?

(b) Sea A = {α : F(α) = α}. Demostrar que existe un unico isomorfismo, G, deOrd en A.

(c) Calcular G(0), G(1), G(2) y G(ω).

Ejercicio II.7.14. Si f, g ∈ 2ω sea

nf,g = inf({m ∈ ω : f(m) 6= g(m)}.En el conjunto 2ω (= {f : f : ω −→ 2}) definimos la relacion C como sigue:

f C g ⇐⇒ f(nf,g) < g(nf,g).

¿Es C una relacion de orden total? ¿Es C una relacion de buen orden?

Ejercicio II.7.15. Probar que el conjunto {A ⊆ ω : ∃n (A ∼ n)} es bien ordenable.(Sin usar el axioma de eleccion).

Ejercicio II.7.16.(a) Probar que Ord<ω = {f : f aplicacion ∧ dom(f) ∈ ω ∧ rang(f) ⊂ Ord} es una

46 7. Ejercicios

clase propia.

(b) Sobre Ord<ω definimos la siguiente relacion, C,. Sea, f, g ∈ Ord<ω

f C g ⇐⇒

sup(rang(f)) < sup(rang(g)) ∨[sup(rang(f)) = sup(rang(g)) ∧ dom(f) < dom(g)] ∨{

[sup(rang(f)) = sup(rang(g)) ∧ dom(f) = dom(g)] ∧∃k ∈ dom(f) (f|k = g|k ∧ f(k) < g(k)).

Probar que

(b.1) ∀g ∈ Ord<ω ({f ∈ Ord<ω : f C g} es un conjunto).

(b.2) C es un buen orden sobre Ord<ω.

(b.3) Existe un isomorfismo F : Ord −→ Ord<ω. Calcular F(0), F(ω), F(ω + ω).

Ejercicio II.7.17.(a) Sean k ∈ ω, 0 < ni, 0 ≤ i ≤ k, y γ0 > γ1 > . . . > γk. Probar que

(a.1) Si 0 < m, entonces

(ωγ0 · n0 + . . . + ωγk · nk) ·m = ωγ0 · n0 ·m + ωγ1 · n1 + . . . + ωγk · nk.

(a.2) (ωγ0 · n0 + . . . + ωγk · nk) · ω = ωγ0+1.

(a.3) (ωγ0 · n0 + . . . + ωγk · nk) · ωγ = ωγ0+γ.

(b) Sean α < β. Probar que:

(b.1) ωα + ωβ = ωβ.

(b.2) ∀n,m > 0 (ωα · n + ωβ ·m = ωβ ·m).

Ejercicio II.7.18. Encontrar el menor ordinal α tal que(a) ω + α = α.

(b) ω < α y ∀β < α (β + α = α).

(c) 0 < α y ω · α = α.

(d) ω < α y ∀β < α (β · α = α).

(e) ωα = α.

(f) ω < α y (∀β)1<β<α (βα = α).

Ejercicio II.7.19. Encontrar A ⊆ Q tal que 〈A,<Q〉 ∼= α donde(a) α = ω + 1.

(b) α = ω · 2.

(c) α = ω · 3.

(d) α = ω2.

Capıtulo III

Cardinales

§1 El numero de elementos de un conjunto [[ZF−∗ ]]

Definicion III.1.1. Sean A y B dos conjuntos.

(a) Diremos que A y B son equipotentes, y notaremos A ∼ B o |A| = |B|, si existeuna biyeccion de A en B; esto es,

A ∼ B ⇐⇒ ∃f (f : A −→ B biyectiva).

Si |A| = |B|, diremos que A y B tienen el mismo cardinal.

(b) A ¹ B ⇐⇒ ∃f (f : A −→ B inyectiva). Tambien escribiremos |A| ≤ |B|.(c) A ≺ B ⇐⇒ A ¹ B ∧ A 6∼ B. Tambien escribiremos |A| < |B|.

Notas III.1.2.(a) La relacion ∼ es de equivalencia.

(b) Observemos que |A| = |B| es tan solo una notacion. En la definicion anteriorno se ha asignado al conjunto A un conjunto |A|. Por tanto, el sımbolo = en laexpresion |A| = |B| no tiene sentido de igualdad conjuntista.

Teorema III.1.3. (Teorema de Schroder-Bernstein-Cantor).

|A| ≤ |B| ∧ |B| ≤ |A| =⇒ |A| = |B|.

Demostracion: Sean F : A −→ B y G : B −→ A inyectivas. Por recursion sobren ∈ ω definimos la siguiente sucesion: {An : n ∈ ω}

(–) A0 = A−G[B]

(–) An+1 = G[F [An]].

Sea A∗ =⋃{An : n ∈ ω}. Sea H : A −→ G[B] la aplicacion definida por:

47

48 1. El numero de elementos de un conjunto [[ZF−∗ ]]

H(a) =

{G(F (a)), si a ∈ A∗;a, en caso contrario.

Se tiene que:

Aserto III.1.3.1.

(i) a ∈ An =⇒ H(a) ∈ An+1

(ii) a ∈ A∗ =⇒ H(a) ∈ A∗.

(iii) n 6= m =⇒{

An ∩ Am = ∅F [An] ∩ F [Am] = ∅

(iv) H es biyectiva.

Del aserto, se sigue que |A| = |G[B]|. Por tanto, |A| = |G[B]| = |B|. En consecuencia,|A| = |B|. Lo que prueba el resultado. ¥

Corolario III.1.4. A ⊆ B ⊆ C ∧ |A| = |C| =⇒ |B| = |C|.

Definicion III.1.5.

(a) Sea A un conjunto bien ordenable. Definimos el cardinal de A como sigue

card(A) = inf({α ∈ Ord : A ∼ α}).(b) Sea α ∈ Ord. Diremos que α es un cardinal, y notaremos α ∈ Card, si card(α) =

α, es decir,

Card = {α ∈ Ord : ∀β < α [α 6∼ β]}= {α ∈ Ord : ∀β < α (|α| 6≤ |β|)}.

Usaremos κ, λ, . . . como variables sobre ordinales que son cardinales.

Lema III.1.6.

(a) A es bien ordenable =⇒ A ∼ card(A).

(b) (AC): Para todo A existe κ ∈ Card tal que card(A) = κ.

(c) ω ≤ α =⇒ α + 1 /∈ Card.

(d) |A| = |κ| =⇒ card(A) = κ.

(e) |κ| < |λ| ⇐⇒ κ < λ.

Lema III.1.7.

(a) card(α) = (µβ)(α ∼ β).

(b) card(α) ∈ Card.

(c) card(α) ≤ α.

(d) card(α) ≤ β ≤ α =⇒ card(β) = card(α).

(e) card(card(α)) = card(α).

Capıtulo III. Cardinales 49

Lema III.1.8. C ⊆ Card =⇒ ⋃C ∈ Card.

Demostracion: Sea β =⋃

C. Supongamos que β no es un cardinal. Entonces existenα < β y F : β −→ α inyectiva. Puesto que α < β, existe λ ∈ C tal que α < λ. Ademas,λ ≤ β. Por tanto, F|λ : λ −→ α inyectiva. Contradiccion con λ cardinal. ¥

§2 Conjuntos finitos

2.A Algebra de conjuntos finitos [[Z−∗ ]]

Definicion III.2.1.

(a) A finito ⇐⇒ ∃n ∈ ω (n ∼ A).

(b) Diremos que A es infinito si no es finito.

Notaremos por Fin a la clase de los conjuntos finitos; es decir,

Fin = {A : A conjunto finito}.

Lema III.2.2.

(a) ∀n ∈ ω (n ∈ Fin).

(b) A ∈ Fin =⇒ A ∪ {a} ∈ Fin.

Demostracion: ((a)): Trivial, para todo n ∈ ω, n ∼ n.

((b)): Podemos suponer que a /∈ A. Por hipotesis, existen n ∈ ω y f : n −→ Abiyectiva. Sea g : n + 1 −→ A ∪ {a} la aplicacion definida por:

g(k) =

{f(k), si k < n;a, si k = n.

Es decir, g = f ∪ {〈n, a〉}: Por tanto, g es un conjunto. Ademas, g es biyectiva. Portanto, A ∪ {a} es finito. ¥

Teorema III.2.3. (Induccion sobre conjuntos finitos). Sea C una clase.

∅ ∈ C ∧ ∀A∀y /∈ A [A ∈ C =⇒ A ∪ {y} ∈ C] =⇒ Fin ⊆ C.

Demostracion: Sea C una clase tal que:

(i) ∅ ∈ C, y

(ii) ∀A∀y /∈ A [A ∈ C =⇒ A ∪ {y} ∈ C].

Veamos que Fin ⊆ C. Para ello es suficiente probar que:

Aserto III.2.3.1. ∀n ∈ ω ∀A (n ∼ A =⇒ A ∈ C).

Prueba del aserto: Por inducion sobre n ∈ ω.

50 2. Conjuntos finitos

(n = 0): Si 0 ∼ A, entonces A = ∅. Por tanto, de (i) se sigue que A ∈ C.

(n =⇒ n+1): Sea A un conjunto tal que n+1 ∼ A. Sea f : n+1 −→ A biyectiva.Puesto que n ∼ f [n], por hipotesis de induccion, f [n] ∈ C. Por tanto, de (ii) sesigue que f [n] ∪ {f(n)} ∈ C. Puesto que f [n] ∪ {f(n)} = A, entonces A ∈ C. 2

Del aserto se sigue el teorema. ¥

Proposicion III.2.4. Sea F una funcion.

A ∈ Fin =⇒ F[A] es un conjunto ∧ F[A] ∈ Fin.

Demostracion: Por induccion sobre conjuntos finitos usando la clase

C = {A : F[A] es un conjunto finito}.(∅): F[∅] = ∅ y ∅ es un conjunto finito.

(A =⇒ A ∪ {x}): En efecto,

F[A ∪ {x}] = F[A] ∪ {F(x)}.Por hipotesis de induccion, F[A] es un conjunto finito. Por tanto, de III.2.2-(b) sesigue que F[A ∪ {x}] es un conjunto finito. ¥

Proposicion III.2.5. A,B ∈ Fin =⇒ A ∪B ∈ Fin.

Demostracion: Sea B un conjunto finito. Veamos que para todo A

A ∈ Fin =⇒ A ∪B ∈ Fin.

Por induccion sobre conjuntos finitos usando la clase

C = {A : A ∪B ∈ Fin}.(∅): Pues ∅ ∪B = B y B es finito.

(A =⇒ A ∪ {x}): Entonces

(A ∪ {x}) ∪B = (A ∪B) ∪ {x}.Por hipotesis de induccion A ∪ B es finito. Por tanto, de III.2.2-(b) se sigue que elconjunto (A ∪B) ∪ {x} es finito. En consecuencia, (A ∪ {x}) ∪B es finito. ¥

Proposicion III.2.6.

(a) |A| = |B| =⇒ (A ∈ Fin ⇐⇒ B ∈ Fin).

(b) B ⊆ A ∧ A ∈ Fin =⇒ B ∈ Fin.

(c) A ∈ Fin ∧ ∀B ∈ A (B ∈ Fin) =⇒ ⋃A ∈ Fin.

(d) A ∈ Fin =⇒ P(A) ∈ Fin.

(e) A, B ∈ Fin =⇒ A×B ∈ Fin.

(f) B /∈ Fin =⇒ ∀A [A ∈ Fin =⇒ ∃C ⊆ B (|C| = |A|)].(g) A ∈ Fin ∧ y /∈ A =⇒ |A| 6= |A ∪ {y}|.(h) A ∈ Fin ∧ B ⊂ A =⇒ |A| 6= |B|.


Teorema III.2.7. A ∈ Fin =⇒ ∃f{

f aplicacion ∧ dom(f) = A ∧∀y ∈ A (y 6= ∅ =⇒ f(y) ∈ y).

Demostracion: Por induccion sobre conjuntos finitos usando la clase

C = {A : ∃f [dom(f) = A ∧ ∀y ∈ A (y 6= ∅ =⇒ f(y) ∈ y)]}.(∅): Trivial. ∅ es una funcion de eleccion sobre ∅.(A =⇒ A ∪ {a}): Supongamos que a /∈ A y a 6= ∅. Por hipotesis de induccion existe ftal que f es una funcion de eleccion sobre A. Sean b ∈ a y g = f ∪{〈a, b〉}. Es evidenteque g es una funcion de eleccion sobre A ∪ {a}. ¥


(a) ∀n,m ∈ ω (n ∼ m ⇐⇒ n = m).

(b) ∀n ∈ ω [n ∈ Card].

(c) (Ax. Inf.) ω ∈ Card ∧ ω /∈ Fin.

Demostracion: ((a)): Por induccion sobre n ∈ ω probaremos que

∀m (n ∼ m =⇒ n = m).

(n = 0): Sea m ∈ ω tal que 0 ∼ m. Entonces m = 0.

(n =⇒ n + 1): Sea m ∈ ω tal que n + 1 ∼ m. Puesto que n + 1 6= ∅, m 6= ∅. Por tanto,existe k ∈ ω tal que m = k +1. Sea f : n+1 −→ k +1 biyectiva. Definimos g : n −→ kcomo sigue

g(a) =

{f(a), si f(a) 6= k;f(n), si f(a) = k.

Es evidente que g es biyectiva. Entonces, por hipotesis de induccion, n = k. Por tanto,n + 1 = k + 1 = m.

((b)): Se sigue de (a).

((c)): Puesto que ω =⋃{n : n ∈ ω}, de (b) y III.1.8 se sigue que ω ∈ Card. Por

tanto, para todo α < ω, α 6∼ ω. En consecuencia, ω /∈ Fin. ¥

2.B Conjuntos D–finitos [[ZF−∗ ]]

Definicion III.2.9. (Dedekind–infinito).

A es D–infinito ⇐⇒ ∃B ⊆ A (B ∼ ω) ⇐⇒ ω ≤ |A|.


(a) A D–infinito =⇒ A infinito.

(b) (AC) A infinito =⇒ A D–infinito.

52 3. Conjuntos numerables [[ZF−∗ ]]

Demostracion: ((a)): Sea B ⊆ A tal que B ∼ ω. Entonces B es infinito. Por tanto,A es infinito.

((b)): Nota: La prueba que presentamos usa el axioma de las partes.

Por el teorema del buen orden, A es bien ordenable. Por tanto, existe α ∈ Ord tal queA ∼ α. Puesto que A es infinito, ω ≤ α. Sea G : α −→ A biyectiva. Entonces G[ω] ⊆ Ay G[ω] ∼ ω. Por tanto, A es D–infinito. ¥

Proposicion III.2.11. A D–infinito ⇐⇒ ∃B (B ⊂ A ∧ |A| = |B|).

Demostracion: (=⇒): Sea F : ω −→ A inyectiva. Sean B = A − {F (0)} (luego,B ⊂ A) y G : A −→ B la aplicacion definida por:

G(a) =

{F (n + 1), si a = F (n);a, en caso contrario.

Es evidente que G es biyectiva; luego, |A| = |B|.(⇐=): Sean F : A −→ B biyectiva y a ∈ A−B. Definimos G : ω −→ A

(–) G(0) = a.

(–) G(n + 1) = F (G(n)).

Es decir, G(n) = F n(a). Es evidente que G es inyectiva. Por tanto, ω ∼ G[ω] ⊆ A. ¥

§3 Conjuntos numerables [[ZF−∗ ]]

Definicion III.3.1. A numerable ⇐⇒ A finito ∨ A ∼ ω.

Proposicion III.3.2. Sea A ⊆ ω. Son equivalentes.

(a) card(A) = ω.

(b) A es infinito.

(c) A es no acotado.

Demostracion: ((a) =⇒ (b)): Se sigue de ω infinito.

((b) =⇒ (c)): Supongamos que A es acotado. Entonces existe n ∈ ω tal que para todom ∈ A, m < n. Entonces A ⊆ n. Por tanto, A es finito. Contradiccion.

((c) =⇒ (a)): Definimos F : ω −→ A como sigue

(–) F (0) = inf(A).

(–) F (n + 1) = inf(A− {F (k) : k ≤ n}) = inf(A− F [n + 1]).

Entonces F es biyectiva. Por tanto, card(A) = ω. ¥


Proposicion III.3.3. A numerable ⇐⇒ ∃f (f : A −→ ω inyectiva) ⇐⇒ |A| ≤ ω.

Corolario III.3.4. Sea A un conjunto numerable.

(a) B ⊆ A =⇒ B numerable.

(b) A infinito ⇐⇒ card(A) = ω.

Demostracion: ((a)): Sea f : A −→ ω. inyectiva. Entonces f|B : B −→ ω inyectiva.Por tanto, B es numerable.

((b)): (=⇒): Puesto que A no es finito, entonces A ∼ ω. Por tanto, card(A) = ω.

(⇐=): Trivial, ω es infinito. ¥

Proposicion III.3.5. dom(f) = ω =⇒ rang(f) numerable.

Demostracion: Definimos G : rang(f) −→ ω por

G(a) = inf({n ∈ ω : f(n) = a}).Puesto que G es inyectiva, rang(G) es numerable. ¥

Proposicion III.3.6. card(A) = card(B) = ω =⇒{

card(A ∪B) = ω;card(A×B) = ω.

Demostracion: (A ∪B): Se tiene que

Aserto III.3.6.1. ω ¹ A ∪B.

Aserto III.3.6.2. A ∪B ¹ ω.

Prueba del aserto: Sean F : A −→ ω y G : B −→ ω inyectivas. DefinimosH : A ∪B −→ ω como sigue

H(x) =

{2 · F (x), si x ∈ A;2 ·G(x) + 1, si x ∈ B − A.

Es evidente que H es inyectiva. 2

De los asertos y III.1.3 se sigue que ω = card(A∪B). Por tanto, A∪B es numerable.

(A×B): En efecto,

Aserto III.3.6.3. ω ¹ A×B.

Prueba del aserto: Sean b ∈ B y F : ω −→ A inyectiva. Definimos G : ω −→A×B como sigue:

G(n) = 〈F (n), b〉.Es evidente que G es inyectiva. 2

Aserto III.3.6.4. A×B ¹ ω.

Prueba del aserto: Sean F : A −→ ω y G : B −→ ω inyectivas. Definimos

54 3. Conjuntos numerables [[ZF−∗ ]]

H : A×B −→ ω como sigue:

H(x, y) = 2F (x) · 3G(y).

Es evidente que H es inyectiva. 2

Por los asertos y III.1.3, ω = card(A×B). Por tanto, A×B es numerable. ¥

Proposicion III.3.7. (AC). Sea {An : n ∈ ω} una familia de conjuntos numerables.Entonces

⋃n∈ω An es numerable.

Demostracion: Para cada n ∈ ω sea

A′n = An −

⋃m<n Am.

Es evidente que⋃

n∈ω An =⋃

n∈ω A′n y que la familia {A′

n : n ∈ ω} es disjunta.Ademas, para cada n ∈ ω, |A′

n| ≤ ω. Por tanto, existe Fn : A′n −→ ω inyectiva.

Sea H :⋃

n∈ω An −→ ω × ω la aplicacion definida por:

H(a) = 〈Fn(a), n〉 ⇐⇒ a ∈ A′n.

Puesto que H[⋃

n∈ω An] ⊆ ω × ω y H es inyectiva, entonces⋃

n∈ω An es numerable.

¿Sobre que conjunto se usa el Axioma de Eleccion en la prueba anterior? ¥

Definicion III.3.8.

(a) Sea n ∈ ω. An = {g : g : n −→ A}(b) A<ω =

⋃{An : n ∈ ω}.


(a) Para todo n ∈ ω, An es un conjunto.

(b) A<ω es un conjunto.

Proposicion III.3.10. Si card(A) = ω, entonces

(a) ∀n > 0 (card(An) = ω).

(b) card(A<ω) = ω.

(c) Sea P<ω(A) = {B ⊆ A : B finito}. card(P<ω(A)) = ω.

Demostracion: ((a)): Por induccion sobre n ∈ ω.

(n = 1): Puesto que |A| = |A1| y card(A) = ω, entonces card(A1) = ω; por tanto, esnumerable.

(n =⇒ n + 1): Por hipotesis de induccion, card(An) = ω. Entonces por III.3.6,card(An × A) = ω. Ahora bien, |An+1| = |An × A|, [[g −→ 〈g|n, g(n)〉]]. Por tanto,card(An+1) = ω.

((b)): Sea F : A −→ ω inyectiva. Sea {pn : n ∈ ω} una enumeracion de los numerosprimos. Definimos G : A<ω −→ ω como sigue


(–) si dom(g) = 0, G(g) = 0.

(–) si dom(g) = n + 1, G(g) = pF (g(0))+10 · pF (g(1))+1

1 · . . . · pF (g(n))+1n .

Es evidente que G es inyectiva. Por tanto, card(A<ω) = ω.

((c)): Sea F : ω −→ A biyectiva. Entonces G : P<ω(ω) −→ P<ω(A) definida por

G(C) = {F (n) : n ∈ C} = F [C]

es biyectiva. Por tanto, es suficiente probar que card(P<ω(ω)) = ω. Sea C ⊆ ω finito.Puesto que < bien ordena a C, existe gC : OT(C) ∼= C. Ademas, de C finito se sigueque OT(C) ∈ ω. Por tanto, gC ∈ ω<ω. La aplicacion G : P<ω(ω) −→ ω<ω definida por:G(C) = gC ; es inyectiva. Por tanto, card(P<ω(ω)) = ω; luego, es numerable. ¥

Proposicion III.3.11. Sea A numerable y R una relacion de equivalencia sobre A.Entonces

(a) {y/R : y ∈ A} es numerable.

(b) ∀y ∈ A (y/R es numerable).

§4 Numeros enteros y racionales [[ZF−∗ ]]

4.A Numeros enteros

Proposicion III.4.1. La relacion R definida sobre ω × ω por:

〈〈n1, n2〉, 〈m1, m2〉〉 ∈ R ⇐⇒ n1 + m2 = m1 + n2

es de equivalencia. A la clase de equivalencia del par 〈n,m〉 la notaremos por [n,m].

Definicion III.4.2. (Conjunto de los numeros enteros). Z = ω × ω/R.

Lema III.4.3. ∀a ∈ Z ∃n ∈ ω (a = [n, 0] ∨ a = [0, n]).

Teorema III.4.4. Z es numerable.

Definicion III.4.5.

(a) [a, b] + [c, d] = [a + c, b + d].

(b) [a, b] · [c, d] = [a · c + b · d, b · c + a · d].

(c) [a, b] < [c, d] ⇐⇒ a + d < b + c.

(d) 0 = [0, 0], 1 = [1, 0],

Lema III.4.6. Las definiciones anteriores no dependen de los representantes de clase

56 4. Numeros enteros y racionales [[ZF−∗ ]]

elegidos.

Teorema III.4.7.

(a) 〈Z, +.·, 1, 0〉 es un dominio de integridad.

(b) 〈Z, <〉 es un orden total, pero no es un buen orden.

4.B Numeros racionales

Proposicion III.4.8. La relacion R definida sobre Z× (Z− {0}) por:

〈〈a, b〉, 〈c, d〉〉 ∈ R ⇐⇒ a · d = b · ces de equivalencia. La clase del par 〈a, b〉 la notaremos por [a, b].

Definicion III.4.9. (Conjunto de los numeros racionales). Q = Z×(Z−{0})/R.

Proposicion III.4.10. Q es numerable.

Definicion III.4.11.

(a) [a, b] + [c, d] = [a · d + b · c, b · d].

(b) [a, b] · [c, d] = [a · c, b · d].

(c) [a, b] < [c, d] ⇐⇒ a · d < b · c.(d) 0 = [0, 1], 1 = [1, 1].

Teorema III.4.12. 〈Q, +, ·, 1, 0〉 es un cuerpo.

4.C Ordenes totales densos

Definicion III.4.13. Sea 〈A, <〉 un orden total. Diremos que:

(a) es denso si: ∀z, y ∈ A (z < y =⇒ ∃u (z < u < y)).

(b) no tiene puntos finales si: ∀y ∈ A ∃z, u ∈ A (z < y ∧ y < u).

Teorema III.4.14. 〈Q, <〉 es un orden total denso sin puntos finales.

Teorema III.4.15. (Cantor). Cualesquiera dos ordenes totales, densos, sin puntosfinales y numerables son isomorfos.


Demostracion: Sean A y B conjuntos numerables y < y <′ ordenes totales densossin puntos finales sobre A y B , respectivamente. Sean

(–) {an : n ∈ ω} una enumeracion de los elementos de A.

(–) {bn : n ∈ ω} una enumeracion de los elementos de B.

Por recursion sobre n ∈ ω definimos una sucesion {Fn : n ∈ ω} tal que:

(1) dom(Fn) ⊆ A, rang(Fn) ⊆ B,

(2) ∀n [Fn ⊆ Fn+1].

(3) ∀i < n [ai ∈ dom(Fn)],

(4) ∀i < n [bi ∈ rang(Fn)],

(5) Fn : dom(Fn) ∼= rang(Fn).

Supongamos que la sucesion {Fn : n ∈ ω} ha sido definida verificando (1)–(5). SeaF =

⋃Fn. Se tiene que:

Aserto III.4.15.1. F : A ∼= B.

Prueba del aserto: Por (2), F es una funcion. Por (3), dom(F ) = A. Por (4),rang(F ) = B. Por tanto, F : A −→ B suprayectiva. Sean a, a′ ∈ A tales quea < a′. Sean i, j ∈ ω tales que ai = a y aj = a′. Sea n = max(i, j) + 1. Entonces,por (3), ai, aj ∈ dom(Fn). Por tanto,

a < a′ ⇐⇒ ai < aj

⇐⇒ Fn(ai) <′ Fn(aj) [[(5)]]⇐⇒ Fn(a) <′ Fn(a′).

Por tanto, F : A ∼= B. 2

Por el aserto, para completar la prueba del teorema es suficiente definir una sucesion{Fn : n ∈ ω} verificando (1)–(5). Para cada n ∈ ω escribiremos

(–) dom(Fn) = {cn,0 < . . . < cn,rn}, y

(–) rang(Fn) = {dn,0 <′ . . . <′ dn,rn}.Por (5), ∀j ≤ rn [Fn(cn,j) = dn,j].

(n = 0): F0 = ∅.(n =⇒ n + 1): Supongamos definidas Fj, j ≤ n, verificando (1)–(5). La definicionde Fn+1 la realizaremos en dos pasos. Definiremos F ′

n+1 (paso hacia delante) tal queFn ⊆ F ′

n+1; y Fn+1 (paso hacıa atras) tal que F ′n+1 ⊆ Fn+1.

Paso hacıa adelante: (El objetivo es asegurar que an ∈ dom(Fn+1)). Consideremos lossiguientes casos:

Caso 1.1: an ∈ dom(Fn). Entonces F ′n+1 = Fn.

Caso 1.2: an /∈ dom(Fn). Se tiene que

Aserto III.4.15.2. Existe b ∈ B tal que

∀j ≤ rn [an < cn,j ⇐⇒ b <′ dn,j].

58 5. Conjuntos no numerables. La funcion ℵ [[ZF∗]]

Prueba del aserto: Se sigue de que <′ es un orden total denso sobre B sinpuntos finales. 2

Sea b ∈ B verificando III.4.15.2. Definimos F ′n+1(an) = b.

Paso hacıa atras: (El objetivo es asegurar que bn ∈ rang(Fn+1)). Consideremos lossiguientes casos:

Caso 2.1: bn ∈ rang(F ′n+1). Entonces Fn+1 = F ′

n+1.

Caso 2.2: bn /∈ rang(F ′n+1). Se tiene que

Aserto III.4.15.3. Existe a ∈ A tal que

∀j ≤ r′n+1 [a < cn,j ⇐⇒ bn <′ dn,j].

Prueba del aserto: Se sigue de que < es un orden total denso sobre A sinpuntos finales. 2

Sea a ∈ A verificando III.4.15.3. Definimos Fn+1(a) = bn.

De la definicion de la sucesion {Fn : n ∈ ω} se sigue que se verifica (1)–(5). Estoconcluye la prueba del teorema. ¥

Corolario III.4.16. Sean 〈A,<〉, 〈B, <〉 ordenes lineales numerables densos sin pun-tos finales. Para cualesquiera n ∈ ω, a1 < a2 < . . . < an ∈ A, b1 < b2 < . . . < bn ∈ Bexiste F : 〈A, <〉 ∼= 〈B, <〉 tal que para todo i, 1 ≤ i ≤ n, F (ai) = bi.

Teorema III.4.17. Sea 〈A,<〉 un orden total con A finito o numerable. Entonces

〈A,<〉 ⊂ 〈Q, <〉.Es decir, existe f : A −→ Q inyectiva tal que para cualesquiera a, b ∈ A

a < b ⇐⇒ f(a) < f(b).

§5 Conjuntos no numerables. La funcion ℵ [[ZF∗]]

Teorema III.5.1. (Cantor). |A| < |P(A)|.

Demostracion: Veamos que |A| ≤ |P(A)|. En efecto, la aplicacion F : A −→ P(A)dada por F (a) = {a} es inyectiva.

Sean G : A −→ P(A) y B = {x ∈ A : x /∈ G(x)}. Se tiene que:

Aserto III.5.1.1. B /∈ rang(G).

Prueba del aserto: Supongamos lo contrario. Sea a ∈ A tal que G(a) = B.Entonces

a /∈ G(a) ⇐⇒ a ∈ B [[Definicion de B]]⇐⇒ a ∈ G(a) [[B = G(a)]].


Contradiccion. 2

Del aserto se sigue que no existe ninguna aplicacion biyectiva de A en P(A). ¥

Corolario III.5.2. P(ω) no es numerable. ¥

Corolario III.5.3. (AC). (Ver III.5.7).

(a) Card es una clase propia.

(b) Card− ω es una clase propia.

Demostracion: ((a)): Sean α ∈ Ord y λ = card(P(α)). Entonces por III.5.1, α < λ.

((b)): Puesto que ω es un conjunto el resultado se sigue de (a). ¥

Teorema III.5.4. (Hartogs). Sea A un conjunto. Existe α ∈ Ord tal que

(a) |α| 6≤ |A|.(b) α ∈ Card

(c) ∀λ (|λ| 6≤ |A| =⇒ α ≤ λ).

(d) |α| ≤ |P(P(A× A))|.

Demostracion: A lo largo de la prueba las relaciones de orden se consideran que sonreflexivas. Sea

B = {R : R es un buen orden sobre un subconjunto de A}.Es evidente que B ⊆ P(A× A). Sea F : B −→ Ord la aplicacion

F(R) = γ ⇐⇒ 〈dom(R), R〉 ∼= γ.

Puesto que B es un conjunto, F[B] es un conjunto. Por tanto, ∃β (β 6∈ F[B]). Sea

α = (µβ)(β 6∈ F[B]).

Es evidente que α = (µβ)(|β| 6≤ |A|). De aquı se sigue (a), (b) y (c). Para probar (d)consideremos la aplicacion G : α −→ P(P(A× A)) definida por

G(γ) = {R ∈ B : 〈A,R〉 ∼= γ}.Es evidente que G es inyectiva. ¥

Definicion III.5.5. A+ = inf({α : |α| 6≤ |A|}).

Corolario III.5.6. (Hartogs).

(a) A+ ∈ Card.

(b) |λ| 6≤ |A| =⇒ A+ ≤ λ.

(c) κ < λ =⇒ κ+ ≤ λ. Es decir, κ+ = inf({λ ∈ Card : κ < λ}).(d) ∀α ∃β (|β| 6≤ |α|).

60 6. Aritmetica cardinal [[ZF∗]]

Corolario III.5.7. (Ver III.5.3).

(a) Card es una clase propia.

(b) Card− ω es una clase propia.

Demostracion: Sea C ⊆ Card. Por III.1.8, κ =⋃

C ∈ Card. Ademas, para todoλ ∈ C, λ < κ+. Por tanto, κ+ /∈ C. En consecuencia, Card es una clase propia. ¥

Definicion III.5.8. (La funcion Aleph, ℵ). Puesto que < bien ordena a Card−ω,de III.5.7 y II.2.26 se sigue que

Ord ∼= Card− ω.

Ademas, por II.1.10, el isomorfismo es unico. Notaremos a este isomorfismo por:

ℵ : Ord −→ Card− ω.

Escribiremos ℵα o ωα en lugar de ℵ(α).


(a) ℵ0 = ω

(b) ℵ+α = ℵα+1.

(c) ∀α (ωα es un ordinal lımite).

(d) α < β ⇐⇒ ℵα < ℵβ.

(e) ℵ+α = ℵα+1.

(f) ℵ es normal. Por tanto, II.4.5, ∀β ∃α ≥ β (α = ℵα).

§6 Aritmetica cardinal [[ZF∗]]

Definicion III.6.1. Sean A, B y C conjuntos.

(a) |C| = |A|+ |B| ⇐⇒ |C| = |A ]B|.Donde (Union disjunta), A ]B = (A× {0}) ∪ (B × {1}).

(b) |C| = |A| · |B| ⇐⇒ |C| = |A×B|.(c) |C| = |A||B| ⇐⇒ |C| = |{f : f : B −→ A}| = |BA|.

Lema III.6.2. Si |A| = |A1| y |B| = |B1|, entonces

|A|+ |B| = |A1|+ |B1|, |A| · |B| = |A1| · |B1|, |A||B| = |A1||B1|.


6.A Suma y producto

Lema III.6.3. Si A y B son bien ordenables, entonces A ]B y A×B son bien orde-nables.

Definicion III.6.4. Sean κ, λ ∈ Card.

(a) κ + λ = card((κ× {0}) ∪ (λ× {1})).(b) κ · λ = card(κ× λ).

Lema III.6.5. ℵα · ℵα = ℵα.

Demostracion: Sobre Ord × Ord definimos la relacion <max como sigue: Sean〈γ1, γ2〉, 〈δ1, δ2〉 ∈ Ord×Ord

〈γ1, γ2〉 <max 〈δ1, δ2〉 ⇐⇒

max(γ1, γ2) < max(δ1, δ2) ∨{max(γ1, γ2) = max(δ1, δ2) ∧γ1 < δ1 ∨ (γ1 = δ1 ∧ γ2 < δ2).

Se tiene que

Aserto III.6.5.1. <max bien ordena a Ord×Ord.

Puesto que Ord es una clase propia, por II.1.13, para cada α ∈ Ord existen δα,1, δα,2 ∈Ord tales que

Fα : ωα∼= 〈(Ord×Ord)〈δα,1,δα,2〉, <max〉.

Puesto que

δ × δ = {〈γ1, γ2〉 : 〈γ1, γ2〉 <max 〈0, δ〉} = (Ord×Ord)〈0,δ〉,

entonces (Ord×Ord)〈0,ωα〉 = ωα × ωα.

Por tanto,

〈δα,1, δα,2〉 = 〈0, ωα〉 =⇒ Fα : ωα −→ ωα × ωα biyectiva=⇒ ℵα = ℵα · ℵα.

En consecuencia, es suficiente probar el siguiente aserto.

Aserto III.6.5.2. 〈δα,1, δα,2〉 = 〈0, ωα〉.Prueba del aserto: Puesto que {〈γ, 0〉 : γ < ωα} ⊆ ωα×ωα y su tipo de orden,con respecto a <max, es ωα, entonces 〈δα,1, δα,2〉 ≤max 〈0, ωα〉.Probaremos el aserto por induccion sobre α.

(< α =⇒ α): Por hipotesis de induccion, para todo β < α, 〈δβ,1, δβ,2〉 = 〈0, ωβ〉.Por tanto,

(∗) para todo β < α, ℵβ = ℵβ · ℵβ.

Supongamos que el aserto no se verifica para α. Entonces 〈δα,1, δα,2〉 <max 〈0, ωα〉.

62 6. Aritmetica cardinal [[ZF∗]]

Sea δα = max(δα,1, δα,2). Entonces δα < ωα. Ademas,

Fα : ωα −→ (δα + 1)× (δα + 1)

es inyectiva. Por tanto, δα ≥ ω; luego, existe β < α tal que card(δα + 1) = ℵβ.En consecuencia,

ℵα ≤ ℵβ · ℵβ = ℵβ.

Donde la ultima igualdad se sigue de (∗). Lo anterior esta en contradiccion conℵβ < ℵα. Lo que prueba el aserto. 2

El aserto completa la prueba del lema. ¥

Teorema III.6.6. ℵα + ℵβ = ℵα · ℵβ = max(ℵα,ℵβ).

Demostracion: Supongamos que α ≤ β; es decir, ℵβ = max(ℵα,ℵβ). Entonces

ℵβ ≤ ℵα + ℵβ ≤ ℵβ + ℵβ = 2 · ℵβ ≤ ℵα · ℵβ ≤ ℵβ · ℵβ = ℵβ.


Corolario III.6.7. Para todo n > 0, n · ℵα = ℵα.

Demostracion: En efecto, ℵα ≤ n · ℵα ≤ ℵα · ℵα = ℵα. ¥

6.B Exponenciacion

Definicion III.6.8. |A| = κλ ⇐⇒ |A| = |λκ|.

Corolario III.6.9. Para todo n > 0, ℵnα = ℵα.

Demostracion: Por induccion sobre n ∈ ω usando III.6.6. ¥

Lema III.6.10. |A| < 2|A| = |P(A)|.

Proposicion III.6.11. |P(ω)| = 2ℵ0 .

Demostracion: Sea G : ω2 −→ P(ω) la aplicacion definida por: sea f ∈ ω2, G(f) ={n ∈ ω : f(n) = 1}. Es evidente que G es biyectiva. ¥

Corolario III.6.12. ℵα < 2ℵα < 22ℵα.


(a) 2 ≤ n =⇒ nℵα = 2ℵα .

(b) β ≤ α =⇒ ℵβℵα = 2ℵα .


(c) ℵβ ≤ 2ℵα =⇒ ℵβℵα = 2ℵα .

Demostracion: Puesto que

(–) n ∈ ω =⇒ n ≤ 2ℵα y

(–) β ≤ α =⇒ ℵβ ≤ ℵα < 2ℵα ,

solo es necesario probar (c). En efecto,

2ℵα ≤ ℵβℵα [[2 ≤ ℵβ]]

≤ (2ℵα)ℵα [[ℵβ ≤ 2ℵα ]]

= 2ℵα·ℵα

= 2ℵα .



(a) ℵ0 · 2ℵ0 = 2ℵ0 .

(b) 2ℵ0 · 2ℵ0 = 2ℵ0 .

Demostracion: En efecto,

2ℵ0 ≤ ℵ0 · 2ℵ0 ≤ 2ℵ0 · 2ℵ0 = 2ℵ0+ℵ0 = 2ℵ0 .


§7 Numeros reales [[ZF∗]]

7.A Completacion

Definicion III.7.1. Sea 〈P,<〉 un orden total denso. Diremos que:

(a) P es completo si

∀A ⊆ P (A 6= ∅ ∧ A tiene cota superior =⇒ A tiene supremo).

(b) A ⊆ P es una cortadura ⇐⇒{

z ∈ A ∧ y < z =⇒ y ∈ A ∧∃x ∈ P ∀y ∈ A [y < x].

(c) Una cortadura A es una cortadura de Dedekind si A no tiene elemento maximal.

Definicion III.7.2. Sea 〈A,<〉 un orden total. Diremos que B ⊆ A es denso en A si:

∀a, b ∈ A (a < b =⇒ ∃c ∈ B (a < c < b)).

Teorema III.7.3. Sea 〈P,<〉 un orden total denso sin puntos finales. Entonces existeun orden total denso y completo 〈C,<′〉 tal que:

64 7. Numeros reales [[ZF∗]]

(a) P ⊆ C.

(b) ∀x, y ∈ P (x < y ⇐⇒ x <′ y).

(c) P es denso en C.

(d) C no tiene puntos finales.

Mas aun, 〈C, <′〉 es unico salvo isomorfismos. Esto es, si 〈C∗, <∗〉 es un orden totaldenso y completo que satisface (a)-(d), entonces existe H : 〈C, <′〉 ∼= 〈C∗, <∗〉 tal que

∀x ∈ P (H(x) = x).

A 〈C, <′〉 lo denominaremos completacion de 〈P, <〉.

Demostracion: Basta tomar

(–) C = {A : A cortadura de Dedekind en P}, y

(–) para A1, A2 ∈ C: A1 <′ A2 ⇐⇒ A1 ⊂ A2.

Identificando cada x ∈ P con la cortadura de Dedekind, {y ∈ P : y < x} se pruebaque 〈C,<′〉 satisface las propiedades del teorema. ¥

Definicion III.7.4. (Numeros reales). 〈R, <〉 es la completacion de 〈Q, <〉. Es de-cir,

R = {A ⊆ Q : A cortadura de Dedekind en 〈Q, <〉}.Identificando cada q ∈ Q con la cortadura Aq = {q′ ∈ Q : q′ < q} se obtiene queQ ⊆ R. La relacion de orden esta definida por: para cada r, t ∈ R,

r < t ⇐⇒ r ⊂ t.

Proposicion III.7.5. Q es denso en R. ¥

Nota III.7.6. (Operaciones sobre R). Sean r ∈ R y q, q′ ∈ Q. Observemos que

(–) r <R q ⇐⇒ ∃q1 ∈ Q [q1 /∈ r ∧ q1 <Q q].

(–) q <Q q′ ⇐⇒ q <R q′.

Definimos las operaciones sobre numeros reales.

(–) r + t = {q + q′ : q ∈ r ∧ q′ ∈ t}.

(–) −r =

{ {−q : q ∈ Q ∧ r < q}, si r ≥ 0;{q ∈ Q : ∃q′ ∈ Q [r < q′ < 0 ∧ q < −q′]}, si r < 0.

(–) r · t =

0, si r = 0 ∨ t = 0{q ∈ Q : ∃q1 ∈ r ∃q2 ∈ t [0 < q1, q2 ∧ q < q1 · q2]}, si 0 < r, t;−((−r) · t), si r < 0 ∧ 0 < t;−(r · (−t)), si 0 < r ∧ t < 0;((−r) · (−t)), si r < 0 ∧ t < 0.


(–) r−1 =

{ {q ∈ Q : ∃q1 /∈ r [q < q−11 ]}, si 0 < r;

−((−r)−1), si r < 0.

(–) |r| ={

r, si 0 ≤ r;−r, si r < 0.

Proposicion III.7.7. 〈R, +, ·, <, 0, 1〉 es un cuerpo ordenado.

7.B Topologıa de la recta real

Definicion III.7.8. Sean a < b ∈ R.

(a) d(a, b) = |a− b|.(b) Intervalo abierto: (a, b) = {c ∈ R : a < c < b}.(c) Intervalo cerrado: [a, b] = {c ∈ R : a ≤ c ≤ b}.(d) A ⊆ R es acotado: ∃a, b ∈ R∀x ∈ A [a ≤ x ≤ b].

Lema III.7.9.

(a) d es una metrica sobre R.

(b) I = {I ⊆ R : I intervalo abierto} es una base de la topologıa inducida por d enR.

(c) (R, d) es un espacio metrico completo.

Proposicion III.7.10. Toda coleccion disjunta de intervalos abiertos es finita o nume-rable.

Demostracion: Todo intervalo contiene a un numero racional. Para cada I ∈ S seaqI ∈ Q ∩ I. Sea H : S −→ Q la aplicacion definida por:

H(I) = qI .

Puesto que S es una coleccion de intervalos abiertos disjuntos dos a dos, H es inyectiva.Por tanto, |S| ≤ |Q| = ℵ0.

¿Usa la prueba anterior el Axioma de Eleccion? ¥

Proposicion III.7.11. Todo conjunto abierto es la union de una familia de intervalosabiertos con puntos finales racionales.

Demostracion: Sea G abierto. Entonces por III.7.5,

G =⋃ {(a, b) : a, b ∈ Q, (a, b) ⊆ G}. ¥

Definicion III.7.12. Sea 〈A,<〉 un orden total denso.


(a) Diremos que A es separable si existe B ⊆ A numerable y denso en A.

(b) Diremos que A satisface la condicion de cadenas numerables, c.c.c., si toda co-leccion disjunta de intervalos abiertos es numerable.

Lema III.7.13. Sea 〈A,<〉 un orden total denso

(a) Si A es separable, entonces A verifica c.c.c.

(b) Si A no tiene puntos finales, es completo y separable, entonces 〈A,<〉 ∼= R.

7.C El cardinal de R. La Hipotesis del Continuo, CH

Teorema III.7.14. |R| = 2ℵ0 .

Demostracion: (|R| ≤ 2ℵ0): De la definicion de R se sigue que R ⊆ P(Q). Por tanto,

|R| ≤ |P(Q)|= |P(ω)| [[Q numerable]]= 2ℵ0 .

Lo que prueba el resultado.

(2ℵ0 ≤ |R|): Para cada f : ω −→ 2 sea f ′ : ω −→ 2 la funcion definida por

f ′(n) =

{0, si n es impar;f(k), si n = 2 · k.

Es decir, f ′ = 〈f(0), 0, f(1), 0, f(2), . . .〉. Sea G : ω2 −→ R la aplicacion definida por

G(f) = {q ∈ Q : ∃m ∈ ω (q <∑

n≤m f ′(n) · 2−(n+1))}=

∑n∈ω f ′(n) · 2−(n+1).

Es evidente que para toda f ∈ ω2, G(f) ∈ R. Ademas,

Aserto III.7.14.1. f 6= g =⇒ G(f) 6= G(g).

Prueba del aserto: Sea m = inf({n : f(n) 6= g(n)}). Supongamos que f(m) = 1y g(m) = 0. Entonces

∀k < 2 ·m (f ′(k) = g′(k)) ∧f ′(2 ·m) = f(m) = 1 6= 0 = g(m) = g′(2 ·m) ∧∃k > 2 ·m (g′(k) 6= 1).

Por tanto, G(g) < G(f). 2

Del aserto se sigue que G es inyectiva; luego, 2ℵ0 ≤ |R|. ¥

Corolario III.7.15.

(a) ∀n > 0 (|Rn| = 2ℵ0).

(b) |Rω| = 2ℵ0 .



2ℵ0 = |R| ≤ |Rn| ≤ |Rω| = (2ℵ0)ℵ0 = 2ℵ0·ℵ0 = 2ℵ0 .


Proposicion III.7.16. A ⊆ R numerable =⇒ |R− A| = 2ℵ0 .

Demostracion: Es suficiente probar que |R− A| = |R| = 2ℵ0 .

(|R− A| ≤ |R|): Trivial, R− A ⊆ R.

(|R| ≤ |R− A|): Sea G : R −→ R× R biyectiva. Puesto que A es numerable, G(A) ={G(x) : x ∈ A} es numerable. Se tiene que

Aserto III.7.16.1. Existe r ∈ R tal que G(A) ∩ ({r} × R) = ∅.Prueba del aserto: Sea F : ω −→ A biyectiva. Sean

B = {x ∈ R : ∃y ((x, y) ∈ G(A))}y H : B −→ ω, la aplicacion definida por:

H(x) = (µn)[∃y ((x, y) = G(F (n)))].

Puesto que H es inyectiva, B es finito o numerable; por tanto, existe r ∈ R−B.Es evidente que

G(A) ∩ ({r} × R) = ∅.Lo que prueba el aserto. 2

Por el aserto, G−1({r} × R) ⊆ R − A. Por tanto, |G−1({r} × R)| ≤ |R − A|. Por otraparte, de G biyectiva se sigue que |G−1({r} × R)| = |R|. Por tanto, |R| ≤ |R− A|. ¥

Lema III.7.17. (AC). A ⊆ R ∧ |A| < |R| =⇒ |R− A| = 2ℵ0 .

Demostracion: Puesto que A y R− A son disjuntos

(–) card(R) = card(R− A) + card(A).

Puesto que al menos uno de los cardinales card(R−A) y card(A) es infinito, por III.6.6se tiene que

(–) card(R− A) + card(A) = max(card(R− A), card(A)).

Puesto que card(A) < card(R), de lo anterior se sigue que card(R) = card(R− A). ¥

Nota III.7.18. (Hipotesis del Continuo (CH)).

¬∃A ⊆ R (ℵ0 < |A| < |R|).Aserto III.7.18.1. (AC). CH ⇐⇒ ℵ1 = 2ℵ0 .

Se tiene que ZFC 0 CH, ZFC 0 ¬CH.



(a) I intervalo abierto =⇒ |I| = 2ℵ0 .

(b) A abierto no vacıo =⇒ |A| = 2ℵ0 .

(c) |{A ⊆ R : A abierto}| = 2ℵ0 .

(d) |{A ⊆ R : A cerrado}| = |{A ⊆ R : A cerrado ∧ ℵ0 < |A|}| = 2ℵ0 .

Demostracion: ((a)): Consideremos la aplicacion f : (0, 1) −→ R definida por:

f(x) = x1− x .

Es evidente que f es inyectiva. Sea g : (−1, 1) −→ R la aplicacion definida por

g(x) =

f(x), si 0 < x < 1;0, si x = 0;−f(−x), si −1 < x < 0.

Es evidente que g es biyectiva. Sea I = (a, b) un intervalo abierto. Consideremos laaplicacion h : (a, b) −→ (−1, 1) definida por:

h(x) = 2b− a

· (x− a)− 1.

Es evidente que h es biyectiva. Por tanto,

|(a, b)| = |(−1, 1)| = |R| = 2ℵ0 .

Lo que prueba (a).

((b)): (|A| ≤ 2ℵ0): Puesto que A ⊆ R, |A| ≤ |R| = 2ℵ0 .

(2ℵ0 ≤ |A|): Puesto que A es abierto, existe I, intervalo abierto, tal que I ⊆ A. Portanto, 2ℵ0 = |I| ≤ |A|.((c)): El resultado se sigue de los siguientes asertos:

Aserto III.7.19.1. |{A ⊆ R : A abierto}| ≤ 2ℵ0 .

Prueba del aserto: Consideremos la aplicacion.

f : {A ⊆ R : A abierto} −→ P(Q×Q)

definida por

f(A) = {〈a, b〉 ∈ Q×Q : (a, b) ⊆ A}.Puesto que A =

⋃ {(a, b) : 〈a, b〉 ∈ f(A)}, f es inyectiva. Por tanto,

|{A ⊆ R : A abierto}| ≤ |P(Q×Q)| [[f inyectiva]]= |P(Q)| [[|Q| = |Q×Q|]]= 2ℵ0 .


Aserto III.7.19.2. 2ℵ0 ≤ |{A ⊆ R : A abierto}|.Prueba del aserto: En efecto, {(r, r + 1) : r ∈ R} ⊆ {A ⊆ R : A abierto}. 2

Lo que prueba (c).

((d)): Se sigue de (c). ¥


§8 Aritmetica cardinal infinita [[ZF∗]]

Definicion III.8.1. Sean {Ai : i ∈ I} una familia de conjuntos y B un conjunto.

(a) |B| = Σi∈I |Ai| ⇐⇒ |B| = |]i∈I Ai|.(b) |B| = Πi∈I |Ai| ⇐⇒ |B| = |×i∈I Ai|.

Donde

(–) Union disjunta: ]i∈I Ai = {〈a, i〉 : a ∈ Ai ∧ i ∈ I} =⋃

i∈I (Ai × {i}).(–) Producto cartesiano:×i∈I Ai = {f : f : I −→ ⋃

i∈I Ai ∧ ∀i ∈ I (f(i) ∈ Ai)}.Si para todo i ∈ I, Ai = A, entonces ]i∈IAi = A× I,×i∈IAi = AI .

Lema III.8.2. ((AC)). Sean {Ai : i ∈ I} y {Bi : i ∈ I} familias de conjuntos.

∀i ∈ I (|Ai| = |Bi|) =⇒{

Σi∈I |Ai| = Σi∈I |Bi|;Πi∈I |Ai| = Πi∈I |Bi|.

∀i ∈ I (|Ai| ≤ |Bi|) =⇒{

Σi∈I |Ai| ≤ Σi∈I |Bi|;Πi∈I |Ai| ≤ Πi∈I |Bi|.

Definicion III.8.3. Sean A un conjunto y {κi : i ∈ I} familia de cardinales bienordenables; es decir, una funcion de I en Card.(a) |A| = Σi∈I κi ⇐⇒ |A| = |]i∈I κi|.(b) |A| = Πi∈I κi ⇐⇒ |A| = |×i∈I κi|.

Lema III.8.4. Sean {κi : i ∈ I}, {κ′i : i ∈ I} ⊆ Card tales que ∀i ∈ I (κi ≤ κ′i).Entonces(a) Σi∈I κi ≤ Σi∈I κ′i.(b) Πi∈I κi ≤ Πi∈I κ′i.

Lema III.8.5. Sea {κi : i ∈ I} una familia de cardinales tales que para todo i ∈ I,2 ≤ κi. Entonces ∑

i∈I κi ≤∏

i∈I κi.

Proposicion III.8.6.(a) Πi∈I κi

λ = (Πi∈I κi)λ.

(b) Πi∈I κλi = κ(Σi∈I λi).

(c) Asociativa: Si {Aj : j ∈ J} es una particion de I, entonces

Πi∈I κi = Πj∈J

(Πi∈Aj

κi

).

Demostracion: ((a)): Definimos F : Πi∈I κλi −→ (Πi∈I κi)

λ. Sea f ∈ Πi∈I κλi .

70 8. Aritmetica cardinal infinita [[ZF∗]]

F (f)(α)(i) = f(i)(α).

Es evidente que F es biyectiva.

((b)): Definimos F : Πi∈I κλi −→ κ(Σi∈I λi).

F (f)(α, i) = f(i)(α).

Es evidente que F es biyectiva.

((c)): Definimos F : Πi∈I κi −→ Πj∈J (Πi∈Ajκi). Sean j ∈ J y f : I −→ ⋃

i∈I κi talesque ∀i ∈ I [f(i) ∈ κi]

F (f)(j)(i) = f(i).

Es evidente que F es biyectiva. ¥

Lema III.8.7. Sea {κα : α < λ} ⊆ Card, donde λ es un cardinal infinito, tal quepara todo α < λ, κα ≥ 1, y κ = sup({κα : α < λ}).(a) Σα<λ κα = κ · λ.

(b) Si {κα : α < λ} es no decreciente, Πα<λ κα = κλ.

Demostracion: ((a)): (Σα<λ κα ≤ κ · λ): Trivial.

(κ · λ ≤ Σα<λ κα): Se tiene que

Aserto III.8.7.1.

(i) κ ≤ Σα<λ κα, y

(ii) λ ≤ Σα<λ κα.

Por tanto, κ · λ = max(κ, λ) ≤ Σα<λ κα.

((b)): (Πα<λ κα ≤ κλ): Trivial, Πα<λ κα ≤ Πα<λ κ = κλ.

(κλ ≤ Πα<λ κα): Sean F : λ× λ −→ λ biyectiva y para cada β < λ, Aβ = F [λ× {β}].Entonces {Aβ : β < λ} es una particion de λ. Por tanto,

Πα<λ κα = Πβ<λ (Πα∈Aβκα).

Puesto que la sucesion {κα : α < λ} es no decreciente, para todo β < λ,

∀β ∈ λ [κ = sup({κα : α ∈ Aβ})].Se tiene que

Aserto III.8.7.2. κ ≤ Πα∈Aβκα.

Por tanto,

κλ = Πα<λ κ ≤ Πβ<λ (Πα∈Aβκα) = Πα<λ κα.



§9 Exponenciacion cardinal [[ZF∗]]

9.A Cofinalidad

Definicion III.9.1.(a) Sea f : β −→ α. Diremos que f es cofinal en α si

∀δ < α ∃γ < β [δ ≤ f(γ)].

(b) Sea α ∈ Ord. Definimos la cofinalidad de α, cf(α), por:

cf(α) = inf({β : ∃f (f : β −→ α cofinal en α)}).

Lema III.9.2.(a) cf(α) ≤ α.

(b) cf(0) = 0.

(c) cf(α + 1) = 1.

(d) cf(α) es un cardinal.

Proposicion III.9.3.(a) α lımite =⇒ cf(α) lımite.

(b) cf(ω) = ω.

(c) cf(ω + ω) = ω.

Demostracion: ((a)): Puesto que α es lımite, 1 < cf(α). Sea f : β + 1 −→ α cofinal,donde 0 < β. Definimos g : β −→ α

(–) g(0) = max(f(0), f(β)).

(–) g(γ) = f(γ), si γ 6= 0.

Entonces g es cofinal. Por tanto, cf(α) ≤ β. Por tanto, cf(α) no es sucesor.

((b)): Se sigue de (a), pues ω es el menor ordinal lımite.

((c)): Por (a), ω ≤ cf(ω+ω). Consideremos la aplicacion f : ω −→ ω+ω, f(n) = ω+n.Es evidente que f es cofinal en ω + ω. ¥

Lema III.9.4. Sean f : γ −→ α y g : α −→ β cofinales.

g no decreciente =⇒ g ◦ f cofinal.

Demostracion: Sea δ < β. Existen σ < α y ρ < γ tales que δ ≤ g(σ) y σ ≤ f(ρ).Entonces

δ ≤ g(σ) ≤ g(f(ρ)).

Donde la ultima desigualdad se sigue de g no decreciente. ¥

72 9. Exponenciacion cardinal [[ZF∗]]

Lema III.9.5. Existe g : cf(α) −→ α tal que g es creciente y cofinal.

Demostracion: Sin perdida de generalidad podemos suponer que α es lımite. Seah : cf(α) −→ α cofinal. Definimos g : cf(α) −→ α

(–) g(0) = h(0).

(–) g(β) = max(sup({g(γ) : γ < β}), h(β)) + 1.

Tengamos en cuenta en la definicion anterior que si β < cf(α), entonces

∃δ < α ∀γ < β (g(γ) ≤ δ).

Es evidente que g es creciente y cofinal en α. ¥

Lema III.9.6. β lımite ∧ g : α −→ β no decreciente y cofinal =⇒ cf(α) = cf(β).

Demostracion: (cf(β) ≤ cf(α)): Sea f : cf(α) −→ α cofinal. Entonces de III.9.4 sesigue que g ◦ f : cf(α) −→ β es cofinal. Por tanto, cf(β) ≤ cf(α).

(cf(α) ≤ cf(β)): Sea f : cf(β) −→ β cofinal. Definimos h : cf(β) −→ α

h(γ) = inf({δ < α : f(γ) < g(δ)}) = (µδ)<α[f(γ) < g(δ)].

Sean ρ < α y γ < cf(β) tales que g(ρ) < f(γ) [[β es lımite]]. Puesto que g es nodecreciente, ∀η ≤ ρ [g(η) < f(γ)]. Por tanto, ρ < h(γ). En consecuencia, h es cofinalen α; luego, cf(α) ≤ cf(β). ¥

Proposicion III.9.7.(a) cf(cf(β)) = cf(β).

(b) α lımite =⇒ cf(ωα) = cf(α).

Demostracion: ((a)): Si β es sucesor, el resultado es trivial. Supongamos que β eslımite. Entonces el resultado se sigue de III.9.5 y III.9.6 tomando α = cf(β).

((b)): Sea g : α −→ ωα, g(γ) = ωγ. Si α es lımite, entonces g es creciente y cofinal. Portanto, el resultado se sigue de III.9.6. ¥

9.B Cardinales regulares

Definicion III.9.8. α es regular ⇐⇒ α lımite ∧ cf(α) = α.

En caso contrario diremos que α es singular.

Lema III.9.9. α lımite =⇒ cf(α) regular.

Demostracion: Se sigue de III.9.7-(a) y III.9.3-(a). ¥

Lema III.9.10. (AC). Sea κ un cardinal infinito. Son equivalentes:


(a) κ es singular.

(b) Existen λ < κ y {κδ : δ ∈ λ} tales que

(b.1) ∀δ < λ (κδ < κ).

(b.2) κ =∑

δ<λ κδ.

Demostracion: ((a) =⇒ (b)): Sean λ = cf(κ) y f : λ −→ κ cofinal. Sea κδ =card(f(δ) + 1). Entonces

κ ≤ |]δ<λ(f(δ) + 1)| [[f cofinal]]= Σδ<λ card(f(δ) + 1)= Σδ<λ κδ

= sup({κδ : δ < λ}) · λ≤ κ · λ= κ.

Por tanto, κ = Σδ<λ κδ.

((b) =⇒ (a)): Sea f : λ −→ κ la aplicacion f(δ) = κδ. Es evidente que f es cofinal. ¥

Teorema III.9.11. (Hausdorff (AC)). ℵα+1 es regular.

Demostracion: Supongamos que ℵα+1 es singular. Entonces por III.9.10 existenλ < ℵα+1 y {κδ : δ < λ} tales que

(–) ∀δ < λ (κδ < ℵα+1).

(–) ℵα+1 = Σδ<λ κδ.

Por tanto,

(1) ∀δ < λ (κδ ≤ ℵα); luego, sup({κδ : δ < λ}) ≤ ℵα.

(2) λ ≤ ℵα. [[λ < ℵα+1]].

En consecuencia,

ℵα+1 = Σδ<λ κδ

= sup({κδ : δ < λ}) · λ [[III.8.7]]≤ ℵα · ℵα [[(1), (2)]]= ℵα.

Por tanto, ℵα+1 ≤ ℵα. Contradiccion. ¥

9.C El lema de Konig

Teorema III.9.12. (Lema de Konig). Sea κ un cardinal infinito. Se tiene que:

(a) κ < κcf(κ).

(b) (AC) κ < cf(2κ).

Demostracion: ((a)): Sea G : κ −→ κcf(κ). Veamos que G no es suprayectiva. Sea

74 9. Exponenciacion cardinal [[ZF∗]]

h : cf(κ) −→ κ cofinal. Definimos f : cf(κ) −→ κ por

f(β) = inf(κ− {G(γ)(β) : γ < h(β)}).Veamos que

(–) ∀α < κ [G(α) 6= f ].

Sea α < κ. Entonces existe β < cf(κ) tal que α < h(β). Por tanto,

f(β) = inf(κ− {G(γ)(β) : γ < h(β)})6= G(α)(β) [[α < h(β)]].

Por tanto, G(α) 6= f .

((b)): Supongamos que cf(2κ) ≤ κ. Entonces

(2κ)cf(2κ) ≤ (2κ)κ = 2κ.

Lo cual esta en contradiccion con (a). ¥

Nota III.9.13.

(–) 2ℵ0 6= ℵω.

(–) (AC)

{ℵ1 ≤ 2ℵ0

ω < cf(2ℵ0)

(–) Sea κ tal que ω < cf(κ).

ZFC consistente =⇒ ZFC + 2ℵ0 = κ consistente.

9.D Las funciones Continuo y Gimel

Definicion III.9.14.

(a) La funcion Continuo: κ 7−→ 2κ.

(b) La funcion Gimel: (κ)ג = κcf(κ).

Teorema III.9.15. (AC).

ℵαℵβ =

2ℵβ , si α ≤ β;

ℵγℵβ , si β < α ∧ ∃γ < α (ℵα ≤ ℵγ

ℵβ);

ℵα, si β < α ∧ ∀γ < α (ℵγℵβ < ℵα) ∧ ℵβ < cf(ℵα);

,(ℵα)ג si β < α ∧ ∀γ < α (ℵγℵβ < ℵα) ∧ ℵβ ≥ cf(ℵα).

Demostracion: Dividiremos la prueba en los siguientes casos:

Caso 1: α ≤ β: Entonces ℵαℵβ = 2ℵβ .

Caso 2: β < α: Consideraremos los siguientes casos:


Caso 2.1: ∃γ < α (ℵα ≤ ℵγℵβ). Entonces

ℵγℵβ ≤ ℵα

ℵβ ≤ (ℵγℵβ)

ℵβ= ℵγ

ℵβ .

Caso 2.2: ∀γ < α (ℵγℵβ < ℵα): Consideramos los siguientes casos:

Caso 2.2.1: ℵβ < cf(ℵα). Entonces las aplicaciones de ℵβ en ℵα estan acota-das. Por tanto,

ℵα ≤ ℵαℵβ = Σγ<ℵαcard(γ)ℵβ ≤ Σγ<ℵαℵα = ℵα · ℵα = ℵα.

Caso 2.2.2: cf(ℵα) ≤ ℵβ. Entonces ℵα es singular. Por tanto, existe unafamilia {κδ : δ < cf(ℵα)} tal que ℵα =

∑δ<cf(ℵα) κδ. En consecuencia,

(ℵα)ג ≤ ℵℵβα

= (∑

δ<cf(ℵα) κδ)ℵβ

≤ (∏

δ<cf(ℵα) κδ)ℵβ

≤ (∏

δ<cfℵα) κℵβ

δ

≤ ∏δ<cf(ℵα) ℵα

= ℵcf(ℵα)α

= .(ℵα)ג


9.E La Hipotesis Generalizada del Continuo, GCH

Nota III.9.16.(a) La hipotesis del continuo (CH): 2ℵ0 = ℵ1.

(b) La hipotesis generalizada del continuo (GCH): ∀α [2ℵα = ℵα+1].

Teorema III.9.17. (AC). Supongamos GCH. Si κ ≥ 2, λ ≥ 1 y al menos uno deellos es infinito, entonces

κλ =

λ+, si κ ≤ λ;κ+, si cf(κ) ≤ λ < κ;κ, si λ < cf(κ).

Demostracion: Dividimos la prueba en los siguientes casos.

Caso 1: κ ≤ λ: Entonces

λ+ = 2λ ≤ κλ ≤ λλ = 2λ = λ+.

Caso 2: λ < κ: Consideremos los siguientes casos.

Caso 2.1: cf(κ) ≤ λ: Puesto que κ < κcf(κ), entonces

κ+ ≤ κcf(κ) ≤ κλ ≤ κκ = 2κ = κ+.

76 10. Ejercicios

Caso 2.2: λ < cf(κ): Entonces como en III.9.15, κλ = Σα<κ card(α)λ. Se tieneque:

(–) card(α) ≤ λ =⇒ card(α)λ ≤ 2λ = λ+ ≤ κ.

(–) λ < card(α) =⇒ card(α)λ ≤ card(α)card(α) = card(α)+ ≤ κ.

Por tanto,

κ ≤ κλ = Σα<κ card(α)λ ≤ Σα<κ κ = κ · κ = κ.


Corolario III.9.18. (AC).(a) ℵ0 ≤ κ =⇒ max(2cf(κ),κ+) ≤ .(κ)ג

(b) GCH =⇒ (κ)ג = κ+. ¥

§10 Ejercicios

Ejercicio III.10.1. (III.1.3.1). Sean F : A ¹ B y G : B ¹ A. Por recursion sobren ∈ ω definimos la siguiente sucesion: {An : n ∈ ω}

(–) A0 = A−G[B]

(–) An+1 = G[F [An]].

Sean A∗ =⋃{An : n ∈ ω} y H : A −→ G[B] la aplicacion definida por:

H(a) =

{G(F (a)), si a ∈ A∗

a, en caso contrario

Entonces

(i) a ∈ An =⇒ H(a) ∈ An+1

(ii) a ∈ A∗ =⇒ H(a) ∈ A∗.(iii) n 6= m =⇒ An ∩ Am = ∅ ∧ F [An] ∩ F [Am] = ∅.(iv) H es biyectiva.

Ejercicio III.10.2. (III.1.4). A ⊆ B ⊆ C ∧ |A| = |C| =⇒ |B| = |C|.

Ejercicio III.10.3. (III.1.6).

(a) A es bien ordenable =⇒ A ∼ card(A).

(b) (AC): Para todo A existe κ ∈ Card tal que card(A) = κ.

(c) ω ≤ α =⇒ α + 1 /∈ Card.

(d) |A| = |κ| =⇒ card(A) = κ.

(e) |κ| < |λ| ⇐⇒ κ < λ.

(f) card(α) ∈ Card.


(g) card(α) ≤ α.

(h) card(α) ≤ β ≤ α =⇒ card(β) = card(α).

(i) card(card(α)) = card(α).


(a) |A| = |B| =⇒ (A finito ⇐⇒ B finito).

(b) B ⊆ A ∧ A ∈ Fin =⇒ B ∈ Fin.

(c) A ∈ Fin ∧ ∀B ∈ A (B ∈ Fin) =⇒ ⋃A ∈ Fin.

(d) A ∈ Fin =⇒ P(A) ∈ Fin.

(e) A,B ∈ Fin =⇒ A×B ∈ Fin.

(f) B /∈ Fin =⇒ ∀A [A ∈ Fin =⇒ ∃C ⊆ B (|C| = |A|)].(g) A ∈ Fin ∧ y /∈ A =⇒ |A| 6= |A ∪ {y}|.(h) A ∈ Fin ∧B ⊂ A =⇒ |A| 6= |B|.

Ejercicio III.10.5. (ZF−∗ , (III.3.9)).

(a) Para todo n ∈ ω, An es un conjunto.

(b) A<ω es un conjunto.

Ejercicio III.10.6. (III.3.11). Sea A numerable y R una relacion de equivalenciasobre A. Entonces:

(a) {y/R : y ∈ A} es numerable.

(b) ∀y ∈ A (y/R es numerable).

Ejercicio III.10.7.

(a) (III.4.1) La relacion R definida sobre ω × ω por:

〈〈n1, n2〉, 〈m1, m2〉〉 ∈ R ⇐⇒ n1 + m2 = m1 + n2

es de equivalencia. A la clase de equivalencia del par 〈n,m〉 la notaremos por[n,m].

(b) (III.4.3) ∀a ∈ Z ∃n ∈ ω (a = [n, 0] ∨ a = [0, n]).

(c) (III.4.4) Z es numerable.

(d) (III.4.7)

(d.1) 〈Z, +.·, 1, 0〉 es un dominio de integridad.

(d.2) 〈Z, <〉 es un orden total, pero no es un buen orden.

(e) (III.4.8) La relacion R definida sobre Z× (Z− {0}) por:

〈〈a, b〉, 〈c, d〉〉 ∈ R ⇐⇒ a · d = b · ces de equivalencia. La clase del par 〈a, b〉 la notaremos por [a, b].

(f) (III.4.10) Q es numerable.

78 10. Ejercicios

(g) (III.4.12) 〈Q, +, ·, 1, 0〉 es un cuerpo.

(h) (III.4.14) 〈Q, <〉 es un orden total denso sin puntos finales.

Ejercicio III.10.8.

(a) (III.4.16) Sean 〈A,<〉, 〈B,<〉 ordenes lineales numerables densos sin puntosfinales. Para cualesquiera n ∈ ω, a1 < a2 < . . . < an ∈ A, b1 < b2 < . . . < bn ∈ Bexiste F : 〈A,<〉 ∼= 〈B, <〉 tal que

F (ai) = bi, i = 1, . . . , n

(b) (III.4.17) Sea 〈A, <〉 un orden total con A finito o numerable. Entonces

〈A,<〉 ⊂ 〈Q, <〉Es decir, existe f : A −→ Q inyectiva tal que para cualesquiera a, b ∈ A

a < b ⇐⇒ f(a) < f(b)

Ejercicio III.10.9. (Hartogs, (III.5.6)).

(a) A+ ∈ Card.

(b) λ 6¹ A =⇒ A+ ≤ λ.

(c) κ < λ =⇒ κ+ ≤ λ. Es decir, κ+ = inf({λ ∈ Card : κ < λ}).(d) ∀α ∃β (β 6¹ α).


(a) ℵ0 = ω

(b) ℵ+α = ℵα+1.

(c) ∀α (ωα es un ordinal lımite).

(d) α < β ⇐⇒ ℵα < ℵβ.

(e) ℵ es normal. Por tanto, dado β, ∃α ≥ β (α = ℵα).

Ejercicio III.10.11. (III.6.2). Si |A| = |A1| y |B| = |B1|, entonces

|A|+ |B| = |A1|+ |B1|, |A| · |B| = |A1| · |B1|, |A||B| = |A1||B1|

Ejercicio III.10.12. (III.6.10). |A| < 2|A| = |P(A)|.

Ejercicio III.10.13. (III.6.3). Si A y B son bien ordenables, entonces A]B y A×Bson bien ordenables.

Ejercicio III.10.14. (III.6.5.1). Sobre ωβ × ωβ consideremos la siguiente relacionde orden:


〈γ1, γ2〉 < 〈δ1, δ2〉 ⇐⇒

max(γ1, γ2) < max(δ1, δ2) ∨max(γ1, γ2) = max(δ1, δ2) ∧

{γ1 < δ1 ∨γ1 = δ1 ∧ γ2 < δ2

Entonces < bien ordena a ωβ × ωβ.

Ejercicio III.10.15. (III.6.12). ℵα < 2ℵα < 22ℵα.

Ejercicio III.10.16. (III.7.3). Sea 〈P, <〉 un orden total denso sin puntos finales.Entonces existe un orden total denso completo 〈C, <′〉 tal que:

(a) P ⊆ C.

(b) ∀x, y ∈ P (x < y ⇐⇒ x <′ y).

(c) P es denso en C.

(d) C no tiene puntos finales.

Mas aun, 〈C,<′〉 es unico salvo isomorfismos. Esto es, si 〈C∗, <∗〉 es un orden totaldenso y completo que satisface (a)-(d), entonces existe H : 〈C, <′〉 ∼= 〈C∗, <∗〉 tal que

∀x ∈ P (H(x) = x)

A 〈C, <′〉 lo denominaremos completacion de 〈P, <〉.

Ejercicio III.10.17.

(a) (III.7.5) Q es denso en R.

(b) (III.7.7) 〈R, +, ·, <, 0, 1〉 es un cuerpo ordenado.

(c) (III.7.9)

(c.1) d es una metrica sobre R.

(c.2) I = {I ⊆ R : I intervalo abierto} es una base de la topologıa inducida pord en R.

(c.3) (R, d) es un espacio metrico completo.

(d) (III.7.13) Sea 〈A,<〉 un orden total denso

(d.1) Si A es separable, entonces A verifica c.c.c.

(d.2) Si A no tiene puntos finales, es completo y separable, entonces 〈A,<〉 ∼= R.

Ejercicio III.10.18. ((AC), III.8.2). Sean {Ai : i ∈ I} y {Bi : i ∈ I} familias deconjuntos.

∀i ∈ I (|Ai| = |Bi|) =⇒{

Σi∈I |Ai| = Σi∈I |Bi|Πi∈I |Ai| = Πi∈I |Bi|

∀i ∈ I (|Ai| ≤ |Bi|) =⇒{

Σi∈I |Ai| ≤ Σi∈I |Bi|Πi∈I |Ai| ≤ Πi∈I |Bi|

80 10. Ejercicios

Ejercicio III.10.19. (III.8.4). Sean {κi : i ∈ I}, {κ′i : i ∈ I} ⊆ Card tales que∀i ∈ I (κi ≤ κ′i). Entonces

(a) Σi∈I κi ≤ Σi∈I κ′i.(b) Πi∈I κi ≤ Πi∈I κ′i.

Ejercicio III.10.20. (III.8.5). Sea {κi : i ∈ I} una familia de cardinales tales quepara todo i ∈ I, 2 ≤ κi. Entonces

∑i∈I κi ≤

∏i∈I κi.


(a) (III.8.7.1)

(i) κ ≤ Σα<λ κα, y

(ii) λ ≤ Σα<λ κα.

(b) (III.8.7.2) κ ≤ Πα∈Aβκα.


(a) cf(α) ≤ α.

(b) cf(0) = 0.

(c) cf(α + 1) = 1.

(d) cf(α) es un cardinal.

Ejercicio III.10.23. (III.9.12). Donde se usa el axioma de eleccion en la prueba deIII.9.12-(b).

Ejercicio III.10.24. (AC, III.9.18).

(a) ℵ0 ≤ κ =⇒ max(2cf(κ),κ+) ≤ .(κ)ג

(b) GCH =⇒ (κ)ג = κ+.

Ejercicio III.10.25. (ZF−∗ + Inf). Son equivalentes:

(a) Ax. del infinito

(b) ∃x [x infinito].

Ejercicio III.10.26. Determinar cuales de las siguientes colecciones son conjuntos ycuales clases propias.

(a) {α ∈ Ord : α ∼ ω}.(b) {A : A ∼ ω}.


(c) (AC) {κ ∈ Card : κ = κℵ0}.


(a) ℵ0 ≤ |A| =⇒ |A|+ n = |A|.(b) |A|+ 1 = |A| ⇐⇒ ℵ0 ≤ |A|.

Ejercicio III.10.28. Determinar el cardinal de los siguientes conjuntos:

(a) {f : f : ω −→ R}.(b) {f : f : R −→ R}.

Ejercicio III.10.29. Sea f : R −→ R.

(a) Supongamos que f es creciente. Determinar el cardinal del siguiente conjunto:

{a ∈ R : f no es continua en a}(b) Diremos que a ∈ R es un maximo para f si existe un intervalo abierto I tal que:

a ∈ I y ∀x ∈ I (x 6= a =⇒ f(x) < f(a))

Determinar el cardinal del siguiente conjunto:

{a : a es un maximo para f}

Ejercicio III.10.30. Probar que no existe una aplicacion f : ω1 −→ R creciente.

Ejercicio III.10.31. (AC). Sea {An : n ∈ ω} una particion de R. Probar que existen ∈ ω tal que card(An) = card(R).

Ejercicio III.10.32. Sean I 6= ∅ y {Ai : i ∈ I} una familia de conjuntos tal quepara todo i ∈ I, Ai 6= ∅. Sea

B = (⋃

i∈I Ai)ω

Probar que para todo i ∈ ω, |B × Ai| = |B|.

Ejercicio III.10.33. Sean α = ω4 + ω3 y κ = ℵα. Usando la hipotesis generalizadadel continuo calcular κλ en los siguientes casos:

(a) λ = ℵ5.

(b) λ = ℵω2 .

(c) λ = ℵω5 .

Ejercicio III.10.34. Probar que para cada ordinal α

(a) Existe un cardinal singular κ > α.

82 10. Ejercicios

(b) Existe un cardinal κ > α tal que cf(κ) = ω.

Ejercicio III.10.35. Si existe f : ωα −→ A suprayectiva, entonces A ¹ ωα.

Ejercicio III.10.36. (AC). Determinar el cardinal de los siguientes conjuntos:

(a) ωα − ωβ, β < α.

(b) {A ⊆ ωα : card(A) < ℵ0}.(c) {A ⊆ ω1 : card(A) = ℵ0}.(d) {A ⊆ ω1 : card(A) = ℵ1}.(e) {A ⊆ ωβ : card(A) = ℵ0}, donde ℵβ ≤ 2ℵ0 .

(f) 2× ωβ.

(g) {A ⊆ ωβ : card(A) = ℵβ}.

Ejercicio III.10.37. (AC). Probar que existe κ > ℵ0 tal que ∀λ < κ (2λ < κ).

Ejercicio III.10.38. Para cada conjunto A definimos el factorial de A, A! como sigue

A! = {f ∈ AA : f biyectiva}Probar que

(a) |A| = |B| =⇒ |A!| = |B!|.(b) (AC) κ infinito =⇒ κ! = 2κ.

Ejercicio III.10.39. ((AC)). Probar que las condiciones siguientes son equivalentes:

(a) CH

(b) ℵℵ01 = ℵ1

(c) ℵℵ01 < ℵℵ0

2

Ejercicio III.10.40. (AC). ℵα+1ℵβ = ℵα

ℵβ · ℵα+1.

Capıtulo IV

El axioma de regularidad

§1 La clase WF [[ZF∗]]

Nota IV.1.1. (Axioma de Regularidad)

x 6= ∅ =⇒ ∃y ∈ x (y ∩ x = ∅).

Definicion IV.1.2. (ZF∗).

(a) Definimos V : Ord −→ V como sigue:

(–) V(0) = ∅.(–) V(α + 1) = P(V(α)).

(–) V(α) =⋃

β<α V(β), si α es lımite.

(b) WF =⋃

α∈Ord V(α).

Nota IV.1.3. Sea A una clase.

(a) ∀x ∈ A (Trans(x)) =⇒ ⋃A transitiva.

(b) A transitiva =⇒ P(A) transitiva.

Lema IV.1.4. x ∈ WF ∧ α = inf[{β : x ∈ V(β)}] =⇒ α sucesor. ¥

Lema IV.1.5. (ZF). A transitivo ∧ A 6= ∅ =⇒ ∅ ∈ A.

Demostracion: Ejercicio. ¥

Definicion IV.1.6. Sea x ∈ WF, definimos

rank(x) = inf[{β : x ∈ V(β + 1)}] = (µβ)[x ∈ V(β + 1)] = (µβ)[x ⊆ V(β)].

83

84 1. La clase WF [[ZF∗]]

Proposicion IV.1.7.

(a) ∀α ∈ Ord(a.1) V(α) es transitivo.

(a.2) β ≤ α =⇒ V(β) ⊆ V(α)

(b) WF es transitiva.

(c) ∀α ∈ Ord [V(α) = {x ∈ WF : rank(x) < α}].(d) Si y ∈ WF, entonces

(d.1) x ∈ y =⇒ rank(x) < rank(y)

(d.2) rank(y) = sup({rank(x) + 1 : x ∈ y})(e) x ∈ WF, x transitivo =⇒ ∀β < rank(x)∃y ∈ x [rank(y) = β].

(f) ∀x [x ∈ WF ⇐⇒ x ⊆ WF].

Demostracion: ((a)): Por induccion sobre α ∈ Ord. (a.1) se sigue de IV.1.3.

((b)): Se sigue de (a.1) y IV.1.3.

((c)): De la definicion de rank se sigue que

V(α) ⊆ {x ∈ WF : rank(x) < α}.Por induccion sobre α ∈ Ord probaremos la otra inclusion.

(α = 0): V(0) = ∅, {x ∈ WF : rank(x) < 0} = ∅.(α =⇒ α + 1): Sea x ∈ WF tal que rank(x) < α + 1. Entonces rank(x) ≤ α.

(–) Si rank(x) < α, por hipotesis de induccion x ∈ V(α). Por tanto, x ∈ V(α + 1).

(–) Si rank(x) = α, entonces, por definicion de rank, x ∈ V(α + 1).

(α lımite): Sea x ∈ WF tal que rank(x) < α. Entonces existe β < α tal que rank(x) =β < β + 1 < α. Por hipotesis de induccion, x ∈ V(β + 1) ⊆ V(α).

((d)): Sean y ∈ WF, α = rank(y), β = sup({rank(x) + 1 : x ∈ y}).((d.1)): Sea x ∈ y. Puesto que y ∈ Vα+1, y ⊆ V(α). Luego, x ∈ V(α), de (c) se sigueque rank(x) < α.

((d.2)): Veamos que α = β.

(β ≤ α): Se sigue de (d.1).

(α ≤ β): De la definicion de β y (c) se sigue que y ⊆ V(β). Por tanto, y ∈ V(β + 1).Luego, α ≤ β.

((e)): Ejercicio.

((f)): (=⇒): Se sigue de (b).

(⇐=): Sea α = sup({rank(y) + 1 : y ∈ x}). Entonces x ⊆ V(α). Por tanto, x ∈P(V(α)) = V(α + 1). Luego, x ∈ WF. ¥

Proposicion IV.1.8.

Capıtulo IV. El axioma de regularidad 85

(a) ∀α ∈ Ord [α ∈ WF ∧ rank(α) = α ∧V(α) ∩Ord = α]

(b) Sea x ∈ WF tal que rank(x) = α. Entonces(b.1)

⋃x, P(x), {x} ∈ WF.

(b.2) rank(⋃

x) ≤ α, rank(P(x)) = α + 1 = rank({x}).(c) Sean x, y ∈ WF y α = max(rank(x), rank(y)). Entonces

(c.1) {x, y}, x ∪ y, x ∩ y, 〈x, y〉, x× y, xy ∈ WF.

(c.2)

{rank({x, y}) = α + 1, rank(x ∪ y) = α, rank(x ∩ y) ≤ αrank(〈x, y〉) = α + 2, rank(x× y) ≤ α + 2, rank(xy) ≤ α + 3

Demostracion: ((a)): Es suficiente probar que ∀α (rank(α) = α). Por induccionsobre α.

(α = 0). Entonces rank(0) = 0.

(α =⇒ α + 1): Puesto que α ∈ V(α + 1), α + 1 = α ∪ {α} ⊆ V(α + 1). Luego,α + 1 ∈ V(α + 2). Ademas, rank(α + 1) ≤ α + 1. Se tiene que:

rank(α + 1) = sup({rank(β) : β < α + 1}) [[IV.1.7-(d.2)]]= sup({β + 1 : β < α + 1}) [[Hip. ind.]]= α + 1.

(α lımite): β < α =⇒ β ∈ V(β+1) ⊆ V(α). Por tanto, α ⊆ V(α). Luego, α ∈ V(α+1).Ademas, rank(α) = sup({rank(β) + 1 : β < α}) = α.

((b)): (⋃

x): Puesto que x ⊆ V(α), entonces⋃

x ⊆ V(α). Por tanto, rank(⋃

x) ≤ α.

(P(x)): Puesto que x ⊆ V(α), entonces P(x) ⊆ P(V(α)) = V(α + 1). Por tanto,rank(P(x)) ≤ α + 1. La otra desigualdad es trivial.

({x}): rank({x}) = sup({rank(x) + 1}) = α + 1.

((c)): ({x, y}): rank({x, y}) = sup({rank(x) + 1, rank(y) + 1}) = α + 1.

(x ∪ y): Puesto que x, y ⊆ V(α), entonces x ∪ y ⊆ V(α). Por tanto, rank(x ∪ y) ≤ α.La otra desigualdad es trivial.

(〈x, y〉): Por definicion 〈x, y〉 = {{x}, {x, y}}. Por tanto, como

(–) rank({x}) ≤ rank({x, y}) = α + 1,

se tiene que rank(〈x, y〉) = α + 2.

(x× y): Consideremos los siguientes casos:

Caso 1: α lımite: Entonces rank(x× y) = α

Caso 2: α sucesor: Entonces rank(x× y) = α + 2.

(yx): Se tiene que yx ⊆ P(x× y). Por tanto, rank(yx) ≤ α + 3. ¥

Definicion IV.1.9. (AC). Definimos i : Ord −→ Card por:

86 2. El axioma de regularidad [[ZF∗]]

iα =

ℵ0, si α = 0;

2iβ , si α = β + 1;

sup({iβ : β < α}), si α es lımite.

Proposicion IV.1.10.

(a) ∀n ∈ ω |V(n)| < ℵ0.

(b) |V(ω)| = ℵ0.

(c) (AC) |V(ω + α)| = iα. ¥

§2 El axioma de regularidad [[ZF∗]]

Definicion IV.2.1. Sea A una clase y R una relacion sobre A. Diremos que Resta bien fundamentada sobre A si:

∀B ⊆ A [B 6= 0 → ∃y ∈ B (∀z ∈ B (〈z, y〉 /∈ R))].

Si y ∈ B y ∀z ∈ B(〈z, y〉 /∈ R), diremos que y es un elemento R–minimal de B en A.

Nota IV.2.2. Si R es la relacion de pertenencia, ∈, entonces “∈ esta bien fundamen-tada sobre A” es la propiedad

∀B ⊆ A [B 6= ∅ → ∃y ∈ B (y ∩B = ∅)].Es facil comprobar que:

(–) Ax Reg ⇐⇒ ∈ esta bien fundamentada sobre V.

Lema IV.2.3.

(a) A ∈ WF =⇒ ∈ esta bien fundamentada sobre A.

(b) A transitivo ∧ ∈ bien fundamentada sobre A =⇒ A ∈ WF.

Demostracion: ((a)): Ejercicio.

((b)): Sea B = A−WF. Supongamos que B 6= ∅.Puesto que ∈ esta bien fundamentada sobre A, existe C ∈ B tal que B ∩ C = ∅.Puesto que A es transitivo, C ⊆ A.

De lo anterior se sigue que C ⊆ WF. Luego, por IV.1.7-(f), C ∈ WF. Lo cual esuna contradiccion. Por tanto, A ⊆ WF; en consecuencia, A ∈ WF. Lo que prueba elresultado. ¥

Definicion IV.2.4. (ZF−∗ ).


(a)

{ ⋃0(x) = x;∪n+1(x) =

⋃ ⋃n(x).

(b) TC(x) =⋃{⋃n(x) : n ∈ ω}. TC(x) es la clausura transitiva de x.

Lema IV.2.5.

(a) TC(x) es el menor conjunto transitivo que contiene a x; es decir,

(a.1) x ⊆ TC(x).

(a.2) TC(x) es transitivo.

(a.3) x ⊆ y ∧ y transitivo =⇒ TC(x) ⊆ y.

(b) x transitivo =⇒ TC(x) = x.

(c) y ∈ x =⇒ TC(y) ⊆ TC(x).

(d) TC(x) = x ∪⋃{TC(y) : y ∈ x}. ¥


Proposicion IV.2.6. Son equivalentes:

(a) x ∈ WF.

(b) TC(x) ∈ WF.

(c) ∈ esta bien fundamentada sobre TC(x).

Demostracion: ((a) =⇒ (b)): Por induccion sobre n ∈ ω se obtiene que⋃n(x) ∈

WF. Por tanto, TC(x) ⊆ WF. Luego, por IV.1.7-(f), TC(x) ∈ WF.

((b) =⇒ (c)): Se sigue de IV.2.3-(a).

((c) =⇒ (a)): Puesto que TC(x) es transitivo, de IV.2.3-(b) se sigue que TC(x) ∈WF; por tanto, como x ⊆ TC(x), x ∈ WF. ¥

Teorema IV.2.7. Son equivalentes:

(a) Axioma de regularidad.

(b) ∀A (∈ esta bien fundamentada sobre A).

(c) V = WF.

Demostracion: ((a) =⇒ (b)): Trivial.

((b) =⇒ (c)): Por hipotesis, ∈ esta bien fundamentada sobre TC(A); luego por IV.2.6,A ∈ WF.

((c) =⇒ (a)): Sean A 6= ∅ y α = inf[{rank(x) : x ∈ A}].Sea B ∈ A tal que rank(B) = α. Entonces A ∩B = ∅. ¥

Teorema IV.2.8. (ZF). Son equivalentes:

(a) x ∈ Ord.

88 3. ∈–Induccion y ∈–recursion [[ZF−∗ ]]

(b) Trans(x) ∧ 〈x,∈〉 orden total.

(c) Trans(x) ∧ ∀y ∈ x (Trans(y)).


§3 ∈–Induccion y ∈–recursion [[ZF−∗ ]]

3.A Relaciones adecuadas

Definicion IV.3.1. Sean A una clase y R una relacion sobre A.

(a) Diremos que R es adecuada sobre A si:

∀x ∈ A ({y ∈ A : 〈y, x〉 ∈ R} es un conjunto).

(b) Si R es adecuada sobre A, definimos

(b.1) ExtR(x) = {y ∈ A : 〈y, x〉 ∈ R}.

(b.2)

{Ext0

R(x) = ExtR(x)

Extn+1R (x) =

⋃{ExtR(y) : y ∈ ExtnR(x)}

(b.3) ClR(x) =⋃{Extn

R(x) : n ∈ ω}.

Proposicion IV.3.2. Si R es adecuada sobre A y x ∈ A, entonces

(a) ∀y ∈ ClR(x) (ExtR(y) ⊆ ClR(x)).

(b) ClR(x) = ExtR(x) ∪⋃{ClR(y) : y ∈ ExtR(x)}.

3.B Teoremas de induccion y recursion sobre relaciones bienfundamentadas y adecuadas

Teorema IV.3.3. (Teorema de induccion). Sea R una relacion bien fundamenta-da y adecuada sobre A y B ⊆ A. Entonces

(a) B 6= ∅ → B tiene un elemento R–minimal en A.

(b) ∀x ∈ A (ExtR(x) ⊆ B → x ∈ B) =⇒ A = B.

Lema IV.3.4. (ZF). En el teorema anterior la condicion de que R es adecuada sobreA puede omitirse.

Demostracion: Ejercicio.

Teorema IV.3.5. (Teorema de ∈-induccion (ZF∗)).


(a) B 6= ∅ =⇒ ∃x ∈ B (x ∩B = ∅).(b) Sean A transitiva y B ⊆ A.

∀x ∈ A (x ⊆ B → x ∈ B) =⇒ A = B.

(c) Sean A y B clases transitivas y F : A −→ B una funcion biyectiva tal que

∀x, y ∈ A (x ∈ y ↔ F(x) ∈ F(y)).

Entonces A = B y F es la identidad.

Teorema IV.3.6. (Teorema de recursion). Sean R una relacion bien fundamen-tada y adecuada sobre A y G : V ×V −→ V una funcion. Entonces existe una unicaF : A −→ V tal que:

∀x ∈ A (F(x) = G(x,F|ExtR(x)).

Demostracion: Esquema de la prueba. Considerar la clase C

f ∈ C ⇐⇒{

f aplicacion ∧ ∃z ∈ A (dom(f) = ClR(z) ∪ {z}) ∧∀x ∈ dom(f) (f(x) = G(x, f|ExtR(x))).

Probar que:

Aserto IV.3.6.1.

(–) ∀f, g ∈ C (x ∈ dom(f) ∩ dom(g) → f(x) = g(x)).

(–) ∀x ∈ A ∃f ∈ C (dom(f) = ClR(x) ∪ {x}).

Tomar F =⋃

C. ¥

Corolario IV.3.7. (Teorema de ∈–recursion (ZF∗)). Sean A una clase transiti-va y G : V × V −→ V. Entonces existe una unica F : A −→ V tal que para todox ∈ A, F(x) = G(x,F|x).

Definicion IV.3.8. Sean R una relacion bien fundamentada y adecuada sobre A yx ∈ A. Definimos rankR(x) = sup({rankR(y) + 1 : 〈y, x〉 ∈ R}).

Lema IV.3.9. Si A es transitiva y ∈ esta bien fundamentada sobre A, entonces(a) A ⊆ WF.

(b) ∀x ∈ A (rank∈(x) = rank(x)).

§4 Ejercicios

Ejercicio IV.4.1. (ZF, IV.1.5). A transitivo ∧ A 6= ∅ =⇒ ∅ ∈ A.

90 4. Ejercicios

Ejercicio IV.4.2. (IV.1.7-(e)).

x ∈ WF, x transitivo =⇒ ∀β < rank(x)∃y ∈ x [rank(y) = β].

Ejercicio IV.4.3. (IV.2.3-(a)). Si A ∈ WF, entonces ∈ esta bien fundamentadasobre A.

Ejercicio IV.4.4. (IV.2.5).(a) TC(x) es el menor conjunto transitivo que contiene a x; es decir,

(a.1) x ⊆ TC(x).

(a.2) TC(x) es transitivo.

(a.3) x ⊆ y ∧ y transitivo =⇒ TC(x) ⊆ y.

(b) x transitivo =⇒ TC(x) = x.

(c) y ∈ x =⇒ TC(y) ⊆ TC(x).

(d) TC(x) = x ∪⋃{TC(y) : y ∈ x}. ¥

Ejercicio IV.4.5. (ZF, IV.2.8). Son equivalentes:

(a) x ∈ Ord.

(b) Trans(x) ∧ 〈x,∈〉 orden total.

(c) Trans(x) ∧ ∀y ∈ x (Trans(y)).

Ejercicio IV.4.6. (ZF, IV.3.4). En el teorema anterior la condicion de que R esadecuada sobre A puede omitirse.

Ejercicio IV.4.7. (IV.3.6.1).

(–) ∀f, g ∈ C (x ∈ dom(f) ∩ dom(g) → f(x) = g(x)).

(–) ∀x ∈ A ∃f ∈ C (dom(f) = ClR(x) ∪ {x}).

Capıtulo V

El Axioma de Eleccion

§1 Resultados conjuntistas equivalentes a AC

1.A El Axioma de Eleccion

Definicion V.1.1. (El Axioma de Eleccion).

(AC) ∀A ∃f FE(f, A).

Donde

FE(f, A) ⇐⇒

f aplicacion ∧A = dom(f) ∧∀y ∈ A (y 6= ∅ =⇒ f(y) ∈ y).

Teorema V.1.2. (Russell). Son equivalentes:


(b) Para todo I 6= ∅ y toda familia {Aj : j ∈ I}∀j ∈ I (Aj 6= ∅) =⇒ ×j∈I Aj 6= ∅

Demostracion: ((a) =⇒ (b)): Sea g una funcion de eleccion sobre {Aj : j ∈ I}.Sea f : I −→ ⋃

j∈I Aj la funcion definida por

f(j) = g(Aj)

Entonces para todo j ∈ I, f(j) ∈ Aj. Por tanto, f ∈×j∈I Aj.

((b) =⇒ (a)): Sea A un conjunto. Sin perdida de generalidad podemos suponer que∅ /∈ A. El conjunto A es una familia de conjuntos sobre A. Para ello basta considerarla aplicacion identidad: IdA : A −→ A, IdA(B) = B. Por (b), ×B∈A B 6= ∅. Seaf ∈×B∈A B. Entonces f : A −→ ⋃

B∈A B(=⋃

A) y para todo B ∈ A, f(B) ∈ B. Portanto, f es una funcion de eleccion sobre A. ¥

91

92 1. Resultados conjuntistas equivalentes a AC

Teorema V.1.3. (del Buen Orden (Zermelo)). (Ver II.3.4). Son equivalentes:



Demostracion: Ver II.3.4. ¥

1.B Principios maximales

Teorema V.1.4. (Hausdorff-Zorn). Son equivalentes:


(b) Lema de Zorn. Para todo orden parcial 〈A,<〉, si

(∗) ∀B ⊆ A [〈B,<〉 totalmente ordenado =⇒ B tiene cota superior],

entonces A tiene un elemento maximal.

Demostracion: ((a) =⇒ (b)): Sea < un orden parcial sobre A verificando (∗). Vea-mos que A tiene elementos maximales. Probaremos algo mas:

(–) ∀y ∈ A∃z ∈ A [y ≤ z ∧ z es maximal].

Sea <′ un buen orden sobre A. Sea a ∈ A. Supongamos que ∃x ∈ A (a < x). Porrecursion definimos F : Ord −→ A como sigue:

F(α) =

{inf<′({x > a : ∀δ < α (F(δ) < x)}), si {x > a : ∀δ < α (F(δ) < x)} 6= ∅;a, en caso contrario.

Observemos que para todo α, < es un orden total sobre F[α]. Se tiene que

Aserto V.1.4.1. ∃α > 0 (F(α) = a).

Prueba del aserto: En caso contrario, F : Ord −→ A es inyectiva. Lo cualesta en contradiccion con Ord clase propia. 2

Sea β = inf({α > 0 : F(α) = a}). Es evidente que F(β) = a. Ademas,

Aserto V.1.4.2. β es sucesor.

Prueba del aserto: Si β es lımite, entonces F[β] es una cadena en A sin cotasuperior. Lo cual esta en contradiccion con (∗). 2

Sea δ tal que β = δ + 1. Entonces F(δ) es un elemento maximal de A.

((b) =⇒ (a)): Sea X un conjunto. Sin perdida de generalidad podemos suponer que∅ /∈ X. Sea

A = {f : ∃Y ⊆ X [FE(f, Y )]}.Entonces ⊆ es un orden parcial sobre A. Sea B ⊆ A tal que ⊆ es un orden total sobreB. Entonces

⋃B ∈ A y es una cota superior de B. Por tanto, de (b) se sigue que

existe f ∈ A maximal. Se tiene que

Capıtulo V. El Axioma de Eleccion 93

Aserto V.1.4.3. FE(f,X).

Prueba del aserto: De la definicion de A lo unico que hay que probar es quedom(f) = X. Supongamos lo contrario. Sea B ∈ X−dom(f). Puesto que B 6= ∅,existe b ∈ B. Sea

g = f ∪ {〈B, b〉}.Entonces g ∈ A y f ⊂ g. Lo cual esta en contradiccion con que f es maximal(respecto de ⊆). 2

Del aserto se sigue (a). ¥

Definicion V.1.5. Diremos que un conjunto A tiene caracter finito si

∀B [B ∈ A ⇐⇒ ∀C ⊆ B (C finito =⇒ C ∈ A)].

Teorema V.1.6. (Takeuti). Son equivalentes:


(b) ∀A [A tiene caracter finito =⇒ ∃B ∈ A (B ⊆–maximal)].

§2 Cardinales

Teorema V.2.1. (Hartogs). Son equivalentes:


(b) ∀A∀B (|A| < |B| ∨ |B| < |A| ∨ |A| = |B|).

Lema V.2.2. ∀A∀κ ∈ Card [|A× κ| ≤ |A ] κ| =⇒ (|A| ≤ κ ∨ κ ≤ |A|)].

Teorema V.2.3. (Tarski). Son equivalentes:


(b) ∀A ≥ ℵ0 (|A2| = |A|).

§3 Formas debiles del Axioma de Eleccion

Definicion V.3.1.

(a) (ACω (Axioma de Eleccion Numerable)):

∀A [A numerable =⇒ ∃f [dom(f) = A ∧ ∀x ∈ A (x 6= ∅ =⇒ f(x) ∈ x)]

(b) (DC (Principio de Elecciones Dependientes)): Para todo A y R ⊆ A× A

94 3. Formas debiles del Axioma de Eleccion

∀x ∈ A∃y ∈ A (〈y, x〉 ∈ R) =⇒ ∃f ∈ Aω ∀n ∈ ω (〈f(n + 1), f(n)〉 ∈ R)

Nota V.3.2. Veamos una version alternativa del Principio de Elecciones Dependien-tes. Sea (DC)′ la siguiente propiedad: Para todo A y R ⊆ A× A

∀x ∈ A∃y ∈ A (〈y, x〉 ∈ R) =⇒ ∀x ∈ A∃f ∈ Aω

{f(0) = x ∧∀n ∈ ω (〈f(n + 1), f(n)〉 ∈ R)

Aserto V.3.2.1. (DC) ⇐⇒ (DC)′.

Prueba del aserto: Ejercicio. 2

Lema V.3.3. AC =⇒ DC =⇒ ACω.


Lema V.3.4. (ACω).

(a) Si para todo n ∈ ω, An es numerable, entonces⋃

n∈ω An es numerable.

(b) ω1 es regular.

(c) Si A es infinito, entonces A es D–infinito.


Lema V.3.5. (DC). Sean A un conjunto y < un orden total sobre A. Son equivalentes

(a) Existe f : ω −→ A tal que ∀n ∈ ω (f(n + 1) < f(n)).

(b) < no es una relacion de buen orden sobre A.

Demostracion: ((a) =⇒ (b)): No necesita DC. Sea f : ω −→ A tal que

(–) ∀n ∈ ω (f(n + 1) < f(n)).

Sea B = {f(n) : n ∈ ω} ⊆ A. Entonces B 6= ∅ y no tiene ınfino. Por tanto, < no esun buen orden.

((b) =⇒ (a)): Supongamos que < no es un buen orden sobre A. Sea B ⊆ A no vacıotal que B no tiene ınfimo; es decir,

(–) ∀x ∈ B ∃y ∈ B (y < x).

Consideremos la restriccion de < a B,

(–) <|B = B2 ∩ < = {〈x, y〉 ∈ B2 : x < y}.Por (DC), existe f : ω −→ B tal que

(–) ∀n ∈ ω (f(n + 1) < f(n)).

Puesto que f : ω −→ A, de lo anterior se sigue el resultado. ¥


§4 Equivalencias bajo el axioma de regularidad

Lema V.4.1. (ZF). Son equivalentes

(a) Axioma de eleccion.

(b) Para todo α ∈ Ord, Vα es bien ordenable.

Demostracion: ((a) =⇒ (b)): Se sigue del teorema del buen orden.

((b) =⇒ (a)): Sea A un conjunto. Veamos que A es bien ordenable. Por el axioma deRegularidad, existe α ∈ Ord tal que A ⊆ Vα. Por (b) existe < buen orden sobre Vα.Es evidente que <|A es un buen orden sobre A. ¥

Lema V.4.2. Supongamos que existe f : α −→ V tal que para todo β < α, f(β) = <β

es un buen orden de Rβ = {x : rank(x) = β}. Entonces Vα es bien ordenable.

Demostracion: Consideremos la relacion <f sobre Vα definida como sigue (recorde-mos que Vα = {x ∈ WF : rank(x) < α}). Sean x, y ∈ Vα

x <f y ⇐⇒{

rank(x) < rank(y) ∨(rank(x) = rank(y) = β < α ∧ x <β y).

Es evidente que <f es un buen orden sobre Vα. ¥

Teorema V.4.3. (ZF). Son equivalentes:(a) El axioma de eleccion.

(b) Para todo conjunto A, P(A) es bien ordenable.

(c) Para todo conjunto A, si A es bien ordenable, entonces P(A) es bien ordenable.

(d) ∀α ∈ Ord (P(α) bien ordenable).

Demostracion: ((a) =⇒ (b) =⇒ (c) =⇒ (d)): Trivial.

((d) =⇒ (c)): Sea A un conjunto bien ordenable. Entonces existe α ∈ Ord tal que|α| = |A|. Entonces |P(α)| = |P(A)|. Por hipotesis, P(α) es bien ordenabole. Por tanto,tambien lo es P(A).

((d) =⇒ (a)): Esta parte de la prueba usa el axioma de regularidad.

Por V.4.1 es suficiente probar que para todo α, Vα es bien ordenable.

Para ello, por V.4.2, es suficiente demostrar que existe f : α −→ V tal que para todoβ < α, f(β) = <β es un buen orden de Rβ = {x : rank(x) = β}.La definicion de f es por recursion sobre β. Supongamos que f ha sido definida paratodo δ < β de tal forma que f(δ) = <δ es un buen orden de Rδ. Entonces ver V.4.2,Vβ es bien ordenable. Un buen orden, <f|β , viene dado como sigue: Sean x, y ∈ Vf|β .

x <f|β y ⇐⇒{

rank(x) < rank(y) ∨(rank(x) = rank(y) = γ < β ∧ x <γ y).

96 5. Espacios compactos

Sea λ = V+α (el cardinal de Hartogs de Vα; es decir, el menor cardinal bien ordenable

tal que no existe ninguna aplicacion inyectiva de λ en Vα). Por (d), P(λ) es bienordenable. Sea <∗ un buen orden sobre P(λ).

Puesto que card(Vβ) < λ, existen ρβ < λ y gβ unicos tales que

gβ : 〈Vβ, <f|β〉 ∼= ρβ.

Ahora definimos f(β) = <β, buen orden sobre Rβ, como sigue: Sean x, y ∈ Rβ.

x <β y ⇐⇒ gβ[x] <∗ gβ[y].

Es evidente que <β bien ordena al conjunto Rβ.

Puesto que <∗ es un buen orden de P(λ), <β es un buen orden de Rβ.

Esto completa la prueba del teorema. ¥

§5 Espacios compactos

Definicion V.5.1. Sea X un conjunto.(a) Diremos que F ⊆ P(X) es un filtro sobre X si

(a.1) X ∈ F , ∅ /∈ F .

(a.2) A,B ∈ F =⇒ A ∩B ∈ F .

(a.3) A ∈ F ∧ A ⊆ B =⇒ B ∈ F .

(b) Diremos que U ⊆ P(X) es un ultrafiltro sobre X si

(b.1) U es un filtro sobre X.

(b.2) Para todo A ⊆ X, A ∈ U o Ac ∈ U .

(c) Diremos que A ⊆ P(X) tiene la propiedad de la interseccion finita si para cua-lesquiera A1, . . . , An ∈ A, A1 ∩ . . . ∩ An 6= ∅.

Lema V.5.2. SeaA ⊆ P(X) con la propiedad de la interseccion finita. Entonces existeun filtro sobre X, F , tal que A ⊆ F .

Lema V.5.3. Sea U un filtro sobre X. Son equivalentes.(a) U es un ultrafiltro.

(b) U es un filtro maximal.

Lema V.5.4. (AC). Sea F un filtro sobre X. Existe un ultrafiltro U sobre X tal queF ⊆ U .

Teorema V.5.5. Son equivalentes:(a) El axioma de eleccion.


(b) Para toda familia {Xi : i ∈ I} de espacios topologicos compactos,∏

i∈I Xi es unespacio compacto.

Demostracion: ((a) =⇒ (b)): Sean {Xi : i ∈ I} una familia de espacios topologicoscompactos y X =

∏Xi. Sea A ⊆ F(X) una familia de conjuntos cerrados con la

propiedad de la interseccion finita. Veamos que

(∗) ∩A 6= ∅.Por V.5.2 y V.5.4 existe un ultrafiltro, U , sobre X tal que A ⊆ U .

Para cada i ∈ I sea Di = {cl(Πi(A)) : A ∈ U}.Aserto V.5.5.1. Di tiene la propiedad de la interseccion finita.

Prueba del aserto: Sean E1, . . . , En ∈ Di. Entonces existen A1, . . . , An ∈ Utales que Ej = cl(Πi(Aj)), 1 ≤ j ≤ n. Puesto que U es un ultrafiltro, entoncesA1 ∩ . . . ∩ An 6= ∅. Sea x ∈ A1 ∩ . . . ∩ An. Se tiene que para todo j, 1 ≤ j ≤ n,

x ∈ Aj =⇒ Πi(x) ∈ Πi(Aj) =⇒ Πi(x) ∈ cl(Πi(Aj)) = Ej.

Por tanto, Πi(x) ∈ E1 ∩ . . . ∩ En. 2

Puesto que Xi es compacto, del aserto se sigue que⋂Di 6= ∅. Por el axioma de eleccion,

para cada i ∈ I existe xi ∈⋂Di. Sea x ∈ X tal que para todo i ∈ I, Πi(x) = xi.

Aserto V.5.5.2. x ∈ ⋂A.

Prueba del aserto: Supongamos que x /∈ ⋂A. Entonces existe F ∈ A tal quex /∈ F . Puesto que F es cerrado, existe G ∈ G(X) tal que

(–) Existe J = {j1, . . . , jm} ⊆ I finito tal que G =∏

i∈I Gi, donde Gi ∈ G(Xi)y para todo i /∈ J , Gi = Xi.

(–) x ∈ G y G ∩ F = ∅.Entonces

(–) Para todo i ∈ I, Πi(x) ∈ Πi(G).

(–) G ∩ F = Π−1j1

(Gj1) ∩ . . . ∩ Π−1jm

(Gjm) ∩ F = ∅.Puesto que F ∈ U , de lo anterior se sigue que

Π−1j1

(Gj1) ∩ . . . ∩ Π−1jm

(Gjm) /∈ U .

Por tanto, existe k ∈ {j1, . . . , jm}, tal que Π−1k (Gk) /∈ U . Puesto que U es un

ultrafiltro, (Π−1k (Gk))

c ∈ U . Luego, Π−1k (Gc

k) ∈ U . Por tanto, cl(Πk(Π−1k (Gc

k))) ∈Dk. Puesto que Gk ∈ G(Xk) y Πk(Π

−1k (Gc

k)) = Gck, Gc

k ∈ Dk. Ademas, xk ∈ Gk;luego, xk /∈ ⋂Dk. Lo cual esta en contradiccion con la eleccion de x. 2

Del aserto se sigue (∗). Por tanto, X es compacto.

((b) =⇒ (a)): Sea A un conjunto. Veamos que existe una funcion de eleccion sobreA. Sin perdida de generalidad podemos suponer que ∅ /∈ A. Sea a /∈ ⋃

A. Para cadaB ∈ A sea OB una popologıa sobre B ∪ {a} tal que

(–) OB es compacto,

98 5. Espacios compactos

(–) B es cerrado en OB.

Por ejemplo, podemos tomar OB = {∅, {x}, B, B ∪ {a}}. Consideremos el espaciotopologico producto X =×B∈A(B ∪ {a}). Por hipotesis, X es compacto.

Aserto V.5.5.3.⋂

B∈A Π−1B (B) 6= ∅.

Prueba del aserto: Supongamos lo contrario; es decir,⋂

B∈A Π−1B (B) = ∅. En-

tonces

X =⋃

B∈A(Π−1B (B))c.

Puesto que B es cerrado en OB, entonces Π−1B (B) es cerrado en X; por tanto,

Π−1B (B)c es abierto en X. Puesto que X es compacto, existen B1, . . . , Bn ∈ A

tales que

X = Π−1B1

(B1)c ∪ . . . ∪ Π−1

Bn(Bn)c.

Por tanto,

f ∈ X ⇐⇒ (∃i)1≤i≤n (f ∈ Π−1Bi

(Bi)c)

⇐⇒ (∃i)1≤i≤n (f /∈ Π−1Bi

(Bi))

⇐⇒ (∃i)1≤i≤n (ΠBi(f) /∈ Bi)

⇐⇒ (∃i)1≤i≤n (f(Bi) = a).

Sean b1 ∈ B1, . . . , bn ∈ Bn y g ∈ X la aplicacion definida por:

g(B) =

{a, si (∀i)1≤i≤n (B 6= Bi);

bi, si B = Bi.

De lo anterior se sigue que: g /∈ X. Contradiccion. 2

Por el aserto, existe f ∈ ⋂B∈A Π−1

B (B). Puesto que⋂

B∈A Π−1B (B) =×B∈AB, entonces

f es una funcion de eleccion sobre A. ¥

Notas V.5.6. Esta nota contiene comentarios sobre el uso del Axioma de Eleccion enla prueba del teorema anterior. Primero veamos que no es necesario el uso del Axiomade Eleccion para productos finitos.

Aserto V.5.6.1. Sean X1 y X2 espacios topologicos compactos, entonces X1 ×X2 escompacto.

Prueba del aserto: Sea Q un recubrimiento abierto de X1 ×X2. Sea

P = {H ∈ G(X1) : existen G1, . . . , Gk ∈ Q tales que H ×X2 ⊆⋃

1≤j≤k Gj}.Se tiene que:

(i) X1 =⋃P .

Prueba de (i): Para cada x ∈ X1 sea

Qx = {G ∈ Q : x ∈ Π1(G)}.Es evidente que: {x} ×X2 ⊆

⋃Qx. Sea R2 = {Π2(G) : G ∈ Qx}. Entonces

X2 =⋃R2 =

⋃G∈Qx

Π2(G).


Puesto que X2 es compacto, de lo anterior se sigue que existe R′2 ⊆ R2 finito tal

que X2 =⋃R′

2. Sean G1, . . . , Gn ∈ Qx tales que R′2 = {Π2(G1), . . . , Π2(Gn)}.

Sea

Hx = Π1(G1) ∩ . . . ∩ Π1(Gn).

Entonces

(–) Hx ∈ G(X1),

(–) Hx ×X2 ⊆ G1 ∪ . . . ∪Gn.

Por tanto, Hx ∈ P . Puesto que x ∈ Hx, entonces x ∈ ⋃P . Lo que prueba (i).

Puesto que X1 es compacto, por (i), existen H1, . . . , Hm ∈ P tales que

X1 = H1 ∪ . . . ∪Hm.

Para cada j, 1 ≤ j ≤ m, sean Gj,1, . . . , Gj,rj∈ Q tales que

Hj ×X2 ⊆ Gj,1 ∪ . . . ∪Gj,rj.

Entonces

X1 ×X2 = (H1 ∪ . . .×Hk)×X2

= (H1 ×X2) ∪ . . . ∪ (Hk ×X2)= (G1,1 ∪ . . . ∪G1,r1) ∪ . . . ∪ (Gk,1 ∪ . . . ∪Gk,rk

).

Por tanto, {Gi,j : 1 ≤ i ≤ k, 1 ≤ j ≤ ri} ⊆ Q es un recubrimiento finito del espacioX1 ×X2. 2

En la prueba del teorema V.5.5 usamos dos veces el Axioma de Eleccion:

(–) Para obtener un ultrafiltro U tal que A ⊆ U . Para ello es sufiente usar V.5.4.Esta propiedad no es equivalente al Axioma de Eleccion.

(–) Para obtener x ∈ X tal que para todo i ∈ I, Πi(x) = xi.

Ahora veremos que la segundo uso del Axioma de Eleccion no es necesario para espaciosde Hausdorff.

Supongamos que para todo i ∈ I, X1 es de Hausdorff. Como en la prueba de V.5.5para cada i ∈ I sea Di = {cl(Πi(A)) : A ∈ U}. Recordemos que

(–) para todo i ∈ I,⋂Di 6= ∅.

Se tiene que

Aserto V.5.6.2.⋂Di es unitario.

Ahora definimos x ∈ X como sigue: para todo i ∈ I,

xi = z ⇐⇒ z ∈ ⋂Di.

Tampoco es necesario usar el axioma de eleccion para probar que el espacio de Cantor,C = 2ω, es compacto.

Aserto V.5.6.3. C es compacto.

100 6. Ejercicios

§6 Ejercicios

Ejercicio V.6.1. (Takeuti, V.1.6). Son equivalentes:(a) El Axioma de Eleccion.

(b) ∀A [A tiene caracter finito =⇒ ∃B ∈ A (B ⊆–maximal)].

Ejercicio V.6.2. (Hartogs, V.2.1). Son equivalentes:(a) El Axioma de Eleccion.

(b) ∀A ∀B (|A| < |B| ∨ |B| < |A| ∨ |A| = |B|).

Ejercicio V.6.3. (V.2.2).

∀A ∀κ ∈ Card [|A× κ| ≤ |A ] κ| =⇒ (|A| ≤ κ ∨ κ ≤ |A|)].

Ejercicio V.6.4. (Tarski, V.2.3). Son equivalentes:(a) El Axioma de Eleccion.

(b) ∀A ≥ ℵ0 (|A2| = |A|).

Ejercicio V.6.5. (V.3.2.1). (DC) ⇐⇒ (DC)′.

Ejercicio V.6.6. (V.3.3). AC =⇒ DC =⇒ ACω.

Ejercicio V.6.7. ((ACω), V.3.4).(a) Si para todo n ∈ ω, An es numerable, entonces

⋃n∈ω An es numerable.

(b) ω1 es regular.

(c) Si A es infinito, entonces A es D–infinito.

Ejercicio V.6.8. Sea ERC la siguiente propiedad:

(–) Para todo A y relacion de equivalencia R sobre A existe f : A −→ A tal que:

(ERC1) ∀a ∈ A [(a, f(a)) ∈ R],

(ERC2) ∀a, b ∈ A [(a, b) ∈ R → f(a) = f(b)].

Probar que las condiciones siguientes son equivalentes:(a) El axioma de eleccion.

(b) ERC.

Ejercicio V.6.9. (V.5.6.2).⋂Di es unitario.

Ejercicio V.6.10. (V.5.6.3). C es compacto.

Parte B

Teorıa Descriptiva de Conjuntos

101

Capıtulo VI

Espacios Polacos

§1 Espacios Polacos

Definicion VI.1.1. Sea X un espacio topologico. Diremos que X es un espacio Polacosi X es separable y completamente metrizable.

Nota VI.1.2. Presentamos algunos procedimientos para obtener espacios Polacos.

(a) Sea X un espacio metrico separable. Entonces X es un espacio Polaco.

(b) Sea {Xn : n ∈ ω} una sucesion de espacios Polacos. Entonces∏

n∈ω Xn y⊕n∈ω Xn son espacios Polacos.

(c) Sea A un conjunto no vacıo equipado con la topologıa discreta. Son equivalentes

(i) Aω es un espacio Polaco.

(ii) A es numerable.

Ejemplos de espacios Polacos

(–) ω con la topologıa discreta.

(–) S0 = {1/n : 1 ≤ n} ∪ {0} con la topologıa inducida por R.

(–) R, Rn, I = [0, 1] = {r ∈ R : 0 ≤ r ≤ 1},(–) H = Iω (cubo de Hilbert), Rω.

(–) C = 2ω (espacio de Cantor) y N = ωω (espacio de Baire).

Numerables No numerablesCompactos S0 I, H, CNo compactos ω R, Rn, Rω, N0–dimensionales ω, S0 C, N

103

104 1. Espacios Polacos

1.A Conjuntos Gδ

Teorema VI.1.3. Sean X un espacio Polaco y F ∈ F(X). Entonces F es un espacioPolaco.

Demostracion: Sea {xn : n ∈ ω} ⊆ F una sucesion de Cauchy (en F ). Entonces{xn : n ∈ ω} es de Cauchy in X. Puesto que X es completo, {xn : n ∈ ω} esconvergente. Entonces, puesto que F es cerrado, limn∈ω xn ∈ F . ¥

Definicion VI.1.4. Sean X un espacio topologico y A ⊆ X.(a) A ∈ Gδ(X) si existe una sucesion {Gn : n ∈ ω} ⊆ G(X) tal que A =

⋂n∈ω Gn.

(b) A ∈ Fσ(X) si existe una sucesion {Fn : n ∈ ω} ⊆ F(X) tal que A =⋃

n∈ω Fn.

Puesto que Q =⋃

q∈Q {q}, Q ∈ Fσ(R). Sin embargo, Q /∈ Gδ(R), ver VI.3.6. SeaJ = R−Q. De lo anterior se sigue que J ∈ Gδ(R).

Lema VI.1.5. Sea X un espacio topologico. Entonces(a) G(X) ⊆ Gδ(X), F(X) ⊆ Fσ(X).

(b) A ∈ Gδ(X) ⇐⇒ Ac ∈ Fσ(X).

(c) ((AC)ω). Gδ(X) es cerrado bajo intersecciones numerables y uniones finitas.

(d) Sean A ⊆ Y y f : X −→ Y continua. Si A ∈ Gδ(Y ), entonces f−1(A) ∈ Gδ(X).

Proposicion VI.1.6. Sea X un espacio metrico.(a) F(X) ⊆ Gδ(X).

(b) G(X) ⊆ Fσ(X).

Demostracion: Para cada q > 0 sea B(F, q) = {x ∈ X : d(x, F ) < q}. Es evidenteque B(F, q) ∈ G(X) y; puesto que F es cerrado, F =

⋂q∈QB(F, q). ¥

Teorema VI.1.7. Sean X un espacio Polaco y A ⊆ X.A ∈ Gδ(X) ⇐⇒ A es un espacio Polaco.

Demostracion: Es evidente que A es separable. Por tanto, el resultado se sigue deIX.1.4 y IX.1.5. ¥

Corolario VI.1.8.(a) Sean a < b ∈ R. Entonces (a, b) es completamente metrizable. [[Sin embargo, la

metrica usual no es completa]].

(b) J = R−Q es completamente metrizable.

(c) Q no es completamente metrizable.

Demostracion: Observemos que: (a, b) ∈ Gδ(R); J ∈ Gδ(R) y Q /∈ Gδ(R), verVI.3.6. Por tanto, todos los resultados se siguen de VI.1.7. ¥

Capıtulo VI. Espacios Polacos 105

1.B Arboles [[ZF∗]]

Definicion VI.1.9. Sea A un conjunto no vacıo.(a) An es el conjunto de las sucesiones de elementos de A de longitud n; es decir, la

coleccion de las aplicaciones de n en A. Si s ∈ An, escribiremos

(–) s = 〈s(0), . . . , s(n− 1)〉 = 〈s0, . . . , sn−1〉, y

(–) lg(s) = n.

(b) A<ω =⋃

n∈ω An.

(c) Sean s, t ∈ A<ω.

(c.1) La concatenacion de las sucesiones s y t la notaremos por s ∗ t. Es decir, sis ∈ An y t ∈ Am, entonces s ∗ t ∈ An+m es la sucesion definida por

(s ∗ t)(j) =

{s(j), si j < n;t(j − n), si n ≤ j < n + m.

(c.2) Diremos que s, t son compatible si s ⊆ t∨ t ⊆ s; es decir, si s∪ t ∈ A<ω. Encaso contrario diremos que son incompatibles y notaremos s ⊥ t. Es decir,existe i < lg(s), lg(t) tal que s(i) 6= t(i).

(c.3) Sea k < lg(s). Denotaremos por s|k a la restriccion de s a k; es decir,s|k = 〈s0, . . . , sk−1〉.

(d) Aω es la coleccion de las aplicaciones de ω en A. Usaremos σ, τ para denotarelementos de Aω. Si σ ∈ Aω, denotaremos por σ|n a la restriccion de σ a n.

Definicion VI.1.10. Sea T ⊆ A<ω

(a) Diremos que T es un arbol sobre A, T ∈ Tr(A), si es cerrado bajo restricciones;es decir, si para todo s ∈ T y para todo n ∈ ω, s|n ∈ T .

(b) Diremos que σ ∈ Aω es una rama (infinita) de T si para todo n < lg(s), σ|n ∈ T .Notaremos [T ] = {σ ∈ Aω : σ rama infinita de T}.

(c) T es un arbol podado sobre A, T ∈ PTr(A), si ∀s ∈ T ∃t ∈ T [s ⊂ t].

(d) Diremos que T es de ramificacion finita si para todo s ∈ T ,{t ∈ T : s ⊆ t ∧ lg(t) = lg(s) + 1} es finito.

Lema VI.1.11. (Konig). Si T ∈ Tr(A) es infinito y de ramificacion finita, [T ] 6= ∅.

Demostracion: Por recursion sobre n ∈ ω definimos una sucesion {sn : n ∈ ω} ⊆ Ttal que para todo n ∈ ω, lg(sn) = n y {t ∈ T : sn ⊂ t} es infinito.

(n = 0): Sea s0 = ∅.(n =⇒ n + 1): Sea sn+1 ∈ T tal que sn ⊂ sn+1, lg(sn+1) = n + 1 y {t ∈ T : sn+1 ⊂ t}es infinito. Un tal elemento existe pues T es de ramificacion finita y por construccion{t ∈ T : sn ⊂ t} es infinito.

Es evidente que σ =⋃

n∈ω sn es rama de T infinita. ¥


1.C El espacio metrico Aω

Notas VI.1.12. Sea A un conjunto. Sobre A consideremos la topologıa discreta. Pues-to que A es metrizable, Aω es un espacio metrico. Por ejemplo, la siguiente aplicaciones una metrica sobre Aω. Sean σ, τ ∈ Aω tales que σ 6= τ , sea

n = inf({k ∈ ω : σ(k) 6= τ(k)}).Definimos d(σ, τ) = 2−(n+1).

Para cada s ∈ A<ω sea Ns = {σ ∈ Aω : s ⊆ σ}. Se verifican las siguientes propiedades.(a) La familia {Ns : s ∈ A<ω} es una base de Aω.

(b) s ⊆ t ⇐⇒ Ns ⊇ Nt.

(c) s ⊥ t ⇐⇒ Ns ∩Nt = ∅.(d) G ⊆ Aω abierto =⇒ ∃S ⊆ A<ω [(s, t ∈ S =⇒ s ⊥ t) ∧G =

⋃s∈S Ns].

Prueba: Sea G ⊆ Aω abierto. Entonces existe S1 ⊆ A<ω tal que G =⋃

s∈S1Ns.

Sea S = {s ∈ S1 : ∀t ∈ S1 (t 6⊂ s)}. Es facil comprobar que S verifica laspropiedades de (d). 2

(e) ∀s ∈ A<ω [Ns cerrado].

Prueba: Sea S = {t ∈ A<ω : s ⊥ t}. Entonces N cs =

⋃t∈S Nt. 2

(f) Aω es completo y 0–dimensional.

Prueba: Puesto que la topologıa discreta sobre A es completa, Aω es completo.Por (e), Aω es 0–dimensional. 2

(g) Si A es numerable, entonces Aω es segundo numerable; y por tanto, separable.

(h) Aω ∼= (Aω)ω y para todo n ≥ 1, Aω ∼= (Aω)n.

Prueba: Se sigue de la propiedad asociativa del producto de espacios topologicos.

Definicion VI.1.13.(a) C = 2ω es el espacio de Cantor.

(b) N = ωω es el espacio de Baire.

Nota VI.1.14.(a) Si 2 ≤ |A| < ω, Aω ∼= C. Si |A| = ω, Aω ∼= N .

(b) C ⊂N . Basta considerar la inmersion.

(c) N ⊂C. La funcion f : N −→ C definida por: f(σ) = Gr(σ) es una inmersion.

Lema VI.1.15. Sea R : PTr(A) −→ {F ⊆ Aω : F cerrado} la aplicacion definida por

R(T ) = [T ].

Entonces R es biyectiva. Por tanto, F(Aω) = {[T ] : T ∈ PTr(A)}.

Demostracion: Se tienen los siguientes resultados.


Aserto VI.1.15.1. Sea T un arbol sobre A. Entonces [T ] es cerrado en Aω.

Prueba del aserto: Veamos que [T ]c es abierto. Sea σ ∈ [T ]c. Entonces existen ∈ ω tal que σ|n /∈ T . Puesto que T es cerrado bajo restriciones, Nσ|n ⊆ [T ]c. 2

Aserto VI.1.15.2. Sean T, T ′ ∈ PTr(A). Entonces

T = T ′ ⇐⇒ [T ] = [T ′].

Prueba del aserto: (=⇒): Trivial.

(⇐=): Supongamos que existe s ∈ T −T ′. Puesto que T ∈ PTr(A), existe σ ∈ [T ]tal que s ⊆ σ. Ademas, de s /∈ T ′ se sigue que σ /∈ [T ′]. Por tanto, [T ] 6= [T ′]. 2

Aserto VI.1.15.3. Sea F ⊆ Aω cerrado. Definimos

TF = {s ∈ A<ω : ∃σ ∈ F (s ⊆ σ)}.(i) TF ∈ PTr(A).

(ii) [TF ] = F .

Prueba del aserto: ((i)): Trivial.

((ii)): (F ⊆ [TF ]): Trivial.

([TF ] ⊆ F ): Sea σ /∈ F . Puesto que F c es abierto, existe s ∈ A<ω tal que s ⊆ σ yNs ∩F = ∅. Por tanto, ∀τ ∈ F (s 6⊆ τ). En consecuencia, σ|lg(s) = s /∈ TF . Luego,σ /∈ [TF ]. 2

De los asertos se sigue el lema. ¥

§2 Inmersiones entre Espacios Polacos

2.A El Conjunto de Cantor

Definicion VI.2.1. (El conjunto de Cantor). Por recursion sobre s ∈ 2<ω defini-mos {Fs : s ∈ 2<ω} como sigue

(–) F∅ = [0, 1]

(–) Fs = [a, b] =⇒{

Fs∗〈0〉 = [a, a + b−a3

];

Fs∗〈1〉 = [a + 2(b−a)3

, b].

Para cada n ∈ ω seaFn =

⋃ {Fs : s ∈ 2<ω, lg(s) = n}.El conjunto de Cantor, C, se define como sigue C =

⋂n∈ω Fn.

Lema VI.2.2. C es cerrado. Puesto que el intervalo [0, 1] es compacto y C ⊆ [0, 1],entonces C es compacto.

108 2. Inmersiones entre Espacios Polacos

Demostracion: Es suficiente probar que para todo n ∈ ω, Fn es cerrado. Para todos ∈ 2<ω, Fs es cerrado. Por tanto, Fn es la union de un numero finito de conjuntoscerrados. En consecuencia, Fn es cerrado. ¥

Lema VI.2.3.(a) H : C ∼= C. Por tanto, C es perfecto.

(b) |C| = 2ℵ0 .


((b)): Puesto que |C| = 2ℵ0 , el resultado se sigue de (a). ¥

2.B Esquemas de Lusin

Proposicion VI.2.4. Sean (X, d) un espacio metrico completo y {Fn : n ∈ ω} ⊆F(X) una sucesion decreciente (respecto de ⊆) tal que

(–) Para todo n ∈ ω, Fn 6= ∅.(–) limn∈ω dtr(Fn) = 0.

Entonces⋂

Fn es un conjunto unitario.

[[Esta propiedad es equivalente a que X sea completo]]

Definicion VI.2.5. Sean X un espacio metrico (suponemos que d(x, y) < 1) y J unconjunto. Un J–esquema sobre X es una familia de subconjuntos de X, {As : s ∈ J<ω},tal que para todo s ∈ J<ω

(i) ∀i ∈ J [cl(As∗〈i〉) ⊆ As].

(ii) Para todo σ ∈ Jω, limn∈ω dtr(Aσ|n) = 0.

Si J = ω, diremos que es un esquema de Lusin. Si J = {0, 1} = 2, diremos que es unesquema de Cantor. Tambien consideraremos las siguientes propiedades:

(iii) ∀i, j ∈ J [i 6= j =⇒ As∗〈i〉 ∩ As∗〈j〉 = ∅].(iv) J finito ∨ ∀s ∈ J<ω (As ∈ G(X)).

(v) ∀σ ∈ Jω ∀n ∈ ω (Aσ|n 6= ∅).(vi) A∅ = X ∧ ∀s ∈ J<ω (As =

⋃i∈J As∗〈i〉).

Nota VI.2.6. En los resultados que siguen X un espacio metrico completo y {As :s ∈ J<ω} un J–esquema sobre X. Sobre J consideremos la topologıa discreta y sobreJω la topologıa producto. Una base de esta topologıa esta dada por: {Ns : s ∈ J<ω},donde Ns = {σ ∈ Jω : s ⊆ σ}. Sea

D = {σ ∈ Jω :⋂

n∈ω Aσ|n 6= ∅}.


De VI.2.5-(ii) se sigue que para todo σ ∈ D,

(–)⋂

n∈ω Aσ|n es unitario.

Esto permite definir la funcion fD : D −→ X, que denominaremos funcion asociada alesquema {As : s ∈ J<ω}, como sigue

fD(σ) = x ⇐⇒ x ∈ ⋂n∈ω Aσ|n .

Lema VI.2.7. Se tiene que:(a) D = {σ ∈ Jω : ∀n ∈ ω (Aσ|n 6= ∅)}.(b) D es cerrado.

(c) fD es continua.

Demostracion: ((a)): (⊆): Trivial.

(⊇): Por VI.2.5-(i), para todo σ ∈ Jω y n ∈ ω, Aσ|n+1⊆ cl(Aσ|n+1

) ⊆ Aσ|n . Por tanto,para todo σ ∈ Jω,

(1)⋂

n∈ω Aσ|n =⋂

n∈ω cl(Aσ|n).

Supongamos que para todo n ∈ ω, Aσ|n 6= ∅. Entonces de (1), VI.2.5-(ii) y VI.2.4 sesigue que

⋂n∈ω Aσ|n 6= ∅. Lo que prueba (a).

((b)): De (a) se sigue que D = {σ ∈ Jω : ∀n ∈ ω (Aσ|n 6= ∅)}. Sea σ ∈ Dc. Entoncesexiste n ∈ ω tal que Aσ|n = ∅. Por tanto, σ ∈ Nσ|n ⊆ Dc. Luego, Dc es abierto.

((c)): Sean σ ∈ D y ε > 0. Por VI.2.5-(ii) existe n ∈ ω tal que dtr(Aσ|n) < ε. EntoncesfD(D ∩Nσ|n) ⊆ B(fD(σ), ε). Por tanto, fD es continua. ¥

Lema VI.2.8.(a) Si se tiene (iii), entonces fD es inyectiva.

(b) Si tienen (iii) y (iv), entonces fD es una inmersion.


((b)): Consideremos los siguientes casos.

Caso 1: J es finito. Entonces Jω es compacto; luego, por VI.2.7, D es compacto. Portanto, el resultado se sigue de IX.1.3. Ademas, en este caso fD(Jω) es cerrado..

Caso 2: Para todo s ∈ J<ω, As ∈ G(X). Primero observemos que {D ∩Ns : s ∈ J<ω}es una base de la topologıa inducida por Jω en D. Ademas, fD(D∩Ns) = fD(D)∩As.Puesto que As es abierto, entonces fD(D ∩Ns) es abierto en fD(D). ¥

Lema VI.2.9. Sea X un espacio metrico completo. Supongamos que se verifican (iii),(iv) y (v), entonces D = Jω y fD : Jω ⊂X.

Demostracion: Por (v) y VI.2.7, D = Jω. Luego, por VI.2.8-(b), Jω ⊂X. ¥

Lema VI.2.10. Sea X un espacio metrico completo. Supongamos que se verifican (iii),

110 3. Espacios Polacos no numerables

(iv), (v) y (vi). Entonces fD : Jω ∼= X.

Demostracion: Es facil comprobar que fD es suprayectiva. Por tanto, el resultadose sigue de VI.2.9. ¥

§3 Espacios Polacos no numerables

Teorema VI.3.1. Sea X un espacio metrico separable. Entonces |X| ≤ 2ℵ0 .

Demostracion: Sea B una base numerable de X. Sea f : X −→ P(B) la funciondefinida por:

f(x) = {G ∈ B : x ∈ G}.Puesto que X es de Hausdorff, f es inyectiva. Por tanto, |X| ≤ |P(B)| = 2ℵ0 . ¥

3.A Espacios Polacos perfectos

Definicion VI.3.2. Sea X un espacio topologico.(a) Diremos que X es perfecto si no tiene puntos aislados.

(b) Sea A ⊆ X. Diremos que A es perfecto en X si

(b.1) A 6= ∅,(b.2) A ∈ F(X), y

(b.3) A no tiene puntos aislados; es decir,

∀x ∈ A∀G ∈ G(X) [A ∩G 6= {x}].

Teorema VI.3.3. Sea X un espacio Polaco perfecto. Entonces existe f : C ⊂X. Masaun, puesto que C es compacto, f(C) ∈ F(X).

Demostracion: Por recursion sobre s ∈ 2<ω definiremos un esquema de Cantor,{As : s ∈ 2<ω}, tal que para todo s ∈ 2<ω

(i) cl(As∗〈0〉), cl(As∗〈1〉) ⊆ As.

(ii) dtr(As) ≤ 2−lg(s). Por tanto, para todo σ ∈ C, limn∈ω dtr(Aσ|n) = 0.

(iii) As∗〈0〉 ∩ As∗〈1〉 = ∅.(iv) As abierto.

(v) ∀s (As 6= ∅).Definicion de la sucesion {As : s ∈ 2<ω}.(s = ∅): Sea A∅ cualquier abierto tal que dtr(A∅) ≤ 1. Por ejemplo, sea x ∈ X bastatomar A∅ = B(x, 1/2).


(s =⇒ s ∗ 〈0〉, s ∗ 〈1〉): Como X es perfecto, existen x0, x1 ∈ As tales que x0 6= x1. Sean

(–) r0 = d(Acs, x0), r1 = d(Ac

s, x1), [[puesto que Acs es cerrado, 0 < r0, r1]],

(–) 0 < r < min(2−(lg(s)+1), d(x0, x1)/2, r0, r1).

Definimos: As∗〈0〉 = B(x0, r) y As∗〈1〉 = B(x1, r). Estos conjuntos verifican las propie-dades deseadas. Por ejemplo, de r0, r1 < r se sigue (i).

Ahora definimos f : C −→ X continua e inyectiva. Sea σ ∈ C. Consideremos la familia{Aσ|n : n ∈ ω}. Puesto que

⋂n∈ω Aσ|n es unitario, definimos

f(σ) = x ⇐⇒ x ∈ ⋂n∈ω Aσ|n .

Por VI.2.9, f : C ⊂X. ¥

Teorema VI.3.4. Sea X un espacio Polaco perfecto. Entonces(a) |X| = 2ℵ0 .

(b) A es perfecto en X =⇒ |A| = 2ℵ0 .

Demostracion: ((a)): (2ℵ0 ≤ |X|): Por VI.3.3, C ⊂X. Por tanto, 2ℵ0 = |C| ≤ |X|.(|X| ≤ 2ℵ0): Puesto que X es separable, el resultado se sigue de VI.3.1.

((b)): En efecto,

A ∈ F(X) =⇒ A es un espacio Polaco [[VI.1.3]]=⇒ A es un espacio Polaco perfecto [[A es perfecto]]=⇒ |A| = 2ℵ0 [[(a)]].

Lo que prueba (b). ¥

Corolario VI.3.5. Sean X un espacio Polaco perfecto y D ⊆ X denso y numerable.Entonces(a) D ∈ Fσ(X).

(b) D /∈ Gδ(X).

Demostracion: ((a)): Sea D = {an : n ∈ ω}. Para todo n ∈ ω, {an} es cerrado. Portanto, D =

⋃n∈ω {an} ∈ Fσ(X).

((b)): Supongamos que D ∈ Gδ(X). Entonces por VI.1.7, D es un espacio Polaco.Ademas, se tiene que:

Aserto VI.3.5.1. D es un espacio perfecto.

Prueba del aserto: Sean x ∈ D y G ∈ G(X) tales que x ∈ G. Puesto que Xes perfecto, x no es aislado en X; por tanto, existe y ∈ X tal que y ∈ G y x 6= y.Sea G1 = G∩B(y, d(x, y)/2). Entonces y ∈ G1 y x /∈ G1. Puesto que D es denso,existe z ∈ D ∩G1. Por tanto, x 6= z y z ∈ G ∩D; luego, x no es aislado en D. 2

De VI.3.4 y el aserto se sigue que |D| = 2ℵ0 . Contradiccion, D es numerable. ¥

Corolario VI.3.6.


(a) Q /∈ Gδ(R).

(b) Q no es completamente metrizable.

Demostracion: La parte (a) se sigue de VI.3.5. (b) se sigue de (a) y VI.1.7. ¥

3.B El teorema de Cantor–Bendixson [[ZF∗ + ACω]]

Teorema VI.3.7. (ACω). Sea X un espacio Polaco no numerable. Entonces existenP,C ⊆ X unicos tales que(a) X = P ∪ C, P ∩ C = ∅.(b) P es perfecto en X. (Diremos que P es el nucleo perfecto de X).

(c) C ∈ G(X) y numerable.

Demostracion: Sea B = {Gn : n ∈ ω} una base de X. Sean

(–) C =⋃{G ∈ B : G es numerable}.

(–) P = X − C.

De la definicion se sigue (a). Ademas, C ∈ G(X), y por (AC)ω, es numerable. Portanto se verifica (c).

Probemos (b). Es evidente que P ∈ F(X). Ademas, puesto que X no es numerable yC es numerable, P 6= ∅. En consecuencia, es suficiente probar que P no tiene puntosaislados.

Aserto VI.3.7.1. Sea G ∈ G(X) numerable. Entonces G ⊆ C.

Prueba del aserto: Sea x ∈ G. Entonces existe Gn ∈ B tal que x ∈ Gn ⊆ G.Puesto que G es numerable, de Gn ⊆ G se sigue que Gn es numerable; por tanto,Gn ⊆ C. Luego, x ∈ C. 2

Aserto VI.3.7.2. P no tiene puntos aislados.

Prueba del aserto: Supongamos que existen x ∈ P y G ∈ G(X) tales queP ∩G = {x}. Entonces G−{x} ⊆ C; luego, G−{x} es numerable. Por tanto, Ges numerable. En consecuencia, por VI.3.7.1, G ⊆ C. Luego, x ∈ C. Por tanto,x ∈ P ∩ C. Lo cual esta en contradiccion con P ∩ C = ∅. 2

Una vez probada la existencia de P y C, veamos la unicidad. Sean P1 y C1 tales que

(–) X = P1 ∪ C1, P1 ∩ C1 = ∅.(–) P1 es perfecto en X.

(–) C1 ∈ G(X) y numerable.

Se tiene que

Aserto VI.3.7.3.

(i) C1 ⊆ C.


(ii) P1 ⊆ P .

Del aserto se sigue que C = C1 y P = P1. ¥

Teorema VI.3.8. (ACω). Sea X un espacio Polaco no numerable. Entonces(a) C ⊂X.

(b) |X| = 2ℵ0 .

Demostracion: Sean P y C como en VI.3.7.

((a)): Se sigue de:

P ∈ F(X) =⇒ P espacio Polaco [[VI.1.3]]=⇒ P espacio Polaco perfecto [[P perfecto]]=⇒ C ⊂P [[VI.3.3]]=⇒ C ⊂X.

((b)): Por (a), 2ℵ0 ≤ |X|. Por VI.3.1, |X| ≤ 2ℵ0 . ¥

Teorema VI.3.9. (ACω). Sean X un espacio Polaco y A ⊆ X no numerable.(a) A ∈ Gδ(X) =⇒ |A| = 2ℵ0 .

(b) A ∈ Fσ(X) =⇒ |A| = 2ℵ0 .

Demostracion: ((a)): Si A ∈ Gδ(X), entonces, por VI.1.7, A es un espacio Polaco.Por tanto, el resultado se sigue de VI.3.8.

((b)): Sea {Fn : n ∈ ω} ⊆ F(X) tal que A =⋃

Fn. Puesto que A no es numerable,existe n ∈ ω tal que Fn no es numerable. Por VI.1.3, Fn es un espacio Polaco; luego,de (a) se sigue que |Fn| = 2ℵ0 . Por tanto, |A| = 2ℵ0 . ¥

Corolario VI.3.10. (ACω). Sean X un espacio Polaco y A ∈ Gδ(X) no numerable.Entonces existe F ∈ F(X) no numerable tal que F ⊆ A.

Demostracion: Por VI.1.7, A es un espacio Polaco. Por VI.3.8, existe f : C ⊂A.Entonces f : C ⊂X. Se tiene que:

(–) f(C) ∈ F(X). [[C es compacto]].

(–) f(C) es no numerable. [[f es inyectiva]].


Lema VI.3.11.(a) |G(C)| = 2ℵ0 . |F(C)| = 2ℵ0

(b) |{F ∈ F(C) : |F | = 2ℵ0}| = 2ℵ0 . |{G ∈ G(C) : |G| = 2ℵ0}| = 2ℵ0 .

Corolario VI.3.12. (ACω). Sea X un espacio Polaco no numerable. Entonces(a) |G(X)| = 2ℵ0 . |F(X)| = 2ℵ0 .

(b) |{F ∈ F(X) : |F | = 2ℵ0}| = 2ℵ0 . |{G ∈ G(X) : |G| = 2ℵ0}| = 2ℵ0 .


3.C La derivada de Cantor–Bendixson [[ZF∗]]

Lema VI.3.13. Sean X un espacio topologico segundo numerable y {Fα : α < β} unasucesion estrictamente decreciente de conjuntos cerrados. Entonces β es numerable.

Demostracion: Sea {Gn : n ∈ ω} una base de X. Sea H : β −→ P(ω) la aplicaciondefinida por

H(α) = {n ∈ ω : Gn ∩ Fα 6= ∅}.Puesto que Fα ∈ F(X), X − Fα =

⋃ {Gn : n ∈ H(α)}. Por tanto, H es inyectiva.Ademas, puesto que {Fα : α < β} es estrictamente decreciente

α < α′ =⇒ Fα′ ⊂ Fα =⇒ H(α) ⊂ H(α′).

En consecuencia {H(α) : α < β} es una sucesion estrictamente creciente de subcon-juntos de ω. Por tanto, β es numerable. ¥

Nota VI.3.14. Sean X un espacio topologico y A ⊆ X. Recordemos que a ∈ X esun punto de acumulacion de A si

∀G ∈ G(X) [a ∈ G =⇒ (G ∩ A)− {a} 6= ∅].El conjunto derivado de A, A′, se define como sigue

A′ = {x ∈ X : x punto de acumulacion de A}.Si A ∈ F(X), entonces A′ ∈ F(X) y A′ = {x ∈ A : x no aislado en A}.

Definicion VI.3.15. Sean X un espacio topologico y A ⊆ X. Por recursion sobreα ∈ Ord definimos Aα, la derivada de Cantor–Bendixson de A de orden α, como sigue:(a) A0 = A,

(b) Aα+1 = (Aα)′,(c) Aα =

⋂β<α Aβ.

Lema VI.3.16. Sean X un espacio topologico y A ∈ F(X). Entonces(a) A es perfecto ⇐⇒ A′ = A.

(b) ∀α ∈ Ord [Aα ∈ F(X)].

(c) Aα+1 ⊆ Aα.

(d) Aα+1 = Aα =⇒ ∀β ≥ α (Aβ = Aα).

(e) {Aα : α ∈ Ord} es una sucesion decreciente de conjuntos cerrados.

Demostracion: Se sigue de VI.3.14. ¥

Teorema VI.3.17. Sean X un espacio topologico segundo numerable y A ∈ F(X).Existe α < ω1 tal que

(a) ∀β ≥ α [Aα = Aβ].


(b) A− Aα es numerable.

Ademas, si A no es numerable, Aα es perfecto en X.

[[Si X es un espacio Polaco no numerable y Xα = Xα+1, entonces Xα es el nucleoperfecto de X]].

Demostracion: La parte (a) se sigue de VI.3.13 y VI.3.16. Veamos que se tiene(b). Puesto que A−Aα =

⋃β<α (Aβ−Aβ+1), es suficiente probar que

⋃β<α (Aβ−Aβ+1)

es numerable.

Sean {Gn : n ∈ ω} una base de X y

f :⋃

β<α (Aβ − Aβ+1) −→ α× ω

la funcion definida como sigue

f(x) = (β, k) ⇐⇒{

x ∈ Aβ − Aβ+1

k = (µn)[Gn ∩ Aβ = {x}].Aserto VI.3.17.1. f es inyectiva.

Prueba del aserto: Sean x, y ∈ ⋃β<α (Aβ−Aβ+1) tales que x 6= y. Supongamos

que f(x) = (β1, k1), f(y) = (β2, k2) y β1 = β2. Entonces

{x} = Gk1 ∩ Aβ1

y ∈ Gk2 ∩ Aβ1

}=⇒ k1 6= k2 [[x 6= y]].

Por tanto, f(x) 6= f(y). Lo que prueba el aserto. 2

Puesto que α < ω1, entonces α es numerable; luego, α × ω es numerable. Por tanto,del aserto se sigue que

⋃β<α (Aβ − Aβ+1) es numerable.

Ademas,

(1) Aα ∈ F(X), y

(2) Aα no tiene puntos aislados. [[Aα = Aα+1 = (Aα)′]].

Supongamos que A no es numerable. Entonces Aα 6= ∅; luego, de (1) y (2) se sigue queAα es perfecto. ¥

§4 Ejercicios

Ejercicio VI.4.1. Sea T ∈ PTr(A). Son equivalentes:(a) T es de ramificacion finita.

(b) [T ] es compacto en Aω.

Ejercicio VI.4.2. (VI.2.3-(a)). H : C ∼= C. Por tanto, C es perfecto.

Ejercicio VI.4.3. (VI.3.7.3).

116 4. Ejercicios

(i) C1 ⊆ C.

(ii) P1 ⊆ P .

Ejercicio VI.4.4. (VI.3.11).(a) |G(C)| = 2ℵ0 .

(b) |F(C)| = 2ℵ0

(c) |{F ∈ F(C) : |F | = 2ℵ0}| = 2ℵ0 .

(d) |{G ∈ G(C) : |G| = 2ℵ0}| = 2ℵ0 .

Ejercicio VI.4.5. (ACω, VI.3.12). Sea X un espacio Polaco no numerable. Enton-ces(a) |G(X)| = 2ℵ0 .

(b) |F(X)| = 2ℵ0 .

(c) |{F ∈ F(X) : |F | = 2ℵ0}| = 2ℵ0 .

(d) |{G ∈ G(X) : |G| = 2ℵ0}| = 2ℵ0 .

Ejercicio VI.4.6. Sea X un espacio metrico. Probar que si |X| < 2ℵ0 , entonces Xes 0–dimensional.

Ejercicio VI.4.7. Sea X un espacio Polaco no numerable.(a) Existen P, C ⊆ X unicos tales que

(a.1) X = P ∪ C, P ∩ C = ∅.(a.2) P es perfecto en X.

(a.3) C ∈ G(X) y numerable.

(b) C ⊂X. Por tanto, |X| = 2ℵ0 .

(c) Sea A ⊆ X no numerable.(c.1) A ∈ Gδ(X) =⇒ |A| = 2ℵ0 .

(c.2) A ∈ Fσ(X) =⇒ |A| = 2ℵ0 .

Ejercicio VI.4.8. (ACω). Sean X un espacio topologico segundo numerable, A ⊆ Xy

D = {x ∈ X : x punto de condensacion de A}.[[Donde x ∈ X es un punto de condensacion de A si para todo G ∈ G(X) tal que x ∈ G,A ∩G no es numerable]].

Entonces(a) D ⊆ cl(A).

(b) D ∈ F(X).

(c) A−D es numerable. Por tanto, si A no es numerable, A ∩D no es numerable.

(d) A ∩D no tiene puntos aislados.

Capıtulo VII

Conjuntos de Borel

§1 σ–Algebras

1.A Introduccion

Nota VII.1.1. Sea E ⊆ P(X). Notaremos:

(a) Ec = {X − A : A ∈ E}.(b) Es = {A1 ∪ . . . ∪ An : n ∈ ω, A1, . . . , An ∈ E}.(c) Ed = {A1 ∩ . . . ∩ An : n ∈ ω, A1, . . . , An ∈ E}.(d) Eσ = {⋃n∈ω An : {An : n ∈ ω} ⊆ E}.(e) Eδ = {⋂n∈ω An : {An : n ∈ ω} ⊆ E}.

Sean o1, . . . , ok algunas de las operaciones anteriores. Notaremos por:

(–) Eo1,...,ok=

⋃1≤j≤k Eoj

.

(–) [E ; o1, . . . , ok] a la menor coleccion de subconjuntos de X que contiene a E y escerrada bajo las operaciones o1, . . . , ok.

Definicion VII.1.2. Sean X un conjunto y A ⊆ P(X).(a) Diremos que A es un algebra sobre X si Ac,s ⊆ A; es decir,

(a.1) X ∈ A, y

(a.2) A,B ∈ A =⇒ Ac, A ∪B ∈ A.

(b) Diremos que A es una σ–algebra sobre X si Ac,σ ⊆ A; es decir,

(b.1) A es un algebra sobre X, y

(b.2) {An : n ∈ ω} ⊆ A =⇒ ⋃An ∈ A.

Lema VII.1.3. Sea A un algebra sobre X. Entonces

117

118 1. σ–Algebras

(a) A, B ∈ A =⇒ A ∩B ∈ A. Es decir, Ad ⊆ A.

(b) A, B ∈ A =⇒ A4B ∈ A.

(c) A1, . . . , An ∈ A =⇒ A1 ∪ . . . ∪ An, A1 ∩ . . . ∩ An ∈ A.

(d) Si A es una σ–algebra, entonces Aδ ⊆ A; es decir,

{An : n ∈ ω} ⊆ A =⇒ ⋂An ∈ A.

Lema VII.1.4.(a) C coleccion de σ–algebras sobre X =⇒ ⋂

C es una σ–algebra sobre X.

(b) Sea E ⊆ P(X). Existe una σ–algebra sobre X, σ(E) (que denominaremos σ–algebra generada por E), tal que

(b.1) E ⊆ σ(E).

(b.2) E ⊆ A ∧ A σ–algebra sobre X =⇒ σ(E) ⊆ A.

(c) Si E 6= ∅, σ(E) = [E ; σ, c].


((b)): En efecto, σ(E) =⋂{A : A σ–algebra tal que E ⊆ A}.

Damos a continuacion una descripcion mas explıcita de σ(E).

Por recursion sobre α ∈ Ord definimos {Eα : α ∈ Ord}.(–) E0 = E ∪ {X};(–) Eα+1 = (Eα)σ,c = (Eα)σ ∪ (Eα)c;

(–) Eα =⋃

β<α Eβ, α lımite.

Observemos que ∀α [Eα ⊆ σ(E)]. Es evidente que σ(E) =⋃

α∈Ord Eα. Se tiene que:

Aserto VII.1.4.1. ∃α [Eα = Eα+1]. 2

Sea α como en el aserto. Entonces Eα es una σ–algebra. Por tanto, σ(E) = Eα.

Usando el Axioma de Eleccion se tiene la siguiente forma de VII.1.4.1

Aserto VII.1.4.2. (ACω) ∃α ≤ ω1 [Eα = Eα+1]. 2

((c)): Trivial. ¥

Comentarios VII.1.5. Sea X un espacio topologico.(a) Conjuntos de Borel, B(X). B(X) = σ(G(X)).

(b) Conjuntos con la propiedad de Baire, BP(X). BP(X) = σ(G(X) ∪MG(X)).

Diremos que A ⊆ X es nunca denso en X, A ∈ ND(X), si int(cl(A)) = ∅.La coleccion de los conjuntos de primera categorıa se define por: MG(X) =(ND(X))σ.

(c) Conjuntos medibles, MEµ(X). MEµ(X) = σ(G(X) ∪ Nµ(X)).

Sea µ una medida de Borel sobre X. Diremos que A ⊆ X es de medida nula,A ∈ Nµ(X), si existe B ∈ B(X) tal que A ⊆ B y µ(B) = 0.

Capıtulo VII. Conjuntos de Borel 119

Lema VII.1.6. Sean Y ⊆ X y A una σ–algebra sobre X. Entonces

A|Y = {A ∩ Y : A ∈ A}es una σ–algebra sobre Y , que denominaremos restriccion de A a Y .

1.B Cardinal de σ–algebras

Definicion VII.1.7. Sea A una σ–algebra sobre X. Diremos que A es 2–numerablesi existe E ⊆ P(X) numerable tal que A = σ(E).

Teorema VII.1.8. (AC). Si A es una σ–algebra 2–numerable e infinita, card(A) =2ℵ0 .

Demostracion: (card(A) ≤ 2ℵ0): Sea E numerable tal que A = σ(E). Por VII.1.4,σ(E) =

⋃α<ω1

Eα. Por tanto,

|A| = |σ(E)| = |⋃α<ω1Eα| ≤

∑α<ω1

|Eα|.Se tiene que

Aserto VII.1.8.1. Para todo α < ω1, |Eα| ≤ 2ℵ0 .

Prueba del aserto: Por induccion sobre α < ω1.

(α = 0): Entonces |E0| = |E| = ℵ0 ≤ 2ℵ0 .

(α =⇒ α + 1): Recordemos que Eα+1 = (Eα)c ∪ (Eα)σ. Ademas, (en cada caso laultima desigualdad se tiene por hipotesis de induccion)

|(Eα)c| = |Eα| ≤ 2ℵ0 .

|(Eα)σ| ≤ |Eα|ℵ0 ≤ (2ℵ0)ℵ0 = 2ℵ0 .

Luego,

|Eα+1| = |(Eα)c ∪ (Eα)σ| ≤ |(Eα)c|+ |(Eα)α| ≤ 2ℵ0 + 2ℵ0 = 2ℵ0 .

(α lımite): Entonces Eα =⋃

β<α Eβ. Por tanto,

|Eα| = |⋃β<α Eβ| ≤∑

β<α |Eβ| ≤∑

β<α 2ℵ0 = 2ℵ0 .

Donde: la ultima desigualdad se tiene por hipotesis de induccion y la ultimaigualdad se sigue de que α es numerable. 2

Del aserto se sigue que

|A| ≤ ∑α<ω1

|Eα| ≤∑

α<ω12ℵ0 = 2ℵ0 .

La ultima igualdad se sigue de ℵ1 ≤ 2ℵ0 . Lo que prueba el resultado.

(2ℵ0 ≤ card(A)): Sea D ⊆ A, ∅ /∈ D. Diremos que D es una particion de A si

(–)⋃D = X.

(–) A,B ∈ D =⇒ A ∩B = ∅.

120 1. σ–Algebras

Se tiene que:

Aserto VII.1.8.2. Si existe una particion deA infinita, entonces 2ℵ0 ≤ card(A).

Prueba del aserto: Sea D una particion de A infinita. Sea {An : n ∈ ω} ⊆ D.Definimos F : 2ω −→ A: para cada σ : ω −→ 2 sea (donde A0 = ∅, A1 = A)

F (σ) =⋃

n∈ω Aσ(n)n .

Puesto que {An : n ∈ ω} es disjunta, entonces F es inyectiva. En consecuencia,2ℵ0 ≤ card(A). 2

Sean D y D′ particiones de A. Definimos

(–) D tD′ = {A ∩B : A ∈ D, B ∈ D′, A ∩B 6= ∅}.Se tiene que

(–) D tD′ es una particion de A.

(–) card(D), card(D′) ≤ card(D tD′).(–) A ∈ D ∧ B ∈ D t D′ ∧ A ∩B 6= ∅ =⇒ B ⊆ A.

Se tiene que

Aserto VII.1.8.3. Si para todo n ∈ ω existe una particion de A, Dn, tal quen ≤ card(Dn), entonces existe una particion de A infinita.

Prueba del aserto: Para cada n ∈ ω sea Dn una particion de A tal que n ≤card(Dn). Por recursion sobre n ∈ ω definimos D′

n como sigue

(–) D′0 = D0,

(–) D′n+1 = D′

n t Dn+1.

Definimos D∗ como sigue:

A ∈ D∗ ⇐⇒ Existe {An : n ∈ ω} tal que

{ ∀n (An ∈ D′n)

A =⋂

n∈ω An 6= ∅.Sea m ∈ ω. Se tiene que:

(1) m ≤ card(D∗).Prueba: Sean B1, . . . , Bm ∈ D′

m y x1 ∈ B1, . . . , xm ∈ Bm. Para cada i,1 ≤ i ≤ m, definimos {Ai,n : n ∈ ω} y Ci.

Ai,n = B ⇐⇒ xi ∈ B ∈ D′n.

Ci =⋂

n∈ω Ai,n.

Es evidente para cada i, Ci ∈ D∗ y Ci 6= Cj para i 6= j. En consecuencia,m ≤ card(D∗).

De (1) se sigue que D∗ es infinito. Sea {Bn : n ∈ ω} ⊆ D∗. Definimos

D = {Bn : n ∈ ω} ∪ {(⋃n∈ω Bn)c}.Es evidente que D es una particion infinita de A. 2

Aserto VII.1.8.4. Para todo n ∈ ω existe una particion D de A tal que n ≤card(D).


Prueba del aserto: Por induccion sobre n ∈ ω.

(n = 1): Trivial. D = {X} es una particion de A de cardinal 1.

(n =⇒ n + 1): Sea D una particion de A tal que n = card(D). Puesto quecard(σ(D)) = 2n, σ(D) ⊆ A y A es infinita, existe A ∈ A tal que A /∈ σ(D).Entonces D′ = D t {A,Ac} es una particion de A y n + 1 ≤ card(D′). 2

De los asertos se sigue que 2ℵ0 ≤ card(A). ¥

1.C Funciones medibles y productos de σ–algebras

Definicion VII.1.9.(a) Un espacio medible es un par (X,A) donde A es una σ–algebra sobre X.

(b) Sean (X,A) y (Y,B) espacios medibles y f : X −→ Y . Diremos que:

(b.1) f es medible si para todo B ∈ B, f−1(B) ∈ A.

(b.2) f es un isomorfismo si f es una biyeccion y f y f−1 son medibles.

(b.3) f es una inmersion si f es un isomorfismo entre X y f(X).

(b.4) f es bimedible si es medible y para todo A ∈ A, f(A) ∈ B.

Lema VII.1.10. Sean (X,A), (Y,B) espacios medibles, E ⊆ P(Y ) tal que σ(E) = By f : X −→ Y . Son equivalentes(a) f es medible.

(b) ∀B ∈ E [f−1(B) ∈ A].

Demostracion: ((a) =⇒ (b)): Trivial.

((b) =⇒ (a)): Sea Af−1= {B ⊆ Y : f−1(B) ∈ A}. Se tiene que:

Aserto VII.1.10.1. Af−1es una σ–algebra.

Por (b), E ⊆ f−1(A). Por tanto, del aserto se sigue que B ⊆ f−1(A). Por tanto, f esmedible. ¥

Proposicion VII.1.11. (Schroder-Berstein-Cantor). Sean (X,A), (Y,B) espaciosmedibles y f : X −→ Y , g : Y −→ X funciones inyectivas y bimedibles. Entonces(X,A) e (Y,B) son isomorfos.

Definicion VII.1.12. Sean (X,A) e (Y,B) espacios medibles. Definimos

A⊗ B = σ({A× Y : A ∈ A} ∪ {X ×B : B ∈ B}).

Lema VII.1.13. Sean (X,A) e (Y,B) espacios medibles.(a) Si C ∈ A⊗ B y x ∈ X, entonces C|x = {y ∈ Y : (x, y) ∈ C} ∈ B.

(b) Si A ∈ A y B ∈ B, entonces A×B ∈ A⊗ B.

122 2. Conjuntos de Borel, B(X)

Nota VII.1.14. Sea (X,A) un espacio medible.(a) Sea {An : n ∈ ω} ⊆ A. Definimos A = {(n, x) : x ∈ An}. Se tiene que

(a.1) x ∈ ⋃n∈ω An ⇐⇒ ∃n (n, x) ∈ A.

(a.2) A ∈ P(ω)⊗A.

(b) Sea C ∈ P(ω)⊗A. Definimos ∃0C, ∀0C ⊆ X como sigue:

x ∈ ∃0C ⇐⇒ ∃n (n, x) ∈ C.

x ∈ ∀0C ⇐⇒ ∀n (n, x) ∈ C.

Se tiene que: ∃0C, ∀0C ∈ A.

Definicion VII.1.15. Sea A una σ–algebra sobre X. Diremos que A es separada sipara cualesquiera x, y ∈ X, con x 6= y, existe A ∈ A tal que x ∈ A e y /∈ A.

Lema VII.1.16. Sean (X,A) un espacio medible y (Y,B) un espacio de medida 2–numerable y separado. Si f : X −→ Y es medible, entonces Gr(f) es medible (enA⊗ B).

Demostracion: Sea E = {Bn : n ∈ ω} tal que σ(E) = B. Puesto que B es separada,entonces para cualesquiera y1, y2 ∈ Y

y1 6= y2 ⇐⇒ ∃n (y1 ∈ Bn ∧ y2 /∈ Bn).

Por tanto, para todo x ∈ X, y ∈ Y

(1) f(x) 6= y ⇐⇒ ∃n [f(x) ∈ Bn ∧ y /∈ Bn].

Sean x ∈ X, y ∈ Y . Entonces

(x, y) /∈ Gr(f) ⇐⇒ f(x) 6= y

⇐⇒ ∃n [f(x) ∈ Bn ∧ y /∈ Bn] [[(1)]]

⇐⇒ ∃n [x ∈ f−1(Bn) ∧ y /∈ Bn]

⇐⇒ (x, y) ∈ ⋃n∈ω (f−1(Bn)×Bc

n).

Por tanto, Gr(f) = (⋃

n∈ω (f−1(Bn)×Bcn))c. Para todo n ∈ ω, f−1(Bn)×Bc

n ∈ A⊗B,en consecuencia, de lo anterior se sigue que Gr(f) es medible. ¥

§2 Conjuntos de Borel, B(X)

2.A Introduccion

Definicion VII.2.1. Sea X un espacio topologico. Diremos que A ⊆ X es de Borelsi A ∈ σ(G(X)). Notaremos por B(X) a la coleccion de los conjuntos de Borel sobreX. Si deseamos resaltar la topologıa, entonces escribiremos B(X,O) o B(O).


Nota VII.2.2. Sea X un espacio topologico.(a) Si E es una base numerable de X, entonces B(X) = σ(E).

(b) Si X es segundo numerable, entonces B(X) es 2–numerable.

(c) Sea Y ⊆ X. Entonces B(Y ) = B(X)|Y .

(d) G(X) ⊆ B(X), F(X) ⊆ B(X), Gδ(X) ⊆ B(X), Fσ(X) ⊆ B(X).

(e) B(X) ⊆ BP(X). [[VII.1.5]].

(f) Si X es un espacio Polaco numerable, entonces B(X) = P(X). En consecuencia,en lo que sigue supondremos que X es un espacio Polaco no numerable.

Nota VII.2.3. (La jerarquıa de Borel). Sea X un espacio metrico. Por recursionsobre α, 1 ≤ α < ω1, definimos las colecciones Σ0

α(X), Π0α(X) y ∆0

α(X).

(a) α = 1:

(a.1) Σ01(X) = {A ⊆ X : A abierto} = G(X).

(a.2) Π01(X) = {A ⊆ X : A cerrado} = {Ac : A ∈ Σ0

1(X)} = (Σ01(X))c = F(X).

(b) 1 < α:

(b.1) Σ0α(X) = (

⋃β<α Π0

β(X))σ.

(b.2) Π0α(X) = (

⋃β<α Σ0

β(X))δ.

(c) ∆0α(X) = Σα(X) ∩Π0

α(X).

Observemos que: ∆01(X) = {A ⊆ X : A abierto–cerrado} = GF(X), Σ0

2(X) = Fσ(X)y Π0

2(X) = Gδ(X).

Lema VII.2.4. (AC). Si X es un espacio metrico separable, card(B(X)) = 2ℵ0 .

Demostracion: Por VII.2.2-(b), B(X) es 2-numerable. Por tanto, el resultado sesigue de VII.1.8. ¥

Lema VII.2.5. B(X) = [G(X)∪F(X); σ′, δ]; es decir, la coleccion de los conjuntos deBorel de X, B(X), es la menor coleccion de subconjuntos de X que contiene a G(X)∪F(X) y es cerrada bajo uniones numerables disjuntas e intersecciones numerables.

Definicion VII.2.6. Sean X e Y espacios topologicos y f : X −→ Y . Diremos quef es de Borel, f ∈ FB(X, Y ), si para todo B ∈ B(Y ), f−1(B) ∈ B(X).

Lema VII.2.7. Sean X e Y espacios topologicos y f : X −→ Y .(a) Si para todo G ∈ G(Y ), f−1(G) ∈ B(X), entonces f es de Borel.

(b) Si E es una base numerable de Y y para todo B ∈ E , f−1(B) ∈ B(X), entoncesf es de Borel.

(c) Si f es continua, entonces f es de Borel.

124 2. Conjuntos de Borel, B(X)

Proposicion VII.2.8. Sean X, Y espacios metricos y f : X −→ Y .(a) Si f es continua, entonces Gr(f) = {(x, y) ∈ X × Y : f(x) = y} ∈ F(X × Y ).

(b) Si Y es separable y f es de Borel, entonces Gr(f) ∈ B(X × Y ).

Proposicion VII.2.9. Sea (X,A) un espacio de medida. Son equivalentes

(a) (X,A) es 2–numerable y separable.

(b) Existe Y espacio metrico separable tal que (X,A) ∼= (Y,B(Y )).

(c) Existe Y ⊆ C tal que (X,A) ∼= (Y,B(Y )).

2.B Espacios Borel isomorfos

Nota VII.2.10. Sea (X, d) un espacio metrico numerable, card(X) ≤ ω. EntoncesB(X) = P(X). De aquı se sigue que

Aserto VII.2.10.1. Sean (X, d) y (Y, d′) espacios metricos numerables. Sonequivalentes

(i) X e Y son Borel isomorfos.

(ii) card(X) = card(Y ).

Proposicion VII.2.11. I (= [0, 1]) y C (= 2ω el espacio de Cantor) son Borel iso-morfos.

Demostracion: Sea

E = {σ ∈ C : ∃n ∃k > 0∀m > n [σ(m) = σ(m + k)]}.Es evidente que E es numerable. Sea f : C − E −→ I la aplicacion definida por

f(σ) = Σn∈ω σ(n)/2n+1.

Es evidente que f es un homeomorfismo de C − E en f(C − E). Por tanto,

(–) f es un isomorfismo de Borel de C − E en f(C − E).

Ademas, D = I − f(C − E) es numerable. Sea g : E −→ D una aplicacion biyectiva.Por VII.2.10.1, g es un isomorfismo de Borel de E en D. Sea h : C −→ I definida por

(–) h(σ) =

{f(σ), si σ /∈ Eg(σ), si σ ∈ E

Entonces h es un isomorfismo de Borel de C en I. ¥

Proposicion VII.2.12. Sea X un espacio Polaco. Entonces X ⊂H.

Demostracion: Sea d una metrica sobre X tal que d < 1. Sea {an : n ∈ ω} unsubconjunto denso de X. Sea f : X −→ Iω la aplicacion definida por: Para cada


x ∈ X, f(x) : ω −→ I,f(x)(n) = d(x, an).

Es evidente que f es inyectiva y continua. Ademas, f−1 : f(X) −→ X es continua. Portanto, f : X ⊂H. ¥

Lema VII.2.13. Sea X un espacio Polaco. Existe B ∈ B(C) tal que X y B son Borelisomorfos.

Demostracion: Por VII.2.12, existe una inmersion g : X −→ H (H = Iω cubode Hilbert). Por VII.2.11, I y C son Borel isomorfos. Por tanto, H y Cω son Borelisomorfos. Ahora bien, C y Cω son homeomorfos. Por tanto, existe un isomorfismo deBorel h : H −→ C. Por tanto, X y h(g(X)) son Borel isomorfos. Puesto que h(g(X)) ∈B(C), de lo anterior se sigue el lema. ¥

Lema VII.2.14. Sea X un espacio Polaco no numerable. Entonces X y C son Borelisomorfos.

Demostracion: De VII.2.13 se sigue que existen Z ∈ B(C) y f : X −→ Z es unisomorfismo de Borel. Por tanto, [[Z ∈ B(C)]]

(1) f : X −→ C es inyectiva y bimedible.

Puesto que X no es numerable, por IX.1.6-(b) existe g : C ⊂X. Por tanto,

(2) g : C −→ X es inyectiva y bimedible.

De (1), (2) y VII.1.11 se sigue que X y C son Borel isomorfos. ¥

Teorema VII.2.15. Sean X1 y X2 espacios Polacos no numerables. Entonces X1 yX2 son Borel isomorfos.

Demostracion: Se sigue de VII.2.14. ¥

Teorema VII.2.16. Sean X1 y X2 espacios Polacos. Si |X1| = |X2|, entonces X1 yX2 son Borel isomorfos.

Demostracion: Consideremos los siguientes casos.

Caso 1: X1 es numerable. Trivial, B(X1) = P(X1).

Caso 2: X1 no es numerable. El resultado se sigue de VII.2.15. ¥

§3 Conjuntos de Borel y CH

Lema VII.3.1. Sean (X,O) un espacio Polaco y F ∈ F(X,O). Sea OF la topologıagenerada por G(X) ∪ {F}. Entonces

126 3. Conjuntos de Borel y CH

(a) F es abierto–cerrado en OF .

(b) B(X,O) = B(X,OF ).

(c) OF es Polaca.

Demostracion: Las propiedades (a) y (b) son triviales. Por VI.1.7, se tiene que(F,O|F ) y (F c,O|F c) son espacios Polacos. Ademas,

(–) (X,OF ) ∼= (F,O)⊕ (F c,O).

Por tanto, (c) se sigue de VI.1.2-(b). ¥

Lema VII.3.2. (ACω). Sea (X,O) un espacio Polaco. Sea {On : n ∈ ω} una sucesionde topologıas Polacas sobre X tales que para todo n ∈ ω, O ⊆ On. Sea Oω la topologıasobre X generada por

⋃On. Entonces(a) Oω es Polaca.

(b) Si para todo n ∈ ω, On ⊆ B(X,O), entonces B(X,Oω) = B(X,O).

Demostracion: ((a)): Sea f : X −→ Xω la funcion

(–) f(x) = (x, x, . . .)

Se tiene que

Aserto VII.3.2.1. f es una inmersion de (X,Oω) en Πn∈ω (X,On).

Aserto VII.3.2.2. f(X) es cerrado en Πn∈ω (X,On).

De VII.3.2.2 y VI.1.3 se sigue que f(X) es Polaco. Por tanto, de VII.3.2.1 se sigueque (X,Oω) es Polaco.

((b)): Para cada n ∈ ω sea Bn = {Gn,i : i ∈ ω} una base de On. Sea Bω =⋃Bn.

Entonces

Aserto VII.3.2.3. Bω es una subbase de Oω.

Puesto que para todo n ∈ ω, On ⊆ B(X,O), del aserto se sigue que Oω ⊆ B(X,O). ¥

Teorema VII.3.3. (ACω). Sean (X,O) un espacio Polaco y A ∈ B(O). Existe unatopologıa OA sobre X tal que(a) O ⊆ OA

(b) A es abierto–cerrado en OA.

(c) OA es Polaca.

(d) B(X,O) = B(X,OA).

Demostracion: Sea A ⊆ P(X) la coleccion definida por

B ∈ A ⇐⇒ ∃O′

O ⊆ O′

B(X,O) = B(X,O′)O′ topologıa Polaca sobre XB abierto-cerrado en O′.


Se tiene que

Aserto VII.3.3.1. O ⊆ A.

Prueba del aserto: Sea G ∈ O. Entonces Gc es cerrado. De VII.3.1, usandoOGc , se tiene que G ∈ A. 2

Aserto VII.3.3.2. A es una σ–algebra.

Prueba del aserto: (B ∈ A =⇒ Bc ∈ A): Trivial.

({Bn : n ∈ ω} ⊆ A =⇒ ⋃Bn ∈ A): Para cada n ∈ ω sea On una topologıa

Polaca sobre X tal que O ⊆ On ⊆ B(X,O) y Bn es abierto–cerrado en On. SeaOω la topologıa generada por

⋃On, ver VII.3.2. Sea B =⋃

Bn. Puesto que Bes abierto en Oω, por VII.3.1, (Oω)Bc es una topologıa Polaca tal que

(–) O ⊆ Oω ⊆ (Oω)Bc ⊆ B(X,Oω) = B(X,O).

Ademas, B es abierto–cerrado en (Oω)Bc . Por tanto, B ∈ A. 2

De VII.3.3.1 y VII.3.3.2 se sigue que B(X,O) ⊆ A. Puesto que A ∈ B(X,O), A ∈ A.Lo que prueba el teorema. ¥

Teorema VII.3.4. (ACω). (Propiedad de conjuntos perfectos para conjuntosde Borel). Sean X un espacio Polaco y A ∈ B(X) no numerable. Entonces(a) Existe una inmersion de C en A.

(b) |A| = 2ℵ0 .

Demostracion: ((a)): Sea OA como en VII.3.3: Es decir,

(–) O ⊆ OA ⊆ B(X,O) = B(X,OA),

(–) OA es Polaca, y

(–) A es abierto-cerrado en OA.

Por VI.1.7, (A,OA|A) es un espacio Polaco. Puesto que A no es numerable, de VI.3.8

se sigue que existe f tal que

(–) f : C ⊂ (A,OA|A).

Puesto que O ⊆ OA, entonces f : C −→ (A,O) es continua. Puesto que C es compactoy f es inyectiva de IX.1.3-(b) se sigue que f : C ⊂ (A,O).

((b)): Puesto que A no es numerable y (A,OA|A) es un espacio Polaco, de VI.3.8-(b)

se sigue que |A| = 2ℵ0 . ¥

Corolario VII.3.5. Sean X un espacio Polaco y A ∈ B(X) no numerable. Entoncesexiste F ∈ F(X) no numerable tal que F ⊆ A.

Demostracion: De la prueba de VII.3.4 se sigue que existe f : C ⊂X tal quef(C) ⊆ A. Por IX.1.3-(a), f(C) ∈ F(X). ¥

Teorema VII.3.6. Sean X un espacio Polaco y A ∈ B(X) no vacıo.

128 4. Ejercicios

(a) Existen F ∈ F(N ) y f : F −→ A continua y biyectiva.

(b) Existe f : N −→ A continua y suprayectiva.

Demostracion: ((a)): Por VII.3.3 existe una topologıa Polaco sobre X, OA, tal queO ⊆ OA, A es abierto–cerrado en OA y B(X,O) = B(X;OA). Por tanto, (A,OA

|A) es

un espacio Polaco. Por IX.1.10-(a) existen F ∈ F(N ) y f : F −→ (A,OA|A) continua

y biyectiva. Por tanto, f es continua en (A,O|A).

((b)): Sean F ∈ F(N ) y f : F −→ A continua y biyectiva. Sea h : N −→ F continuatal que para todo σ ∈ F , h(σ) = σ, ver IX.1.9. Entonces g = f ◦ h : N −→ A escontinua y suprayectiva. ¥

Corolario VII.3.7. Sea X un espacio Polaco y A ∈ B(X) no vacıo. Sea Y un espacioPolaco no numerable. Existe g : Y −→ X de Borel tal que g(Y ) = A.

Demostracion: Por VII.2.15, existe un isomorfismo de Borel h : Y −→ N . PorVII.3.6-(b) existe f : N −→ X continua tal que f(N ) = A. Sea g : Y −→ X laaplicacion, g = f ◦ h. Es evidente que g es de Borel. Ademas, g(Y ) = f(h(Y )) =f(N ) = A. ¥

§4 Ejercicios

Ejercicio VII.4.1. (VII.1.3). Sea A un algebra sobre X. Entonces(a) A, B ∈ A =⇒ A ∩B ∈ A. Es decir, Ad ⊆ A.

(b) A, B ∈ A =⇒ A4B ∈ A.

(c) A1, . . . , An ∈ A =⇒ A1 ∪ . . . ∪ An, A1 ∩ . . . ∩ An ∈ A.

(d) Si A es una σ–algebra, entonces Aδ ⊆ A.

Ejercicio VII.4.2.(a) (VII.1.4.1) ∃α [Eα = Eα+1].

(b) (VII.1.4.2) (ACω) ∃α < ω1 [Eα = Eα+1].

Ejercicio VII.4.3. (ACω). Sean E ⊆ P(X) y C ∈ σ(E). Existe E ′ ⊆ E numerabletal que C ∈ σ(E ′).

Ejercicio VII.4.4. Sean E ⊆ P(X) y x, y ∈ X tales que

∀A ∈ E [x ∈ A ⇐⇒ y ∈ A]

Entonces para todo A ∈ σ(E),

x ∈ A ⇐⇒ y ∈ A.


Ejercicio VII.4.5. Sean E = {An : n ∈ ω} ⊆ P(X) y A = σ(E).

(–) Para cada x ∈ X sea

Ex =⋂

n∈ω A(jn,x)n .

Donde, jn,x =

{1, si x ∈ An;0, si, x /∈ An.

A(j) =

{A, si j = 1;Ac, si j = 0.

(–) Sea GE : X −→ C la funcion definida por:

GE(x)(n) = σAn(x) =

{1, si x ∈ An;0, si x /∈ An.

(a) Sean x, y ∈ X. Probar que:

(i) x ∈ Ex.

(ii) y ∈ Ex =⇒ ∀n ∈ ω [x ∈ An ⇐⇒ y ∈ An].

(iii) Ex = Ey ⇐⇒ GE(x) = GE(y).

(iv) Ey ⊆ Ex =⇒ Ex = Ey.

(b) Probar que ∀B ∈ A ∀x ∈ B [Ex ⊆ B].

Ejercicio VII.4.6. (ACω). SeaA una σ–algebra. Se tiene uno de los siguientes casos:(a) A es finita, (en este caso existe n ∈ ω tal que |A| = 2n), o

(b) 2ℵ0 ≤ |A|.

Ejercicio VII.4.7. (VII.1.10.1). Af−1es una σ–algebra.

Ejercicio VII.4.8. (Schroder-Bernstein-Cantor, VII.1.11). Sean (X,A) y (Y,B)espacios medibles y f : X −→ Y , g : Y −→ X funciones inyectivas y bimedibles. En-tonces (X,A) e (Y,B) son isomorfos.

Ejercicio VII.4.9. Sean (X,A), (Y,B) espacios de medida, E ⊆ P(Y ) tal que B =σ(E) y f : X −→ Y tal que para todo B ∈ E , f−1(B) ∈ A. Probar que

{f−1(B) : B ∈ B} = σ({f−1(B) : B ∈ E}.Deducir de lo anterior que f es medible. Esto es una prueba alternativa de VII.1.10.

Ejercicio VII.4.10. (VII.1.13). Sean (X,A) e (Y,B) espacios medibles.(a) Si C ∈ A⊗ B y x ∈ X, entonces C|x = {y ∈ Y : (x, y) ∈ C} ∈ B.

(b) Si A ∈ A y B ∈ B, entonces A×B ∈ A⊗ B.

Ejercicio VII.4.11. (VII.2.5). B(X) = [G(X) ∪ F(X); σ′, δ].

Ejercicio VII.4.12. (VII.2.7). Sean X e Y espacios topologicos y f : X −→ Y .

130 4. Ejercicios

(a) Si para todo G ∈ G(Y ), f−1(G) ∈ B(X), entonces f es de Borel.

(b) Si E es una base numerable de Y y para todo B ∈ E , f−1(B) ∈ B(X), entoncesf es de Borel.

(c) Si f es continua, entonces f es de Borel.

Ejercicio VII.4.13. (VII.2.8). Sean X, Y espacios metricos y f : X −→ Y .(a) Si f es continua, entonces Gr(f) = {(x, y) ∈ X × Y : f(x) = y} ∈ F(X × Y ).

(b) Si Y es separable y f es de Borel, entonces Gr(f) ∈ B(X × Y ).

Ejercicio VII.4.14. (VII.2.9). Sea (X,A) un espacio de medida. Son equivalentes(a) (X,A) es 2–numerable y separable.

(b) Existe Y espacio metrico separable tal que (X,A) ∼= (Y,B(Y )).

(c) Existe Y ⊆ C tal que (X,A) ∼= (Y,B(Y )).

Ejercicio VII.4.15.(a) (VII.3.2.1) f es una inmersion de (X,Oω) en Πn∈ω (X,On).

(b) (VII.3.2.2) f(X) es cerrado en Πn∈ω (X,On).

(c) (VII.3.2.3) Bω es una subbase de Oω.

Capıtulo VIII

Medida y Categoricidad

§1 Ideales

Definicion VIII.1.1. Sean X un conjunto no vacıo y I ⊆ P(X), I 6= ∅.(a) Diremos que I es un ideal sobre X si

(a.1) X /∈ I.

(a.2) A ∈ I ∧B ⊆ A =⇒ B ∈ I. [[I⊇ ⊆ I]].

(a.3) A,B ∈ I =⇒ A ∪B ∈ I. [[Is ⊆ I]].

(b) Diremos que I es un ideal κ–completo si, ademas, para todo G ⊆ Icard(G) < κ =⇒ ⋃G ∈ I.

[[Por tanto, todo ideal es ω–completo]].

(c) Diremos, como es usual, que I es un σ–ideal si es ω1–completo.

Los elementos de un ideal sobre un conjunto X se consideran como los subconjuntosde X infinitamente pequenos.

Definicion VIII.1.2.(a) A4B = (A−B) ∪ (B − A) = (A ∪B)− (A ∩B).

(b) Sea I un ideal sobre X. Sobre P(X) definimos la siguiente relacion

A =I B ⇐⇒ A4B ∈ I.

Nota VIII.1.3.(a) (A1 −B1)4 (A2 −B2) ⊆ (A14A2) ∪ (B14B2).

(b) A ∪B = X − [(X − A)−B].

(c) A ∩B = X − [(X − A) ∪ (X −B)].

(d) (⋃

β<α Aβ)4 (⋃

β<α Bβ) ⊆ ⋃β<α (Aβ 4Bβ).

131

132 1. Ideales

Lema VIII.1.4. (L–IV.4.9). Sea I un ideal sobre X.(a) =I es una relacion de equivalencia sobre P(X).

(b) A1 =I A2 ∧B1 =I B2 =⇒

A1 −B1 =I A2 −B2

A1 ∪B1 =I A2 ∪B2

A1 ∩B1 =I A2 ∩B2.

(c) Supongamos que I es κ–completo. Sean α < κ y {Aβ : β < α}, {Bβ : β < α}familias de subconjuntos de X.

∀β < α (Aβ =I Bβ) =⇒ ⋃β<α Aβ =I

⋃β<α Bβ,

⋂β<α Aβ =I

⋂β<α Bβ.

1.A Conjuntos de Primera Categorıa

Lema VIII.1.5. Sea X un espacio topologico, X 6= ∅. Entonces ND(X) es un idealsobre X.

Demostracion: (X /∈ ND(X)): Puesto que int(cl(X)) = X, X /∈ ND(X).

(B ⊆ A ∧ A ∈ ND(X) =⇒ B ∈ ND(X)): Trivial.

(A,B ∈ ND(X) =⇒ A ∪ B ∈ ND(X)): Sea U abierto tal que U 6= ∅. Por IX.2.3,existen G1 ⊆ U abierto no vacıo tal que G1 ∩ A = ∅ y G2 ⊆ G1 abierto no vacıo talque G2 ∩B = ∅.Entonces G2 ⊆ U y G2 ∩ (A ∪B) = ∅. Luego, por IX.2.3, A ∪B es nunca denso. ¥

Definicion VIII.1.6. Sean X un espacio topologico y A ⊆ X. Diremos que A es deprimera categorıa, A ∈ MG(X), si es la union de una familia numerable de conjuntosnunca densos.

Lema VIII.1.7. Sea X un espacio Polaco. Entonces X /∈MG(X).

Demostracion: Se sigue de IX.2.16. ¥

Lema VIII.1.8. ((AC)ω). Sea X un espacio topologico tal que X /∈MG(X). Enton-ces MG(X) es un σ–ideal sobre X.

Lema VIII.1.9. Sea X un espacio topologico. Si A ∈ MG(X), entonces existe B ∈Fσ(X) ∩MG(X) tal que A ⊆ B.

Demostracion: Sea {An : n ∈ ω} ⊆ ND(X) tal que A =⋃

An. De IX.2.2 se sigueque para todo n ∈ ω, cl(An) ∈ ND(X). Sea B =

⋃n∈ω cl(An). Es evidente que B

satisface las propiedades deseadas. ¥

Capıtulo VIII. Medida y Categoricidad 133

1.B Conjuntos medibles

Definicion VIII.1.10. Un espacio de medida es un triple (X,A, µ) donde:

(a) A es una σ–algebra sobre X, y

(b) µ es una medida sobre A; es decir,(b.1) µ(X) 6= 0 y µ(∅) = 0.

(b.2) Para toda sucesion {An : n ∈ ω} ⊆ A disjunta µ(⋃

An) = Σn∈ω µ(An).

Diremos que que µ es una medida

(–) finita si µ(X) < ∞.

(–) σ–finita si existe {An : n ∈ ω} ⊆ A tal que X =⋃

An y para todo n ∈ ω,µ(An) < ∞.

(–) de probabilidad (o p–medida) si µ(X) = 1.

(–) no trivial si para todo x ∈ X, µ({x}) = 0.

Definicion VIII.1.11. Sea (X,A, µ) un espacio de medida.(a) Diremos que A ⊆ X es µ–nulo si existe B ∈ A tal que A ⊆ B y µ(B) = 0.

(b) Nµ(X) = {A ⊆ X : A µ–nulo}.(c) Diremos que (X,A, µ) es completo si Nµ(X) ⊆ A.

Lema VIII.1.12. Sea (X,A, µ) un espacio de medida. Entonces Nµ(X) es un σ–idealsobre X.

Definicion VIII.1.13. Sea (X,A, µ) un espacio de medida.MEµ(X) = σ(A∪Nµ(X))es la µ–completacion de A. Si A ∈MEµ(X), diremos que A es µ–medible.

§2 Conjuntos con la propiedad de Baire, BP(X)

2.A BP(X)

Definicion VIII.2.1. Sea X un espacio topologico. Diremos que A ⊆ X tiene lapropiedad de Baire, A ∈ BP(X), si existen G ∈ G(X) y P ∈ MG(X) tales queA = G4P .

Lema VIII.2.2. Sean X un espacio topologico y A ⊆ X. Son equivalentes(a) A ∈ BP(X).

(b) Existen F cerrado y Q de primera categorıa tales que A = F 4Q.

134 2. Conjuntos con la propiedad de Baire, BP(X)

Demostracion: ((a) =⇒ (b)): Sean G abierto y P de primera categorıa tales queA = G4P . Sea B = cl(G) − G. Por IX.2.6-(a), B es nunca denso. Ademas, Q =B4P es de primera categorıa. Sea F = cl(G). Entonces, puesto que G = cl(G)4B,

A = G4P = (cl(G)4B)4P = cl(G)4 (B4P ) = F 4 (B4P ) = F 4Q.

Lo que prueba (b).

((b) =⇒ (a)): Sean F cerrado y Q de primera categorıa tal que A = F 4Q. Sean

(–) G = int(F ). Por tanto, G es abierto.

(–) B = F −G. Por IX.2.6-(b), B es nunca denso.

(–) P = B4Q. Es evidente que P es de primera categorıa.

Ademas, A = F 4Q = (G4B)4Q = G4 (B4Q) = G4P . Lo que prueba (a). ¥

Proposicion VIII.2.3. ((AC)ω). Sea X un espacio topologico.(a) BP(X) es una σ–algebra.

(b) Mas aun, BP(X) = σ(G(X) ∪MG(X)).

Proposicion VIII.2.4. Sean X un espacio topologico y A ⊆ X. Son equivalentes(a) A ∈ BP(X).

(b) Existen G ∈ Gδ(X) y P ∈MG(X) tales que A = G ∪ P .

(c) Existen F ∈ Fσ(X) y Q ∈MG(X) tales que A = F −Q.

Demostracion: ((a) =⇒ (b)): Sean U ∈ G(X) y P1 ∈MG(X) tales que A = U 4P1.Sean {An : n ∈ ω} ⊆ ND(X) tales que P1 =

⋃An. Entonces {cl(An) : n ∈ ω} es

una sucesion de conjuntos nunca densos. Sea F =⋃

cl(An). Es evidente que F ∈Fσ(X) ∩MG(X). Ademas, P1 ⊆ F . Por tanto, A4U = P1 ⊆ F . Sean G = U − F , yP = A−G. Entonces G ∈ Gδ(X), G ⊆ A, P ⊆ F y, por tanto, P ∈MG(X).

((b) =⇒ (a)): Si G ∈ Gδ, entonces G ∈ BP(X). Si P ∈ MG(X), P ∈ BP(X). Portanto, si A = G ∪ P , entonces A ∈ BP(X).

((a) =⇒ (c)): Supongamos que A ∈ BP(X). Entonces Ac ∈ BP(X). Por tanto, de (b)se sigue que existen G ∈ Gδ(X) y P ∈ MG(X) tales que Ac = G ∪ P . Sea F = Gc.Entonces A = F − P .

((c) =⇒ (a)): Sean F ∈ Fσ(X) y Q ∈ MG(X) tales que A = F − Q. EntoncesF,Q ∈ BP(X). Puesto que toda σ–algebra es cerrada bajo diferencia, A ∈ BP(X). ¥

2.B B(X) ⊂ BP(X)

Lema VIII.2.5. Existe A ∈ ND(C) tal que |A| = 2ℵ0 .

Demostracion: Sea T el arbol sobre {0, 1} definido como sigue [[Tn = {s ∈ T :lg(s) = n}]].


(n = 0): T0 = {∅}.(n =⇒ n + 1): Dado Tn definimos Tn+1 considerando los siguientes casos:

Caso 1: n + 1 par. Entonces Tn+1 = {s ∗ 〈0〉 : s ∈ Tn}.Caso 2: n + 1 impar. Entonces Tn+1 = {s ∗ 〈0〉 : s ∈ Tn} ∪ {s ∗ 〈1〉 : s ∈ Tn}.Sea A = [T ]. Se tiene que: card(A) = 2ℵ0 . Ademas,

(–) A ∈ F(C). [[T es podado y VI.1.15]].

(–) int(cl(A)) = int(A) = ∅. [[Si s ∈ 2<ω, entonces Ns 6⊆ A]].

De la ultima propiedad se sigue que A ∈ ND(C). ¥

Lema VIII.2.6. ((AC)ω). Sea X un espacio Polaco no numerable. Entonces existeA ∈ ND(X) tal que |A| = 2ℵ0 .

Demostracion: De VI.3.8-(a) se sigue que existe f : C ⊂X. Por VIII.2.5 existeB ∈ ND(C) tal que card(B) = 2ℵ0 . Sea A = f(B). Puesto que f es inyectiva card(A) =2ℵ0 . Ademas, por IX.2.5, A ∈ ND(X). ¥

Lema VIII.2.7. ((AC)). Sea X un espacio Polaco no numerable. Entonces B(X) ⊂BP(X).

Demostracion: Por VII.2.4, card(B(X)) = 2ℵ0 . Por VIII.2.6 existe A ∈MG(X) talque card(A) = 2ℵ0 . Entonces para todo B ⊆ A, B ∈ BP(X). Por tanto, P(A) ⊆ BP(X).En consecuencia,

card(B(X)) = 2ℵ0 < 22ℵ0 = card(P(A)) ≤ card(BP(X)).

Por tanto, B(X) ⊂ BP(X). ¥

§3 Medidas de Borel

3.A Introduccion

Definicion VIII.3.1. Sea X un espacio metrico. Una medida de Borel sobre X, µ,es una medida sobre (X,B(X)). Si µ es una medida de probabilidad, entonces diremosque µ es una p–medida de Borel.

Teorema VIII.3.2. Sean X un espacio metrico y µ una medida de Borel finita sobreX. Entonces todo A ∈ MEµ(X) es µ–regular; es decir, para todo k ≥ 1 existen F ∈F(X) y G ∈ G(X) tales que F ⊆ A ⊆ G y µ(G− F ) < 1/k. Esto es equivalente a:

µ(A) = sup({µ(F ) : F ∈ F(X), F ⊆ A})= inf({µ(G) : G ∈ G(X), A ⊆ G}).

136 3. Medidas de Borel

Demostracion: Sea B = {A : A es µ–regular}. Se tiene que:

Aserto VIII.3.2.1. B(X) ⊆ B.

Sea A ∈MEµ(X). Sean B,C ∈ B(X) y D ⊆ C tales que µ(C) = 0, y A = B∪D. SeanF ∈ F(X) y G1, G2 ∈ G(X) tales que:

(–) F ⊆ B ⊆ G1 y µ(G1 − F ) < 1/2k.

(–) C ⊆ G2 y µ(G2) < 1/2k.

Sea G = G1 ∪G2. Entonces F ⊆ A ⊆ G y

µ(G− F ) ≤ µ(G1 − F ) + µ(G2) ≤ 1/2k + 1/2k = 1/k.


Lema VIII.3.3. Sea X un espacio metrico separable y µ una medida de Borel finitay no trivial. Existen A ∈ Nµ(X) ∩Gδ(X) y B ∈MG(X) tales que X = A ∪B.

Demostracion: Sea D ⊆ X denso y numerable. Puesto que D es numerable y µ esno trivial, µ(D) = 0. Por tanto, para todo m ∈ ω existe Gm ∈ G(X) tal que D ⊆ Gm

y µ(Gm) < m−1. Sean A =⋂

m∈ω Gm y B = X − A. Es evidente que: X = A ∪ B,µ(A) = 0 y A ∈ Gδ(X). Ademas,

B = Ac = (⋂

m Gm)c =⋃

Gcm.

Puesto que D ⊆ Gm, entonces Gm ∈ DG(X); luego, por IX.2.4, Gcm ∈ ND(X). Por

tanto, B ∈MG(X). Lo que prueba el resultado. ¥

Teorema VIII.3.4. Sea X un espacio Polaco no numerable y µ una medida de Borelfinita y no trivial sobre X. Entonces B(X) ⊂MEµ(X).

3.B Σ11 ⊆MEµ,BP

Lema VIII.3.5. Sean {Gn : n ∈ ω} una base de X y A ∈ BP(X).(a) Para todo n ∈ ω existe m ∈ ω tal que Gm ⊆ Gn y uno de los conjuntos A ∩Gm

y Ac ∩Gm es de primera categorıa.

(b) Si A /∈MG, entonces existe n ∈ ω tal que Ac ∩Gn ∈MG.

Demostracion: ((a)): Sean G ∈ G(X) y P ∈ MG(X) tales que A = G4P . Paracada conjunto C sea

C∗ = {x : ∀n (x ∈ Gn =⇒ C ∩Gn /∈MG)}.Es evidente que:

(1) C∗ ⊆ cl(C).

Ademas, A∗ = G∗ y (Ac)∗ = (Gc)∗. Por tanto, (la primera contencion se sigue de (1))


A∗ ∩ (Ac)∗ = G∗ ∩ (Gc)∗ ⊆ cl(G) ∩ cl(Gc) ⊆ cl(G)−G.

Puesto que cl(G)−G ∈ ND, entonces

(2) A∗ ∩ (Ac)∗ ∈ ND.

Sea n ∈ ω. Por (2), existe x ∈ Gn tal que x /∈ A∗ o x /∈ (Ac)∗.

Supongamos que x /∈ A∗. Entonces existe Gm tal que x ∈ Gm y A ∩ Gm ∈ MG. Esevidente que podemos elegir Gm ⊆ Gn. Lo que prueba (a).

((b)): Supongamos que para todo n ∈ ω, Ac ∩Gn /∈MG. Por (a),

(3) para todo n ∈ ω existe m ∈ ω tal que Gm ⊆ Gn y A ∩Gn ∈MG.

Sea

B =⋃{Gk : A ∩Gk ∈MG}.

Es evidente que A ∩ B ∈ MG. Ademas, por (3), Bc ∈ ND; por tanto, A ∩ Bc ∈ MG.Puesto que

A = (A ∩B) ∪ (A ∩Bc),

entonces A ∈MG. Contradiccion. ¥

Proposicion VIII.3.6.(a) Sean µ una medida de Borel finita sobre N y {Aα : α < ω1} ⊆MEµ una familia

disjunta. Existe α < ω1 tal que para todo β ≥ α, µ(Aβ) = 0.

(b) Sea {Aα : α < ω1} ⊆ BP una familia disjunta. Entonces existe α < ω1 tal quepara todo β ≥ α, Aβ ∈MG.


((b)): Supongamos lo contrario. Sin perdida de generalidad podemos suponer que nin-guno de los elementos de la familia es de primera categorıa.

Sea f : ω1 −→ ω<ω la funcion definida por:

f(α) = (µs)(Acα ∩Ns ∈MG).

Puesto que por hipotesis para todo α, Aα /∈MG, por VIII.3.5, la funcion f esta defi-nida en todo α < ω1. Ademas, se tiene que:

Aserto VIII.3.6.1. f es inyectiva.

Prueba del aserto: Supongamos que existen α, β < ω1, con α 6= β, tales quef(α) = f(β) = s. Entonces Ac

α ∩ Ns, Acβ ∩ Ns ∈ MG. Puesto que Aα y Aβ son

disjuntos, Ns = (Acα ∩ Ns) ∪ (Ac

β ∩ Ns). En consecuencia, Ns ∈ MG. Lo cual esuna contradiccion. 2

Ası pues, f : ω1 −→ ω<ω es una aplicacion inyectiva. Esto proporciona la contradicccionbuscada, pues ω<ω es numerable. ¥

Teorema VIII.3.7.


(a) Sea µ una medida de Borel finita sobre N . Entonces MEµ ⊆ Σ11.

(b) Σ11 ⊆ BP.

Demostracion: Puesto que MEµ y BP son σ–algebras, por tanto cerradas bajo com-plementario, es suficiente probar que Π1

1 ⊆ MEµ,BP. Sea A ∈ Π11. Entonces existe

f : N −→ N continua tal que

σ ∈ A ⇐⇒ f(σ) = ET (σ) ∈ W.

Recordemos los siguientes conjuntos definidos en la prueba de ??

σ ∈ Eα ⇐⇒ ||f(σ)|| < α + 1 ∨ ∃j ∈ Fd(f(σ)) (||f(σ)<j|| = α)

⇐⇒ f(σ) ∈ Wα+1 ∨ ∃j ∈ Fd(f(σ)) (f(σ)<j ∈ Wα+1 −Wα).

Para cada α < ω1 y j ∈ ω sea

Ajα = {σ : ||f(σ)<j|| ≤ α}.

((a)): Sea j ∈ ω. Puesto que {Ajα+1−Aj

α : α < ω1} es una familia disjunta de conjuntosmedibles (son de Borel), entonces, por VIII.3.6-(a), existe βj < ω1 tal que para todoα ≥ βj, µ(Aj

α+1 − Ajα) = 0. Sea β = sup({βj : j ∈ ω}). Es evidente que β < ω1.

Ademas,

(–) Para cualesquiera α ≥ β y j ∈ ω, µ(Ajα+1 − Aj

α) = 0.

Por la prueba de ??, A =⋂

α<ω1Eα; por tanto, A ⊆ Eβ. Luego,

A = f−1(Wβ+1) ∪ (A ∩⋃j∈ω(Aj

β+1 − Ajβ)).

Se tiene que

(1) f−1(Wβ+1) ∈MEµ. Trivial, f−1(Wβ+1) ∈ B ⊆MEµ.

(2) A ∩⋃j∈ω(Aj

β+1 − Ajβ) ∈MEµ.

En efecto, por lo anterior para todo j ∈ ω, µ(Ajβ+1 − Aj

β) = 0. Por tanto,

µ(⋃

j∈ω (Ajβ+1−Aj

β)) = 0. Luego, A∩⋃j∈ω (Aj

β+1−Ajβ) es un subconjunto de un

conjunto de medida nula. En consecuencia, es medible.

De (1) y (2) se sigue que A ∈MEµ.

((b)): Como en (a) usando VIII.3.6-(b) y cambiando medible por propiedad de Bairey conjunto de medida nula por conjunto de primera categorıa. ¥

3.C Conjuntos de Bernstein

Definicion VIII.3.8. Sea X un espacio metrico. Diremos que A ⊆ X es un conjuntode Bernstein de X si para todo F ∈ F(X) no numerable A ∩ F y Ac ∩ F son nonumerables. [[Observacion: si A es de Bernstein, entonces Ac es de Bernstein]].

Lema VIII.3.9. Sean X un espacio Polaco y µ una medida de Borel finita y no trivial.


Sean A ⊆ X un conjunto de Bernstein y B ⊆ A.

(a) A /∈ BP(X).

(b) A /∈MEµ(X).

(c) B ∈ BP(X) =⇒ B ∈MG(X).

(d) B ∈MEµ(X) =⇒ µ(B) = 0.

Demostracion: ((a)): Supongamos que A ∈ BP(X). Puesto que X no es de primeracategorıa, VIII.1.7, entonces uno de los conjuntos A, Ac no es de primera categorıa.Supongamos que A /∈MG(X). Por VIII.2.4, existen G ∈ Gδ(X) y P ∈MG(X) talesque A = G ∪ P . Entonces G /∈ MG(X). Por tanto, G no es numerable. Luego, deVI.3.10 se sigue que existe F ∈ F(X) no numerable tal que F ⊆ G ⊆ A. Lo cualesta en contradiccion con A de Bernstein. Lo que prueba (a).

((c)): Ejercicio.

((b)): Supongamos que A ∈ MEµ(X). Entonces uno de los conjuntos A, Ac no es demedida nula. Supongamos que µ(A) 6= 0. Entonces existe F ∈ F(X) tal que F ⊆ Ay µ(F ) 6= 0. Por tanto, F no es numerable. Lo cual esta en contradiccion con A deBernstein. Lo que prueba (b).

((d)): Ejercicio. ¥

Lema VIII.3.10. (AC). Sea X un espacio Polaco no numerable. Entonces existenconjuntos de Bernstein de X.

Demostracion: Por VI.3.9 si F ∈ F(X) es no numerable, entonces card(F ) = 2ℵ0 .Ademas,

Aserto VIII.3.10.1. card({F ∈ F(X) : card(F ) = 2ℵ0}) = 2ℵ0 .

Por tanto, existe una enumeracion {Fα : α < 2ℵ0} de la coleccion de los subconjuntoscerrados de X no numerables. Ademas, podemos suponer que en esta enumeracioncada conjunto cerrado se repite 2ℵ0 veces; es decir, para cada F ∈ F(X) no numerable

(–) card({α < 2ℵ0 : F = Fα}) = 2ℵ0 .

Por recursion sobre α < 2ℵ0 definimos dos sucesiones {aα : α < 2ℵ0} y {bα : α < 2ℵ0}tales que

(–) ∀α [aα, bα ∈ Fα].

(–) ∀α, β [aα 6= bβ].

(–) ∀α, β [α 6= β =⇒ aα 6= aβ ∧ bα 6= bβ].

(α = 0): Sean a0, b0 ∈ F0 tales que a0 6= b0.

(< α =⇒ α): Sea C = {aβ : β < α}∪{bβ : β < α}. Puesto que α < 2ℵ0 , card(C) < 2ℵ0 .Por tanto, existen aα, bα ∈ Fα − C tales que aα 6= bα.

Esto completa la definicion. De la definicion (los conjuntos estan repetidos 2ℵ0 veces)se sigue que A = {aα : α < 2ℵ0} es un conjunto de Bernstein. ¥


Teorema VIII.3.11. (AC). Sea X un espacio Polaco no numerable.

(a) Existe A ⊆ X tal que A /∈ BP(X).

(b) Sea µ una medida de Borel finita no trivial sobre X. Entonces existe A ⊆ X talque A /∈MEµ(X).

Demostracion: Se sigue de VIII.3.9 y VIII.3.10. ¥

Teorema VIII.3.12. (AC). Sea X un espacio Polaco no numerable y µ una medidade Borel finita no trivial sobre X.

(a) MEµ(X) 6⊆ BP(X).

(b) BP(X) 6⊆MEµ(X).

3.D Conjuntos de Lusin. La Conjetura de Borel y CH

Definicion VIII.3.13. (BC) (La Conjetura de Borel):

A ⊆ R no numerable =⇒ A /∈ SN(R).

(–) Nota: ZFC 0 BC, ZFC 0 ¬BC.

Proposicion VIII.3.14. A ∈ Σ11(R) no numerable =⇒ A /∈ SN(R).

Demostracion: Se sigue de IX.3.5 y ??, C ⊂A. ¥

Definicion VIII.3.15. Sea A ⊆ R. Diremos que A es un conjunto de Lusin si |A| =2ℵ0 y para todo F ∈ F(R) ∩ ND(R), |A ∩ F | ≤ ℵ0.

Proposicion VIII.3.16. ((CH, 2ℵ0 = ℵ1)). Existen conjuntos de Lusin.

Demostracion: En primer lugar observemos que

Aserto VIII.3.16.1. |F(R) ∩ ND(R)| = 2ℵ0 .

Entonces, por CH, F(R) ∩ ND(R) = {Fα : α < ω1}. Sea {xα : α < ω1} unaenumeracion de R. Por recursion sobre α < ω1 definimos la sucesion {yα : α < ω1}.(α = 0): Sea y0 = x0.

(< α =⇒ α): Notaremos Bα = {yβ : β < α}. Sea Cα =⋃

β≤α Fβ.

Puesto que α es numerable y para todo β ≤ α, Fβ ∈ ND(R), entonces Cα, Bα ∈MG(R).Puesto que R no es de primera categorıa, R 6= Bα ∪ Cα. Por tanto, existe

δ = inf({γ : xγ /∈ Bα ∪ Cα}).Definimos yα = xδ.


Sea A = {yα : α < ω1}. Veamos que A es un conjunto de Lusin.

Es evidente que card(A) = ℵ1 = 2ℵ0 . Sea F ∈ F(R) ∩ ND(R). Entonces existe α < ω1

tal que F = Fα.

Luego, A ∩ F = A ∩ Fα ⊆ {yβ : β < α}. Por tanto, A ∩ F es numerable. ¥

Proposicion VIII.3.17. A de Lusin =⇒ A ∈ SN(R).

Demostracion: Sea A un conjunto de Lusin. Sea {εn : n ∈ ω} una sucesion denumeros reales positivos. Sea {qn : n ∈ ω} una enumeracion de Q y

B =⋃

n∈ω (qn − ε2n, qn + ε2n).

Entonces Bc ∈ F(R)∩ND(R). Puesto que A es de Lusin, A−B = A∩Bc es numerable.Sea {xn : n ∈ ω} una enumeracion de A−B. Entonces

A ⊆ ⋃n∈ω (qn − ε2n, qn + ε2n) ∪⋃

n∈ω (xn − ε2n+1, xn + ε2n+1).

Por tanto, A ∈ SN(R). ¥

Teorema VIII.3.18. BC =⇒ 2ℵ0 6= ℵ1.

§4 Medidas de probabilidad [[ZFC∗]]

Definicion VIII.4.1. Sea X un conjunto. Una medida de probabilidad no trivial,pt–medida, sobre X es una funcion µ : P(X) −→ [0, 1] tal que(a) µ es una medida de probabilidad sobre P(X); es decir,

(a.1) µ(∅) = 0.

(a.2) Para toda sucesion {An : n ∈ ω} ⊆ P(X) disjunta

µ(⋃

n∈ω An) =∑

n∈ω µ(An).

(a.3) µ(X) = 1 (de probabilidad).

(b) Para todo x ∈ X, µ({x}) = 0 (no trivial).

Definicion VIII.4.2. PM = {κ ∈ Card : existe una pt–medida sobre κ}.

Nota VIII.4.3.(a) Sean X, Y tales que card(X) = card(Y ). Son equivalentes

(a.1) Existe una pt–medida sobre X.

(a.2) Existe una pt–medida sobre Y .

(b) Si existe una pt–medida sobre X, entonces X no es numerable.

(c) κ ∈ PM =⇒ ℵ0 < κ.

142 4. Medidas de probabilidad [[ZFC∗]]

Teorema VIII.4.4.(a) ℵ1 /∈ PM.

(b) 2ℵ0 ∈ PM =⇒ 2ℵ0 6= ℵ1.

(c) Si existe una pt–medida sobre R, entonces no se verifica la Hipotesis del Continuo.

Demostracion: Las propiedades (b) y (c) se siguen de (a). En lo que sigue pro-baremos la parte (a). Supongamos que ℵ1 ∈ PM. Sea µ una pt–medida sobre ω1.Consideremos el ideal de los subconjuntos de ω1 que son µ–nulos,

Nµ(ω1) = {A ⊆ ω1 : µ(A) = 0}.Es evidente que

(1) ∀α ∈ ω1 [{α} ∈ Nµ(ω1)].

(2) {An : n ∈ ω} ⊆ Nµ(ω1) =⇒ ⋃n∈ω An ∈ Nµ(ω1).

(3) Sea A ⊆ ω1. card(A) ≤ ω =⇒ A ∈ Nµ(ω1). [[Se sigue de (1) y (2)]].

Ademas,

Aserto VIII.4.4.1. Sea A ⊆ P(ω1) disjunta. Entonces

A ∩ Nµ(ω1) = ∅ =⇒ card(A) ≤ ℵ0.

Prueba del aserto: Para cada n ∈ ω sea

An = {A ∈ A : µ(A) ≥ 1/n}.Puesto que µ(ω1) = 1 y A es disjunta, para todo n ∈ ω, An es finito. Puesto queA ∩ Nµ(ω1) = ∅, entonces A =

⋃n∈ω An. Por tanto, A es numerable. 2

Para cada δ < ω1, sea fδ : ω −→ δ suprayectiva. Para cada α < ω1 y n ∈ ω sea

Aα,n = {δ < ω1 : fδ(n) = α}.Se tiene que

Aserto VIII.4.4.2.

(i) ∀n ∈ ω ∀α, β < ω1 [α 6= β =⇒ Aα,n ∩ Aβ,n = ∅].(ii) ∀α < ω1 [ω1 −

⋃n∈ω Aα,n es numerable].

(iii) ∀α < ω1 ∃n ∈ ω [Aα,n /∈ Nµ(ω1)].

Sea α < ω1. Por el aserto VIII.4.4.1-(iii) existe nα ∈ ω tal que Aα,nα /∈ Nµ(ω1).Puesto que ω1 es no numerable, existe m ∈ ω tal que card({α : nα = m}) = ℵ1. Sean

(–) B = {α ∈ ω1 : nα = m}, y

(–) A = {Aα,m : α ∈ B}.De VIII.4.4.2-(i) se sigue que A es disjunta. Ademas, de la definicion de A obtenemosque card(A) = ℵ1 y A∩Nµ(ω1) = ∅. Lo cual esta en contradiccion con VIII.4.4.1. ¥

Definicion VIII.4.5.(a) Sea I ⊆ P(X). Diremos que I es un m–σ–ideal sobre X si

(a.1) I es un σ–ideal sobre X.


(a.2) ∀x ∈ X ({x} ∈ I).

(a.3) A ⊆ P(X) disjunta ∧ A ∩ I = ∅ =⇒ card(A) ≤ ℵ0.

(b) Sea κ un cardinal infinito. Diremos que κ admite m–σ–ideales, κ ∈ IM, si existeun m–σ–ideal sobre κ.

Corolario VIII.4.6. PM ⊆ IM.

Demostracion: Sea µ una pt–medida sobre κ. Entonces, ver VIII.4.4, Nµ(κ) es unm–σ–ideal sobre κ. ¥

Lema VIII.4.7. Supongamos que IM 6= ∅. Sean κ = inf(IM) e I un m–σ–ideal sobreκ. Entonces para todo λ < κ y {Aα : α < λ} ⊆ I,

⋃α<λ Aα ∈ I; es decir, I es un

ideal κ–completo.

Demostracion: Supongamos que existen λ < κ y {Aα : α < λ} ⊆ I tales que

(1)⋃

α<λ Aα /∈ I.

Podemos suponer que {Aα : α < λ} es disjunta (en caso contrario tomar A′α =

Aα −⋃

β<α Aβ). Sea

J = {P ⊆ λ :⋃

α∈P Aα ∈ I}.Se tiene que:

Aserto VIII.4.7.1. J es un σ–ideal sobre λ.

Aserto VIII.4.7.2. H ⊆ P(λ) disjunta ∧ H ∩ J = ∅ =⇒ card(H) ≤ ℵ0.

Prueba del aserto: Sea H ⊆ P(λ) disjunta tal que H ∩ J = ∅. Para cadaH ∈ H sea BH =

⋃β∈H Aβ.

Sea B = {BH : H ∈ H}. Entonces B ⊆ P(κ). Puesto que H y {Aα : α < λ}son disjuntas, entonces B es disjunta. Ademas, para todo H ∈ H, H /∈ J ; portanto, BH /∈ I. En consecuencia, B ∩ I = ∅. Por tanto, card(B) ≤ ω. Puesto quecard(B) = card(H), entonces card(H) ≤ ℵ0. 2

De los asertos se sigue que λ ∈ IM. Contradiccion, λ < κ = inf(IM). ¥

Corolario VIII.4.8. Supongamos que IM 6= ∅. Sea κ = inf(IM). Entonces

(a) Para todo I, m–σ–ideal sobre κ, y A ⊆ κ

card(A) < κ =⇒ A ∈ I.

(b) κ es regular.

Demostracion: ((a)): Puesto que A =⋃

α∈A {α} y {{α} : α ∈ A} ⊆ I, el resultadose sigue de VIII.4.7.

((b)): Supongamos que κ no es regular. Entonces existen λ < κ y {Aα : α < λ} ⊆P(κ) tales que

144 4. Medidas de probabilidad [[ZFC∗]]

(1) para todo α < λ, card(Aα) < κ, y

(2) κ =⋃

α<λ Aα.

Sea I un m–σ–ideal sobre κ. De (1) y (a) se sigue que

(3) para todo α < λ, Aα ∈ I.

De (2), (3) y VIII.4.7 se sigue que κ ∈ I. Contradiccion. ¥

Definicion VIII.4.9. Diremos que κ es debilmente inaccesible si κ es un cardinallımite y regular.

Teorema VIII.4.10. Supongamos que IM 6= ∅. Sea κ = inf(IM). Entonces κ esdebilmente inaccesible.

Demostracion: Por VIII.4.8-(b) es suficiente probar que κ es lımite. Supongamosque κ es un cardinal sucesor, κ = λ+. Sea I un m–σ–ideal sobre κ. Para cada δ < κ,sea fδ : λ −→ δ una aplicacion suprayectiva. Para cada α < κ y ρ < λ sea

(–) Aα,ρ = {δ < κ : fδ(ρ) = α}.Se tiene que

Aserto VIII.4.10.1.

(i) ∀ρ < λ ∀α, β < κ [α 6= β =⇒ Aα,ρ ∩ Aβ,ρ = ∅].(ii) ∀α < κ [card(κ−⋃

ρ<λ Aα,ρ) ≤ λ].

(iii) ∀α < κ ∃ρ < λ [Aα,ρ /∈ I].

Prueba del aserto: ((i)): Sea δ ∈ Aα,ρ ∩Aβ,ρ. Entonces, α = fδ(ρ) y fδ(ρ) = β.Por tanto, α = β.

((ii)): Sea α < κ. Entonces

δ ∈ κ−⋃ρ<λ Aα,ρ =⇒ ∀ρ < λ [δ /∈ Aα,ρ]

=⇒ ∀ρ < λ [fδ(ρ) 6= α]=⇒ α /∈ rang(fδ)=⇒ δ ≤ α [[fδ : λ −→ δ suprayectiva]].

Por tanto, κ−⋃ρ∈λ Aα,ρ ⊆ α + 1. Luego, de α < λ se sigue que:

card(κ−⋃ρ<λ Aα,ρ) ≤ card(α + 1) ≤ λ.

Lo que prueba (ii).

((iii)): Sea α < λ. Por (ii) y VIII.4.8-(a), κ−⋃ρ<λ Aα,ρ ∈ I.

Puesto que κ /∈ I, de VIII.4.7 y lo anterior se sigue (iii). 2

Sea α < κ. Por el aserto VIII.4.10.1-(iii) existe ρα ∈ λ tal que Aα,ρα /∈ I. Puesto queλ < κ es no numerable, existe γ ∈ λ tal que card({α < κ : ρα = γ}) = κ. Sean

(–) B = {α ∈ κ : ρα = γ}, y

(–) A = {Aα,γ : α ∈ B}.


De VIII.4.10.1-(i) se sigue queA es disjunta. Ademas, de la definicion deA obtenemosque card(A) = κ, y A ∩ I = ∅. Lo cual esta en contradiccion con I m–σ–ideal. ¥

Corolario VIII.4.11. Si existe una pt–medida sobre R, entonces existe κ debilmen-te inaccesible tal que κ ≤ 2ℵ0 .

§5 Ejercicios

Ejercicio VIII.5.1. ((AC)ω, VIII.1.8). Sea X un espacio topologico tal que X /∈MG(X). Entonces MG(X) es un σ–ideal sobre X.

[[Indicar donde se usa (AC)ω]].

Ejercicio VIII.5.2. ((AC)ω, VIII.2.3). Sea X un espacio topologico.

(a) BP(X) es una σ–algebra.

(b) Mas aun, BP(X) = σ(G(X) ∪MG(X)).

Ejercicio VIII.5.3. (VIII.3.2.1). B(X) ⊆ B.

Ejercicio VIII.5.4. (VIII.3.4). Sea X un espacio Polaco no numerable y µ unamedida de Borel finita y no trivial sobre X. Entonces B(X) ⊂MEµ(X).

Ejercicio VIII.5.5. (VIII.3.6-(a)). Sean µ una medida de Borel finita sobre N y{Aα : α < ω1} ⊆ MEµ una familia disjunta. Existe α < ω1 tal que para todo β ≥ α,µ(Aβ) = 0.

Ejercicio VIII.5.6. (VIII.3.9). Sean X un espacio Polaco y µ una medida de Borelfinita y no trivial. Sean A ⊆ X un conjunto de Bernstein y B ⊆ A.

(c) B ∈ BP(X) =⇒ B ∈MG(X).

(d) B ∈MEµ(X) =⇒ µ(B) = 0.

Ejercicio VIII.5.7. (AC, VIII.3.12). Sea X un espacio Polaco no numerable y µuna medida de Borel finita no trivial sobre X.

(a) MEµ(X) 6⊆ BP(X).

(b) BP(X) 6⊆MEµ(X).

Ejercicio VIII.5.8. (VIII.3.16.1). |F(R) ∩ ND(R)| = 2ℵ0 .

146 5. Ejercicios

Ejercicio VIII.5.9. (VIII.4.4.2).

(i) ∀n ∈ ω ∀α, β < ω1 [α 6= β =⇒ Aα,n ∩ Aβ,n = ∅].(ii) ∀α < ω1 [ω1 −

⋃n∈ω Aα,n es numerable].

(iii) ∀α < ω1 ∃n ∈ ω [Aα,n /∈ Nµ(ω1)].

Ejercicio VIII.5.10. (VIII.4.7.1). J es un σ–ideal sobre λ.

Capıtulo IX

Apendice

§1 Espacios Polacos

1.A Espacios metricos

Definicion IX.1.1. Sean X un espacio topologico y A ⊆ X.(a) int(A) =

⋃{G ∈ G(X) : G ⊆ A}. [[El interior de A]].

(b) cl(A) =⋂{F ∈ F(X) : A ⊆ F}. [[El cierre de A]].

Definicion IX.1.2. Sean X, Y espacios topologicos y f : X −→ Y . Diremos que:(a) f es un homeomorfismo, f : X ∼= Y , si f es biyectiva y f y f−1 son continuas.

(b) f es una inmersion, f : X ⊂Y , si f es un homeomorfismo de X en f(X).

Proposicion IX.1.3. Sean X compacto, Y de Hausdorff y f : X −→ Y continua.(a) F ∈ F(X) =⇒ f(F ) ∈ F(Y ).

(b)

{f inyectiva =⇒ f inmersion de X en Y .f biyectiva =⇒ f homeomorfismo de X en Y .

Demostracion: ((a)): En efecto,

F ∈ F(X) =⇒ F es compacto =⇒ f(F ) compacto =⇒ f(F ) ∈ F(Y ).

((b)): Se sigue de (a). ¥

1.B Conjuntos Gδ

Lema IX.1.4. Sean X un espacio metrico separable y A ⊆ X. Si A es completamentemetrizable, entonces A ∈ Gδ(X).

147


Demostracion: Sean d una metrica sobre X compatible con la topologıa de X y d′

una metrica completa sobre A compatible con la topologıa de A . Sea B = {Un : n ∈ ω}una base de X. Sea

B =⋂

m>0

⋃{U ∈ B : A ∩ U 6= ∅ ∧ dtrd(U), dtrd′(U ∩ A) < m−1}.Es evidente que B ∈ Gδ. Se tiene que:

(1) A ⊆ B. Sea x ∈ A. Sea m > 0. Puesto que B es una base existe U ∈ B tal quex ∈ U y dtrd(U) < m−1. Puesto que U ∩A es abierto en A, existe k > m tal queBd′(x, k−1) ⊆ U ∩ A. Sea U ′ ∈ B tal que x ∈ U ′ ⊆ U y U ′ ∩ A ⊆ Bd′(x, k−1).Entonces dtrd(U

′) ≤ dtr(U) < m−1 y dtrd′(U′ ∩ A) ≤ k−1 < m−1. Por tanto,

x ∈ B.

(2) A es denso en B. Sea x ∈ B. Veamos que x ∈ cl(A). De la definicion de B sesigue que para todo m > 0 existe U tal que x ∈ U , A ∩ U 6= ∅ y dtrd(U) < m−1.Entonces x ∈ cl(A).

(3) B ⊆ A. Sea x ∈ B. Para cada k > 0 sea Unk∈ B tal que x ∈ Unk

ydtrd(Unk

), dtrd′(Unk∩ A) < k−1. Puesto que Un1 ∩ . . . ∩ Unk

6= ∅ y, por (2),A es denso en B, entonces A ∩ (Un1 ∩ . . . Unk

) 6= ∅. Por tanto, para cada k > 0existe yk ∈ A ∩ (Un1 ∩ . . . Unk

). Consideremos la sucesion {yk : k > 0}. Estasusecion es de Cauchy con respecto a las metricas d y d′. Por tanto, como d′

es una metrica completa existe y ∈ A tal que limk>0 yk = y. Con respecto a lametrica d, limk>0 yk = x. Por tanto, x = y. En consecuencia, x ∈ A.

De (1) y (3) se sigue que A = B. Puesto que B es Gδ, entonces A ∈ Gδ. ¥

Lema IX.1.5. Sea X un espacio metrico completo. Si A ∈ Gδ(X), entonces A escompletamente metrizable.

Demostracion: Sea d una metrica completa sobre X. Consideremos los siguientescasos.

Caso 1: A abierto. Entonces Ac es cerrado; por tanto, para todo x ∈ A, 0 < d(x,Ac).Sea f : A −→ X × R la funcion definida por f(x) = (x, 1/d(x, Ac)).

Es evidente que f es inyectiva. Ademas,

Aserto IX.1.5.1.

(i) f y f−1 son continuas.

(ii) A y f(A) son homeomorfos.

(iii) f(A) ∈ F(X × R).

Prueba del aserto: Las partes (i) y (ii) se siguen de la definicion. Probaremos(iii).

Sea {(xn, rn) : n ∈ ω} ⊆ f(A) convergente en X ×R. Sea (x, r) ∈ X ×R tal quelimn∈ω (xn, rn) = (x, r). Veamos que (x, r) ∈ f(A). Observemos que para todon ∈ ω: rn = 1/d(xn, A

c), limn∈ω xn = x y limn∈ω rn = r. Por tanto, r = 1/d(x,Ac).Luego, f(x) = (x, r). Ademas, d(x,Ac) 6= 0; en consecuencia, x ∈ A. Por tanto,

Capıtulo IX. Apendice 149

limn∈ω (xn, rn) = (x, r) = f(x) ∈ f(A). Luego, f(A) es cerrado. 2

Por IX.1.5.1-(iii), f(A) es completamente metrizable. Por tanto, de IX.1.5.1-(ii) sesigue que A es completamente metrizable.

Caso 2: A ∈ Gδ. Sea {Gn : n ∈ ω} una sucesion de abiertos tales que A =⋂

n∈ω Gn.Sea f : A −→ X × Rω la aplicacion definida por

f(x) = (x, 1/d(x,Gc0), 1/d(x,Gc

1), . . .).

Como en el caso 1 se tiene que f : A ∼= f(A) y f(A) es cerrado en X × Rω.

Por tanto, A es completamente metrizable. ¥

1.C Teoremas de Transferencia

Proposicion IX.1.6. Sea X un espacio Polaco no numerable. Entonces

(a) C ⊂X.

(b) N ⊂X.

Demostracion: ((a)): Se sigue de VI.3.8.

((b)): Sea f : N −→ C la funcion definida por

f(σ) = {〈n,m〉 : σ(n) = m} = Gr(σ).

Es evidente que f : N ⊂C. Por tanto, el resultado se sigue de (a). ¥

Proposicion IX.1.7. Sea X un espacio metrico separable. Son equivalentes:(a) X es 0–dimensional.

(b) X ⊂ C.

(c) X ⊂N .

Demostracion: ((b), (c) =⇒ (a)): Trivial. Los espacios C y N son 0–dimensionalesy todo subespacio de un espacio 0–dimensional tambien lo es.

((b) =⇒ (c)): Trivial. La inclusion es una inmersion de C en N .

((a) =⇒ (b)): Sea E = {Un : n ∈ ω} base numerable de X formada por conjuntosabiertos y cerrados.

Para cada n ∈ ω sea gn : X −→ {0, 1} la funcion caracterıstica de Un. Sea GE : X −→ Cla funcion definida por

GE(x)(n) = gn(x).

Puesto que E es una base y X es de Hausdorff, GE es inyectiva. Ademas, para cadas ∈ 2<ω (donde A(0) = Ac y A(1) = A)

x ∈ G−1E (Ns) ⇐⇒ ∀i < lg(s) (x ∈ U

((s)i)i ).


Luego, G−1E (Ns) =

⋂i<lg(s) U

((s)i)i . Puesto que los conjuntos Ui son abiertos y cerrados,

GE es continua. Por otra parte, para todo n ∈ ω

GE(Un) = {σ ∈ C : σ(n) = 1} ∩GE(X).

Puesto que {σ ∈ C : σ(n) = 1} es abierto en C, GE(Ui) es abierto en GE(X). Enconsecuencia, GE : X ⊂ C. ¥

Lema IX.1.8. Sea X un espacio Polaco.(a) Sean C, D ∈ F(X) y ε > 0. Entonces existe una sucesion {Bn : n ∈ ω} tal que

(a.1) Bn ∈ Fσ(X).

(a.2) n 6= m =⇒ Bn ∩Bm = ∅.(a.3) C −D =

⋃n∈ω Bn.

(a.4) dtr(Bn) < ε.

(b) Sea F ∈ Fσ(X) y ε > 0. Entonces existe {Fn : n ∈ ω} ⊆ Fσ(X) tal que

(b.1) F =⋃

n∈ω Fn.

(b.2) n 6= m =⇒ Fn ∩ Fm = ∅.(b.3) cl(Fn) ⊆ F .

(b.4) dtr(Fn) < ε.

Demostracion: ((a)): Puesto que C −D es separable, existe {xn : n ∈ ω} ⊆ C −Dtal que C −D ⊆ ⋃

n∈ω B(xn, ε). Definimos {Bn : n ∈ ω} como sigue.

Bn = [B(xn, ε) ∩ (C −D)]− (⋃

j<n B(xj, ε)).

Es evidente que se satisfacen (a.2), (a.3) y (a.4). Para probar (a.1) hay que tenerpresente que por VI.1.6, G(X) ⊆ Fσ(X). Por tanto,

(–) C −D = C ∩Dc ∈ Fσ(X).

(–) B(xn, ε) ∩ (C −D) ∈ Fσ(X).

Luego, Bn = [B(xn, ε) ∩ (C −D)] ∩ (⋃

j<n B(xj, ε)) ∈ Fσ(X). Lo que prueba (a.1).

((b)): Puesto que F ∈ Fσ(X) existe {Cn : n ∈ ω} ⊆ F(X) tal que para todo n ∈ ω,Cn ⊆ Cn+1 y F =

⋃n∈ω Cn. Entonces F =

⋃n∈ω (Cn+1−Cn). Por (a), para cada n ∈ ω

existe {Bn,m : m ∈ ω} ⊆ Fσ(X) tal que

(–) Cn+1 − Cn =⋃

m∈ω Bn,m.

(–) m 6= m′ =⇒ Bn,m ∩Bn,m′ = ∅.(–) dtr(Bn,m) < ε.

Entonces F =⋃

n,m Bn,m y cl(Bn,m) ⊆ cl(Cn+1 − Cn) ⊆ Cn+1 ⊆ F . Lo que prueba elresultado. ¥

Lema IX.1.9. ((AC)ω). Sea F ∈ F(Aω) no vacıo. Existe f : Aω −→ F continua talque para todo σ ∈ F , f(σ) = σ.

Demostracion: Para cada s ∈ A<ω tal que F ∩Ns 6= ∅ sea τs ∈ F ∩Ns.


Definimos f : Aω −→ F como sigue. Sea σ ∈ Aω.

Caso 1: σ ∈ F . Entonces f(σ) = σ.

Caso 2: σ /∈ F . Puesto que F es cerrado, existe k ∈ ω tal que F ∩Nσ|k = ∅. Sea

m = sup({n ∈ ω : F ∩Nσ|n 6= ∅}).Entonces definimos: f(σ) = τσ|m .

Veamos que f es continua. Para ello es suficiente probar que para cualesquiera s ∈ A<ω

y σ ∈ f−1(Ns ∩ F ) existe t ∈ A<ω tal que σ ∈ Nt ⊆ f−1(Ns ∩ F ).

Para ello consideremos los siguientes casos:

Caso 1: σ /∈ F . Sean m = sup({n ∈ ω : Nσ|n ∩ F 6= ∅}) y t = σ|m+1. Es evidente queσ ∈ Nt. Ademas, Nt ∩ F = ∅ y para todo δ ∈ Nt

sup({n ∈ ω : Nδ|n ∩ F 6= ∅}) = m.

Sea δ ∈ Nt. Entonces δ|m = σ|m; por tanto, f(δ) = τδ|m = τσ|m = f(σ) ∈ Ns. Luego,

Nt ⊆ f−1(Ns ∩ F ).

Caso 2: σ ∈ F . Entonces f(σ) = σ. Por tanto, σ ∈ Ns. Sea t = s. Entonces σ ∈ Nt.Ademas, f(Nt) ⊆ Nt = Ns. Luego, Nt ⊆ f−1(Ns ∩ F ). ¥

Teorema IX.1.10. Sea X un espacio Polaco.(a) Existen F ∈ F(N ) y f : F −→ X continua y biyectiva.

(b) Existe g : N −→ X continua y suprayectiva.

Demostracion: ((a)): Sea d una metrica completa sobre X tal que d ≤ 1. UsandoIX.1.8, por recursion sobre s ∈ ω<ω, se obtiene un esquema de Lusin {As : s ∈ ω<ω}tal que

(1) A∅ = X.

(2) ∀s ∈ ω<ω [As ∈ Fσ(X)].

(3) ∀s ∈ ω<ω [As =⋃

i∈ω As∗〈i〉 =⋃

i∈ω cl(As∗〈i〉)].(4) ∀s ∈ ω<ω [dtr(As) ≤ 2−lg(s)].

Consideremos el conjunto, D, y la funcion, fD, asociadas a dicho esquema (ver VI.2.6).Por (3), As∗〈i〉 ⊆ cl(As∗〈i〉) ⊆ As. Por tanto, fD(D) = X. En consecuencia, de VI.2.8-(a) se sigue que f es una aplicacion continua y biyectiva de D en X. Ademas, porVI.2.7-(b), D es cerrado. Lo que prueba (a).

((b)): Sean F ∈ F(N ) y f : F −→ X continua y biyectiva. Por IX.1.9 existe h :N −→ F continua tal que para todo σ ∈ F , h(σ) = σ.

Sea g = f ◦ h. Entonces g : N −→ X es continua. Veamos que es suprayectiva. Seax ∈ X. Entonces existe σ ∈ F tal que f(σ) = x. Por tanto, (en la tercera identidadh(σ) = σ, σ ∈ F )

g(σ) = f ◦ h(σ) = f(h(σ)) = f(σ) = x.


152 2. Conjuntos de primera categorıa

§2 Conjuntos de primera categorıa

2.A Conjuntos nunca densos

Definicion IX.2.1. Sean X un espacio topologico y A ⊆ X.(a) Diremos que A es nunca denso, A ∈ ND(X), si int(cl(A)) = ∅.(b) Diremos que A es denso, A ∈ D(X), si para todo G 6= ∅ abierto A ∩G 6= ∅. Si A

es denso y abierto, notaremos A ∈ DG(X).

Lema IX.2.2. Sean X un espacio topologico y A ⊆ X.

A ∈ ND(X) ⇐⇒ cl(A) ∈ ND(X).


A ∈ ND(X) ⇐⇒ int(cl(A)) = ∅⇐⇒ int(cl(cl(A))) = ∅ [[cl(A) = cl(cl(A))]]⇐⇒ cl(A) ∈ ND(X).


Lema IX.2.3. Sean X un espacio topologico y A ⊆ X. Son equivalentes:(a) A ∈ ND(X).

(b) Para todo U ∈ G(X) no vacıo, existe G ∈ G(X) no vacıo tal que G ⊆ U yA ∩G = ∅.

Demostracion: ((a) =⇒ (b)): Sea U ∈ G(X) no vacıo. Puesto que A ∈ ND(X),int(cl(A)) = ∅. Por tanto, U 6⊆ cl(A). Sea G = U ∩ cl(A)c. Es evidente que G ⊆ U esabierto y no vacıo. Ademas, G ⊆ cl(A)c ⊆ Ac. Por tanto, G ∩ A = ∅.((b) =⇒ (a)): Veamos que int(cl(A)) = ∅. Sea U abierto tal que U 6= ∅. Por hipotesis,existe G ⊆ U abierto tal que G 6= ∅ y G ∩ A = ∅. Por tanto, A ⊆ Gc. Puesto que Gc

es cerrado, entonces cl(A) ⊆ Gc. Por tanto, U 6⊆ cl(A); luego, int(cl(A)) = ∅. ¥

Lema IX.2.4. Sea X un espacio topologico.(a) U ∈ DG(X) =⇒ U c ∈ ND(X).

(b) B ∈ ND(X) ⇐⇒ int(Bc) ∈ DG(X).

Demostracion: ((a)): Sea G 6= ∅ abierto. Sea G1 = U ∩G. Entonces

(–) G1 es abierto. [[G y U abiertos]].

(–) G1 6= ∅. [[U denso y G abierto]].

Puesto que G1 ∩ U c = ∅, de lo anterior se sigue el resultado.

((b)): (=⇒): Puesto que int(Bc) es abierto basta probar que es denso. Sea U ∈ G(X),no vacıo. Puesto que B ∈ ND(X), existe G ⊆ U , no vacıo, tal que G ∩ B = ∅.


Entonces G ⊆ Bc. Por tanto, G ⊆ int(Bc); en consecuencia, U ∩ int(Bc) 6= ∅. Portanto, int(Bc) ∈ D(X).

(⇐=): Sean U ∈ G(X) no vacio y G = int(Bc) ∩ U . Entonces

(–) G ∈ G(X). [[Pues D,U ∈ G(X)]].

(–) G 6= ∅. [[Pues int(Bc) ∈ D(X) y U ∈ G(X) no vacio]].

(–) G ⊆ U .

Ademas, puesto que int(Bc) ⊆ Bc,

B ∩G = B ∩ (int(Bc) ∩ U) = (B ∩ int(Bc)) ∩ U = ∅ ∩ U = ∅.Por tanto, de IX.2.3 se sigue que B ∈ ND(X). ¥

Lema IX.2.5. Sean X, Y espacios topologicos y f : X −→ Y inmersion. Si A ∈ND(X), entonces f(A) ∈ ND(Y ).

Lema IX.2.6.(a) G ∈ G(X) =⇒ cl(G)−G ∈ ND(X).

(b) F ∈ F(X) =⇒ F − int(F ) ∈ ND(X).

Proposicion IX.2.7. Sean X un espacio topologico, {Gi : i ∈ I} ⊆ G(X) y A ⊆⋃i∈I Gi. Si para todo i ∈ I, Gi ∩ A ∈ ND(X), entonces A ∈ ND(X).

Demostracion: Supongamos que A /∈ ND(X). Entonces existe U ∈ G(X) tal quepara todo G ∈ G(X), ∅ 6= G ⊆ U , G ∩ A 6= ∅. Puesto que A ⊆ ⋃

i∈I Gi, existe i ∈ Ital que U ∩ Gi 6= ∅. Sea G ∈ G(X) tal que ∅ 6= G ⊆ U ∩ Gi. Entonces, de G ⊆ Gi sesigue que:

(A ∩Gi) ∩G = A ∩ (Gi ∩G) = A ∩G 6= ∅.Puesto que U ∩Gi ∈ G(X), A ∩Gi /∈ ND(X). Contradiccion. ¥

2.B Conjuntos densos y abiertos

Lema IX.2.8. Sea X un espacio topologico y A ⊆ X. Son equivalentes

(a) X − A ∈MG(X); es decir, A ∈MGc(X).

(b) Existe {Dn : n ∈ ω} ∈ DG(X) tal que⋂

Dn ⊆ A.

Demostracion: ((a) =⇒ (b)): Sea {An : n ∈ ω} ∈ ND(X) tal que

(–) Ac =⋃

An.

Entonces A =⋂

Acn. Para cada n ∈ ω sea Dn = int(Ac

n). Por IX.2.4-(b), Dn ∈ DG(X).Ademas,

154 2. Conjuntos de primera categorıa

⋂Dn ⊆ ⋂

Acn [[Dn ⊆ Ac

n]]= (

⋃An)c

= (Ac)c

= A.

Lo que prueba (b).

((b) =⇒ (a)): Sea {Dn : n ∈ ω} ∈ DG(X) tal que⋂

Dn ⊆ A. Entonces X − A =Ac ⊆ ⋃

Dcn. Por IX.2.4-(a),

(1) Dcn ∈ ND(X).

Para cada n ∈ ω sea An = Ac ∩Dcn. Entonces X − A = Ac =

⋃An. Ademas, de (1) y

VIII.1.5-(b) se sigue que An ∈ ND(X). Por tanto, X − A ∈MG(X). ¥

Corolario IX.2.9. Sean X un espacio topologico y A ⊆ X. Entonces

(a) A ∈MG(X) ⇐⇒ existe {Dn : n ∈ ω} ⊆ DG(X) tal que⋂

Dn ⊆ Ac.

(b) X ∈MG(X) ⇐⇒ existe {Dn : n ∈ ω} ⊆ DG(X) tal que⋂

Dn = ∅.

Lema IX.2.10. D1, D2 ∈ DG(X) =⇒ D1 ∩D2 ∈ D(X).

Demostracion: Es evidente que tambien, D1 ∩D2 ∈ G(X). Sea G ∈ G(X). Puestoque D1 ∈ D(X), entonces G ∩ D1 6= ∅. Puesto que G ∩ D1 es abierto y D2 ∈ D(X),(G ∩D1) ∩D2 6= ∅. Luego, G ∩ (D1 ∩D2) 6= ∅. Lo que prueba el resultado. ¥

Proposicion IX.2.11. Sea X un espacio topologico. Son equivalentes:

(a) G(X) ∩MG(X) = {∅}.(b) A ∈MG(X) =⇒ Ac ∈ D(X).

(c) La interseccion de toda familia numerable de conjuntos densos y abiertos es unconjunto denso. Es decir, (DG(X))δ ⊆ D(X).

Demostracion: ((a) =⇒ (b)): Sean A ∈MG(X) y G ∈ G(X), no vacıo. Puesto queG /∈MG(X), G 6⊆ A. Por tanto, G ∩ Ac 6= ∅. Luego, Ac ∈ D(X).

((b) =⇒ (c)): Sea {Dn : n ∈ ω} ∈ DG(X). Supongamos que⋂

Dn /∈ D(X). Entonces,por (b), (

⋂Dn)c /∈ MG(X); es decir,

⋃Dc

n /∈ MG(X). Entonces existe n ∈ ω tal queDc

n /∈ ND(X). Por tanto, existe U abierto tal que U ⊆ cl(Dcn). Puesto que Dn es

abierto, Dcn es cerrado; por tanto, cl(Dc

n) = Dcn. En consecuencia, U ⊆ Dc

n; es decir,U ∩Dn = ∅. Lo cual esta en contradiccion con Dn denso.

((c) =⇒ (a)): Sea G ∈ G(X). Supongamos que G ∈ MG(X); es decir, G =⋃

An,donde {An : n ∈ ω} ⊆ ND(X). Para cada n ∈ ω, sea Dn = int(Ac

n), Por IX.2.4-(b),para cada n ∈ ω, Dn ∈ DG(X). Entonces, por (c),

(1)⋂

Dn ∈ D(X).

Ademas,⋂

Dn ⊆⋂

Acn = (

⋃An)c = Gc. Luego, G ∩ (

⋂Dn) = ∅. Lo cual esta en

contradiccion con (1). ¥


2.C Espacios de Baire

Definicion IX.2.12. Sea X un espacio topologico. Diremos que X es un espacio deBaire si todo conjunto abierto, no vacıo, no es de primera categorıa.

Por IX.2.11 se tiene que:

X espacio de Baire ⇐⇒ MG(X) ∩G(X) = {∅} [[Definicion]]⇐⇒ MGc(X) ⊆ D(X)⇐⇒ ∀{Dn : n ∈ ω} ⊆ DG(X) [

⋂Dn ∈ D(X)]

Lema IX.2.13. Si X no es un espacio de Baire, entonces existen G ∈ G(X) no vacıoy {Dn : n ∈ ω} ⊆ DG(X) tales que G ∩ (

⋂Dn) = ∅.

Demostracion: Puesto que X no es un espacio de Baire, existe G ∈ G(X) no vacıotal que G ∈ MG(X). Entonces por IX.2.9 existe {Dn : n ∈ ω} ⊆ DG(X) tal que⋂

Dn ⊆ Gc. Por tanto, G ∩ (⋂

Dn) = ∅. ¥

Lema IX.2.14. Sea X un espacio de Baire.

cl(A) ∈MG(X) ⇐⇒ A ∈ ND(X).

Es decir, F(X) ∩MG(X) ⊆ ND(X).

Demostracion: (⇐=): Trivial.

(=⇒): En efecto,

cl(A) ∈MG(X) =⇒ int(cl(A)) ∈MG(X) [[int(cl(A)) ⊆ cl(A)]]=⇒ int(cl(A)) = ∅ [[int(cl(A)) ∈ G(X) y X de Baire]]=⇒ A ∈ ND(X).


Lema IX.2.15. Sean X un espacio de Baire y G ⊆ X abierto. Entonces G es unespacio de Baire.

Demostracion: Sea {Dn; n ∈ ω} ⊆ DG(G). Puesto que G ∈ G(X), Dn ∈ G(X).Para cada n ∈ ω sea D′

n = Dn ∪ (clX(G))c. Se tiene que:

Aserto IX.2.15.1. Para todo n ∈ ω, D′n ∈ DG(X).

Prueba del aserto: Es evidente que D′n ∈ G(X). Sea U ∈ G(X) no vacıo.

Veamos que D′n ∩ U 6= ∅. Consideremos los siguientes casos:

Caso 1: U ∩G 6= ∅. Puesto que U ∩G ∈ G(G) y Dn ∈ D(G), Dn ∩ (U ∩G) 6= ∅.Por tanto, de Dn ∩ (U ∩G) ⊆ D′

n ∩ U , se sigue que D′n ∩ U 6= ∅.

Caso 2: U ∩ G = ∅. Entonces G ⊆ U c ∈ F(X). Por tanto, clX(G) ⊆ U c; luego,U ⊆ (clX(G))c; es decir, U ⊆ D′

n. Por tanto, D′n ∩ U 6= ∅.


156 3. Conjuntos de medida fuerte cero

Puesto que X es de Baire, de IX.2.11 se sigue que⋂

D′n ∈ D(X). Puesto que⋂

D′n =

⋂(Dn ∪ clX(G)c) = (

⋂Dn) ∪ clX(G)c y clX(G)c ⊆ Gc,

entonces⋂

Dn ∈ D(G). Por tanto, de IX.2.11 se sigue que G es de Baire. ¥

Teorema IX.2.16. (ACω). Si X es un espacio metrico completo, entonces X es unespacio de Baire.

Demostracion: Sea {Dn : n ∈ ω} una sucesion de conjuntos densos y abiertos.Veamos que

⋂Dn es denso. Sea G ∈ G(X) no vacıo. Por recursion sobre n ∈ ω

definimos dos sucesiones {xn : n ∈ ω} ⊆ X, {rn : n ∈ ω} ⊆ R.

(n = 0): Puesto que D0∩G 6= ∅, existen x0 ∈ D0∩G y r0 < 1 tales que cl(B(x0, r0)) ⊆G ∩D0.

(n =⇒ n+1) Puesto que Dn+1 es denso, B(xn, rn)∩Dn+1 6= ∅. Por tanto, existen xn+1

y rn+1 < 1/n + 1 tales que cl(B(xn+1, rn+1)) ⊆ B(xn, rn) ∩Dn+1.

Es evidente que {cl(B(xn, rn)) : n ∈ ω} es una sucesion decreciente de cerrados talque limn∈ω dtr(cl(B(xn, rn))) = 0.

Puesto que X es completo, existe x ∈ X tal que {x} =⋂

cl(B(xn, rn)). Es evidenteque x ∈ G ∩ (

⋂Dn). Por tanto,

⋂Dn es denso. ¥

§3 Conjuntos de medida fuerte cero

Definicion IX.3.1. Sea A ⊆ R. Diremos que A tiene medida fuerte cero, A ∈ SN(R),si para toda sucesion {εn : n ∈ ω} ⊆ R>0 existe una sucesion {In : n ∈ ω} de intervalosabiertos tal que

(a) ∀n (lg(In) ≤ εn).

(b) A ⊆ ⋃n∈ω In.

Proposicion IX.3.2.

(a) A numerable =⇒ A ∈ SN(R).

(b) A ∈ SN(R) =⇒ A ∈ Nλ(R).

(c) (ACω): SN(R) es un σ–ideal sobre R.

Demostracion: ((a)): Sea A ⊆ R numerable, A = {an : n ∈ ω}. Sea {εn : n ∈ ω} ⊆R>0. Para cada n ∈ ω sea In = (an − (εn/2), an + (εn/2)).

Entonces A ⊆ ⋃In y lg(In) = εn. Por tanto, A ∈ SN(R).

((b)): Sean A ∈ SN(R) y ε > 0. Consideremos la sucesion {ε/2n+1 : n ∈ ω}. Entoncesexiste {In : n ∈ ω} sucesion de intervalos abiertos tal que lg(In) ≤ ε/2n+1, y A ⊆ ⋃

In.


Ademas, λ(⋃

In) ≤ ∑lg(In) =

∑ε/2n+1 = ε. Por tanto, A ∈ Nλ(R).

((c)): Es suficiente probar que si {An : n ∈ ω} ⊆ SN(R), entonces⋃

An ∈ SN(R). Sea{εn : n ∈ ω} ⊆ R>0. Sea {Bm : n ∈ ω} una particion de ω en conjuntos infinitos. Paracada m ∈ ω consideremos la subsucesion SBm = {εn : n ∈ Bm}. Sea {Im

n : n ∈ Bm}una sucesion de intervalos abiertos tales que

(–) ∀n ∈ SBm [lg(Imn ) ≤ εn], y

(–) Am ⊆ ⋃n∈Bm

Imn .

Para cada n ∈ ω definimos In como sigue: Sea m ∈ ω el unico elemento tal que n ∈ Bm.Entonces In = Im

n . Se tiene que

(–)⋃

n∈ω An ⊆⋃

m∈ω (⋃

n∈BmImn ) =

⋃n∈ω In.

(–) Para todo n ∈ ω, lg(In) = lg(Imn ) ≤ εn.

Por tanto,⋃

An ∈ SN(R). ¥

Proposicion IX.3.3. (ACω). Sean A ⊆ [0, 1] y f : [0, 1] −→ R continua. Entonces

A ∈ SN(R) =⇒ f(A) ∈ SN(R).

Demostracion: Sea {εn : n ∈ ω} ⊆ R>0. Puesto que [0, 1] es compacto y f escontinua, entonces f es uniformente continua. Por tanto, para todo n ∈ ω existe δn > 0tal que para todo B ⊆ [0, 1]

(–) dtr(B) ≤ δn =⇒ dtr(f(B)) ≤ εn.

Consideremos la sucesion {δn : n ∈ ω}. Puesto que A ∈ SN(R) existe {In : n ∈ ω} talque A ⊆ ⋃

In y lg(In) ≤ δn. Para cada n ∈ ω sea Jn = f(In). Entonces

(–) f(A) ⊆ f(⋃

In) =⋃

f(In) =⋃

Jn, y

(–) lg(In) ≤ δn =⇒ lg(Jn) ≤ εn.

Por tanto, f(A) ∈ SN(R). ¥

Proposicion IX.3.4. Sea C ⊆ R el conjunto de Cantor. Entonces

(a) λ(C) = 0.

(b) C /∈ SN(R).

Demostracion: ((a)): Por definicion, C =⋂

Fn donde λ(Fn) = (2/3)n. Por tanto,λ(C) = 0.

((b)): Consideremos la sucesion {1/3n+1 : n ∈ ω}. Supongamos que existe {In : n ∈ ω}sucesion de intervalos abiertos tal que C ⊆ ⋃

In y

(–) λ(In) ≤ 1/3n+1.

Puesto que C es compacto, de C ⊆ ⋃In se sigue que existe m ∈ ω tal que C ⊆

I0 ∪ . . . ∪ Im. De aquı se obtiene una contradiccion con lg(Ik) ≤ 1/3k+1. ¥

158 3. Conjuntos de medida fuerte cero

Proposicion IX.3.5. Sea A ⊆ R tal que existe P ⊆ A con P perfecto. EntoncesA /∈ SN(R).

Demostracion: Si A contiene a un conjunto perfecto, entonces por VI.3.8 existeB ⊆ A tal que B ∼= C. Puesto que (IX.3.4), C /∈ SN(R); por tanto, de IX.3.3 se sigueque B /∈ SN(R). En consecuencia, A /∈ SN(R). ¥

Notas Tc09

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