Notas Mecánica Analítica - Carlos Quimbay

NOTAS DE MECANICAANALITICA

Carlos Quimbay

Universidad Nacional de Colombia

Departamento de Fısica

Indice general

0. Introduccion 1

0.1. Sistemas de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

0.2. Cambio de sistemas de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . 4

0.3. Velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

0.4. Aceleracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

0.5. Velocidad angular y aceleracion angular . . . . . . . . . . . . 8

0.5.1. Rotaciones infinitesimales y el vector velocidad angular 9

1. Formulacion Newtoniana de la mecanica clasica 11

1.1. Aspectos basicos de cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.1. Notacion vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.1.2. Sistemas de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.3. Vector posicion y cambio de sistema de coordenadas . 14

1.1.4. Vector velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.1.5. Vector aceleracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.1.6. Velocidad angular y aceleracion angular . . . . . . . . 18

1.1.7. Rotacion infinitesimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2. Leyes de movimiento de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.2.1. Primera ley de movimiento (ley de la inercia) . . . . . 20

1.2.2. Segunda ley de movimiento (ley de fuerza) . . . . . . 20

1.2.3. Tercera ley de movimiento (ley de accion y reaccion) . 21

1.3. Movimiento rotacional: leyes de Newton rotacionales . . . . . 21

1.4. Trabajo y energıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.5. Fuerza conservativa y energıa potencial . . . . . . . . . . . . . 24

1.6. Conservacion del momento lineal y del momento angular . . . 27

2. Formulacion Lagrangiana de la mecanica clasica 29

2.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2. Grados de libertad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

i

ii INDICE GENERAL

2.3. Conjunto propio de coordenadas generalizadas . . . . . . . . 33

2.3.1. Coordenadas generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.4. Espacio de configuracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.5. Ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.5.1. Ligaduras holonomicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.5.2. Ligaduras no-holonomicas . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.5.3. Ligaduras escleronomicas . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.5.4. Ligaduras reonomicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.6. Principio de D’Alembert y ecuaciones de Lagrange . . . . . . 46

2.6.1. Desplazamiento virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.6.2. Trabajo virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.6.3. Principio de trabajo virtual . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.6.4. Formulacion equivalente del principio de trabajovirtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.6.5. Fuerzas generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.6.6. Principio de D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.6.7. Ecuaciones de Lagrange a partir del principio deD’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.7. Energıa cinetica en coordenadas generalizadas . . . . . . . . . 64

2.8. Momento generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.9. Coordenada generalizada cıclica o ignorable . . . . . . . . . . 80

3. Principio variacional de Hamilton y ecuaciones de Euler-

Lagrange 85

3.1. Principio de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.2. Ecuaciones de Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3.3. Algunos antecedentes historicos del principio de Hamilton . . 91

3.4. Funcion de disipacion de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.4.1. Fuerzas de friccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.5. Integrales de movimiento y leyes de conservacion . . . . . . . 98

3.6. Homogeneidad del espacio y conservacion del momento lineal 99

3.7. Isotropıa del espacio y conservacion del momento angular . . 102

3.8. Homogeneidad del tiempo y conservacion de la energıa . . . . 105

3.9. Invariancia de las ecuaciones de Euler Lagrange . . . . . . . . 113

4. Fuerzas no conservativas y metodo de los multiplicadores de

Lagrange 117

4.1. Fuerzas dependientes de las velocidades . . . . . . . . . . . . 117

4.1.1. Partıcula cargada en presencia de un campo electro-magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

INDICE GENERAL iii

4.2. Fuerzas impulsivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

4.2.1. Principio de impulso y momento lineal . . . . . . . . . 121

4.2.2. Obtencion del principio de impulso y momento linealen el formalismo Lagrangiano . . . . . . . . . . . . . . 122

4.3. Metodo de los multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . 125

4.3.1. Para sistemas no-holonomicos . . . . . . . . . . . . . . 127

4.3.2. Para sistemas holonomicos . . . . . . . . . . . . . . . 130

5. Movimiento bajo una fuerza central 145

5.1. El problema de los dos cuerpos y masa reducida . . . . . . . 145

5.2. Propiedades del movimiento bajo una fuerza central . . . . . 153

5.2.1. Movimiento confinado a un plano . . . . . . . . . . . . 155

5.2.2. El momento angular una constante de movimiento . . 158

5.2.3. Ley de areas iguales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

5.2.4. Energıa una constante de movimiento . . . . . . . . . 160

5.3. Potencial efectivo y clasificacion de orbitas . . . . . . . . . . . 163

Movimiento en un campo de fuerza F (r) = − k

r2. . . 165

5.4. Solucion general al problema del movimiento en un campo defuerza central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

5.4.1. Metodo de la energıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

5.4.2. Metodo lagrangiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

5.5. Ley del inverso del cuadrado de la distancia . . . . . . . . . . 174

5.6. Leyes de Kepler del movimiento planetario . . . . . . . . . . . 181

6. Formulacion hamiltoniana 185

6.1. Hamiltoniano de un sistema dinamico . . . . . . . . . . . . . 185

6.2. Espacio de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

6.3. Transformacion de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

6.4. Ecuaciones canonicas de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . 192

6.4.1. Ecuaciones de Hamilton a partir de las ecuaciones deEuler-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

6.5. Coordenadas cıclicas y teoremas de conservacion . . . . . . . 196

6.6. Notacion simplectica de las ecuaciones de Hamilton . . . . . . 199

6.7. Propiedades del hamiltoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

6.8. Integral jacobiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

6.9. Metodo de Routh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

6.10. Ecuaciones de Hamilton a partir de principio variacional . . . 215

6.11. Principio de mınima accion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

iv INDICE GENERAL

7. Transformaciones canonicas 225

7.1. Transformaciones canonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2277.2. Corchetes de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

7.2.1. Ecuaciones de movimiento en forma de corchetes dePoisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

7.2.2. Corchetes de Poisson e integrales de movimiento . . . 2357.2.3. Invariancia de los corchetes de Poisson . . . . . . . . . 236

7.3. Transformacion canonica infinitesimal . . . . . . . . . . . . . 2377.4. Ecuacion de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

8. Teorıa de Hamilton-Jacobi 253

8.1. Funcion caracterıstica de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . 2568.2. Sistema con coordenadas cıclicas . . . . . . . . . . . . . . . . 265

8.2.1. Sistema no-conservativo . . . . . . . . . . . . . . . . . 2658.3. Sistema conservativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

9. Variables angulares y de accion para sistemas periodicos 271

9.1. Sistemas con un grado de libertad . . . . . . . . . . . . . . . 2719.2. Variables angulares y de accion para sistemas multi-periodicos 280

9.2.1. Sistemas con n grados de libertad: completamente sep-arables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

9.2.2. Caso oscilatorio (“de libracion”) . . . . . . . . . . . . 2849.2.3. Caso rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

9.3. Atomo de hidrogeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2969.4. Atomo de Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2989.5. Lagrangiano y hamiltoniano del atomo de hidrogeno . . . . . 301

10.Mecanica analıtica relativista 303

10.1. Dinamica relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

11.El oscilador amortiguado 309

12.Oscilaciones no-lineales 317

12.1. Diagramas de energıa-fase: analisis cualitativo . . . . . . . . . 32012.1.1. Diagramas de energıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32112.1.2. Diagramas de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

12.2. Integrales elıpticas y oscilaciones no-lineales . . . . . . . . . . 32512.3. Oscilaciones caoticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32912.4. Oscilaciones acopladas y coordenadas normales . . . . . . . . 33312.5. Osciladores acoplados y modos normales . . . . . . . . . . . . 337

Indice de figuras

1. Sistema de coordenadas cartesianas indicando los vectoresunitarios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2. Vector r(t) de posicion de una partıcula en un sistema decoordenadas cartesianas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3. Cambio de coordenadas por rotacion. . . . . . . . . . . . . . . 4

4. Cambio del vector de posicion de una partıcula con el tiempo.La lınea tangente a r indica la direccion del vector v. . . . . 6

1.1. Sistema de coordenadas cartesianas indicando los vectoresunitarios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2. Vector r(t) de posicion de una partıcula en movimiento en unsistema de coordenadas cartesianas. . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3. Cambio de coordenadas por rotacion. . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4. Cambio del vector de posicion de una partıcula con el tiempo.La lınea tangente a la trayectoria en el punto P indica ladireccion del vector v. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5. La fuerza realizada por la partıcula 1 sobre la partıcula 2(F21) es igual en magnitud pero de sentido contrario a lafuerza realizada por la partıcula 2 sobre la partıcula 1 (F12). 21

1.6. Una partıcula es desplazada del punto A al punto B a lo largode un camino arbitrario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.7. Torque actuando a traves de un angulo dθ. . . . . . . . . . . 24

1.8. Diferentes caminos para ir de (0, 0, 0) a (1, 1, 1) . . . . . . . . 25

2.1. Sistema de N partıculas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2. Sistema de tres partıculas conectadas por tres varillas rıgidas. 32

2.3. Localizacion del triangulo en terminos de las tres coordenadascartesianas de un punto sobre este y los tres angulos de Euler. 33

2.4. Partıcula restringida a moverse en un camino circular. . . . . 36

v

vi INDICE DE FIGURAS

2.5. Espacio de configuracion de un sistema de dos dimensiones. . 37

2.6. Dos partıculas conectadas por una varilla de longitud l. . . . 39

2.7. Espacio de configuracion para un sistema de dos partıculasunidas por una varilla de longitud l. . . . . . . . . . . . . . . 41

2.8. Disco de radio a rotando sobre una superficie sin deslizarse. . 42

2.9. Pendulo de longitud b inextensible. . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.10. Pendulo de longitud b variable en el tiempo. . . . . . . . . . . 45

2.11. Partıcula que se mueve sobre un alambre rıgido que esta rotan-do uniformemente alrededor de uno de sus ejes fijos. . . . . . 46

2.12. Dos partıculas conectadas por una varilla rıgida sin masa. . . 50

2.13. Cuerpo deslizandose sobre una superficie S. . . . . . . . . . . 51

2.14. Disco rodando sin deslizarse sobre una superficie plana. . . . 52

2.15. Sistema de partıculas en reposo relativo. . . . . . . . . . . . . 53

2.16. Barra de masa uniforme recostada contra una pared. . . . . . 55

2.17. Partıcula simple moviendose libremente en una dimension. . . 68

2.18. Pendulo simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.19. Masa de Hook. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.20. Masa de Hook sujeta a una fuerza senosoidal. . . . . . . . . . 72

2.21. Partıcula moviendose en el plano xy sujeta a una fuerza atrac-tiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

2.22. Maquina de Atwood. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

2.23. Plano inclinado deslizandose sobre una superficie horizontaly partıcula deslizandose sobre la superficie inclinada. . . . . . 78

3.1. Diferentes trayectorias en el espacio de configuracion del sis-tema que conectan la configuracion q1 en t1 con la configu-racion q2 en t2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.2. Un sistema cerrado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

3.3. Desplazamiento del sistema de coordenadas en una cantidadδr. Esto es equivalente a desplazar cada partıcula del sistemaen una cantidad δr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.4. Rotacion en el espacio δθ de un sistema. . . . . . . . . . . . . 103

3.5. Anillo de masa m deslizandose sobre un alambre circular deradio a que rota alrededor del punto O con una velocidadangular ω. 3.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

3.6. Pendulo esferico de longitud ell y masas m del ejemplo 3.3. . 111

4.1. Partıcula moviendose sobre un hemisferio. . . . . . . . . . . . 131

INDICE DE FIGURAS vii

4.2. Bloque de masa M deslizandose sobre una superficie hori-zontal y bloque de masa m deslizandose sobre la superficieinclinada del primer bloque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

4.3. Coordenada generalizada x3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

4.4. Componentes de la velocidad v. . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

4.5. Aro rodando sin deslizarse sobre una superficie inclinada. . . 141

5.1. Sistema conservativo de dos partıculas interactuantes de masasm1 y m2, cuyas posiciones estan descritas por los vectores r1

y r2, respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

5.2. Sistema de la figura 5.1, ahora descrito por el vector posiciondel centro de masa R y el vector separacion entre las dospartıculas r. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

5.3. Posiciones de las partıculas de masas m1 y m2 referidas alcentro de masa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

5.4. Trayectorias de las dos partıculas. . . . . . . . . . . . . . . . . 152

5.5. Movimiento descrito por r. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

5.6. Centro de masa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

5.7. Fuerza sobre µ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

5.8. Movimiento de la partıcula de masa µ confinado a un plano. . 156

5.9. Coordenadas polares (r, θ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

5.10. Ilustracion de la segunda ley de Kepler. Bajo la accion deuna fuerza central como en el caso de un planeta describiendouna orbita alrededor del sol, el vector de posicion bare areasiguales en tiempos iguales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

5.11. Movimiento bajo una fuerza central visto desde 0. . . . . . . 163

5.12. Potencial efectivo para el ejemplo 5.1. . . . . . . . . . . . . . 165

5.13. Trayectoria hiperbolica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

5.14. Cuando ∆θ no es una fraccion racional de 2π, la trayectoriano se cierra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

5.15. Clase de orbita segun la excentricidad, para fuerza atractiva. 180

5.16. Dispersion de partıculas alfa por nucleos pesados. Geiger yMarsden, 1909. Este es el tipo de orbita en el caso de fuerzarepulsiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

5.17. Orbitas elıpticas de los planetas con el sol en uno de los focosde la elipse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

6.1. Espacio de configuracion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

6.2. Espacio de configuracion formulacion lagrangiana. . . . . . . 188

6.3. Espacio de configuracion formulacion hamiltoniana. . . . . . . 188

viii INDICE DE FIGURAS

6.4. Espacio de fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

6.5. Espacio de fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

6.6. Masa sometida a una fuerza de Hook. . . . . . . . . . . . . . 205

6.7. Trayectoria clasica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

6.8. Camino correcto y variado para una variacion ∆ en el espaciode configuraciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

7.1. Transformaciones de coordenadas. . . . . . . . . . . . . . . . 226

8.1. Masa sometida a una fuerza de Hook. . . . . . . . . . . . . . 259

8.2. Partıcula atraıda por una fuerza gravitacional inverso delcuadrado a un punto 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

9.1. Pendulo simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

9.2. Movimiento oscilatorio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

9.3. Movimiento fasico posible para todos los valores de θ. . . . . 274

9.4. Movimiento de rotacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

9.5. Sistema masa-resorte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

9.6. Partıcula moviendose en un campo de fuerza central. . . . . . 289

9.7. Atomo de hidrogeno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

9.8. Niveles de energıa del atomo de hidrogeno en el modelo deBohr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

9.9. Emision de un foton con E = hν. . . . . . . . . . . . . . . . . 297

9.10. Atomo de Bohr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

11.1. Oscilador amortiguado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

11.2. Bajo amortiguamiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

11.3. Energıa del oscilador armonico amortiguado. . . . . . . . . . 313

11.4. Trayectoria en el caso de amortiguamiento crıtico. . . . . . . 314

11.5. Trayectoria en el caso de sobre-amortiguamiento. . . . . . . . 316

11.6. Casos de amortiguamiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

12.1. Sistema oscilatorio lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

12.2. Sistema amortiguado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

12.3. Sistema de resorte intrınsecamente no lineal. . . . . . . . . . . 319

12.4. Energıa potencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

12.5. Potencial y fuerza restauradora de un sistema no-lineal. . . . 322

12.6. Trayectoria de fase de un movimiento aperiodico. . . . . . . . 324

12.7. Pendulo simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

12.8. Trayectorias del pendulo simple en el plano de fase. . . . . . . 329

12.9. Oscilador de Van der Pol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

INDICE DE FIGURAS ix

12.10.Oscilador de Van der Pol forzado. . . . . . . . . . . . . . . . . 33212.11.Sistema de dos pendulos acoplados. . . . . . . . . . . . . . . . 33312.12.Cuerda de extremos fijos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33812.13.Cuerda de extremos fijos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

x INDICE DE FIGURAS

Indice de cuadros

5.1. Clases de orbitas y su relacion con la excentricidad y el valorde la energıa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

xi

xii INDICE DE CUADROS

Capıtulo 0

Introduccion

La mecanica clasica estudia el movimiento de cuerpos fısicos (partıculasde Newton) a nivel macroscopico. Sus fundamentos fueron aportados porNewton y Galileo en el siglo 17.

La fısica esencial de la mecanica clasica se encuentra contenida en lastres leyes de movimiento de Newton.

La mecanica clasica ha sido bien reformulada de diferentes maneras,tales como los formalismos de Lagrange, Hamilton y Hamilton-Jacobi. Estasformulaciones son alternativas pero equivalentes a la mecanica newtoniana.

El rango de validez de la mecanica clasica es el dominio macroscopi-co, pero a nivel microscopico el papel de la mecanica clasica lo asume lamecanica cuantica. Para fenomenos que involucran velocidades cercanas ala velocidad de la luz, la mecanica clasica ha sido modificada por la teorıade la relatividad especial.

Las dinamicas hamiltoniana y lagrangiana son el punto de partida de lamecanica cuantica, mecanica estadıstica y teorıa cuantica de campos. Tam-bien aspectos del comportamiento no lineal, es decir, el caos y movimientoestocastico, son analizados usando la mecanica clasica.

El presente capıtulo presenta una serie de conceptos fundamentales,tales como velocidad y aceleracion. La rama de la mecanica que describeel movimiento, y que no requiere de un conocimiento de su causa se llamacinematica, mientras que la parte de la mecanica que concierne al mecanismofısico que causa el movimiento se llama dinamica.

Mecanica

Cinematica: Describe el movimiento de los cuerpos

Dinamica: Estudia el mecanismo fısico que

causa el movimiento de los cuerpos

1

2 CAPITULO 0. INTRODUCCION

Los conceptos mas basicos para el estudio del movimiento son los de espacioy tiempo. En la mecanica clasica estos conceptos son absolutos.

Se asume que la escala de tiempo es universal en el sentido de que losobservadores quienes han sincronizado sus relojes siempre coincidiran en eltiempo de cualquier evento y que la geometrıa del espacio es euclidiana.

Espacio: Euclidiano (plano) y absoluto.

Tiempo: Absoluto.

Partıcula newtoniana: Cuerpo clasico.

Un cuerpo tiene masa y extension, mientras que una partıcula es un cuerpocuyas dimensiones pueden ser despreciadas en la descripcion de su movimien-to. Ası, una partıcula posee masa sin tener extension fısica.

Se introducira una notacion vectorial que no se refiere explıcitamentea un sistema de coordenadas particular. Una cantidad vectorial se deno-tara por A, mientras que su magnitud |A | por A.

x1

x3

x2

A

P (x1, x2, x3)

e2e1

e3

x1

x2

x3

Figura 1. Sistema de coordenadas cartesianas indicando los vectores unitarios.

Un vector unitario en la direccion del vector A se denota por la corre-spondiente letra con un acento circunflejo (gorro) sobre ella:

A =A

A

0.1. SISTEMAS DE REFERENCIA 3

Un vector puede especificarse por sus componentes y los vectores unitariosa lo largo de los ejes. En el sistema de coordenadas cartesianas un vectorarbitrario A puede expresarse como

A = A1e1 + A2e2 + A3e3 =3∑

i=1

Aiei

donde ei(i = 1,2,3) son vectores unitarios a lo largo de los ejes rectangularesxi (x1 = x, x2 = y, x3 = z en la figura 1.1). Otra forma de expresar el vectorA es:

A = (Ax, Ay, Az)

Los productos escalar y vectorial de dos vectores A y B se escriben respec-tivamente como A · B y A × B.

0.1. Sistemas de referencia

x1

x3

x2

r0

r(t)

P (x1, x2, x3)

P0(x01, x

02, x

03)

t0

e2e1

e3

Figura 2. Vector r(t) de posicion de una partıcula en un sistema de coordenadascartesianas.

Para describir el movimiento de un cuerpo es necesario especificar su posicionen el espacio como funcion del tiempo. Nos ayudamos al hacer uso de uncuerpo o grupo de cuerpos como un sistema de referencia, relativo al cualel movimiento del cuerpo puede ser medido. En mecanica se usa un sistema


de coordenadas como sistema de referencia. El tipo basico es el sistema decoordenadas cartesiano o rectangular. Segun la figura 1.2, el vector r queda la posicion de una partıcula esta dado por:

r = x1(t)e1 + x2(t)e2 + x3(t)e3 =

3∑

i=1

xi(t)ei

En problemas con simetrıas particulares, es conveniente usar coordenadasno rectangulares. En el caso de simetrıa axial o esferica, es adecuado usarcoordenadas cilındricas o polares esfericas respectivamente.

Un sistema de referencia puede escogerse arbitrariamente en un numeroinfinito de formas y la descripcion del movimiento en diferentes marcos sera,en general, diferente.

Hay marcos de referencia relativos a aquellos cuerpos que no interactuancon otros cuerpos y se mueven uniformemente en una lınea recta.

Sistemas de referencia que no interactuan con otros cuerpos y que semueven en lınea recta se llaman sistemas inerciales de referencia. Cualquierobjeto moviendose a velocidad constante respecto a un sistema inercial tam-bien es un sistema inercial.

0.2. Cambio de sistemas de coordenadas

x1

x3

x2

r = r ′

Pb

x ′

2

x ′

1

x ′

3

Figura 3. Cambio de coordenadas por rotacion.

0.2. CAMBIO DE SISTEMAS DE COORDENADAS 5

La transformacion ortogonal esta dada por:

r = x1e1 + x2e2 + x3e3 =

3∑

i=1

xiei (1)

y

r = x ′

1e′

1 + x ′

2e′

2 + x ′

3e′

3 =

3∑

i=1

x ′

i e′

i (2)

Tomando el producto escalar de (1.2) con e ′

1 y usando la relacion

e ′

i · e ′

j = δij

{0 i 6= j

1 i = j

donde δij es el delta de Kronecker, se obtiene:

x ′

1 = r · e ′

1

Haciendo lo mismo con e ′

2 y e ′

3:

x ′

2 = r · e ′

2

x ′

3 = r · e ′

3

Combinando esto con la ecuacion (1.1):

x ′

i = r · e ′

i

es decir:

x ′

i =3∑

j=1

xj ej · e ′

i

=3∑

j=1

e ′

i · ej xj

=3∑

j=1

λijxj (i = 1,2,3)

Las cantidades e ′

i · ej = λij son los coeficientes de la transformacion.

e ′

i · ej = λij = cos(x ′

i , xj) (i, j = 1, 2, 3)


0.3. Velocidad

x1

x3

x2

r(t)r(t + ∆t) = r + ∆r

P

∆r

e2e1

e3

Figura 4. Cambio del vector de posicion de una partıcula con el tiempo. La lıneatangente a r indica la direccion del vector v.

La posicion del vector r de una partıcula moviendose y que cambia P conel tiempo se muestra en la figura 1.4. El vector velocidad de la partıcula sedefine como:

v(t) =dr

dt= lım

∆t→0

∆r

∆t

v(t) = lım∆t→0

r(t + ∆t) − r(t)

∆t

y es un vector tangente a la trayectoria o camino de la partıcula, como seobserva en la figura 1.4.

v = vet

siendo

et =v

v

Si

r = r(t) = x(t)e1 + y(t)e2 + z(t)e3

0.4. ACELERACION 7

entonces

v =dr

dt= e1

dx

dt+ e2

dy

dt+ e3

dz

dt

y la magnitud de la velocidad es

v = |v | =

√(

dxdt

)2+(

dydt

)2+(

dzdt

)2=

ds

dt

0.4. Aceleracion

a = lım∆t→0

∆v

∆t=

dv

dt=

d2r

dt2(3)

La velocidad puede variar en magnitud y direccion, por tanto el vector acel-eracion tiene dos componentes, una paralela a la velocidad y otra perpen-dicular. Para determinar estas velocidades, se escribe v = vet en (1.3)

a =d(vet)

dt=

dv

dtet + v

det

dt= atet + v

det

dt(4)

donde se ha definido

at = |at | =dv

dt

Ya que et es un vector constante de magnitud uno

et · et = 1

entonces

d(et · et)

dt= 0

et ·det

dt+

det

dt· et = 0

de donde

2et ·det

dt= 0


luego

et ⊥det

dt

Por lo tanto

de⊥dt

=det

ds

ds

dt= v

det

ds= v

∣∣∣∣det

dt

∣∣∣∣ en

donde en es un vector normal al camino de movimiento y∣∣∣ de⊥

dt

∣∣∣ la magnitud

de det

dt , es la curvatura del camino de movimiento.El segundo termino de (1.4) es un vector normal al camino de movimiento

y esta siempre apuntando al centro de curvatura sobre el lado concavo delcamino de movimiento.

La componente normal es llamada la aceleracion centrıpeta an = v2/ρ.La aceleracion en terminos de an y at es:

a = atet + anen

= vet +(

v2

ρ

)en

siendo

v =dv

dt

0.5. Velocidad angular y aceleracion angular

Las cantidades basicas del movimiento lineal son desplazamientos, velocidady aceleracion

Mov. lineal → Mov, de rotacion

desplazamiento → desplazamiento angular

velocidad → velocidad angular

aceleracion → aceleracion angular

El desplazamiento angular θ puede ser medido en grados pero es mas ade-cuado usar radianes.

θ =s

r

0.5. VELOCIDAD ANGULAR Y ACELERACION ANGULAR 9

donde s es la longitud de arco de la circunferencia, y r el radio de la misma

ω = lım∆t→0

∣∣∣∣∆θ

∆t

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣dθ

dt

∣∣∣∣

es la velocidad angular, y

α = lım∆t→0

∣∣∣∣∆ω

∆t

∣∣∣∣ =dω

dt

es la aceleracion angular

0.5.1. Rotaciones infinitesimales y el vector velocidad angu-lar

La rotacion infinitesimal es una transformacion ortogonal infinitesimal

x ′

i = xi +

3∑

j=1

ǫijxj

x ′

i =

3∑

j=1

(δij + ǫij)xj (i = 1, 2, 3)

x ′ = (I + ǫ)x

I = [δij ] =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

ǫ = [ǫij ] =

ǫ11 ǫ12 ǫ13

ǫ21 ǫ22 ǫ23

ǫ31 ǫ32 ǫ33

Capıtulo 1

Formulacion Newtoniana dela mecanica clasica

La rama de la mecanica clasica que describe el movimiento de los cuerpos,sin hacer alusion alguna a su causa, se llama cinematica, mientras que laparte de la mecanica que estudia la causa u origen del movimiento se llamadinamica. En este capitulo se presenta una version resumida de la formu-lacion Newtoniana de la mecanica clasica. Primero se presentan algunosaspectos basicos de la cinematica y posteriormente se presentan algunos dela dinamica.

1.1. Aspectos basicos de cinematica

Los conceptos mas basicos para el estudio del movimiento de una partıcu-la Newtoniana son los de espacio y tiempo. En la mecanica clasica estosconceptos son absolutos. Se asume que la escala de tiempo es universal en elsentido de que diferentes observadores, quienes han sincronizado sus relojes,siempre coincidiran en la medicion del tiempo de cualquier evento y que lageometrıa del espacio es euclidiana.

Se sabe que un cuerpo clasico tiene masa y extension, mientras que unapartıcula Newtoniana es un cuerpo clasico cuyas dimensiones pueden serdespreciadas en la descripcion de su movimiento. Ası, una partıcula Newto-niana, a la que nos referiremos simplemente como partıcula, posee masa sintener extension fısica.

11

12 CAPITULO 1. Formulacion Newtoniana de la mecanica clasica

1.1.1. Notacion vectorial

Se introduce una notacion vectorial que no se refiere explıcitamente a unsistema de coordenadas particular. Una cantidad vectorial se denotara porA, mientras que su magnitud |A | por A.

x1

x3

x2

A

P (x1, x2, x3)

e2e1

e3

x1

x2

x3

Figura 1.1. Sistema de coordenadas cartesianas indicando los vectores unitarios.

Un vector unitario en la direccion del vector A se denota por la correspon-diente letra con un acento circunflejo (gorro) sobre ella:

A =A

A

Un vector puede especificarse por sus componentes y los vectores unitariosa lo largo de los ejes. En el sistema de coordenadas cartesianas un vectorarbitrario A puede expresarse como

A = A1e1 + A2e2 + A3e3 =

3∑

i=1

Aiei

donde ei(i = 1,2,3) son vectores unitarios a lo largo de los ejes rectangularesxi (x1 = x, x2 = y, x3 = z en la figura 1.1). Otra forma de expresar el vectorA es:

A = (Ax, Ay, Az)

Los productos escalar y vectorial de dos vectores A y B se escriben respec-tivamente como A · B y A × B.

1.1. ASPECTOS BASICOS DE CINEMATICA 13

1.1.2. Sistemas de referencia

Para describir el movimiento de ua partıcula es necesario especificar su posi-cion en el espacio como funcion del tiempo. Para esto, nos ayudamos al usarun cuerpo, o grupo de cuerpos, como un sistema de referencia relativo alcual el movimiento de la partıcula puede ser descrito. En mecanica se usaun sistema de coordenadas como sistema de referencia. El tipo basico esel sistema de coordenadas cartesiano o rectangular. Segun la figura 1.2, elvector r que da la posicion de una partıcula esta dado por:

r = x1(t)e1 + x2(t)e2 + x3(t)e3 =3∑

i=1

xi(t)ei

En problemas con simetrıas particulares, es conveniente usar coordenadasno rectangulares. En el caso de simetrıa axial o esferica, es adecuado usarcoordenadas cilındricas o polares esfericas respectivamente.

x1

x3

x2

r0

r(t)

P (x1, x2, x3)

P0(x01, x

02, x

03)

t0

e2e1

e3

Figura 1.2. Vector r(t) de posicion de una partıcula en movimiento en un sistemade coordenadas cartesianas.

Un sistema de referencia puede escogerse arbitrariamente de muchas for-mas y la descripcion del movimiento en cada uno de los sistemas de referenciasera, en general, diferente.

Existen sistemas de referencia definidos a partir de cuerpos que no in-teractuan con otros cuerpos y que se mueven uniformemente en una lınearecta. Sistemas de referencia que no interactuan con otros cuerpos y que semueven en lınea recta se llaman sistemas inerciales de referencia. Cualquier


objeto moviendose a velocidad constante respecto a un sistema inercial dereferencia tambien es un sistema inercial.

1.1.3. Vector posicion y cambio de sistema de coordenadas

En la figura 1.3, el punto P representa la posicion de una partıcula en uninstante de tiempo dado. Respecto al sistema de referencia O, la posicion dela partıcula se puede representar mediante el vector posicion r, mientras queen el sistema de referencia rotado O ′, teniendo el mismo punto de origen queel sistema de referencia O, la posicion de la partıcula queda representada atraves del vector posicion r ′. Teniendo en cuenta que los vectores posicionde la partıcula en el punto P estan dados por

r = x1e1 + x2e2 + x3e3 =3∑

i=1

xiei (1.1)

y

r = x ′

1e′

1 + x ′

2e′

2 + x ′

3e′

3 =3∑

i=1

x ′

ie ′

i (1.2)

x1

x3

x2

r = r ′

Pb

x ′

2

x ′

1

x ′

3

Figura 1.3. Cambio de coordenadas por rotacion.

entonces, una transformacion ortogonal de coordenadas se realiza como seindica a continuacion. Primero se toma el producto escalar de (1.2) con e ′

1


y usando la relacion

e ′

i · e ′

j = δij =

{0 i 6= j

1 i = j

donde δij es el delta de Kronecker, se obtiene:

x ′

1 = r · e ′

1

Ahora tomando el producto interior con e ′

2 y e ′

3, se obtiene:

x ′

2 = r · e ′

2

x ′

3 = r · e ′

3

Estos tres resultados se pueden escribir genericamente como:

x ′

i = r · e ′

i

expresion en la que reemplazar r por (1.1), se obtiene que la transformacionortogonal de coordenadas queda definida por:

x ′

i =3∑

j=1

xj ej · e ′

i

=3∑

j=1

e ′

i · ej xj

=3∑

j=1

λijxj (i = 1,2,3)

Las cantidades e ′

i · ej = λij son los coeficientes de la transformacion, loscuales satisfacen

e ′

i · ej = λij = cos(x ′

i , xj) (i, j = 1, 2, 3)

1.1.4. Vector velocidad

Una partıcula describiendo la trayectoria mostrada en la figura 1.4, en elinstante de tiempo t se encuentra localizada, mediante el vector posicion r,en el punto P . Transcurrido un tiempo ∆t, la partıcula ahora se encuentra


x1

x3

x2

r(t)

r(t + ∆t)P

Q ∆r

e2

e1

e3

Figura 1.4. Cambio del vector de posicion de una partıcula con el tiempo. La lıneatangente a la trayectoria en el punto P indica la direccion del vector v.

localizada en el punto Q. El vector velocidad v de la partıcula se definecomo:

v(t) = lım∆t→0

r(t + ∆t) − r(t)

∆t=

dr

dt

y es un vector tangente a la trayectoria de la partıcula, como se observa enla figura 1.4. El vector velocidad se puede escribir como

v = vet

siendo

et =v

v

Si

r = r(t) = x(t)e1 + y(t)e2 + z(t)e3

entonces

v =dr

dt=

dx

dte1 +

dy

dte2 +

dz

dte3


y la magnitud de la velocidad es

v = |v | =

√(

dxdt

)2+(

dydt

)2+(

dzdt

)2=

ds

dt

1.1.5. Vector aceleracion

El vector aceleracion a se define como el cambio del vector velocidad v

con respecto al tiempo, es decir:

a = lım∆t→0

∆v

∆t=

dv

dt=

d2r

dt2(1.3)

La velocidad puede variar en magnitud y direccion, por lo cual el vectoraceleracion tiene dos componentes, una paralela a la velocidad y otra per-pendicular. Para determinar estas aceleraciones, se reemplaza v en (1.3) porv = vet, de tal forma que

a =d(vet)

dt=

dv

dtet + v

det

dt= atet + v

det

dt(1.4)

donde se ha definido la aceleracion tangencial at como

at = |at | =dv

dt

Ya que et es un vector constante de magnitud uno

et · et = 1

entonces

d(et · et)

dt= 0

et ·det

dt+

det

dt· et = 0

de donde

2et ·det

dt= 0


luego

et ⊥det

dt

Por lo tanto

de⊥dt

=det

ds

ds

dt= v

det

ds= v

∣∣∣∣det

dt

∣∣∣∣ en

donde en es un vector normal al camino de movimiento y∣∣∣ de⊥

dt

∣∣∣ la magni-

tud de det

dt , es la curvatura del camino de movimiento. El segundo terminode (1.4) es un vector normal al camino de movimiento y esta siempre apun-tando al centro de curvatura sobre el lado concavo del camino de movimiento.La componente normal es llamada la aceleracion centrıpeta an = v2/ρ.

La aceleracion en terminos de an y at se escribe como:

a = atet + anen

= vet +(

v2

ρ

)en

siendo v =dv

dt.

1.1.6. Velocidad angular y aceleracion angular

Las cantidades basicas del movimiento traslacional son desplazamiento es-pacial, velocidad traslacional y aceleracion traslacional, mientras que las delmovimiento angular son desplazamiento angular, velocidad angular y acel-eracion angular. La correspondencia entre los dos tipos de movimiento es:

Mov. traslacional → Mov. rotacional

desplazamiento → desplazamiento angular

velocidad → velocidad angular

aceleracion → aceleracion angular


El desplazamiento angular θ, el cual puede ser medido en grados o enradianes, se define como:

θ =s

r

donde s es la longitud de arco de la circunferencia, y r el radio de la misma.La velocidad angular ω se define como:

ω = lım∆t→0

∣∣∣∣∆θ

∆t

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣dθ

dt

∣∣∣∣

mientras que la aceleracion angular α queda definida por:

α = lım∆t→0

∣∣∣∣∆ω

∆t

∣∣∣∣ =dω

dt

1.1.7. Rotacion infinitesimal

La rotacion infinitesimal es una transformacion ortogonal infinitesimal, defini-da como:

x ′

i = xi +

3∑

j=1

ǫijxj

x ′

i =

3∑

j=1

(δij + ǫij)xj (i = 1, 2, 3)

x ′ = (I + ǫ)x

donde la matriz identidad I y la matriz de transformacion ortogonal in-finitesimal ǫ son:

I = [δij ] =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

ǫ = [ǫij ] =

ǫ11 ǫ12 ǫ13

ǫ21 ǫ22 ǫ23

ǫ31 ǫ32 ǫ33


1.2. Leyes de movimiento de Newton

1.2.1. Primera ley de movimiento (ley de la inercia)

El momento lineal p de una partıcula es proporcional a su velocidad, detal forma que:

p = m v = cte

donde la constante de proporcionalidad es la masa m de la partıcula, siendoesta ultima una medida de la inercia de la partıcula. Si sobre la partıculano actuan agentes externos, entonces la partıcula permanecera moviendosecon un momento p constante, describiendo una trayectoria rectilınea.Si se tiene un conjunto de partıculas aisladas, este sistema tiene asociado unmomento lineal total p dado por:

p = p1 + p2 + · · · + pn =∑

i

pi = cte

donde pi representa el momento de la partıcula i-esima. Si la partıcula semueve con una velocidad relativista, entonces su momento relativista seescribe como

p =m0v√

1 − v2/c2

donde m0 es la masa en reposo, es decir, la masa para el caso en que v = 0.El momento relativista de forma equivalente se puede escribir ası:

p = m(v)v

donde la masa relativista m(v) es:

m(v) =m0√

1 − v2/c2

1.2.2. Segunda ley de movimiento (ley de fuerza)

La tasa de cambio del momento con respecto al tiempo es igual a lafuerza externa F aplicada, de tal forma que la partıcula se mueve en la di-reccion en la que la fuerza actua, es decir

F =dp

dt

1.3. MOVIMIENTO ROTACIONAL: LEYES DE NEWTON ROTACIONALES 21

Si la inercia m de la partıcula es constante, entonces la partıcula se muevecon una aceleracion a que es proporcional a la fuerza externa:

F =m dv

dt= ma = m

d2r(t)

dt2

1.2.3. Tercera ley de movimiento (ley de accion y reaccion)

Las fuerzas que dos partıculas ejercen la una a la otra son siempre igualesen magnitud y opuestas en direccion (ver figura 1.5), es decir:

F 12 = −F 21

Teniendo en cuenta la segunda ley de Newton, la anterior ley implica que:

dp1

dt= −dp2

dt

m1dv1

dt= −m2

dv2

dt

b b

m1 m2

F12 F21

Figura 1.5. La fuerza realizada por la partıcula 1 sobre la partıcula 2 (F21) esigual en magnitud pero de sentido contrario a la fuerza realizada por la partıcula 2

sobre la partıcula 1 (F12).

con lo cual se satisface la siguiente relacion entre las masas y las magnitudesde la aceleraciones de las dos partıculas:

m2

m1=

|a1 ||a2 |

1.3. Movimiento rotacional: leyes de Newtonrotacionales

1. El momento angular L, definido como L = r × p = m r × v, esuna constante de movimiento si no actuan agentes externos sobre elsistema, es decir:

dL

dt= 0


2. Si sobre un sistema actua un momento de fuerza o torque τ , definidocomo τ = r × F , entonces el momento angular en el sistema variaracon el tiempo de la siguiente manera:

dL

dt=

d

dt(r × p) = r × m

d2r

dt2+

dr

dt× m

dr

dt

= r × md2r

dt2= r × F = τ

En el caso especifico de una partıcula de masa m, describiendo unatrayectoria circular de radio r alrededor de un punto 0, sobre la cualactua una fuerza central F , entonces en este caso la velocidad tangen-cial v es:

v = |v | = r θ

por lo cual, la magnitud del momento angular es

L = |L | = | r × p | = mr2θ = Iθ = Iω

donde se ha definido el momento de inercia I como I = mr2. De estaforma el torque sobre la partıcula es

τ = Idω

dt= Iα

1.4. Trabajo y energıa

Si en una determinada region del espacio, una partıcula esta sujeta a unafuerza en cualquier punto del espacio, se dice que existe un campo de fuerzaen dicha region del espacio.Supongase que una partıcula se encuentra inicialmente en un punto A y estransportada a lo largo de una trayectoria arbitraria a un punto B (figura1.6).El trabajo dW hecho por la fuerza sobre la partıcula al desplazarla un ele-mento diferencial dr sobre la trayectoria es dW = F · dr.Es facil mostrar que el trabajo hecho sobre la partıcula se manifiesta comoun incremento de su energıa cinetica. Para esto, se toma el producto escalarde los vectores involucrados en la segunda ley con el vector v dt, te tal formaque

m v · v dt = F · vdt = F · dr = dW

1.4. TRABAJO Y ENERGIA 23

b

b

campo de fuerza

A

B

F

dr

Figura 1.6. Una partıcula es desplazada del punto A al punto B a lo largo de uncamino arbitrario.

m v · v dt =(m

2

)(d(v · v)

dt

)dt = d

(mv2

2

)= dT

donde T es la energıa cinetica de la partıcula, la cual esta dada por T = mv2

2 .Cuando el elemento de trabajo dW = F · dr es negativo, lo cual sucedecuando el momento de la partıcula posee una direccion opuesta a la de lafuerza, entonces la fuerza actua en contra del movimiento de la partıcula yel resultado es una disminucion en la energıa cinetica.

El trabajo hecho por la fuerza F en un desplazamiento finito de lapartıcula desde el punto A a un punto B vecino sobre un camino arbitrarioesta dado por la integral de linea

W =

B∫

A

dW =

B∫

A

F · dr =

B∫

A

dT = TB − TA (1.5)

El trabajo puede ser escrito en terminos de las componentes de la fuerza alo largo de los ejes de coordenadas.

dW =

3∑

j=1

ejFj

·

(3∑

k=1

ek dxk

)=

3∑

k=1

Fjdxkδjk =3∑

j=1

Fjdxj

y

W =

B∫

A

F1dx1 +

B∫

A

F2dx2 +

B∫

A

F3dx3 = W1 + W2 + W3


F

rdθ

Figura 1.7. Torque actuando a traves de un angulo dθ.

En el caso de un movimiento rotacional, la accion del torque sobre lapartıcula es producir un desplazamiento angular infinitesimal dθ (ver figura1.7), de tal forma que el trabajo realizado es

dW = F r dθ = τ dθ

por lo cual, el trabajo realizado por el torque para realizar un desplazamientoangular desde θ1 hasta θ2 es:

W =

θ2∫

θ1

τ dθ

siendo τ = F r el torque.

1.5. Fuerza conservativa y energıa potencial

En general, el trabajo hecho por una fuerza sobre una partıcula depende dela trayectoria que describa la partıcula. Para ejemplificar esta afirmacion,supongase que sobre una partıcula actua la fuerza:

F = (3x2 + 6yz) e1 + (2y + 3xz) e2 + (1 + 5xyz2) e3

El trabajo realizado por la fuerza a lo largo de diferentes trayectorias quevayan de la posicion inicial en (0, 0, 0) a la posicion final en (1, 1, 1), dependede la trayectoria descrita por la partıcula.Para la trayectoria x = y = z el trabajo es:

W =

1∫

0

(3x2 + 6yz)dx +

1∫

0

(2y + 3xz)dy +

1∫

0

(1 + 5xy2)dz

1.5. FUERZA CONSERVATIVA Y ENERGIA POTENCIAL 25

x

z

y(0, 0, 0)

(1, 1, 1)

Figura 1.8. Diferentes caminos para ir de (0, 0, 0) a (1, 1, 1)

=

1∫

0

9x2dx

1∫

0

(2y + 3y2)dy +

1∫

0

(1 + 5z4)dz

= 7 unidades de trabajo

mientras que para la trayectoria x2 = y = z se tiene:

W =

1∫

0

(3x2 + 6yz)dx +

1∫

0

(2y + 3xz)dy +

1∫

0

(1 + 5xy2)dz

=

1∫

0

(3x2 + 6x4)dx

1∫

0

(2y + 3y3/2)dy +

1∫

0

(1 + 5z9/2)dz

= 6,3 unidades de trabajo

Cuando se considera una fuerza cuyo trabajo sobre una partıcula depende dela trayectoria, el principio de trabajo no es usado a menos que la trayectoriadescrita por la partıcula se conozca.

Sin embargo, si F · dr es una diferencial exacta de una cierta funcion dela variable de integracion r, o sea, V (r), tal que

F · dr = −dV (r) (1.6)


entonces la integral de lınea para el trabajo F · dr es independiente delcamino de integracion y depende unicamente de las posiciones inicial y finalde la partıcula, es decir

W =

B∫

A

F · dr = −B∫

A

dV = VA − VB (1.7)

donde VA es la energıa potencial de la partıcula en el punto A y VB es laenergıa potencial en el punto B.

Fuerzas cuyo trabajo es independiente del camino se llaman fuerzas con-servativas y el movimiento bajo la accion de estas fuerzas se llama movimien-to conservativo. De la ecuacion (1.6) se observa que:

F = − grad V (r) = −∇V (r)

es decir la fuerza es el gradiente de cierta funcion escalar, donde el gradientese define como

∇ = e1∂

∂x1+ e2

∂

∂x2+ e3

∂

∂x3=

3∑

i=1

ei∂

∂xi

Es facil mostrar que el rotacional del gradiente de cualquier funcion escalares cero:

∇ × (∇V ) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

e1 e2 e3

∂

∂x1

∂

∂x2

∂

∂x3

∂V

∂x1

∂V

∂x2

∂V

∂x3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= e1(∂2V

∂x2∂x3− ∂2V

∂x3∂x2) + · · · = 0

Por lo tanto

∇ × F = 0

para una fuerza conservativa.Lo anterior implica que el trabajo realizado por un campo de fuerzas

conservativo, alrededor de un camino cerrado l, es cero, es decir:

∮F · dl = 0

1.6. CONSERVACION DEL MOMENTO LINEAL Y DEL MOMENTO ANGULAR 27

resultado que puede escribirse, mediante el uso del Teorema de Stokes, ası

∫ ∫(∇ × F ) · ds =

∮F · dl

donde s es el vector cuya magnitud es igual a la superficie encerrada por elcamino l y su direccion es perpendicular a la superficie. Teniendo en cuentaque para una fuerza conservativa es valido

W =

B∫

A

F · dr = −B∫

A

dV = VA − VB

y que en general

W =

B∫

A

F · dr =

B∫

A

dT = TB − TA

Entonces

TB − TA = VA − VB

o sea

TB + VB = TA + VA

Definiendo la energıa mecanica total E como E ≡ T +V , entonces el anteriorresultado queda escrito como:

EB = EA (1.8)

La ecuacion (1.8) representa el principio de conservacion de la energıamecanica total.

1.6. Conservacion del momento lineal y del mo-mento angular

Partiendo de la segunda ley de Newton expresada como:

F = mdv

dt(1.9)


Integrando la ecuacion (1.9) con respecto al tiempo entre t1 y t2

t2∫

t1

F dt = m

t2∫

t1

dv

dtdt = m

v2∫

v1

dv

= mv2 − mv1 = p2 − p1

= ∆p

donde ∆p se conoce como el impulso producido por la fuerza F sobre lapartıcula mientras que esta actua durante el intervalo de tiempo ∆t. Si elimpulso lineal ∆p es cero, o sea F = 0

p2 − p1 = 0

se tiene

p = cte

y esta es la ley de conservacion del momento lineal.La cantidad analoga al impulso lineal en el movimiento traslacional es

el impulso angular en el movimiento rotacional. Partiendo de la segunda leyde Newton rotacional, es decir:

τ =dL

dt

Integrando esta ecuacion respecto al tiempo, entre t1 y t2, se obtiene

t2∫

t1

τdt =

t2∫

t1

dL

dtdt =

t2∫

t1

dL

= L(t2) − L(t1) = L2 − L1

= ∆L

siendo ∆L el impulso angular.

Si ∆L = 0 entonces τ = 0 y por lo tanto se cumple que:

L = cte

siendo este resultado el denominado principio de conservacion del momentoangular.

Capıtulo 2

Formulacion Lagrangiana dela mecanica clasica

Las leyes de movimiento de Newton describen la mecanica de un sistemafısico refiriendo el movimiento a un marco (o sistema) inercial de referencia.Si se usan las coordenadas cartesianas y el sistema no esta sujeto a ligadurasexternas, las ecuaciones de movimiento se pueden obtener facilmente. Pero,por el contrario, si existen ligaduras en el sistema, obtener las ecuaciones demovimiento resulta un poco mas complicado.

En el caso en que existan ligaduras en el sistema, el procedimiento parala obtencion de las ecuaciones de movimiento se simplifica si se hace usode las coordenadas generalizadas qi, las cuales se definiran mas adelante.La introduccion de este tipo de coordenadas resulta ventajoso si existenligaduras en el sistema dinamico.

La existencia de ligaduras en un sistema dinamico es un hecho que reflejala existencia de restricciones en el movimiento del sistema, trayendo comoconsecuencia dos dificultades para la descripcion mecanica del problema. Laprimera, es que las coordenadas del sistema dinamico estan conectadas porlas ecuaciones de las ligaduras, ası que ellas no son completamente inde-pendientes. Como consecuencia de lo anterior, las ecuaciones de movimientotampoco son independientes. La segunda, es que las fuerzas de las ligadurasson usualmente muy complejas o no conocidas y por lo tanto no se puedenescribir sus ecuaciones de movimiento.

Para estos casos se han desarrollado formulaciones alternativas a la for-mulacion Newtoniana. Estas formulaciones estan basadas en la idea del tra-bajo y la energıa. Cada formulacion esta expresada en terminos de coorde-nadas generalizadas.

29

30 CAPITULO 2. Formulacion Lagrangiana de la mecanica clasica

En este capitulo se presenta una discusion sobre la dinamica Lagrangianadesarrollada por Joseph Louis Lagrange (1736-1813) y otros.

2.1. Introduccion

Supongase que se describira el movimiento de un sistema de N partıculasrespecto a un sistema inercial de referencia. Cada partıcula estara localizadapor el vector posicion ri. Las ecuaciones de movimiento del sistema de Npartıculas pueden escribirse a partir de la segunda ley de Newton:

miri = F i + Ri; i = 1, 2, . . . , N

donde F i representa la fuerza externa aplicada sobre la partıcula i-esima yRi representa la fuerza de ligadura que mantiene restringido el movimientode la partıcula respecto a las otras.

x

z

y

ri

Figura 2.1. Sistema de N partıculas.

Estas ecuaciones de movimiento pueden escribirse en componentes carte-sianas como:

mixi = Fix + Rix

miyi = Fiy + Riy i = 1, 2, . . . , N

mizi = Fiy + Riz

3N dimensiones

Si se hace un cambio en la notacion de las coordenadas cartesianas de laprimera partıcula escribiendolas como (x1, x2, x3), las de la segunda como

2.2. GRADOS DE LIBERTAD 31

(x4, x5, x6), y ası sucesivamente, y teniendo en cuenta que la masa es lamisma para las tres componentes espaciales de una partıcula, es decir

m3k−2 = m3k−1 = m3k

entonces las ecuaciones de movimiento pueden escribirse como:

mixi = Fi + Ri; i = 1, 2, . . . , 3N

Para la situacion en que no haya ligaduras, es decir Ri = 0, las compo-nentes de fuerza de Fi se expresan como funciones de la posicion, la velocidady el tiempo. En esta situacion, el sistema de N partıculas esta descrito por3N ecuaciones diferenciales de segundo orden, que en general no son lin-eales. Aunque estas ecuaciones pueden ser solucionadas, en principio, con elproposito de obtener la posicion de cada partıcula como funcion del tiempo,las ecuaciones no siempre son completamente integrables de forma cerrada.Por lo cual, en general, la solucion de las 3N ecuaciones diferenciales serealiza de forma numerica mediante el el uso de un computador.

Si hay m ligaduras actuando sobre el sistema, entonces las fuerzas puedenser funciones no solo de la posicion, velocidad y el tiempo, sino tambien dem variables adicionales conocidas como multiplicadores de Lagrange. En estecaso hay un total de (3N + m) variables para ser obtenidas como funcionesdel tiempo, usando 3N ecuaciones diferenciales de movimiento y m ecua-ciones de ligadura. Lo anterior significa que al escribir las ecuaciones demovimiento, para un sistema de N partıculas, usando coordenadas carte-sianas conduce a tener una gran cantidad de ecuaciones diferenciales nolineales. Sin embargo en ciertos casos, el analisis puede simplificarse al usarun conjunto de coordenadas diferente, envolviendo pocas ligaduras, o quizaseliminando las ligaduras.

La seleccion adecuada del conjunto de coordenadas mas apropiado paradescribir la dinamica de un sistema fısico y el uso de transformaciones entrevariables es un aspecto fundamental que se tratara en este capitulo.

2.2. Grados de libertad

Los grados de libertad son una caracterıstica importante de un sistemamecanico dado. El numero de grados de libertad es igual al numero de coor-denadas menos el numero de ligaduras. Los grados de libertad representanel mınimo numero de coordenadas linealmente independientes a partir delas cuales se puede describir completamente la dinamica del sistema.


Si en la configuracion de un sistema de N partıculas, que esta descrito por3N coordenadas cartesianas, hay k ligaduras (relacionando las coordenadas),entonces hay 3N − k grados de libertad. Por ejemplo, para un sistema detres partıculas conectadas por varillas rıgidas formando un triangulo (figura2.2), entonces el numero de coordenadas independientes es 9, el numero deligaduras es 3, y por lo tanto, el numero de grados de libertad es 6. Esteobjeto (triangulo) es un cuerpo rıgido y como tal esta descrito por 6 gradosde libertad.

b

b

b1

2

3

(x1, x2, x3)

(x4, x5, x6)

(x7, x8, x9)l13

l23l12

9 coordenadas independientes

3 ligaduras

Numero de grados de libertad= 9 − 3 = 6

x3

x1

x2

Figura 2.2. Sistema de tres partıculas conectadas por tres varillas rıgidas.

El numero de grados de libertad es una caracterıstica del sistema como taly no depende del conjunto particular de coordenadas usado. Por ejemplo,para el triangulo de la figura 2.2, la localizacion de este puede darse alespecificar las tres coordenadas cartesianas de un punto arbitrario de estecuerpo y los tres angulos de Euler que describen su orientacion (ver figura2.3).

En general, se escogen los grados de libertad como el conjunto de coor-denadas independientes con las cuales se puede describir la configuracion deun sistema. Es decir, el numero de grados de libertad es el numero de coor-denadas independientes que se deben especificar para definir unıvocamentela configuracion (o estado) de un sistema.

Para un sistema de N partıculas libres, se requieren 3N coordenadasindependientes. Si hay k ligaduras impuestas sobre el sistema, el numero decoordenadas independientes se reduce a

s = 3N − k

con s el numero de grados de libertad.

2.3. CONJUNTO PROPIO DE COORDENADAS GENERALIZADAS 33

b

b

b

(x1, x2, x3)

(α, β, γ)

x3

x1

x2

Figura 2.3. Localizacion del triangulo en terminos de las tres coordenadas carte-sianas de un punto sobre este y los tres angulos de Euler.

2.3. Conjunto propio de coordenadas generalizadas

Un conjunto propio de coordenadas generalizadas es un conjunto de ncoordenadas generalizadas independientes que no esta limitado por ningunarestriccion. El numero de coordenadas generalizadas es igual al numero degrados de libertad.

Varios conjuntos de coordenadas pueden usarse para especificar la con-figuracion de un sistema dado. Estos conjuntos no necesariamente tienen elmismo numero de coordenadas o el mismo numero de ligaduras. Se puedepasar de un conjunto de coordenadas a otro, a traves de una transformacionde coordenadas.

2.3.1. Coordenadas generalizadas

Los parametros o cantidades que puedan ser usados para especificar laconfiguracion (o estado) del sistema, se pueden definir como coordenadasgeneralizadas. Esto es, las coordenadas generalizadas son cantidades suscep-tibles de ser conocidas en todo instante de tiempo, mediante las cuales sedetermina completamente el estado de movimiento del sistema. Estas coor-denadas no siempre son cantidades geometricas.

Las coordenadas generalizadas se notaran como qi y sus derivadas conrespecto al tiempo como qi, siendo i = 1, 2, . . . , n. Se debe enfatizar que setienen coordenadas generalizadas, pero no sistema de coordenadas general-izadas.

Considerese un sistema fısico que puede se descrito mediante dos tipos de


coordenadas: las coordenadas cartesianas x1, x2, . . . , x3N y las coordenadasgeneralizadas q1, q2, . . . , qn.

Se puede pasar de unas coordenadas a las otras mediante transforma-ciones, que se asume tienen la forma:

rj = rj(q1, q2, . . . , qn, t); j = 1, 2, . . . , N (2.1)

es decir, se pueden escribir las coordenadas cartesianas en terminos de lascoordenadas generalizadas. Es posible que cuando la dinamica del sistemafısico se describa con coordenadas cartesianas se tengan k ecuaciones deligadura y que cuando se haga con coordenadas generalizadas se tengan mligaduras. En ambos casos el numero de grados de libertad del sistema es elmismo y esta dado por 3N − k o n − m.

Si el determinante del jacobiano de (2.1) es diferente de cero, entonces:

qi = qi(r1, r2, . . . , rn, t); i = 1, 2, . . . , n

lo cual significa que las coordenadas generalizadas se pueden escribir enterminos de las coordenadas cartesianas. Cada una de las coordenadas sepuede escribir en terminos de las otras, ası:

x1 = x1(q1, q2, . . . , qn, t)

x2 = x2(q1, q2, . . . , qn, t)

...

x3N = x3N (q1, q2, . . . , qn, t)

→

q1 = q1(x1, x2, . . . , x3N , t)

q2 = q2(x1, x2, . . . , x3N , t)

...

qn = qn(x1, x2, . . . , x3N , t)

Como un ejemplo, considerese que se tienen 3N ecuaciones y de ellas lson ecuaciones de ligadura, dadas por:

Fi(x1, x2, . . . , x3N , t) = αj; j = 3N − l + 1, . . . , 3N

Sean n coordenadas generalizadas escogidas de tal forma que sean indepen-dientes, esto es, igual al numero de grados de libertad, es decir:

n = 3N − l

Ahora se define un conjunto adicional de l coordenadas q y se identificanestas con las l funciones constantes Fj , tal que:

qj = Fj(x1, x2, . . . , x3N , t) = αj ; j = n + 1, . . . , 3N

2.3. CONJUNTO PROPIO DE COORDENADAS GENERALIZADAS 35

Ahora, las ecuaciones de transformacion son:

x1 = x1(q1, q2, . . . , q3N , t)

x2 = x2(q1, q2, . . . , q3N , t)

...

x3N = x3N (q1, q2, . . . , q3N , t)

(2.2)

Si el Jacobiano de la transformacion satisface:

∂(x1, x2, . . . , x3N )

∂(q1, q2, . . . , q3N )6= 0

entonces (2.2) se puede solucionar y obtener las coordenadas q como funcionde las coordenadas x, es decir:

qj = fj(x1, x2, . . . , x3N , t) = αj ; j = 1, 2, . . . , n

donde las q coordenadas restantes son:

qj = αj ; j = n + 1, . . . , 3N

Ejemplo 2.1.

Para una partıcula restringida a moverse en un trayectoria circular fija deradio a, definiendo apropiadamente la coordenada generalizada, encuentrelas ecuaciones de transformacion de coordenadas cartesianas a coordenadasgeneralizadas.

El sistema fısico del ejemplo se ilustra en la figura 2.4. La partıcula al mo-verse en el plano, su posicion debe describirse a traves del uso de dos co-ordenadas. El hecho de que la partıcula siempre se encuentra a la mismadistancia del origen del sistema de referencia (el radio a), determina queexiste una ligadura en el sistema. Se escoge la coordenada generalizada q1

para representar el grado de libertad, el cual corresponde al angulo polar,que puede variar libremente sin que exista una violacion de la ligadura. Lacoordenada q2, representa la ligadura. Por lo tanto, las coordenadas q son:

q1 = f1(x1, x2) = θ j = n + 1, . . . , 3N

q2 = a

Las coordenadas cartesianas x escritas en terminos de las coordenadas q son:

x1 = q2 cos q1


x2 = q2 sen q1

El jacobiano de la transformacion:

∂(x1, x2)

∂(q1, q2)=

∣∣∣∣∣∣∣∣

∂x1

∂q1

∂x1

∂q2

∂x2

∂q1

∂x2

∂q2

∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣−q2 sen q1 cos q1

q2 cos q1 sen q1

∣∣∣∣∣

= −q2(sen2 q1 + cos2 q1) = −q2

es diferente de cero, lo cual significa que es posible realizar la transformacion

b

x2

x1

q2 = a

q1 = θ

a

√x2

1 + x22 = a

Figura 2.4. Partıcula restringida a moverse en un camino circular.

inversa, es decir, se puede escribir las coordenadas q en terminos de lascoordenadas cartesianas x. Esto se puede hacer siempre que no se tengaq2 = 0 (jacobiano igual a cero). En este caso, el radio de la circunferenciaes cero y por lo tanto el angulo q1 no se puede definir. La transformacioninversa es entonces:

q1 = tan−1 x2

x1; 0 6 q1 < 2π

q2 =√

x21 + x2

2 ; 0 < q2 < ∞

❏

2.4. ESPACIO DE CONFIGURACION 37

2.4. Espacio de configuracion

La configuracion de un sistema puede ser especificada por los valores delas n coordenadas generalizadas independientes:

q1, q2, . . . , qn

Resulta conveniente asumir estos n numeros como las coordenadas de unespacio simple n-dimensional puntual, donde las q forman los ejes coordena-dos. Este espacio n-dimensional se conoce como el espacio de configuracion.

Para el caso de un problema en dos dimensiones, es decir n = 2, las co-ordenadas generalizadas que definen el espacio de configuracion son (q1, q2).En el ejemplo 2.1, donde la partıcula esta restringida a moverse describiendouna trayectoria circular, el espacio de configuracion se muestra en la figu-ra 2.5. En este caso se ha asumido que el radio de la circunferencia puedavariar libremente, de tal forma que ahora las dos coordenadas q1 y q2 songeneralizadas.

q2

q12π0

a

0 6 q1 < 2π

0 < q2 < ∞

Figura 2.5. Espacio de configuracion de un sistema de dos dimensiones.

La evolucion del sistema en el tiempo esta dado por una curva en elespacio de configuracion, lo cual corresponde a la trayectoria de movimiento.Cada punto en la curva representa la configuracion del sistema en un instantedado de tiempo.

2.5. Ligaduras

Se ha visto que un sistema de N partıculas tiene a lo maximo 3N gradosde libertad debido a la presencia de ligaduras. Cuando el movimiento de unsistema dinamico no esta permitido a extenderse libremente en tres dimen-siones, se dice que el sistema esta sujeto a ligaduras. Es decir, las ligaduras


imponen restricciones geometricas a los movimientos posibles del sistema yestas restricciones son originadas fısicamente por la existencia de fuerzas deligadura en el sistema.

Las ligaduras se clasifican en cuatro clases: holonomicas, no holonomi-cas, escleronomicas y reonomicas. A continuacion se presenta la descripcionmatematica de estos cuatro tipos de ligaduras.

2.5.1. Ligaduras holonomicas

Supongase que la configuracion del sistema dinamico esta especificadopor n coordenadas generalizadas:

q1, q2, . . . , qn

Si las k condiciones de ligadura impuestas sobre el movimiento del sistemapueden expresarse como ecuaciones independientes que conectan a las coor-denadas del sistema dinamico y el tiempo en la forma:

Fi(q1, q2, . . . , qn, t) = 0; i = 1, 2, . . . , k (2.3)

entonces las ligaduras se dice que son holonomicas.Un ejemplo de ligadura holonomica se tiene en el caso de una partıcula

describiendo una trayectoria circular de radio a, dada por:

x2 + y2 = a

Las ligaduras holonomicas tambien se conocen como ligaduras integrables.El termino integrable significa que la ecuacion (2.3) es equivalente a unaecuacion diferencial de la forma:

n∑

k=1

∂Fj

∂qkdqk = 0 (2.4)

En el caso de la situacion fısica descrita por (2.5.1), se obtiene que:

x dx + y dy = 0

De los resultados obtenidos en el ejemplo 2.1, se tiene que

q1 = tan−1 y

x; 0 6 q1 < 2π

q2 =√

x2 + y2 ; 0 < q2 < ∞

2.5. LIGADURAS 39

de donde se observa que las coordenadas generalizadas q1 y q2 pueden variarindependientemente, o sea, no estan ligadas entre sı. Si cada coordenadageneralizada puede variar independientemente entre sı, se dice que el sis-tema es holonomico. Un sistema, cuyas ecuaciones de ligadura son todasholonomicas, se conoce como sistema holonomico.

Ejemplo 2.2.

Movimiento en el plano xy de dos partıculas conectadas por una varilla delongitud l (figura 2.6).

b

b

bθ

θ

(x1, x2)

(x3, x4)

(x, y)

x3−x1

x

y

l

x4−

x2

Figura 2.6. Dos partıculas conectadas por una varilla de longitud l.

Por estar conectadas las dos partıculas por una varilla de longitud l, laecuacion de ligadura es:

(x3 − x1)2 + (x4 − x2)

2 − l2 = 0√

(x3 − x1)2 + (x4 − x2)2 = l

En este caso hay cuatro coordenadas y una ecuacion de ligadura. Uno podrıausar esta ecuacion de ligadura para eliminar una de las variables en lasecuaciones de movimiento. Este procedimiento frecuentemente conlleva adificultades algebraicas y raramente es usado.

Lo que se hace, por el contrario, es buscar un conjunto de coordenadasgeneralizadas independientes, ya que es conocido que estas coordenadas exis-ten para todo sistema holonomico.

Por ejemplo, podemos escoger las coordenadas generalizadas (x, y) delcentro de la varilla y el angulo θ entre la varilla y el eje x, como las coorde-nadas generalizadas:

q1 = x


q2 = y

q3 = θ

En este ejemplo, se podrıa escoger como cuarta coordenada generalizada a

q4 =√

(x3 − x1)2 + (x4 − x2)2 = l

y entonces las ecuaciones de transformacion son:

x1 = q1 − q4 cos q3

x2 = q2 − q4 sen q3

x3 = q1 + q4 cos q3

x4 = q2 + q4 cos q3

Puesto que el Jacobiano de la transformacion

∂(x1, x2, x3, x4)

∂(q1, q2, q3, q4)=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂x1

∂q1

∂x1

∂q2

∂x1

∂q3

∂x1

∂q4

∂x2

∂q1

∂x2

∂q2

∂x2

∂q3

∂x2

∂q4

∂x3

∂q1

∂x3

∂q2

∂x3

∂q3

∂x3

∂q4

∂x4

∂q1

∂x4

∂q2

∂x4

∂q3

∂x4

∂q4

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

es diferente de 0, entonces se puede obtener la transformacion inversa:

q1 =x1 + x3

2; 0 < q1 < ∞

q2 =x2 + x4

2; 0 < q2 < ∞

q3 = tan−1 x2

x1; 0 6 q3 < 2π

q4 = [(x3 − x1)2 + (x4 − x2)

2] = l; 0 < q4 < ∞

Las coordenadas generalizadas q1, q2, q3, q4 pueden variar independiente-mente, por lo tanto, el sistema es holonomico.

2.5. LIGADURAS 41

q1, q2

q4

q3

l0 < q1 < ∞0 < q2 < ∞0 < q3 < 2π

0 < q4 < ∞

Figura 2.7. Espacio de configuracion para un sistema de dos partıculas unidas poruna varilla de longitud l.

Respecto a la ligadura existente en el problema, escrita como

(x3 − x1)2 + (x4 − x2)

2 − l2 = 0 (2.5)

Teniendo en cuenta que se puede escribir la ecuacion de ligadura diferencial-mente, a partir de (2.4), se obtiene

−(x3 − x1)dx1 − (x4 − x2)dx2 + (x3 − x1)dx3 + (x4 − x2)dx4 = 0 (2.6)

La ecuacion de ligadura dada por (2.5) es integrable y es equivalente a laecuacion diferencial (2.6). ❏

2.5.2. Ligaduras no-holonomicas

Las ligaduras que no se pueden expresar como

Fi(q1, q2, . . . , qn, t) = 0

se dicen no-holonomicas. En general, un sistema de m ligaduras, que seanescritas como ecuaciones diferenciales no integrables de la forma:

n∑

k=1

ajkdqk + ajtdt = 0; j = 1, . . . , m (2.7)


se dice que son ligaduras no-holonomicas. Los coeficientes a son en general,funciones de las coordenadas q y del tiempo t. El problema radica en queno se pueden integrar estas ecuaciones para obtener funciones de la formaFi(q1, q2, . . . , qn, t) = 0. Como resultado de la naturaleza no integrablede estas ecuaciones diferenciales no se pueden obtener las funciones Fi yusar estas para eliminar alguna de las variables. Por lo tanto, no es posibleencontrar un conjunto de coordenadas generalizadas independientes.

Normalmente los sistemas dinamicos no-holonomicos estan descritos pormas coordenadas que los grados de libertad.

Ejemplo 2.3.

Un ejemplo clasico de ligadura no-holonomica, es el caso de un disco de radioa rotando sobre una superficie sin deslizarse (figura 2.8).

x

z

y

b

C

s

P (x, y)

θ

a

φs = aθ

ds = adθ

Figura 2.8. Disco de radio a rotando sobre una superficie sin deslizarse.

Las coordenadas generalizadas que se escogen son el punto de contactoP (x, y), el angulo de rotacion θ del disco alrededor de un eje perpendic-ular al centro del disco y el angulo φ entre el plano del disco y el plano yz.El disco se mueve a lo largo de la curva C definida en el plano 0x y 0y.

Supongase que la posicion del disco varıa de la siguiente forma:

(x, y, θ, φ) → (x + dx, y + dy, θ + dθ, φ + dφ)

2.5. LIGADURAS 43

El requerimiento de rotar sin deslizarse implica que se cumplen las siguientesecuaciones de ligadura:

dx = (adθ) sen φ

dy = (adθ) cos φ(2.8)

En este ejemplo hay cuatro coordenadas y dos ecuaciones independientesde ligadura, por lo que se tiene solamente dos grados de libertad. Notesesin embargo que el espacio de configuracion cuadri-dimensional completo esaccesible, esto significa, que es imposible llegar a alguna configuracion

(x, y, θ, φ)

desde cualquier otra configuracion sin escoger adecuadamente el camino.Se sabe que la integrabilidad de una forma diferencial requiere que esta seauna diferencial exacta, o sea que sea posible convertir una diferencial exactaa traves de la multiplicacion por un factor de integracion, que normalmentees alguna funcion de las variables. Las condiciones necesarias y suficientespara la exactitud de la forma diferencial (2.7) son:

dajk

dqi=

daji

dqk; i, k = 1, 2, . . . , n

dajk

dt=

dajt

dqk; i, k = 1, 2, . . . , n

(2.9)

Puesto que las ligaduras (2.8) se escriben como:

dx − (adθ) sen φdθ = 0

dy − (adθ) cos φdθ = 0(2.10)

se observa que los coeficientes de dθ en (2.10) son funciones de φ, pero loscoeficientes de dφ son cero. Por lo tanto, es claro que el factor de integracionno puede ser encontrado y que la expresion resultante no cumple la condicion(2.9). Por lo tanto las dos ligaduras son no holonomicas.Las relaciones (2.10) muestran que las variaciones dx, dy en x y y dependende las variaciones dθ en θ. Ası el sistema es no-holonomico. Las ecuaciones(2.10) no son integrables ya que φ es arbitrario. ❏

Las ligaduras no holonomicas pueden aparecer en forma de desigual-dades, tal como sucede para una partıcula moviendose sobre la superficie de


una esfera de radio a, donde se satisface la condicion de desigualdad dadapor:

x2 + y2 + z2> a2

Un sistema es no-holonomico si al menos una ligadura es no-holonomica. Co-mo se ha visto, en los sistemas no-holonomicos las coordenadas no puedenvariar independientemente. Ası en estos sistemas, el numero de grados delibertad es menor al numero mınimo de coordenadas necesarias para especi-ficar la configuracion del sistema.

En el ejemplo del disco que rota, se requiere 4 coordenadas para especi-ficar su configuracion, dos para la posicion del punto P (punto de contacto)y dos para su orientacion. Pero estas cuatro coordenadas no varıan libre-mente, puesto que cuando el disco rota un angulo dθ, las dos coordenadasde posicion, del punto P , x y y cambian.

2.5.3. Ligaduras escleronomicas

Se dice que una ligadura es escleronomica si la ecuacion de ligadura esindependiente del tiempo. Por ejemplo:

a ) Partıcula en movimiento circular de radio a

√x2

1 + x22 = a

b ) Dos partıculas moviendose en el plano x, y sujetos por una varilla delongitud l

√(x3 − x1)2 + (x4 − x2)2 = l

c ) Disco de radio a rotando en el plano x, y

dx − a sen φdθ = 0

dy − a cos φdθ = 0

d ) Pendulo de longitud b inextensible, como el mostrado en la figura 2.9.

x2 + y2 = b2

2.5. LIGADURAS 45

b

b = cte

x

y

Figura 2.9. Pendulo de longitud b inextensible.

2.5.4. Ligaduras reonomicas

Una ligadura se dice reonomica si la ecuacion de ligadura depende ex-plıcitamente del tiempo. Por ejemplo, para el pendulo de longitud variablecon el tiempo que se muestra en la figura 2.10, se satisface que:

x2 + y2 = (b0 − at)2

es decir la ecuacion de ligadura depende explıcitamente del tiempo.Los terminos escleronomico y reonomicos pueden aplicarse a los sistemas

mecanicos.

b

b = b0 − at

x

y

Figura 2.10. Pendulo de longitud b variable en el tiempo.

Un sistema es escleronomico si:

1. Ninguna de las ecuaciones de ligadura contiene al tiempo explıcita-mente.

2. Las ecuaciones de transformacion unicamente dan las coordenadas xcomo funcion de las coordenadas q.

Si alguna de las ecuaciones de ligadura o de transformaciones contienen altiempo, el sistema es reonomico.


Algunas veces, las coordenadas generalizadas pueden escogerse de talmanera que no hay ecuaciones de ligadura, o quizas unicamente condicionesescleronomicas, y aun las ecuaciones de transformacion contienen al tiem-po explıcitamente. Un ejemplo es una partıcula sometida a moverse en unalambre rıgido que esta rotando uniformemente alrededor de uno de sus ejesfijos (figura 2.11). La coordenada generalizada simple es la posicion de lapartıcula relativa al alambre. Aquı no hay ecuaciones de ligadura pero elsistema es reonomico, es decir

x = r cos ωt

y = r sen ωt

Hasta el momento se han presentado dos metodos que pueden ser usadosen el analisis de sistemas con ligaduras holonomicas, esto es, la eliminacionde variables usando las ecuaciones de ligadura y el uso de las coordenadasgeneralizadas independientes. Sin embargo, es posible tener un tercer meto-do, que puede aplicarse tanto a sistemas holonomicos como no-holonomicos,denominado de multiplicadores de Lagrange. Este metodo representa a lasligaduras por la introduccion de las correspondientes fuerzas de ligadura queson expresadas en terminos de k parametros variables λj, conocidos comomultiplicadores de Lagrange. Este metodo se explicara mas adelante.

x

y

ω

b

Figura 2.11. Partıcula que se mueve sobre un alambre rıgido que esta rotandouniformemente alrededor de uno de sus ejes fijos.

2.6. Principio de D’Alembert y ecuaciones deLagrange

El principio de D’Alembert se fundamenta en los conceptos de desplaza-miento virtual y trabajo virtual. Estos conceptos se extraen directamente

2.6. PRINCIPIO DE D’ALEMBERT Y ECUACIONES DE LAGRANGE 47

de los metodos de energıa que son aplicados tanto en la derivacion de lasecuaciones de movimiento, como en el estudio de la estabilidad.

En particular el concepto de trabajo virtual es esencial en la mecanicaanalıtica. Por estar este concepto asociado a un desplazamiento virtual, seconsidera primero la naturaleza de un desplazamiento virtual.

2.6.1. Desplazamiento virtual

Supongase que la configuracion de un sistema de N partıculas esta dadapor las 3N coordenadas cartesianas x1, x2, . . . , x3N , las cuales son medidascon relacion a un sistema inercial y, supongase que el sistema puede estarsujeto a ligaduras.

En un tiempo dado, asumase que las coordenadas cambian a traves dedesplazamientos infinitesimales δx1, δx2, . . . , δx3N que son virtuales o imag-inarios, en el sentido en que ellos se asumen que ocurren sin que el tiem-po transcurra, y no necesariamente conforme a las ligaduras. Este pequenocambio δr = (δx1, δx2, . . . , δx3N ) en la configuracion del sistema se conocecomo un desplazamiento virtual.

Como es usual, un desplazamiento virtual esta conforme a la ligadura in-stantanea, esto es, cualquier ligadura moviendose se asume que para duranteel desplazamiento virtual.

Por ejemplo, supongase que el sistema es holonomico y tiene k ligadurasholonomicas:

φj(x1, x2, . . . , x3N , t) = 0; j = 1, 2, . . . , k

Tomando el diferencial total de φj se obtiene

dφj =

3N∑

i=1

∂φj

∂xidxi +

∂φj

∂dtdt = 0; j = 1, 2, . . . , k (2.11)

Un desplazamiento virtual que es conforme a estas ligaduras, tiene las δxrelacionada por las k ecuaciones

3N∑

i=1

∂φj

∂xiδxi = 0; j = 1, 2, . . . , k (2.12)

donde se ha reemplazado las dx por δx y se ha omitido el termino dt debidoque el tiempo es fijo durante el desplazamiento virtual.


Para un sistema no-holonomico, con m ligaduras no-holonomicas de laforma:

3N∑

i=1

aji dxi + ajt dt = 0 j = 1, 2, . . . , m (2.13)

cualquier desplazamiento virtual que sea conforme a estas ligaduras debetener las δx relacionadas a la m ecuaciones

3N∑

i=1

aji δxi = 0 j = 1, 2, . . . , m (2.14)

La pregunta que surge es, bajo que circunstancias un desplazamiento virtualpuede ser tambien un posible desplazamiento real, descrito por un conjuntode dx que se asume ocurre durante el incremento de tiempo dt. Tanto a partirde (2.11) y (2.12) como de (2.13) y (2.14) se concluye que las ligaduras debenser escleronomicas, esto es:

∂φj

∂t= 0; j = 1, 2, . . . , k; holonomicas

ajt = 0; j = 1, 2, . . . , m; no-holonomicas

Debido a que estas condiciones no se conocen, en general, es claro que undesplazamiento virtual no es un desplazamiento real.De forma general los desplazamientos virtuales se caracterizan por:

a ) Son inifinitesimales.

b ) Ocurren en un instante dado en el tiempo (no hay cambios en el tiem-po, δt = 0).

c ) Son consistentes con las ligaduras.

d ) Corresponden a desplazamientos reales si y solamente si las ligadurasson escleronomicas.

2.6.2. Trabajo virtual

Volviendo al sistema de N partıculas cuya configuracion esta dada enterminos de las coordenadas cartesianas x1, x2, . . . , x3N , se supone que lascomponentes de la fuerza F1, F2, . . . , F3N son aplicadas a las correspondi-entes coordenadas en un sentido positivo.


El trabajo virtual δW de estas fuerzas en un desplazamiento virtualesta dado por:

δW =3N∑

j=1

Fj δxj =N∑

i=1

F i · δri (2.15)

Se observa por lo tanto, que la formulacion del trabajo virtual no dependede la escogencia particular del sistema de coordenadas, asumiendo en con-secuencia, que el movimiento es medido relativo a un sistema de referenciainercial.

La fuerzas F i se asumen que permanecen constantes a traves del de-splazamiento virtual. Esto es cierto, aun si las fuerzas F i cambian drastica-mente como resultado de un desplazamiento virtual. Un cambio subito delas fuerzas con la posicion, puede ocurrir, como ejemplo, en ciertos sistemasno lineales.

Las expresiones de trabajo virtual son definidas para ser inerciales enlos desplazamientos virtuales, en otras palabras, el trabajo virtual es similara una primera variacion.

2.6.3. Principio de trabajo virtual

Ahora supongase que el sistema esta sujeto a ligaduras. La fuerza totalactuando sobre la partıcula i-esima es separada en la fuerza externa aplicada

F(e)i y la fuerza de ligadura Ri, es decir:

F i = F(e)i + Ri

El trabajo virtual producido por estas fuerzas es:

δW =N∑

i=1

F(e)i · δri +

N∑

i=1

Ri · δri = 0 (2.16)

por lo que el trabajo virtual debido a la fuerza de ligadura es:

δWl =

N∑

i=1

Ri · δri (2.17)

Muchas de las ligaduras de interes pertenecen a la clase conocida comoligaduras sin trabajo. Se puede definir una ligadura sin trabajo como unaligadura tal que el trabajo virtual, de la correspondiente fuerza de ligadura,


es cero para cualquier desplazamiento virtual, lo cual es consistente con laligadura, es decir:

N∑

i=1

Ri · δri = 0 (2.18)

Por lo tanto, la relacion (2.16) se reduce a

δW =

N∑

i=1

F(e)i · δri = 0 (2.19)

Ası, si para todo desplazamiento virtual δri el trabajo virtual de las fuerzasde ligadura Ri desaparece, entonces el trabajo virtual de las fuerzas exter-

nas aplicadas F(e)i tambien desaparece, y el sistema esta en equilibrio. A

este hecho se le conoce como principio de trabajo virtual. A continuacion sepresentan algunos ejemplos de fuerzas de ligadura que producen un trabajovirtual nulo.

Ejemplo 2.4.

Dos partıculas de masas m1 y m2 conectadas por una varilla rıgida sin masa.

b

b

δr2

δr1

R1

R2

er

m2

m1

Figura 2.12. Dos partıculas conectadas por una varilla rıgida sin masa.

Debido a la tercera ley de Newton, la fuerzas ejercidas por la varilla sobrelas partıculas son iguales en magnitud pero de signo contrario, es decir:

R2 = R2 er = −R1

siendo R1 la fuerza realizada por la varilla sobre la partıcula 1, R2 la fuerzarealizada por la varilla sobre la partıcula 2 y er el vector unitario a lo largo dela varilla. Puesto que la varilla es rıgida, las componentes del desplazamientode las partıculas en la direccion de la varilla son iguales, por lo tanto :

er · δr1 = er · δr2


Por lo anterior, el trabajo virtual de la fuerza de ligadura es:

δWl = R1 · δr1 + R2 · δr2

donde al tenerse en cuenta que las fuerzas de ligadura R1 y R2 son iguales enmagnitud pero de sentido contrario y que las componentes de los desplaza-mientos de las partıculas en la direccion de la varilla tambien son iguales, seobtiene:

= −R2 er · δr1 + R2 er · δr2

= −R2 er · δr2 + R2 er · δr2 = 0

❏

Ejemplo 2.5.

Un cuerpo B deslizandose sin friccion sobre una superficie S.

b

P

RS

B

Figura 2.13. Cuerpo deslizandose sobre una superficie S.

La fuerza de ligadura R es normal a la superficie en el punto de contacto P ,siendo el desplazamiento virtual tangente al plano en aquel punto. Es decirlos dos vectores son perpendiculares:

R ⊥ δr

satisfaciendose que

R · δr = 0

Por lo tanto el trabajo virtual es

δWl = R · δr = 0

❏


Ejemplo 2.6.

Disco de radio a rodando sin deslizarse sobre una superficie plana.

b

P

Rn

a

θ

Rf

Rf = µfF f

Figura 2.14. Disco rodando sin deslizarse sobre una superficie plana.

La fuerza total realizada por la superficie sobre el disco es:

R = Rn + Rf

donde Rn es la fuerza normal y Rf es la fuerza de friccion estatica queactuan sobre el disco instantaneamente en el punto de contacto P . Sin em-bargo, instantaneamente el punto P no se mueve como resultado de undesplazamiento virtual δθ, si se hace la suposicion de que los infinitesimalesde mas alto orden desaparecen, cumpliendose que:

δr = 0

Por lo tanto el trabajo virtual realizado por la fuerza de ligadura R es cero,debido a que:

R · δr = 0

❏

Las ligaduras sin trabajo se caracterizan por que no realizan un traba-jo sobre el sistema, visto como un todo, en un desplazamiento virtual. Sinembargo este tipo de fuerzas de ligadura si realizan un trabajo sobre laspartıculas individuales del sistema. Por ejemplo, las fuerzas de ligadura sonlas responsables de la transferencia de energıa de una partıcula a otra en


un cuerpo rıgido, a medida que la partıcula cambia su velocidad en algunmovimiento del cuerpo rıgido como un todo.

Se puede decir en general, a no ser que se diga explıcitamente lo con-trario, que el termino fuerza de ligadura se puede interpretar como fuerzade ligadura sin trabajo.

2.6.4. Formulacion equivalente del principio de trabajovirtual

Asumase que el mismo sistema de N partıculas, considerado en las sec-ciones anteriores, se encuentra inicialmente en reposo relativo respecto a unsistema de referencia especıfico, pero que no se encuentra en equilibrio. Loanterior significa que sobre una o mas partıculas del sistema esta actuandouna fuerza neta aplicada y en concordancia con la segunda ley de Newton, elsistema se comenzara a mover aceleradamente en la direccion en que actuaesta fuerza.

F (e)

en reposo

Figura 2.15. Sistema de partıculas en reposo relativo.

Ya que el movimiento debe ser compatible con las ligaduras, se puedesiempre escoger un desplazamiento virtual en la direccion del movimientoen cada punto. En este caso, el trabajo virtual es positivo, esto es:

δW =

N∑

i=1

F(e)i · δri +

N∑

i=1

Ri · δri > 0

Pero ya que las fuerzas de ligadura son sin trabajo, es decir, se cumple que:

Ri · δri = 0

entonces, el trabajo realizado por la fuerza neta externa es positivo, o sea:

δW =N∑

i=1

F(e)i · δri > 0


Teniendo presente el anterior hecho, se puede plantear una forma alter-nativa de definir el principio de trabajo virtual de la siguiente manera: lacondicion necesaria y suficiente para que exista el equilibrio estatico de unsistema escleronomico, el cual inicialmente se asume que se encuentra enreposo y en el que estan actuando fuerzas de ligadura sin trabajo, es que eltrabajo virtual hecho por las fuerzas externas aplicadas sea cero, durante elmovimiento a traves de un desplazamiento virtual arbitrario que satisface laligadura.

Si existe equilibro estatico en el sistema, la expresion (2.19) se satisface.En estas condiciones, los coeficientes δri en (2.19) no pueden ser diferentes,en conjunto, de cero. Este hecho se explica si se tiene en cuenta que losδri no son del todo independientes y estan conectados por las ecuacionesde ligadura. Para poder igualar los coeficientes a cero, se debe transformar(2.19) de tal forma que los desplazamientos virtuales involucrados, δqi, seanindependientes.

2.6.5. Fuerzas generalizadas

Teniendo en cuenta que las ecuaciones de transformacion de coordenadasgeneralizadas q a coordenadas cartesianas x se escriben como:

rj = rj(q1, q2, . . . , qn, t); j = 1, 2, . . . , N

entonces las variaciones de las coordenadas cartesianas δri en terminos delas variaciones de las coordenadas generalizadas δqi estan dadas por:

δri =

n∑

j=1

(∂ri

∂qj

)δqj ; i = 1, 2, . . . , N (2.20)

Notese que las variaciones del tiempo δt no estan involucradas aquı, pordefinicion del desplazamiento virtual. Reemplazando (2.20) en (2.19) se ob-tiene:

δW =

N∑

i=1

F(e)i · δri =

N∑

i=1

n∑

j=1

F(e)i · ∂ri

∂qjδqj =

n∑

j=1

Qj δqj = 0

donde se ha definido que:

Qj =

N∑

i=1

F(e)i · ∂ri

∂qj


es la fuerza generalizada correspondiente a la coordenada qj.

En general las Qj no tienen dimensiones de fuerza, sin embargo los pro-ductos |Qj qj | siempre tienen dimensiones de trabajo. Ya que las δqj sonarbitrarias e independientes, la condicion de equilibrio se tiene si se cumpleque:

Qj = 0, ∀ j

La importancia del principio de trabajo virtual es que constituye un principiosimple en el que se fundamenta la estatica.

Ejemplo 2.7.

Una barra de masa uniforme m y longitud 2b esta recostada contra unapared y forma un angulo α con la superficie del piso (figura 2.16). La partemas baja de la barra esta conectada a la base de la pared con una cuerdainextensible sin masa . ¿Cual es la tension de la cuerda?

b

b

b

δymg

N1

N 2

T

A

C

∆y

y

α

x ∆x

B D

Figura 2.16. Barra de masa uniforme recostada contra una pared.

En este ejemplo se muestra un sistema escleronomico con ligadura sin tra-bajo. Las fuerzas de ligadura externas son las fuerza de reaccion que realizala pared a la barra N1 en el punto A y la que realiza el piso a la barra N 2

en el punto B.


El punto medio de la barra se encuentra a una distancia y sobre el piso, yel punto mas bajo de la barra se encuentra a una distancia x de la pared.De esta forma se satisface que:

x = 2b cos α

y = b sen α(2.21)

Las fuerzas que actuan sobre la barra son:

La tension de la cuerda, T .

El peso de la barra, mg.

Las fuerzas normales ejercidas por la pared y el piso, N 1 y N2.

Ahora imagınese un desplazamiento horizontal ∆x, de B a D. Como con-secuencia, el centro de la barra se desplaza hacia abajo una distancia δy.A partir de las expresiones dadas por (2.21), se concluye que los desplaza-mientos δx y δy son:

| δx | = 2b sen α δα

| δy | = b cos α δα

Debido a que la pared y el piso son superficies lisas (no hay friccion entrela barra y estas superficies), entonces las fuerzas de ligadura N1 y N 2 norealizan trabajo. Por lo anterior, y teniendo en cuenta que el sistema seencuentra en equilibrio estatico, entonces el principio de trabajo virtual seexpresa como:

−T | δx | + mq| δy | = 0

donde −T | δx | tiene signo negativo debido a que T y δx tienen sentidosopuestos, siendo ası el trabajo negativo, mientras que δy y mg tienen elmismo sentido, siendo el trabajo realizado por el peso mg positivo. Delanterior resultado se encuentra que:

T = mg| δx || δy |

Al reemplazar los desplazamientos δx y δy previamente obtenidos, se en-cuentra que la tension de la cuerda es:

T = mgb cos α δα

2b sen α δα=

1

2mg tan α

❏


Ejemplo 2.8.

Considerese el movimiento de una partıcula de masa m en un plano. Usandolas coordenadas polares (r, θ) como coordenadas generalizadas, encuentre:

a ) Los desplazamientos δx y δy.

b ) Las fuerzas generalizadas para la partıcula sometida a una fuerza

F = Fx ı + Fy + Fz κ

a ) Las coordenadas generalizadas son q1 = r y q2 = θ. Teniendo encuenta que las coordenadas cartesianas se pueden escribir en terminosde las coordenadas generalizadas, se encuentra que:

x = x(r, θ) = r cos θ;∂x

∂r= cos θ;

∂x

∂θ= −r sen θ

y = x(r, θ) = r sen θ;∂y

∂r= sen θ;

∂y

∂θ= r cos θ

Por lo anterior, los desplazamiento δx y δy en terminos de las coored-nadas generalizadas son:

δx =∂x

∂rδr +

∂x

∂θδθ = cos θ δr − r sen θδθ

δy =∂y

∂rδr +

∂y

∂θδθ = sen θ δr + r cos θδθ

b ) La condicion de fuerza generalizada es:

Qj =

N∑

i=1

F(e)i · ∂ri

∂qj

Para una partıcula simple N = 1, entonces:

Qj = F(e)1 · ∂r

∂qj

Qj = Fx∂x

∂qj+ Fy

∂y

∂qj+ Fz

∂z

∂qj


Reemplazando en la anterior expresion los valores de las derivadasparciales previamente obtenidos, se encuentra que las las fuerzas gen-eralizadas son:

Qr = Fx∂x

∂r+ Fy

∂y

∂r= Fx cos θ + Fy sen θ = Fr

Qθ = Fx∂x

∂θ+ Fy

∂y

∂θ= −rFx sen θ + rFy cos θ

= r(−Fx sen θ + Fy cos θ) = rFθ

❏

2.6.6. Principio de D’Alembert

Ya que el principio de trabajo virtual se puede aplicar solamente a sis-temas en equilibrio estatico, el proposito ahora es plantear un principio quede forma general se aplique a sistemas en movimiento. Tal principio fueprimero sugerido por Bernoulli y luego desarrollado por J. D’Alembert ensu tratado Traite de Dynamique en 1742. Aunque el se referıa a velocidadesmas que a fuerzas, el establecio que las fuerzas de ligadura, que significanfuerzas de interaccion, forman un sistema en equilibrio estatico. Como unaconsecuencia de este principio, las fuerzas aplicadas y de inercia juntas for-man un sistema que tambien esta en equilibrio, en el sentido de que:

δW =

N∑

i=1

(F i − miri) · δri = 0

donde el sistema fısico es el previamente considerado, es decir el sistemaformado por N partıculas. Teniendo en cuenta la segunda ley de movimientode Newton, se concluye que la anterior expresion es valida para cualquierdesplazamiento δr si la fuerza resultante sobre la partıcula i-esima F ′

i esnula, es decir:

F ′i = F i −

dpi

dt= 0

Si se considera a −dpi

dt como una fuerza efectiva inercial o de reaccion, co-mo la denominaron Bernoulli y D’Alembert, que adicionada a F i produce


equilibrio, entonces la situacion dinamica de este caso se puede reducirse ala situacion estatica previamente considerada.

Luego, el principio de trabajo virtual queda escrito como:

N∑

i=1

(F i − pi) · δri = 0

Ahora supongase que la fuerza F i se puede descomponer en dos partes, talque:

F i = F(e)i + Ri

donde la fuerza F(e)i es la fuerza exterior que actua sobre la partıcula i-esima

y Ri representa la fuerza de ligadura sobre la misma partıcula. Debido a quelas fuerzas de ligadura Ri, en general, satisfacen que

Ri · δri = 0

es decir son fuerzas sin trabajo, entonces

N∑

i=1

(F(e)i − pi) · δri = 0 (2.22)

La ecuacion (2.22) da la forma lagrangiana del principio de D’Alembert: “Lasuma de todas las fuerzas reales e inerciales, actuando sobre cada partıculadel sistema es cero”.

2.6.7. Ecuaciones de Lagrange a partir del principio deD’Alembert

El principio de D’Alembert es el punto de partida de la mecanica analıticay a partir de este se pueden obtener las ecuaciones de movimiento o ecua-ciones de Lagrange. Para poder realizar lo anterior, primero se escriben losdesplazamientos virtuales δri, que aparecen en (2.22), en terminos de lascoordenadas generalizadas, ası:

δri =

n∑

j=1

(δri

δqj

)δqj ; ri = ri(q1, q2, . . . , qN , t) (2.23)


El trabajo realizado por la fuerza F ′i = F i (fuerza externa aplicada), escrita

en terminos de las coordenadas generalizadas, es:

δW =N∑

i=1

F i · δri =n∑

j=1

Qjδqj (2.24)

donde las fuerzas generalizadas Q son:

Qj =

N∑

i=1

F i ·δri

δqj

Ahora escribiendo el termino de la fuerza de inercia que aparece en (2.22)como:

N∑

i=1

pi · δri =

N∑

i=1

n∑

j=1

miri ·∂ri

∂qjδqj (2.25)

Si se tiene en cuenta que:

d

dt

[ri −

∂ri

∂qj

]= ri ·

∂ri

∂qj+ ri ·

d

dt

(∂ri

∂qj

)

entonces es posible escribir:

ri ·∂ri

∂qj=

d

dt

[ri ·

∂ri

∂qj

]− r · d

dt

(∂ri

∂qj

)

resultado que reemplazandolo en (2.25) conduce a:

N∑

i=1

pi · δri =

n∑

j=1

δqj

N∑

i=1

mi

[d

dt

(ri ·

∂r

∂qj

)− ri ·

d

dt

(∂ri

∂qj

)](2.26)

A partir de la ecuacion de transformacion de coordenadas

ri = ri(q1, q2, . . . , qn, t); i = 1, 2, . . . , N

es posible obtener que:

dri =n∑

l=1

∂ri

∂ql

dql +∂ri

∂tdt


ri =n∑

l=1

∂ri

∂ql

ql +∂ri

∂t(2.27)

= ri(q1, q2, . . . , qn; q1, q2, . . . , qn; t)

Tomando la derivada de (2.27) con respecto a la variacion en el tiempo delas coordenadas generalizadas, se obtiene:

∂ri

∂qj=

∂

∂qj

[n∑

l=1

∂ri

∂ql

ql +∂ri

∂t

]

=n∑

l=1

[∂

∂qj

(∂ri

∂ql

)ql +

∂ri

∂ql

∂ql

∂qj

]+

∂

∂qj

(∂ri

∂t

)

=

n∑

l=1

∂ri

∂ql

δlj =∂ri

∂qj

con lo que se concluye que:

∂ri

∂qj=

∂ri

∂qj(2.28)

Ahora, ya que las variables que aparecen en parentesis en (2.26) son fısica-mente independientes, entonces cada una puede ser especificada en un tiem-po t independiente. Tomando el primer termino de (2.26) y reemplazandopor (2.28), se obtiene:

N∑

i=1

mid

dt

(ri ·

∂ri

∂qj

)=

N∑

i=1

mid

dt

(ri ·

∂ri

∂qj

)=

d

dt

N∑

i=1

mi∂

∂qj

(ri · ri

2

)

=d

dt

∂

∂qj

(1

2

N∑

i=1

mi | ri |2)

=d

dt

∂T

∂qj(2.29)

donde la energıa cinetica del sistema T esta dada por:

T =1

2

N∑

i=1

mi | ri |2 =1

2

N∑

i=1

mi r2i


Ahora, manipulando el segundo termino de (2.26) de la siguiente manera:

N∑

i=1

miri ·d

dt

(∂ri

∂qj

)=

N∑

i=1

mi ri ·(

n∑

l=1

∂2ri

∂ql∂qjql +

∂2ri

∂qj∂t

)

=N∑

i=1

miri ·[

∂

∂qj

(n∑

l=1

∂ri

∂ql

ql +∂ri

∂t

)]

=

N∑

i=1

mi ri ·∂ri

∂qj

=

N∑

i=1

mi∂

∂qj

(ri · ri

2

)=

1

2

N∑

i=1

mi∂

∂qj| ri |2

=∂

∂qj

(N∑

i=1

mir2

i

2

)=

∂

∂qjT (2.30)

Y entonces reemplazando (2.29) y (2.30) en (2.26) se obtiene:

N∑

i=1

pi · δri =n∑

j=1

δqj

(d

dt

∂T

∂qj− ∂T

∂qj

)(2.31)

Finalmente, reemplazando en el principio de D’Alembert (2.22) los resulta-dos (2.24) y (2.31), se encuentra que:

δW =n∑

j=1

[Qj −

(d

dt

∂T

∂qj− ∂T

∂qj

)]δqj = 0

Puesto que para un sistema holonomico todas las δqj son independientes,entonces cada uno de los coeficientes en la ultima expresion debe desaparecerpor separado, por lo tanto:

Qj −(

d

dt

∂T

∂qj− ∂T

∂qj

)= 0

Por lo anterior, la ecuacion de movimiento del sistema esta dada por:

d

dt

∂T

∂qj− ∂T

∂qj= Qj; j = 1, 2, . . . , n (2.32)


siendo n el numero de grados de libertad del sistema.

Para el caso en que las fuerzas externas F i sean conservativas, la ecuacion(2.32) puede simplificarse. Para hacer esto, se tiene en cuenta que una fuerzaconservativa puede escribirse en terminos de la energıa potencial V de lasiguiente manera:

F i(r1, r2, . . . , rN ) = −∇iV (r1, r2, . . . , rN )

en consecuencia, para este caso, las fuerzas generalizadas son:

Qj =

N∑

i=1

F i ·∂ri

∂qj= −

N∑

i=1

∇iV · ∂ri

∂qj

Teniendo en cuenta que V es funcion de las coordenadas cartesianas, es decirV = V (r1, r2, . . . , rN ), entonces:

∂V

∂qj=

∂V

∂ri· ∂ri

∂qj= ∇iV · ∂ri

∂qj

por lo tanto las fuerzas generalizadas quedan escritas como:

Qj = −∂V

∂qj

En consecuencia de lo anterior, la ecuacion de movimiento (2.32) se puedeescribir como:

d

dt

(∂T

∂qj

)− ∂T

∂qj= −∂V

∂qjj = 1, 2, . . . , n

o equivalentemente:

d

dt

(∂T

∂qj

)− ∂(T − V )

∂qj= 0 j = 1, 2, . . . , n (2.33)

Si V es funcion de la posicion unicamente, entonces es independiente de lasvelocidades generalizadas qj, y por lo tanto se cumple que:

∂T

∂qj=

∂(T − V )

∂qj


El anterior resultado permite, para el caso de energıas potenciales V quesolamente dependan de las coordenadas generalizadas, escribir la ecuacionde movimiento (3.23) como:

d

dt

∂(T − V )

∂qj− ∂(T − V )

∂qj= 0; j = 1, 2, . . . , n (2.34)

Si se define la funcion Lagrangiana (o Lagrangiano) del sistema L comoL = T − V , es decir:

L(qi, qi, t) = T (qi, qi, t) − V (qi) (2.35)

entonces, en terminos de esta funcion las ecuaciones de movimiento (2.34)estan dadas por:

d

dt

(∂L

∂qj

)− ∂L

∂qj= 0; j = 1, 2, . . . , n (2.36)

Las ecuaciones (2.36) se conocen como las ecuaciones de movimiento del sis-tema o ecuaciones de Lagrange, validas para un sistema dinamico holonomi-co conservativo.

Si alguna de las fuerzas que actuan en el sistema no es conservativa, lasecuaciones de Lagrange se pueden escribir en la forma:

d

dt

(∂L

∂qj

)− ∂L

∂qj= Q ′

j; j = 1, 2, . . . , n (2.37)

donde L contiene al potencial de la fuerza conservativa y Q ′

j representala fuerza generalizada asociada con la fuerza no conservativa. Ejemplos defuerzas no conservativas son las fuerzas de friccion y las fuerzas que dependenexplıcitamente del tiempo.

2.7. Energıa cinetica en coordenadasgeneralizadas

De la forma mas general, la energıa cinetica se considera que es funcionde T = T (qi, qi, t). En coordenadas rectangulares, la energıa cinetica estadada por:

T =1

2

N∑

i=1

mir2i (2.38)

2.7. ENERGIA CINETICA EN COORDENADAS GENERALIZADAS 65

es decir es una funcion cuadratica de las velocidades. Teniendo en cuentaque la derivada de r con respecto al tiempo, puede escribirse como:

ri =

n∑

j=1

∂ri

∂qjqj +

∂ri

∂t

y ya que:

(ri)2 = (ri · ri) =

n∑

j=1

∂ri

∂qjqj +

∂ri

∂t

·

(n∑

l=1

∂ri

∂ql

ql +∂ri

∂t

)

=n∑

j, l=1

∂ri

∂qj· ∂ri

∂ql

qj ql + 2n∑

j=1

∂ri

∂qj· ∂ri

∂tqj +

∂ri

∂t· ∂ri

∂t

entonces la energıa cinetica T , dada por (2.38), escrita en terminos de lascoordenadas generalizadas, se convierte en:

T (q, q, t) =n∑

j, l=1

ajlqj ql +n∑

j=1

bj qj + c (2.39)

donde los coeficientes ajl, bj y c se han definido como:

ajl =

N∑

i=1

1

2mi

∂ri

∂qj· ∂ri

∂ql

bj =

N∑

i=1

mi∂ri

∂qj· ∂ri

∂t

c =

N∑

i=1

1

2mi

∂ri

∂t· ∂ti

∂t

Para sistemas escleronomicos, el tiempo t no aparece explıcitamente en latransformacion de coordenadas, es decir:

ri = ri(q1, q2, . . . , qn) i = 1, 2, . . . , N

entonces para estos sistemas se cumple que los coeficientes bj = c = 0 yentonces la energıa cinetica queda expresada por:

T =n∑

j, l=1

ajlqj ql (2.40)


es decir, la energıa cinetica es, como sucedıa en coordenadas rectangulares,una funcion cuadratica de las velocidades generalizadas. Si en este caso sediferencia T con respecto a qk, se tiene:

∂T

∂qk

=

n∑

j, l=1

(ajlqj

∂ql

∂qk

)

=n∑

j, l=1

(ajlqjδlk + ajlδjkql)

=

n∑

j=1

ajkqj +

n∑

l=1

aklql

Multiplicando el anterior resultado por qk y sumando sobre k se obtiene:

∑

k

qk

∂T

∂qk

=∑

k, j

ajkqkqj +∑

k, l

aklqkql

=∑

k, j

ajkqkqj +∑

k, j

alkqkqj

= 2∑

k, j

ajkqkqj = 2T

resultado que es un caso especial del teorema de Euler. Este teorema es-tablece que si F (yi) es una funcion homogenea de yi, o sea de grado n, esdecir:

F (λyi) = λnF (yi)

entonces se cumple:

∑

i

yi∂F

∂yi= nF

Ejemplo 2.9.

Partıcula de masa m bajo la influencia de una fuerza derivada de un poten-cial V que depende de la posicion.

2.8. MOMENTO GENERALIZADO 67

La energıa cinetica en coordenadas cartesianas es:

T =1

2m

3∑

i=1

x2i

Esta es una funcion homogenea de xi y en este caso n = 2. De acuerdo alteorema de Euler se cumple que:

3∑

i=1

xi∂T

∂xi= 2T

y por lo tanto la funcion Lagrangiana de este sistema es:

L = T − V =1

2m

3∑

i=1

x2i − V

❏

2.8. Momento generalizado

El momento pxi, en coordenadas cartesianas, se puede escribir en termi-

nos de la funcion Lagrangiana, de la siguiente manera:

∂L

∂xi= m xi = pxi

El momento generalizado pi, asociado con la coordenada generalizada qi, sedefine como:

pi =∂L

∂qi(2.41)

Para el caso de un sistema holonomico conservativo, cuya ecuacion de movimien-to esta dada por (ver (2.36)):

d

dt

(∂L

∂qi

)=

∂L

∂qi; i = 1, 2, . . . , n

entonces, reemplazando (2.41) en la anterior ecuacion, se obtiene

d

dtpi =

∂L

∂qi= −∂V

∂qi


o de forma similar:

dpi

dt= pi =

∂V

∂qi

siendo esta ultima ecuacion, la segunda ley de movimiento Newton. Entoncesse puede afirmar que las ecuaciones de Lagrange representan, efectivamente,las ecuaciones de movimiento del sistema.

Ejemplo 2.10.

Partıcula simple de masa m moviendose libremente en una dimension (figu-ra 2.17).

b

xm

Figura 2.17. Partıcula simple moviendose libremente en una dimension.

La energıa cinetica del sistema es:

T =1

2m v2

x

no hay fuerzas actuando sobre la partıcula, por lo tanto

V = 0

y luego, la funcion Lagrangiana del sistema es:

L = T − V =1

2m v2

x =1

2mx2

La ecuacion de Lagrange es:

d

dt

(∂L

∂x

)− ∂L

∂x= 0

lo cual se reduce a:

d

dt(mx) = 0


luego

mx = 0

Por lo anterior, la ecuacion de movimiento de la partıcula libre es:

x = 0

cuya solucion es de la forma

x(t) = vt + x0

siendo v la velocidad constante con que se mueve la partıcula y x0 la posicionde la partıcula en el tiempo inicial t0.

❏

Ejemplo 2.11.

Pendulo simple de longitud l y masa m (figura 2.18).

b

l cos θ

v = ωr = θl

m

lθ

Figura 2.18. Pendulo simple.

La fuerza externa que actua sobre la partıcula de masa m es:

F = −mgy

fuerza que se puede escribir en terminos de la energıa potencial gravitacionalV , como

F = −dV

dy


Por lo tanto se cumple:

mg =dV

dy

de donde se obtiene que la energıa potencial gravitacional es

V (y) = mgy

La energıa cinetica del pendulo es:

T =1

2mv2 =

1

2m(lθ)2 =

1

2ml2θ2

La energıa potencial se puede escribir como:

V = mg(l − l cos θ) = mgl(1 − cos θ)

y por lo tanto la funcion Lagrangiana del sistema es:

L = T − V =1

2ml2θ2 − mgl(1 − cos θ)

Teniendo en cuenta que la coordenada generalizada es θ, entonces la ecuacionde movimiento del pendulo se obtiene de:

d

dt

(∂L

∂θ

)− ∂L

∂θ= 0

A partir de la funcion L se obtiene que:

∂L

∂θ= −mgl sen θ y

∂L

∂θ= ml2θ

en consecuencia:

d

dt

(∂L

∂θ

)= ml2θ

Por lo tanto, la ecuacion de movimiento del pendulo es:

ml2θ + mgl sen θ = 0

o escrita de forma equivalente:

θ +(g

l

)sen θ = 0

❏


Ejemplo 2.12.

Masa de Hook (figura 2.19).

x

mk

Figura 2.19. Masa de Hook.

Para este caso, la fuerza externa que actua sobre el sistema es la fuerza deHook, dada por:

F = −kx ı

la cual, en terminos de la energıa potencial, queda escrita como:

F = −dV

dxı

de donde se obtiene que:

−kx = −dV

dx

y ası, la energıa potencial para este caso es:

V (x) =kx2

2

Teniendo en cuenta que la energıa cinetica del cuerpo de masa m es:

T =1

2mx2

entonces:

L = T − V =1

2mx2

Puesto que para este caso, la coordenada generalizada es x, entonces laecuacion de movimiento de movimiento se puede obtener a partir de:

d

dt

(∂L

∂x

)− ∂L

∂x= 0


A partir de L se obtiene inmediatamente que:

∂L

∂x= −kx y

∂L

∂x= mx

por lo tanto la ecuacion de movimiento del sistema esta dada por

mx + kx = 0

o de forma equivalente por:

x +k

mx = 0

❏

Ejemplo 2.13.

Masa de Hook sujeta a una fuerza senosoidal de la forma F0 sen ωt, tal comolo muestra la figura 2.20.

b

x

mk

F0 sen ωt

Figura 2.20. Masa de Hook sujeta a una fuerza senosoidal.

Teniendo en cuenta lo expuesto en el ejemplo anterior, para este sistema secumple:

T =1

2mx2

V =1

2kx2

L = T − V =mx2

2− kx2

2

estando dada la fuerza generalizada por:

Q ′ = F0 sen ωt


La ecuacion de Lagrange para este caso es:

d

dt

(∂L

∂x

)− ∂L

∂x= Q ′

y en consecuencia, la ecuacion de movimiento del sistema esta dada por:

mx + kx = F0 sen ωt

❏

Ejemplo 2.14.

Partıcula de masa m, moviendose en el plano xy, sujeta a una fuerza atrac-tiva proporcional al inverso de la distancia al cuadrado (figura 2.21). Encon-trar la ecuacion de movimiento y las fuerzas generalizadas.

b F = − kr2 Ur

θ

r

x

y

m

Figura 2.21. Partıcula moviendose en el plano xy sujeta a una fuerza atractiva.

Como coordenadas generalizadas se eligen las coordenadas polares r y θ.Las coordenadas cartesianas x y y escritas en terminos de estas coordenadasson:

x = r cos θ

y = r sen θ

de donde es posible obtener que:

x = r cos θ − r sen θθ

y = r sen θ + r cos θθ


Para este sistema, la fuerza externa que actua sobre la partıcula es:

F = −∂V

∂rUr

donde k representa la constante de proporcionalidad entre la fuerza y elinverso de la distancia al cuadrado. Esta fuerza, escrita en terminos de laenergia potencial V , es:

− k

r2= −dV

dr

de donde se encuentra que V esta dada por:

V = −k

r

La energıa cinetica de la partıcula, en coordenadas polares, se escribe como:

T =1

2mv2 =

1

2(x2 + y2)

=1

2m[(r cos θ − r sen θθ)2 + (r sen θ + r cos θθ)2]

=1

2m(r2 cos2 θ − 2rrθ sen θ cos θ + r2 sen2 θθ2

+ r2 sen2 θ + 2rrθ sen θ cos θ + r2 cos2 θθ2)

de donde es posible obtener que:

T =1

2m(r2 + r2θ2)

y asi, la funcion Lagrangiana queda escrita como:

L = T − V =1

2m(r2 + r2θ2) +

k

r

Las ecuaciones de Lagrange del sistema son:

d

dt

(∂L

∂r

)− ∂L

∂r= 0


d

dt

(∂L

∂θ

)− ∂L

∂θ= 0

Con respecto a la coordenada r, se cumple que:

∂L

∂r= mr y

∂L

∂r= mrθ2 − k

r2

por lo cual, la ecuacion de movimiento de la coordenada r es:

mr − mrθ2 +k

r2= 0

o lo que es lo mismo

mr − mrθ2 = Fr

Respecto a la coordenada θ se cumple que:

∂L

∂θ= mr2θ y

∂L

∂θ= 0

por lo tanto la ecuacion de movimiento de la coordenada θ esta dada por:

mr2θ + 2mrrθ = 0

o de forma equivalente por

rθ + 2rθ = 0

Se observa que para este sistema se cumple que:

d

dt(mr2θ) = 0 =

dL

dt

por lo tanto, el momento angular L′ = mr2θ es una integral de movimiento,cumpliendose que:

L′ = mr2θ = cte

Ası se concluye que en un campo de fuerza conservativo, el momento angularL′ es una constante de movimiento.


Para este sistema, las fuerzas generalizadas son:

Qr = Fr y Qθ = rFθ

por lo cual las ecuaciones de movimiento son:

d

dt

(∂T

∂r

)− ∂T

∂r= Qr = Fr = mr − mrθ2

d

dt

(∂T

∂θ

)− ∂T

∂θ= Qθ = rFθ =

d

dt(mr2θ)

Se observa que para la fuerza generalizada Qθ se cumple que:

Qθ = τ = rFθ =d

dt(mr2θ) =

dL′

dt= 0

es decir, el torque τ en el sistema es igual a cero. ❏

Ejemplo 2.15.

Considere una maquina de Atwood cuya cuerda tiene longitud l y la polearadio a (figura 2.22). Calcule la aceleracion del sistema.

b

m1

m2

yl − y

a

Figura 2.22. Maquina de Atwood.

Para este sistema hay un solo grado de libertad y.


Las velocidades de los dos cuerpos de masas m1 y m2 y la velocidad angulardel disco son:

v1 =dy

dt= y

v2 =d(l − y)

dt= −y

ω =v

a

donde

v = |v1| = |v2| = y

La energıa cinetica T , la energıa potencial V y la funcion Lagrangiana delsistema L son:

T =1

2m1v1 +

1

2m2v2 +

1

2Iω2 =

1

2m1y

2 +1

2m2y

2 +1

2I

y2

a2

V = −m1gy − m2g(l − y)

L = T − V =1

2

(m1 + m2 +

I

a2

)y2 + g(m1 − m2)y + m2gl

La ecuacion de Lagrange esta dada por:

d

dt

(∂L

∂y

)− ∂L

∂y= 0

A partir de L se obtiene que:

∂L

∂y=

(m1 + m2 +

I

a2

)y

∂L

∂y= g(m1 − m2)

por lo cual, la ecuacion de movimiento queda escrita como:(

m1 + m2 +I

a2

)y − g(m1 − m2) = 0

de donde se obtiene que la aceleracion del sistema es:

y =g(m1 − m2)(

m1 + m2 + Ia2

)


Para el caso en que la polea no tenga masa, es decir I = 0, la aceleraciondel sistema es:

y =(m1 − m2)

(m1 + m2)g

Se observa que si se cumple que m1 > m2 entonces el cuerpo de masa m1

desciende y el de masa m2 asciende, mientras que si m2 > m1 entonces elde masa m1 asciende y el de masa m2 desciende. ❏

Ejemplo 2.16.

Un plano inclinado de masa M esta deslizandose sobre una superficie hor-izontal, mientras que una partıcula de masa m lo hace sobre la superficieinclinada (figura 2.23). Escriba las ecuaciones de movimiento del plano in-clinado y las aceleraciones de los dos cuerpos.

x2

x1

01

02

θ

Mm

θ

x1

x2v

Figura 2.23. Plano inclinado deslizandose sobre una superficie horizontal ypartıcula deslizandose sobre la superficie inclinada.

El sistema tiene dos grados de libertad x1 y x2. La velocidad de M respectoa 01 es x1 y la velocidad de m respecto a 02 es x2. La velocidad v de mrespecto a 01 es:

v = x1 + x2 = v1 + v2

entonces

v2 = x21 + x2

2 + 2x1x2 cos θ


La energıa cinetica T , la energıa potencia V y la funcion Lagrangiana L,para este sistema son:

T =1

2Mx2

1 +1

2m(x2

1 + x22 + 2x1x2 cos θ)

V = −mgx2 sen θ

L = T − V =1

2Mx2

1 +1

2m(x2

1 + x22 + 2x1x2 cos θ) + mgx2 sen θ

Las ecuaciones de Lagrange estan dadas por:

d

dt

dL

dx1− dL

dx1= 0

d

dt

dL

dx2− dL

dx2= 0

Con respecto a la coordenada x1 se tiene:

dL

dx1= Mx1 + mx1 + mx2 cos θ y

dL

dx1= 0

de donde se obtiene que:

d

dt

(dL

dx1

)= (M + m)x1 + mx2 cos θ = 0

Haciendo uso de los resultados anteriores, se obtiene que la ecuacion demovimiento para la coordenada x1 esta dada por:

(M + m)a1 + ma2 cos θ = 0 (2.42)

Para la coordenada x2 se tiene:

dL

dx2= mx2 + mx2 cos θ y

L

x2= mg sen θ

por lo cual, la ecuacion de movimiento para la coordenada x2 es:

mx2 + mx1 cos θ − mg sen θ = 0 (2.43)


de donde se encuentra que la aceleracion del cuerpo que se desliza sobre elplano inclinado es:

a2 = g sen θ − a1 cos θ (2.44)

Por otra parte, reemplazando (2.44) en (2.42) se obtiene:

(M + m)a1 + m cos θ(g sen θ − a1 cos θ) = 0

de donde se encuentra que la aceleracion del plano inclinado esta dada por

a1 =mg cos θ sen θ

m sen2 θ + M

y por lo tanto, la aceleracion del cuerpo que se desliza sobre el plano inclinadoqueda escrita como:

a2 = g sen θ + mgcos2 θ sen θ

m sen2 θ + M

= g sen θ

(1 +

m cos2 θ

m sen2 θ + M

)

= g sen θ

(m sen2 θ + m cos2 θ + M

m sen2 θ + M

)

=g(m + M) sen θ

m sen2 θ + M

❏

2.9. Coordenada generalizada cıclica o ignorable

La funcion Lagrangiana en coordenadas generalizadas esta dada por:

L(q, q, t) = L(q1, q2, . . . , qn; q1, q2, . . . , qn; t)

de tal forma que esta funcion, para sistemas escleronomicos y conservativos,queda escrita ası:

L(q, q, t) = T (q) − V (q)

2.9. COORDENADA GENERALIZADA CICLICA O IGNORABLE 81

= T (q1, q2, . . . , qn) − V (q1, q2, . . . , qn)

Teniendo en cuenta que las ecuaciones de Lagrange estan dadas por:

d

dt

(∂L

∂qi

)=

∂L

∂qi; i = 1, 2, . . . , n

y recordando que el momento generalizado se ha definido como pi =∂L

∂qi,

entonces las ecuaciones de Lagrange pueden reescribirse ası:

d

dt(pi) =

∂L

∂qi

donde al tenerse en cuenta que L = T − V entonces:

pi =∂

∂qi(T − V )

y ya que T no tiene dependencia respecto de las coordenadas generalizadas,entonces las ecuaciones de Lagrange se convierten en:

Fi = pi = −∂V

∂qi

siendo este ultimo resultado la segunda ley de movimiento de Newton oecuacion de movimiento.

Si la funcion Lagrangiana L no depende explıcitamente de la coorde-nada generalizada qk, cuyo momento generalizado es pk = ∂L

∂qk, entonces la

ecuacion de Lagrange para la coordenada generalizada qk es:

d

dt

(∂L

∂qk

)− ∂L

∂qk

= 0

y ya que:

∂L

∂qk

= 0

entonces la ecuacion de Lagrange se convierte en

d

dt

(∂L

∂qk

)=

d

dtpk = 0


por lo tanto el momento generalizado pk es una constante de movimiento,es decir:

pk = cte de movimiento

A la coordenada qk se le denomina coordenada cıclica o ignorable.En el ejemplo de una partıcula sujeta a una fuerza central, donde la

funcion Lagrangiana tiene la forma:

L = T − V =1

2m(r2 + r2θ2) − V (r)

siendo V (r) el potencial central, las coordenadas generalizadas son:

q1 = r

q2 = θ

Los momentos generalizados correspondientes son obtenidos a partir de:

p1 =∂L

∂q1

p2 =∂L

∂q2

Puesto que en la funcion Lagrangiana no aparece explıcitamente la coorde-nada θ, por lo tanto pθ es una constante de movimiento, es decir:

pθ =∂L

∂θ= mr2θ = cte = L′

Para el ejemplo del cuerpo deslizandose sobre el plano inclinado quese desliza a su vez se sobre una superficie plana, la funcion Lagrangianaesta dada por:

L =1

2Mx2

1 +1

2m(x2

1 + x22 + 2x1x2 cos θ) + mgx2 sen θ

Las coordenadas generalizadas son:

q1 = x1

q2 = x2

y sus momentos generalizados correspondientes se obtienen a partir de:

p1 =∂L

∂x1

2.9. COORDENADA GENERALIZADA CICLICA O IGNORABLE 83

p2 =∂L

∂x2

Puesto que la coordenada generalizada x1 no aparece explıcitamente en L,entonces:

p1 =∂L

∂x1= Mx1 + mx1 + mx2 cos θ

= (M + m)x1 + mx2 cos θ = cte

Capıtulo 3

Principio variacional deHamilton y ecuaciones deEuler-Lagrange

En este capitulo se plantea el principio variacional de Hamilton tomandocomo punto de partida el principio de D’Alembert y se derivan las ecuacionesde Lagrange a partir del principio de Hamilton. El principio de Hamiltones una formulacion variacional de las leyes de movimiento en el espacio deconfiguracion. Las ecuaciones de Lagrange derivadas a partir del principiode Hamilton se conocen como ecuaciones de Euler-Lagrange, debido a quefue Euler quien primero las dedujo a traves de un procedimiento variacional.

El principio de Hamilton se considera mas fundamental que las ecua-ciones de Newton y por tal motivo se puede aplicar a un gran rango defenomenos fısicos clasicos en los que estan involucrados campos y en los quelas ecuaciones de Newton no se pueden aplicar.

3.1. Principio de Hamilton

La funcional accion o integral accion S de un sistema fısico se definecomo la integral en el tiempo de la funcion Lagrangiana, definida entre dostiempos especıficos, el inicial t1 y el final t2, es decir:

S =

t2∫

t1

Ldt (3.1)

85

86 CAPITULO 3. Principio de Hamilton y ecuaciones de Euler-Lagrange

o haciendo explıcita la dependencia funcional, de la forma mas general posi-ble para un sistema conservativo, la funcional accion queda escrita como:

S(qk, qk, t) =

t2∫

t1

L(qk, qk, t) dt =

t2∫

t1

[T (qk, qk, t) − V (qk)] dt (3.2)

en otras palabras, la funcional S depende de las coordenadas generalizadasqk(t), con k = 1, 2, 3, ..., n (siendo n el numero de grados de libertad del sis-tema), de las derivadas respecto al tiempo de las coordenadas generalizadasqk(t) y eventualmente del tiempo t. El conjunto de coordenadas general-izadas qk(t), evaluadas en un instante de tiempo dado, representan la con-figuracion especıfica del sistema en ese instante, es decir representa el estadofısico dinamico del sistema. Lo anterior significa que, para el tiempo inicialt1, la configuracion inicial del sistema esta representada por qk(t1) = q1,mientras que para el tiempo final t2 la configuracion del sistema esta repre-sentada por qk(t2) = q2.

q1 = qk(t1) q2 = qk(t2)

qk

t1

t2

t

b

b

Figura 3.1. Diferentes trayectorias en el espacio de configuracion del sistema queconectan la configuracion q1 en t1 con la configuracion q2 en t2.

Puesto que la funcional S corresponde a la integral en el tiempo dela funcion Lagrangiana definida entre dos tiempos especıficos, entonces elsistema fısico esta moviendose de una configuracion inicial q1 en el tiempot1 a una configuracion final q2 en el tiempo t2. Lo anterior implica que lafuncional S puede ser evaluada en cada una de las posibles trayectorias

3.1. PRINCIPIO DE HAMILTON 87

definidas en el espacio de configuracion, donde las trayectorias posibles sonaquellas que conducen al sistema de la configuracion inicial q1, en el tiempot1, a la configuracion final q2, en el tiempo t2, tal como se muestra en lafigura 3.1. Cada escogencia de una configuracion qj proporciona un valornumerico dado para S = S(qj, qj, t), por ser la funcional accion una funcionde la configuracion.

El principio de Hamilton establece que “para sistemas dinamicosholonomicos conservativos, el sistema se mueve de una configuracion ini-cial q1 = qk(t1), en el tiempo t1, a una configuracion final q2 = qk(t2), enel tiempo t2, siguiendo la trayectoria en el espacio de configuracion para lacual la funcional accion toma un valor estacionario”. En otras palabras, paraun sistema dinamico, en principio, sujeto a ciertas ecuaciones de ligadura,la trayectoria seguida por el sistema durante un intervalo de tiempo dado(llamada trayectoria dinamica) es aquella para la cual el valor de la acciones un extremo.

Desde el punto de vista funcional, lo anterior significa que si un conjuntode funciones qk(t) conducen a un valor mınimo (o maximo) de la integralaccion S, entonces el conjunto de funciones vecinas a qk(t), que se diferenciande esta por una cantidad δqk(t), deben incrementar (o decrecer) la accion Sen una cantidad δS. Lo anterior, en terminos del calculo variacional, significaque la variacion de la accion δS debe ser cero para la trayectoria dinamica,esto es:

δS = δ

t2∫

t1

L(qk(t), qk(t); t) dt = 0 (3.3)

donde las variaciones de las configuraciones posibles qk(t) y por lo tanto delas qk(t) en los extremos son tales que:

δqk(t1) = δqk(t2) = 0

δqk(t1) = δqk(t2) = 0

Si la funcional accion esta definida como S = S(qk, qk, t), una variacionδS de S se origina en una variacion δqk de la configuracion qk, es decir:

q ′

k = qk + δqk

Para una configuracion arbitraria q ′

k se cumple, en general, que:

S ′ = S(q ′

k, q ′

k, t) 6= S = S(qk, qk, t)


o de forma equivalente:

δS = S(q ′

k, q ′

k, t) − S(qk, qk, t) 6= 0

Si la configuracion qk = qi, corresponde a la trayectoria fısica real (o sea latrayectoria dinamica), entonces para:

q ′

i = qi + δqi

se cumple que:

S(q ′

i , q′

i , t) − S(qi, qi, t) = 0

es decir, para la trayectoria dinamica la funcional accion toma un valorestacionario.

3.2. Ecuaciones de Euler-Lagrange

Ahora supongase que se toma una variacion arbitraria δqk sobre unaconfiguracion qk(t) dada, es decir:

q ′

k(t) = qk(t) + δqk (3.4)

El interes se centra en determinar cual es el efecto de la variacion de laconfiguracion δqk en la funcional accion S, o en otras palabras en obtenercual es la variacion δS producida por la variacion δqk, para lo cual se partede evaluar S en la configuracion q ′

k, ası:

S ′ = S(q ′

k, q ′

k, t) = S(qk + δqk, qk + δqk, t) (3.5)

donde al tener en cuenta la definicion de la funcional accion, se tiene:

S ′ =

t2∫

t1

L(qk + δqk, qk + δqk, t) dt

La funcion Lagrangiana L(qk + δqk, qk + δqk, t) se puede escribir como:

L(qk + δqk, qk + δqk, t) = L(qk, qk, t) +∂L

∂qxδqk +

∂L

∂qk

δqk + O(δq2k) + O(δq2

k)

donde los indices repetidos en el segundo y tercer terminos, al lado derechode la igualdad, estan indicando que existe una suma sobre el ındice k. A

3.2. ECUACIONES DE EULER-LAGRANGE 89

partir de la expresion anterior se obtiene que la variacion de la funcionLagrangiana δL es:

δL = L(q ′

k, q′

k, t) − L(qk, qk, t) =∂L

∂qk

δqk +∂L

∂qk

δqk (3.6)

donde se han despreciando los terminos de orden superior. Por lo anterior,la variacion de la funcional accion δS esta dada por:

δS =

t2∫

t1

δL dt =

t2∫

t1

∑

k

(∂L

∂qk

δqk +∂L

∂qk

δqk

)dt (3.7)

El segundo termino de (3.7) se puede reescribir de la siguiente manera:

∂L

∂qk

δqk =∂L

∂qk

δdqk

dt=

∂L

∂qk

d

dtδqk (3.8)


d

dt

(∂L

∂qk

δqk

)=

d

dt

(∂L

∂qk

)δqk +

∂L

∂qk

d

dtδk

entonces, la expresion (3.8) se puede escribir como:

∂L

∂qk

d

dtδqk =

d

dt

(∂L

∂qk

δqk

)− d

dt

(∂L

∂qk

)δqk

resultado que al ser reemplazado en (3.7) conduce a:

δS =

t2∫

t1

∑

k

[∂L

∂qk

δqk +d

dt

(∂L

∂qk

δqk

)− d

dt

(∂L

∂qk

)δqk

]dt

donde al reagrupar los terminos se obtiene:

δS =

t2∫

t1

∑

k

[∂L

∂qk

− d

dt

(∂L

∂qk

)]δqk dt +

t2∫

t1

d

(∂L

∂qk

δqk

)(3.9)

Si se realiza la segunda integral que aparece en (3.9), el resultado es:

t2∫

t1

d

(∂L

∂qk

δqk

)=

∂L

∂qk

]

t=t2

δqk(t2) −∂L

∂qk

]

t=t2

δqk(t1) = 0


ya que la configuracion qk en los extremos no tiene variaciones, es decirδqk(t2) = δqk(t1) = 0. Por lo anterior (3.9) queda escrita como:

δS =

t2∫

t1

∑

k

[∂L

∂qk

− d

dt

(∂L

∂qk

)]δqk dt (3.10)

habiendose obtenido, por lo tanto, la variacion δS en terminos de la variacionδqk. El anterior resultado de forma equivalente, se puede escribir como:

δS

δqk

=

t2∫

t1

∑

k

[∂L

∂qk

− d

dt

(∂L

∂qk

)]dt

El interes se centra, a continuacion, en encontrar la trayectoria en elespacio de configuraciones para la cual la funcional accion es estacionaria, esdecir cuando se satisface que δS

δqk= 0. Lo anterior implica que la trayectoria

dinamica (o sea la trayectoria fısica que describe el sistema) es aquella en laque se cumple que:

δS

δqk

=

t2∫

t1

∑

k

[∂L

∂qk

− d

dt

(∂L

∂qk

)]dt = 0 (3.11)

expresion que se satisface, independientemente de la variacion realizada,siempre y cuando el argumento de la integral sea cero, es decir:

∂L

∂qk

− d

dt

(∂L

∂qk

)= 0

o equivalentemente

d

dt

(∂L

∂qk

)− ∂L

∂qk

= 0

Si se denomina a la trayectoria fısica como qk = qi, entonces las ecuacionesde movimiento o ecuaciones de Euler-Lagrange estan dadas por:

d

dt

(∂L

∂qi

)− ∂L

∂qi= 0; i = 1, 2, 3, . . . , n (3.12)

Se observa que cada uno de los grados de libertad del sistema, a partir delos cuales se define una configuracion especıfica del sistema, satisface una

3.3. ALGUNOS ANTECEDENTES HISTORICOS DEL PRINCIPIO DE HAMILTON 91

ecuacion de Euler-Lagrange. Al solucionar estas ecuaciones para cada unode los grados de libertad del sistema y obtener el conjunto de funciones qi =qi(t), entonces se puede conocer la configuracion del sistema en cualquierinstante de tiempo, es decir, se puede conocer la trayectoria dinamica delsistema en el espacio de configuraciones.

3.3. Algunos antecedentes historicos del principio

de Hamilton

A lo largo de la historia de la humanidad filosofos y cientıficos han in-tentado explicar la variedad de fenomenos de la naturaleza a partir de unmınimo de leyes y principios. Finalizando la edad media, el genio italianoLeonardo da Vinci (1452-1519) ya veıa que cuando un cuerpo cae en lınearecta el cuerpo toma el camino mas corto y en sus propias palabras dice“natura semper agit por vias brevissimas”. Mas de un siglo despues el filoso-fo y matematico aleman Gottfried Leibniz (1646-1716) en el Discurso de laMetafısica escribio lo siguiente “the greatest simplicity in its premises andthe greatest wealth in its phenomena”. Ası mismo, senalo que: “the perfectlyacting being. . . can be compared to a clever engineer who obtains his effectin the simplest manner one can choose”.

Por la misma epoca, el filosofo frances Nicolas de Malenbranche (1638-1715) en su Recherche de la verite planteo un punto de vista llamado la“Economıa de la Naturaleza”, del que se infiere como los fenomenos de lanaturaleza se presentan de la forma mas economica posible. Tambien por lamisma epoca, el matematico frances Pierre de Fermat (1601-1665) planteo elprincipio de mınimo tiempo para un rayo de luz que se refleja en un espejo.Mas aun, de una forma complementaria, el fısico holandes Christian Huygens(1629-1695) probo que el tiempo tomado por la luz para pasar entre dospuntos es un mınimo real, siendo esta prueba mas precisa que el principioplanteado por Fermat.

Unos anos despues, el fısico frances Pierre Louis de Maupertuis (1698-1759) enuncio el denominado principio de mınima accion, el cual afirma que“Lorsqu’il arrive quelque changement dans la Nature, la quantite d’actiennecessaire pour ce changement, est la plus petite qu’il soit possible”.

El principio de mınima accion fue primero publicado como un teoremaexacto dinamico por el matematico suizo Leonhard Euler (1707-1783) en1744. Su proposicion dice que cuando una partıcula viaja a traves de dospuntos fijos esta toma el camino por el que

∫vds es un mınimo, siendo v la

velocidad de la partıcula y ds el correspondiente elemento de curva. “I am


dico lineam a corpore description a fore comparatan, ut inter omnes aliaslineas resdem terminis contentns sit

∫mdsv2 seu, ob m constants,

∫dsv2

minimun”.

La correcta formulacion del principio de mınima accion para casos gen-erales se atribuye al matematico frances Joseph-Louis Lagrange (1736-1813).El considero que para un sistema de partıculas interactuantes, cuyas fuerzaspueden ser derivadas a partir de un potencial, la accion de cada partıculapuede ser definida como la integral

∫vds. El principio lo planteo de la sigu-

iente manera: “el sistema se mueve de una configuracion a otra de tal formaque

δ

(∑

i

mi

∫vidsi

)= 0”.

3.4. Funcion de disipacion de Rayleigh

Las ecuaciones de Euler-Lagrange (3.12) son aplicables a sistemas holonomi-cos cuyas fuerzas generalizadas son derivables de una funcion potencial V (q)en forma tal que:

Qi = −∂V

∂qi

Si adicionalmente hay fuerzas aplicadas que sean funciones de las q, esto esfuerzas que dependen de las velocidades las cuales se representan por Q ′

i ,entonces las ecuaciones de movimiento toman la forma:

d

dt

(∂L

∂qi

)− ∂L

∂qi= Q ′

i ; i = 1, 2, 3, . . . , n (3.13)

Sin embargo se puede plantear otra aproximacion para tratar sistemas enlos que actuan fuerzas disipativas Q ′

i , al escribir estas fuerzas, de una formamas general, de la siguiente manera:

Q ′

i = −n∑

j=1

Cij(q, t)qj (3.14)

donde los coeficientes Cij se conocen como coeficientes de amortiguacion ydan lugar a una matriz real y simetrica.

3.4. FUNCION DE DISIPACION DE RAYLEIGH 93

3.4.1. Fuerzas de friccion

Las fuerzas generalizadas de friccion son disipativas por naturaleza y danlugar a una perdida de energıa para cualquier Q ′

i 6= 0. Se define la funcionde disipacion de Rayleigh F (q, q, t) como:

F = F (q, q, t) =1

2

n∑

k=1

n∑

j=1

Ckj qkqj (3.15)

Las fuerzas generalizadas de friccion se pueden escribir en terminos de lafuncion de Rayleigh dada por (3.15), como se observa a continuacion:

Q ′

i = −∂F

∂qi= − ∂

∂qi

1

2

n∑

k=1

n∑

j=1

Ckj qkqj

= −1

2

n∑

k=1

n∑

j=1

Ckj

[dqk

dqiqj + qk

dqj

dqi

]

= −1

2

n∑

k=1

∑

j=1

[Ckjδkiqj + Ckj qkδji]

= −1

2

n∑

j=1

Cij qj −1

2

n∑

k=1

Cik qk

= −1

2

n∑

j=1

Cij qj −1

2

n∑

j=1

Cij qj

−F

qi= Q ′

i = −n∑

j=1

Cij qj (3.16)

obteniendose (3.14). Reemplazando (3.16) en (3.13), las ecuaciones de Euler-Lagrange quedan escritas como:

d

dt

(∂L

∂qi

)− ∂L

∂qi+

∂F

∂qi= 0 (i = 1, 2, 3, . . . , n)

donde se ha asumido que las fuerzas de friccion dadas son unicamente fuerzasgeneralizadas que no pueden ser derivadas de una funcion potencial V .


La tasa en que las fuerzas generalizadas de friccion realizan un trabajosobre el sistema Pd, conocida como tasa de disipacion de la energıa mecanicatotal, se define como:

Pd =n∑

i=1

Q ′

i qi

donde al reemplazar (3.16) y comparar con (3.15) se encuentra:

Pd = −n∑

i=1

n∑

j=1

Cij qiqj = −2F

por lo cual:

F = −Pd

2

es decir, la funcion de disipacion F es igual a la mitad de la tasa de disipacionde la energıa mecanica total. La funcion F debe ser invariante bajo trans-formacion de coordenadas ya que la energıa de disipacion es independientede las coordenadas usadas para describir las configuraciones del sistema.

Una aplicacion tıpica de la funcion de disipacion de Rayleigh se encuentraen el analisis de las pequenas oscilaciones de un sistema natural al que se leha adicionado un amortiguamiento.

Ejemplo 3.1.

Supongase un sistema descrito por la siguiente funcion Lagrangiana:

L =1

2

n∑

i=1

n∑

j=1

mij qiqj −1

2

n∑

i=1

n∑

j=1

kijqiqj

donde las mij y kij son constantes y las correspondientes matrices m y k

son simetricas.

Las ecuaciones de Euler-Lagrange de este sistema estan dada por:

d

dt

(∂L

∂ql

)− ∂L

∂ql

= 0; l = 1, 2, . . . , n


A partir de L se encuentra que:

∂L

∂ql

=d

dql

1

2

n∑

i=1

n∑

j=1

mij qiqj

=

1

2

n∑

i=1

n∑

j=1

mij

(dqi

dql

qj + qidqj

dql

)

=1

2

n∑

i=1

n∑

j=1

(mijδilqj + mij qiδjl)

=1

2

n∑

j=1

(mlj qj) +1

2

n∑

i=1

(milqi)

=1

2

n∑

i=1

(mliqi) +1

2

n∑

i=1

(milqi)

y puesto que m es unaq matriz simetrica, es decir mil → mli, entonces

∂L

∂ql

=1

2

n∑

i=1

mliqi +1

2

n∑

i=1

mliqi =

n∑

i=1

mliqi

Con este resultado se obtiene que:

d

dt

∂L

∂ql

=n∑

i=1

mliqi

De igual forma, a partir de L se obtiene que:

∂L

∂ql

=d

dql

−1

2

n∑

i=1

n∑

j=1

kijqiqj

= −

n∑

i=1

kliqi

Por lo anterior, las ecuaciones de movimiento son:

n∑

i=1

(mliqi + kliqi) = 0 1 = 1, 2, . . . , n

o escritas en forma matricial

mq + kq = 0


Se observa que las soluciones de estas ecuaciones son funciones armonicas.

Ahora se estudiara cual es el efecto de introducir un amortiguamientoen el sistema, es decir se introducen fuerzas disipativas de friccion Q ′

l en elsistema.

Las ecuaciones de Euler Lagrange en este caso son:

d

dt

(∂L

∂ql

)− ∂L

∂ql

= Q ′

l ; l = 1, 2, . . . , n

Ya que las fuerzas de friction se pueden escribir en terminos de la funcionde disipacion de Rayleigh, como:

Q ′

l = −∂F

∂ql

donde la funcion de disipacion F se escribe como:

F =1

2

n∑

k=1

n∑

i=1

Ckiqkqi

entonces las fuerzas disipativas de friccion estan dadas por:

Q ′

l = −n∑

i=1

Cliqi

Por lo cual, las ecuaciones de Euler Lagrange se escriben como:

n∑

i=1

(mliqi + kliqi) = −n∑

i=1

Cliqi; l = 1, 2, . . . , n

o equivalentemente, como:

n∑

i=1

(mliqi + Cliqi + kliqi) = 0 l = 1, 2, . . . , n (3.17)

o de forma matricial (con matrices n × n) como:

mq + Cq + kq = 0


Si se suponen que las soluciones de las ecuaciones de movimiento son de laforma:

qi = AiCeλt

entonces se tiene que:

qi = λAiCeλt = λqi

qi = λ2qi

Resultados que al ser reemplazados en (3.17) conducen a:

n∑

i=1

(mliλ2qi + Cliλqi + kliqi) = 0 l = 1, 2, . . . , n

donde al reemplazar la forma de la solucion, se obtiene la ecuacion:

n∑

i=1

(mliλ2Ai + CliλAi + kliAi)Ceλt = 0 l = 1, 2, . . . , n

la cual se satisface si:

n∑

i=1

(mliλ2Ai + CliλAi + kliAi) = 0 l = 1, 2, . . . , n

o equivalentemente si:

n∑

i=1

(mliλ2 + Cliλ + kli)Ai = 0 l = 1, 2, . . . , n

La ultima ecuacion escrita matricialmente es:

(λ2m + λC + k)A = 0 (3.18)

Las n ecuaciones algebraicas obtenidas tienen una solucion no trivial si ysolamente si el determinante de los coeficientes es cero, esto es:

|λ2m + λc + k | = 0

Esta es la ecuacion caracterıstica para el sistema, la cual es de grado 2n enλ. Ya que los coeficientes son reales, las 2n raıces son reales u ocurren enpares conjugados complejos.


Haciendo la suposicion usual que A(k)1 = 1 para cada raız λk, se puede

resolver el problema para la correspondiente columna nodal A(k) en (3.18). Lasolucion general de las vibraciones libres se obtiene por las correspondientessoluciones superpuestas para cada una de las 2n raıces, esto es:

qi =

2n∑

k=1

AikCkeλkt; i = 1,2. . . . , n

donde Ajk ≡ A(k)

j . ❏

3.5. Integrales de movimiento y leyes de

conservacion

Un sistema que no interactua con ningun otro exterior, se llama sistemacerrado. Las partıculas del sistema cerrado puede interactuar entre si o nohacerlo. En la figura 3.2 se representa un sistema cerrado de n grados delibertad.

Sistema cerrado

de n grados de libertad

Figura 3.2. Un sistema cerrado.

Par este tipo de sistemas, las ecuaciones de movimiento de los grados delibertad son ecuaciones diferenciales de segundo orden, dadas por:

d

dt

(∂L

∂qi

)− ∂L

∂qi= 0; i = 1, 2, . . . , n

3.6. HOMOGENEIDAD DEL ESPACIO Y CONSERVACION DEL MOMENTO LINEAL99

que se solucionan teniendo en cuenta las condiciones iniciales de los gradosde libertad qi(t = 0) = a; qi(t = 0) = 0.

En este sistema se tienen 7 constantes o integrales de movimiento, discrim-inadas ası:

1. Momento lineal, que tiene tres componentes.

2. Momento angular, que tiene tres componentes.

3. Energıa mecanica total.

Alguna veces las ecuaciones de Euler-Lagrange pueden ser resueltas en termi-nos de funciones conocidas, pero no siempre. En general, muchos problemasno siempre pueden solucionarse completamente o resulta muy tedioso hac-erlo.

Afortunadamente muy frecuentemente gran parte de la informacion deinteres del sistema esta contenida en las integrales de movimiento del sis-tema. Las integrales primeras de movimiento son funciones de los gradosde libertad qi, de las derivadas en el tiempo de los grados de libertad qi yeventualmente del tiempo t, es decir:

Fi(qi, qi, t) = αi = cte

y son dependientes unicamente de las condiciones iniciales del problema.

3.6. Homogeneidad del espacio y conservacion delmomento lineal

El sistema fısico de 3N grados de libertad esta descrito por la funcion La-grangiana y sus grados de libertad estan referidos a un sistema de coorde-nadas especıfico, siendo N el numero de partıculas del sistema. La funcionLagrangiana tiene la forma funcional:

L = L(r1, r2, . . . , rN ; r1, r2, . . . , rN , t) (3.19)

Si el origen del sistema de coordenadas es desplazado en una cantidad con-stante δr = (ǫ1, ǫ2, ǫ3) o equivalentemente el sistema se desplaza respecto alorigen del sistema de coordenadas en una cantidad δr, cada partıcula delsistema se desplazara la misma cantidad δri = δr (tal como se muestra enla figura 3.3), es decir:


x ′

1

x ′

3

x ′

2

x1

x3

x2

Sistema

δr

r ′

r

x1

x3

x2

δr

r

r ′

Figura 3.3. Desplazamiento del sistema de coordenadas en una cantidad δr. Estoes equivalente a desplazar cada partıcula del sistema en una cantidad δr.

ri → r ′

i = ri + δri; i = 1, 2, . . . , N

donde el desplazamiento δri se escribe como:

δri =3∑

α=1

δxiαeα (3.20)

siendo δxi1 = ǫ1, δxi2 = ǫ2 y δxi3 = ǫ3.Ahora se estudiara cual es el efecto de esta transformacion en la funcion

Lagrangiana L del sistema. Para lo anterior, se tiene en cuenta que el espacioes homogeneo y por lo tanto una traslacion en el espacio no debe afectar losfenomenos fısicos. En particular la dinamica del sistema debe ser la mismapor lo tanto, la funcion Lagrangiana no debe cambiar, es decir:

L ′ = L + δL = L

Es decir la variacion δL proveniente de x ′

i = xi + δxiα debe ser cero

δL = 0 (3.21)

Si el sistema es invariante bajo la transformacion traslacion en el espacio en-tonces el sistema es simetrico y δL = 0. La funcion Lagrangiana L evaluadaen la coordenadas transformadas es:

L ′ = L(r ′

1, r′

2, . . . , r′

N ; r ′

1, r′

2, . . . , r′

N , t)

3.6. HOMOGENEIDAD DEL ESPACIO Y CONSERVACION DEL MOMENTO LINEAL101

donde al escribir explıcitamente las traslaciones, se tiene:

L ′ = L(r1 + δr1, r2 + δr2, . . . , rN + δrN ; r1, r2, . . . , rN , t)

Realizando una expansion en serie de Taylor, alrededor de las coordenadasr, se obtiene:

L ′ = L(r1, r2, . . . , rN ; r1, r2, . . . , rN , t) +

N∑

i=1

3∑

α=1

∂L

∂xiαδxiα

por lo tanto, la variacion de L es:

δL = L ′ − L =N∑

i=1

3∑

α=1

∂L

∂xiαδxiα

Ya que el sistema es invariante bajo traslaciones, se requiere que:

N∑

i=1

3∑

α=1

∂L

∂xiαδxiα = 0

resultado que es valido, independientemente de la traslacion, si se cumpleque:

∂L

∂xiα= 0 (3.22)

El anterior resultado permite conocer cuales son las consecuencias que trae,en las ecuaciones de movimiento, la traslacion constante que se realiza sobreel sistema.

Si se tiene en cuenta que las ecuaciones de Euler-Lagrange estan dadaspor:

d

dt

(∂L

∂xiα

)− ∂L

∂xiα= 0; i = 1, 2, . . . , 3N

donde al tener en cuenta que para la traslacion constante se cumple (3.22),entonces estas ecuaciones de movimiento se convierten en:

d

dt

(∂L

∂xiα

)= 0 (3.23)


Teniendo en cuenta que:

∂L

∂xiα=

∂

∂xiα[T (xiα) − V (xiα)] =

∂T (xiα)

∂xiα= mxiα

entonces finalmente se obtiene:

∂L

∂xiα= piα

siendo piα el momento lineal. De la ecuacion de movimiento (3.23) se obtiene:

d

dtpiα = 0

por lo tanto se cumple que:

piα = cte; i = 1, 2, . . . , 3N

con lo cual se concluye que el momento traslacional es una constante demovimiento.

3.7. Isotropıa del espacio y conservacion del

momento angular

El espacio es isotropico, por lo tanto el sistema visto desde cualquierdireccion del espacio es el mismo. Esto significa que la funcion Lagrangianano debe cambiar cuando se hace una rotacion arbitraria en el espacio, estoes δL. la rotacion arbitraria se representa como δθ = (δα, δβ, δγ), dondeα, β y γ son los denominados angulos de Euler, con los cuales se define larotacion arbitraria.

A partir de la figura 3.4, se observa que una rotacion δθ del vector deposicion de un sistema r, trae como consecuencia que la posicion del sistemacambie y esta nueva posicion queda representada mediante el vector posicionr ′, es decir:

r → r ′ = r + δr = r + δθ × r (3.24)

con lo cual, el vector variacion en la posicion del sistema δr es:

δr = δθ × r (3.25)

3.7. ISOTROPIA DEL ESPACIO Y CONSERVACION DEL MOMENTO ANGULAR103

δθ

0

δθδr

r

r + δr

Figura 3.4. Rotacion en el espacio δθ de un sistema.

vector variacion que escrito en componentes es:

δr =3∑

α=1

δxαeα (3.26)

Similarmente el vector velocidad cambia por efecto de la rotacion, ası:

r → r ′ = r + δr (3.27)

por lo tanto la variacion del vector velocidad δr es:

δr = δθ × r (3.28)

variacion que expresada en componentes se escribe como:

δr =

3∑

α=1

δxαeα (3.29)

La funcion Lagrangiana para el sistema rotado es:

L ′ = L(r ′

1, r′

2, . . . , r′

N ; r ′

1, r′

2, r′

N ; t)

= L(r1 + δr1, . . . , rN + δrN , ; r1 + δr1, . . . , rN + δrN ; t)

= L(r1 + δr, r2 + δr, . . . , rN + δr, ; r1 + δr, r2 + δr, . . . , rN + δr ; t)

donde se ha tenido en cuenta que la rotacion es la misma para todas laspartıculas del sistema. Haciendo una expansion en serie de Taylor alrededorde la posicion inicial, se encuentra que L se puede escribir como:

L ′ = L(r1, r2, . . . , rN , ; r1, r2, . . . , rN ; t) +

3∑

α=1

∂L

∂xαδxα +

3∑

α=1

∂L

∂xαδxα


Por lo anterior, la variacion de la funcion L es:

δL =

3∑

α=1

∂L

∂xαδxα +

3∑

α=1

∂L

∂xαδxα (3.30)

A partir de los resultados de la seccion anterior, se sabe que:

∂L

∂xα= pα

∂L

∂xα=

d

dt

(∂L

∂xα

)= pα

Reemplazando estos resultados en (3.30) y teniendo en cuenta que la rotacionno produce una variacion en la funcion Lagrangiana, se obtiene:

δL =3∑

α=1

pαδxα +3∑

α=1

pαδxα = 0 (3.31)

o en notacion vectorial

p · δr + pδr = 0 (3.32)

Si se reemplaza (3.25) y (3.28) en (3.32) se obtiene:

p · (δθ × r) + p · (δθ × r) = 0

ecuacion en la que al hacer hacer permutacion en orden cıclico queda expre-sada como:

δθ · (r × p) + δθ · (r × p) = 0

o equivalentemente como:

δθ · [(r × p) + (r × p)] = δθ · d

dt(r × p) = 0

Puesto que δθ representa una rotacion arbitraria, entonces para que se sat-isfaga la anterior ecuacion se debe cumplir que:

d

dt(r × p) = 0

de donde se obtiene que

L ′ ≡ r × p = cte

es decir, el momento angular L ′ es una constante de movimiento.

3.8. HOMOGENEIDAD DEL TIEMPO Y CONSERVACION DE LA ENERGIA 105

3.8. Homogeneidad del tiempo y conservacion de

la energıa

Homogeneidad del tiempo significa que la funcion Lagrangiana L de unsistema fısico cerrado no depende explıcitamente del tiempo, lo cual quieredecir que L = L(q1, q2, . . . , qn ; q1, q2, . . . , qn). Lo anterior significa que si enel sistema fısico no existe una dependencia explıcita del tiempo entonces secumple que:

∂L

∂t= 0 (3.33)

El interes se centra en determinar, para un sistema fısico como el menciona-do, cual es la variacion en el tiempo de L. Lo anterior se logra diferenciandoL con respecto al tiempo, es decir:

dL

dt=

n∑

i=1

∂L

∂qi

dqi

dt+

n∑

i=1

∂L

∂qi

dqi

dt(3.34)


dL

dqi=

d

dt

∂L

∂qi

entonces (3.34) se convierte en:

dL

dt=

n∑

i=1

[d

dt

(∂L

∂qi

)qi +

∂L

∂qi

d

dtqi

](3.35)

En la anterior expresion se observa que los dos terminos del lado derecho sepueden escribir a traves de una derivada total, es decir:

dL

dt=

n∑

i=1

d

dt

(∂L

∂qiqi

)

expresion que puede escribirse equivalentemente como:

d

dt

[n∑

i=1

∂L

∂qiqi − L

]= 0

La anterior igualdad se satisface si:

n∑

i=1

∂L

∂qiqi − L = constante de movimiento


El anterior resultado se puede obtener de una forma complementaria, talcomo se muestra a partir del siguiente procedimiento. Primero, si se tiene

en cuenta que pi =∂L

∂qiy por lo cual

d

dt

(∂L

∂qi

)= pi, entonces (3.35) se

puede escribir como:

dL

dt=

n∑

i=1

(piqi + piqi) (3.36)

Segundo, a partir de una variacion arbitraria de la funcion (3.36) se obtieneque:

δ

[dL

dt

]= δ

[n∑

i=1

(piqi + piqi)

]

=

n∑

i=1

(qiδpi + piδqi + qiδpi + piδqi)

=n∑

i=1

(qi

d

dtδpi +

d

dtqiδpi

)+

n∑

i=1

(pi

d

dtδqi +

d

dtpiδqi

)

=n∑

i=1

d

dt(qiδpi) +

n∑

i=1

d

dt(piδqi)

=

n∑

i=1

d

dt[δ(piqi)]

Teniendo en cuenta que δ

(dL

dt

)=

d (δL)

dt, entonces la anterior expresion se

puede escribir como:

d

dt

[n∑

i=1

δ(piqi) − δL

]= 0

la cual de forma equivalente es:

d

dt

[δ

(n∑

i=1

pi qi − L

)]= 0


La igualdad obtenida se satisface si:

δ

(n∑

i=1

pi qi − L

)= 0

es decir, la cantidad:

n∑

i=1

pi qi − L

no admite variaciones, por lo cual se puede considerar que es una constantede movimiento. Esta cantidad, que se denota con H, se llama la funcionHamiltoniana o Hamiltoniano del sistema, es decir:

H(q, p) ≡n∑

i=1

piqi − L(q1, q2, . . . , qn ; q1, q2, . . . , qn) (3.37)

Se puede demostrar que la funcion H representa la energıa mecanica totaldel sistema solamente si se cumplen, simultaneamente, las dos siguientescondiciones:

(i) La energıa potencial V del sistema no depende del tiempo.

(ii) Las ecuaciones que conectan las coordenadas generalizadas con lasrectangulares no dependen explıcitamente del tiempo.

A partir de la primera condicion, si el sistema tiene N partıculas, el potencialen coordenadas cartesianas esta dado por:

V = V (xi); i = 1, 2, . . . , 3N

o en coordenadas generalizadas, esta dado por:

V = V (qj); j = 1, 2, . . . , n

por lo anterior, se cumple que:

∂V (qj)

∂qj= 0

A partir de la segunda condicion, las trasformaciones de coordenadas sontales que:

xi = xi(qj)


o

qj = qj(xi)

Con esta ecuaciones de trasformacion, validas para sistemas escleronomicos,

entonces del teorema de Euler se tiene que∂T

∂qiqi = 2T . Teniendo en cuenta

que L = T − V , la funcion Hamiltoniana conduce entonces a:

H =n∑

i=1

∂L

∂qiqi − L

=n∑

i=1

∂(T − V )

∂qiqi − (T − V )

=

n∑

i=1

∂T

∂qiqi − (T − V )

= 2T − (T − V ) = T + V = E

es decir, la funcion H es igual a la energıa mecanica total si H = H(q, p).De una forma mas general, para sistemas en los que exista dependencia

explıcita del tiempo, la funcion Hamiltoniana H queda definida como:

H(q, p, t) ≡n∑

i=1

∂L

∂qiqi − L(q1, q2, . . . , qn ; q1, q2, . . . , qn, t) (3.38)

Ejemplo 3.2.

Un anillo de masa m se desliza sin friccion libremente sobre un alambrecircular de radio a que rota sobre un plano horizontal alrededor de un puntodel alambre circular con una velocidad angular ω. Ignorando las fuerzas defriccion y de gravedad, encuentre las ecuaciones de movimiento del sistema.

Se observa que este problema tiene solamente un grado de libertad dado porla coordenada generalizada θ. Respecto a un sistema de referencia O, talcomo lo muestra la figura 3.5, las coordenadas cartesianas del anillo son:

x = a cos ωt + a cos(ωt + θ)

y = a sen ωt + a sen(ωt + θ)


z

y

x

φ = ωt

θ

bm

ω

aA

0

Figura 3.5. Anillo de masa m deslizandose sobre un alambre circular de radio aque rota alrededor del punto O con una velocidad angular ω. 3.2.

Diferenciando estas coordenadas con respecto al tiempo, se obtiene que lascomponentes cartesianas de la velocidad del anillo estan dadas por:

x = −aω senωt − a(ω + θ) sen(ωt + θ)

y = aω cos ωt + a(ω + θ) cos(ωt + θ)

Para este problema, la energıa potencial se toma como cero. La energıacinetica es:

T =m

2(x2 + y2)

Si en T se reemplazan las componentes cartesianas de la velocidad del anillo,previamente obtenidas, se obtiene:

T =m

2

([−aω sen ωt − a(ω + θ) sen(ωt + θ)]2

+ [aω cos ωt + a(ω + θ) cos(ωt + θ)]2)

donde al desarrollar los cuadrados conduce a:

T =m

2

[a2ω2 sen2 ωt+2a2ω(ω+θ) sen ωt sen(ωt+θ)+a2(ω+θ)2 sen2(ωt+θ)

+ a2ω2 cos2 ωt + 2a2ω(ω + θ) cos ωt cos(ωt + θ) + a2(ω + θ)2 cos2(ωt + θ)]



cos ωt cos(ωt + θ) + sen ωt sen(ωt + θ) = cos(ωt + θ − ωt) = cos θ

entonces la energıa cinetica queda expresada como:

T =m

2

[a2ω2 + a2(ω + θ)2 + 2a2ω(ω + θ) cos θ

]


T =m

2a2[ω2 + (ω + θ)2 + 2ω(ω + θ) cos θ

]

Por lo anterior, la funcion Lagrangiana del sistema (anillo) es:

L = T − V =m

2a2[ω2 + (ω + θ)2 + 2ω(ω + θ) cos θ

]

La ecuacion de Euler Lagrange es:

d

dt

(∂L

∂θ

)− ∂L

∂θ= 0

Conocida la funcion L se obtiene que:

∂L

∂θ= ma2(ω + θ) + ma2ω cos θ

por lo cual:

d

dt

(∂L

∂θ

)= ma2θ + ma2ω sen θθ

De igual forma se obtiene que:

∂L

∂θ= −ma2ω(ω + θ) sen θ

Con los resultados anteriores, la ecuacion de movimiento del anillo esta dadapor:

ma2θ − ma2ω sen θθ + ma2ω(ω + θ) sen θ = 0


θ − ω sen θθ + ω2 sen θ + ω sen θθ = 0

θ + ω2 sen θ = 0

donde se observa que el anillo oscila alrededor de 0A de una forma similara como lo hace un pendulo de longitud ℓ = g/ω2. ❏

Ejemplo 3.3.

Encuentre las ecuaciones de movimiento del pendulo esferico de masa m ylongitud ell.

b

φ

θ

mvφ

vθ

0

ℓz

ℓy

ℓ

x

z

y

Figura 3.6. Pendulo esferico de longitud ell y masas m del ejemplo 3.3.

Tal como lo ilustra la figura 3.6, para este problema resulta convenienteusar coordenadas esfericas. Los grados de libertad del problema estan dadospor las coordenadas generalizadas q1 = θ y q2 = φ. Las componentes de lavelocidad de la partıcula en las direcciones θ y φ estan dadas por:

vθ = ℓθ

vφ = (ℓ sen θ)φ

en donde se ha tenido en cuenta que ℓy = ℓ sen(π − θ) = ℓ sen θ. La energıacinetica de la partıcula es por lo tanto:

T =1

2m(v2

θ + v2φ) =

1

2m(ℓ2θ2 + ℓ2 sen2 θφ2)


Tomando el punto O (el punto de soporte del pendulo) como el nivel dereferencia para la energıa potencial y teniendo en cuenta que ℓz = ℓ cos θ,entonces la energıa potencial:

V = mgℓz = mgℓ cos θ

Con lo anterior, la funcion Lagrangiana esta dada por:

L =1

2mℓ2(θ2 + φ2 sen2 θ) − mgℓ cos θ

La ecuacion de movimiento para la coordenada θ se obtiene a partir de:

d

dt

(∂L

∂θ

)− ∂L

∂θ= 0

Conocido L se obtiene que:

∂L

∂θ= mℓ2θ

por lo cual:

d

dt

(∂L

∂θ

)= mℓ2θ

Adicionalmente se tiene que:

∂L

∂θ= mℓ2φ2 sen θ cos θ + mgℓ sen θ

Con los resultados anteriores, la ecuacion de movimiento para θ esta dadapor:

mℓ2θ − mℓ2φ2 sen θ cos θ − mgℓ sen θ = 0

La ecuacion de movimiento para la coordenada φ se obtiene a partir de:

d

dt

(∂L

∂φ

)− ∂L

∂φ= 0

Conocido L se obtiene que:

∂L

∂φ= mℓ2φ sen2 θ

3.9. INVARIANCIA DE LAS ECUACIONES DE EULER LAGRANGE 113

por lo cual:

d

dt

(∂L

∂φ

)= mℓ2 sen2 θφ + 2mℓ2φ sen θ cos θθ

Adicionalmente se tiene que:

∂L

∂φ= 0

Con los resultados anteriores, la ecuacion de movimiento para φ esta dadapor:

mℓ2 sen2 θφ + 2mℓ2 sen θ cos θθφ = 0

Por lo anterior, para este problema se cumple que:

d

dt

(∂L

∂φ

)= 0

lo anterior se satisface si:

∂L

∂φ= pφ = mℓ2φ sen2 θ = cte

siendo pφ el momento angular, el cual finalmente se puede escribir como:

pφ = (ℓ sen θ)m(ℓ sen θφ) = ℓymvφ

3.9. Invariancia de escala de las ecuaciones de

Euler Lagrange

Es claro que si a las ecuaciones de Euler Lagrange, dadas por (3.12), se lesmultiplica por una constante c, las ecuaciones de movimiento no se veranafectadas, es decir:

c

[d

dt

(∂L

∂qi

)− ∂L

∂qi

]= 0; i = 1, 2, . . . , n (3.39)

ecuaciones que equivalentemente se puede escribir como:

d

dt

(∂(cL)

∂qi

)− ∂(cL)

∂qi= 0; i = 1, 2, . . . , n (3.40)


lo cual quiere decir que para efectos de la obtencion de las ecuaciones demovimiento, la funcion Lagrangian L es equivalente a la funcion cL. Estapropiedad que posee L se conoce como invariancia de escala. y en algu-nas ocasiones permite obtener utiles resultados sin tener que integrar lasecuaciones.

Para confirmar lo anterior, primero considerese un sistema cuya energıapotencial V es una funcion homogenea de las coordenadas generalizadas q1,q2,. . .,qn, es decir V = V (q1, q2, . . . , qn). Si a las coordenadas espaciales seles realiza una transformacion de escala, de la siguiente manera:

qi → q ′

i = aqi; i = 1, 2, . . . , n (3.41)

siendo a un parametro constante sin dimensiones, entonces el efecto de estatransformacion sobre el potencial es:

V (q1, q2, . . . , qn) → V ′ = V (q ′

1, q′

2, . . . , q′

n)

es decir:

V ′ = V (aq1, aq2, . . . , aqn) = agV (q1, q2, . . . , qn) (3.42)

siendo g el grado de la funcion homogenea V .

Si adicionalmente se realiza simultaneamente una trasformacion de escalade la coordenada del tiempo de la siguiente manera:

t → t ′ = bt (3.43)

donde b es un parametro constante sin dimensiones, entonces se tiene unatransformacion de escala simultanea de las coordenadas del espacio-tiempoy por lo tanto todas las velocidades se cambian por un factor a/b, es decir:

qi =dqi

dt→ q ′

i =dq ′

i

dt ′=

d(aqi)

d(bt)=

a

b

dqi

dt=

a

bqi (3.44)

Para sistemas escleronomicos, la energıa cinetica T es una funcion cuadraticade las velocidades, por lo tanto, bajo estas transformaciones de escala, Testa dada por:

T =

n∑

i=1

1

2miq

2i

3.9. INVARIANCIA DE LAS ECUACIONES DE EULER LAGRANGE 115

se transforma como:

T → T ′ =n∑

i=1

1

2mi(q

′

i )2 =

n∑

i=1

1

2mi

(a

bqi

)2

es decir el efecto del escalamiento del espacio-tiempo, se manifiesta sobre Tcomo:

T ′ =a2

b2

n∑

i=1

1

2miq

2i =

a2

b2T (3.45)

Teniendo en cuenta que la trasformacion de escala cambia a V por un factorag y si se cumple que:

ag =(

ab

)2

o sea

a2−g = b2

entonces, de esta forma, el efecto del escalamiento del espacio-tiempo sobrela funcion Lagrangiana del sistema L es tal que la funcion Lagrangiana trans-formada L ′ es igual a la no transformada L multiplicada por una constanteag, es decir:

L → L ′ = T ′ − V ′ = agT − agV = ag(T − V ) = agL (3.46)

y por lo tanto las ecuaciones de movimiento del sistema no cambian porefecto de la trasformacion de escala del espacio tiempo.

Por lo anterior, se puede concluir que para un potencial de grado g, bajolas transformaciones de escala:

qi → q ′

i = aqi

t → t ′ = a(2−g)/2 t

las ecuaciones de movimiento permanecen invariantes. Sin embargo, las ecua-ciones de movimiento ahora son tales que existen diferentes trayectorias, enel espacio de configuracion, geometricamente similares diferenciadas sola-mente por un factor de escala o de tamano de la trayectoria. El tiempo tque tarda el sistema para moverse entre dos puntos correspondientes de latrayectoria esta relacionado con el tiempo escalado t ′ de la siguiente manera:

t ′

t= b = a(2−g)/2 =

(c ′

c

)(2−g)/2

(3.47)


donde c ′

c es la razon de las dimensiones lineales de las trayectorias. La an-terior relacion permite hacer utiles inferencias acerca de las propiedades delmovimiento del sistema, sin que sea necesario solucionar las ecuaciones demovimiento del sistema, es decir sin que sea necesario tener que realizar lasintegrales de estas ecuaciones.

Por ejemplo, se observa que para pequenas oscilaciones la energıa poten-cial es cuadratica en las coordenadas y esta dada por:

V (x) = 12 kx2

es decir, el grado de la funcion homogenea en las coordenadas espaciales esg = 2. Luego, a partir de (3.47) se encuentra que el perıodo de las pequenasoscilaciones es independiente de sus amplitudes:

t ′

t=

(c ′

c

)0

= 1

por lo tanto:

t ′ = t

Para el caso de que exista interaccion de Coulomb o interaccion gravitacionalen el sistema, el potencial es de la forma:

V (r) = −kr = −kr−1

es decir es una funcion homogenea de grado g = −1. Luego de (3.47) se tieneque:

t ′

t=

(c ′

c

)3/2

por lo cual

t ′ =

(c ′

c

)3/2

t

(t ′)2 =

(c ′

c

)3

t2

es decir, se encuentra que el perıodo de revolucion en la orbita es propor-cional al cubo del tamano de la orbita.

Capıtulo 4

Fuerzas no conservativas ymetodo de losmultiplicadores de Lagrange

Los sistemas no conservativos son sistemas fısicos en los que actuan fuerzasno conservativas. Las fuerzas no conservativas son aquellas que no puedenser derivadas a partir de una funcion energıa potencial que depende exclu-sivamente de las coordenadas del sistema. Para este tipo de sistemas lasecuaciones de Euler-Lagrange estan dadas por:

d

dt

(∂T

∂qi

)− ∂T

∂qi= Q ′

i ; i = 1, 2, . . . , n (4.1)

donde Q ′

i representa las fuerzas generalizadas del sistema. En este capitulose estudian sistemas en los que estan presentes fuerzas no conservativas, talescomo fuerzas dependientes de las velocidades y fuerzas impulsivas. Para elcaso de fuerzas impulsivas se introduce el metodo de los multiplicadores deLagrange.

4.1. Fuerzas dependientes de las velocidades

Cuando las fuerzas generalizadas Q ′

i son obtenidas de una funcion po-tencial dependiente de la velocidad y eventualmente del tiempo M(q, q, t),de tal forma que:

Q ′

i =d

dt

(∂M

∂qi

)− ∂M

∂qi(4.2)

117

118 CAPITULO 4. Sistemas no conservativos y multiplicadores de Lagrange

entonces las ecuaciones de Euler-Lagrange quedan expresadas como:

d

dt

(∂T

∂qi

)− ∂T

∂qi=

d

dt

(∂M

∂qi

)− ∂M

∂qi; i = 1, 2, . . . , n

donde al agrupar se obtiene:

d

dt

[∂(T − M)

∂qi

]− ∂(T − M)

∂qi= 0; i = 1, 2, . . . , n

Si se identifica a T − M como la funcion Lagrangiana del sistema L, ası:

L = T − M (4.3)

entonces las ecuaciones de Euler-Lagrange se escriben como:

d

dt

(∂L

∂qi

)− ∂L

∂qi= 0; i = 1, 2, . . . , n (4.4)

La funcion potencial M = M(q, q, t) se conoce como el potencial general-izado del sistema.

4.1.1. Partıcula cargada en presencia de un campo electro-magnetico

De particular interes es el caso de una partıcula cargada sometida a laaccion de un campo electromagnetico. Como consecuencia de lo anterior,sobre la partıcula actua una fuerza que depende de las velocidades y que nopuede ser derivada a partir de un potencial ordinario V .

Los campos electrico E y magnetico B puede ser expresados en el vacıocomo:

B = ∇ × A

E = −∇φ − 1

c

∂A

∂t

siendo φ el potencial escalar, A el potencial vectorial y c la velocidad dela luz en el vacıo. La fuerza sobre la partıcula con carga electrica e que semueve con velocidad v es:

F = e(E +

v

c× B

)

4.1. FUERZAS DEPENDIENTES DE LAS VELOCIDADES 119

Para mostrar como esta fuerza puede ser derivada de una funcion potencialM , teniendo en cuenta la segunda ley de Newton, se escribe la ecuacion demovimiento:

d

dt(mv) = F = e

(E +

v

c× B

)

= e

[−∇φ − 1

c

∂A

∂t+

v

c× (∇ × A)

]


v × (∇ × A) = ∇(v · A)(v · ∇)A

la ecuacion de movimiento se puede escribir como:

d

dt(mv) = e

[−∇φ − 1

c

(∂A

∂t+ v · ∇A

)+ ∇

v · Ac

]

= e

[−∇(φ − v · A

c) − 1

c

dA

dt

](4.5)

La forma de la ecuacion (4.5) sugiere esta que se puede escribir a partir deuna sola derivada respecto al tiempo, es decir:

d

dt

(mv +

e

cA)

= −e∇

(φ − v · A

c

)(4.6)

obteniendose una ecuacion que tiene la forma general de un conjunto deecuaciones de Euler-Lagrange dadas por:

d

dt

(∂L

∂xi

)=

∂L

∂xi; i = 1, 2, 3 (4.7)

Se observa que (4.6) es igual a (4.7) si:

∂L

∂vi= mvi +

e

cAi; i = 1, 2, 3

es decir si

∂L

∂v= mv +

e

cA


y ademas si:

∂L

∂xi=

∂

∂xi

[−e

(φ − vjAj

c

)]

con lo cual

∂L

∂r= ∇

[−e

(φ − v · A

c

)]

Para que lo anterior se cumpla, la funcion Lagrangiana L debe estar dadapor:

L =1

2mv2 − eφ +

ev · Ac

(4.8)

donde el primer termino es la energıa cinetica T de la partıcula y los otrosdos terminos representan el potencial generalizado M dado por:

M = eφ − ev · Ac

(4.9)

Se observa que al depender M de la velocidad de la partıcula v, entonces elmomento lineal de la partıcula p = mv se ha modificado debido a que:

p =∂L

∂v= mv +

e

cA (4.10)

donde el termino ec A representa el momento del campo electromagnetico.

La energıa mecanica total de la partıcula esta dada por:

E = T + eφ =1

2mv2 + eφ (4.11)

Debido a que la fuerza magnetica ec v×B no trabaja por ser perpendicular a

la velocidad v, entonces el potencial vectorial A no aparece en la expresionde la energıa. Si φ y A no son funciones explıcitas del tiempo, el sistema esconservativo y la energıa mecanica total es constante.

4.2. Fuerzas impulsivas

El estudio del movimiento impulsivo involucra un analisis de la respues-ta de los sistemas mecanicos a fuerzas de muy grande magnitud y corta

4.2. FUERZAS IMPULSIVAS 121

duracion. Estas fuerzas, llamadas fuerzas impulsivas, frecuentemente surgencomo resultado de un impacto o colision, pero tambien se puede imaginarotras fuentes tales como una explosion o la aplicacion repentina de ligaduras.

Si el sistema mecanico bajo consideracion incluye cuerpos rıgidos u otrasligaduras rıgidas, la aplicacion de fuerzas externas impulsivas normalmenteresultara en el desconocimiento de las fuerzas de ligadura impulsivas. Sinembargo, como se ha estudiado en los capıtulos anteriores, el metodo de lasecuaciones de Euler-Lagrange frecuentemente lleva a calcular el movimientodel sistema sin tener que resolver las fuerzas de ligadura.

Por lo anterior el uso del formalismo Lagrangiano es particularmenteconveniente en el analisis del movimiento impulsivo de sistemas con ligadurasrıgidas.

4.2.1. Principio de impulso y momento lineal

Supongase que se considera un sistema de N partıculas cuyas posicionesrelativas a un punto fijo 0 en un sistema inercial de referencia, estan dadaspor r1, r2, . . . , rN . La ecuacion basica de movimiento del centro de masaes:

F = p (4.12)

donde F es la fuerza externa total que actua sobre el sistema y p el momentolineal total, el cual puede escribirse como:

p =

N∑

i=1

miri = mrc (4.13)

siendo m la masa del sistema y rc la velocidad del centro de masa.Integrando a ambos lados de la ecuacion (4.12) con respecto al tiempo,

en un intervalo de integracion de t1 a t2, se obtiene:

t2∫

t1

F dt =

t2∫

t1

p dt = p(t2) − p(t1)

y definiendo el impulso total de las fuerzas externas F como:

F =

t2∫

t1

F dt


entonces se encuentra que:

F = p2 − p1 (4.14)

es decir este resultado corresponde al denominado principio de impulso ymomento lineal: el cambio en el momento lineal total de un sistema du-rante un lapso dado de tiempo es igual al impulso total de la fuerza externaactuando durante el mismo lapso de tiempo.

4.2.2. Obtencion del principio de impulso y momento linealen el formalismo Lagrangiano

Se sabe que la configuracion de un sistema mecanico esta especificadapor el conjunto de grados de libertad del sistema. Estos grados de libertadcorresponden a las coordenadas generalizadas independientes q1, q2, . . . , qn

con las cuales se puede definir el estado dinamico del sistema en cualquierinstante de tiempo. Mediante la solucion de las ecuaciones de Euler-Lagrangedel sistema, dadas por:

d

dt

(∂T

∂qi

)− ∂T

∂qi= Qi; i = 1, 2, . . . , n (4.15)

es posible conocer las coordenadas generalizadas como funcion del tiempo,y ası la configuracion del sistema en cualquier instante de tiempo. En lasecuaciones (4.15) las Qi denotan las fuerzas impulsivas aplicadas al sistema.

Se asume que las fuerzas impulsivas son aplicadas durante un lapso detiempo ∆t y puesto que el momento generalizado pi asociado a la coordenadageneralizada qi es:

pi =∂L

∂qi=

∂T

∂qi

entonces las ecuaciones (4.15) se pueden escribir como:

d

dtpi −

∂T

∂qi= Qi


pi −∂T

∂qi= Qi; i = 1, 2, . . . , n (4.16)

4.2. FUERZAS IMPULSIVAS 123

Integrando sobre el tiempo a ambos lados de la igualdad (4.16), en el inter-valo ∆t, se obtiene:

t1+∆t∫

t1

[pi −

∂T

∂qi

]dt =

t1+∆t∫

t1

Qi dt (4.17)

La contribucion de la primera integral del lado derecho de la ecuacion es:

t1+∆t∫

t1

pi dt =

t1+∆t∫

t1

dpi

dtdt = pi(t1 + ∆t) − pi(t1) = ∆pi

mientras que la contribucion de la segunda integral es:

lım∆t→0

t1+∆t∫

t1

∂T

∂qidt = 0

puesto que la cantidad ∂T∂qi

es aproximadamente constante en el intervalo deintegracion, para cuando ∆t → 0.

La integral del lado derecho de las ecuaciones (4.17) corresponde al impulsogeneralizado Qi dado por:

Qi =

t2∫

t1

Qi dt

Por lo anterior, las ecuaciones (4.17) quedan escritas como:

∆pi = Qi; i = 1, 2, . . . , n (4.18)

con lo cual se obtiene el principio de impulso y momento lineal antes men-cionado.

Ahora, notese que la energıa T del sistema en coordenadas rectangularesxk esta dada por:

T =1

2

3N∑

k=1

mk x2k (4.19)


Puesto que las coordenadas cartesianas xk se escriben en terminos de lascoordenadas generalizadas q a traves de las siguientes ecuaciones de trans-formacion:

xk = xk(q, t); k = 1, 2, . . . , 3N

entonces, las derivadas respecto al tiempo de las coordenadas cartesianas seescriben como:

xk(q, q, t) =n∑

i=1

∂xk

∂qiqi +

∂xk

∂t(4.20)

Reemplazando (4.20) en (4.19) se obtiene:

T (q, q, t) =1

2

3N∑

k=1

mk

(n∑

i=1

∂xk

∂qiqi +

∂xk

∂t

)2

(4.21)

de donde se observa que T se puede escribir de acuerdo al grado en q de lasiguiente manera:

T = T2 + T1 + T0 (4.22)

donde T2 esta dada por

T2 =1

2

n∑

i=1

n∑

j=1

mij qiqj (4.23)

siendo

mij = mji =3N∑

k=1

mk∂xk

∂qi

∂xk

∂qj

mientras que T1 es:

T1 =

n∑

i=1

aiqi (4.24)

siendo

ai =

3N∑

k=1

mk∂xk

∂qi

∂xk

∂t

4.3. METODO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE 125

y el termino T0 es:

T0 =1

2

3N∑

k=1

mk

(∂xk

∂t

)2

(4.25)


pi =∂T

∂qi=

∂

∂qi(T2 + T1) =

n∑

j=1

mij qj + ai (4.26)

donde mij y aj son funciones continuas de las q y las t, entonces a partir de(4.26) se obtiene que:

∆pi =

n∑

j=1

mij∆qj (4.27)

Reemplazando (4.27) en (4.18) se encuentra que:

n∑

j=1

mij∆qj = Qi; i = 1, 2, . . . , n (4.28)

donde el impulso generalizado Qi se puede obtener de una forma similar acomo se hace para Qi. El anterior resultado en notacion matricial quedaescrito como:

∆q = m−1Q (4.29)

siendo m la matriz de inercia, la cual es definida positiva para que exista suinversa m−1.

4.3. Metodo de los multiplicadores de Lagrange

Supongase que el sistema fısico en consideracion es un sistema holonomi-co de N partıculas, que esta descrito en coordenadas cartesianas, y sobreel cual se aplican impulsos F1, F2, . . . , F3N durante un pequeno lapso detiempo ∆t. Las fuerzas generalizadas del sistema Qi se escriben como:

Qi =

3N∑

k=1

Fk∂xk

∂qi; i = 1, 2, . . . , n (4.30)


Puesto que los impulsos Fk actuan durante un tiempo ∆t, es decir:

Fk =

t1+∆t∫

t1

Fk dt; i = 1, 2, . . . , 3N

entonces los impulsos generalizados estan dados por

Qi =

t1+∆t∫

t1

Qi dt; i = 1, 2, . . . , n

Al integrar en el tiempo a ambos lados de la expresion (4.30), desde t1 hastat1 + ∆t, se encuentra que:

Qi =

3N∑

k=1

∂xk

∂qiFk; i = 1, 2, . . . , n (4.31)

donde las derivadas se calculan a partir de las ecuaciones de transformacionde coordenadas:

xk = xk(q1, q2, . . . , qn, t); k = 1, 2, . . . , 3N

Si las coordenadas generalizadas qi son independientes y si adicionalmentelas ligaduras sobre las coordenadas xk son sin trabajo, entonces los impulsosde ligadura no contribuyen a los impulsos generalizados Qi.

En el caso de que sea de interes conocer explıcitamente las fuerzas deligadura que actuan sobre el sistema, y teniendo en cuenta que el metodoLagrangiano se limita principalmente a fuerzas activas y efectos de fuerzasinternas completamente ignorables debido a ligaduras de junturas, conec-tores y contactos, entonces es necesario desarrollar otro metodo que suplaesta limitacion que tiene el metodo Lagrangiano. El metodo que se desarrollaa continuacion, que se denomina metodo de los multiplicadores de Lagrange,permite dar cuenta de las fuerzas de ligadura que actuan en el sistema.

Resulta conveniente recordar que hasta el momento se han discutidodos metodos que pueden ser usados en el analisis de sistemas con ligadurasholonomicas, estos son: la eliminacion de variables usando las ecuaciones deligadura y el uso de coordenadas generalizadas independientes. Sin embargo,el metodo de los multiplicadores de Lagrange, a desarrollar en esta seccion,comparado con estos dos metodos, presenta una ventaja muy importante y esque puede ser tambien aplicado a ciertos tipos de ligaduras no-holonomicas.Dado lo anterior, primero se introducira el metodo de los multiplicadoresde Lagrange para sistemas no-holonomicas y luego se mostrara que tambienpuede ser aplicado a sistemas holonomicos.


4.3.1. Para sistemas no-holonomicos

La derivacion de las ecuaciones de Lagrange en el caso de un sistemaholonomico requiere que las coordenadas generalizadas sean independientes.Para el caso de un sistema no-holonomico se tiene un numero de coorde-nadas generalizadas (n) mayor que el numero de grados de libertad (n−m),asumiendo que en el sistema existen m ligaduras. Por lo anterior, para estetipo de sistemas, las variaciones de las coordenadas generalizadas qi no sonindependientes de las demas coordenadas cuando se hace un desplazamien-to virtual consistente con las ligaduras. Sin embargo, es posible realizar untratamiento Lagrangiano de los sistemas no-holonomicos si se tiene en cuentaque las ecuaciones de ligadura, en coordenadas cartesianas, son del tipo:

n∑

k=1

ajkdqk + ajt dt = 0; j = 1, 2, . . . , m (4.32)

donde los coeficientes ajk y ajt son funciones de las q y del tiempo t, es decirajk = ajk(q1, q2, . . . , qn) y ajt = ajt(q1, q2, . . . , qn). O equivalentemente, lasecuaciones de ligadura en coordenadas cartesianas son:

3N∑

i=1

aji dxi + ajt dt = 0; j = 1, 2, . . . , m (4.33)

donde los coeficientes son de la forma aji = aji(x1, x2, . . . , x3N , t) y ajt =ajt(x1, x2, . . . , x3N , t).

Un desplazamiento virtual δxj debe ser tal que el trabajo virtual real-izado por las fuerzas que actuan sobre el sistema δW es:

δW =

3N∑

l=1

Fi δxi =

3N∑

i=1

(F(e)i + Ri)δxi = 0 (4.34)

de tal forma que el trabajo virtual realizado por las fuerzas de ligadurasatisface:

3N∑

i=1

Ri δxi = 0 (4.35)

lo cual, escrito en coordenadas generalizadas, equivalentemente es:

n∑

k=1

Rk δqk = 0 (4.36)


Por lo tanto, las ligaduras deben ser consistentes con los desplazamientosvirtuales y en consecuencia, se debe cumplir que:

n∑

k=1

ajk δqk = 0; j = 1, 2, . . . , m (4.37)

Lo anterior significa que se tienen desplazamientos virtuales que no son inde-pendientes. La idea es usar (4.37) para reducir el numero de desplazamientosvirtuales a aquellos que sean independientes, mediante el uso del metodo delos multiplicadores de Lagrange. Ya que (4.37) se cumple, tambien se cumpleque:

λj

n∑

k=1

ajk δqk = 0; j = 1, 2, . . . , m (4.38)

donde se ha multiplicado por algunas constantes no determinadas λj, lla-madas multiplicadores de Lagrange, que en general son funciones de lascoordenadas q y el tiempo t.

Si se suma (4.38) sobre j y se integra en el tiempo entre t1 y t2, tambiense satisface que:

t2∫

t1

m∑

j=1

n∑

k=1

λjajk δqk dt = 0 (4.39)

Supongase que el principio de Hamilton es valido para sistemas no-holonomi-cos, es decir:

δS = δ

t2∫

t1

Ldt =

t2∫

t1

dt

n∑

k=1

(∂L

∂qk

− d

dt

∂L

∂qk

)δqk = 0 (4.40)

Insertando (4.39) en (4.40) se obtiene:

δS =

t2∫

t1

dt

n∑

k=1

∂L

∂qk

− d

dt

∂L

∂qk

+

m∑

j=1

λjajk

δqk = 0 (4.41)

Las variaciones δq no son independientes entre si, ya que ellas estan conec-tadas a traves de m relaciones de la forma (4.37). Si se escribe (4.41) como:

δS =

t2∫

t1

dt

n−m∑

k=1

∂L

∂qk

− d

dt

∂L

∂qk

+

m∑

j=1

λjajk

δqk


+

t2∫

t1

dtn∑

k=n−m+1

∂L

∂qk

− d

dt

∂L

∂qk

+m∑

j=1

λjajk

δqk = 0 (4.42)

entonces los valores de los multiplicadores λj se pueden conocer. Los mul-tiplicadores se escogen de tal forma que el segundo termino de (4.42) desa-parezca, lo cual sucede si:

∂L

∂qk

− d

dt

∂L

∂qk

+

m∑

j=1

λjajk = 0 (4.43)

con k = n−m+1, . . . , n, o equivalentemente k = 1, 2, . . . , m. Cumpliendose(4.43), se escogen libremente las coordenadas generalizadas q1, q2, . . . , qn−m

para que sean independientes y por lo tanto, se sigue de (4.42) que:

δS =

t∫

t1

dt

n−m∑

k=1

∂L

∂qk

− d

dt

∂L

∂qk

+

m∑

j=1

λjajk

δqk = 0 (4.44)

Se sabe que la accion es estacionaria para la trayectoria que satisface:

∂L

∂qk

− d

dt

∂L

∂qk

+

m∑

j=1

λjajk = 0; k = 1, 2, . . . , n − m (4.45)

Por lo tanto se observa que las m ecuaciones provenientes de (4.43) y lasn − m ecuaciones de (4.45) tienen la misma forma, con lo cual se puedeagrupar como:

d

dt

(∂L

∂qk

)− ∂L

∂qk

=m∑

j=1

λjajk k = 1, 2, . . . , n (4.46)

Las n ecuaciones (4.46) con las m ecuaciones de ligadura (4.32) escritascomo:

n∑

k=1

ajkqk + ajt = 0; j = 1, 2, . . . , m (4.47)

constituyen las n + m ecuaciones con las cuales se pueden conocer las ncoordenadas generalizadas qk y los m multiplicadores de Lagrange λj.

Pero, por que son significativos los multiplicadores de Lagrange λj? Larespuesta a esta pregunta nos remite a las ligaduras del sistema de tal forma


que es posible fijar el movimiento del sistema sin cambiar las fuerzas externasaplicadas Qk.

Bajo la influencia de estas fuerzas Qk, las ecuaciones de movimientoque describen el movimiento del sistema permanecen igual, y las fuerzasaplicadas Qk deben ser iguales a las fuerzas de ligadura, por lo tanto lasecuaciones de movimiento del sistema son:

d

dt

(∂L

∂qk

)− ∂L

∂qk

= Qk; k = 1, 2, . . . , n (4.48)

Al comparar (4.46) con (4.48) se identifica a las fuerzas de ligadura con:

Qk =m∑

j=1

λjajk; k = 1, 2, . . . , n

Ası, en el metodo de los multiplicadores de Lagrange, las ligaduras entranen las ecuaciones de movimiento en la forma de fuerzas generalizadas deligadura mas que en terminos geometricos y los multiplicadores de Lagrangeλ estan linealmente relacionadas con las fuerzas generalizadas de ligadura.

4.3.2. Para sistemas holonomicos

Para sistemas holonomicos en los que hay mas coordenadas generalizadasque grados de libertad, supongase que hay m ecuaciones holonomicas deligadura de la forma:

φj(q1, q2, . . . , qn, t) = 0 j = 1, 2, . . . , m

Tomando la diferencial de φj se tiene

dφj =

n∑

k=1

∂φj

∂qk

dqk +∂φj

∂tdt = 0

cuya forma es similar a (4.32), con lo cual se puede identificar los coeficientesajk y ajt con

ajk =∂φj

∂qk

ajt =∂φj

∂t

Por lo tanto, el metodo de multiplicadores de Lagrange se puede usar en eltratamiento de sistemas holonomicos cuando:


1. Resulta inconveniente reducir todas las q a coordenadas dependientes.

2. Es interesante conocer las fuerzas de ligadura.

Ejemplo 4.1.

Una partıcula de masa m se coloca sobre la superficie de un hemisferio deradio a (figura 4.1). (i)Encuentre la fuerza de reaccion R del hemisferio sobrela partıcula. (ii) Encuentre la altura a la cual la partıcula deja de tocar lasuperficie, suponiendo que la partıcula se desliza sobre la superficie.

b

θ

mg

R

r=

a

x

y

Figura 4.1. Partıcula moviendose sobre un hemisferio.

(i) Las coordenadas generalizadas son:

q1 = r; q2 = θ

La energıa cinetica T la energıa potencial V y la funcion Lagrangiana L son:

T =1

2m(r2 + r2θ2)

V = mgr cos θ

L = T − V =1

2m(r2 + r2θ2) − mgr cos θ

La ecuacion de ligadura es

r = a

o

r − a = 0


la cual escrita de forma diferencial como:

dr = 0

Los coeficientes son

ar =∂

∂r(r − a) = 1

aθ =∂

∂θ(r − a) = 0

por lo tanto, solo se requiere el empleo de un multiplicador de Lagrange.

Las ecuaciones de Euler-Lagrange son:

d

dt

(∂L

∂r

)− ∂L

∂r= Qr

d

dt

(∂L

∂θ

)− ∂L

∂θ= 0

donde

Qr =

1∑

j=1

λjajk = λ1ar = λar = λ

Puesto que:

∂L

∂r= mr

d

dt

(∂L

∂r

)= mr = 0

∂L

∂r= mrθ2 − mg cos θ

∂L

∂θ= mr2θ

d

dt

(∂L

∂θ

)= mr2θ


∂L

∂θ= mgr sen θ

entonces las ecuaciones de Euler-Lagrange se convierten en:

−maθ2 + mg cos θ = λ (4.49)

ma2θ − mga sen θ = 0 (4.50)

Para resolver (4.49) y (4.50) se define p = θ, entonces

θ =dθ

dt=

dp

dt=

dp

dθ

dθ

dt= p

(dp

dθ

)

En terminos de p, la ecuacion (4.50) es:

p

(dp

dθ

)− g

asen θ = 0

Esta ecuacion tiene como solucion:

p2 = θ2 = −2g

acos θ +

2g

a

donde la constante de inercia 2ga es obtenida ya que θ = 0 en θ = 0. Si se

reemplaza esta solucion en (4.49) se obtiene

−ma

(−2g

acos θ +

2g

a

)+ mg cos θ = λ

por lo tanto

λ = mg(3 cos θ − 2)

la cual corresponde a la fuerza de reaccion R.

(ii) La partıcula deja de tocar la superficie cuando la fuerza de reaccion esnula, es decir cuando λ = 0. Lo anterior significa que cuando esto sucede sesatisface:

mg(3 cos θ ′ − 2) = 0

por lo tanto la altura h, a la cual la partıcula deja de tocar la superficie, es:

h = a cos θ ′


donde:

θ ′ = cos−1

(2

3

)

❏

Ejemplo 4.2.

Un bloque con una superficie inclinada de masa M se puede deslizar libre-mente sobre una superficie horizontal, mientras que otro bloque de masa mtambien lo puede hacer libremente sobre la superficie inclinada del primerbloque, tal como lo indica la figura 4.2. Encuentre las aceleraciones de losdos bloques y la fuerza de interaccion entre ellos.

x2

x1

01

02

θ

Mm

θ

x1

x2v

Figura 4.2. Bloque de masa M deslizandose sobre una superficie horizontal ybloque de masa m deslizandose sobre la superficie inclinada del primer bloque.

A partir de la la figura 4.2, se observa que el sistema tiene dos grados delibertad x1 y x2. La velocidad del bloque de masa M se mide respecto alorigen 01, siendo x1, mientras que la velocidad del bloque de masa m semide respecto al origen 02, siendo x2. La velocidad v del bloque de masa mrespecto a 01 es:

v = x1 + x2

entonces

v2 = (−x1 + x2 cos θ)2 + (−x2 sen θ)2

= x21 − 2x1x2 cos θ + x2

2 cos2 θ + x22 sen2 θ


= x21 + x2

2 − 2x1x2 cos θ

La energıa cinetica T , la energıa potencial V y la funcion Lagrangiana son:

T =1

2Mx2

1 +1

2mv2

=1

2Mx2

1 +1

2m(x2

1 + x22 − 2x1x2 cos θ)

V = −mgx2 sen θ

L = T − V =1

2Mx2

1 +1

2m(x2

1 + x22 − 2x1x2 cos θ) + mgx2 sen θ

Las ecuaciones de Euler-Lagrange del sistema son:

d

dt

∂L

∂x1− ∂L

∂x1= 0

d

dt

∂L

∂x2− ∂L

∂x2= 0

A partir de L se obtiene

∂L

∂x1= Mx1 + mx1 − mx2 cos θ

d

dt

(∂L

∂x1

)= (M + m)x1 − mx2 cos θ

∂L

∂x1= 0

∂L

∂x2= mx2 − mx1 cos θ

d

dt

(∂L

∂x2

)= mx2 − mx1 cos θ

∂L

∂x2= mg sen θ


Las ecuaciones de movimiento del sistema son:

(M + m)x1 − mx2 cos θ = 0

mx2 − mx1 cos θ − mg sen θ = 0

o escritas en terminos de las aceleraciones a1 y a2 son:

(M + m)a1 − ma2 cos θ = 0 (4.51)

a2 − a1 cos θ − g sen θ = 0 (4.52)

De la segunda ecuacion de movimiento se despeja a2, es decir:

a2 = a1 cos θ + g sen θ

Reemplazando a2 en (4.51) se obtiene

−(M + m)a1 + m cos θ(a1 cos θ + g sen θ) = 0

−(M + m − m cos2 θ)a1 = −mg sen θ cos θ

por lo tanto la aceleracion del bloque de masa M es:

a1 =mg sen θ cos θ

m sen2 θ + M

Reemplazando a1 en (4.52), se obtiene que la aceleracion del bloque de masam es:

a2 =mg sen θ cos2 θ

m sen2 θ + M+ g sen θ

=mg sen θ cos2 θ + mg sen θ sen2 θ + Mg sen θ

m sen2 θ + M

es decir:

a2 =(m + M)g sen θ

m sen2 θ + M

Ahora haciendo uso del metodo de los multiplicadores de Lagrange seobtendra la fuerza entre los dos bloques. Esta fuerza de interaccion es normala la superficie de contacto sin friccion y puede ser considerada como la fuerzade ligadura generalizada correspondiente a la coordenada x3 (figura 4.3).


x2

x1

01

02

θ

Mm

x3

Figura 4.3. Coordenada generalizada x3.

Aunque ahora se usaran 3 coordenadas generalizadas, solamente hay 2 gra-dos de libertad, debido a que hay una ecuacion de ligadura holonomica dadapor:

x3 = 0

por lo cual

x3 = 0

Recordando que la forma general de las ligaduras no-holonomicas es:

n∑

i=1

ajiqi + ajt = 0; j = 1, 2, . . . , m

Para m = 1 se tiene:

a11x1 + a12x2 + a13x3 + a1t = 0

ya que

x3 = 0

entonces

a11 = 0

a12 = 0


a13 = 1

a1t = 0

La forma de las fuerzas generalizadas de ligadura es:

Qk =

m∑

j=1

λjajk; k = 1, 2, . . . , n

Q1 = λ1a11 = 0

Q2 = λ1a12 = 0

Q3 = λ1a13 = λ1

El cuadrado de la velocidad por componentes es (ver figura 4.4):

θ

θx1

x2

x3

Figura 4.4. Componentes de la velocidad v.

v2 = (−x1 + x2 cos θ + x3 sen θ)2 + (x3 cos θ − x2 sen θ)2

= x21 − x1x2 cos θ − 2x1x3 sen θ + (x2 cos θ + x3 sen θ)2

+ (x3 cos θ − x2 sen θ)2

= x21 − 2x1x2 cos θ − 2x1x3 sen θ + x2

2 cos2 θ + 2x2x3 cos θ sen θ

+ x23 sen2 θ + x2

3 cos2 θ − 2x2x3 cos θ sen θ + x22 sen2 θ

= x21 + x2

2 + x23 − 2x1x2 cos θ − 2x1x3 sen θ

Por lo tanto la energıa cinetica T , la energıa potencial V y la funcion La-grangiana son:

T =1

2Mx2

1 +1

2mv2


=1

2Mx2

1 +1

2m(x2

1 + x22 + x2

3 − 2x1x2 cos θ − 2x1x3 sen θ)

V = mg(x3 cos θ − x2 sen θ)

L =1

2(M + m)x2

1 +1

2m(x2

2 + x23 − 2x1x2 cos θ − 2x1x3 sen θ)

− mg(x3 cos θ − x2 sen θ)

Las ecuaciones de movimiento son:

d

dt

(∂L

∂x1

)− ∂L

∂x1= Q1 = 0

d

dt

(∂L

∂x2

)− ∂L

∂x2= Q2 = 0

d

dt

(∂L

∂x3

)− ∂L

∂x3= Q3 = λ3

Los diferentes terminos de cada ecuacion son:

∂L

∂x1= (M + m)x1 − mx2 cos θ − mx3 sen θ

d

dt

(∂L

∂x1

)= (M + m)x1 − mx2 cos θ − mx3 sen θ

∂L

∂x1= 0

∂L

∂x2= mx2 − mx1 cos θ

d

dt

(∂L

∂x2

)= mx2 − mx1 cos θ

∂L

∂x2= mg sen θ

∂L

∂x3= mx3 − mx1 sen θ


d

dt

(∂L

∂x3

)= mx3 − mx1 sen θ

∂L

∂x3= −mg cos θ

Por lo tanto, las ecuaciones de movimiento se pueden escribir como:

(M + m)x1 − mx2 cos θ − mx3 sen θ = 0

mx2 − mx1 cos θ − mg sen θ = 0

mx3 − mx1 sen θ + mg cos θ = λ3

o equivalentemente, como:

(M + m)a1 − ma2 cos θ − ma3 sen θ = 0 (4.53)

a2 − a1 cos θ − g sen θ = 0 (4.54)

ma3 − ma1 sen θ + mg cos θ = λ1 (4.55)

y la ligadura

x3 = a3 = 0 (4.56)

Reemplazando (4.56) en las ecuaciones (4.53)-(4.55), se obtiene:

(M + m)a1 − ma2 cos θ = 0

a2 − a1 cos θ − g sen θ = 0

−ma1 sen θ + mg cos θ = λ3

de donde se encuentra que las aceleraciones de los dos bloques son:

a1 =mg cos θ sen θ

m sen2 θ + M

a2 =(m + M)g sen θ

m sen2 θ + M

A partir de lo anterior, se puede obtener que la fuerza de ligadura (corre-spondiente a la fuerza entre los dos bloques) esta dada por:

Q3 = λ3 = mg cos θ − ma1 sen θ

= mg cos θ − m sen θ

(mg cos θ sen θ

m sen2 θ + M

)


=m2g sen2 θ cos θ + mMg cos θ − mg2 sen2 θ cos θ

m sen2 +M

=mMg cos θ

m sen2 θ + M

=mg cos θ

1 + mM sen2 θ

❏

Ejemplo 4.3.

Un aro de radio b y masa m rueda sin deslizarse sobre un plano inclinado,tal como se muestra en la figura 4.5. Obtener las aceleraciones y las fuerzasde ligadura. ¿Que velocidad tendrıa el aro en la parte mas baja del plano?

bφ

x

l

θ

Figura 4.5. Aro rodando sin deslizarse sobre una superficie inclinada.

Las coordenadas generalizadas del sistema son x, φ. Existe una ecuacion deligadura en el sistema dada por:

b dφ = dx

bdφ

dt=

dx

dt

bφ − x = 0

Las energıas y la funcion Lagrangiana son:

T = Ttraslacion del CM + Trotacion del CM


=1

2mx2 +

1

2mb2φ2

V = mg(l − x) sen θ

L = T − V =mx2

2+

mb2φ2

2− mg(l − x) sen θ

En este ejercicio hay dos grados de libertad n = 2 y una ecuacion de ligaduram = 1. Ya que las ligaduras no-holonomicas tienen la forma general:

n∑

i=1

ajiqi + ajt = 0; j = 1, 2, . . . , m

entonces para este caso se tiene:

a11q1 + a12q2 + ajt = 0

es decir:

aφφ + axx + at = 0

Teniendo en cuenta la ecuacion de ligadura del sistema, se concluye entoncesque:

aφ = b

ax = −1

at = 0

Las fuerzas generalizadas de ligadura estan dadas por:

Qk =

m∑

j=1

λjajk; k = 1, 2, . . . , n

Qφ = λ1aφ = bλ1

Qx = λ1ax = −λ1


d

dt

(∂L

∂φ

)− ∂L

∂φ= Qφ = bλ1

d

dt

(∂L

∂x

)− ∂L

∂x= Qx = −λ1


A partir de la funcion Lagrangiana L se encuentra que:

∂L

∂φ= mb2φ

d

dt

(∂L

∂φ

)= mb2φ

∂L

∂φ= 0

∂L

∂x= mx

d

dt

(∂L

∂x

)= mx

∂L

∂x= mg sen θ

Por lo tanto, las ecuaciones de movimiento se escriben como:

mb2φ − bλ1 = 0 (4.57)

mx − mg sen θ + λ1 = 0 (4.58)

Estas dos ecuaciones, junto con la ecuacion de ligadura dada por:

bφ = x (4.59)

forman un conjunto de 3 ecuaciones con 3 incognitas.Derivando (4.59) respecto al tiempo se tiene:

bφ = x

resultado que al ser reemplazado en (4.57) se obtiene

mbφ = λ1

mx = λ1 (4.60)

Ahora, reemplazando (4.60) en (4.58)

λ1 − mg sen θ + λ1 = 0


se encuentra que el multiplicador de Lagrange λ1 esta dada por:

λ1 =mg sen θ

2

Si se reemplaza el valor de λ1 en (4.60), se encuentra que la aceleraciontraslacional del aro es:

mx =mg sen θ

2

x =1

2g sen θ

siendo este valor la mitad de la aceleracion que tendrıa el aro si, en vez derotar, se deslizara. De forma equivalente, la aceleracion angular del aro es:

φ =1

2bg sen θ

La fuerza de rozamiento de ligadura es:

Qx = −λ1 = −1

2mg sen θ

mientras que el torque del aro es:

Qθ = λ1b =b

2mg sen θ

La velocidad final del aro se calcula ası:

x =dv

dt=

dv

ds

ds

dt= v

dv

ds=

1

2g sen θ

expresion que se puede escribir como:

v dv =1

2(g sen θ)ds

Integrando a ambos lados de la anterior igualdad, se encuentra que:

v2

2

∣∣∣∣vf

v0

=1

2(g sen θ)s

∣∣∣∣xf

x0

Al tener en cuenta las condiciones iniciales:

v0 = 0; x0 = 0; xf = l

se obtiene que la velocidad que tendrıa el aro en la posicion mas baja delplano es:

vf =√

lg sen θ ❏

Capıtulo 5

Movimiento bajo una fuerzacentral

Una fuerza central es una fuerza cuya lınea de accion pasa a traves de unpunto simple o centro, que se encuentra en reposo o en movimiento convelocidad constante, y cuya magnitud depende unicamente de la distanciadesde el centro. Algunos ejemplos de fuerzas centrales son la fuerza gravita-cional y las fuerza electrostatica. Entre los sistemas fısicos que involucranfuerzas centrales se encuentra el movimiento planetario alrededor del sol, elatomo de Bohr, y la dispersion de partıculas alfa por nucleos. Un aspectocomun, para los sistemas fısicos mencionados, es que en todos ellos existeuna fuerza de interaccion entre dos cuerpos, de tal forma que el centro defuerza esta localizado aproximadamente en la posicion de uno de los doscuerpos, es decir la masa de uno de los dos cuerpos es mucho mas grandeque la del otro cuerpo.

En este capitulo se estudia el movimiento de una partıcula sometida a laaccion de una fuerza central. Lo anterior se realiza, teniendo en cuenta queel problema de dos cuerpos auto-interactuantes se reduce al problema de uncuerpo de masa reducida sometido a la accion de una fuerza central.

5.1. El problema de los dos cuerpos y masa

reducida

Considerese un sistema conservativo de dos partıculas de masas m1 y m2

y posiciones r1 y r2, tal como se indica en la figura 5.1, de tal forma queexiste una fuerza de interaccion mutua entre las dos partıculas. La magnitudde la mencionada fuerza depende de la distancia de separacion entre las dospartıculas | r2 − r1 |. La fuerza que realiza la partıcula 1 sobre la partıcula

145

146 CAPITULO 5. Movimiento bajo una fuerza central

2 es F 12, mientras que la que realiza la partıcula 2 sobre la partıcula 1 esF 21. Estas dos fuerzas tienen igual magnitud y sentidos contrarios, es decir:

F 12 = −F 21 (5.1)

F12 = |F 12 | = |F 21 | = F21 (5.2)

Este sistema puede describirse mediante seis coordenadas generalizadas in-dependientes x1, y1, z1, x2, y2, z2, a traves de los vectores de posicionr1 = (x1, y1, z1) y r2 = (x2, y2, z2), los cuales estan definidos respectoal sistema inercial de referencia 0.

La funcion Lagrangiana de este sistema esta dada por:

L = L(r1, r2, r1, r2) =1

2m1r

21 +

1

2m2r

22 − V (| r2 − r1 |) (5.3)

o en terminos de las coordenadas generalizadas y sus derivadas por:

L = 12 m1(x

21 + y2

1 + z21) + 1

2 m2(x22 + y2

2 + z22)

− V (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1)

x

z

y0

r1

r2

m2

m1 F 21

F 12

Figura 5.1. Sistema conservativo de dos partıculas interactuantes de masas m1 ym2, cuyas posiciones estan descritas por los vectores r1 y r2, respectivamente.

De forma alternativa, para describir este problema se puede usar otrosistema de coordenadas independientes, tal como el sugerido por la figura 5.2.Este sistema de coordenadas queda definido mediante las tres coordenadas

5.1. EL PROBLEMA DE LOS DOS CUERPOS Y MASA REDUCIDA 147

x

z

y

cm

R

b

bm2

m1 r

Figura 5.2. Sistema de la figura 5.1, ahora descrito por el vector posicion delcentro de masa R y el vector separacion entre las dos partıculas r.

xR, yR, zR que definen la posicion del centro de masa del sistema de las dospartıculas y mediante las tres coordenadas xr, yr, zr que definen el vectorseparacion entre las dos partıculas r. El vector posicion del centro de masadel sistema R queda definido como:

R = (xR, yR, zR) (5.4)

mientras que el vector separacion de las dos partıculas r queda definido por:

r = r1 − r2 = (xr, yr, zr) (5.5)

El objetivo es describir la dinamica del sistema a partir de la funcion La-grangiana dada en terminos de los vectores r, R y de sus derivadas tempo-rales r, R, es decir L = L(r,R ; r, R). Se pueden referir las posiciones delas partıculas de masas m1 y m2 respecto el centro de masa, como se ilustraen la figura 5.3 a traves de los vectores r ′

1 y r ′

2, relacionados entre si por:

r = r ′

1 − r ′

2 (5.6)

con los cuales se satisfacen las expresiones:

r1 = R + r ′

1 (5.7)

r2 = R + r ′

2 (5.8)


x

z

y

R

b

b

0

r1

r2

m2

m1 r ′

1

r ′

2

Figura 5.3. Posiciones de las partıculas de masas m1 y m2 referidas al centro demasa.

El vector centro de masa de las dos partıculas esta definido por:

R =m1r1 + m2r2

m1 + m2(5.9)

Reemplazando (5.7) y (5.8) en (5.9), se encuentra que:

m1r′

1 + m2r′

2 = 0 (5.10)

A partir de (5.10) se obtiene:

r ′

1 = −m2

m1r ′

2 (5.11)

r ′

2 = −m1

m2r ′

1 (5.12)

Al reemplazar (5.12) en (5.6) se encuentra:

r = r ′

1 +m1

m2r ′

1 =m1 + m2

m2r ′

1

de donde se obtiene:

r ′

1 =m2

m1 + m2r (5.13)


resultado que al ser reemplazando en (5.7), conduce a:

r1 = R +m2

m1 + m2r (5.14)

De igual forma, reemplazando (5.11) en (5.6) se obtiene

r = −m2

m1r ′

2 − r ′

2 =−m1 − m2

m1r ′

2

de donde se encuentra que

r ′

2 = − m1

m1 + m2r (5.15)

resultado que al ser reemplazado en (5.8) conduce a:

r2 = R − m1

m1 + m2r (5.16)

Derivando con respecto al tiempo (5.14) se obtiene

r1 = R +m2

m1 + m2r

expresion que al ser elevada al cuadrado se escribe como:

r21 = r1 · r1 = R2 +

m22

(m1 + m2)2r2 +

2m2

m1 + m2r · R (5.17)

Ası mismo, derivando con respecto al tiempo (5.16) se obtiene

r2 = R − m1

m1 + m2r

resultado que al expresarse al cuadrado conduce a:

r22 = r2 · r2 = R2 +

m21

(m1 + m2)2r2 − 2m1

m1 + m2r · R (5.18)

Reemplazando (5.17) y (5.18) en (5.3), se obtiene que la funcion Lagrangianadel sistema esta dada por:


L =1

2m1

(R2 +

m22

(m1 + m2)2r2 +

2m2

m1 + m2r · R

)

+1

2m2

(R2 +

m21

(m1 + m2)2r2 − 2m1

m1 + m2r · R

)− V (| r1 − r2 |)

Despues de realizar algunos pasos algebraicos, la funcion Lagrangiana quedaescrita como:

L =1

2(m1 + m2) R2 +

1

2

m1m2

m1 + m2r2 − V (| r1 − r2 |) (5.19)

Llamando M = m1 + m2, la masa total y µ =m1m2

m1 + m2la masa reducida,1

entonces la funcion Lagrangiana se puede reescribir como

L =1

2MR2 +

1

2µr2 − V (| r1 − r2 |) (5.20)

Ya que r1 − r2 = r, entonces | r1 − r2 | = | r | = r =√

x2r + y2

r + z2r , por lo

tanto la funcion Lagrangiana se escribe como:

L(r, r, R) =1

2MR2 +

1

2µr2 − V (r) (5.21)

o en terminos de las coordenadas, como:

L =1

2M(x2

R+ y2

R+ z2

R) +

1

2µ(x2

r+ y2

r+ z2

r) − V (xr, yr, zr) (5.22)


d

dt

∂L

∂xR

− ∂L

∂xR

= 0 ;d

dt

∂L

∂yR

− ∂L

∂yR

= 0 ;d

dt

∂L

∂zR

− ∂L

∂zR

= 0

d

dt

∂L

∂xr

− ∂L

∂xr

= 0 ;d

dt

∂L

∂yr

− ∂L

∂yr

= 0 ;d

dt

∂L

∂zr

− ∂L

∂zr

= 0

Se observa que L no depende de xR, yR, zR (son coordenadas cıclicas), porlo tanto:

∂L

∂xR

=∂L

∂yR

=∂L

∂zR

= 0 (5.23)

1La masa reducida tambien se escribe de la forma 1µ

= 1m1

+ 1m2

.


Ası, las ecuaciones de movimiento para las coordenadas del centro de masase escriben como:

d

dt

∂L

∂xR

=d

dt

∂L

∂yR

=d

dt

∂L

∂zR

= 0 (5.24)


d

dtpxR

=d

dtpyR

=d

dtpzR

= 0 (5.25)

de donde se encuentra que el vector momento del centro de masa pR es unaconstante de movimiento:

pR = (pxR, pyR

, pzR) = cte (5.26)

Lo anterior significa que el centro de masa, localizado respecto al sistemade referencia 0 mediante el vector R, tiene asociado un momento linealpR = cte, de donde se puede concluir que el centro de masa esta en reposorelativo o se mueve con velocidad constante respecto a 0. Por lo tanto, elcentro de masa puede tomarse como un sistema inercial de referencia y elmovimiento de las partıculas m1 y m2 referirse al centro de masa.

Teniendo en cuenta lo anterior, si el origen del sistema de referencia seubica en el centro de masa, entonces se tiene que R = 0 y por lo tanto sepuede tomar R = 0 en (5.21) y de esta forma, escribir la funcion Lagrangianaefectiva del sistema como:

L = L(r, r) =1

2µr2 − V (r) (5.27)

y ası poder describir el movimiento del cuerpo de masa reducida µ respectoal centro de masa del sistema.

Observese que el sistema fısico del problema ahora corresponde a unapartıcula de masa µ moviendose en un campo de fuerza central descrito porV (r). Es decir, el problema de los dos cuerpos de masas m1 y m2, interac-tuando entre si a traves de una fuerza mutua que depende de su distancia,descrito por la funcion Lagrangiana (5.3), se ha reducido al problema de-scrito por la funcion Lagrangiana (5.4), correspondiente al de un solo cuerpode masa reducida µ sometido a la accion de un potencial central V (r), talcomo se ilustra en la figura 5.4.

Si a partir de la ecuacion de movimiento se encuentra la trayectoria delcuerpo de masa reducida r = r(t), inmediatamente se pueden encontrar las


µb

b

r1

r2 r

m2

m1

Figura 5.4. Trayectorias de las dos partıculas.

trayectorias de los cuerpos de masas m1 y m2 a traves de las expresiones(5.13) y (5.15). Por ejemplo si m2 = 2m1, entonces:

r ′

1 =2m1

3m1r =

2

3r

r ′

2 =m1

3m1r =

1

3r

La masa reducida es:

µ =m1m2

m1 + m2=

2m21

3m1

=2

3m1

Tomando el origen en el centro de masa, R = 0

r1 = R + r ′

1 = r ′

1

r2 = R + r ′

2 = r ′

2

m1r′

1 + m2r′

2 = 0

r ′

2 = −m1

m2r ′

1 = −1

2r ′

1

entonces

r2 = −12 r1

5.2. PROPIEDADES DEL MOVIMIENTO BAJO UNA FUERZA CENTRAL 153

r ′

2 = r2 = 12 r1 = 1

2 r ′

1

r = r ′

1 − r ′

2 = r1 − r2 = r1 −(−1

2 r1

)= 3

2 r1

5.2. Propiedades generales del movimiento bajo

una fuerza central

x

z

y0

r1

r2

m2

m1 F 21

F 12

er

Figura 5.5. Movimiento descrito por r.

Las ecuaciones de movimiento de las dos partıculas son:

F 12 = −F 21

Recordando que r = r1 − r2, r = | r | = | r1 − r2 |, se tiene:

F12 = F21 = F (r)

con er = r

r :

m1r1 = F (r)er (5.28)

m1r2 = −F (r)er (5.29)

Restando (5.28) y (5.29)

r1 − r1 =

(1

m1+

1

m2

)F (r)er


m1m2

m1 + m2(r1 − r2) = F (r)er

Con la definicion de la masa reducida dada en la pagina 150:

µr = F (r)er (5.30)

R = 0

r1 = m2m1+m2

r

r2 = − m1m1+m2

r

r

m2

m1

cm

Figura 5.6. Centro de masa.

Ya que si R = 0 entonces:

r1 = R +m2

m1 + m2r =

m2

m1 + m2r (5.31)

r2 = R − m1

m1 + m2r = − m1

m1 + m2r (5.32)

Observese que si m2 ≫ m1 entonces

1

µ=

1

m1+

1

m2⋍

1

m1

entonces

µ ⋍ m1


y (5.31) y (5.32) son

r1 ⋍ r

r2 ⋍ 0

y la ecuacion (5.30) se reduce a

m1r = F (r)er

Es decir al problema de un solo cuerpo.

Pero en general, la ecuacion de movimiento es

µr = F (r)er

5.2.1. Movimiento confinado a un plano

x

z

y0

b

r

µ

F (r)er

Figura 5.7. Fuerza sobre µ.

Sea τ el torque sobre la masa reducida µ

τ =dℓ

dt=

d

dt(r × p) =

d

dt(r × mv)

τ = r × mdv

dt+ v × mv


mdv

dt= ma = r

v × v = 0

τ =dℓ

dt= r × F

Ya que r ‖ F , rer × F (r)er = 0, entonces

τ =dℓ

dt= 0

entonces

ℓ = r × p = cte

Ası ℓ = ℓe1 = cte implica que ℓ es una constante y en es constante.

x

y0

0

r

ℓ = ℓez

z

µ

p

Figura 5.8. Movimiento de la partıcula de masa µ confinado a un plano.

Ası, el movimiento de la partıcula de masa µ esta confinado a un planoque es perpendicular a ℓ como se ilustra en la figura 5.8. El movimientose ha simplificado a dos dimensiones. En el plano xy es conveniente us-ar coordenadas polares (r, θ) (figura 5.9), de tal forma que la ecuacion demovimiento (5.30) es:

µr = F (r)er (5.33)


eθ er

x

y

r

θ

Figura 5.9. Coordenadas polares (r, θ).

De acuerdo a la figura 5.9, los vectores unitarios er y eθ (er ⊥ eθ) estandados por:

er = cos θı + sen θ

eθ = − sen θı + cos θ

der

dθ= − sen θı + cos θ = eθ

deθ

dθ= − cos θı − sen θ = −er

El vector de posicion es

r = rer

por lo tanto

v =dr

dt=

d

dt(rer)

=dr

dter + r

der

dt

= rer + rder

dθ

dθ

dt


= rer + rθeθ

a =dv

dt=

d

dt(rer + rθeθ)

luego

r = a = (r − rθ2)er + (rθ + 2rθ)eθ

Reemplazando en (5.33)

µ(r − rθ2)er + µ(rθ + 2rθ)eθ = F (r)er

Luego, las ecuaciones de movimiento son

µ(r − rθ2) = F (r) (5.34)

y

µ(rθ + 2rθ) = 0 (5.35)

5.2.2. El momento angular una constante de movimiento

El lagrangiano en coordenadas cartesianas, sabiendo que el movimientoesta restringido a un plano es:

L = 12 µr2 − V (r)

L = 12 µ(x2 + y2) − V (x, y) (5.36)

En coordenadas polares es:

L = 12 µv2 − V (r)

Pero

v2 = v · v = (rer + rθeθ) · (rer + rθeθ)

v2 = r2 + r2θ2

luego:

L = 12 µ(r2 + r2θ2) (5.37)


Las ecuaciones de movimiento son

d

dt

(∂L

∂θ

)− ∂L

∂θ= 0 (5.38)

d

dt

(∂L

∂r

)− ∂L

∂R= 0 (5.39)

Se observa que θ no aparece explıcitamente en el lagrangiano, luego es unacoordenada cıclica y por lo tanto

∂L

∂θ= 0

De (5.38) se tiene entonces:

d

dt

(∂L

∂θ

)= 0

luego

d

dt(µr2θ) = µr2θ + 2µrrθ = 0 (5.40)

Esta es la primera ecuacion de movimiento que coincide con (5.35).

d

dtpθ = 0

entonces

pθ = cte

pθ =∂L

∂θ= µr2θ = ℓ

Esta cantidad se define el momento angular y es la primera integral demovimiento.

5.2.3. Ley de areas iguales

El anterior resultado, ℓ = cte, tiene una simple interpretacion geometrica:El radio vector r barre un area dA en un tiempo dt

dA = 12 r(rdθ) = 1

2 r2dθ


b☼

r

dθ

rdθ

t

t + dt

orbita del planeta

Figura 5.10. Ilustracion de la segunda ley de Kepler. Bajo la accion de una fuerzacentral como en el caso de un planeta describiendo una orbita alrededor del sol, el

vector de posicion bare areas iguales en tiempos iguales.

La tasa en que el radio vector barre esta area es:

dA

dt=

1

2r2 dθ

dt=

1

2r2θ =

ℓ

2µ= cte

Esta es la expresion de la segunda ley de Kepler del movimiento planetariodeducida empıricamente por Kepler en 1609 a partir del estudio de los re-sultados de Tycho Brahe sobre el movimiento de Marte. Por lo tanto, laconservacion del momento angular implica la constancia en el barrido dearea por unidad de tiempo, o sea constancia en la velocidad areolar dA

dt .

Esta ley implica que un planeta se mueve mas rapido cerca del sol quelejos de este.

5.2.4. Energıa una constante de movimiento

De la segunda ecuacion de movimiento

d

dt

(∂L

∂r

)− ∂L

∂r= 0

dL

dr= µr


Entonces

d

dt

(∂L

∂r

)= µr

dL

dr= µrθ2 − ∂V

∂r

Luego, la segunda ecuacion de movimiento es:

µr − µrθ2 +∂V

∂r= 0

µr − µrθ2 = −∂V

∂r

Pero ya que F (r) = −∂V

∂r:

µr − µrθ2 = F (r) (5.41)

La cual coincide con (5.34).

Haciendo uso de la primera ecuacion de movimiento, o sea

µr2θ = ℓ

µ2r4θ2 = ℓ2

µrθ2 =ℓ2

µr3

Entonces (5.41) es:

µr − ℓ2

µr3= F (r)

Ecuacion diferencial de segundo orden que solo contiene a r

µr = −dV

dr+

ℓ2

µr2

µr = − d

dt

[V (r) +

1

2

ℓ2

µr2

](5.42)


Multiplicando por r a ambos lados de (5.42), el primer termino

µrr = − d

dt

[V (r) +

1

2

ℓ2

µr2

]r

El primer termino

µrr =d

dt

1

2µr2

Y el segundo termino

d

dtg(r) =

dg

dr

dr

dt

o sea

d

dt

(1

2µr2

)= − d

dt

(V (r) +

1

2

ℓ

µr2

)

es decir

d

dt

[1

2µr2 +

1

2

ℓ2

µr2+ V (r)

]= 0

por lo cual

1

2µr2 +

1

2

ℓ2

µr2+ V (r) = cte (5.43)

y teniendo en cuenta que:

1

2

ℓ2

µr2=

1

2µr2µ2r4θ2 =

µr2θ2

2

Entonces (5.43) es:

1

2µr2 +

1

2µr2θ2 + V (r) = E (5.44)

Esta es la expresion de la ley de conservacion de la energıa.

5.3. POTENCIAL EFECTIVO Y CLASIFICACION DE ORBITAS 163

5.3. Potencial efectivo y clasificacion de orbitas

La relacion (5.44) coincide con:

E = T + V (r)

=1

2µ(r2 + r2θ2) + V (r)

con ℓ = µr2θ

E =1

2µr2 +

ℓ2

2µr2+ V (r) = cte (5.45)

se puede definir el potencial efectivo U(r) como:

U(r) = V (r) +ℓ2

2µr2(5.46)

Entonces

F ′ = −∂U

∂r= F (r) +

ℓ2

µr3

y entender el sistema descrito por (5.44) como el movimiento de una partıcu-la de masa µ en un campo de fuerza central descrita por el potencial efecti-vo (5.46). Segun el observador 0, quien siempre esta siendo rotado de caraa la partıcula.

r

dθ

rdθ

y

x0

Figura 5.11. Movimiento bajo una fuerza central visto desde 0.


Tal observador es un sistema de referencia rotante, y el termino de en-ergıa potencial adicional en (5.46) conduce a una fuerza nueva

Fc = − d

dr

(ℓ2

2µr2

)=

ℓ2

µr3(5.47)

y teniendo en cuenta que ℓ = µr2θ (5.47) se puede escribir como

Fc = µrθ2 = µv2

θ

r

Esta es la fuerza centrıfuga. La fuerza inercial Fc siempre entra en consid-eracion al ver el movimiento desde el punto de vista de un sistema rotantede referencia. Mientras que la fuerza inercial Fc es una fuerza central, es-ta depende de la velocidad angular del sistema de referencia relativa a unsistema inercial de referencia.

Unicamente en el caso especial, cuando la fuerza real es central, ası queel momento angular es constante, se puede eliminar la velocidad angular yderivar la fuerza inercial Fc de una energıa potencial.

Sin necesidad de resolver explıcitamente las ecuaciones de movimiento,a partir de la ley de fuerza (5.45) se pueden deducir caracterısticas generalesdel movimiento.

De (5.45) se tiene:

1

2µr2 = E − V − ℓ2

2µr2

r =

√2

µ

(E − V − ℓ2

2µr2

)=

√2

µ

[E − U(r)

](5.48)

Ya que r > 0 siempre, entonces

U(r) ≡ V (r) +ℓ2

2µr26 E (5.49)

y los valores mınimo y maximo de r para los que r = 0, estan dados por laigualdad en (5.49):

V (r) +ℓ2

2µr2= E


y estos puntos corresponden a los puntos de retorno o distancias menor ymayor sobre el eje de la orbita.

Cuando U(r) tiene un valor mınimo y es igual al valor mınimo, entoncesr es cero durante el movimiento entero de la orbita. El movimiento es por lotanto circular y ningun movimiento es posible para valores menores que E.

Ejemplo 5.1. Movimiento en un campo de fuerza F (r) = − k

r2

U(r)

r

ℓ2µr2

−krE4 = Umın

E3

E2

E1

r1 r1

r2

T

Figura 5.12. Potencial efectivo para el ejemplo 5.1.

Dado que

F (r) = − k

r2

entonces

F (r) = −dV

dr

dV = −F (r) dr =k

r2dr


V (r) = −k

r, con k > 0

Luego, el potencial efectivo, para este caso es:

U(r) = −k

r+

ℓ2

2µr2(5.50)

U(r) < 0

para r grande

U(r) → 0

para r → ∞

U(r) → ∞

Para r → 0.

Diferentes posibilidades

a ) para E1 > 0, movimiento hiperbolico (figura 5.13).

b ) Para E2 = 0 hay una distancia mınima radial pero no una maxima.

c ) Para 0 > E3 < U(mın). Movimiento elıptico.

Hay un maximo r2 y un mınimo r1 radial para los cuales ocurre quer = 0, o sea

V (r) =ℓ2

2µr2= E


ℓ = µr2θ =∂L

∂θ

entonces

ℓ = µr2 dθ

dt

dθ =ℓ

µr2dt (5.51)


rr1

Figura 5.13. Trayectoria hiperbolica.

Se sabe que

r =dr

dt=

√2

µ

(E − V − ℓ2

2µr2

)=

√2

µ

[E − U(r)

]

dt =1√

2µ

(E − V − ℓ2

2µr2

) dr (5.52)

Reemplazando (5.52) en la expresion (5.51) se obtiene

dθ =ℓ

µr2

1√2µ

(E − V − ℓ2

2µr2

) dt

dθ =ℓr−2

√2µ(E − V ) − ℓ2

r2

dr


Integrando se tiene:

θ =

∫ℓr−2

√2µ(E − V ) − ℓ2

r2

dr + cte (5.53)

Durante el tiempo en que r varıa de rmın = r1 a rmax = r2, el radiovector barre un angulo ∆θ dado por

∆θ = 2

r2∫

r1

ℓr−2

√2µ(E − V ) − ℓ2

r2

dr

El camino es una curva cerrada cuando el angulo ∆θ es una fraccionracional de 2π, ası que

∆θ = 2π mn con m y n enteros.

En este caso, despues de n perıodos, el radio vector de la partıcu-la habra completado m revoluciones completas y ocupa su posicionoriginal, ası que el camino es cerrado.

Cuando ∆θ no es una fraccion racional de 2π, el camino tiene unaforma de una roseta (figura 5.14).

d ) Para E4 = Umın, movimiento circular.

r1 y r2 coinciden. En tal caso el movimiento es solo posible para unradio.

En este caso U(r) mınimo, o sea

F ′ = −∂U

∂r= 0 = F (r) +

ℓ2

µr3

F (r) = − ℓ2

µr3= −µrθ2

Fuerza aplicada es igual en magnitud y signo opuesto a la fuerza efec-tiva invertida o “fuerza centrıpeta”.

e ) Para E5 < Umın, el movimiento no es fısicamente posible pues r2

serıa negativa, o sea r imaginaria. ❏

5.4. SOLUCION GENERAL AL PROBLEMA DEL MOVIMIENTO EN UN CAMPO DEFUERZA CENTRAL 169

rmın

rmax

∆θ

Figura 5.14. Cuando ∆θ no es una fraccion racional de 2π, la trayectoria no secierra.

5.4. Solucion general al problema del movimientoen un campo de fuerza central

5.4.1. Metodo de la energıa

De la conservacion de la energıa mecanica total se tiene:

E =1

2µr2 +

ℓ2

2µr2+ V (r)

de donde se puede despejar:

r =dr

dt=

√2

µ

(E − V − ℓ2

2µr2

)

dt =dr√

2µ

(E − V − ℓ2

2µr2

) (5.54)


Integrando:

t =

∫dr√

2µ

(E − V − ℓ2

2µr2

) + t0 (5.55)

lo cual conduce a la solucion general del problema en la forma t = t(r). Conuna inversion se tendrıa r = r(t).

De la conservacion del momento angular se tenıa:

ℓ = µr2θ = µr2 dθ

dt

Entonces:

dθ =ℓ

µr2dt

reemplazando (5.54) se obtiene

dθ =ℓ

µr2

dr√2µ

(E − V − ℓ2

2µr2

)

Integrando:

θ =

∫ℓ/r2

√2µ(E − V ) − ℓ2

r2

dr + θ0 (5.56)

ya que ℓ = µr2θ = cte

θ =ℓ

µr2= cte

Luego θ no puede cambiar de signo nunca y θ siempre varıa monotonamentecon el tiempo.

La integral (5.56) se puede reescribir a traves del cambio de variable

u =1

r; du = − 1

r2dr

5.4. Solucion general al problema en un campo de fuerza central 171

reemplazando en (5.56) se obtiene

θ =ℓ√2µ

∫ −du√E − V − ℓ2

2µ u2+ θ0 (5.57)

Si la fuerza central varıa como F (r) = αrn entonces

V = −∫

F (r) dr = −∫

αrn dr = −αrn+1

n + 1(5.58)

siendo α y n constantes.

En terminos de u, V (r) es:

V = −αu−(n+1)

n + 1(5.59)

Reemplazando (5.59) en (5.57) se tiene

θ =ℓ√2µ

∫ −du√E + αu−n−1

n+1 − ℓ2

2µ u2+ θ0

donde n 6= −1, con lo cual se tiene θ = θ(r).

Se puede demostrar que con n = 1,−2,−3; F (r) = αr, αr2 , α

r3 la integralse puede evaluar en terminos de funciones trigonometricas.

Cuando n = 5, 3, 0,−4,−5,−7; F (r) = αr5, αr3, α, αr4 , α

r5 , αr7 la funcion

se puede evaluar en terminos de funciones elıpticas.

En particular para n = −2; F (r) =α

r2

θ =ℓ√2µ

∫ −du√E − αu − ℓ2

2µ u2+ θ0

5.4.2. Metodo lagrangiano

Con

L =1

2µr2 +

1

2µr2θ2 − V (r)


Se habıan obtenido las ecuaciones de movimiento

d

dt

(∂L

∂θ

)− ∂L

∂θ= 0

µr2θ = ℓ = cte

(5.60)

y

d

dt

(∂L

∂r

)− ∂L

∂r= 0

µ(−rθ2) = −∂V

∂r= F (r)

(5.61)

Con el cambio de variable u = 1r , la primera ecuacion es:

θ =ℓ

µr2=

ℓu2

µ(5.62)

Teniendo en cuenta que

dr

dt=

d

dt

(1

u

)= −u−2 du

dt= −u−2 du

dθ

dθ

dt= −u−2θ

du

dθ

dr

dt= −u−2

(ℓu2

µ

)du

dθ= − ℓ

µ

du

dθ(5.63)

Diferenciando una vez mas

r =d2r

dt2= − ℓ

µ

d

dt

(du

dθ

)= − ℓ

µ

d2u

dθ2

dθ

dt= − ℓ

µ

d2u

dθ2θ = − ℓ

µ

ℓu2

µ,d2u

dθ2

r = −(

ℓu

µ

)2 d2u

dθ2(5.64)

Reemplazando (5.62) y (5.64) en (5.61) se tiene que la segunda ecuacion demovimiento tiene la forma:

µ

[−(

ℓu

µ

)2 d2u

dθ2− 1

u

(ℓu2

µ

)2]

= F ( 1u)

5.4. Solucion general al problema en un campo de fuerza central 173

−ℓ2u2

µ

d2u

dθ2− ℓ2u3

µ= F ( 1

u)

d2u

dθ2+ u = − µ

ℓ2

1

u2F ( 1

u) (5.65)

Esta es la ecuacion diferencial de la orbita r = r(θ)

Ejemplo 5.2.

Una partıcula de masa µ, bajo la accion de una fuerza describe una orbitaespiral r = r0e

−θ. Determinar la forma de la fuerza.

Metodo lagrangiano:

u =1

r=

1

r0

e−θ ;du

dθ= − 1

r0

e−θ ;d2u

dθ2=

1

r0

e−θ

reemplazando en (5.65)

1

r0

e−θ +1

r0

e−θ = − µ

ℓ2r20 e2θF ( 1

u)

entonces

F ( 1u ) = −2ℓ2

µr−30 e−3θ = − 2ℓ2

µr3

o sea

F (r) = − 2ℓ2

µr3

segun (5.63)

dr

dt=

d

dt

(1

u

)= − ℓ

µ

du

dθ

r2 =ℓ2

µ2

(du

dθ

)2

=ℓ2

µ2

(− 1

r0

e−θ

)2

=ℓ2

µ2u2

Con el metodo de la energıa: La ecuacion de orbita indica que la partıcu-la esta en un campo de fuerza central. Luego la energıa E = T + V de lapartıcula es constante

E =1

2µr2 +

ℓ2

2µr2+ V (r)


reemplazando r2 y 1/r2 se tiene

E =1

2µ

(ℓ2

µ2u2

)+

ℓ2

2µu2 + V (u) =

ℓ2

µu2 + V (u)

luego

V (u) = E − ℓ2u2

µ= E − ℓ2

µr2= V (r)

La fuerza es

F (r) = −dV

dr= − 2ℓ2

µr3

5.5. Ley del inverso del cuadrado de la distancia

La fuerza central mas importante es la fuerza que varıa con el inverso delcuadrado de la distancia

F (r) = − k

r2

o

V (r) = −k

r

Siendo k > 0 para fuerza atractiva (por ejemplo k = Gm1m2), y k < 0 parafuerza repulsiva.

La ecuacion de la orbita θ = θ(r) obtenida en forma general es (5.57)

θ =ℓ√2µ

∫ −du√E − V − ℓ2

2µ u2+ θ0

θ = θ0 −∫

du√2µℓ2

(E − V ) − u2

Para este caso V = −kr

θ = θ0 −∫

du√2µEℓ2

+ 2µkuℓ2

− u2(5.66)

5.5. LEY DEL INVERSO DEL CUADRADO DE LA DISTANCIA 175

Teniendo en cuenta que en general:

∫dx√

α + βx + γx2=

1√−γarc cos

(−β + 2γx√

q

)

con q = β2 − 4αγ.

Por comparacion, las constantes α, β, γ y q para nuestro caso son:

α =2µE

ℓ2;

β =2µk

ℓ2;

γ = −1 ;

q =

(2µk

ℓ2

)2

− 4(−1)

(2µE

ℓ2

);

q =

(2µk

ℓ2

)2 (1 +

2Eℓ2

µk2

)

Realizando la integral en (5.66) se obtiene

θ = θ0 −1√−γ

arc cos

(−β + 2γu√

q

)

θ = θ0 − arc cos

(−β − 2u√

q

)

entonces

θ − θ0 = − arc cos

(−β − 2u√

q

)

| θ − θ0 | = arc cos

(−β − 2u√

q

)

cos(θ − θ0) = −β − 2u√q


√q cos(θ − θ0) = −β + 2u

u = 12

[β +

√q cos(θ − θ0)

]

u =1

2

2µk

ℓ2+

2µk

ℓ2

√

1 +2Eℓ2

µk2cos(θ − θ0)

o sea

1

r=

µk

ℓ2

1 +

√

1 +2Eℓ2

µk2cos(θ − θ0)

Es decir

r =ℓ2

µk

1

1 +√

1 + 2Eℓ2

µk2 cos(θ − θ0)(5.67)

llamando

a =ℓ2

µk

y

ǫ =

√

1 +2Eℓ2

µk2

se puede reescribir (5.67) como

r =a

1 + ǫ cos(θ − θ0)(5.68)

De una forma equivalente, a partir de la ecuacion de orbita tambien se puedeobtener este resultado.

La ecuacion (5.65) para este caso, con F (1r ) = −ku2, es:

d2u

dθ2+ u = − µ

ℓ2

1

u2(−ku2)


d2u

dθ2+ u =

µk

ℓ2

Ecuacion que se puede resolver con el cambio de variable

y = u − µk

ℓ2

la cual queda

d2y

dθ2+ y = 0

cuya solucion inmediata es

y = A cos(θ − θ0)

siendo A y θ0 constantes de integracion. Esta solucion en funcion de r es:

u − µk

ℓ2= A cos(θ − θ0)

1

r=

µk

ℓ2+ A cos(θ − θ0)

1

r=

µk

ℓ2

[1 +

Aℓ2

µkcos(θ − θ0)

]

r =a

1 + g cos(θ − θ0)(5.69)

con

g =Aℓ2

µk; a =

ℓ2

µk

Comparando (5.68) con (5.69) se identifica a ǫ con g.

Esto se puede demostrar partiendo de la ecuacion de conservacion de laenergıa:

E =1

2µr2 +

ℓ2

2µr2− k

r


Cuando r tiene un valor mınimo, entonces r = 0, y la ecuacion anterior sereduce a

E =ℓ2

2µr2mın

− k

r mın(5.70)

La ecuacion (5.69) se puede escribir como

rmın =a

1 + g(5.71)

colocando cos(θ − θ0) = 1 (valido en el mınimo).

Reemplazando (5.71) en (5.70) se obtiene

E =ℓ2

2µ(

a2

(1+g)2

) − ka

1+g

E =ℓ2(1 + g)2

2µa2− k(1 + g)

a

E =ℓ2(1 + 2g + g2)

2µa2− k(1 + g)

a

E =ℓ2 + 2gℓ2 + ℓ2g2 − 2µak − 2µakg

2µa2

ℓ2 + 2gℓ2 + ℓ2g2 − 2µak − 2µakg − 2µa2E = 0

g2 + 2

(1 − µak

ℓ2

)g + 1 − 2µak

ℓ2− 2µa2

ℓ2E = 0

Pero recordando que

a =ℓ2

µk

g2 − 2(1 − 1)g + 1 − 2 − 2µ

ℓ2

ℓ4

µ2k2E = 0

g2 = 1 +2Eℓ2

µk2


g =

√

1 +2Eℓ2

µk2= ǫ

Escogiendo θ0 = 0 la ecuacion de la trayectoria queda descrita como

r =a

1 + ǫ cos θ(5.72)

ecuacion general de una seccion conica, y ǫ = r/d es la excentricidad de laconica.

Es obvio que para r = rmın, cos θ es un maximo, esto es cuando θ = 0.Ası escoger θ0 = 0 significa medir θ desde rmın. Esta posicion se conoce co-mo el pericentro (perihelio). La posicion de rmax se conoce como el apocentro(apohelio).

Para una fuerza atractiva k > 0 y ası

a =ℓ2

µk> 0

Es evidente de (5.72) que las condiciones ǫ < 1 y ǫ = 1 son posibles, ya que| cos θ | 6 1, ası que r sera positivo. Entonces se tiene orbitas parabolicas yelıpticas. Si ǫ > 1, se debe tener 1 + ǫ cos θ > 0, o

−1

ǫ< cos θ < 1

y la orbita es hiperbolica con centro de fuerza en el foco interior. En latabla 5.1 y la figura 5.15 se resume todo lo anterior.

Cuadro 5.1. Clases de orbitas y su relacion con la excentricidad y el valor de laenergıa.

Excentricidad Energıa Trayectoria

ǫ > 1 E = Eh > 0 hiperbolica

ǫ = 1 E = Ep = 0 parabolica

0 < ǫ < 1 E = Ee < 0 elıptica

ǫ = 0 E = Ec = −µk2/2ℓ2 circular


rmınrmax

ǫ < 1

ǫ = 0

ǫ = 1ǫ > 1

Figura 5.15. Clase de orbita segun la excentricidad, para fuerza atractiva.

Para fuerza repulsiva, k es negativo y por lo tanto α < 0. Bajo estas condi-ciones el denominador (1 + ǫ cos θ) siempre es menor que cero, debido a quer es positivo.

Esto no puede suceder para ǫ 6 1. Por lo tanto orbitas parabolicas yelıpticas no son posibles para una fuerza repulsiva. Si ǫ > 1, se debe tener

−1 < cos θ < −1/ǫ

de tal forma que

1 + ǫ cos θ < 0

Ası el valor de θ esta restringido al rango

cos−1(−1/ǫ) < θ < 2π − cos−1(−1/ǫ)

5.6. LEYES DE KEPLER DEL MOVIMIENTO PLANETARIO 181

rmın

0k > 0

θ

cos−1(−1/ǫ)

Figura 5.16. Dispersion de partıculas alfa por nucleos pesados. Geiger y Marsden,1909. Este es el tipo de orbita en el caso de fuerza repulsiva.

La orbita es una hiperbola con el centro de fuerza en el foco exterior, como enel caso de la dispersion de partıculas alfa por nucleos pesados (figura 5.16).

rmın =a

1 − ǫ=

ℓ2

µk(1 − ǫ)

5.6. Leyes de Kepler del movimiento planetario

1. Los planetas se mueven en orbitas elıpticas con el sol en uno de losfocos (figura 5.17).

2. El radio vector dibujado desde el sol a un planeta barre areas igualesen tiempos iguales.

3. El cuadrado del perıodo de revolucion alrededor del sol es proporcionalal cubo del eje mayor de la orbita.

La excentricidad es:

ǫ =distancia interfocal

eje mayor=

2OF

2a


y

x0

b

☼

r ′

θ

r

F1 F2

P

a

b

Figura 5.17. Orbitas elıpticas de los planetas con el sol en uno de los focos de laelipse.

o

OF 2 = aǫ = OF 1

La figura 5.17 revela que el valor mınimo de r ocurre en θ = 0

rmın = a − OF 2 = a(1 − ǫ)

mientras que se habıa obtenido

rmın =a

1 + ǫ

Igualando

α

1 + ǫ= a(1 − ǫ)

El eje mayor a es:

a =α

1 − ǫ2= − k

2E=

k

2|E |

El eje menor b es:

b = a√

1 − ǫ2 =1√

2µ|E |

5.6. LEYES DE KEPLER DEL MOVIMIENTO PLANETARIO 183

Un punto de la elipse tendrıa

r ′ + r = 2a

o

√[x − (−aǫ)]2 + y2 +

√(x − aǫ)2 + y2 = 2a

de donde

x2

a2+

y2

a2(1 − ǫ2)= 1

Ası el eje menor b es:

b = a√

1 − ǫ2

se tiene entonces la ecuacion de la elipse:

x2

a2+

y2

b2= 1

El area total de la elipse esta dada por:

A =tasa en que el vector radial barre un area

perıodo del movimiento

τ =AdAdt

El area de la elipse es

A =

2π∫

0

1

2r2 dθ =

2π∫

0

1

2

[a(1 − ǫ2)

1 + ǫ cos θ

]2

dθ = πa2(1 − ǫ2) = πab

dA

dt=

r2θ

2=

ℓ

2µ

reemplazando en la expresion de τ

τ =AdAdt

=πab

ℓ/2µ= 2π

(µ

k

)1/2a3/2


o sea

τ2 = 4π2 µ

ka3

para k = Gm1m2, µ = m1m2m1+m2

:

τ2 =4π2

G(m1 + m2)a3

Las excentricidades van de

0,007 Venus

...

0,017 Tierra rmın = 91 × 106 millas

...

0,249 Pluton rmın = 95 × 106 millas

...

0,967 Halley perihelio = 55 × 105 millas

a =k

2|E | Para cırculo a = b

E = − k

2a

V = −k

a= 2E

T = E − V =k

2a= −E

Capıtulo 6

Formulacion hamiltoniana

Mecanica analıtica

Formulacion lagrangiana

Formulacion hamiltoniana

Formulacion de Hamilton-Jacobi

La formulacion hamiltoniana de la mecanica analıtica no introduce nuevafısica (leyes de Newton) sino simplemente es un metodo (mas potente) paratrabajar con los principios fısicos ya establecidos. Los metodos de Hamil-ton no son superiores a las tecnicas de Lagrange para trabajar problemasmecanicos. La utilidad del punto de vista de Hamilton es que proporciona unmarco para extensiones teoricas en muchos campos de la fısica, por ejemploen la mecanica clasica constituye la base para la teorıa de Hamilton-Jacobi,y fuera de esta sirve de base en la mecanica cuantica y mecanica estadıstica.

6.1. Hamiltoniano de un sistema dinamico

Un sistema clasico holonomico de n grados de libertad esta descrito en laformulacion lagrangiana por un lagrangiano L, que depende de las variablesqj y qj

L = L(q1, q2, . . . , qn ; q1, q2, . . . , qn ; t)

y su dinamica se conoce a partir de las n ecuaciones de Euler-Lagrangeasociadas, las cuales son unas ecuaciones diferenciales de segundo orden.

d

dt

∂L

∂qj− ∂L

∂qj= 0 j = 1, 2, . . . , n

185

186 CAPITULO 6. FORMULACION HAMILTONIANA

El metodo generalizado conjugado a la coordenada generalizada qj se definecomo:

pj =∂L

∂qjj = 1, 2, . . . , n

Como las ecuaciones diferenciales son de segundo orden, el movimiento delsistema quedara siempre completamente determinado cuando se especifican2n valores iniciales, por ejemplo, las n qi y las n qi en un instante particularde tiempo t1 o las n qi en dos instantes particulares de tiempo t1 y t2.Los estados del sistema en diferentes tiempos quedan representados por unatrayectoria en el espacio de configuracion (figura 6.1).

t

q = (q1, q2, . . . , qn)

Figura 6.1. Espacio de configuracion.

Ahora se introducira un nuevo metodo que permite describir completa-mente las configuraciones o estados del sistema dinamico pero no a partirde conocer

variables independientes

{qi = qi(t)

qi = qi(t)i = 1, 2, . . . , n

sino a partir de conocer

variables independientes

{qi = qi(t)

pi = pi(t)i = 1, 2, . . . , n

Este formalismo se conoce como formalismo hamiltoniano y fue desarrolladopor William R. Hamilton. Hamilton reemplazo la funcion lagrangiana conuna funcion H, externa llamada funcion de Hamilton o hamiltoniano a partirde la siguiente definicion

6.2. ESPACIO DE FASE 187

L = L(q1, q2, . . . , qn ; q1, q2, . . . , qn ; t) −→H = H(q1, q2, . . . , qn ; p1, p2, . . . , pn ; t)

Siendo la transformacion de Legendre

H =n∑

j=1

pj qj − L

H(q; p; t) =

n∑

j=1

pj qj − L(q; qj; t)

H(q1, q2, . . . , qn ; p1, p2, . . . , pn ; t) =n∑

j=1

pj qj

− L(q1, q2, . . . , qn ; q1, q2, . . . , qn ; t)

6.2. Espacio de fase

En la formulacion lagrangiana

L = L(q1, q2, . . . , qn ; q1, q2, . . . , qn ; t)

con (q, q) variables independientes

d

dt

∂L

∂qi− ∂L

∂qi= 0 i = 1, 2, . . . , n

Para conocer qi = qi(t) se necesitan 2n condiciones iniciales

{n → qi en t0

n → qi en t0

{n → qi en t1

n → qi en t1

En la formulacion hamiltoniana

H = H(q1, q2, . . . , qn ; p1, p2, . . . , pn ; t)


t

q = (q1, q2, . . . , qn)

Figura 6.2. Espacio de configuracion formulacion lagrangiana.

con (q, p) variables independientes. Se tendra 2n ecuaciones diferenciales deprimer orden, n para q y n para p.

Para conocer

q = q(t)

p = p(t)

se requieren 2n condiciones iniciales, n para las q y n para las p.

t

q = (q1, q2, . . . , qn)

t

p = (p1, p2, . . . , pn)

Figura 6.3. Espacio de configuracion formulacion hamiltoniana.

El estado del sistema queda determinado si se conoce en cada instantede tiempo simultaneamente q y p (sistema determinista). Estos estados sepueden representar en un espacio 2n dimensional conocido como espacio defase figura 6.4.

6.3. TRANSFORMACION DE LEGENDRE 189

t

q = (q1, q2, . . . , qn)

p = (p1, p2, . . . , pn)

Figura 6.4. Espacio de fase.

6.3. Transformacion de Legendre

Considerese una funcion F continua y diferenciable de segundo orden delas variables x1, x2, . . . , xn, ; y1, y2, . . . , yn y t

F = F (x1, x2, . . . , xn, ; y1, y2, . . . , yn ; t)

Su diferencial total dF es

dF =n∑

j=1

(∂F

∂xjdxj +

∂F

∂yjdyj

)+

∂F

∂tdt

Llamando

Uj =∂F

∂xj

Vj =∂F

∂yj

w =∂F

∂t

la diferencial total queda escrita como

dF =n∑

j=1

(Uj dxj + Vj dyj) + w dt


donde las pareja (Uj , xj) y (Vj , yj) son llamadas pares de variables con-jugadas. Supongase que a partir de la funcion F se quiere construir unanueva funcion g de tal forma que las variables yj sean reemplazadas por susvariables conjugadas Vj, o sea

F = F (x1, x2, . . . , xn, ; y1, y2, . . . , yn ; t) −→g = g(x1, x2, . . . , xn, ; V1, V2, . . . , Vn ; t)

Para obtener la nueva funcion g solo se tiene que sustraer la funcion F delproducto de los pares de variables conjugadas

g =

n∑

j=1

Vjyj − F

siendo esta la transformacion de Legendre de F en g.

La diferencial total dg es:

dg =

n∑

j=1

(Vj dyj + yj dVj) − dF

=

n∑

j=1

(Vj dyj + yj dVj) −n∑

j=1

(Uj dxj + Vj dyj) − w dt

dg =

n∑

j=1

(yj dVj − Uj dxj) − w dt (6.1)

donde se observa que en (6.1) no aparece diferencia dyj, luego g no dependede y sino solamente de x, V y t.

O sea

g = g(x1, x2, . . . , xn, ; V1, V2, . . . , Vn ; t)

La diferencial total es:

dg =

n∑

j=1

(∂g

∂xjdxj +

∂g

∂VjdVj

)+

∂g

∂tdt (6.2)

6.3. TRANSFORMACION DE LEGENDRE 191

Comparando (6.1) con (6.2) se concluye

Uj = − ∂g

∂xj

yj =∂g

∂Vj

w = −∂g

∂t

(6.3)

g es llamada la transformacion de Legendre de F con respecto a la variabley.Ahora supongase que F es

L = L(q1, q2, . . . , qn ; q1, q2, . . . , qn ; t)

la transformacion de Legendre, con la identificacion

xi = qi

yi = qi

pi =∂L

∂qi

sera

H(q1, q2, . . . , qn ; p1, p2, . . . , pn ; t) =

n∑

j=1

pj qj

− L(q1, q2, . . . , qn ; q1, q2, . . . , qn ; t)

O sea H es la transformacion de Legendre de L con respecto a qi

H =

n∑

j=1

pj qj − L

y de acuerdo a (6.3)

pj = −∂H

∂qj

qj =∂H

∂pj

w = −∂H

∂t


6.4. Ecuaciones canonicas de Hamilton

6.4.1. Ecuaciones de Hamilton a partir de las ecuaciones deEuler-Lagrange

La funcion de Hamilton o hamiltoniano es una funcion de q, p y t

H = H(q, p, t)

Entonces su diferencial total sera:

dH =∑

i

∂H

∂qidqi +

∑

i

∂H

∂pidpi +

∂H

∂tdt

=∑

i

(∂H

∂qidqi +

∂H

∂pidpi

)+

∂H

∂tdt (6.4)

Ya que

H =∑

i

piqi − L

su diferencial total da

dH =∑

i

(pi dqi + qi dpi) − dL

=∑

i

(pi dqi + qi dpi) −(

∂L

∂qidqi +

∂L

∂qidqi

)− ∂L

∂tdt

=∑

i

(pi dqi + qi dpi −

∂L

∂qidqi −

∂L

∂qidqi

)− ∂L

∂tdt

ya que pi = ∂L∂qi

entonces el primer termino de la sumatoria se cancela conel ultimo.Teniendo en cuenta que

∂L

∂qi=

d

dt

(∂L

∂qi

)=

d

dt(pi) = pi

y reemplazando en el tercer termino de la sumatoria se obtiene

dH =∑

i

(qi dpi − pi dqi) −∂L

∂tdt (6.5)

6.4. ECUACIONES CANONICAS DE HAMILTON 193

Comparando (6.4) con (6.5) se concluye que

qi =∂H

∂pi

pi = −∂H

∂qi

i = 1, 2, . . . , n (6.6)

y

q = q(t) → n condiciones iniciales

p = p(t) → n condiciones iniciales

∂H

∂t= −∂L

∂t

donde (6.6) son 2n ecuaciones diferenciales de primer orden conocidas comoecuaciones canonicas de Hamilton o ecuaciones de Hamilton.

Es util imaginar el movimiento del sistema dinamico como el representa-do por el movimiento de un punto representado en un espacio 2n dimensional(espacio de fase, figura 6.5).

q(t)

p(t)

Figura 6.5. Espacio de fase.

Las ecuaciones representan el movimiento del punto en el espacio de fase.

Formalismo lagrangiano:

1. Mecanica cuantica lagrangiana (integral de camino de Feynman).

2. Teorıa cuantica de campos.

3. Teorıa cuantica de campos a temperatura finita.

Formalismo hamiltoniano:


1. Teorıa de Hamilton-Jacobi.

2. Teorıa de perturbaciones

Para sistemas en que no se puede obtener solucion exacta a lasecuaciones de movimiento

3. Mecanica cuantica hamiltoniana.

4. Mecanica estadıstica

Ya se habıa visto que para sistemas mecanicos cerrados, o sea sistemas enlos que

∂L

∂t= 0

y

L = L(q, q)

debido a la homogeneidad del tiempo, la energıa mecanica total se conserva.En este caso la energıa mecanica total E corresponde al hamiltoniano

L = L(q1, q2, . . . , qn ; q1, q2, . . . , qn ; t)

como

∂L

∂t= 0

entonces

L = L(q1, q2, . . . , qn ; q1, q2, . . . , qn)

y

dL

dt=

n∑

i=1

(∂L

∂qi

dqi

dt+

∂L

∂qi

dqi

dt

)

=n∑

i=1

[d

dt

(∂L

∂qi

)qi +

∂L

∂qi

d

dtqi

]

6.4. ECUACIONES CANONICAS DE HAMILTON 195

=n∑

i=1

d

dt

(∂L

∂qiqi

)

lo que quiere decir que

d

dt

(n∑

i=1

∂L

∂qiqi − L

)= 0

entonces

n∑

i=1

piqi − L = H = cte

H corresponde a la energıa mecanica total si se cumple:

a ) La energıa potencial V no depende explıcitamente del tiempo V =V (qi).

b ) Las ecuaciones que conectan coordenadas generalizadas con rectangu-lares no dependen explıcitamente del tiempo.

xiα = xiα(qj)

o

qj = qj(xiα)

Ligaduras holonomicas no dependientes del tiempo.

Del teorema de Euler

n∑

i=1

∂T

∂qiqi = 2T

Para un sistema holonomico conservativo:

H =

n∑

i=1

∂L

∂qiqi − L

=n∑

i=1

∂(T − V )

∂qiqi − (T − V )


=n∑

i=1

∂T

∂qiqi − (T − V )

= 2T − T + V

= T + V = E

6.5. Coordenadas cıclicas y teoremas deconservacion

Las ecuaciones de Hamilton son:

qi =∂H

∂pii = 1, 2, . . . , n (6.7)

pi = −∂H

∂qii = 1, 2, . . . , n (6.8)

con la relacion

∂H

∂t= −∂L

∂t(6.9)

En particular se observa que

pi =∂L

∂qj= −∂H

∂qj

si la coordenada es cıclica, entonces

pi =∂L

∂qj= −∂H

∂qj= 0

y

pi = cte

Por tanto esta coordenada tambien estara ausente en el hamiltoniano y sumomento conjugado se conservara. Por tanto los teoremas de conservacionde momento lineal y momento angular son validos en la formulacion hamil-toniana.

6.5. COORDENADAS CICLICAS Y TEOREMAS DE CONSERVACION 197

Se decıa que si en general

H = H(q1, q2, . . . , qn ; p1, p2, . . . , pn ; t)

entonces su diferencial es:

dH =

n∑

i=1

(∂H

∂qidqi +

∂H

∂pidpi

)+

∂H

∂tdt (6.10)

Para el caso en el que el sistema no dependa explıcitamente del tiempo, Lno contiene explıcitamente el tiempo, osea ∂L

∂t = 0 y por lo tanto ∂H∂t = 0

segun (6.9).En general

dH

dt=

n∑

i=1

(∂H

∂qi

dqi

dt+

∂H

∂pi

dpi

dt

)+

∂H

∂t

reemplazando (6.7) y (6.8) se obtiene

dH

dt=

∂H

∂t= −∂L

∂t

Luego si t no aparece explıcitamente en L tampoco aparecera en H.En este caso (6.10) se reduce a:

dH

dt=

n∑

i=1

(∂H

∂qi

dqi

dt+

∂H

∂pi

dpi

dt

)(6.11)

reemplazando en (6.11) las expresiones (6.7) y (6.8)

dH

dt=

n∑

i=1

(∂H

∂qi

∂H

∂pi+

∂H

∂pi

∂H

∂qi

)= 0

entonces

H = cte

Luego H es una constante de movimiento si no contiene explıcitamente eltiempo.

Cuando H depende explıcitamente del tiempo, H no se conserva, peroaun es la energıa mecanica total del sistema H = E, siempre y cuando secumpla (a) y (b), y esto es valido para sistemas escleronomicos.


Supongase que se tiene un sistema holonomico, pero parte de las fuerzasque actuan en el sistema no son conservativas. En tal caso las ecuaciones deEuler-Lagrange son:

d

dt

∂L

∂qi− ∂L

∂qi= Qi i = 1, 2, . . . , n

o sea

d

dtpi =

∂L

∂qi+ Qi

pi =∂L

∂qi+ Qi (6.12)

Luego, las ecuaciones de Hamilton para este caso son:

qi =∂H

∂pii = 1, 2, . . . , n

pi = −∂H

∂qi+ Qi i = 1, 2, . . . , n (6.13)

Para un sistema no-holonomico descrito por las ecuaciones de Euler-Lagrangeen la forma (donde actuan fuerzas no conservativas):

pi =∂L

∂qi+

m∑

j=1

λjaji + Qi i = 1, 2, . . . , n (6.14)

se tiene que las ecuaciones de Hamilton son:

qi =∂H

∂pi

pi = −∂H

∂qi+

m∑

j=1

λjaji + Qi i = 1, 2, . . . , n (6.15)

donde las ecuaciones de ligadura son

n∑

i=1

ajiqi + ajt = 0 j = 1, 2, . . . , m

6.6. NOTACION SIMPLECTICA DE LAS ECUACIONES DE HAMILTON 199

6.6. Notacion simplectica de las ecuaciones de

Hamilton

Para un sistema de n grados de libertad, se puede construir una matrizcolumna η con 2n elementos tales que:

ηi = qi ηi+1 = pi i 6 n

Analogamente, la matriz columna ∂H∂η tiene como elementos

(∂H

∂η

)

i

=∂H

∂qi

(∂H

∂η

)

i+n

=∂H

∂pii 6 n

Con la introduccion de la matriz J cuadrada 2n × 2n

J =

(0 1

−1 0

)

en donde 0 es la matriz n × n con elementos cero y 1 es la matriz unidadn × n.Las ecuaciones de Hamilton

qi =∂H

∂pii = 1, 2, . . . , n

pi = −∂H

∂qi+ Qi i = 1, 2, . . . , n

se pueden escribir como

η = J∂H

∂η

siendo esta ultima ecuacion las ecuaciones de movimiento de Hamilton ennotacion matricial o notacion simplectica.Donde J tiene como propiedades

J2 = −1

JJ = 1 matriz ortogonal

J = −J = J−1


6.7. Propiedades del hamiltoniano

Para construir la hamiltoniana de un sistema a traves de la formulacionlagrangiana, se requiere la siguiente secuencia de pasos:

1. A partir de elegir las coordenadas generalizadas, se construye la fun-cion lagrangiana L(qi, qi, t).

2. A partir de pi = ∂L∂qi

, se definen los momentos conjugados en funcionde qi, qi, t; o sea p = p(qi, qi, t).

3. A partir de la transformacion de Legendre

H(q, p, t) =

n∑

i=1

qipi − L(q, q, t)

se construye

H ′ = H ′(qi, qi, pi, t)

4. A partir de pi = ∂L∂qi

, se invierte estas ecuaciones para obtenerqi = qi(q, p, t).

5. Reemplazando qi = qi(q, p, t) en H ′ se pueden eliminar las q de H ′ yde esta manera obtener H = H(q, p, t).

Si se estudian las propiedades de la funcion hamiltoniana, es posible queno sea necesario en algunos sistemas fısicos, seguir la secuencia de pasosanterior. Se habıa visto que la energıa cinetica en coordenadas rectangulareses:

T =1

2

3N∑

k=1

mkx2k (6.16)

y teniendo en cuenta la ecuacion de transformacion:

xk = xk(q1, q2, . . . , qn, t) k = 1, 2, . . . , 3N

xk =

n∑

i=1

∂xk

∂qiqi +

∂xk

∂t(6.17)

6.7. PROPIEDADES DEL HAMILTONIANO 201

Reemplazando (6.17) en (6.16) se obtenıa

T (q, q, t) =1

2

3N∑

k=1

mk

(n∑

i=1

∂xk

∂qiqi +

∂xk

∂t

)2

T (q, q, t) = T2 + T1 + T0

con

T2 =1

2

n∑

i=1

n∑

j=1

mij qiqj

donde

mij = mji =3N∑

k=1

mk

∂xk

∂qi

∂xk

∂qj

T1 =

n∑

i=1

aiqi

donde

ai =3N∑

k=1

mk

∂xk

∂qi

∂xk

∂t

y

T0 =1

2

3N∑

k=1

mk

(∂xk

∂t

)2

ya que

pi =∂L

∂qi=

∂T

∂qi=

∂

∂qi(T2 + T1 + T0)

=

n∑

j=1

mij qj + ai (6.18)


Por lo tanto, el termino del hamiltoniano

n∑

i=1

piqi =

n∑

i=1

n∑

j=1

mij qiqj +

n∑

i=1

aiqi = 2T2 + T1

y el hamiltoniano es:

H =n∑

i=1

piqi − L

= 2T2 + T1 − (T − V )

= 2T2 + T1 − T2 − T1 − T0 + V

= T2 − T0 + V (6.19)

De la relacion (6.18) se podrıa despejar los q y obtener

pi − ai =n∑

j=1

mij qj

p − a = mq

donde m es la matriz cuyos elementos son mij.Multiplicando a ambos lados por la matriz inversa m−1

m−1(p − a) = q

O en notacion de componentes

qi =

n∑

j=1

bij(pj − aj) (6.20)

donde los bij(q, t) son los elementos de la matriz b = m−1.Ya que

T2 =1

2

n∑

i=1

n∑

j=1

mij qiqj

en notacion matricial

T2 =1

2qT mq

6.7. PROPIEDADES DEL HAMILTONIANO 203

con

q = b(p − a)

donde

b = m−1

Luego

T2 =1

2(p − a)T bmb(p − a)

T2 =1

2(p − a)T b(p − a)

que al expandirse conduce a

T2 =1

2

n∑

i=1

n∑

j=1

bijpipj −n∑

i=1

n∑

j=1

bijaipj +1

2

n∑

i=1

n∑

j=1

bijaiaj

ya que T0 y V son funciones de las q y t, al reemplazar T2 en (6.19) seobtiene:

H(q, p, t) =1

2

n∑

i=1

n∑

j=1

bijpipj −n∑

i=1

n∑

j=1

bijaipj

+1

2

n∑

i=1

n∑

j=1

bijaiaj − T0 + V

Si se agrupa de acuerdo al grado en p, se puede escribir

H(q, p, t) = H2 + H1 + H0

donde

H2 =1

2

n∑

i=1

n∑

j=1

bijpipj

H1 =

n∑

i=1

n∑

j=1

bijaipj

H0 =1

2

n∑

i=1

n∑

j=1

bijaiaj − T0 + V


Si el sistema es escleronomico, esto es, las ecuaciones de transformacion decoordenadas cartesianas a coordenadas generalizadas no contienen explıcita-mente al tiempo, se obtiene que

T1 = T0 = 0

y las

ai =3N∑

k=1

mk

∂xk

∂qi

∂xk

∂t= 0

y

T = T2

Y por lo tanto:

H(q, p, t) =1

2

n∑

i=1

n∑

j=1

bijpipj + V (q, t)

H(q, p, t) = T + V

Por lo tanto la funcion hamiltoniana de un sistema escleronomico es igual ala energıa mecanica total.

6.8. Integral jacobiana

De la ecuacion (6.19), se observa que esta es igual a la integral de Jacobi,esto es:

H = T2 − T0 + V = h

Y para un sistema natural, esto es, el caso T0 = 0

H = T + V = h

Ejemplo 6.1.

Para el sistema de la figura 6.6 encuentre las ecuaciones de movimientousando el procedimiento hamiltoniano.

6.8. INTEGRAL JACOBIANA 205

m

x

k

Figura 6.6. Masa sometida a una fuerza de Hook.

Las energıas y el lagrangiano son:

T =1

2mx2

V =1

2kx2

L = T − V =1

2mx2 − 1

2kx2

La idea es escribir T = T (p). Para esto

p =∂L

∂x= mx

entonces

x =p

m

luego

T =1

2mx2 =

1

2m( p

m

)2=

p2

2m

Ası, el hamiltoniano es:

H(x, p) = px − L

= p( p

m

)−(

1

2m( p

m

)2− 1

2kx2

)


=p2

m− 1

2

p2

m+

1

2kx2

=1

2

p2

m+

1

2kx2

Las ecuaciones de movimiento son:

x =∂H

∂p=

p

m

p = −∂H

∂x= −kx

Estas dos ecuaciones son equivalentes a la ecuacion de Euler-Lagrange

mx + kx = 0

x +k

mx = 0

d

dt(x) +

k

mx = 0

d

dt

( p

m

)+

k

mx = 0

p

m+

k

mx = 0

entonces

p = −kx

❏

Ejemplo 6.2.

Una partıcula de masa m es atraıda a un punto fijo 0 por una fuerza inversoal cuadrado de la distancia

Fr = − k

r2

con k constante.


Derive la expresion para el hamiltoniano y las ecuaciones de movimiento.Usando coordenadas polares (generalizadas) las energıas y el lagrangiano

son:

T =1

2m(r2 + r2θ2) (6.21)

V = −∫

F · dr =

∫k

r2dr = −k

r(6.22)

L = L(r, r, θ) = T − V =1

2m(r2 + r2θ2) +

k

r(6.23)

La idea es remplazar r y θ en (6.21) por pr y pθ

pr =∂L

∂r= mr

o sea

r =pr

m

y

pθ =∂L

∂θ= mr2θ

o sea

θ =pθ

mr2

Luego la energıa cinetica es:

T =1

2m

[(pr

m

)2+ r2

( pθ

mr2

)2]

=p2

r

2m+

p2θ

2mr2

Por lo tanto:

H = T + V =p2

r

2m+

p2θ

2mr2− k

r

O equivalentemente

H(q, p) =2∑

i=1

piqi − L


= pr r + pθθ − L

= mr2 + mr2θ2 − 1

2mr2 − 1

2mr2θ2 − k

r

=1

2mr2 +

1

2mr2θ2 − k

r

=p2

r

2m+

p2θ

2mr2− k

r

Siendo

pk = −∂H

∂qk

qk =∂H

∂pk

se tiene

pr = −∂H

∂r=

p2θ

mr3− k

r2

pθ = −∂H

∂θ= 0

entonces

pθ = cte

y

r =∂H

∂pr=

pr

m

luego

pr = mr

por ultimo

θ =∂H

∂pθ=

pθ

mr2


ası

pθ = mr2θ

❏

Ejemplo 6.3.

Encontrar las ecuaciones de movimiento de una partıcula cargada en uncampo electromagnetico

F = e(E +

v

c× B

)

B = ∇ × A

E = −∇φ − 1

c

∂A

∂t

La funcion lagrangiana que se obtuvo es:

L = T − V =1

2mv2 − e

(φ − v · A

c

)

El momento canonicamente conjugado es:

p =∂L

∂v= mv +

e

cA

pi = mvi +e

cAi

entonces

vi =1

m

(pi −

e

cAi

)

El hamiltoniano en este caso es:

H =

3∑

i=1

pivi − L

= p · v − 1

2mv2 + eφ − e

cv · A


=(mv +

e

cA)· v − 1

2mv2 + eφ − e

cv · A

=1

2mv2 + eφ

=1

2m

1

m2

(pi −

e

cAi

)·(pi −

e

cAi

)+ eφ

=1

2m

(p − e

cA)2

+ eφ

De las ecuaciones de Hamilton

qi =∂H

∂pi

En notacion de componentes

x =∂H

∂px=

1

m

(px − e

cAx

)

y =∂H

∂py=

1

m

(py −

e

cAy

)

z =∂H

∂pz=

1

m

(pz −

e

cAz

)

En notacion vectorial

v =1

m

(p − e

cA)

y de

pi = −∂H

∂qi

En notacion de componentes

px = −∂H

∂x= −e

∂φ

∂x+

e

cm

[(px − e

cAx

) ∂Ax

∂x

6.9. METODO DE ROUTH 211

+(py −

e

cAy

) ∂Ay

∂x+(pz −

e

cAz

) ∂Az

∂x

]

py = −∂H

∂y= −e

∂φ

∂y+

e

cm

[(px − e

cAx

) ∂Ax

∂y

+(py −

e

cAy

) ∂Ay

∂y+(pz −

e

cAz

) ∂Az

∂y

]

pz = −∂H

∂z= −e

∂φ

∂z+

e

cm

[ (px − e

cAx

) ∂Ax

∂z

+(py −

e

cAy

) ∂Ay

∂z+(pz −

e

cAz

) ∂Az

∂z

]

o en notacion vectorial

p = −∇φ +e

c∇(v · A)

❏

6.9. Metodo de Routh

La formulacion de Hamilton no es particularmente util para la soluciondirecta de problemas mecanicos. A menudo se puede resolver las 2n ecua-ciones de primer orden tan solo eliminando algunas de las variables, porejemplo, las variables p, lo cual conduce rapidamente a las ecuaciones demovimiento de Lagrange de segundo orden.

En cambio, el metodo de Hamilton resulta especialmente apropiado paratratar problemas en los que intervienen coordenadas cıclicas.

Supongase un sistema fısico de n grados de libertad y una coordenadacıclica qc su lagrangiano tiene la forma diferencial

L = L(q1, q2, . . . , qn−1 ; q1, q2, . . . , qn ; t)

Se sabe que

d

dt

(∂L

∂qc

)− ∂L

∂qc= 0


ya que

∂L

∂qc= 0

se tiene

d

dt(pc) = 0

entonces

pc = cte = α

Luego, la forma de hamiltoniano que describe este sistema es:

H = H(q1, q2, . . . , qn−1 ; p1, p2, . . . , pn−1 ; α ; t)

Por lo tanto, el hamiltoniano describe un problema que solo contiene n − 1coordenadas y el cual se puede resolver ignorando por completo la coorde-nada cıclica, salvo que esta se manifiesta como una constante de integracionα la cual puede determinarse a partir de las condiciones iniciales.

El comportamiento de la propia coordenada cıclica con el tiempo, seencuentra integrando la ecuacion de movimiento

qc =∂H

∂α

La ventaja de la formulacion de Hamilton con respecto al manejo de lascoordenadas cıclicas se puede combinar con el procedimiento lagrangianomediante un metodo ideado por Routh, solo para coordenadas cıclicas. Laidea es mediante una transformacion interna que lleve de la base q, q a labase q, p obteniendo sus ecuaciones de movimiento en forma hamiltonianamientras que las restantes coordenadas vienen regidas por las ecuaciones deEuler-Lagrange.

Notando que las coordenadas cıclicas estan representadas por

qs+1, qs+2, . . . , qn

e introduciendo una funcion R llamada routhiana de la forma

R(q1, q2 . . . , qn ; q1, q2, . . . , qs ; ps+1, ps+2, . . . , pn ; t) =

6.9. METODO DE ROUTH 213

n∑

i=s+1

piqi − L(q1, q2 . . . , qc ; q1, q2, . . . , qn ; t)

La diferencial total de R es:

dR =

n∑

i=c+1

(qi dpi + pi dqi) −n∑

i=1

∂L

∂qidqi −

n∑

i=1

∂L

∂qidqi −

∂L

∂tdt

=

n∑

i=c+1

qi dpi +

n∑

i=s+1

∂L

∂qidqi −

n∑

i=1

∂L

∂qidqi −

s∑

i=1

∂L

∂qidqi

−n∑

i=s+1

∂L

∂qidqi −

∂L

∂tdt

=

n∑

i=s+1

qi dpi −s∑

i=1

∂L

∂qidqi −

n∑

i=1

∂L

∂qidqi −

∂L

∂tdt (6.24)

La diferencial de

R = R(q1, q2 . . . , qn ; q1, q2, . . . , qc ; pc+1, pc+2, . . . , pn ; t)

es

dR =

n∑

i=1

∂R

∂qidqi +

s∑

i=1

∂R

∂qidqi +

n∑

i=s+1

∂R

∂pidpi +

∂R

∂tdt (6.25)

y comparando (6.24) y (6.25) se deduce

∂R

∂qi= −∂L

∂qii = 1, 2, . . . , s

∂R

∂qi= −∂L

∂qii = 1, 2, . . . , s

(6.26)

∂R

∂qi= −pi i = s + 1, s + 2, . . . , n

∂R

∂pi= qi i = s + 1, s + 2, . . . , n

(6.27)


Luego se puede concluir a partir de (6.26) que las s coordenadas no ignor-ables obedecen las ecuaciones de Euler-Lagrange

d

dt

(∂L

∂qi

)− ∂L

∂qi= 0 i = 1, 2, . . . , s

− d

dt

(∂R

∂qi

)− ∂R

∂qi= 0 i = 1, 2, . . . , s (6.28)

y a partir de (6.27) se concluye que las n − s coordenadas cıclicas obede-cen las ecuaciones de movimiento de Hamilton donde R hace el papel delhamiltoniano

∂R

∂qi= −pi i = s + 1, s + 2, . . . , n

∂R

∂pi= qi i = s + 1, s + 2, . . . , n

Pero, por ser cıclicas las n − s = r coordenadas cıclicas no aparecen ex-plıcitamente en H, o sea, R. Luego

∂R

∂qi= 0 = −pi

entonces

pi = cte = αi i = s + 1, s + 2, . . . , n

donde las αi se determinan con las condiciones iniciales. De esta forma lasunicas variables de la routhiana son las s coordenadas no cıclicas y susvelocidades generalizadas

R = R(q1, q2 . . . , qn ; q1, q2, . . . , qs ; α1, α2, . . . , αr ; t)

Ahora se pueden resolver las ecuaciones de movimiento (6.28) para las coor-denadas no cıclicas sin tener en cuenta el comportamiento de las coordenadascıclicas, exactamente como en el formalismo de Hamilton. El problema se hareducido a un problema de Lagrange para m sistemas de s grados de liber-tad y salvo los r parametros constantes αj , se pueden ignorar los restantesgrados de libertad.

6.10. ECUACIONES DE HAMILTON A PARTIR DE PRINCIPIO VARIACIONAL 215

6.10. Ecuaciones de Hamilton a partir de un

principio variacional

A partir del principio de Hamilton definido en el espacio de configuracionhabıa sido posible obtener variacionalmente las ecuaciones de movimientode un sistema clasico.

El principio de Hamilton decıa que la trayectoria de configuracionesfısicas en el espacio de configuracion que lleva al sistema fısico de un es-tado inicial qi en un tiempo t1 a un estado final qf en un tiempo t2, esaquella que hace que la accion sea un extremo, o sea

δS = 0

donde la accion se habıa definido como

S =

t2∫

t1

Ldt

Al considerar la variacion δS con las condiciones de los dos extremos

δqi = δq(t1) = δqf = δq(t2) = 0

se obtenıa

d

dt

∂L

∂qi− ∂L

∂qi= 0 i = 1, 2, . . . , n

De igual forma, se pueden obtener las ecuaciones de movimiento de Hamiltona partir del principio de Hamilton definido en el espacio de fase (principiode Hamilton modificado).

El principio de Hamilton modificado establece que la trayectoria de con-figuraciones fısicas (trayectoria clasica) en el espacio de fase que conduce aun sistema fısico de un estado inicial (qi, pi) en un tiempo t1 a un estadofinal (qf , pf ) en un tiempo t2 es tal que la accion es un extremo, o sea δs = 0.

Ya que

H =

n∑

i=1

piqi − L


entonces

L =

n∑

i=1

piqi − H

Por lo cual

S =

t2∫

t1

Ldt =

t2∫

t1

(n∑

i=1

piqi − H

)dt (6.29)

La variacion δS de S es:

δS =

t2∫

t1

[n∑

i=1

(pi δqi + qi δpi) −n∑

i=1

(∂H

∂qiδqi +

∂H

∂piδpi

)]dt (6.30)

Para obtener la trayectoria clasica (ver figura 6.7), o sea, el conjunto de

b

b

q = (q1, q2, . . . , qn)

p = (p1, p2, . . . , pn)

(q0, p0)

(qf , pf )

t1

t2

clasic

a

Figura 6.7. Trayectoria clasica.

configuraciones fısicas que llevan al sistema de (q0, p0) a (qf , pf ), se debeextremisar la accion, con la condicion

δq0 = δq(t1) = δqf = δq(t2) = 0

δp0 = δp(t1) = δpf = δp(t2) = 0

O sea

t2∫

t1

n∑

i=1

(pi δqi + qi δpi −

∂H

∂qiδqi −

∂H

∂piδpi

)dt = 0 (6.31)

6.10. ECUACIONES DE HAMILTON A PARTIR DE PRINCIPIO VARIACIONAL 217

con

δq(t1) = δq(t2) = 0

δp(t1) = δp(t2) = 0

Integrando el primer termino:

t2∫

t1

n∑

i=1

pi δqi dt =

t2∫

t1

n∑

i=1

pid

dtδqi dt

=

t2∫

t1

n∑

i=1

d

dt(pi δqi) dt −

t2∫

t1

n∑

i=1

dpi

dtδqi dt

=n∑

i=1

pi δqi|t2t1 −t2∫

t1

n∑

i=1

pi δqi dt

=

n∑

i=1

pi [δqi(t2) − δqi(t1)] −t2∫

t1

n∑

i=1

pi δqi dt

= −t2∫

t1

n∑

i=1

pi δqi dt

Reemplazando en (6.31) se obtiene

t2∫

t1

n∑

i=1

(−pi δqi + qi δpi −

∂H

∂qiδqi −

∂H

∂piδpi

)dt = 0

t2∫

t1

n∑

i=1

[(qi −

∂H

∂pi

)δpi −

(pi +

∂H

∂qi

)δqi

]dt = 0

Ya que esto es igual a cero, la unica forma es que:

qi −∂H

∂pi= 0 i = 1, 2, . . . , n


entonces

qi =∂H

∂pii = 1, 2, . . . , n

y

pi +∂H

∂pi= 0 i = 1, 2, . . . , n

luego

pi = −∂H

∂pii = 1, 2, . . . , n

6.11. Principio de mınima accion

Otro principio variacional asociado a la formulacion hamiltoniana es elllamado principio de mınima accion. Contiene un nuevo tipo de variacion,que se llamara ∆.

A diferencia de la variacion δ usada con el principio de Hamilton dondeen los extremos

δq(t1) = δq(t2) = 0

o en el principio de Hamilton modificado donde en los extremos

δq(t1) = δq(t2) = 0

δp(t1) = δp(t2) = 0

En el caso de variaciones ∆ es posible que haya variaciones en los extremos,o sea, es menos restrictiva; en general, el camino variado a lo largo del cual secalcula la integral puede terminar en XXX diferentes que el camino correctoy puede haber variacion de las coordenadas en los extremos.Una familia de caminos variables posibles esta definida por:

qi(t, α) = qi(t, 0) + α ηi(t)

donde α es un parametro infinitesimal que se anula para el camino correcto.Las funciones ηi no tienen que anularse necesariamente en los puntos ex-tremos, sea el original o el variado. Se requiere es que las ηi sean continuasy derivables.

6.11. PRINCIPIO DE MINIMA ACCION 219

b

b

bb

b

b

qj

qi

t1

t1

t1 + ∆t

t2

t2 t2 + ∆t∆q

δq(α = 0)

(α 6= 0)

Figura 6.8. Camino correcto y variado para una variacion ∆ en el espacio deconfiguraciones.

En la figura 6.8 se observa el camino correcto y el variado para unavariacion ∆ en el espacio de configuraciones.A continuacion se evalua la variacion ∆ en la integral de accion.

∆

t2∫

t1

Ldt =

t2+∆t2∫

t1+∆t1

L(α) dt

︸︷︷︸a lo largo del camino variables

−t2∫

t1

L(0) dt

︸︷︷︸a lo largo del camino correcto

∆

t2∫

t1

Ldt = L(t2)∆t2 − L(t1)∆t1 +

t2∫

t1

δL δt

donde la variacion δq no se anula en los extremos.

t2∫

t1

δL dt =

t2∫

t1

n∑

i=1

[∂L

∂qi− d

dt

(∂L

∂qi

)]δqi dt +

n∑

i=1

∂L

∂qiδqi

∣∣∣∣2

1

Segun las ecuaciones de Euler-Lagrange

∂L

∂qi− d

dt

(∂L

∂qi

)= 0

entonces

∆

t2∫

t1

Ldt =

(L∆t +

n∑

i=1

pi δqi

)∣∣∣∣∣

2

1


Teniendo en cuenta que la variacion ∆ puede escribirse como:

∆qi = δqi + qi ∆t

entonces

δqi = ∆qi − qi ∆t

por lo cual

∆

t2∫

t1

Ldt =

(L∆t −

n∑

i=1

piqi ∆t +

n∑

i=1

pi ∆qi

)∣∣∣∣∣

2

1

o sea

∆

t2∫

t1

Ldt =

(n∑

i=1

pi ∆qi − H ∆t

)∣∣∣∣∣

2

1

con

H =n∑

i=1

piqi − L

Para obtener el principio de mınima accion se consideraran las siguientescondiciones:

1. Solo se consideran sistemas para los cuales L, o sea H, no sean fun-ciones explicitas del tiempo y por lo tanto H se conservara.

2. La variacion es tal que H se conserva tanto sobre el camino variadocomo sobre el camino real.

3. Los campos variados se limitan aun mas exigiendo que en los puntosextremos se limite ∆qi (pero no ∆t)

∆

t2∫

t1

Ldt = −H(∆t2 − ∆t1) (6.32)


Pero en las mismas condiciones

t2∫

t1

Ldt =

t2∫

t1

n∑

i=1

piqi dt − H(t2 − t1)

y su variacion ∆ es:

∆

t2∫

t1

Ldt = ∆

t2∫

t1

n∑

i=1

piqi dt − H(∆t2 − ∆t1) (6.33)

Comparando (6.32) con (6.33) se obtiene finalmente el principio demınima accion.

∆

t2∫

t1

n∑

i=1

piqi dt = 0

Para el caso de partıculas interactuando cuya fuerza puede derivarsede un potencial

δ

t2∫

t1

n∑

i=1

mividSi

dtdt = 0

δ

n∑

i=1

mi

t2∫

t1

vi dSi

= 0

En mecanica clasica no relativista, si el sistema es escleronomico, la energıacinetica en general sera funcion cuadratica de las qi

T =1

2

∑

i, j

mij(q)qiqj

y si ademas, el potencial no depende de las velocidades, las cantidades demovimiento canonico se derivaran solo de T y en consecuencia del teoremade Euler

n∑

i=1

∂T

∂qiqi = 2T


con

pi =∂T

∂qi

entonces

n∑

i=1

piqi = 2T

Luego el principio de mınima accion tambien puede escribirse como:

∆

t2∫

t1

2T dt = 0

o

∆

t2∫

t1

T dt = 0

entonces

∆

t2∫

t1

Ldt = δS = 0

Para un espacio de configuraciones para el cual los coeficientes mij forman eltensor metrico, en este caso el espacio sera en general curvo y no ortogonal.El elemento de longitud en dicho espacio estara definido por:

(dρ)2 =∑

i, j

mij dqj dqk

En este caso

dρ dρ =∑

i, j

mij dqi dqj

dρ

dt

dρ

dt=∑

i, j

mijdqi

dt

dqj

dt


(dρ

dt

)2

=∑

i, j

mij qiqj

Luego

T =1

2

(dρ

dt

)2

esto es

√2T =

dρ

dt

por lo cual

dt =dρ√2T

Por lo tanto el principio de mınima accion se podrıa escribir como:

∆

t2∫

t1

2Tdρ√2T

= ∆

ρ2∫

ρ1

√2T dρ = ∆

ρ2∫

ρ1

√T dρ = 0

y teniendo en cuenta que

H = T (q) + V (q)

lo que implica

T = H − V (q)

entonces

∆

ρ2∫

ρ1

√H − V (q) dρ = 0

Y esta es la forma de Jacobi del principio de mınima accion. Usado enla optica geometrica y en la optica electronica. Se refiere al camino delpunto figurativo del sistema en un espacio de configuraciones curvo especialcaracterizado por el tensor metrico de elementos mij.


El punto figurativo del sistema recorre el camino en este espacio de con-figuraciones con una velocidad (“rapidez”) dada por

√2T . Si sobre el cuerpo

no se ejercen fuerzas, T es constante y el principio de Jacobi dice que el puntofigurativo del sistema se mueve a lo largo del camino mas corto en el espaciode configuraciones. Dicho de otro modo el movimiento del sistema es talque su punto figurativo se mueve a lo largo de las geodesicas del espacio deconfiguraciones.

De aquı el principio de Hertz de la mınima curvatura, el cual dice queuna partıcula no sometida a fuerzas exteriores se mueve a lo largo del caminode mınima curvatura. Segun el principio de Jacobi, tal como debe ser unageodesica.

Capıtulo 7

Transformaciones canonicas

Como se ha observado en los capıtulos anteriores la identificacion y uso delas coordenadas cıclicas trae muchas ventajas (metodo de Routh).

Sin embargo, en general es imposible obtener mas que un numero limi-tado de tales coordenadas.

Supongase el problema en el cual el hamiltoniano del sistema sea unaconstante de movimiento y todas las coordenadas qi son cıclicas.

En estas condiciones, las cantidades de movimiento conjugados pi sontodas constantes

pi = αi

y en este caso

H = H(α1, α2, . . . , αn) = cte

En consecuencia las ecuaciones de Hamilton, simplemente seran

qi =∂H

∂αi

= ωi (7.1)

donde las ωi = ωi(α1, α2, . . . , αn) = cte. La solucion de (7.1) es:

qi = ωit + βi

Siendo βi constantes de integracion determinadas por condiciones iniciales.Este es un problema academico, que en la practica difıcilmente se presenta.

Normalmente un sistema puede describirse por mas de un conjunto decoordenadas generalizadas.

225

226 CAPITULO 7. TRANSFORMACIONES CANONICAS

Ejemplo 7.1. Partıcula moviendose en un plano

Se podrıa elegir como coordenadas generalizadas cartesianas (x, y) o mejoren coordenadas generalizadas polares (r, θ).

En el segundo caso, si actuan fuerzas centrales sobre la partıcula (x, y)no son coordenadas cıclicas, mientras que θ si lo es, o sea pθ = cte. ❏

Ası se observa que el numero de coordenadas cıclicas depende de laescogencia de las coordenadas generalizadas y para cada problema puedehaber una eleccion particular para la cual todas las coordenadas sean cıclicas.

Como las coordenadas generalizadas obvias sugeridas por el problemano seran normalmente cıclicas es necesario deducir primero un metodo parapasar de un sistema de variables a otro que sea mas conveniente.

t

qi

t

Qi

(a) Transformacion del espacio de configuracion.

q(q1, q2, . . . , qn) Q(Q1, Q2, . . . , Qn)

p(p1, p2, . . . , pn) P (P1, P2, . . . , Pn)

(b) Transformacion del espacio de fase

Figura 7.1. Transformaciones de coordenadas.

Las transformaciones de coordenadas vistas en los capıtulos anterioresimplican pasar de un sistema de coordenadas qi a un nuevo sistema Qi

7.1. TRANSFORMACIONES CANONICAS 227

(figura 7.1(a)), mediante ecuaciones de transformacion de la forma

qi → Qi = Qi(q, t)

En la formulacion de Hamilton los momentos pi son tambien variables ypor lo tanto el concepto de transformacion de coordenadas debe ampliarsepara que incluya la transformacion de momentos, o sea que en general setienen las transformaciones del espacio de configuracion (figura 7.1(a)) y delespacio fasico (figura 7.1(b)):

qi → Qi = Qi(q, p, t)

pi → Pi = Pi(q, p, t)(7.2)

En la mecanica nos interesamos solamente en aquellas transformaciones enlas cuales (Q,P ) son coordenadas canonicas y cuando esto es cierto existecierta funcion H(Q,P, t) tal que las ecuaciones de movimiento en el nuevosistema tienen la forma de Hamilton

Qi =∂H∂Pi

; Pi = − ∂H∂Qi

(7.3)

donde la funcion H desempena el papel del hamiltoniano del sistema decoordenadas generalizadas transformadas

H(q, p, t) → H(Q,P, t) (7.4)

7.1. Transformaciones canonicas

Las transformaciones de coordenadas que conducen de un sistema de coor-denadas (q, p) a uno nuevo (Q,P ) preservando la forma de las ecuaciones demovimiento de Hamilton se conocen como transformaciones canonicas.

qi =∂H

∂pi

pi = − ∂H

∂qi

→

Qi =∂H∂Pi

Pi = − ∂H∂Qi

(7.5)

Ya que las ecuaciones de movimiento de Hamilton en el sistema de coor-denadas sin transformar (q, p) pueden derivarse del principio de Hamiltonmodificado, esto es:

δ

∫ t2

t1

[n∑

i=1

piqi − H(q, p, t)

]dt = 0 (7.6)


entonces el sistema de coordenadas canonicas transformadas (Q,P ) tambienpuede derivarse del principio de Hamilton modificado, o sea

δ

∫ t2

t1

[n∑

i=1

PiQi −H(Q,P, t)

]dt = 0 (7.7)

Comparando (7.6) y (7.7), se observa que sus integrandos estan relacionadospor

α

[n∑

i=1

piqi − H

]=

n∑

i=1

PiQi −H +dG

dt(7.8)

o equivalentemente

α

[n∑

i=1

pi dqi − H dt

]=

n∑

i=1

Pi dQi −H dt + dG (7.9)

donde G es una funcion cualquiera de las coordenadas del espacio fasicocon segundas derivadas continuas y α es una constante independiente de lascoordenadas y del tiempo.

La funcion G se conoce como funcion generatriz de la transformacioncanonica y puede depender del par de variables (q,Q); (q, P ); (p,Q); (p, P ).

Ejemplo 7.2.

Si qj y pj estan relacionadas a Qj y Pj por las siguientes relaciones (cambiode escala)

Qi = λqi ; Pi = βpi

el hamiltoniano H es valido si H = λβH

Qi =∂H∂Pi

=∂

∂βpi(λβH) =

λβ

λ

∂H

∂pi= λqi

entonces

Qi = λqi

Pi = − ∂H∂Qi

=∂

∂λqi(λβH) = −λβ

λ

∂H

∂qi= βPi


entonces

Pi = βpi

Los integrandos de los correspondientes principios de Hamilton modificadosestan relacionados por:

λβ

(n∑

i=1

piqi − H

)=

n∑

i=1

PiQi −H

donde α = λβ. Se puede escoger siempre α = 1, o sea

H = H

y entonces (7.9) es:

n∑

i=1

piqi − H =

n∑

i=1

PiQi −H +dG

dt(7.10)

De las opciones de dependencia funcional de G, supongamos que G es funcionde q, Q y t

G = G1 = G1(q,Q, t)

entonces:

dG1

dt=

n∑

i=1

(∂G1

∂qi

dqi

dt+

∂G1

∂Qi

dQi

dt

)+

∂G1

∂t

y a partir de (7.10) se tiene:

n∑

i=1

(piqi − PiQi) + (H− H) =∂G1

∂t

=

n∑

i=1

(∂G1

∂qi

dqi

dt+

∂G1

∂Qi

dQi

dt

)+

∂G

∂t


de donde se concluye que:

Pi =∂G1

∂qi

Pi = −∂G1

∂Qi

H− H =∂G1

∂t

(7.11)

siendo G1 la funcion generatriz de esta transformacion canonica. ❏

Un ejemplo es la transformacion canonica generada por

G1 = qQ =

n∑

i=1

qiQi

en este caso:

pi = Qi , Pi = −qi , H = H ya que∂G1

∂t= 0

Otras opciones que se podrıan generar son:

G2(q, P, t) ; G3(p,Q, t) ; G4(p, P, t)

Las funciones G2, G3 y G4 pueden generarse de G1 a traves de una trans-formacion de Legendre.

Supongase que en (7.10)

n∑

i=1

piqi − H =n∑

i=1

PiQi −H +∂G

∂t(7.12)

La funcion G es tal que (con G = G1):

G = G2(q, P, t) −n∑

i=1

QiPi (7.13)


la derivada total es:

dG

dt=

n∑

i=1

(∂G2

∂qiqi +

∂G2

∂PiPi

)+

∂G2

∂t− d

dt

(n∑

i=1

QiPi

)

reemplazando en (7.12) se tiene:

n∑

i=1

(piqi − PiQi) + (H − H) =∂G

∂t

=

n∑

i=1

(∂G2

∂qiqi +

∂G2

∂PiPi

)

+∂G2

∂t− d

dt

(n∑

i=1

QiPi

)

n∑

i=1

(piqi − Pi

dQi

dt+

d

dt(QiPi)

︸︷︷︸QiPi

)+ (H− H)

=

n∑

i=1

(∂G2

∂qiqi +

∂G2

∂PiPi

)+

∂G2

∂t

n∑

i=1

(piqi + QiPi

)+ (H − H) =

n∑

i=1

(∂G2

∂qiqi +

∂G2

∂PiPi

)+

∂G2

∂t

De donde se puede identificar

Pi =∂G2

∂qi

Qi = −∂G2

∂Pi

H− H =∂G2

∂t

(7.14)


Ejemplo 7.3.

Sea la transformacion canonica generada por:

G2 = qP =n∑

i=1

qiPi

Entonces:

Pi =∂G2

∂qi= Pi

Qi =∂G2

∂Pi= qi

H = H

Esta es la transformacion canonica identidad. ❏

La funcion generatriz G3 se define como:

G =

n∑

i=1

qipi + G3(p,Q, t) (7.15)

reemplazando dGdt en (7.12) se obtiene

qi = −∂G3

∂pi

Pi = −∂G3

∂Qi

H− H =∂G3

∂t

(7.16)

La funcion generatriz G4 se define como:

G =

n∑

i=1

(qipi − QiPi) + G4(p, P, t) (7.17)

7.2. CORCHETES DE POISSON 233

reemplazando dGdt en (7.12) se obtiene

qi = −∂G4

∂pi

Qi =∂G4

∂Pi

H− H =∂G4

∂t

(7.18)

Si la funcion generatriz de la transformacion G1, G2, G3 o G4 no contieneexplıcitamente el tiempo entonces se observa que

H = H

o sea que el nuevo hamiltoniano H es simplemente el anterior pero con lasq’s y p’s reemplazadas por las correspondientes Q’s y P ’s.

Luego, si esto sucede de (7.12) se observa

n∑

i=1

piqi −H =

n∑

i=1

QiPi −H +dG

dt

Con H = H entonces

n∑

i=1

pipi =

n∑

i=1

PiQi +dG

dt

n∑

i=1

(pidq − PidQ) = dG (7.19)

Permite probar cuando una transformacion es canonica.

7.2. Corchetes de Poisson

Introducidos por Simeon Denis Poisson en 1809.

Sean

A = A(q, p, t)


B = B(q, p, t)

El corchete de Poisson de las dos funciones A y B es

{A,B }q,p ≡∑

i

(∂A

∂qi

∂B

∂pi− ∂A

∂pi

∂B

∂qi

)

Las propiedades fundamentales son:

1. {A,A } = 0

2. {A,B } = −{B,A }

3. {A,B + C } = {A,B } + {A,C }

4. {A,BC } = {A,B }C + B{A,C }

5. {A, {B,C } } + {B, {C,A } } + {C, {A,B } } = 0(Identidad de Jacobi)

donde A,B,C son funciones de variables canonicas y del tiempo.

Ejemplos:

{ qj , qk } = 0

{ pj , pk } = 0

{ qj, pk } = δjk

Estos son los corchetes de Poisson fundamentales

7.2.1. Ecuaciones de movimiento en forma de corchetes dePoisson

qj =∂H

∂pj= { qj,H } =

n∑

i=1

(∂qj

∂qi

∂H

∂pi− ∂qj

∂pi

∂H

∂qi

)

qj =n∑

i=1

δji∂H

∂pi=

∂H

∂pj

7.2. CORCHETES DE POISSON 235

pj = −∂H

∂qj= { pj ,H } =

n∑

i=1

(∂pj

∂qi

∂H

∂pi− ∂pj

∂qi

∂H

∂qi

)

pj = −n∑

i=1

δji∂H

∂qi= −∂H

∂qj

7.2.2. Corchetes de Poisson e integrales de movimiento

Sea H el hamiltoniano de un sistema y F = F (q, p, t)

{F,H } =

n∑

i=1

(∂F

∂qi

∂H

∂pi− ∂F

∂pi

∂H

∂qi

)

{F,H } =

n∑

i=1

(∂F

∂qiqi + pi

∂F

∂pi

)=

dF

dt− ∂F

∂t

o equivalentemente

dF

dt= {F,H } +

∂F

∂t

Si F representa una integral de movimiento entonces

dF

dt= 0

o sea

∂F

∂t+ {F,H } = 0

Si F no depende explıcitamente del tiempo, entonces:

∂F

∂t= 0

luego

{F,H } = 0

Si G es otra constante de movimiento, entonces

dG

dt=

∂G

∂t+ {G,H } = 0


entonces

∂G

∂t= −{G,H }

y junto a

dF

dt=

∂F

∂t+ {F,H } = 0

entonces

∂F

∂t= −{F,H }

d

dt{F,G } = { {F,G },H } +

∂{F,G }∂t

= { {F,G },H } +

{∂F

∂t,G

}+

{F,

∂G

∂t

}

= { {F,G },H } + { {F,H }, G } − {F, {G,H } }

= { {F,G },H } + { {H,F }, G } + { {G,H }, F } = 0

Entonces

{F,G } = cte

Este es el teorema de Poisson: Si F,G representan dos integrales de movimien-to entonces su corchete de Poison es una constante.

7.2.3. Invariancia de los corchetes de Poisson

Se puede demostrar que si F y G son funciones de (q, p) y si (Q,P ) sonvariables canonicas relacionadas con (q, p) a traves de una transformacioncanonica, entonces

{F,G }q,p = {F,G }Q,P

luego

{Qi, Qj } = 0

{Pi, Pj } = 0

{Qi, Pj } = δij

7.3. TRANSFORMACION CANONICA INFINITESIMAL 237

7.3. Transformacion canonica infinitesimal

La funcion generatriz G2 tiene como forma funcional G2 = G2(q, P, t). Sehabıa observado que

pi =∂G2

∂qiQi =

∂G2

∂Pi(7.20)

H− H =∂G2

∂t

Con la particular escogencia de

G2 = qP =n∑

i=1

qiPi (7.21)

Se tiene que

pi =∂G2

∂qi= Pi

Qi =∂G2

∂Pi= qi

H = H

pi → Pi = pi

qi → Qi = qi

(7.22)

Se tiene la transformacion identidad.

La transformacion canonica infinitesimal caracterizada por un parametroinfinitesimal ǫ ≪ 1, se define como:

pi → Pi = pi + O(ǫ)

qi → Qi = qi + O(ǫ)(7.23)

y sera generada por una funcion generatriz G2 que depende de ǫ de la forma:

G2 =n∑

i=1

qiPi + ǫg(q, p) + O(ǫ2) (7.24)

donde el primer termino es la funcion generatriz de la transformacion canonicaidentidad.


La funcion g(q, p) que depende completamente del sistema de variablescanonicas originales se llama el generador de la transformacion canonica in-finitesimal.

Reemplazando (7.24) en (7.20) se tiene:

pi =∂G2

∂qi=

∂

∂qi

(n∑

i=1

qiPi + ǫg(q, p) + O(ǫ2)

)= Pi + ǫ

∂g

∂qi

Qi =∂G2

∂Pi=

∂

∂Pi

(n∑

i=1

qiPi + ǫg(q, p) + O(ǫ2)

)

Qi = qi + ǫ∂g

∂Pi= qi + ǫ

∂g

∂[pi + O(ǫ)]= qi + ǫ

∂g

∂pi

Luego las variaciones de las variables canonicas son:

δqi = Qi − qi = qi + ǫ∂g

∂pi− qi = ǫ

∂g

∂pi

δpi = Pi − pi = pi − ǫ∂g

∂qi− pi = −ǫ

∂g

∂qi

(7.25)

Teniendo en cuenta la definicion de los corchetes de Poisson, las variacionesanteriores se pueden escribir como:

δqi = ǫ { qi, g } = ǫn∑

j=1

(∂qi

∂qj

∂g

∂pj− ∂qj

∂pj

∂g

∂qj

)

δpi = ǫ { pi, g } = ǫn∑

j=1

(∂pi

∂qj

∂g

∂pj− ∂pi

∂pj

∂g

∂qj

)

δqi = ǫ

n∑

j=1

δij∂g

∂pj= ǫ

∂g

∂pi

δpi = −ǫ

n∑

j=1

δij∂g

∂qj= −ǫ

∂g

∂qi

(7.26)

7.3. TRANSFORMACION CANONICA INFINITESIMAL 239

Proposicion 1. Sea una funcion de las variables canonicas q, p; F = F (q, p).Una variacion infinitesimal δF de la funcion F causada por una transfor-macion canonica infinitesimal con generador g(q, p) y parametro ǫ esta dadapor:

δF (q, p) = {F (q, p), ǫg } (7.27)

Demostracion. La transformacion canonica infinitesimal es

pi → Pi = pi + δpi = pi − ǫ∂g

∂qi

qi → Qi = qi + δqi = qi + ǫ∂g

∂pi

esta variacion en la funcion F se manifiesta como:

F → F ′ = F + ǫδF = F + ǫ

n∑

i=1

(∂F

∂qiδqi +

∂F

∂piδpi

)

luego, la variacion δF proveniente de las variaciones δq y δp en la funcion Fes:

δF =

n∑

i=1

(∂F

∂qiδqi +

∂F

∂piδpi

)

=

n∑

i=1

(∂F

∂qiǫ

∂g

∂pi− ∂F

∂piǫ

∂g

∂qi

)

=n∑

i=1

(∂F

∂qi

∂(ǫg)

∂pi− ∂F

∂pi

∂(ǫg)

∂qi

)

δF = {F, ǫg }

que es la ecuacion (7.27)

Se habıa obtenido que la derivada total en el tiempo de una funcion F =F (q, p) que no dependa explıcitamente del tiempo es:

dF

dt= {F,H } (7.28)

Comparando (7.27) con (7.28) observamos que el hamiltoniano es el gener-ador de las traslaciones infinitesimales en el tiempo H = ǫg.


7.4. Ecuacion de Hamilton-Jacobi

Consideremos ahora un tipo especial de transformacion canonica que mapealas variables (q, p) en otro conjunto (Q,P ) que son independientes en eltiempo (constantes).

q → q ′ = Q = cte

p → p ′ = P = cte(7.29)

En este caso, el conocimiento de las ecuaciones de transformacion

q = q(Q,P, t)

p = p(Q,P, t)(7.30)

es equivalente a la solucion dinamica del problema ya que Q y P son con-stantes que pueden ser identificadas con las condiciones iniciales

q = q(q0, p0, t)

p = p(q0, p0, t)(7.31)

La idea es buscar la funcion que genera la transformacion canonica men-cionada. Ya que se requiere que

dQ

dt=

dP

dt= 0

el nuevo hamiltoniano H no depende de Q y P . El hamiltoniano H puedeser una constante con o sin dependencia en el tiempo.

Tomando el caso mas sencillo H = 0, entonces

H = H +∂G

∂t

se convierte en:

H = −∂G

∂t(7.32)

Si G = G1 = G1(q,Q, t) entonces

pi =∂G1

∂qi; Pi = −∂G1

∂Qi(7.33)

7.4. ECUACION DE HAMILTON-JACOBI 241

Es decir (7.32) se puede escribir como:

H(q, p, t) = − ∂

∂tG1(q,Q, t)

H

(q, p =

∂G1

∂q, t

)= − ∂

∂tG1(q,Q = cte, t)

Por notacion llamando G1 = S = S(q,Q = cte, t), entonces (7.32) se escribecomo:

H

(q, p =

∂S

∂t, t

)= − ∂

∂tS(q,Q = cte, t) (7.34)

Esta es la ecuacion de Hamilton-Jacobi. S es una solucion de (7.34) y seconoce como funcion principal de Hamilton, con pi = ∂S

∂qiy tambien de (7.34)

se tiene:

Pi = cte = − ∂

∂QS(q,Q, t)

∣∣∣∣Q=cte

→ q = q(Q,P, t)

ecuacion que al ser invertida la q en funcion de Q, P y t y por lo tantosolucione el problema dinamico.

Puesto que S = S(q,Q = cte, t), su derivada total en el tiempo es:

dS

dt=

n∑

i=1

∂S

∂qi

∂dqi

∂dt+

∂S

∂t

dS

dt=

n∑

i=1

pidqi

dt− H(q, p, t) = L(q.q, t) (7.35)

Integrando (7.35) se obtiene:

S =

t2∫

t1

L(q, q, t) dt (7.36)

lo cual indica que S es la accion tomada como una funcion de q(t) yq(t1) = Q = cte, en la situacion en que la solucion del problema ya se conocey esta ha sido insertada en L y la integracion realizada.


Por lo tanto, se ha obtenido el resultado central: La accion S es la funciongeneratriz de una transformacion canonica que transforma el sistema devariables de un tiempo a otro.

Esta es la razon, por la cual en el formalismo de la integral de camino deFeynman de la mecanica cuantica la amplitud de probabilidad de ir de unestado inicial q(t1) = Q en el tiempo t1 a un estado final q(t2) en el tiempot2 es:

〈q(t1)| Q〉 ∼ e−iS(q,Q,t)

~

Ejemplo 7.4.

Las ecuaciones de transformacion entre dos conjuntos de coordenadas son:

Q =q2 + p2

2, P = − arctan

q

p

a ) Muestre que Q y P son variables canonicas si q y p lo son.

b ) Obtenga la funcion generatriz G que genera esta transformacion.

a ) Ya que las ecuaciones de transformacion no dependen del tiempo, en-tonces G no debe depender del tiempo entonces

∂G

∂t= 0

y por tanto

H− H =∂G

∂t= 0

luego

H = H

y entonces:

n∑

i=1

piqi − H =

n∑

i=1

PiQi −H +∂G

∂t

por lo tanto

n∑

i=1

pidqi

dt=

n∑

i=1

PidQi

dt+

dG

dt


n∑

i=1

(pidqi − PidQi) = dG

Relacion que permite probar cuando una trasformacion es o no canonica.

Con

Q =q2 + p2

2

entonces

dQ = qdp + pdp

luego

pdq − PdQ = dG

pdq − P (qdq + pdp) = dG

(p − qP )dq − pPdp = dG

(p + q arctan

q

p

)dq + p arctan

q

pdp = dG

Ahora hay que probar cuando esta expresion es exacta o no.

La condicion necesaria y suficiente para que la expresion

A(x, y) dx + B(x, y) dy

sea exacta es que se cumplan las relaciones de Cauchy, o sea

∂A

∂y=

∂B

∂x

Luego, aplicando la condicion de Cauchy al caso tratado

∂

∂p

(p + q arctan

q

p

)=

∂

∂q

(p arctan

q

p

)=

p2

q2 + p2

Luego, se tiene una transformacion canonica y Q y P son variables canonicas.✓


b ) Ahora se obtendra la funcion generatriz G.(

p + q arctanq

p

)dq + p arctan

q

pdp = dG =

∂G

∂qdq +

∂G

∂pdp

por lo tanto

∂G

∂q= p + q arctan

q

p

∂G

∂p= p arctan

q

p

Integrando con ayuda de

xn(arctan ax) dx =xn+1(arctan ax)

n + 1− a

n + 1

∫xn+1

1 + a2x2dx , n = −1

se obtiene

G = 12 (q2 + p2) arctan q

p + 12 qp

Ya que G debe ser funcion de una variable nueva y una vieja, se elimina pde G y se obtiene:

G1(q,Q) = Q arctanq√

2Q − q2+

1

2q√

2Q − q2

El nuevo hamiltoniano es

H = H

Si el viejo hamiltoniano es

H = 12 (q2 + p2)

entonces:

H = 12(q2 + p2) = Q

y las ecuaciones de movimiento son:

Q =∂H∂P

= 0 ; P = −∂H∂Q

= −1

entonces:

q = cte P = −t + P0 ❏


Ejemplo 7.5.

Considere el oscilador armonico unidimensional. Por conveniencia tome m =k = 1.

H =p2

2m+

kq2

2

o sea

H = 12 (q2 + p2) (7.37)

Ahora realice la siguiente transformacion canonica.

Q =1√2i

(q + ip) ; P = − 1√2i

(q − ip) ; i =√−1 (7.38)

Muestre que:

a ) La transformacion (7.38) es canonica.

b ) Encuentre la funcion generatriz G.

c ) H = H = −iQP .

d ) Q = −iQ, P = iP

a ) Ya que en la transformacion no aparece t explıcitamente, entonces

∂G

∂t= 0

luego

H = H

entonces

pdq − PdQ = dG

dQ =1√2i

(dq + idp)


ası:

pdq +1√2i

(q − ip)1√2i

(dq + idp) = dG

pdq + 12i qdq + 1

2i iqdp − 12i ipdq + 1

2i i2pdp = dG

12 pdq + 1

2i qdq + 12 qdp + i

2 pdp = dG

(12 p − i

2 q)

dq +(

12 q + i

2 p)

dp = dG

Esta expresion es exacta si se satisface la condicion de Cauchy, o sea:

∂

∂p

(12 p − i

2 q)

=∂

∂q

(12 q + i

2 p)

= 12

b )

pdq − PdQ =(

12 p − i

2 q)

dq +(

12 q + i

2 p)

dp = dG =∂G

∂qdq +

∂G

∂pdp

entonces

∂G

∂q=

1

2p − i

2q

luego

G ′ = 12 pq − i

4 q2

y

∂G

∂p=

1

2q +

i

2p

luego

G ′′ = 12 pq + i

4 p2

por lo tanto

G = 12 pq + i

4 (p2 − q2)


Ya que G es funcion de una variable antigua y una nueva, se elimina p deG, o sea de (7.38)

ip =√

2i Q − q

entonces

p =

√2i

i− 1

iq

p =

√2

iQ + iq

luego

p2 =2

iQ2 + 2i

√2

iQq − q2

y reemplazando en G

G =1

2q

(√2

iQ + iq

)+

i

4

(2

iQ2 + 2i

√2

iQq − q2 − q2

)

G =1√2i

qQ +i

2q2 +

1

2Q2 − 1

2

√2

iQq − i

2q2

G =1√2i

qQ +1

2Q2 − 1√

2iQq

G =1

2Q2

No sirve. entonces de (7.38) se toma

ip =√

2iP + q

Ası:

p =

√2i

iP +

1

iq


p =

√2

iP − iq

luego:

p2 =2

iP 2 − 2i

√2

iqP − q2

y reemplazando en G

G =1

2q

(√2

iP − iq

)+

i

4

(2

iP 2 − 2i

√2

iqP − q2 − q2

)

G =

√1

2iqP − i

2q2 +

1

2P 2 +

√1

2iqP − i

2q2

G2(q, P ) =1

2P 2 − iq2 +

√2

iqP =

(1√2

P +i√iq2

)2

c ) Despejando de q y p en terminos de Q y P se tiene

p =

√2

iQ + iq

p =

√2

iP − iq

sumando:

2p =

√2

i(Q + P )

p =1√2i

(Q + P )

Se tiene tambien

q =√

2i Q − ip

q = −√

2i P + ip


al sumar

2q =√

2i(Q − P )

q =

√i

2(Q − P )

Entonces

H = H =1

2(p2 + q2) =

1

2

[1

2i

(Q2 + 2QP + P 2

)+

i

2

(Q2 − 2QP + P 2

)]

H =1

2

[− i

2

(Q2 + 2QP + P 2

)+

i

2

(Q2 − 2QP + P 2

)]

H = −iQP

d )

Q =∂H∂P

= −iQ P = −∂H∂Q

= iP ❏

Supongase que la funcion generatriz G es de la forma G1

G1 = µq2 cot Q

para este caso

pi =∂G1

∂qi

Pi = −∂G1

∂Qi

ya que el problema tiene dos grados de libertad

p =∂G1

∂q= 2µq cot Q

entonces

P = −∂G1

∂Q= µq2 cosec2 Q


luego

q2 =P

µ

1

cosec2 Q=

P

µsen2 Q

entonces

q =

√P

µsen Q

por lo tanto

p = 2µ

√P

µsen Q

cos Q

sen Q=√

4µP cos Q

q =

√P

µsen Q

reemplazando en el hamiltoniano H y ya que H = H, entonces

H = H =p2

2m+

kq2

2=

4µP cos2 Q

2m+

kPµ sen2 Q

2

H =kP

2µ

(sen2 Q +

4µ2

mkcos2 Q

)

con µ =√

mk2 , entonces

H =kP

2√

mk2

(sen2 Q + cos2 Q)

H =√

km P

y en este caso Q es coordenada cıclica.

Luego las ecuaciones de movimiento son:

P = −∂H∂Q

= 0


entonces

P = cte = β

Q =∂H∂P

=

√k

m

en consecuencia

Q =

√k

mt + γ

siendo γ una constante de integracion.

Reemplazando P y Q en q

q =

√P

msen Q =

√β

msen

(√k

mt + γ

)

p =√

4µP cos Q =√

4µγ cos

(√k

mt + γ

)

con

µ =

√km

2

Ejemplo 7.6.

Considere la transformacion

Q =√

e−2q − p2 ; P = arc cos(peq)

Usando el corchete de Poisson muestre que esta es canonica.

{Q,Q } = 0 ; {P,P } = 0

{Q,P } =∂Q

∂p

∂P

∂p− ∂Q

∂p

∂P

∂q

∂Q

∂q=

−e−2q

√e−2q − p2

;−p√

e−2q − p2


lo cual da

{Q, p } = 1

Luego la transformacion es canonica. ❏

Ejemplo 7.7.

Muestre que la siguiente transformacion es canonica.

Q =√

2q et cos p ; P =√

2q e−t sen p

∂Q

∂q=

1

2

√2q−1/2et cos p =

1√2

1√q

et cos p

∂P

∂q=

1√2

1√q

e−t sen p

∂Q

∂p= −

√2q et sen p

∂P

∂p=√

2qe−t cos p

{Q,Q } = 0

{P,P } = 0

{Q,P } =∂Q

∂q

∂P

∂p− ∂Q

∂p

∂P

∂q

{Q,P } =1√2√

qet cos p

√2q e−t cos p +

√2q et sen p

1√2q

e−t sen p

{Q,P } = cos2 p + sen2 p = 1

Luego la transformacion es canonica. ❏

Capıtulo 8

Teorıa de Hamilton-Jacobi

Como se ha visto, las transformaciones canonicas pueden utilizarse paraproporcionar un metodo general de solucion de problemas mecanicos. Se hansugerido dos metodos:

1. Si se conserva el hamiltoniano, se podrıa obtener una solucion pasandoa nuevas coordenadas canonicas que sean todas cıclicas, puesto que laintegracion de las nuevas ecuaciones resulta trivial.

2. Buscar una transformacion canonica, que lleve las coordenadas y can-tidades de movimiento (q, p) en t a un nuevo sistema de cantidadesconstantes que pueden ser los 2n valores iniciales (q0, p0) en t = 0.Con esta transformacion, las ecuaciones de transformacion que rela-cionan las antiguas variables canonicas con las nuevas son exactamentela solucion mecanica del problema

q = q(q0, p0, t)

p = p(q0, p0, t)

En el capıtulo anterior se habıa obtenido que:

dQ

dt=

dP

dt= 0

por ser Q y P constantes. Entonces H no depende de Q y P , o sea

H = cte = 0

entonces

H = H +∂G

∂t= 0

253

254 CAPITULO 8. TEORIA DE HAMILTON-JACOBI

luego

H = −∂G

∂t

con

G = G1(q, Q, t) = S(q, Q, t)

y

pi =∂S

∂qi

Pi = − ∂S

∂Qi

finalmente

H

(q, p =

∂S

∂q, t

)= −∂S

∂t(q, Q = cte, t)

donde S es la funcion principal de Hamilton y esta ultima ecuacion se de-nomina ecuacion de Hamilton-Jacobi.

Ya que

Pi = cte = − ∂S

∂Q(q, Q, t)

∣∣∣∣Q=cte

entonces

q = q(Q, P, t)

ya que

S = S(q, Q = cte, t)

entonces

dS

dt=

n∑

i=1

∂S

∂qi

dqi

dt+

∂S

∂t

255

=n∑

i=1

piqi − H(q, p, t)

= L(q, q, t)

Integrando

S =

t2∫

t1

L(q, q, t) dt

Entonces la accion es una funcion generatriz que transforma el sistema devariables de un tiempo a otro.Visto de otra forma, ya que H no depende de Q y P entonces:

∂H∂Pi

= Qi = 0

− ∂H∂Qi

= Pi = 0

H debe estar relacionada con H como:

H = H +∂S

∂t

si S satisface que:

H(q, p, t) +∂S

∂t= 0

con las ecuaciones de transformacion

S = G2 = G2(q, P, t)

entonces

pi =∂S

∂qi

o sea

H

(q1, q2, . . . , qn ;

∂S

∂q1,

∂S

∂q2, . . . ,

∂S

∂qn; t

)+

∂S

∂t= 0


siendo esta ultima la ecuacion de Hamilton-Jacobi y, donde S es la funcionprincipal de Hamilton

S = S(q, P, t)

= S(q1, q2, . . . , qn ; α1, α2, . . . , αn ; t)

con

αi = Pi = cte

8.1. Funcion caracterıstica de Hamilton

Considerese un sistema holonomico cuya configuracion sea descrita porq1, . . . , qn coordenadas generalizadas independientes.

La funcion de Hamilton o hamiltoniano del sistema no depende explıcita-mente del tiempo, y es una constante de movimiento

H = H(q, p) = H(q1, q2, . . . , qn ; p1, p2, . . . , pn) = αn = h (8.1)

siendo h el valor de la integral de Jacobi o integral de energıa.

Teniendo en cuenta los resultados obtenidos para la ecuacion de Hamilton-Jacobi:

∂S

∂t+ H

(q,

∂S

∂q, t

)= 0 (8.2)

Siendo S la funcion principal de Hamilton, la cual cuantitativamente es:

S =

t2∫

t1

L(q, q, t) dt

Si

S = S1(q, Q, t) = G1(q, Q, t) = 0

entonces

∂S

∂t(q, Q = cte = β, t) + H

(q, p =

∂S

∂q, t

)= 0

8.1. FUNCION CARACTERISTICA DE HAMILTON 257

y con ayuda de

Pi = cte = αi = − ∂S

∂Q

∣∣∣∣Qi=βi=cte

entonces

q = q(α, β, t)

O equivalentemente. Si

S = S(q, P, t) = G2(q, P, t)

entonces

∂S

∂t(q, P = cte = α, t) + H

(q, p =

∂S

∂q, t

)= 0

y con ayuda de

Qi = cte = βi =∂S

∂Pi

∣∣∣∣Pi=αi=cte

luego

q = q(α, β, t)

Remplazando (8.1) en (8.2) se obtiene:

∂S

∂t= −H = −αn (8.3)

ecuacion que sugiere que S puede tomarse como funcion lineal del tiempo,esto es:

S(q, α, t) = −αnt + W (q, α)

o explıcitamente

S(q1, q2, . . . , qn ; α1, α2, . . . , αn ; t) = −αnt

+ W (q1, q2, . . . , qn ; α1, α2, . . . , αn ; t) (8.4)


La funcion W (q, α) que no depende explıcitamente del tiempo se conocecomo funcion caracterıstica de Hamilton.Se observa de (8.4) que:

∂S

∂αi=

∂W

∂αii = 1, 2, . . . , n − 1 (8.5)

∂S

∂αn=

∂W

∂αn− t (8.6)

∂S

∂qi=

∂W

∂qii = 1, 2, . . . , n (8.7)

Teniendo en cuenta (8.7) se observa que (8.2) se reduce a

H

(q,

∂W

∂q

)= αn

o explıcitamente

H

(q1, q2, . . . , qn ;

∂W

∂q1,

∂W

∂q2, . . . ,

∂W

∂qn

)= αn

esta es la ecuacion de Hamilton-Jacobi modificada.Una solucion completa de esta ecuacion envuelve (n − 1) constantes no

aditivas (α1, α2, . . . , αn−1) mas la constante de energıa αn.Las α son arbitrarias en el sentido que sus valores son determinados por

valores iniciales de las ∂W∂qi

, o sea, de los momentos generalizados en unaconfiguracion dada.Ya que

S = S(q, P, t) = G2(q, P, t)

entonces

pi =∂S

∂qi

Qi =∂S

∂Pio βi =

∂S

∂αi

Por lo tanto las ecuaciones (8.5), (8.6) y (8.7) se pueden escribir como:

βi =∂W

∂αii = 1, 2, . . . , n − 1 (8.8)


t + βn =∂W

∂αn(8.9)

pi =∂W

∂qii = 1, 2, . . . , n (8.10)

siendo βn el tiempo inicial t0.Ya que W no es funcion explıcita del tiempo, se observa que (8.8) da el

camino del sistema en el espacio de configuracion sin referencia al tiempo.(8.9) da la relacion del tiempo a la posicion a lo largo del camino.

Ejemplo 8.1.

Estudie la dinamica del sistema de la figura 8.1 haciendo uso del metodo deHamilton-Jacobi.

m

x

k

Figura 8.1. Masa sometida a una fuerza de Hook.

Para el sistema masa-resorte se tiene:

T =1

2mx2

como

p =∂L

∂x= mx

entonces

T =1

2

p2

m

V =1

2kx2


L = T − V =1

2

p2

m− 1

2kx2

El hamiltoniano del sistema es:

H = T + V =p2

2m+

1

2kx2 = α

y este es equivalente a la energıa mecanica total (el sistema es conservativo).Haciendo uso de la ecuacion de Hamilton-Jacobi modificada

H

(q,

∂W

∂q

)= α

1

2m

(∂W

∂x

)2

+1

2kx2 = α

Despejando

∂W

∂x=

√2m

(α − 1

2kx2

)

=

√2mk

(α

k− 1

2x2

)

=√

mk

√2α

k− x2

llamando

ω =

√k

m

entonces

ω2 =k

m

luego

k = mω2

finalmente

mω =√

mk


y

a2 =2α

k=

2α

mω2

a =

√2α

mω2

Por lo tanto

∂W

∂x= mω

√a2 − x2

Se puede integrar y se tiene que la funcion caracterıstica es:

W = W (x, α) = mω

x∫

x0

√a2 − ξ2 dξ (8.11)

donde el lımite mas bajo x0 se elige como

1. Una conveniente constante absoluta (no funcion de las α).

2. Un cero

Luego, la funcion principal se puede escribir como:

S = mω

x∫

x0

√a2 − ξ2 dξ − αt (8.12)

donde

a2 =2α

k=

2α

mω2

La integral de (8.11) y (8.12) no requiere realizarse ahora, para lo que viene.De (8.9) se sabe que:

t − β =∂W

∂α=

∂

∂α

mω

x∫

x0

√2α

mω2− ξ2 dξ

= mω

x∫

x0

1

2

(2α

mω2− ξ2

)−1/2 2

mω2dξ


=1

ω

x∫

x0

(2α

mω2− ξ2

)−1/2

dξ

=1

ω

x∫

x0

dξ√a2 − ξ2

=1

ω

(cos−1 x0

a− cos−1 x

a

)

entonces

ω(t − β) = cos−1 x0

a− cos2 −1

x

a

cos−1 x

a= cos−1 x0

a− ω(t − β)

= −[ω(t − β) − cos−1 x0

a

]

= −[ω(t − β) − φ]

con

cos φ =x0

a=

√mω2

2αx0

entonces

x

a= cos[ω(t − β) − φ] = a cos[ω(t − β) − φ]

Llamando

β = t0

se tiene

x(t) =

√2α

mω2cos[ω(t − t0) − φ]

si las condiciones iniciales son x(t0) = x0 y x(t0) = v0 entonces

α =p2

2m+

1

2kx2 =

1

2mv2

0 +1

2kx2



v0 = ωx0

x0 =v0

ω

ω2 =k

m

Por lo tanto:

α =1

2mω2x2

0 + mω2 v20

ω2=

mω2

2

(x2

0 +v20

ω2

)

ya que

cos φ =x0

a

entonces

sen φ =√

1 − cos2 φ =1

a

√a2 − x2

0 =v0

aω

Por lo tanto:

x(t) = a cos[ω(t − t0) − φ]

= a cos[ω(t − t0)] cos φ + a sen[ω(t − t0)] senφ

= x0 cos[ω(t − t0)] +v0

ωsen[ω(t − t0)]

Este es el resultado obtenido de la solucion directa de la ecuacion de movimien-to de Euler-Lagrange para el sistema masa-resorte.La amplitud de oscilacion en x es

a =

√x2

0 +v20

ω2

Por evaluacion directa de (8.11), la funcion principal de Hamilton da

S = mω

x∫

x0

√a2 − ξ2 dξ − αt

= mω1

2

[ξ√

a2 − ξ2 − a2 cos−1ξ

a

]x

x0

− αt


=mω

2

(x√

a2 − x2 − a2 cos−1 x

a− x0

√a2 − x2

0 + a2 cos−1 x0

a

)− αt

Se puede verificar que

β =∂S

∂α=

∂W

∂a

da

dα− t =

1

ω

(cos−1 x0

a− cos−1 x

a

)− t

o equivalentemente

x(t) = a cos[ω(t − t0) − φ]

La funcion principal de Hamilton S = S(x0, t0 ; x, t) se puede obtener porevaluacion directa, una vez que se conoce la solucion x(t)

S =

t∫

t0

(L) dt =

t∫

t0

(T − V ) dt

=m

2

t∫

t0

(x2 − ω2x2) dt

como

x(t) = −aω sen[ω(t − t0) − φ]

entonces

S = −mω

2sen[ω(t − t0)]

{(x2

0 −v20

ω2

)cos[ω(t − t0)] +

2x0v0

ωsen[ω(t − t0)]

}

Teniendo en cuenta que

x = x0 cos[ω(t − t0)] +v0

ωsen[ω(t − t0)]

o sea

v0

ω=

x − x0 cos[ω(t − t0)]

sen[ω(t − t0)]

se obtiene

S =1

2mω(x2 + x2

0) cot[ω(t − t0)] − mωxx0 csc[ω(t − t0)]

8.2. SISTEMA CON COORDENADAS CICLICAS 265

Si se supone que x0 asume el papel de α en el desarrollo anterior, se tiene:

β =∂S

∂x0= mωx0 cot[ω(t − t0)] − mωx csc[ω(t − t0)]

entonces

x = x0 cos[ω(t − t0)] +β

mωsen[ω(t − t0)]

Luego

β = mv0

❏

8.2. Sistema con coordenadas cıclicas

8.2.1. Sistema no-conservativo

Supongase que un sistema tiene q1, q2, . . . , qk coordenadas cıclicas. Sesabe que

pi = αi = cte i = 1, 2, . . . , k

y ya que

pi =∂S

∂qi

se puede asumir que la funcion principal tiene la forma:

S(q, α, t) =

k∑

i=1

αiqi + S ′(qk+1, . . . , qn ; α1, . . . , αn ; t)

La ecuacion de Hamilton-Jacobi es en este caso:

∂S ′

∂t+ H

(qk+1, . . . , qn ; α1, . . . , αk ;

∂S ′

∂qk+1

, . . . ,∂S ′

∂qn; t

)= 0


Una vez que S ′ se conoce, la solucion del movimiento del sistema se obtienede:

βi = qi +∂S ′

∂αii = 1, 2, . . . , k

βi =∂S ′

∂αii = k + 1, . . . , n

pi = αi i = k + 1, . . . , n

pi =∂S ′

∂qii = k + 1, . . . , n

donde se nota que

βi = qi0 i = 1, 2, . . . , k

corresponde a la coordenada ignorable.

8.3. Sistema conservativo

Si el sistema es conservativo la funcion principal es

S(q, α, t) =

k∑

i=1

αiqi − αnt + W ′(qk+1, . . . , qn ; α1, . . . , αn)

y la ecuacion de Hamilton-Jacobi modificada es

H

(qk+1, . . . , qn ; α1, . . . , αk ;

∂W ′

∂qk+1

, . . . ,∂W ′

∂qn

)= αn

El movimiento del sistema esta dado por:

βi = qi +∂W ′

∂αii = 1, 2, . . . , k

βi =∂W ′

∂αii = k + 1, . . . , n − 1

t − βn =∂W ′

∂αn

8.3. SISTEMA CONSERVATIVO 267

pi = αi i = 1, 2, . . . , k

pi =∂W ′

∂qii = k + 1, . . . , n

Ejemplo 8.2.

Usar el metodo de Hamilton-Jacobi para estudiar el problema de Kepler.Suponga que la partıcula de masa unidad es atraıda por una fuerza grav-itacional inverso del cuadrado a un punto 0 (figura 8.2). La posicion de lapartıcula esta dada en terminos de coordenadas polares (r, θ) medido en elplano de la orbita.

b

0

m = 1

r

θ

Figura 8.2. Partıcula atraıda por una fuerza gravitacional inverso del cuadrado aun punto 0.

Las energıas y el lagrangiano son

T =1

2(r + r2θ2)

V = −µ

r

L = T − V =1

2(r + r2θ2) +

µ

r

El hamiltoniano del sistema es

H = T + V =1

2(r + r2θ2) − µ

r

como

pr =∂L

∂r= r


y

pθ =∂L

∂θ= r2θ

entonces

H =1

2

(p2

r +p2

θ

r2

)− µ

r= αt = cte

Luego, la funcion principal es:

S = −αtt + αθθ + W ′(r, αt, αθ)

La ecuacion de Hamilton-Jacobi es:

1

2

(∂W ′

∂r

)2

+α2

θ

2r2− µ

r= αt

y se obtiene

∂W ′

∂r=

√

2αt +2µ

r− α2

θ

r2

W ′ =

r∫

r0

√

2αt +2µ

r− α2

θ

r2dr

Haciendo uso de

t − βn =∂W ′

∂αn

se tiene:

t − β = t − t0 =∂W ′

∂αt=

r∫

r0

dr√2αt +

2µ

r− α2

θ

r2

De forma similar

βi = qi +∂W ′

∂αii = 1, 2, . . . , k

8.3. SISTEMA CONSERVATIVO 269

θ − θ0 =∂W ′

∂αθ=

r∫

r0

dr√2αtr2 + 2µr − α2

θ

Para θ0 = 0 se obtiene:

θ = cos−1

α2

θ − µr

r√

µ2 + 2αtα2θ

y se puede solucionar para r

r =α2

θ/µ

1 +√

1 + (2αtα2θ)/µ

2 cos θ

identificando

ǫ =

√

1 +2αtα

2θ

µ2

se tiene:

r =α2

θ/µ

1 + ǫ cos θ

❏

Capıtulo 9

Variables angulares y deaccion para sistemasperiodicos

En el estudio de los sistemas periodicos, en muchas oportunidades resultamas interesante el estudio de las frecuencias del movimiento mas que losdetalles de las orbitas.

El metodo de las variables angulares y de accion, una variante del metodode Hamilton-Jacobi, permite el estudio de sistemas periodicos al introducirmas constantes Ji adecuadamente definidas llamadas variables de accion, envez de los momentos asociados a las coordenadas cıclicas.

9.1. Sistemas con un grado de libertad

Considerese un sistema conservativo de un grado de libertad. El hamil-toniano del sistema se identifica con la energıa mecanica total, la cual es unaconstante de movimiento.

H = H(q, p) = α1 (9.1)

Se observa de (9.1) que en principio es posible despejar el momento enterminos de α1 y de q, o sea:

p = p(q, α1) (9.2)

para obtener la ecuacion de la orbita descrita por un punto figurativo delespacio fasico bidimensional del sistema.

271

272 CAPITULO 9. Variables angulares y de accion para sistemas periodicos

Ejemplo 9.1.

Pendulo simple (figura 9.1). Tomando la energıa potencial cero en la posicionde equilibrio.

b

l cos θ

v = ωr = θl

m

lθ


Las energıas y el lagrangiano son:

T =1

2mv2 =

1

2m(lθ)2 =

1

2ml2θ2

V = −mgl cos θ

L = T − V =1

2ml2θ2 + mgl cos θ

como

pθ =∂L

∂θ= ml2θ

entonces

θ =1

ml2pθ

y

T =1

2

p2θ

ml2

Al ser este un sistema conservativo

H = T + V =1

2ml2p2

θ − mgl cos θ = α1

9.1. SISTEMAS CON UN GRADO DE LIBERTAD 273

Despejando pθ se obtiene

pθ = ±√

2ml2[α1 + mgl cos θ]

Si α1 < mgl, entonces el movimiento fasico es posible para θ < θ ′.

α1 + mgl cos θ ′ = 0

entonces

mgl cos θ ′ = −α1

luego

cos θ ′ = − α1

mgl

el pendulo oscila entre −θ ′ < θ < θ ′ (Movimiento oscilatorio o de “li-bracion”).

bb

b

b

√2ml2α1

−√

2ml2α1

θ ′−θ ′

pθ

θ

curva 1

(a)

bb

θ ′θ ′

(b)

Figura 9.2. Movimiento oscilatorio.

Si α1 = mgl entonces el movimiento fasico es posible para todos losvalores de Q. El pendulo tiene tanta energıa que puede llegar a la posicionvertical θ = π y en consecuencia se encuentra en posicion de equilibrioinestable. Cualquier pequena perturbacion le permitirıa seguir a lo largo dela curva 2 o pasar a la 2 ′ mostradas en la figura 9.3 (esto es caer).

Si α1 > mgl entonces el movimiento fasico es posible para todos losvalores de θ. El pendulo tiene tanta energıa que puede sobrepasar la posicionvertical θ = π y en consecuencia el pendulo gira (movimiento de rotacion)figura 9.4.


θ

pθ

curva 2

curva 2 ′

π

(a)

b

b

b

θ = π

θ = 0

(b)

Figura 9.3. Movimiento fasico posible para todos los valores de θ.

θ

pθ

π

curva 3

(a)

b

b

b

(b)

Figura 9.4. Movimiento de rotacion

Para cualquiera de los dos tipos de movimiento periodico, se puede in-troducir una nueva variable J , destinada a sustituir a α1 en su papel deconstante de movimiento transformada

α1 → J

J se conoce como variable de accion y se define en la forma:

J =

∮p dq

esta tiene dimensiones de momento angular o cinetico y se integra sobre unperiodo de oscilacion o rotacion.


El nombre de J se origina en el principio de mınima accion

∆

t2∫

t1

piqi dt = 0

De (9.1) se concluye que

α1 = H(J) (9.3)

Se tenıa que la funcion principal de Hamilton, para un sistema conservativode un grado de libertad es

S(q, α1, t) = −α1t + W (q, α1)

donde W (q, α1) es la funcion caracterıstica de Hamilton. Siendo valido que

p =∂W

∂q(9.4)

y

t + β1 =∂W

∂α1(9.5)

Ya que

α1es reemplazado por−−−−−−−−−−−−→ J

entonces

W (q, α1)es reemplazado por−−−−−−−−−−−−→ W (q, J) (9.6)

Ya que J esta asociada con una cantidad conservada, entonces su coordenadageneralizada conjugada, se define como:

ω =∂W

∂J= ω(q, j) (9.7)

esta es una variable de accion y ya que (ω, J) son variables conjugadascanonicas, entonces la ecuacion de movimiento de ω es:

ω =∂H(J)

∂J= ν(J) (9.8)


cuya solucion es:

ω = νt + β1 (9.9)

y como puede verse tiene la forma de (9.5)

νt + β1 =∂W

∂J

Se podrıa de (9.7) obtener q = q(W, J) y con ayuda de (9.9) ω = νt + β,tener finalmente q = q(t).

Pero si se hace este procedimiento, las variables accion-angulo no ten-drıan ningun tipo de ventaja sobre estos otros metodos. Su ventaja esta enla interpretacion fısica que se le puede dar a ν.

¿Que cambio tendrıa ω cuando q describe un periodo completo de os-cilacion o rotacion? Este cambio ∆ω vendrıa dado por:

∆ω =

∮∂ω

∂qdq (9.10)

y teniendo en cuenta que ω = ∂W∂J lo anterior es equivalente a

∆ω =

∮∂

∂q

(∂W

∂J

)dq

ya que la integral es sobre dq, se puede sacar la derivacion ∂∂J de la integral

∆ω =∂

∂J

∮∂W

∂qdq

Teniendo en cuenta (9.4), se tiene

∆ω =∂

∂J

∮p dq =

∂

∂J(J) = 1 (9.11)

Es decir (9.11) dice que cuando q describe un periodo completo ω varıa enuno. De (9.9) se deduce que si τ es el periodo para un ciclo completo, estoes τ = t1 − t0, entonces

ω(t0) = νt0 + β1

ω(t1) = νt1 + β1


luego

∆ω = ν(t1 − t0)

∆ω = ντ

y por (9.11):

∆ω = ντ = 1

o sea, ν se puede identificar con el inverso del periodo

ν =1

τ(9.12)

o sea, es la frecuencia del movimiento periodico de q.Se concluye que la tecnica de las variables accion-angulo es una poderosa

herramienta para la obtencion de la frecuencia de un movimiento periodicosin necesidad de hallar una solucion completa del movimiento del sistema. ❏

Ejemplo 9.2.

Sistema masa-resorte (oscilador armonico unidimensional) figura 9.5.

m

x

k

Figura 9.5. Sistema masa-resorte.

Las energıas y el hamiltoniano son:

T =1

2mx2

como

p =∂T

∂x= mx


entonces

T =1

2

p2

m

V =1

2kx2

H = T + V =p2

2m+

1

2kx2 = α1

Ademas

p2 = 2mα1 − mkx2

con

ω2 =k

m

m2ω2 = mk

entonces

p =√

2mα1 − m2ω2x2

La variable de accion es:

J =

∮p dq =

∮ √2mα1 − m2ω2x2 dx

Con el cambio de variable

x =

√2α1

mω2sen θ

dx =

√2α1

mω2cos θ dθ

entonces

x2 =2α1

mω2sen2 θ


y

m2ω2x2 = 2α1m sen2 θ

por lo tanto

J =

2π∫

0

√2mα1 − 2α1m sen2 θ

√2α1

mω2cos θ dθ

=√

2mα1

√2α1

mω2

2π∫

0

√1 − sen2 θ cos θ dθ

=2α1

ω

2π∫

0

cos2 θ dθ

=2πα1

ω

de donde se obtiene que

α1 =Jω

2π≡ H = E

A partir de (9.8) se obtiene que:

ν =∂H

∂J=

ω

2π=

1

2π

√k

m

y como se habıa obtenido, la solucion dinamica al problema del osciladorarmonico era:

x(t) =

√2α

mω2cos[ω(t − t0) − φ]

x(t) = −√

2α

mω2sen[ω(t − t0) − φ]

p(t) = mx(t) = −√

2α

mω2mω sen[ω(t − t0) − φ]


con

cos φ =x0

a

y

a2 =2α1

mω2

ya que estamos considerando el caso de un periodo t − t0 = 2π y teniendox0 = a, o sea φ = 0

x =

√2α

mω2cos(2πω)


2α

mω2=

2

mω2

Jω

2π=

J

πmω

entonces:

x =

√J

πmωcos(2πω)

p = −√

Jmω

πsen(2πω)

❏

9.2. Variables angulares y de accion para sistemasmulti-periodicos

9.2.1. Sistemas con n grados de libertad: completamente sep-arables

Restringiendonos al caso de sistemas conservativos

H = H(q, p) = H(q1, q2, . . . , qn ; p1, p2, . . . , pn) = αn (9.13)

9.2. Variables angulares y de accion para sistemas multi-periodicos 281

La funcion principal de Hamilton de este sistema es:

S(q1, q2, . . . , qn ; α1, α2, . . . , αn ; t) = −αnt+

W (q1, q2, . . . , qn ; α1, α2, . . . , αn)

siendo

W (q1, q2, . . . , qn ; α1, α2, . . . , αn)

la funcion caracterıstica de Hamilton, que satisface:

pi =∂W

∂qii = 1, 2, . . . , n − 1

t + βn =∂W

∂αn

βi =∂W

∂αii = 1, 2, . . . , n − 1

(9.14)

Si el sistema es completamente separable se cumple que:

pi =∂Wi

∂qi(qi ; α1, α2, . . . , αn) (9.15)

o sea que cada pi es funcion de qi y n constantes de integracion αj

pi = pi(qi ; α1, α2, . . . , αn) (9.16)

esta es la ecuacion de la orbita descrita por un punto figurativo del espaciode fase 2n-dimensional del sistema.Lo anterior significa que este sistema satisface

W (q1, q2, . . . , qn ; α1, α2, . . . , αn) =

n∑

i=1

Wi(qi ; α1, α2, . . . , αn) (9.17)

Se pueden definir las variables de accion-angulo para todas las parejas devariables (qi, pi) ya sea que estas describan orbitas cerradas (movimientooscilatorio) o funciones periodicas de qi (rotaciones, o sea orbitas abiertas).

Las variables de accion-angulo presentan la ventaja de llevar a la eval-uacion de todas las frecuencias que intervienen en un movimiento multi-plemente periodico sin necesitar de una solucion completa del movimien-to. Por ejemplo, en un oscilador armonico tridimensional las frecuencias


de movimiento segun los tres ejes cartesianos pueden ser diferentes. Elmovimiento completo de la partıcula podrıa no ser periodico. Si las fre-cuencias separadas no son fracciones racionales unas de otras, la partıculano describira una curva cerrada en el espacio sino una “figura de Lissajous”abierta.La variable de accion Ji se define como

Ji =

∮pi dqi (9.18)

Si la coordenada qi es cıclica, pi = cte siempre tiene un periodo natural iguala 2π. En consecuencia si la coordenada angulo es cıclica debera calcularsede 0 a 2π y por tanto:

Ji =

2π∫

0

pi dqi = pi

2π∫

0

dqi = 2πpi

ya que

pi =∂Wi(qi ; α1, α2, . . . , αn)

∂qi

entonces

Ji =

∮∂Wi(qi ; α1, α2, . . . , αn)

∂qidqi (9.19)

Expresando

αi → Ji

entonces

Wi(qi ; α1, α2, . . . , αn) → Wi(qi ; J1, J2, . . . , Jn)

y por lo tanto

W = W (q1, . . . , qn ; J1, . . . , Jn) =n∑

j=1

Wj(qj ; J1, . . . , Jn) (9.20)

y

H = αn = H(J1, J2, . . . , Jn) (9.21)


Las variables angulo ωi conjugadas a Ji se definen como:

ωi =∂W

∂Ji=

n∑

j=1

∂Wj(qj ; J1, J2, . . . , Jn)

∂Ji(9.22)

y sus ecuaciones de movimiento son

ωi =∂H(J1, J2, . . . , Jn)

∂Ji= νi(J1, J2, . . . , Jn) (9.23)

y sus soluciones

ωi = νit + βi (9.24)

Una variacion infinitesimal de qi → q ′

i = qi + δqi da lugar a una variacionδωi en la variable angular ωi, ası

δωi =n∑

j=1

∂ωi

∂qjdqj =

n∑

j=1

∂

∂qj

∂W

∂Jidqj (9.25)

Al igual que en el caso unidimensional

δωi =∂

∂Ji

n∑

j=1

∂W

∂qjdqj =

∂

∂Ji

n∑

j=1

pj(qj ; J1, . . . , Jn)

y δωi corresponde a la contribucion independiente proveniente de un cambiode qj.El cambio total de ωi teniendo en cuenta lo anterior es:

∆ωi =

n∑

j=1

∂

∂Ji

∮

mj

pj(qj ; J1, . . . , Jn) dqj =

n∑

j=1

∂

∂JimjJj =

n∑

j=1

δijmj

(9.26)

Como las J son independientes entonces:

∆ωi = mi (9.27)

En forma vectorial

∆ω = m

Si alguna qj no efectuara un numero completo de ciclos, en la integracionsobre qj quedarıa un resto de integral sobre una fraccion de ciclo y ∆ω notendrıa un valor entero.


9.2.2. Caso oscilatorio (“de libracion”)

Supongase primero el caso que qj y pj son funciones periodicas del tiem-po, con periodo Tj , esto es:

qj(t) = qj(t + nTj)

pj(t) = pj(t + nTj)

con n entero.

En este caso el movimiento es oscilatorio (de “libracion”)

9.2.3. Caso rotacional

Ahora considerese el otro caso. pj es una funcion periodica de qj. En estecaso el movimiento es rotacional y la integral en (9.27) se toma sobre esteperiodo.

Como el sistema es separable, entonces, llamando W ′ la funcion deHamilton para el movimiento rotacional:

W ′(q1, . . . , qn ; J1, . . . , Jn) =

n∑

j=1

W ′

j (qj ; J1, . . . , Jn)

Durante el movimiento del sistema, la Jj definidas como:

Jj =

∮pj dqj

permanecen constantes, ası que los cambios en las variables angulares ωj

surgen solamente de los cambios de las coordenadas qk:

dωj =

n∑

k=1

∂ωj

∂qk

dqk =

n∑

k=1

∂

∂qk

∂W ′

∂Jjdqk

=

n∑

k=1

∂

∂Jjpk dqk =

n∑

k=1

∂pk

∂Jiqk dt (9.28)

y teniendo en cuenta (9.24), entonces:

dωj = νj dt (9.29)


y comparando (9.28) con (9.29) se tiene:

νj =

n∑

k=1

∂pk

∂Jjqk (9.30)

dando una expresion para las frecuencias del movimiento que puede sercalculadas si W ′ se conoce como funcion de las q y las J .

Si las frecuencias son conmensurables, el sistema volvera a su estadoinicial despues de algun tiempo finito T , donde:

T = njTj (9.31)

con nj enteros.Si se integra

dωj =

n∑

k=1

∂

∂Jjpk dqk

sobre un periodo completo, entonces se obtiene el cambio total de ωj

∆ωj =

T∫

t=0

dωj =∂

∂Jj

n∑

k=1

T∫

t=0

pk dqk

=∂

∂Jj

n∑

k=1

nkJk

= nj (9.32)

y comparando con el resultado obtenido de (9.24), o sea

ωj = νjt + βj

entonces

ωj(t = 0) = βj

ωj(t = T ) = νjT + βj

por lo cual

∆ωj = νjT


y por (9.31) se tiene

∆ωj = νjnjTj (9.33)

comparando (9.32) con (9.33) se obtiene:

νjnjTj = nj (9.34)

y por lo tanto concluye que

νjTj = 1

y νj es la frecuencia con la cual el movimiento del grado de libertad j-esimose repite en un intervalo de tiempo Tj.

La condicion formal de conmensurabilidad es que existan n−1 relacionesde la forma:

n∑

j=1

njνj = 0 (9.35)

Resolviendo estas ecuaciones se puede expresar cualquier νj como una frac-cion racional de cualquiera de las otras frecuencias. Cuando entre las fre-cuencias fundamentales existen solo m relaciones de tipo (9.35) el sistemase dice que es m veces degenerado. Si en el sistema m = n− 1 con lo que elmovimiento es simplemente periodico, el sistema es completamente degen-erado. Si la orbita del sistema es cerrada el movimiento sera completamentedegenerado.

Si las frecuencias no son conmensurables, estrictamente hablando T esinfinito, es decir el sistema no retornara a su estado inicial. Sin embargopara un T grande, el sistema retornara a un estado que es arbitrariamentecercano al estado de partida, ası que en este caso (9.32) contiene un errorque puede hacerse tan pequeno como se quiere.Se tenıa que

W ′ = W ′(q1, . . . , qn ; J1, . . . , Jn) =

n∑

i=1

W ′

i (qi ; J1, . . . , Jn)

ya que las Jj son constantes, entonces

dW ′ =

n∑

k=1

∂W ′

∂qk

dqk =

n∑

k=1

∂W ′

k(qk;J)

∂qk

dqk =

n∑

k=1

pk dqq (9.36)


Por lo tanto se puede concluir que

W ′ =

n∑

k=1

∫pk dqk (9.37)

Ya que el sistema no vuelve a su estado inicial entonces:

∆ωj =

T∫

t=0

dωj =∂

∂Jj

T∫

t=0

n∑

k=1

∂W ′

∂qk

dqk =∂

∂Jj

T∫

t=0

n∑

k=1

pk dqk

=∂

∂Jj

n∑

k=1

∫pk dqk =

∂

∂Jj

n∑

k=1

nkJk = nj (9.38)

contiene un error que puede ser hecho tan pequeno como se quiera.En este caso la funcion W ′ no esta completamente definida como una

funcion de las qk. Cada uno de los terminos de la suma en (9.37) esta definidounicamente cuando se define el tiempo sobre el que la integracion se extiende.Puesto que la variable de accion esta definida como:

Jk =

∮∂Wk(qk ; α1, . . . , αn)

∂qk

dqk

entonces cuando qk efectua un ciclo completo, es decir cuando ωk varıa enuna unidad, la funcion caracterıstica aumenta en Jk.

Se deduce luego que durante un periodo completo T del sistema, la fun-cion W ′ se incrementa en una cantidad

∆W ′ =

n∑

k=1

nkJk (9.39)

aun despues de que todas las q y p hayan retornado a sus valores iniciales.Definiendo la funcion generatriz alternativa W por:

W = W ′ −n∑

k=1

Jkωk (9.40)

Durante el tiempo T esta funcion se incrementa en:

∆W = ∆W ′ −n∑

k=1

Jk∆ωk (9.41)


pero ya que por(9.38) ∆ωk = nk, entonces:

∆W = ∆W ′ −n∑

k=1

Jknk = 0

teniendo en cuenta (9.39). Se observa que (9.40) define una transforma-cion de Legendre que lleva de la base q, J a la base q, ω. Es decir ya queW ′ = W ′(q, J), es decir funcion generatriz de la forma G2(q, P ), entoncesW (q, ω) es funcion generatriz de tipo G1(q, Q), pasando en ambos casos delas variables (q, p) a la variables (ω, J).

La ambiguedad en W ′ como funcion de qk revela el hecho de que W ′ esfuncion multi-periodica. Si el k-esimo termino en:

W ′ =n∑

k=1

∫pk dqk

se toma sobre mk periodos extras del movimiento de qk, y en el mismo tiempoωk en

W = W ′ −∑

k

Jkωk

es remplazado por

ωk + mk

el valor de la funcion W no se altera, esto es:

W (qk, ωk) = W (qk, ωk + mk)

con mk entero.Ya que esto es valido para cualquier valor de k, W (qk, ωk) es en este

sentido funcion multi-periodica en ωk con periodo fundamental la unidad.

Ejemplo 9.3.

Movimiento central: Una partıcula se mueve en un campo de fuerza centralfijo, cuyo potencial es V (r) (figura 9.6).La energıa cinetica y el lagrangiano son

T =1

2µv2 =

1

2µ(r2 + r2θ2 + r2φ2 sen2 θ)


x

z

y

b

θ

φ

r

µ

Figura 9.6. Partıcula moviendose en un campo de fuerza central.

L =1

2µ(r2 + r2θ2 + r2φ2 sen2 θ)− V

como

pr =∂L

∂r= µr

pθ =∂L

∂θ= µr2θ

pφ =∂L

∂φ= µr2φ sen2 θ

Entonces el hamiltoniano es

H = T + V =1

2µ

(p2

r +pθ2

r2+ csc2θ

pφ

r2

)+ V

ya que H 6= H(t) entonces (sistema conservativo):

1

2µ

[(∂W ′

∂r

)2

+1

r2

(∂W ′

∂θ

)2

+1

r2csc2θ

(∂W ′

∂φ

)2]

+ V = α3

con

W ′ = W ′(r, θ, φ, α1, α2, α3)


La ecuacion de Hamilton-Jacobi es separable si:

W ′ = W ′

r (r) + W ′

θ (θ) + W ′

φ

y por tanto se tiene:

(dW ′

r

dr

)2

+1

r2

(dWθ

dθ

)2

+1

r2csc2θ

(dW ′

φ

dφ

)2

= 2µ(α3 − V )

o:

r2 sen2 θ

[2µ(α3 − V ) −

(dW ′

r

dr

)2

− 1

r2

(W ′

θ

dθ

)2]

=

(dW ′

φ

dφ

)2

Luego

dW ′

φ

dφ= pφ = m = α1

y entonces

(dW ′

θ

dθ

)2

+ m2csc2θ = 2r2µ(α3 − V ) − r2

(dW ′

r

dr

)2

y por lo tanto

(dW ′

θ

dθ

)2

+ m2csc2θ = l2 = α22

luego

(dW ′

θ

dθ

)2

= l2 − m2csc2θ

con esto se tiene

pθ =∂W ′

θ

∂θ= (l2 − m2csc2θ)1/2

y por lo tanto

pr =∂W ′

r

∂r=

[2µ(α3 − V ) − l2

r2

]1/2


Los tri-momentos estan dados explıcitamente como funciones de r, θ, φ ylas tres constantes m, l, α3 y entonces

W ′ =

∫( pr dr + pθ dθ + pφ dφ)

y

β + t =∂W ′

∂α3=

∂W ′

r

∂α3= µ

∫ [2µ(α3 − V ) − l2

r2

]−1/2

dr

β1 =∂W ′

∂m=

∂W ′

φ

∂m+

∂W ′

θ

∂m

= φ − m

∫csc2θ(l2 − m2csc2θ)−1/2 dθ

β2 =∂W

∂l=

∂Wθ

∂l+

∂Wr

∂l

= l

∫(l2 − m2csc2θ)−1/2 dθ − l

∫1

r2

[2µ(α3 − V ) − l2

r2

]−1/2

dr

La evaluacion de estas integrales se facilita escogiendo los ejes de tal maneraque si m = 0 el problema es de dos grados de libertad

φ = β1 = cte

Luego

β + t =(µ

2

)1/2I1

y

θ − β2 =l

(2µ)1/2I2

con

I1 =

∫(α3 − V ∗)−1/2 dr


y

I2 =

∫1

r2(α3 − V ∗)−1/2 dr

Si la orientacion de los ejes es arbitraria m 6= 0 (3 grados de libertas) en-tonces:

m = pφ

l = (m2csc2θ + p2θ)

1/2

luego

(l2 − m2

sen2 θ

)1/2

= pθ

α3 =1

2µ

(p2

r +l2

r2

)+ V =

p2r

2µ+ V ∗

Las variables de accion se evaluan

Jφ =

∮pφ dφ = m

∮dφ = m

2π∫

0

dφ = 2πm

la condicion para que pθ sea real es tal que

| sen θ | >m

l

m 6 l

entonces

Jθ =

∮pθ dθ =

∮(l2 − m2csc2θ)1/2 dθ

siendo

θmin = sen−1(m

l

)

θmax = π − θmin


entonces

Jθ = 2

θmax∫

θmin

(l2 − m2csc2θ)1/2 dθ

= 4l

π/2∫

θmin

(1 − m2

l2csc2θ

)1/2

dθ

= 4l

π/2∫

θmin

(l2 sen2 θ − m2

l2 sen2 θ

)1/2

dθ

haciendo

sen2 θ = U

dU = 2 sen θ cos φdθ

entonces

dθ =dU

2 sen θ cos θ=

1

2

dU

U1/2(1 − U)1/2

la integral queda de la siguiente forma

Jθ = 2

1∫

m2/l2

(l2U − m2

1 − U

)1/2dU

U= 2π(l − m)

finalmente

Jr =

∮pr dr =

∮ [2µ(α3 − V ) − l2

r2

]1/2

dr

con

V =k

r

la condicion para que desaparezca el integrando es:

2µ(α3 − V ) − l2

r2= 0


esto es

2µ

(α3 −

k

r

)− l2

r2= 0

luego

2µα3r2 − 2µkr − l2 = 0

con esto de tiene

r =2µk ±

√4µ2k2 + 8µαsl2

4µα3

entonces rmin y rmax son

r± =k

2α3

[1 ±

(1 +

2α3l2

µk2

)1/2]

con lo anterior se tiene

Jr = 2

rmax∫

rmin

[2µ

(α2 −

k

r

)− l2

r2

]1/2

dr

= −2πl +

[2πµk

(−2µα3)1/2

]

Jr + 2πl =2πµk

(−2µα3)1/2

luego

Jr + 2π(l − m) + 2πm =2πµk

(−2µα3)1/2

con esto

Jr + Jθ + Jφ =2πµk

(−2µα3)1/2


y

(Jr + Jθ + Jφ)2 =4π2µ2k2

−2µα3

por lo tanto

α3 = − 2π2µk2

(Jr + Jθ + Jφ)2= H

Luego las frecuencias son:

νr =∂H

∂Jr= −2π2µk2 ∂

∂Jr(Jr + Jθ + Jφ)2

=(−2)(−2π2µk2)

(Jr + Jθ + Jφ)3=

4π2µk2

(Jr + Jθ + Jφ)3

=

(2

µ

)1/2 (−α3)3/2

πk

νθ =∂H

∂Jθ=

(2

µ

)1/2 (−α3)3/2

πk

νθ =∂H

∂Jφ=

(2

µ

)1/2 (−α3)3/2

πk

y en general

νi =

(2

µ

)1/2 (−α3)3/2

πk(9.42)

La orbita es cerrada en el caso considerado aquı, y las frecuencias de movimien-to de r, θ, φ son identicas (frecuencias degeneradas).

La degeneracion νθ = νφ es consecuencia general de la naturaleza de lafuerza central. El caso νr = νθ = νφ es consecuencia de la forma particularde V (r) = k

r . ❏


9.3. Atomo de hidrogeno

Como aplicacion de los resultados anteriores, considerese el caso de unacarga −e moviendose en el campo de un nucleo de carga Ze (figura 9.7).

b

Ze

−e

Figura 9.7. Atomo de hidrogeno.

El potencial es:

V (r) = −Ze2

r

o sea

k = −Ze2

segun el tratamiento que se ha hecho:

α3 = E = − 2π2µk2

(Jr + Jθ + Jφ)2= − 2π2µZ2e4

(Jr + Jθ + Jφ)2

Fue postulado por Bohr y Sommerfeld que las variables de accion no sonarbitrarias, sino que toman valores:

Jr = nrh

Jθ = nθh

Jφ = nφh

o sea se encuentran cuantizadas, ya que nr, nθ y nφ son numeros enteros yh es la constante de Planck h = 6,6261 × 10−34 Js. Entonces la energıa delatomo de hidrogeno es:

α3 = E = − 2π2µZ2e4

(nr + nθ + nφ)2h2= −2π2µZ2e4

n2h2

9.3. ATOMO DE HIDROGENO 297

E1

E2

E3

Figura 9.8. Niveles de energıa del atomo de hidrogeno en el modelo de Bohr.

E = −µZ2e4

2n2~2n = 1, 2, . . . , ∞

con

~ =h

2π

Con la condicion E = hν (significa que la energıa de los fotones se encuentra

b

b n1, E1

n2, E2

ν

Figura 9.9. Emision de un foton con E = hν.

cuantizada), la frecuencia del foton emitido es:

E2 − E1 = −µZ2e4

2n22~

2+

µZ2e4

2n21~2

=µZ2e4

2~2

[1

n21

− 1

n22

]

ν =µZ2e4

4π~3

[1

n21

− 1

n22

]

Para n1 = n ≫ 1 y n2 = n+1, o sea un nivel de energıa de la capa exterior,la frecuencia asociada con el cambio de un nivel a otro es:

ν =µZ2e4

4π~3

[1

n2− 1

(n + 1)2

]


=µZ2e4

4π~3

[2n + 1

n2(n + 1)2

]

para n ≫ 1 se tiene

2n + 1

n2(n + 1)2=

2n(1 + 1

2n

)

n2n2(1 + 1

n

)2 =2n

n4=

2

n3

con lo que la frecuencia es:

ν =µZ2e4

4π~3

2

n3

y teniendo en cuenta

E = −µZ2e4

2n2~2

se tiene

ν =

(2

µ

)1/2 (−E)3/2

πZ2e2

y esta ultima ecuacion es igual a (9.42).Ası, en el lımite de un numero cuantico grande (lımite clasico) la frecuen-

cia de la luz emitida cuando n cambia en una unidad es la misma frecuenciaque tiene el electron en su orbita. Este resultado es un caso particular delprincipio de correspondencia de Bohr.

9.4. Atomo de Bohr

MRn = mrn

luego

Rn =mrn

M(9.43)

El momento angular del sistema es:

mωnr2n + MωnR2

n = n~ (9.44)

9.4. ATOMO DE BOHR 299

b

bM

m

v = ωnrn

v = ωnRn

rn

Rn

Figura 9.10. Atomo de Bohr.

La fuerza sobre el electron es:

F =Ze2

(rn + Rn)2= mac = mrnω2

n (9.45)

remplazando (9.43) en (9.44) se tiene:

mωnr2n

(1 +

m

M

)= n~ (9.46)

o

m2ω2nr4

n =n2

~2

(1 + m

M

)2 (9.47)

remplazando (9.43) en (9.45):

mω2nrn =

Ze2

r2n

(1 + m

M

)2 (9.48)

o

mω2nr3

n =Ze2

(1 + m

M

)2 (9.49)

Dividiendo (9.47) en (9.49) se tiene:

mrn =n2

~2

Ze2


con lo que el radio de la orbita es

rn =n2

~2

mZe2= a0

n2

Z(9.50)

siendo

a0 =~

2

me2= 5,29177 × 10−19 cm

el radio de Bohr.La energıa del sistema es:

E = T + V

=1

2mv2

e +1

2Mv2

N + V (r)

=1

2mω2

nr2n +

1

2Mω2

nR2n − Ze2

rn + Rn

remplazando Rn por (9.43)

E =mω2

nr2n

2

(1 +

m

M

)− Ze2

rn

(1 + m

M

)

De (9.48) se observa que

mω2nr2

n

2

(1 +

m

M

)=

Ze2

rn

(1 + m

M

)

entonces

En = − Ze2

rn

(1 + m

M

) =Ze2

2 n2~2

mZe2

(1 + m

M

) = − Z2e4

2n2~2

m

1 + mM

llamando

µ =m

1 + mM

se tiene

En = −µZ2e4

2n2~2

9.5. LAGRANGIANO Y HAMILTONIANO DEL ATOMO DE HIDROGENO 301

9.5. Lagrangiano y hamiltoniano del atomo de

hidrogeno

Del problema del movimiento de los dos cuerpos de masa M y m, inter-actuando a traves de un potencial V (r) se habıa obtenido

L(r, r, R) =1

2MR2 +

1

2µr2 − V (r)

ya que M ≫ m, M = 1836m. Es decir se puede describir el problema comoel del electron sometido a una fuerza central de tipo electrostatico

L =1

2µr2 − Ze2

r

El hamiltoniano es:

H = T + V =p2

2µ+

Ze2

r

Capıtulo 10

Mecanica analıtica relativista

10.1. Dinamica relativista

Las ecuaciones de movimiento de Newton son invariantes bajo trnaforma-ciones galileanas. La segunda ley de Newton para el movimiento de unapartıcula de masa en reposo m0 es

d

dt(m0vi) = Fi , i = 1, 2, 3

Usando el tratamiento relativista, su equivalente es:

d

dτm0Uµ = Fµ , µ = 0, 1, 2, 3

donde Fµ se conoce como fuerza de Minkowski.

se definen algunas cantidades:

El cuadrivector xµ.

xµ = (ict, xi)

τ =√

1 − β2 t

donde

β =v

c

dτ =√

1 − β2 dt

303

304 CAPITULO 10. MECANICA ANALITICA RELATIVISTA

La cuadrivelocidad

Uµ =dxµ

dτ=

(ic

dt

dτ,

dxi

dτ

)= (U0,U )

Uµ ≡(

ic√1 − β2

,v√

1 − β2

)

El cuadrivector velocidad cumple

U2 =

3∑

µ=0

U2µ = U 2

0 +

3∑

i=1

U 2i = − c2

1 − β2+

v2

1 − β2= −c2

La fuerza de Minkowski se expresa como

Fµ =Fi√

1 − β2

Se observa que si v → 0, β → 0, entonces:

Fµ → Fi

volviendo a la segunda ley de Newton

d

dt(m0Ui) = Fi

entonces

d

dt

(m0vi√1 − β2

)= Fµ

√1 − β2

y comparando con

pi =m0vi√1 − β2

Luego, se define el cuadrimomento

pµ = m0Uµ = m0

(ic√

1 − β2,

v√1 − β2

)

10.1. DINAMICA RELATIVISTA 305

pµ =

(ip4 ,

m0v√1 − β2

)= (ip4,p)

con

p4 =m0c√1 − β2

pi = mvi =m0vi√1 − β2

, i = 1, 2, 3

y

m =m0√1 − β2

Luego:

Fi =d

dtpi =

d

dt

(m0vi√1 − β2

)

entonces

F =d

dt

m0v√1 − β2

Fµ =dpµ

dτ

El trabajo hecho por la fuerza F sobre una partıcula es igual a la tasa decambio de la energıa cinetica:

dT

dt= F · v = v · F = v · d

dt

(m0v√1 − β2

)

dT

dt= v

d

dt

(m0v√1 − β2

)= m0

v

(1 − v2/c2)3/2

dv

dt

Integrando esta expresion

T∫

0

dT =

v∫

0

m0

v dv

(1 − v2/c2)3/2


T = m0

c2

(1 − v2/c2)1/2

∣∣∣∣∣

v

0

T =m0c

2

√1 − β2

− m0c2

T = mc2 − m0c2

entonces

E = mc2 = T + m0c2

donde T es la energıa cinetica y m0c2 es la masa en reposo

lımβ→0

T = lımβ→0

m0c2

[1√

1 − v2/c2− 1

]

lımβ→0

T = lımβ→0

m0c2[1 + 1

2v2

c2+ · · · − 1

]⋍

12 m0v

2

p4 =m0c√1 − β2

= mc =E

C

entonces

pµ =(i E

C ,p)

p2 =

4∑

µ=1

p2µ = m2

0v2 = −m2

0c2

luego, p2 es un invariante

p2 = pµ · pµ =(i E

C ,p)·(i E

C ,p)

= −E2

c2+ p2 = −m0c

2

E2 = p2c2 + m20c

4

Se tenıa que:

pi =m0vi√1 − β2

10.1. DINAMICA RELATIVISTA 307

Si L es el lagrangiano de una partıcula y de un cuadripotencial independientede la velocidad, el momento canonico es:

pi =∂L

∂qi=

∂L

∂vi

Se obtiene:

∂L

∂vi=

m0vi√1 − β2

Luego, en la expresion del lagrangiano

L = TR(vi) − V (xi)

entonces

TR = −m0c2√

1 − β2

Ası, el lagrangiano relativista es:

L = −m0c2√

1 − β2 − V (xi)

Las ecuaciones de movimiento de una partıcula simple, seran

d

dt

(∂L

∂x

)− ∂L

∂x= 0

d

dt

(m0vi√1 − β2

)+

∂V

∂x= 0

dpi

dt= Fx

El hamiltoniano, por definicion es:

H =

n∑

i=1

qipi − L

H =3∑

i=1

vim0vi√1 − β2

− (−m0c2√

1 − β2 − V )


H =3∑

i=1

m0v2i√

1 − β2+ m0c

2√

1 − β2 + V

y se observa que es constante

H =m0(x

21 + x2

2 + x23)√

1 − β2+ m0c

2√

1 − β2 + V

H =m0(v

21 + v2

2 + v23) + m0c

2(1 − v2/c2

)√

1 − β2+ V

H =m0c

2

√1 − β2

+ V = mc2 + V = m0c2 + T + V = E = cte

Luego

H = E =√

p2c2 + m0c4 + V

cuando p ≫ m0c

H ⋍ pc

Capıtulo 11

El oscilador amortiguado

El oscilador libre es un caso fısico ideal. En la practica, fuerzas disipativasestan siempre presentes en cualquier sistema.

a xA

k

medio

Figura 11.1. Oscilador amortiguado.

Un ejemplo amortiguado es el movimiento de una partıcula de masa matada a un resorte sin masa en un medio resistente (figura 11.1).

Sea x el desplazamiento de m desde A (posicion de equilibrio), y lalongitud natural a. La fuerza de resistencia es

Fx = −kx

y la fuerza de amortiguamiento esta dada por

Fd = −bx

309

310 CAPITULO 11. EL OSCILADOR AMORTIGUADO

La ecuacion de movimiento es:

mx = −kx − bx

mx + bx + kx = 0

x +b

mx +

k

mx = 0

llamando

2β =b

m

ω20 =

k

m

entonces

x + 2βx + ω20x = 0 (11.1)

Estas ecuaciones de movimiento pueden ser obtenidas del lagrangiano:

L ′ = e(b/m)t

(mx2

2− kx2

2

)

Ecuaciones de movimiento que conducen a

d

dt

(∂L ′

∂x

)− ∂L ′

∂x= 0

∂L

∂x= e(b/m)tmx

entonces

d

dt

(∂L

∂x

)=

b

me(b/m)tmx + e(b/m)tmx

∂L

∂x= −kxe(b/m)t

con esto

bxe(b/m)t + mxe(b/m)t + kxe(b/m)t = 0

311

mx + bx + kx = 0

O equivalentemente, a partir del lagrangiano de oscilador armonico libre

L =mx2

2− kx2

2

y con las ecuaciones de movimiento

d

dt

(∂L

∂x

)− ∂L

∂x= Fd = −∂R

∂x= −bx

mx + kx = −bx

con

R =1

2bx2

La solucion de (11.1) tiene la forma

x = Aeαt

reemplazando en (11.1) se obtiene:

α2 + 2βα + ω20 = 0

Tiene dos raıces

α1 = −β +√

β2 − ω20

α2 = −β −√

β2 − ω20

para β 6= ω0, se tienen dos soluciones independientes.

x1 = Aeα1t

x2 = Aeα2t

y la solucion general:

x(t) = A1x1 + A2x2 = e−βt(A1e√

β2−ω20 t + A2e

−√

β2−ω20 t)

Las constantes A1 y A2 dependen de los valores de las condiciones iniciales(velocidad y posicion).β y ω0 son numeros positivos. Se tienen tres casos de interes


1. Bajo amortiguamiento (movimiento oscilatorio); ω20 > β2.

2. Amortiguamiento crıtico (no oscilatorio); ω20 = β2.

3. Sobre-amortiguamiento (no oscilatorio); ω20 < β2.

Caso 1: ω20 > β2

−A

A

t

x(t)

π 2π 3π

Figura 11.2. Bajo amortiguamiento.

ω21 = ω2

0 − β2

x(t) = e−βt(A1eiω1t + A2e

−iω1t)

Tomando

A1 =1

2Aeiθ

A1 =1

2Ae−iθ

se tiene

x(t) = e−βt A

2[ei(ω1t+θ) + e−i(ω1t+θ)]

313

= e−βt A

2[cos(ω1t + θ) + i sen(ω1t + θ) + cos(ω1t + θ) − i sen(ω1t + θ)]

= e−βtA cos(ω1t + θ)

esta es la ecuacion del movimiento oscilatorio amortiguado.

x(t) = −βAe−βtA cos(ω1t + θ) − ω1e−βtA sen(ω1t + θ)

x2 = −[βAe−βtA cos(ω1t + θ) + ω1e−βtA sen(ω1t + θ)]2

La energıa es (figura 11.3):

E(t) =1

2mx2 +

1

2kx2

=1

2mA2e−2βt

{[β cos(ω1t + θ) + ω1 sen(ω1t + θ)]2 +

k

mcos2(ω1t + θ)

}

︸︷︷︸F (t)

=1

2mA2e−2βtF (t)

con

F (t + T ) = F (t)

τ t

0,368E(0)

E(0)

E(t)

Figura 11.3. Energıa del oscilador armonico amortiguado.


Caso2: ω20 = β2

mx + 2βx + ω20x = 0

mx + 2βx + β2x = 0

(d

dt+ β

)(d

dt+ β

)x = 0

Llamando

t

x(t)

BA > 2m

b

BA = 2m

b

BA < 2m

b

t = −BA + 2m

b

Figura 11.4. Trayectoria en el caso de amortiguamiento crıtico.

y =

(d

dt+ β

)x

se tiene(

d

dt+ β

)y = 0

entonces

y = Ae−βt

con esto(

d

dt+ β

)x = Ae−βt

315

(d

dt+ β

)xeβt = A

d

dt(xeβt) = A

obteniendose

xeβt = At + B

luego

x = (At + B)e−βt

La grafica en funcion del tiempo para este caso se muestra en la figura 11.4

Caso 3: ω20 < β2

Llamando

ω2 = β2 − ω20 > 0

se tiene

x(t) = e−βt(A1eω2t + e−ω2t)

En la figura 11.6 se resume los tres casos te amortiguamiento vistos anteri-ormente.


t

x(t)

Figura 11.5. Trayectoria en el caso de sobre-amortiguamiento.

t

x(t)

(1)

(2)

(3)

x0

(1) Bajo amortiguamiento

(2) Amortiguamiento crıtico

(2) Sobre-amortiguamiento

Figura 11.6. Casos de amortiguamiento.

Capıtulo 12

Oscilaciones no-lineales

Los sistemas oscilatorios son lineales si la fuerza de restauracion es unafuncion lineal del desplazamiento

x(t)

t

Figura 12.1. Sistema oscilatorio lineal.

Fr = −kx

y si la fuerza de amortiguamiento es una funcion lineal de la velocidad

Fd = −bx

y sus soluciones pueden encontrarse analıticamente (ver figura 12.2).Sin embargo, si la fuerza de restauracion no tiene dependencia en el

desplazamiento o si la fuerza de amortiguacion no es lineal en la velocidad,entonces el movimiento alrededor de un punto de equilibrio estable ya nosera armonico aun si el movimiento resultante es periodico. En este caso elmovimiento sera armonico o no-lineal.

En el caso de una dimension, la ecuacion general de movimiento para unsistema de este tipo, es una ecuacion diferencial no-lineal de la forma:

mx + g(x) + f(x) = 0 (12.1)

317

318 CAPITULO 12. OSCILACIONES NO-LINEALES

t

x(t)

(1)

(2)

(3)

x0

(1) Bajo amortiguamiento

(2) Amortiguamiento crıtico

(2) Sobre-amortiguamiento

Figura 12.2. Sistema amortiguado.

donde f(x) y g(x) son funciones no-lineales en x y x respectivamente.

Las oscilaciones no-lineales son importantes en expansion termica y con-ductividad termica en la red, en solidos, comunicaciones de radio y television,fısica del ojo y oıdo, y meteorologıa.

Ejemplo 12.1.

Pendulo simple con desplazamientos angulares grandes, tiene como ecuacionde movimiento:

θ +g

lsen θ = 0 (12.2)

Esta ecuacion diferencial es no-lineal puesto que f(θ) = sen θ es una funcionno-lineal ya que

sen θ = θ − θ3

3!+

θ5

5!− θ7

7!+ · · ·

Para pequenas oscilaciones:

θ +g

lθ = 0

siendo esta la ecuacion de movimiento armonico. ❏

319

b0

b0 b0

x

√x2 + b2

0

k

k

Figura 12.3. Sistema de resorte intrınsecamente no lineal.

Ejemplo 12.2.

Sistema de resorte intrınsecamente no-lineal.Cada resorte se estira una cantidad

√x2 + b2

0 − b0

La energıa potencial del sistema es:

V (x) = 21

2k

(√x2 + b2

0 − b0

)2

La energıa cinetica es:

T =1

2mx2

El lagrangiano es:

L =1

2mx2 − k

(√x2 + b2

0 − b0

)2

La ecuacion de movimiento es:

d

dt

(∂L

∂x

)− ∂L

∂x= 0


como

∂L

∂x= mx

d

dt

(∂L

∂x

)= mx

∂L

∂x= 2k

(√x2 + b2

0 − b0

)1

2(x2 + b2

0)−1/2 2x

= 2xk

[1 − b0

(x2 + b20)

1/2

]

= 2kx

[1 −

(1 +

x2

b20

)−1/2]

se tiene

mx + 2kx

[1 −

(1 +

x2

b20

)−1/2]

= 0 (12.3)

siendo esta una ecuacion diferencial no-lineal en x.Si x

b0es pequeno, o sea x ≪ b0, entonces:

2xk

[1 −

(1 − 1

2

(x

b0

)2

+ · · ·)]

⋍

(k

b20

)x3

y entonces (12.3) se reduce a:

mx + 2

(k

b20

)x3 = 0 (12.4)

Un gran numero de metodos se han desarrollado para analizar problemasno-lineales. El objetivo es introducir algunos. ❏

12.1. Diagramas de energıa-fase: analisis

cualitativo

Sistemas dinamicos cuyas ecuaciones de movimiento no contengan ex-plıcitamente el tiempo se conocen como sistemas autonomos. En general, la

12.1. DIAGRAMAS DE ENERGIA-FASE: ANALISIS CUALITATIVO 321

ecuacion de movimiento no-lineal de un sistema es de la forma (12.1):

mx + g(x) + f(x) = 0

entonces, se puede extraer alguna informacion acerca de las propiedades dela solucion sin tener que solucionar la ecuacion diferencial. Estas considera-ciones cualitativas pueden ser expresadas graficamente en terminos de losdiagramas de energıa o fase.

12.1.1. Diagramas de energıa

Si no esta presente amortiguamiento (fuerzas no conservativas), para elcaso unidimensional la ecuacion de energıa es:

1

2mx + V (x) = E

entonces

x =

√2

m[E − V (x)] (12.5)

Si V (x) tiene la forma general de la figura 12.4.

x1 x2 x3 x

V (x)

E

Figura 12.4. Energıa potencial.

Se pueden distinguir diferentes casos:

a ) x < x1. La energıa es excluida ya que E < V (x).

b ) x1 < x < x2. La partıcula se puede mover dentro de los lımites x = x1

y x = x2, estos son los puntos de retorno del movimiento. El periododel movimiento es:

τ(E) =√

2m

x2(E)∫

x1(E)

dx√E − V (x)


c ) x2 < x < x3. La partıcula es excluida de esta region ya que E < V (x).

d ) x > x3. En esta region E > V (x), ası que la region es permitida. Si lapartıcula se aproxima a x3, esta encontrara una barrera de potencialy se reflejara.

V (x)

x

ǫ < 0 (duro)ǫ = 0

ǫ > 0 (suave)

(a) Potencial.

F (x)

x

ǫ < 0 (duro)

ǫ = 0

ǫ > 0 (suave)

(b) Fuerza restauradora.

Figura 12.5. Potencial y fuerza restauradora de un sistema no-lineal.

En particular si el potencial es

V (x) =1

2kx2 − 1

4ǫx4

el sistema es no-lineal con ǫ pequeno

F (x) = −kx + ǫx3

Un sistema no-lineal se dice “suave” si la fuerza de restauracion es menorque la aproximacion lineal y se dice “duro” en caso contrario

F (x) = −kx + ǫx3

con

ǫ > 0 sistema suave

ǫ < 0 sistema duro

12.1. DIAGRAMAS DE ENERGIA-FASE: ANALISIS CUALITATIVO 323

12.1.2. Diagramas de fase

Considerando en (12.1) a la velocidad x del sistema como una variableindependiente y llamandola y. La ecuacion (12.1) puede ser escrita como unpar de ecuaciones diferenciales

dx

dt= y (12.6)

dy

dt= −g(y) − f(x) (12.7)

donde el factor 1/m se ha absorbido en las funciones g(y) y f(x).

De estas ecuaciones

dy

dx=

dy/dt

dx/dt= −g(y) + f(x)

yy 6= 0 (12.8)

La ecuacion (12.8) tiene una curva en el plano (x, y), que se llamara espaciode fase del sistema.

Las ecuaciones (12.6) y (12.7) son un caso especial de un sistema imagen

dx

dt= P (x, y) (12.9)

dy

dt= Q(x y) (12.10)

La trayectoria de fase del sistema definido por (12.9) y (12.10) es la ecuaciondiferencial

dy

dx=

Q(x, y)

P (x, y)P (x, y) 6= 0

Las variables canonicas q y p son reemplazadas por x y y.

Un punto (x∗, y∗) del espacio de fase para el que las funciones P (x∗, y∗)y Q(x∗, y∗) desaparezcan simultaneamente se llama punto singular. Clara-mente en el punto singular

x∗ = 0

y∗ = 0

un punto singular es tambien un punto estacionario.


Ejemplo 12.3.

Considerese la ecuacion de movimiento de una partıcula que es repelidadesde el origen por una fuerza proporcional a su distancia desde el origen.

md2x

dt2= kx2

d2x

dt2= a2x

donde a =√

k/m, k la constante de fuerza y m la masa del resorte.

y = x

x

Figura 12.6. Trayectoria de fase de un movimiento aperiodico.

Se observa que:

d2x

dt2=

d

dt

(dx

dt

)=

dy

dt

12.2. INTEGRALES ELIPTICAS Y OSCILACIONES NO-LINEALES 325

con

y =dx

dt

dy

dt= a2x

Ası las trayectorias de fase estan dadas por la ecuacion:

dy

dx=

dy/dt

dx/dt=

a2x

y

de donde

ydy

dt= a2x

dx

dt

entonces

y dy − a2x dx = 0

Integrando

y2 − a2x2 = c

esta ultima ecuacion representa la familia de hiperbolas con dos asıntotasy = ±ax. ❏

12.2. Integrales elıpticas y oscilaciones no-lineales

La solucion de ciertos tipos de problemas de oscilaciones no-linealespueden expresarse en forma exacta por medio de integrales elıpticas.

Ejemplo 12.4.

Pendulo simple:Las energıas y el lagrangiano son:

T =1

2ml2θ2

V = −mgl cos θ


b

lθ


L = T − V =1

2ml2θ2 + mgl cos θ

La energıa es:

E = T + V =1

2ml2θ2 − mgl cos θ

despejando θ de esta ecuacion de energıa

θ2 = 2(g

l

)cos θ +

2E

ml2= 2

(g

l

)(cos θ +

E

mgl

)(12.11)

Si θ0 es el punto de menor altura, entonces:

T (θ = θ0) = 0

y

V (θ = θ0) = −mgl cos θ0 = E

de donde

E

mgl= − cos θ0

reemplazando en (12.11):

θ2 = 2(g

l

)(cos θ − cos θ0)

12.2. INTEGRALES ELIPTICAS Y OSCILACIONES NO-LINEALES 327

y haciendo uso de

cos θ = 1 − 2 sen2

(θ

2

)

se tiene

θ2 = 4(g

l

)(sen2 θ0

2− sen2 θ

2

)(12.12)

de (12.12) se tiene:

(dθ

dt

)2

= 4(g

l

)(sen2 θ0

2− sen2 θ

2

)(12.13)

entonces

dt =1

2

√l

g

(sen2 θ0

2− sen2 θ

2

)−1/2

dθ

ya que el movimiento es simetrico, entonces la integral de θ = 0 a θ = θ0 daτ/4.

τ = 2

√l

g

θ0∫

0

(sen2 θ0

2− sen2 θ

2

)−1/2

dθ

La integral es una integral elıptica de primera clase.Si se toma

a = senθ0

2

z =sen θ

2

sen θ02

= a−1 senθ

2

dz =1

2acos

θ

2dθ =

√1 − a2z2

2adθ

entonces

τ = 4

√l

g

1∫

0

[(1 − z2)(1 − a2z2)]−1/2 dz


y tomando

(1 − a2z2)−1/2 = 1 +1

2(az)2 +

3

8(az)2 + · · ·

se tiene

τ = 4

√l

g

1∫

0

[1 +

1

2(az)2 +

3

8(az)2 + · · ·

](1 − z2)−1/2 dz

= 4

√l

g

(π

2+

a2

2

1

2

π

2+

3a4

8

3

8

π

2+ · · ·

)

= 2π

√l

g

(1 +

a2

4+

9a4

64+ · · ·

)

y puesto que

a = senθ0

2⋍

θ0

2− θ3

0

48+ · · ·

entonces

τ = 2π

√l

g

(1 +

θ20

16+

11θ40

3072+ · · ·

)

De (12.13) se tiene

θ2 = 4(g

l

)(sen2 θ0

2− sen2 θ

2

)

si

sen θ ⋍ θ

sen2 θ = θ2

sen2 θ

2=

(θ

2

)2

12.3. OSCILACIONES CAOTICAS 329

entonces

θ2 = 4(g

l

)(θ0

4− θ

4

)=

g

l(θ0 − θ)

luego

(√l

gθ

)2

+ θ2⋍ θ2

0

θ/√

g/ℓ

θπ−π

E < E0 E = E0

E > E0

Figura 12.8. Trayectorias del pendulo simple en el plano de fase.

Esta ultima ecuacion representa las trayectorias en el plano de fase(θ, θ/

√g/l). Cerca de θ = 0 las trayectorias son circulares. ❏

12.3. Oscilaciones caoticas

La mecanica clasica es tradicionalmente una teorıa determinista; el com-portamiento de un sistema dinamico esta completamente determinado por


leyes constantes exactas. Una vez que las posiciones y las velocidades de cadapartıcula del sistema son dadas, al menos, en principio, por las ecuacionesdiferenciales de movimiento, las posiciones y velocidades seran conocidas encualquier tiempo t.

Sin embargo, al estudiar el comportamiento de sistemas no-lineales se havisto que aunque las condiciones iniciales se conozcan, no siempre se puedepredecir el futuro ya que se pueden tener salidas aleatorias o altamenteirregulares.

Ejemplo 12.5.

Oscilador de Van der Pol

x + ǫ(x2 − 1) x + x = 0 (12.14)

siendo ǫ un punto pequeno y positivo ǫ > 0.Este oscilador tiene la siguiente propiedad basica: si la amplitud del

movimiento |x| excede la unidad, el coeficiente de x es positivo y el sistemase convierte en amortiguado.

Sin embargo si |x| < 1, entonces hay un amortiguamiento negativo y laamplitud del movimiento se incrementa.Entonces, si

|x| > 1

se tiene

x + ǫ (x2 − 1) x + x = 0︸︷︷︸sistema amortiguado

y si

|x| < 1

se tiene

x − ǫ (x2 − 1) x + x = 0︸︷︷︸sistema con amortiguamiento negativo

haciendo

x = y

Notas Mecánica Analítica - Carlos Quimbay

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