Notas de Interferencia y Difraccion

$: Notas de Interferencia y Difraccion$
NOTAS DE INTERFERENCIA Y DIFRACCION.

INTRODUCCIÓN

Los fenómenos de singular importancia que distinguen las ondas de las partículas son la interferencia y la difracción.

La interferencia es la combinación por superposición de dos o más ondas que se encuentran en un punto en el espacio. La difracción es la desviación que sufren las ondas alrededor de los bordes y esquinas que se produce cuando una porción de un frente de ondas se ve cortado o interrumpido por una barrera u obstáculo.

DIFERENCIA DE FASE Y COHERENCIA

Cuando se combinan dos ondas armónicas procedentes de dos focos de la misma frecuencia y longitud de onda pero de diferente fase, la onda resultante es una onda armónica cuya amplitud depende de esta diferencia de fase. Si la doferencia de fase es 0 o un número entero de veces 360º, las ondas están en fase y la interferencia es constructiva. La amplitud resultante es igual a la suma de las amplitudes individuales, y la intensidad es máxima. Si la diferencia es igual a 180º o un número entero impar de veces 180º, las ondas están desfasadas y la interferencia es destructiva. En este caso la amplitud resultante es igual a la diferencia entre las amplitudes individuales, y la intensidad es un mínimo.

Hay varias causas que provocan la diferencia de fase ente dos ondas. La diferencia en la longitud de la trayectoria recorrida por las dos ondas es una de ellas. Una diferencia de fase de 1 longitud de onda no produce ninguna diferencia de fase. Una diferencia de fase de ½ longitud de onda produce una diferencia de fase de 180º. Generalizando, una diferencia de trayectos de r contribuye a una diferencia de fase dada por

r /) 2 r /) 360º

Otra causa sería el cambio de fase en 180º que a veces sufre una onda cuando se refleja en una superficie límite determinada. Cuando la luz que se propaga en aire incide sobre la superficie de un medio en el que la luz se desplaza más lentamente, como un vidrio o agua, existe un cambio de fase de 180º en la luz reflejada. Sin embargo cuando la luz se propaga inicialmente por el medio más lento para pasar al más rápido no se produce ningún cambio de fase.

La interferencia de ondas procedentes de focos no se observa a menos que los focos sean coherentes, es decir, la diferencia de fase entre las ondas procedentes de los focos debe ser constante con el tiempo. En general dos focos de luz no son coherentes.

En óptica se consigue la coherencia dividiendo el haz de luz procedente de un foco endos o más haces de luz, que posteriormente se combinan para producir un diagrama de interferencia. Hay varias formas de conseguir este hecho como

1. Reflexión en las dos superficies de una película delgada

2. Reflexión en un espejo de haces combinados por reflexión

3. difracción del haz en dos pequeñas rendijas

INTERFERENCIA EN PELÍCULAS DELGADAS

Si consideramos que estamos observando, con ángulos pequeños respecto a la normal, una película delgada de agua según se ve en la siguiente figura

Parte de la luz se refleja en la superficie superior. Puesto que la luz se mueve más lentamente en el agua que en el aire, existe un cambio de fase de 180º en esta reflexión. parte de la luz entra en la película y es parcialmente reflejada por la superficie interior agua-aire. Si la luz es casi perpendicular a la superficie, los dos rayos reflejados pueden entrar en el ángulo de visión situado en el punto P de la figura. La diferencia de caminos entre estos dos rayos es de 2t, siendo t el espesor de la película. Esta diferencia de caminos produce una diferencia de fase de (2t/')360º, en donde ' es la longitud de onda de la luz en la película.

La diferencia de fase entre estos dos rayos es de 180º más la debida a la diferencia de caminos. Se produce interferencia destructiva cuando la diferencia de caminos es cero o un número entero de longitudes de onda '. Se produce interferencia constructiva si la diferencia de caminos es un número impar de semilongitudes de onda. Podemos expresar estas condiciones de forma matemática. Cuando existe un cambio de fase de 180º debido a la reflexión, las condiciones para la interferencia son

Cuando una película delgada de agua sobre una superficie de vidrio, el rayo que se refleja en la superficie inferior agua-vidrio sufre también un cambio de fase de 180º debido a que el índice de refracción del vidrio es mayor que el del agua. Así pues los dos rayos indicados en la figura siguiente sufren un cambio de 180º después de la reflexión. La diferencia entre estos rayos se debe entonces solamente a la diferencia de caminos y viene

dada por = (2t/')360º. Cuando existen dos cambios de fase de 180º en reflexiones las condiciones para la interferencia son

Cuando se observa con luz monocromática una pelicula delgada de espesor variable, se ven bandas o líneas alternativamente brillantes u oscuras, denominadas franjas. La distancia entre una línea brillante y una oscura inmediata, es la distancia en que la película cambia de espesor.

INTERFERÓMETRO DE MICHELSON

Un interferómetro es un dispositivo que utiliza franjas de interferencia para llevar a cabo medidas precisas de distancias. (En la siguiente figura se muestra un diagrama esquemático de un interferómetro de Michelson).

La luz procedente de una fuente puntual incide sobre una placa A, parcialmente plateada de forma que divide el haz reflejando una parte y transmitiendo otra. El haz reflejado viaja hasta el espejo M2 y es de nuevo reflejado hasta el ojo situado en O. El haz transmitido viaja a través de una placa compensadora B, que tiene el mismo espesor que la placa A, llega al espejo M1 y se refleja de nuevo hacia la placa A y luego al ojo en O. El objeto de la placa compensadora B es conseguir que ambos haces

atraviesen el mismo espesor de vidrio. El espejo M1es fijo, pero el espejo M2 se puede desplazar hacia delante y atrás mediante un sistema de ajustes con tornillos muy fino y exactamente calibrado. Los dos haces se combinan en O y forman un diagrama de interferencia. Este diagrama se comprende más fácilmente considerando el espejo M2 y la imagen del espejo M1producida por el espejo del divisor del haz A. Esta imagen la designaremos por M'1 en el esquema. Si los espejos M1 y M2 están exactamente perpendiculares entre sí y equidistantes del divisor del haz, la imagen de M'1coincidirá con M2. Si no es así, M'1 estará ligeramente desplazada y formará un pequeño ángulo con respecto a M2. El diagrama de interferencia en O será entonces el de una película delgada en forma de cuña de aire entre M'1 y M2. Si ahora se mueve el espejo M2, se desplazará el diagrama de franjas. Si se conoce la distancia que se ha movido el espejo M2, puede determinarse la longitud de onda de la luz.

Otra aplicación del interferómetro es la medición del índice de refracción del aire( o de cualquier otro gas). Uno de los haces procedentes de la placa A se hace pasar a través de un recipiente en el que se puede hacer el vacío. La longitud de onda de la luz en el aire ' está relacionada con la que posee en el vacío por '= /n, en donde n es índice de refracción del aire. Cuando se hace el vacío en el recipiente mencionado, la longitud de onda que pasa a su través aumenta de modo que existen menos ondas en la longitud del recipiente. Esto origina un desplazamiento del diagrama de franjas. Midiendo dicho desplazamiento puede determinarse el índice de refracción.

DIAGRAMA DE INTERFERENCIA DE DOS RENDIJAS

Los diagramas de interferencia de la luz procedente de dos o más focos solo pueden observarse si los focos son coherentes, o sea, si están en fase o tienen una diferencia de fase que es coherente con el tiempo.

En el famoso experimento ideado por Thomas Young en 1801 se producían dos fuentes luminosas coherentes iluminando dos rendijas paralelas con una sola fuente. Suponemos que las rendijas son muy estrechas. Cada rendija actúa como una fuente

lineal, que es equivalente a una fuente puntual en dos dimensiones. El diagrama de interferencia se observa sobre una pantalla bastante alejada de las rendijas, que están separadas entre sí en una distancia d. A distancias muy grandes de las rendijas, las líneas que van desde las mismas hasta un cierto punto P sobre la pantalla son aproximadamente paralelas y la diferencia de trayectos es d senTodo lo anteriormente relatado se puede observar en la figura siguiente (apartado c)

Así pues, tenemos máximos de interferencia en unos ángulos dados por

d senm m=0,1,2,3,...

Los mínimos de interferencia se presentan en

d senm+ 1/2) m=0,1,2,3,...

La diferencia de fase en el punto P es

d sen

La distancia ym medida a lo largo de la pantalla desde el punto central hasta la m-ésima franja brillante (figura anterior, apartado b) está relacionada con el ángulo por

tg ym / L

donde L es la distancia de las rendijas a la pantalla. Para un pequeño, tenemos

sen =tg ym / L

Por tanto, en el caso de ángulos pequeños, la distancia medida a lo largo de la pantalla hasta la franja m-ésima viene dada por

ym = m (L/d)

La amplitud de la onda resultante es 2Aocos(1/2). Posee su valor máximo igual a 2Ao cuando las ondas se encuentran en fase, y es igual a 0 cuando están desfasadas 180º. Como la intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud, la intensidad en el punto P es

I =4Iocos2(1/2)

en donde Io es la intensidad de la luz que se obtiene en la pantalla para cualquiera de las rendijas por separado.

La figura siguiente muestra el diagrama de intensidad como se ve en la pantalla. Se indica un gráfico de la intensidad en función del sen. La línea a trazos muestra la intensidad media, que es el resultado de promediar sobre muchos máximos y mínimos de interferencia. Sería la intensidad que se obtendría en dos fuentes si actuasen independientemente sin interferencia .

ESPEJO DE LLOYD

Mediante este dispositivo se puede seguir otro método para producir un diagrama de interferencia de dos rendijas.

Se sitúa una sola rendija a una distancia igual a 1/2 d por encima del plano del espejo. La luz procedente del foco que incide directamente sobre la pantalla interfiere con la reflejada en el espejo. Se puede considerar que la luz reflejada procede de la imagen virtual de la rendija formada por el espejo. Debido

al cambio de fase de 180º en la reflexión en el espejo, el diagrama de interferencia es el de dos fuentes rectilíneas coherentes que difieren en fase en 180º. La franja central situada justo encima del espejo en un punto equidistante de los focos es oscura. Se produce interferencia constructiva en los puntos para los cuales la diferencia de caminos es de media longitud de onda o cualquier número impar de medias longitudes de onda. En estos puntos, la diferencia de fase de 180º debida a la diferencia de caminos se combina con la diferencia de fase de 180º de las fuentes para producir una interferencia constructiva.

DIAGRAMA DE INTERFERENCIA DE TRES RENDIJAS

Si tenemos tres o más focos igualmente separados y en fase entre sí, el esquema de intensidades sobre una pantalla alejada es semejante al producido por dos focos, pero existen algunas diferencias importantes. La posición en pantalla de los máximos es la misma sin importar cuántas fuentes o focos existen, pero estos máximos tienen intensidades mucho mayores y son muchos más nítidos en el caso de que haya muchas fuentes.

A una distancia grande de las fuentes los rayos procedentes de ellas y que llegan a un punto P de la pantalla son aproximadamente paralelos. La diferencia de caminos entre la primera y la segunda fuente es entonces d sen y entre la primera y la tercera fuente la diferencia de caminos es de 2d sen La onda en el punto P es la suma de las tres ondas.

La onda en el punto P es la suma de las tres ondas. Sea t la fase de la primera onda en el punto P. Así pues, tenemos el problema de sumar tres ondas de forma

E1=A0 sen

E2=A0 sen (

E3=A0 sen (

en donde

Es más sencillo analizar el diagrama resultante en función del ángulo de fase entre la primera y segunda fuente o entre la segunda y tercera en lugar de hacerlo directamente en función del ángulo especial Si conocemos la amplitud resultante debida a las tres ondas en un punto determinado P correspondiente a un ángulo de fase particular podemos relacionar este ángulo de fase con el ángulo mediante la ecuación anterior.

En el punto máximo central = 0, el ángulo de fase es cero; es decir todas las ondas están en fase. La amplitud de la onda resultante es tres veces la de cada onda individual. Como la intensidad es igual al cuadrado de la amplitud, la intensidad en este máximo central es 9 veces la correspondiente a cada fuente actuando por separado. Cuando el ángulo aumenta desde = 0, el ángulo de fase aumenta y disminuye la intensidad. Por tanto, la posición = 0 es una posición de intensidad máxima.

La figura anterior muestra la suma de fasores de tres ondas correspondiente a un ángulo de fase de aproximadamente 30º. La amplitud resultante es considerablemente menor que tres veces la de cada fuente. Cuando aumenta el ángulo de fase la amplitud disminuye hasta que llega a un valor nulo con un ángulo de fase igual a 120º. En el caso de esta diferencia de fases los tres fasores forman un triángulo equilátero (figura siguiente).

El primer mínimo de interferencia para tres focos se presenta para un ángulo de fase menor que para dos focos. Cuando aumenta a partir de 120º, crece la amplitud resultante llegándose a un máximo secundario cerca de 180º. En este momento la amplitud es la misma que se tendría para una sola fuente puesto que las ondas de las dos primeras fuentes se cancelan entre sí, quedando solo la tercera. Cuando aumenta, la amplitud disminuye y es nula para =240º, la amplitud crece y

es de nuevo igual a la de tres veces la de cada foco para =360º. Los máximos principales están en las mismas posiciones que cuando solo existen dos fuentes, y son aquellos en los que los ángulos vienen dados por

d sen = m m = 0,1,2,3,...

Estos máximos son más intensos y más estrechos que los que aparecen con solo dos fuentes. Se presentan en los puntos en que la diferencia de caminos es nula o un número entero de longitudes de onda. Esto se puede generalizar para más fuentes.

A partir de estos comentarios, podemos ver que si se aumenta el número de fuentes, la intensidad se concentra cada vez más en los máximos principales que son cada vez más estrechos. Si tuviéramos N fuentes, la intensidad de los máximos principales sería N2 veces la de una sola de ellas. El primer mínimo estaría en un ángulo de fase de =360º/N, ya que los N fasores forman un polígono cerrado de N lados. Existen N-2 máximos secundarios entre cada par de máximos principales.

DIAGRAMA DE DIFRACCIÓN DE UNA SOLA RENDIJA

Dados los estudios anteriores sobre diagrama de interferencia de dos o más rendijas, podríamos admitir que la intensidad debida a una sola rendija era la misma Io en cualquier punto P de la pantalla con independencia del ángulo formado entre el rayo dirigido al punto P y la recta normal entre la rendija y la pantalla. Cuando la rendija no es estrecha, la intensidad recibida en una pantalla alejada no es independiente del ángulo sino que disminuye cuando dicho ángulo aumenta.

La figura anterior muestra el diagrama de intensidad sobre una pantalla lejana de una rendija de anchura a en función del sen Podemos ver que la intensidad es máxima en la dirección normal y disminuye hasta cero para un ángulo que depende de la anchura de la rendija a y de la longitud de onda. La mayor parte de la intensidad luminosa se concentra en un máximo central de difracción ancho, aunque existen bandas de máximos más pequeños a cada lado del máximo central. Se puede observar que para un valor determinado de longitud de onda, la anchura del máximo central varía en proporción inversa con la anchura de la rendija. Es decir, si aumentamos el ancho de la rendija a, disminuye el ángulo en que la intensidad es por primera vez nula, originándose un ángulo de difracción central más estrecho. Cuando a es muy pequeño no existen puntos de intensidad nula en el diagrama y la rendija actúa como una fuente lineal radiando energía luminosa esencialmente pro igual en todas direcciones.

La cantidad a sen es la diferencia de caminos entre un rayo de luz que sale de la parte inferior de la rendija y otro que sale de la parte superior. Se puede ver que el primer mínimo de difracción se produce cuando estos dos rayos están en fase. Podemos comprender este resultado considerando cada punto sobre un frente de onda como si fuese un foco luminoso puntual de acuerdo con el principio de Huygens. En la figura siguiente hemos colocado una línea de puntos sobre el frente de ondas en la rendija para representar estos focos puntuales.

Si suponemos que tenemos 100 de dichos puntos y que estamos observando un ángulo para el que a sen , es decir, el ángulo para el que las ondas procedentes de la parte superior e inferior de la rendija están en fase. Si consideramos la rendija dividida en dos regiones, con los primeros 50 puntos en la primera región y los otros 50 en la segunda, cuando la diferencia de caminos entre la parte superior e inferior de la rendija es igual a una longitud de onda, la diferencia de caminos entre el foco 1 y el foco 51 es de media longitud de onda. Las ondas procedentes de estos dos focos estarán desfasadas en 180º y por lo tanto se anularán. Asimismo, las ondas procedentes del segundo foco en cada región también se anularán. Así las ondas procedentes de cada par de focos separados entre sí a/2 se cancelarán, luego no existirá energía luminosa en este ángulo. Para el resto de los mínimos del diagrama de difracción también se podría aplicar dicho argumento.

La expresión general para los puntos de intensidad cero en el diagrama de difracción de una sola rendija es pues

a sen= mm=1,2,3,...

DIAGRAMA DE INTERFERENCIA-DIFRACCIÓN DE DOS RENDIJAS

Si se tienen dos o más rendijas el diagrama de intensidad obtenido sobre una pantalla lejana es una combinación del diagrama de difracción de una sola rendija y el diagrama de interferencia de varias rendijas.

En la figura siguiente se ve el diagrama de intensidad obtenido sobre una pantalla originado por dos rendijas cuya separación d es 10 veces la anchura a de cada una de ellas. El diagrama es el mismo que el obtenido por la interferencia de dos rendijas muy estrechas pero modulado por el diagrama de difracción de una sola rendija; o sea, que la intensidad debida a cada rendija por separado no es ahora constante sino que disminuye con el ángulo, como se puede observar en la parte b de la figura

Puede calcularse la intensidad a partir del diagrama de dos rendijas sustituyendo la intensidad de cada rendija por la intensidad debida al diagrama de difracción de cada rendija, entonces la intensidad correspondiente al diagrama de interferencia-difracción de dos rendijas es

en donde es la diferencia de fase entre los rayos procedentes de la parte superior e inferior de cada rendija, y es la diferencia de fase entre los rayos que proceden de lso centros de dos rendijas adyacentes.

En la ecuación anterior la intensidad Io es la intensidad en = 0 debida a una sola rendija.

DIFRACCIÓN DE FRAUNHOFER Y DE FRESNEL

Los diagramas de difracción que se observan en puntos desde los cuales se ven casi paralelos los rayos procedentes de una abertura o de un obstáculo se denominan diagramas de difracción de Fraunhofer. Éstos pueden observarse a grandes distancias del obstáculo o abertura, de modo que los rayos que alcancen un punto cualquiera sean aproximadamente paralelos, o bien pueden observarse utilizando una lente para enfocar rayos paralelos sobre una pantalla de observación situada en el plano focal de la lente. Si una rendija tiene una anchura de muchas longitudes de onda, no se observará el diagrama de Fraunhofer porque será muy pequeño el ángulo correspondiente al primer mínimo.

Cuando el diagrama de observación se observa cerca de una abertura o de un obstáculo, se denomina diagrama de difracción de Fresnel. Debido a su complicada geometría este diagrama es mucho más complicado de analizar. La figura siguiente ilustra la diferencia existente entre los diagramas de Fresnel y de Fraunhofer en el caso de una sola rendija.

Cuando la pantalla se acerca hacia la rendija, el diagrama de Fraunhofer (a) que se observa lejos de ésta se va transformando gradualmente en el diagrama de Fresnel (d) que es el que se observa cerca de la rendija.

La figura siguiente muestra el diagrama de difracción de Fresnel de un borde rectilíneo iluminado por un foco puntual. Se ve un gráfico de la intensidad en función de la distancia (b). La intensidad de la luz no cae abruptamente a cero en la sombra geométrica, sino que disminuye rápidamente y es despreciable al cabo de unas pocas longitudes de onda del borde.


DIFRACCIÓN Y RESOLUCIÓN

La figura siguiente en la que se puede observar el diagrama de difracción de Fraunhofer de una abertura circular tiene importantes aplicaciones para el estudio de la resolución de muchos instrumentos ópticos.

El ángulo subtendido por el primer mínimo de difracción está relacionado con la longitud de onda y con el diámetro de la abertura D por

sen D

El factor 1,22 aparece en el análisis matemático del problema, que es semejante al de una sola rendija pero más complicado debido a la geometría circular que posee. En muchas aplicaciones el ángulo es pequeño, de modo que el sen puede reemplazarse por . El primer mínimo de difracción se produce entonces en un ángulo dado por

D

La figura siguiente muestra a dos focos puntuales que subtienden un ángulo respecto de una abertura circular alejada de los focos. Además se pueden apreciar los diagramas de Fraunhofer correspondientes. Si es mucho mayor que se verán como dos focos. Pero, al ir disminuyendo , aumenta el solapamiento de los diagramas de difracción y resulta cada vez más difícil distinguir los dos focos de un solo foco. Para la separación angular crítica de c dada por

c = 1,22 D

el primer mínimo del diagrama de difracción de un foco cae en el máximo central de otra fuente o foco. En este momento se diría que estos objetos están en el límite justo de su resolución según el criterio de Rayleigh para la resolución. La figura siguiente muestra los diagramas de difracción para dos fuentes cuando es mayor que el ángulo crítico que permite la resolución (a) y cuando es exactamente igual al ángulo crítico mencionado (b).

El poder de resolución de un elemento óptico, como un microscopio o un telescopio, se refiere a la capacidad del mismo para resolver y distinguir dos objetos que están muy juntos. Las imágenes de los objetos tienden a solaparse debido a los efectos de difracción de la abertura de entrada del mismo. Si observamos la ecuación anterior podríamos aumentar el poder de resolución, ya sea aumentando el diámetro D de la lente, o disminuyendo la longitud de onda . Para comprender lo antes descrito se podría poner como ejemplo los telescopios astronómicos que utilizan grandes lentes para aumentar su resolución y además aumentar su capacidad de recoger la luz que procede de objetos lejanos.

GUÍA DE ONDAS

En ciertas cavidades largas y abiertas en ambos extremo, se pueden generar ondas que se desplazan a lo largo de la cavidad. En un extremo se introducen las ondas y son recibidas en el

otro. Un tipo sencillo de guía consiste en dos planos paralelos separados por una distancia a.

figura Pág. 788

Consideremos una onda dentro de una cavidad que forma cierto ángulo, determinado por el vector k, cuyas componentes k1,k2 son paralela y perpendicular a los planos. La onda sufrirá reflexiones sucesivas en ambas superficies, rebotando entre ellas. Como el espacio no está limitado en la dirección paralela a los planos, la onda se desplazará hacia la derecha. En la figura podemos ver la trayectoria de un plano en particular. A loo largo de PQ el rayo está caracterizado por las componentes k1,k2 , y de Q a R está caracterizado por k1,-k2 , luego en el espacio entre los dos plano tenemos dos ondas, una correspondiente a k1,k2 ,y la otra k1,-k2 . Las dos ondas interfieren a medida que avanzan a lo largo del espacio entre los planos. Si unimos dichas ondas nos dará una onda resultante expresada por :

Un tipo importante de guía de ondas consiste en fibras transparentes con diámetro de unos cuantos micrómetros, llamadas fibras ópticas, recubiertas con un índice de refracción menor para mejorar la reflexión total en las paredes de la fibra. Éstas se hacen de vidrio, cuarzo o nailon. Un rayo que entra por un extremo se propaga por la fibra óptica debido a reflexiones reflexivas saliendo por el otro sin importar si la fibra es recta o curva.

Su utilización es muy diversa. Es utilizada en medicina para explorar regiones a las que no se tienen acceso directo. También en telecomunicaciones ya sea para telefono, televisión o para transportar información computerizada. Una sola fibra puede transportar simultáneamente un gran número de señales distintas.

Las guías de ondas acústicas son también muy comunes. Los conductos de aire en los sistemas de ventilación de una casa actúan como guías de ondas acústicas capaces de transmitir los ruidos del horno o el sonido de un cuarto a otro.


sen D


D


c = 1,22 D


El poder de resolución de un elemento óptico, como un microscopio o un telescopio, se refiere a la capacidad del mismo para resolver y distinguir dos objetos que están muy juntos. Las imágenes de los objetos tienden a solaparse debido a los efectos de difracción de la abertura de entrada del mismo. Si observamos la ecuación anterior podríamos aumentar el poder de resolución, ya sea aumentando el diámetro D de la lente, o disminuyendo la longitud de onda . Para comprender lo antes descrito se podría poner como ejemplo los telescopios astronómicos que utilizan grandes lentes para aumentar su resolución y además aumentar su capacidad de recoger la luz que procede de objetos lejanos.

GUÍA DE ONDAS

En ciertas cavidades largas y abiertas en ambos extremo, se pueden generar ondas que se desplazan a lo largo de la cavidad. En un extremo se introducen las ondas y son recibidas en el

otro. Un tipo sencillo de guía consiste en dos planos paralelos separados por una distancia a.

figura Pág. 788



Su utilización es muy diversa. Es utilizada en medicina para explorar regiones a las que no se tienen acceso directo. También en telecomunicaciones ya sea para telefono, televisión o para transportar información computerizada. Una sola fibra puede transportar simultáneamente un gran número de señales distintas.



sen D


D


c = 1,22 D


El poder de resolución de un elemento óptico, como un microscopio o un telescopio, se refiere a la capacidad del mismo para resolver y distinguir dos objetos que están muy juntos. Las imágenes de los objetos tienden a solaparse debido a los efectos de difracción de la abertura de entrada del mismo. Si observamos la ecuación anterior podríamos aumentar el poder de resolución, ya sea aumentando el diámetro D de la lente, o disminuyendo la longitud de onda . Para comprender lo antes descrito se podría poner como ejemplo los telescopios astronómicos que utilizan grandes lentes para aumentar su

resolución y además aumentar su capacidad de recoger la luz que procede de objetos lejanos.

GUÍA DE ONDAS

En ciertas cavidades largas y abiertas en ambos extremo, se pueden generar ondas que se desplazan a lo largo de la cavidad. En un extremo se introducen las ondas y son recibidas en el otro. Un tipo sencillo de guía consiste en dos planos paralelos separados por una distancia a.

figura Pág. 788



Su utilización es muy diversa. Es utilizada en medicina para explorar regiones a las que no se tienen acceso directo. También en telecomunicaciones ya sea para telefono, televisión o para transportar información computerizada. Una sola fibra

puede transportar simultáneamente un gran número de señales distintas.


REDES DE DIFRACCIÓN

Las redes de difracción son una herramienta muy útil para la medición de la longitud de onda de la luz. Consiste en un gran número de rayas o rendijas igualmente espaciadas y marcadas o grabadas sobre una superficie plana. Cuando se trata de una red de reflexión la luz se refleja en los salientes entre las rayas marcadas. En el caso de las redes de transmisión, la luz pasa a través de los espacios transparentes que existen entre las rayas marcadas.

Si consideramos una onda luminosa plana que incide normalmente sobre una red de transmisión y supongamos que la anchura de cada rendija es muy pequeña, de forma que cada una de ellas produce un haz muy difractado.(ver siguiente figura)

El diagrama de interferencia producido sobre una pantalla a gran distancia de la red es el debido a un gran número de focos igualmente espaciados. Los máximos de interferencia se encuentran en ángulos dados por

d sen = m

en donde m se denomina número de orden. La posición de un máximo de interferencia no depende del número de focos, pero cuantos más focos existan, más nítidos e intensos serán dichos máximos.

Una interesante aplicación de las redes de difracción consiste en la producción de una fotografía tridimensional denominada holograma. En una fotografía ordinaria, se recibe y registra sobre una película la intensidad de la luz reflejada por un objeto. Cuando la película se mira con luz transmitida, se obtiene una imagen bidimensional. En un holograma, un haz procedente de un láser se descompone o divide en dos haces, un haz de referencia y un haz objeto. El haz objeto se refleja se refleja en el objeto a fotografiar, y el diagrama de interferencia entre él y el haz de referencia se registra sobre una película fotográfica. Esto puede hacerse porque el haz de láser es coherente, de modo que puede mantenerse constante la diferencia de fase relativa entre el haz de referencia y el haz objeto durante la exposición. Las franjas de interferencia. en la película actúan como una red de difracción. Cuando se ilumina con un láser la película, se produce una replica tridimensional del objeto.

FORMULARIO

CONDICIONES GENERALES DE INTERFERENCIA

Las condiciones de Máximo y mínimo de interferencia (de intensidad luminosa), para dos rayos de luz procedentes de dos focos coherentes, son respectivamente que la diferencia ente sus caminos ópticos sea:

CONDICIONES DE INTERFERENCIA PARA EL MODELO DE RENDIJAS DE YOUNG

Considerando la propagación en el vacío, son:


INTERFERENCIAS EN LÁMINAS POR INCIDENCIA NORMAL

Si la observación se hace por refracción

las condiciones de máximo y mínimo son respectivamente:

Al incidir una onda plana en dirección normal a la superficie de separación de dos medios, si el segundo medio es más refrigerante que el primero la onda reflejada está en oposición de fase con la incidente, sobre un desfase de radianes. Para la luz enunciamos:

<< La luz al reflejarse en un medio de más refringencia que aquél en que se propaga, sufre un desfase de radianes, o lo que es lo mismo pierde en su marcha / 2 >>.

En consecuencia si la observación se hace por reflexión (rayo AR1 y CR2 en la figura anterior) las condiciones de máximo y mínimo, son las de mínimo y máximo por refracción.


Así el rayo IAR1 ha perdido / 2 (suponiendo el índice de refracción de la lámina mayor que el de medio exterior), pero en IABCR2 no ha habido pérdida alguna, pues la única reflexión efectuada es en un medio menos refringente que el de la propagación.

Si se cumple la condición de máximo por reflexión, la lámina se verá iluminada por reflexión y oscura por transparencia.

Si la iluminación se hace con luz blanca, unos colores producirán máximo por reflexión y mínimo por refracción, otros inversamente, y otros no cumpliendo las condiciones establecidas, luminosidades intermedias. Las láminas se verán, por lo tanto, coloreadas (coloración de capas de aceite muy delgadas, pompas de jabón, etc.).

INTERFERÓMETRO DE MICHELSON.

Un foco F, prácticamente puntual, emite luz monocromática, que incide sobre la cara semiplateada (A) de una lámina planoparalela que forma un ángulo de 45º con la luz incidente; aproximadamente la mitad del haz se refleja y la otra mitad se refracta, incidiendo ambos haces sobre los espejos planos B y C, colocados en la forma de la figura. Los rayos reflejados retornan por un cambio inverso y forman un solo haz emergente M que percibe el observador O.

La “lámina compensadora” E, de igual espesor que la A, sirve para que los dos rayos recorran el mismo camino dentro del vidrio. Los haces ACA y ABA son capaces de interferir ya que proceden sus rayos del mismo foco puntual F.


El sistema descrito equivale a provocar interferencias en una lámina plano-paralela de aire de espesor CD = e y, por tanto observaremos las circunferencias descritas en el párrafo anterior. Un tornillo micrométrico T permite aumentar o disminuir el espesor e; cuando el desplazamiento es / 2 surge o desaparece un brote luminoso por el centro de las circunferencias observadas. Si hemos hecho aparecer N brotes y el desplazamiento del espejo C es , planteemos la siguiente proporción:

Si a N brotes corresponde un desplazamiento l

A 1 brote corresponde un desplazamiento /2 luego

0con lo que queda determinada la longitud de onda de la luz

DIFRACCIÓN DE FRAUNHOFER EN UNA RENDIJA.

La condición de mínimo en el modelo de la figura es:

Si el medio existente tras la rendija es el vacío o el aire ( n = 1 ), la condición de mínimo se reduce a:


Los máximos y mínimos son paralelos a la rendija. Para K = 0, se forma un máximo (no se cumple la ecuación anterior por no ser luz difractada, sino directa a través de la rendija). La distribución de la intensidad luminosa para los diversos ángulos queda expresada en la parte derecha de la figura.

DIFRACCIÓN DE FRAUNHOFER EN UNA ABERTURA CIRCULAR

Si el diámetro de la abertura es D, los máximos y mínimos son circulares; los valores de K, en este caso no son enteros; para el primer mínimo K = 1.22:

Si la iluminación se realiza con luz policromática los mínimos de luz roja se forman mas apartados del máximo central que los mínimos violetas (R V). Debido a la anchura de los máximos de luz, los espectros de diversos órdenes (sucesivos valores de K ) se superponen unos a otros.

PODER SEPARADOR DE UN INSTRUMENTO DE ÓPTICA. CRITERIO DE RAYLEIGH.

Los diafragmas o las monturas de las lentes en los instrumentos ópticos provocan fenómenos de difracción; la imagen de un punto no queda determinada por la intersección de los rayos que parten de él, sino por la figura de difracción formada en el plano imagen. Y, así, los máximos centrales correspondientes a dos puntos distintos pueden “montar” uno sobre otro y en la observación no distinguiremos la existencia de los dos puntos, ya que obtendremos un sólo máximo luminoso; se dice, entonces; que el instrumento “no separa” o “no resuelve”.

El criterio de Lord Rayleigh para que exista separación entre las imágenes de dos puntos es que la distancia entre los máximos centrales sea igual o mayor que el radio del primer mínimo, es decir, que en la representación grafica de intensidades se verifique el fenómeno expresado en la figura (a); en la (b) se considera el plano de imagen y se han representado las circunferencias correspondientes al primer mínimo, lo que nos indica que el máximo central está situado en la posición del primer mínimo del otro punto.

Según el criterio expuesto de acuerdo con la condición de mínimo para un orificio circular, confundiendo el seno con el ángulo por la pequeñez de éste y suponiendo n = 1, obtendremos la condición para que dos puntos se vean separados:

El poder separador de un instrumento de óptica queda medido por la inversa del mínimo ángulo que han de formar entre sí los rayos que pasan por el centro óptico de la lente frontal (objetivo) y provienen de dos puntos, para que estos se vean separadamente con el instrumento.

El poder separador tiene por valor de acuerdo con la anterior:

PROBLEMAS RESUELTOS

PROBLEMA 1

Dos fuentes coherentes de rejilla doble (Rendijas de Young) se encuentran separadas entre sí 0,004 mm y distan de una pantalla 1 m. Si la franja brillante de segundo orden (K=2) se encuentra separada del máximo central 3 cm. y la luz que se emplea es monocromática, determinar:

1. La longitud de onda empleada2. La distancia entre dos franjas brillantes consecutivas.

SOLUCIÓN

1) Siendo la condición de máximo:

2)

PROBLEMA 2

Iluminamos, con un foco que emite luz compuesta de 400 y 600 nm de longitud de onda, una rendija muy delgada practicada en una superficie opaca, transformándose por difracción en foco emisor de luz en todas direcciones. Los rayos emitidos iluminan dos rendijas muy estrechas separadas entre sí 0,04 mm y que funcionan como focos coherentes productores de interferencias en una pantalla que se encuentra a 1m. de ellas. Encontrar la separación entre las franjas brillantes de cuarto orden (K=4) correspondientes a estas longitudes de onda.

SOLUCIÓN

la condición de máximo aplicada a ambas luces nos conduce a:

PROBLEMA 3

Determinar el espesor de una pompa de jabón de índice de refracción 4/3 para que se produzca interferencia constructiva por reflexión, si está iluminada con luz monocromática de 650 nm, medida ésta en el vacío.

SOLUCIÓN

La condición de máximo por reflexión en láminas delgadas es:

con lo que para K=0, obtenemos:

PROBLEMA 4

Se introduce, entre los bordes de dos láminas de vidrio superpuestas, otra lámina, de manera que quede formada una cuña de aire. Suponiendo la separación máxima de las láminas h=5x10-3cm y la longitud l=4cm. Calcular el número de franjas de interferencia que se producirán por refracción en cada cm iluminando el sistema normalmente con luz de 6250 A.

SOLUCIÓN

Los máximos por refracción se producirán en los lugares en que el espesor de la cuña de aire sea:

El primer máximo se formará a una distancia d del vértice de la cuña, que podremos calcular por la proporción

expresando todas las longitudes en cm:

el número de líneas por centímetro será:

PROBLEMA 5

Desplazamos el espejo movible de un interferómetro de Michelson, dispuesto para que nos produzca franjas de interferencia circulares, una distancia de 10-4 m; si brotan 400 círculos brillantes y suponemos que la iluminación se hace con

la luz monocromática, determinar la longitud de onda de la luz utilizada.

SOLUCIÓN

Como sabemos, para un máximo central corresponde un espesor de la lámina planoparalela de aire producida por el interferómetro de Michelson:

para producir un máximo más (un nuevo brote), tendremos que aumentar el espesor en

De las dos ecuaciones anteriores se obtiene:

luego para N brotes( o desapariciones) de círculos máximos por el centro de la figura de interferencia tendremos que desplazar el espejo móvil del interferómetro de Michelson:

PROBLEMA 6

Una lámina delgada de una sustancia transparente de índice de refracción , se inserta perpendicular al eje de un haz de luz de longitud de onda en uno de sus brazos del interferómetro de Michelson; si se producen N brotes al intercalar dicha lámina, calcúlese su espesor.

SOLUCIÓN

La lámina insertada produce un cambio en el camino óptico de la luz desde L (espesor de la lámina) para el vacío, hasta nL;

entonces la diferencia de caminos ópticos en los dos pasos de la luz por la lámina es: 2(n-1)L. Para compensar este desplazamiento, el espejo tendría que moverse un incremento de d, introduciendo una diferencia en el espesor de la lámina de aire cuyo valor sería el doble, en consecuencia:

PROBLEMA 7

El radiotelescopio más grande del mundo está en Arecibo (Puerto Rico); ¿cuál es el poder separador para la detección de ondas de radio de 5,2 cm de longitud de onda, sabiendo que su diámetro son 1000 pies?

(1 pie= 0,3048 m)

SOLUCIÓN

Teniendo en cuenta que D=304,8 m. tendremos:

y el poder separador:

PROBLEMA 8

Sobre una rendija de 0,2 mm de anchura incide luz monocromática colimada de 600 nm de longitud de onda. Si la pantala de observación de la figura de difracción se encuentra en el plano focal de una lente convergente de 0,5 dioptrias, a la que llega la luz después de atravesar la rendija, determinar:

1. La posición de las dos primeras franjas oscuras respecto al punto medio de la franja brillante central.

2. La anchura de la franja brillante central.

SOLUCIÓN

1) En la figura se ha dibujado la posición del primer mínimo de intensidad en P, a la distancia x1 de O; cuyo valor es:

siendo f'= 2 m, el ángulo es muy pequeño, confundiendo la tangente con el ángulo de esta fórmula, y el seno con el ángulo en la condición de mínimo obtenemos:

por la misma razón el segundo minimo (K=2) se encontrará de O:

2) La anchura de la franja central será:

PROBLEMA 9

Una lente se encuentra diafragmada y presenta una abertura de 1 cm de diámetro; su distancia focal es de 50 cm y está iluminada con luz monocromática de 600 nm de longitud de onda. Hallar el radio del disco central del patrón de difracción observado en una pantalla situada en el plano focal de la lente.

SOLUCIÓN

Una lente es una abertura circular, por lo que la imagen de un punto será un diagrama de difracción; sin embargo y como

vamos a ver en este problema, el radio de la lente, es en general tan grande respecto a la longitud de onda de la luz, que podemos prescindir de este fenómeno en la mayoría de los casos. En efecto: el primer mínimo de intensidad se produce para:

en consecuencia, para tan pequeño ángulo:

para fines prácticos, este radio es tan pequeño que podemos prescindir de él y decir que la imagen es un punto.

PROBLEMA 10

Determinar el ángulo límite de resolución y el poder separador del telescopio Hale de Monte Palomar para una longitud de onda de 555 nm, sabiendo que su diámetro es de 5,08 m.

SOLUCIÓN

El valor del ángulo límite de resolución para tal círculo:

por lo que cualquier par de estrellas que subtiendan un ángulo mayor o igual que éste, tendrán resolución en el telescopio.

El poder separador será:

PROBLEMAS PROPUESTOS

PROBLEMA 1.

Dos ranuras separadas entre sí por 1mm son iluminadas con luz roja de longitud de onda de 6 x 10-7m. Las franjas de interferencia son observadas en una pantalla colocada a 1m de las ranuras.

1. Halle las distancia entre dos franjas brillantes y entre dos oscuras consecutivas.

2. Determine la distancia a la que se encuentran la tercera franja oscura y la quinta brillante de la franja central.

SOLUCIÓN

PROBLEMA 2.

1. Verifique si una fuente está colocada a una distancia d de un biprisma de Fresnel con índice de refracción n y ángulo A muy pequeño, la distancia entre las dos imágenes es a = 2( n-1)Ad, donde A está en radianes.

2. Calcule el espacio de las franjas de luz verde de longitud de onda 5 x 10-7m producidas por una fuente situada a 5cm del biprisma, que tiene un índice de refracción de 1.5 y ángulo de 2º. La pantalla está a 1m del biprisma.

SOLUCIÓN

PROBLEMA 3.

Dos fuentes de sonido sincronizadas envían ondas de igual intensidad a una frecuencia de 680Hz. Las fuentes están separadas 0.75m. La velocidad del sonido en el aire es de 340m-

1. Halle las posiciones de mínima intensidad:

1. En una línea que pasa por las fuentes.2. En un plano que es el bisector perpendicular de la línea

que une a las fuentes.3. En el plano que contiene a las dos fuentes.

4. ¿La intensidad es cero en cualquiera de los mínimos?

SOLUCIÓN

PROBLEMA 4.

El primer radiointerferómetro múltiple, construido en 1951, consiste en 32 antenas separadas 7m cada una. El sistema está sintonizado a una longitud de onda de 21cm. Por tanto, el sistema es equivalente a 32 fuentes igualmente espaciadas.

1. Halle la separación angular entre máximos principales sucesivos.

2. Halle el ancho angular del máximo central. Compare la intensidad del máximo con la de un reflector. ¿Cuáles son las ventajas de esta distribución interferométrica?

SOLUCIÓN

PROBLEMA 5.

Dos placas de vidrio de 5cm de longitud se colocan con un extremo en contacto y separadas en el otro por una tira delgada de papel, formando así un prisma de aire. Cuando se ilumina el prisma perpendicularmente con luz de 5.9 x 10-7m de longitud de onda, se observan 42 franjas oscuras. Encuentre el grosor de la hoja de papel.

SOLUCIÓN

PROBLEMA 6.

¿De qué forma cambia la frecuencia fundamental de una cuerda si se dobla:

1. Su tensión.

2. Su masa por unidad de longitud.3. Su radio.4. Su longitud?.

Repita el problema si las cantidades mencionadas se disminuyen a la mitad.

SOLUCIÓN

PROBLEMA 7.

Estime el cambio porcentual en la frecuencia fundamental de una columna de aire, abierta en ambos extremos, por grado de cambio en temperatura a una temperatura de 27ºC.

SOLUCIÓN

PROBLEMA 8.

Un dispositivo interferométrico utilizado en radioastronomía consiste en dos radiotelescopios separados por una cierta distancia. Las antenas se pueden orientar en direcciones distintas, pero siempre se mantienen paralelas.

1. Verifique que las direcciones de incidencia para las que la señal resultante es máxima son sen = n /a. ¿Qué ventajas tiene este dispositivo sobre el uso de una sola antena?

2. Haga una gráfica polar de la intensidad de la señal como función del ángulo .

3. En un interferómetro como éste, que funciona a una longitud de onda de 11cm, la distancia a entre los dos radiotelescopios se puede ajustar hasta 2700m. Halle el ángulo subtendido por el máximo de intensidad central a la mayor separación de los telescopios.

SOLUCIONES

PROBLEMA 1

1. 0,65 mm2. 1,62 mm3. 3,25 mm

PROBLEMA 2

1. 0,29 mm

PROBLEMA 3

1. Existen dos mínimos entre las fuentes, a 1/8 m a cada lado del punto medio; fuera de cada fuente, la condición es siempre mínima

2. ninguno, el plano es de interferencia constructiva

PROBLEMA 4

1. 0,11º=1,9x10-3rad2. 1,72º

PROBLEMA 5

1. 1,18 x 10-5m

PROBLEMA 6

1. Aumenta un factor de 2-2

2. Disminuye un factor de 43. A la mitad4. Ala mitad

PROBLEMA 7

1. 2,88%

PROBLEMA 8

4" DE ARCO

Notas de Interferencia y Difraccion

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