Notas de Grupos de Lie.

Master Fisymat. Grupos de Lie., Págs. 1–82 1

Introducción a la Geometría DiferencialTeoría de Grupos de Lie

por

Francisco J. López

Resumen. Estas notas de Geometría Diferencial son parte del curso Princi-pios de Geometría y Aplicaciones en Física del Master Fisymat de la UGR.

1. Introducción

Los Grupos de Lie son variedades diferenciables dotadas de una operación internaque es diferenciable y que las da estructura de grupo. En esta categoría se incluyenmuchos grupos clásicos de matrices o de transformaciones que aparecen de formanatural en Geometría.

Primeramente vamos a estudiar la relación entre un grupo de Lie y el álgebra deLie de los campos de vectores invariantes a la izquierda. A continuación analizaremoslas correspondencias entre los subgrupos de un grupo de Lie y las subálgebras de suálgebra de Lie, así como entre los homomorfismos de grupos de Lie y homomorfismosentre sus subálgebras de Lie. Introduciremos la aplicación exponencial en un grupode Lie, heredera de la clásica entre matrices, y estudiaremos su comportamientocomo enlace natural entre el grupo de Lie y su álgebra de Lie asociada. Finalmenteintroduciremos la representación adjunta y probaremos el teorema del subgrupo. Sepresentarán las variedades homogéneas y sacaremos consecuencias para los gruposclásicos de matrices.

Este material está basado en el libro de Warner [1].

2. Preliminares de Álgebra Multilineal

Comenzaremos recordando algunos conceptos básicos y fijando algunas notacio-nes del álgebra multilineal.

Dado un espacio vectorial real V finito dimensional y números enteros r, s ≥ 0,consideremos el producto cartesiano V r×(V ∗)s. A continuación formamos el espaciovectorial libre con generadores V r × (V ∗)s, obviamente infinito dimensional, quedenotamos Fr,s(V ), y en él el subespacio vectorial Rr,s(V ) generado por todos losvectores de Fr,s(V ) con el siguiente patrón:

(v1, . . . , avi + bv′i, . . . , vr, ω1, . . . , ωs)−

−a(v1, . . . , vi, . . . , vr, ω1, . . . , ωs)− b(v1, . . . , v′i, . . . , vr, ω1, . . . , ωs)

2 Introducción a la Geometría Diferencial Teoría de Grupos de Lie

(v1, . . . , vr, ω1, . . . , aωi + bω′i, . . . , ωs)−

−a(v1, . . . , vr, ω1, . . . , ωi, . . . ωs)− b(v1, . . . , vr, ω1, . . . , ω′i, . . . , ωs).

Denotaremos por Vr,s al espacio vectorial cociente Fr,s(V )/Rr,s(V ). La clase de(v1, . . . , vr, ω1, . . . ωs) ∈ Fr,s(V ) en Vr,s se denota por

v1 ⊗ . . .⊗ vr ⊗ ω1 ⊗ . . .⊗ ωs.

Nótese que no todo elemento de Vr,s es de la forma v1 ⊗ . . . ⊗ vr ⊗ ω1 ⊗ . . . ⊗ ωspara ciertos vectores y 1-formas, en general son combinaciones lineales de estasexpresiones. Además Vr,s es un espacio vectorial de dimensión nr+s, donde n =dim(V ); en efecto, si e1, . . . , en es una base de V y φ1, . . . , φn es su base dualen V ∗, es fácil ver que

ei1 ⊗ . . . eir ⊗ φj1 ⊗ . . . φjs : il, jl ∈ 1, . . . , n

es base de Vr,s. Obsérvese que los espacios Vr,s y (V ∗)s,r son canónicamente isomor-fos.

En el siguiente ejercicio se justifica que los conceptos de aplicación multilinealV r × (V ∗)s → U y de aplicación lineal Vr,s → U , donde U es un espacio vectorialarbitrario, son intercambiables o equivalentes.Ejercicio 1. Denotemos por φ : V r × (V ∗)s → Vr,s a la aplicación multilineal (nolineal, y por tanto no un isomorfismo!!)

φ(v1, . . . , vr, ω1, . . . ωs) = v1 ⊗ . . .⊗ vr ⊗ ω1 ⊗ . . .⊗ ωs,

y sea U un espacio vectorial arbitrario.Toda aplicación multilineal T : V r×(V ∗)s → U induce una única aplicación lineal

T : Vr,s → U tal que T φ = T .Recíprocamente, para toda aplicación lineal T : Vr,s → U existe una única aplica-

ción multilineal T : V r × (V ∗)s → U tal que T φ = T .Como consecuencia de esta propiedad universal, el espacio vectorial clásico de los

tensores T : V r×(V ∗)s → R, T multilineal de tipo (r, s) sobre V es naturalmenteidentificable con (V ∗)r,s. En efecto, téngase en cuanta que:

los tensores T : V r×(V ∗)s → R de tipo (r, s) se identifican con las aplicacioneslineales Vr,s → R, esto es, con los elementos de (Vr,s)∗ vía la propiedad universalanterior.A su vez, el par no-singular (V ∗)r,s × Vr,s → R que sobre elementos no des-componibles ψ1 ⊗ . . .⊗ψr ⊗ u1 ⊗ . . .⊗ us y v1 ⊗ . . .⊗ vr ⊗ω1 ⊗ . . .⊗ωs actúacomo ψ1(v1) · · ·ψr(vr)ω1(u1) · · ·ωs(us), induce un isomorfismo canónico entre(V ∗)r,s y (Vr,s)∗.

Si T (V ) =∑r,s≥0 Vr,s, la pareja (T (V ),⊗) es el álgebra tensorial sobre V . El pro-

ducto ⊗ : Vr1,r2 × Vs1,s2 → Vr1+s1,r2+s2 del álgebra viene dado por:

(v1 ⊗ . . .⊗ vr1 ⊗ v∗1 ⊗ . . .⊗ v∗r2)⊗ (u1 ⊗ . . .⊗ us1 ⊗ u∗1 ⊗ . . .⊗ u∗s2

) =

Master Fisymat ? Grupos de Lie 3

= v1 ⊗ . . .⊗ vr1 ⊗ u1 ⊗ . . .⊗ us1 ⊗ v∗1 ⊗ . . .⊗ v∗r2⊗ u∗1 ⊗ . . .⊗ u∗s2

.

Consideremos ahora el subálgeba graduada C(V ) de T (V ) dada por∑∞k=0 Vk,0,

y en ella el ideal bilateral I(V ) generado por for los elementos v ⊗ v de V2,0. Deno-temos por Ik(V ) = I(V ) ∩ Vk,0 y Λk(V ) = Vk,0/Ik(V ). La clase residual en Λk(V )conteniendo v1 ⊗ . . .⊗ vr se denota por = v1 ∧ . . . ∧ vk.

Si escribimos Λ(V ) =∑k≥0 Λk(V ), denotaremos por (Λ(V ),∧) la correspon-

diente álgebra (graduada) exterior sobre V . Recordemos que el producto exterior∧ : Λk(V )× Λs(V )→ Λr+s(V ) del álgebra viene dado por:

(v1 ∧ . . . ∧ vk) ∧ (u1 ∧ . . . ∧ us) = v1 ∧ . . . ∧ vk ∧ u1 ∧ . . . ∧ us.

Al igual que en el caso tensorial, la siguiente propiedad universal es cierta (sudemostración es similar a la del ejercicio anterior):Ejercicio 2. Llamemos φ : V r → Λk(V ) a la aplicación alternada dada por φ(v1, . . . , vk) =v1 ∧ . . . ∧ vk. Sea U un espacio vectorial.

Para toda aplicación multilineal alternada h : V r → U existe una única aplicaciónlineal h : Λk(V )→ U tal que h φ = h.

Recíprocamente, para cada aplicación lineal h : Λk(V ) → U existe una únicaaplicación multilineal alternada h : V r → U tal que h φ = h.

Por razonamientos análogos a los del caso tensorial, el espacio clásico de lask-formas alternadas sobre V se identifica canónicamente con Λk(V ∗). En efecto:

Las k formas alternadas ϕ : V r → R se identifican con los elementos del dualΛk(V )∗ vía la propiedad universal anterior.El par no singular Λk(V ∗)×Λk(V )→ R que sobre elementos no descomponiblesψ1 ∧ . . . ∧ ψk y v1 ∧ . . . ∧ vk actúa como det(ωi(vj)), induce un isomorfismocanónico entre Λk(V )∗ y Λk(V ∗).

En lo que sigue nos referiremos a Λk(V ∗) como el espacio de las k-formas sobre V(para k = 0, Λ0(V ∗) = R, y para k > dim(V ), Λk(V ∗) = 0). Si escribimos Λ(V ∗) =∑k≥0 Λk(V ∗), denotaremos por (Λ(V ∗),∧) la correspondiente álgebra (graduada)

exterior de las formas sobre V .Definición 1. Una transformación lineal l : Λ(V ∗)→ Λ(V ∗) (o en cualquiera otraálgebra graduada) se dice una

derivación si l(u ∧ v) = l(u) ∧ v + u ∧ l(v) (u v ∈ Λ(V ∗)),antiderivación si l(u∧ v) = l(u)∧ v+ (−1)ku∧ l(v) (u ∈ Λk(V ∗), v ∈ Λ(V ∗)),de grado d ∈ Z si l : Λk(V ∗)→ Λk+d(V ∗).

Definición 2 (Producto interior). Dado u ∈ V , la antiderivación de grado −1 dadapor i(u) : Λ(V ∗)→ Λ(V ∗),

(i(u)ω)(v1, . . . , vk) = ω(u, v1, . . . , vk) (ω ∈ Λk+1(V ∗), k ≥ 0)

es llamada producto interior por el vector u.


3. Variedades diferenciables: Conceptos básicos

Definición 3. Una variedad topológica n-dimensional M es un espacio topológicoHaussdorf, II-Axioma de Numerabilidad y localmente euclidiano de dimensión n.

La última condición expresa que todo punto p ∈ M admite un entorno abiertoU(p) homeomorfo a un abierto euclidiano O de Rn. Si ϕ : U → O es el homeomor-fismo en cuestión, diremos que (U,ϕ) es una carta, parametrización o sistema decoordenadas en M .Definición 4. Dada una variedad topológica n-dimensional M , una familia de car-tas A = (Uα, ϕα) : α ∈ Λ en M se dice que define una estructura diferenciable enM (y que A es un atlas diferenciable en M) si

∪α∈ΛUα = M .Si Uα∩Uβ 6= ∅ entonces ϕβ ϕ−1

α : ϕα(Uα∩Uβ)→ ϕβ(Uα∩Uβ) es diferenciable(cambio de carta diferenciable).Toda carta ϕ : U → O en M satisfaciendo que

ϕ ϕ−1α : ϕα(Uα ∩ U)→ ϕ(Uα ∩ U) es diferenciable ∀α ∈ Λ tal que Uα ∩ U 6= ∅,

está contenida en A (maximalidad).Si M es una variedad diferenciable y (U,ϕ) es una carta en la estructura dife-

renciable de M :Las funciones xj := rj ϕ, donde rj : Rn → R es la j-ésima proyección, se-rán llamadas funciones coordenadas de la carta (U,ϕ), que en ocasiones serepresentará (U, x1, . . . , xn).Si p ∈ U , la carta (U,ϕ) se dirá centrada en p si ϕ(p) = 0, y cúbica si ϕ(p) = 0y ϕ(U) es un cubo de Rn centrado en el origen.

Nota 1. La condición de II-Axioma de Numerabilidad es crucial para garantizarparacompacidad y la existencia de particiones de la unidad en variedades diferencia-bles. Es interesante señalar que existen espacios topológicos localmente euclidianosy Haussdorf que no son II-Axioma de Numerabilidad. Quizá el más conocido sea larecta larga o recta de Alexandrov.

Si dim(M) = n, normalmente escribiremos Mn para representar a la variedadenfatizando su dimensión.Definición 5. Dadas dos variedades M y N (dim(N) = m), una aplicación con-tinua f : M → N se dice diferenciable si para cualesquiera cartas (U,ϕ) en M y(V, ψ) en N tales que U ∩ f−1(V ) 6= ∅, se tiene que

ψ f ϕ−1∣∣∣ϕ(U∩f−1(V )

) : ϕ(U ∩ f−1(V )

)→ Rm

es diferenciable. Denotaremos C∞(M,N) al espacio de las funciones diferenciablesM → N . Por simplicidad escribiremos C∞(M) = C∞(M,R).


Dada una variedad diferenciable M y un punto p ∈M , denotaremos por Fp(M)al álgebra de las funciones diferenciables definidas localmente alrededor de p. Dosfunciones de Fp(M) se considerarán iguales si coinciden en un abierto que contienea p (Fp(M) ha de entenderse como un cociente bajo esa relación; cada clase deequivalencia es conocida como un germen de función diferenciable alrededor de p enM).Definición 6. Un vector tangente en p ∈ M es una derivación v : Fp(M) → R,esto es, una aplicación lineal satisfaciendo v(f · g) = f · v(g) + g · v(f).

El conjunto de los vectores tangentes es de forma natural un espacio vectorial,que denotaremos TpM o Mp.

Denotemos por F 0p (M) ⊂ Fp(M) el ideal de los gérmenes de funciones dife-

renciables f alrededor de p tales que f(p) = 0. Análogamente, F 1p (M) denotará

el ideal de Fp(M) generado por los productos de pares de funciones en F 0p (M):

F 1p (M) ⊂ F 0

p (M) ⊂ Fp(M). No es difícil ver que Mp y(F 0p (M)/F 1

p (M))∗ son na-

turalmente isomorfos; obviamente toda derivación v ∈ Mp induce la forma lineallv : F 0

p (M)/F 1p (M) → R, lv([f ]) = v(f), y recíprocamente si l ∈

(F 0p (M)/F 1

p (M))∗

la aplicación vl : Fp(M)→ R, vl(f) = l([f − f(p)]

), pertenece a Mp.

Dada una carta (U,ϕ = (x1, . . . , xn)) (n = dim(M)) en M y un punto p ∈ U ,denotaremos ∂

∂xj

∣∣p∈Mp a la derivación

∂

∂xj

∣∣∣p

: Fp(M)→ R,∂

∂xj

∣∣∣p(f) := ∂f ϕ−1

∂rj

∣∣∣ϕ(p)

.

Teorema 1. F 0p (M)/F 1

p (M) es un espacio vectorial de dimensión dim(M). Comoconsecuencia, Mp tiene dimensión dim(M).

Dada cualquier carta (U,ϕ = (x1, . . . , xn)) en M , los vectores ∂∂x1

∣∣∣p, . . . , ∂

∂xn

∣∣∣p

son una base de Mp.Ejercicio 3. Demostra el Teorema 1.

Necesitaremos los siguientes conceptos y notaciones.Definición 7. TM = ∪p∈MMp denotará fibrado tangente de M .

La estructura diferenciable de TM es la que determinan las parametrizaciones

∪q∈UMq → ϕ(U)× Rn,n∑j=1

aj∂

∂xj

∣∣∣p7→(ϕ(p), (a1, . . . , an)

),

asociadas a las cartas (U,ϕ = (x1, . . . , xn)) en M . Con esta estructura diferenciable,la proyección π : TM →M , Mp 3 v 7→ p, es diferenciable.Definición 8. Un campo sobre M es una sección de TM , esto es, una aplicaciónX : M → TM tal que π X = IdM . Cuando la sección sea diferenciable el campose dirá diferenciable. El espacio de los campos tangentes diferenciables sobre M serádenotado por X(M), y si X ∈ X(M) escribiremos X(p) = Xp, p ∈M .


Dado X ∈ X(M) y f ∈ C∞(M), denotaremos X(f) : M → R a la funciónX(f)(p) := Xp(f), p ∈M .Ejercicio 4. Probar que un campo de vectores X sobre M es diferenciable si y solosi X(f) es diferenciable para toda función f ∈ C∞(M).

Dadas dos variedades diferenciables M , N , el producto cartesiano M ×N es deforma canónica una variedad diferenciable con el atlas generado por los productos decartas de M y N . Dados campos X sobre M e Y sobre N , denotaremos por (X,Y )al campo (X,Y )(p, q) := (X(p), Y (q)).Proposición 1. (X,Y ) ∈ X(M ×N) si y solo si X ∈ X(M) y Y ∈ X(N).

Además, si consideramos p ∈M , q ∈ N , y las aplicaciones diferenciables

i1q : M →M ×N , i1q(a) = (a, q), e i2p : N →M ×N , i2p(b) = (p, b),

se tiene que

(X,Y )(p,q)(f) = Xp(f i1q) + Yq(f i2p) para toda f ∈ C∞(M).

Ejercicio 5. Demuestra la Proposición 1.Definición 9. Dados dos campos X, Y ∈ X(M), su corchete de Lie, denotado[X,Y ], se define como el campo de X(M) dado por

[X,Y ]p(f) = Xp(Y (f))− Yp(X(f)) para toda f ∈ C∞(M) y p ∈M .

Ejercicio 6. Probar que el corchete de Lie satisface las siguientes propiedades:[X,Y ] = −[X,Y ] (anticonmutativa).[X, [Y,Z]] + [Y, [Z,X]] + [Z, [X,Y ]] = 0 (Identidad de Jacobi).

Definición 10. Sea f : M → N diferenciable. Dado v ∈ Mp, escribiremos pordfp(v) ∈ Nf(p) al vector tangente definido por dfp(v)(h) := v(h f), h ∈ Ff(p)N .

La aplicación lineal dfp : Mp → Nf(p) es conocida como la diferencial de f enp. Llamaremos también df : TM → TN a la diferencial global definida por df(v) =dfp(v) si v ∈Mp. Es fácil comprobar que df es diferenciable.Definición 11. Dada f : M → N diferenciable, dos campos X ∈ X(M) e Y ∈ X(N)están f -relacionados si Yf(p) = df(Xp) para todo p ∈M .Proposición 2. Sean M y N variedades diferenciables y f : M → N una aplicacióndiferenciable. Si X1, X2 ∈ X(M) e Y1, Y2 ∈ X(N) son tales que Xj e Yj están f -relacionados, j = 1, 2, entonces [X1, X2] y [Y1, Y2] están f -relacionados.Ejercicio 7. Probar la Proposición 2.Definición 12. Una aplicación diferenciable ϕ : N → M se dice una inmersión sidϕp : Np →Mϕ(p) es injectiva para todo p ∈ N .

Dada una aplicación diferenciable ϕ : N →M , se dice que (N,ϕ) es una subva-riedad de M si:

ϕ es inyectiva.


ϕ es una immersión.Si además ϕ es un embebimiento topológico (esto es, ϕ es un homeomorfismo entreN y ϕ(N) dotado este último de la topología inducida por M), se dice que (N,ϕ) esun embebimiento.

Nótese que si (N,ϕ) es una subvariedad cerrada de M , esto es, ϕ(N) es cerradode M , la aplicación ϕ no ha de ser necesariamente un embebimiento. Ésto sí ocurrecuando ϕ es propia. La figura de abajo aclara estos conceptos en el caso 1-dimensional

Dos subvariedades (Nj , ϕj), j = 1, 2, de M se dicen equivalentes si existe un difeo-morfismo f : N1 → N2 tal que ϕ2 f = ϕ1. Esta relación binaria es de equivalenciaen la familia de las subvariedades de M .

Dada una subvariedad (N,ϕ) de M , llamemos A = ϕ(N) ⊂M e i : A→M a laaplicación inclusión. Si dotamos a A de la única estructura diferenciable que hace aϕ : N → A un difeomorfismo, el par (A, i) es una subvariedad de M pero no nece-sariamente A tiene la topología inducida por M , salvo que ϕ sea un embebimiento.Usualmente escribiremos sólo A ⊂ M para referirnos al par (A, i), y diremos que(A, i) es "el representante canónico" de la clase de subvariedades determinada por(N,ϕ).Nota 2. No es cierto que todo subconjunto A ⊂ M sea una subvariedad de M víala inclusión.

Por otra parte, un mismo subconjunto A ⊂M puede admitir distintas estructurasdiferenciables no equivalentes que hagan de (A, i) una subvariedad de M . El ejemplotípico es la figura ocho en el plano de abajo, donde la recta real se inyecta comosubvariedad en R2 de dos formas distintas: (R, ψ) y (R, ϕ), con ψ(0) = ϕ(0) = 0.Obsérvese que A = ϕ(R) = ψ(R). Llamemos A1 a la estructura diferenciable sobreA inducida por ψ y A2 a la estructura diferenciable sobre A inducida por ϕ; enambos casos variedades difeomorfas a R. La única aplicación ψ0 : R → R haciendoϕ ψ0 = ψ ni siquiera es continua en el origen (obsérvese que ψ0(0) = 0). Portanto (A1, i) ≡ (R, ψ) y (A2, i) ≡ (R, ϕ) no son subvariedades equivalentes, a pesarde corresponderles el mismo subconjunto A ⊂ R2.


En general, la identificación canónica entre subvariedades abstractas de M ysubconjuntos de M l leva a ambigüedades.

3.0.1. Flujo de un campo de vectores

Sea M una variedad diferenciable, y sea c : ]a, b[→ M una curva diferenciable.Denotaremos

c′(t) := dc( ∂∂r

∣∣∣t) ∈Mc(t),

donde (]a, b[, r) es la carta definida por la aplicación identidad en ]a, b[. Llamaremosa este vector el vector tangente a la curva c en t.Definición 13. Dado un campo X ∈ X(M), se dice que la curva c : ]a, b[→ M esuna curva integral del campo X si c′(t) = Xc(t) para todo t ∈]a, b[.

Si (U,ϕ ≡ (x1, . . . , xn) es una carta en M (dim(M) = n), c(]a, b[) ⊂ U y X∣∣U

=∑nj=1 fj

∂∂xj

, donde fj ∈ C∞(U) para todo j = 1, . . . , n, se tiene que c(t) es unacurva integral si y solo si

(xj c)′(t) = fj(c(t)) = (fj ϕ−1)(x1(c(t)), . . . , xn(c(t))

), j = 1, . . . , n.

Dado p ∈ M , La teoría de EDO nos garantiza la existencia una curva integralγp(t) : ] − ε, ε[→ M de X con γp(0) = p para ε > 0 suficientemente pequeño. Es-ta curva integral se puede extender, con el mismo nombre, a una curva integralγp : ]a(p), b(p)[→ M de X de dominio maximal. El siguiente teorema, que puedeconsultarse en [1], resume las propiedades fundamentales del flujo Xt : t ∈ R aso-ciado a un campo diferenciable X.Teorema 2. SeaM una variedad diferenciable y X ∈ X(M) un campo diferenciable.

Para cada p ∈M existen a(p), b(p) ∈ R ∪ −∞,+∞ y una curva diferenciable

γp : ]a(p), b(p)[→M

tales que:(a) 0 ∈]a(p), b(p)[ y γp(0) = p.(b) γp es una curva integral de X.


(c) Si µ : ]c, d[→ M es una curva diferenciable satisfaciendo (a) y (b), entonces]c, d[⊂]a(p), b(p)[ y µ = γp

∣∣]c,d[.

(d) Si Dt := p ∈M : t ∈]a(p), b(p)[ y Xt : Dt →M , Xt(p) := γp(t), entonces:(d)1 Para cada p ∈ M , existe un abierto V entorno de p y ε > 0 tales que la

aplicación]− ε, ε[×V →M, (t, p) 7→ Xt(p)

es diferenciable.(d)2 Dt es abierto para todo t ∈ R.(d)3 ∪t∈RDt = M .(d)4 Xt : Dt → D−t es un difeomorfismo con inversa X−t para todo t ∈ R.(d)5 Dados s, t ∈ R, el dominio de Xs Xt está contenido pero en general no

es igual a Ds+t. El dominio de Xs Xt es igual a Ds+t cuando st > 0.Además, en su dominio la aplicación Xs Xt satisface

Xs Xt = Xs+t.

Definición 14. Un campo X ∈ X(M) se dice completo si Dt = M para todo t ∈ R,o equivalentemente, si ]a(p), b(p)[= R para todo p ∈M .

3.0.2. Fibrados Tensoriales

Sea M una variedad diferenciable. Para cada p ∈ M , denotaremos por M∗p =(TpM)∗ el dual de Mp. Dada una carta (U,ϕ = (x1, . . . , xn)), denotaremos pordxj(p) ∈M∗p a la forma lineal

dxj(p)(v) := v(xj), j = 1, . . . , n.

Claramente dx1(p), . . . , dxn(p) es la base dual de ∂∂x1

∣∣p, . . . , ∂

∂xn

∣∣p.

Definición 15. Escribiremos Λ1(M∗) ≡ T ∗(M) = ∪p∈MM∗p para denotar el fibradocotangente de M .

La estructura diferenciable de Λ1(M∗) es la que determinan las parametrizaciones

∪q∈UM∗q → ϕ(U)× Rn,n∑j=1

ajdxj(p) 7→(ϕ(p), (a1, . . . , an)

),

asociadas a las cartas (U,ϕ = (x1, . . . , xn)) en M . Con esta estructura diferenciable,la proyección π : Λ1(M∗)→M , M∗p 3 ψ 7→ p, es diferenciable.Definición 16. Una 1-forma sobre M es una sección de Λ1(M∗), esto es, unaaplicación α : M → Λ1(M∗) tal que π α = IdM . El espacio de las 1-formas dife-renciables sobre M será denotado por E1(M).Ejercicio 8. Probar que una 1-forma α es diferenciable si y sólo si α(X) : M → R,α(X)(p) := α(p)(Xp), es diferenciable para todo X ∈ X(M).


Definición 17. A continuación presentaremos los distintos fibrados de tensoresen una variedad diferenciable M . Sus estructuras diferenciables son las estandarvinculadas a las cartas de M ; ver [1] para más detalles.

Fibrado de los tensores de tipo (r, s) sobre M viene dado por:

Tr,s(M) = ∪p∈M (Mp)r,s.

fFibrado exterior de k-formas:

Λ∗k(M) = ∪p∈MΛk(M∗p ),

0 ≤ k ≤ dim(M) (para k = 0, Λ∗0(M) = M × R).Llamaremos Ek(M) al conjunto de las secciones diferenciables de Λ∗k(M) ok-formas diferenciables sobre M . Obviamente E0(M) = C∞(M).Fibrado del álgebra exterior sobre M :

Λ∗(M) = ∪p∈MΛ(M∗p ).

Escribiremos E∗(M) = ∪kEk(M) al conjunto de todas las formas diferencia-bles sobre M , que es un álgebra graduada con el producto exterior ∧.

Definición 18. Si f : M → N es diferenciable, llamaremos δf : N∗f(p) → M∗p laaplicación dual de dfp, esto es, (δf)(ω)(v) = ω(dfp(v)) para toda ω ∈ N∗f(p) y v ∈Mp.

Desde un punto de vista global, la aplicación δf : T ∗N → T ∗M no tiene sentido(salvo que f sea un difeomorfismo en cuyo caso es diferenciable). Sin embargo, δf síque tiene sentido sobre secciónes globales de estos fibrados.Definición 19. Sean M y N variedades diferenciable, y sea f : M → N diferencia-ble. Para cada ω ∈ Ek(N) definimos

(δfω)p(v1, . . . , vk) = ωf(p)(dfp(v1), . . . , dfp(vk)), v1, . . . , vk ∈Mp.

En particular, (δfω)p = ωf(p) dfp para todo p ∈M .Ejercicio 9. Comprobar que si f : M → N es diferenciable entonces δfω ∈ Ek(M)para toda ω ∈ Ek(N).

3.0.3. Derivaciones

Vamos a presentar las derivaciones más relevantes en Geometría Diferencial, asaber, el producto interior, la diferencial exterior y la derivada de Lie.Definición 20 (Producto Interior). Sea X ∈ X(M) y ω ∈ E∗(M). El productointerior de ω por X es la forma i(X)ω ∈ E∗(M) que viene dada por la expresión

(i(X)ω)p = i(Xp)ωp,

donde i(Xp) representa el producto interior por Xp en Λ(M∗p ); ver Definición 2.Obviamente i(X) : E∗(M) → E∗(M) es una antiderivación en el álgebra graduadaE∗(M) de grado −1.


Ejercicio 10. Dados X ∈ X(M) y ω ∈ E∗(M), probar que i(X)ω es diferenciable(y por tanto i(X)ω ∈ E∗(M) como se afirma en la definición anterior).

El siguiente resultado es bien conocido, los detalles se pueden consultan en [1].Teorema 3 (Diferencial Exterior). Existe una única antiderivación d : E∗(M) →E∗(M) de grado +1 tal que:

d2 = 0.df es la diferencial de f para toda f ∈ C∞(M).

Recordemos que, dada una carta (U, x1, . . . , xn) en M y para cualquier 0 ≤ k, dviene determinada por la expresión

d(fdxi1 ∧ . . . ∧ dxik) =n∑j=1

df( ∂

∂xj)dxj ∧ dxii ∧ . . . ∧ dxik , f ∈ C∞(U).

Dada una aplicación diferenciable f : M → N , recordemos que el operador δf tienesentido como transformación de Λk(N∗f(p)) → Λk(M∗p ) para todo 0 ≤ k ≤ dim(N)y p ∈ M . Si ω ∈ Λk(N∗f(p)), δf(ω)p(v1, . . . , vk) = ωf(p)(dfp(v1), . . . , dfp(vk)) paratodos v1, . . . , vk ∈Mp, y por tanto δf se extiende como operador Ek(N)→ Ek(M).Es interesante preguntarse el comportamiento de la diferencial exterior respecto dela codiferencial.Proposición 3. Dada f : M → N diferenciable,(a) δf : Ek(N) → Ek(M) es un homomorfismo de álgebras, esto es, es lineal y

satisface δf(ω1 ∧ ω2) = δf(ω1) ∧ δf(ω2).(b) δf y d conmutan: δf(dω) = d(δf(ω)).(c) δf(ω)(X1, . . . , Xk)(p) = ωf(p)(dfp(X1(p)), . . . , dfp(X1(p))) para todos X1, . . . , Xk ∈

X(M), ω ∈ Ek(M) y p ∈M .Ejercicio 11. Probar la Proposición 3.

La derivación más importante en Geometría Diferencial es la derivada de Lie.Para poder introducirla de forma correcta, hemos de recordar algunos hechos básicosacerca de campos diferenciables.

Dado X ∈ X(M), denotaremos por Xt : Dt → D−tt∈R el grupo 1-paramétricode transformaciones o flujo asociado a X (ver Teorema 2). Recordemos que dadop ∈ M , la curva integral del campo γp(s) := Xs(p) con γ(0) = p está bien definidapara s ∈]− ε, ε[, ε suficientemente pequeño.Definición 21 (Derivada de Lie). La derivada de Lie para campos, 1-formas ytensores viene dada:(i) Dados X, Y ∈ X(M), la derivada de Lie de Y respecto de X en p ∈ M ,

denotada por (LXY )p, viene dada por la derivada de la siguiente función enMp

(LXY )p = lımt−>0

dX−t(YXt(p))− Ypt

= d

dt

∣∣t=0dX−t(YXt(p)).


(ii) Si ω ∈ E1(M) es una 1-forma, la derivada de Lie de ω respecto de X en p ∈M ,denotada por (LXω)p, viene dada por la derivada de la siguiente función enM∗p

(LXω)p = lımt−>0

δXt(ωXt(p))− ωpt

= d

dt

∣∣t=0δXt(ωXt(p)).

(iii) Si T es un tensor diferenciable de tipo (r, s), esto es, una sección diferenciabledel fibrado Tr,s(M), la derivada de Lie de T respecto de X en p ∈M , denotadapor (LXT )p, viene dada por la derivada en t = 0 de la función en (Mp)r,s cuyovalor en t viene dado por

dX−t(v1 ⊗ . . .⊗ vr)⊗ δXt(u∗1 ⊗ . . .⊗ u∗r)

siT∣∣Xt(p)

= v1 ⊗ . . .⊗ vr ⊗ u∗1 ⊗ . . .⊗ u∗r .

Las propiedades básicas de la derivada de Lie están recogidas en la siguienteProposición 4. La derivada de Lie satisface:(a) LXf = X(f) para toda f ∈ C∞(M).(b) LXY = [X,Y ] para todo X, Y ∈ X(M).(c) LX : E∗(M) → E∗(M) es una derivación de grado 0 que conmuta con la dife-

rencial exterior d, esto es,LX(α ∧ β) = LX(α) ∧ β + α ∧ LX(β) para todas α, β ∈ E∗(M), yd LX = LX d como operadores en E∗(M).

(d) En E∗(M) , LX = i(X) d+ d i(X), donde i(X) : Ek+1(M)→ Ek(M) repre-senta el producto interior i(X)(α)(X1, . . . , Xk) = α(X,X1, . . . , Xk).

(e) si ω ∈ Ek(M) y Y0, . . . Yk ∈ X(M), entonces:

LY0(ω(Y1, . . . , Yk)) = (LY0ω)(Y1, . . . , Yk)+k∑i=1

ω(Y1, . . . , Yi−1, LY0Yi, Yi+1, . . . , Yk).

(f) La acción de la diferencial exterior sobre campos sigue la fórmula:

dω(Y0, . . . , Yk) =k∑i=0

Yiω(Y0, . . . , Yi, . . . , Yk)+

+∑i<j

(−1)i+jω([Yi, Yj ], Y0 . . . , Yi, . . . , Yj , . . . , Yk).

La prueba se puede consultar en [1].


3.0.4. El Teorema de Frobenius: ideales diferenciales

En esta sección recordaremos el teorema clásico de Frobenius, y enunciaremos suversión en el lenguaje de las formas diferenciales. Expliquemos los detalles.Definición 22. Una distribución D de dimensión c ≤ dim(M) sobre una variedaddiferenciable M consiste en una asignación M 3 p 7→ Dp ⊂ Mp, donde Dp es unsubespacio vectorial de dimensión c de Mp para todo p ∈M .

Una distribución D se dice diferenciable si para todo punto p ∈ M existe unentorno abierto U de p y campos X1, . . . , Xc ∈ X(U) tales que Dq está generado porX1(q), . . . , Xc(q) para todo q ∈ U .

Dado un campo X ∈ X(M), diremos que X pertenece a D, X ∈ D, si Xp ∈ Dppara todo p ∈ M . La distribución se dice involutiva si [X,Y ] ∈ D para todos X,Y ∈ D.

Una subvariedad (N,ϕ) de M se dice una variedad integral de D si dϕ(Np) ⊂Dϕ(p) para todo p ∈ N .Teorema 4 (Frobenius). Dada una distribución diferenciable D c-dimensional enM , son equivalentes:(i) D es involutiva.(ii) Por todo punto de M pasa una variedad integral de D.(iii) Dado p ∈M existe un sistema de coordenadas cúbico (U, x1, . . . , xn) centrado

en p (n = dim(M)) tal que las láminas

xi =constante para todo i ∈ c+ 1, . . . , n

son subvariedades integrales de D.Además, en caso de ser cierto (i) (o (ii) o (ii))

cualquier variedad integral conexa (N,ϕ) con ϕ(N) ⊂ U tiene imagen ϕ(N)contenida en alguna de las láminas en (iii).Por cada punto p ∈ M pasa una única variedad integral conexa de D maxi-mal, esto es, cuya imagen ϕ(N) no es un subconjunto propio de otra variedadintegral de D conexa.

Un resultado que complementa al Teorema de Frobenius, y que resulta especial-mente útil en la teoría de grupos de Lie, es el siguienteTeorema 5. Supongamos que ψ : N →M es diferenciable, que (P,ϕ) es una varie-dad integral de una distribución involutiva D sobre M , y que ψ factoriza a través de(P,ϕ), esto es, ψ(N) ⊂ ϕ(P ).

Entonces la única aplicación ψ0 : N → P tal que ϕ ψ0 = ψ (siempre existe) esdiferenciable.

Para la prueba de estos resultados consultar [1].

El Teorema de Frobenius tiene una versión dual con el lenguaje de las formasdiferenciales. Para enunciarlo necesitamos alguna notación.


Dada una distribución diferenciable D de dimensión c, decimos que una k-formaω ∈ Ek(M) anula a D si para todo p ∈M ,

ωp(v1, . . . , vk) = 0 para todos v1, . . . , vk ∈ Dp.

Una forma ω ∈ E∗(M) anula a D si lo hacen sus partes homogéneas en Ek(M),k ≥ 0. El anulador I(D) de D se define como:

I(D) = ω ∈ E∗(M) : ω anula a D.

Una colección de 1-formas ω1, . . . , ωd ∈ E1(M) se dice independiente si para todop ∈M el sistema ω1(p), . . . , ωd(p) es independiente en M∗p .Definición 23. Un abierto U en Mn se dice especial para D si existen 1-formasindependientes ω1, . . . ωn−c ∈ E1(U) tales que ω1(q), . . . ωn−c(q) es una base delanulador de Dq en M∗q para todo q ∈ U .

Si U es un abierto especial para D con formas independientes ω1, . . . ωn−c, en-tonces I(D)|U := ω|U : ω ∈ I(D) coincide con el ideal de E∗(U) generado porω1, . . . ωn−c.

La conexión entre distribuciones diferenciables e ideales de E∗(M) está recogidaen la siguiente proposición, cuya prueba se puede encontrar en [1]. Esencialmente nosdice que toda distribución diferenciable de dimensión c se puede definir localmentea partir de n− c 1-formas diferenciables, o con un lenguaje más global, por el idealque éstas generan.Proposición 5. Sea D una distribución diferenciable c-dimensional sobre Mn. En-tonces(a) El anulador I(D) es un ideal de E∗(M).(b) I(D) está generado localmente por n− c 1-formas diferenciables, esto es,

Todo p ∈M admite un entorno especial para D.ω ∈ I(D) sí y sólo sí existe un recubrimiento abierto U de M por abiertosespeciales para D tal que ω|U ∈ I(D)|U para todo U ∈ U .

El recíproco es cierto: si I es un ideal en E∗(M) localmente generado por n − c1-formas independientes, existe una única distribución diferenciable de dimensión ccon I(D) = I.

Las distribuciones asociadas al Teorema de Frobenius son aquellas que llama-mos involutivas. Parece natural buscar un concepto ligado al ideal asociado a unadistribución que refleje esa propiedad: éste será el de ideal diferencial. La siguientedefinición será por tanto crucial.Definición 24. Un ideal I ⊂ E∗(M) se dice diferencial si es cerrado (o invariante)para la diferencial exterior, esto es, d(I) = I.

La clave de la versión del teorema de Frobenius para ideales es la siguientepropiedad.


Proposición 6. Una distribución diferenciable D en M es involutiva sí y sólo siI(D) es un ideal diferencial.Ejercicio 12. Probar la Proposición 6.

Naturalmente, esa propiedad garantiza la existencia de variedades integrales.Precisemos el lenguaje. Una subvariedad (N,ϕ) de M se dice una variedad integralde un ideal I ⊂ E∗(M) si δϕ(ω) = 0 para toda ω ∈ I. Una variedad integral conexa(N,ϕ) de un ideal I se dice maximal si su imagen ϕ(N) no es un subconjunto propiode otra variedad integral conexa de I.

El enunciado del Teorema de Frobenius con el lenguaje de ideales es el siguiente:Teorema 6 (Frobenius). Sea I ⊂ E∗(M) un ideal diferencial localmente generadopor n− c 1-formas independientes (n = dim(M)), y sea p ∈M . Entonces existe unaúnica variedad integral conexa y maximal de I pasando por p.

Acabaremos este apartado con un teorema de especial utilidad en la teoría degrupos de Lie. La prueba se puede hacer como ejercicio (consultar [1]).Teorema 7. Sean N c y Mn variedades diferenciables, y denotemos por π1 y π2las proyecciones canónicas de N ×M en N y M respectivamente. Supongamos queexiste una base ω1, . . . , ωn de 1-formas global en M .(a) Si f : N → M es una aplicación diferenciable, entonces el grafo (p, f(p)) : p ∈

N es una variedad integral del ideal en E∗(N ×M) generado por

δπ1δf(ωi)− δπ2(ωi) : i = 1, . . . , n.

(Observese que esas 1-formas son independientes!!)(b) Si αi : i = 1, . . . , n son 1-formas en N tales que el ideal I en E∗(N ×M)

generado por las siguientes 1-formas independientes

δπ1(αi)− δπ2(ωi) : i = 1, . . . , n

es un ideal diferencial, entonces dados n0 ∈ N y m0 ∈M :Si P ⊂ N ×M es la variedad integral conexa y maximal de I en N ×Mpasando por (n0,m0) dada por el Teorema 6, entonces π1|P : P → N es undifeomorfismo local.Existe un entorno U ⊂ N de n0 y una aplicación diferenciable f : U →Mtal que

f(n0) = m0 y δf(ωi) = αi|U (i = 1, . . . , n).

Además, si U is un abierto conexo en N conteniendo n0 para el que exis-te una aplicación diferenciable f : U → M satisfaciendo f(n0) = m0 yδf(ωi) = αi|U , i = 1, . . . , n, entonces existe una única tal aplicación sobreU .


4. Grupos de Lie y Álgebras de Lie

Comenzamos con la definición de grupo de Lie.Definición 25. Un grupo de Lie G es una variedad diferenciable (finito dimensio-nal) dotada de estructura de grupo de forma que la aplicación

G×G→ G, (σ, τ) 7→ στ−1

es diferenciable.Habitualmente llamaremos e al elemento neutro del grupo de cualquier grupo de

Lie.Ejercicio 13. Probar que:

Si G es un grupo de Lie, las aplicaciones

G→ G, τ 7→ τ−1 y G×G→ G, (σ, τ) 7→ στ

son diferenciables.Si G es un grupo de Lie, la componente conexa G0 del neutro (que es un abiertode G ya que toda variedad es localmente conexa) es a su vez un grupo de Lie.Además, si G1 es una componente conexa de G y τ ∈ G1, la aplicación

G0 7→ G1, σ 7→ τσ

es un difeomorfismo de variedades diferenciables. En particular, todas las com-ponentes de G son difeomorfas.

Ejemplo 1. Presentamos en esta lista algunos de los ejemplos básicos de grupos deLie. Realizar las correspondientes comprobaciones.(a) (Rn,+).(b) (C∗ := C \ 0, ·).(c) S1 ⊂ C∗ con la multiplicación inducida.(d) El producto G×H de grupos de Lie es un grupo de Lie con la operación producto

natural: (σ1, τ1)(σ2, τ2) := (σ1σ2, τ1τ2).

(e) El toro n-dimensional Tn := S1× n· · · ×S1 es un grupo de Lie con la estructuramultiplicativa producto inducida por S1.

(f) La variedad Gl(n,R) de las matrices cuadradas de orden n con determinante nonulo es un grupo de Lie con la multiplicación matricial (el producto de matri-ces y la operación inversa son diferenciables). Recordemos que como variedaddiferenciable Gl(n,R) es simplemente el abierto det−1(R \ 0) de gl(n,R).Análogamente con el subgrupo de las matrices de Gl(n,R) triangulares superiores(todos los escalares debajo de la diagonal principal son nulos).


(g) Si R∗ = R \ 0 y K1 = R∗ × R, la aplicación

(s1, t1)(s2, t2) := (s1s2, s1t2 + t1)

dota a K1 de estructura natural de grupo de Lie. Este grupo es conocido comoel grupo de las transformaciones afines de R. Basta con identificar (s, t) ∈ K1con la transformación afín x 7→ sx + t, y recordar que la multiplicación en K1se corresponde con la composición de transformaciones afines.

(h) Si Kn = Gl(n,R)× Rn, la aplicación

(A1, b1)(A2, b2) := (A1A2, A1b2 + b1)

dota a Kn de estructura natural de grupo de Lie. Este grupo es conocido comoel grupo de las transformaciones afines de Rn. Basta con identificar (A, b) ∈ Kn

con la transformación afín x 7→ Ax+ b. Como antes, la multiplicación en Kn secorresponde con la composición de transformaciones afines.

Ejercicio 14. Probar detalladamente que todos los grupos en Ejemplo 1 son de Lie.Como veremos más adelante, podremos asociar a cada grupo de Lie un álgebra

de Lie de acuerdo con la siguiente definición.Definición 26. Un álgebra de Lie g sobre R es un espacio vectorial real g junto conun operador bilineal [ , ] : g× g→ g (llamado corchete) tal que(i) [x, y] = −[y, x].(ii) [[x, y], z] + [[z, x], y] + [[y, z], x] = 0 (identidad de Jacobi).Más adelante comprobaremos que existe un álgebra de Lie finito dimensional

íntimamente ligada a a cada grupo de Lie, y que ésta refleja las propiedades funda-mentales del mismo. Por ejemplo, los grupos de Lie conexos y simplemente conexosestán determinados salvo isomorfismos por su álgebra de Lie.Ejemplo 2. Veamos algunos ejemplos de álgebras de Lie. Realizar las correspon-dientes comprobaciones.(a) El espacio vectorial X(M) de todos los campos diferenciables sobre M forma un

álgebra de Lie junto con la operación corchete de Lie.(b) Todo espacio vectorial real es un álbebra de Lie con el corchete trivial constante

0. Este álgebra trivial será referida como abeliana.(c) El espacio vectorial gl(n,R) de todas las matrices cuadradas de orden n es un

álgebra de Lie con el corchete [A,B] := AB −BA.(d) Si V es un espacio vectorial 2-dimensional con base x, y, el corchete

[a1x+ b1y, a2x+ b2y] := (a1b2 − a2b1)y, a1, b1, a2, b2 ∈ R

le dota de estructura de álgebra de Lie.(e) R3 con la aplicación bilineal definida por el producto vectorial [u, v] := u× v es

un álgebra de Lie.


Ejercicio 15. Probar detalladamente que todos casos del Ejemplo 2 correspondena álgebras de Lie.

Las transformaciones básicas en un grupo de Lie son conocidas como traslacionesa izquierda (y derecha). Las presentamos a continuación.Definición 27. Sea G un grupo de Lie y σ ∈ G. La traslación a la izquierda lσ yderecha rσ por σ vienen dadas respectivamente por:

lσ(τ) := στ, rσ(τ) := τσ for all τ ∈ G.

Si V ⊂ G, por sencillez escribimos V σ y σV en vez de rσ(V ) y lσ(V ), respectiva-mente.

Un campo de vectores X sobre G (a priori no diferenciable) se dice invariante aizquierda si para cada σ ∈ G, X está lσ-relacionado con él mismo, esto es

dlσ X = X lσ.

La familia de los campos invariantes a izquierda en G se denota por la correspon-diente letra gótica minúscula g (si el grupo de Lie se llamase H escribiríamos h yasí en otros casos).

Análogamente se defien los campos invariantes a derecha.La siguiente proposición será crucial. Describe las propiedades básicas de los

campos invariantes a izquierda y motivará la definición de álgebra de Lie asociadaa un grupo de Lie.Proposición 7. Sea G un grupo de Lie y g su conjunto de campos de vectoresinvariantes a izquierda.(i) g es un espacio vectorial real, y la aplicación α : g → TeG, α(X) = X(e)

es un isomorfismo de espacios vectoriales (en lo que sigue y por simplicidadescribiremos Ge = TeG). Como consecuencia, dim g = dimGe = dimG.

(ii) Todo campo de vectores invariante a izquierda es diferenciable.(iii) El corchete de Lie de campos de vectores invariantes a izquierda es invariante

a izquierda.(iv) g es un álgebra de Lie con la operación corchete de Lie de campos.

Demostración. En relación al item (i), es claro que g es un espacio vectorialy α lineal. Para comprobar que α es inyectiva, supongamos que α(X) = α(Y ) yobservemos que para todo σ ∈ G

X(σ) = (X lσ)(e) = dlσ(X(e)) = dlσ(Y (e)) = (Y lσ)(e) = Y (σ),

de dondeX = Y . Para la sobreyectividad, consideremos x ∈ Ge y definamosX(σ) :=dlσ(x) ∈ TσG para todo σ ∈ G. Claramente α(X) = x, y X es invariante a izquierda(esto es, X ∈ g) toda vez que para todo σ, τ ∈ G se tiene que

(X lτ )(σ) = X(τσ) = dlτσ(x) = dlτ (dlσ(x)) = dlτ (X(σ)) = (dlτ X)(σ).


Esto prueba (i).Para probar (ii), tomemos X ∈ g, f ∈ C∞(G) y comprobemos que X(f) es

diferenciable. En efecto, observemos que

X(f)(σ) = Xσf = dlσ(Xe)f = Xe(f lσ),

de donde solo resta probar que la función G → R, σ 7→ Xe(f lσ) es diferenciable.Para lograrlo intentaremos ponerla como composición de aplicaciones diferenciables.Denotemos ϕ : G × G → G la aplicación multiplicación del grupo ϕ(σ, τ) = στ .Recordemos la Proposición 1, y con el mismo lenguaje consideremos las aplicacionesdiferenciables

i1e, i2σ : G→ G×G, i1e(τ) := (τ, e), i2σ(τ) := (σ, τ).

Tomemos una campo arbitrario Y ∈ X(G) con la condición de que Y (e) = X(e).Por la Proposición 1,

[(0, Y )(f ϕ)] i1e(σ) = (0, Y )(σ,e)(f ϕ) =

= 0σ(f ϕ i1e) + Ye(f ϕ i2σ) = Xe(f lσ).

De aquí que la función σ 7→ Xe(f lσ) sea diferenciable en G, probando (ii).Como consecuencia de (ii), el corchete de Lie de campos invariantes a izquierda

está bien definido (ya que éstos son diferenciables). Si X es un campo diferenciablelσ-relacionado con él mismo sobre G, e Y es otro campo con la misma propiedad, elcorchete [X,Y ] es un campo lσ-relacionado con [X,Y ] (el corchete de Lie preservala lσ-relación). En otras palabras, [X,Y ] ∈ g, lo que prueba (iii).

Finalmente, (iv) es justo la anticonmutatividad y la identidad de Jacobi para elcorchete de Lie sobre cualquier variedad diferenciable (ver Nota 6).

Ahora podemos enunciar la noción de álgebra de Lie asociada a un grupo de Lie.Definición 28. Definimos el álgebra de Lie del grupo de Lie G como el álgebra deLie g de sus campos invariantes a izquierda.

Equivalentemente, podemos definirla como la construida sobre el espacio vectorialGe con el corchete que hace de la transformación α : g → Ge, α(X) = X(e), unisomorfismo de álgebras de Lie.

La segunda visión del álgebra de Lie g asociada a G es especialmente agradableen el caso de grupos de Lie de matrices, como vamos a ver continuación.Nota 3. Sea V es un espacio vectorial finito dimensional y llamemos n a su di-mensión. Fijada una base B = eii=1,...,n de V , la carta global φB : V → Rn queasigna a cada vector sus coordenadas en B dota de forma canónica a V de estructuradiferenciable(que no depende de la base B elegida).

En esta variedad es natural identificar TuV con el propio V para todo u ∈ V . Estaidentificación canónica se puede describir como sigue. En efecto, consideremos la


carta global φB : V → Rn anteriormente definida. Obsérvese que φB = (r1, . . . , rn),donde B∗ := rii=1,...,n es la base dual de B. Basta con hacer la identificación

α : TuV → V, α(v) =n∑i=1

v(ri)ei,

o equivalentemente,α(∑

ai∂

∂ri

∣∣∣u

)=∑

aiei.

Ejercicio 16. Comprobar que la identificación α es canónica (no depende de labase B utilizada). Probar también que dada una curva diferenciable σ(t) en V , setiene que

α(σ(t0)

)= lımt→t0

σ(t)− σ(t0)t− t0

.

Esta identificación también se aplica a TvΩ, Ω abierto de V .Ejemplo 3. Calculemos el álgebra de Lie asociada a algunos grupos de Lie básicos.

(a) Grupo de Lie G = (R,+). Los campos invariantes izquierda son los constantes,esto es, g = λ ∂

∂r : λ ∈ R ≡ R como espacio vectorial real. El corchete es elconstante 0.

(b) Grupo de Lie G = Gl(n,R) con el producto de matrices. Veamos que el álge-bra de Lie g de Gl(n,R) es canónicamente identificable con el álgebra de Lie(gl(n,R), [ ·, ]) con el corchete [A,B] = AB −BA.Llamemos xi,j a la función coordenada global en gl(n,R) correspondiente a laentrada i, i de cada matriz (notación columna). Nótese que gl(n,R)e = Gl(n,R)e,donde e representa en este caso a la matriz identidad. Como gl(n,R) es un espaciovectorial, la identificación canónica de la Nota 3 se escribe

α : Gl(n,R)e = gl(n,R)e → gl(n,R), α(v) = (v(xi,j))i,j .

Si componemos el isomorfismo g→ Gl(n,R)e, X 7→ X(e), con α obtenemos unisomorfismo de espacios vectoriales natural

β : g→ gl(n,R), β(X) = α(X(e)) = (X(e)(xi,j))i,j .

Veamos que β es el isomorfismo de álgebras de Lie buscado.Para ello consideremos dos campos X, Y ∈ g (invariantes izquierda en Gl(n,R))y comprobemos que β([X,Y ]) = [β(X), β(Y )] = β(X)β(Y )−β(Y )β(X). Bastarácon ver que β([X,Y ])i,j = (β(X)β(Y )− β(Y )β(X))i,j para todo i, j.En efecto,

β([X,Y ])i,j = [X,Y ](e)(xi,j) = Xe(Y (xi,j))− Ye(X(xi,j)). (1)

Por otra parte, la función Y (xi,j) : Gl(n,R)→ R viene dada por

Y (xi,j)(σ) = Yσ(xi,j) = dlσ(Ye)(xi,j) = Y (e)(xi,j lσ),


de donde teniendo en cuenta que xi,j lσ : Gl(n,R)→ R es la función

(xi,j lσ)(τ) = xi,j(στ) =n∑k=1

xi,k(σ)xk,j(τ),

inferimos que

Y (xi,j)(σ) =n∑k=1

xi,k(σ)Ye(xk,j) =n∑k=1

xi,k(σ)α(Ye)k,j =n∑k=1

xi,k(σ)β(Y )k,j .

Es inmediato por tanto que

Xe(Y (xi,j)) =n∑k=1

Xe(xi,k)β(Y )k,j =n∑k=1

α(Xe)i,kβ(Y )k,j =n∑k=1

β(X)i,kβ(Y )k,j

y análogamente

Ye(X(xi,j)) =n∑k=1

β(Y )i,kβ(X)k,j ,

Esto prueba que Xe(Y (xi,j)) − Ye(X(xi,j)) = (β(X)β(Y ) − β(Y )β(X))i,j . Dela equación (1) deducimos que β([X,Y ])i,j = (β(X)β(Y )− β(Y )β(X))i,j comoqueríamos demostrar.

(c) Dado un espacio vectorial real V de dimensión finita n, End(V ) es un espaciovectorial (luego una variedad diferenciable de forma canónica, ver Nota 3). Elconjunto Aut(V ) es obviamente un abierto de End(V ). Fijada una base B en V ,podemos establecer un isomorfismo entre V y Rn. Este isomorfismo induce otronatural entre End(V ), Aut(V ) y gl(n,R), Gl(n,R), respectivamente, sin másque identificar cada transformación lineal f : V → v con la matriz M(f,B) quela representa en la base B. Toda la construcción anterior se traslada de formanatural a Aut(V ) convirtiéndolo en un grupo de Lie con álgebra de Lie End(V ),donde el corchete viene ahora dado por [f, g] = f g − g f . Obsérvese que laestructura de Aut(V ) no depende de la base usada, ni tampoco el álgebra de Liegenerada tras la identificación.

(d) El grupo Gl(n,C) de las matrices regulares con coeficientes complejos es unavariedad real de dimensión 2n2. El espacio vectorial gl(n,C) de las matricescuadradas complejas de orden n tiene dimensión 2n2 también, y forma un álgebrade Lie real con corchete [A,B] = AB − BA. Razonando análogamente a comose hizo en el caso de Gl(n,R) se puede comprobar que gl(n,C) es el álgebra deLie asociada a Gl(n,C).

(e) Por argumentos parecidos a los ya expuestos, si V es un espacio vectorial com-plejo de dimensión n entonces el grupo de los automorfismos lineales complejosAut(V ) es un grupo de Lie real de dimensión 2n2 con álgebra de Lie asocia-da la definida por las transformaciones lineales complejas End(V ) con corchete[f, g] = f g − g f .


Ejercicio 17. Completar los detalles de la demostración de lo enunciado en lositems (a), (c), (d) y (e) en Ejemplo 3.

Al igual que hemos definido los campos invariantes a izquierda, podemos hacerlocon las 1-formas.Definición 29. Dado un grupo de Lie G, una k-forma ω sobre G (a priori nonecesariamente diferenciable) se dice invariante a izquierda si δlσω = ω para todoσ ∈ G, esto es, si para todo σ ∈ G se tiene que:

(δlσω)τ = ωlσ(τ) (dlσ)τ = ωστ (dlσ)τ coincide con ωτ para todo τ ∈ G.

El espacio de las k-formas invariantes izquierda sobre G será denotado por Ekl inv(G),y escribiremos E∗l inv(G) =

⋃dim(G)k=0 Ekl inv(G).

Las 1-formas de E1l inv(G) son también llamadas formas de Maurer-Cartan.

Puede probarse una proposición dual a la Proposición 4.Proposición 8. Dado un grupo de Lie G, los siguientes enunciados son ciertos:(a) Las formas invariantes a izquierda son diferenciables.(b) E∗l inv(G) es un subalgebra del álgebra E∗(G) de las formas diferenciables sobre

G, y la aplicación ω 7→ w(e) es un isomorfismo de álgebras entre E∗l inv(G) yΛ(G∗e). En particular, esta aplicación proporciona un isomorfismo natural entreE1l inv(G) y G∗e, luego con g∗ (en este sentido E1

l inv(G) es considerado como elespacio dual del álgebra de Lie de G).

(c) Si ω ∈ E1l inv(G) y X ∈ g ⊂ X(M), entonces ω(X) : G→ R es constante, y esta

constante es justo el efecto de ω como elemento del dual g∗ sobre X ∈ g según(b), a saber, ω(e)(Xe).

(d) Si ω ∈ E1l inv(G) y X, Y ∈ g, entonces dw(X,Y ) = −ω[X,Y ].

(e) Sea X1, . . . , Xd una base de g (dimG = d) con base dual ω1, . . . , ωd enE1l inv(G), y llamemos cijk a las constantes estructurales de G definidas por las

ecuaciones

[Xi, Xj ] =d∑k=1

cijkXk.

Entonces,cijk + cjik = 0 y

∑dr=1(cijrcrks + cjkrcris + ckircrjs) = 0.

Las derivadas exteriores de ωi vienen dadas por las ecuaciones de Maurer-Cartan

dωi =∑j<k

cjkiωk ∧ ωj .

Estas ecuaciones implican que la diferencial exterior d es una derivacióninterna a E∗linv(G) (esto es, d : E∗linv(G) → E∗linv(G)) que está gobernadapor las constantes estructurales cijk’s.


Demostración. Probemos (a). Dado un campo de vectores X ∈ X(G) arbitrario,comprobemos que la aplicación ρX : G → Ge ⊂ T (G), ρX(σ) = dlσ−1(Xσ) es dife-renciable (como función sobre Ge o T (G), es equivalente pues Ge es una subvariedadembebida de T (G)). En efecto, las siguientes aplicaciones

Φ: G×G→ G, Φ(σ, τ) = σ−1τ,

dΦ: T (G×G)→ T (G), y

Ψ: G→ T (G×G), Ψ(σ) = (0σ, Xσ)

son diferenciables, y por tanto dΦΨ: G→ T (G). Si α(t) es una curva diferenciableen G con α(0) = σ y α(0) = Xσ, tenemos que

(dΦΨ)(σ) = dΦ(0σ, Xσ) = d

dt

∣∣∣t=0

Φ(σ, α(t)) = d

dt

∣∣∣t=0

lσ−1(α(t)) = dlσ−1(Xσ) = ρX(σ).

Esto prueba que ρX es diferenciable. Como consecuencia, si X := (X1, . . . , Xk) ∈X(G)k la aplicación ρX : G→ (Ge)k ⊂ T (G)k, ρX (σ) = dlσ−1(Xσ) =

(dlσ−1((Xj)σ)

)j

es diferenciable (sobre (Ge)k o T (G)k, es equivalente).Para probar (a), bastará con ver que para toda ω ∈ Ekl inv(G) y X := (X1, . . . , Xk) ∈

X(G)k, la función ω(X ) es diferenciable. En efecto, ω(X )(σ) = ωσ(Xσ) = (δlσ−1ω)σ(Xσ) =ωe(dlσ−1(Xσ)) = (ωeρX )(σ), de donde ω(X ) = ωeρX es diferenciable por ser com-posición de diferenciables.

Probemos (b). Claramente E∗l inv(G) es un subalgebra del álgebra E∗(G) y laaplicación θ : E∗l inv(G) → Λ(G∗e), θ(ω) = ω(e), es un homomorfismo de álgebras.Dada ω ∈ E∗l inv(G) y σ ∈ G, la invarianza a izquierda nos da que ω(σ) = (δlσ−1ω)σ =ωe dlσ−1 . De aquí que ω está unívocamente determinada por ωe y θ es inyectiva.Para la sobreyectividad de θ, tomemos ω0 ∈ Λ(G∗e) y definamos la forma global ωdada por ωσ := δlσ−1ω0 ≡ ω0 dlσ−1 ∈ Λ(G∗σ) para todo σ ∈ G. Es fácil ver queω ∈ E∗l inv(G). En efecto, para todo σ, τ ∈ G se tiene (δlσω)τ = ωlσ(τ) (dlσ)τ =ωστ (dlσ)τ = (ω0 dlτ−1σ−1) (dlσ)τ = ω0 dlτ−1 = ωτ , y por tanto δlσω = ωpara todo σ ∈ G como queríamos demostrar. Como θ(ω) = ω0, la sobreyectividadse sigue.

Item (c) es trivial, ya que ωσ(Xσ) = (δlσ−1ω)σ(Xσ) = (ωlσ−1 (σ) dlσ−1)(Xσ) =ωe(dlσ−1(Xσ)) = ω(e)(Xe). Item (d) es consecuencia de (c) y Proposición 4-(f).

La primera parte de (e) se sigue de la anticommutatividad y la identidad de Jacobidel corchete. Para establecer las ecuaciones de Maurer-Cartan, observemos que de(d) y de la definición de las constantes estructurales obtenemos que dωi(Xj , Xk) =−ωi([Xj , Xk]) = −cjki. Por tanto, teniendo en cuenta que ωj ∧ ωk : j < k es unabase de E2

l inv(G) y dωi =∑j<k dωi(Xj , Xk)ωj ∧ ωk, inferimos que

dωi =∑j<k

−cjkiωj ∧ ωk =∑j<k

cjkiωk ∧ ωj .


5. Homomorfismos entre grupos de Lie

Definición 30. Una aplicación ϕ : G→ H entre grupos de Lie es un homomorfismode grupos de Lie si ϕ es un homomorfismo de grupos diferenciable. Si ϕ es undifeomorfismo diremos que ϕ es un isomorfismo de grupos de Lie (automorfismo siG = H).

Si H = Aut(V ) para algún espacio vectorial V finito dimensional, o H = Gl(n,R)o H = Gl(n,C), entonces todo homomorfismo de grupos ϕ : G → H se dice unarepresentación del grupo de Lie G.

De forma análoga:Definición 31. Si g y h son álgebras de Lie, una aplicación ψ : g → h es un ho-momorfismo de álgebras de Lie si es una aplicación lineal que preserva corchetes(ψ([X,Y ]) = [ψ(X), ψ(Y )]) para todo X, Y ∈ g). Si ψ además es biyectiva, ψ sedirá un isomorfismo de grupos de Lie (automorfismo si g = h).

Si h = End(V ) para algún espacio vectorial V finito dimensional, o H = gl(n,R)o H = gl(n,C), entonces todo homomorfismo de álgebras de Lie ϕ : g → h se diceuna representación del álgebra de Lie g.

Supongamos que ϕ : G→ H es un homomorfismo. Como ϕ(e) = e, la aplicacióndiferencial dϕ : Ge → He, salvo las identificaciones naturales entre el espacio tan-gente en el neutro y el álgebra de Lie, induce una transformación lineal g → h quedenotaremos también como dϕ. Esta aplicación

dϕ : g→ h,

se define así: si X ∈ g, dϕ(X) es el único campo de h (invariante a izquierda en H)satisfaciendo

dϕ(X)(e) = dϕ(X(e)).El siguiente teorema es bastante natural.Teorema 8. Sean G y H grupos de Lie con álgebras de Lie g y h respectivamente,y sea ϕ : G→ H un homomorfismo. Entonces:(a) X ∈ g y dϕ(X) ∈ h están ϕ-relacionados.(b) dϕ : g→ h es un homomorfismo de álgebras de Lie.

Demostración. Para probar (a), si X = dϕ(X) ∈ h, hemos de ver que dϕ(Xσ) =Xϕ(σ). En efecto,

dϕ(X(σ)) = dϕ(dlσ(X(e))) = d(ϕ lσ)(X(e)) = d(lϕ(σ) ϕ)(X(e)) =

= dlϕ(σ)(dϕ(X(e))) = dlϕ(σ)(X(e)) = X(ϕ(σ)).

Para probar (b), tomemosX, Y ∈ g arbitrarios, y como antes pongamos X = dϕ(X),Y = dϕ(Y ) y [X,Y ] = dϕ([X,Y ]) todos ellos campos en h. Por ser h un álgebra deLie, también [X, Y ] ∈ h. Hemos de ver que:

[X,Y ] = [X, Y ].


En efecto, sabemos que por ser X, X e Y , Y parejas de campos ϕ-relacionados,[X,Y ] y [X, Y ] están también ϕ-relacionados. En particular,

[X, Y ](e) = dϕ([X,Y ](e)).

Pero por definición [X,Y ](e) = dϕ([X,Y ](e)), de donde

[X,Y ](e) = [X, Y ](e).

Como el valor en e caracteriza a todo campo invariante izquierda en H, deducimosque [X,Y ] = [X, Y ] como queríamos demostrar.

5.1. Homomorfismos y formas invariantes a la izquierda

Sea ϕ : G→ H un homomorfismo de grupos de Lie.Proposición 9. Los siguientes enunciados son ciertos:(a) La codiferencial δϕ aplica formas de E∗l inv(H) en formas de E∗l inv(G).(b) δϕ : h∗ ≡ E1

l inv(H)→ g∗ ≡ E1l inv(G) es la traspuesta de dϕ : g→ h.

(c) Sea ω1, . . . , wd una base de E1l inv(H) ≡ h∗, y llamemos π1 : G × H → G,

π2 : G×H → H a las proyecciones canónicas. Dado un homomorfismo de álge-bras de Lie ψ : g → h con traspuesto ψ∗ : E1

l inv(H) ≡ h∗ → E1l inv(G) ≡ g∗,

((ψ∗(ω))(X) = ω(ψ(X)), ω ∈ E1l inv(H), X ∈ g), el ideal (bilateral) I de

E∗(G×H) generado por

δπ1ψ∗(ωi)− δπ2(ωi) : i = 1, . . . , d

es un ideal diferencial e invariante izquierda en G×H.En particular, el ideal de E∗(G×H) generado por

δπ1δϕ(ωi)− δπ2(ωi) : i = 1, . . . , d

es un ideal diferencial e invariante izquierda en G×H.

Demostración. Para probar (a), si ω ∈ E∗l inv(H) tenemos que

δlσδφ(ω) = δ(φ lσ)(ω) = δ(lϕ(σ) φ)(ω) = δϕδlϕ(σ)(ω) = δϕ(ω),

de donde δϕ(ω) ∈ E∗l inv(G).


Item (b) es trivial por definición de la codiferencial: δϕ(ω) = ω dϕ para todaω ∈ E∗l inv(H).

Para probar (c), escribamos cjki las constantes estructurales de H en la baseω1, . . . , wd de E1

l inv(H) ≡ h∗, y recordemos que de la Proposición 8-(e),

dωi =∑j<k

cjkiωk ∧ ωj . (2)

La misma expresión es formalmente válida para ψ∗(ωi), esto es:

d(ψ∗(ωi)) =∑j<k

cjkiψ∗(ωk) ∧ ψ∗(ωj). (3)

En efecto, como se trata de 2-formas en E2l inv(G), bastará con comprobar que coinci-

den sobre cualesquiera parejasX, Y de campos invariantes a izquierda sobre G. De laProposición 4-(e) tenemos que en general dω(X,Y ) = Xω(Y ) +Y ω(X)−ω([X,Y ]),de donde si se trata de campos y 1-formas invariantes a izquierda en un grupo deLie (observese que entonces ω(X) y ω(Y ) son funciones constantes), dω(X,Y ) =−ω([X,Y ]). Por tanto,

d(ψ∗(ωi))(X,Y ) = −ψ∗(ωi)([X,Y ]) = −ωi(ψ([X,Y ])) = −ωi([ψ(X), ψ(Y )]),

donde en la última igualdad hemos tenido en cuenta que ψ es un homomorfismo deálgebras. De nuevo por Proposición 4-(e),

d(ψ∗(ωi))(X,Y ) = −ωi([ψ(X), ψ(Y )]) =

= dωi(ψ(X), ψ(Y )) =(∑j<k

cjkiωk ∧ ωj)(ψ(X), ψ(Y )) =

=(∑j<k

cjkiωk(ψ(X)) ∧ ωj(ψ(Y )))

=(∑j<k

cjkiψ∗(ωk) ∧ ψ∗(ωj)

)(X,Y )

lo que prueba (3).Para acabar, como δπj y d conmutan,

d(δπ1ψ

∗(ωi)− δπ2(ωi))

= δπ1d(ψ∗(ωi))− δπ2d(ωi),

de donde usando (3) y (2) obtenemos que

d(δπ1ψ

∗(ωi)− δπ2(ωi))

=∑j<k

cjki(δπ1ψ

∗(ωk) ∧ δπ1ψ∗(ωj)− δπ2(ωk) ∧ δπ2(ωj)

)=

=∑j<k

cjki[(δπ1ψ

∗(ωk)− δπ2(ωk))∧ δπ1ψ

∗(ωj) + δπ2(ωk)∧(δπ1ψ

∗(ωj)− δπ2(ωj))].

Esta expresión final nos dice que d(δπ1ψ∗(ωi))− δπ2(ωi) ∈ I, y por tanto, que I es

un ideal diferencial en E∗(G×H).


Para acabar (c), veamos que I es invariante a izquierda en el grupo de Lie pro-ducto G×H. Esto es consecuencia directa del hecho de que πj es un homomorfismode grupos de Lie, y por tanto, por el item (a), δπj lleva 1-formas invariantes a iz-quierda en 1-formas invariantes a izquierda, j = 1, 2, e igual ocurre con ψ∗. Estoconcluye la demostración.

Como consecuencia, podemos demostrar el siguienteTeorema 9. Sea G un grupo de Lie conexo, y sean ϕ y ψ homomorfismos de Gen otro grupo de Lie H. Supongamos que los homomorfismos de álgebras de Lie dϕ,dψ : g→ h son iguales. Entonces ϕ = ψ.

Demostración. Como dϕ = dψ, deducimos que

δϕ = δψ : E1l inv(H)→ E1

l inv(G).

Tenemos pues dos aplicaciones diferenciables ϕ y ψ de una variedad conexa G enotra variedad H, ambas coinciden en el punto e ∈ G, y ambas con el mismo efecto alhacer pull-back sobre una base de 1-formas de H. Por tanto, los ideales diferencialesgenerados por

δπ1δϕ(ωi)− δπ2(ωi) : i = 1, . . . , d y δπ1δψ(ωi)− δπ2(ωi) : i = 1, . . . , d (4)

coinciden, donde ω1, . . . , wd es una base de E1l inv(H) ≡ h∗. Del Teorema 7,

(σ, ϕ(σ) : σ ∈ G y (σ, ψ(σ) : σ ∈ G son variedades integrales pasando por (e, e)del ideal diferencial determinado en (4), de donde son iguales y ϕ = ψ.

6. Subgrupos de Lie

El concepto central de esta sección está contenido en la siguiente:Definición 32. Un par (H,ϕ) se dice ser un subgrupo de Lie de un grupo de LieG si:(a) H es un grupo de Lie.(b) (H,ϕ) es una subvariedad de G, esto es, ϕ : H → G es una inmersión inyectiva.(c) ϕ : H → G es un homomorfismo de grupos de Lie.Si además ϕ(H) es cerrado en G, (H,ϕ) se dice un subgrupo de Lie cerrado de G.

En la anterior definición, nótese que si ϕ es propia entonces ϕ es un embebimientoy (H,ϕ) es un subgrupo cerrado. Más adelante veremos que ϕ es un embebimientosi y solo si (H,ϕ) es un subgrupo cerrado.

Sea g un álgebra de Lie. Un subespacio vectorial h ⊂ g se dice un subálgebra deLie de g si [X,Y ] ∈ h para todos X, Y ∈ h. Obviamente toda subálgebra de Lie esun álgebra de Lie con el corchete [·, ·] inducido.

Sea (H,ϕ) un subgrupo de Lie de G, y sean h y g sus respectivas álgebras deLie. Entonces dϕ : h→ dϕ(h) se convierte en un isomorfismo de álgebras; téngase en


cuenta el Teorema 8 y el hecho de que dϕ : h → g es un monomorfismo al ser ϕ eneste caso una inmersión.

Dos subgrupos (H,ϕ) y (H1, ϕ1) de G se dicen equivalentes si existe un isomor-fismo de grupos de Lie α : H → H1 tal que ϕ1 α = ϕ. Esta relación binaria es deequivalencia en la familia de los subgrupos de Lie de G, y la unicidad de subgruposde Lie se entenderá salvo equivalencias. Como en el caso de subvariedades, cada cla-se de equivalencia de subgrupos de Lie de G admite un representante (A, i), dondeA ⊂ G es un subgrupo abstracto de G con estructura de variedad diferenciable (nonecesariamente con la topología inducida por G) que le dota de estructura de grupode Lie, y tal que la aplicación inclusión i : A→ G determina una subvariedad de G.En particular, (A, i) es un subgrupo de Lie de G. Cuando consideremos el subgrupode Lie (A, i), usualmente eliminaremos la referencia a la aplicación inclusión i y es-cribiremos A ⊂ G subrupo de Lie. También identificaremos el álgebra de Lie a de Acon di(a) ⊂ g, y por tanto a ⊂ g se considerará un subálgebra de Lie de g. En par-ticular, identificaremos cada campo invariante a izquierda X sobre el grupo de LieA con el campo invariante a izquierda di(X) sobre G con el que está i-relacionado.

Ahora estamos preparados para abordar el teorema fundamental de la teoría degrupos de Lie, que afirma que los subgrupos de Lie de un grupo de Lie conexo estánen correspondencia uno a uno con las subálgebras de Lie de su álgebra de Lie.

Necesitaremos la siguiente proposición.Proposición 10. Sea G un grupo de Lie conexo, y sea U un entorno de e en G.Entonces,

G =∞⋃n=1

Un,

donde Un = u1 · · ·un : uj ∈ U, j = 1, . . . , n. También decimos que U genera G.

Demostración. Sin perdida de generalidad supondremos que U es abierto. SeaV un subconjunto abierto en U conteniendo e y tal que V = V −1 := σ−1 : σ ∈V . Para elegir un tal V , obsérvese que U−1 (definido análogamente) es un abiertoconteniendo al neutro y tómese V = U ∩ U−1.

A continuación definamos

H =∞⋃n=1

V n ⊂∞⋃n=1

Un.

Obsérvese que trivialmente H es un subgrupo abstracto de G. Además H es unabierto en G: V 2 = ∪σ∈V σV es abierto por ser unión de abiertos e inductivamentelos mismo ocurre para V n, n ∈ N. Para n ∈ Z nótese que V n = (V −n)−1.

En consecuencia σH = lσ(H) es un abierto de G para todo σ ∈ G. Como paracualesquiera σ1, σ2 ∈ G, los conjuntos σ1H y σ2H son iguales o disjuntos ya que sonclases laterales izquierda de H en G, esto es, asociadas a la relación de equivalencia

σ1 ∼ σ2 ⇐⇒ σ−12 σ1 ∈ H.


Deducimos pues queH = G \

⋃σH 6=H

σH

es un subconjunto cerrado de G. Por la conexión de G inferimos que G = H, lo queobviamente prueba la proposición.

Ahora podemos abordar el teorema fundamentalTeorema 10. Sea G un grupo de Lie con álgebra de Lie g, y sea h ⊂ g una subálgebrade Lie. Entonces existe un único subgrupo de Lie (H,ϕ) conexo tal que dϕ(h) = h,donde h es el álgebra de Lie de H.

Demostración. Definimos la distribución D en G dada por

D(σ) = X(σ) : X ∈ h, σ ∈ G.

Aquí estamos interpretando los campos X ∈ h ⊂ g como campos invariantes aizquierda en E1

l inv(G). Se tiene queD es una distribución de dimensión d = dim h.D es diferenciable ya que está globalmente generada por cualquiera base X1, . . . , Xdde h.D es involutiva: siX =

∑di=1 aiXi, Y =

∑di=1 biXi son tangentes a D, entonces

[X,Y ] =d∑

i,j=1

(aibj [Xi, Xj ] + aiXi(bj)Xj + bjXj(ai)Xi

)es también un campo que pertenece a D ya que h es subálgebra de g.

Por el Teorema 4, existe una única subvariedad integral maximal (obviamente conexapor definición) (H,ϕ) de D pasando por el punto e ∈ G.

Veamos que ϕ(H) es un subgrupo abstracto de G. En efecto, tomemos σ ∈ ϕ(H).Como D es invariante por traslaciones a izquierda, (H, lσ−1 ϕ) es también unavariedad integral de D pasando por e, de donde por maximalidad lσ−1(ϕ(H)) ⊂ϕ(H). En otras palabras, hemos probado que para cualesquiera σ, τ ∈ ϕ(H) se tieneque σ−1τ ∈ ϕ(H). Esto garantiza que ϕ(H) es un subgrupo abstracto de G.

A continuación, induzcamos en H la única estructura de grupo que conviertea ϕ : H → ϕ(H) en un isomorfismo de grupos, y en consecuencia, a ϕ : H → Gen un homomorfismo de grupos. Comprobemos por fin que H, con la estructuradiferenciable y algebraica dadas, es un grupo de Lie.

Para ello hemos de probar que la aplicación

α : H ×H → H, α(σ, τ) := στ−1

es diferenciable. Para ello, consideremos la aplicación diferenciable

β : H ×H → G, β(σ, τ) := ϕ(σ)ϕ(τ)−1,

y observemos que β = ϕ α.


El Teorema 5 nos garantiza que α es diferenciable, y por tanto que (H,ϕ) esun subgrupo de Lie. Además, si h es el álgebra de Lie de H, se tiene que dϕ(h) =D(e) = h.

Para acabar comprobemos la unicidad de (H,ϕ) (salvo equivalencias). Sea (K,ψ)otro grupo de Lie conexo tal que dψ(k) = h, donde k es el álgebra de Lie de K. Comopara todo τ ∈ K

dψ(Kτ ) = dψ(dlτ (Ke)) = dψ(dlτ (k)) = dlψ(τ)(dψ(k)) = dlψ(τ)(h) = Dψ(τ),

inferimos que (K,ψ) es otra variedad integral de D pasando por e. En consecuenciaψ(K) ⊂ ϕ(H). Por el Teorema 5 de nuevo, existe una única aplicación η : K → Hdiferenciable tal que ϕη = ψ. Como tanto ψ como ϕ son homomorfismos de gruposinyectivos, lo mismo ocurre con η. Es más, al igual que ψ y ϕ, la aplicación η notiene puntos singulares (es regular en todo punto), lo que se traduce en que es undifeomorfismo local. En particular η es un difeomorfismo en un entorno del elementoneutro, por lo que la Proposición 10 nos asegura que es sobreyectiva, y por tanto,un difeomorfismo global. En consecuencia, η es un isomorfismo de grupos de Lie ylos subgrupos (K,ψ) y (H,ϕ) son equivalentes.

Corolario 1. Existe una correspondencia bijectiva entre los subgrupos de Lie co-nexos de un grupo de Lie y las subálgebras de Lie de su álgebra de Lie.Corolario 2. Sea (H,ϕ) un subgrupo de Lie de un grupo de Lie G. Entonces si Hes una componente conexa de H, (H, ϕ|H) es una variedad integral maximal de ladistribución involutiva sobre G determinada por el subálgebra dϕ(h) de g.

Demostración. Consideremos una componente conexa H de H y un punto σ ∈ H.Llamemos H∗ a la componente conexa del neutro e en H. Es claro que lσ(H∗) es unacomponente conexa de H (ya que lσ es un homeomorfismo), de donde por unicidadlσ(H∗) = H.

Por otra parte, consideremos D la distribución en G determinada por el subál-gebra dϕ(h) de g, esto es,

D(σ) = X(σ) : X ∈ h, σ ∈ G.

Notemos que H∗ es de forma natural un grupo de Lie con la estructura heredadade H, y en particular con su misma álgebra de Lie. Por tanto, (H∗, ϕ|H∗) es unsubgrupo de Lie conexo de G, y en particular (H∗, ϕ|H∗) es la única variedad integralmaximal de D pasando por e; ver Teorema 10. Como la distribución D es invariantepor traslaciones a izquierda, lσ(H∗) es también una variedad integral maximal deD, la única pasando por σ. Esto concluye la prueba.


Podemos reenunciar parte del Teorem 10 en términos de ideales diferenciales (verTeorema 6) como sigue:Corolario 3. Sea G un grupo de Lie c-dimensional, y sea I ⊂ E∗(G) un idealgenerado por una colección ω1, . . . , ωc−d, 1 ≤ d ≤ c, de 1-formas invariantes aizquierda. Entonces I es diferencial y la variedad integral maximal I de I que pasapor e ∈ G (obviamente de dimension d) es un subgrupo de Lie de G.

El siguiente resultado válido para grupos de Lie no es cierto en su generalizaciónal ámbito general de variedades diferenciables, como prueban las dos estructurasdiferenciables no equivalentes en la figura del ocho en R2; ver Nota 2.Teorema 11. Sea G un grupo de Lie, y sea A ⊂ G un subgrupo suyo abstracto.Supongamos que que A admite una estructura diferenciable que hace del par (A, i)una subvariedad de G, donde i es la aplicación inclusión.

Entonces esa estructura diferenciable en A es la única satisfaciendo esa condi-ción, y con ella A es un grupo de Lie y (A, i) un subgrupo de Lie de G.

Demostración. Veamos primero que, dotado A de una estructura diferenciabletal que (A, i) una subvariedad de G, el grupo abstracto A se convierte en un grupode Lie. Sea D la distribución (obviamente diferenciable y veremos más adelanteque involutiva) sobre G determinada por las traslaciones a izquierda de los vectorestangentes a A en el neutro e:

D(σ) = dlσ(v) : v ∈ Ae.

Afirmación 1. (A, i) es una variedad integral de D pasando por e ∈ G.

Demostración. Este hecho no es evidente y requiere reflexión. En efecto, conside-remos una curva diferenciable γ(t) en A y τ ∈ A. La curva lτ γ(t) ≡ lτ (iγ(t)) estácontenida en A y es diferenciable en G (i : A→ G es una aplicación diferenciable!!),pero a priori no hay garantías de que sea también diferenciable en A. La patologíatiene que ver con la posibilidad de que dlτ (γ′(t)) /∈ Aτγ(t) para algunos t. Pensemosen la figura ocho de la Nota 2, donde hay una curva diferenciable en R2, conteni-da en la figuara ocho, pasando por el origen y con vector tangente en el origen nocontenido en el tangente a la subvariedad. En otras palabras, genéricamente cabríala posibilidad de que hubiese elementos de D(σ) que no sean tangentes a A paraalgunos σ ∈ A. Hemos de probar que esto no ocurre.

Llamemos k = dim(A). Razonando por reducción al absurdo, supongamos quepara algún σ ∈ A el espacio tangente Aσ no está contenido en D(σ). Podemosencontrar k + 1 curvas β1(t), . . . , βk+1(t) satisfaciendo:

βj(t) es diferenciable en G para todo j.βj(t) ⊂ A para todo j.βj(0) = σ para todo j y β′1(0), . . . , β′k+1(0) son linealmente independientes.

En efecto, tómense β1, . . . , βk las curvas coordenadas asociadas a un sistema decoordenadas diferenciables en A centrado en σ (que son curvas diferenciables en G


ya que i es diferenciable). Para la βk+1, elíjase un vector no nulo v ∈ D(σ)\Aσ, tómeseuna curva γk+1(t) diferenciable en A con γk+1(0) = e y γ′k+1(0) = dlσ−1(v) ∈ Ae,obsérvese que lσ γk+1(t) están contenida en A y es diferenciable en G, y defínaseβk+1(t) = lσ γk+1(t). Traslademos estas curvas a e vía lσ−1 , y construyamos asík + 1 curvas γ1, . . . , γk+1 satisfaciendo:

γj(t) es diferenciable en G para todo j.γj(t) ⊂ A para todo j.γj(0) = e para todo j y γ′1(0), . . . , γ′k+1(0) son linealmente independientes.

(Esta situación no genera la contradicción deseada, recuérdese la típica figura ochoen R2 para una versión uno-dimensional del problema).

El punto clave que hace imposible la patología expresada antes pasa por consi-derar la aplicación

(t1, . . . , tk+1) 7→ γ1(t1) · · · γk+1(tk+1).

(Nótese que este razonamiento usa de forma fuerte la estructura de grupo de Lie deG, y no es válido para variedades generales). Esta aplicación está bien definida enun entorno abierto W del origen de Rk+1 con valores en A ⊂ G (recordar que A esun subgrupo), es diferenciable como aplicación sobre G, y tiene rango máximo en elorigen (que se aplica obviamente en e ∈ G). Podemos extenderla diferenciablementea un difeomorfismo F de un entorno O del origen de Rn (n = dim(G)) con O∩Rk+1 ⊂W , en un entorno U del neutro en G. El par (U ∩A,F−1 i) es pues una inmersióndiferenciable de la subvariedad abierta U ∩ A de A en Rn cuya imagen contieneel subconjunto abierto O ∩ Rk+1 de W , luego de Rk+1. Como dim(A) = k, estocontradice el hecho de que A es II-Axioma de Numerabilidad (ver [1][p. 50]).

En consecuencia, D(σ) = Aσ para todo σ ∈ A y (A, i) es una variedad integralde D pasando por e, probando nuestra afirmación.

Como D es invariante a izquierda, para todo σ ∈ G el par (A, lσ) es una variedadintegral de D pasando por σ. Por el Teorema 4, D es involutiva. Podemos ahorarazonar como en la prueba del Teorema 10 y garantizar que la aplicación

A×A→ A, (σ, τ) 7→ στ−1

es diferenciable y A es un grupo de Lie.Finalmente, para la unicidad supongamos que tenemos dos estructuras diferen-

ciables en A para las que (A, i) es una subvariedad. Llamemos (A1, i1) y (A2, i2)a ambos objetos, y observemos que por lo ya visto esos pares son formalmente lasvariedades integrales pasando por e de distribuciones (D1 y D2) en G involutivas.Como claramente i2 IdA = i1 y i1 IdA = i2, el Teorema 5 nos garantiza que laaplicación identidad IdA : A1 → A2 es un difeomorfismo.

Como consecuencia, si un subconjunto de un grupo de Lie se puede realizar comoun subgrupo de Lie vía la inclusión, sólo hay una forma de hacerlo: la estructura degrupo, la topología y la estructura diferenciable están unívocamente determinadas.Por tanto no hay ambigüedad en afirmar que un subconjunto A de un grupo de Lie G


es un subgrupo de Lie, ya que sólo lo puede ser de una sola manera. Esto significa queA es un subgrupo abstracto deG que admite una estructura de variedad diferenciable(única) haciendo de A un grupo de Lie y de (A, i) un subgrupo de Lie.

Veamos ahora exactamente en qué condiciones un subgrupo de Lie A ⊂ G tienela topología inducida por G, esto es, cuando i : A→ G es un embebimiento.Teorema 12. Sea (H,ϕ) un subgrupo de Lie d-dimensional de un grupo de Lie c-dimensional G. La aplicación φ es un embebimiento si y sólo si (H,ϕ) es un subgrupocerrado de G (esto es, ϕ(H) es un cerrado de G).

Demostración. Asumamos que ϕ(H) es un cerrado de G, y dotémoslo de la to-pología inducida por G. Es suficiente con probar que existe un abierto V de H deforma que ϕ|V : V → ϕ(H) es un embebimiento. En efecto, lσ : H → H es un di-feomorfismo para todo σ ∈ H, y como (H,ϕ) es un subgrupo de Lie tenemos queϕ lσ = lϕ(σ) ϕ. Por tanto, lϕ(σ) : ϕ(H) → ϕ(H) es biyectiva, y de hecho un ho-meomorfismo por restricción de lϕ(σ) : G → G para todo σ ∈ H. Deduciríamos queϕ|lσ(V ) : lσ(V ) → ϕ(H) sería un embebimiento para todo σ ∈ H, ya que ϕ|lσ(V ) =(lϕ(σ)|ϕ(H)) (ϕ|V ) (lσ|V )−1 sería composición del embebimiento ϕ|V : V → ϕ(H)con los homeomorfismos lϕ(σ)|ϕ(H) : ϕ(H)→ ϕ(H) y (lσ|V )−1 : lσ(V )→ V en el or-den indicado. Como H = ∪σ∈H lσ(V ), ϕ : H → ϕ(H) sería un homeomorfismo local,luego un embebimiento topológico al ser inyectiva.

De forma más precisa, bastará con probar la existencia de un entorno V de e ∈ Htal que ϕ|V : V → ϕ(H) es un embebimiento. Por el Corolario 2 y el Teorema 4, existeun sistema de coordenadas cúbico (U, τ = (τ1, . . . , τc)) en G centrado en e ∈ G (estoes, τ(e) = 0) de forma que ϕ(H) ∩ U consiste en la unión de una familia (a lo másnumerable ya que H es II-Axioma de Numerabilidad) de láminas d-dimensionalesde la forma

τi = constante para todo i ∈ d+ 1, . . . , c,

incluyendo al menos la lámina que pasa por e ∈ G: τi = 0 para todo i ∈ d+1, . . . , c.Sea C ⊂ U un subconjunto cerrado (compacto de hecho) conteniendo a e en suinterior, y cuya imagen por τ sea un subcubo d-dimensional contenido y paralelo alcubo τ(U) y también centrado en el origen 0 = τ(e).


Llamemos S a la lámina (d − c)-dimensional en C (transversal a las láminas deϕ(H) ∩ U) conteniendo al neutro e y definida por

τ1 = 0, . . . , τd = 0.

Se tiene que τ(ϕ(H)∩S) es un subconjunto no vacío, cerrado y numerable de Rc−d.Que no es vacío es claro pues 0 ∈ τ(e) ∈ τ(ϕ(H) ∩ S), que es cerrado se sigue deque ϕ(H) y S son cerrados en G, y que es numerable se deduce de que τ(S) cortacada lámina de τ(ϕ(H) ∩ U) en un único punto y el conjunto de tales láminas esnumerable.

Sin embargo, todo conjunto numerable y cerrado en Rc−d tiene un punto aisla-do. En efecto, el Teorema de la Categoría de Baire dice que todo espacio métricocompleto es un espacio de Baire (esto es, NO se puede poner como unión numerablede subconjuntos cerrados de interior vacío). Si nuestro conjunto no tuviese un puntoaislado, tendríamos un espacio métrico completo (a saber, τ(ϕ(H) ∩ S) con la dis-tancia euclidiana inducida) que es unión numerable de subconjuntos cerrados (suspuntos!!) con interior vacío (un conjunto formado por un solo punto en un espaciotopológico tiene interior vacío si y solo si el punto no es aislado). Por tanto ϕ(H)∩Stiene un punto aislato. En consecuencia existe una lámina aislada S0 en ϕ(H) ∩ U ,y el conjunto V := ϕ−1(S0) es un subconjunto abierto de H sobre el que ϕ actúacomo un embebimiento. Esto acaba la primera parte de la prueba.

Para la segunda, supongamos ahora que ϕ : H → G es un embebimiento topoló-gico. Consideremos una sucesión de puntos σi ⊂ ϕ(H) convergiendo a un puntoσ ∈ G. Como ϕ es un embebimiento, existe un sistema de coordenadas cúbico (U, τ)centrado en e ∈ G tal que ϕ(H) ∩ U consiste de una sola lámina d-dimensional, lla-mémosla S, que como subconjunto de U será cerrada en U . A continuación tomemosentornos V y W cúbicos y paralelos a U respecto de τ , y también centrados en e,satisfaciendo

V ⊂W ⊂ UV −1V ⊂W ⊂ U (usar que G×G→ G, (σ, τ) 7→ σ−1τ , es continua en (e, e)).

Como σi → σ, podemos suponer que σi ⊂ σV . En consecuencia σ−11 σn ∈

(σV )−1(σV ) = V −1σ−1σV = V −1V ⊂ W para todo n ≥ 1. También por ser Hun subgrupo sabemos que σ−1

1 σn ∈ ϕ(H). Deducimos que σ−11 σn ∈ W ∩ ϕ(H) =

W ∩ (U ∩ ϕ(H)) = W ∩ S. Como S es un cerrado en U y W es un compacto en U ,W ∩ S es compacto. Por tanto

W ∩ S ⊇ σ−11 σn → σ−1

1 σ ∈W ∩ S ⊂ S ⊂ ϕ(H).

Como σ1 ∈ ϕ(H), finalmente σ ∈ ϕ(H). Esto prueba que ϕ(H) es cerrado y elteorema.

7. Grupos de Lie y recubridores

Dado un espacio topológico Z arcoconexo, Π1(Z, z) representará el grupo fun-damental de Z en el punto z ∈ Z. El espacio Z se dice simplemente conexo si


Π1(Z, z) = 0 para algún z ∈ Z (luego en todos los puntos de Z). Dados dos es-pacios X e Y arcoconexos y una aplicación f : X → Y continua, denotaremos porf∗ : Π1(X,x)→ Π1(Y, f(x)) al homomorfismo de grupos inducido.

En lo que sigue X e Y serán dos espacios topológicos conexos y localmente ar-coconexos (luego arcoconexos). Una aplicación continua y sobreyectiva π : Y → Xse dice un recubridor, si todo punto x ∈ X admite un entorno abierto arcoconexo Vde forma que π|U : U → V es un homeomorfismo para toda arcocomponente U deπ−1(V ). Diremos entonces que V es un entorno fundamental de x para el recubridorπ : Y → X. Si π′ : Y ′ → X es otro recubridor de X (Y ′ conexo y localmente arco-conexo), una aplicación Φ: Y ′ → Y se dice un homomorfismo entre los recubridoresπ′ y π si π Φ = π′ (endomorfismo si Y ′ = Y y π′ = π). En caso de que Φ sea unhomeomorfismo, Φ se dirá un isomorfismo de recubridores (automorfismo si Y ′ = Yy π′ = π).Teorema 13. Supongamos que π : Y → X es un recubridor, y tomemos puntosx ∈ X e y ∈ π−1(x). Los siguientes resultados son ciertos:(a) π∗ : Π1(Y, y)→ Π1(X,x) es un monomorfismo de grupos para todo y ∈ π−1(x).(b) El cardinal ]π−1(x) = ]

(Π1(X,x)/π∗(Π1(Y, y))

)(cociente de clases a la derecha,

aunque para el cálculo es irrelevante), y no depende de x ∈ X e y ∈ π−1(x) ⊂ Y(número de hojas del recubridor).

(c) Si Z es conexo y localmente arcoconexo, f : Z → X es continua y z ∈ f−1(x) ∈Z, la condición necesaria y suficiente para que exista una aplicación continuaf : Z → Y tal que f(z) = y y π f = f es que f∗(Π1(Z, z)) ⊂ π∗(Π1(Y, y)).Además, de existir una tal f ésta es única.

(d) Si todo x ∈ X admite un entorno U tal que i∗ : Π1(U, x) → Π1(X,x) es elnulo, donde i : U → X es la aplicación inclusión, X se dirá semilocalmentesimplemente conexo. En este caso, X admite un recubridor π′ : Y ′ → X, únicosalvo isomorfismos, tal que Π1(Y ′, y′) = 0 para todo y′ ∈ Y ′. Este recubridor esllamado el universal.

(e) Si π′ : Y ′ → X es recubridor universal de X, existe un homomorfismo Φ: Y ′ →Y entre los recubridores π′ y π. Por tanto, Y ′ recubre a cualquier espacio recu-bridor Y de X (de ahí que a π′ : Y ′ → X se le llame universal).Nuestro primer objetivo es demostrar el siguiente:

Teorema 14. Todo grupo de Lie conexo G tiene un recubridor simplemente conexoG (universal) que es a su vez un grupo de Lie de forma que la aplicación recubridoraπ : G→ G es un difeomorfismo local y un homomorfismo de grupos de Lie.

Demostración. Como G es una variedad diferenciable entonces es semilocalmentesimplemente conexo. Por tanto admite recubridor universal π : G→ G. Dotemos alespacio G de la única estructura diferenciable que hace de π un difeomorfismo local.Como G es una variedad diferenciable entonces es Hausdorff (o T2), y por tanto Ges T2 por ser recubridor de un T2. Igualmente, como G es una variedad diferenciablesu grupo fundamental es numerable, y al ser ]π−1(e) = ]

(Π1(G, e)/π∗(Π1(G, e))

)


inferimos que π−1(e) es numerable y en consecuencia π tiene una cantidad numerablede hojas. De aquí que G sea II-Axioma de Numerabilidad; recordemos que G es II-Axioma de Numerabilidad. Así pues G es una variedad diferenciable. Veamos comodotar a G de estructura de grupo de Lie con esa estructura diferenciable, de formaque π sea un homomorfismo de grupos de Lie. Para ello, consideramos la aplicaciónobviamente diferenciable

α : G× G→ G, α(σ, τ) = π(σ)π(τ)−1.

Fijemos e ∈ π−1(e). Como G× G es simplemente conexo, existe una única

α : G× G→ G

tal que π α = α (levantamiento de α) y α(e, e) = e (condición inicial del levanta-miento); usar Teorema 14-(c).

Definimos las que serán operaciones algebraicas en G. Para cada σ y τ ∈ G,

τ−1 := α(e, τ), στ := α(σ, τ−1). (5)

Como consecuencia de esas definiciones,

e−1 = α(e, e) = e, ee = α(e, e−1) = α(e, e) = e.

Observemos queσe = σ: La aplicación f : G → G, σ 7→ σe, satisface (π f)(σ) = π(σe) =π(α(σ, e−1)) = α(σ, e−1) = α(σ, e) = π(σ)e−1 = π(σ), de donde por unicidaddel levantamiento con condición inicial f(e) = e se deduce que f = IdG.

eσ = σ: La aplicación f : G → G, σ 7→ eσ, satisface (π f)(σ) = π(eσ) =π(α(e, σ−1)) = π(α(e, α(e, σ))) = α(e, α(e, σ)) = α(e, σ)−1 = (π(σ)−1)−1 =π(σ), de donde por unicidad del levantamiento con condición inicial f(e) = ese deduce que f = IdG.

σσ−1 = e: La aplicación f : G → G, σ 7→ σσ−1, satisface (π f)(σ) =π(σσ−1) = π(α(σ, (σ−1)−1)) = α(σ, (σ−1)−1) = α(σ, α(e, σ−1)) = α(σ, eσ) =α(σ, σ) = π(σ)π(σ)−1 = e, de donde por unicidad del levantamiento con con-dición inicial f(e) = e se deduce que f = e constante.σ−1σ = e: La aplicación f : G → G, σ 7→ σ−1σ, satisface (π f)(σ) =π(σ−1σ) = π(α(σ−1, σ−1)) = α(σ−1, σ−1) = π(σ−1)π(σ−1)−1 = e, de don-de por unicidad del levantamiento con condición inicial f(e) = e se deduce quef = e constante.


σ(τ γ) = (στ)γ: Si f : G3 → G, (σ, τ , γ) 7→ σ(τ γ), entonces (π f)(σ, τ , γ) =π(σ(τ γ)) = π(σ(α(τ , γ−1)) = π(α(σ, α(τ , γ−1)−1)) = α(σ, α(τ , γ−1)−1) =α(σ, α(e, α(τ , γ−1))) = π(σ)α(e, α(τ , γ−1)) = π(σ)α(τ , γ−1) = π(σ)(π(τ)π(γ)).Analogamente, si g : G3 → G, (σ, τ , γ) 7→ (στ)γ, un razonamiento similar noslleva a (π g)(σ, τ , γ) = (π(σ)π(τ))π(γ). Por tanto (π g) = (π f). Porla asociatividad en G y la unicidad del levantamiento con condición inicial(e, e, e) 7→ e se deduce que f = g.

De las propiedades anteriores, la ecuación (5) dota a G de estructura de grupo alge-braico. Como la aplicación α es diferenciable (es el levantamiento de una aplicacióndiferenciable a un recubridor diferenciable), G es un grupo de Lie. También de laecuación (5) y las propiedades vistas se deduce que π(τ−1) = π

(α(e, τ)

)= α(e, τ) =

π(τ)−1 y π(στ) = π(α(σ, τ−1)

)= α(σ, τ−1) = π(σ)π(τ−1)−1 = π(σ)(π(τ)−1)−1 =

π(σ)π(τ); esto prueba que π : G → G es un homomorfismo de grupos de Lie yconcluye el teorema.

Proposición 11. Sea G y H dos grupos de Lie conexos y sea ϕ : G → H un ho-momorfismo de grupos de Lie. Entonces ϕ es un recubridor topológico si y solo sidϕ : Ge → He es un isomorfismo de álgebras de Lie.

Demostración. Supongamos primero que ϕ es un recubridor. Entonces dϕ|Ge esinyectivo. En efecto, de otra forma dϕ|Ge tendría núcleo no trivial. Por ser ϕ unhomomorfismo de grupos de Lie, ϕ lσ−1 = lϕ(σ−1) ϕ, de donde dϕe d(lσ−1)σ =d(lϕ(σ−1))ϕ(σ)dϕσ y (dlσ)e

(Ker(dϕe)

)= Ker(dϕσ) ya que las traslaciones a izquier-

da son difeomorfismos, y esto para todo σ ∈ G. Por tanto dϕσ tendría núcleo notrivial en todo punto σ ∈ G, y estos núcleos determinarían la distribución

D = Dσ = dlσ(Ker(dϕe)

)≡ Ker(dϕσ) : σ ∈ G

en G de dimensión ≥ 1 invariante por traslaciones a izquierda. Esta distribuciónestá generada por campos invariantes a izquierda (la que determinan una base deKer(dϕe)), por lo que es diferenciable. Como además esos campos generan la subál-gebra de Lie Ker(dϕ) de g (recordemos que dϕ : g→ h un homomorfismo de álgebras,y por tanto su núcleo es un subálgebra), ésta subálgebra es involutiva como todaslas generadas por campos invariantes a izquierda. Las variedades integrales de Dse aplicarían en puntos vía ϕ, por lo que ϕ no sería un homeomorfismo local, unacontradicción ya que es una aplicación recubridora. Por otra parte, dϕ|Ge debe sersobreyectiva, de otra forma (G,ϕ) sería localmente una subvariedad de H (hemosprobado que dϕ no tiene núcleo!!), obviamente contradiciendo el hecho de que ϕ esun homeomorfismo local. En definitiva dϕ|Ge es un isomorfismo (y por tanto, dϕ esun isomorfismo en todo σ ∈ G).

Recíprocamente, supongamos que dϕ|Ge es un isomorfismo de álgebras de Lie.Como ya hemos comentado, dϕ|Gσ es un isomorfismo para todo σ ∈ G por la in-varianza por traslaciones a izquierda. En particular ϕ es un difeomorfismo local, yen particular ϕ(G) contiene un entorno de e ∈ H. Como ϕ es un homomorfismo degrupos de Lie, ϕ(G) contiene un entorno de e ∈ H y H es conexo, la Proposición 10


garantiza que ϕ(G) = H, esto es, ϕ es sobreyectivo. Para garantizar que ϕ es unaaplicación recubridora bastará con probar que todo punto de H admite un entornofundamental para ϕ. Definamos

D := Ker(ϕ) = ϕ−1(e) ⊂ G.

Como ϕ es un difeomorfismo local, el subgrupo normal D es discreto en G. Por tanto,para todo σ ∈ D existe un entorno Uσ de σ en G tal que Uσ ∩D = σ. Como laaplicación (τ, σ) 7→ τ−1σ es continua (de hecho diferenciable), podemos encontrarun entorno V de e en G tal que V −1V ⊂ Ue. Por tanto,

(V −1V ) ∩D = e.

Comprobemos que ϕ(V ) es un entorno fundamental de e enH. Primero, obsérveseque ϕ|V : V → ϕ(V ) es biyectiva, ya que si σ, τ ∈ V y ϕ(σ) = ϕ(τ) entoncesϕ(τ−1σ) = e, y por tanto τ−1σ ∈ (V −1V ) ∩D = e. Esto prueba que σ = τ y labiyectividad buscada. Como dϕ|Gσ es un isomorfismo para todo σ, concluimos que:

ϕ|V : V → ϕ(V ) es un difeomorfismo y ϕ(V ) es un entorno abierto de e en H.

Comprobemos ahora queϕ−1(ϕ(V )) =

⋃θ∈D

V θ.

En efecto, la inclusión ⊇ es obvia ya que ϕ es un homomorfismo de grupos y ϕ(θ) = epara todo θ ∈ D. Para comprobar la inclusión ⊆, tomemos σ ∈ ϕ−1(ϕ(V )). Por tantoϕ(σ) ∈ ϕ(V ), esto es, existe τ ∈ V tal que ϕ(σ) = ϕ(τ). En particular ϕ(τ−1σ) = e,τ−1σ ∈ D y σ = τ(τ−1σ) ∈ V τ−1σ ⊂

⋃θ∈D V θ como queríamos demostrar.

Veamos que V θ1 ∩ V θ2 = ∅ para todo θ1, θ2 ∈ D, θ1 6= θ2. En efecto, si σ ∈V θ1 ∩ V θ2 entonces σ = τ1θ1 = η2θ2 para algunos τ1,tau2 ∈ V . De aquí deducimos que V −1V 3 τ−1

1 τ2 = θ1θ−12 ∈ D, y por tanto

θ1θ−12 ∈ (V −1V ) ∩D = e, esto es, θ1 = θ2.Comprobemos que ϕ|V θ : V θ → ϕ(V ) = ϕ(V θ) es un difeomorfismo. Como

ϕ|V : V → ϕ(V ) es un difeomorfismo, cuando componemos con la traslación a laderecha rθ−1 |V θ : V θ → V la aplicación (ϕ|V ) (rθ−1 |V θ) : V θ → ϕ(V ) es tambiénun difeomorfismo. Pero claramente ϕ|V θ = (ϕ|V ) (rθ−1 |V θ) : V θ → ϕ(V ), por loque ϕ|V θ es un difeomorfismo para todo θ ∈ D y ϕ(V ) es un entorno fundamental odistinguido para ϕ alrededor de e ∈ H.

Análogamente puede probarse que ϕ(σV ) es un entorno distinguido para ϕ alre-dedor de ϕ(σ), σ ∈ G. Para ello obsérvese que

ϕ−1(ϕ(σV )) =⋃θ∈D

σV θ, σV θ1 ∩ σV θ2 = ∅ para todo θ1, θ2 ∈ D,

y la aplicación ϕ|σV θ : σV θ → ϕ(σV ), que coincide con (lϕ(σ)|ϕ(V ))(ϕ|V θ)(lσ|V θ)−1

donde lϕ(σ)|ϕ(V ) : ϕ(V ) → ϕ(σV ) y (lσ|V θ)−1 : σV θ → V θ, es un homeomorfismopara todo θ ∈ D.


7.1. Grupos de Lie simplemente conexos

Demostremos el siguienteTeorema 15. Sean G y H dos grupos de Lie con álgebras de Lie g y h respectiva-mente y con G simplemente conexo. Sea ψ : g → h un homomorfismo de álgebras.Entonces existe un único homomorfismo ϕ : G→ H tal que dϕ = ψ.

Demostración. La unicidad se sigue del Teorema 9.Veamos la existencia. Sea ω1, . . . , ωk una base de 1-formas invariantes a izquierda

en H (dimH = k) y denotemos por ψ∗ : h → g el homomorfismo traspuesto de ψ.Por la Proposición 9, las 1-formas

δπ1(ψ∗(ωi))− δπ2(ωi), i = 1 . . . , k

en G ×H (donde π1 y π2 son las proyecciones canónicas de G ×H en G y H res-pectivamente) son invariantes a izquierda en el grupo de Lie G × H, y el ideal Ique generan es un ideal diferencial. Por el Corolario 3, la variedad integral conexamaximal P de I que pasa por (e, e) ∈ G×H es un subgrupo de Lie de G×H condimension igual a la dimensión de G. La aplicación π1|P : P → G es un homomorfis-mo de grupos de Lie (evidente) y un difeomorfismo local por el Teorema 7-(b). Porla Proposición 11 inferimos que π1|P : P → G es un recubridor, de donde al ser Gsimplemente conexo π1|P : P → G es un homeomorfismo, esto es, un difeomorfismo,luego un isomorfismo de grupos de Lie. Definimos el homomorfismo de grupos deLie

ϕ : G→ H, ϕ := π2 (π1|P )−1.

El Teorema 7-(b) también nos da que

δϕ(ωi) = ψ∗(ωi) i = 1, . . . , k,

por lo que dϕ = ψ y concluimos el teorema.

Corolario 4. Si G y H son dos grupos de Lie simplemente conexos con álgebrasde Lie isomorfas, entonces son grupos de Lie isomorfos.

Demostración. Dado un isomorfismo ψ : g→ h entre sus álgebras de Lie, aplicarel Teorema 15 a ψ y a ψ−1. Los homomorfismos de grupos de Lie que surgen sonuno inverso del otro como consecuencia del Teorema 9.

Nota 4. Un teorema algebraico de Ado prueba que toda álgebra de Lie g admiteuna representación fiel en gl(n,R) para algún n ∈ N, esto es, toda álgebra de Lie gadmite un monomorfismo de álgebras de Lie g → gl(n,R) para algún n ∈ N. Porel Teorema 10, toda subálgebra de gl(n,R) es el álgebra de Lie de un subgrupo deLie conexo de Gl(n,R), por lo que deducimos que toda álgebra de Lie abstracta h sepuede realizar como el álgebra de un subgrupo de Lie H conexo de Gl(n,R). Es más,el Teorema 14 nos garantiza que, salvo pasar al recubridor universal H de H, todaálgebra de Lie h es el álgebra de Lie de un grupo de Lie simplemente conexo.


Como consecuencia de lo comentado en esta nota y el Corolario 4, que expresael hecho de que en el caso simplemente conexo el álgebra de Lie determina al grupode Lie salvo isomorfismos, tenemos el siguiente resultado.Teorema 16. Existe una correspondencia 1-1 entre (clases de isomorfía de) álgebrasde Lie y grupos de Lie simplemente conexos.

8. La Aplicación Exponencial en Grupos de Lie

La aplicación exponencial en Geometría Riemanniana está vinculada con el con-cepto de geodésica, o de forma más precisa, de flujo geodésico. En el ambiente degrupos de Lie es posible definir una aplicación exponencial asociada al concepto desubgrupo 1-paramétrico de un grupo de Lie. Expliquemos los detalles.

Recordemos que (R,+) es un grupo de Lie, y su álgeba de Lie r consiste en loscampos constantes λ d

dr , λ ∈ R, con corchete [·, ·] = 0.Definición 33. Dado un grupo de Lie G, un homomorfismo de grupos ϕ : R→ G esllamado un subgrupo 1-paramétrico de G; aquí R ≡ (R,+) es el grupo de Lie aditivoreal.Definición 34. Dado un grupo de Lie G con álgebra de Lie g, y dado X ∈ g, laaplicación

r→ g, λd

dr7→ λX

es un homomorfismo de álgebras de Lie del álgebra de Lie r de R, (canónicamenteidentificable con el propio R vía λ d

dr ←→ λ), en el álgebra g. Como la línea real essimplemente conexa, el Teorema 15 garantiza la existencia de un único homomor-fismo de grupos de Lie o subgrupo 1-paramétrico

expX : R→ G

con diferencial el homomorfismo del álgebras anterior:

dexpX : r→ g, dexpX(λ ddr

) = λX ∀λ ∈ R.

En otras palabras, t 7→ expX(t) es el único subgrupo 1-paramétrico de G cuyo vectortangente en 0 ∈ R es X(e).

Definimos la aplicación exponencial

exp: g→ G, exp(X) = expX(1).

De ser necesario para evitar ambigüedades, excribiremos con más precisión expG.


Nota 5. La aplicación expX : R→ G es la curva integral del campo X en G pasandopor e ∈ G.

En efecto, usando que expX : R → G es un homomorfismo del grupos tenemosque expX(0) = e. Además el Teorema 8 garantiza que d

dr y X = dexpX( ddr ) estánexpX relacionados, esto es,

dexpX( ddr

∣∣∣t) ≡ (expX)′(t) = X

∣∣expX(t),

y de ahí el enunciado.La razón de esta terminología se verá más tarde, cuando comprobemos que en

el caso de gl(n,R) la aplicación exponencial abstracta así definida coincide con laexponencial clásica de matrices.Teorema 17. Sea G un grupo de Lie con álgebra g, y sea X ∈ g. Entonces:(a) exp(tX) = expX(t) para todo t ∈ R.(b) exp((t1 + t2)X) = exp(t1X)exp(t2X) para todos t1, t2 ∈ R.(c) exp(−tX) = (exp(tX))−1 para todo t ∈ R.(d) exp: g→ G es diferenciable, y si g0 denota el espacio tangente en g en el origen

0 naturalmente identificado con g por ser éste un espacio vectorial, la aplicaciónlineal dexp: g0 ≡ g → Ge ≡ g es la aplicación identidad. En particular, expproporciona un difeomorfismo de un entorno de 0 ∈ g en un entorno de e ∈ G.

(e) lσ expX es la única curva integral del campo invariante a izquierda X en G quetoma el valor σ en 0. Como consecuencia, los campos invariantes a izquierdason siempre completos.

(f) El grupo 1-paramétrico de difeomorfismos Xt : G → G, t ∈ R asociado alcampo invariante a izquierda X está dado por

Xt = rexpX(t), esto es, Xt(σ) = σexpX(t) para todo σ ∈ G.

donde como siempre rτ representa la traslación a la derecha en G según τ paratodo τ ∈ G.


Demostración. De la Nota 5, expX : R → G es una curva integral del campo Xen G pasando por e ∈ G. Como X ∈ g es un campo invariante a izquierda sobreG, lσ expX : R → G es también una curva integral de X con la condición inicial0 7→ σ. Esto demuestra la primera parte de (e).

Comot 7→ lσ(expX(t)) = rexpX(t)(σ)

es la curva integral de X pasando σ en t = 0, el flujo de X viene dado por Xt(σ) =rexpX(t)(σ) para todo σ ∈ G. Esto prueba (f). La completitud de X ∈ g es obvia yaque de la expersión anterior Xt está definido en G para todo t ∈ R, lo que completa(e).

Definamos ahora aplicaciones ϕ, ψ : R→ G por las expresiones:

ψ(t) := expsX(t) y ϕ(t) := expX(st), donde s ∈ R.

Lo anteriormente probado en (e) nos dice que ψ es la curva integral del campoinvariante a izquierda sX en G con ψ(0) = e. Por otra parte, un cálculo sencillo nosdice que

dϕ( ddr

∣∣∣t) ≡ ϕ′(t) = dexpX(s d

dr

∣∣∣st

) = sdexpX( ddr

∣∣∣st

) = sX|expX(st).

En consecuencia, ϕ es también una curva integral del campo sX con ϕ(0) = e. Porunicidad, ψ = ϕ. Hemos pues probado que

expsX(t) = expX(st) para todo X ∈ g y t, s ∈ R.

En particular haciendo t = 1 y cambiando s por t, exp(tX) = exptX(1) = expX(t)para todo t ∈ R, lo que prueba (a). Los items (b) y (c) son consecuencia directa de(a) y del hecho de que expX es un homomorfismo de grupos.

Para demostrar (d), definamos el campo de vectores V en G× g por la expresión

V (σ,X) := (X(σ), 0) ∈ Gσ ⊕ gX .

Aquí gX representa el tangente a g en el punto X (canónicamente identificable cong), como es habitual. Es claro que V es un campo de vectores en G×g diferenciable,y teniendo en cuenta (e), la curva integral de V que pasa por el punto (σ,X) es

t 7→ (lσ expX(t), X) = (σexp(tX), X).

Como consecuencia, el campo V es completo y su grupo local 1-paramétrico detransformaciones Vt : G× g→ G× g, t ∈ R viene dado por

Vt(σ,X) = (σexp(tX), X).

En particular, la aplicación V1 : G × g → G × g, V1(σ,X) = (σexp(X), X) es unaaplicación diferenciable. Si llamamos π : G × g → G a la proyección sobre G, ob-viamente diferenciable, e i : g → G × g a la inyección diferenciable i(X) = (e,X),comprobamos que la aplicación

exp: g→ G, exp(X) = (π V1 i)(X)


es diferenciable por ser composición de diferenciables.Para comprobar que dexp: g0 ≡ g→ Ge ≡ g es salvo las identificaciones canóni-

cas la identidad, consideremos la curva t 7→ tX en g cuyo vector tangente en t = 0es X ∈ g0 ≡ g (ver la Nota 3). Por (a), exp(tX) = expX(t) es la curva en G cuyovector tangente en t = 0 es X(e) ∈ Ge, canónicamente idientificado con el propioX ∈ g. Concluimos que dexp: g0 ≡ g → Ge ≡ g es la identidad. Esto prueba (d) yconcluye el teorema.

Teorema 18. Sea ϕ : H → G un homomorfismo de grupos de Lie. Entonces

ϕ expH = expG dϕ,

donde expH : h→ H y expG : g→ G son las correspondientes aplicaciones exponen-ciales (h y g son las álgebras de Lie de H y G, respectivamente). Si no hay ambi-güedad se suele escribir exp ≡ expH y exp ≡ expG, y por tanto ϕ exp = exp dϕ.

Demostración. Consideremos las aplicaciones diferenciables ϕ expH , expG dϕ : h → G, y tomemos X ∈ h. Sabemos que t 7→ ϕ(expH(tX)) es una curvadiferenciable en G cuyo vector tangente en t = 0 es dϕ(X(e)) = (dϕ(X))(e). Perocomo esta curva es también un subgrupo 1-paramétrico de G ya que ϕ es un homo-morfismo de grupos de Lie, deducimos que ha de coincidir con el único tal subgrupoen G cuyo vector tangente en t = 0 es (dϕ(X))(e), a saber (por la definición deexpG), t 7→ expGdϕ(X)(t). Las propiedades básicas de expG nos dicen pues que:

ϕ(expH(tX)) = expGdϕ(X)(t) = expG(tdϕ(X)).

Por tanto para t = 1 tenemos

ϕ(expH(X)) = expG(dϕ(X)).

Como X ∈ h es un campo arbitrario el teorema se sigue.

La siguiente proposición expresa que la exponencial tiene un buen comporta-miento sobre subgrupos. Siendo más preciso, la exponencial del subgrupo no es sinola restricción de la exponencial global a los campos tangentes al subgrupo.Proposición 12. Sea (H,ϕ) un subgrupo de Lie de un grupo de Lie G, y sea X ∈ g.Si X ∈ dϕ(h) entonces expG(tX) ∈ ϕ(H) para todo t ∈ R. Recíprocamente, siexpG(tX) ∈ ϕ(H) para t en un intervalo abierto de R entonces X ∈ dϕ(h).

Demostración. Si X ∈ dϕ(h), esto es, existe Y ∈ h tal que X = dϕ(Y ), entoncesel Teorema 18 nos dice que expG(tX) = ϕ(expH(tY )) ∈ ϕ(H) para todo t ∈ R.


Por otra parte, supongamos que expG(tX) ∈ ϕ(H) para t en un intervalo abier-to I ⊂ R. Para t ∈ I tenemos que la curva t 7→ expG(tX) puede escribirse comot 7→ ϕ(α(t)) para cierta curva α : I → H, que por el Corolario 2 y el Teorema 5 es dife-renciable. Tomemos t0 ∈ I, el vector α′(t0) ∈ Hα(t0), y el único campo invariante a iz-quierda X ∈ h tal que X(α(t0)) = α′(t0). La identidad ϕ(α(t)) = expG(tX) para to-do t ∈ I implica que dϕα(t0)(α′(t0)) = dϕα(t0)(Xα(t0)) = dϕ(X)ϕ(α(t0)) = Xϕ(α(t0)).Como X y dϕ(X) son dos campos invariantes a izquierda en G que coinciden en unpunto (a saber, ϕ(α(t0))), deducimos que X = dϕ(X).

El siguiente teorema, de gran utilidad práctica, nos dice que un subgrupo al-gebraico abstracto A de un grupo de Lie G es de hecho un subgrupo de Lie, silocalmente se materializa como la exponencial de un subespacio vectorial a ⊂ g.Teorema 19. Sea A un subgrupo algebraico abstracto de un grupo de Lie G (ningunaestructura diferenciable es a priori asumida en A), y sea a un subespacio vectorialde g. Sea U un entorno de 0 ∈ g sobre el que la aplicación exp de G actua como undifeomorfismo sobre un entorno V = exp(U) del neutro e ∈ G. Supongamos que

exp(U ∩ a) = A ∩ V.

Entonces:A con la topología inducida por G es un subgrupo de Lie de G; esto es, admiteuna estructura diferenciable soportada sobre esa topología con la que es ungrupo de Lie, y junto con la inclusión i : A → G el par (A, i) es un subgrupode Lie cerrado de G ( ya que i es un embebimiento, ver Teorema 12).a es una subálgebra de Lie de g, y de hecho a es el álgebra de Lie de A.

Demostración. Necesitamos sólo demostrar que, con la topología inducida, el sub-grupo A tiene una estructura diferenciable tal que (A, i) es una subvariedad de G(al ser i un embebimiento este subgrupo será obviamente cerrado, ver Teorema 12).En efecto, si demostramos eso el Teorema 11 garantizará que con esta estructuradiferenciable, y no otra, A es un subgrupo de Lie de G con álgebra de Lie a. Para losegundo, téngase en cuenta que:

exp|U : U → V es biyectiva, y por tanto los vectores del álgebra de Lie de Adentro de U (salvo d i) se proyectan por exp en A ∩ V (ver Teorema 18), estoes, están contenidos en a ∩ U .Para todo X ∈ a, la curva exp(tX) está contenida en A ∩ V para t en un pe-queño entorno de 0 en R (ver Proposición 12), y por tanto a∩U está contenidoen el álgebra de Lie de A (salvo d i).

Veamos pues que el subgrupo abstracto A, con la topología inducida, tiene una es-tructura diferenciable tal que (A, i) es una subvariedad de G. Para ello, consideramosla aplicación biyectiva

ϕ = exp∣∣U∩a : U ∩ a→ A ∩ V,


y la familia A de todas las aplicaciones biyectivas que de ella se derivan descrita acontinuación:

A = (A ∩ σV, ϕ−1 lσ−1) : σ ∈ A.

Obsérvese que dotado A con la topología inducida de G:A ∩ σV : σ ∈ A son abiertos en A y A =

⋃σ∈A(σV ∩A).

ϕ−1 lσ−1 : A ∩ σV → U ∩ a es un homeomorfismo por ser composición dehomeomorfismos para todo σ ∈ A.Para todo σ, τ ∈ A tales que σV ∩ τV 6= ∅, el conjunto

Uσ,τ := (ϕ−1 lσ−1)(A ∩ σV ∩ τV ) = ϕ−1(A ∩ [V ∩ (σ−1τ)V ])

es abierto en U ∩a; téngase en cuenta que exp∣∣U

: U → V es un difeomorfismo,luego exp

∣∣U∩a : U ∩ a → A ∩ V es un homeomorfismo, (A ∩ V ) ∩ (σ−1τ)V es

un abierto de A ∩ V , y ϕ es un homeomorfismo.Para todo σ, τ ∈ A tales que σV ∩ τV 6= ∅, la aplicación

(ϕ−1 lτ−1) (lσ ϕ) : Uσ,τ → Uτ,σ

es diferenciable por ser composición de diferenciables.Basta definir la estructura diferenciable en A como la única compatible con A, estoes, la colección maximal de sistemas coordenados con cambio de carta diferenciableen A conteniendo a A.

9. La exponencial en Gl(n,C). Subgrupos de Gl(n,C).

Vamos a demostrar que la aplicación exponencial

exp: gl(n,C)→ Gl(n,C)

para el grupo lineal general complejo (entendido como grupo de Lie real) está dadapor la exponencial matricial clásica. Escribiremos I en vez de e para representar ala matriz identidad en Gl(n,C).

Definamos

eA := I +A+ A2

2! + . . .+ An

n! + . . . para toda A ∈ gl(n,C).

Veamos que esta expresión tiene sentido, esto es, que la serie anterior converge.Bastará con probar el siguiente:Lema 1. Sea µ > 0 y definamos Ωµ := A ∈ gl(n,C) : |xik(A)| ≤ µ, 1 ≤ i, k ≤ n.Entonces la serie I +A+ A2

2! + . . .+ An

n! + . . . converge uniformemente en Ωµ.


Demostración. Sea A ∈ gl(n,C) tal que |xik(A)| ≤ µ para toda entrada xik(A) deA. Por inducción es fácil demostrar que |xik(Aj)| ≤ nj−1µj , luego |xik(Aj)|

j! ≤ nj−1µj

j! .Al ser la serie

∑∞j=1

nj−1µj

j! convergente, tenemos

∣∣ ∞∑j=1

xik(Aj)j!

∣∣ ≤ ∞∑j=1

|xik(Aj)|j! ≤

∞∑j=1

nj−1µj

j! = 1n

∞∑j=1

(nµ)j

j! = 1n

(enµ − 1).

ElM -test de Weierstrass nos garantiza que la entrada (i, k) de A+ A2

2! +. . .+ An

n! +. . .converge uniformemente en Ωµ para todo 1 ≤ i, k ≤ n, y lo mismo ocurre para lasentradas de I +A+ A2

2! + . . .+ An

n! + . . .. El lema queda demostrado.

Los siguientes dos lemas enuncian algunas de las propiedades básicas de la expo-nencial de matrices.Lema 2. eA ∈ Gl(n,C) y det(eA) = eTraza(A) para toda A ∈ gl(n,C).

Demostración. Denotemos por Sj(A) a la j-ésima suma parcial de la serie I +A+ A2

2! + . . .+ An

n! + . . ., j ∈ N. Esto es,

Sj(A) = I +A+ A2

2! + . . .+ Aj

j! .

Consideremos B ∈ gl(n,R). Las aplicaciones gl(n,C) → gl(n,C), C 7→ BC y C 7→CB, son continuas. Por tanto

B(

lımj→∞

Sj(A))

= lımj→∞

BSj(A).

Si además B ∈ Gl(n,R), deducimos también que

B(

lımj→∞

Sj(A))B−1 = lım

j→∞BSj(A)B−1,

de dondeBeAB−1 = eBAB

−1.

Afirmación 2. Existe una matriz B ∈ Gl(n,C) tal que BAB−1 es triangular su-perior.

Demostración. Hemos de encontrar una matriz B ∈ Gl(n,C) tal que BAB−1

tenga todas las entradas debajo de la diagonal nulas. Para ello consideremos laaplicación lineal l : Cn → Cn, x 7→ A · x, donde xt = (x1, . . . , xn) ∈ Cn. Bastarácon encontrar una base v1, . . . , vn de Cn tal que l(vj) ⊂ Lv1, . . . , vj para todo1 ≤ j ≤ n, y definir B = (v1, . . . , vn)−1. Para encontrar una tal base elegimos v1cualquier autovector de l, y de forma inductiva supuesto elegidos v1, . . . , vi tales quel(vj) ⊂ Lv1, . . . , vj para todo 1 ≤ j ≤ i, elegimos vi+1 como cualquier vector deCn cuya clase [vj+1] en el espacio vectorial cociente Cn/Lv1, . . . , vi sea autovectorde l : Cn/Lv1, . . . , vi → Cn/Lv1, . . . , vi, l([v]) = [l(v)] (cualquier endomorfismoentre espacios vectoriales complejos admite al menos un autovector). Obviamentel(vj+1) ⊂ Lv1, . . . , vj+1, por lo que se cierra la inducción y la construcción deB.


Tomemos B ∈ Gl(n,C) como en la Afirmación anterior. Al ser BAB−1 triangularsuperior, lo mismo ocurre con BAjB−1 = (BAB−1)j para todo j ∈ N. De hecho,si λ1, . . . , λn son las entradas diagonales de BAB−1 entonces λj1, . . . , λjn son lasentradas diagonales de BAjB−1 para todo j ∈ N. En particular, eλ1 , . . . , eλn son lasentradas diagonales de eBAB−1 , de donde

det(eA) = det(BeAB−1) = det(eBAB−1

) =n∏j=1

eλj = eTraza(A) 6= 0.

Esto acaba la demostración.

Lema 3. Si A, B ∈ gl(n,C) son matrices tales que AB = BA, entonces

eA+B = eAeB .

Demostración. Recordemos que el producto de matrices es una aplicación dife-renciable gl(n,R)× gl(n,R)→ gl(n,R), de donde

eAeB = lımj→+∞

Sj(A)Sj(B).

Como eA+B = lımj→+∞ Sj(A+B), basta con demostrar que

lımj→+∞

Sj(A)Sj(B)− Sj(A+B)

= 0.

Teniendo en cuenta que AB = BA, un cálculo tedioso nos dice que

Sj(A)Sj(B)− Sj(A+B) =∑ BlAk

l!k!

donde el sumatorio involucra índices l y k sometidos a las restricciones 1 ≤ l ≤ j,1 ≤ k ≤ j y j + 1 ≤ l + k ≤ 2j. Si µ es una cota superior del valor absoluto detodas las entradas de A y B, deducimos que cada entrada de la matriz

∑BlAk

l!k! estáacotada superiormente por la cantidad

∑ nl+k−1µl+k

l!k! ≤ (nµ)2jj2

[j/2]! ,

donde [j/2] es la parte entera de j/2. Como

lımj→∞

(nµ)2jj2

[j/2]! = 0,

el lema se sigue de forma directa.

Una vez estudiadas las propiedades analíticas básicas de la aplicación exponencialde matrices, podemos extraer consecuencias para la aplicación exponencial del grupode Lie Gl(n,C). Recordemos que gl(n,C) es el álgebra de Lie de Gl(n,C).


Proposición 13. La aplicación exponencial de Gl(n,C) viene dada por:

exp: gl(n,C)→ Gl(n,C), exp(A) = eA.

Demostración. Dada A ∈ gl(n,C), consideremos la aplicación ϕ : R → Gl(n,C),ϕ(t) = etA. Esta aplicación es claramente diferenciable; para ello obsérvese que laparte real e imaginaria de cada entrada de la matriz etA es una serie de potenciasen t con radio de convergencia infinito. Además, derivando esta serie de potenciastérmino a término en t = 0 se observa que ϕ′(0) = A. Por el Lema 3, ϕ es unhomomorfismo de grupos de Lie. Por tanto, ϕ es el único subgrupo 1-paramétrico deGl(n,C) cuyo vector tangente en 0 es A. Esto implica que ϕ(t) = expA(t) = exp(tA),lo que prueba el lema.

Por restricción natural y/o definición, se sigue el siguiente corolario.

Corolario 5. Los siguiente enunciados son ciertos:(a) La aplicación exponencial de Gl(n,R) viene dada por:

exp: gl(n,R)→ Gl(n,R), exp(A) = eA.

(b) La aplicación exponencial de Aut(V ), V es real o complejo, viene dada por:

exp: End(V )→ Aut(V ), exp(l) = el = IV + l + l2

2! + . . .+ lj

j! + . . . ,

donde lj = lj· · · l para todo j ∈ N.

Nota 6. Si G es un grupo de Lie y ϕ : G → Aut(V ) una representación de G, elTeorema 18 y el Corolario 6 nos dicen que

ϕ(exp(X)) = edϕ(X) para todo X ∈ g.

De la identificación canónica entre el espacio tangente Aut(V )IV y End(V ), ver Nota3, se tiene que:

dϕ(X) = d

dt

∣∣∣t=0

etdϕ(X) = d

dt

∣∣∣t=0

edϕ(tX) = d

dt

∣∣∣t=0

ϕ(exp(tX)) = lımt→0

ϕ(exp(tX))− IVt

.

9.1. Subgrupos de Gl(n,C)

El Teorema 19 junto con el conocimiento de la aplicación exponencial en Gl(n,C)nos permitirán presentar algunos de los subgrupos de Lie clásicos de Gl(n,C). Laidea básica será exponenciar algunas subálgebras de Lie de gl(n,C). De hecho yaconocemos un ejemplo de esta construcción, nos referimos a Gl(n,R) que es unsubgrupo cerrado de Gl(n,C) con álgebra de Lie gl(n,R) ⊂ gl(n,C).

Para cada A ∈ gl(n,C), denotaremos como es habitual At la matriz traspuestade A, e igualmente por A la matriz conjugada de A.Definición 35. Denotaremos por


(a) Grupo Unitario: U(n) = A ∈ Gl(n,C) : A−1 = At.(b) Grupo Especial Lineal: Sl(n,C) = A ∈ Gl(n,C) : det(A) = 1.(c) Grupo Ortogonal complejo: O(n,C) = A ∈ Gl(n,C) : A−1 = At.

Cada uno de estos grupos es un subgrupo abstracto de Gl(n,C) y un subcon-junto cerrado de Gl(n,C). Vamos a utilizar el Teorema 19 para garantizar que sonsubgrupos de Lie de Gl(n,C). Presentemos primero quienes serán respectivamentesus álgebras de Lie.Definición 36. Denotaremos por(a) Matrices Antihermitianas: u(n) = A ∈ gl(n,C) : A+At = 0.(b) Matrices con Traza Nula: sl(n,C) = A ∈ gl(n,C) : Traza(A) = 0.(c) Matrices Antisimétricas: o(n,C) = A ∈ gl(n,C) : A+At = 0.

Cada uno de estos espacios de matrices son un subálgebra de Lie del álgebra deLie gl(n,C).Teorema 20. Los siguientes enunciados son ciertos:(a) U(n) es un subgrupo de Lie cerrado de Gl(n,C) con álgebra de Lie u(n).(b) Sl(n,C) es un subgrupo de Lie cerrado de Gl(n,C) con álgebra de Lie sl(n,C).(c) O(n,C) es un subgrupo de Lie de Gl(n,C) con álgebra de Lie o(n,C).

Demostración. Sea U un entorno de 0 ∈ gl(n,C) difeomorfo por exp: gl(n,C)→Gl(n,C) con un entorno V de la identidad In ∈ Gl(n,C). Podemos asumir ademásque para toda A ∈ U , las matrices At, A y −A ∈ U , y |Traza(A)| < 2π. En efecto,tomemos W entorno de 0 en gl(n,C) suficientemente pequeño para que la exponen-cial actúe como un difeomorfismo entre W y exp(W), y para que |Traza(A)| < 2πpara todo A ∈W . Luego basta con definir U := W ∩W t∩W ∩ (−W ) y V = exp(U).

Si A ∈ U ∩ u(n) entonces (eA)t = eAt = e−A, de donde (eA)teA = e−AeA =

e0 = In y eA ∈ U(n) ∩ V . Recíprocamente, supongamos que A ∈ U es tal que eA ∈U(n) ∩ V . Eso quiere decir que (eA)−1 = e−A = (eA)t = eA

t , y como −A y At ∈ Udonde la exponencial es injectiva, que −A = At. En otras palabras A ∈ u(n)∩U . Portanto exp(U ∩ u(n)) = V ∩U(n), y el Teorema 19 implica que U(n) es un subgrupode Lie de Gl(n,C), obviamente cerrado, con álgebra de Lie u(n). Esto prueba (a).Un argumento similar nos prueba que O(n,C) es es un subgrupo de Lie cerrado deGl(n,C)con álgebra de Lie o(n,C), y por tanto (b).

Por último, si A ∈ sl(n,C) entonces det(eA) = eTraza(A) = e0 = 1, de donde eA ∈Sl(n,C). Recíprocamente, si det(eA) = eTraza(A) = 1 entonces Traza(A) = 2kπı,k ∈ Z. Si además A ∈ U inferimos que necesariamente Traza(A) = 0 (recordar que|Traza(A)| < 2π en U). De nuevo el Teorema 19 implica que Sl(n,C) es un subgrupode Lie (cerrado) de Gl(n,C) con álgebra de Lie sl(n,C). Esto demuestra (c).

Como corolario de las ideas implícitas en el Teorema 20 y su demostración,obtenemos:Corolario 6. Los siguientes enunciados son ciertos:


(a) El grupo especial unitario SU(n) := U(n) ∩ Sl(n,C) = A ∈ Gl(n,C) : A−1 =At y det(A) = 1 es un subgrupo de Lie cerrado de Gl(n,C) con álgebra de Lie elsubálgebra su(n,C) = u(n) ∩ sl(n,C) = A ∈ gl(n,C) : A+At = 0 y Traza(A) =0 de gl(n,C) de las matrices antihermitianas con traza 0.

(b) El grupo especial lineal real Sl(n,R) := Sl(n,C)∩Gl(n,R) = A ∈ Gl(n,R) : det(A) =1 es un subgrupo de Lie cerrado de Gl(n,R) (y de Gl(n,C)) con álgebra de Lieel subálgebra sl(n,R) = A ∈ gl(n,R) : Traza(A) = 0 de gl(n,R) de las matricesreales con traza 0.

(c) El grupo ortogonal real O(n) := U(n) ∩ Gl(n,R) = O(n,C) ∩ Gl(n,R) = A ∈Gl(n,R) : A−1 = At es un subgrupo de Lie cerrado de Gl(n,R) (y de Gl(n,C))con álgebra de Lie el subálgebra o(n) = A ∈ gl(n,R) : A + At = 0 de gl(n,R)de las matrices antisimétricas reales.

(d) El grupo especial ortogonal SO(n) := O(n) ∩ Sl(n,R) = A ∈ Gl(n,R) : A−1 =At y det(A) = 1 es un subgrupo de Lie cerrado de Gl(n,R) (y de Gl(n,C)) conálgebra de Lie también el subálgebra o(n) de gl(n,R) de las matrices antisimé-tricas reales.

Ejercicio 18. Demostrar detalladamente el Corolario 6.El grupo unitario U(n), y por tanto el especial unitario SU(n), y el grupo ortogo-

nal O(n), y por tanto el especial ortogonal SO(n), son grupos trivialmente compactospor el Teorema de Heine-Borel (cerrados y acotados en GL(n,C)). Las dimensionesreales de todos los grupos estudiados se deducen de las de sus álgebras de Lie:

U(n) tiene dimensión n2.Sl(n,C) tiene dimensión 2n2 − 2.O(n,C) tiene dimensión n(n− 1).SU(n) tiene dimensión n2 − 1.Sl(n,R) tiene dimensión n2 − 1.O(n) y SO(n) tienen ambos dimensión n(n− 1)/2.

10. Homomorfismos continuos de grupos

En esta sección demostraremos que la continuidad es suficiente ingrediente paragarantizar diferenciabilidad cuando se trata de homomorfismos abstractos (algebrai-cos) de grupos entre grupos de Lie.

Comenzaremos con el siguiente:Teorema 21. Sea G un grupo de Lie. Sea ϕ : R→ G un homomorfismo de gruposalgebraico entre la linea real (aditiva) y G, que como aplicación es continua. Entoncesϕ es diferenciable.

Demostración. Es suficiente probar que ϕ es diferenciable en 0. En efecto, dado t ∈R la diferenciablidad global de ϕ en t está garantizada por la identidad ϕlt = lϕ(t)ϕy el hecho de que la composición de aplicaciones diferenciables es diferenciable. La


idea de la demostración consiste en probar que ϕ se puede levantar vía la aplicaciónexponencial a un homomorfismo de grupos aditivos R → g. De forma más precisa,probaremos que existen t0 > 0 e Y ∈ g tales que ϕ(t0t) = exp(tY ) para todot ∈ [−1, 1]. Obviamente esta identidad garantizará la diferenciabilidad de ϕ en t = 0y el teorema (con posterioridad se puede garantizar que esa identidad es cierta paratodo t ∈ R por unicidad de subgrupos 1-paramétricos). Primeramente, veremosque ϕ(t0t) = exp(tY ) cuando t = 1/n, n ∈ N, luego extenderemos la validez deesa identidad a los racionales Q ∩ [−1, 1], y por densidad y continuidad a todo elintervalo [−1, 1].

Con este objetivo, empezaremos tomando un entorno V de e ∈ G difeomorfocon un entorno U de 0 ∈ g vía la aplicación exponencial exp: g → G. Sin pérdidade generalidad asumiremos que U es estrellado desde 0, esto es, tX ∈ U para todo0 ≤ t ≤ 1 y X ∈ U . Definamos

U ′ = X/2: X ∈ U.

Como U ′ es un entorno de 0 ∈ g y ϕ es continua, existe t0 > 0 suficientementepequeño tal que ϕ([−t0, t0]) ⊂ exp(U ′). Al ser ϕ(t0) ∈ ϕ([−t0, t0]) ⊂ U ′, existe unúnico Y ∈ U ′ tal que exp(Y ) = ϕ(t0). Análogamente, al ser ϕ(t0/n) ∈ ϕ([−t0, t0]) ⊂U ′ para cada n ∈ N, existe un único Yn ∈ U ′ tal que exp(Yn) = ϕ(t0/n). Afirmamosque

ϕ(t0/n) = exp(Y/n),o equivalentemente por la inyectividad de exp|U , que Y = nYn. En efecto, como

exp(nYn) = exp(Yn)n = ϕ(t0/n)n = ϕ(n(t0/n)) = ϕ(t0) = exp(Y ),

exp|U ′ es inyectiva e Y ∈ U ′, será suficiente con ver que nYn ∈ U ′. Para ello probare-mos de forma inductiva que jYn ∈ U ′ para todo 1 ≤ j ≤ n. En efecto, para j = 1 eseresultado es trivial. Supongamos que jYn ∈ U ′ para algún j, 1 ≤ j < n, y probemosque (j + 1)Yn ∈ U ′. Como jYn ∈ U ′ existe X ∈ U tal que jYn = X/2, de donde(j+ 1)Yn = j+1

2j X ∈ U por ser U estrellado desde 0. Ahora tenemos (j+ 1)Yn ∈ U y

exp((j+1)Yn) = exp(Yn)j+1 = ϕ(t0/n)j+1 = ϕ((j+1)t0/n) ∈ ϕ([−t0, t0]) ⊂ exp(U ′).

Por tanto (j + 1)Yn es un vector de U con imagen por la exponencial en exp(U ′).Como exp|U es inyectiva, (j + 1)Yn ∈ U ′ y cerramos la inducción. En conclusiónnYn = Y como queríamos. Probemos ahora que

ϕ(mt0/n) = exp(mY/n) para todo m/n ∈ Q ∩ [−1, 1].

Para ello tomemos m ∈ Z con 0 < |m| ≤ n (para m = 0 el resultado es trivial). Sim > 0 entonces

ϕ(mt0/n) = ϕ(t0/n)m = exp(Y/n)m = exp(mY/n),

donde se ha tenido en cuenta que ϕ y exp son homomorfismos de grupos. Si m < 0,usando que es válido para enteros positivos y un razonamiento similar:

ϕ(mt0/n) = ϕ(−mt/n)−1 =(ϕ(t0/n)−m

)−1 =(exp(Y/n)−m

)−1 = exp(mY/n).


Finalmente, como ϕ es continuo y Q ∩ [−1, 1] denso en [−1, 1] deducimos que

ϕ(t0t) = exp(tY ) para todo t ∈ [−1, 1],

lo que concluye la prueba.

Este resultado se puede extender a homomorfismos generales entre grupos de Lie.Teorema 22. Sean H y G dos grupos de Lie, y sea ϕ : H → G un homomorfismoabstracto (algebraico) de grupos, que como aplicación es continua.

Entonces ϕ es diferenciable.

Demostración. Llamemos d = dimH y sean X1, . . . , Xd ∈ h una base. La aplica-ción

α : Rd → H, α(t1, . . . , td) := expH(t1X1) · · · expH(tdXd),

es obviamente diferenciable y no singular en 0 ∈ Rd por el Teorema 17. En conse-cuencia existe un entorno V de 0 ∈ Rd difeomorfo por α a un entorno U de e ∈ H.Por hipótesis, la aplicación R→ G, t 7→ ϕ(expH(tXi)), es continua, luego diferencia-ble por el Teorema 21, i = 1, . . . , d. Por tanto ϕ α : Rd → G es diferenciable, por loque ϕ|U = (ϕα) (α|U )−1 es diferenciable. Como ϕ|σU = lϕ(σ) (ϕ|U ) (lσ−1)|σU escomposición de diferenciables para todo σ ∈ H, ϕ es globalmente diferenciable.

Una cuestión interesante en la teoría es conocer cuando un grupo topológicoadmite una estructura diferenciable que lo convierte en un grupo de Lie.Definición 37. Un grupo topológico G es un grupo algebraico abstracto dotado deuna topología que hace continua a la aplicación G×G→ G, (σ, τ) 7→ στ−1.

Como consecuencia del Teorema 22 tenemos:Corolario 7. Un grupo topológico que sea II-Axioma de numerabilidad solo puedetener una única estructura diferenciable que lo convierta en un grupo de Lie.

Demostración. Por el Teorema 22, la aplicación identidad sería un difeomorfismoentre dos cualesquiera estructuras diferenciables en esas condiciones.

Uno de los problemas más relevantes de la teoría de grupos de Lie ha sido elconocer si cualquier grupo topológico admite una estructura diferenciable que loconvierta en grupo de Lie. Este problema fue planteado por Hilbert en el año 1900,y resuelto en sentido afirmativo por Gleason, Montgomery y Zippen en 1952.

Es también conocido que un grupo de Lie contiene, dentro de su atlas diferen-ciable, un subatlas analítico. El análogo analítico al Teorema 22 afirma que todohomomorfismo continuo de grupos es analítico, de donde por las mismas ideas delCorolario 7 sólo hay una estructura analítica en un grupo de Lie.


11. Subgrupos Cerrados

De acuerdo con el Teorema 11, si G es un grupo de Lie y H ⊂ G un subgrupoalgebraico abstracto, a lo más existe una única estructura diferenciable en H con laque (H, i) es una subvariedad de G. De existir esa tal estructura, dotado de ella Hes un grupo de Lie y (H, i) un subgrupo de G.

En esta sección vamos a demostrar que si el subgrupo H inicial es un cerradode G, entonces de hecho existe una estructura diferenciable en H con la que (H, i)es un subgrupo de Lie de G. Necesariamente a tenor de lo dicho anteriormente y elTeorema 12, H será un subgrupo de Lie embebido de G. En particular la estructuratopológica subyacente a la diferenciable en H coincidirá con la heredada de G.

Para afrontar este resultado necesitaremos el siguiente lema.Lema 4. Sea G un grupo de Lie y sea g su álgebra de Lie. Si X, Y ∈ g, entoncesexiste ε > 0 tal que

exp(tX)exp(tY ) = exp(t(X + Y ) + O(t2)

), t ∈ I :=]− ε, ε[

donde O(t2) : I → g es una función diferenciable con (1/t2)O(t2) acotada en I.

Demostración. Si ε > 0 es suficientemente pequeño, la curva I → G, t 7→exp(tX)exp(tY ), tiene su traza dentro de un entorno de e difeomorfo vía exp−1

a un entorno de 0 ∈ g. Por tanto, existe una curva diferenciable Z(t) en g tal que

exp(tX)exp(tY ) = exp(Z(t)

), t ∈ I.

Veamos que el vector tangente para t = 0 a exp(tX)exp(tY ) esX(e)+Y (e). De formamás general dadas α(t) y β(t) diferenciables en G con α(0) = e, u = α′(0) ∈ Ge,β(0) = e, v = β′(0) ∈ Ge, la curva σ(t) = α(t)β(t) tiene por vector tangente u + ven t = 0. En efecto, si η : G×G→ G, η(γ, τ) = γτ , claramente

σ′(0) = d

dt|t=0η(α(t), β(t)) = dη(u, 0) + dη(0, v) = α′(0) + β′(0) = u+ v,

donde hemos tenido en cuenta que (α(t), e) y (e, β(t)) son curvas diferenciablesen G × G con vectores tangentes (u, 0) y (0, v), respectivamente, en t = 0. Comodexp0 = Idg, Z ′(0) = X(e) + Y (e) ≡ X + Y y la expansión de Taylor con restointegral de Z(t) viene dada por

Z(t) = t(X + Y ) + O(t2),

donde O(t2) : I → g es una función diferenciable con (1/t2)O(t2) acotada en I, dedonde el lema se sigue.

Teorema 23. Sea G un grupo de Lie, y sea A ⊂ G un subgrupo algebraico abstractoque es cerrado como subconjunto de G. Entonces A admite una única estructura devariedad diferenciable con la que se convierte en un subgrupo de Lie de G embebidovía la aplicación inclusión.


Demostración. La unicidad de una estructura diferenciable en A que lo conviertaen subgrupo de Lie está garantizada por el Teorema 11. Nótese también que, porser A un subconjunto cerrado de G, el Teorema 12 implica que de existir la (única)estructura diferencibla en A convirtiendolo en subgrupo de Lie ha de tener comotopología subyacente a la inducida por G, o en otras palabras, que A ha de ser unsubgrupo embebido.

Para acabar probemos que efectivamente existe una estructura diferenciable enA que lo convierte en subgrupo de Lie de G. La idea central consiste en garantizarque el conjunto

a := X ∈ g : exp(tX) ∈ A para todo t ∈ R

es un subespacio de g y aplicar el Teorema 19. Está claro por definición que si X ∈ ay t ∈ R entonces tX ∈ a. Veamos que a es cerrado para la suma. Para ello tomemosX, Y ∈ a.

Por el Lemma 4, exp( tnX)exp( tnY ) = exp(tn (X +Y ) + O( t

2

n2 ))para cada n ∈ N,

de donde usando que exp es un homomorfismo de grupos:

(exp( t

nX)exp( t

nY ))n = exp

(t(X + Y ) + +O( t

2

n

)para cada n ∈ N. Por tanto,

lımn→∞

(exp( t

nX)exp( t

nY ))n = exp

(t(X + Y )

).

Por otra parte, como A es un subgrupo entonces(exp( tnX)exp( tnY )

)n ∈ A paratodo t ∈ R y n ∈ N, y como además A es cerrado el correspondiente límite n → ∞también pertenece a A. De aquí que exp

(t(X + Y )

)∈ A para todo t ∈ R, y por

tanto X + Y ∈ A. Esto prueba que a es un subespacio vectorial de g.Para poder aplicar el Teorema 19 y concluir, necesitamos garantizar todas sus

hipótesis. Basta con probar que existe un entorno U de 0 ∈ g, difeomorfo vía expcon un entorno V de e ∈ G, tal que

exp(U ∩ a) = V ∩A.

Razonando por reducción al absurdo, supongamos que un tal U no existe.Dados U y V en las condiciones de difeomorfía anteriores, claramente exp(U ∩

a) ⊂ V ∩ A. Por tanto si no podemos encontrar tales U y V , dada una sucesión(Uk, Vk) ⊂ g×G estrictamente decreciente respecto a ⊂, satisfaciendo

Uk es un entorno de 0 ∈ g estrellado desde 0 y difeomorfo vía exp con Vkentorno de e ∈ G, y(Uk, Vk) → (0, e),

ha de existir un elemento

σk ∈ (A ∩ Vk) \ exp(Uk ∩ a) para cada k ∈ N.


Como σk /∈ exp(Uk ∩ a), la definición de a implica que σk /∈ exp(U1 ∩ a) paratodo k ∈ N. En efecto, si σk ∈ exp(a ∩ U1) entonces σk ∈ exp(a ∩ U1) ∩ Vk =exp(a ∩ U1) ∩ exp(Uk) = exp

((a ∩ U1) ∩ Uk

)= exp

(a ∩ Uk

); téngase en cuenta que

exp|U1 : U1 → V1 es 1-1 y Uk ⊂ U1. En particular, existe un entorno W := U1 ∩ a de0 en a y una sucesión σk ⊂ A tales que σk → e en G y

σk /∈ exp(W ) para todo k ∈ N.

Sea b cualquier subespacio vectorial complementario de a en g. Del Teorema 17-(d),la aplicación

α : a× b→ G, α(X,Y ) = exp(X)exp(Y ),

es diferenciable y no singular en 0. Por tanto existen entornos Wa de 0 ∈ a y Wb

de 0 ∈ b tales que α|Wa×Wbes un difeomorfismo de Wa ×Wb en un entorno V de

e ∈ G. Si pudiesemos elegir Wb suficientemente pequeño para que

A ∩ exp(Wb \ 0) = ∅, (6)

alcanzaríamos una contradicción como sigue. Para k suficientemente grande, σk ∈V ∩ A y σk = exp(Xk)exp(Yk) para Xk ∈ Wa, Yk ∈ Wb \ 0. Pero como σk,exp(Xk) ∈ A y A es un subgrupo entonces exp(Yk) ∈ A, lo que es contrario a (6) ygenera la contradicción buscada.

Para acabar, demostremos que Wb se puede elegir satisfaciendo (6). De nuevorazonamos por reducción al absurdo y suponemos que existe una sucesión Yj ⊂Wb \ 0, tal que Yj → 0 y exp(Yj) ∈ A para todo j ∈ N. Salvo tomar unasubsucesión, podemos suponer que existe una sucesión tj ⊂ R, tj → 0, tal queYj/tj → Y ∈Wb \ 0. Para cada t > 0, la desigualdad (E[·] denota parte entera)

t

tj− 1 ≤ E[ t

tj] < t

tj

implica que lımj→∞ tjE[ ttj ] = t. De aquí que

exp(tY ) = exp(

lımj→∞

(tjE[ ttj

])(Yj/tj))

= exp(

lımj→∞

E[ ttj

]Yj)

= lımj→∞

(exp(Yj)

)E[ ttj ] ∈ A;

de nuevo usamos que A es un subgrupo algebraico y un subconjunto cerrado de G.Como exp(−tY ) = (exp(tY ))−1, deducimos que también exp(tY ) ∈ A para t > 0,esto es, exp(tY ) ∈ A para todo t ∈ R. De aquí que Y ∈ a, lo que es absurdo ya queY ∈Wb \ 0.

Como consecuencia podemos probar que el núcleo de un homomorfismos de gru-pos de Lie es un subgrupo de Lie con álgebra de Lie asociada el núcleo de su dife-rencial.Teorema 24. Sean G y K dos grupos de Lie y sea ψ : G → K un homomorfismode grupos de Lie. Si A = Ker(ψ) y a = Ker(dψ), entonces A es un subgrupo de Liecerrado de G con álgebra de Lie a.


Demostración. Obviamente A es un subgrupo de G y A es un subconjunto cerradode G. Por tanto, el Teorema 23 nos garantiza que A admite una (única) estructuradiferenciable, con la que es grupo de Lie y (A, i) es un subgrupo embebido (cerrado)de G. Si X ∈ g, la Proposición 12 (aplicada para H = A y ϕ = i) nos dice que Xpertenece al álgebra de Lie de A si y sólo si expG(tX) ∈ A para todo t ∈ R, y estoocurre si y solo si ψ(expG(tX)) = e para todo t ∈ R. Por el Teorema 18, la últimacondición es equivalente a tener expK(tdψ(X)) = e para todo t ∈ R, y esto ocurresi y solo si dψ(X) = 0 (expK es difeomorfismo local alrededor del neutro), esto es,si y solo si X ∈ a.

12. La Representación Adjunta

Comenzamos con la siguienteDefinición 38. Sea M una variedad diferenciable, y sea G un grupo de Lie. Unaaplicación diferenciable µ : G×M →M tal que

µ(στ, p) = µ(σ, µ(τ, p)

), µ(e, p) = p

para todos σ, τ ∈ G y p ∈M es llamada una acción de G sobre M por la izquierda.Para una tal acción por la izquierda µ : G×M →M , si σ ∈ G es un elemento fijo laaplicación µσ : M →M , p 7→ µ(σ, p) es un difeomorfismo de M con inverso µσ−1 .

De forma análoga, una aplicación diferenciable µ : M ×G→M tal que

µ(p, στ) = µ(µ(p, σ), τ

), µ(p, e) = p

para todos σ, τ ∈ G y p ∈ M es llamada una acción de G sobre M por la derecha.De igual forma, si fijamos σ ∈ G entonces p 7→ µ(p, σ) es un difeomorfismo de M .

El siguiente teorema trata sobre la construcción de representaciones de un grupode Lie en un grupo de automorfismos de un espacio vectorial, bajo ciertas condiciones.Teorema 25. Sea µ : G×M →M una acción por la izquierda de un grupo de LieG en una variedad diferenciable M . Supongamos que p0 ∈ M es un punto fijo paraµ, esto es, µσ(p0) = p0 para todo σ ∈ G. Entonces, la aplicación

ψ : G→ Aut(Mp0), ψ(σ) = dµσ|Mp0

es una representación de G.Recordermos que Aut(Mp0) es el grupo de Lie de los automorfismos lineales en

el espacio vectorial tangente Mp0 , con álgebra de Lie asociada End(Mp0).

Demostración. Hemos de ver que ψ es un homomorfismo de grupos de Lie. Paraello, como claramente es un homomorfismo de grupos ya que

ψ(στ) = dµστ∣∣Mp0

= d(µσ µτ

)∣∣Mp0

= d(µσ)∣∣Mp0 d(µτ)∣∣Mp0

= ψ(σ) ψ(τ),

bastará con probar que ψ es diferenciable. Para ello, es suficiente con probar quela composición de ψ con una función coordenada arbitraria en Aut(Mp0) es dife-renciable. Para obtener un sistema de coordenadas en Aut(Mp0) elegimos una base


B = v1, . . . , vn de Mp0 (dimM = n) e identificamos Aut(Mp0) con las matricesregulares a través del isomorfismo que lleva cada automorfismo f ∈ Aut(Mp0) ensu matriz M(f,B). Si B∗ = α1, . . . , αn es la base de M∗p0

dual de B, una típicafunción coordenada en ese sistema de coordenadas es la función

Aut(Mp0) 3 f 7→ αj(f(vi)), i, j ∈ 1, . . . , n.

Por tanto es suficiente con demostrar que, para todo v0 ∈Mp0 y α ∈M∗p0, la función

G→ R, σ 7→ α(dµσ(v0)

),

es diferenciable. Para ello basta con ver que la función

G→Mp0 , σ 7→ dµσ(v0),

es diferenciable, lo que es equivalente a probar que

Φ: G→ T (M), σ 7→ dµσ(v0),

es diferenciable, donde T (M) es el fibrado tangente a M ; obsérvese que Mp0 es unasubvariedad embebida de T (M) vía la inclusión natural. Pero Φ es la composiciónde las siguientes aplicaciones diferenciables:

G→ T (G)× T (M)→ T (G×M)→ T (M)

donde la primera aplicación es σ 7→((σ, 0), (p0, v0)

), la segunda aplicación es el

difeomorfismo canónico entre T (G) × T (M) y T (G ×M), y la tercera es dµ. Portanto Φ es diferenciable, luego ψ por lo comentado anteriormente.

12.1. Construcción de la representación adjunta de un Grupo de Lie

Dado un grupo de Lie G y σ ∈ G, el automorfismo de grupos

aσ : G→ G, τ 7→ στσ−1

es referido como un automorfismo interno de G.Un grupo de Lie G actúa sobre si mismo por automorfismos internos de acuerdo

con la accióna : G×G→ G, a(σ, τ) := aσ(τ) = στσ−1.

Esta acción fija el neutro e ∈ G, esto es, a(σ, e) = e para todo σ ∈ G. Por el Teorema25, la aplicación

G→ Aut(g) ≡ Aut(Ge), σ 7→ daσ|Ge : Ge ≡ g→ Ge ≡ g

es una representación de G en Aut(g).Definición 39. La representación Ad: G→ Aut(g), Ad(σ) := daσ|Ge≡g : g→ g esllamada la representación adjunta de G.

Denotaremos por ad: g → End(g) a la diferencial dAde, o con notación globalsimplemente dAd. Si σ ∈ G y X ∈ g, escribiremos Adσ y adX en vez de Ad(σ) yad(X), respectivamente.


Si escribimos expAut(g) : End(g) → Aut(g) la aplicación exponencial (que no essino la exponencial de endomorfismos o matricial clásica) y aplicamos el Teorema 18al homomorfismo de grupos Ad: G→ Aut(G), obtenemos que

Ad expG = expAut(g) ad: g→ Aut(g) (7)

Análogamente, si aplicamos el Teorema 18 al homomorfismo de grupos aσ : G→G (con diferencial Adσ : g→ g, que pertenece a Aut(g)), obtenemos que

aσ expG = expG Adσ.

En otras palabras,

expG(tAdσ(X)

)= expG

(Adσ(tX)

)= aσ

(expG(tX)

)= σ

(expG(tX)

)σ−1 (8)

para todo X ∈ g y t ∈ R.En el caso particular G = Aut(V ), los anteriores diagramas conmutativos se

convierten en

y para cada B ∈ Aut(V ),

En algunos ejemplos simples se puede dar la expresión explícita de la representaciónadjunta.


Ejercicio 19. Probar los siguientes enunciados:

Si B ∈ Aut(V ), la aplicación AdAut(V )B : End(V )→ End(V ) viene dada por

AdAut(V )B (C) = B C B−1, para todo C ∈ End(V ).

Si B ∈ Gl(n,R), la aplicación AdGl(n,R)B : gl(n,R)→ gl(n,R) viene dada por

AdGl(n,R)B (C) = B C B−1, para todo C ∈ gl(n,R).

Si B ∈ Gl(n,C), la aplicación AdGl(n,C)B : gl(n,C)→ gl(n,C) viene dada por

AdGl(n,C)B (C) = B C B−1, para todo C ∈ gl(n,C).

La siguiente proposición estudia en detalle la diferencial ad de la representaciónadjunta Ad, estableciendo una conexión con el corchete de Lie (que originalmentesurgió de este hecho).Proposición 14. Sea G un grupo de Lie con álgebra de Lie g, y consideremos ladiferencial ad: g→ End(g) de la representación adjunta Ad: G→ Aut(g). Entonces,para cada X ∈ g el endomorfismo adX ∈ End(g) viene dado por

adX : g→ g, adX(Y ) = [X,Y ].

Demostración. Es claro que t 7→ exp(tX) es una curva en G que pasa por e convector tangente X para t = 0. Por tanto, Ad(exp(tX)) es una curva en Aut(g) quepasa por Idg = Ad(e) con vector tangente dAde(X) ≡ dAd(X) = adX .

De la Nota 6 deducimos que

adX = d

dt

∣∣t=0Ad

(exp(tX)

),

entendiendo t 7→ Ad(exp(tX)

)como una curva en Aut(g) y su derivada en t = 0 co-

mo un vector de End(g), naturalmente identificado con el espacio tangente abstractoen Idg a Aut(g). Por tanto

adX(Y ) =( ddt

∣∣∣t=0

Ad(exp(tX)

))(Y ) ≡

( ddt

∣∣∣t=0

Adexp(tX))(Y ) =

( ddt

∣∣∣t=0

daexp(tX))(Y ),

donde recordemos que aσ : G→ G es el automorfismo interno τ 7→ στσ−1, para cadaσ ∈ G.

Como aσ = rσ−1 lσ : G→ G, se tiene que daσ = drσ−1 dlσ, de donde

adX(Y ) = d

dt

∣∣∣t=0

d(rexp(−tX))(d(lexp(tX))(Y (e))

).

Al ser Y invariante a izquierda, d(lexp(tX))(Y (e)) = Y∣∣exp(tX), por lo que sustitu-

yendo en lo anterior

adX(Y ) = d

dt

∣∣∣t=0

d(rexp(−tX))(Y∣∣exp(tX)

).


Si denotamos por Xt : G → G : t ∈ R el flujo 1-paramétrico asociado al campoX ∈ g (completo por ser invariante a izquierda), recordemos que Xt = rexpX(t); verTeorema 17-(f). Deducimos pues que

adX(Y ) = d

dt

∣∣∣t=0

d(rexp(−tX))(Y∣∣∣exp(tX)

)= d

dt

∣∣∣t=0

d(X−t)(YXt(e)

)= (LXY )(e);

ver Definición 21-(i). Como (LXY )(e) = [X,Y ](e), concluimos que los campos inva-riantes a izquierda adX(Y ) y [X,Y ] coinciden en el neutro, luego han de ser iguales.Esto acaba la prueba.

En el siguiente teorema se caracterizan los subgrupos de Lie normales de ungrupo de Lie.Teorema 26. Sea G un grupo de Lie conexo, y sea A ⊂ G un subgrupo de Lieconexo. Entonces A es un subgrupo normal de G si y solo si el álgebra de Lie a deA es un ideal de g (esto es, [X,Y ] ∈ a para todo Y ∈ a y X ∈ g).

Demostración. Asumamos que a es un ideal en g (da igual la lateralidad del idealya que [X,Y ] = −[Y,X]) y probemos que A es un subgrupo normal. Hemos dedemostrar que para todo σ ∈ G y τ ∈ A, στσ−1 ∈ A.

Sea Y ∈ a, X ∈ g, y sea σ = expG(X) ∈ G. De la ecuación (8) tenemos

σ(expG(Y )

)σ−1 = aσ(expG(Y )) = expG

(Adσ(Y )

)≡ expG

((Ad expG

)(X)(Y )

),

mientras que de la ecuación (7)

expG((

AdexpG)(X)(Y )

)= expG

((expAut(g)ad

)(X)(Y )

)= expG

(expAut(g)(adX(Y )

)).

Por tanto, teniendo en cuenta que expAut(g) no es sino la versión para endomorfismosde la exponencial de matrices:

σ(expG(Y )

)σ−1 = expG

(Y + adX(Y ) + (adX)2

2! (Y ) + . . .)

Por la Proposición 14, adX(Y ) = [X,Y ] ∈ a ya que a es un ideal de g. Por elmismo razonamiento, [X,Y ] ∈ a implica que (adX)2

2! (Y ) = [X, [X,Y ]] ∈ a. Por unprocedimiento inductivo (adX)j

j! (Y ) ∈ a para todo j ∈ N, y la serie Y + adX(Y ) +(adX)2

2! (Y ) + . . . converge a un elemento Y0 ∈ a. Por tanto

σ(expG(Y )

)σ−1 = expG(Y0) ∈ A, (9)

donde hemos tenido en cuenta el Teorema 18. Por ser A y G conexos, la Proposición10 y el Teorema 17-(d) garantizan que

expG(Y ) : Y ∈ a ≡ expA(Y ) : Y ∈ a


es un sistema generador del grupo A, y análogamente que expG(X) : X ∈ g generaal grupo G. Es ahora cuando la ecuación (9) implica que A es un subgrupo normalde G, como queríamos demostrar.

Recíprocamente, supongamos ahora que A es un subgrupo normal de G y veamosque a es un ideal de g. Sean s y t números reales, sea Y ∈ a y X ∈ g, y seaσ = expG(tX). Razonando exactamente como antes

σ(expG(sY )

)σ−1 = aσ

(expG(sY )

)= expG

(Adσ(sY )

)= expG

((AdexpG

)(tX)(sY )

)=

= expG((

expAut(g) ad))(tX)(sY )

)= expG

(s expAut(g)adtX(Y )

),

Como A es normal, σ(expG(sY )

)σ−1 ∈ A; por tanto expG

(s expAut(g)adtX(Y )

)∈ A

y de la Proposición 12 deducimos que expAut(g)adtX(Y ) ∈ a para todo t ∈ R. Pero

expAut(g)adtX(Y ) =(expAut(g)t adX

)(Y ) = Y +

∞∑j=1

tj(adX)j

j! (Y )

es una curva diferenciable en a con vector tangente adX(Y ) = [X,Y ] en t = 0. Portanto [X,Y ] ∈ a y a es un ideal de g.

Las siguientes definiciones son bien conocidas.Definición 40. Sea G un grupo de Lie con álgebra de Lie g. Definimos:

Centro de g = X ∈ g : [X,Y ] = 0 para todo Y ∈ g.Centro de G = σ ∈ G : στ = τσ para todo τ ∈ G.

Teorema 27. Dado un grupo de Lie G conexo, el centro de G es el núcleo de larepresentación adjunta Ad: G→ Aut(G).

Demostración. Sea σ un elemento del centro de G, y sea X ∈ g. Como σ está enel centro, expG(tX) = σexpG(tX)σ−1. Teniendo en cuenta (8),

expG(tX) = σexpG(tX)σ−1 = aσ(expG(tX)) = expG(tAdσ(X)

)para todo t ∈ R. Esto implica que X = Adσ(X) para todo X ∈ g, esto es Adσ = Idg

y σ ∈ Ker(Ad).Recíprocamente, supongamos que σ ∈ Ker(Ad). El mismo cálculo anterior nos

daexpG(tX) = expG

(tAdσ(X)

)= σexpG(tX)σ−1,

y por tanto σ conmuta con expG(tX). Al ser X ∈ g y t ∈ R arbitrarios y expGun difeomorfismo localmente alrededor de 0 ∈ g, inferimos que σ conmuta con todoelemento de un entorno del neutro e ∈ G. Como G es conexo, la Proposición 10garantiza que de hecho σ conmuta con todo elemento de G y está en el centro.

Como consecuencia de este resultado tenemos:


Corolario 8. Sea G un grupo de Lie conexo. Entonces el centro de G es un sub-grupo de Lie cerrado de G con álgebra de Lie el centro de g.

Demostración. Como Ad: G→ Aut(g) es un homomorfismo de grupos, el Teore-ma 27 implica que el centro de G es un subgrupo de Lie de G cerrado. Por el Teorema24 el álgebra de Lie asociada al centro de G no es sino el núcleo de la diferencial deAd. Pero Ker(ad) no es sino el centro de g por la Proposición 14, de donde se sigueel corolario.

Como consecuencia, los grupos de Lie conexos abelianos se caracterizan por tenerálgebras de Lie abelianas.Corolario 9. Un grupo de Lie conexo G es abeliano si y solo si su álgebra de Liees abeliana (o conmutativa).

Demostración. G es abeliano si y solo si el centro de G es el total, lo que por elcorolario anterior equivale a que g sea abeliana.

La aplicación exponencial no es en general un homomorfismo de grupos de Lie.Sin embargo, el comportamiento algebraico de la exponencial es bondadoso cuandoactua sobre campos que commutan en el álgebra de Lie. Como consecuencia, si ungrupo de Lie es abeliano la exponencial es un homomorfismo de grupos.Proposición 15. Sea G un grupo de Lie con álgebra de Lie g, y sean X, Y ∈ g doscampos. Entonces

[X,Y ] = 0 =⇒ exp(X + Y ) = exp(X)exp(Y ).

En particular, si G es abeliano entonces exp: g→ G es un homomorfismo de gruposde Lie.

Demostración. El subespacio de g generado por X e Y es un subálgebra de gconmutativa. Por el Teorema 10, existe un subgrupo de Lie conexo A de G que laadmite como álgebra de Lie, que además es abeliano por el Corolario 9. Sea

α : R→ A ⊂ G, α(t) = exp(tX)exp(tY ).

(La aplicación exponencial exp hace referencia indistintamente a expG o expA, esirrelevante ya que las expresiones coinciden y no hay ambigüedad.)

Entonces α es una curva diferenciable. Teniendo en cuenta además el Teorema17-(b) y el hecho de que A es conmutativo, α es un homomorfismo de grupos, estoes, α(t1 + t2) = α(t1)α(t2) para todo t1, t2 ∈ R.

Veamos que el vector tangente a α en t = 0 es X(e) +Y (e). En efecto, considere-mos β : R→ G×G, β(t) := (exp(tX), exp(tY )), y µ : G×G→ G, µ(σ, τ) = στ , y ob-servemos que β′(0) = (X(e), Y (e)) = (X(e), 0) + (0, Y (e)). Como dµ(e,e)(X(e), 0) =X(e) y dµ(e,e)(0, Y (e)) = Y (e), inferimos que (µ β)′(0) = X(e) + Y (e). Al serα = µ β se sigue α′(0) = X(e) + Y (e) como deseábamos. Pero la aplicación

R→ A ⊂ G, t 7→ exp(t(X + Y )),


es también un subgrupo 1-paramétrico de G con vector tangente X(e) + Y (e) ent = 0. Por unicidad, exp(t(X + y)) = exp(tX)exp(tY ) para todo t ∈ R, y de aquí laproposición (t = 1).

Como consecuencia del Teorema de Ado (ver Nota 4), toda álgebra de Lie gadmite una representación fiel en gl(n,R), y por tanto es el álgebra de Lie de ungrupo de Lie (de hecho, un subgrupo de Gl(n,R)). Sin llegar al Teorema de Ado,con nuestras herramientas podemos probar el siguiente resultado parcial.Corolario 10. Si (g, [·, ·]) es un álgebra de Lie abstracta con centro trivial (estoes, 0), entonces la aplicación

ad : g→ End(g), ad(X)(Y ) := [X,Y ]

es una representación fiel de g en End(g). En particular, el Teorema 10 implica queg es el álgebra de Lie de un subgrupo de Aut(g).

Demostración. Observemos que ad : g→ End(g) es un homomorfismo de álgebasde Lie. En efecto, recordemos que el corchete en End(g) viene dado por [f, g] =f g − g f , de donde

[ad(X1), ad(X2)](Y ) =(ad(X1) ad(X2)

)(Y )−

(ad(X2) ad(X1)

)(Y ) =

ad(X1)([X2, Y ])− ad(X2)([X1, Y ]) = [X1, [X2, Y ]]− [X2, [X1, Y ]] =Id.Jacobi= [[X1, X2], Y ] = ad([X1, X2])(Y ), para todo X1, X2, Y ∈ g.

De aquí que [ad(X1), ad(X2)] = ad([X1, X2]) para todo X1, X2 ∈ g, y por tanto ades un homomorfismo de álgebras. Además, ad tiene núcleo 0 por ser el centro deg es trivial, esto es, es una representación fiel de g en End(g).

13. Automorfismos y derivaciones de operaciones y formasbilineales

Comencemos recordando la definción de operación bilineal y derivación.Definición 41. Sea V un espacio vectorial real o complejo. Una operación bilinealen V es una aplicación lineal ψ : V ⊗V → V , donde el producto tensorial se construyesobre los reales o los complejos según V sea real o complejo. Usaremos la notación

ψ(v ⊗ w) = v, w.

(a) Escribiremos

Aψ(V ) = α ∈ Aut(V ) : α(v, w) = α(v), α(w) para todo v, w ∈ V ,

y llamaremos a los elementos de Autψ(V ) automorfismos de V que preservan laoperación bilineal ψ.


(b) Escribiremos

dψ(V ) = l ∈ End(V ) : l(v, w) = l(v), w+ v, l(w) para todo v, w ∈ V ,

y llamaremos a los elementos de dψ(V ) derivaciones de la operación bilineal ψ.

Podemos demostrar el siguiente teorema:Teorema 28. El grupo Aψ(V ) is un subgrupo de Lie cerrado de Aut(V ) con álgebrade Lie dψ.

Demostración. Primeramente, por cuestiones meramente algebraicas δψ es unsubálgeba de End(V ). En efecto, claramente es un subespacio vectorial. En cuantoal comportamiento respecto al corchete, dados l1,l2 ∈ δψ tenemos

(l2 l1)(v, w) = l2(l1(v), w+ v, l1(w)

)=

= l2(l1(v)), w+ l1(v), l2(w)+ l2(v), l1(w)+ v, l2(l1(w)),

de donde como [l1, l2] = (l1 l2 − l2 l1) se deduce que [l1, l2] ∈ dψ.Es también evidente que Aψ(V ) es un subgrupo abstracto de Aut(V ), y un sub-

conjunto cerrado de Aut(V ). Por el Teorema 23, Aψ(V ) es un subgrupo de Lie ce-rrado de Aut(V ). Llamemos a al álgebra de Lie de Aψ(V ). Para acabar necesitamosprobar que a = dψ.

Sea l ∈ a. Sabemos que exp(tl) ∈ Aψ(V ) (aquí exp es la exponencial clásica deendomorfismos), de donde

exp(tl)(v, w) = exp(tl)(v), exp(tl)(w).

Ambos lados de la igualdad corresponden a una curva diferenciable en V . Derivandoen t = 0 obtenemos que

l(v, w) = d

dt

∣∣t=0exp(tl)(v, w) = d

dt

∣∣t=0exp(tl)(v), exp(tl)(w).

Ahora bien, como V ⊗ V es un espacio vectorial (de dimensión dim(V )2), si ϕ(t)y φ(t) son curvas diferenciables en V lo mismo ocurre con ϕ(t) ⊗ φ(t) en V ⊗ V .Además, el vector tangente de ϕ(t) ⊗ φ(t) en t = 0 es ϕ′(0) ⊗ φ(0) + ϕ(0) ⊗ φ′(0).Es por esto que

l(v, w) = d

dt

∣∣t=0exp(tl)(v), exp(tl)(w) = l(v), w+ v, l(w),

lo que prueba que l ∈ dψ.Recíprocamente, consideremos ahora l ∈ dψ. Para probar que l ∈ a basta con

garantizar que exp(tl) ∈ Aψ(V ) para todo t ∈ R. Consideremos el endomorfismol ⊗ Id en V ⊗ V dado tras extensión lineal de

(l ⊗ Id)(v ⊗ w) = l(v)⊗ w, v, w ∈ V.


El hecho de que l ∈ dψ, esto es, l(v, w) = l(v), w+v, l(w) para todo v, w ∈ V ,se puede reescribir como

l ψ = ψ (l ⊗ Id + Id⊗ l),

de donde iterandoln ψ = ψ (l ⊗ Id + Id⊗ l)n

y por tantoetl ψ = ψ et(l⊗Id+Id⊗l).

Como hay conmutatividad (l ⊗ Id) (Id ⊗ l) = (Id ⊗ l) (l ⊗ Id), la regla usual dela exponencial de una suma funciona y et(l⊗Id+Id⊗l) = et(l⊗Id) et(Id⊗l). Concluimospues que

etl ψ = ψ et(l⊗Id) et(Id⊗l) = ψ (etl ⊗ Id) (Id⊗ etl) = ψ etl ⊗ etl,

donde para la penúltima igualdad hemos tenido en cuenta que et(l⊗Id) = etl ⊗ Idy et(Id⊗l) = Id ⊗ etl; para observarlo aplíquese sin más la fórmula clásica de laexponencial de endomorfismos.

Ahora podemos probar que exp(tl) ∈ Aψ(V ) para todo t ∈ R. En efecto,

exp(tl)(v, w) = (etl ψ)((v, w)) = (ψ etl ⊗ etl)(v ⊗ w) =

= ψ(exp(tl)(v)⊗ exp(tl)(w)) = exp(tl)(v), exp(tl)(w) para todo v, w ∈ V ,por lo que exp(tl) ∈ Aψ(V ) para todo t ∈ R y l ∈ a. Esto concluye la prueba.

El estudio anterior se puede realizar de forma paralela para formas bilineales yderivaciones.Definición 42. Sea V un espacio vectorial finito dimensional sobre K = R o C. Unaforma bilineal B sobre V es una aplicación lineal B : V ⊗V → K (o equivalentemente,una aplicación bilineal V × V → K). Usaremos la notación B(v ⊗ w) = (v, w).(a) Escribiremos

AB(V ) = α ∈ Aut(V ) : α((v, w)) = (α(v), α(w)) para todo v, w ∈ V ,

y llamaremos a los elementos de AutB(V ) automorfismos de V que preservanla forma bilineal B.

(b) Escribiremos

dB(V ) = l ∈ End(V ) : l((v, w)) = (l(v), w) + (v, l(w)) para todo v, w ∈ V ,

y llamaremos a los elementos de dψ(V ) derivaciones de la forma bilineal B.Al igual que antes tenemos el siguiente

Teorema 29. El grupo AB(V ) es un subgrupo de Lie cerrado de Aut(V ) con álgebrade Lie dB.Ejercicio 20. Probar el Teorema 29.


13.1. Algunas aplicaciones.

Estudiemos algunos ejemplos de automorfismos y derivaciones de operaciones yformas bilineales, y extraigamos algunas consecuencias de lo probado.(a) El Teorema 29 nos proporciona otra prueba de que el grupo ortogonal O(n) es

un subgrupo de Lie cerrado de Gl(n,R) con álgebra de Lie la de las matricesantisimétricas o(n).En efecto, sea V un espacio vectorial real dotado de una métrica euclidiana B,que obviamente es una forma bilineal en V . Por el Teorema 29, los automor-fismos de V que preservan B, esto es, las isometrías de (V,B), determinan unsubgrupo de Lie cerrado de AutB(V ) ⊂ Aut(V ) cuya álgebra de Lie es el subál-gebra de Lie dB ⊂ End(V ) de las derivaciones de la métrica B. Fijemos unabase ortonormal B0 para (V,B). Consideremos el isomorfismo de grupos de LieAut(V )→ Gl(n,R), α 7→M(α,B0), y el isomorfismo de álgebras de Lie asociadoEnd(V )→ gl(n,R), l 7→M(l, B0); aquí M(f,B0) represena a la matriz de f enB0 para todo f ∈ End(V ). Es fácil ver que vía los correspondientes isomorfismosel grupo AutB(V ) se aplica en el grupo ortogonal O(n) ⊂ Gl(n,R) y el álgebradB en el álgebra de las matrices antisimétricas o(n) ⊂ gl(n,R), respectivamente.

(b) Otra interesante consecuencia es que el grupo de los automorfismos de Lie deun grupo de Lie simplemente conexo es de forma canónica un grupo de Lie.En efecto, observemos primero que toda álgebra de Lie soporta una operaciónbilineal: el corchete [·, ·]. Los automorfismos de g que preservan [·, ·] no son sinolos automorfismos del álgebra de g como álgebra de Lie. Denotemos A(g) al con-junto de los automorfismos de g. Por el Toerema 28, A(g) es un subgrupo de Liecerrado de Aut(g) con álgebra de Lie las derivaciones de [·, ·], que denotaremospor d(g).Supongamos ahora que G es un grupo de Lie simplemente conexo con álgebrade Lie g. Sea A(G) el grupo abstracto formado por todos los automorfismos deLie del grupo G. La aplicación

ψ : A(G)→ A(g), ψ(α) = dα

es un homomorfismo de grupos abstractos. La conexión de G y el Teorema 9garantizan que ψ es inyectiva, y la simple-conexión de G y el Teorema 15 que ψes sobreyectiva. Por tanto ψ es un isomorfismo de grupos abstractos. Podemospues inducir en A(G) vía ψ la estructura de grupo de Lie de A(g). De estamanera A(G) se convierte en un grupo de Lie con álgebra de Lie isomorfa ad(g).

14. Variedades Homogéneas

Las variedades homogéneas surgen como cocientes de grupos de Lie por subgruposcerrados. Esta construcción descansa en el siguiente teorema fundamental.


Teorema 30. Sa H un subgrupo de Lie cerrado de un grupo de Lie G. Consideremosel conjunto de las clases a la izquierda de H en G

G/H = σH : σ ∈ G

y la proyección naturalπ : G→ G/H, π(g) = gH.

Entonces G/H tiene una única estructura de variedad diferenciable tal que(a) π es diferenciable.(b) G/H admite secciones locales diferenciables, esto es, para todo σH ∈ G/H existe

un entorno W de σH en G/H y una aplicación diferenciable τ : W → G tal queπ τ = Id

∣∣W.

Demostración. Comenzemos probando la parte de existencia en el teorema. Loprimero que haremos será dotar a G/H de una topología Hausdorff y II-Axioma deNumerabilidad que haga a π continua y abierta. La candidata natural es la topologíacociente en G/H:

U ⊂ G/H es abierto si y solo si π−1(U) es abierto de G.

Con esta topología la aplicación π : G→ G/H es continua. Además no es difícil verque π es abierta; en efecto, si W ⊂ G es un abierto entonces

π−1(π(W )) =⋃w∈W

wH =⋃h∈H

Wh =⋃h∈H

rh(W )

es abierto en G, y por tanto π(W ) es abierto en G/H. Además, no es dificil ver queG/H es un espacio Hausdorff. Para ello, primero observemos que el conjunto

R = (σ, τ) ∈ G×G : τ−1σ ∈ H

es cerrado en G×G al ser la imagen inversa del conjunto cerrado H por la aplicacióncontinua G × G → G, (σ, τ) 7→ τ−1σ. Por tanto, si σH y τH son puntos distintosen G/H, o equivalentemente, si (σ, τ) /∈ R, podemos encontrar entornos abiertos Vde σ y W de τ tales que (V ×W ) ∩ R = ∅, esto es, V −1W ∩H = ∅. En particularV h1∩Wh2 = ∅ para todo h1, h2 ∈ H, lo que implica que π(V ) y π(W ) son entornosabiertos disjuntos de σH y τH, respectivamente, ya que

π−1(π(W )) ∩ π−1(π(V )) =( ⋃h∈H

Wh)∩( ⋃h∈H

V h)

= ∅.

Esto prueba que G/H es Hausdorff. También es claro que una base numerable dela topología de G, que existe por ser G variedad diferenciable, se proyecta en unabase numerable de la topología en G/H (la imagen abierta de un II-Axioma deNumerabilidad es II-Axioma de Numerabilidad).

Procedamos a introducir en G/H la estructura diferenciable. Recordemos que,por el Teorema 23, el subgrupo cerrado H tiene estructura de subgrupo de Lie de G


embebido vía la inclusión. Escribamos dimG = d y dimH = d−k. Para lograr definirlas cartas en G/H, necesitaremos probar la existencia de un sistema de coordenadas(U,ϕ = (x1, . . . , xd)) cúbico (esto es, ϕ(U) es un cubo en Rd) en G centrado en elneutro e ∈ G, de forma que cada una de las láminas (d− k)-dimensionales

xi = constante para todo i ∈ 1, . . . , k

esté contenida en una clase a izquierda distinta de H. En otras palabras,Si c := (c1, . . . , ck) ∈ Rk y Lc := xi = ci : i = 1, . . . , k ⊂ U , entoncesLc ⊂ σcH para algún σc ∈ G.Si Lc, Lc′ ⊂ U, c 6= c′, entonces σcH 6= σc′H.

Con ese objetivo consideramos D la distribución invariante a izquierda sobre Ggenerada por el álgebra de Lie h ⊂ Ge de H:

Dσ = dlσ(h) para todo σ ∈ G.

Como D es involutiva, el Teorema 4 garantiza la existencia de un entorno coordenadocúbico (V, ϕ = (x1, . . . , xd)) centrado en e ∈ G de forma que las variedades integralesde D contenidas en V son de la forma descrita anteriormente: xi = constante, paratodo i ∈ 1, . . . , k. Llamemos S0 a la variedad integral de D en V conteniendoe ∈ G, esto es, la lámina xi = 0: i ∈ 1, . . . , k. Como H es un subgrupo cerradode G, y en consecuencia es un subgrupo de Lie embebido de G, V se puede elegirsuficientemente pequeño para que

V ∩H = S0.

A continuación elegimos entornos U y V1 de e ∈ G, cúbicos relativos al sistema decoordenadas (V, ϕ) (esto es, contenidos en V , con coordenadas la restricción de lasde (V, ϕ), y con imagen por ϕ un sub-cubo de ϕ(V ) centrado en el origen), de formaque

U−1U ⊂ V1 y V1V1 ⊂ V.

Obsérvese que en particular U ⊂ V1 ⊂ V . Veamos que (U,ϕ) es el sistema de coor-denadas deseado. En efecto, supongamos que σ, τ ∈ U son puntos que determinanla misma clase en G/H, esto es, σ ∈ τH, y veamos que están contenidos en unamisma lámina xi = ci : i = 1, . . . , k de U .

En efecto, como σ y τ ∈ U determinan la misma clase en G/H,

τ−1σ ∈ U−1U ∩H ⊂ V1 ∩H = (V ∩H) ∩ V1 = S0 ∩ V1,

donde hemos usado que V1 ⊂ V y V ∩H = S0. Por tanto,

σ ∈ lτ (V1 ∩ S0) ≡ τ(V1 ∩ S0), y al ser e ∈ V1 ∩ S0, también τ ∈ τ(V1 ∩ S0).

Peroτ(V1 ∩ S0) = lτ (V1 ∩ S0) es una variedad integral de D (D es invariante portraslaciones a izquierda y V1 ∩ S0 es variedad integral de D!!).


τ(V1 ∩ S0) está contenida en V , ya que τ ∈ U ⊂ V1, V1 ∩ S0 ⊂ V1, y por tantoτ(V1 ∩ S0) ⊂ V1V1 ⊂ V .τ(V1 ∩ S0) es conexa

Deducimos de todo ello que el conjunto τ(V1∩S0) (luego τ y σ) ha de estar contenidoen una variedad integral de D en V , esto es, en una lámina xi = ci : i = 1, . . . , kde V como queríamos demostrar.

Llamemos S a la lámina del cubo ϕ(U) ⊂ Rd sobre la cual xk+1, . . . , xd seanulan, esto es, suplementaria a las láminas que son variedades integrales de D enU . Nótese que salvo la identificación Rk × 0 ≡ Rk, S es un cubo abierto en Rk.Por la elección de (U,ϕ) y S, cada una de las láminas xi = ci : i = 1, . . . , k en U(variedades integrales de D en U , contenidas en clases a la izquierda de H distintas)corta a S en un único punto, que es distinto además para cada una de ellas. Portanto, la aplicación

ϕ−1 = π ϕ−1∣∣∣S

: S → π(U),

es inyectiva. Obviamente ϕ es continua por ser composición de continuas. Veamosque ϕ−1 también es abierta. En efecto, si O ⊂ S es abierto, O′ := (O×Rd−k)∩ϕ(U)es un abierto de ϕ(U) y claramente ϕ−1(O) = π(ϕ−1(O′)) ya que las láminas xi =ci : i = 1, . . . , k en U están contenidas en clases a la izquierda de H. Como ϕ−1 yπ son abiertas se sigue que ϕ−1(O) es abierto en G/H. Como consecuencia ϕ−1 esun homeomorfismo y también su inversa

ϕ : π(U)→ S ⊂ Rk × 0 ≡ Rk.

Por tanto, (π(U), ϕ) es un entorno coordenado cúbico centrado alrededor de la clasedel neutro eH ≡ H ∈ G/H. Además nótese que por definición

ϕ π = π0 ϕ : U → S, (10)


donde π0 : ϕ(U)→ S es la proyección canónica.Se obtienen entornos coordenados alrededor de otros puntos de G/H sin más que

hacer traslaciones a la izquierda. En efecto, si σ ∈ G, denotemos por lσ : G/H →G/H el homeomorfismo inducido por la traslación lσ:

lσ(τH) = στH para todo τH ∈ G/H.

Entonces para cada σH ∈ G/H definimos la aplicación

ϕσH : lσ(π(U))→ S ⊂ Rk, ϕσH = ϕ lσ−1

∣∣∣lσ(π(U))

.

Tenemos que (lσ(π(U)), ϕσH) es un sistema de coordenadas alrededor de σH; ob-servese que con esta notación ϕH coincide con ϕ. Afirmamos que extendiendo a unatlas maximal las cartas

(lσ(π(U)), ϕσH) : σ ∈ G

generamos una estructura diferenciable sobre G/H. Para ello es suficiente con de-mostrar que los cambios de carta son diferenciables. En efecto, consideremos doscartas (lσ1(π(U)), ϕσ1H), (lσ2(π(U)), ϕσ2H) y llamemos

V = ϕσ1H

(lσ1(π(U)) ∩ lσ2(π(U))

)y V ′ = ϕσ2H

(lσ1(π(U)) ∩ lσ2(π(U))

).

Obsérvese que V y V ′ son abiertos contenidos en S ⊂ Rk, luego abiertos de Rk.Hemos de probar que

ϕσ2H ϕ−1σ1H

∣∣∣V

= ϕ lσ−12 lσ1 ϕ−1

∣∣∣V

: V → V ′ ⊂ Rk

es diferenciable. Sea t ∈ V . Como

lσ−12 lσ1 ϕ−1(t) = lσ−1

2 lσ1 π ϕ−1(t) =

= π lσ−12 σ1

ϕ−1(t) =(σ−1

2 σ1ϕ−1(t)

)H ∈ π(U),

deducimos que(σ−1

2 σ1ϕ−1(t)

)H = lσ−1

2 σ1

(ϕ−1(t)

)H = σH, σ ∈ U , y por tanto

existe un elemento g ∈ H tal que σ−12 σ1ϕ

−1(t)g = σ ∈ U . De aquí que exista unentornoW de t en V tal que σ−1

2 σ1ϕ−1(W )g = rglσ−1

2 σ1ϕ−1(W ) ⊂ U . Obviamente

basta con demostrar que ϕσ2H ϕ−1σ1H

∣∣∣W

es diferenciable. Teniendo en cuenta (10)y el hecho de que π rg = π para todo g ∈ H,

ϕσ2H ϕ−1σ1H

∣∣∣W

= ϕ π (lσ−1

2 σ1 ϕ−1)∣∣∣

W=

= ϕ π (rg lσ−1

2 σ1 ϕ−1)∣∣∣

W= π0 ϕ

(rg lσ−1

2 σ1 ϕ−1)∣∣∣

W,


la aplicación ϕσ2H ϕ−1σ1H

∣∣∣W

es diferenciable al ser composición de aplicaciones di-ferenciables.

Con esta estructura diferenciable en G/H, la proyección π : G→ G/H es diferen-ciable. En efecto, estudiemos la restricción de π al conjunto abierto lσ(U). Si τ ∈ U ,tenemos que

ϕ−1σH π0 ϕ lσ−1(στ) = ϕ−1

σH π0 ϕ(τ) = lσ ϕ−1 π0 ϕ(τ),

de donde por (10),

ϕ−1σH π0 ϕ lσ−1(στ) = lσ ϕ−1 ϕ π(τ) = lσ π(τ) = π(στ)

Hemos demostrado pues que π∣∣∣lσ(U)

coincide con la composición ϕ−1σH π0 ϕ lσ−1 ,

y por tanto es diferenciable al ser composición de diferenciables. Esto prueba el item(a) del teorema. Para (b), obsérvese que sobre el entorno lσ(π(U)) la composición

π lσ ϕ−1 ϕσH = π lσ ϕ−1 ϕ lσ−1 = lσ π ϕ−1 ϕ lσ−1 =

= lσ ϕ−1 ϕ lσ−1 = lσ lσ−1 = Id∣∣∣lσ(π(U))

,

y por tanto lσ ϕ−1 ϕσH : lσ(π(U)) → lσ(U) ⊂ G es una sección diferenciable deG/H en G.

Esto acaba la parte de existencia en el teorema.En cuanto a la unicidad en el teorema, denotemos por (G/H)1 el conjunto G/H

con otra estructura diferenciable satisfaciendo (a) y (b).

La aplicación identidad y su inversa son ambas diferenciables ya que localmentepueden expresarse como la composición de secciones locales diferenciables en G se-guidas de la proyección diferenciable π. En consecuencia Id es un difeomorfismo, loque prueba la unicidad.

Definición 43. Las variedades de la forma G/H, donde G es un grupo de Lie, Hun subgrupo cerrado suyo, y la estructura diferenciable es la única satisfaciendo (a)y (b) en el Teorema 30, serán llamadas variedades homogéneas.Corolario 11. Si M es una variedad diferenciable y f : G/H →M es una aplica-ción, f es diferenciable si y solo si f π es diferenciable.


Demostración. Obviamente si f es diferenciable también lo es f π por ser com-posición de diferenciables. Recíprocamente, si f π es diferenciable entonces f sepuede expresar localmente como composición de una sección diferenciable de G/Hen G con f π, luego es diferenciable.

A continuación profundicemos en el estudio de la acción de un grupo sobre unavariedad.Definición 44. Sea

η : G×M →M

una acción de un grupo de Lie G sobre una variedad M por la izquierda; ver Defi-nición 38. Como es habitual, sea

ησ : M →M, ησ(p) = η(σ, p)

el difeomorfismo asociado a σ ∈ G.La acción se dirá efectiva si el neutro e ∈ G es el único elemento de G para el

que ηe es la aplicación IdM . La acción se llamará transitiva si para cualesquiera p,q ∈M existe σ ∈ G tal que ησ(p) = q. Dado p0 ∈M , denotaremos por

H = σ ∈ G : ησ(p0) = p0

el subgrupo de Lie (cerrado) de isotropía en p0, que por el Teorema 23 tiene unaestructura diferenciable que lo convierte en subgrupo de Lie cerrado de G. La restric-ción de la acción η a H nos proporciona una acción de H en M por la izquierda conun punto fijo p0, de donde siguiendo el Teorema 25 obtenemos una representación

α : H → Aut(Mp0), donde α(σ) = dησ

∣∣∣Mp0

.

El grupo α(H) de transformaciones lineales de Mp0 es llamado el grupo lineal deisotropía en p0.

Las acciones transitivas de un grupo de Lie sobre una variedad diferenciablepermiten identificarla con una variedad homogenea de forma natural.Teorema 31. Sea η : G×M →M una acción transitiva de el grupo de Lie G sobrela variedad diferenciable M por la izquierda. Sea p0 ∈ M , sea H el subgrupo deisotropía de η en p0, y consideremos la variedad homogénea G/H; ver Teorema 30.Entonces la aplicación

β : G/H →M, β(σH) = ησ(p0)

es un difeomorfismo.

Demostración. Observemos primero que β está bien definida ya que ησh(p0) =ησ(ηh(p0)) = ησ(p0) para todo h ∈ H. Además β es sobreyectiva ya que η es unaacción transitiva, y es inyectiva ya que β(σH) = β(τH) quiere decir que ησ(p0) =ητ (p0), esto es, η−1

τ ησ(p0) = ητ−1ησ(p0) = ητ−1σ(p0) = 0, lo que implica que τ−1σ ∈


H y σH = τH. Asi pues, β es una biyección entre variedades diferenciables. Paraprobar que es un difeomorfismo, es suficiente con demostrar que es diferenciable ycon diferencial no singular en todo punto. Por el Corolario 11, β es diferenciable si ysolo si βπ : G→M es diferenciable, donde π : G→ G/H es la proyección canónica.Si consideramos la aplicación diferenciable

ip0 : G→ G×M, ip0(σ) = (σ, p0),

es claro que β π(σ) = β(σH) = ησ(p0) = η(σ, p0) = η ip0(σ), esto es,

β π = η ip0(σ) : G→M.

Resulta pues evidente que βπ es diferenciable por ser composición de diferenciables,y por lo dicho β es diferenciable.

Comprobemos la regularidad de β. Para ello llamemos β = β π : G → M .Obsérvemos que

Ker(dπ∣∣∣Gσ

) = (σH)σ ⊂ Gσ.

En efecto, como H es una subvariedad embebida de G (H es un subgrupo cerradode G), σH = lσ(H) es una subvariedad embebida de G igualmente que se proyectapor π en el punto o clase σH ∈ G/H. Por tanto, (σH)σ ⊂ Ker(dπ

∣∣∣Gσ

). La igualdadse tiene por cuestión de dimensiones, ya que por el Teorema 30-(b) la aplicación π esuna submersión (su diferencial es sobreyectiva), y dim Ker(dπ

∣∣∣Gσ

) + dim dπ(Gσ) =

dimGσ, y por tanto dim Ker(dπ∣∣∣Gσ

) = dimGσ−dim dπ(Gσ) = dimG−dimG/H =dimH = dim(σH)σ.

Como Ker(dπ∣∣∣Gσ

) = (σH)σ, para comprobar que dβ∣∣∣(G/H)σH

no es singular es

suficiente con garantizar que también Ker(dβ∣∣∣Gσ

)= (σH)σ. Obsérvese que para

cada σ ∈ G

ησ β lσ−1(τ) = ησ β(σ−1τ) = ησ β π(σ−1τ) =

= ησ β(σ−1τH) = ησ ησ−1τ (p0) = ητ (p0) = β(τ),

y por tantoβ = ησ β lσ−1 . (11)

Al ser ησ y lσ−1 difeomorfismos, la igualdad Ker(dβ∣∣∣Gσ

)= (σH)σ es equivalente a

Ker(dβ∣∣∣Ge

)= He.

Comprobemos pues para acabar la última igualdad. En efecto, como para cadah ∈ H tenemos que β(h) = ηh(p0) = p0, trivialmente He ⊂ Ker

(dβ∣∣∣Ge

). Para la otra


inclusión hay que trabajar un poco más. Sea x ∈ Ker(dβ∣∣∣Ge

)y llamemosX ∈ g ≡ Ge

al campo invariante a izquierda determinado por x (obviamente Xe = x). Paracomprobar que x ∈ He es suficiente con garantizar que exp(tX) ∈ H para todot ∈ R, ya que en ese caso x = Xe = d

dt

∣∣∣t=0

exp(tX) ∈ He. Para garantizar estoúltimo, basta con ver que el vector tangente a la curva t 7→ β(exp(tX)) es constantecero, ya que ello implicaria que β(exp(tX)) = β(exp(0)) = β(e) = p0, esto es,exp(tX) ∈ H para todo t ∈ R. El vector tangente a esa curva se calcula de lasiguiente forma. Recordemos que exp(tX) es la curva integral del campo X que pasapor el neutro e ∈ G, y por tanto d

dtexp(tX) = Xexp(tX) para todo t ∈ R. De ahí queteniendo en cuenta (11),

d

dtβ(exp(tX)) = dβ

(Xexp(tX)

)= d(ηexp(tX) β lexp(−tX)

)(Xexp(tX)

),

de donde como X es invariante a izquierda

d

dtβ(exp(tX)) = dηexp(tX) dβ

(X(e)

)= dηexp(tX) dβ(x) = 0

ya que x ∈ Ker(dβ∣∣∣Ge

).

Esto demuestra que dβ no es singular en todo punto y el teorema.

Este teorema explica por qué las variedades G/H son llamadas homogéneas. SiG es un grupo de Lie y H un subgrupo cerrado suyo, existe una acción canónica lde G sobre la variedad homogénea G/H por la izquierda dada por

l : G×G/H → G/H, l(σ, τH) = στH.

Usando el Teorema 30-(b), es fácil demostrar que l es diferenciable. Además obvia-mente l es una acción de G sobre G/H por la izquierda. También es inmediato quel es transitiva por argumentos meramente algebraicos. Esta acción demuestra queG/H admite un grupo de difeomorfismos, a saber los denotados por lσ = l(σ, ·),σ ∈ G, que actúan transitivamente en G/H. Es por este motivo que a la variedadG/H se le llama homogénea. Recíprocamente, el Teorema 31 muestra que toda va-riedad M que admitiendo un grupo de difeomorfismos que actúa de forma transitivaes difeomorfa a una variedad homogénea.

El Teorema 31 nos proporciona otra caracterización de la estructura diferencia-ble en G/H. En efecto, el conjunto G/H tiene una única estructura de variedaddiferenciable de forma que la acción l de arriba es diferenciable.

El siguiente teorema muestra que, en el caso de que H sea un subgrupo normalde G, la variedad homogénea G/H es también un grupo de Lie.Teorema 32. Sea G un grupo de Lie, y sea H un subgrupo de Lie cerrado y normalde G. Entonces la variedad homogénea G/H con su estructura natural de grupo esun grupo de Lie.


Demostración. Tenemos que comprobar que la aplicación

ϕ : G/H ×G/H → G/H, ϕ(σH, τH) = στ−1H,

es diferenciable. Con este fin consideramos ασ : Wσ → G y ατ : Wτ → G seccioneslocales de G/H en G sobre entornos Wσ de σH y Wτ de τH en G/H, respectiva-mente. Localmente, la aplicación ϕ se puede expresar como la composición de lassiguientes aplicaciones diferenciables:

ϕ∣∣∣Wσ×Wτ

= π ϕ (ασ × ατ ) : Wσ ×Wτ → G/H,

donde ϕ : G×G→ G es la aplicación ϕ(σ, τ) = στ−1. Esto acaba la prueba.

14.1. Ejemplos de Variedades Homogéneas

En este apartado describiremos algunos ejemplos básicos de variedades homogé-neas.(a) La esfera Sn−1 es canónicamente difeomorfa a la variedades homogéneas O(n)/O(n−

1) y SO(n)/SO(n− 1).En efecto, consideremos la base canónica estándar e1, . . . , en de Rn. Cadamatriz σ = (σi,j)i,j=1...,n ∈ Gl(n,R) define una transformación lineal en Rn, quetambién llamaremos σ, determinada por las expresiones:

σ(ej) =∑i

σi,jei, j = 1, . . . , n.

De esta forma, pensando en Rn como vectores columna, tenemos definida unaacción de Gl(n,R) en Rn por la izquierda via la multiplicación matricial

Gl(n,R)× Rn → Rn, (σ, x) 7→ σ · x.

Consideremos el producto escalar euclidiano 〈, 〉 clásico en Rn, respecto del cuale1, . . . , en es base ortonormal. Obviamente

〈σ(v), u〉 = 〈v, σt(u)〉, u, v ∈ Rn.

Si σ ∈ O(n) se tiene que σtσ = In, por lo que

〈σ(v), σ(u)〉 = 〈v, u〉, u, v ∈ Rn,

y σ preserva la longitud euclidiana de vectores de Rn (es una isometría).Por restricción de la acción anterior a O(n) × Sn−1, ésta factoriza a la esferaunidad Sn−1 dando lugar a una acción por la izquierda:

O(n)× Sn−1 → Sn−1, (σ, x) 7→ σ · x, (12)

claramente diferenciable ya que i : Sn−1 → Rn es un embebimiento diferenciabley la aplicación O(n) × Sn−1 → Rn, (σ, x) 7→ σ · x, es diferenciable. Además la


acción (12) es claramente transitiva por geometría elemental. Consideremos elembebimiento natural de O(n − 1) en O(n) dado por σ 7→ σ, donde σi,j = σi,jpara todo 1 ≤, i, j ≤ n − 1, σi,n = σn,i = 0 para todo 1 ≤ i ≤ n − 1, yσn,n = 1. Salvo la identificación O(n − 1) 3 σ ←→ σ ∈ O(n) inducida por elembebimiento anterior, podemos considerar O(n−1) como subgrupo cerrado deO(n): el subgrupo de las matrices de O(n) que fijan en.Es obvio por tanto que O(n − 1) es el subgrupo de isotropía de la acción (12)en el punto en ∈ Rn. El Teorema 31 prueba que la aplicación

O(n)/O(n− 1)→ Sn−1, σO(n− 1) 7→ σ(en),

es un difeomorfismo, y de aquí el resultado.El caso de SO(n)/SO(n− 1) es análogo. Téngase en cuenta que la acción

SO(n)× Sn−1 → Sn−1, (σ, x) 7→ σ · x,

también es transitiva y tiene a SO(n− 1) como subgrupo de isotropía en en.(b) La esfera S2n−1 es canónicamente difeomorfa a la variedades homogéneas U(n)/U(n−

1) y SU(n)/SU(n− 1).Consideremos la base canónica estándar e1, . . . , en de Cn. Como antes, cadamatriz σ = (σi,j)i,j=1...,n ∈ Gl(n,C) define una transformación lineal en Cn, quetambién llamaremos σ, por las expresiones:

σ(ej) =∑i

σi,jei, j = 1, . . . , n.

Pensando Cn como vectores complejos columna, definimos la correspondien-te acción del grupo de Lie 2n2-dimensional real Gl(n,C) en la variedad 2n-dimensional real Cn por la izquierda

Gl(n,C)× Cn → Cn, (σ, x) 7→ σ · x.

Consideremos el producto escalar hermítico 〈, 〉 clásico en Cn dado por

〈∑i

aiei,∑i

biei〉 =∑i

aibi.

Obviamente〈σ(v), u〉 = 〈v, σt(u)〉, u, v ∈ Cn.

Si σ ∈ U(n) se tiene que σtσ = In, por lo que

〈σ(v), σ(u)〉 = 〈v, u〉, u, v ∈ Cn,

y σ preserva la longitud euclidiana de vectores de Cn (es una isometría).Por restricción de la acción anterior a U(n) × S2n−1, ésta factoriza a la esferaunidad S2n−1 de Cn dando lugar a una acción por la izquierda:

U(n)× S2n−1 → S2n−1, (σ, x) 7→ σ · x, (13)


claramente diferenciable ya que i : S2n−1 → Cn es un embebimiento diferenciabley la aplicación U(n) × S2n−1 → Cn, (σ, x) 7→ σ · x, es diferenciable. Ademásla acción (13) es claramente transitiva por argumentos de geometría elemental.Consideremos el embebimiento natural U(n−1) en U(n) dado por σ 7→ σ, dondeσi,j = σi,j para todo 1 ≤, i, j ≤ n− 1, σi,n = σn,i = 0 para todo 1 ≤ i ≤ n− 1,y σn,n = 1. Salvo la identificación U(n − 1) 3 σ ←→ σ ∈ U(n) inducida por elembebimiento anterior, podemos considerar U(n−1) como subgrupo cerrado deU(n): el subgrupo de las matrices de U(n) que fijan en.Es obvio por tanto que U(n− 1) es el subgrupo de isotropía de la acción (13) enel punto en ∈ Cn. El Teorema 31 prueba que la aplicación

U(n)/U(n− 1)→ S2n−1, σU(n− 1) 7→ σ(en),

es un difeomorfismo, y de aquí el resultado.El caso de SU(n)/SU(n− 1) es análogo. Téngase en cuenta que la acción

SU(n)× S2n−1 → S2n−1, (σ, x) 7→ σ · x,

también es transitiva y tiene a SU(n − 1) como subgrupo de isotropía en en =(0, . . . , 0, n)t. Como caso particular, al ser SU(1) = (1) (matriz unidad 1 × 1)tenemos que S3 es difeomorfo a SU(2). Por tanto S3 tiene estructura de grupode Lie. De hecho es conocido, pero no trivial, que las únicas esferas que poseenestructura de grupo de Lie son S1 = O(2)/O(1) y S3.Nota 7. El caso (b) no es consecuencia del (a), ya que el grupo de transforma-ciones lineales considerado en (b) es muy particular y distinto del de (a) paradimensión 2n: aquellas que conmutan con la estructura compleja J : Cn → Cndada por la involución J(u) = iu.

(c) El proyectivo real RPn−1 es difeomorfo a la variedad homogénea SO(n)/O(n−1).El proyectivo RPn−1, como espacio topológico, es el cociente de Sn−1 bajola relación de equivalencia pRq ⇐⇒ p = ±q. Como la proyección canónicaπ : Sn−1 → RPn−1, π(p) = [p] = p,−p, es recubridora, la estructura di-ferenciable de Sn−1 puede ser inducida sobre RPn−1 convirtiendo a π en undifeomorfismo local. La acción

SO(n)× RPn−1 → RPn−1, (σ, [p]) 7→ [σ(p)] (14)

es claramente diferenciable ya que es la resultante de factorizar la acción dife-renciable

SO(n)× Sn−1 → Sn−1, (σ, p) 7→ σ(p)

por el difeomorfismo local π : Sn−1 → RPn−1. Es fácil comprobar también que laacción (14) es transitiva. El subgrupo de isotropía H en [en] ∈ RPn−1 para(14)no es sino la familia de matrices σ ∈ SO(n) con σn,i = σi,n = 0, i < n yσn,n = det σ, donde σ = (σi,j)1≤i,j≤n−1 ∈ O(n− 1). En otras palabras, y salvola identificación natural explicitada, H = O(n− 1).


Nota 8. La clave que diferencia la acción explicada en (a) de SO(n) sobre Sn−1

y la de SO(n) sobre RPn−1 en (14) es el grupo de isotropía, que en el primercaso se identifica con SO(n− 1) y en el segundo con O(n− 1).

(d) El espacio proyectivo complejo CPn−1 es difeomorfo a la variedad homogéneaSU(n)/U(n− 1).El espacio proyectivo complejo CPn−1 es el cociente de Cn \ 0 bajo la relaciónde equivalencia u ∼ v ⇐⇒ u, v son linealmente dependientes en Cn. Podemosconvertir CPn−1 en una variedad compleja de dimension n−1 de forma estandar.En efecto, basta considerar las cartas

ψj : Cn−1 → CPn−1, (z1, . . . , zj , . . . , zn) 7→ [(z1, . . . , zj−1, 1, zj+1, . . . , zn)],

j = 1, . . . , n, cuyas imágenes recubren CPn−1 (∪nj=1ψj(Cn−1) = CPn−1) y deter-minan por tanto una estructura compleja (atlas maximal holomorfo) en CPn−1.En particular, CPn−1 es una variedad real de dimensión 2(n − 1). Llamaremosπ : Cn \0 → CPn−1 a la proyección natural, obviamente diferencible (de hechoholomorfa) y admitiendo secciones locales diferenciables (de hecho holomorfas)inducidas por las aplicaciones ψj .Para comprobar que CPn−1 es una variedad homogénea, consideramos la acción

SU(n)× CPn−1 → CPn−1, (σ, [u]) = [σ(u)]. (15)

Obsérvese que si v ∼ u entonces σv ∼ σu, por lo que esta acción está biendefinida. Además, esta acción es diferenciable, sin más que comprobar que es lafactorización vía π de la acción diferenciable

SU(n)× Cn \ 0 → Cn \ 0, (σ, u) = σ(u).

No es difícil ver que la acción (15) es transitiva. El subgrupo de isotropía Hen [en] ∈ CPn−1, donde en = (0, . . . , 0, 1)t, para(15) no es sino la familia dematrices σ ∈ SU(n) con σn,i = σi,n = 0, i < n y σn,n = 1/det σ, dondeσ = (σi,j)1≤i,j≤n−1 ∈ U(n − 1). En otras palabras, y salvo la identificaciónnatural explicitada, H = U(n− 1). En consecuencia, la biyección

SU(n)/U(n− 1)→ CPn−1, σU(n− 1) 7→ [σ(en)]

es un difeomorfismo.(e) La variedad de Steifel Sp(V ) de las p-referencias en un espacio vectorial real V

de dimensión n ≥ p.Sea V un espacio vectorial real de dimensión n. Denotemos por

Sp(V ) = (w1, . . . , wp) : w1, . . . , wp linealmente independientes en V .

Fijemos una base e1, . . . , en en V , y asociemos a cada matriz σ ∈ GL(n,R) laúnica aplicación lineal V → V tal que

σ(ej) =∑i

σi,jei.


De esta forma identificamos Gl(n,R) ≡ End(V ).Entonces, Gl(n,R) actúa sobre Sp(V ) por la izquierda de forma natural

η : Gl(n,R)× Sp(V )→ Sp(V ), η(σ, (w1, . . . , wp)

)=(σ(w1), . . . , σ(wp)

). (16)

Claramente η es transitiva y el grupo de isotropía H de s := e1, . . . , ep consisteen aquellas matrices de Gl/n,R) de la forma[

Ip A0 B

],

donde A es una matriz de orden p× (n− p) y B ∈ Gl(n− p,R). La aplicación

Gl(n,R)/H → Sp(V ), σH 7→ σ(s)

es una biyección de la variedad homogénea Gl(n,R)/H en Sp(V ). Usando es-ta biyección, podemos dotar a Sp(V ) de estructura de variedad de dimensióndim Gl(n,R)− dimH = n2 − (n− p)n = pn.No es difícil comprobar que esta estructura de variedad en Sp(V ) no depende dela base e1, . . . , en utilizada. A esta variedad es conocida como la variedad deSteifel de las p-referencias en V .

(f) Grassmaniana de los k-subespacios.Sea V un espacio vectorial real de dimensión n, dotado de una métrica eucli-diana auxiliar 〈, 〉. Denotemos por Mk(V ) al conjunto de todos los subespaciosvectoriales de dimensión k en V . Elijamos una base ortonormal e1, . . . , en de(V, 〈, 〉). El grupo ortogonal O(n) actúa de forma natural en V :

O(V )× V → V, σ(∑i

xiei) = σ · (x1, . . . , xn)t · (e1, . . . , en).

Como los isomorfismos vectoriales de V llevan subespacios de dimensión k ensubespacios de dimensión k, O(n) actúa de forma natural en Mk(V ) por laizquierda:

η : O(n)×Mk(V )→ Mk(V ), η((σ, S)) = σ(S). (17)

Esta acción es claramente transitiva. Llamemos P0 al subespacio engendradopor e1, . . . , ek, y denotemos por H el subgrupo de isotropía de O(n) dejandopara la acción (17) del punto P0. Una matriz de O(n) que fije P0 deja invariantetambién P⊥0 ,por tanto es obvio que

H =[σ 0

0 τ

]: σ ∈ O(k), τ ∈ O(n− k)

.

Deducimos que H es un subgrupo cerrado de O(n) canónicamente identificablecon O(k)×O(n− k). En consecuencia la aplicación

O(n)/O(k)×O(n− k)→ Mk(V ), σ(O(k)×O(n− k)

)7→ η(σ, P0) = σ(P0)


es biyectiva. Convertimos Mk(V ) en una variedad diferenciable de dimensiónk(n − k) requiriendo que esa aplicación sea un difeomorfismo. Esta estructuradiferenciable no depende de la métrica euclidiana y base ortonormal elgidas enV , y es conocida como variedad Grassmanniana de k-subespacios de V .Para comprender mejor la topología de algunos variedades homogéneas necesita-

mos algunos resultados básicos.Proposición 16. Sea H un subgrupo cerrado de un grupo de Lie G. Si G y G/Hson conexos entonces G es conexo.

Demostración. Supongamos que G = U ∪ V , donde U y V son subconjuntosabiertos no vacíos de G. Como la proyección π : G→ G/H es abierta,

G/H = π(U) ∪ π(V )

donde π(U) y π(V ) son abiertos no vacíos de de G/H. Como G/H es conexo, ha deexistir un punto en la intersección de ambos:

σH ∈ π(U) ∩ π(V ).

Pero σH = σH ∩ G = σH ∩ (U ∪ V ) = (σH ∩ U) ∪ (σH ∩ V ), donde (σH ∩ U) y(σH ∩ V ) son abiertos en σH ya que H tiene la topología inducida por G. Además,la condición σH ∈ π(U) ∩ π(V ) implica que existen u ∈ U y v ∈ V tales queσH = uH = vH, de donde u ∈ (σH ∩ U) y v ∈ (σH ∩ V ) y estos dos conjuntos sonno vacíos. Como σH es homeomorfo vía lσ con H y este último es conexo, inferimosque σH es conexo. Por tanto (σH ∩ U) ∩ (σH ∩ V ) 6= ∅, luego U ∩ V 6= ∅. Estoprueba que G es conexo.

Como consecuencia, podemos probar el siguiente:Teorema 33. Los grupos de Lie SO(n), SU(n) y U(n) son conexos para todo n ∈ N,y O(N) tiene dos componentes conexas.

Demostración. Los grupos SO(1) y SU(1) constan solo de la matriz identidad,por tanto son conexos. El grupo U(1) = λ ∈ C : |λ| = 1 = S1 es claramente conexotambién.

Como Sn−1 ∼= SO(n)/SO(n − 1) (ver item (a)) es conexo, el grupo SO(n) esconexo por la Proposición 16 y un proceso inductivo. De igual manera, como S2n−1 ∼=SU(n)/SU(n − 1) ∼= U(n)/U(n − 1) (ver item (b)) es conexo, los grupos SU(n) yU(n) son conexos.

Para el estudio de la conexión de O(n), llamemos

σ =[In−1 0

0 −1

]∈ O(n).

Claramente O(n) = SO(n) ∪ σSO(n). Como SO(n) = det−1(1) = det−1(]0,+∞[)es un subconjunto abierto de O(n), que además ya sabemos es conexo. Lo mismoocurre con lσ(SO(n)) = σSO(n). Al ser SO(n) ∩ σSO(n) = ∅, deducimos que SO(n)y σSO(n) son las dos únicas componentes conexas de O(n).


Teorema 34. Gl(n,R) tiene dos componentes conexas.

Demostración. Llamemos

Gl(n,R)+ = σ ∈ Gl(n,R) : det(σ) > 0, Gl(n,R)− = σ ∈ Gl(n,R) : det(σ) < 0.

La traslación lσ0 para σ0 =[In−1 0

0 −1

]lleva difeomórficamente Gl(n,R)+ en

Gl(n,R)−. Como

Gl(n,R) = Gl(n,R)+ ∪Gl(n,R)− y Gl(n,R)+ ∩Gl(n,R)− = ∅,

basta con demostrar que Gl(n,R)+ es conexo. Para ver esto, comprobemos quetodo punto de Gl(n,R)+ puede unirse mediante una curva continua con la identidadIn ∈ Gl(n,R)+.

Para ello demostraremos que todo elemento de Gl(n,R) admite una representa-ción polar; esto es, toda σ ∈ Gl(n,R) puede expresarse

σ = PR,

donde P es una matriz simétrica definida positiva y R ∈ O(n). (Recuerdese que todoslos autovalores de una matriz simétrica son reales, de hecho ésta es diagonalizable,siendo además todos ellos positivos en caso de ser definida positiva). En efrecto,consideremos σ ∈ Gl(n,R), y observermos que σσt es simétrica. Además, si a es unautovalor de σσt (obviamente a 6= 0 ya que σ es regular) y v ∈ Rn (vector columna)es un autovector asociado al autovalor a, tenemos que:

a〈v, v〉 = 〈σσtv, v〉 = 〈σt(v), σt(v)〉 > 0.

Esto prueba que σσt es una matriz simétrica y definida positiva.Ahora bien, como σσt es simétrica, sabemos existe una matriz ortogonal β ∈ O(n)

tal queβσσtβt es diagonal.

Como los autovalores de σσt son todos positivos, la matriz βσσtβt admite una raízcuadrada (βσσtβt)1/2 con todos los autovalores también positivos. Definimos

P = βt(βσσtβt)1/2β y R = P−1σ.

Es claro que P es simétrica y definida positiva, ya que sus autovalores son los de(βσσtβt)1/2. Además R es ortogonal ya que

P 2 = βt(βσσtβt)1/2ββt(βσσtβt)1/2β = βt(βσσtβt)β = σσt,

de donde

RRt = P−1σσt(P−1)t = P−1σσt(P t)−1 = P−1σσtP−1 = P−1P 2P−1 = In.

Como σ = PR concluimos lo deseado.


Ahora bien, si σ ∈ Gl(n,R)+ y σ = PR es su representación polar, inferimos quedet(R) = 1 y R ∈ SO(n). Sea

Pt := tIn + (1− t)P, t ∈ [0, 1].

La matriz P es simétrica y definida positiva para todo t ∈ [0, 1], por lo que la curvacontinua t 7→ PtR está contenida en Gl(n,R)+ y obviamente une σ y In. Esto pruebaque Gl(n,R)+ es conexo por arcos, y por tanto conexo, concluyendo el teorema.

Referencias

[1] Warner, F. W.: Foundations of Diferentiable Manifolds and Lie Groups. Sprin-ger Verlag (1987).

Notas de Grupos de Lie.

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