NOTAS DE GEOMETRIA EUCLIDIANA - Universidad De...
Transcript of NOTAS DE GEOMETRIA EUCLIDIANA - Universidad De...
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
3.2 GRUPO III. AXIOMAS DE CONGRUENCIA.
III.1 Axioma de la construcción del segmento.
Sea AB un segmento cualquiera y CE una semirrecta de origen C.
Entonces existe en CE un único punto D tal que CDAB . (Ver Figura 30).
Figura 30
En términos prácticos, este axioma afirma la posibilidad de construir o trasladar un segmento
haciendo uso, por ejemplo, de regla y compás.
III.2 La congruencia entre segmentos es una relación de equivalencia
i. Propiedad reflexiva: Cada segmento es congruente consigo mismo, es decir:
ABAB para todo segmento AB .
ii. Propiedad de simetría: Si CDAB , entonces ABCD .
iii. Propiedad transitiva: Si CDAB y EFCD entonces EFAB .
III.3 Sean A, B, C puntos de una recta a y A', B', C' puntos de a ó de otra recta b tales que B
está entre A y C y B' entre A' y C'.
i. Si ''BAAB y ''CBBC , entonces, ''CAAC .
ii. Si ''BAAB y ''CAAC , entonces, ''CBBC .
(Ver Figura 31).
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Figura 31
El anterior axioma expresa que la "suma" y la "diferencia" de segmentos congruentes, dan
lugar a segmentos congruentes.
III.4 Axioma de la construcción del ángulo.
Sea OBOA , un ángulo cualquiera y O' un punto de una recta l situada en un plano .
Sea lΠ uno cualquiera de los semiplanos en que l divide a Π y CO´ una de las semirrectas
en que O' divide a l.
Entonces existe una semirrecta única DO' situada en el semiplano l tal que:
DO' ,' , COOBOA
(Ver Figura 32)
Figura 32
Igual que en III.1, este axioma afirma la posibilidad de construir o trasladar un ángulo
haciendo uso por ejemplo, del compás y la regla.
III.5 La congruencia entre ángulos es una relación de equivalencia
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
El siguiente axioma expresa que la relación de congruencia entre ángulos verifica las
propiedades reflexiva, simétrica y transitiva, en términos similares a los del axioma 3.2, es
decir:
i. OBOAOBOA , , .
ii. Si YOXOOBOA ' ,' , , entonces, OBOAYOXO ,' ,' .
iii. Si UDUCOBOA , , y WYWXUDUC , , entonces
WYWXOBOA , , .
III.6 Sea OH , OK , OL semirrectas con un mismo origen O y situadas en un mismo
plano.
Sea RO' , SO' , TO' semirrectas con un mismo origen O’ y situadas en o en otro
plano ' .
Supongamos además que OL está en el interior de OKOH , y TO ' en el
interior de SORO ' ,' . (Ver Figura 33).
En consecuencia:
i. Si TOROOLOH ' ,' , y SOTOOKOL ' ,' , entonces
SOROOKOH ' ,' , .
ii. Si TOROOLOH ' ,' , y SOROOKOH ' ,' , entonces
SOTOOKOL ' ,' , .
Figura 33
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Este axioma, lo mismo que el III.3, expresa que la suma y la diferencia de ángulos
respectivamente congruentes, dan como resultado, ángulos respectivamente congruentes.
Definición 10.
Sean A, B, C tres puntos distintos y no colineales. Los segmentos AB , BC , CA
determinarán el triángulo de vértices A, B, C que denotaremos: ABC ó CBA
, y se
define:
∆ 𝐴𝐵𝐶 = 𝐴𝐵 ∪ 𝐵𝐶 ∪ 𝐴𝐶 .
Los segmentos AB , BC y CA se llaman lados del triángulo. Los ángulos CBA ˆ ,
CAB ˆ y BCA ˆ se llaman ángulos interiores o simplemente, ángulos del triángulo
CBA
y también serán denotados por sus vértices o sea A , B , C .
En un triángulo CBA
, diremos que A es el ángulo opuesto al lado BC y B y C son
ángulos adyacentes a dicho lado. Recíprocamente, BC se llama lado opuesto al ángulo A y el
mismo lado BC se llama lado adyacente tanto a B como a C . (Ver Figura 34).
Esta misma terminología es aplicable a los otros ángulos y lados del triángulo.
Figura 34
Definición 11.
El triángulo ABC es congruente al triángulo A’B’C’ si:
''BAAB , ''CAAC , ''CBBC .
''ˆ'ˆ CBACBA , ''ˆ'ˆ CABCAB , ''ˆ'ˆ ACBACB .
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Escritura simbólica: ''' CBAABC .
(Ver Figura 35).
Figura 35
La definición anterior establece que dos triángulos son congruentes si tanto los lados como los
ángulos se presentan en pares respectivamente congruentes.
Consecuencias de esta definición:
Si dos triángulos son congruentes, entonces, a lados respectivamente congruentes se
oponen ángulos respectivamente congruentes y recíprocamente.
El siguiente axioma establece condiciones mínimas para la congruencia de dos triángulos y se
denomina axioma LADO-ÁNGULO-LADO, en símbolos: L-A-L.
III.7 Axioma L-A-L.
Si los triángulos ABC y A’B’C’ presentan las congruencias: ''BAAB , ''CAAC y
''ˆ'ˆ CABCAB , entonces ''' CBAABC . (Figura 36.).
Figura 36
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Según el axioma L-A-L, dos triángulos son congruentes si en uno de ellos existen dos lados y el
ángulo comprendido (entre dichos lados), respectivamente congruentes a dos lados y el
ángulo comprendido (entre dichos lados), en el otro triángulo.
El siguiente teorema establece que la relación de congruencia entre segmentos
(respectivamente entre ángulos), mantiene la disposición de los puntos en una recta
(respectivamente, la disposición de las semirrectas que tienen el origen en el vértice de un
ángulo.).
Figura 37
Demostración.
Por el axioma de construcción del segmento, existe un punto C’’ en b tal que B’ está entre A’ y
C’’ y además '''CBBC . (Ver Figura 37.).
El teorema quedará demostrado si se logra probar que C’’ coincide con C’.
De las congruencias: ''BAAB .
'''CBBC .
TEOREMA 9.
Sean A, B, C tres puntos de una recta a y A’B’C’ tres puntos de una recta b tales que,
y .
Si B está entre A y C y B’ está del mismo lado que C’ con respecto a A’ (ver Figura 33),
entonces B’ está entre A’ y C’.
''BAAB ''CAAC
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Se obtiene '''CAAC (Suma de segmentos), y como ''CAAC (hipótesis) se concluye
''''' CACA (transitividad). De donde se sigue, como una consecuencia del axioma de
construcción del segmento, que C' y C" coinciden pues están en la recta b, del mismo lado de
A'. Ya que C" se tomó de modo que B' está entre A' y C" se concluye que B' está entre A' y C',
como se quería demostrar.
Tiene lugar un teorema, análogo al anterior, para ángulos.
Figura 38
TEOREMA 10.
Supongamos que en cierto plano fijo se tienen las semirrectas , y y que
en el mismo plano o en otro cualquiera, se tienen las semirrectas , y .
Supongamos además que las semirrectas y están en el mismo semiplano
respecto a la recta y que las semirrectas , tienen disposición análoga
con respecto a .
Entonces, si y
En consecuencia:
Si la semirrecta está en el interior de (Figura 38), la semirrecta
estará así mismo en el interior de .
OH OK OL
'' HO ''KO ''LO
OK OL
OH ''KO ''LO
'' HO
'' ,'' ,. KOHOOKOH
O'L'HOOLOH ,'' ,
OK OLOH , ''KO
'' ,'' LOHO
TEOREMA 11. (Caso Ángulo-Lado-Ángulo: A-L-A)
Sean y dos triángulos tales que:
, ,𝐶��𝐴 ≅ 𝐶′𝐵′𝐴′.
Entonces, . (Figura 39).
ABC ''' CBA
''BAAB ''ˆ'ˆ CABCAB
''' CBAABC
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Figura 39
Demostración.
Esta consistirá en demostrar que ''CAAC con lo cual se tiene ''' CBAABC (por el
axioma L-A-L).
Razonando por reducción al absurdo, supongamos ''CAAC . Sea D un punto en la
semirrecta AC tal que:
''CAAD (Axioma de construcción del segmento).
Por tanto, ''' CBAABD (Axioma L-A-L). (Ver Figura 40).
Figura 40
Luego ''ˆ'ˆ ABCABD y como ''ˆ'ˆ ABCABC , (hipótesis), se tiene por transitividad,
ABCABD ˆˆ lo cual contradice el axioma de construcción del ángulo. Esta contradicción
permite concluir que ''CAAC como se quería demostrar.
Definición 12.
i. Se llama triángulo isósceles aquel que tiene al menos dos lados congruentes
(Figura 41).
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
ii. Si el triángulo ABC es isósceles con ACAB y ABBC , entonces se llama
base del triángulo al tercer lado BC .
Figura 41
Demostración.
Figura 42
Sea ABC un triángulo isósceles con ACAB .
Veamos que los ángulos B y C son congruentes.
Sean D y E puntos tales que B está entre A y D, C entre A y E y CEBD . ¿Por qué ? (Ver
Figura 42).
TEOREMA 12.
En todo triángulo isósceles, los ángulos opuestos a los lados congruentes son
congruentes.
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Por suma de segmentos, ADAE .
Entonces en los triángulos EBA
, DCA
se tiene:
ACAB , ADAE , DACEAB ˆˆ .
(El ángulo del vértice en A es común para ambos triángulos).
Se concluye que dichos triángulos son congruentes (L-A-L). De donde:
CEBCDB ˆˆ , CDBE , DCAEBA ˆˆ .
Consideremos ahora los triángulos, BDC , CEB . En dichos triángulos se tiene:
CEBD , BECD , CEBCDB ˆˆ .
Luego CEBBDC (Axioma L-A-L), de donde, BCDCBE ˆˆ . Y puesto que ya se tenía
DCAEBA ˆˆ , se sigue por diferencia de ángulos que BCACBA ˆˆ que era lo que se quería
demostrar.
Definición 13. Primera clasificación angular.
i. Dos ángulos se llaman adyacentes si tienen el mismo vértice, un lado común y
ninguno de los lados de uno de ellos está en el interior del otro (Ver Figura 43).
ii. Dos ángulos hacen un par lineal si son adyacentes y los lados no comunes son
semirrectas opuestas. (Ver Figura 44).
iii. Dos ángulos se llaman opuestos por el vértice si tienen el mismo vértice y sus
lados son semirrectas opuestas. (Ver Figura 45).
Figura 43
Figura 44
Figura 45
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
En la Figura 43, los ángulos BOA ˆ , COB ˆ son adyacentes. En la figura 44, los ángulos BOA ˆ y
COB ˆ hacen un par lineal. En la Figura 45, los ángulos COA ˆ y DOB ˆ son opuestos por el
vértice.
Observaciones.
1. Todo ángulo hace un par lineal con, exactamente, dos de sus ángulos adyacentes. En la
Figura 45, el ángulo BOA ˆ hace un par lineal con DOB ˆ y también con COA ˆ .
2. Cuando dos rectas distintas se cortan, determinan, alrededor del punto común, cuatro
ángulos que son opuestos por el vértice de dos en dos. En la Figura 46, las parejas
BOA ˆ y DOC ˆ , así como COA ˆ y DOB ˆ son respectivamente ángulos opuestos por el
vértice.
Figura 46
Demostración.
Sean BOA ˆ , COA ˆ un par lineal y ''ˆ' BOA , ''ˆ' COA otro par lineal tales que ''ˆ'ˆ BOABOA
(Figura 47). Veamos que ''ˆ'ˆ COACOA .
Supongamos que los puntos A', B', C' se tomaron de tal modo que:
TEOREMA 13.
Si uno de los ángulos de un par lineal, es congruente a uno de los ángulos de otro par
lineal, entonces los otros dos ángulos también son respectivamente congruentes.
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Figura 47
'' AOOA , ''BOOB , ''COOC . ¿Por qué? (Ver Figura 48).
Figura 48
Se tiene por la tanto,
''' BOAAOB , (L-A-L) y ''BCCB (Suma de segmentos congruentes).
De donde, ''ˆ'ˆ ABOABO y ''BAAB
Ahora se puede concluir que:
''' CBAABC , (L-A-L)
Luego,
''ˆ'ˆ CBABCA y ''CAAC .
De estas dos últimas relaciones junto con ''COOC podemos afirmar que
''' COAAOC (L-A-L) y por tanto concluir que:
''ˆ'ˆ COACOA como se quería.
Demostración.
Sean BOA ˆ y DOC ˆ ángulos opuestos por el vértice, luego las semirrectas OC y OB están
en línea recta, lo mismo que las semirrectas OA y OD . (Ver Figura 49).
COROLARIO.
Dos ángulos opuestos por el vértice, son congruentes.
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Veamos que los ángulos BOA ˆ y DOC ˆ son congruentes.
Figura 49
Esto resulta como una consecuencia del teorema anterior, ya que el ángulo AOC hace un par
lineal con cada uno de dichos ángulos.
El teorema 14 corresponde al recíproco del teorema 12, como se verá a continuación.
Demostración.
Consideremos en el triángulo ABC, los ángulos CBA ˆ y BCA ˆ congruentes y veamos que
ACAB (Figura 50).
TEOREMA 14.
Si un triángulo tiene dos de sus ángulos congruentes, entonces, los lados opuestos a
ellos son congruentes y en consecuencia el triángulo es isósceles.
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Figura 50
Para ello, sean D y E puntos tales que B está entre A y D, C entre A y E y CEBD . ¿ por qué?
Por el teorema 13, y en vista de que BCACBA ˆˆ y además CBA ˆ y DBC ˆ hacen un par
lineal y BCA ˆ y ECB ˆ hacen otro par lineal, se tiene:
ECBDBC ˆˆ .
Siendo BC un lado común para los triángulos DBCΔ
y EBCΔ
, se concluye que dichos
triángulos son congruentes (L-A-L). De donde:
CDBE , CEBCDB ˆˆ , BCDCBE ˆˆ .
Como se tienen las congruencias, BCACBA ˆˆ y BCDCBE ˆˆ , se sigue que DCAEBA ˆˆ
(Suma de ángulos congruentes) y por lo tanto los triángulos EBA
, DCAΔ
que tienen además
CDBCEB ˆˆ y CDBE , son congruentes (A-L-A), de donde ACAB como se quería
demostrar.
Observación.
Los teoremas 12 y 14 se pueden reunir en un solo enunciado, así:
TEOREMA 15.
Un triángulo es isósceles si y solo si al menos dos de sus ángulos son congruentes.
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Definición 14.
Un triángulo CBA
se llama equilátero si sus tres lados son congruentes, es decir,
BCACAB .
Una consecuencia del teorema 15 es la siguiente:
Observación.
La demostración del corolario anterior se propone al lector.
Definición 15.
Un triángulo ∆ ABC se llama equiángulo si sus tres ángulos son congruentes, es decir
�� ≅ �� ≅ ��.
Demostración.
Sean CBA
y ''' CBA
dos triángulos que tienen: (Figura 51),
''BAAB , ''CAAC , ''CBBC .
Consideremos en el semiplano ABC
~ el punto A" tal que:
'C'B'A''ABC , '''' BABA . (Axiomas de construcción del segmento y el ángulo)
COROLARIO.
Un triángulo es equilátero si y solo si sus ángulos interiores son congruentes.
TEOREMA 16. (Caso Lado-Lado-Lado: L-L-L).
Sí un triángulo tiene sus tres lados respectivamente congruentes a los tres lados de
otro triángulo entonces estos dos triángulos son congruentes.
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Figura 51
Según el axioma de separación, el segmento ''AA tiene un punto P en el segmento BC . Para
dicho punto P se presentan tres opciones:
1. P está en el interior de BC , como en la Figura 51.
2. P coincide con uno de los extremos, corno en la Figura 52.
3. P está en el exterior de BC , como en la Figura 53.
Figura 52
Figura 53
Vamos a demostrar el caso 1. Los otros dos se dejan al lector.
Los triángulos ''' CBA
y CBA
'' son congruentes por tener:
'''' BABA , ''CBBC , ''ˆ'ˆ ABCABC (L-A-L).
Veamos ahora que los triángulos CBAΔ
y CBA
'' son congruentes.
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Por una parte se tiene ''BAAB y BABA '''' , luego BAAB '' (transitividad), de donde
el triángulo ''ABAΔ
es isósceles y por tanto A''AB''AAB (Teorema 12).
En la misma forma, el triángulo ''ACAΔ
es isósceles y por tanto AACAAC ''ˆ''ˆ .
Por otra parte, el segmento ''AA pasa por P, punto entre B y C, luego dicho segmento está en el
interior de los ángulos CAB ˆ y CAB ''ˆ , y por el axioma de suma de ángulos congruentes se
tiene: CABCAB ''ˆˆ .
Finalmente, los triángulos CBAΔ
y CBA
'' tienen:
BAAB '' , CAAC '' , CABCAB ''ˆˆ
y por el axioma L-A-L se concluye, BCAABC '' . Como ya se tenía BCACBÁ '''''
entonces, por transitividad4, ''' CBAABC como se quería demostrar.
Definición 16.
Si los ángulos de un par lineal son congruentes, cada uno de ellos se llama ángulo recto.
(Figura 54).
Figura 54
Para indicar que un ángulo es recto vamos a emplear la siguiente representación gráfica: .
El siguiente teorema garantiza que existen ángulos rectos.
4 Observación: La transitividad para la congruencia entre triángulos es un resultado que se obtiene fácilmente
a partir de la transitividad de la congruencia tanto entre segmentos como entre ángulos.
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Figura 55
Demostración.
Puesto que los puntos C y D están en lados opuestos a la recta l, el axioma de separación
asegura que la recta CD pasa por un punto P de l.
Además los ángulos CPO ˆ , DPO ˆ hacen un par lineal ya que tienen un lado común OP y los
otros dos están en línea recta.
Veamos que el ángulo CPO ˆ es recto. Para ello se tiene que los ángulos COP ˆ y DOP ˆ son
congruentes por hacer pares lineales con respectivos ángulos congruentes COA ˆ y DOA ˆ
(Teorema 13).
Se tienen así los triángulos congruentes CPO
, DPOΔ
por tener:
DOPCOP ˆˆ , ODOC , OP lado común (L-A-L).
Se concluye así que los ángulos del par lineal CPO ˆ , DPO ˆ son congruentes y, de acuerdo a la
definición 15, se sigue que tanto CPO ˆ como DPO ˆ son ángulos rectos.
TEOREMA 17.
Sean O y A puntos de una recta 𝑙. Entonces existen ángulos rectos. (Ver figura 55)
TEOREMA 18.
Todos los ángulos rectos son congruentes entre sí.
O
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
La demostración del teorema 18 se deja como ejercicio. Se sugiere utilizar el método de
Reducción al absurdo.
Definición 17. Triángulo rectángulo
Un triángulo se llama rectángulo si al menos uno de sus ángulos es recto.
Observaciones.
1. Más adelante se podrá demostrar que un triángulo no puede tener más de un
ángulo recto.
2. En un triángulo rectángulo los lados adyacentes al ángulo recto se llaman catetos y
el lado opuesto, hipotenusa. (Ver Figura 56).
Figura 56
Definición 18. Punto medio de un segmento
Se llama punto medio de un segmento AB al punto O que está en la recta AB tal que
OBAO .
Observaciones.
1. Es posible demostrar, que todo segmento tiene un punto medio único y que dicho
punto está en el interior del segmento.
La existencia del punto medio garantiza que todo segmento se puede dividir en
dos segmentos congruentes y esto de un modo único.
2. Así como todo segmento tiene punto medio, todo ángulo no nulo tiene una
semirrecta contenida en su interior que lo divide en dos ángulos congruentes. El
nombre de esta semirrecta se da en la siguiente definición:
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Definición 19. Bisectriz de un ángulo
Se llama bisectriz de un ángulo BOA ˆ a la semirrecta OD que está en el interior del
ángulo y además verifica BODDOA ˆˆ . (Ver Figura 57).
Figura 57
Observación.
En forma análoga a lo dicho para el punto medio de un segmento, se puede demostrar que
todo ángulo no nulo tiene bisectriz única y que dicha bisectriz está en el interior del
ángulo.
La existencia de la bisectriz garantiza que todo ángulo no nulo se puede dividir en dos ángulos
congruentes y esto de un modo único.
Definición 20. Rectas perpendiculares
Sean a y b dos rectas distintas. La recta a es perpendicular a la recta b, si a corta a b
determinando ángulos rectos.
Observaciones.
1. Para indicar que a es perpendicular a b se emplea la notación: ba
2. Si ba se sigue de inmediato que ab y por tanto es correcto decir que las
rectas a y b son perpendiculares entre sí o que se cortan perpendicularmente.
3. Si dos rectas se cortan perpendicularmente en un punto, los cuatro ángulos que se
forman alrededor de dicho punto son rectos. (Ver Figura 58).
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Figura 58
Observación.
Vamos a denotar también a las semirrectas que un punto determina en una recta a, por a
y 'a . En consecuencia, a y 'a son semirrectas opuestas de una misma recta a. (Ver Figura
59).
El ángulo formado por dos semirrectas a y b lo denotaremos: ba , . (Ver Figura 60). Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Figura 59
Figura 60
Demostración.
La demostración consta de dos partes. Veamos primero que si l es la recta dada en el plano Π
y A es un punto cualquiera de l, hay por lo menos una recta perpendicular a l que pasa por A y
está situada en Π .
Para demostrar esta primera parte, sea K una recta distinta de l y que también pasa por A. Sea
K una de las semirrectas en que A divide a K.
Si los ángulos Kl, y Kl ,' que forman un par lineal, son congruentes, cada uno es recto
y por tanto lK y la demostración termina. (Figura 61).
Pero si los ángulos del par lineal son diferentes, sea h una semirrecta de origen A situada en el
semiplano K:lΠ tal que:
TEOREMA 19.
Por un punto de una recta dada en un plano pasa una y solo una perpendicular a
dicha recta contenida en dicho plano.
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Figura 61
(1) hlKl ,',
Se presentan dos posibilidades respecto a h :
i. La semirrecta h está en el exterior de Kl, . (Esto ocurre cuando Kl, es
agudo. (Figura 62).
ii. La semirrecta h está en el interior de Kl, . (Esto ocurre cuando Kl, es
obtuso. (Figura 63).
Figura 62
Figura 63
Para ambos casos se puede continuar de la siguiente manera:
Se traza por A la bisectriz b del ángulo h K , . Por tanto:
(2) bKbh , , (Figura 64).
De (1 ) y (2) se obtiene, por suma de ángulos, en el caso del ángulo agudo y por diferencia, en
el caso del ángulo obtuso,
blbl ,' ,
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Estos dos ángulos forman un par lineal, luego cada uno de ellos es recto. Se concluye así que
lb .
Figura 64
Veamos ahora que b es la única perpendicular a l que pasa por A y está en Π . Sea C una
perpendicular al que pasa por A y está en el plano Π Sea c la semirrecta de origen A que está
en el semiplano b:lΠ .
Por tanto el ángulo cl , es recto y como todos los ángulos rectos son congruentes (Teorema
18), se sigue que:
blcl , , .
Por el axioma de construcción del ángulo se concluye que las semirrectas c y b coinciden y
esto demuestra la segunda parte de la prueba.
Definición 21. Mediatriz de un segmento
Dado un segmento no nulo, contenido en un plano dado se llama mediatriz del segmento
de dicho plano a la recta única perpendicular, levantada por el punto medio del segmento
y contenida en dicho plano.
Definición 22. Segmentos notables en el triángulo.
i. En todo triángulo, se llama altura al segmento perpendicular trazado desde uno
cualquiera de los vértices, a la recta que contiene el lado opuesto. (Figura 65).
ii. Se llama mediana, al segmento comprendido entre uno cualquiera de los vértices y
el punto medio del lado opuesto. (Figura 65).
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
iii. Se llama bisectriz del triángulo, al segmento comprendido entre uno cualquiera de
los vértices y el lado opuesto y que divide al ángulo correspondiente a dicho
vértice en dos ángulos congruentes. (Ver Figura 65).
Figura 65
BH es altura, AM es mediana, AD es bisectriz.
Observaciones.
Tanto la mediana como la bisectriz son segmentos que están en el interior del triángulo.
Sin embargo la altura no siempre está en el interior. (Esto se demostrará posteriormente).
Puede definirse la bisectriz de un triángulo también como el segmento con extremos en el
vértice y en en el punto donde la bisectriz del ángulo intersecta el lado opuesto.
Demostración:
Sea ABC isósceles con ACAB y AM la mediana comprendida entre los lados
congruentes (Figura 66).
Se tiene MCBM (definición de mediana) con M entre B y C.
Por tanto, ACMABM (L-L-L).
De donde, MACBAM , luego AM es bisectriz del ABC .
TEOREMA 20. Propiedades de los segmentos notables en el triángulo isósceles.
En un triángulo isósceles, la mediana comprendida entre los lados congruentes es
altura, bisectriz y está contenida en la mediatriz del lado asociado a la mediana.
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Figura 66
También AMCBAM , con lo cual se tiene un par lineal de ángulos congruentes y por
tanto MCAM o sea que AM es altura del ABC .
Además, como M es un punto medio de BC , el segmento AM está sobre la mediatriz del
segmento BC .
Observación.
También es cierto que si en un triángulo coinciden la mediana y la bisectriz, o la mediana y
la altura, o la altura y la bisectriz, o la mediana está sobre la mediatriz, entonces dicho
triángulo es isósceles. Este teorema se probará posteriormente porque una parte de la
demostración requiere un caso de congruencia de triángulos rectángulos que no se tiene
todavía justificado. Este resultado se designa como Teorema recíproco de los
segmentos notables en un triángulo.
Materia
l edu
cativ
o
Uso no
comerc
ial