Notas de Clase_bermeo

Controlnotas de clase

Ing. Leonardo Bermeo

Control: Se debe lograr que unas variables de salida de un sistema se comporten de acuerdo a nuestro deseo. La fuerza del ego humana puesta al servicio de la ingeniera

Sistema

Salida = Valor deseado (Referencia)

( )u t ( )y t

para todo el tiempo posible!!!( ) ( )y t r t

Control: una idea egoltrica

( )y tS a l id a

( )r treferencia

Tipos de Sistemas en Control

Controlador en lazo abierto:

( )u tControlador Sistema

Seal de control

En el control en lazo abierto no se usa informacin de la seal de salida actual para el control del sistema

( ) : referencia, seal deseada( ) :salida bajo control( ) :seal de control( ) :seal de error

Seales:r ty tu te t

: c o n t r o l a d o r

: s i s t e m a b aA l g o r i t m o o c i r c u i t o

p l a n t a + a c t u a dj o c o n t r o l

: s e n s o ro r

p a r a m e d i r l a s a l i d a

S u b s i s t e m saC

G

H

+-

( )r t ( )y t

Sensor

Actuador Planta

Sistema G

Controlador

( )e tA P

H

C( )e t

Tipos de Sistemas en Control

Controlador en lazo cerrado

Caracterstica del control en lazo cerrado

Como se aprecia en el diagrama anterior, en el control en lazo cerrado se tiene informacin de la salida y(t) a travs del sensor H.

Se detecta la diferencia entre la referencia r(t) y la salida actual y(t).

error: ( ) ( ) ( )e t r t y t= Con base en este error e(t), un sistema analgico o digital procesa el error para inyectar una seal de control u(t) al sistema G(s) que se pretende controlar.

Ejemplos de controladores simplesPosicin por tiempo de banda transportadora

( )y t( )r t ( )u t( )con tro ladortem porizador

m o t o r b a n d a+

t

t

1T 2T 3T

( )u t

1y 2y 3y

( )r t voltaje( )u t

( )T t

Temperatura

Ejemplos de controladores simplesTemperatura por tiempo

resistenciacontroltimer

Actuador Planta

Horno

Horno

Control de Lazo cerrado temperatura del bao

Llave de agua fra

Sistema nervioso Mano

Sensores en la piel

Llave agua fra

Retroalimentacinde temperatura

+-

Controlador Actuador

( )r t ( )y t

Esto lo podemos convertir en un automatismo de control ON-OFF.

Amplif. de potencia

-+

Motor + Llave - Fra

Sensor de temperatura LM35

ActuadorOPAMP.

10V

1V/10

1V/10C

Procesamos seales elctricas para controlar la temperatura

Planta

Controlador

Sensor de 1V/10

Sistema G(s)

+-

Ahora hacemos la conversin de esto a diagramas de bloques, usados en control:

5V(50)

( )r t ( )u t ( )y t( )e tTemperatura 50

4V(40)

A P

La ley de control para este tipo de sistemas:

+-

( )r t ( )u t ( )y t

maxu

minu

( )u t

t

( )e t

( )G s

max

min

si 0( )

si 0u e

u tu e

>=

planta+

-

( )r t( )u t ( )y t

Normalmente el actuador, se demora cierto tiempo en activar la seal de control, que representamos con un bloque adicional en el sistema de control, el retardo en el control.

( )ru t

( )u t

( )ru t

control actuadory retardo

La inercia de estos sistemas y el hecho de que los actuadores no proveen una accin instantaneaproducen un ciclo limite.

Ciclo lmite

( )y t

Ciclo lmite: oscilacin estable alrededor de un punto de equilibrio.

A veces el actuador tiene que conmutar con unas velocidades increbles y esto puede producir su destruccin o la del sistema que maneja.

( )u t

A este fenmeno lo llamaremos a propsito Sobreactuacin del actuador

La sobreactuacin del actuador conlleva que en sistemas lentos (por ejemplo sistemas trmicos) debamos incluir un ciclo de histresis en el controlador. Este ciclo de histresis en el controlador no es otra cosa que hacer que las acciones de encendido y apagado del actuador se produzcan en valores distintos del error de la salida

Histresis en el controlador ON-OFF

( )e t ( ).y t

Histresis en el controlador ON-OFF( )referencia e t

( )salida y t

t

maxy

miny

( )control u t

( )error e t

maxu

minu

min ma

max min

min max

max max

min min

x

Fuera del intervalo de histresis

En el inverval

,si ( ),si ( )

, ( ) , & ( ) , si ( ) ,& (

o [ ,

)

]

u y t yu y t y

u si y t y y t es crecienteu y t y y t es de

y

crecient

y

e

max 1

min 2

max 2

min 1

1 2

Fuera del intervalo de histresis

En el invervalo [

u ,si ( ),si ( )

, ( ) , & ( ) , ( ) ,&

]

(

,

)

e t Eu e t E

u si e t E eE E

t es decrecienteu si e t E e t es creciente

>

En este sistema se pretende regular la tensin procedente de a un valor menor , fijado por la tensin de referencia

Ejemplo bsico de control ON OFFRegulador Buck Switcheado ON-OFF.

0V

12V

1 ( )u t L

R

C irc u itod e c o n tro lrefV

1V

+

SW

El diagrama de bloques de control del sistema anterior est representado en el diagrama.

10

Si ( ) 0( ) ( )

Si ( ) 0 0refe t u V

e t V V u te t u

> == = < =

+ -refV

( )ru t

actuadory retardo

planta R-L

( )u t 0V11L s

R+

transistor

comparador

( )e t

Regulador Buck Switcheado ON-OFF.

Control y detector de error

Planta P

Salida V(t)

Actuador

Implementacin prctica del regulador BuckSwitcheado ON-OFF.

Tip 127

Objetivos en control: una primera mirada

Se desea que el error de estado estacionario sea cero.

Se desea que esto ocurra instantneamente.

( ) 0, error de estado estacionario ceroeee t =

( )y t

: tiempo de establecimiento=0sT

( )r t

t

Lo que es posible lograr en control

Lograremos, inyectando una gran cantidad de energa, que el tiempo de establecimiento sea pequeo (depender de que tanta energa)La salida tender a la referencia, para valores de tiempo grandes. (Rastreo asinttico) o existira algunerror estacionario remanente

( ) : error de estado estacionarioeee t( )y t

: tiempo de establecimiento.sT

( )r t

( ): seal de

( ) :

control proporcional

u t u k r

ur y

e

y

ke

= = = =

Mediante el control proporcional no inyectamos todo el control, sino dosificamos la cantidad de control. A ms error, mas seal de control y viceversa.

u yr e k

Controladores continuos: principios bsicosControlador proporcional

( )G s+

( )( 1)s

kG ss = +

+-

( )r t ( )my t

motoractuador potencimetro

Controlamos la posicin del motor a travs de la variable elctrica .( )my t

Controladores proporcional: ejemplo prcticoControlador proporcional de un motor D.C.

k A mG pK

: Ganancia del actuador : Motor: Cte del potenciometro

5 , para el caso

: ganancia del controlador

m

p

AGK

VK radK

=

( )( 1)s

kG ss = +

+ -

( )r t ( )my t

m otoractuador potencim etro

k A mG pK

Controladores proporcional: ejemplo prcticoControlador proporcional de un motor D.C.

+ -r

my

Podemos torcer el diagrama de bloques, para ilustrar el hecho de que lo que controlamos es el ngulo

k A mG

Actuador y motor

pK

Controlador proporcional de un motor D.C.Control del ngulo

De esto, se obtiene el diagrama elctrico, donde se hace evidente que la variable que se controla es realmente .

Debido a que lo que controlamos es la salida del sensor, se prefiere pensar que la realimentacin es unitaria y que controlamos la variable elctrica

my

10

98

U3:C

LF347

5

67

U4:BLF347

R610k

5

6

7

U3:B

LF347

12

13

14

U3:D

LF347

R4

10k

R5

10k

RP250k-100k

RP1

10k

R810k

R910k

R1010k

R1110k

+-

AmplificadorDe potencia

motorPotencimetro

(sensor)

k ( )G sr

my

my

my

Controlador proporcional de un motor D.C.Implementacin prctica

Sin embargo evidenciemos en un problema que se presenta con el control proporcional.

Controlador proporcional El error estacionario

Sensorde

nivel

( ) 3referenciah t m=

( ) 2actualh t m=

( ) 3r t v=

( ) 2y t v=

k +-

( ) ( ) ( )( ) 3 2 1

e t r t y te t V V V

= = =

( )ke t 31 /m V

( )e t

iq

1errorh m=

0q

( ) 1e t V=

33

flujo entra flujo sale

msi

mso

qq

Sensorde nivel

( ) 3r t v=

( ) 2y t v=

k+-

( )u ke t= 31 /m V( )e t

1eee V=


iq

0q

En el estado estacionario, el flujo que entra es igual al flujo que sale, ambos no nulos

0 0iq q

Controlador proporcional El error estacionarioLa seal de control es:

( )u ke t=

1. 0iq u u= =

Para el ejemplo, cada voltio en la entrada de la motobomba, implica de caudal de salida. 31m

( )u ke t=Y en estado estacionario tenemos el error de estado estacionario eee

eeu ke=


/0 0

ee

ee

e u ke u

=

De donde

Para sistema de primer orden (y como veremos despus sistemas de cualquier orden que no incluyan integradores) un controlador proporcional mantiene un error estacionario en la respuesta del sistema

De aqu tenemos una conclusin importante.

Ahora supongamos que se cambia el sistema por uno con la vlvula Tapada

Control de accin integral El error estacionario y los integradores

Sensorde nivel

( ) 3r t v=

( ) 2y t v=

k+-

( )u ke t= 31 /m V( )e t

1eee V=

iq

0 0q =La experiencia nos muestra que este sistema se puede fcilmente llenar hasta donde queremos

En este sistema cuando se llega al nivel

0 0 0iq u e= = =

( )iA h q t t =

( ),idhA q tdt

=


Por balance de materia,

Cambio en volumen=Flujo que entra Flujo que sale

Tomando el lmite diferencial

1 1( ) ( ) ( ) ( )i ih t q t sH s Q sA A= =

( ) 1( )

H sQ s As

= el sistema es un integrador

Este sistema es un integrador y tiene error estacionario nulo, cuando se coloca un controlador proporcional para una referencia paso.


La inclusin de un integrador en el lazo produce

0eee =

u yr e k 1 1s A+

integrador


0( )

t

iu t k e dt=

Lo anterior es algo por completo general: incluyendo un integrador en la seal de control eliminamos el error de estado estacionario si la referencia es un paso. Para mostrar esto, supongamos que en el lazo de control hemos incluido un integrador de la seal de error

( )u t ( )y t( )r t

( )e tik

s+ 10( )

5G s

s= +


0( )sT

ee iu k e t dt=

eee( )y t

( )r t

: tiempo de establecimiento.sT

( )error e t

( )control u t

t

t

eee

( ) ( )s

t

ee iT

u t u k e t dt= +


Esta ecuacin debe ser vlida para todo t, esto solo si

La seal de control debe ir hacia un valor constante. (De lo contrario el sistema seria inestable).

Si tomamos la integral del error desde el momento en que se alcanza el estado estacionario:

( ) constante=s

t

ee i eeT

u t u k e dt= + ( ) ( ), ee i ee s su t u k e t T t T= + >

0eee =


( ) ( )( ) dd

e t T e tde tdt T

+

Otra mejora importante que se hace en un controlador es introducir un accin anticipativa, que de cierta manera prevea el futuro.

Puesto que una derivada aproximada de puede calcular como la diferencia

Accin derivativaUn comportamiento predictivo

( )( ) ( )d de te t T e t T ddt

+ +

Podemos, dentro de cierto horizonte, prever el comportamiento futuro a partir de la derivada

( )e t

dTt

( )de t T+

dt T+

Accin derivativaUn comportamiento predictivo

Prediccin con base en la derivada

La idea central de la insercin de la accin derivativa en un controlador, es lograr un efecto de futurismo, de prediccin. Adivinar, en cierto manera, que pasar con la salida e iniciar una accin correctiva antes.

Cada accin del PID se puede ver en un horizonte de la seal de error.

t

( )e t

D

P

I

Controlador PIDAccin Proporcional+Integral+Derivativa

Accin Proporcional: reaccin al error presente

Accin Integral: depende del error pasado.

Accin derivativa: intenta predecir el error futuro

Los tres horizontes del PID

pasado futuro

presente

0( )( ) ( ) ( )t

p i dde tu t k e t k e t dt k

dt= + +


Tomando la transformada de Laplace

La seal de control en un PID esta dada por

( ) ( ) ( ) ( )

Q u e p o d e m o s e sc rib ir c o m o :

( ) ( )

ip d

ip d

kU s k E s E s k sE ss

kU s k k s E ss

= + +

= + +

01 ( )( ) ( ) ( )t

di

de tu t k e t e t dt TT dt

= + +


Con las definiciones:

En el argot industrial se suele escribir la ecuacinanterior como

p

pi

i

dd

p

k kk

TkkTk

==

=

1( ) 1 ( )di

U s k T s E sT s

= + +

( )E s

iks

kR Y( )U s

Controlador PIAspecto de un controlador PI

+

( )G s

0

( ) ( ) ( )

( ) ( )

t

p i

ip

u t k e t k e d

kU s k E ss

= + = +

El 95% de los problemas de control en el mundodel control de procesos se resuelven con PIDs!!!.

Controlador PIDAspecto de un controlador PID

iks

dk s

R Y

k

+++

+10

( 3)s s +

( )G s

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