Notas de Clase: Microeconomía II · 1 Notas de Clase: Microeconomía II El objetivo de...
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1 Notas de Clase: Microeconomía II El objetivo de Microeconomía I es introducir a los estudiantes a los conceptos básicos de la microeconomía sin profundizar en formalizaciones matemáticas. Sin embargo, la microeconomía se basa en un instrumental matemático sólido que día a día se refina más. Entender la teoría microeconómica y su instrumental matemático es el objetivo de Microeconomía II. Los temas centrales de este curso: (i) teoría del consumidor (ii) teoría de la firma; (iii) estructuras de mercado; (iv) teoría de juegos; y (v) oligopolio. La microeconomía formaliza, a través de modelos, el comportamiento y las decisiones de los agentes económicos y sus reacciones al entorno económico. Los modelos que examinaremos en este curso tienen como fin entender el proceso que genera la definición del sistema de precios para los bienes y servicios. La microeconomía explica, por ejemplo, como se genera la demanda por arroz y como los consumidores reaccionan a cambios en los precios; o la microeconomía también examina el proceso que conlleva a la oferta laboral por parte de los hogares. Sin embargo, la microeconomía provee herramientas poderosas para analizar otro tipo de decisiones. Por ejemplo, la microeconomía permite entender porque una persona decide participar en actividades criminales, invertir en la educación de sus hijos y cooperar en la protección del medio ambiente, entre muchas otras. Los modelos, cuyo objetivo es construir abstracciones de los fenómenos sociales, son una herramienta básica de la microeconomía. Un modelo es una representación simplificada de la realidad y como tal se debe entender. La fortaleza de un modelo es su capacidad por detallar las características relevantes del proceso económico y suprimir las características irrelevantes para el análisis que se está realizando, es decir un modelo se concentra en las características esenciales del proceso. Los supuestos y características comunes de todos los modelos económicos son: 1. El supuesto de ceteris paribus: los modelos se concentran en establecer el efecto de ciertas variables económicas sobre otras variables económicas. Por ejemplo, los modelos de oferta laboral intentan explicar el impacto de un cambio en el salario sobre la oferta de trabajo. Aunque hay otros factores que pueden afectar la oferta de trabajo, como los factores idiosincrásicos que impulsaron la entrada de la mujer a la fuerza laboral, los modelos solo se concentran en algunos factores. No incluir estos factores no significa que no son también determinantes de la oferta laboral. El supuesto implícito en la supresión de dichos factores es que se mantienen constantes en el periodo de análisis. Este supuesto de ceteris paribus (los otros factores constantes) es común en todos los modelos económicos. 2. El supuesto de optimización (decisiones racionales): la gran mayoría de los modelos económicos asumen que los agentes económicos, ya sea firmas, individuos u hogares, son racionales y buscan alcanzar un objetivo. Las firmas buscan maximizar sus beneficios, los individuos su función de utilidad y los hogares la función de utilidad del hogar. Por lo tanto, la estructura de los modelos en microeconomía es similar: el agente económico maximiza o minimiza una función objetivo sujeto a algún tipo de restricción (p. ej. el presupuesto, la tecnología de la firma).
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Notas de Clase: Microeconomía II
El objetivo de Microeconomía I es introducir a los estudiantes a los conceptos básicos de la microeconomía sin profundizar en formalizaciones matemáticas. Sin embargo, la microeconomía se basa en un instrumental matemático sólido que día a día se refina más. Entender la teoría microeconómica y su instrumental matemático es el objetivo de Microeconomía II. Los temas centrales de este curso: (i) teoría del consumidor (ii) teoría de la firma; (iii) estructuras de mercado; (iv) teoría de juegos; y (v) oligopolio.
La microeconomía formaliza, a través de modelos, el comportamiento y las decisiones de los agentes económicos y sus reacciones al entorno económico. Los modelos que examinaremos en este curso tienen como fin entender el proceso que genera la definición del sistema de precios para los bienes y servicios. La microeconomía explica, por ejemplo, como se genera la demanda por arroz y como los consumidores reaccionan a cambios en los precios; o la microeconomía también examina el proceso que conlleva a la oferta laboral por parte de los hogares. Sin embargo, la microeconomía provee herramientas poderosas para analizar otro tipo de decisiones. Por ejemplo, la microeconomía permite entender porque una persona decide participar en actividades criminales, invertir en la educación de sus hijos y cooperar en la protección del medio ambiente, entre muchas otras.
Los modelos, cuyo objetivo es construir abstracciones de los fenómenos sociales, son una herramienta básica de la microeconomía. Un modelo es una representación simplificada de la realidad y como tal se debe entender. La fortaleza de un modelo es su capacidad por detallar las características relevantes del proceso económico y suprimir las características irrelevantes para el análisis que se está realizando, es decir un modelo se concentra en las características esenciales del proceso.
Los supuestos y características comunes de todos los modelos económicos son:
1. El supuesto de ceteris paribus: los modelos se concentran en establecer el efecto de ciertas variables económicas sobre otras variables económicas. Por ejemplo, los modelos de oferta laboral intentan explicar el impacto de un cambio en el salario sobre la oferta de trabajo. Aunque hay otros factores que pueden afectar la oferta de trabajo, como los factores idiosincrásicos que impulsaron la entrada de la mujer a la fuerza laboral, los modelos solo se concentran en algunos factores. No incluir estos factores no significa que no son también determinantes de la oferta laboral. El supuesto implícito en la supresión de dichos factores es que se mantienen constantes en el periodo de análisis. Este supuesto de ceteris paribus (los otros factores constantes) es común en todos los modelos económicos.
2. El supuesto de optimización (decisiones racionales): la gran mayoría de los modelos económicos asumen que los agentes económicos, ya sea firmas, individuos u hogares, son racionales y buscan alcanzar un objetivo. Las firmas buscan maximizar sus beneficios, los individuos su función de utilidad y los hogares la función de utilidad del hogar. Por lo tanto, la estructura de los modelos en microeconomía es similar: el agente económico maximiza o minimiza una función objetivo sujeto a algún tipo de restricción (p. ej. el presupuesto, la tecnología de la firma).
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3. La distinción entre preguntas normativas y positivas: los modelos económicos buscan contestar preguntas positivas y normativas. El objetivo de la economía positiva es entender como los recursos se asignan en la realidad en la economía. La economía normativa va un paso adelante al intentar determinar que se debe hacer y no solo al comprender la realidad. Esta rama de la economía busca entonces determinar como deberían asignarse los recursos de una economía.
El curso de Microeconomía II se basa entonces en modelos acerca del comportamiento de los hogares y de las firmas. Dichos modelos tienen los supuestos y características enumeradas anteriormente.
I. Teoría de los hogares
El objetivo de esta sección es examinar el proceso de decisión de los individuos. En una economía, los individuos deben decidir su consumo de bienes dados unos precios y una restricción presupuestaria. Esta sección analizara todos los componentes del proceso de decisión del individuo: las preferencias, la función de utilidad, la restricción de presupuesto y la función de demanda.
1.1. Las preferencias
Para elegir una canasta de consumo, los individuos se basan en un objetivo implícito y no observable para el resto de la población. Este objetivo implícito ha sido denominado por los economistas como las preferencias de los consumidores. El consumidor elige, de una manera racional, una canasta de bienes para satisfacer sus preferencias. Así, si un individuo tiene una fuerte preferencia por los chocolotes y poco le gustan las comidas sanas, en su canasta de bienes seguramente habrá más chocolates que comidas sanas. Las preferencias están determinadas también por el lugar y el momento en el cual se está eligiendo. Para un naufrago, una balsa resulta un elemento muy útil mientras que para alguien perdido en el desierto del Sahara la balsa puede ser un elemento completamente inútil.
Las preferencias permiten a los individuos ordenar canastas de bienes según su atractivo. Suponga dos canastas de consumo ),( 21 xx y ),( 21 yy . El individuo puede ordenar estas dos canastas de bienes según su atractivo, es decir sus preferencias, de tal manera que la primera canasta puede ser estrictamente mejor que la segunda; la segunda puede ser estrictamente mejor que la primera; o las dos canastas son idénticas. Si la primera canasta se prefiere a la segunda esto se formaliza como
),(),( 2121 yyxx
donde significa que una canasta se prefiere estrictamente a […].
El comportamiento del consumidor refleja, por lo tanto, las preferencias. El hecho que el consumidor prefiera la primera canasta a la segunda significa que, si tiene la capacidad para hacerlo, el consumidor elegirá la primera canasta y no la segunda. La preferencia estricta implica que si el individuo se enfrenta varias veces a la misma decisión y no tiene restricciones para la adquisición del bien elige siempre la primera canasta.
Cuando las dos canastas de bienes brindan al consumidor la misma satisfacción, esto significa que el consumidor es indiferente entre las dos canastas. La definición formal de indiferencia es
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),(~),( 2121 yyxx
Por último, el individuo puede preferir débilmente la primera canasta de bienes a la segunda
),(),( 2121 yyxx
Las anteriores definiciones asumen que los individuos son racionales y, cuando es posible, eligen la canasta de bienes que les brinda más satisfacción. Además, los modelos asumen que las preferencias son estables. Tres axiomas son utilizados en economía para definir la decisión racional de un consumidor.
1. Las preferencias son completas. En el momento de tomar una decisión, el individuo siempre es capaz de ordenar las alternativas que se le presentan. Ello implica que los individuos siempre entienden la decisión que toman y son capaces, por ende, de establecer el grado de satisfacción que le produce cada alternativa. Por lo tanto, los consumidores siempre pueden comparar y ordenar dos canastas de bienes de la siguiente manera:
a. La primera canasta se prefiere a la segunda, ),(),( 2121 yyxx .
b. La segunda canasta se prefiere a la primera,
),(),( 2121 xxyy .
c. Hay indiferencia entre ambas canastas, ),(~),( 2121 xxyy .
Dado que el consumidor puede establecer de manera exacta la preferencia por las dos canastas de bienes, no se presenta nunca de manera simultánea que el consumidor prefiere la primera canasta a la segunda ),(),( 2121 yyxx y la segunda canasta a la primera
),(),( 2121 xxyy .
El axioma de las preferencias completas se cumple en un porcentaje significativo de las decisiones económicas. Por lo general, los consumidores saben cuales bienes de mercado prefieren y pueden ordenar las preferencias por dichos bienes. Sin embargo, hay situaciones donde el cumplimiento del axioma es difícil. Cuando las decisiones son de vida o muerte, el axioma puede no cumplirse. Un ejemplo es el caso del desplazamiento forzado en Colombia. Un hogar en un municipio colombiano con presencia de grupos armados ilegales puede recibir una amenaza de muerte. El hogar debe entonces decir entre: (i) quedarse y enfrentar probablemente la muerte de algún miembro de la familia; o (ii) migrar a otro municipio, perder todos sus bienes y llegar a un lugar extraño. En este caso, el hogar no necesariamente entiende la decisión que está tomando y mucho menos deriva satisfacción de las dos acciones. Por
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consiguiente, el hogar está eligiendo entre dos “males. Esta decisión de vida o muerte Sen la denomina como la decisión de Sophie1.
2. Transitividad. Suponga que un individuo debe elegir entre tres canastas de bienes: ),( 21 xx , ),( 21 yy y ),( 21 zz . Si el consumidor
prefiere la primera canasta a la segunda canasta ),(),( 2121 yyxx y la
segunda canasta a la tercera ),(),( 2121 zzyy , entonces debe preferir
la primera canasta a la tercera, ),(),( 2121 zzxx .
El axioma de transitividad significa que los individuos deciden de manera consistente. Esto es un supuesto restrictivo de la definición de las preferencias. La economía experimental ha demostrado que en algunos casos es posible que la transitividad no se cumpla. Por ejemplo, es posible que un individuo con la estructura de preferencias del párrafo anterior también prefiera la tercera canasta a la primera, es decir ),(),( 2121 xxzz . La estructura de preferencias sería entonces circular
),(),(),(),( 21212121 zzyyxxzz . Aunque esta estructura de preferencias es extraña, pueden existir casos donde se presenta. Si es así, sería imposible ordenar las canastas de bienes porque cualquier canasta de bienes que elija siempre preferirá otra. Esta estructura de preferencias complicaría el análisis económico. Por lo tanto, el axioma de transitividad es necesario para asegurarnos que el consumidor tome sus decisiones de la “mejor manera posible”.
3. Continuidad. Si un consumidor prefiere la primera canasta a la segunda canasta de bienes ),(),( 2121 yyxx , entonces situaciones similares a la anterior deben derivar en una elección donde la primera canasta es preferida a la segunda ),(),( 2121 yyxx . Este axioma es un supuesto “técnico” que permite derivar funciones de utilidad continuas.
Los axiomas anteriores permiten formalizar las preferencias de un individuo y agruparlas en una función matemática denominada la función de utilidad. Si estos supuestos no se cumplen, no se podrían expresar las decisiones con el instrumental matemático que se ha desarrollado. La existencia de una función de utilidad permite ordenar todas las canastas de bienes desde la menos deseada hasta la más deseada.
1.2. La función de utilidad
La función de utilidad permite contener el concepto de preferencias explicado en la sección anterior en una función que traduce la preferencia a una función. En el ejemplo de la sección anterior donde el consumidor prefiere la primera canasta de bienes a la segunda [ ),(),( 2121 yyxx ] , la función de utilidad permite traducir esto a una regla ordinal y cardinal de tal manera que
1 Sophie es la protagonista de una película. Su historia sucede en un campo de concentración Nazi. Un día sus carcelarios la obligan a escoger cual de sus dos hijos debe ir a la cámara de gases y morir.
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),(),( 2121 yyUxxU .
Esta desigualdad significa que dado que el consumidor prefiere la primera canasta de bienes a la segunda canasta, la utilidad que deriva del consumo de la primera canasta es mayor a la utilidad que deriva del consumo de la segunda canasta. La función de utilidad permite entonces ordenar las preferencias y, por lo tanto, es considerada una medida ordinal.
La utilidad es, además, una herramienta necesaria cuando los individuos derivan utilidad de más de dos bienes, que es lo que sucede en el mundo real. En el ejemplo anterior, usar la utilidad no es tan importante pues son dos bienes y es fácil ordenarlos. Cuando son varios bienes, ordenar las posibles canastas de bienes es imposible.
La función de utilidad permite, asimismo, realizar un ordenamiento cardinal de las preferencias de un consumidor. Esto significa que es posible asignar números a la utilidad que deriva un individuo del consumo de un bien. Es importante, sin embargo, que al asignar números a las funciones de utilidad se preserve el ordenamiento de preferencias original. Por lo tanto, no es importante la magnitud del número que se asigna sino la preservación del ordenamiento de las preferencias. Por ejemplo, si
5),( 21 xxU y 4),( 21 yyU , esto implica que la primera canasta se prefiere a la segunda canasta de bienes. Asignar otros números a la función de utilidad denota el mismo ordenamiento: 000.000.1),( 21 xxU y 5.0),( 21 yyU .
Esta propiedad de la función de utilidad se denomina como monotónica. La formalización matemática de dicha propiedad es la siguiente. Sea U una función de utilidad que provee un ordenamiento numérico de las preferencias. Esta función puede ser transformada en otro conjunto de números que conserve el ordenamiento original de las preferencias F(U). Dicha función debe cumplir con la condición 0)(' UF .
La función de utilidad se puede definir entonces como la representación de las preferencias de los consumidores de la siguiente manera
nxxxU ,...,, 21
donde nxxx ,...,, 21 es la cantidad consumida de cada uno de los n bienes en un periodo
de tiempo determinado.
1.3. Las curvas de indiferencia
Las curvas de indiferencia son un concepto esencial para entender le proceso de elección de los consumidores entre distintas canastas de bienes. Estas reflejan los trade-offs o sacrificios que deben llevar a cabo los consumidores al tomar decisiones. Esto es fundamental porque cuando un consumidor elige entre canasta de bienes y cantidades de bienes, no puede escoger un consumo ilimitado de bienes; la cantidad de ingreso disponible determina la canasta de bienes que el individuo puede escoger. Más aún, así el consumidor tuviera la capacidad económica para comprar una cantidad ilimitada de bienes no tendría el tiempo suficiente para consumirlos. Dado que el individuo está restringido por su ingreso y tiempo disponibles, debe sacrificar el consumo de unos bienes para incrementar el consumo de sus bienes preferidos. Por ejemplo, cuando un individuo decide comprar canciones de i-tunes es probable que deba sacrificar la compra de otros bienes. Incluso debe intercambiar las canciones de i-tunes por dinero y,
6
por lo tanto, está sacrificando voluntariamente su “dinero” (p.ej. ser menos rico para poder adquirir las canciones de i-tunes).
La representación teórica de cómo se realiza el intercambio voluntario entre canciones de i-tunes y otros bienes se denomina como las curvas de indiferencia de un individuo. Las curvas de indiferencia muestran la cantidad de otros bienes que el consumidor está dispuesto a ceder por adquirir las canciones de i-tunes. Las curvas de indiferencia denotan las combinaciones de canciones de i-tunes y otros bienes que mantienen constante la utilidad de un individuo.
Las curvas de indiferencia tienen cuatro propiedades que se explican a continuación: el principio de no saciedad, la pendiente negativa, la transitividad y la convexidad. Muchas de estas propiedades se pueden explicar con la tasa marginal de sustitución cuya definición se presentará en los próximos párrafos.
La gráfica 1.1 ilustra una propiedad de las curvas de indiferencia: la no saciedad (consumir más se prefiere a consumir menos). El área punteada de la gráfica representa todas las combinaciones de canciones de i-tunes y otros bienes que son estrictamente preferidos a la combinación X*,Z*. Esto quiere decir que el individuo prefiere consumir la canasta de bienes X1, Z1 a la canasta de bienes X*,Z*. De otro lado, el área sombreada representa todas las combinaciones de canciones de i-tunes y otros bienes que son menos preferidos estrictamente a la combinación, X*,Z*. Por lo tanto, el individuo prefiere consumir la canasta de bienes X*,Z* a la canasta de bienes X2, Z2. Esto implica que los individuos siempre van a preferir consumir más bienes que menos bienes, es decir siempre van a estar más satisfechos consumiendo más canciones de i-tunes y más de los otros bienes que menos de canciones de i-tunes y menos de los otros bienes. Esta propiedad se llama la no saciedad. Por último, las áreas con signo de interrogación no permiten establecer cual combinación de bienes es más preferida ya que en las dos áreas siempre se tendrá un consumo superior a X*,Z* para cualquiera de los dos bienes. En estas áreas, si se quiere aumentar el consumo de uno de los dos bienes, se debe disminuir el consumo del otro bien.
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Gráfica 1.1. No saciedad
Las curvas de indiferencia denotan las combinaciones de canciones de i-tunes y otros bienes que mantienen constante la utilidad de un individuo (grado de satisfacción), es decir todas las combinaciones ubicadas en las regiones de signos de interrogación de la gráfica 1.1. La gráfica 1.2. muestra un ejemplo de una curva de indiferencia. El individuo es indiferente entre consumir la canasta de bienes X1, Z1 y X2, Z2. El consumo de ambas canasta de bienes produce la misma utilidad U1. A lo largo de toda la curva de indiferencia la función de utilidad se mantiene constante.
Cantidad de canciones de itunes
Cantidad de otros bienes
Z* Z1 Z2
?
?
X*
X1
X2
8
Gráfica 1.2. Una curva de indiferencia
La pendiente negativa de la curva de indiferencia denota como se intercambian los bienes. Por ejemplo, para adquirir más canciones de i-tunes el consumidor está dispuesto a sacrificar el consumo de otros bienes. Dado que es necesario disminuir el consumo de otros bienes para comprar más canciones de i-tunes, la pendiente de la curva de indiferencia es negativa. La gráfica 1.3. presenta un ejemplo de cómo se produciría el intercambio entre canciones de i-tunes y otros bienes para mantener la función de utilidad constante. Asuma que en la situación inicial el consumidor tiene una canasta de bienes con una gran cantidad de otros bienes y con pocos canciones de i-tunes. Esta canasta de bienes está representada por X1, Z1. El individuo decide que quiere adquirir más canciones de i-tunes pero desea mantener su utilidad constante. Este objetivo se logra con un movimiento a lo largo de la curva de indiferencia de modo que se disminuye el consumo de otros bienes, se incrementa la cantidad de canciones de i-tunes y se mantiene la utilidad constante. En la nueva canasta de consumo X2, Z2 , se cumple esta condición. La curva de indiferencia muestra como para adquirir Z2
canciones de i-tunes es necesario reducir el consumo de otros bienes en X1-X2.
Cantidad canciones I -tunes
Cantidad de otros bienes
Z1 Z2
?
?
U1
X1
X2
9
Gráfica 1.3. La pendiente negativa
La disponibilidad a ceder otros bienes por comprar más canciones de i-tunes varía a lo largo de la curva de indiferencia. Cuando el individuo tiene la canasta de bienes X1, Z1, es decir cuando el consumo de otros bienes es alto y el consumo de canciones de i-tunes es bajo, el individuo está dispuesto a ceder una cantidad grande de los otros bienes para aumentar un poco el consumo de canciones de i-tunes. Como lo ilustra la gráfica 1.4, cuando el individuo está en la canasta de bienes X1, Z1, debe disminuir el consumo de otros bienes en AX para incrementar en una unidad el consumo de canciones de i-
tunes ( AZ ).
De otro lado, si el individuo está ubicado en una canasta de bienes donde la cantidad de canciones de i-tunes es alta y el consumo de otros bienes es pequeño (X3, Z3), la disponibilidad a ceder otros bienes para comprar más canciones de i-tunes es reducida frente al caso anterior. Asuma que el consumidor desea de nuevo aumentar el consumo de canciones de i-tunes en una unidad, es decir trasladarse de la canasta de consumo (X3, Z3) a la canasta de consumo (X4, Z4). Para ello, deberá ceder bX para obtener un
incremento en bZ . La cantidad que está dispuesto a ceder en el consumo en otros
bienes y mantener la utilidad constante bX es menor que el caso anterior: AX > bX .
Esta disponibilidad a ceder otros bienes por de canciones de i-tunes
Z
X se denomina
la Tasa Marginal de Sustitución. Tal como se aprecia en el ejemplo anterior la Tasa Marginal de Sustitución disminuye entre ( AX , AZ ) y ( bX , bZ ).
Cantidacanciones i-tunes
Cantidad de otros bienes
Z1 Z2
U1
X1
X2
10
Gráfica 1.4. Cambios en la Tasa Marginal de Sustitución
La cantidad de canciones de i-tunes que se transan por otros bienes se denomina la tasa marginal de sustitución. La derivación de la tasa marginal de sustitución es la siguiente. Asuma que la función de utilidad de canciones de i-tunes (Z) y otros bienes (X) se representa como U(Z,X). Al realizar la diferencial total de la función de utilidad se obtiene
dXX
UdZ
Z
UdU
.
La diferencia total expresa cómo cambios en X y Y afectan el nivel de utilidad. Dado que la curva de indiferencia mantiene el nivel de utilidad constante, dU=0. Por lo tanto la diferencia total se reescribe como
0
dXX
UdZ
Z
U.
Cómo se debe mantener la utilidad constante, un incremento en el consumo de Z necesariamente debe ser compensado por una caída en X. La TMS muestra la magnitud de esa caída. Si se despeja la diferencial total,
dXX
UdZ
Z
U
dZ
dX
X
U
Z
U
Cantidad canciones i-tunes
Cantidad de otros bienes
Z1 Z2
U1
X1
X2
Z3
X3
Z4
X4
AZ bZ
11
XU
ZU
dZ
dX
.
La tasa marginal de sustitución se define como
XU
ZU
dZ
dXTMS UU
1
.
La tasa marginal de sustitución es equivalente entonces a la pendiente de las curvas de indiferencia. Esta pendiente difiere, por lo general, en cada punto de la curva de indiferencia como se demostró en la gráfica 1.4.
La curva de indiferencia solo representa uno de los infinitos niveles de utilidad que puede alcanzar un individuo dadas las infinitas combinaciones de canasta de bienes. En un gráfico se pueden representar los distintos niveles de utilidad que puede alcanzar un individuo y ordenar dichos niveles de utilidad. Un ejemplo se presenta en la gráfica 1.5. Tal como lo ilustra la gráfica, U3>U2>U1.
Gráfica 1.5. El mapa de curvas de indiferencia
Las curvas de indiferencia tienen dos propiedades adicionales: la transitividad y la convexidad. Como se explicó en secciones anteriores, las preferencias son transitivas. Ello implica que las curvas de indiferencia nunca se deben cruzar y, por lo tanto, se pueden ordenar las canastas de bienes de acuerdo a las preferencias. Por la condición de la transitividad, si la canasta de bienes A es preferida a la canasta de bienes B; la canasta de bienes C es preferida a la canasta de bienes D; el individuo es indiferente entre la canasta de bienes B y C; entonces la canasta de bienes A es preferida a la canasta de bienes D. Esto permite ordenar las canastas de bienes. Cuando las curvas de indiferencia se cruzan, la propiedad de transitividad no se cumple.
La gráfica 1.6 presenta un ejemplo. Por la propiedad de la no saciedad, la canasta de bienes A se prefiere a la canasta de bienes B y la canasta de bienes C se prefiere a la canasta de bienes D. Dado que B y C se encuentran en la misma curva de indiferencia,
Cantidad de canciones de i-tunes
Cantidad de otros bienes
U1
U2
U3
12
el individuo es indiferente entre consumir B o consumir C. Por transitividad, la canasta de bienes A debería ser preferida a la canasta de bienes D. Sin embargo, la canasta de bienes A y la canasta de bienes D se ubican en la misma curva de indiferencia; por lo tanto, A no es preferido a D y la propiedad de transitividad no se cumple. Por lo tanto, no se pueden ordenar las canastas de bienes de acuerdo a las preferencias. Esto se presenta porque las curvas de indiferencia se cruzan lo cual implica que las curvas de indiferencia deben ser siempre paralelas en cada punto.
Gráfica 1.6. La transitividad
La Tasa Marginal de Sustitución decreciente se representa matemáticamente con la convexidad de las curvas de indiferencia. Un conjunto es convexo cuando dos puntos al interior o en la frontera del conjunto se pueden unir con una línea recta que está contenida completamente en el conjunto. La convexidad de las curvas de indiferencia se ilustra en la gráfica 1.7.
Cantidad canciones de itunes
Cantidad de otros bienes
U1
U2
A
B
C
DE
13
Gráfica 1.7. Convexidad de las curvas de indiferencia
Una implicación adicional de la convexidad de las curvas de indiferencia es que los consumidores prefieren tener una canasta de bienes balanceada y no una canasta de bienes con una cantidad excesiva de uno de los dos bienes. Un ejemplo de la preferencia por canastas balanceadas de bienes se presenta en la gráfica 1.8. Las canastas de bienes (X1,Z1) y (X2,Z2) tiene una alta cantidad de otros bienes y una alta cantidad de pares de canciones de i-tunes respectivamente. Las dos canastas le producen al consumidor una utilidad de U1.Debido a la condición de convexidad, el consumidor prefiere una canasta más balanceada que le brinda una utilidad de U2.
Z
X
U1
Cantidad de otros bienes
Conjunto Convexo Conjunto No Convexo
Z*
X*
Z
X*
Z*
14
Gráfica 1.8. Preferencia por canasta de bienes balanceadas
1.4. Ejemplos de preferencias
Las preferencias de los consumidores determinan las formas funcionales de las curvas de indiferencia. Las preferencias determinan la tasa a la cual está dispuesto un individuo a sacrificar el consumo de un bien X por incrementar el consumo de un bien Y. Esta sección da ejemplos de distintos tipos de curvas de indiferencia y calcula la tasa marginal de sustitución para cada ejemplo.
Los bienes pueden ser sustitutos perfectos cuando el individuo está dispuesto a sustituir el bien X por el bien Y a una tasa constante. Un ejemplo clásico de sustitutos perfectos son la margarina y la mantequilla. Dado que los dos bienes son tan similares, el consumidor podría estar dispuesto a reducir su consumo en margarina en 100 gramos y aumentar su consumo de mantequilla en 100 gramos y mantener su utilidad constante. Un ejemplo de una función de utilidad para bienes que son sustitutos perfectos es
YXU .
Para calcular la tasa marginal de sustitución de esta función es necesario calcular las dos utilidades marginales
1
X
U
1
Y
U.
Por lo tanto, la tasa marginal de sustitución es igual a
11
YU
XU
dX
dYTMS UU .
Cantidad canciones i-tunes
Cantidad de otros bienes
Z1 Z2
U1 U2
X1
X2
15
La tasa marginal de sustitución representa la pendiente de la curva de indiferencia. Con esta información, se traza la curva de indiferencia en la Gráfica 1.9. La tasa marginal de sustitución es idéntica en todos los puntos de la curva de indiferencia. Esto significa que el individuo está dispuesto a ceder siempre la misma cantidad de X para obtener una unidad adicional de Y pues el consumidor no encuentra diferencia entre los dos bienes. Por ejemplo, para el consumidor puede ser lo mismo consumir margarina que mantequilla, por lo tanto, no es importante la cantidad de cada uno de los dos productos que consume sino la cantidad total de los dos. Cuando los bienes son sustitutos perfectos, la propiedad de tasa marginales de sustitución decrecientes no se cumple.
Gráfica 1.9. Bienes sustitutos perfectos
Otro tipo de bienes son los complementos perfectos. Los complementos perfectos son bienes que deben ser consumidos de manera paralela para brindar bienestar. Las raquetas de tenis y las bolas de tenis son un ejemplo. Una persona con una raqueta de tenis y sin bolas de tenis poco puede hacer y viceversa. Otro ejemplo de complementos perfectos son las canciones de i-tunes del pie izquierdo y el pie derecho. El uso de los dos se da de manera simultánea y las proporciones en el uso de los dos bienes son por lo general fijas (p.ej. por cada zapato del pie izquierdo se necesita tener un zapato del pie derecho).
La gráfica 1.10 ilustra un ejemplo de curvas de indiferencia para complementos perfectos. Si por cada zapato izquierdo es necesario un zapato derecho, los consumidores siempre demandarán canciones de i-tunes en proporciones fijas. Por ejemplo, para alcanzar la función de utilidad U1, el consumidor utiliza 4 canciones de i-tunes izquierdos y 4 canciones de i-tunes derechos. Si el consumidor compra 9 zapatos derechos no se incrementa la utilidad ya que los cinco zapatos adicionales no le sirven para nada si no tiene los zapatos correspondientes al pie derecho. Ello implica curvas de indiferencia como las curvas de la gráfica 1.10 donde el vértice de la curva de encuentra en el punto en el que el número de zapatos del pie derecho es igual al número de zapatos del pie izquierdo.
X
Y
U1
16
Por lo tanto, los bienes se consumen en proporciones fijas tal como se muestra a continuación
19
9
4
4
X
Y.
La función de utilidad de bienes que son complementos perfectos es igual a
YXYXU ,min),( .
Gráfica 1.10. Bienes complementos perfectos
En el caso de complementos perfectos, el consumidor no puede reducir el consumo del bien X, incrementar el consumo del bien Y y mantener la utilidad constante. Por lo tanto, la tasa marginal de sustitución de los complementos perfectos es igual a cero.
La función Cobb-Douglas, comúnmente utilizada, es otro ejemplo de función de utilidad. La función de Cobb-Douglas permite la sustitución entre los bienes, pero dicha sustitución no es perfecta y varía a lo largo de la curva de indiferencia. Esta función está representada por la siguiente ecuación
2/12/1),( YXYXU .
La utilidad marginal para X y Y de este ejemplo particular de función Cobb-Douglas es igual a
2/1
21
21
2
1
2
1
X
Y
X
Y
X
U
2/1
21
21
2
1
2
1
Y
X
Y
X
Y
U.
La tasa marginal de sustitución de la función de utilidad Cobb-Douglas es, por lo tanto, igual a
X
Y
U1
U2
U3
4 9
9
4
17
2/1
2/1)(21
)(21
YX
XY
YU
XUTMS
2/1
X
Y
X
YTMS
2/1
2
2
X
YTMS
X
YTMS .
Tal como muestra la ecuación anterior, la tasa marginal de sustitución varia a lo largo de la curva de indiferencia. Por ejemplo, si X=2 y Y=6, la tasa marginal de sustitución es igual a 6/2=3. Ello significa que el consumidor estaría dispuesto a ceder 3 unidades de Y por incrementar el consumo de X en una unidad. De otro lado, si X=4 y Y=2, la tasa marginal de sustitución es igual a 2/4=1/2, es decir el consumidor está dispuesto a ceder ½ unidad del bien Y para incrementar el consumo de X en una unidad. La curva de indiferencia de una función de utilidad Cobb-Douglas se presenta en la gráfica 1.11.
Gráfica 1.11. Función Cobb-Douglas
1.5. La restricción de presupuesto
Las secciones anteriores muestran como las preferencias de los individuos permiten ordenar las distintas canastas de bienes de tal manera que el consumidor sabe cual es su canasta “más preferida” y su canasta “menos preferida”. Sin embargo, los elementos anteriores no son suficientes para el proceso de elección del consumidor ya que este está restringido por la cantidad de ingreso que puede gastar en el consumo de bienes. Por lo tanto, el consumidor no solo debe tener en cuenta la canasta “más preferida” de bienes también debe tener en cuenta si es posible adquirir dicha canasta dado su ingreso y los
X
Y
U1
18
precios de los bienes. Esta restricción se denomina la restricción presupuestaria y combina el ingreso del individuo, los precios de los bienes y las cantidades consumidas.
Al igual que en la sección anterior, se asume que el individuo puede consumir dos tipos de bienes: el bien X y el bien Y. El precio del bien X es igual a Px y el precio del bien Y es igual a Py. El ingreso disponible del individuo está representado por I. La restricción presupuestaria del individuo está representada por
IYPXP yx .
Donde XPx representa el gasto total del consumidor en el bien X y YPy el gasto total en
el bien Y. El consumidor elige entonces cuanto consume de los dos bienes de modo que el gasto de los dos bienes no exceda el ingreso disponible. Por lo tanto, las canastas de consumo a las cuales accede el individuo son aquellas que pueden adquirir dada la restricción de ingresos y no necesariamente las canastas preferidas de bienes. Dicho de otra manera, el consumidor logra acceder a su canasta preferida dada la restricción de presupuesto.
El conjunto de canastas de consumo que se pueden adquirir dados unos precios (Px,Py) y un ingreso I se denomina el conjunto presupuestario. La recta presupuestaria denota entonces el conjunto de canastas de bienes que cuestan exactamente el ingreso disponible, es decir
IYPXP yx .
La Gráfica 1.12 presenta un ejemplo de un conjunto presupuestario y una recta presupuestaria. Suponga que el individuo tiene disponibles $1.000 para gastar en su consumo de bienes. El precio del bien X es igual a $5 y el precio del bien Y es igual a 4. Esto quiere decir que el consumidor podrá elegir todas las canastas de bienes con costo total igual o menor a 1.000. La restricción presupuestaria se define como
100045 YX .
La recta prespuestaria se puede reescribir como
100045 YX
XY 510004
4
51000 XY
.
Los puntos de corte de la restricción presupuestaria representan cuanto se puede comprar del bien X (bien Y) cuando todo el ingreso se destina al consumo del bien X (bien Y). Para encontrar los puntos de corte de la recta presupuestaria, se realiza el procedimiento siguiente. Cuando el individuo no consume Y (Y=0) y destina todo su ingreso al consumo del bien X, la recta presupuestaria se define como
4
510000
X
X510000 .
10005 X
19
2005
1000X .
De otro lado, cuando el individuo no consume X (X=0) y destina todo su presupuesto al consumo del bien Y, la recta presupuestaria se define como
2504
1000Y .
La pendiente de la recta presupuestaria es igual a
4
5
X
Y.
Cuando el individuo escoge una canasta de bienes tal que agota la cantidad total de ingreso disponible, se ubica en la recta presupuestaria. De otro lado, si el individuo escoge una canasta de bienes que no agota el ingreso total disponible, se ubica al interior del conjunto prespuestario representado por el área punteada.
Gráfica 1.12. La recta presupuestaria: un ejemplo
La generalización del ejemplo anterior se presenta a continuación. Suponga que el individuo enfrenta unos precios Px, Py y un ingreso I. La restricción presupuestaria se representa como
IYPXP yx .
La recta presupuestaria está definida por
IYPXP yx
X X=1000/5
Y=1000/4
Conjunto presupuestario
20
y se puede reescribir como
XPIYP xy
y
x
P
XPIY
.
Los puntos de corte en el eje X y en el eje Y se definen a continuación. Para definir el punto de corte en el eje X se asume Y=0,
y
x
P
XPI 0
XPI x0
IXPx
xP
IX .
Para definir el punto de corte en el eje Y se asume X=0,
yP
IY
La pendiente de la recta presupuestaria es igual a
y
x
P
P
X
Y
.
La gráfica 1.13 muestra esta restricción prespuestaria.
21
Gráfica 1.13. La recta presupuestaria
La pendiente de la restricción presupuestaria representa la relación en la que el mercado está dispuesto a sustituir el bien X por el bien Y. Suponga que el consumidor desea aumentar su consumo del bien X en X . ¿En cuanto debe reducir el consumo del bien Y para satisfacer su restricción presupuestaria? Suponga que Y representa el cambio en el bien Y, es decir, representa el cambio que se debe dar en el bien Y para lograr el aumento deseado en el consumo del bien X y satisfacer su restricción de presupuesto.
Si antes de realizar el cambio en consumo el individuo satisfacía su restricción presupuestaria, esto significa que
IYPXP yx .
Ahora suponga que el consumidor incrementa su consumo de X y, para continuar satisfaciendo su restricción presupuestaria, disminuye el consumo de Y. La restricción presupuestaria con la nueva canasta de bienes se representa como
IYYPXXP yx .
Donde para este ejemplo particular 0X y 0Y .
Si se resta la primera ecuación de la segunda,
IIYPYYPXPXXP yyxx
0 YPYPYPXPXPXP yyyxxx
0 YPXP yx .
X
Conjunto presupuestario
XP
IX
22
Si se despeja está ecuación para X
Y
que representa la cantidad del bien X que se puede
sustituir por el bien Y para mantener constante la restricción de presupuesto, se obtiene
XPYP xy
y
x
P
XPY
y
x
P
P
X
Y
.
Esta relación es la pendiente de la recta presupuestaria.
Cambios en los precios y en el ingreso del consumidor modifican la restricción de presupuesto. Suponga que en el ejemplo anterior el consumidor recibe una herencia y su ingreso se aumenta de $1000 a $2000. Los precios de los dos bienes permanecen constantes. La nueva restricción presupuestaria se define como
200045 YX .
La recta prespuestaria se puede reescribir como
4
52000 XY
.
Los puntos de corte de los dos ejes se van a modificar de la manera siguiente. Cuando el individuo no consume Y (Y=0), la recta presupuestaria se define como
4
520000
X
400X
De otro lado, cuando el individuo no consume X (X=0), la recta presupuestaria se define como
5004
2000Y .
La pendiente de la recta presupuestaria continúa siendo la misma, es decir
4
5
X
Y.
Por lo tanto, un incremento en el ingreso disponible del individuo expande la recta prespuestaria y mantiene constante la pendiente de la recta tal como se ilustra en la gráfica 1.14.
23
Gráfica 1.14. Un incremento en el ingreso
Ahora suponga que en el ejemplo anterior, el ingreso del individuo ($1000) y el precio del bien Y se mantienen constantes mientras que el precio del bien X se aumenta de $5 a $10. La nueva restricción presupuestaria se define como
1000410 YX .
La recta prespuestaria se puede reescribir como
4
101000 XY
.
Los puntos de corte de los dos ejes se van a modificar de la manera siguiente. Cuando el individuo no consume Y (Y=0), la recta presupuestaria se define como
4
1010000
X
100X
De otro lado, cuando el individuo no consume X (X=0), la recta presupuestaria se define como
2504
1000Y .
Por lo tanto, el punto de corte del X se modifica y el punto de corte del eje Y permanece igual. Como resultado, la pendiente de la recta presupuestaria se modifica a
4
10
X
Y.
X
24
Gráfica 1.14. Un incremento en el precio
1.6. La elección óptima: maximización de la función de utilidad
Las secciones anteriores definen los dos elementos esenciales para el proceso de elección óptima del consumidor: la función de utilidad y la restricción de presupuesto. En el proceso de elección óptima, el consumidor elige su canasta de bienes preferida dentro del conjunto de canasta de bienes que puede elegir dada su restricción de presupuesto.
El individuo maximiza entonces su función de utilidad, es decir alcanza el máximo nivel de utilidad dada una restricción presupuestaria, cuando escoge una canasta de bienes que agota su restricción de presupuesto. Esto ocurre cuando la tasa marginal de sustitución (la disponibilidad a ceder bien X por incrementar el consumo del bien Y) se iguala a la pendiente de la recta presupuestaria (la relación en la que el mercado permite sustituir el bien X por el bien Y).
Un ejemplo gráfico de la maximización de la función de utilidad se presenta en la gráfica 1.15. Si el individuo escoge el punto A en la función de utilidad U1, el consumo se ubica en el conjunto prespuestario y, por lo tanto, el consumo es posible dado que no se agota todo el ingreso disponible para consumo. Dado el supuesto de no saciedad, el consumidor siempre prefiere consumir más a consumir menos. Este punto no es racional porque el individuo podría incrementar el consumo de los dos bienes y derivar una mayor utilidad aún cumpliendo con la restricción presupuestaria.
El consumidor podría entonces ubicarse en un punto como B, donde agota la restricción de presupuesto. Sin embargo, el individuo puede buscar otro punto donde se agote la restricción de presupuesto y se alcance un mayor nivel de utilidad. En el punto C, se cumple con esta restricción: se agota el ingreso disponible y se alcanza el mayor nivel de utilidad posible. Ello sucede cuando la pendiente de la restricción de presupuesto se iguala a la tasa marginal de sustitución.
X
25
Gráfica 1.15. La maximización de la función de utilidad
En el punto C, se cumple entonces con dos condiciones: se gasta un presupuesto igual a I y se alcanza el máximo nivel de utilidad posible. Esto sucede en el punto de tangencia entre la restricción de presupuesto y la curva de indiferencia, es decir donde se igualan las dos pendientes
YU
XU
dX
dY
P
P
teconsUy
x
tan
La convexidad de las curvas de indiferencia permite que solo exista una canasta de bienes que maximice la función de utilidad.
La derivación gráfica anterior se deriva a continuación formalmente. Suponga un individuo que consume dos bienes (X,Y), enfrenta unos precios de (Px, Py) y tiene un ingreso de I. El individuo escoge X,Y para maximizar su función de utilidad
),( Maxyx,
YXU
sujeto a la restricción de presupuesto
IYPXP yx .
El lagrangiano de este problema de maximización está definido por
YPXPIYXUL yx ),( .
Las condiciones de primer orden para obtener una maximización de la función de utilidad son:
X
Y
U1
A
U2
B
C
26
1. 0
xPX
U
X
L
2. 0
yPY
U
Y
L
3. 0
YPXPIL
yx
¿Cómo se interpretan las condiciones de primer orden? Las dos primeras condiciones de primer orden se interpretan de manera muy similar. El primer término XU representa el beneficio para el individuo de consumir una unidad adicional del bien X. El segundo término xP representa el costo para el individuo de incrementar el
consumo de X en una unidad. Un incremento en una unidad del bien X tiene dos efectos. Por un lado, se aumenta el gasto en el bien X en Px. Por otro lado, se reduce el ingreso disponible para consumir en otros bienes. El costo por dicha reducción está representado por que representa la utilidad marginal del ingreso. La utilidad marginal del ingreso, es decir cuánto aumenta la utilidad cuando el individuo obtiene más ingreso. Esto se deriva formalmente a continuación.
Dado que el lagrangiano representa la función de utilidad una vez se maximiza, el término representa la utilidad marginal del ingreso. Por el teorema de la envolvente,
I
L
I
U.
Por lo tanto, un incremento en el gasto del bien X reduce el ingreso disponible para otros bienes y la utilidad por vía de un menor ingreso. Esta condición de primer orden muestra entonces que el individuo aumenta su consumo de X hasta el punto donde se igualan los beneficios marginales con los costos marginales, es decir
xPX
U
.
La segundo condición de primer orden se interpreta de una manera muy similar. La tercera condición de primer orden significa que el individuo consume hasta agotar su presupuesto
.YPXPI yx
Las condiciones de primer orden se pueden reescribir de diferentes formas. La primera condición se puede escribir como
xPX
U
X
U
Px
1.
La segunda condición se puede escribir como
yPY
U
27
Y
U
Py
1.
Al igualar las dos condiciones, se obtiene
X
U
PY
U
P xy
11
X
U
PY
U
P xy
11
X
U
Y
U
P
P
y
x
YU
XU
P
P
y
x
.
Tal como se demostró gráficamente, el individuo maximiza su función de utilidad en el punto donde se iguala la pendiente de la restricción de presupuesto con la tasa marginal de sustitución.
Otra forma de escribir las condiciones de primer orden es la siguiente
xy P
XU
P
YU
.
Esta ecuación muestra que en el punto de maximización de utilidad cada bien debe proveer la misma utilidad marginal por peso gastado en el bien. Esta relación debe ser igual a la utilidad marginal del ingreso, .
Una última forma de interpretar las condiciones de primer orden es la siguiente. La condición de primer orden del bien X se puede reescribir como
XU
Px
.
Esta ecuación significa que el precio representa la utilidad por la última unidad consumida del bien, es decir representa la disponibilidad a pagar por el consumo de la última unidad consumida del bien X.
Una vez se ha realizado el proceso de maximización de la función de utilidad, se obtiene la cantidad de X y Y óptima como función de los precios y el ingreso del individuo. Esta cantidad óptima de X y Y se llaman funciones de demanda y se expresan de la manera siguiente.
IPPXX yx ,,**
IPPYY yx ,,**
Todos los puntos de la función de demanda representan un punto óptimo, es decir un punto en el cual el consumidor maximiza su función de utilidad sujeto a una restricción de presupuesto.
28
Un ejemplo de una función de utilidad se presenta a continuación. Asuma que el proceso de maximización del individuo está representado por
2121
,Max YX
yx
sujeto a YPXPI yx .
El lagrangiano de este problema de maximización está representado por
YPXPIYXL yx 2121 .
Las condiciones de primer orden son
1. 02
121
xPX
Y
X
L .
2. .02
121
yPY
X
X
L
3. .0
YPXPIL
yx
De la condición 1., se obtiene
21
2
1
X
Y
Px
.
De la condición 2., se obtiene
21
2
1
Y
X
Py
.
Si se igualan la condición 1. y la condición 2. se obtiene
2121
2
1
2
1
X
Y
PY
X
P xy
212111
X
Y
PY
X
P xy
Al despejar Y, se obtiene
x
y
P
P
Y
X
Y
X
2121
x
y
P
P
Y
X
29
YPXP yx .
Esta igualdad se remplaza en la tercera condición de primer orden y se despeja X
XPXPI xx
XPI x2
xP
IX
2*
Por el mismo procedimiento,
yP
IY
2*
Estas demandas representan las cantidades óptimas del consumidor.
Si asumimos que 2I , 25.0xP y 1yP y se remplazan los valores en las demandas
425.0*2
2X
4* X
11*2
2* Y
Ello significa que la cantidad óptima para el proceso de maximización de utilidad anterior, dado el ingreso y los precios, es (X,Y)=(4,1).
1.7. La función de utilidad indirecta
El proceso de maximización de utilidad del individuo sujeto a una restricción de presupuesto genera las funciones de utilidad óptimas del individuo. Si un individuo escoge X,Y para maximizar su función de utilidad
),( Maxyx,
YXU
sujeto a la restricción de presupuesto
IYPXP yx ,
genera las siguientes funciones de demanda
),,(* IPPX yx
),,(* IPPY yx .
Dichas funciones representan las cantidades óptimas de X,Y, es decir las cantidades que maximizan la función de utilidad, para distintas combinaciones de precios e ingresos.
30
Cuando se remplazan las funciones de demanda en la función de utilidad, se obtiene la función de utilidad indirecta
IPPYIPPXUYXU yxyx ,,*,,,*),( Max
IPPVYXU yx ,,),( Max .
La función de utilidad indirecta permite establecer el efecto de cambios en los precios y en el ingreso sobre la función de utilidad óptima del individuo, es decir permite evaluar como cambios en el ingreso y los precios afectan el bienestar del consumidor. Ello debido a que la función de utilidad indirecta reflejará como un cambio en los precios o el ingreso genera un cambio en la utilidad del individuo y, por ende, en el bienestar. Un incremento en el ingreso aumenta la función de utilidad del individuo ya que puede expandir su consumo de bienes. Por lo tanto,
0
I
V.
De otro lado, un incremento en el precio de cualquiera de los dos bienes reduce la utilidad al restringir el conjunto de las canastas de bienes disponibles para el consumidor.
0
xP
V.
Un ejemplo de la función de utilidad indirecta se deriva a continuación. Dado el siguiente problema de maximización de utilidad,
2121
,Max YX
yx
sujeto a YPXPI yx .
la demanda por bienes X y Y es respectivamente
xP
IX
2*
yP
IY
2*
Si se remplazan estas demandas en la función de utilidad, se obtiene la función de utilidad indirecta
21
2121
222),,(
yxyxyx
PP
I
P
I
P
IIPPV
Si se asumen los precios e ingreso del ejercicio anterior, la utilidad indirecta sería
4* X
31
1* Y .
La función de utilidad indirecta se deriva remplazando ambas cantidades en la función de utilidad
21*214),,( 2121 IPPV yx .
1.8. La minimización del gasto
El proceso de elección del consumidor se puede analizar desde otra perspectiva: la minimización del gasto. Al elegir su canasta de consumo, el individuo puede escoger la cantidad de bienes que maximizan su función de utilidad dada una restricción presupuestaria o, por otro lado, escoger la cantidad de bienes que minimizan el gasto para alcanzar un nivel dado de utilidad. Los dos problemas son idénticos y llevan a la misma solución. En términos matemáticos, esto significa que los problemas son duales, es decir la minimización del gasto es el problema dual de la maximización de utilidad y viceversa.
La Gráfica 1.16 presenta un problema de minimización de gastos y un problema análogo de maximización de utilidad. Para el problema de minimización de gastos, asuma que el individuo debe escoger una canasta de bienes tal que minimice su nivel de gastos y alcance el nivel de utilidad U1. Si el individuo escoge gastar E1 para alcanzar el nivel de utilidad U1, el gasto será insuficiente y por lo tanto no podrá alcanzar la meta establecida. De otro lado, cuando el individuo escoge gastar E2 , el gasto será excesivo para alcanzar el nivel de utilidad U1. Aunque este nivel de gasto corta la curva de indiferencia en dos puntos de U1, el individuo podría disminuir su nivel de gasto y alcanzar todavía la utilidad U1. Por último, elegir un nivel de gasto E3 le permite al individuo alcanzar los dos objetivos: minimizar el gasto y llegar al nivel de utilidad previsto.
El proceso de la maximización de utilidad fija el nivel de ingresos y escoge una canasta de bienes que maximice la función de utilidad. En este caso, el individuo toma el ingreso como dado y escoge la función de utilidad. Suponga que el ingreso equivale a un nivel de gasto E3. El individuo no puede ubicarse en el nivel de utilidad U3 porque su ingreso disponible no se lo permite. De otro lado, cuando el individuo decide ubicarse en una canasta de bienes que le genera una utilidad equivalente a U2 no agotaría su ingreso disponible. Esta elección no cumple con la condición de no saciedad. El individuo puede consumir más y aún cumplir con su restricción de presupuesto. Por lo tanto, puede incrementar su consumo para alcanzar el nivel de utilidad U1. Para maximizar su nivel de utilidad, el individuo escoge entonces la canasta de bienes X1,Y1 y elige una cantidad óptima. Dicha canasta de bienes es idéntica a la canasta de bienes elegida a través de la minimización de gastos. Por lo tanto, los dos problemas son duales y son simplemente diferentes alternativas para analizar el mismo proceso: el proceso de elección óptima de un consumidor. Sin embargo, mientras el gasto de un individuo es observable la función de utilidad no lo es.
32
Gráfica 1.16. El problema dual: la minimización de gastos y la maximización de la función de utilidad
La definición formal de la minimización de gastos se describe a continuación. Asuma que un individuo escoge X,Y para minimizar su gasto de modo que puede alcanzar un nivel de utilidad igual a U . El problema de minimización de gastos se define como
YPXPE yx Minyx,
sujeto a ),( YXUU .
El lagrangiano de este problema está dado por
X
Y
U1 E1 E2 E3
X1
Y1
Minimización de gasto
X
Y
U1
U2
E2
U3
X1
Y1
Maximización de utilidad
33
),( YXUUYPXPL yx .
Las condiciones de primer orden son
1. 0
X
UP
X
Lx
2. 0
Y
UP
Y
Ly
3. 0),(
YXUUL
La interpretación de las dos primeras condiciones de primer orden es idéntica a aquellas del problema de maximización de utilidad. El individuo consume X hasta el punto en el cual el beneficio por consumir una unidad adicional de X (el incremento en la utilidad) es igual al costo de consumir una unidad adicional de X (la reducción en el gasto disponible para otros bienes).
Si se despejan la primera y segunda condición, se obtiene
X
UPx
XU
Px
y
YU
Py .
Al igualar las dos ecuaciones,
XU
P
YU
Pxy
XU
P
YU
Pxy
1xy P
YU
XUP
y
x
P
P
YU
XU
.
Ello implica que el individuo minimiza su nivel de gastos cuando la tasa marginal de sustitución iguala a la pendiente de la restricción presupuestaria, es decir se alcanza la misma solución que en el proceso de la maximización de la función de utilidad.
Del proceso de minimización de gastos, también se obtiene la cantidad demandada de X y Y. Sin embargo, en este caso, la cantidad demandada depende de los precios y de la
34
función de utilidad y no de los precios y el ingreso como en el problema de la maximización de utilidad
),,(* UPPX yx
),,(* UPPY yx .
Estas demandas representan la cantidad óptima de X* y Y* después del proceso de minimización de gastos en el cual están dados los precios y la función de utilidad. El problema con las demandas generadas por el proceso de minimización de gastos es que no son observables debido a que uno de sus argumentos es la función de utilidad.
El ejemplo siguiente muestra un problema de minimización de gastos con la misma función de utilidad Cobb-Douglas que hemos utilizado hasta el momento.
YPXPE yxyx
,
Min
sujeto a 2121 YXU .
El lagrangiano está definido por
2/12/1 YXUYPXPL yx .
Las condiciones de primer orden son
02
2/1
X
YP
X
Lx
02
2/1
Y
XP
Y
Ly
02/12/1
YXUL
Si se divide la primera y segunda condición de primer orden,
2/1
2/1
2
2
YX
XY
P
P
y
x
2/1
2/1
YX
XY
P
P
y
x
2/12/1
X
Y
X
Y
P
P
y
x
X
Y
P
P
y
x
YPXP yx .
35
y
x
P
XPY .
Si se remplaza en la tercera condición de primer orden,
0
2/1
2/1
y
x
P
XPXU
2/1
x
y
P
PUX
2/1
Y
x
P
PUY
Si se remplazada por los mismos parámetros de los ejemplos anteriores, 2U , 25.0xP y 1yP , se obtiene
4* X
1* Y .
Se llega entonces a la misma solución del problema de maximización.
1.9. La función de demanda: el efecto ingreso y efecto sustitución
Una vez se han derivado las funciones de demanda, que representan la cantidad óptima demandada por el individuo, dada una combinación de precios e ingreso, se puede establecer los efectos de cambios en el entorno económico sobre el proceso de elección del individuo y, por ende, en el equilibrio de mercado. La herramienta para estudiar el impacto de cambios en variables exógenas (p.ej. los precios y el ingreso) sobre variables endógenas (p. ej. Cantidad demandada) es la estática comparativa. La estática comparativa compara dos situaciones: antes y después de un cambio en el entorno económico. Por ejemplo, la estática comparativa permite establecer como cambia la demanda por automóviles cuando caen los aranceles a los carros extranjeros o cómo reducciones en los impuestos laborales reducen la tasa de desempleo. En los análisis de estática comparativa sólo se compara como era la demanda antes y como es ahora. Nunca se analiza el proceso que llevó a dicho cambio.
Antes de realizar los ejercicios de estática comparativa para cambios en los precios y en el ingreso es necesario analizar una propiedad de la función de demanda: la homogeneidad. Para analizar la homogeneidad, se establece cómo el efecto de cambios idénticos en los precios y el ingreso afectan la cantidad demandad. Según la propiedad de homogeneidad, si se incrementan los precios y el ingreso por una misma proporción y de manera simultánea, las cantidades demandadas no varían. Por ejemplo, si los precios y el ingreso se duplican, la cantidad demandada continúa siendo igual. La gráfica 1.17 presenta un ejemplo de la homogeneidad de la demanda. Asuma que en el momento inicial la restricción de presupuesto es igual a
36
IYPXP yx .
Los puntos de corte de esta restricción de presupuesto son respectivamente
XP
IX
yP
IY .
La pendiente de la restricción de presupuesto es igual a
y
x
P
Ppendiente .
Con esta combinación de precios y de ingreso, el individuo demanda las cantidades X1 y Y1.
Ahora, si el precio de los bienes X y Y se duplica y el ingreso también, la nueva restricción de presupuesto es igual a
IYPXP yx 222 .
Los puntos de corte de la nueva restricción de presupuesto se derivan a continuación. Para Y=0,
IXPx 22
XP
IX .
Para X=0,
IYPy 22
yP
IY .
Por lo tanto, los puntos de corte permanecen iguales. De otro lado, la pendiente de la restricción de presupuesto se deriva de la función
y
x
P
XPIY
2
22
y es igual a
y
x
y
x
P
P
P
Ppendiente
2
2.
Esto implica que la restricción de presupuesto continúan siendo igual y la demanda por los bienes X y Y continúa igual.
37
Gráfica 1.17 La homogeneidad de la función de demanda
La formalización de la homogeneidad de la función de demanda se presenta a continuación. Asuma la siguiente función de demanda
IPPXX yx ,, .
Si los precios y el ingreso cambian por una cantidad t, la función de demanda es igual a
tItPtPX yx ,, .
Dado que la demanda no varia con cambios idénticas en precios e ingresos, la función de demanda después de este cambio es
),,(),,(,, IPPXIPPXttItPtPX yxyxk
yx ,
es decir k=0 y la función es homogénea de grado cero.
Cuando sólo cambian los ingresos o sólo cambian los precios, la demanda por bienes si se modifica. Una expansión el ingreso de un individuo incrementa, por lo general la demanda por bienes mientras una contracción en el ingreso reduce la demanda por bienes. Para establecer el efecto de una variación en el ingreso sobre la demanda por bienes, se asume que los precios permanecen constantes y el ingreso cambia.
Un ejemplo de cambios en el ingreso se presenta en la gráfica 1.18. Con un nivel de ingreso equivalente a I1 el individuo demanda una canasta de bienes (X1,Y1). Una expansión del ingreso del individuo de I1 a I2, cuando los precios permanecen constantes, incrementa el consumo de ambos bienes a (X2,Y2). Algo similar sucede cuando el ingreso aumenta a I3. Dado que los precios permanecen constantes, la pendiente de la restricción presupuestaria también permanece constante y por lo tanto la tasa marginal de sustitución es igual en todos los puntos de optimización.
X
U1
X1
Y1
XP
IX
38
Gráfica 1.18. Un incremento en el ingreso con precios constantes
La gráfica anterior es sólo un ejemplo del efecto que puede tener un cambio en el ingreso sobre la demanda de los bienes. En este caso, la demanda por ambos bienes es mayor con incrementos en el ingreso. Este tipo de bienes, cuya demanda aumenta con aumentos en el ingreso y cae con disminuciones en el ingreso, se denominan bienes normales. La principal característica de los bienes normales se formaliza con la siguiente derivada
0
I
X.
Sin embargo, no siempre aumentos en el ingreso implican una mayor demanda por el bien. Hay bienes cuya demanda cae con incrementos en el ingreso. Estos bienes se denominan bienes inferiores. Los bienes de baja calidad pueden ser bienes inferiores. Por ejemplo, el consumo de papas, ropa de segunda o colegios de baja calidad. Cuando el hogar percibe un mayor ingreso, puede sustituir el consumo de bienes de baja calidad por bienes de mejor calidad y por lo tanto disminuye la demanda por los primeros.
Un ejemplo de bienes inferiores se presenta en la gráfica 1.19. La cantidad demandada por los dos bienes con un ingreso equivalente a I1 es igual a (X1,Y1). Una expansión del ingreso a I2 incrementa el consumo del bien Y a Y2 y reduce la demanda del bien X a X2. Por consiguiente, el bien X es un bien inferior cuyo atractivo disminuye cuando el ingreso aumenta.
X
Y
U2
U3
U1
X1 X2 X3
Y1
Y2
Y3 I1
I2
I3
39
Gráfica 1.19. Los bienes inferiores
La condición matemática para que un bien sea inferior es entonces
0
I
X.
La relación entre el ingreso y la demanda por un bien cuando los precios permanecen constantes se denomina la curva de Engel. La curva de Engel muestra todas las combinaciones óptimas de cantidades e ingresos cuando los precios permanecen constantes. Las curvas de Engel para los bienes normales tienen una pendiente positiva tal como lo ilustra la gráfica 1.20.
X
Y
U2
U1
X1 X2
Y1
Y2
I1
I2
40
Gráfica 1.20. Curva de Engel: los bienes normales
La curva de Engel de una función de utilidad Cobb-Douglas se deriva a continuación. Asuma que la función de utilidad tiene la siguiente forma
aaYXU 1 .
Si la restricción de presupuesto es igual a
IYPXP yx ,
las funciones de demanda correspondientes son
xP
aIX
yP
IaY
)1( .
La curva de Engel es igual a
a
XPI x .
Cuando I=0 entonces X=0. La pendiente de la curva
X
I es igual a
a
Px . El ejemplo
de esta curva de Engel se muestra en la gráfica 1.21.
X
Y
U2
U3
U1
X1 X2 X3
Y1
Y2
Y3 I1
I2
I3
X1 X
X2
I
X3
I1
I2
I3
Curva de Engel
41
Gráfica 1.21. Curva de Engel de una función Cobb-Douglas
Las curvas de Engel y la ley de Engel provienen originalmente de un estudio empírico realizado por Ernst Engel. Dicha ley establece que a medida que aumenta el ingreso se reduce la proporción del ingreso asignada al consumo de alimentos. Esto significa que la necesidad por el consumo de alimentos crece menos rápido que el ingreso.
Las líneas de pobreza se construyen con base en la ley de Engel. Numerosos estudios han demostrado que a medida que el ingreso aumenta el gasto en alimentos como proporción del ingreso disminuye. Por lo tanto, una familia se considera pobre cuando 35% de sus ingresos se asignan al consumo de alimentos.
Los cambios en precios también implican un cambio en la demanda de bienes. No obstante, los cambios en precios producen efectos más complejos: el efecto sustitución y el efecto ingreso. El efecto sustitución se presenta porque un incremento en el precio del bien X necesariamente causa una modificación de la canasta de bienes de tal manera que se sustituye consumo del bien X por consumo del bien Y. De otro lado, un incremento en el precio del bien X implica que el individuo tiene menos ingreso disponible para gastar en el bien Y porque el bien X es ahora más costoso. Dado que un cambio en los precios lleva a un cambio en la pendiente de la restricción presupuestaria, el nuevo punto de optimización sucede en una Tasa Marginal de Sustitución diferente.
La gráfica 1.22 ilustra el efecto de una caída en los precios y distingue el efecto sustitución del efecto ingreso. Suponga que en una situación inicial los precios del bien X y el bien Y son 1
xP y yP . Con esa restricción de ingresos, se demanda (X1,Y1). Una
caída en el precio del bien X a 2xP modifica la restricción de presupuesto de tal manera
que se incrementa la demanda por el bien X a X2. Dado que el precio del bien Y permanece constante y que el individuo tiene más presupuesto disponible, la demanda por el bien Y también sube a Y2. El efecto sustitución y el efecto ingreso están contenidos en el cambio de X1 a X2.
X
Y
U2
U1
X1 X2
I1
I2
X
I
X1
I1
X2
I2
42
Ambos efectos se pueden analizar entonces en esta gráfica. El efecto sustitución refleja el proceso de sustitución que se lleva a cabo entre X y Y debido a cambios en los precios. Los cambios en los precios causan una alteración de la tasa a la que el mercado permite sustituir el bien X por el bien Y. Para establecer el efecto sustitución, se analiza como varía el consumo en el bien X si el individuo continúa en la misma curva de indiferencia pero se modifica la pendiente de la restricción de presupuesto. Esto equivale a permitir que el individuo cambie la composición de la canasta de bienes pero restringirlo a que continúe sobre la misma curva de indiferencia, es decir los precios relativos se modifican pero se ajusta el ingreso para mantener constante el poder adquisitivo. Cuando se lleva a cabo este procedimiento, se obtiene que debido al efecto sustitución el consumo del bien X sube de X1 a Xs y el consumo del bien Y se contrae de Y1 a Ys.
El cambio de Xs a X2 representa el efecto ingreso y este efecto equivale a un incremento en el ingreso disponible del consumidor quien incrementa su consumo del bien X y su consumo del bien Y para poder alcanzar un nivel de utilidad más alto: U2. Esto implica ajustar el poder adquisitivo xPI para que el consumidor alcance una nueva curva de
indiferencia. Si el bien es normal, el efecto ingreso es positivo.
Aunque el efecto ingreso y el efecto sustitución se pueden analizar gráficamente, en la realidad simplemente se observa el cambio de una canasta óptima de bienes a otra canasta óptima de bienes. El consumidor nunca elige en dos etapas tal como se ilustró en el ejemplo anterior.
43
Gráfica 1.22. La caída en precios: el efecto ingreso y el efecto sustitución
El ejemplo anterior aplica para los bienes normales. En este ejemplo, el efecto ingreso y el efecto sustitución operan en la misma dirección. Si los precios del bien se incrementan, el efecto sustitución y el efecto ingreso son negativos. De otro lado, si los precios del bien decrecen, el efecto sustitución y el efecto ingreso son positivos. Esto se presenta porque el efecto de una expansión en el ingreso es positivo.
0
I
X.
Sin embargo, para los bienes inferiores, el efecto de una expansión del ingreso es negativo, es decir
0
I
X.
Ello significa que el efecto ingreso y el efecto sustitución operan en direcciones contrarias y no es posible por lo tanto establecer cual es el efecto final de un cambio en los precios. Por ejemplo, si cae el precio de la ropa de segunda, debido al efecto sustitución la demanda por esta ropa crece. De otro lado, dado que el individuo tienen más ingreso para gastar por la caída en precios, la demanda por ropa de segunda cae debido al efecto ingreso. En este caso, el efecto ingreso y el efecto sustitución tiene efectos contrarios.
1.10.Las funciones de demanda: demanda marshalliana y demanda hicksiana
Hasta ahora, las variaciones en las elecciones de los individuos se han graficado únicamente con funciones de utilidad, curvas de indiferencia y curvas de Engel. Sin embargo, las funciones de utilidad y las curvas de indiferencia no son observables y la curva de Engel no permite inferir como cambia el comportamiento de los consumidores con movimientos en los precios. Las curvas de demanda son una forma adicional de
X
Y
U2
U1
X1 X
Y1
Y2
X2 Xs
Ys
44
analizar las elecciones de los consumidores. Estas curvas son observables y se pueden estimar con métodos estadísticos.
La gráfica 1.23 deriva la curva de demanda Marshalliana para el bien X. La derivación de esta curva de demanda se basa en el proceso de maximización de utilidad. Esta gráfica asume que el precio del bien Y y el ingreso se mantienen constante mientras el precio del bien X varía. En un precio de 1
xP , el individuo demanda X1. Un precio más
bajo 2xP expande la demanda a X2 y así sucesivamente. La función de demanda derivada
de esta forma refleja elecciones maximizadoras de la función de utilidad.
45
Gráfica 1.23. La derivación de una curva de demanda marshalliana
La curva de demanda anterior asume que tres variables permanecen constantes: (i) el precio del bien Y; (ii) el ingreso; y (iii) las preferencias. Estas curvas de demanda se denominan curvas de demanda marshallianas. Por ejemplo, si el ingreso disponible del individuo se expande, la curva de demanda se expandiría tal como se presenta en la gráfica 1.24.
X
Y
U2
U1
X1 X
Y1
Y2
X2
X
Px
X1 X2
U3
Función de demanda marshalliana
46
Gráfica 1.24. La expansión del ingreso
La diferencia entonces entre una función y una curva de demanda radica en cuales determinantes de la función de demanda permanecen constantes. Para la función de demanda, tanto los precios como el ingreso pueden variar. De otro lado, para la curva de demanda, se asume que solo el precio del bien varía mientras los otros precios, el ingreso y las preferencias permanecen constantes.
Las funciones de demanda hicksianas o compensadas asumen que el ingreso permanece constante mientras la utilidad varía, es decir, proviene de un proceso de minimización de gastos. Por lo tanto, una función de demanda compensada denota las elecciones óptimas para un conjunto de combinaciones de precios y utilidades
UPPhX yxx ,, .
Para derivar la curva de demanda compensada del bien X, se asume que el precio del bien Y se mantiene constante y la utilidad se mantiene constante, U. La gráfica 1.23 indica una derivación de la función de demanda compensada. En este caso, la utilidad se mantiene constante en U1 y se disminuye el precio del bien X. Las caídas en los precios del bien X, aunque incrementan el ingreso nominal del individuo (capacidad adquisitiva del individuo), se “compensan” con una utilidad constante. Por lo tanto, las reacciones en los cambios en los precios sólo incluyen el efecto sustitución.
X
Px
47
Gráfica 1.23. La derivación de una curva de demanda hicksiana
La relación entre las curvas de demanda marshalliana y hicksiana se presentan en la
gráfica 1.24. Las curvas de demanda se intersectan en el precio 2
xP . Cuando se alcanza
este precio, el ingreso es apenas suficiente para alcanzar el nivel de utilidad U1. Para
precios menores a 2
xP , por ejemplo 3
xP , es necesario “compensar” negativamente al
individuo, restringiendo su consumo de X, para evitar que alcance un mayor nivel de utilidad. Esto sería similar a quitar el poder adquisitivo adicional que obtuvo el individuo como consecuencia de una caída en los precios. Por lo tanto, en estos puntos la demanda compensada es menor que la demanda marshalliana. Por el contrario,
cuando los precios son superiores a 2
xP , es necesario “compensar” positivamente al
X3
Y
U1
X1 X
X2
X
Px
X1 X2
Función de demanda compensada
X3
3xP
48
individuo con el fin de evitar que el nivel de utilidad del individuo disminuya. Esta compensación se logra con un mayor consumo de X. Como resultado, la demanda compensada excede a la demanda marshalliana.
Gráfica 1.24. La demanda hicksiana y la demanda marshalliana
La gráfica 1.25 ilustra un ejemplo de una caída en precios y cómo se registraría esta caída en las demandas hicksianas y marshallianas. El precio inicial del bien x es . A este precio, la demanda marshalliana es y la hicksiana es . Una caída en el precio del bien x a implicará una expansión en la demanda , mientras que la expansión para la demanda hicksiana será menor . Esta menor expansión se debe a que el menor precio implicará que, para permanecer en la misma función de utilidad, el consumidor deberá aumentar el consumo del bien x en menor proporción. Para la demanda Marshalliana, el consumidor no tendrá esta restricción y podrá aumentar su utilidad libremente.
X X2
Px
X3 X1
Demanda compensada
Demanda marshalliana
49
Gráfica 1.25. Un ejemplo de una caída en precios
Las gráficas de las curvas de indiferencia, la derivación de la demanda marshalliana y la demanda compensada y la comparación entre ambas demandas brinda una explicación gráfica del efecto ingreso y el efecto sustitución. En los párrafos siguientes se deriva el efecto ingreso y el efecto sustitución con un modelo matemático. El objetivo del modelo es establecer cual es el efecto de un cambio en el precio de un bien sobre su demanda, es decir
xP
X
*
,
y descomponer el efecto total entre el efecto ingreso y el efecto sustitución. Para llevar a cabo este proceso es necesario utilizar la función de demanda compensada UPPh yxx ,,
y la función de demanda marshalliana IPPX yx ,,* y establecer una relación entre
estas. La manera de establecer una relación entre ambas funciones de demanda es a través de la función de gasto. El gasto mínimo está definido por
gasto mínimo= UPPE yx ,, .
Dado que la función de demanda marshalliana depende del ingreso del individuo y este ingreso es equivalente al gasto cuando se cruzan ambas demandas,
UPPEPPXUPPh yxyxyxx ,,,,*,, .
La igualdad de las funciones de demanda marshalliana y compensada se ilustra en la gráfica 1.24. Esto sucede cuando el ingreso es exactamente el necesario para alcanzar la utilidad predeterminada en el problema de minimización de gastos IUPPE yx ,, .
En la gráfica 1.24 esto sucede en el precio 2xP .
Si se calcula la derivada parcial de la ecuación anterior se obtiene
X
Px
Demanda compensada
Demanda marshalliana
P1X
P2
X
50
xxx
x
P
E
E
X
P
X
P
h
**
donde xP
X
*
es el efecto total.
Al despejar esta ecuación para derivar xP
X
*
,
xx
x
x P
E
E
X
P
h
P
X
**
.
Esta ecuación se puede descomponer en dos términos. El primer término refleja las variaciones en la demanda como consecuencia de un cambio en el precio cuando se mantiene constante el nivel de utilidad (demanda compensada) mientras el segundo término refleja variaciones en la demanda por cambios en el precio cuando se mantiene constante el nivel de ingreso (demanda marshalliana). Los cambios se dan porque una variación en el precio modifica la capacidad adquisitiva del consumidor pese a que se
mantienen constante el ingreso. El término x
x
P
h
representa el efecto sustitución pues
muestra como cambia la demanda compensada por el bien cuando el precio se altera y la utilidad se mantiene constante.
El término xP
E
E
X
*
muestra como variaciones en el precio del bien Px afecta la
demanda por el bien X a través de cambios en el ingreso disponible (poder adquisitivo), es decir refleja el efecto ingreso. El significado de cada término es el siguiente:
1. xP
E
: cuando los precios cambian es necesario variar el gasto para mantener el
nivel de utilidad constante. Por ejemplo, si el precio del bien X sube, el consumidor deberá gastar más para alcanzar el mismo nivel de utilidad
anterior. Ello implica que 0
xP
E.
2. E
X
*
: Este término representa los cambios en la demanda debido a las
variaciones en el ingreso.
Esta ecuación se puede reescribir de la manera siguiente. El efecto sustitución es igual a
Efecto sustitución=teConsUxx
x
P
X
P
h
tan
*
.
El efecto ingreso está representado por
Efecto ingreso=xx P
E
I
X
P
E
E
X
**
51
Este término, que representa cambios en el gasto mínimo debido a cambios en los precios, se puede reescribir utilizando el teorema de la envolvente. El lagrangiano del problema de minimización de gastos está definido por
),(),,( YXUUYPXPLUPPE yxyx .
Por el teorema de la envolvente
XP
L
P
E
xx
.
Ello implica que si se deriva la función de gasto respecto al precio de un bien se obtiene la demanda por dicho bien. El efecto ingreso se puede reescribir entonces como
Efecto ingreso=I
XX
*
.
La ecuación de Slutsky, que muestra el efecto total de la variación de un precio sobre su función de demanda se define entonces como
I
XX
P
X
P
X
teConsUxx
tan
*.
Para definir el signo de esta derivada, es decir para conocer cual es el efecto de una variación en el precio sobre la demanda por el bien, es necesario establecer cual es el signo de cada uno de los componentes. Cuando el bien es normal:
0*
tan
teConsUxP
X: es siempre negativo. Una caída en Px reduce la pendiente de
la restricción de presupuesto y
x
P
P y, por lo tanto, la tasa marginal de sustitución
también debe caer para preservar la tangencia. Esto significa que la disponibilidad a ceder bien X para incrementar el consumo del bien Y aumenta. Esto sucede cuando se está consumiendo mucho del bien X y poco del bien Y tal como muestra la gráfica 1.26.
52
Gráfica 1.26. El efecto sustitución: una caída en precios
0
I
XX : dado que el bien es normal, un incremento en el ingreso conlleva a
una mayor demanda por el bien X.
Por lo tanto, para bienes normales, el signo de esta derivada es negativo
0*
tan
I
XX
P
X
P
X
teConsUxx
.
De otro lado, cuando el bien es inferior, el signo del primer término continúa siendo negativo pero el signo del segundo término es positivo. Como vimos en párrafos anteriores, un bien inferior es aquel cuyo consumo disminuye cuando el ingreso se expande. Ello implica que
0
I
XX ,
y
I
XX
P
X
P
X
teConsUxx
tan
*
tiene por ende un signo indeterminado. Esto significa que un incremento en el precio del bien X no necesariamente produce una disminución en la demanda por el bien. Es posible, aunque bastante improbable, que el efecto ingreso domine sobre el efecto sustitución. Cuando esto sucede un incremento en los precios produce una expansión en
X
Y
U1
X1 X
Y1
Y2
X2
53
la demanda. Dicho fenómeno se denomina en economía la Paradoja de Giffen y es bastante inusual.
1.11.El excedente del consumidor
Cambios en el entorno económico afectan el bienestar del consumidor. Por ejemplo, un aumento en el precio de los alimentos debido a un choque climático reducirá el bienestar de los consumidores pues alcanzan un menor nivel de utilidad; o una reducción en los precios debido a una inversión mayor infraestructura aumenta el bienestar al redundar en mayores niveles de utildiad.
Las variaciones en los precios y sus consecuentes cambios en la función de demanda afectan el bienestar de los consumidores. Al trasladarse a otra canasta de bienes, la utilidad del individuo cambia y esto puedo implicar una pérdida en bienestar (una caída en la utilidad) o una ganancia en bienestar (un incremento en la utilidad). Un ejemplo de esto se presenta en la gráfica 1.27. En un momento inicial, los precios del bien X y Y son
1xP y yP . Con estos precios, el individuo demanda unas cantidades (X1,Y1) y alcanza un
nivel de utilidad U1. Si el precio del bien X se incrementa, la demanda por los dos bienes cae hasta alcanzar unas cantidades de (X2,Y2) y el individuo alcanza un menor nivel de utilidad U2. La caída en la utilidad del individuo se denomina la pérdida en bienestar por un incremento en el precio del bien X.
Gráfica 1.27. Una pérdida de bienestar por incrementos en Px
Si las utilidades fueran observables y comparables entre individuos, la variación en el bienestar como consecuencia del cambio en precios se mediría comparando la diferencia entre la utilidad después del cambio 2U y la utilidad antes del cambio 1U ,
es decir 12 UUU . Sin embargo, las utilidades no son observables y, por lo tanto, no se puede calcular la pérdida o ganancia de bienestar de esta manera. Además, no es posible comparar los cambios en utilidad de dos individuos diferentes. Por ende, es necesario definir una medida de bienestar que sea cuantificable y comparable entre individuos.
X
Y
U2
U1
X1 X
Y1
Y2
X2
Pérdida de bienestar
54
La función de gasto puede proveer una aproximación para medir los cambios en bienestar de los consumidores debido a variaciones en el entorno económico. La función de gastos es ideal pues permite medir en unidades monetarias los cambios en utilidad. Asuma que un individuo debe alcanzar un nivel de utilidad igual a 0U y los
precios de los bienes X y Y son respectivamente 0xP y Py. La función de gasto con este
entorno económico está definida por
.,, 00
0 UPPEE yx
Asuma que los precios del bien Y continúan iguales y los precios del bien X son ahora 1xP . Para establecer el impacto en bienestar, se compara el nivel de gasto necesario para
mantener el individuo en la función de utilidad inicial con los nuevos precios. Esta función de gasto es igual a
.,, 01
1 UPPEE yx
La pérdida en bienestar (ganancia en bienestar) si los precios suben (bajan) se mide entonces como la diferencia entre el gasto inicial y el gasto final
Cambio en bienestar= 10 EE .
Cambio en bienestar= 01
00 ,,,, UPPEUPPE yxyx .
Este gasto mide el gasto adicional (menor) que debe hacer el individuo ante un incremento (caída) en el precio para preservar constante el nivel de utilidad. Si el precio del bien X sube, el gasto necesario para mantener el individuo en la misma función de utilidad debe incrementarse frente a E0 y por lo tanto el cambio en bienestar es negativo. Esto significa que el individuo enfrenta una caída en el bienestar como consecuencia del incremento en el precio del bien X. De otro lado, una caída en el precio del bien X implica que el individuo puede reducir su gasto para mantener el nivel de utilidad constante. Por consiguiente, el cambio en bienestar es positivo y el individuo percibe entonces mejorías en su bienestar.
La medida de bienestar definida anteriormente se puede representar gráficamente con las demandas compensadas. El cambio en bienestar para una variación infinitesimal en los precios es igual a
xdP
dE,
es decir el cambio en la función de gasto dado que los precios del bien X varían y las demás variables se mantienen constantes. Por el teorema de la envolvente,
),,( 0UPPhdP
dEyxx
x
.
Cuando la variación en los precios es significativa y no infinitesimal, el cambio en bienestar se define como
55
x
P
P
yxxx
P
P xyxyx dPUPPhdP
dP
dEUPPEUPPE
x
x
x
x
1
0
1
0
001
00 ,,,,,, .
Esta medida de bienestar se puede evaluar en la función de demanda compensada como el área debajo de la curva de demanda y entre los dos precios 0
xP y 1xP tal como se
presenta en la gráfica 1.28. El cambio en bienestar por el incremento en el precio del bien X está representado por el área punteada.
Gráfica 1.28. Medida de bienestar – demanda compensada
El problema de la medida de bienestar presentada en la gráfica anterior es que no es observable. Dado que la demanda compensada depende de la función de utilidad, no es posible estimar la curva de demanda y, por ende, el cambio en bienestar tampoco se puede medir.
La medida de bienestar derivada de la demanda compensada se denomina variación compensada y representa el cambio en utilidad debido a una variación en el entorno económico, medido en términos monetarios. Esta medida si es comparable entre individuos porque está medida en términos monetarios ($pesos). Sin embargo, la medida no es observable. Una forma de aproximar la variación compensada es con el excedente del consumidor.
El excedente del consumidor aproxima la variación compensada con el área debajo de la curva de demanda marshalliana entre los precios iniciales y los precios finales. La Gráfica 1.29 permite entender de manera intuitiva el excedente del consumidor. Cada punto de la función de demanda representa la máxima disponibilidad a pagar por cada unidad del bien. A medida que se incrementa la cantidad de bienes consumidos la disponibilidad a pagar disminuye debido a la utilidad marginal decreciente. El precio del mercado es igual a P. Si el consumidor consume y1, está dispuesto a pagar dap1. Dado que el consumidor paga un total de Py1, el excedente por consumir y1 a P es
X
X0
X1
Cambio en bienestar
56
equivalente al área abcP. Si el consumidor consume y2, esta dispuesto a pagar dap2 y el excedente por consumir y2 a P es equivalente al área defP. El consumidor demanda hasta el punto donde la disponibilidad a pagar es igual al precio de mercado. En ese punto, el excedente por consumir y* es equivalente a ghP. Dicha área aproxima el bienestar económico para los consumidores por el consumo del bien.
Gráfica 1.29. El excedente del consumidor
Por consiguiente, para aproximar el cambio en bienestar por un incremento en el precio del bien X se puede hacer uso de la curva de demanda marshalliana y se mide el área de la curva tal como lo ilustra la gráfica 1.30.
P
y* y1
a b
c
y2
d e
f
g
h
DAP1
DAP2
57
Gráfica 1.30. El excedente del consumidor – incremento en precio de X
La comparación entre la variación compensada y el excedente del consumidor se presenta en la gráfica 1.31. La diferencia entre las dos curvas represente el efecto ingreso y, por ende, la diferencia entre la variación compensada y el excedente del consumidor.
X
X0
X1
Excedente del consumidor
58
Gráfica 1.31. Diferencia entre la variación compensada y el excedente del consumidor
1.12.Los bienes sustitutos y complementarios
Los análisis anteriores se concentran en el impacto del cambio en el precio de un bien sobre su misma demanda. Sin embargo, el cambio de un precio no solo afecta la demanda del mismo bien. También afecta la demanda por otros bienes de la economía. El efecto del cambio en el precio del bien sobre la demanda de otros bienes depende de su relación con los otros bienes. Así, si los bienes son sustitutos, como la mantequilla y la margarina, un incremento en el precio de la mantequilla reduce la demanda por mantequilla e incrementa la demanda por margarina. De otro lado, si los bienes son complementarios, tal como las raquetas y las bolas de tennis, un incremento en el precio de las raquetas de tenis deriva en una menor demanda por raquetas y bolas de tennis. El objetivo de esta sección es formalizar el análisis anterior cuando hay dos bienes.
Los dos ejemplos anteriores se grafican a continuación. La gráfica 1.32 ilustra el caso de un bien complementario. Suponga que el individuo consume dos bienes, bien X y bien Y. La gráfica muestra el efecto de una caída en el precio de Y sobre la demanda por X cuando los dos bienes son complementarios. Una caída en el precio del bien Y, tal como se analizó en la sección anterior, conlleva a una mayor demanda por dicho bien cuando este es normal. El efecto sobre el bien X depende del efecto sustitución entre el bien X y el bien Y. En el caso presentado en esta gráfica, los dos bienes son complementos perfectos y, por lo tanto, una caída en el precio del bien Y implica un incremento en la demanda por el bien X. Esta expansión en la demanda del bien X obedece al efecto ingreso: una caída en el precio del bien Y incrementa el ingreso disponible para consumir ambos bienes y, como los bienes son complementos perfectos, el consumo de ambos se incrementa. Ello implica que
X
Px
X0 X1
hx
X*
59
0
yP
X.
Gráfica 1.32. Efectos cruzados de precios: bienes complementarios
El efecto opuesto, es decir cuando los bienes son sustitutos, se presenta en la gráfica 1.33. La caída de yP expande la demanda del bien Y pero contrae la demanda por el
bien X. La caída en la demanda por X se da porque el consumidor decide sustituir consumo del bien X por consumo del bien Y: este le resulta más barato y, con una misma cantidad de gasto, puede alcanzar un mayor nivel de utilidad. Sin embargo, la caída en el consumo del bien X, de X1 a X2, es menor que el incremento en el consumo del bien Y, de Y1a Y2. Ello se debe a que, aunque el efecto sustitución prima sobre el efecto ingreso, el efecto ingreso permite que la caída en la demanda por el bien X no sea tan pronunciada. Cuando los bienes son sustitutos brutos, se encuentra que
0
yP
X.
X
Y
U2
U1
X1 X
Y1
Y2
X2
60
Gráfica 1.33. Efectos cruzados de precios: bienes sustitutos
La ecuación de Slutsky permite nuevamente diferenciar el efecto ingreso y el efecto sustitución para efectos cruzados. Esta ecuación se escribe como
I
XY
P
X
P
X
teconsUyy
tan
.
El primer término de la ecuación representa el efecto sustitución mientras el segundo término representa el efecto ingreso. Para establecer el signo de la ecuación, es necesario conocer si el bien es normal y si son bienes sustitutos o complementarios. Cuando el bien X es normal y los bienes son complementarios entonces:
0tan
teconsUyP
X
0
I
X.
0
I
XY .
Por lo tanto,
0
yP
X.
De otro lado, cuando bien X es normal y los bienes son sustitutos:
X
Y
U2
U1
X1 X
Y1
Y2
X2
61
0tan
teconsUyP
X
0
I
X.
0
I
XY .
Por lo tanto, el término es indefinido. Si el efecto sustitución prima sobre el efecto ingreso, entonces
0
yP
X.
Hay dos definiciones para clasificar los bienes sustitutos y complementarios. La primera definición tiene en cuenta tanto el efecto ingreso como el efecto sustitución. La definición para clasificar los bienes se denominan sustitutos brutos y complementos brutos. Un bien es considerado un sustituto bruto cuando
0
yP
X.
Un bien es considerado un complemento bruto cuando
0
yP
X.
La definición de sustitutos y complementos brutos presenta en algunos resultados contradictorios debido al efecto ingreso y al efecto sustitución. Es posible que el bien X sea sustituto del bien Y mientras que el bien Y sea complemento del bien X.
Para evitar las asimetrías en la definición de bienes sustitutos y complementarios, se utiliza más comúnmente la definición de sustitutos y complementos netos. En la definición neta, se desconoce el efecto ingreso y solo se tiene en cuenta el efecto sustitución, es decir que tanto se sustituye bien X bien Y mientras se mantiene la utilidad constante. Ello implica que la definición neta se basa en la forma de las curvas de indiferencia. Dos bienes son considerados sustitutos netos cuando
0tan
teconsUyP
X.
De otro lado, dos bienes son considerados complementos netos cuando
0tan
teconsUyP
X.
62
Un resultado adicional de la definición de sustitución neta es la simetría perfecta de los
efectos cruzados
teconsUXteconsUy P
Y
P
X
tantan
. Para demostrar la simetría, se puede
usar el teorema de la envolvente. El lagrangiano de la minimización de gastos está dado por
),( YXUUYPXPL yx .
Por el teorema de la envolvente,
teconsUxx
XP
L
P
Etan
.
Esta igualdad se conoce como el lema de Shephard. Si se deriva respecto al precio de Y se obtiene
teconsUyyx P
X
PP
E
tan
.
Para el bien Y, se puede llevar a cabo el mismo procedimiento
teconsUyy
YP
L
P
Etan
La derivada de la demanda del bien Y respecto a Px es equivalente a
teconsUxxy P
Y
PP
E
tan
2
Por simetría (Teorema de Young), el orden de las derivadas parciales es indiferente por lo tanto
yxxy PP
E
PP
E
2
.
Esto significa que
teconsUxteconsUy P
Y
P
X
tantan
.
1.13. La demanda de mercado
Los análisis anteriores se basan en el comportamiento de un solo individuo. El proceso de maximización de utilidades y de minimización de gastos produce las demandas de cada individuo por cada bien. Aunque la demanda individual permite entender el proceso de elección del individuo de manera detallada, en muchos casos los datos de demanda se presentan de manera agregada, es decir el total de tomates demandados
63
cada día o el número total de motocicletas compradas en Colombia cada mes. Para analizar los datos agregados, es necesario construir demandas de mercado, las cuales llevan implícita la agregación de las demandas de cada uno de los individuos de la economía.
La derivación de una demanda de mercado se lleva a cabo en esta sección. Para simplificar, asuma que hay dos individuos en la economía (individuo 1 e individuo 2) y hay dos bienes en la economía, bien X y bien Y. La demanda por el bien X para el individuo 1 está definida por
111 ,, IPPXX yx
y la demanda del individuo 2 está definida por
222 ,, IPPXX yx .
En las demandas anteriores está implícito un supuesto sumamente importante que a lo largo de la clase se analizará de manera detenida. Ambos individuos son tomadores de precios, es decir ninguno de los dos individuos tiene la capacidad para manipular los precios del mercado por lo tanto ambos enfrentan el mismo vector de precios Px y Py.
La demanda total de la economía por el bien X, es decir la demanda de mercado, está dada por la suma de las dos demandas
221121 ,,,,Total IPPXIPPXXXX yxyx .
La demanda de mercado está entonces definida por
21 ,,,Total IIPPXX yx .
Para derivar la curva de demanda de mercado, se debe realizar una suma horizontal. Esto significa que para cada Px se establece la cantidad demandada de cada individuo y se suman las cantidades para así obtener la cantidad total. En la curva de demanda de mercado del bien X se mantiene constante el precio de los otros bienes (bien Y), el ingreso del individuo 1 (I1) y el ingreso del individuo 2 (I2).
La derivación de una curva de demanda de mercado se presenta en la gráfica 1.33. Al precio 1
xP , el individuo 1 demanda 11X y el individuo 2 demanda 1
2X . La demanda de
mercado al precio 1xP estará dada por 1
211
*1 XXX . Al precio 2
xP , el individuo 1
demanda 21X y el individuo 2 demanda 2
2X . La demanda de mercado al precio 2xP
estará dada por 22
21
*2 XXX . Este procedimiento se lleva a cabo para cada uno de los
precios.
64
Gráfica 1.33. Construcción de la curva de demanda de mercado
Cuando hay M individuos que demanda el bien X, la curva de demanda de mercado se define como
),,(*1
iy
m
ixi IPPXX
.
1.14. Las elasticidades
Las secciones anteriores han caracterizado las funciones de demanda con diferentes conceptos que permiten establecer si los bienes son normales o inferiores o si los bienes son sustitutos o complementarios. Sin embargo, los conceptos utilizados hasta el momento no permiten definir que tan sensible es la demanda a cambios en el precio, es decir que tanto reaccionan los individuos en su consumo por un bien a variaciones en los precios. Presumiblemente, los individuos pueden reaccionar de manera diferente a cambios en los precios de acuerdo a sus preferencias y necesidades. Por ejemplo, una familia con niños pequeños necesita consumir leche; un incremento en el precio de la leche no deriva en una disminución fuerte en la demanda. De otro lado, una persona que compra leche casualmente si disminuiría drásticamente la demanda por leche. Las elasticidades permiten medir las sensibilidades a los precios.
Una elasticidad pretende medir como se modifica la demanda por el bien cuando su precio varía en un 1%. Para definir la elasticidad precio de la demanda, es necesario primero redefinir una notación. Cuando se analiza la demanda de un solo mercado se utilizará el término Q. El precio de este bien se definirá como P. La elasticidad precio de la demanda se define entonces como
Q
P
P
Qe PQ
Pen porcentual cambio
Qen porcentual cambio, .
Individuo 1 Individuo 2 Demanda de
mercado
X1 X2 X*
65
Esta elasticidad denota como varía la demanda por el bien Q cuando el precio cambia en 1% y los demás determinantes de la demanda continúan constantes (Ceteris paribus).
¿Por qué no utilizar simplemente P
Q
? Esta medida mostraría como se modifica la
cantidad demandada por una variación en el precio. Dado que los cambios en la demanda se manifiestan en unidades consumidas, es imposible comparar las sensibilidades de la demanda por diferentes productos. Por ejemplo, un estudio de mercado quiere comparar la sensibilidad a los precios en la demanda por leche en polvo y leche de vaca de las familias con hijos pequeños. El estudio demuestra que, tras un incremento de $10 en el precio de la leche de vaca, disminuiría el consumo de leche en ¼ de litro para cada familia con hijos. De otro lado, un incremento de $10 en el precio de la leche en polvo disminuye el consumo, por parte de cada familia, en 250 gramos. Ambas cantidades son diferentes y, por lo tanto, no son comparables. La elasticidad precio de la demanda si permite realizar comparaciones porque indicaría porcentualmente cual es el efecto de un cambio de 1% en el precio de la leche de vaca y la leche en polvo.
Los valores de la elasticidad precio de la demanda son, por lo general, negativos ya que un incremento en los precios lleva a una caída en la cantidad demandada. Los valores de las elasticidades precio de la demanda permiten clasificar las porciones de las funciones de demanda en tres categorías:
1. Porción elástica de la demanda: la reacción a una variación al precio es más que proporcional, es decir la variación en la cantidad demandada es mayor que el cambio respectivo en el precio (p.ej. un incremento de 1% en el precio del bien reduce la demanda por ese bien en 2%). Las curvas de demanda elásticas se presentan cuando la cantidad demandada es muy sensible a variaciones en los precios. Ello se presenta cuando el bien tiene un conjunto amplio de sustitutos cercanos; por lo tanto, cuando el consumidor enfrenta una modificación en los precios, puede sustituir el consumo de ese bien por otro bien similar.
Una demanda es elástica cuando
1, PQe .
2. Porción unitaria de la demanda: la reacción a una variación en el precio es de una proporción idéntica a dicha variación, es decir el cambio porcentual en la cantidad demandada es idéntico a la variación en el precio (p.ej, un incremento de 1% en el precio reduce la demanda en 1%).
Una demanda tiene elasticidad unitaria cuando
1, PQe .
3. Porción inelástica de la demanda: la reacción a una variación al precio es menos que proporcional, es decir el cambio en la cantidad demandada es menor que el cambio respectivo en el precio (p.ej. un incremento de 1% en el precio del bien reduce la demanda por ese bien en 0.5%). Los bienes con demandas poco sensibles a los precios son inelásticas. Este tipo de demanda existen cuando el bien no tiene sustitutos cercanos y, por ende, cuando el consumidor enfrenta un cambio en los precios, no tiene capacidad de sustituir el bien por bienes similares.
66
Una demanda es inelástica cuando
1, PQe .
Todas las curvas de demanda tienen una región elástica, inelástica y unitaria, a excepción de las curvas de demanda infinitamente elásticas o inelásticas.
Las elasticidades precio de la demanda son medidas puntuales, es decir la elasticidad cambia en cada punto de la función de demanda. (Algo muy similar sucede con la tasa marginal de sustitución). Ello significa que la elasticidad precio de la demanda se debe calcular para cada punto de la función de demanda. La siguiente función de demanda lineal ilustra este punto
PQ 336 .
Para estimar la elasticidad precio de la demanda, se lleva a cabo el siguiente procedimiento
3
P
Q
Q
Pe PQ 3, .
Como se observa en la ecuación anterior, la elasticidad depende del punto de la función de demanda donde esté situado el consumidor. Por consiguiente, la elasticidad precio de la demanda difiere a lo largo de la curva de demanda. Con el fin de hallar la región elástica, unitaria e inelástica, se realiza el siguiente procedimiento.
La elasticidad se puede reescribir como
P
Pe PQ 336
3, .
La curva tiene una elasticidad unitaria cuando
P
Pe PQ 336
31, .
Si se despeja para P,
P
P
3363
1
PP
3
336
PP 12
P212
6P .
De otro lado, la demanda es elástica cuando
67
1336
3
P
P.
Si se despeja para P,
P
P
3363
1
PP
3
336
PP 12
P212
6P .
Por último, la demanda es inelástica cuando
6P .
La gráfica 1.35 ilustra este ejemplo. La demanda tiene una región elástica y una región inelástica. Es importante, por ende, evaluar la elasticidad en los puntos de precios que se pretenden analizar. Por ejemplo, cuando P=8 y Q=12, la elasticidad precio de la
demanda es igual a 212
83, PQe . Esto implica que un incremento en el precio de
1% ocasiona una caída en la demanda del 2% dado que este punto se ubica en una región elástica. De otro lado, cuando P=5 y Q=21, la elasticidad precio de la demanda
es 71.07
5
21
53, PQe . Por ende, un aumento en los precios del 1% significa un
descenso en la demanda de 0.71%. Esto descenso menos que proporcional sucede porque el punto está ubicado en la región inelástica de la función de demanda.
Gráfica 1.35. Un ejemplo de función de demanda lineal
P=6
Región Elástica
Región Inelástica
68
La elasticidad precio de la demanda es una herramienta sumamente útil no solo para establecer la sensibilidad de la demanda frente a cambios en precios sino también para examinar el efecto de un cambio en precios sobre el gasto en ese bien. El gasto total en el bien Q es igual a
PQGTQ .
Un cambio en los precios del bien Q tiene el siguiente efecto en el gasto
P
QPQ
P
GTQ
,
es decir el gasto en el bien se altera vía dos efectos: (i) variaciones en el precio, es decir el costo de comprar una unidad adicional del bien (Q); y (ii) variaciones en la demanda
P
QP
, es decir los cambios en la demanda total de Q dado un cambio en el precio.
Al dividir ambos lados por Q, se obtiene
PQQ e
P
Q
Q
P
Q
PGT,11
.
Por lo tanto, el efecto de un cambio en el precio sobre el gasto depende de la porción de la curva de demanda en la cual ésta ubicado el consumidor. En este caso, hay tres opciones:
1. Porción elástica de la demanda: Si la demanda es elástica, 1, PQe y
01 ,
PQQ eQ
PGT,
lo cual significa que un aumento en el precio del bien Q reduce el gasto en dicho bien. Esto sucede porque, debido a que la demanda es elástica, la caída en la demanda es más que proporcional al incremento en el precio derivando así en una disminución en el gasto total del bien.
2. Porción con elasticidad unitaria: Si la demanda tiene una elasticidad unitaria, 1, PQe y
01 ,
PQQ eQ
PGT,
lo cual significa que un aumento en el precio del bien Q mantiene el gasto total en dicho bien constante. Este resultado no es sorprendente. Una demanda con elasticidad unitaria implica que un cambio en el precio deriva en una variación idénticamente proporcional en la cantidad demandada; por lo tanto, el incremento en el precio se contrarresta con una demanda menor.
3. Porción inelástica de la demanda: Si la demanda es inelástica, 1, PQe y
69
01 ,
PQQ eQ
PGT
lo cual significa que un aumento en el precio del bien Q deriva en un incremento en el gasto total de dicho bien. Dado que variaciones en los precios de demandas inelásticas resultan en un cambio menos que proporcional en la cantidad demandada, el efecto sobre el gasto va en la misma dirección. Por ejemplo, cuando el precio del agua potable sube, el consumidor no tiene flexibilidad para reducir el consumo de agua potable y utiliza una cantidad similar o muy similar a antes del cambio en precios. Ello implica entonces un incremento en el gasto total en agua potable ya que el precio subió y la cantidad demandada permaneció casi igual.
Otras elasticidades importantes son la elasticidad ingreso de la demanda y la elasticidad precio cruzada de la demanda. La elasticidad ingreso denota el impacto de un cambio de 1% en el ingreso sobre la cantidad demanda y se define de la manera siguiente
Q
I
I
Qe IQ
Ien porcentual cambio
Qen porcentual cambio, .
El valor de la elasticidad ingreso de la demanda es diferente para los bienes inferiores y para los bienes normales. Para cada tipo de bien, la elasticidad es igual a
1. Bienes normales. Por definición, un bien es normal cuando 0 IQ . Por lo tanto, la elasticidad ingreso de la demanda de un bien normal es 0, IQe . Los
bienes normales se pueden dividir entre bienes de lujo y el resto de los bienes. Un bien es considerado de lujo cuando la elasticidad ingreso de la demanda es superior a uno 1, IQe .
2. Bienes inferiores. Por definición, un bien es normal cuando 0 IQ . Por lo
tanto, la elasticidad ingreso de la demanda de un bien inferior es 0, IQe .
La elasticidad precio cruzada de la demanda muestra como varía la demanda por el bien Q cuando cambia el precio de otro bien P’. La elasticidad precio cruzada de la demanda se define como
Q
P
P
Qe PQ
'
'P'en porcentual cambio
Qen porcentual cambio',
.
El signo de la elasticidad precio cruzada de la demanda depende de la relación entre los dos bienes.
1. Sustitutos brutos. Si los dos bienes son sustitutos brutos ( 0' PQ ), la elasticidad precio cruzada de la demanda es positiva 0', PQe .
2. Complementos brutos. Si los dos bienes son complementos brutos ( 0' PQ ), la elasticidad precio cruzada de la demanda es negativa 0', PQe .
70
1.15. Una aplicación de la teoría del consumidor: la oferta de trabajo
El mercado laboral está compuesto por una oferta y demanda laboral. La demanda está conformada por las firmas, quienes requieren trabajo en su proceso de producción. La oferta ésta compuesta por los individuos que participan en el mercado laboral. Para estudiar la oferta de trabajo, es entonces necesario analizar las decisiones de los individuos oferentes de trabajo.
El proceso de decisión del individuo se puede caracterizar de una manera simple. Proveer trabajo implica tiempo, es decir si un individuo decide trabajar, está sacrificando otras actividades valiosas como leer, estudiar, descansar y estar con la familia. El sacrificio de tiempo por trabajo está mediado por un precio: el salario. Si bien el individuo está sacrificando tiempo, el sacrificio se recompensa por los ingresos laborales, los cuales se pueden gastar en otros bienes que producen asimismo utilidad.
El modelo siguiente ilustra este proceso de decisión. El individuo puede asignar su tiempo a dos actividades: trabajo y ocio. El ocio recoge todas las actividades que no son trabajo. El individuo deriva utilidad de consumir un bien (C), el cual puede comprar gracias a su ingreso laboral, y del ocio (H). La utilidad está representada por
HCUU , .
El individuo enfrenta dos tipos de restricciones. Por un lado, el individuo no puede trabajar “infinitamente” ya que los días solo cuentan con un lapso de tiempo determinado. Es decir, el individuo solo tiene 24 horas al día para repartir entre las actividades laborales y el ocio. Si L es el tiempo dedicado a las actividades laborales, la restricción de tiempo está determinada por .24 HL
De otro lado, el individuo enfrenta una restricción presupuestal la cual refleja la cantidad máxima de consumo dado el ingreso. El ingreso en este modelo está representado únicamente por el ingreso laboral. Si w es la tasa salarial, la restricción presupuestal es equivalente a wLC . El modelo siguiente se amplia y permite que el individuo tenga un ingreso laboral y no laboral.
El individuo maximiza entonces su función de utilidad sujeta la restricción de tiempo y la restricción presupuestal
CwL
HLas
HCUMaxHLC
24..
,,,
La restricción de tiempo se puede incorporar en la restricción de presupuesto de tal modo que
.24 HL
Si se remplaza en la restricción de presupuesto,
.24 HwC
71
El problema de maximización se reescribe como
CHwas
HCUMaxHC
24..
,,
La restricción presupuestal muestra el trade-off entre ocio y consumo. Si el individuo decide incrementar el tiempo asignado al ocio, deja de percibir ingresos por wH. Esa cantidad menor de ingresos significa un menor consumo del bien C.
El lagrangiano es igual a
CwHwHCU 24,
Las condiciones de primer orden son
0
,
C
HCU
C
.
0
,
wH
HCU
H
.
Según la primera condición de primer orden, el individuo consume el bien C hasta el punto donde la utilidad marginal de consumir una unidad adicional es igual al costo marginal de consumir dicha unidad. El costo marginal de consumir está representado por que es la utilidad marginal del ingreso. Un incremento en consumo significa una disminución en el ingreso del individuo lo cual constituye un costo
C
HCU ,.
La segunda condición de primer orden muestra el trade-off entre ocio y trabajo. El individuo asigna tiempo a ocio hasta el punto donde la utilidad marginal de una unidad adicional de ocio es igual al costo de “consumir” ocio. El costo del “consumo de ocio” es el ingreso que deja de percibir el individuo.
w
H
HCU
,.
Esta condición de primer orden se puede reescribir como
w
HHCU ,.
Por lo tanto,
CHCUw
HHCU
,
,
w
CHCU
HHCU
,
,.
El individuo maximiza su utilidad en el punto donde la tasa marginal de sustitución de ocio por trabajo es igual al salario. Tras realizar el proceso de maximización anterior, el
72
individuo decide cuantas “horas” ofrecer de trabajo y, por lo tanto, se obtiene la oferta laboral como función del salario wL .
El modelo anterior es un tanto simplista ya que considera que el ingreso del individuo solo proviene de su actividad laboral. Sin embargo, es posible que los individuos reciban ingresos no laborales como retornos por inversiones, transferencias del gobierno y herencias, entre muchos otros. Si se incluye ingreso no laboral, la restricción presupuestaria se modifica y es igual a NwLC . La maximización de utilidad, una vez se ha sustituido la restricción de tiempo en la restricción de presupuesto, es igual a
CNHwas
HCUMaxHC
24..
,,
donde N representa el ingreso no laboral. El proceso de maximización permanece inalterado porque el ingreso no laboral es una transferencia fija de ingresos y no modifica las decisiones de asignación de tiempo entre trabajo y ocio. El lagrangiano es igual a
CNwHwHCU 24, .
Las condiciones de primer orden son
0
,
C
HCU
C
.
0
,
wH
HCU
H
.
Las condiciones de primer orden son idénticas a aquellas del modelo sin ingreso laboral. La única diferencia es la oferta del mercado laboral. En el modelo que incluye ingreso no laboral, la oferta de trabajo no solo depende del salario también depende del ingreso no laboral NwLL , . Esto implica que el ingreso no laboral desplaza la curva de oferta pero no modifica su pendiente porque no altera la tasa marginal de sustitución entre trabajo y ocio.
Incrementos en el ingreso no laboral modifican entonces la oferta laboral con desplazamiento hacia la izquierda o la derecha. Por ejemplo, si el ingreso no laboral se eleva, la demanda por ocio se incrementa y, por lo tanto, se reduce la oferta laboral. El
signo de 0N
L. La gráfica 1.36 ilustra los desplazamientos de la curva de oferta como
consecuencia de los cambios en el ingreso no laboral.
73
Gráfica 1.36. Efecto del ingreso no laboral sobre la oferta laboral
Con la oferta laboral L(w), un incremento en el salario lleva inequívocamente a un aumento en la oferta laboral. Sin embargo, cuando el individuo percibe ingreso no laboral, un incremento en el salario genera, además, un efecto ingreso: el individuo es, en efecto, más rico y aumentará, por tanto, su demanda de ocio. Esto implica que un incremento en el salario no necesariamente incrementará la oferta laboral. Con el fin de
establecer w
L
, se debe entonces derivar el efecto ingreso y el efecto sustitución de las
horas asignadas a trabajo y a ocio. Esto se hará con base en la la ecuación de Slutsky. El problema de minimización de gastos se define de la siguiente forma. El individuo gasta en consumo de un bien (C) y en consumo de ocio (wH) para alcanzar un nivel de utilidad 0U
HCUUas
wLCELC
,..
min
0
,
.
Si se remplaza H=24-L en la función de utilidad, se obtiene
LCUUas
wLCELC
24,..
min
0
,
.
El lagrangiano de la minimización de gastos es
LCUUwLC 24,0 .
La oferta de trabajo depende de
UwLL CC , .
¿Qué pasa cuando aumenta el salario con la oferta laboral wL ? Hay dos efectos. Primero, el costo de oportunidad de dedicarle más tiempo al ocio se incrementa. Por lo tanto, se sustituye ocio por trabajo. Segundo, dado que el individuo recibe un mayor salario, tiene más riqueza y puede “comprar” más ocio. Por lo tanto, se incrementa la
L
w L(w,N0)
L(w,N1)
L(w,N2)
74
demanda por ocio. Estos dos efectos son opuestos lo cual implica que es imposible conocer a priori la pendiente de la oferta laboral respecto al salario.
La ecuación de Slutsky, la cual se deriva a continuación, permite desagregar el efecto
del salario para entender el efecto total
w
L. La oferta laboral derivada de la
maximización de utilidades y la oferta laboral derivada de la minimización de gastos es idéntica son idénticas cuando
).,(,,, UwLUwEwLNwL c
Si se hace la diferencial de esta ecuación se obtiene,
.w
E
E
L
w
L
w
LC
Con base en el teorema de la envolvente, se obtiene2
UwLww
E C ,
.
Si se remplaza en la diferencial,
.E
LL
w
L
w
LC
Dado que
CNwL
EwLCN .
Por lo tanto, la diferencial se puede escribir como,
.N
LL
w
L
w
LC
La función de oferta compensada representa la oferta laboral provista por un individuo dado un nivel de utilidad preestablecido por lo que
0UU
C
w
L
w
L
.
Si se remplaza este término en la diferencial,
.
Después de reorganizar los términos, se obtiene la ecuación de Slutsky
N
LL
w
L
w
LUU
0 .
2 Esta derivación se conoce como el Lema de Shephard.
N
LL
w
L
w
LUU
0
75
La ecuación de Slutsky refleja el efecto sustitución y el efecto ingreso provocado por los cambios en salarios. Los dos efectos son:
El efecto sustitución está representado por el término 0UUw
L
. El efecto
sustitución refleja el cambio que se hace entre trabajo y ocio cuando los salarios varían y se mantiene la función de utilidad constante. Es decir el efecto sustitución refleja los movimientos a lo largo de la función de utilidad. El efecto
sustitución es positivo
00UUw
L.
El efecto ingreso está representado por el segundo término de la ecuación de
Slutsky, N
LL
. Un mayor ingreso debido a incrementos en el salario significa
una mayor demanda por ocio. Esto implica que el efecto ingreso es negativo
0N
LL .
Por lo tanto, no es posible conocer a priori la pendiente de la función de oferta. Si el efecto sustitución prevalece sobre el efecto ingreso, la curva de oferta tendrá una pendiente positiva. De otro lado, si prevalece el efecto ingreso sobre el efecto sustitución la curva de oferta tendrá una pendiente negativa. En la mayoría de los casos prevalece el efecto sustitución.
