NOTAS de CLASE de ME ANICA DE LAS ESTRUCTURAS II · de contorno, o sea, conocer de que manera ese...

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Universidad Nacional de Córdoba

Facultad de Ciencias Exactas, Físicas yNaturales

DEPARTAMENTO DE ESTRUCTURAS

NOTAS de CLASE

de

ME�ANICA DE LASESTRUCTURAS II

Introducción

A la Teoría de la

Elasticidad

2018

2 Introducción a la Teoría de Elasticidad

Contenidos

1. Introducción 7

1.1. La Mecánica Clásica de Medios Continuos . . . . . . . 7

1.2. Las Variables Fundamentales en la Mecánica de losSólidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3. Sistemas Coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4. Vectores y Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4.1. Tensores de orden cero y de orden uno . . . . . 13

1.4.2. Tensores de orden dos . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.3. Ejemplo de tensor de segundo orden . . . . . . 18

1.5. Operador Diferencial: Gradiente y Divergencia . . . . . 19

1.6. Teorema de la Divergencia. Integral por Partes. . . . . 22

1.7. Contenidos de Estas Notas . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2. Análisis General de Tensiones 27

2.1. Concepto de Tensión Asociada a un Plano . . . . . . . 27

2.2. El Tensor de Tensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3. Relaciones entre el Vector de Tensión y el Tensorde Tensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4. Propiedades del Vector de Tensión . . . . . . . . . . . . 34

2.4.1. Transformación de Tensiones con Cambio de EjesCoordenados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.4.2. Condición de Reciprocidad de Vectores Tensión. 36

2.5. Propiedades del Tensor de Tensiones . . . . . . . . . . 37

2.5.1. Simetría del Tensor de Tensiones . . . . . . . . 37

2.5.2. Transformación del tensor de tensiones con cam-bio de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.5.3. Direcciones Principales de Tensión . . . . . . . 38

2.5.3.1. Consideraciones Físicas . . . . . . . . 38

3


2.5.3.2. Una Forma Explícita de las TensionesPrincipales . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.5.4. Círculos de Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.5.5. Componentes Esféricas y Desviadoras del

Tensor de Tensiones . . . . . . . . . . . . . . . 432.5.5.1. Invariantes del Tensor Desviador . . . 46

2.6. Estados Tensionales en el Espacio de las Tensiones Prin-cipales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.6.1. Componentes Esféricas y Desviadoras . . . . . . 472.6.2. Tensión de Corte en los Planos Octaédricos* . . 49

2.7. Ecuaciones Diferenciales de Equilibrio . . . . . . . . . . 522.7.1. Equilibrio de Fuerzas . . . . . . . . . . . . . . . 522.7.2. Equilibrio de Momentos . . . . . . . . . . . . . 542.7.3. Condiciones de Borde de Tensión . . . . . . . . 552.7.4. Forma Integral de las Condiciones de Equilibrio∗ 56

2.8. Comentarios Sobre el Origen de losConceptos de Tensión∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3. Análisis General de Deformaciones 633.1. Posición y desplazamiento de un punto. Medidas de de-

formación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.1.1. Medidas en la geometría indeformada . . . . . . 64

3.2. El gradiente de deformación. . . . . . . . . . . . . . . . 673.3. Deformación especí�ca longitudinal . . . . . . . . . . . 693.4. Deformación especí�ca angular . . . . . . . . . . . . . . 713.5. Deformación Especí�ca Volumétrica . . . . . . . . . . . 733.6. Sobre el tensor de deformaciones . . . . . . . . . . . . . 743.7. Direcciones principales de deformación . . . . . . . . . 753.8. Vector deformación y vector rotación∗ . . . . . . . . . . 76

3.8.1. Transformación de Componentes de Rotación . 783.9. Ecuaciones de Compatibilidad∗ . . . . . . . . . . . . . 793.10. Conclusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4. Relaciones Constitutivas de un Material 854.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.2. Materiales Linealmente Elásticos . . . . . . . . . . . . 87

4.2.1. Estado Unidimensional de Tensiones yDeformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

Contenidos 5

4.2.2. Estado Tridimensional de Tensiones yDeformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.2.3. Material Elástico, Lineal e Isótropo . . . . . . . 894.2.4. Relaciones entre las direcciones principales de

tensión y de deformación en elasticidad lineal . 924.3. Deformaciones de Origen Térmico . . . . . . . . . . . . 934.4. Energía Interna de Deformación . . . . . . . . . . . . . 95

4.4.1. De�nición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.4.2. Efectos Térmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.4.3. Energía de Distorsión . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.5. Materiales Visco-Elásticos∗ . . . . . . . . . . . . . . . . 994.5.1. Modelo de Kelvin . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004.5.2. Modelo de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.6. Materiales Elasto-Plásticos . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.6.1. Estado Uniaxial de Tensiones y Deformaciones,

Tensión de �uencia . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.6.2. Estado Tridimensional de Tensiones y Deforma-

ciones, Función de �uencia . . . . . . . . . . . . 1044.6.3. Criterio de Fluencia de Rankine . . . . . . . . . 1064.6.4. Criterio de Fluencia de Tresca . . . . . . . . . . 1074.6.5. Criterio de Fluencia de von Mises . . . . . . . . 1094.6.6. Criterio de Fluencia de Mohr-Coulomb . . . . . 111

4.6.6.1. Criterio de Mohr-Coulomb en Hormigón 1134.6.7. Criterio de Fluencia de Drucker-Prager . . . . . 1164.6.8. Teorías de Plasticidad . . . . . . . . . . . . . . 118

4.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

5. Técnicas de Solución 1255.1. Ecuaciones Generales de la

Elasticidad Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1255.2. Método de los Desplazamientos,

Ecuaciones de Navier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1285.3. Formulación Integral (Formulación Débil) . . . . . . . . 131

5.3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1315.3.2. Funciones de prueba . . . . . . . . . . . . . . . 1315.3.3. Desplazamientos virtuales y velocidades virtuales 1335.3.4. La integral por partes y el Principio de

Trabajos Virtuales . . . . . . . . . . . . . . . . 1335.4. Elasticidad Bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . 135


5.4.1. Estados Bidimensionales de Deformación (Defor-mación Plana) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

5.4.2. Estados Bidimensionales de Tensión (Tensión Pla-na) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

5.4.3. Sólido Asilsimétrico . . . . . . . . . . . . . . . . 1405.5. Notación matricial de los tensores involucrados . . . . . 143

5.5.1. Elasticidad Bidimensional . . . . . . . . . . . . 1455.5.1.1. Relaciones constitutivas . . . . . . . . 1455.5.1.2. Relaciones cinemáticas . . . . . . . . . 1455.5.1.3. Formulación Diferencial . . . . . . . . 1465.5.1.4. Trabajos Virtuales . . . . . . . . . . . 147

5.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

Capítulo 1

Introducción

En este capítulo se presentan algunos elementos importantes en losque se basa la mecánica de medios continuos y la mecánica de los sóli-dos como un caso particular. A continuación, se muestran los camposde variables en términos de los cuales se escribirán las relaciones dela mecánica de los sólidos. Se discuten las posibilidades de elecciónde sistemas coordenados a los cuales referir las ecuaciones y se justi�-ca el empleo en este texto de sistemas cartesianos ortogonales. En elcapítulo también se explica la notación vectorial a ser usada, que per-mite simpli�car la presentación. Por último se presentan nociones sobretensores, el operador diferencial y la integral por partes en problemastridimensionales.

1.1. La Mecánica Clásica de Medios Conti-

nuos

La mecánica de los medios continuos estudia los medios sólidos o �uidosdesde un punto de vista macroscópico, o sea sin llegar al detalle deestudiar el comportamiento de su microestructura o de las moléculasque lo forman. Además, la mecánica del continuo que se discutirá enadelante es la llamada mecánica clásica, en oposición a la mecánicacuántica y a la mecánica relativista, que han comenzado a desarrollarseprincipalmente en el siglo XX.

En la mecánica clásica se supone que la materia está distribuida demanera continua en el volumen del cuerpo considerado. La posiciónde la materia en el espacio se puede establecer por medio de un sistema

7


de referencia. De esta forma hablaremos de puntos para referirnos alas coordenadas de posición de la materia.

Asociado a lo anterior, es necesario de�nir el concepto de densidadde materia como el límite de la relación entre la masa y el volumen,cuando el volumen considerado tiende a cero. Se hablará entonces dedensidad de la materia en el entorno de un punto y con ese sentido seemplea la palabra partícula (o sea, para referirnos a diferenciales delmedio continuo y no queriendo signi�car una agregación de la materiaen forma discreta).

Lo anterior permite comenzar con los conceptos fundamentales demasa y geometría y establecer relaciones diferenciales para estudiar lavariación de desplazamientos, deformaciones y tensiones en el medioconsiderado.

Este texto se concentra en la mecánica de los sólidos, pero se plan-tean los conceptos de una manera general de modo que su extensión amedios �uidos resultaría sencilla. Tratamientos más generales desde elpunto de vista de la mecánica del continuo pueden encontrarse en labibliografía citada al �nal de estas notas.

1.2. Las Variables Fundamentales en la Me-

cánica de los Sólidos

Dentro de la mecánica trabajaremos con variables que identi�can losdesplazamientos de puntos del cuerpo, las deformaciones y tensionesque ocurren en el entorno de un punto y las fuerzas o acciones exterioressobre el cuerpo. Los desplazamientos se de�nen por medio de vectores,mientras que las deformaciones y tensiones se de�nen por medio detensores. La Figura 1.1 muestra los campos de esas variables.

Más de 2000 años de trabajo en la mecánica han permitido esta-blecer relaciones entre esos campos. En primer lugar, los campos dedeformaciones y de desplazamientos se pueden vincular entre sí y a lasrelaciones que se establecen entre ellos se denominan relaciones cine-máticas. Estas relaciones son de tipo geométrico. En segundo lugar,pueden relacionarse las tensiones con las fuerzas aplicadas, denomi-nándose a estas relaciones de equilibrio, que son esencialmente detipo físico. En tercer lugar, las deformaciones y tensiones del cuerpose vinculan por medio de relaciones constitutivas, así llamadas por-

Introducción 9

CamposVectoriales

CamposTensoriales

Desplazamientos Fuerzas

Deformaciones Tensiones

u F

ε σ

Variables referidasa la geometría

Variables referidasa la estática

Figura 1.1: Variables geométricas y mecánicas

que dependen de las propiedades del material que constituye el cuerpo.Tradicionalmente se a�rma que estas relaciones son de tipo experimen-tal. La Figura 1.2 muestra lo anterior en forma sintética. En resumen,el conocimiento de las relaciones entre las variables puede expresarsea través de ecuaciones cinemáticas, constitutivas y de equilibrio.

Las relaciones anteriores permitirán describir el comportamientomecánico en el interior del cuerpo considerado, pero para de�nir com-pletamente el problema es necesario establecer las llamadas condicionesde contorno, o sea, conocer de que manera ese medio continuo está vin-culado con medios exteriores a él. Esas condiciones en la mecánica delos sólidos pueden ser de tipo cinemático, de fuerzas, de temperatu-ra, etc. En general trabajaremos con las dos primeras, de forma quehablaremos de condiciones de contorno geométricas y condiciones decontorno mecánicas.

Un ejemplo sencillo de medio continuo es una barra en traccióncomo la indicada en la Figura 1.3. Las fuerzas están representadas porF , los desplazamientos por u, las deformaciones por ε y las tensionespor σ. Las ecuaciones cinemáticas en este caso son

ε =1

lu (1.1)

Las de equilibrio resultan en la forma

F = σ A (1.2)


u F

ε σRelaciones

Constitutivas

RelacionesCinemáticas

Relacionesde Equilibrio

σ = σ(ε)

ε = ε( ) f = f( )u σ

Figura 1.2: Relaciones entre las variables en mecánica de sólidos

Las ecuaciones constitutivas, de acuerdo a la ley de Hooke, estándadas por

σ = E ε (1.3)

Las tres ecuaciones 1.1�1.3, constituyen un sistema en el que lasincógnitas son σ, ε y u que deberán ser evaluadas a partir de la infor-mación sobre la barra dada por l, A, E y F .

Nótese que debido a las relaciones que existen, es posible vincularF con u. En efecto,

F = σA = EεA = EAu

l(1.4)

Resultando una ecuación que gobierna el comportamiento del pro-blema,

F =EA

lu (1.5)

El procedimiento empleado para obtener la ecuación 1.5 se conocecomo el método de los desplazamientos y es un procedimiento estándarpara compactar la información en mecánica de los sólidos.

Aunque el método de resolución que se resume en la ecuación (1.5)es el más conocido, no es el único, como se verá en el Capítulo 5.

Identi�cando las variables de este problema elemental con el plan-teo general de la Figura 1.1, anticipamos que F y u son vectores de

Introducción 11

l

l+u

F

u

Figura 1.3: Barra en tracción

dirección coincidente con el eje de la barra, mientras que σ y ε son lascomponentes no nulas de los tensores de tensión y deformación.

1.3. Sistemas Coordenados

Para el manejo de las variables en mecánica de los sólidos, existenen esencia dos posibilidades: la primera es trabajar sin el empleo de unsistema coordenado especí�co, de modo de establecer expresiones ge-nerales válidas para cualquier sistema coordenado. Para poder realizarevaluaciones numéricas, estas expresiones deben ser luego particulari-zadas para un sistema coordenado.

La segunda posibilidad es trabajar en un sistema coordenado espe-cí�co. Esta alternativa es menos general y exige replantear las ecuacio-nes del problema si se necesitan para otro sistema de coordenadas.

Aunque la primera posibilidad es muy atractiva por su generalidad,(por ejemplo, permite que las ecuaciones de láminas delgadas seanobtenidas como particularización de las ecuaciones generales) requiereun mayor grado de abstracción y manejo de elementos del análisismatemático. Este tratamiento puede encontrarse, por ejemplo, en lasReferencias [2, 7, 12] y las allí indicadas.

Este texto introductorio se presenta siguiendo la segunda posibili-dad, de modo que las ecuaciones se escriben en un sistema coordenadocartesiano y ortogonal y en lo posible se mencionarán las ecuaciones


generales correspondientes. El empleo de otros sistemas coordenadosera frecuente cuando las soluciones a los problemas se buscaban ex-clusivamente por vía analítica. Por ejemplo, el libro de Timoshenko[13] explora en detalle el empleo de coordenadas cartesianas, polares,elípticas y curvilíneas de acuerdo a la aplicación que se desea resol-ver. Con la aparición de técnicas numéricas como diferencias �nitas oelementos �nitos la formulación cartesiana recuperó su interés, dadoque es posible resolver problemas de contornos arbitrarios empleandocoordenadas de este tipo. Una excepción a lo anterior lo constituyenlas láminas delgadas, en las que tanto el planteo de las ecuaciones comosu solución numérica pueden simpli�carse enormemente con el empleode un sistema intrínseco de coordenadas curvilíneas.

1.4. Vectores y Tensores

En los problemas de mecánica de sólidos que se presentan, intervie-nen diferentes tipos de elementos o entidades matemáticas, cada una deellos con un signi�cado físico determinado. Por su propio signi�cado fí-sico la naturaleza de estas entidades debe ser independiente del sistemacoordenado que se elija. Como se dijo antes, se trabajará con sistemascoordenados cartesianos y en general se emplearán las componentes delos distintos elementos expresadas en tales sistemas cartesianos.

Los principales elementos serán tensores de diferente orden. Básica-mente un tensor es un elemento matemático que representa una entidadfísica y para su de�nición unívoca basta tener sus componentes referi-das a un sistema cartesiano. Las componentes del tensor dependen delsistema coordenado elegido y si se utilizan dos sistemas diferentes, lascomponentes de un mismo tensor resultan diferentes. Sin embargo porser componentes de una misma entidad física, existe una relación entreellas que permite, conocidas las componentes referidas a un sistemacoordenado, evaluar las componentes respecto a cualquier otro. La ex-presión que liga las componentes referidas a dos sistemas coordenadosdiferentes de�ne el orden del tensor.

En lo que sigue veremos algunos aspectos elementales de vectores ytensores, pero para un tratamiento más riguroso el lector deberá usarlas referencias del álgebra de tensores [10, 11] o los capítulos intro-ductorios al tema de las Referencias [6, 5]. Al respecto es útil de�nirel símbolo δij, llamado delta de Kronecker, que toma los siguientes

Introducción 13

valores:

δij = 1 cuando i = j

(1.6)

δij = 0 cuando i 6= j

Visto como las componentes de una matriz, el delta de Kroneckercorresponde a la matriz identidad.

1.4.1. Tensores de orden cero y de orden uno

Los tensores más sencillos son los de menor orden. Las magnitudesescalares, que no dependen del sistema coordenado elegido, son tensoresde orden 0. Ejemplos de ello son la temperatura, la densidad, la energíainterna, la energía cinética, etc.

Le siguen en orden de complejidad los vectores. Resulta ilustrativoimaginar un vector v como un segmento orientado en un espacio tri-dimensional. Las componentes de este vector v referidas a un sistemacoordenado de�nido por una terna ortonormal (t1, t2, t3)1 resultan deproyectar el vector sobre cada versor de la terna

vi = ti · v = v · ti (1.7)

donde el operador �·� (producto punto) indica la proyección del ope-rando de la izquierda (v) sobre el operando de la derecha (ti). Unaforma conveniente de expresar la proyección es transponer el operadorde la izquierda, es decir escribir la ecuación 1.7 como

vi = tTi v (1.8)

De�nida una base (la terna ortonormal) se puede escribir un vectoren función de sus componentes como una lista ordenada de sus compo-nentes. Aquí se usarán corchetes para delimitar las componentes quese ordenarán verticalmente (vector columna)

vt =

v1

v2

v3

(1.9)

1Una terna ortonormal es aquella en que los vectores que la de�nen son delongitud unitaria (versores) y ortogonales entre sí ti · tj = δij


donde el subíndice t indica que son las componentes respecto a dichabase. En general si se trabaja con una única base, o no hay posibili-dades de confusión se prescinde del subíndice, por lo cual v hace refe-rencia indistintamente a un vector y a sus componentes en el sistemacoordenado en que se está trabajando.

Dada la ortonormalidad de la base, v puede escribirse como lasumatoria

ve =3∑i=1

vi ti = [t1, t2, t3]

v1

v2

v3

(1.10)

donde e indica la base canónica, es decir la base respecto de la cualestán escritas las componentes de los ti.

Tres direcciones ortogonales ordenadas (es decir una terna dere-cha) se pueden expresar como una matriz que representa un conjuntoparticular de ejes cartesianos en un punto

T = [t1, t2, t3] (1.11)

luego el vector ve (1.10) puede verse como el producto entre una matrizy un vector

ve = Tvt (1.12)

Si se quiere expresar v respecto a una terna ortonormal diferente,por ejemplo una terna L = [l1, l2, l3], basta proyectarlo sobre cadacomponente de ella. Denominando con v′j las componentes referidos ala nueva terna, se tendrá:

v′j = lj · v = lTj v (1.13)

vl = LTv (1.14)

A continuación buscamos relacionar las componentes del vector en elsistema ti con las componentes en el sistema lj. Para ello escribimosvl en la 1.14 usando la 1.12, y queda

vl = LT (Tvt) = LTTvt (1.15)

A la proyección de cada versor de la terna original ti sobre cada versorde la nueva terna lj se la denotará por

λij = lj · ti = lTj ti = tTi lj (1.16)

Introducción 15

Nótese que en el segundo miembro tenemos el producto escalar dedos vectores de módulo unitario; por lo tanto, el signi�cado de λijen el primer miembro es el coseno del ángulo comprendido entre lasdirecciones ti y lj. que son las componentes de la matriz

Λ = TTL (1.17)

Cada versor de la base original puede escribirse en función de la nuevaterna multiplicando la ecuación (1.16) por lj y sumando

ti =3∑j=1

λijlj (1.18)

que escrita para los tres vectores ti simultáneamente es

T = ΛL (1.19)

Recíprocamente, por la conmutatividad del producto punto entrevectores, se tiene

L = ΛT T (1.20)

luegovl = ΛTvt (1.21)

Se dice que v es un tensor de primer orden porque en la expresiónque transforma sus componentes aparece un coe�ciente (λij) multipli-cando a cada componente.

Ejemplos de vectores son el campo gravitatorio, una fuerza, la ve-locidad de una partícula (nótese que los distintos sistemas cartesianosque se tratan aquí están �jos en el tiempo y en el espacio), los despla-zamientos, etc.

1.4.2. Tensores de orden dos

De acuerdo a lo visto en la sección anterior, se puede pensar en-tonces a un tensor de primer orden como a una entidad física que acada dirección del espacio le asocia un escalar (su componente o pro-yección). Por extensión, puede interpretarse a un tensor de segundoorden como a una entidad física que a cada dirección del espacio leasigna un vector, como la componente (proyección) del tensor en esadirección.


Sea σ un tensor de segundo orden para el que aún no hemos usadoningún sistema de referencia y sea el vector ν una dirección cualquiera.La componente del tensor σ en la dirección ν resulta de proyectar σsobre ν (en forma similar al caso de vectores) 2

σν = σ · ν = σTν (1.22)

En la ecuación 1.22 hemos usado la de�nición que el producto puntode un tensor de segundo orden por un tensor de primer orden es untensor de primer orden.

Para un sistema cartesiano T = (t1, t2, t3) se tendrán vectores σique son las componentes cartesianas del tensor de segundo orden σ

σi = σ · ti = σT ti (1.23)

A su vez el vector σi puede escribirse en función de sus componentessobre el sistema cartesiano elegido. Llamaremos σij al resultado delproducto escalar

σi · tj = σTi tj = tTj σi = tTi σtj = σij (1.24)

Multiplicando ambos miembros por tj y sumando se obtiene

3∑j=1

tj(tTj σi

)=

3∑j=1

tj tTj σi = σi =3∑j=1

σijtj (1.25)

(la suma indicada∑3

j=1 tj tTj = 1 es igual a la identidad)Diremos que las σij son las componentes de σ respecto al sistema

cartesiano elegido. La expresión del tensor en función de sus compo-nentes resulta entonces:

σ =3∑i=1

ti σTi =

3∑i=1

3∑j=1

ti tTj σij (1.26)

2El símbolo · usado indica que debe contraerse un índice entre los elementosinvolucrados, así en el caso que se use entre dos vectores se obtiene el tradicionalproducto escalar

a · b =∑i

aibi

si es entre un vector y un tensor se obtiene un vector, lo cual puede verse comouna multiplicación entre una matriz (las componentes del tensor) y un vector

σ · ν =∑i,j

σijνjti

Introducción 17

Esta expresión es equivalente a la 1.10 para vectores. Nótese que aquíaparece el producto de dos versores ti t

Tj que no es un escalar, sino que

es un producto denominado tensorial (es decir da lugar a un tensor).Este producto tensorial no es conmutativo, es decir ti t

Tj 6= tj tTi . En

la literatura se lo suele denominar por ti tTj = ti ⊗ tj y se cumple que

para una terna ortonormal que∑3

i=1ti ⊗ ti = 1.La expresión 1.26 implica la suma de nueve tensores ti t

Tj escalados

por las componentes σij. Estos escalares son, como se anticipara antes,las componentes del tensor respecto al sistema cartesiano (t1, t2, t3).Trabajando exclusivamente con las componentes, las expresión 1.22puede escribirse de la siguiente manera σν1

σν2

σν3

=

σ11 σ21 σ31

σ12 σ22 σ32

σ13 σ23 σ33

ν1

ν2

ν3

(1.27)

Particularizando para una cualquiera de las direcciones coordena-das, sus componentes serán

σi =

σi1σi2σi3

(1.28)

Si se desea expresar σ en componentes respecto a un nuevo siste-ma coordenado (l1, l2, l3), relacionado con el anterior por 1.19 bastareemplazar los versores ti en la ecuación 1.26

σ =3∑i=1

3∑j=1

ti tTj σij =

3∑i=1

3∑j=1

(3∑

m=1

λim lm

) (3∑

n=1

λjn lTn

)σij

=3∑

m=1

3∑n=1

lm lTn

(3∑i=1

3∑j=1

λim λjn σij

)=

3∑m=1

3∑n=1

lm lTn σ′mn (1.29)

donde se ha denominado por σ′mn a las componentes del tensor desegundo orden σ referidas al sistema coordenado cartesiano li.

Luego las componentes de σ referidas a la nueva base son

σ′mn =3∑i=1

3∑j=1

λim λjn σij (1.30)


Se puede ver que son necesarios dos coe�cientes para expresar lascomponentes en el nuevo sistema de coordenadas y por ello se dice queel tensor es de segundo orden. La última expresión permite escribir larelación entre componentes en distintos sistemas coordenados mediantela siguiente multiplicación de matrices σ′

11 σ′12 σ′

13

σ′21 σ′

22 σ′23

σ′31 σ′

32 σ′33

=

λ11 λ21 λ31λ12 λ22 λ32λ13 λ23 λ33

σ11 σ12 σ13σ21 σ22 σ23σ31 σ32 σ33

λ11 λ12 λ13λ21 λ22 λ23λ31 λ32 λ33

(1.31)

Como en el caso de la ecuación 1.14 de vectores en este caso σ′mn yσij representan las componentes del mismo tensor en distintos sistemascoordenados.

Queda claro entonces que las componentes escalares de un tensorde segundo orden se obtienen mediante una doble proyección

σij = (σ · ti) · tj = (σ · ti)T tj =(σT ti

)Ttj = tTi σtj (1.32)

1.4.3. Ejemplo de tensor de segundo orden

Ejemplos de tensores de segundo orden se verán en los próximoscapítulos. Un ejemplo sencillo corresponde al tensor de inercia (mo-mentos de inercia considerados en cursos de Mecánica Analítica y Re-sistencia de Materiales) de un sólido respecto al centro de coordenadas.Si se conocen los momentos de inercia del sólido respecto a un sistemacartesiano dado (t1, t2, t3)

Iij =

∫V

ρ xixj dV (1.33)

y se desean conocer los momentos de inercia respecto a un nuevo sis-tema cartesiano (l1, l2, l3) relacionado con el anterior de forma tal queel vector posición está de�nido por

r =3∑i=1

xi ti =3∑i=1

xi

3∑j=1

λij lj =3∑j=1

yj lj (1.34)

entonces es posible expresar

I ′mn =

∫V

ρ ym yn dV =

∫V

ρ3∑i=1

3∑j=1

(λim xi λjn xj) dV (1.35)

=3∑i=1

3∑j=1

λim λjn

∫V

ρ xi xj dV =3∑i=1

3∑j=1

λim λjn Iij

Introducción 19

Esto demuestra que el tensor de inercia es un tensor de segundo orden.Puede entonces decirse que las Iij son las componentes de un tensor

I =3∑j=1

3∑i=1

Iij ti tTj =

3∑m=1

3∑n=1

I ′mn lm lTn (1.36)

Finalmente mencionaremos aquí que en algunos capítulos será ne-cesario emplear tensores de orden superior, como tensores de cuartoorden. Estos tensores aparecen en el Capítulo 4, cuando se relacionantensores de segundo orden entre sí.

1.5. Operador Diferencial: Gradiente y Di-

vergencia

Para trabajar con ecuaciones en derivadas parciales resulta útil de�nirun operador ∇ que agrupe las derivadas parciales respecto a cada unade las variables espaciales

∇=∂

∂X1

t1 +∂

∂X2

t2 +∂

∂X3

t3 =3∑i=1

∂

∂Xi

ti (1.37)

Este operador se denomina �Nabla� y permite escribir en forma com-pacta algunas operaciones sobre tensores. El operador ∇ puede refe-rirse a derivadas parciales con respecto a otro sistema coordenado, encuyo caso resulta

∇=∂

∂Y1

l1 +∂

∂Y2

l2 +∂

∂Y3

l3 =3∑j=1

∂

∂Yjlj (1.38)

Este operador tiene la forma de un vector y en general puede in-terpretarse como tal. Escrito en componentes se tiene

∇t=

∂

∂X1∂

∂X2∂

∂X3

∇l =

∂

∂Y1∂

∂Y2∂

∂Y3

(1.39)


donde usamos un subíndice t o l para denotar respecto a que ternaestá referido.

Nótese que por ser ∇ un vector sus componentes respecto a unaterna pueden también escribirse respecto a otra

∇ =3∑i=1

∂

∂Xi

ti =3∑j=1

3∑i=1

∂

∂Xi

λij lj =3∑j=1

∂

∂Yjlj (1.40)

donde las derivadas parciales cumplen la relación

∂

∂Yj=

3∑i=1

λij∂

∂Xi

En forma matricial, la ecuación anterior resulta∂

∂Y1∂

∂Y2∂

∂Y3

=

λ11

λ12

λ13

λ21

λ22

λ23

λ31

λ32

λ33

∂

∂X1∂

∂X2∂

∂X3

(1.41)

Veamos como se aplica el operador sobre escalares, vectores y ten-sores de segundo orden.

(a) El operador ∇ aplicado sobre un campo escalar a (X) (tensorde orden 0) conduce al vector �gradiente de a�, que es un tensor deprimer orden

∇a =∂a

∂X1

t1 +∂a

∂X2

t2 +∂a

∂X3

t3 =3∑i=1

∂a

∂Xi

ti (1.42)

Para otro sistema coordenado se tiene

∇a =3∑j=1

∂a

∂Yjlj (1.43)

Usando las dos ecuaciones anteriores se puede escribir la 1.41 como∂a

∂X1∂a

∂X2∂a

∂X3

=

λ11 λ12 λ13

λ21 λ22 λ23

λ31 λ32 λ33

∂a

∂Y1∂a

∂Y2∂a

∂Y3

(1.44)

Introducción 21

(b) Para el caso de tensores de primer orden (vectores) hay dosformas de aplicar el operador Nabla

1. Se puede aplicar ∇ sobre un vector en forma similar al caso deescalares, lo que conduce al �gradiente de un campo vectorial�que por conveniencia se de�ne como

gradv = ∇v.= v∇T =

3∑i=1

∂v

∂Xi

tTi =∑i,j

∂ (vj tj)

∂Xi

tTi =∑i,j

∂vj∂Xi

tj tTi

(1.45)cuyas componentes quedan de�nidas por

(∇tv)ji =∂vj∂Xi

(1.46)

En otro sistema coordenado el gradiente se computa como

∇v =∑m,n

∂v′m∂Yn

lm lTn (1.47)

En general se supondrá que el sistema coordenado es �jo y no seutilizará el subíndice en ∇t.

2. La segunda forma de aplicar el operador Nabla sobre un vectores mediante el operador proyección o producto punto �·� que dalugar a la �divergencia del vector�:

∇ · v =3∑j=1

3∑i=1

ti ·∂ (vj tj)

∂Xi

=3∑j=1

3∑i=1

∂vj∂Xi

(ti · tj)

=3∑j=1

3∑i=1

∂vj∂Xi

δij =3∑i=1

∂vi∂Xi

= div (v) (1.48)

(c) En el caso de tensores de segundo orden interesa principalmente elsegundo caso de lo visto para vectores. Resulta así la �divergencia deun tensor de segundo orden�:

∇ · σ =3∑i=1

∂

∂Xi

ti ·

(3∑j=1

3∑k=1

σjk tj tTk

)=

3∑i=1

3∑j=1

3∑k=1

∂σjk∂Xi

(ti · tj) tk

=3∑i=1

3∑j=1

3∑k=1

∂σjk∂Xi

δij tk =3∑i=1

3∑k=1

∂σik∂Xi

tk (1.49)


En componentes ∇t · σ resulta lo siguiente

3∑i=1

∂σi1∂Xi∂σi2∂Xi∂σi3∂Xi

(1.50)

En resumen, el gradiente de un tensor aumenta el orden de esetensor; mientras que la divergencia de un tensor disminuye el orden.

1.6. Teorema de la Divergencia. Integral por

Partes.

El teorema de Gauss o de la Divergencia expresa, bajo ciertas con-diciones, una integral de volumen en términos de una integral sobrela super�cie frontera de ese volumen. Dado un campo vectorial u (x);este teorema expresa que la integral en el volumen (V ) de la divergen-cia del vector es igual al �ujo del vector a través del contorno (A) delvolumen, es decir∫

V

∇ · u dV =

∫V

div (u) dV =

∫A

(u · ν) dA (1.51)

donde ν es la normal saliente al contorno. Escrito en componentesresulta

3∑i=1

∫V

∂ui∂Xi

dV =3∑i=1

∫A

ui νi dA (1.52)

En forma similar puede escribirse para un tensor S que∫V

∇ · S dV =

∫A

(S · ν

)dA (1.53)

3∑i=1

∫V

3∑k=1

∂ (Sik)

∂Xi

tk dV =3∑i=1

∫A

3∑k=1

(Sik · νi) tk dA

Introducción 23

Escrito en componentes resulta

∫V

3∑i=1

∂Si1∂Xi∂Si2∂Xi∂Si3∂Xi

dV =

∫A

3∑i=1

Si1 νiSi2 νiSi3 νi

dA (1.54)

Sea entonces w un vector arbitrario. Podemos aplicar la ecuación1.51 al producto u = S w, previamente notemos que

∇ · (Sw) =∑i,j

∂

∂Xi

(Sijwj) tj =∑i,j

(∂Sij∂Xi

wj + Sij∂wj∂Xi

)tj

=∑i,j

wj

(∂Sij∂Xi

)tj +

∑i,j

∂wj∂Xi

Sijtj

= w · ∇ · ST +∇w : ST (1.55)

donde el símbolo �:� indica una doble suma3, luego reemplazado en elteorema de Gauss 1.51 se tiene∫

V

[w · ∇ · ST +∇w : ST

]dV =

∫A

(S w

)· ν dA (1.56)∑

i,j

∫V

(wj∂Sij∂Xi

+∂wj∂Xi

Sij

)dV =

∑i,j

∫A

(Sij wj) νi dA (1.57)

3en este caso debe sumarse sobre dos índices. En el caso de dos elementos condos subíndices cada uno el resultado es un escalar, por ejemplo si son dos tensoresde segundo orden

σ : ε =∑i,j

σijεij

Si es el caso de un elemento con cuatro subíndices (un tensor de cuarto orden)con un tensor de segundo orden, el resultado es un tensor de segundo orden

σij =∑k,l

Cijklεkl

σ = C : ε


El segundo miembro de 1.56 puede a su vez reescribirse como

∫A

(S w

)· ν dA =

∫A

wT STν dA (1.58)

3∑i=1

∫A

3∑j=1

(Sij wj ) νi dA =3∑i=1

∫A

3∑j=1

wj (Sij νi) dA (1.59)

Resumiendo resulta la forma útil como integral por partes

∫v

∇w : STdV = −∫v

w · ∇ · STdV +

∫A

wT STν dA (1.60)∑i,j

∫V

∂wj∂xi

Sij dV =∑i,j

[−∫V

wj∂Sij∂xi

dV +

∫A

wj (Sij νi) dA

](1.61)

La última expresión puede particularizarse para el caso de que eltensor S sea simétrico S = ST (en componentes signi�ca que Sij = Sji).Luego si reescribimos

∂wj∂xi

=1

2

(∂wj∂xi

+∂wi∂xj

)+

1

2

(∂wj∂xi− ∂wi∂xj

)(1.62)

∇w =1

2

(∇w +∇Tw

)+

1

2

(∇w −∇Tw

)= ∇simw +∇asimw

(1.63)

donde se ha descompuesto el gradiente del vector en sus componentessimétrica y antisimétrica. Entonces debido a la hipótesis de simetríade S resulta que

∂wj∂xi

Sij =

{1

2

(∂wj∂xi

+∂wi∂xj

)+

1

2

(∂wj∂xi− ∂wi∂xj

)}Sij (1.64)

=1

2

(∂wj∂xi

+∂wi∂xj

)Sij

∇w : S = ∇simw : S (1.65)

Introducción 25

Llevando este resultado a 1.60 se obtiene∑i,j

∫V

1

2

(∂wj∂xi

+∂wi∂xj

)Sij dV =

∑i,j

[−∫V

wj∂Sij∂xi

dV

+

∫A

wj (Sij νi) dA

]∫V

S : ∇simwdV = −∫V

(∇ · S

)·wdV +

∫A

wT Sν dA

(1.66)

Esta expresión se denominará identidad fundamental que será deutilidad al estudiar el principio de trabajos virtuales en el Capítulo 5.

1.7. Contenidos de Estas Notas

En los dos capítulos siguientes se estudian formulaciones generalesde tensiones y deformaciones, con énfasis en problemas lineales. En elCapítulo 2 se de�nen vectores y tensores de tensión, sus propiedadesy características. Las ecuaciones de equilibrio de fuerzas y momentosson parte fundamental del capítulo. En el Capítulo 3 se de�nen des-plazamientos, deformaciones especí�cas y el tensor de deformaciones.También se estudian las características y propiedades de esas entida-des. Las ecuaciones centrales son aquí son las cinemáticas y de com-patibilidad. El Capítulo 4 trata de modelos de materiales elásticos ylos límites de validez tal como los suponen las super�cies de �uencia.Los elementos de los Capítulos 2 a 4 se combinan en el Capítulo 5 pa-ra plantear métodos de resolución que permitan una formulación máscompacta. Allí se establecen formulaciones diferenciales y en particularse explora el método de desplazamientos y luego se introducen las for-mulaciones integrales como una alternativamente conveniente para lastécnicas de solución. Finalmente se de�nen los estados de elasticidadbidimensional.

Capítulo 2

Análisis General de Tensiones

En este capítulo se de�nen los estados tensionales en el entorno deun punto a través del tensor de tensiones y se demuestra que efecti-vamente se tiene un tensor de segundo orden. Para planos que pasanpor un punto se obtiene el vector tensión y sus componentes y se lorelaciona con el tensor de tensiones. Las condiciones de simetría deltensor se demuestran y se deducen condiciones de reciprocidad entrevectores tensión. Se discute el problema de direcciones principales yvalores principales de tensión y sus interpretaciones grá�cas conocidascomo Círculos de Mohr. Se presenta una descomposición del tensorde tensiones en componentes esféricas y desviadoras. Finalmente, seescriben las ecuaciones de equilibrio y de contorno de fuerzas.

2.1. Concepto de Tensión Asociada a un

Plano

Consideremos un cuerpo sólido arbitrario en tres dimensiones, comoel representado en la Figura 2.1, en el cual se busca poner de mani�estoel estado de tensiones que existe en un plano determinado α. Para ellose encuentra la intersección del cuerpo con el plano α y se separaimaginariamente una de las mitades en que el cuerpo queda dividido.Para caracterizar al plano α se usará el versor ν normal al mismo y seadopta la convención que ν es positivo cuando su sentido es saliente delcuerpo. Dentro del plano α se individualiza un elemento de área ∆A,de modo de observar allí el estado tensional. Sobre el área ∆A deberáactuar una fuerza ∆F que representa la interacción entre la mitad

27


α

dA

σν

ν

Figura 2.1: Vector tensión

eliminada del cuerpo y la que conservamos para su estudio. Dado que∆F puede ser variable en ∆A tomaremos a la relación ∆F/∆A comoun valor medio de fuerza por unidad de área.

De acuerdo con el principio de tensión (formulado por A. Cauchyen 1822), si el área ∆A tiende a cero, entonces la fuerza por unidad deárea tiende a un valor de�nido, que llamaremos tensión, de modo que

σν =dF

dA(2.1)

σν es un vector que representa el estado de tensiones en el plano normala ν y se denomina vector tensión. Nótese que la intensidad y el sentidodel vector tensión varían de punto a punto en el plano, de modo queen general la dirección de σν no es coincidente con la de ν. Además, siconsideramos un punto del cuerpo y por allí hacemos pasar dos planos,cada uno tendrá un vector de tensión diferente.

Cada vector tensión puede descomponerse en dos componentes: unacontenida en el plano α, que se denominará σνs y otra normal al plano

Análisis General de Tensiones 29

α, que se denominara σνν . En forma vectorial puede escribirse

σν = σνν ν + σνs s (2.2)

donde ν es el versor normal al plano α y s es un versor contenido enel plano α, como se muestra en la Figura 2.2. La ecuación 2.2 permiteevaluar el vector σν dadas sus componentes normal y tangencial alplano.

dA

sν

σν

σνν

σνs

Figura 2.2: Componentes del vector tensión

2.2. El Tensor de Tensiones

Considérese un cuerpo arbitrario en tres dimensiones, representadoen la Figura 2.3, en el cual se busca poner de mani�esto el estadode tensiones que existe en el entorno de un punto determinado delcuerpo, O. Para individualizar el punto se usará un sistema cartesianoortogonal como el indicado en la Figura 2.3, por simplicidad y sin faltade generalidad, se hará coincidir el origen de los ejes con el punto O.

Con el �n de poner en evidencia el estado tensional en el entorno delpunto O, se supondrá un elemento cúbico cuyos lados son diferenciales(también llamado cubo elemental), en el que tres de sus caras coincidencon planos coordenados. Cada cara del cubo está contenida en un planocuya normal t es paralela a ejes coordenados: por ejemplo, la caracontenida en el plano que de�nen X1 y X2 tendrá por normal a t3,que es paralelo a X3 y en sentido saliente del cubo. Para cada cara seadoptará signo positivo si el sentido de su vector normal coincide conel sentido positivo del eje al cual es paralelo.


x1

x2

x3

ν1

ν2

ν3

σ1

σ2

σ3

O

x1

x2

x3

t1

t2

t3

Figura 2.3: Componentes cartesianas de tensión

Sobre cada cara del cubo actúa un vector tensión σi: por ejem-plo, sobre la cara cuya normal es +t2 actuará σ2dA2 y sobre la caraopuesta, normal a −t2 actuará −σ2dA. Nótese que como se están con-siderando tensiones en el entorno de un punto no interesa la variaciónde tensiones que puede haber entre caras opuestas, de modo que porestar tan próximas las caras no hay que distinguir entre las tensionesen una cara y su opuesta salvo que tienen dirección opuesta. La varia-ción de tensiones entre caras se tomará en cuenta para las ecuacionesdiferenciales de equilibrio.

En la sección anterior se mencionó que cada vector tensión tiene doscomponentes: por ejemplo, el vector σ2 tiene por componente normalal plano a σ22 y tiene una componente σ2s contenida en el plano. Asu vez, σ2s tiene dos componentes, en las direcciones coordenadas X1

y X3 del plano y las denominaremos σ21 y σ23 respectivamente. Lascomponentes cartesianas de cada vector tensión sobre las caras delcubo se representan en la Figura 2.4 y son:

para σ1 −→ σ11 σ12 σ13

para σ2 −→ σ21 σ22 σ23

para σ3 −→ σ31 σ32 σ33

Cuando los dos índices son iguales, se tendrán componentes norma-les de tensión y cuando sean distintos se tendrán componentes cortanteso tangenciales de tensión.

Habiendo denominado con t1, t2, t3 a los versores en dirección X1,X2, X3 respectivamente (Figura 2.3), cada vector tensión sobre caras


Figura 2.4: Componentes del tensor de tensiones

coordenadas podrá escribirse como

σ1 = σ11t1 + σ12t2 + σ13t3

σ2 = σ21t1 + σ22t2 + σ23t3 (2.3)

σ3 = σ31t1 + σ32t2 + σ33t3

O en forma genérica (en donde el índice �jo i toma valores de 1 a 3)

σi =3∑j=1

σij tj (2.4)

Del estudio del estado tensional en el entorno de un punto se obtu-vieron nueve componentes cartesianas, que se pueden escribir en formade matriz 3× 3:

[σij] =

σ11 σ12 σ13

σ21 σ22 σ23

σ31 σ32 σ33

(2.5)

En la Sección 2.5 se demostrará formalmente que σij constituye untensor de tensiones y en lo sucesivo se lo denominará de esa manera.


2.3. Relaciones entre el Vector de Tensión

y el Tensor de Tensiones

Para estudiar la relación que existe entre las componentes σij y losvectores σν se hará pasar un plano oblicuo por el punto O, cuya normalllamaremos ν (ver Figura 2.5). El plano oblicuo que en realidad pasapor O, ha sido desplazado en la Figura 2.5 con el objeto de de�nir untetraedro elemental cuyos lados ortogonales son diferenciales.

Figura 2.5: Equilibrio de un tetraedro elemental

Consideremos la tensión σν actuando sobre el plano oblicuo y lastensiones σ1, σ2, σ3 actuando sobre los planos coordenados. La con-dición de equilibrio de fuerzas en el tetraedro puede expresarse como

σν dA− σ1 dA1 − σ2 dA2 − σ3 dA3 = 0 (2.6)

Cada área dAi puede evaluarse proyectando el área oblicua dA sobreel plano coordenado correspondiente, de modo que

dAi = dA νi (2.7)

donde νi es el coseno del ángulo que existe entre las normales a dA ydAi (ν y ti). Nótese que el versor ν tiene componentes cartesianas νital que

ν =3∑i=1

νi ti = [t1, t2, t3]

ν1

ν2

ν3

(2.8)


Reemplazando la ecuación 2.7 en la 2.6 resulta

σν dA−3∑i=1

σi νi dA = 0 (2.9)

Simpli�cando el factor común dA se llega a

σν −3∑i=1

σiνi = 0 (2.10)

o bien

σν =3∑i=1

σi νi (2.11)

Reemplazando la ecuación 2.4 en la 2.11 se tiene �nalmente

σν =3∑i=1

3∑j=1

σij νi tj (2.12)

a su vez la ecuación 2.11 escrita matricialmente es sencillamente

σν = σTν (2.13)

es decir la proyección del tensor σ sobre la dirección ν.La ecuación 2.13 se conoce como fórmula de Cauchy y permite

encontrar el vector de tensión σν dadas las componentes σij del tensorde tensiones y la dirección ν. De modo que el tensor σ en un puntoresume a todos los vectores σν que actúan sobre planos que pasan porese punto.

Las componentes σνν y σνs de la ecuación 2.2 también pueden serescritas en función de σij: la componente normal se puede obtenerproyectando σν sobre la dirección ν

σνν = σν · ν (2.14)

Usando la ecuación 2.13 se tiene

σνν =(σTν

)· ν = νTσν (2.15)

Escrito desarrollado

σνν =3∑i=1

3∑j=1

σij νi νj (2.16)


La componente tangencial σνs se obtiene a partir de la suma demódulos siguiente:

σ2νs = |σν |2 − σ2

νν (2.17)

En la ecuación anterior, el módulo del vector σν se puede evaluar apartir de la ecuación 2.11 como

|σν |2 = σν · σν = νTσσTν (2.18)

|σν |2 =3∑i=1

3∑j=1

3∑k=1

σik σjk νi νj (2.19)

Reemplazando las ecuaciones 2.18 y la 2.15 en la 2.17 resulta

σ2νs = νTσσTν −

(νTσν

)2(2.20)

2.4. Propiedades del Vector de Tensión

2.4.1. Transformación de Tensiones con Cambio deEjes Coordenados.

Si se conocen los componentes de un tensor de tensiones σij asocia-das a ejes de referencia Xi es posible evaluar las componentes referidasa un sistema nuevo Yi. También es posible evaluar las componentes deun vector σνi en el nuevo sistema.

Sean li los versores del sistema Yi; y ti los versores de sistema Xi.Dado que cada ti es un vector, podrá expresarse en el sistema Yi através de relaciones del tipo

ti =3∑j=1

λij lj (2.21)

donde λij = ti ·lj son las proyecciones de ti en las direcciones lj. Escritaen forma matricial, la ecuación 2.21 será

[t1 t2 t3

]=[

l1 l2 l3] λ11 λ21 λ31

λ12 λ22 λ32

λ13 λ23 λ33

(2.22)

T = LΛT (2.23)


Figura 2.6: Transformación de sistemas coordenados

o tT1tT2tT3

=

λ11 λ12 λ13

λ21 λ22 λ23

λ31 λ32 λ33

lT1lT2lT3

(2.24)

TT = ΛLT (2.25)

λij son entonces las componentes de una matriz Λ que se llamarámatriz de rotación. Λ es una matriz ortogonal, cuya inversa es igual asu transpuesta, de modo que invirtiendo la 2.23 se llega a

lm =3∑

n=1

λnm tn (2.26)

L = TΛ (2.27)

Consideremos en primer lugar un vector σν arbitrario. Referido alsistema Xi, σν se escribe como

σν =3∑i=1

σνi ti = T

σν1

σν2

σν3

(2.28)

Si se lo re�ere al sistema Yi, σν se escribirá como

σν =3∑j=1

σ′νj lj = L

σ′ν1

σ′ν2

σ′ν3

(2.29)


donde el prima indica componentes en el nuevo sistema Yi. En general,σνi 6= σ′νj, pero como se trata de un único vector σν debe cumplirseque

σν = T

σν1

σν2

σν3

= L

σ′ν1

σ′ν2

σ′ν3

(2.30)

De acuerdo con la 2.23 se reemplazan los ti resultando

LΛT

σν1

σν2

σν3

= L

σ′ν1

σ′ν2

σ′ν3

(2.31)

o bien σ′ν1

σ′ν2

σ′ν3

= ΛT

σν1

σν2

σν3

(2.32)

La ecuación anterior muestra como se expresan las componentes deun vector σν cuando se cambia el sistema de referencia. De modo queconociendo las componentes σνi en el sistema original Xi, se puedenencontrar las nuevas componentes σ′νj empleando los cosenos directoresλij. Nótese que la ecuación 2.32 contiene un solo coseno director encada término, que es la característica de transformación de un vector,o tensor de primer orden.

2.4.2. Condición de Reciprocidad de Vectores Ten-sión.

Por un punto de un sólido se consideraran dos planos, cuyas normalessean ν y µ. Asociados a esos planos existirán los vectores de tensiónσν y σµ, como se muestra en la Figura 2.7.

Se demostrará que la proyección del vector σν sobre la normal µ esigual a la proyección del vector σµ sobre la normal ν. Analíticamenteesta condición puede escribirse a través de los productos escalares

σν · µ = σµ · ν (2.33)

Para demostrarlo se evaluará cada miembro de 2.33 por separado.Para el miembro de la izquierda y recordando que σµ = σTµ de la2.13 resulta

σµ · ν = νTσTµ (2.34)


Figura 2.7: Reciprocidad de vectores de tensión

De igual manera,

σν · µ = µTσTν = νTσµ (2.35)

Para que las últimas dos expresiones coincidan es necesario queσT = σ, es decir que σij = σji, que se demostrará en las propiedadesdel tensor de tensiones, de donde

σµ · ν = σν · µ (2.36)

que es la ecuación 2.33 propuesta.Nótese que el valor resultante del producto escalar no es una cons-

tante o invariante del estado tensional del sólido en ese punto, sino quedepende de los dos planos especí�cos considerados.

2.5. Propiedades del Tensor de Tensiones

2.5.1. Simetría del Tensor de Tensiones

El tensor de tensiones de�nido anteriormente tiene en principio nue-ve componentes cartesianas. Una propiedad fundamental de ese tensorde tensiones es que sus componentes son simétricas, o sea satisfacen lacondición

σij = σji (2.37)


La demostración de esa propiedad se verá en la sección de equilibriode momentos. Además de aquí en más no se distinguirá entre σ y σT .

2.5.2. Transformación del tensor de tensiones concambio de coordenadas

Para obtener la ley de transformación de las componentes del ten-sor σij correspondiente al sistema (X1, X2, X3) a las componentes deltensor σ′mn referido al sistema (Yi, Y2, Y3) se recurre a la de�nición deσ′mn

σ′mn = lTmσln (2.38)

a su vez reemplazando 2.26 en la forma ln =∑3

j=1 λjntj y lTm =∑3i=1 λimtTi se tiene

σ′mn =

[3∑i=1

λimtTi

]σ

[3∑j=1

λjntj

]=

3∑j=1

3∑i=1

λimλjn[tTi σtj

](2.39)

donde por de�nición el corchete es σij = tTi σtj luego

σmn =3∑j=1

3∑i=1

λimλjnσim (2.40)

que matricialmente puede escribirse

[σmn] = ΛT [σij] Λ (2.41)

σ′ = ΛTσΛ (2.42)

donde σ y σ′ son las componentes del tensor de tensiones referidos alos dos sistemas, escritos en forma matricial. Similarmente, se tendrála transformación inversa:

σij =3∑

m=1

3∑n=1

σmnλimλjn (2.43)

2.5.3. Direcciones Principales de Tensión

2.5.3.1. Consideraciones Físicas

Se vio anteriormente que por un punto de un sólido pasan in�nitosplanos y hay por lo tanto in�nitos vectores tensión. Interesa determinar


los valores extremos de las tensiones, y las direcciones en que ocurreny esos valores se denominarán tensiones principales y direcciones prin-cipales de tensión.

Se verá que los valores extremos de la tensión normal están asocia-dos a planos donde la tensión de corte es nula. El criterio de búsquedaserá entonces el inverso, determinar aquellas direcciones ν asociadasa un plano donde no haya tensiones de corte (es decir, donde la com-ponente tangencial σνs sea nula) y luego veri�car que corresponden avalores extremos.

La condición analítica para que los vectores σν y ν sean paralelospuede escribirse como

σν = σ ν (2.44)

donde σ es un escalar a determinar. Reemplazando σν de la expresión(2.11), se tendrá:

σν = σ ν = σ 1ν (2.45)

que pasando todo al primer miembro resulta

[σ − σ1]ν = 0

que puede escribirse en forma matricial como σ11 − σ σ21 σ31

σ12 σ22 − σ σ32

σ13 σ23 σ33 − σ

ν1

ν2

ν3

=

000

(2.46)

El problema de encontrar los valores de σ y las componentes delvector dirección ν1, ν2, ν3 que satisfacen la expresión 2.46 se conocecomo un problema de vectores y valores propios. Dado que proponemosque existe una dirección en la que se cumple la condición propuesta,entonces los valores de ν1, ν2, ν3 no pueden ser todos nulos. Pero comose trata de un versor, sus componentes deben satisfacer la condiciónde módulo unitario:

ν21 + ν2

2 + ν23 = 1 (2.47)

pues son los cosenos directores de alguna dirección.Pero para que se satisfaga la condición 2.46 sin ser ν el vector

nulo, entonces necesariamente el determinante de la matriz principaldeberá ser nulo. Desarrollando el determinante se llega a una ecuaciónde tercer grado en σ de la forma

σ3 − I1 σ2 + I2 σ − I3 = 0 (2.48)


Esta expresión se conoce como la ecuación característica del tensor σijy los escalares I1, I2, I3 están dados por

I1 = tr(σ) = σ11 + σ22 + σ33

I2 = σ11σ22 + σ11σ33 + σ22σ33 − σ212 − σ2

13 − σ223 (2.49)

I3 = detσ = σ11σ22σ33 + 2σ12σ23σ31 − σ11σ223 − σ22σ

231 − σ33σ

212

Las tensiones y direcciones principales son características del estadotensional en un punto, por lo tanto no dependen del sistema coordenadoutilizado para encontrarlas. Por esa razón, los coe�cientes I1, I2, I3 dela ecuación 2.48 deben ser independientes del sistema de referenciautilizado.

Los valores I1, I2, I3 se denominan invariantes de tensión. Genera-lizando, todo tensor de segundo orden tiene tres invariantes.

La ecuación 2.48 tiene tres raíces reales, que llamaremos σI , σII ,σIII y cuyo valor no depende del sistema de referencia empleado paraobtenerlas. La forma más compacta de expresar el estado de tensio-nes en un punto es usando las tensiones principales, porque sólo esnecesario especi�car tres valores

σij =

σI 0 00 σII 00 0 σIII

(2.50)

Se puede demostrar que las tensiones σI , σII , σIII son valores ex-tremos comparados con las tensiones normales en direcciones vecinas.

Obtenidos los valores σ de la ecuación 2.48 se podrán evaluar lasdirecciones en las que se da cada tensión principal. Para ello se cuentacon la ecuación 2.46. Por ejemplo, sustituyendo el primer valor princi-pal σI se tiene σ11 − σI σ21 σ31

σ12 σ22 − σI σ32

σ13 σ23 σ33 − σI

νI1νI2νI3

=

000

(2.51)

Nótese que, como los valores de σ se obtuvieron con la condiciónque el determinante de la matriz principal sea nulo (esto es, que lamatriz principal sea singular), la ecuación 2.46 resulta un sistema sin-gular, que no tiene inversa. Una de las tres ecuaciones será linealmentedependiente de las otras dos y para encontrar la dirección asociada a


σI hay que �jar una de las componentes de νI , por ejemplo νI1 = 1. y secalculan las otras componentes resolviendo el sistema de dos ecuacionessimultáneas lineales resultante de eliminar la primera �la y cambiar demiembro la primera columna: :[

σ22 − σI σ32

σ23 σ33 − σI

] [νI2νI3

]=

[−σ12

−σ13

](2.52)

Adicionalmente, se sabe que el versor ν debe satisfacer la condi-ción de módulo unitario 2.47, que permite escalar los componentes deν. Las componentes de ν deben estar referidas a un sistema coordena-do, de modo que si se cambia el sistema de referencia, cambiarán lascomponentes de ν. Siempre que los valores principales sean distintos,σI 6= σII 6= σIII , se tendrá que las direcciones νI , νII y νIII resultaránortogonales entre si, ya que son los vectores propios de un matriz realy simétrica σij.

2.5.3.2. Una Forma Explícita de las Tensiones Principales

Las tensiones principales σI , σII y σIII pueden ser obtenidos porlas expresiones explícitas siguientes [9]

σI =2√3σ sin

(ψ +

2

3π

)+I1

3

σII =2√3σ sinψ +

I1

3(2.53)

σIII =2√3σ sin

(ψ +

4

3π

)+I1

3

donde se obtiene ( σI ≥ σII ≥ σIII ). Los parámetros de la ecuaciónanterior toman los siguientes valores:

ψ =1

3arcsen

(√3

2

¯σ

σ3

)para − π

6≤ ψ ≤ π

6

σ =1√6

[(σ11 − σ22)2 + (σ11 − σ33)2 + (σ22 − σ33)2 (2.54)

+6(σ2

12 + σ213 + σ2

23

)] 12

¯σ = I1I2 −2

9I3

1 − 3I3


Se puede demostrar que σ puede escribirse de una manera máscompacta como

σ =

√1

3(I2

1 − 3I2) (2.55)

Debe notarse que σ, ¯σ y ψ son también invariantes del tensor σij y susvalores pueden ser expresados en función de los invariantes I1, I2, I3.

2.5.4. Círculos de Mohr

Interesa saber si cualquier par de componentes σvv y σνs elegidasarbitrariamente constituyen realmente un vector de tensiones σν paraalguna dirección ν en el punto. Para estudiar cuales son las condicionesque deben cumplir las componentes normal y tangencial de un vectorusaremos la forma principal del tensor de tensiones.

Supongamos por simplicidad que las direcciones coordenadas X1,X2, X3 coinciden con las direcciones principales, de modo que σij tienela forma

[σij] =


(2.56)

Usaremos tres ecuaciones que involucran las componentes principalesdel tensor, las componentes del vector tensión y las componentes delversor dirección. De acuerdo con la 2.14, podemos calcular la compo-nente normal del vector tensión en función de tensiones principales

σvv = σijνiνj = σIν21 + σIIν

22 + σIIIν

23 (2.57)

Además, de la 2.17 se tiene que el módulo del vector tensión está dadopor

|σν |2 = σ2νν + σ2

νs = σ2Iν

21 + σ2

IIν22 + σ2

IIIν23 (2.58)

Por último, la condición de módulo unitario resulta:

ν21 + ν2

2 + ν23 = 1 (2.59)

Las ecuaciones 2.57�2.59 forman un sistema con tres incógnitas: ν21 ,

ν22 , ν

23 : 1 1 1

σI σII σIIIσ2I σ2

II σ2III

ν21

ν22

ν23

=

1σνν

σ2νν + σ2

νs

(2.60)


Resolviendo el sistema 2.60 se determinan

ν21 =

(σνν − σII) (σνν − σIII) + (σνs)2

(σI − σII) (σI − σIII)

ν22 =

(σνν − σIII) (σνν − σI) + (σνs)2

(σII − σIII) (σII − σI)(2.61)

ν23 =

(σνν − σI) (σνν − σII) + (σνs)2

(σIII − σI) (σIII − σII)

Nótese que ν2i es siempre positivo. Si se ordenan las tensiones prin-

cipales de modo que σI > σII > σIII , los denominadores de la primeray la tercera de las ecuaciones 2.61 serán siempre positivos, en tantoque el denominador de la segunda será siempre negativo, de modo quelos numeradores tendrán los signos:

(σνν − σII) (σνν − σIII) + (σνs)2 ≥ 0

(σνν − σIII) (σνν − σI) + (σνs)2 ≤ 0 (2.62)

(σνν − σI) (σνν − σII) + (σνs)2 ≥ 0

Para que un par de componentes σνν , σνs representen un estadode tensión posible en un punto de la estructura, deberán ser tales quesatisfagan las 2.62. La segunda desigualdad es satisfecha por los puntosinternos (o en el contorno) de un círculo de radio R = (σI − σIII)/2centrado en el punto (σvv, σνs) =

(σI+σIII

2, 0), en tanto que la primera

y la tercera de las desigualdades son satisfechas por puntos que seencuentran sobre o fuera de círculos similares. La Figura 2.8 muestraese conjunto de posibles valores σνν y σνs como una zona sombreaday limitada por tres círculos de�nidos por las 2.62. El punto A en la�gura está asociado a un plano en el que la componente cortante dela tensión es máxima y su valor puede obtenerse de la semidiferenciaentre las tensiones principales mayor y menor.

La representación de tensiones por medio de estos círculos fue pre-sentada por el ingeniero alemán Otto Mohr en 1882.

2.5.5. Componentes Esféricas y Desviadoras delTensor de Tensiones

Todo tensor σij puede descomponerse como la suma de dos tensores,uno hidrostático y otro desviador. Esa descomposición toma la forma


σνν

σν s

σ Ισ ΙΙΙ σΙΙ

A

Figura 2.8: Círculos de Mohr

siguiente:

σij =

σM 0 00 σM 00 0 σM

+

σ11 − σM σ12 σ13

σ21 σ22 − σM σ23

σ31 σ32 σ33 − σM

(2.63)

donde

σM =σ11 + σ22 + σ33

3=I1

3(2.64)

El primer término, es conocido como tensor esférico y el segundocomo tensor desviador. El tensor esférico está asociado a un estadohidrostático de tensión de intensidad σM en todas las direcciones; elcarácter de hidrostático indica la ausencia de componentes cortantes encualquier dirección. Esta primera componente es propia de los �uidosen reposo.

El tensor desviador, cuyas componentes serán designadas por sij,está asociado con esfuerzos o tensiones de corte. La descomposiciónpuede escribirse como

σij = δijσM + sij (2.65)

σ = 1σM + s (2.66)


Es fácil demostrar que la componente desviadora tiene traza nula,o sea

tr(s) = s11 + s22 + s33 = 0 (2.67)

de donde una de las componentes de la diagonal principal es funciónde las otras dos:

s22 = −s33 − s11 (2.68)

Es posible descomponer al tensor sij en la suma de cinco estadosde corte puro, tres de ellos según los planos cartesianos y dos en planosa 45 grados con respecto a los cartesianos. En efecto:

[sij] =

0 s12 0s21 0 00 0 0

+

0 0 s13

0 0 0s13 0 0

+

0 0 00 0 s23

0 s32 0

+

s11 0 00 −s11 00 0 0

+

0 0 00 −s33 00 0 s33

(2.69)

Los tres primeros tensores son evidentemente estados de corte puro,mientras que los dos últimos son estados de corte puro en un elementodiferencial a 45 grados del coordenado, como se ilustra en la Figura2.9.

Figura 2.9: Componentes del tensor desviador

Esta descomposición aditiva del tensor σij permite un mejor trata-miento de dos aspectos importantes:

(a) Permite establecer una relación entre las tensiones σij y las de-formaciones correspondientes a través de las ecuaciones constitutivas.


(b) Permite una descripción conveniente de los fenómenos de plas-ticidad y rotura de los materiales.

2.5.5.1. Invariantes del Tensor Desviador

Dada la linealidad de las expresiones de transformación de las com-ponentes de tensión σij ya vista, los componentes desviadores tambiénse transformaran según dicha ley y sij constituye un tensor. Por lo tan-to, será posible de�nir los invariantes del tensor sij y se denominaránJ1, J2 y J3. Como ya se vio, el primer invariante del tensor desviadores nulo en tanto que los otros resultan

J1 = tr (s) = s11 + s22 + s33 = 0

J2 = s11s22 + s11s33 + s22s33 − s212 − s2

13 − s223 (2.70)

J3 = det [sij] = det [σij] +2

27(I1)3 − I1I2

3

Que se pueden escribir en función de los invariantes I1 I2 I3 :

J2 = I2 −I2

1

3(2.71)

J3 = I3 +2

27(I1)3 − I1I2

3

o también en función de los invariantes σ y ¯σ se llega a

J2 = −σ2 (2.72)

J3 = −¯σ

3

2.6. Estados Tensionales en el Espacio de

las Tensiones Principales

Cuando se estudiaron las propiedades del tensor de tensiones (Sec-ción 2.5) se vio que siempre es posible rotar el sistema coordenado demodo de obtener el estado principal. En lugar de trabajar con las seiscomponentes distintas del tensor de tensiones, que no permiten realizar


representaciones grá�cas, muchas veces es más conveniente trabajar enel espacio de tensiones principales.

Veremos a continuación representaciones de tensiones en un espaciocuyos ejes con las tensiones principales σI σII σIII . Este se denominaespacio de Westergaard. En este espacio, un punto representa las com-ponentes de un tensor. Hay una dirección que está formada por lospuntos que son equidistantes de los tres ejes y cumple con la condición

σI = σII = σIII (2.73)

y se de�ne como eje hidrostático. El plano normal al eje hidrostáticoy contiene al origen del sistema de coordenadas σI = σII = σIII = 0se denomina plano desviador (ver Figura 2.10).

Un punto cualquiera en el espacio de tensiones principales repre-senta un tensor de tensiones. Si se lo desea, es posible visualizar eseestado mediante un vector que une el punto con el origen y representael tensor. Ese vector puede ser descompuesto de varias formas, peroresulta muy útil encontrar sus componentes sobre el eje hidrostático ysobre el plano desviador. Esas componentes son ampliamente usadaspara estudiar plasticidad.

2.6.1. Componentes Esféricas y Desviadoras

Consideremos la descomposición del tensor de tensiones en compo-nentes esféricas y desviadoras, pero usando las tensiones principales.Se tiene así

σij =


= (2.74)

=

σM 0 00 σM 00 0 σM

+

σI − σM 0 00 σII − σM 00 0 σIII − σM

donde σM =

1

3(σI + σII + σIII) = I1

3. La componente desviadora es

tal que su traza (primer invariante J1) es cero, luego

(σII − σM) = − (σI − σM)− (σIII − σM)


Figura 2.10: Espacio de tensiones principales. Eje hidrostático y planodesviador

Es posible entonces descomponer Sij en dos tensores

[Sij ] =

σI − σM 0 00 − (σI − σM ) 00 0 0

+ 0 0 0

0 − (σIII − σM ) 00 0 σIII − σM

(2.75)

donde cada tensor representa un estado de corte puro. Nótese quecuando σij se escribe para ejes cartesianos cualquiera, sij se descom-pone en cinco componentes de corte puro, pero cuando σij se re�ere aplanos principales bastan dos componentes de corte puro para de�nirSij.

Como conclusión se tiene que cualquier tensor de tensiones σij pue-de escribirse usando sus componentes principales y cuando se lo di-buja en el espacio principal da un vector. Ese vector se puede des-componer en una componente sobre el eje hidrostático, cuyo valor es


√3σM = I1/

√3 y en otra componente ubicada en el plano desvia-

dor, cuyo módulo al cuadrado vale −2 J2. Las dos componentes de Sijtambién están en el plano desviador, como se muestra en la �gura.

Figura 2.11: Descomposición en componentes esféricas y desviadorasen el espacio de tensiones principales

2.6.2. Tensión de Corte en los Planos Octaédricos*

Se de�nen como planos octaédricos aquellos cuya normal equidistade los direcciones principales de tensión en el punto. Supongamos queel sistema de referencia cartesiana (X1, X2, X3) coincide con las direc-ciones principales (I, II, III), entonces los cosenos directores de lasdirecciones octaédricas son

ν21 = ν2

2 = ν23 =

1

3(2.76)

Luego un plano octaédrico es un plano que forma ángulos iguales conrespecto a las direcciones principales de tensión en un punto determi-nado de una estructura (hay 4 planos que cumplen esa condición). De


modo que el tensor de tensiones referido a ejes X1, X2, X3 resulta enla forma

[σij] =


(2.77)

Un versor ν normal al plano octaédrico (equidistante de los ejes) puedeescribirse como

ν =1√3

(±t1 ± t2 ± t3) (2.78)

Con referencia a la Figura 2.5, denominaremos σ0 al vector de tensionesasociado al plano octaédrico cuya normal es ν. Este vector tensión σ0

tiene dos componentes, una normal que designaremos por el escalar σ0

y una tangencial τ 0.La componente normal se calcula mediante la expresión general de

σνν

σ0 = σνν

= σIν21 + σIIν

22 + σIIIν

23 (2.79)

Pero la normal al plano octaédrico tiene sus componentes iguales, conlo que σ0 se reduce a

σ0 =σI + σII + σIII

3=I1

3(2.80)

De modo que la tensión normal en los planos octaédricos es igual ala tensión media

σM =1

3(σI + σII + σIII) (2.81)

Buscaremos a continuación la componente cortante de este vector.El vector tensión en el plano octaédrico σ0 es un vector y se puedeescribir como σν

σ0 = +σIν1t1 + σIIν2t2 + σIIIν3t3

=1√3

(±σIt1 ± σIIt2 ± σIIIt3) (2.82)

El módulo de ese vector se calcula como el producto escalar del vectorpor si mismo

σ0 · σ0 = |σ0|2 =1

3

(σ2I + σ2

II + σ2III

)(2.83)


Por otra parte, el módulo del vector tensión σ0 resulta

|σ0|2 = σ20 + τ 2

0 (2.84)

Despejando se obtieneτ 2

0 = |σ0|2 − σ20 (2.85)

Sustituyendo en la ecuación de τ 20 , resulta

τ 20 =

[1

3

(σ2I + σ2

II + σ2III

)− 1

9(σI + σII + σIII)

2

](2.86)

Desarrollando, la ecuación anterior puede escribirse como

τ 20 =

1

9

[2σ2

I + 2σ2II + 2σ2

III − 2σIσII + 2σIIσIII + 2σIσIII]

=2

9

[(σI − σII)2

2+

(σI − σIII)2

2+

(σII − σIII)2

2

](2.87)

Introduciendo la notación

σ2e =

1

2

[(σI − σII)2 + (σI − σIII)2 + (σII − σIII)2] = 3σ2 (2.88)

Reemplazando σe en la ecuación de τ 20 se llega a

τ 20 =

2

9σ2e (2.89)

Como se verá más adelante, σe representa una tensión efectiva otensión de comparación, también llamada tensión de von Mises, que esde gran utilidad para evaluar el efecto de un estado complejo de ten-siones en un material. Este valor σe interesa principalmente en metalesdúctiles, pero también es de utilidad en la evaluación de las solicita-ciones en otros materiales, como hormigones.

Se demuestra fácilmente que una forma alternativa de escribir latensión efectiva es

σ2e = −3J2 (2.90)

Otras formas de escribir τ 20 en función de invariantes son

τ 20 = −2

3J2 y τ 2

0 =2

3σ2 (2.91)


2.7. Ecuaciones Diferenciales de Equilibrio

En las secciones anteriores solamente se de�nieron las variables quecaracterizan el estado tensional en un punto de un sólido y ahora semostrará qué relaciones tienen esas variables con las fuerzas exter-nas. Estas relaciones tienen la forma de ecuaciones diferenciales, quepermiten equilibrar las fuerzas másicas e inerciales actuantes con lastensiones que se desarrollan en el cuerpo sólido.

Para plantear equilibrio se estudiará la suma de fuerzas en un ele-mento diferencial o cubo elemental perteneciente a la estructura inde-formada (Figura 2.12), en el cual se pondrán en evidencia las accionesde las fuerzas másicas y de las tensiones. En realidad la de�nición delas tensiones y las ecuaciones de equilibrio deberían plantearse en lacon�guración deformada del sólido; sin embargo, aquí supondremosque los desplazamientos son pequeños y que no es necesario distinguirentre ambas con�guraciones a este �n.

Figura 2.12: Equilibrio de un cubo elemental

2.7.1. Equilibrio de Fuerzas

Si se suman los vectores de tensión σi asociados a cada cara delcubo elemental más las fuerzas másicas ρb, aplicando la segunda leyde Newton y simpli�cando factores comunes, se llega a la ecuación


diferencial:3∑i=1

∂σi∂Xi

+ ρb = ρa (2.92)

donde b es la fuerza másica por unidad de masa, a es la aceleracióny ρ es la densidad del material. En general se considerarán problemasde equilibrio estático por lo que se supondrá a = 0 y reemplazaremosF = ρb (fuerza másica por unidad de volumen).

El equilibrio en componentes escalares se puede encontrar en fun-ción de las componentes cartesianas (cada dirección tj). Para ello seproyecta la ecuación 2.92 en cada una de dichas direcciones tj:

3∑i=1

(tj ·

∂σi∂Xi

)+ tj · F = 0 (2.93)

Sustituyendo σi de la 2.4, y notando que tj · tk = δjk

3∑i=1

[tj ·

∂

∂Xi

(3∑

k=1

σiktk

)]+ tj · F = 0 (2.94)

3∑i=1

3∑k=1

∂ (σik)

∂Xi

δjk + Fj = 0 (2.95)

Finalmente resultan tres ecuaciones escalares

3∑i=1

∂σij∂Xi

+ Fj = 0 (2.96)

La ecuación 2.96 representa tres ecuaciones escalares de equilibriode fuerzas,

∂σ11

∂X1

+∂σ21

∂X2

+∂σ31

∂X3

+ F1 = 0

∂σ12

∂X1

+∂σ22

∂X2

+∂σ32

∂X3

+ F2 = 0 (2.97)

∂σ13

∂X1

+∂σ23

∂X2

+∂σ33

∂X3

+ F3 = 0

Se trata de un sistema acoplado de ecuaciones diferenciales. Lastres ecuaciones de equilibrio contienen seis incógnitas, de modo queel problema es estáticamente indeterminado, aún sin considerar lascondiciones de vínculo.


2.7.2. Equilibrio de Momentos

Se escribe a continuación la condición vectorial de equilibrio de mo-mentos en la Figura 2.12, con respecto al centro del cubo elemental.

Las resultantes de las tensiones σi y

(σi +

∂σi∂Xi

dXi

)se consideran

aplicadas en los centros de las caras, en tanto que la fuerza másica seconsidera aplicada en el centro del elemento y por lo tanto su contri-bución es nula. Resulta así:

3∑i=1

{(−1

2tidXi

)× (−σi) +

1

2tidXi ×

(σi +

∂σi∂Xi

dXi

)}dAi = 0

(2.98)donde dAi es el área de la cara normal a ti

dA1 = dX2 dX3

dA2 = dX3 dX1 (2.99)

dA3 = dX1 dX2

Dejando de lado términos de orden cuarto (dAi dXi dXi), simpli�candolos diferenciales

dXi dAi = dX1 dX2 dX3 (2.100)

queda3∑i=1

ti × σi = 0 (2.101)

Sustituimos σi de la ecuación 2.4,

3∑i=1

(ti ×

3∑j=1

σij tj

)= 0 (2.102)

Recordando que el producto vectorial de versores de una terna es:

ti×tj =

0 si i = jel tercer vector si están ordenados, por ej. t1 × t2 = t3

menos el tercer vector si no lo están, por ej. t3 × t2 = −t1

(2.103)se tiene:

t3 (σ12 − σ21) + t2 (σ31 − σ13) + t1 (σ23 − σ32) = 0 (2.104)


Pero como losti 6= 0 e independientes, entonces necesariamentedebe ocurrir que

σ21 − σ12 = 0 σ13 − σ31 = 0 σ23 − σ32 = 0 (2.105)

o, lo que es lo mismo,σij = σji (2.106)

Esta es la demostración de la simetría del tensor, o condición dereciprocidad del tensor de tensiones, mencionada en la ecuación 2.37.Se concluye que las tensiones tangenciales recíprocas en planos ortogo-nales son iguales entre sí. Recién aquí hemos justi�cado que usaremosseis componentes de tensión σij en lugar de las nueve que contiene eltensor.

2.7.3. Condiciones de Borde de Tensión

Supondremos que en el contorno del cuerpo estudiado existen fuer-zas de super�cie

f =

f1

f2

f3

(2.107)

Estas fuerzas están expresadas por unidad de super�cie, es decir quetienen dimensiones similares a las de una tensión y actúan sobre elplano cuya normal es ν (en este caso también normal al cuerpo). Lacondición de equilibrio exige que

f = σν (2.108)

Reemplazando σν en función del tensor de tensiones de la 2.11,

f = σν

o bien, en componentes,

fj =3∑i=1

σij νi (2.109)

Las 2.109 son tres ecuaciones escalares que deben satisfacer lascomponentes del tensor de tensiones en el borde del cuerpo donde se


conoce el valor de la fuerza f (nula o no)

f1 = σ11 ν1 + σ21 ν2 + σ31 ν3

f2 = σ12 ν1 + σ22 ν2 + σ32 ν3 (2.110)

f3 = σ13 ν1 + σ23 ν2 + σ33 ν3

Notar que f no es necesariamente normal a la super�cie, sino quetambién puede incluir componentes tangenciales.

f

ν

−σν

Figura 2.13: Condición de equilibrio en el borde

En resumen, las componentes σij del tensor de tensiones deben sertales que satisfagan las ecuaciones de equilibrio 2.96 en el interior delcuerpo y las 2.109 en el contorno cargado o libre del cuerpo.

2.7.4. Forma Integral de las Condiciones de Equilibrio∗

Si se cumplen las ecuaciones diferenciales de equilibrio en el interiordel cuerpo (V ) y las condiciones de contorno de fuerzas en la super�cie(S)

3∑i=1

∂σi∂Xi

+ F = 0 en V (2.111)

3∑i=1

σiνi = f en S (2.112)


entonces también se cumplen las ecuaciones globales de equilibrio defuerzas y de momentos, es decir∫

V

F dV +

∫S

f dS = 0 (2.113)

∫V

(d× F) dV +

∫S

(d× f) dS = 0 (2.114)

donde d es el vector posición respecto de un punto arbitrario, para locual se puede elegir al origen del sistema de coordenadas (X1, X2, X3)como punto respecto al cual tomar momentos:

d = Xiti (2.115)

Demostración: Integrando la ecuación de equilibrio de fuerzas re-sulta: ∫

V

(3∑i=1

∂σi∂Xi

+ F

)dV = 0 (2.116)

e integrando el primer término con la expresión de Gauss∫V

3∑i=1

∂σi∂Xi

dV =

∫S

3∑i=1

σiνi dS =

∫S

f dS (2.117)

Luego: ∫V

F dV +

∫S

f dS = 0 (2.118)

que son las ecuaciones de equilibrio de fuerzas globales del cuerpo.Para encontrar la ecuación de momentos global se tomará momen-

tos de cada término de la ecuación de equilibrio de fuerzas tambiéncon respecto al origen de coordenadas:∫

V

(d×

3∑i=1

∂σi∂Xi

)dV +

∫V

(d× F) dV = 0 (2.119)

Por otro lado:

∂

∂Xi

(d× σi) =∂d

∂Xi

× σi + d× ∂σi∂Xi

(2.120)


Además

∂d

∂Xi

=∂(∑3

j=1Xj tj

)∂Xi

=3∑j=1

∂Xj

∂Xi

tj =3∑j=1

δijtj = ti (2.121)

Luego

3∑i=1

∂

∂Xi

(d× σi) =3∑i=1

ti × σi +3∑i=1

d× ∂σi∂Xi

(2.122)

Como ya se ha demostrado, el primer término del segundo miembrose anula debido al equilibrio local de momentos que se satisface enforma idéntica si σij = σji. Aplicando nuevamente el teorema de Gauss∫V

3∑i=1

(d× ∂σi

∂Xi

)dV =

∫V

3∑i=1

∂

∂Xi

(d× σi) dV (2.123)

=

∫S

3∑i=1

(d× σi) νi dS =

∫S

3∑i=1

(d× σi νi) dS

Finalmente, usando las condiciones de borde resulta∫S

(d× f) dS +

∫V

(d× F) dV = 0 (2.124)

2.8. Comentarios Sobre el Origen de los

Conceptos de Tensión∗

Agustín Cauchy presentó oralmente su teoría sobre esfuerzos in-ternos en sólidos el 30 de septiembre de 1822 y en forma escrita en1823 en Bulletin de la Societe Philomatique. También expandió esosconceptos en su texto Excercises de Mathematiques, de 1829, en dondeaparecen las ecuaciones diferenciales de equilibrio. El concepto de ten-sión fue posteriormente generalizado a situaciones no contempladas porCauchy, pero el detalle y los conceptos que enseñamos en la actualidada los ingenieros siguen la letra de Cauchy. Los escritos de Cauchy sonmuy claros y rigurosos y la lectura de su contribución original puedeser hecha en la actualidad con mucho bene�cio para el lector.


El principio de tensión no resulta evidente ni puede medirse direc-tamente la tensión sobre un plano, de modo que no se trata de untérmino observacional sino de un término teórico. Nadie había gene-rado el concepto de tensión en sólidos con anterioridad y la enormecontribución de Cauchy consistió en formularlo, a partir del cual fueposible construir el resto de la teoría de elasticidad. La génesis delconcepto de tensión ha sido reconstruida por Truesdell1, quien mostróque los elementos conceptuales que eran necesarios para establecer unateoría de esfuerzos en sólidos ya se encontraban en trabajos anterio-res a Cauchy. Sin embargo, se trataba de contribuciones sobre casosparticulares y que nunca fueron puestos juntos como lo hizo Cauchy.

La idea de aislar el sistema continuo y cortarlo imaginariamenteen dos partes para representar la acción de una de ellas sobrela otra mediante campos de�nidos en la frontera entre ambos sedebe a Euler (de un trabajo de 1750).

Cauchy señala que la tensión sobre una super�cie es de la mis-ma naturaleza que la presión hidrostática que hace un �uido enreposo sobre la super�cie externa de un cuerpo. Pero la tensiónno permanece perpendicular a la super�cie sobre la que actúa, nies igual en todas direcciones para un punto del sólido. De modoque el origen del vector de tensiones parece ser la hidrostática.Esta idea de presión de Euler fue a su vez tomada y re�nada dela contribución de John Bernoulli (de un trabajo de 1743), quienusaba la presión como una fuerza interior.

Para concebir un comportamiento de tensión sobre una super�-cie diferente de la presión, es necesario considerar la in�uencia deesfuerzo de corte. Eso había sido estudiado por Coulomb en 1773para una viga, quien también llegó a plantear las ecuaciones deequilibrio, pero sin escribirlas en forma de ecuaciones diferencia-les.

1Truesdell, C. A. (1968), Essays in the History of Mechanics, Springer Verlag,Berlin. Traducido al español como Ensayos de Historia de la Mecánica, EditorialTecnos, Madrid, 1975.


2.9. Ejercicios

Ejercicio 2.1. En un punto en el interior de una estructura se hacomputado el tensor de tensiones σij y resulta

[σij] =

1 3 43 2 54 5 6

MPa

(a) Determine el valor de la tensión σv asociada a un plano quepasa por el punto y cuya normal es:

ν = 0,768 t1 − 0,548 t2 − 0,329 t3

(b) Evalúe las componentes σνν y σνs del vector tensión. (c) Evalúeel vector tensión σµ asociado al plano cuya normal es

µ = 0,329 t1 − 0,768 t2 − 0,548 t3

(d) Compruebe queσν · µ = σµ · ν

Ejercicio 2.2. Para el tensor de tensiones del ejercicio 2.1: (a) Encuen-tre las direcciones y valores principales de tensión. (b) Descomponga eltensor en sus componentes esférica y desviadora. (c) Obtenga el tensorσ′ij referido a un sistema nuevo, empleando la matriz de rotación:

Λ =

0,669 0,743 0−0,743 0,669 00 0 1

Ejercicio 2.3. Las componentes de tensión en todo el volumen de unaestructura están dadas por

σ11 = A (X1 + 3X23 + 5X2) σ12 = A (X2

3 +X31 )

σ22 = A (X1 + 4X2 +X3) σ23 = A (X21 )

σ33 = A (2X1 +X3) σ31 = A (X1 +X22 )

donde A es una constante. Determine qué distribución de fuerzas má-sicas debe existir para que el cuerpo esté en equilibrio.

Ejercicio 2.4. Escriba las componentes del vector de tensiones enun plano genérico si se tiene el tensor de tensiones en las direccionesprincipales.


Ejercicio 2.5. Un tensor de tensiones está dado por

σij =

1 a ba 1 cb c 6

Qué valores deben tener a, b, c si se requiere que el vector de tensionesasociado a la dirección normal µ sea cero, donde

µ = 1/√

3 t1 + 1/√

3 t2 + 1/√

3 t3

Solución: a = b = c = −1/2.Ejercicio 2.6. Para el tensor

[σij] =

10 −6 0−6 10 00 0 1

MPa

(a) Obtenga las componentes esféricas y desviadoras; (b) Compute lastensiones principales de la componente desviadora.

Ejercicio 2.7. Calcule las componentes principales de tensión y susdirecciones asociadas para un tensor que tiene todas sus componentesigual a uno, σij = 1. Solución: σI = 3, σII = σIII = 0. ν=1/

√3 t1 +

1/√

3 t2 + 1/√

3 t3.Ejercicio 2.8. Sea Φpq un tensor simétrico de segundo orden, tal

que las componentes del tensor de tensiones σij sean computables apartir de Φpq en la forma:

σij = δij

(∂2Φqq

∂x2p

− ∂2Φqp

∂xp∂xq

)+

∂2Φpi

∂xp∂xj+

∂2Φjp

∂xp∂xi

− ∂2Φpp

∂xi∂xj− ∂2Φji

∂x2p

Demuestre que, con esa de�nición de σij, las ecuaciones de equilibrioen el volumen se satisfacen automáticamente en ausencia de fuerzasmásicas. Ese tensor Φpq es el equivalente a la función de tensión deAiry en elasticidad bidimensional.

Capítulo 3

Análisis General de

Deformaciones

En este capítulo se estudian las deformaciones de un cuerpo en elentorno de un punto. Se supone que los desplazamientos y giros del só-lido son pequeños y que las deformaciones son pequeñas. En la primeraparte se evalúan deformaciones especí�cas longitudinales, angulares yvolumétricas, y al relacionarlas con el campo de desplazamientos surgela necesidad de de�nir un tensor de deformaciones. En la segunda partese investiga ese tensor; se demuestra que es un tensor de segundo orden;se encuentran sus valores y direcciones principales; y sus componentesesférica y desviadora. En la tercera parte se estudia la rotación de una�bra.

3.1. Posición y desplazamiento de un pun-

to. Medidas de deformación

Hipótesis:Partimos de un cuerpo en un estado inicial libre de deformaciones

y del cual conocemos su geometría. Este cuerpo B cuyos puntos ma-teriales designaremos como P que referidos a un sistema coordenadocartesiano estarán de�nidos por el vector X

XT = (X1, X2, X3) (3.1)

Denominaremos al cuerpo B y a las posición de los puntos en estacon�guración indeformada como la con�guración de referencia. Debido

63


a alguna acción externa el cuerpo B cambiará de forma y ocupará unaforma distinta que denominaremos con b. Los puntos materiales Ppasarán a ocupar posiciones diferentes que denotaremos por el vectorx

xT = (x1, x2, x3) (3.2)

Resulta inmediato introducir los desplazamientos u como la dife-rencia entre la posición �nal y la inicial por lo cual es posible escribir

x(X1, X2, X3) = X + u (X) (3.3)

sencillamente esto expresa que la nueva posición x de un punto materialP está dada por la posición original X más los desplazamientos uque sufre en el proceso de deformación. El campo de desplazamientosu debe ser continuo para asegurar que el cuerpo deformado b seacontinuo es decir que no aparezcan brechas o solapamientos.

ObjetivoConocido entonces el campo de desplazamientos, es decir conocidos

la posición original y deformada de cada punto material P que confor-man el cuerpo B interesa poder medir las deformaciones que ocurrenen el entorno de un punto cualquiera. Básicamente las deformacionesque nos interesa conocer son:

Cambio de volumen

Cambio de la longitud de una �bra, originalmente en una direc-ción cualquiera ν

Cambio de ángulo entre dos �bras, originalmente en dos direccio-nes cualesquiera ν y µ (en particular nos interesarán dos �brasque originalmente sean ortogonales, es decir µ · ν = 0 )

MetodologíaPara medir deformaciones en el entorno de un punto mediremos

longitudes, ángulos y volúmenes antes y después del movimiento. Lacomparación adecuada entre magnitudes originales y �nales permiteevaluar deformaciones.

3.1.1. Medidas en la geometría indeformada

Sea entonces un punto cualquiera A en el entorno del cual nosinteresa evaluar las deformaciones que se han producido. Consideremos

Análisis General de Deformaciones 65

AB

C

D

ν

µ

ρ

X

Y

Z

Figura 3.1: Hexaedro elemental

tres puntos B, C, y D su�cientemente cercanos al punto A, que juntocon él de�nan un hexaedro de caras ortogonales (ver Figura 3.1). Comocaso particular podría ser un hexaedro elemental de caras paralelas alos planos cartesianos a partir de incrementos in�nitesimales de lascoordenadas

dXT = (dX1, dX2, dX3) (3.4)

Por ahora nos mantendremos en la hipótesis de que las caras delhexaedro no coinciden con los planos cartesianos

Denominaremos con ν a la dirección de la �bra orientada del puntoA al puntoB. Con µ denominaremos a la dirección de la �bra orientadadel punto A al punto C que por lo pedido al hexaedro es ortogonal aν.

Llamando al vector orientado de A a B

∆XAB = XB −XA (3.5)

y a la longitud de dicho vector

∆SAB =√

(∆XAB ·∆XAB)

donde se ha introducido la noción habitual de distancia en el espacioeuclidiano. Con lo cual tenemos la primera magnitud, una longitud en


este caso, medida sobre la geometría indeformada de una �bra orien-tada en una dirección cualquiera ν. Es fácil ver que

∆XAB = ∆SAB ν o ν =∆XAB

∆SAB(3.6)

Si acercamos el punto B a lo largo de la dirección ν hasta unadistancia in�nitesimal

dXAB = dSAB ν o ν =dXAB

dSAB(3.7)

Notar que la dirección ν es completamente arbitraria, es decir puedeser cualquier dirección en el espacio.

Similarmente el punto C de�ne junto con el A la dirección µ

µ =dXAC

dSACo dXAC = dSAC µ (3.8)

Notar que la única condición pedida a µ es que sea perpendicular aν. Una forma de evaluar el ángulo entre �bras es través de la expresióndel producto escalar de dos vectores

α = cos−1 [ν · µ] = cos−1

[dXAB

dSAB· dXAC

dSAC

](3.9)

Por la forma en que se han elegido las �bras α =π

2Finalmente el punto D de�ne una tercera dirección ρ en el espacio

que debe ser ortogonal a las anteriores

ρ = ν × µ =dXAD

dSADo dXAD = dSAD ρ (3.10)

El volumen de un paralelepípedo puede obtenerse mediante el tripleproducto vectorial de sus aristas

dV = (dXAB × dXAC) · dXAD = (ν × µ) · ρ dSAB dSAC dSAD= dSAB dSAC dSAD

La elección de las direcciones persiguen el siguiente objetivo

Nos interesa medir la deformación longitudinal de una �bra orien-tada en la dirección ν


Nos interesa medir el cambio de ángulo entre las �bras ν y µ queoriginalmente son ortogonales

Nos interesa medir el cambio de volumen del hexaedro elementalde�nido.

Ya hemos evaluado entonces las magnitudes de interés en la geometríaoriginal.

3.2. El gradiente de deformación.

Las deformaciones son medidas locales, las cuales excluyen movi-mientos y rotaciones de cuerpo rígido. Para medir deformaciones de-bemos observar como cambian los desplazamientos localmente, modi-�cando la forma y el tamaño.

Veamos ahora como se transforma el hexaedro elemental cuando seproduce el movimiento. Los puntos materiales A,B,C y D se muevena sus nuevas posiciones que denominaremos respectivamente a,b,c yd. Analicemos el comportamiento de una �bra cualquiera, por ejemplola de�nida por los puntos A y B. El punto A de coordenadas

XA =

X1

X2

X3

(3.11)

va a parar a la posición:

xa = XA + uA (3.12)

en tanto que el punto B (y en forma similar los puntos C y D) decoordenadas

XB = XA + dSABν = XA + dXAB =

X1 + dX1

X2 + dX2

X3 + dX3

(3.13)

va a la posición

xb = xa + dxab = XA + uA + dXAB + duAB (3.14)


donde el diferencial de desplazamientos entre los puntosA y B (duAB),se expresa en función de la derivada direccional (en la dirección ν) delcampo de desplazamiento evaluada en el punto A

duAB =

du1

du2

du3

AB

=

∂u1

∂X1

∂u1

∂X2

∂u1

∂X3∂u2

∂X1

∂u2

∂X2

∂u2

∂X3∂u3

∂X1

∂u3

∂X2

∂u3

∂X3

A

dX1

dX2

dX3

AB

= ∇uA dXAB = ∇uA ν dSAB (3.15)

con lo cual

dxab = dXAB + duAB = (1 + ∇u|A) dXAB = FA dXAB (3.16)

=

1

11

+

∂u1

∂X1

∂u1

∂X2

∂u1

∂X3∂u2

∂X1

∂u2

∂X2

∂u2

∂X3∂u3

∂X1

∂u3

∂X2

∂u3

∂X3

A

dX1

dX2

dX3

AB

Donde a FA = (1 + ∇u|A) lo llamaremos gradiente de deformación(valuado en el punto A).

Para interpretar físicamente a F observemos en que se transformanlas aristas de un hexaedro elemental cuyas caras coincidan con losplanos cartesianos. Supongamos que las aristas de este hexaedro midansobre cada eje cartesiano dX1, dX2 y dX3. Analicemos, por ejemplo,la que está orientada en la dirección 1 (t1dX1) , para esto basta darvalores a dX = (dX1, 0, 0) con lo que resulta

dx1 =

∂x1

∂X1∂x2

∂X1∂x3

∂X1

dX1 =

1 +

∂u1

∂X1∂u2

∂X1∂u3

∂X1

dX1 = F1dX1 (3.17)

Que es la primera columna del gradiente de deformación multipli-cada por la longitud original. Lo mismo podemos decir respecto a lasotras direcciones coordenadas.


El hexaedro deformado se ha convertido ahora en un paralelepípedocuyo volumen puede calcularse como el triple producto vectorial de susaristas

dv = (F1 × F2) · F3 dX1dX2dX3 = det(F) dV (3.18)

3.3. Deformación especí�ca longitudinal

Estudiemos ahora como se ha modi�cado la longitud de la �braA-B. Originalmente su longitud era dSAB y ahora resulta

dsab =√dxab · dxab =

√dxTab dxab (3.19)

=

√νT [1 + ∇u]T [1 + ∇u]ν dSAB

El producto bajo la raíz puede desarrollarse como

νT[1 + ∇Tu + ∇u + ∇Tu∇u

]ν (3.20)

En este curso nos concentraremos en problemas con pequeños giros,

lo que está asociado básicamente a que todas las componentes∂ui∂Xj

�

1, con lo cual podemos despreciar productos entre derivadas frente a laderivada misma. Luego como primera aproximación al radicando nosquedaremos con

νT[1 + ∇Tu + ∇u

]ν (3.21)

Por otro lado también supondremos que las deformaciones son pe-queñas, es decir que la relación entre las longitudes �nal dsab y originaldSAB de la �bra es muy similar a 1, es decir que

dsabdSAB

=√νT[1 + ∇Tu + ∇u

]ν ≈ 1 (3.22)

lo que permite escribir como aproximación lineal (recurriendo a undesarrollo en serie de Taylor)

dsabdSAB

= νT[1 +

1

2

(∇Tu + ∇u

)]ν (3.23)

Al término1

2

(∇Tu + ∇u

)= ε (3.24)


lo denominaremos �tensor lineal de deformación� ε (en lo sucesivo sen-cillamente tensor de deformación). Luego demostraremos que es untensor de segundo orden. Su de�nición en componentes resulta

εij =1

2

(∂uj∂xi

+∂ui∂xj

)(3.25)

por lo que es simétrico. Puede también verse como la parte �simétrica�del gradiente de desplazamiento, si se escribe al mismo como:

∇u =1

2

(∇u + ∇Tu

)+

1

2

(∇u−∇Tu

)= ∇simu + ∇asimu (3.26)

En de�nitiva la relación entre longitud �nal y original (notando queνT 1 ν = νTν = ν · ν = 1) resulta

dsabdSAB

= 1 + νT ε ν = λν (3.27)

Con λν hemos denominado la relación entre la longitud �nal y origi-nal de una �bra que originalmente estaba en la dirección ν. Claramenteun valor de λν > 1 indica que la �bra se ha alargado, un valor λν < 1que se ha acortado, un valor λν = 1 indica que no cambió su longitud.

Existen diferentes formas de de�nir una deformación longitudinal.Dicha de�nición no es única, existen múltiples de�niciones que respon-den a diferentes conceptos u objetivos, las más usadas son:

Ingenieril :

E =ds− dSdS

= λ− 1 (3.28)

Logarítmica o natural

eln = ln

(ds

dS

)= ln (λ) (3.29)

Lagrangeana

EL =1

2

[(ds

dS

)2

− 1

]=

1

2

[λ2 − 1

](3.30)

Euleriana

ee =1

2

[1−

(dS

ds

)2]

=1

2

[1− λ−2

](3.31)


Para pequeñas deformaciones todas son similares y resulta indistintoel uso de cualquiera de ellas, en tal caso resulta más sencillo usar laprimera que es una relación lineal.

Concentrándonos en la deformación ingenieril veamos entonces co-mo evaluarla en función del tensor de deformación. Conceptualmentede lo visto hasta ahora, podemos concluir a partir de la expresión (3.27)que:

Eν = λν − 1 = νT ε ν (3.32)

Notar que esta expresión puede aplicarse a cualquier dirección ν.Por lo cual el tensor ε guarda toda la información referida a los cambiosde longitudes de las �bras en el punto considerado. En particular sielegimos como ν a las direcciones asociadas a los ejes coordenados ti,tendremos

E1 = (1, 0, 0) · ε · (1, 0, 0) = ε11 =∂u1

∂X1

E2 = (0, 1, 0) · ε · (0, 1, 0) = ε22 =∂u2

∂X2

(3.33)

E3 = (0, 0, 1) · ε · (0, 0, 1) = ε33 =∂u3

∂X3

Luego los elementos de la diagonal del tensor de deformación εson las deformaciones especí�cas longitudinales en las correspondientesdirecciones cartesianas.

3.4. Deformación especí�ca angular

Veamos ahora como se ha modi�cado el ángulo entre las �bras queoriginalmente estaban en las direcciones ν y µ. Las posiciones actualesde dichas �bras son:

dxab = Fν dSAB = (1 + ∇u)ν dSAB (3.34)

dsab = ‖dxab‖ = (1 + Eν) dSAB = λν dSAB (3.35)

dxac = Fµ dSAC = (1 + ∇u)µ dSAC (3.36)

dsac = ‖dxac‖ = (1 + Eµ) dSAC = λµ dSAC (3.37)


Llamando ν∗ y µ∗ a las direcciones �nales, realizando el productopunto, el coseno del ángulo que forman resulta:

cosα∗ = ν∗ · µ∗ =dxabdsab

· dxacdsac

=(1 + ∇u)ν

λν· (1 + ∇u)µ

λµ(3.38)

en este caso, siendo el ángulo original α =π

2, la relación entre ángulos

complementarios permite escribir (llamando ϕνµ al cambio de ánguloentre las �bras )

cosα∗ = sin(π

2− α∗

)= sin (α− α∗) = sinϕνµ ' ϕνµ (3.39)

donde al �nal se usa que el cambio de ángulo es pequeño.Desarrollando la expresión del coseno 3.38, despreciando los térmi-

nos cuadráticos en las derivadas e introduciendo la de�nición del tensorde deformaciones

ϕνµ =νT (2ε) µ

λνλµ' νT (2ε) µ = 2

3∑i=1

3∑j=1

νiεijµj (3.40)

Donde se ha supuesto que el denominador (λνλµ) es su�cientementecercano a la unidad.

Entonces a partir de ε es posible evaluar el cambio de ángulo en-tre dos �bras cualesquiera originalmente ortogonales, es decir que εguarda también toda la información respecto a cambios de ángulo enel entorno del punto. En particular si tomamos de a pares las �bras enlas direcciones coordenadas tendremos

ϕ12 = (1, 0, 0) · (2ε) · (0, 1, 0) = 2ε12 =∂u1

∂X2

+∂u2

∂X1

= ϕ21

ϕ13 = (1, 0, 0) · (2ε) · (0, 0, 1) = 2ε13 =∂u1

∂X3

+∂u3

∂X1

= ϕ31 (3.41)

ϕ23 = (0, 1, 0) · (2ε) · (0, 0, 1) = 2ε23 =∂u2

∂X3

+∂u3

∂X2

= ϕ32

En consecuencia es posible dar un signi�cado físico a las compo-nentes no diagonales del tensor de deformación con lo cual este resulta

ε =

E112ϕ12

12ϕ13

E212ϕ23

sim. E3

(3.42)


3.5. Deformación Especí�ca Volumétrica

Finalmente analicemos como ha cambiado el volumen del hexaedrooriginal. Utilizando la expresión del triple producto vectorial

dv = (dxab × dxac) · dxad = (ν∗ × µ∗) · ρ∗ λν λµ λρ dSAB dSAC dSAD= λν λµ λρ dV0 = (1 + Eν) (1 + Eµ) (1 + Eρ) dV (3.43)

La expresión obtenida resulta de suponer que los cambios de án-gulo entre las direcciones ν∗,µ∗ y ρ∗ son pequeños, si bien ahora noson mutuamente ortogonales, el triple producto vectorial entre ellas esmuy cercano a la unidad (la diferencia es proporcional al cuadrado delcambio de ángulo por lo cual puede despreciarse en aproximacioneslineales). Desarrollando ahora el producto entre los binomios y despre-ciando productos entre las deformaciones longitudinales, el volumenactual resulta

dv = [1 + (Eν + Eµ + Eρ)] dV (3.44)

Podemos ahora de�nir la deformación volumétrica

∆ =dv − dVdV

=dv

dV− 1 (3.45)

= Eν + Eµ + Eρ (3.46)

Es decir que la deformación especí�ca volumétrica puede calcularsecomo la suma de las deformaciones especí�cas longitudinales en tres di-recciones mutuamente ortogonales. Si elegimos como dichas direccionesa las direcciones cartesianas tendremos

∆ = E1 + E2 + E3 (3.47)

= ε11 + ε22 + ε33 = tr(ε) (3.48)

=∂u1

∂X1

+∂u2

∂X2

+∂u3

∂X3

= div (u) (3.49)

Naturalmente la deformación volumétrica en el punto no dependede la elección del sistema cartesiano, esto se ve en la última expresión(div(u)). El valor exacto de la deformación volumétrica puede calcu-larse a partir de la expresión (3.18) y la de�nición (3.45):

∆ = det (F)− 1

que linealizada conduce a la expresión (3.49).


3.6. Sobre el tensor de deformaciones

Los desarrollos anteriores han permitido expresar las componentesdel tensor de deformaciones (3.25) invirtiendo las expresiones obtenidaspara deformaciones longitudinales y angulares, obteniendo la relación(3.42).

Resulta necesario demostrar que efectivamente ε es un tensor desegundo orden, es decir que son necesarias dos matrices de transforma-ción para obtener las componentes del tensor en un sistema (l1, l2, l3)a partir de las componentes en un sistema (t1, t2, t3). Sea Λ la matrizde transformación que liga ambos sistemas, es decir

[t1, t2, t3] = [l1, l2, l3] ΛT λij = ti · lj (3.50)

[l1, l2, l3] = [t1, t2, t3] Λ (3.51)

Cualquier vector en el nuevo sistema puede expresarse en funciónde sus componentes en el sistema original, en particular el vector decoordenadas y el de desplazamientos

Y = ΛTX (3.52)

v = ΛTu (3.53)

notemos que el gradiente de los desplazamientos en el nuevo sistemaresulta ahora: (al tener dos sistemas de coordenadas independientesdenotemos con un subíndice en ∇ respecto a que sistema estamos de-rivando)

∇lv =

[∂vm∂Yn

]=

(∂

∂X

(ΛTu

)) ∂X

∂Y=

[3∑j=1

∂

∂Xj

(3∑i=1

λimui

)∂Xj

∂Yn

](3.54)

=

[3∑i=1

3∑j=1

λim

(∂ui∂Xj

)λjn

]= ΛT (∇tu) Λ (3.55)

donde hemos usado la condición de que Λ−1 = ΛT . Reemplazando enla de�nición del tensor ε en el nuevo sistema de coordenadas

ε =1

2

[∇lv + ∇T

l v]

= ΛT 1

2

[∇tu + ∇T

t u]Λ = ΛT ε Λ (3.56)

lo que demuestra que el tensor de deformaciones es efectivamente untensor de segundo orden.


3.7. Direcciones principales de deformación

Debido a que es un tensor de 2do orden simétrico (similar al detensiones), tendrá tres autovalores reales (εI , εII , εIII) y tres auto-vectores asociados mutuamente ortogonales (νI , νII ,νIII). El proble-ma de autovalores y autovectores puede formularse considerando dosdirecciones, ν y µ, inicialmente ortogonales, que no sufren cambio deángulo entre ellas durante el proceso de deformación:

ϕµν = µT (2ε) ν = 0 (3.57)

Puede observarse que el vector resultante de proyectar el tensor dedeformaciones en la dirección ν, εν = εν, debe resultar paralelo a ν y,por lo tanto, perpendicular a µ. De esta manera, puede escribirse que:

εν = εν = ε1ν (3.58)

Donde ε es un escalar que representa la elongación de la �bra en ladirección ν:

Eν = νT ε 1 ν = ε (3.59)

De esta manera, los valores de elongación y direcciones para lascuales no existe cambio de ángulo resultan de un problema de valoresy vectores propios:.

εν − ε1ν = [ε− ε1]ν = 0 (3.60)

Los autovalores resultantes, (εI , εII , εIII), representan elongacionesen las direcciones (νI , νII ,νIII). Estas direcciones, ortogonales entresí, no sufren cambio de ángulo durante la deformación,ϕI II = ϕII III =ϕI III = 0. El tensor de deformación expresado en el sistema cartesianoasociado a las direcciones principales resulta entonces:

ε =

εIεII

εIII

(3.61)

Luego, estas tres �bras tienen la particularidad de que siendo orto-gonales en la geometría original también lo son en la geometría defor-mada, es decir que en cada punto del cuerpo, sin importar el nivel de


deformaciones, siempre hay tres direcciones que mantienen su ortogo-nalidad y son las que tienen las deformaciones longitudinales extremas(máximas y mínimas). Si se visualiza el entorno de un punto como unaesfera antes de la deformación, dicha esfera se transforma en un elipsoi-de cuyos ejes son la posición deformada de las direcciones principalesdel tensor.

Similarmente al tensor de tensiones es posible descomponer al ten-sor de deformaciones en una parte volumétrica y en una parte desvia-dora. La componente volumétrica es un tercio de la traza del tensor

εM =1

3tr (ε) =

1

3(ε11 + ε22 + ε33) =

∆

3(3.62)

Multiplicada por el tensor identidad

εv =

εMεM

εM

(3.63)

La componente desviadora resulta entonces de la diferencia entreel tensor y la componente volumétrica

e = ε− εv =

ε11 − εM ε12 ε13

ε21 ε22 − εM ε23

ε13 ε32 ε33 − εM

(3.64)

Similarmente al caso del tensor de tensiones es posible de�nir inva-riantes del tensor de deformaciones y de su componente desviadora.

3.8. Vector deformación y vector rotación∗

Si se observan las expresiones obtenidas para las deformacionesespecí�cas longitudinales ενν y angulares ενµ y se las compara conlas obtenidas para las componentes de tensión normal σνν y tangencialσνµ se observará una total analogía

Deformaciones Tensiones

Longitudinal ενν = νTεν Normal σνν = νTσνAngular ενµ = µTεν Cortante σνµ = µTσν


A su vez en el caso de tensiones hemos de�nido el concepto de�vector tensión� asociado con una dirección ν cuyas componentes sonprecisamente las indicadas arriba. Sin embargo para el caso de deforma-ciones no lo hemos hecho pues a un tal �vector deformación� asociadoa dirección ν

εν = εν (3.65)

que si bien permite determinar la componente ενν proyectándolo sobreel plano y el cambio de ángulo con cualquier �bra µ contenida en elplano ενµ no presenta una interpretación física clara.

Por otro lado al tratar el movimiento de una �bra, la expresión3.15 expresa el desplazamiento relativo de los extremos de una �brain�nitesimal en la dirección ν

duνdSν

= ∇uν =1

2

(∇u + ∇Tu

)ν +

1

2

(∇u−∇Tu

)ν (3.66)

= εν + ων (3.67)

en tanto que ya en 3.26 ya habíamos utilizado la descomposición de∇u en sus partes simétrica y antisimétrica.

La expresión anterior dice que el desplazamiento relativo entre dospuntos a lo largo de una dirección arbitraria ν está compuesto deuna deformación (εν) y de algo más (ων). Esto último no puede serdeformación ya que hemos visto que toda la deformación está incluidaen el término εν, por lo cual el segundo término implica sólo rotaciónde cuerpo rígido. Esta rotación queda de�nida por el tensor ω (puededemostrarse que es un tensor en la misma forma que ε ) que de sude�nición es antisimétrico

ω =1

2

(∇u−∇Tu

)(3.68)

ωij =1

2

(∂ui∂Xj

− ∂uj∂Xi

) {ωii = 0ωij = −ωji

Geométricamente sabemos que una rotación �nita se de�ne poruna matriz orto-normal (Λ−1 = ΛT ) que para el caso de una rotaciónpequeña se puede escribir en forma aproximada como la suma de laidentidad 1 y un tensor antisimétrico.

Λ = 1 + ω (3.69)


de esta forma si se tiene un vector cualquiera ν y se lo rota, su nuevaposición es

ν∗ = Λν = (1 + ω)ν = ν + ων (3.70)

luego la diferencia entre el vector �nal (rotado) y el inicial es

ν∗ − ν = ∆ν = ων (3.71)

A diferencia de un tensor simétrico que tiene 3 autovalores reales,un tensor antisimétrico tiene 2 autovalores imaginarios puros y un au-tovalor nulo. El autovector asociado al autovector nulo se denominavector axial w que por de�nición satisface

ωw = 0w = 0 (3.72)

puede mostrarse fácilmente que las componentes de este vector son

w =

w1

w2

w3

=

ω32

ω13

ω21

= −

ω23

ω31

ω12

(3.73)

y además queων = w × ν

Al vector w se lo denomina �vector rotación lineal� y de�ne lo-calmente el giro promedio del sólido en el punto. Decimos promedioporque no todas las �bras giran lo mismo, esto depende también deltensor de deformaciones ε. Si el sólido no sufriera deformación algunadurante el movimiento (ε = 0) entonces w de�niría completamente elgiro de todas las �bras en el punto. La dirección del vector w indicael eje de rotación y su módulo el ángulo girado. Cada componente wiexpresa el promedio que han girado alrededor del eje ti las �bra ubica-das en el plano normal a dicho eje. Si interesa conocer el giro promedioalrededor de cualquier otro eje, hay que calcular la componente de wsobre dicho eje.

3.8.1. Transformación de Componentes de Rota-ción

Se ha visto que de los componentes de rotación ωij hay sólo tresindependientes y que constituyen las componentes de un vector, por lo


tanto transforman de un sistema coordenado a otro empleando sola-mente un coseno director. Por lo cual la transformación de coordenadastoma la forma

w′ = ΛTw (3.74)

En apariencias existe una incongruencia pues el tensor de rotaciónω transforma como un tensor de segundo orden

ω = ΛTωΛ (3.75)

Para demostrar que la contradicción es sólo aparente, notemos quepor de�nición el único autovector real de ω debiera ser w, observemosque es así

ωw = ΛTωΛ ΛT︸︷︷︸1

w = ΛT (ωw) = 0 (3.76)

3.9. Ecuaciones de Compatibilidad∗

Si se conocen los componentes de desplazamiento ui en un cuerpodeformado, las seis ecuaciones cinemáticas 3.25, permiten evaluar lascomponentes del tensor de deformaciones ε. Sin embargo, el proble-ma inverso no es tan simple: si se conocen las seis componentes deltensor de deformaciones, deberán integrarse seis ecuaciones en deriva-das parciales de las ui para encontrar los desplazamientos. La di�cultadmatemática radica en que se tienen seis ecuaciones en derivadas parcia-les para solamente tres funciones desconocidas, lo que sobredeterminalas tres funciones incógnitas ui.

Físicamente sabemos que dado un campo de deformaciones, los des-plazamientos asociados son únicos (a excepción de un movimiento decuerpo rígido). De modo que puede anticiparse que deben existir porlo menos tres ecuaciones adicionales, que liguen los εij entre sí. Esasecuaciones a que se hace referencia son las ecuaciones de compatibili-dad.

Para deducir las ecuaciones de compatibilidad, supóngase que exis-te una solución ui a las ecuaciones cinemáticas 3.25 y que esa soluciónes continua en sus derivadas terceras. Las derivadas parciales mixtasde los desplazamientos son iguales cuando se cambia el orden de deri-vación.


Si se deriva ε12 respecto a X1 y X2 y se expresa el resultado entérminos de desplazamientos, se tiene:

2∂2ε12

∂X1∂X2

=∂3u1

∂X22∂X1

+∂3u2

∂X21∂X2

(3.77)

Por otra parte, sumando

∂2ε11

∂X22

y∂2ε22

∂X21

y expresando el resultado en términos de desplazamientos, se tiene

∂3u1

∂X22∂X1

+∂3u2

∂X21∂X2

=∂3u1

∂X22∂X1

+∂3u2

∂X21∂X2

(3.78)

Igualando las ecuaciones 3.77 y 3.78 se deduce que

∂2ε11

∂X22

+∂2ε22

∂X21

= 2∂2ε12

∂X1∂X2

Intercambiando índices, pueden obtenerse otras dos ecuaciones si-milares.

Otras tres ecuaciones pueden obtenerse de la siguiente forma: sederiva ε12 respecto a X1 y X3; ε13 respecto a X2 y X1 y se suman losresultados:

2

(∂2ε12

∂X1∂X3

+∂2ε31

∂X2∂X1

)= 2

∂3u1

∂X1∂X2∂X3

+∂3u2

∂X21∂X3

+∂3u3

∂X21∂X2

(3.79)

Por otra parte, se deriva ε11 respecto a X2 y X3; ε23 respecto a Xi

dos veces; y se suman los resultados; se logra así:

2

(∂2ε11

∂X2∂X3

+∂2ε23

∂X21

)

= 2∂3u1

∂X1∂X2∂X3

+∂3u2

∂X21∂X3

+∂3u3

∂X21∂X2

(3.80)

Igualando las ecuaciones 3.79 y 3.80 se llega a

∂2ε11

∂X2∂X3

=∂2ε12

∂X1∂X3

+∂2ε31

∂X2∂X1

− ∂2ε23

∂X21


Intercambiando subíndices, pueden lograrse otras dos ecuaciones.El conjunto de seis ecuaciones al que se ha llegado puede entonces

escribirse de la siguiente forma:

−s33 =∂2ε11

∂X22

+∂2ε22

∂X21

− 2∂2ε12

∂X1∂X2

= 0

−s11 =∂2ε22

∂X23

+∂2ε33

∂X22

− 2∂2ε23

∂X2∂X3

= 0

−s22 =∂2ε11

∂X23

+∂2ε33

∂X21

− 2∂2ε13

∂X1∂X3

= 0

(3.81)

−s23 = − ∂2ε11

∂X2∂X3

+∂

∂X1

(∂ε12

∂X3

+∂ε31

∂X2

− ∂ε23

∂X1

)= 0

−s31 = − ∂2ε22

∂X1∂X3

+∂

∂X2

(∂ε23

∂X1

+∂ε12

∂X3

− ∂ε31

∂X2

)= 0

−s12 = − ∂2ε33

∂X1∂X2

+∂

∂X3

(∂ε23

∂X1

+∂ε13

∂X2

− ∂ε12

∂X3

)= 0

Con la de�nición de variables sij de las ecuaciones 3.81, las mismaspueden escribirse como

sij = 0 (3.82)

Estas seis ecuaciones 3.81 son las condiciones que deben cumplir lasdeformaciones εij para que sean integrables y se denominan ecuacionesde compatibilidad de Saint Venant. Las componentes sij constituyenel llamado tensor de incompatibilidad y la ecuación de compatibilidadhace que cada componente de sij se anule.

Nótese que las condiciones para compatibilidad desarrolladas estánrestringidas a pequeñas deformaciones y giros, debido a que se ha usadola relación cinemática lineal. En el desarrollo anterior no se impusoninguna condición sobre las características del material y por lo tantolas ecuaciones de compatibilidad deben satisfacerse también en la teoríade plasticidad.

El signi�cado físico de las ecuaciones de compatibilidad puede com-prenderse si se imagina al cuerpo dividido en pequeños cubos antes delproceso de deformación. Después de las deformaciones, cada cubo ha-brá sufrido su propia deformación y la piezas no podrán ensamblarseentre si, dejando huecos entre ellos. Pero si las deformaciones de cada


cara se relacionan con los de la cara correspondiente del cubo vecinomediante las ecuaciones de compatibilidad, entonces las piezas volve-rán a ensamblarse para formar un cuerpo continuo. Por lo tanto, estasecuaciones garantizan que no se producirán huecos ni superposicionesen el cuerpo deformado.

Resta discutir el número de ecuaciones de compatibilidad que sonindependientes. Los valores de sij de�nidos en las ecuaciones 3.81 cum-plen con algunas relaciones independientemente que serán cero si soncompatibles. Se pueden demostrar que tales relaciones son que la di-vergencia del tensor de incompatibilidad es nula

3∑i=1

∂sij∂Xi

= 0 (3.83)

Las tres ecuaciones anteriores fueron formuladas por primera vezpor S. Moriguti en 1947. Por lo tanto, se deduce que las seis ecuacionesde compatibilidad no son independientes entre sí, sino que sólo tresresultan independientes. De todos modos, el procedimiento usual paraveri�car compatibilidad es satisfacer las seis ecuaciones de compatibi-lidad en el interior del cuerpo.

Es posible demostrar que las ecuaciones de compatibilidad son con-dición necesaria y su�ciente para obtener un campo de desplazamien-tos único en dominios simplemente conexos. Se dice que un dominio essimplemente conexo cuando cualquier curva cerrada puede reducirseen sus dimensiones hasta llegar a un punto (vale decir, es un dominioque no tiene agujeros interiores). Esa demostración no será realizadaaquí.

3.10. Conclusión

Se ha demostrado que en cada punto de un sólido deformado esposible descomponer la deformación local de todas las �bras en unadeformación sin rotación más una posterior rotación de cuerpo rígido.Nótese que en cada punto del sólido hay tres direcciones ortogonales(�bras) que se deforman longitudinalmente pero que no cambian deángulo entre si (las direcciones principales asociadas a las deformacio-nes principales). Esto permite pensar a la deformación en un puntocomo la deformación longitudinal de tres �bras ortogonales más una

Relaciones Constitutivas de un Material 83

rotación de dicha terna. Las componentes wi son las componentes delvector rotación correspondiente, de�nido el vector rotación como el ejealrededor del cual se rota con módulo igual al ángulo que se rota.

Capítulo 4

Relaciones Constitutivas de un

Material

El tipo de material que constituye un sólido interviene, en gene-ral, como una transformación que relaciona los tensores de tensionesy de deformaciones en el entorno de un punto. Hay muchos modelospropuestos para expresar esas propiedades, de los cuales se estudian enprimer lugar los correspondientes a materiales elásticos e isótropos, queconducen a ecuaciones sencillas y que por mucho tiempo fueron la basede la mecánica de los sólidos, convirtiéndola en Teoría de Elasticidad.En segundo lugar, se presentan modelos visco-elásticos. Finalmente, sediscuten distintos criterios de �uencia y sus características principales.

4.1. Introducción

En los capítulos anteriores se vio que las ecuaciones de equilibrio ylas cinemáticas resultaban independientes del material que constituyeel cuerpo estudiado. Sin embargo, para poder de�nir un problema enforma completa es necesario incluir relaciones que caractericen el com-portamiento del material. El objetivo de este capítulo es plantear ecua-ciones que sean propias del comportamiento de determinados modelosde materiales y que representen materiales empleados en ingeniería.

Los materiales sólidos, aun restringiéndonos a aquellos que se em-plean frecuentemente en ingeniería, tienen gran variedad de compor-tamiento. Además, para un material determinado (por ejemplo, unacero), el comportamiento depende a su vez de varios factores, como

85


el nivel tensional, la temperatura y el tiempo durante el cual se man-tienen aplicadas las cargas. Para representar el comportamiento demateriales se emplean modelos o idealizaciones de los mismos, a travésde funciones f1(σ, T , t) y f2(ε, T , t), donde T representa la variabletemperatura y t el tiempo.

Existe una base física y experimental que permite incluir, en lade�nición de un modelo en mecánica, las características del material através de relaciones entre tensiones y deformaciones desde un punto devista macroscópico. Tales relaciones pueden tomar la forma siguiente

f1(σ) = f2(ε, T, t) (4.1)

que se denominan ecuaciones constitutivas del material. Estas ecuacio-nes serán adecuadas en la medida que se aproximen a los resultadosexperimentales para el rango de carga, temperatura y tiempo conside-rados.

Como casos particulares pueden establecerse modelos de materialesen los cuales la respuesta es independiente de la temperatura y deltiempo (como son la mayoría de los que vemos en este capítulo). Enese caso, las ecuaciones se reducen a la forma

f1(σ) = f2(ε) (4.2)

Adicionalmente, las relaciones tensiones-deformaciones pueden serde tipo elástico o presentar plasticidad a partir de un cierto nivel ten-sional. En todo caso debe recordarse que los modelos que se discutenson aproximaciones, cuya exactitud depende del material y del ran-go de las variables en el cual se pretende representar la respuesta delmaterial.

Se dice que un material es isótropo cuando sus propiedades sonlas mismas en cualquier dirección que se considere. En caso contra-rio, el material es anisótropo. Pueden existir planos de simetría enel material; si existen tres planos de simetría el material se denomi-na ortótropo. Los modelos discutidos en este capítulo correspondena idealizaciones de materiales isótropos, salvo que se indique expresa-mente lo contrario.

En lo que sigue se comenzarán estudiando los modelos más simplesde materiales, para luego discutir modelos de comportamiento máscomplejo en los cuales aparecen límites de inicio de plasticidad


4.2. Materiales Linealmente Elásticos

4.2.1. Estado Unidimensional de Tensiones yDeformaciones

En un material elástico existe una relación biunívoca entre tensionesy deformaciones, de modo que tanto para carga como para descarga,puede escribirse la relación

σij = f2(ε) (4.3)

o bienεij = f1(σ) (4.4)

En la �gura 4.1 se muestra el diagrama entre tensiones y deforma-ciones que ocurren en la misma dirección. Estos estados se denominanunidimensionales cuando no hay tensiones o deformaciones en las otrasdirecciones.

ε

σ

0

Figura 4.1: Comportamiento elástico no lineal en una dimensión.

Si la función f2 es lineal se podrá escribir una relación del tipo

σ11 = c(ε11 − ε0

11

)+ σ0

11 = cε11 − cε011 + σ0

11 (4.5)

para estado unidimensional en sentido X1 y se dice que el materiales linealmente elástico. Por mucho tiempo, la mecánica de cuerposdeformables se basó en la llamada Ley de Hooke, que se expresa como

σ11 = E ε11 (4.6)


donde E es el módulo de elasticidad longitudinal del material. La �-gura 4.2 ejempli�ca este tipo de material. No existe ningún materialque reaccione elásticamente ante todo sistema de esfuerzos, pero paravalores pequeños de deformación y tensión el empleo de la ley de Hookees una buena aproximación en muchos materiales.

El factor de proporcionalidad di�ere según se trate de efectos isótro-pos o bien de efectos distorsionales. Para efectos distorsionales en unúnico plano (un estado de corte uniforme aparece por ejemplo en latorsión de un tubo de pared delgada) se tiene

σ12 = 2Gε12 (4.7)

donde G es el módulo de elasticidad transversal del material, que serelaciona con E mediante la expresión:

G =E

2 (1 + ν)(4.8)

donde ν es la relación de Poisson del material. Los valores de E y Go de E y ν deben ser determinados en forma experimental para cadamaterial.

ε

σ

0

σ0

ε0

E

1

Figura 4.2: Sólido elástico lineal en una dimensión.

4.2.2. Estado Tridimensional de Tensiones yDeformaciones

Cuando el estado tensional es tridimensional, en lugar de relacio-narse individualmente las tensiones con las deformaciones asociadas,


será necesario encontrar la relación entre los tensores de tensión y dedeformación en el entorno de un punto, de modo que resultarán ecua-ciones constitutivas para material elástico lineal del tipo

σij =3∑

k=1

3∑l=1

Cijklεkl (4.9)

σ = C : ε (4.10)

Estas son ecuaciones de origen experimental. donde Cijkl es un tensorde cuarto orden, llamado tensor de elasticidad, y contiene 81 compo-nentes que son coe�cientes de elasticidad del material. Debido a lasimetría de los tensores de tensiones y deformaciones existen sólo seiscomponentes independientes de cada uno de ellos, luego Cijkl = Cjikl =Cjilk = Cijlk por lo que la cantidad de componentes independientes deltensor de elasticidad no podrá ser mayor de 36. Consideraciones referi-das al estado libre de tensiones (σ = 0 en correspondencia con ε = 0)y a la existencia de una energía de deformación elástica, limitan lacantidad de componentes independientes a sólo 21.

En el caso de materiales ortótropos el número de componentes in-dependientes se reduce a nueve. Si el material es isótropo, las compo-nentes Cijkl no dependen del sistema coordenado utilizado. Un análisisde los tensores isótropos de cuarto orden conduce a que no puede habermás de dos constantes independientes. Expresado en términos de estasdos constantes (λ y µ), se puede demostrar que el tensor de elasticidadresulta

Cijkl = δijδkl λ+ (δikδjl + δilδjk)µ (4.11)

4.2.3. Material Elástico, Lineal e Isótropo

Se desarrollarán a continuación las ecuaciones constitutivas paramaterial elástico, isótropo, con relaciones de tipo lineal. Para ello sedistinguen las componentes esféricas y desviadoras de los tensores σ yε, como se vio en los capítulos anteriores:

σ = 1σM + s (4.12)

ε = 1εM + e (4.13)

Las componentes esféricas σM = p y εM = ∆3, que representan ten-

sión hidrostática uniforme y dilatación cúbica respectivamente, pueden


relacionarse a través del módulo volumétrico, K. Este módulo se de�neen resistencia de materiales como

K =E

3(1− 2ν)(4.14)

Se recuerda que en materiales isótropos el rango del módulo dePoisson es

0 ≤ ν ≤ 0,5 (4.15)

Las relación constitutiva para la componente esférica resulta así

p = K∆ = K (ε11 + ε22 + ε33) (4.16)

Las componentes desviadoras sij y eij, que representan tensionescortantes y deformaciones angulares, pueden relacionarse a través delmódulo de elasticidad transversal, G

sij = 2Geij (4.17)

s = 2Ge (4.18)

Reemplazando las ecuaciones 4.16 y 4.17 en la 4.12 resulta

σij = δijK∆ + 2Geij (4.19)

σ = K∆1 + 2Ge (4.20)

o escrito en función de E y ν

σij =E

1 + ν

(εij + δij

ν

1− 2ν∆

)(4.21)

σ =E

1 + ν

(ε+

ν

1− 2ν∆1

)(4.22)

La ecuación anterior relaciona cada una de las componentes deltensor de tensiones σij con las componentes del tensor de deformacionesειj. Se observa que las ecuaciones 4.21 dependen de sólo dos constantesde elasticidad: E y ν. Para un material como el acero, estas ecuacioneslineales son adecuadas si las deformaciones son inferiores a 0,001 y sino hay cambios apreciables en la temperatura.


Particularizando para i = j = 1 se tiene:

σ11 =E

1 + ν

[ε11 +

ν

1− 2ν(ε11 + ε22 + ε33)

]=

E

1 + ν

[1− ν1− 2ν

ε11 +ν

1− 2νε22 +

ν

1− 2νε33

]Generalizando,

σ11 =E

1 + ν

[1− ν1− 2ν

ε11 +ν

1− 2ν(ε22 + ε33)

]σ22 =

E

1 + ν

[1− ν1− 2ν

ε22 +ν

1− 2ν(ε11 + ε33)

](4.23)

σ33 =E

1 + ν

[1− ν1− 2ν

ε33 +ν

1− 2ν(ε11 + ε22)

]Se concluye que para un sólido isótropo, las componentes normales

de tensión (las de la diagonal principal del tensor) sólo dependen delas componentes normales de deformación.

De manera similar se pueden obtener los otros valores de σij explí-citamente:

σ12 =E

1 + νε12

σ13 =E

1 + νε13 (4.24)

σ23 =E

1 + νε23

Nótese que σ12 sólo depende de ε12. La conclusión general parasólidos lineales, elásticos e isótropos, en estados tridimensionales detensiones y deformaciones, es que las componentes de la diagonal prin-cipal de σij sólo dependen de las componentes de la diagonal principalde εij; mientras que las componentes fuera de la diagonal de σij serelacionan con las correspondientes de εij.

De las ecuaciones 4.21 también se pueden explicitar las deforma-ciones en función de las tensiones, resultando

εij =1 + ν

E

(σij − δij

ν

1 + ν3p

)(4.25)

ε =1 + ν

E

(σ − ν

1 + ν3p1

)(4.26)


En lugar de usar los parámetros E y ν las ecuaciones 4.21 y 4.25se pueden simpli�car empleando los llamados parámetros de Laméλ y µ y resultan

σij = 2µεij + δijλ∆ (4.27)

σ = 2µε+ λ∆1 (4.28)

εij =1

2µσij − δij

λ

2µ (3λ+ 2µ)3p (4.29)

ε =1

2µσ − λ

2µ (3λ+ 2µ)3p1 (4.30)

donde los parámetros de Lamé se de�nen como:

λ =νE

(1 + ν) (1− 2ν)= K − 2

3G (4.31)

µ =E

2 (1 + ν)= G (4.32)

4.2.4. Relaciones entre las direcciones principalesde tensión y de deformación en elasticidadlineal

En el capítulo de tensiones vimos que las direcciones principales detensión cumplen con la condición

(σ − σ1)ν = 0 o bien σν = σ ν

donde σ es un escalar que anula el problema de valores propios. Paralas deformaciones principales, se tendrá

(ε− ε1)µ = 0 o bien εµ = ε µ

Supongamos inicialmente que las direcciones ν y µ no son coinci-dentes. Computaremos σµ, o sea el producto del tensor de tensionespor una dirección principal de deformaciones, usando las ecuacionesconstitutivas elásticas

σµ =E

1 + ν

(ε+

ν

1− 2ν∆1

)µ


Usando la condición de autovalores de deformación, se puede sus-tituir εµ = ε µ y 1µ = µ

σµ =E

1 + ν

(ε+

ν

1− 2ν∆1

)µ

Si llamamos

σ =E

1 + ν

(ε+

ν

1− 2ν∆

)resulta

σµ = σ µ

que es la condición de estado principal de tensiones. Por lo tanto, lasdirecciones ν y µ son coincidentes. En resumen, en elasticidad lineal,las direcciones principales de tensión coinciden con las de deformación.

Los valores principales de tensión no resultan proporcionales di-rectamente a los respectivos valores principales de deformación. Deacuerdo a lo visto anteriormente,

σI =E

1 + ν

(εI +

ν

1− 2ν∆

)σII =

E

1 + ν

(εII +

ν

1− 2ν∆

)σIII =

E

1 + ν

(εIII +

ν

1− 2ν∆

)Esto signi�ca que en el espacio de deformaciones principales, los

tensores de deformaciones no aparecen en puntos correspondientes alos del espacio de tensiones, aun a pesar de la diferencia de escalas queexiste entre ambos espacios, debido al término asociado a ∆.

4.3. Deformaciones de Origen Térmico

Si bien supondremos que la in�uencia de los cambios térmicos so-bre las constantes del material son despreciables; sin embargo, debemosconsiderar las dilataciones que traen aparejadas, con valores de despla-zamientos que pueden ser del orden de los que producen las cargas.

Si un material es térmicamente isótropo, es decir que la temperaturaproduce iguales efectos independientemente de la dirección considera-da, las deformaciones térmicas producidas por una ley de variación de


temperaturas ∆T en el cuerpo, son:

ε011 = ε0

22 = ε033 = α∆T (4.33)

ε012 = ε0

13 = ε023 = 0

donde α es el coe�ciente de dilatación térmica que debe ser determi-nado en forma experimental. Observar que el cambio térmico producesólo deformaciones volumétricas (∆0 = 3α∆T ) pero no distorsiones.

Las deformaciones térmicas de las 4.33 deberán sumarse a las de-bidas a tensiones de la 4.25, de modo que

ε =1 + ν

E

(σ − ν

1 + νp1

)+ ε0

o bien

ε =1 + ν

E

(σ − ν

1 + ν3p1

)+ α∆T 1 (4.34)

=1 + ν

Eσ +

(− νE

3p+ α∆T)

1 (4.35)

Debe aclararse que hay casos en los que una variación térmica noproduce tensiones y por lo tanto no interesa ser considerada:

(a) Si se estudian las ecuaciones de compatibilidad, se ve que si laley de variación de ∆T es lineal en X1, X2, X3 no produciráningún efecto en las ecuaciones de compatibilidad (que dependende derivadas segundas de εij) y no habrá tensiones inducidas.Pero si ∆T es no lineal y las deformaciones térmicas no cumplenlas condiciones de compatibilidad, entonces surgirán tensionesinternas y deformaciones adicionales.

(b) Si la variación térmica es tal que se cumplen las condiciones decompatibilidad y no hay restricciones geométricas externas a lasdeformaciones térmicas no habrá tensiones inducidas por efectostérmicos. Pero si las condiciones de contorno del cuerpo no per-miten que se produzcan los desplazamiento asociados al cambiode temperatura, entonces surgirán tensiones de origen térmico.


4.4. Energía Interna de Deformación

4.4.1. De�nición

Sea la función ω, que llamaremos densidad de energía de deforma-ción, tal que para un material elástico bajo un estado tensional dado, elincremento en la misma debido a un incremento de deformación vale:

dω =∑i,j

σijdεij = σ : dε (4.36)

La densidad ω se de�ne de modo que sólo depende de εij, por locual su diferencial se calcula en la forma

dω =∑i,j

∂ω

∂εijdεij =

∂ω

∂ε: dε (4.37)

Comparando la 4.36 con la 4.37, se desprende que

σij =∂ω

∂εij(4.38)

σ =∂ω

∂ε(4.39)

La ecuación anterior nos indica que la función ω es tal que deri-vándola con respecto a las componentes del tensor de deformacionesse obtienen las correspondientes componentes del tensor de tensiones;de manera que ω implica la existencia de una relación constitutiva. Enla Figura 4.3 se muestra una relación constitutiva en una dimensióny se ve que la energía de deformación está representada por el áreaencerrada debajo de la curva.

La densidad de energía interna de deformación es la energía porunidad de volumen llevado a cabo sobre un elemento durante la de-formación, y existe para ciertos procesos reversibles, o sea cuando elcomportamiento del material es elástico, sea lineal o no.

Para un sólido linealmente elástico, la energía interna de deforma-ción almacenada por unidad de volumen está dada por

ω =1

2

∑i,j

εijσij =1

2σ : ε (4.40)

Cada término de la suma en el segundo miembro de la ecuación4.40 está producido por las fuerzas internas σij actuando sobre las


Figura 4.3: Energía interna de deformación

deformaciones εij. El factor12obedece a la linealidad supuesta entre

σij y εij.

Si además de ser lineal, el sólido elástico es isótropo, se tendrá (verecuación 4.21 ):

σij = 2µεij + λδij∆ (4.41)

Sustituyendo en la 4.40, se llega a

ω =1

2

∑i,j

[(2µεij + δijλ∆)εij]

=∑i,j

(µε2

ij +λ

2δijεij∆

)(4.42)

Finalmente,

ω =∑i,j

(µε2

ij +λ

2∆2

)= µε : ε+

λ

2(trε)2 (4.43)

que es la expresión de ω como una función cuadrática de εij. La ecua-ción 4.43 se escribe en forma desarrollada como

ω = µ(ε2

11 + ε222 + ε2

33

)+ 2µ

(ε2

12 + ε231 + ε2

23

)+λ

2∆2 (4.44)


Nótese que si εij = 0 entonces ω = 0. Además, si εij 6= 0, en-tonces ω > 0. Por lo tanto ω es una función positiva de�nida de lasdeformaciones.

Si en la ecuación 4.43 se reemplazan las deformaciones por despla-zamientos, se podrá obtener

ω =µ

4

∑i,j

(∂ui∂Xj

+∂uj∂Xi

)2

+λ

2

∑i,j

∂ui∂Xi

∂uj∂Xj

(4.45)

= µ(∇simu

):(∇simu

)+λ

2(∇ · u)2 (4.46)

donde se observa que ω es función cuadrática de derivadas primeras dedesplazamientos.

4.4.2. Efectos Térmicos

Si hubiesen efectos térmicos, sería necesario tener presente que paraεii = 0 existe una tensión térmica σoii 6= 0, que puede ser evaluada segúnla ley de Hooke como:

σoii = − E

1− 2να∆T = − (2µ+ 3λ)α∆T (4.47)

donde α es el coe�ciente de dilatación térmica del material, ∆T es elcambio de temperatura y se ha usado la relación E

1−2ν= 2µ+ 3λ.

Estas tensiones σoii son iguales para todas las direcciones. En estecaso, ω deberá contener los términos adicionales

∑i

σoiiεii = − E

1− 2να∆T (ε11 + ε22 + ε33)

= − (2µ+ 3λ)α∆T (ε11 + ε22 + ε33) (4.48)

1

2po∆o =

1

2K∆o∆o =

1

2

E

3 (1− 2ν)∆0∆0

=3

2

E

(1− 2ν)(α∆T )2 =

3 (2µ+ 3λ)

2(α∆T )2 (4.49)


con lo que ω resulta

ω =∑i,j

µε2ij +

λ

2∆∆− (2µ+ 3λ)α∆T ∆

+3 (2µ+ 3λ)

2(α∆T )2 (4.50)

ω = G∑i,j

ε2ij +

(K − 2

3G)

2∆∆−K 3α∆T ∆ (4.51)

+K

2(3α∆T )2 (4.52)

La Figura 4.4 muestra la situación cuando hay efectos térmicos, enuna dimensión.

Figura 4.4: Energía interna cuando hay efectos térmicos

4.4.3. Energía de Distorsión

La energía de deformación para material elástico lineal expresadaen la ecuación 4.40 puede ser reescrita teniendo en cuenta la descompo-sición de los tensores de tensiones y deformaciones en sus componentesesféricas y desviadoras. En efecto, siendo

σij = sij + δijp (4.53)

εij = eij + δij∆

3(4.54)


la densidad de energía interna de deformación, w, resulta:

ω =1

2

∑i,j

(sij + δijp)

(eij +

1

3δij∆

)(4.55)

=1

2

∑i,j

(sijeij +

1

3δijsij∆ + δijpeij +

1

3δijδijp∆

)

Pero∑

i,j δijsij = 1 : s = trs = 0 y∑

i,j δijeij = tre = 0, luego

ω =1

2

(∑i,j

sijeij + p∆

)=

1

2(s : e + p∆) (4.56)

=

∑i,j sijsij

4G+

p2

2K=

s : s

4G+

p2

2K(4.57)

La primera componente es la energía de distorsión, mientras quela segunda componente es la energía debida al cambio de volumen. Sepuede demostrar que la energía de distorsión se puede escribir en laforma

ωd =1

12G

[(σI − σII)2 + (σII − σIII)2 + (σIII − σI)2]

que se emplea en varios criterios de falla de materiales, como el criteriode �uencia de von Mises .

4.5. Materiales Visco-Elásticos∗

Muchos materiales tienen comportamiento que depende fuertemen-te del tiempo, de manera que parte de sus propiedades se asemejan alas de un �uido viscoso. En estos casos, el material combina respues-tas de sólido elástico y también de �uido viscoso. Ejemplos de esosmateriales son plásticos, polímeros amorfos, alimentos, tejidos del pul-món humano, capas de hielo polar, goma natural no vulcanizada, �brastextiles, vidrio a temperatura de transición y otros.

Dentro de los modelos visco-elásticos existen algunos que son muysencillos y de gran importancia conceptual, que se discutirán a conti-nuación.


4.5.1. Modelo de Kelvin

En este modelo se supone que un esfuerzo aplicado al material haceque éste responda con sus propiedades elásticas y viscosas al mismotiempo. Una parte del esfuerzo produce una deformación elástica yotra parte produce una deformación viscosa. La magnitud de cadacomponente de deformación depende de los módulos elástico y viscosodel sólido.

Para el caso uniaxial, la siguiente �gura muestra el modelo mecánicoque representa al material de Kelvin formado por un pistón viscoso (deviscosidad η) y un resorte elástico (de elasticidad C) que trabajan enparalelo. Por condición de equilibrio, la tensión total σ se transmite enparte al resorte y en parte al amortiguador:

σ = σe + σv

donde la tensión en el elemento elástico está dada por

σe = Cε

y la tensión en el elemento viscoso se calcula como

σv = ηε

donde ε = dε/dt. Reemplazando en la condición de equilibrio se tiene

σ = Cε+ ηε

que es la relación entre tensión, deformación y tiempo para estadouniaxial.

Para establecer el comportamiento tridimensional de un materialvisco-elástico se procede igual que en elasticidad, separando las compo-nentes esféricas y desviadoras. Especí�camente, hay evidencia que com-prueba que prácticamente todos los materiales responden elásticamentea cargas hidrostáticas moderadas, mientras que las características vis-cosas se presentan en las componentes desviadoras s = 2ηe. Usando lade�nición de componente desviadora de deformación, e = ε − 1

31trε,

resulta:

σ =E

1 + ν

(ε+

ν

1− 2νtrε1

)+ 2η

(ε− 1

3trε1

)


Figura 4.5: Modelo de Kelvin en una dimensión.

Esta es la ecuación constitutiva en tres dimensiones para un materialque se comporta como modelo de Kelvin y provee la tensión en funciónde la deformación y de la tasa de deformación. La parte esférica soloreacciona elásticamente, pero la desviadora tiene las dos componentes.

Al inicio, la parte viscosa no deja que la elástica desarrolle toda ladeformación que necesita y la tensión elástica no llega a su máximo.Con el tiempo, la parte viscosa cede y queda actuando la elástica, quefrena la deformación de acuerdo a sus valores de módulos elásticos.

4.5.2. Modelo de Maxwell

En el modelo de Maxwell, la parte elástica y la viscosa actúan enserie. Para el caso 3D, la relación de equilibrio es

σ = σe = σv

La deformación total es la suma de ambas componentes:

ε = εe + εv

Diferenciando con respecto al tiempo

ε = εe + εv


donde la tasa elástica es

εe =1 + ν

E

(σe − ν

1 + νtrσe1

)La tasa viscosa se despeja de s = 2ηe

ev =1

2η

(σv − 1

3trσv1

)

Figura 4.6: Modelo de Maxwell en una dimensión.

Sumando ambas contribuciones se llega a

ε =1 + ν

E

(σ − ν

1 + νtrσ1

)+

1

2η

(σ − 1

3σ1

)Nótese que en esta relación no aparece ε sino su tasa y depende deltensor de tensiones y de su tasa. Si se aplica al material un esfuerzodeterminado, la �gura muestra que éste responde primeramente consus propiedades elásticas para el tiempo inicial, pero posteriormente,si se mantiene el esfuerzo, responde con sus propiedades viscosas.

Otros modelos combinan elementos en serie con elementos en para-lelo, de modo de representar respuestas más complejas, como el modelode Burgers.


4.6. Materiales Elasto-Plásticos

4.6.1. Estado Uniaxial de Tensiones y Deformacio-nes, Tensión de �uencia

Una característica fundamental de la plasticidad es la presencia dedeformaciones irrecuperables que quedan en el sólido aún después deser retiradas las cargas. El comportamiento plástico de los sólidos secaracteriza por un relación entre tensiones y deformaciones que no esúnica (al contrario de lo que sucede en materiales elásticos, sean estoslineales o no lineales). Si se considera solamente el comportamientouniaxial de un material, una relación σ − ε no lineal en el proceso decarga no determina si el comportamiento es de tipo plástico o no linealelástico. La descarga permitirá inmediatamente descubrir la diferen-cia, dado que el material elástico recorrerá el mismo camino de carga,mientras que el plástico seguirá un camino diferente, que depende dela historia de carga. Esta respuesta se ha ejempli�cado en la �gura4.7. Allí se ve que el material se comporta en forma elástica hasta elestado indicado por A y a partir de allí ya hay deformaciones plásti-cas. La tensión correspondiente a A, indicada por σy, es la tensión de�uencia.

ε

σ

0

σ

εe

y

εp

AB

CampoElástico

CampoPlástico

Figura 4.7: Sólido elasto-plástico en una dimensión.

Muchos materiales tienen un comportamiento que para pequeñasdeformaciones plásticas se aproxima a un plástico ideal. En plasticidadideal existe una tensión de �uencia σy para la que el estado de defor-


maciones se halla indeterminado. Para todas las tensiones inferiores ala de �uencia se supone una relación elástica σ − ε.

Para el estado indicado por B en la �gura 4.8, existirá una partede las deformaciones que permanece elástica εe11 y otra parte que seráplástica εp11 de modo que la deformación total ε11 será

ε11 = εe11 + εp11 (4.58)

ε

σ

0

σ

εe

y

εp

E E

1 1

A B

Figura 4.8: Sólido Elasto-plástico Ideal en una dimensión.

Para la parte elástica serán válidas las expresiones de la Sección4.2.1, de modo que

εe11 =σ11

E

Pero las relaciones constitutivas de la parte plástica no pueden serescritas directamente en términos de tensiones y deformaciones sinoque es necesario introducir incrementos diferenciales de deformaciónε11 y de tensión σ11. El estado tensional elasto-plástico requiere laintegración de las ecuaciones diferenciales resultantes.

4.6.2. Estado Tridimensional de Tensiones y Defor-maciones, Función de �uencia

En lugar de estudiar en detalle el proceso progresivo de plasti�ca-ción de un cuerpo sólido, en este texto introductorio nos limitaremos a


estudiar hasta qué estados tensionales son válidas las relaciones elásti-cas y cuál es el límite en el que se comienzan a plasti�car las primeras�bras del sólido.

Cuando se estudia un estado tensional tridimensional, el conceptode tensión de �uencia ya no es su�ciente y es necesario de�nir unafunción de �uencia que determine que combinación de las componentesde tensión produce la �uencia del material. Una función de ese tipopuede escribirse de la forma

f (σ)− cy = 0 o f (σ, cy) = 0 (4.59)

donde cy es una constante (o más de una) que depende del material.En general ésta u otras constantes se determinan en base a ensayossencillos donde todo el espécimen está bajo el mismo estado tensionaly donde la terna de direcciones principales no cambia durante todo elensayo. Los más utilizados son el ensayo de tracción simple en metaleso el de compresión simple y triaxial en materiales que resisten prin-cipalmente compresión. En materiales isótropos, en lugar de escribirla ecuación 4.59 en función de las seis componentes cartesianas deltensor σij resulta más conveniente hacerlo en función de las tensionesprincipales u otros invariantes, de modo que

f (σI , σII , σIII , cy) = f (I1, I2, I3, cy) = 0 (4.60)

Existen varios criterios para establecer un límite al comportamientoelástico del material, y cualquiera de estos criterios gra�cado en el es-pacio de tensiones principales da lugar a una super�cie de �uencia. Lospuntos interiores a la super�cie de�nen los posibles estados elásticosque puede alcanzar el material. Los puntos ubicados sobre la super�-cie representan el límite del comportamiento puramente elástico y elcomienzo de un comportamiento elasto-plástico. Estados tensionalesexteriores a la super�cie no son posibles en plasticidad ideal.

En general, esos criterios dependen del material de que se trate.En algunos de ellos, por ejemplo el acero, la condición de plasticidadno depende de las componentes hidrostáticas o esféricas de tensión ydeformación, sino fundamentalmente de las componentes desviadoras;en materiales como suelos, por el contrario, la condición de plasticidadsí depende de la presión hidrostática (que es el nivel de con�namientodel suelo). Veremos algunos criterios que son de utilidad en la repre-sentación de la plasticidad de algunos materiales.


4.6.3. Criterio de Fluencia de Rankine

El criterio original de Rankine postula que el material falla portracción, dice que en un estado tridimensional de tensiones se llega a�uencia cuando una tensión principal de tracción alcanza un determi-nado valor que experimentalmente se asocia con la tensión de �uenciauniaxial.

Las expresiones que resumen este criterio pueden escribirse como

σI − σy = 0

σII − σy = 0 (4.61)

σIII − σy = 0

Cada una de las tres ecuaciones 4.61 de�ne un plano en el espaciode tensiones principales, paralelo a un plano coordenado delimitandoun prisma de tres caras que contiene los posibles estados elásticos delmaterial. Este criterio se adapta a representar metales frágiles, comofundición y es usado aún en la actualidad a pesar de haber sido formu-lado a mediados del siglo XIX. Este criterio puede ser ampliado paramateriales que fallan también por compresión independientemente delos otros valores de tensiones principales. En tal caso y asumiendo quelas tensiones de �uencia en compresión y tracción son las mismas dalugar a otros tres planos:

σI + σy = 0

σII + σy = 0 (4.62)

σIII + σy = 0

En consecuencia un estado elástico debe estar ubicado entre cada unode los planos y el origen (estado sin tensiones). La super�cie de �uenciaqueda entonces descripta por el hexahedro delimitado por los 6 planosde�nidos arriba, un cubo centrado en el origen como se muestra enla �gura 4.9.a. En el caso que una de las tensiones principales seanula (lo que luego se de�ne como un Estado Plano de Tensiones) porejemplo σIII = 0, permite gra�car el criterio en función de las otrasdos tensiones principales (σI y σII en este caso), que no es otra cosaque la intersección de la super�cie de �uencia con el plano σI − σII .En la Figura 4.9.b se muestra la curva intersección que en este caso esun cuadrado centrado en el origen.


0

σy

σy

σΙΙΙ

σΙ

σΙΙ

σΙ

σΙΙσ

y

σy

σy0

(a) (b)

Figura 4.9: Super�cie de Fluencia de Rankine. (a) tridimensional (b)bidimensional

4.6.4. Criterio de Fluencia de Tresca

Las hipótesis de este criterio fueron inicialmente propuestos porCoulomb en 1773 y Tresca lo desarrolló en 1868. Tresca, que trabajó conmetales, postulo que el material falla por corte, es decir que un puntodel sólido en estado tridimensional de tensiones se plasti�ca cuandoen algún plano la tensión de corte alcanza una determinado valor, quenuevamente se determina experimentalmente a partir de un ensayo detracción unixial.

Como se vio en el análisis general de tensiones al considerar círculosde Mohr, en el entorno de un punto las máximas tensiones cortantesσmaxνs en cada plano asociado a dos direcciones principales puede expre-

sarse en función de el par de tensiones principales como

σmaxνs = ±1

2(σI − σIII)

σmaxνs = ±1

2(σII − σIII) (4.63)

σmaxνs = ±1

2(σI − σII)


En un estado uniaxial (ensayo de tracción o compresión simple) setiene

σII = σIII = 0

σmaxνs = ±1

2σI (4.64)

Cuando el estado uniaxial alcanza �uencia entonces se tendrá elvalor de referencia

σI = σy

de modo que

σmaxνs = ±1

2σy (4.65)

Igualando las ecuaciones 4.65 y 4.63 se tendrá

σI − σIII = ±σy

σII − σIII = ±σy (4.66)

σI − σII = ±σy

Cada una de las seis ecuaciones 4.66 de�ne un plano en el espaciode tensiones principales σI − σII − σIII , esos seis planos delimitan uncilíndro de sección hexagonal mostrado en la �gura 4.10.a cuyo eje es eleje hidrostático. La super�cie que delimita el cilindro es la super�cie de�uencia y los posibles estados elásticos son todos los puntos interiores.La intersección del cilindro con el plano desviador se muestra en la�gura 4.10.b. Nótese que un estado hidrostático, dado por

σI = σII = σIII (4.67)

nunca alcanzará �uencia según este criterio (lo cual se ha veri�cadoexperimentalmente para altas presiones). Lo mismo es válido para elcriterio de von Mises que se verá a continuación. Ambos criterios seemplean en la actualidad en modelos de metales dúctiles, en particularacero y aluminio.

Para un problema de tensión plana es posible gra�car el criterio deTresca en el plano σI σII y resulta un hexágono, como se muestra enla �gura 4.10.c. Este hexágono es sencillamente la intersección de lasuper�cie tridimensional de Tresca (prisma hexagonal) con el corres-pondiente plano coordenado.


σ1 = σ2 = σ3

Intersección conPlano desviador

von Mises

σΙΙΙ

σΙ

σΙΙ

Eje Hidrostático

f1 f2

f3

f4

f5

f6

(a)

von Mises

−σy

√3/2

σ y

σ y

σ y

−σy


σΙΙΙ

σΙ

σΙΙ

f6

f1

f2

f3

f4

f5

R=

σΙ σΙΙf1f2

f3

f4f5

f6

(b) (c)

Figura 4.10: Super�cies de Fluencia de Tresca y von Mises (a, b) enestado triaxial; (c) en tensión plana.

4.6.5. Criterio de Fluencia de von Mises

Unos 50 años posteriores a la propuesta de Tresca, von Mises pos-tula que un estado tridimensional alcanza �uencia cuando al valor de laenergía de distorsión (por unidad de volumen) alcanza un cierto valor.

Como se vío antes, la energía de distorsión resulta

wd =1

2s : e =

1

12G

[(σI − σII)2 + (σI − σIII)2 + (σII − σIII)2]

=−J2

2G(4.68)

Nuevamente se compara con la energía de distorsión que ocurreen un ensayo de tracción uniaxial al llegar a �uencia. Para un estado


uniaxial:

σII = σIII = 0

y la ecuación 4.68 se reduce a

wd =σ2I

6G

Cuando ese estado uniaxial alcanza �uencia, se tiene

σI = σy

luego la energía interna de distorsión por unidad de volumen a usarcomo valor de referencia es:

wd =σ2y

6G(4.69)

Igualando las ecuaciones 4.68 y 4.69 se llega a

(σI − σII)2 + (σI − σIII)2 + (σII − σIII)2 = 2σ2y = −6J2 (4.70)

que determina un cilindro de sección circular en el espacio de tensionesprincipales. Como se muestra en la �gura 4.10.a, el criterio de vonMises determina una super�cie en la que queda inscripta la super�ciede Tresca.

Observar en la ecuación 4.70 que es su�ciente evaluar J2 para de-terminar si el estado tensional es elástico. Estados tensionales en losque

(σI − σII)2 + (σI − σIII)2 + (σII − σIII)2 = −6J2 < 2σ2y

son elásticos de acuerdo con el criterio de von Mises (puntos interioresdel cilindro).

En un estado tensional plano, en el que σIII = 0, el criterio de�uencia de von Mises delimita una elipse en el plano σI σII , como semuestra en la �gura 4.10.c. A diferencia del criterio de Tresca donde elplano en que se produce la máxima tensión de corte (plano de falla) estáclaramente de�nido, el criterio de von Mises no especi�ca el plano defalla sino la dirección en que se desarrollan las deformaciones plásticasincrementales.


4.6.6. Criterio de Fluencia de Mohr-Coulomb

Este criterio supone que el material falla debido a tensiones de corteal igual que Tresca, pero aquí el nivel de con�namiento es crucial paraaumentar la resistencia a esfuerzos de corte. En el criterio de Mohr-Coulomb se considera que en un estado tridimensional de tensiones sellega a �uencia cuando en algún plano (de�nido por la normal ν) latensión cortante (en alguna dirección s en el plano) alcanza el valorde�nido por la ecuación

σνs = c− σνν tgϕ (4.71)

Esta expresión dice sencillamente que la resistencia al corte σνs depen-de de dos sumandos, la cohesión entre las partículas �c� y la presiónnormal al plano σνν escalada por el coe�ciente de fricción internal dematerial (tanϕ). El segundo término representa la in�uencia del con-�namiento, ya que a mayor presión normal mayor será la resistenciaal corte. Desde el punto de vista del ensayo uniaxial puede decirse quese emplea en materiales que presentan un distinto comportamiento entracción y compresión.

La ecuación 4.71, escrita por Coulomb en 1775, depende de dosparámetros de �uencia: la cohesión o resistencia intrínseca al corte,c; y el ángulo de fricción interna, ϕ. En hormigones y suelos, bajotracciones se alcanza un estado hidrostático (con�namiento negativo)que produce la falla del material.

Con referencia a la �gura 4.11, las componentes cortante y normalde tensión resultan

σνs =1

2(σI − σIII) cosϕ

σνν =1

2(σI + σIII) +

1

2(σI − σIII) senϕ (4.72)

Notar que se ha gra�cado la parte negativa del eje σνν hacia laderecha como es habitual en la mecánica de suelos.

Reemplazando las 4.72 en la 4.71 se obtiene la condición

−c cosϕ+1

2(σI + σIII) senϕ+

1

2(σI − σIII) = 0 (4.73)

Esta ecuación puede escribirse alternativamente como

σIII =1 + senϕ

1− senϕσI −

2 cosϕ

1− senϕc (4.74)


φ

c

φσΙΙΙσΙ

−σνν

σν s=c-σνν

tan φσνs

c cot

Figura 4.11: Criterio de Mohr-Coulomb en tres dimensiones.

o en términos de la máxima tensión de corte en el punto

c cosϕ− σI senϕ1− senϕ

=σI − σIII

2

Para las otras posibilidades de tensiones principales máximas y mí-nimas, se llega a

f1 = −(c cosϕ− σI senϕ)

1− senϕ+

1

2(σI − σIII) = 0 σIII < σII < σI

f2 = −(c cosϕ− σIIIsenϕ)

1− senϕ+

1

2(σIII − σI) = 0 σI < σII < σIII

f3 = −(c cosϕ− σII senϕ)

1− senϕ+

1

2(σII − σI) = 0 σI < σIII < σII

f4 = −(c cosϕ− σI senϕ)

1− senϕ+

1

2(σI − σII) = 0 σII < σIII < σI

f5 = −(c cosϕ− σII senϕ)

1− senϕ+

1

2(σII − σIII) = 0 σIII < σI < σII

f6 = −(c cosϕ− σIIIsenϕ)

1− senϕ+

1

2(σIII − σII) = 0 σII < σI < σIII

(4.75)

Un estado tridimensional es elástico de acuerdo con el criterio deMohr-Coulomb si por ejemplo (de la primera de las ecuaciones)

1

2(σI − σIII) <

(c cosϕ− σI senϕ)

1− senϕ


y se veri�can desigualdades similares para el resto de las ecuaciones4.75, es decir que todas las fi < 0.

En las ecuaciones 4.75 se observa que la condición de plasticidadestá determinada por dos parámetros (c y ϕ) en lugar de emplearseuno como en los criterios para metales dúctiles (que sólo dependíande σy). El criterio de Mohr-Coulomb conduce a un cono de secciónhexagonal (no regular, sino deformado), donde cada cara del prismaresponde a cada una de la fi y en el que el vértice se encuentra sobreel eje hidrostático. Reemplazando las 4.67 en las 4.75 se obtienen lascoordenadas del vértice como

σI = σII = σIII = −c cotϕ (4.76)

Nótese que si en las 4.75 hacemos

ϕ = 0 c =1

2σy (4.77)

se obtienen las ecuaciones 4.66. De modo que el criterio de Tresca esun caso particular del criterio de Mohr-Coulomb .

−σΙΙΙ

−σΙ

−σΙΙ

Eje Hidrostático

f1

f2

f3

f4

f5

f6

σ1 = σ2 = σ3


√3 c cot φ

Figura 4.12: Super�cies de �uencia de Mohr-Coulomb

4.6.6.1. Criterio de Mohr-Coulomb en Hormigón

Los parámetros c y ϕ del material deben ser determinados a travésde ensayos. Si el material es un suelo, estos parámetros surgen direc-tamente de la envolvente de la resistencia al corte que se obtiene conensayos triaxiales. Para materiales como el hormigón, los parámetros


c y ϕ se obtienen en función de ensayos que miden la resistencia a lacompresión simple (σc) y la resistencia a la tracción (σt) a través delas siguientes expresiones (ver Figuras 4.13.a y 4.13.b). Aplicando 4.74a ambos casos se tiene (con σc el valor absoluto de la resistencia a lacompresión)

0 =1 + sinϕ

1− sinϕσt −

2 cosϕ

1− sinϕc

−σc = − 2 cosϕ

1− sinϕc

restando ambas expresiones desaparece la cohesión y despejando sinϕ

sinϕ =

(σc − σtσc + σt

)Una vez determinado ϕ la cohesión resulta:

c = σc1− sinϕ

2 cosϕ=

1

2

√σcσt

En la Figura 4.13.b se ilustra la intersección de la super�cie de fa-lla con el plano σIII = 0, en la que se pone en evidencia que, para elcaso del hormigón, la transición lineal entre σc y σt es muy empinada,y que basta que σI (o que σII) sea de tracción para que se reduzcamuy marcadamente la resistencia a la compresión en la dirección σII(o viceversa para el caso que σII sea de tracción). También se puedeapreciar que los materiales cuyas resistencias a tracción y compresiónuniaxial son iguales (metales dúctiles, por ejemplo), el ángulo de fric-ción ϕ resulta igual a cero. Según se puede deducir del círculo de Mohrde la Figura 4.13.a, el plano de falla para el estado de compresión sim-ple está representado por el punto C. Dicho punto corresponde a unplano de falla que forma con el eje de máxima compresión principal unángulo igual a (45◦ − ϕ/2).

Una característica general de interés práctico de los materiales enlos que es aplicable el criterio de Mohr-Coulomb, es que la resistenciaa la compresión en la dirección principal de máxima tensión de com-presión puede resultar mucho mayor que la resistencia a la compresiónsimple.

A manera de ejemplo, para un hormigón sometido a tensiones decon�namiento (de compresión) σIII = σII = p igual a solo al 5% de σI ,


(a)

(b)

Figura 4.13: Super�cie de �uencia de Mohr-Coulomb para hormigones.(a) Envolvente de corte, (b) Intersección con el plano σIII = 0

la resistencia a compresión según σI resulta aproximadamente 1,5 vecesla resistencia a compresión simple. Esta característica es la que justi�caque la resistencia al aplastamiento bajo cargas exteriores limitadas auna fracción de la super�cie plana de una masa de hormigón (comoen apoyos de máquinas o insertos metálicos) sea considerablementesuperior a la resistencia a la compresión con�nada, a diferencia de loque ocurre en materiales dúctiles (ϕ = 0), en los cuales esos mismosvalores de tensiones de con�namiento solo producirían un incrementode la tensión de �uencia en el orden del 5% de la tensión de �uenciauniaxial, en contraste con el 50% arriba indicado para el hormigón.


4.6.7. Criterio de Fluencia de Drucker-Prager

El criterio de Drucker-Prager, formulado en 1952, puede conside-rarse como una generalización del criterio de von-Mises, en el que seconsidera la in�uencia del con�namiento en la tensión desviadora de�uencia. La ecuación de la super�cie de �uencia en este criterio estádada por:

α I1 +√−J2 = κ (4.78)√−J2 = κ− α I1 (4.79)

La segunda versión de la ecuación tiene una forma similar a la ex-presión (4.71) utilizada para de�nir el criterio de Mohr-Coulomb, endonde se considera una medida general del corte a través de la tensióndesviadora (

√−J2), y una medida general del con�namiento a través

de la tensión media (3σM = I1). Cabe destacar que en el espacio detensiones principales la tensión media está relacionada con la coorde-nada sobre el eje hidrostático, mientras que la cordenada sobre el planodesviador es proporcional a

√−J2. De esta manera, este criterio de�ne

una super�cie de forma cónica de sección circular. En la �gura 4.14se muestra la intersección de dicha super�cie con el plano desviador ycon el plano σIII = 0. Los parámetros α y κ son análogos al ángulode fricción y cohesión del criterio de Mohr-Coulomb. Se observa que siα = 0 se obtiene el criterio de von Mises (κ = σy/

√3).

Dado que los materiales cuyo comportamiento depende del con�na-miento (por ejemplo, hormigón o suelos) frecuentemente se caracterizana través de los parámetros del criterio de Mohr Coulomb (cohesión yfricción), puede resultar de interés ajustar el criterio de Drucker-Pragerla super�cie de �uencia resultante del criterio de Mohr-Coulomb. Sien-do que la sección de estas super�cies no tienen la misma forma (hexá-gono irregular vs. círculo), el ajuste puede realizarse de diversas ma-neras. Por ejemplo, puede ajustarse el criterio de Drucker-Prager demanera que se obtenga la misma resistencia a la compresión que utili-zando Mohr-Coulomb:


σΙΙΙ +σΙΙ

σΙΙ

f4

f1

f5

f3

f2

f6


DruckerPrager

σΙ

+σΙ

f1f5

f3

f2f6

f4

DruckerPrager

Figura 4.14: Super�cies de �uencia de Mohr-Coulomb y Drucker-Prager (a) en tres dimensiones, (b) en dos dimensiones.

α =2√3

senϕ

3− senϕ

(4.80)

κ =6c√

3

cosϕ

3− senϕ

Otra alternativa es realizar un ajuste a la tracción, donde resulta:

α =2√3

senϕ

3 + senϕ

(4.81)

κ =6c√

3

cosϕ

3 + senϕ

Para estados de deformación plana, se puede realizar un ajuste queobtenga la misma carga límite (Chen y Saleeb, 1982):


α =tanϕ√

9 + 12 tan2 (ϕ)

(4.82)

κ =3c√

9 + 12 tan2 (ϕ)

4.6.8. Teorías de Plasticidad

Una vez que el material ha alcanzado la super�cie de �uencia enalguna partícula del cuerpo, las ecuaciones de la elasticidad ya no se-rán válidas en todo el cuerpo y se requiere integrar las correspondientesecuaciones diferenciales para poder considerar la existencia de deforma-ciones plásticas. Su tratamiento escapa al alcance de este texto intro-ductorio y el lector interesado deberá consultar textos más avanzadosde mecánica de los sólidos o algún tratado sobre teoría de Plasticidad.

4.7. Ejercicios

Ejercicio 4.1. En un punto de una estructura, el tensor lineal dedeformaciones se ha medido en laboratorio y resultan ε11 = 0,001;ε22 = 0,002; ε33 = 0,006; ε12 = 0,003; ε13 = 0,004; ε32 = 0,005.Evaluar las componentes del tensor de tensiones teniendo en cuentaque E = 200GPa y ν = 0,3.

Ejercicio 4.2. En un punto de una estructura, el tensor de tensio-nes se ha computado como

σ =

100 70 90240 130

250

MPa

siendo E = 200GPa y ν = 0,3. Demuestre numéricamente que lasdirecciones principales de tensión coinciden con las de deformación.

Ejercicio 4.3. Calcule los invariantes del tensor de deformacionesen función de los invariantes del tensor de tensiones.

Solución: Los invariantes de un tensor se pueden calcular en fun-ción de los invariantes del otro tensor usando las relaciones elásticas


lineales. Operando, resultan:

Iε1 =1− 2ν

EIσ1 Iε2 = [3− 4 (1 + ν)]

( νE

)2

(Iσ1 )2

Iε3 =

(1 + ν

E

)3 [Iσ3 +

ν2

(1 + ν)3 (Iσ1 )3 − ν

1 + νIσ1 I

σ2

]Ejercicio 4.4. Estado plano de tensiones. A partir del tensor de

tensiones que se indica, teniendo en cuenta que se trata de un mate-rial caracterizado por las constantes elásticas E (módulo de Young)y ν (relación de Poisson) determinar las componentes del tensor dedeformaciones. Establecer una expresión que relacione a ambos parai, j = 1, 2

σij =

σ11 σ12 0σ21 σ22 00 0 0

; σi3 = 0

Ejercicio 4.5. Estado plano de deformaciones. A partir del tensorde deformaciones que se indica, teniendo en cuenta que se trata de unmaterial caracterizado por las constantes elástica E (módulo de Young)y ν (relación de Poisson), determinar las componentes del tensor detensiones. Establecer una expresión que relacione a ambos para i, j =1, 2

εij =

ε11 ε12 0ε21 ε22 00 0 0

; εi3 = 0

Ejercicio 4.6. En un estado plano de tensiones se han encontra-do los valores de σ11 = 20MPa; σ22 = 25MPa; ε11 = 214 × 10−6;ε22 = 300× 10−6. Calcule cuánto valen los módulos de elasticidad y dePoisson.

Ejercicio 4.7. Se tiene un cilindro con�nado lateralmente comose indica en la �gura 4.15 y bajo la acción de una carga p1 = 70kPaactuando en la dirección X1. Se pide determinar el estado de esfuerzosy deformaciones en el interior.

Ejercicio 4.8. El cubo de acero de la �gura 4.16 tiene 12,7mm delado y está sometido a una presión uniforme p1 = 600MPa en dos desus caras. Las otras cuatro caras pueden desplazarse hasta 0,381mmy si el cubo alcanza ese desplazamiento estará con�nado a partir deesa carga. (a) Encuentre la presión para la que el cubo se desplaza


Figura 4.15: Cilindro con�nado lateralmente del Ejercicio 4.7

0,381mm. (b) Encuentre la presión que el cubo ejercerá �nalmentesobre el con�namiento.

Solución: Este problema es de tipo no-holónomo, dado que lascondiciones de contorno cambian durante el proceso de deformación.

(a) Mientras el cubo no toca el con�namiento, el estado está repre-sentado por

σij =

σ11 0 00 0 00 0 0

; εij =

ε11 0 00 ε22 00 0 ε33

donde σ11 = −p, ε22 = ε33 = 0,0006. Las ecuaciones constitutivaselásticas son

σ11 =E

(1 + ν) (1− 2ν)[(1− ν) ε11 + 2× 0,0006ν]

0 =E

(1 + ν) (1− 2ν)[0,0006 + νε11]

De la segunda ecuación, ε11 = 0,0006/ν. De la primera ecuación, σ11 =420MPa.

(b) A partir del momento en que el material toca el con�namiento,los tensores pasan a tener la forma

σij =

∆σ11 0 00 σ22 00 0 σ22

; εij =

∆ε11 0 00 0 00 0 0


donde ∆σ11 = σ11 − (−420MPa); ∆ε11 = ε11 − 0,002. Para la car-ga �nal de p1 = 600MPa se tiene ∆σ11 = 180MPa. Las ecuacionesconstitutivas resultan

∆σ11 = 180MPa =E (1− ν)

(1 + ν) (1− 2ν)∆ε11 de donde

∆ε11 = −0,000637

σ22 =Eν

(1 + ν) (1− 2ν)∆ε11 de donde σ22 = −77MPa

Cuando la carga alcanza el valor máximo de p1 = 600MPa, los tensoresresultan

σij =

−600 0 00 −77 00 0 −77

MPa ; εij =

−26,37 0 00 6 00 0 6

10−4

Figura 4.16: Cubo con�nado sometido a presión, Ejercicio 4.8

Ejercicio 4.9. Dado el cuerpo libre de restricciones de desplaza-miento en un espacio tridimensional, como se indica en la �gura 4.17,sometido al campo de salto térmico que también se indica, determi-nar: (a) si para todo punto del mismo se satisfacen las ecuaciones decompatibilidad. (b) para un estado de coacción interno tal que haga,para todo punto del cuerpo, εij ≡ 0 (idénticamente nulo), las fuerzasmásicas y de contorno que equilibren a las tensiones que dicho estadoprovoca.

Ejercicio 4.10. Un cilindro de material visco-elástico de propie-dades E = 50KPa, η = 1000KPa.s, ν = 0,12, se encuentra con�nadolateralmente y cargado axialmente. El material se comporta como unmodelo de Kelvin. Para una presión p = 1KPa, calcule la deformación


Figura 4.17: Cuerpo sometido a un campo térmico, Ejercicio 4.9.

axial a tiempo inicial, a t = 30s y t = 200s. Calcule las tensiones sobrelas paredes del con�namiento a los mismos tiempos.

Solución: Suponemos que la dirección axial es x1, con lo que ε12 =ε13 = ε23 = 0 y debido al con�namiento, ε22 = ε33 = 0. Se suponeque los materiales responden elásticamente ante cargas hidrostáticasmoderadas, de modo que σmm = 3Kεmm, que en este caso resulta en

σ11 + 2σ22 =E

1− νε11

La deformación elástica instantánea es

ε11 =(1 + ν) (1− 2ν)

(1− ν)

p

E

Por condición de equilibrio, σ11 = −p. Las ecuaciones constitutivasde Kelvin se reducen a

−p =(1− ν)E

(1 + ν) (1− 2ν)ε11 +

4

3ηε11

σ22 =νE

(1 + ν) (1− 2ν)ε11 −

2

3ηε11

La ecuación diferencial de σ11 es de la forma

dε11

dt+Bε11 +G = 0

donde

B =3E

4η

(1− ν)

(1 + ν) (1− 2ν)= 0,0388

1

sG =

3p

4η= 75× 10−5 1

s


Para integrar la ecuación se emplea separación de variables

−∫

dε11

Bε11 +G=

∫dt

Integrando, resulta

− ln(Bε11 +G) = B (t+ C)

donde C es la constante de integración. Exponenciando ambos miem-bros de la ecuación se tiene

Bε11 +G = e−Bte−BC

Para calcular C hay que �jar condiciones iniciales. Para t = 0, ε011 = 0.

Sustituyendo,

C = − 1

Bln(G) = 185,60s

La deformación axial resulta

ε11 (t) =1

B

(e−Bte−BC −G

)= 0,0194(e−0,0387t − 1)

La deformación crece según una función exponencial. Para t = 30s,ε11 = −0,0133; para t = 200s, ε11 = −0,0193. Quiere decir que paraun tiempo de 200s ya se alcanzó la deformación elástica que tendría elmaterial.

Ejercicio 4.11. Para el cilindro de material visco-elástico del pro-blema anterior, encuentre las deformaciones suponiendo que no existecon�namiento lateral.

Ejercicio 4.12. El cubo de la �gura 4.18 se encuentra con�nadoen sentido X3 y libre en los otros sentidos. Bajo la acción de una cargase tensiona σ11 en sentido X1. Se supone un material elasto-plásticoperfecto.(a) Usando el criterio de �uencia de von Mises, determinar elestado de tensiones y deformaciones en el momento de producirse la�uencia. (b) Encuentre el punto de �uencia en la elipse de von Mises.


Figura 4.18: Cubo con�nado en dirección x3 y libre en la otras dos,Problema 4.12.

Capítulo 5

Técnicas de Solución

En capítulos anteriores se estudió que las tensiones, deformacionesy desplazamientos en cada punto de un sólido deben satisfacer ecua-ciones de equilibrio, cinemáticas y constitutivas, que se expresan pormedio de 15 incógnitas. Hay métodos generales de agrupar esas ecua-ciones, aquí veremos el llamado Método de los Desplazamientos dondese llega a tres ecuaciones diferenciales de equilibrio con las tres compo-nentes de desplazamiento como incógnitas. Además veremos una formaalternativa de plantear esta ecuación a través de una expresión integralque se conoce en el campo de la mecánica como �Principio de TrabajosVirtuales� y es más amena para su solución por técnicas numéricas.Adicionalmente se discuten algunas aproximaciones a problemas espe-ciales de elasticidad. Al �nal del capítulo se introduce una notaciónque facilita el tratamiento numérico de la elasticidad.

5.1. Ecuaciones Generales de la

Elasticidad Lineal

La mecánica del continuo trata con tres clases distintas de variables:tensiones, deformaciones y desplazamientos. Las tensiones describenesfuerzos que actúan en el interior de un cuerpo; las deformacionesdescriben distorsiones locales; y los desplazamientos describen el mo-vimiento de un punto durante el proceso de deformación con referenciaa un sistema de coordenadas �jo. Las tensiones, deformaciones y des-plazamientos se relacionan entre sí a través de tres grupos de ecuacionessegún se vio en los capítulos anteriores:

125


(a) Las ecuaciones de equilibrio se escriben para un elementoin�nitesimal del volumen. Son relaciones que contienen las tensionesy las fuerzas por unidad de volumen (ρb = F es la fuerza másica porunidad de volumen, ρ es la densidad de masa, b es la fuerza másicapor unidad de masa):

3∑i=1

∂σij∂Xi

+ Fj = 0 (5.1)

o escrita en forma vectorial

∇ · σ + F (X) = 0 (5.2)

[∂

∂X1

,∂

∂X2

,∂

∂X3

] σ11 σ12 σ13

σ21 σ22 σ23

σ31 σ32 σ33

+

F1

F2

F3

= 0 (5.3)

donde σ es el tensor de tensiones de Cauchy que es simétrico. Estasson ecuaciones de origen físico. La expresión anterior lleva implícita lahipótesis de pequeños desplazamientos, ya que las derivadas se realizanrespecto a las posiciones de los puntos en la geometría indeformada(Xi).

(b) Las ecuaciones cinemáticas relacionan deformaciones condesplazamientos. Dado que la deformación de un cuerpo se puede eva-luar si se conocen los desplazamientos de cada punto del mismo, esposible calcular las deformaciones especí�cas partiendo de componen-tes de desplazamiento. Para pequeñas deformaciones y pequeños giros,esa relación puede escribirse como

εij =1

2

(∂ui∂Xj

+∂uj∂Xi

)(5.4)

o en forma vectorial

ε = ∇simu =1

2

(∇u +∇Tu

)(5.5)

Estas son ecuaciones de origen geométrico.(c) Las ecuaciones constitutivas relacionan tensiones con defor-

maciones. Para un material elástico lineal e isótropo resultan:

σ = 2µε+ λ∆1 (5.6)

Técnicas de Solución 127

donde las constantes de Lamé se de�nen como

µ = G =E

2(1 + ν)(5.7)

λ =νE

(1 + ν)(1− 2ν)(5.8)

que puede escribirse con mayor generalidad como

σ = C : ε

σij =∑k,l

Cijklεkl (5.9)

Estas son ecuaciones de origen experimental.(d) Las ecuaciones de compatibilidad. Como hay más rela-

ciones cinemáticas que componentes de desplazamiento, se pueden eli-minar los desplazamientos y llegar a ecuaciones que sólo contengandeformaciones. Esas constituyen las ecuaciones de compatibilidad, quese escriben en la forma:

∂2ε11

∂X22

+∂2ε22

∂X21

= 2∂2ε12

∂X1∂X2

∂2ε11

∂X23

+∂2ε33

∂X21

= 2∂2ε13

∂X1∂X3

∂2ε22

∂X23

+∂2ε33

∂X22

= 2∂2ε23

∂X1∂X3

∂2ε12

∂X1∂X3

+∂2ε13

∂X1∂X2

− ∂2ε23

∂X21

=∂2ε11

∂X2∂X3

(5.10)

∂2ε31

∂X2∂X3

+∂2ε32

∂X1∂X3

− ∂2ε12

∂X23

=∂2ε33

∂X1∂X2

∂2ε32

∂X1∂X2

+∂2ε21

∂X2∂X3

− ∂2ε31

∂X22

=∂2ε22

∂X1∂X3

Resumiendo, la Tabla 5.1 muestra el número de ecuaciones de cadatipo y las variables de cada una de ellas. Nótese que hay 15 incógnitas:seis σij, seis εij, y tres ui, mientras que empleando las ecuaciones deequilibrio, constitutivas y cinemáticas se tienen 15 ecuaciones. Por lotanto, el problema queda perfectamente determinado a través de 15ecuaciones con 15 incógnitas.


Ecuaciones Número VariablesEquilibrio 3 6σij

Constitutivas 6 6σij, 6εijCinemáticas 6 3ui, 6εij

Compatibilidad 6 6εij

Cuadro 5.1: Ecuaciones que gobiernan la elasticidad

Existen métodos generales que permiten reducir las ecuaciones aformas más compactas y tratables para su resolución. Los dos procedi-mientos generales clásicos en el análisis de cuerpos elásticos deforma-bles (también aplicables a con�guraciones estructurales como pórticos,reticulados, láminas delgadas, etc.), son:

1. Método de los desplazamientos, o de rigidez, o de equilibrio.

2. Método de las tensiones, o de las fuerzas, o de compatibilidad.

Se estudiará a continuación el primero de los métodos para el análisistridimensional de tensiones y deformaciones.

5.2. Método de los Desplazamientos,

Ecuaciones de Navier

Se parte de las tres ecuaciones de equilibrio fuerzas. En ellas se re-emplazan las tensiones σij por las deformaciones εij usando las cons-titutivas. Se tienen así tres ecuaciones de equilibrio que incluyen Fiy seis incógnitas εij. A continuación se reemplazan las deformacionespor desplazamientos ui usando las cinemáticas. Quedan tres ecuacio-nes de equilibrio en función de tres componentes de desplazamiento ui(incógnitas) y tres componentes de fuerzas másicas Fi (datos).

Veamos el desarrollo en más detalle para un elemento de volumen:partimos de las ecuaciones de equilibrio

3∑i=1

∂σij∂Xi

+ Fj = 0 (5.11)

∇ · σ + F = 0 (5.12)


NAVIERDesplazamientos

uFuerzas

F

Deformacionesε

TensionesσConstitutivas

Cinemáticas Equilibrio∇•σ +F=0ε=½(∇ Tu+∇ u)

µ∇ 2+(λ+µ)∇ (∇• u)+F=0

Figura 5.1: Variables de la teoría de la elasticidad

Como

σij = 2µεij + λδij∆ (5.13)

σ = 2µε+ λ∆1 (5.14)

reemplazamos 5.13 en 5.11 y, suponiendo que el material es homogéneo(las constantes elásticas del material no cambian de un punto a otro),tenemos

2µ3∑i=1

∂εij∂Xi

+3∑i=1

λδij∂∆

∂Xi

+ Fj = 0 (5.15)

2µ∇ · ε+ λ∇ · (trε1) + F = 0 (5.16)

A continuación usaremos las cinemáticas

εij =1

2

(∂ui∂Xj

+∂uj∂Xi

)(5.17)

ε =1

2

(∇u +∇Tu

)(5.18)


con lo cual las ecuaciones 5.15 de equilibrio quedan en la forma:

3∑i=1

[µ

∂2uj∂Xi∂Xi

+ µ∂

∂Xi

(∂ui∂Xj

)+ δijλ

∂

∂Xi

(3∑

m=1

∂um∂Xm

)]+ Fj = 0

(5.19)

µ∇ ·(∇u +∇Tu

)+ λ∇ · [(∇ · u) 1] + F = 0

(5.20)

Reagrupando se llega a tres ecuaciones escalares

µ

3∑i=1

∂2uj∂Xi∂Xi

+ (µ+ λ)∂

∂Xj

(3∑

m=1

∂um∂Xm

)+ Fj = 0 (5.21)

En forma vectorial, las 5.21 pueden expresarse como

µ div (gradu) + (µ+ λ) grad (divu) + F = 0 (5.22)

µ∇ · ∇u + (µ+ λ) ∇ (∇ · u) + F = 0 (5.23)

que se deben satisfacer en el dominio V del sólido que se estudia. Lasvariables de esta ecuación son los desplazamientos u; por lo tanto, elproblema sólo admitirá condiciones de contorno escritas en función deu.

En la parte del contorno que tiene restricciones en desplazamientos,denominada Sd, se deberán satisfacer condiciones del tipo de

ui − ui = 0 (5.24)

donde ui son desplazamientos conocidos. Esta condición ya está escritaen términos de desplazamientos y no requiere ningún cambio.

Para el borde con fuerzas conocidas, denominado Sf , se debe cum-plir la condición de equilibrio

σν − f = 0 (5.25)

Para expresar esta condición en función de desplazamientos, hayque seguir el mismo método explicado para equilibrio en el volumen.Para ello usamos ecuaciones constitutivas, quedando

3∑i=1

(2µεijνi + δijλ∆νi)− fj = 0 (5.26)

(2µε+ 1λ∆)ν − f = 0 (5.27)


A continuación se emplean las ecuaciones cinemáticas, para obtener

3∑i=1

[µ

(∂ui∂Xj

+∂uj∂Xi

)+ δijλ

3∑m=1

∂um∂Xm

]νi − fj = 0 (5.28)[

µ(∇u +∇Tu

)+ λ (∇ · u) 1

]ν − f = 0 (5.29)

en Sf .La solución del problema elástico lineal según el método de los des-

plazamientos está dada por un vector u que satisfaga simultáneamentelas tres ecuaciones 5.21 de Navier en el dominio y las condiciones defuerzas 5.28 y desplazamientos 5.24 en el contorno.

Una vez conocidos las componentes ui, se pueden usar las cinemáti-cas para averiguar las deformaciones εij y las constitutivas para calcularσij.

5.3. Formulación Integral (Formulación Dé-

bil)

5.3.1. Introducción

La formulación diferencial (y las condiciones de borde asociadas)que se vio en la sección previa se denomina también �Formulación Fuer-te� y es la forma habitual de establecer una ecuación de balance en lafísica (la mecánica en este caso). Existe una forma alternativa de plan-tear esta ecuación a través de una expresión integral en la cual el ordende derivación de las variables involucradas es la mitad que en el caso dela formulación fuerte. Esta forma alternativa se conoce en el campo dela mecánica como �Principio de Trabajos Virtuales� y es más amenapara su solución por técnicas numéricas como se verá en el próximocapítulo.

5.3.2. Funciones de prueba

La ecuación de equilibrio (o ley de balance local) sobre la que in-teresa trabajar es de la forma

∇ · σ + F = 0 en V (5.30)

Observemos primero que (5.30):


es una ecuación vectorial, es decir que son 3 ecuaciones de equi-librio, una en cada dirección coordenada

sus unidades son fuerzas por unidad de volumen[FL3

]De�namos una �función de prueba� vectorial v (X) (de momento adi-mensional) sobre el dominio V con componentes vi en las tres direc-ciones del espacio. Esta función es de momento tan arbitraria comose quiera, con la única condición de que sea �nita. Supongamos quemultiplicamos cada ecuación de equilibrio por la correspondiente com-ponente de la función de prueba, las sumamos, con lo cual tenemos unescalar y lo integramos en el volumen del sólido, es decir

I =

∫V

v · [∇ · σ + F] dV (5.31)

Notar que I tiene unidades de fuerza y que:

Si el campo de tensiones σ (X) está en equilibrio con las fuer-zas F (X), con lo cual se anula el corchete, la integral I se anulaindependientemente de la función v. Luego si conocemos la so-lución σ (X) que mantiene al sólido en equilibrio con las fuerzasmásicas I = 0 ∀v.

Si por el contrario existe algún punto del sólido Xa en el cual nose cumple el equilibrio en alguna dirección del espacio j , ocurreque debido a la continuidad del campo de tensiones σ no se cum-ple equilibrio en un entorno (también de�nido arbitrariamente)de Xa. En dicho entorno el signo del corchete tendrá un signoúnico (positivo o negativo) en la dirección j, entonces es posiblede�nir una función vj con el mismo signo que el corchete en di-cho entorno y nula en todo el resto del sólido, de tal forma quela integral I > 0. Luego si el sólido no está en equilibrio en algúnpunto es siempre posible encontrar una función de prueba quehaga positiva la integral.

Lo anterior permite decir que para que campo σ (X) de un sóli-do esté en equilibrio con las fuerzas másicas F (X) actuantes escondición necesaria y su�ciente que I = 0 ∀v.

Que σ (X) equilibre a F (X) no signi�ca que sea �la solución delproblema�, en realidad hay in�nitas campos σ (X) que satisfacen


equilibrio, para ser �la solución� debe además satisfacer las con-diciones de contorno de equilibrio (5.25) en Sf y las condicionesde contorno esenciales (5.24) en Sd.

5.3.3. Desplazamientos virtuales y velocidades vir-tuales

Volviendo sobre la función de prueba v le demos una interpretaciónfísica, supongamos que sea un incremento de desplazamiento (desde lacondición de equilibrio) factible δu. Esto implica que δu:

debe ser continuo, de otra forma se violaría la continuidad delsólido deformado, lo cual también hace posible evaluar ∇δu entodos los puntos.

debe cumplir que δu = 0 en Sd, pues la solución de equilibriobuscada debe satisfacer las condiciones esenciales allí u = u, porlo cual todo incremento factible ha de ser nulo en tales puntos.

Además supondremos que δu es tan pequeño como se quiera, de talforma que no cambia la con�guración del sólido. Una segunda inter-pretación es ver a v como un campo de velocidades compatible con losvínculos, con lo cual debe cumplir las dos condiciones indicada paraδu y no es necesario suponer que es tan pequeño como se quiera yaque la velocidad de por sí no modi�ca la con�guración.

Si con esta rede�nición de la función de prueba reinterpretamos laintegral I, si se usa δu esta resulta con unidades de trabajo en tal casodiremos que los distintos términos realizan un �Trabajo Virtual� y sise supone que es un campo de velocidades la integral tiene unidadesde potencia, y diremos que se trata de una �Potencia Virtual�.

5.3.4. La integral por partes y el Principio deTrabajos Virtuales

Con las condiciones indicadas sobre v trabajemos sobre la integral(5.31), primero separemos los dos términos

I =

∫V

v · (∇ · σ) dV +

∫V

v · F (x) dV (5.32)


reemplacemos del Cap. 1 la identidad fundamental (1.66)

I =

∫S

vTσν dS −∫V

∇simv : σdV +

∫V

vTF (x) dV (5.33)

Observemos ahora que:

1. S = Sf⋃Sd y que en Sd v = 0 por lo cual la primera integral

de (5.33) se puede reducir a Sf

2. que en Sf se conocen las fuerzas de contacto y que σν = f locual permite introducir esta condición en la solución buscada

luego

I = −∫V

∇simv : σdV +

∫Sf

vT f dS +

∫V

vTF (x) dV (5.34)

Si v son desplazamientos virtuales δu entonces la suma de las úl-timas dos integrales son el �Trabajo Virtual de las fuerzas Externas�conocidas (de contorno y másicas).

TVE =

∫Sf

δu · f dS +

∫V

δu · F (x) dV

Recordando la de�nición del tensor de deformación lineal

ε = ∇simu =1

2

(∇Tu +∇u

)(5.35)

se puede de�nir un tensor de deformación virtual

δε = ∇simδu (5.36)

Con lo cual el primer término del segundo miembro en (5.34) se puedeescribir como

TVI =

∫V

δε : σdV (5.37)

que es el �Trabajo Virtual de las fuerzas Internas�. La condición de quela integral I sea nula para toda función de prueba v = δu se escribeahora como

TVI = TVE (5.38)

que se conoce como el �Principio de Trabajos Virtuales�.


Esta �ecuación de trabajos virtuales� puede escribirse en función delos desplazamientos usando las constitutivas

σ = C : ε = C : ∇simu (5.39)

con lo cual∫V

∇simδu : C : ∇simu dV =

∫Sf

δu · f dδV +

∫V

δu · F (x) dV (5.40)

Notemos que en esta expresión

f y F a la derecha son conocidos

u debe permitir calcular ∇u es decir debe ser derivable y por lotanto continua

u debe satisfacer u = u en Sd

el máximo orden de derivación de u es 1 a diferencia de las ecua-ciones de Lamé que es 2.

la función de prueba δu cumple condiciones similares a u, debeser continua y derivable y debe satisfacer las condiciones �homo-géneas� de contorno δu = 0 en Sd

La ecuación de trabajos virtuales plantea la condición necesaria y su�-ciente para que el sistema esté en equilibrio, pero no es �una� condición,son �in�nitas� condiciones, pues esta ecuación debe satisfacerse paratodas las posibles funciones de prueba compatibles con las condicionesindicadas. Por otro lado la función u es desconocida.

Habitualmente las técnicas numéricas escriben la función incógnitau en función de un conjunto �nito n de parámetros (las incógnitas delproblema) y utilizan también n funciones de prueba (distintas) quepermiten plantear n condiciones en función de n incógnitas.

5.4. Elasticidad Bidimensional

En la presentación hasta el momento se ha supuesto que todas lascomponentes de tensión y deformación son diferentes de cero. Peroexisten algunos casos especiales interesantes en los que alguna de las


Figura 5.2: Estados de elasticidad bidimensional

componentes son nulas, en especial los conocidas como Tensión Plana,Deformación Plana y Axilsimetría. En estos casos especiales el dominiode análisis puede reducirse a dos dimensiones y correspondientementelas incógnitas de desplazamiento también se reducen a las componentesen el plano de trabajo. En la Figura 5.2 se muestra para los tres casosa estudiar el plano al que se reduce el análisis

5.4.1. Estados Bidimensionales de Deformación (De-formación Plana)

Un estado de deformación plana puede ocurrir en un sólido prismá-tico. Para que sea válido utilizar esta aproximación debe ocurrir queen una dirección del espacio (se adopta X3)

Que la geometría no cambie, es decir que cortes normales a X3

sean iguales

Que las cargas actúen en el plano (X1−X2) y sean constante enX3

Que el material no cambie en X3 y si no es isótropo que X3 seadirección principal de ortotropía

Que las condiciones de contorno esenciales (u1 y u2 en Sd ) nocambien en X3

Que en los extremos del sólido los desplazamientos u3 estén im-pedidos


Si las condiciones anteriores se cumplen

La geometría queda de�nida por la sección X1 −X2

Las cargas másicas y de contorno pueden escribirse

F (X1, X2) =

F1

F2

0

(X1, X2) f (X1, X2) =

f1

f2

0

(X1, X2)

(5.41)

Los desplazamientos se reducen a

u (X1, X2) =

u1

u2

0

(X1, X2) (5.42)

El tensor de deformaciones resulta entonces

ε =

ε11 ε12 0ε12 ε22 00 0 0

pues

∂ui∂X3

= 0

∂u3∂Xi

= 0(5.43)

donde claramente X3 es una dirección principal.

Para un material elástico, la forma del tensor de tensiones asociadodebe ser

[σij] =

σ11 σ12 0σ21 σ22 00 0 σ33

(5.44)

En este problema existe una restricción dada por ε33 = 0, que pue-de escribirse usando las ecuaciones constitutivas, para el caso de unmaterial isótropo:

ε33 = 0 =1 + ν

E

[σ33 −

ν

1− ν(σ11 + σ22 + σ33)

](5.45)

Despejando, se llega a

σ33 = ν (σ11 + σ22) (5.46)

De modo que solamente hay tres componentes de tensión independien-tes, que son σ11, σ22 , σ12. Las ecuaciones constitutivas pueden ahora


compactarse introduciendo las restricciones en tensiones y deformacio-nes, con lo que resultan:

σ11 =E (1− ν)

(1 + ν) (1− 2ν)

(ε11 +

ν

1− νε22

)σ22 =

E (1− ν)

(1 + ν) (1− 2ν)

(ε22 +

ν

1− νε11

)(5.47)

σ12 =E

1 + νε12

Finalmente, las ecuaciones de equilibrio resultan en el dominio:

∂σ11

∂X1

+∂σ21

∂X2

+ F1 = 0

∂σ12

∂X1

+∂σ22

∂X2

+ F2 = 0 (5.48)

y en el contorno con normal ν:

ν =

ν1

ν2

0

f = σν =

f1

f2

0

(5.49)

5.4.2. Estados Bidimensionales de Tensión (TensiónPlana)

Un estado plano de tensiones puede ocurrir en en una pieza planade espesor h uniforme relativamente pequeño respecto a las otras di-mensiones. Para que sea válido utilizar esta aproximación debe ocurrirque en la dirección normal al plano de la pieza (se adopta X3)

Que la dimensión (espesor) sea pequeña y constante frente a lasotras dos

Que las cargas actúen en el plano (X1 −X2)

Que si el material no es isótropo que X3 sea dirección principalde ortotropía

Que las condiciones de contorno esenciales (u1 y u2 en Sd ) nocambien en X3


Que los desplazamientos u3 no estén impedidos

Entonces EPT implica

La geometría queda de�nida en el plano X1 −X2

Las cargas másicas y de contorno se expresen como

F (X1, X2) =

F1

F2

0

(X1, X2) f (X1, X2) =

f1

f2

0

(X1, X2)

(5.50)

El tensor de tensiones se supone que tendrá solo las componentesno nulas indicadas

σ =

σ11 σ12 0σ12 σ22 00 0 0

(5.51)

donde claramente X3 es una dirección principal

Los desplazamientos tendrán la forma

u =

u1 (X1, X2)u2 (X1, X2)

u3 (X1, X2, X3)

(5.52)

Respecto a las deformaciones, para un material elástico e isótropo pue-de mostrarse que las direcciones principales de los tensores ε y σ coin-ciden luego

ε =

ε11 ε12 0ε12 ε22 00 0 ε33

(X1, X2) (5.53)

Para un material además lineal:

σ33 =E

1 + ν

(ε33 +

ν

1− 2ν(ε11 + ε22 + ε33)

)= 0

ε33 = − ν

1− ν(ε11 + ε22) (5.54)

Luego ε33 no es independiente de las otras deformacionesLas ecuaciones de Equilibrio son las mismas que para un estado

plano de deformación


En el dominio

∂σ11

∂X1

+∂σ12

∂X2

+ F1 = 0

∂σ12

∂X1

+∂σ22

∂X2

+ F2 = 0 (5.55)

En el contorno resultan

f =

[σ11 σ12

σ11 σ22

] [ν1

ν2

]=

[σ11ν1 + σ12ν2

σ12ν1 + σ22ν2

]=

[f1

f2

](5.56)

Ecuaciones ConstitutivasAl escribir ε en función de σ, se usan las habituales

εij =1 + ν

E

(σij −

ν

1 + νδijσmm

)i, j,m = 1, 2 (5.57)

y la obtenida arriba

ε33 = − ν

1− ν(ε11 + ε22) (5.58)

De modo que solamente hay tres componentes de deformación in-dependientes, que son ε11, ε22 , ε12.

Si se escriben σ en función de ε, las deformaciones se transformanreemplazando ε33

σ11 =E

1 + ν

[ε11 +

ν

1− ν(ε11 + ε22)

]=

E

1− ν2[ε11 + νε22]

σ22 =E

1− ν2[ε22 + νε11] (5.59)

σ12 =E

1 + νε12

5.4.3. Sólido Asilsimétrico

Un Sólido Axilsimétrico se obtiene haciendo rotar una �gura plana(sección meridional) alrededor de un eje contenido en el plano de lacurva (eje de revolución X2). Para que pueda verse como un problema2D debe ocurrir que en la dirección del paralelo (se adopta X3 o seasocia con el ángulo θ)


Que la geometría no tenga discontinuidades

Que las cargas que actúen en el plano (X1−X2) y sean constanteen θ

Que el material no cambie en θ y si no es isótropo que X3 seadirección principal de ortotropía

Que las condiciones de contorno esenciales (ui en Sd ) no cambienen θ

Entonces un sólido axilsimétrico implica

La geometría queda de�nida por la sección X1 −X2

Las cargas másicas (actúan sólo en X2) y de contorno son de laforma

F (X1, X2) =

0F2

0

(X1, X2) f (X1, X2) =

f1

f2

0

(X1, X2)

(5.60)

Los desplazamientos se reducen a

u (X1, X2) =

[u1

u2

](X1, X2) (5.61)

Para escribir el tensor de deformaciones (cinemáticas) es necesa-rio recurrir a coordenadas cilíndricas (r = X1, z = X2, θr = X3)

ε =

ε11 ε12 0ε12 ε22 00 0 ε33

donde ε33 =urr

=u1

X1

(5.62)

donde claramente X3 es una dirección principal

Si consideramos un material elástico e isótropo las direcciones princi-pales de los tensores ε y σ coinciden luego, el tensor de tensiones tienela forma

σ =

σ11 σ12 0σ12 σ22 00 0 σ33

(X1, X2) (5.63)


Pero a diferencia con el Estado Plano de Deformaciones :

ε33 6= 0 (5.64)

σ33 6= ν (σ11 + σ22) (5.65)

Luego σ33 es independiente de las otras tensiones. Notar que ε33 = urr,

es decir que depende de desplazamientos en el plano.En el contorno con normal ν las cargas externas son de la forma:

ν =

ν1

ν2

0

f = σν =

f1

f2

0

(5.66)

Respecto a las ecuaciones de equilibrio

En el dominio quedan dos ecuaciones de equilibrio (coordenadascilíndricas)

∂σ11

∂X1

+∂σ12

∂X2

+(σ11 − σ33)

X1

=1

X1

∂σ11X1

∂X1

+∂σ12

∂X2

+−σ33

X1

= 0

∂σ12

∂X1

+σ12

X1

+∂σ22

∂X2

+ F2 =1

X1

∂σ12X1

∂X1

+∂σ22

∂X2

+ F2 = 0

(5.67)

En el contorno resultan[t1t2

]=

[σ11 σ12

σ11 σ22

] [ν1

ν2

]=

[σ11ν1 + σ12ν2

σ12ν1 + σ22ν2

]=

[f1

f2

](5.68)

En cuanto a las ecuaciones constitutivas, para escribir tensiones enfunción de deformaciones, se usan las habituales

σij =E

1 + ν

(εij +

ν

1− 2νδijεmm

)i, j,m = 1, 3 (5.69)

Si se escriben deformaciones en función de tensiones

εij =1 + ν

E

(σij −

ν

1 + νδijσmm

)(5.70)

dondeε13 = ε23 = σ13 = σ23 = 0 (5.71)


5.5. Notación matricial de los tensores in-

volucrados

En este tipo de problemas resulta necesario manejar tensores de4to. orden, desde el punto de vista computacional esto no es deseable,y si bien analíticamente y conceptualmente es conveniente y necesariotrabajar con ellos, a veces es más visual manejarlos en la forma quese detalla a continuación. Los tensores de segundo orden se manejancomo vectores y los tensores de 4to orden como matrices, así al tensorde deformaciones que tiene 9 componentes, pero sólo seis diferentesdebido a su simetría, lo manejaremos como un arreglo (vector) de seiscomponentes ordenados de la forma

ε =

ε11

ε22

ε33

2ε12

2ε23

2ε13

(5.72)

la razón de por qué considerar dos veces las deformaciones de cortequedará claro más adelante. Este tensor que depende de tres compo-nentes de desplazamiento puede escribirse como un operador lineal Bsobre el vector u

ε =

ε11

ε22

ε33

2ε12

2ε23

2ε13

=

∂

∂x1

0 0

0∂

∂x2

0

0 0∂

∂x3∂

∂x2

∂

∂x1

0

0∂

∂x3

∂

∂x2∂

∂x3

0∂

∂x1

u1

u2

u3

= B u (5.73)


Similarmente el tensor de tensiones lo podemos expresar como un vec-tor de seis componentes ordenado de la siguiente forma

σ =

σ11

σ22

σ33

σ12

σ23

σ31

(5.74)

La relación que liga tensiones con deformaciones está de�nida por eltensor de elasticidad C (de cuarto orden), esta relación cuando seexpresa en términos de los tensores de 2do orden expresados comoarreglos de una dimensión conduce a la siguiente expresión (materialelástico lineal e isótropo):

σ =

σ11

σ22

σ33

σ12

σ23

σ31

=E

1 + ν

1−ν1−2ν

ν1−2ν

ν1−2ν

ν1−2ν

1−ν1−2ν

ν1−2ν

ν1−2ν

ν1−2ν

1−ν1−2ν

12

12

12

ε11

ε22

ε33

2ε12

2ε23

2ε13

= Cε

(5.75)

σ = CB u (5.76)

Dado que tratamos con el tensor de deformación lineal, las defor-maciones virtuales pueden escribirse de la misma forma que las reales

δε =

δε11

δε22

δε33

2δε12

2δε23

2δε13

= B δu (5.77)

Notar que en la expresión del trabajo virtual interno (5.37) pode-mos escribir en lugar del producto interno de tensores de 2do. ordenδε : σ ≡ δε ·σ = δεTσ, donde en el primer miembro de la equivalenciaestamos considerando tensores y en el segundo miembro la notación


vectorial. El segundo miembro de esta igualdad indica la forma están-dar de expresar un producto interno de dos vectores columnas comouna multiplicación de matrices. Si reemplazamos (5.73 y 5.77) esteproducto interno puede escribirse �nalmente:

δεTσ = δuT BT CB u

5.5.1. Elasticidad Bidimensional

5.5.1.1. Relaciones constitutivas

Las ecuaciones constitutivas pueden escribirse como producto dematrices σ = Cε

EPT σ11

σ22

σ12

=E

1− ν2

1 ν 0ν 1 00 0 1−ν

2

ε11

ε22

2ε12

EPD σ11

σ22

σ12

=E

1 + ν

1−ν1−2ν

ν1−2ν

0ν

1−2ν1−ν1−2ν

0

0 0 12

ε11

ε22

2ε12

SA

σ11

σ22

σ12

σ33

=E

1 + ν

1−ν1−2ν

ν1−2ν

0 ν1−2ν

ν1−2ν

1−ν1−2ν

0 ν1−2ν

0 0 12

ν1−2ν

ν1−2ν

1−ν1−2ν

ε11

ε22

2ε12

ε33

5.5.1.2. Relaciones cinemáticas

En tanto que las cinemáticas se escriben como los operadores ε =B u:

EPT y EPD ε11

ε22

2ε12

=

∂∂X1

∂∂X2

∂∂X2

∂∂X1

[ u1

u2

]


SA ε11

ε22

2ε12

ε33

=

∂

∂X1∂

∂X2∂

∂X2

∂∂X1

1X1

[ u1

u2

]

5.5.1.3. Formulación Diferencial

En todos los casos las ecuaciones de equilibrio son 2 (en las direc-ciones en el plano X1 −X2) y pueden escribirse en función de las doscomponentes de desplazamiento (u1−u2). Para ello se sigue el caminoya descripto para el caso tridimensional.

Partiendo de las ecuaciones de equilibrio

Se reemplazan las tensiones en función de las deformaciones usan-do constitutivas

Se reemplazan las deformaciones en función de los desplazamien-tos usando cinemáticas

Para EPD y EPT Las condiciones de equilibrio son

∂σ11

∂X1

+∂σ12

∂X2

+ F1 = 0

∂σ12

∂X1

+∂σ22

∂X2

+ F2 = 0

que pueden escribirse

[ ∂∂X1

∂∂X2

∂∂X2

∂∂X1

] σ11

σ22

σ12

+

[F1

F2

]= Sσ + F = 0

notar que

S = BT

Reemplazando σ = CB u se tiene

SCB u + F = 0


Para SA

[ ∂∂X1

+ 1X1

∂∂X2

− 1X1

∂∂X2

∂∂X1

+ 1X1

]σ11

σ22

σ12

σ33

+

[0F2

]= Sσ + F = 0

Reemplazando σ = CB u se tiene

SCB u + F = 0

5.5.1.4. Trabajos Virtuales

En el caso que se utilice el Principio de trabajos Virtuales. Debemosde�nir además en forma análoga

δε = B δu

luego el trabajo virtual interno es

TV I =

∫V

δεTσdV =

∫V

δεTCεdV

=

∫V

(B δu)T CB udV

=

∫V

δuTBTCB udV

Trabajo Virtual Externo Las cargas externas son similares al caso3D. Debe tenerse en cuenta el dominio de integración

TV E =

∫V

δuTFdV +

∫Sσ

δuT fdS

Donde el diferencial de área dS depende del tipo de estado (ds esla longitud de arco sobre el contorno)

EPT dS = h ds con h el espesor

EPD dS = ds y se supone que se analiza un espesor unitario

SA dS = r ds donde r = X1 es el radio y en la integral seconsidera un ángulo unitario (θ = 1 rad)


5.6. Ejercicios

Ejercicio 5.1. Consideremos un elemento estructural elástico deforma cúbica de lados unitarios. El campo de desplazamientos se haencontrado que vale

u1 = aX1X2X3 + bX21X2

u2 = cX1X2X3 + dX22X3

u3 = eX1X2X3 + f X23X1

para 0 ≤ Xi ≤ 1. Calcule las fuerzas másicas que satisfacen equilibrioen el volumen, usando las ecuaciones Navier.

Solución: En el dominio V , se deben satisfacer las ecuaciones deNavier:

∑i

µ∂2uj∂X2

i

+ (µ+ λ)∂

∂Xj

∑m

∑∂um∂Xm

+ Fj = 0

para j = 1,

F1 = −µ(∂2u1

∂X21

+∂2u1

∂X22

+∂2u1

∂X32

)− (λ+ µ)

(∂2u1

∂X21

+∂2u2

∂X1∂X2

+∂2u3

∂X1∂X3

)Evaluando las derivadas de u1, u2, u3 se llega a

F1 = − (2bX2)µ− (2bX2 + cX3 + eX2) (λ+ µ)

Para j = 2 y j = 3 se obtiene

F2 = − (2X3d)µ− (aX3 + 2bX1 + 2X3d+ eX1) (λ+ µ)

F3 = − (2gX1)µ− (aX2 + cX1 + 2X2d) (λ+ µ)

Fi son las fuerzas en equilibrio con las tensiones que surgen de losui datos.

Ejercicio 5.2. Para el problema anterior, calcule cuanto valen lasfuerzas sobre la parte del contorno Sf .

Solución: En el contorno S, las fuerzas fj resultan

fj =∑i

[µ

(∂ui∂Xj

+∂uj∂Xi

)+ δijλ

∑m

∂um∂Xm

]νi


Consideremos la componente f1

f1 =

[2µ

∂u1

∂X1

+ λ

(∂u1

∂X1

+∂u2

∂X2

+∂u3

∂X3

)]ν1+

+

[µ

(∂u2

∂X1

+∂u1

∂X2

)]ν2 +

[µ

(∂u3

∂X1

+∂u1

∂X3

)]ν3

Para la cara donde X1 = 0, X2, X3 6= 0,

X1 = 0 X2, X3 6= 0

ν1 = −1 ν2 = ν3 = 0

resultaf1 = −µ (2aX2X3)− λ (aX2X3 + 2dX2X3)

o bienf1 = − (2µa+ λa+ 2λd) X2X3

De manera similar, es necesario evaluar f2, f3, para las otras carasdel sólido en estudio.

Ejercicio 5.3. Derive las ecuaciones de un estado plano de tensio-nes, en el que además se cumple que σ22 = 0.

Ejercicio 5.4. Derive las ecuaciones de un estado unidimensionalde tensiones, en el que solamente hay una componente no nula, σ11.

Ejercicio 5.5. Derive las ecuaciones de un estado unidimensionalde deformaciones, en el que solamente hay una componente no nula,ε11.

Ejercicio 5.6. Se quiere descomponer un tensor de tensiones tri-dimensionales como la suma de un estado plano de deformaciones másotro tensor. ¾Cuánto valen las componentes de ese segundo tensor?

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