Notas de Clase 1 (Conceptos Basicos)

7/23/2019 Notas de Clase 1 (Conceptos Basicos)

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MATEMATICAS AVANZADAS II

Ecuaciones Diferenciales.

Conceptos Basicos(Notas de clase 1)

Renato Salomon Arroyo Duarte

CIATEQ


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1.2. Ecuaciones diferenciales ordinarias

1.2.1. Conceptos preliminares

Ecuacion diferencial ordinaria EDO: Es una ecuacion diferencial que solo de-pende de una sola variable. Si la ecuacion diferencial depende de mas de una variable,entonces a esta se le denomina ecuacion diferencial parcial EDP5.

Orden: El orden de una ecuacion diferencial corresponde al orden de la deriva-da mas alta que aparece en la ecuacion. Es decir, si F es una EDO de orden n,entonces esta tendra la forma:

F =F[u(x), u(x), u(x),...,un(x)] donde un(x) = dndxn

u(x),

Grado:Generalmente el grado de una ecuacion diferencial corresponde al grado dela derivada mas alta. Si Fes una EDO de orden ny grado mentonces,

F =F[u(x), u(x), (u(x))2, ..., (un(x))m]

donde

(un(x))m = dn

dxnu(x)

m=

m veces

dndxn

u(x) dn

dxnu(x)

....

dndxn

u(x)

Sin embargo, no todas las ecuaciones diferenciales poseen un grado. En otras pala-bras, si las derivadas ocurren con radicales o en fracciones, puede ser que la ecuacioncarezca de grado. Si la ecuacion diferencial puede racionalizarse o tras la fraccionespueden reducirse, considerando todas la derivadas presentes, entonces el grado de laecuacion corresponde al grado de la derivada mas alta.

Linealidad: Una EDO lineal de orden nsiempre sera de la forma:

a0(x)yn(x) + a1(x)yn1(x) +...+an1(x)y(x) +an(x)y(x) = f(x)

donde

yn(x) = dny

dxn,

y ai(x) es a una funcion de x

5Normalmente en la literatura, a las ecuaciones diferenciales ordinarias se les abrevia comoODEs (Ordinary Differential Equations) y a las ecuaciones diferenciales parciales como PDEs(Partial Differential Equations.)


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Ejemplo 1

Clasifique las siguientes ecuaciones diferenciales, determine el orden y si esta eslineal o no lineal.

1. x2d2y

dx2+x

dy

dx+ 2y= sin x

2. d4y

dx4+

d3y

dx3+

d2y

dx2+

dy

dx+ y = 1

3. d2y

dx2+ sin(x+y) = sin x

4. yz

x+ y

z

y= xz

Solucion:

1. EDO de segundo orden, lineal.

2. EDO de cuarto orden, lineal.

3. EDO de segundo orden, no lineal.

4. EDP de primer orden, lineal.

TAREA 1

Clasifique las siguientes ecuaciones diferenciales, determine el orden, la linealidady si es bastante claro, determine tambien el grado.

1. (1 +y2)d2y

dx2+x

dy

dx+ y = ex

2. dy

dx+ xy2 = 0

3. d3y

dx3+x

dy

dx+ y cos2 x= x3

4.

d2y

dx2

2+

dy

dx

3= sin x, tal que >0


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1.2.2. Solucion de una EDO

Sea y = h(x). Si h(x) es continua y suave a traves de un intervalo a < x < b, en-tonces a la curvah(x) se le denomina curva de solucion de la EDO en dicho intervalo.

Un ejemplo de esto se esboza en la figura 1.1.3, la cual muestra tres curvas,

(t) =A sin t, (t) =B cos t y (t) =A sin t+B cos t

estas tres curvas son una solucion de la EDO (1.1.5).

Otro ejemplo podra ser:

Seay (x) = cos x, encuentre todas las posibles soluciones a esta ecuacion diferencial.

Para solucionar este problema, primero debemos solucionar la EDO, es decir:encontrar una funcion y(x) que satisfaga y(x). De aqu que:

y(x) = cos x

dy

dx= cos x

dy = cos xdx

y al integrar a ambos lados de la ecuacion se obtiene que: dy =

cos xdx

y = sin x+C,

dondeCes una constante de integracion arbitraria. Por lo tantoy(x) = sin x+ C. Algraficar dicha solucion obtenemos la siguiente grafica en la que se representan unafamilia de curvas, donde cada curva depende de un valor de C en especfico (figura

1.2.1).

Para una Cdada, se dice que tenemos una solucion particular de la EDO.

TAREA 2

En cada uno de los siguientes ejercicios, verifique que funcion o funciones que sedan son una solucion de la ecuacion diferencial.

1. y y = 0, soluciones: y1(x) =ex, y y2(x) = cosh x


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Figura 1.2.1: Grafica de las soluciones para y (x) = cos x. Cada curva esta dada porun valor de Cdistinto (C= 5,3, ..., 3, 5) en el intervalo 10< x 0, soluciones:y1(x) =x1/2, yy2(x) = x

2 ln x

4. y

2xy = 1, solucion: y=e

x2 x

0 e

t2

dt+e

x2

1.2.3. Campos direcciones

Sobre la interpretacion geometrica de las ecuaciones diferenciales y sus soluciones,podemos senalar el siguiente punto de vista geometrico. Sea

y(x) =f(x, y), (1.2.1)

dado que la solucion de la ecuacion (1.2.1) es una funcion y =h(x), se tiene que la

representacion grafica de una solucion es la grafica de una funcion.

Geometricamente, en la ecuacion (1.2.1) se afirma que, en cualquier punto (x, y)la pendiente y(x) de la solucion en ese punto esta dada por f(x, y). Esto puedeindicarse si se traza un segmento rectilneo que pase por el punto (x, y) con el valorde la pendiente f(x, y).

A la coleccion de todos esos segmentos rectilneos se le llama campo direccio-nal de la ecuacion diferencial (1.2.1). El campo direccional puede observarse si setrazan pequenos segmentos rectilneos en algun conjunto representativo de puntos


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Figura 1.2.2: Campo direccional de y =y 2.

en el plano xy.

Es obvio que trazar un campo direccional manualmente, resulta una tarea su-mamente tediosa y que va estar sujeta a una infinidad de errores. Sin embargo, estaes una operacion sencilla para una computadora, ya que solo requiere la evaluacionrepetida de f(x, y) para valores diferentes de x y y.

Una vez que se obtiene un esquema del campo direccional, es posible observarel comportamiento cualitativo de las soluciones, o quiza observar regiones del planoque tienen algun interes especial. Un ejemplo de campo direccional se puede ver enla figura 1.2.2.

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