8/9/2019 Notacin y convenciones utilizadas en el curso de Elementos de Mecnica del Medio Continuo

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Notacin y convenciones utilizadas en el curso de

Elementos de Mecnica del Medio Continuo

Ing. Mecnica 1521 Sem 2015-I

En el desarrollo de las ecuaciones relevantes para la mecnica del medio continuo, yen general para cualquier rama de la fsica, el uso de los tensores es comn as como la

herramienta para manipularlos: el clculo tensorial..Por el momento, deniremos el concepto de tensorcomo un objeto matemtico que esinvariante, es decir que no depende del sistema de coordenadas ni del marco de referencia nidel observador, y que se utilizan para representar diferentes tipos de cantidades fsicas. Lostensores tambin tienen un orden, que depende del tipo de cantidad fsica que representan.

Por qu Clculo tensorial

El clculo tensorial es un lenguaje especco dentro del lenguaje general de la matemticas.El clculo tensorial es un lenguaje con la habilidad nica de expresar ideas matemticas conla mayor utilidad, transparencia y elegancia. Se utiliza para expresar los conceptos del clculo

multivariable y sus aplicaciones en disciplinas tan diversas como el lgebra lineal, geometradiferencial, clculo de variaciones, mecnica del medio continuo y relatividad general.El clculo tensorial busca sacar la mxima ventaja de la robustez de los sistemas de

coordenadas sin caer en los artifactos de un sistema de coordenadas en particular. El poderdel clculo tensorial viene de su gran compromiso: realiza una aproximacin a la realidadpor medio de la introduccin de un sistema de coordenadas en el inicio, y sin embargo, nuncaespecica cul sistema de coordenadas y nunca depende de ninguna caracterstica especialdel sistema de coordenadas.

Benecios secundarios del clculo tensorial:

1. La notacin tensorial, an separada del concepto de tensor, puede con frecuencia ayu-

dar a sistematizar un clculo, particularmente si se encuentra involucrada la difer-enciacin. La notacin tensorial es increblemente compacta, especialmente con laayuda de la convencin de Einstein. An as, a pesar de su compactez, la notacines completamente robusta y sorprendentemente explcita. No oculta nada, sugiere losmovimientos correctos, y traduce paso a paso recetas para su clculo.

2. El concepto de tensor surge cuando uno intenta preservar la perpectiva geomtricay an tomar las ventajas de un sistema de coordenadas. Un tensor es un objetogeomtrico codicado en un sistema de coordenadas particular. ste tiene que serdecodicado en el momento correcto: cuando el anlisis algebraico est completo y es-tamos listos para la respuesta. De esta metodologa viene el verdadero poder del clculotensorial: ste combina, con xito extraordinario, lo mejor de los mundos geomtricoy algebraico.

3. El clculo tensorial es algortmico. Esto es, expresiones en clculo tensorial pueden sersistemticamente trasladadas a combinaciones de operaciones de clculo de bajo nivelms familiares. Como resultado, es directo implementar el clculo tensorial simblica-mente.

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En el desarrollo de las ecuaciones relevantes para la mecnica del medio continuo, y engeneral para cualquier rama de la fsica, el uso de los tensores es comn as como las dosformas en que stos se pueden representar, las cuales son la notacin directa o tambinllamada tensorial y la notacin indicial.

Notacin directa (tensorial). La notacin directa es la forma invariante, es decir,independiente del sistema de coordenadas con que se representan las cantidades fsicas deun sistema representadas por medio de tensores, como la temperatura, velocidad, rapidez dedeformacin, etc.

Notacin indicial. La notacin indicial consta de subndices y superndices asociadosa una letra denominada letra ncleo (o kernel). Se utiliza en la derivacin detallada de loscomponentes en un sistema de coordenadas en particular.

Forma covariante: vkForma contravariante: vk

Las formas covariantes y contravariantes aparecen en sistemas de coordenadas curvilneos,y su signicado se ver ms adelante. En el caso de sistemas cartesianos, no existe diferenciaentre las dos formas.

Con la notacin indicial es posible representar una cantidad tensorial en su conjunto osolamente algn componente de esa cantidad. La notacin indicial es til para pasar de la

notacin directa, que es independiente del sistema de coordenadas, a expresiones particularespara un sistema de coordenadas dado.

De forma general y sin caer en deniciones por el momento, los tensores tienen diferenteorden, que depende del tipo de cantidad fsica que traten de representar.

Por ejemplo, los tensores de orden cero son campos escalares, como sera el campo detemperatura o de presin en un cuerpo. En este caso, el smbolo que se haya escogido pararepresentar dicho campo no tiene asociado ningn ndice, como T o p, para representar elcampo de temperatura o presin, respectivamente, aunque estos campos tengan dependenciade la posicin.

Un ejemplo de un campo tensorial de primer orden es el campo de velocidad de un uido,que est relacionado con la denominacin comn de un campo vectorial. Para este caso, lanotacin directa generalmente consistir de un letra minscula negrita, por ejemplo v, parael caso del campo de velocidad, y en notacin indicial, cada componente del vector tieneasociado solo un ndice, por ejemplo v1 para denotar el primer componente del campo develocidad.

Para los campos tensoriales de segundo orden, la notacin directa generalizada ser conletras maysculas negritas, como por ejemplo D, y la notacin indicial de un tensor desegundo orden tiene asociados dos ndices, que para el ejemplo Dij sirve para indicar elcomponente ij del tensor D.

En forma generalizada, el orden de un tensor se puede conocer por el nmero de ndicesque presenta su notacin indicial, y estos ndices pueden estar en cualquier arreglo de ndices

covariantes y contravariantes, con la nica precaucin de no cambiar de forma arbitraria laposicin y orden de los ndicespresentes.En el caso de la notacin indicial, hay que hacer una diferencia entre los casos en donde

se trate de un exponente y de un ndice. A menos de que se trate de expresiones cuyosignicado sea obvio o de uso comn, los exponentes se distinguirn de los ndices por mediodel uso de parntesis en los trminos. Por ejemplo, (a)2 signica que se est elevando alcuadrado el escalara, mientras quea2 signica el segundo componente contravariante de un

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vector, y la expresin (a2)2 signica que se est elevando al cuadrado el valor del segundocomponente contravariante de un vector.

Convencin de la suma

La convencin de la suma fue introducida por Albert Einstein en 1916, por lo que tambines denominada como notacin de Einsteino convencin de la suma de Einstein. Einsteinbromeaba al respecto, diciendo I have made a great discovery in mathematics; I have sup-pressed the summation sign each time that the summation must be made over an index that

occurs twice...

El enunciado para la convencin de la suma es el siguiente:Si un ndice aparece solamente una vez como un subndice asociado a una letra ncleo en

un trmino dado, y aparece de nuevo solamente una vez ms, como el superndice asociado

a la misma letra ncleo o a una diferente en el mismo trmino, entonces se tiene una suma

o sumatoria implcita sobre ese ndice a lo largo del intervalo de valores vlido para ste,

normalmente relacionado con la dimensin del espacio.Los ndices repetidos son llamados ndices de suma(summation index), ndices mudos

(dummy index), ndices repetidos o ndices contrados. La suma sobre un ndice de suma

es llamada una contraccin. Los ndices que aparecen slo una vez en cada trmino, y queno entran en la convencin de la suma, se denominan ndices libreso ndices vivos, y debenaparecer slo una vez en todos los trminos de una expresin.

Si un ndice libre en particular se repite en varios trminos de una misma expresin, stedebe aparecer en la misma posicin en todos ellos.

Ejemplos:

1. La siguiente suma3X

k=1

akbk =akbk = a

1b1+a2b2+a

3b3

puede ser expresada en una forma compacta utilizando la convencin de la suma

akbk = a1b1+a

2b2+a3b3; para k= 1; 2; 3:

2. Caso contrario3X

k=1

akbkck =a1b1c1+a

2b2c2+a3b3c3

3. Sistema de ecuaciones simultneas

Aijxj =bi; para i= 1 : m; j = 1 : n

Bijxj =ci; para i= 1 :m; j= 1 : n

En notacin directa, los sistemas anteriores se expresan comoAx= b

Bx= c

por lo que el primer ndice representa el rengln y el segundo, la columna. En general

Aij 6= Aji :

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4. Doble sumaf=Aij

ij =Ajiji:

5. Producto de matricesAB= C

(Aik)

Bkj

= (Cij) parai = 1 :m; j = 1 :n; k= 1 :p:

En el caso de sistemas de coordenadas con bases ortonormales (como las coordenadas

cartesianas), en donde no existe una diferencia entre los ndices superiores e inferiores, laconvencin de la suma se puede aplicar para ndices en la misma posicin.En algunos casos se desea denotar un trmino que tiene el mismo ndice en diferentes

posiciones, por lo que es necesario realizar una cancelacin de la sumapara poder indicarlo.Para ello, la cancelacin de la suma se denota por medio de un guin bajo en el ndicerepetido (o ndices repetidos).

Delta de Kronecker

Lasdeltas de Kroneckerse representan por ij ; ij; ij; i

j con las propiedades

ij ; ij

; i

j; ij

= 1 si i=j

0 si i 6=j (1)La delta de Kronecker es un tensor de segundo orden, y est relacionada con los componentesdel tensor identidad.

Como los valores que toma la delta de Kronecker son solo unos o ceros, la delta deKronecker es uno de los pocos tensores de segundo orden en donde el orden (y la posicin)de los ndices se puede cambiar sin problema.

Ejemplos de uso

1.aj ij =a

i

2. Tikl m l nk = T

inm:

Podemos decir que la delta de Kronecker reemplaza el ndice que se encuentra en con-vencin de la suma en la letra ncleo o kernel, por el ndice libre de la delta de Kroneckeren la misma posicin del ndice reemplazado.

Smbolos de permutacin

Los smbolos de permutacin de orden tres, denotados por eijk o eijk , para k = 1: 3 estndenidos por

eijk ; eijk =

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