NOTACION CIENTÍFICA y CIFRAS...

GRM. Física I. Semestre 2013-1

1

Sistemas de unidades

NOTACION CIENTÍFICA y

CIFRAS SIGNIFICATIVAS

Referencias:

- Bauer, W. y West Fall G.D., Física para ingeniería y ciencias, Volumen 1, Mc. Graw Hill, 2011

- Ohanian, H. C. y Markert, J. T., Fisica para Ingeneiría y ciencias, Volumen 1, 3era. Edicion, Mc. Graw Hill, 2009

- Serway, R. A. y Jewett, J. W., Física para ciencias e ingeniería, Volumen 1, 7ª. Edición, Cengage Learning, 2008

- Tipler, P.A. y Mosca, G., Física para la ciencia y la tecnología, Volumen 1, 5ta. Edición, Edit. Reverté, 2005

Para un repaso más fundamental de matemáticas:

* Zill, D.G y Dewar, J. M., Precálculo con avances de cálculo, Mc Graw Hill, 4ta. Edición, 2007

GRM. Física I. Semestre 2012-1 2

La investigación avanzada en cualquier área de la ciencia requiere de las herramientas básicas de los cursos de Física I y II; así como de la curiosidad y la decisión del investigador.

La física es la ciencia sobre la cual se construyen todas las demás ciencias naturales y de ingeniería.

Todos los avances tecnológicos modernos – desde la cirugía láser hasta la televisión, desde las computadoras hasta los refrigeradores, desde los automóviles hasta los aviones – parten directamente de la física básica.

Un buen entendimiento de los conceptos esenciales de la física le darán un cimiento sólido sobre el cual puede construir un conocimiento avanzado en todas las ciencias.

¡ M O T I V A C I Ó N !


FRONTERAS DE LA FÍSICA

MODERNA

Algunos avances recientes en la física

• Física cuántica

• Física de la materia condensada y electrónica

• Computación cuántica

• Física computacional

• Complejidad y caos

• Nanociencia y Nanotecnología


FRONTERAS DE LA FÍSICA

MODERNA

• Biofísica

• Fusión nuclear

• Física de altas energías y partículas

• Teorías de cuerdas

• Astrofísica

Recordar: Simetría, sencillez y elegancia

F = m a E = m c2


El estudio de la física es útil para comprender las

escalas de distancia, masa y tiempo desde los

constituyentes más pequeños dentro de los

núcleos de los átomos hasta las galaxias que

forman nuestro universo.

Todos los sistemas naturales siguen las mismas

leyes básicas de física.

Por otra parte, la física está intimamente

conectada con las matemáticas, porque da vida

a los conceptos abstractos que se usan en la

trigonometría, el álgebra y el cálculo.


REGLAS DE LOS EXPONENTES

Algunos ejemplos:


Manera compacta de reportar un número muy

grande: ej. número de átomos en el cuerpo

humano

7 000 000 000 000 000 000 000 000 000

o un número muy pequeño: ej. masa del protón

0.000 000 000 000 000 000 000 000 001 7 kg

NOTACIÓN CIENTÍFICA

Se representa dicho número como el producto de un número

MAYOR QUE 1 Y MENOR QUE 10 (llamado mantisa) y una

potencia (expresada por un exponente) de 10:

número en notación científica = mantisa x 10 exponente


Así, de manera compacta:

número de átomos en el cuerpo humano: 7x10 27

masa del protón: 1.67x10-27 kg


VENTAJA: ¡ Facilita la multiplicación y división!

REGLAS:

1) Para multiplicar dos números con notación científica,

multiplicamos sus mantisas y después sumamos sus

exponentes

Ej. (7x10 27)· (7x10 9)= (7x7)· 10 27+ 9 = 49 x1036 = 4.9 x1037



REGLAS:

2) Para dividir dos números con notación científica, por

ejemplo, si deseamos calcular A / B, dividimos la

mantisa de A entre la de B, y restamos el exponente de

B del exponente de A.

Ej. (4x1010) / (5x1012) = (4/5) x (1010 / 1012) = 0.8 x10 10 - 12 = 0.8 x10 - 2 = 8 x10 - 3


Ejercicio para clase: escriba los siguientes

números o el resultado de las operaciones,

usando Notación Científica:


1. 86 400 =

2. 9 816 762.5 =

3. 0.000 000 039 8 =

4. (4x108) • (9x109) =

5. (3x107) • (6x10 -12) =

6. .

7. .


COMPAREN SUS RESPUESTAS Y DISCUTÁNLO EN GRUPO !


PREFIJOS PARA POTENCIAS DE 10:

Multiplicadores para las unidades básicas en varias

potencias de 10

• Ejemplos :

1 mm = 10-3 m

1 mg = 10-3 g

= 10-6 kg


Si por ejemplo, especificamos el número de átomos en el cuerpo

humano promedio es 7X1027, intentamos indicar que sabemos que es

por lo menos 6.5x1027 pero menor que 7.5x1027. Pero… ¿podemos ser

aun más precisos?

Como regla general, el número de dígitos que se escribe en la

mantisa indica que tan preciso declaramos conocerla.

Cuántos más dígitos se especifican, se implica mayor precisión.

El número de dígitos en la mantisa se llama número de cifras

significativas, y son los dígitos de un número que se conocen de

manera confiable (el último de estos dígitos a menudo no es

completamente confiable).

Ejemplos: 1.62 tiene 3 cifras significativas

1.6 tiene 2 cifras significativas

CIFRAS SIGNIFICATIVAS


1. Un número entero especifica una precisión infinita:

Ej. Tengo 78 alumnos en Física 1,

significa exactamente 78, ni más ni menos.

2. Los ceros precedentes no cuentan como cifras significativas

Ej. 1.62 tiene el mismo número de cifras significativas que 0.00162

Ambos números tienen 3 cifras significativas, ya que comenzamos a

contar cifras significativas desde la izquierda, con el primer dígito

que no sea cero.

3. Los ceros posteriores sí cuentan como cifras significativas

Ej. 1.620 tiene 4 cifras significativas

¡Escribir un cero posterior significa mayor precisión!

4. Los números en notación científica tienen tantas cifras significativas

como su mantisa.

Ej. 9.11x1031 tiene 3 cifras significativas (las de su mantisa)

Note que la magnitud del exponente tiene ninguna influencia.

Reglas sobre el uso de CIFRAS SIGNIFICATIVAS


5. Nunca se pueden tener más cifras significativas en un resultado que

aquellas en las que comenzó en cualquiera de los factores de

multiplicación o división.

Ej. 1.23 / 3.4461 no es igual a 0.3569252

(aunque su calculadora le de esta respuesta, ésta no muestra de

manera automática el número correcto de cifras significativa)

El resultado correcto es: 1.23/3.4461 = 0.357

Hay que “redondear” el resultado hasta el número correcto de cifras

significativas, en este caso 3 , que es el número de cifras significativas

del numerador.

6. Se pueden sumar o restar sólo cuando hay cifras significativas para

una misma posición en cada número

Ej. 1.23 + 3.4461 = 4.68 y no 4.6761.

Reglas sobre el uso de CIFRAS SIGNIFICATIVAS


Ejemplo: El cuerpo humano contiene casi 7x1027 átomos.

Si quisieramos estimar cuántos átomos contiene el cuerpo de todos los

habitantes de la Tierra (7 mil millones = 7x109)

podemos hacer este cálculo con relativa facilidad

(7x1027)· (7x109) = (7x7)·10 27+ 9 = 49 x1036 = 4.9 x1037

Pero el resultado de esta multiplicación se debe “redondear” a una sóla

cifra significativa, ya que comenzamos con cantidades que poseen una

sóla cifra significativa.

Por lo tanto el número combinado de átomos en todos los cuerpos

humanos se expresa de forma correcta como 5x1037.


REDONDEO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS

Si se debe reducir el número de cifras significativas en el resultado de una operación:

- El último dígito retenido se aumenta en 1 si el último dígito eliminado es mayor que 5. 47 5

- Si el último dígito eliminado es menor que 5, el último dígito permanece como está 63 6

- Si el último digito eliminado es igual a 5, el dígito retenido se debe redondear al número par más cercano. 35 4

Una técnica para evitar acumulación de errores es no realizar el redondeo de números durante un cálculo, sino hasta que se tenga el resultado final.


EJEMPLO: En una habitación de 12.71 m de longitud y 3.46

m de ancho se instalará una alfombra. Encuentre el área

de la habitación.

Solución:

Si se multiplica 12.71 m por 3.46 m en la calculadora, el

resultado es 43.976 6 m2. ¿Cuántos de estos números

debe reportar?

Regla empírica para la multiplicación: reportar sólo el

número de cifras significativas que estén presentes en la

cantidad medida que tenga el número más bajo de cifras

significativas.

En este ejemplo, es número más bajo de cifras

significativas es 3 en 3.46 m, así que debe expresar la

respuesta final como 44.0 m2


INTRODUCCIÓN a los sistemas de

unidades Los cuerpos macroscópicos están hechos de átomos.

Los tamaños de los átomos son extremadamente pequeños en comparación con las dimensiones de los cuerpos macroscópicos, por lo que pueden considerarse a los átomos como masas casi puntuales, para la mayoría de los fines prácticos. Una masa puntual sin tamaño y estructura interna discernible se llama partícula ideal.

La posición, el tiempo y la masa dan una descripción completa del

comportamiento y de los atributos de una partícula ideal.

Como cada cuerpo macroscópico consiste de partículas, es posible describir su comportamiento y sus atributos describiendo las partículas que los conforman.

Así las mediciones de posición, tiempo y masa son de importancia fundamental en física.


SISTEMAS DE UNIDADES

ESTANDARES DE LONGITUD, MASA Y TIEMPO

• Para describir los fenómenos naturales, es

necesario hacer mediciones. Cada medición

se asocia con una cantidad física.

• Resulta necesario definir un estándar:

– Debe ser accesible

– poseer alguna propiedad que se pueda medir

confiablemente

– no deben cambiar con el tiempo, y

– “en cualquier lugar del universo” deben producir el

mismo resultado.


CANTIDADES FÍSICAS

LONGITUD: se define como la medida de

distancia entre dos puntos en el espacio.

MASA: es la cantidad de materia de un

objeto.

TIEMPO: es la duración entre dos eventos


SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES, SI

UNIDADES FUNDAMENTALES

• Longitud: Definida en términos del metro

(m) – distancia que viaja la luz en el vacío durante un tiempo de 1/299 792 458 segundos.

• Masa: Definida en términos del kilogramo (kg) - basada en un cilindro específico de una aleación de platino-iridio, resguadado en la Oficina Internacional de pesos y medidas.

Copia exacta del kilogramo estándar

Láser estabilizado que permite

la determinación de la rapidez

de la luz con gran precisión.


UNIDADES FUNDAMENTALES

• Tiempo: Definido en términos del

segundo (s) – que es el tiempo

necesario para que se realicen

9 192 631 770 vibraciones del

átomo de cesio 133. Se emplea el

reloj atómico de enorme precisión.

Reloj atómico con fuente de cesio: no

ganará ni perderá 1 segundo en 20 millones

de años.


UNIDADES, SI


Otros estandares que completan las unidades

fundamentales del SI:

• Temperatura: kelvin (K)

• Corriente eléctrica: ampere (A)

• Intensidad luminosa: candela

• Cantidad de sustancia: mol


UNIDADES, SI


UNIDADES DERIVADAS : unidades construídas mediante alguna

combinación de las unidades básicas de longitud, tiempo y masa.

• Un metro cuadrado

• Un metro cúbico

La densidad (ro) es un ejemplo de cantidad derivada. Se define como

masa por unidad de volumen, y sus unidades son kg/m3

SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES, SI


COHERENCIA (CONSISTENCIA) DE LAS UNIDADES

En cualquier ecuación, las dimensiones (las potencias de

la longitud, el tiempo y la masa) a cada lado de la

ecuación, deben ser las mismas.

OBSERVE: El volumen tiene dimensiones de [longitud]3

La densidad tiene dimensiones de [masa] / [longitud]3

La aceleración tiene dimensiones de [longitud] / [tiempo]2

Ej. de consistencia de unidades

distancia = rapidez x tiempo

(m) = (m/s) x (s)


Para convertir cantidades expresadas en

determinadas unidades a otras unidades,

se requiere del uso de sencillas

sustituciones de cantidades equivalentes

en los dos sistemas. OBSERVE:

cm1.38in1

cm54.2in0.15

cm?in0.15

CONVERSIÓN ( o transformación) DE UNIDADES

1 pulgada (inch) = 2.540x10-2 m = 2.54 cm = 1/12 pie = 1/36 yarda

En el ejemplo anterior se ilustró la conversión de unidades empleando

FACTORES DE CONVERSIÓN, que son relaciones idénticamente iguales a 1.

OBSERVE: 1 kg = 1000 g

1 m = 100 cm

De los cuales se obtienen las siguientes identidades

1 = 1000 g / 1 kg 1 = 1 m / 100 cm


Entonces, cualquier cantidad puede multiplicarse por estas identidades sin

alterar su valor. OBSERVE:

CONVERSIÓN DE UNIDADES

La densidad de agua es de 1.000 x 103 kg/m3. Exprese esto en g/cm3

1.000x103 kg/m3 =

1.000x103 kg/m3 x (1000 g / 1 kg) x (1 m / 100 cm) x (1 m / 100 cm) x (1 m / 100 cm)

=1.000x103 x 1000 x (1/100) x (1/100) x (1/100) x (kg/m3) x (g/kg) x (m3/cm3)

Realizando las operaciones y cancelando el kg y el m3 queda:

1.000x103 kg/m3 = 1.000 g/cm3

Así, para cambiar las unidades de una cantidad, simplemente se multiplica la

cantidad por uno o varios factores de conversión que producirán la

cancelación deseada de las unidades anteriores.


COORDENADAS Para obtener una descripción cuantitativa precisa de la posición de una

partícula, los físicos primero toman algún punto conveniente del espacio como origen O y luego especifican la posición de la partícula en relación con este origen O.

Las cordenadas más comunes son las coordenadas rectangulares x y y, que se basan en una cuadrícula rectangular.

Las lineas mutuamente perpendiculares que pasan por el origen O se llaman eje x y eje y.


COORDENADAS

La cuadrícula bidimensional es adecuada cuando se requiere describir el movimiento bidimensional (este-oeste, norte-sur).

Si se desea describir el movimiento tridimensional (este-oeste, norte-sur y arriba-abajo), entonces se necesita un sistema tridimensional de coordenadas, con ejes x, y y z.

Ademas es posible describir un movimiento unidimensional, a lo largo de una linea recta, por lo que se requiere sólo del uso de un eje.

Las coordenadas regulares x y y de

un punto P


MOVIMIENTO EN 1, 2 Y 3

DIMENSIONES


Cuadrículas de coordenadas rectangulares x-y y x’-y’ Tomado de Ohanian, Markert, 2009

COORDENADAS Y MARCOS DE

REFERENCIA


Cuando se determina la posición de una partícula mediante una cuadrícula de coordenadas, construida alrededor de un origen O, se realiza una medición relativa: las coordenadas del punto en el que está ubicada la partícula dependen de la selección del origen, y de la selección de la escala de la partícula de coordenadas (es cuestión de conveniencia).

Para la descripción del movimiento de una partícula, debe especificarse tanto su posición, como el tiempo en que esta se mantiene.

Para determinar el tiempo se usa un sistema de relojes sicronizados, colocados mentalmente a intervalos regulares a lo largo de la cuadrícula de coordenadas.

Tal cuadrícula de coordenadas y relojes sincronizados se llama marco de referencia (cuya selección también es cuestión de conveniencia)

COORDENADAS Y MARCOS DE

REFERENCIA


COORDENADAS Y MARCOS DE REFERENCIA

EL MOVIMIENTO Y LA RAPIDEZ SON RELATIVOS: Una ciclista y su marco de referencia.

Si tanto la ciclista como la corredora se mueven hacia la derecha a la misma rapidez, entonces la corredora está en reposo (rapidez cero) en relación con el marco de referencia de la ciclista.

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