NOTASNOTA SOBRE UN PROBLEMA DE DECISION

CUANDO SE CONOCE UN ORDEN PARCIAL

DE PREFERENCIAS SOBRE UN ESPACIO

DE CONSECUENCIAS

Miguel Mart {n D{az

Consideremos el siguiente modelo de decision:

EI decisor ha de elegir una accion (pura):

Ai i = 1 ... . m

de un espacio que representaremos por A

C es un espacio de consecuencias:

C, ... Cn

{ Pij1es una rnatriz en donde: n

P.. ~o ~II

;: 1

i = 1,2, .. .n j = 1,2, ... n

{Pi;Jes la probabilidad de que de la accion Ai se siga la consecuencia CrAdoptaremos como regia de decision la siguiente:Supongamos que la utilidad de la consecuencia C. es u. E R de-

. I I

cimos que:

(es preferida 0 indiferente) si y solo si se verifica:

n

E(A) = ~ Pi; ll; ~ E(A k ) = ~ Pk ; ll;;: 1 ;: 1

Si u; y Pi; son numeros conocidos, el problema de decision243

es trivial y existini, al menos; una accion preferida 0 indiferente a

las demas.En la praetica uf y Pij son valores que hay que estimar, y, aun

en este caso que el modelo es muy simple, el estudio se puede com­plicar segun el grado de conocimiento que tengamos de estos numeros.

Vamos a estudiar aquf un modelo presentado en: referencia 1pag. 212.

El objeto concreto de este trabajo es obtener un resultadomas preciso que el teorema basico de dicha referencia, que permiteresolver el problema sin tener que resolver un sistema de ecuaciones.

Planteamiento del problema.

El modelo de decision es el antes mencionadc.Ahora para abreviar la exposicion supondremos dos acciones

Al y A 2 •

Admitimos como regIa de decision la antes mencionada y su­

ponemos que sobre las utilidades de las consecuencias solamente co­nocemos un orden parcial es decir:

Los numeros Ui son desconocidos pero tendremos conocimientos del

tipo: Ui ~ uj-

Podrfa ocurrir (sino dirfamos orden total) que dos consecuen­cuencias no sean comparables.

El orden parcial se puede representar par medio de un grafo.Por ejemplo:

Si son seis consecuencias un orden parcial seria:

El grafo correspondiente serfa:

244

Entonces el problema planteado es el siguiente:~A que relaciones deben satisfacer los numeros:

Pll,PI2,Pn Y P21 ,PZ2····· P2n

para, con el unico conocimiento del orden parcial de las utilidades

del espacio de consecuencias, se ~ueda considerar A I ;;;;;: A 2.

Llamando:

dj = PJj - P2j

El resultado demostrado en Ref.- 1 esta expresado por el siguiente:

TEOREMA.

La condici6n necesaria y suficiente para que sea A I ;;;;;: A 2 ,

cuando s610 se conoce un orden parcial de preferencias en el espa­

cio de cosnsecuencias, es que el sistema:

admita soluci6n:

~iEc

d.u.=I I ~

jEC

,a. u .

/ /(j)

a. ;;;;;: 0 para "V j E C/

Y esto para toda componente conexa C del grafo.En. (1):

es un arco del grafo. El primer miembro es una suma extendida atodos los vertices; y el segundo miembro a todos los arcos de la

componente C.Nosotros vamos a dar un resultado, que permite obtener direc­

tamente las relaciones a que han de satisfacer:

para que se verifique:

AI;;;;;: A

sin tener que resolver el sistema a (1).

245

Antes vamos a recordar algunas definiciones en teoria grafos.

Un grafo esta formado par:

Un conjunto U de vertices:

y un conjunto l! de pares ordenados de vertices (uju

j) llamados arcos.

Definicion 1.- Una cadena es una sucesion de arcos tales que u­

no de los extremos de cada arco coincide con uno de los extremos

del siguiente.Un ciclo cs una cadena en la que un vertice del primer arco

coincide con un vertice del ultimo.Definicion 2.- Dado B C U se llama cociclo, w (B), al conjunto

de arcos para los que un extremo pertenece a B y no pertenece a

B el otro extrema

Llamamos w • (B) al conjunto de arcos que tienen el vertice ini­cial en B y el vertice final fuera de B..

Definicion 3.- Se llama componente conexa de un grafo, al ma­yor numero de vertices que pueden unirse entre sf por medio de unacadena, al menos.

Un grafo que tiene una sola componente conexa se llama conexo.Definicion 4.- Un subgrafo de un grafo esta formado por un

subconjunto cualquiera de arcos del grafo y todos sus vertices.

Definicion 6.- Un arbol es un grafo conexo y sin ciclos.Si un abol tiene n vertices: tiene n-1 arcos.

En un arbol existen al menos, dos vertientes colgantes: es decirque estan unidos al resto del arbol por un solo arco.

Definicion 5.- Dado un arco i del arbol, al suprimirle, queda

el arbol desconectado en dos arboles, llamaremos A (i) al conjuntode vertices para los que es:

w· [A (OJ ­

de acuerdo con deL 2.

TEOREMA.

llipotesis.- EI espacio de consecuencias:

246

esta parcialmente ordenado, y dicho orden viene re­

presentado por un grafo de vertices:

G, C2 , ••• , Cn

Llamaremos (K) a la k-esima componente conexa de

grafo y H (k) a un arbol cuaiquiera que sea un sub­

grafo de K.

TESIS.La condici6n necesaria y suficiente para que sea:

E [A 1 ] ~ E (A 2 ]

para cualquier conjunto de utilidades:

compatible con el orden parcial, es que se verifique:a)

~ d. = 0. iE[k] I

para toda componente conexa (K).

b)

para:

(K) y 'tIjEH[K]

j representa un arco.

en donde H (K) es un arbol cualquiera que sea sub­

grafo de [K] y:

A k (j)

es un conjunto de vertices de H (K) tales que es:

en el arbol H (K).

(J)

247

DL'MOSTRACION

aJ es ncccsaria:

SlIpongamos, que sin perdida de gencralidad que [K) esta for­

mada por los vertices: I, 2, ... , s.Se plIede escribir:

d.u. =I I

(Us.] - u) +(d j + d 2 + ... +dsJ Us +

Si fuera:

tomamo~:

d. u.I I

U. = - 1 paraI

i = 1, ... , n

compatible can el orden parcial, y resultaria:

Si fuera:

tomando

se tendria:

U. = 1 paraI

i = 1, ... , n

Es decir:

E[Ad<E[Ad

E[Ad;;;;'E[A 2 ] ~ d j +d2 + ... +ds = 0

bJ es necesario.

En efccto:

Sea H (KJ un arbol de [K] formado par los vertices:

i = 1,2, ... ,S

248

y los areos:

j = <1,2, ... ,(s - J)

con:

d 1 + d 2 + ... +ds = 0 [(condici6n a)]

Vamos a probar que se verifiea:sol

~j: ]

(j representa arcos).

en donde:

a.= ~ d./ jEAk (jJ I

siendo A k (j) definido por (1).

,U.=U -u

/ r

si (r, t) es un areo de H [K]

El teorema es trivial si K = 2, pues entonees seria:

ya que:

(2)

d 1 + d 2 = 0

Supongamos [2] eierto para un arbol eualquiera;-H (K-J) de

[K] formado ports -1 vertices.Se puede suponer, sin perdida de generalidad, que Us -] es un ver­

tice eolgante de H [K] unido s6lamente a Us _]' Puede oeurrir:1) es:

es un area de H [K].

Se tendria:

~ ujdj= u1dt +... +(dS_]+ds)uS_] +j: ]

+ds(u-u ])=u1dt+ ... +(d ]+d)u ]+(d1+... +s s- s- s a-

249

+dS_I)(uS_I - us)

Aplicando (2) al arbol formado por los (s-1) primeros vertices

tendrfamos:

uidi = ~ u;.a'j+(sl+'" +dS_I)[US_I-US] (3)i: I

siendo:

aj = ~ diiEAk(j)

puesto que:

es el mismo en los dos arboles si:

j = 1, 2, . . . , s - 2

EI ultimo sumando de [3], es el que da [2] para el arco (s-]).

La otra posibilidad es:

2)

escribiendo:s

~ diui=d 1 Ul+... +(dS_I+ds)uS_I+ds(us-us_I)i: I

se prueba como en el caso anterior la validBz de [2]_

A partir de [2], es inmediato demostrar la necesidad de bJ.En efecto si a. < 0 podriamos tomar:

IX

U'. = 1 . u'. = 0 si J""* J-xIX • I

de acuerdo con el orden parcial y seria:

Reciprocamente:

Si~ se verifican a) y b) utilizando [2] para un arbol arbitrario

de cada componente conexa del grafo se tendria:

E [A 1 ] ~ E [A 2 1250

para cualquier conjunto de utilidades:

compatibles con el orden.Con esto queda demostrado el teorema.

Ejemplo:Supongamos que las utilidades en b verifican:

EI grafo correspondiente es:

CS

---4 _

Fig. 1 C6

C6Cs_-......_ ..... - ..

Fig. 2

Aplicando el resultado anterior al arvoL~de la Fig. 2 se tiene:

d4 # 0

d i + d3 + d4 # 0

d i + d2 + d s + d6 + d 7 # 0

d i + d2 + d 3 + d4 # 0

d i + d 2 + d3 + d4 + d s + d6 #O

d i + d2 + d 3 + d4 + d s ;;' 0

yademas:

desconectando por (C4 C3 )

desconectando por(C i C2 )

desconectando por (Ci C3 )

desconectando por (C2 Cs )

desconectando por (C6 CII )

desconectando por (Cs C6 )

Condiciones necesarias y suficientes para que se verifique:

E [Ad #E [Ad251

para cualquier conjunto de utilidades que cumplan [4].

BIBLIOGRAFIA

[l} PETER C. FISHBURN, Decision and Value Theory.

[2] C. BERGE y A. GHOUILA, Programas, Juegosy Sistemas de

Transporte. Houri.

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