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NOTA IMPORTANTE

• La segunda mitad de las páginas corresponden a las soluciones de la

primera mitad.

Manuel Balcázar Elvira

PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA


RAZONES Y PROPORCIONES

Llamamos razón al cociente de dos cantidades de la misma magnitud y en las mismas unidades.

Ejemplo : €. 32€. 16

kg. 4kg. 2

Llamamos proporción a la igualdad de dos razones.

Ejemplo : 8040

42 =

Sabemos que forman una proporción porque los productos cruzados dan lo mismo: 2 · 80 = 4 · 40

MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES

Fíjate en la siguiente correspondencia en la que se relacionan las magnitudes peso de patatas y su precio:

PESO 2 Kg 4 Kg 6 Kg 8 Kg

PRECIO 6 € 12 € 18 € 24 €

Fíjate que a doble peso le corresponde doble precio, a triple peso le corresponde triple precio, etc.

Dos magnitudes son directamente proporcionales si al multiplicar una cantidad de la 1ª magnitud por un número la cantidad correspondiente de la 2ª magnitud queda multiplicada por el mismo número.

� Completa las siguientes tablas de proporcionalidad directa:

MAGNITUD A 12 24 36 48 60 72

MAGNITUD B 17 34 51 68 85 102

MAGNITUD A 13 26 39 52 65 78

MAGNITUD B 25 50 75 100 125 150

MAGNITUD A 4 8 12 16 20 24

MAGNITUD B 19 38 57 76 95 114

MAGNITUD A 9 18 27 36 45 54

MAGNITUD B 11 22 33 44 55 66

MAGNITUD A 2 4 6 8 10 12

MAGNITUD B 20 40 60 80 100 120

x 2

x 2

x 3

x 3

x 4

x 4

1


RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MEDIANTE REGLA DE TRES DIRECTA

Para resolver problemas en los que intervienen magnitudes directamente proporcionales se utiliza la regla de tres, llamada así porque de 4 cantidades sólo conocemos 3. Los pasos a seguir para resolver el problema son:

1º � Plantear los datos del problema. 2º � Escribir la proporción. 3º � Efectuar los productos cruzados y resolver la ecuación.

Ejemplo : Si 3 kg. de patatas valen 12 €. ¿ Cuánto kg. de patatas podremos comprar con 28 €. ?

3 kg. 12 €. x kg. 28 €.

2812

x3 = � x =

1228 · 3

= 7 kg.

�

�

�

�

Un grifo abierto durante 12 minutos hace que el nivel de agua de un depósito suba 156 cm.¿Cuánto subirá el nivel si el grifo se abre durante 31 minutos?

Solución = 403 cm.

Si 6 kg. de naranjas cuestan 54 €. ¿Cuánto costarán 31 kg. de naranjas?

Solución = 279 €

Por 15 días de trabajo una persona ha ganado 930 € ¿Cuánto ganaría si hubiese trabajado 40días?

Solución = 2480 €

Un coche gasta 14 litros de gasolina cada 210 km ¿Cuántos litros de gasolina gastará en 315km?

Solución = 21 litros

2


MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES

Fíjate en el siguiente ejemplo que nos relaciona el tiempo que tardan unos obreros en hacer un muro.

Nº DE OBREROS 1 2 3 6

TIEMPO 12 h 6 h 4 h 2 h Fíjate que doble número de obreros tardan la mitad de tiempo, triple número de obreros tardan la tercer parte de tiempo, etc. Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al multiplicar una cantidad de la 1ª magnitud por un número la cantidad correspondiente de la 2ª magnitud queda dividida por el mismo número. � Completa las siguientes tablas de proporcionalidad inversa:

MAGNITUD A 4 16 48 96 384 1152

MAGNITUD B 2304 576 192 96 24 8

3 3 4 4 4

MAGNITUD A 5 15 45 180 720 2880

MAGNITUD B 5760 1920 640 160 40 10

3 3 3 2 4

MAGNITUD A 2 6 18 54 108 432

MAGNITUD B 864 288 96 32 16 4

3 4 2 4 2

MAGNITUD A 3 9 36 72 288 576

MAGNITUD B 1728 576 144 72 18 9

4 3 2 2 4

MAGNITUD A 2 8 24 48 96 384

MAGNITUD B 768 192 64 32 16 4

2 4 4 3 2

MAGNITUD A 4 8 32 128 384 768

MAGNITUD B 2304 1152 288 72 24 12

x 2

: 2

x 3

: 3

x 4

: 4

3


RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MEDIANTE REGLA DE TRES INVERSA

Para resolver problemas entre magnitudes inversamente proporcionales se utiliza la regla de tres inversa, los pasos a seguir serían: 1º � Plantear los datos del problema. 2º � Igualar la primera razón con la inversa de la segunda. 3º � Efectuar los productos cruzados y resolver la ecuación. Ejemplo : Cinco obreros tardan en hacer una obra 12 días. ¿ Cuántos días tardarían 3 obreros ? 5 obreros 12 días 3 obreros x días

12x

35 = �

312 · 5

= 20 días

� Si 6 obreros tardan en hacer una obra 663 horas ¿Cuántas horas tardarían en hacer la obra 39 obreros?

Solución = 102 horas

Un coche que va a una velocidad de 89 km/h tarda 321 minutos en un viaje ¿Cuánto tardaría en hacer el mismo viaje si fuese a 107 km/h?

Solución = 267 minutos

Un granjero tiene pienso para alimentar a 21 vacas durante 22 días ¿Durante cuánto tiempo podría alimentar con ese pienso a 11 vacas?

Solución = 42 días

�� Si 13 obreros tardan en hacer una obra 220 horas ¿Cuántas horas tardarían en hacer la obra 20 obreros?


�� Un coche que va a una velocidad de 89 km/h tarda 180 minutos en un viaje ¿Cuánto tardaría en hacer el mismo viaje si fuese a 90 km/h?


4


PORCENTAJES O TANTOS POR CIENTO

Los problemas de porcentajes o tantos por ciento son problemas de regla de tres directa y se pueden resolver con el siguiente esquema: TOTAL 100 %

PARTE PORCENTAJE

Hay varios tipos: 1 – Calculo del porcentaje Ejemplo : Un hotel dispone de 400 camas, de las que 280 están ocupadas ¿Qué porcentaje de camas están ocupadas? 400 100

280 x

x

100280400 = �

400100 · 280

x = � x = 70%

�� Un hotel dispone de 900 habitaciones de las cuales 369 están ocupadas. ¿Qué

porcentaje de habitaciones están ocupadas?

Solución = 41 %

�� En un estadio de futbol con capacidad para 54400 espectadores hoy han acudido a ver el partido 39712 espectadores. ¿Qué porcentaje del estadio está ocupado?

Solución = 73 %

�� Un hotel dispone de 500 habitaciones de las cuales 445 están ocupadas. ¿Qué porcentaje de habitaciones están ocupadas?

Solución = 89 %


Solución = 75 %

5


2 – Calculo del total Ejemplo : Los 12 chicos de una clase representan el 40% del total. ¿Cuántos alumnos hay en la clase? x 100 12 40

40

10012x = �

40100 · 12

x = � x = 30 alumnos

�� Las 35400 mujeres de una ciudad representan el 59 % del total de la población

¿Cuántos habitantes tiene la ciudad?

Solución = 60000 habitantes

�� En una granja el 57 % de los animales son vacas, sabiendo que hay 171 vacas ¿Cuántos animales hay en la granja?

Solución = 300 animales

� El 78 % de un número es 468 ¿Cuál es el número?

Solución = 600

3 – Aumento porcentual Ejemplo : El precio de una bicicleta que costaba 400 € ha subido un 20% ¿Cuál es el precio actual? 400 100 x 20

20

100x

400 = � 100

20 · 400x = � x = 80 €

400 + 80 = 480 € 4 – Disminución porcentual Ejemplo : Una cadena musical costaba 800 €, pero me hacen una rebaja del 15% ¿Cuánto debo pagar por la cadena? 800 100 x 15

15

100x

800 = � 100

15 · 800x = � x = 120 €

800 – 120 = 680 €

6


� Resuelve los siguientes problemas:

27 € 172 € 21 € 31 € 144 € 66 € 278 €Rebaja Aumento Rebaja Aumento Rebaja Aumento Rebaja18 % 24 % 11 % 16 % 6 % 15 % 16 %

22,14 €

213,28 €

18,69 €

35,96 €

135,36 €

75,9 €

233,52 €

¿Cuánto te costará el balón después de la rebaja?

¿Cuánto te costará la bicicleta después del aumento?

¿Cuánto te costará el cinturón después de la rebaja?

¿Cuánto te costará la falda después del aumento?

¿Cuánto te costarán las gafas después de la rebaja?

¿Cuánto te costará la lámpara después del aumento?

¿Cuánto te costará la guitarra después de la rebaja?

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PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA SOLUCIONARIO


RAZONES Y PROPORCIONES

Llamamos razón al cociente de dos cantidades de la misma magnitud y en las mismas unidades.

Ejemplo : €. 32€. 16

kg. 4kg. 2

Llamamos proporción a la igualdad de dos razones.

Ejemplo : 8040

42 =

Sabemos que forman una proporción porque los productos cruzados dan lo mismo: 2 · 80 = 4 · 40

MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES

Fíjate en la siguiente correspondencia en la que se relacionan las magnitudes peso de patatas y su precio:

PESO 2 Kg 4 Kg 6 Kg 8 Kg

PRECIO 6 € 12 € 18 € 24 €

Fíjate que a doble peso le corresponde doble precio, a triple peso le corresponde triple precio, etc.

Dos magnitudes son directamente proporcionales si al multiplicar una cantidad de la 1ª magnitud por un número la cantidad correspondiente de la 2ª magnitud queda multiplicada por el mismo número.

� Completa las siguientes tablas de proporcionalidad directa:

MAGNITUD A 12 24 36 48 60 72

MAGNITUD B 17 34 51 68 85 102

0 0 0 0 0 0 0

MAGNITUD A 13 26 39 52 65 78

MAGNITUD B 25 50 75 100 125 150

MAGNITUD A 4 8 12 16 20 24

MAGNITUD B 19 38 57 76 95 114

0 0 0 0 0 0 0

MAGNITUD A 9 18 27 36 45 54

MAGNITUD B 11 22 33 44 55 66

MAGNITUD A 2 4 6 8 10 12

MAGNITUD B 20 40 60 80 100 120

x 2

x 2

x 3

x 3

x 4

x 4

1


RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MEDIANTE REGLA DE TRES DIRECTA

Para resolver problemas en los que intervienen magnitudes directamente proporcionales se utiliza la regla de tres, llamada así porque de 4 cantidades sólo conocemos 3. Los pasos a seguir para resolver el problema son:

1º � Plantear los datos del problema. 2º � Escribir la proporción. 3º � Efectuar los productos cruzados y resolver la ecuación.

Ejemplo : Si 3 kg. de patatas valen 12 €. ¿ Cuánto kg. de patatas podremos comprar con 28 €. ?

3 kg. 12 €. x kg. 28 €.

2812

x3 = � x =

1228 · 3

= 7 kg.

�

�

�

�

Un grifo abierto durante 12 minutos hace que el nivel de agua de un depósito suba 156 cm.¿Cuánto subirá el nivel si el grifo se abre durante 31 minutos?

Solución = 403 cm.

Si 6 kg. de naranjas cuestan 54 €. ¿Cuánto costarán 31 kg. de naranjas?

Solución = 279 €

Por 15 días de trabajo una persona ha ganado 930 € ¿Cuánto ganaría si hubiese trabajado 40días?

Solución = 2480 €

Un coche gasta 14 litros de gasolina cada 210 km ¿Cuántos litros de gasolina gastará en 315km?

Solución = 21 litros

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MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES

Fíjate en el siguiente ejemplo que nos relaciona el tiempo que tardan unos obreros en hacer un muro.

Nº DE OBREROS 1 2 3 6

TIEMPO 12 h 6 h 4 h 2 h Fíjate que doble número de obreros tardan la mitad de tiempo, triple número de obreros tardan la tercer parte de tiempo, etc. Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al multiplicar una cantidad de la 1ª magnitud por un número la cantidad correspondiente de la 2ª magnitud queda dividida por el mismo número. � Completa las siguientes tablas de proporcionalidad inversa:

MAGNITUD A 4 16 48 96 384 1152

MAGNITUD B 2304 576 192 96 24 8

3 3 4 4 4

MAGNITUD A 5 15 45 180 720 2880

MAGNITUD B 5760 1920 640 160 40 10

3 3 3 2 4

MAGNITUD A 2 6 18 54 108 432

MAGNITUD B 864 288 96 32 16 4

3 4 2 4 2

MAGNITUD A 3 9 36 72 288 576

MAGNITUD B 1728 576 144 72 18 9

4 3 2 2 4

MAGNITUD A 2 8 24 48 96 384

MAGNITUD B 768 192 64 32 16 4

2 4 4 3 2

MAGNITUD A 4 8 32 128 384 768

MAGNITUD B 2304 1152 288 72 24 12

x 2

: 2

x 3

: 3

x 4

: 4

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RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MEDIANTE REGLA DE TRES INVERSA

Para resolver problemas entre magnitudes inversamente proporcionales se utiliza la regla de tres inversa, los pasos a seguir serían: 1º � Plantear los datos del problema. 2º � Igualar la primera razón con la inversa de la segunda. 3º � Efectuar los productos cruzados y resolver la ecuación. Ejemplo : Cinco obreros tardan en hacer una obra 12 días. ¿ Cuántos días tardarían 3 obreros ? 5 obreros 12 días 3 obreros x días

12x

35 = �

312 · 5

= 20 días

� Si 6 obreros tardan en hacer una obra 663 horas ¿Cuántas horas tardarían en hacer la

obra 39 obreros?


Un coche que va a una velocidad de 89 km/h tarda 321 minutos en un viaje ¿Cuánto tardaría en hacer el mismo viaje si fuese a 107 km/h?


Un granjero tiene pienso para alimentar a 21 vacas durante 22 días ¿Durante cuánto tiempo podría alimentar con ese pienso a 11 vacas?

Solución = 42 días

�� Si 13 obreros tardan en hacer una obra 220 horas ¿Cuántas horas tardarían en hacer la obra 20 obreros?


�� Un coche que va a una velocidad de 89 km/h tarda 180 minutos en un viaje ¿Cuánto tardaría en hacer el mismo viaje si fuese a 90 km/h?


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PORCENTAJES O TANTOS POR CIENTO

Los problemas de porcentajes o tantos por ciento son problemas de regla de tres directa y se pueden resolver con el siguiente esquema: TOTAL 100 %

PARTE PORCENTAJE

Hay varios tipos: 1 – Calculo del porcentaje Ejemplo : Un hotel dispone de 400 camas, de las que 280 están ocupadas ¿Qué porcentaje de camas están ocupadas? 400 100

280 x

x

100280400 = �

400100 · 280

x = � x = 70%

�� Un hotel dispone de 900 habitaciones de las cuales 369 están ocupadas. ¿Qué

porcentaje de habitaciones están ocupadas?

Solución = 41 %


Solución = 73 %

�� Un hotel dispone de 500 habitaciones de las cuales 445 están ocupadas. ¿Qué porcentaje de habitaciones están ocupadas?

Solución = 89 %


Solución = 75 %

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2 – Calculo del total Ejemplo : Los 12 chicos de una clase representan el 40% del total. ¿Cuántos alumnos hay en la clase? x 100 12 40

40

10012x = �

40100 · 12

x = � x = 30 alumnos

�� Las 35400 mujeres de una ciudad representan el 59 % del total de la población

¿Cuántos habitantes tiene la ciudad?

Solución = 60000 habitantes

�� En una granja el 57 % de los animales son vacas, sabiendo que hay 171 vacas ¿Cuántos animales hay en la granja?

Solución = 300 animales

� El 78 % de un número es 468 ¿Cuál es el número?

Solución = 600

3 – Aumento porcentual Ejemplo : El precio de una bicicleta que costaba 400 € ha subido un 20% ¿Cuál es el precio actual? 400 100 x 20

20

100x

400 = � 100

20 · 400x = � x = 80 €

400 + 80 = 480 € 4 – Disminución porcentual Ejemplo : Una cadena musical costaba 800 €, pero me hacen una rebaja del 15% ¿Cuánto debo pagar por la cadena? 800 100 x 15

15

100x

800 = � 100

15 · 800x = � x = 120 €

800 – 120 = 680 €

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� Resuelve los siguientes problemas:

27 € 172 € 21 € 31 € 144 € 66 € 278 €Rebaja Aumento Rebaja Aumento Rebaja Aumento Rebaja18 % 24 % 11 % 16 % 6 % 15 % 16 %

22,14 €

213,28 €

18,69 €

35,96 €

135,36 €

75,9 €

233,52 €

¿Cuánto te costará el balón después de la rebaja?

¿Cuánto te costará la bicicleta después del aumento?

¿Cuánto te costará el cinturón después de la rebaja?

¿Cuánto te costará la falda después del aumento?

¿Cuánto te costarán las gafas después de la rebaja?

¿Cuánto te costará la lámpara después del aumento?

¿Cuánto te costará la guitarra después de la rebaja?

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