Nota de Aula - Series Trigonometric As

8/2/2019 Nota de Aula - Series Trigonometric As

1/6

1

Nota de Aula: Sries Trigonomtricas

Estudamos sries de potncias, mais precisamente a srie de Taylor. Agora, vamos estudar outro tipo de srie, que

apresenta grande versatilidade, o que justifica seu forte emprego na engenharia.

Srie TrigonomtricaImagine a mesma nota musical, exemplo: L 440Hz, sendo tocada por trs instrumentos diferentes. Embora a nota

seja a mesma, isto , mesma freqncia e mesma amplitude. Vemos que existe uma diferena entre elas, pois

percebemos uma diferena de timbre.

Assim, o que escutamos uma soma de vrias ondas simples emitidas por vrias regies de cada instrumento.

Portanto cada parte do instrumento funciona como um oscilador harmnico simples, estilo diapaso, afinado numa

freqncia especfica.

Tendo isso em mente, surge a pergunta: Ser que podemos construir qualquer curva usando uma soma de ondas

simples? Tirando raros casos, a resposta sim.

Logo, podemos propor duas sries:

0 1 2 3cos( ) cos(2 ) cos(3 ) . .. cos( ) ... ,na a x a x a x a n x onde n N

0 1 2 3( ) (2 ) (3 ) ... ( ) ... ,

nb b sen x b sen x b sen x b sen n x onde n N

Considerando que a famlia de funes cos( )n x par e que a famlia ( )sen nx impar, similar a srie de Taylor,

onde existem algumas situaes onde uma das sries trigonomtricas ( ( ) cos( )sen n x ou n x ) atende, porm pode

surgir outros casos onde so necessrias ambas.

Adio


2/6

2

Srie de Fourier (Francs: 1768 1830)

Em 1807 Fourier estudando conduo de calor, notou que a soluo da respectiva equao diferencial no formato deuma srie trigonomtrica, traria enormes vantagens.Essa idia tomou nova dimenso, pois se percebeu que qualquer funo contnua ou com nmero finito dedescontinuidades, dentro de um intervalo finito, pode ser representada por uma srie trigonomtrica.

Vamos assim, propor a expanso da funo ( )f x em srie trigonomtrica generalizada:

0 1 2 1 2( ) cos( ) cos(2 ) ... cos( ) ... s n( ) (2 ) . .. ( ) ...n n f x a a x a x a n x b e x b sen x b sen n x

Precisamos agora, determinar os coeficientes e para isso vamos integrar a srie acima no intervalo , no intuitode conhecer 0a , veja:

0 1 2 1 2( ) [ cos( ) cos(2 ) . . . cos( ) .. . s n( ) (2 ) . . . ( ) .. . ]n n f x dx a a x a x a n x b e x b sen x b sen n x dx

Observe:

0 0 02a dx a x a

( )cos( ) ( ) ( ( )) 0 ( )nn n

sen n x aa n x dx a sen n sen n zero

n n

cos( )

( ) cos( ) cos( ( )) 0 ( )

n

n n

n x b

b sen n x dx b n n zeron n

Sobrando:

0 01

( ) 2 , ( )2

f x dx a assim a f x dx

Obs.: Note que a lgica dos termos empregada na srie trigonomtrica

Portanto:

Para o clculo dos demais coeficientes, precisamos definir algumas integrais importantes.

2( )sen nx dx

( ). ( ) 0 ,sen mx sen nx dx m n

2cos ( )nx dx

cos( ).cos( ) 0 ,mx nx dx m n

( ).cos( ) 0 ,sen mx nx dx para qualquer m e n

cos( ) ( )n na n x e b sen n x

0 0cos(0 )a x a

0 0(0 ) 0b sen x justificando a no existencia de b


3/6

3

Obs.: As integrais acima apresentam soluo fazendo algumas substituies trigonomtricas:

Ex.: 21 cos(2 )

( )2

usen u

Para determinao do coeficiente 2a , multiplicamos toda a equao por cos(2 )x

0 1 2 1 2( ).cos(2 ) [ cos( ) cos(2 ) .. . s n( ) (2 ) .. . ( ) .. . ]cos(2 )n f x x dx a a x a x b e x b sen x b sen n x x dx

Usando as definies anteriores, restar:

22 2 2

1( ).cos(2 ) cos (2 ) , portanto: ( ).cos(2 ) f x x dx a x dx a a f x x dx

De forma similar para o coeficiente 3b , onde multiplicamos por (3 )sen x , ficando:

0 1 2 1 2( ). (3 ) [ cos( ) cos(2 ) .. . s n( ) (2 ) .. . ( ) .. . ] (3 )n f x sen x dx a a x a x b e x b sen x b sen n x sen x dx

Restar: 23 3 31

( ). (3 ) (3 ) , portanto : ( ). (3 ) f x sen x dx b sen x dx b b f x sen x dx

De forma generalizada, podemos achar os coeficientes fazendo:

01

( )2

a f x dx

1( ) cos( ) , 0 , 1 , 2 ,3 , .. .an f x n x dx n

1( ) ( ) , 1 , 2 ,3 , .. .bn f x sen n x dx n

Onde a Srie de Fourier assume o seguinte formato:

0 1 2 1 2( ) cos( ) cos(2 ) ... cos( ) ... s n( ) (2 ) ... ( ) ...n n f x a a x a x a n x b e x b sen x b sen n x


4/6

4

Exemplo1:

( ) , f x x x

20

1 1 02 2 2

xa x dx

( ) ( ) cos( )1 1 1 1 1

cos( ) ( ) 0sen n x sen n x n x

an x n x dx x sen n x dx x n n n n n

cos( ) cos( ) ( )1 1 1 1 1

( ) cos( )n x n x sen n x

bn x sen n x dx x n x dx x n n n n n

2,

( 1) ( 1)1 2( ) 0 :

2,

para n imparn

bn isto n n n

para n parn

Resultado:

Grfico para 6 termos

Obs.: Observe que s apresenta termos com senos, pois ( )f x uma funo impar.

Exemplo2:

( ) 0 , 0

( ) 1 , 0

f x x

f x x

01 1

1 12 2

a dx x

00

( ) ( ) (0)1 1 11 cos( ) 0

sen n x sen n senan n x dx

n n n

00

2,cos( ) cos( ) cos(0)1 1 1 1

1 ( ) 1 1

0 ,

para n imparn x nnbn sen n x dx

n n n n para n par

2 1 2 1( ) 2 ( ) (2 ) (3 ) (4 ) (5 ) (6 ) ...

3 2 5 3 f x sen x sen x sen x sen x sen x sen x


5/6

5

Obs.: A integrao para o intervalo , 0 no foi considerada pois ( ) 0 [ , 0] f x em Resultado:

1 2 2 2 2 2( ) ( ) (3 ) (5 ) (7 ) (9 )

2 3 5 7 9 f x sen x sen x sen x sen x sen x

Grfico para 6 termos:

Adaptaes da Srie de Fourier

a) ( ) , , f x para L L , perodo 2L

Termos da srie : cos( )n xL

e ( )sen n x

L

Coeficientes: 01

( )2

L

L

a f x dx L

1( ) cos( )

L

L

an f x nx dx L L

1( ) ( )

L

L

bn f x sen nx dx L L

b) ( ) , 0 , f x para T , perodo T

Termos da srie :2

... cos( ) ...na n xT

e 2... ( ) ...nb sen n x T

Coeficientes: 00

1( )

T

a f x dx T 02 2( ) cos( )T

an f x n x dx T T

02 2( ) ( )T

bn f x sen n x dx T T

Exemplo3:

22 3 2

0

00 2

1 1 2(2 ) 0 2 0

3 3 2 3

xa x dx dx x

2 3

0 2

2 2 2(2 ) cos( ) 0 cos( )

3 3 3an x n x dx n x dx

2 3

0 2

2 2 2(2 ) ( ) 0 ( )

3 3 3bn x sen n x dx sen n x dx

1 2 3 4 5 6 7 82

0,22797 0,05699 0,0 0,01425 0,00912 0,0 0,00465 0,003563

oa a a a a a a a a

1 2 3 4 5 6 7 80,76820 0,28540 0,21221 0,16738 0,12206 0,10610 0,09363 0,07752b b b b b b b b

( ) 2 , [0 , 2[

( ) 0 , [2 ,3]

f x x para

f x para


6/6

6

2 2 4 8 10 14( ) 0,22797 cos( ) 0, 05699 cos( ) 0, 01425 cos( ) 0, 00912 cos( ) 0, 00465 cos( )

3 3 3 3 3 3

16 2 4 80, 00356 cos( ) 0,76820 sen( ) 0, 28540 sen( ) 0, 21221 sen(2 ) 0, 16738 ( )

3 3 3 3

100, 12206 ( ) 0,

3

f x x x x x x

x x x x sen x

sen x

14 1610610 (4 ) 0, 09363 ( ) 0, 07752 ( )

3 3sen x sen x sen x

Seu grfico:

Conceitos fundamentais na construo da Srie de Fourier de funes no peridicas

Falo aqui de funes cujo interesse est, nica e exclusivamente, num intervalo definido:

Considere o grfico de interesse:

Podemos desenvolver a Srie de Fourier de 3 formas diferentes:

a) Srie de termos impares ( formada por senos).

. . . ( ) . ..nb sen n x L

Portanto a curva gerada apresenta perodo 2L

b) Srie de termos pares ( formada por co-senos).

. . . cos( ) . ..na n xL

Aqui tambm a curva gerada apresenta perodo 2L

c) Srie completa ( formada por senos e co-senos).

2 2... cos( ) ... ( ) ..n na n x b sen n x L L

Agora, a curva gerada apresenta perodo L

Prof. Rebello Nov/2008

Nota de Aula - Series Trigonometric As

Documents

Transcript of Nota de Aula - Series Trigonometric As