Nombres reals

La matemàtica es desenvolupa al voltant de les idees i, per tant, il·lustraun aspecte fonamental del pensament humà. És una ciència que, comd’altres, reflecteix les inquietuds intel·lectuals i la necessitat de resoldreproblemes que homes i dones han manifestat al llarg de la història.

6

1

La història dels nombres ens convida a un apassionant viatge a través de les civilitzacions.

7

La invenció dels nombres

El concepte de nombre s’ha anat construint al llarg dels segles i s’ha ampliat d’acord ambles necessitats humanes. Aquestes necessitats no són únicament de tipus pràctic, sinó tambéde caràcter intel·lectual. La idea que tenim de què és un nombre s’ha format tant a partirde les seves aplicacions quotidianes, com de les propietats aritmètiques bàsiques: per exemple,a partir dels nombres naturals es van construir les fraccions i els nombres enters.

Els primers intents de formalització dels nombres reals es van dur a terme en el segle XIX,a través de conceptes com el de successió o sèrie.

1. Algunes famílies de nombres

1.1. Nombres naturals, �1.2. Nombres enters, �1.3. Nombres racionals, �

2. Error absolut i error relatiu

2.1. Error absolut2.2. Error relatiu

3. Nombres irracionals

3.1. Aproximació de nombres irracionals3.2. Els intervals3.3. Un nombre irracional molt important: �

3.4. La raó àuria: �

4. Els nombres del calendari

Índex de la unitat

8

1. Nombres reals

1.1. Nombres naturals, �

Els nombres naturals són aquells que utilitzem per comptar i es denotenamb la lletra �.

� � {0, 1, 2, 3, 4, 5…}

Sempre que se sumen o multipliquen dos nombres naturals, s’obté unaltre nombre natural.

A vegades també s’aconsegueix restant o dividint:50 � 8 � 42 75 � 15 � 5

Però a vegades el resultat no és un nombre natural:4 � 17 � ¿? 3 � 14 � ¿?

És a dir, no sempre podem efectuar les operacions de resta i divisió deforma que el resultat quedi dins de la família dels nombres naturals.

1.2. Nombres enters, �

Els nombres enters s’han creat per poder restar dos nombres qualssevol.Es denoten amb la lletra �.

� � {… �5, �4, �3, �2, �1, 0, 1, 2, 3, 4, 5…}

Per exemple, si estem a 4 ºC, i la temperatura baixa 10 ºC, a quants grausestarem?

4 � 10 � �6, aleshores estarem a �6 �C

També podem multiplicar dos nombres enters qualssevol, i sempre obtin-drem un altre nombre enter:

3 � (�2) � �6 (�4) � 8 � �32 (�7) � (�6) � 42

Sempre que se sumen, es resten o es multipliquen dos nombres enters,el resultat és un altre nombre enter.

1.3. Nombres racionals, �

Per permetre la divisió de dos nombres enters necessitem els nombres

racionals o fraccions, per exemple, �23

�, �492�, o ��

433722�.

Una manera d’entendre una fracció és considerar-la una divisió:

7 � 12 � 7/12 � �172�

La divisió entre zero està prohibida.

Expressions com , o no es consideren. Si permetéssim la divisió entre

0, aleshores podríem deduir de la igualtat vertadera 1 � 0 � 2 � 0, el resultatabsurd 1 � 2.

0�0

8�0

3�0

1 Algunes famílies de nombres

Actualment sempre incloem el zeroentre els nombres naturals, però nosempre ha estat així.La primera vegada que apareixsistematitzada l’aritmètica ambnombres negatius i amb el zero ésa l’obra de Brahmagupta, un astrò-nom i matemàtic hindú que va viureaproximadament a l’any 600 de lanostra era.

Formalització dels nombres enters

El producte de dos nombresnegatius és un nombre positiu.Observa què passaria si convin-guéssim que (�1) � (�1) � �1:

(�1) � (1 � 1) �

� (�1) � (1) (�1) � (�1) �

� �1 � 1 � �2

Però d’altra banda:(�1) � (1 � 1) � (�1) � 0 � 0

Tindríem una contradicció ensuposar (�1) � (�1) � �1.Perquè no hi hagi contradiccions ni ambigüitats, s’ha acordat que (�1) � (�1) � 1.

Recorda que...

�

�

� �

Regla dels signes per a lamultiplicació i la divisió

9

1. Nombres reals

Propietats dels nombres racionals

Hi ha una propietat de � i � que no té �: la propietat del successor.

Propietat del successorPer a cada a � � no hi ha cap nombre enter entre a i a 1. Per això elnombre a � 1 el podem anomenar el successor d’a.

Amb els nombres racionals � això no passa:

Entre dos nombres racionals a, b � �, sempre hi ha un tercer nombreracional c.

Per exemple, podem escollir c � �a

2b

� que és el punt mig entre a i b.

De la mateixa manera, els nombres racionals �12

�, �13

�, �14

�, �15

�, estan tots compresos

entre els nombres enters 0 i 1.

Existeix una altra propietat important dels nombres racionals, i és que, comels naturals o els enters, es poden enumerar encara que siguin infinits.

La idea és col·locar tots elsracionals amb el mateix numerador enuna mateixa columna, i tots elsracionals amb el mateix denominadoren una mateixa fila. Es numerenrecorrent-los com en la figura de ladreta. Un mateix nombre racional potaparèixer diverses vegades, perquè noconsiderem només les fraccionsirreductibles; però podem estar segursque estem recollint-los tots d’unamanera sistemàtica. Això no es pot feramb els nombres irracionals.

A aquesta propietat ens referim dient que el conjunt � dels nombresracionals és un conjunt numerable.

Demostra que els múltiples de 5 són un conjunt numerable. (Utilitza algunmètode similar al que s’ha vist per als nombres racionals.)

Classifica els nombres següents com a naturals, enters o racionals.Formalitza la teva expressió escrivint-la de la forma següent:«a � 7 ⇒ a � �, a � � i a � �»

a) a � �7 c) c � �9

2� e) e � ��

2

7

8� g) g � 0

b) b � 3,2 d) d � 5,�1 f) f � �2

9

7� h) h � 1,�9

Demostra que les fraccions el numerador de les quals és un nombre parellsón un conjunt numerable.

3

2

1

Els nombres racionals han sorgit dela necessitat de mesurar magnituds.

Així, l’expressió «�3

4� m» representa

el fet que hem mesurat 3 vegades laquarta part d’un metre, és a dir,0,75 m � 75 cm.

Observa que...

L’expressió:a � �

es llegeix:«a pertany al conjunt dels nombresenters, �».

Observa que...

10

1. Nombres reals

Nombres decimals racionals

Alguns nombres racionals es poden representar utilitzant només un nombrefinit de decimals. Són els decimals exactes:

�14

� � 0,25 ��121� � �5,5 �

311040105

� � 31,415

Podem expressar qualsevol fracció en forma decimal efectuant la divisiócorresponent. Recorda que en fer aquesta divisió pot passar que els decimalses repeteixin indefinidament. Són els decimals periòdics:

�13

� � 0,3333333… � 0,3� �16

� � 0,16666666… � 0,16�

�17

� � 0,1428571428571… � 0,142857�

�1112020

� � 0,110909090909090909… � 0,1109�

Observa que alguns decimals tenen unes quantes xifres al principi del’expressió decimal que no es repeteixen després. Són els decimals periòdicsmixtos. Si la repetició passa des de la primera xifra decimal es tracta dedecimals periòdics purs.

Tot nombre racional es pot expressar com un nombre decimal exacte operiòdic, o com una fracció.

Recorda amb els exemples següents com s’obté la fracció que representaun nombre decimal racional.

Exemples resolts

• Trobem la fracció del nombre decimal exacte: 0,32.Sempre es pot trobar una fracció que té en el denominador unapotència de 10:

N � 0,32 � �13020

� N � 23,89 � �2130809

�

• Trobem la fracció del següent nombre decimal periòdic pur:

N � 0,�34 � 0,343434…

a) Manipulem el nombre multiplicant-lo per una potència de 10, finsa obtenir-ne un altre la part decimal del qual sigui la mateixa:

100N � 34,343434…

b) Restem al nombre que has obtingut l’inicial. Sempre s’obté unaexpressió en què ja no apareixen decimals.

�100N � 34,343434…

N � 0,343434…99N � 34

c) Expressem com una fracció el decimal inicial.

N � �3949�

Troba quina fracció correspon als nombres decimals següents:

a) 3,333333… b) 5,76� c) 0,765 d) 0,�456

4

Si un nombre racional té només unnombre finit de decimals, es potpensar que aquests van seguitsd’un nombre infinit de zeros:

0,25 � 0,2500000000…

Observa que...

Abreugem la part periòdica d’undecimal amb un arc:

0,123898989… � 0,12389�

Recorda que...

Quin nombre racional és 0,9999…?Anomenarem aquest nombre N. Siutilitzem el mètode de multiplicarel nombre N per 10 i desprésrestar-li N obtenim:

10N � 9,99999…N � 0,999999…

Per tant, 9N � 9 ⇒ N � 1.Acabem de provar que:

0,99999… � 1

Observa que...

11

1. Nombres reals

Exemple resolt

Trobem la fracció del següent nombre decimal periòdic mixt:N � 0,33�2 � 0,33222222222…

a) Manipulem el nombre multiplicant-lo per potències de 10, fins a obtenirdos nombres la part decimal dels quals sigui la mateixa:

1 000N � 332,222222...100N � 33,222222...

b) Restem els dos nombres que s’han obtingut i observem que sempreresulta una expressió en què ja no apareixen decimals.

900N � 299c) Expressem com una fracció el decimal inicial.

N � �299090

�

Representació sobre la recta real de nombres racionals

Pots representar qualsevol nombre racional sobre la recta real utilitzant elregle i el compàs.

Per fer-ho, decideix en primer lloc entre quins dos nombres enters estarà.Per exemple:

�13

� està entre 0 i 1

�159� � 3 �

45

� està entre 3 i 4

��127� � �8 � �

12

� està entre �9 i �8

A continuació, pren tantes unitats enteres com tingui el nombre que volsrepresentar i utilitza el compàs per determinar exactament quina és la fraccióde la següent unitat que has de considerar.

La representació sobre la recta dels nombres racionals et permetrà ordenar-los amb facilitat. Recorda que donats dos nombres, serà més petit el que quedisituat més a l’esquerra.

Troba la fracció que correspon als següents nombres decimals:

a) 0,546� b) 54,3� c) 87,1234�

Representa sobre una recta i escriu ordenats de més petit a més gran elsnombres:

a) �5

6� b) �

2

1

6

2� c) ��

3

1

5

2� d) ��

3

6

6�

Indica quins nombres apareixen representats a la recta:7

6

5

Utilitzant fraccions equivalents, éspossible trobar infinites fraccionsque representen el mateix nombredecimal.

Observa que...

En el mètode que utilitzem perrepresentar una fracció pots prendrecom a obertura del compàs la quevulguis. Sempre obtindràs el mateixresultat. Aquesta és una propietatgeomètrica molt important.

Observa que...

Un nombre decimal està format peruna part entera i una decimal. Enefectuar una divisió, sempre podemescriure el resultat com una suma dela seva part entera més una fraccióque representa la part decimal. Aaquesta forma d’expressar la fraccióse l’anomena nombre mixt.

19 54 3 ⇒ 19 � 5 � 3�

4

5�

Recorda que...

12

1. Nombres reals

Quins són els màxims errors absolut i relatiu que es cometen en mesurar una longitud de mig metre amb una cintamètrica que aprecia fins als mil·límetres?

Algunes de les formigues més grans que existeixen assoleixen aproximadament els 8 cm de longitud. Les més petitesmesuren aproximadament 0,5 mm. Compara, en cada cas, els errors absolut i relatiu que es cometen amb aquestesaproximacions si s’han trobat exemplars de 8,01 cm i 0,6 mm, respectivament.

9

8

Hem vist dues maneres de representar un nombre racional:

• La representació com a fracció és exacta, no hi ha possibilitat d’error.

• L’expressió decimal ens permet una aproximació immediata de la sevamagnitud; no obstant això, en la pràctica, només considerem un nombrelimitat de decimals i necessàriament es comet algun error en elscomptes.

2.1. Error absolut

Tornem a prendre com a exemple el nombre N � 0,332� � �299090

� de la pàgina

anterior. Suposem que prenem tres decimals d’N, N � 0,332.L’error absolut comès en fer aquesta aproximació és:

N � 0,332 � �299090

� � 0,332 � �299090

� � �1303020

� � �9 0

200� � 0,0002�

L’error absolut d’una aproximació ens indica en quant ens hem equivocatrealment en fer-la. Es calcula trobant el valor absolut de la diferència entreel valor real i l’aproximació.

Error absolut � Valor real � Aproximació

2.2. Error relatiu

La velocitat amb què es desplaça un raig de llum en el buit és:c � 299 792 458 m/s

Però estem habituats a aproximar aquesta quantitat, c, a 300 000 000 m/s.Quin és l’error absolut que cometem en fer aquesta aproximació?

c � 300 000 000 � 207 542 m/sés a dir, ens equivoquem en més de 747 000 km/h. No obstant això, en ser299 792 458 un nombre molt similar a 300 000 000, la nostra intuïció ens diuque l’error no és tan greu com sembla. Aquesta és la idea que es recull encalcular l’error relatiu:

�c � 300c000 000� � �2

�

99270972544528

� � 0,00069228559

La qual cosa significa que ens hem equivocat només en un 0,069 %.

L’error relatiu d’una aproximació té en compte la magnitud del nombreque aproximem.

Error relatiu � �ErVroarlo

arbrseoallut

�

2 Error absolut i error relatiu

Com arrodonim:

3,141592654… � 3,141593

2,718281858… � 2,71828

Recorda que...

Prenem el valor absolut per quedar-nos amb un valor positiu. Si haguéssim aproximat N perN � 0,333, l’error absolut hauriaestat: N � 0,333 � �0,000777… �

� 0,000777… � �9 0

7

00�

Valor absolut, ·

Expressar un error relatiu en formade percentatge és molt útil permesurar la magnitud de l’error.

Observa que...

13

1. Nombres reals

Utilitza el teorema de Pitàgores per esbrinar quina és la diagonal del triangleverd de la figura:

La diagonal mesura més d’1 i menys de 2, però no pot ser expressada enforma de fracció. Pel teorema de Pitàgores sabem que aquest nombre és �2�:

d � �12 1�2� � �2� � 1,4142

�2� és un nombre irracional.

Els nombres irracionals tenen infinites xifres decimals que no esrepeteixen. Fixa’t que, fins ara, hem estudiat nombres amb infinites xifresdecimals, però que en algun moment es repetien.

El conjunt format pels nombres racionals i els irracionals s’anomenaconjunt dels nombres reals, i es denota amb la lletra �.

Els nombres reals formen tota la col·lecció de punts d’una recta.L’expressió decimal d’un nombre ens permet diferenciar els nombres

racionals dels irracionals.

Un nombre és racional si la seva expressió decimal es repeteix a partird’un cert dígit, i si no, és irracional.

Per exemple, el nombre 3,112123123412345123456… és irracional. Sabemquina és la seva expressió decimal però no es repeteix.

3 Nombres irracionals

Classifica els nombres següents en racionals i irracionals i expressa enforma de fracció els que siguin racionals:

a) �4� e) �122�b) 5,345 f) �7�c) �5� g) 1,10100100010000…

d) �121� h) 38,0561

Dóna un valor arrodonit de les quantitats següents:

a) �2�, fins a les mil·lèsimes.b) 2,374578…, fins a les centèsimes.Escriu un nombre racional i un altre d’irracional compresos entre �

1

4� i �

1

5�.

11

10

Durant els seus llargs viatges,Pitàgores acumulà coneixementsmatemàtics i religiosos. Inicià laseva escola a Crotona, al sudd’Itàlia, fonent matemàtica imisticisme en els principis d’unaordre secreta, els fidels de la qualvivien en comunitat amb un estrictecodi moral. El coneixement detipus pràctic no interessavaespecialment als pitagòrics, méspreocupats per aconseguir la saviesai el perfeccionament místic.

En descobrir �2�, els pitagòrics estrobaren amb una mesura «real» queno era un nombre en el sentit queells coneixien. Si es pensa que elsnombres eren per als pitagòricsl’essència de totes les coses, és fàcilcomprendre que el descobriment elscausés una gran consternació.Denominaren aquestes quantitats«incommensurables», i a partird’aleshores optaren per oblidar-sedels nombres per a la resolució deproblemes geomètrics i es vanreferir a les mesures en termes deproporcions.

Els pitagòrics

14

1. Nombres reals

3.1. Aproximació de nombres irracionals

Qualsevol nombre decimal que utilitzem per referir-nos a un nombreirracional serà sempre inexacte.

No obstant això, podem trobar aproximacions cada vegada millors.Utilitza la teva calculadora per aproximar �2�.

3.2. Els intervals

Un interval representa una part de la recta dels nombres reals.Hi ha tres tipus d’intervals:

• Els intervals tancats són els que inclouen els seus punts extrems:

[�1, 1] representa els nombres entre�1 i 1, ambdós inclosos.

• Els intervals oberts no inclouen els seus punts extrems:

(�1, 1) representa els nombres entre�1 i 1.

• Els intervals mixtos inclouen un dels seus punts extrems.

(�2, �1] representa els nombres entre�2 i �1, i inclou el �1.

[1, 2) representa els nombres entre1 i 2, i inclou l’1.

• Les semirectes són intervals oberts o mixtos, en què cada un dels seusextrems és o �:

12 � 1 � 2 1 � �2�1,52 � 2,25 � 2 1,5 � �2�1,42 � 1,96 � 2 1,4 � �2�1,422 � 2,0164 � 2 1,42 � �2�1,412 � 1,9881 � 2 1,41 � �2�

Utilitza la calculadora per obtenir mitjançant intervals una aproximació per a �5� i ��5�.

Justifica si l’afirmació següent és o no és vertadera: «Si un nombre té infinites xifres decimals és irracional».

Troba un nombre racional que sigui més gran que 12,0435691, però més petit que 12,0435692. Podries trobar un nombreirracional comprès entre aquests dos nombres?

14

13

12

(�, 1) representa tots els nombresestrictament menors que 1.

(�, 1] representa tots els nombresmenors o iguals que 1.

(1, ) representa tots els nombresestrictament més grans que 1.

[1, ) representa tots els nombresmés grans o iguals que 1.

No tots els nombres irracionals espoden representar sobre la recta realamb regle i compàs, com passavaamb els racionals. No obstant això,els que s’obtenen en calcular lesarrels quadrades de nombresnaturals successius es poden obtenirgeomètricament mitjançant elteorema de Pitàgores. Troba enaquesta figura els valors successiusd’a, b, c, d...

Observa que...

15

1. Nombres reals

3.3. Un nombre irracional molt important: �

El nombre �, que ja has utilitzat per calcular la longitud d’una circumferènciao l’àrea d’un cercle, també és un nombre irracional.

De la mateixa manera que hem fet amb �2�, trobem ara una aproximacióper a �, aquesta vegada geomètricament.

El costat del quadrat és d. La longitudde la circumferència és L � �d.

El perímetre del quadrat és p � 4d, i ésmés gran que la longitud de la circum-ferència; per tant:

4d � �d ⇒ 4 � �

El costat de l’hexàgon, r, mesura elmateix que el radi de la circumferència;aleshores el seu perímetre és p � 6r � 3d.La longitud de la circumferència és L � �d.

La longitud de la circumferència és mésgran que el perímetre de l’hexàgon, aixíque:

3d � �d ⇒ 3 � �

Ja podem afirmar que el valor de � estàcomprès entre 3 i 4.

Observa que cap polígon inscrit nicircumscrit arribarà a coincidir amb lacircumferència.

No obstant això, podem aproximar � tant com vulguem. Una aproximacióde sis xifres decimals és � � 3,141593.

En les nostres operacions amb � sempre utilitzem una aproximació. Pertant, quan calculem el perímetre d’una circumferència o l’àrea d’un cerclemai trobem el seu valor exacte.

Cap a l’any 1400, Madhava, al’Índia, obtenia com a aproximacióde � el valor 3,1416. En el segle XV,el matemàtic persa Al-Kashi en vatrobar una de millor. Probablementl’aconseguí en calcular el perímetred’un polígon regular de ni més nimenys que 3 � 228 costats:

3,1415926535897932

Aproximacions de �

Amb tan sols dues xifres decimals(� � 3,14) pots calcular la circum-ferència de la Terra amb un error tansols del 0,05 %!Avui en dia es coneixen milers demilions de xifres decimals de �.

Et semblen poques?

Imagina que algú ens dóna els dos primers bilions de decimals de �. Siaquests dígits no es repeteixen, provaria aquest fet que es tracta d’unnombre irracional? Explica per què.

És possible dividir l’interval (3, 4) en parts iguals, de manera que una deles divisions representi la situació del nombre � sobre la recta? Justifica laresposta.

16

15

16

1. Nombres reals

3.4. La raó àuria: �

Més nombres irracionals

Hi ha moltes maneres d’obtenir nombres irracionals.Una d’elles és prendre un nombre irracional, com �2�, �5� o �, i sumar-li

un altre nombre:

�2� 1 ��3� �7� �3 �5� �

Tots aquests són nombres irracionals!També podem dividir qualsevol nombre irracional entre un altre:

En dividir un nombre irracional entre un altre nombre irracional es pot obtenirun nombre racional; busca un exemple.

La raó àuria �

Aquest nombre és especialment interessant (encara que a primera vistano ho sembli!), ja que es tracta d’una proporció que apareix en moltes formesde l’art i l’arquitectura. Atesa la seva importància, ha rebut un nom especial.

La raó àuria

� �

Si mesurem els costats d’aquestsrectangles, comprovem que la proporcióentre el costat més llarg i el més curt ésla mateixa en tots ells: �. Per això, diemque són rectangles auris.

Si un rectangle auri es divideix en unquadrat i un altre rectangle, aquestrectangle més petit també és auri.

�5� � 1�

2

�5� 1�

2�3� �7���

�

�2��

4

Utilitzem el símbol � (la lletragrega phi) per commemorar el granescultor i arquitecte grec Fídies (C 500-432 a. C.). Incorporà la raóàuria en moltes de les sevesescultures i també en el famóstemple del Partenó.

Per què �?

Una manera d’aproximar el nombreauri � és la següent:

1 � �3

2�

� �5

3�

� �8

5�

Si continuem aquest procés, obtin-drem cada vegada una aproximaciómillor per a �. Aquest tipus de frac-cions s’anomenen fraccions contí-nues i són molt importants perquèens permeten aconseguir bonesaproximacions de nombres reals.

1�

1 �1

1�

Aproximar-se a �

Retalla un rectangle auri de paper. Doblega’l per la meitat de la seva base idesprés torna a doblegar-lo per l’altura. Ara tindràs un nou rectangle. Seràauri, aquest nou rectangle? Justifica la teva resposta.

Pren el mateix rectangle auri que has retallat en l’activitat anterior i afegeixun quadrat al costat més llarg per tenir un rectangle més gran. Serà auri,aquest nou rectangle? Justifica la resposta.

18

17

11

11

1 1

�

1 �1

1�

11

1 1

�

1 �1

1�

17

1. Nombres reals

L’observació del cel i dels moviments aparents de les estrelles va permetrea les antigues civilitzacions organitzar el pas del temps d’acord amb fenòmensastronòmics com els equinoccis, les estacions, les fases de la Lluna, etc.Ajustar-se als cicles de la naturalesa, especialment als del Sol, era moltnecessari per als pobles d’activitat agrícola, que necessitaven conèixer i predirles condicions meteorològiques de les que depenien les seves collites.

El moviment de translació de la Terra al voltant del Sol, que dura365,24219 dies, va ser el que es va tenir en compte per elaborar elcalendari que la nostra cultura utilitza actualment.

Aquest nombre, 365,24219, és el nombre de dies del nostre calendari i comque no és un nombre enter, en considerar el dia com a unitat de mesura escomet un cert error.

• Per als antics egipcis, l’any tenia 365 dies, amb la qual cosa es cometiaun error per defecte:

365,24219 � 365 � 0,24219 dies per any

és a dir, 0,96876 dies menys cada quatre anys.Aquest error produïa un desajust entre els fenòmens astronòmics i el diade l’any en què es produïen.

• Així, sorgí la primera reforma del calendari: el calendari julià, que deu elseu nom a Juli Cèsar, l’emperador romà que n’ordenà la reforma. Per evitarel desfasament, el calendari julià afegia un dia cada quatre anys, i teniaaixí els anys de traspàs. Amb aquest mètode, cada any comptava 365,25dies, de manera que ara es comet un error per excés:

365,24219 - 365,25 � �0,00781 dies per any

és a dir, 3,124 dies més cada 400 anys.

• El papa Gregori XIII impulsà l’any 1582 una nova reforma, la del calendarigregorià. Aquest calendari eliminà de cop 10 dies, i a més va imposarsuprimir 3 anys de traspàs cada 400 anys, com t’expliquem a continuació.Cada 400 anys, n’hi ha 4 que acaben en dos zeros (per exemple, 1600,1700, 1800, 1900). Si prescindim dels dos zeros, només un és múltiple de4, així que es decidí que no serien de traspàs el 1700, el 1800 i el 1900.

4 Els nombres del calendari

Segons la regla del calendari gregorià, seran anys de traspàs els anys múltiples de 4, si no és que acaben en dos zeros,cas en què no ho seran, excepte si el nombre que resulta en suprimir els dos zeros també és múltiple de 4. Quin va ser l’últim any que essent múltiple de 4 no va ser de traspàs? Quin serà el pròxim?

Alguns llibres citen la regla següent per saber quins anys són de traspàs:«Seran de traspàs tots els múltiples de 4, excepte aquells que són múltiples de 100 i no ho són de 400».Justifica per què aquesta regla coincideix amb la que es descrivia al text.

Fins i tot amb els ajustos del calendari gregorià es comet un petit error, ja que en restar 3 dies cada 400 anys, eliminemun total de 0,0075 dies l’any. Expressa quin és l’error que es comet i quants anys hauran de passar fins que es cometiun error d’un dia.

21

20

19

18

PER A QUÈ SERVEIX?

Hi ha matemàtiques que no s’apliquen, i està molt bé que sigui així«Per a què serveixen els nombres?» és una pregunta tan àmplia, que ha originat llibres i més llibres...

Les primeres nocionsde nombre estan rela-cionades amb aspectesfonamentals de la vida del’ésser humà: d’una banda,els interessos econòmics;de l’altra, els estudisastronòmics, que vanpermetre elaborar uncalendari al voltant delqual s’organitzà el treball;i, en tercer lloc, els ritualsreligiosos. Els homesutilitzaven els nombres enexplicacions religioses.Mags i endevins elsutilitzaren per confondreels profans mitjançantcomplicats enigmes arit-mètics. També en lespràctiques endevinatòriess’utilitzaven nombres. Pera la mentalitat medieval,per exemple, existiennombres sagrats que erenuna manifestació de l’ordrediví. Però tots aquests usosno exigien preocupar-sepel concepte de nombre.Els nombres negatius, perexemple, no tenien neces-sitat d’existir, perquè tot el que calia mesurar o comptar es feia en parts enteres, positives ofraccionàries.

El primer problemaseriós i sense utilitataparent el plantejà l’escolapitagòrica quan s’enfronta-ren amb la mesura de ladiagonal d’un quadrat de

costat 1. Quan els nombreses consideren entitatsgeomètriques, mesures,han de ser expressats de

manera exacta. Unapersona pràctica esconformarà amb unaaproximació d’un nombre

com �2�, perquè amb unabona aproximació ja potresoldre el seu problema.Però la concepció de lamatemàtica més enllà de la seva immediata apli-cació pràctica ha donatlloc a importants avançosen la noció de nombre.

De la conjunció d’amb-dues perspectives, una demés quotidiana i una altrade més intel·lectual, vanéixer el concepte modernde nombre. Tan fonamen-tal per a l’avanç d’aquestaciència resulta una pers-pectiva com l’altra. Hi hamolts resultats matemà-tics que no s’apliquen demoment a res concret, pe-rò no per això són menysimportants. Buscar el sen-tit a les matemàtiques fentatenció únicament a les se-ves aplicacions, no enspermet pensar amb tota lallibertat i creativitat queexigeixen els problemesmatemàtics.

La matemàtica és unaciència que es desenvolupacada dia. De tot el conei-xement que es genera, unabona part és directamentaplicable a l’avanç tecno-lògic; una altra bona partserveix perquè l’ésser hu-mà continuï desenvolupantel que millor sap fer:pensar.

Tenim dues copes, una devi negre i una altra de viblanc. Amb un comptagotesprenem una gota de vi negre,la tirem a la copa de vi blanci remenem la mescla. Acontinuació traiem una gotade la mescla i la tirem a lacopa de vi negre.

Hi ha més quantitat de vinegre a la copa de vi blanc o

de vi blanc a la copa de vinegre? Pensa també enaquesta altra variant delproblema: llancem al mar lameitat d’una nova copa de vinegre. Esperem una estona iomplim la copa amb aigua demar.

I, ara, respon: hi ha mésquantitat de vi negre al maro d’aigua de mar a la copa?

El mar en una copa de vi

Retalla un cercleCom t’ho faries per

retallar un cercle de paper, sitan sols disposes d’unestisores? Observa l’esquemaque et proposem i prova de

fer-lo. Amb tan sols cincdoblecs aproximes el cerclea un polígon de 32 costats! Isi doblegues sis vegades elpaper?

✂

Juga pensant

LA MATEMÀTICA TEÒRICA

19

Nombres naturals, �:0, 1, 2, 3, 4...

� � � � � � �

Nombres enters, �:…�5, �4, �3, �2, �1, 0, 1, 2, 3… Nombres reals, �: són tots els

nombres racionals i irracionals junts.

Nombres racionals, �:

�13

�, ��56

�, ��78

�…

No es pot dividir entre zero!

PROPIETATS DELS NOMBRES RACIONALS

ESQUEMA DE CLASSIFICACIÓ DELS NOMBRES DECIMALS

INTERVALS I SEMIRECTES

ERROR ABSOLUT I ERROR RELATIU

• Entre dos nombres racionals sempre podem trobar un altre nombre racional.

• Els nombres racionals es poden enumerar, encara que siguin infinits: existeix un mètode per escriure’ls demanera que estiguem segurs de no oblidar-ne cap. Per això es diu que es tracta d’un conjunt numerable.

• Qualsevol nombre racional pot expressar-se com un nombre decimal o com una fracció.

Els nombres racionals i els irracionals completen la recta real. En ella podem considerar diferents tipus d’intervals:

Error absolut � Valor real � Aproximació Error relatiu � • Sempre que utilitzem l’expressió decimal d’un nombre no exacte cometem algun error. És important no utilitzar

l’expressió decimal d’un nombre racional en fer càlculs que involucren fraccions.

• L’error relatiu té en compte la magnitud del nombre. No és el mateix un error d’un mil·límetre sobre una mesurade centímetres que sobre una de quilòmetres.

Error absolut��

Valor real

(a, b) (a, b] [a, b) [a, b]

(a, ) [a, ) (�, b) (�, b]

Nombres decimals racionalsExisteix un mètode per obtenir lafracció que correspon a cada un.

Nombres decimals no racionals

Exactes: tenen un nombre finit de decimals. Per exemple, 15,342.

Periòdics purs: les xifres decimals es repeteixen des de la primera.Per exemple, 15,28�.

Periòdics mixtos: la repetició de les xifres decimals comença desprésdel primer decimal. Per exemple, 15,34328�.

Els nombres irracionals són aquells la part decimal

dels quals no es repeteix. Per exemple, �, �, .

Les arrels quadrades de nombres enters es podenconstruir geomètricament.

1��5�

RESUM

20

1. Nombres reals

Calcula la fracció irreductible que correspon a cadaun dels nombres decimals periòdics següents.

a) 3,4� e) �23,50� i) 0,78�b) 1,234� f) 2,9� j) �5,800�c) 2,12� g) 3,003� k) 7,13�d) �0,0042� h) 8,88842� l) 9,123�

Classifica els nombres següents, indicant quin és elconjunt més petit al qual pertanyen:

a) �3 c) �3

2� e) �

1

3

0

4

2

3

9� g) ��

2

4�

b) 2 d) �8

4� f) �

�

�

8

9

1� h) �4�

Existeix algun conjunt numèric, a més de �, que nocompleixi la propietat del successor?

Si 0,9� � 1, aleshores 0,49� � 0,5?

L’interval (0, 1) és un conjunt numerable?

Quan un nombre té infinites xifres decimals,aleshores és un nombre irracional. És certa aquestaafirmació sempre, algunes vegades o mai? Justifica lateva resposta amb exemples.

Troba un nombre irracional que sigui més gran que5,7 i més petit que 5,72.

Estic pensant en el nombre 10,0398XXXX, és a dir,t’amago els quatre últims dígits. Quin és el nombremés petit que pugui estar pensant? I el més gran?

Ordena els nombres racionals següents de més petit amés gran:

a) �2

5�; ��

7

5�; �

6

5�; �

3

5� b) �

1

4�; ��

2

5�; �

5

6�; ��

3

7�

Troba tres fraccions equivalents a cada un delsnombres racionals següents:

a) �2

3� c) ��

1

3

6� e) 5

b) �1

9

8� d) �

1

2

2

8� f) 0,12

Calcula la fracció irreductible que correspon a cada undels nombres decimals exactes següents.

a) 1,2 c) 4,37 e) 6,0001

b) 23,45 d) 8,90 f) �78,24

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1 Representa en la recta real els nombres racionalssegüents:

a) ��3

6

4

9

5

0� b) �

7

4� c) �

2

5� d) ��

3

6�

Escriu tres fraccions compreses entre �1

2� i �

4

5�.

Digues a quins nombres racionals corresponen elspunts A, B, C i D:

Arrodoneix a les mil·lèsimes els nombres següents:

a) � (la raó àuria) c) ��

��

b) �2� � d) �2�

Calcula el valor de les operacions següents ambvalors absoluts:

a) 3 � 4,5 c) 2,3 3 � (�2)b) �8 � 10 d) 3 � 7 �9

Quin error absolut cometem en aproximar el nombre

auri per ��2

5��?

És possible escriure un nombre irracional les xifresdecimals del qual siguin únicament uns i dosos? Si ésaixí, escriu-lo, i si no, explica per què.

És possible escriure un nombre irracional les xifresdecimals del qual siguin únicament uns i dosos i queel dos aparegui un nombre finit de vegades? Si ésaixí, escriu-lo, i si no, explica per què.

Imagina que algú escriu el primer bilió de dígitsdecimals del nombre �. Si no es repeteixen mai,provaria amb això que es tracta d’un nombreirracional? Explica la teva resposta.

Calcula quin és l’error relatiu que es comet en lesafirmacions següents:

a) El descobriment d’Amèrica va ser l’any 1490.

b) Els planetes del sistema solar són dotze.

c) Les províncies de Castella i Lleó són set.

d) Les eleccions municipals se celebren cada sisanys.

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

Exercicis i problemes

ACTIVITATS

21

1. Nombres reals

En Jordi ha mesurat la superfície de la província deBarcelona en un mapa a escala i ha obtingut unresultat de 7 800 km2. La Montserrat ha fet el mateixamb Catalunya i el resultat ha estat de 32 000 km2.Quin dels dos ha comès el menor error absolut, si lasuperfície de la província de Barcelona és 7 733 km2

i la de Catalunya 31 930 km2? Qui ha comès el menorerror relatiu?

Representa i ordena els nombres següents de mésgran a més petit:

a) ��3

1

2

5

4

7

8

5� d) �

3

2�

b) ��2

3

3

7

4

2

1

7� e) �2�

c) 0,25 f) �

Quin dels nombres següents és més gran �3

2� o �4

4�?

Escriu tres nombres irracionals que estiguincompresos entre 7,8 i 7,9.

Representa �2� i �10� en la recta real.

Troba un interval de longitud menor que 0,1 i en quèes trobi:

a) �2

3�

b) �3�c) �

d) � (la raó àuria)

Representa els intervals i semirectes següents:

a) (�2, 7) d) (�, �2�)

b) ���9

2�, ��

3

4�� e) [�2�, �3�)

c) (�, 0) f) (0, )

Quins punts de l’interval de l’apartat a) es trobentambé en l’interval de l’apartat f)?

El nombre 142 857 és molt curiós. Multiplica’l per 2,per 3, per 4, per 5 i per 6. Què obtens? I si elmultipliques per 7, 8 i 9? Per què creus que passaaixò?

(Si no saps com explicar-ho, troba l’expressió

decimal de les fraccions �1

7�, ��

2

7�, �

3

7�… i compara els

resultats amb els que has obtingut abans.)

29

28

27

26

25

24

23

22 Si l’àrea del quadrat següent és 1, l’àrea del triangleombrejat és:

a) �3

5�

b) �1

5�

c) �2

5�

d) �1

6�

e) �1

7�

S’ha dividit l’altura del triangle equilàter de la figuraper la meitat. L’àrea del rectangle ombrejat respectede l’àrea del triangle equilàter és:

a) �1

3�

b) �1

2�

c) �1

4�

d) �2

3�

e) Cap de les anteriors.

Si l’àrea del triangle més gran de la figura és 1, l’àreadel triangle ombrejat és:

a) �1

3�

b) �1

2�

c) �1

8�

d) �1

7�

e) �1

1

6�

En la figura, la raó de l’àrea del quadrat ombrejat i ladel quadrat gran és:

a) �2

1

56�

b) �1

1

3�

c) �1

1

28�

d) �6

1

4�

e) Cap de les anteriors.

33

32

31

30

ACTIVITATS

22

1. Nombres reals

ACTIVIDADES ACTIVITATS

Activitats de reforç

Tots els nombres naturals són enters? Tots elsnombres enters són naturals?

Sabem que els nombres naturals també són racionals.Aleshores, podries escriure els nombres naturals 2, 5i 7 com a fracció?

Digues si són equivalents els següents parells defraccions:

a) �4

5� i �

2

3

8

5� b) �

6

9� i �

4

6� c) ��

8

7� i ��

1

1

6

4�

Expressa com a nombre mixt cada una de lesfraccions següents:

a) �2

5

3� b) �

7

1

2

3� c) �

10

6

0� d) �

1

6

9�

37

36

35

34 Escriu tres fraccions que es trobin entre �1

3

0� i �

1

7

0�.

Quin error absolut cometem en aproximar la fracció

�1

6

1� per 1,9?

Digues si els enunciats següents són vertaders o falsos.

a) 2 és un nombre real. d) � és irracional.

b) �2 és racional. e) ��2

2�� és racional.

c) �5

4� és irracional. f) �

1

3

0

4

2

3

9� és irracional.

Mesura les dimensions d’un DNI i divideix el costatmés gran entre el costat més petit. Observa que elnombre que s’obté està proper a la raó àuria.

41

40

39

38

Activitats d’ampliació

Indica si és certa l’afirmació següent:

a, b � � ⇒ a b � a b

John Wallis, filòsof, teòleg i matemàtic anglès (1616-1703), fundador de la Royal Society de Londres, vaproposar una estranya fracció per calcular �, onalternava nombres parells en el numerador ambnombres imparells en el denominador, tal comt’indiquem a continuació:

� � 2 �

Troba una aproximació per a � utilitzant dotze factorsen el numerador i dotze factors en el denominador itroba l’error absolut comès.

Euler va trobar una aproximació per a � mitjançantl’expressió:

� � �6 �1 �2

12� �

3

12� �

4

12� …

a) Troba una aproximació per a � utilitzant 5 sumandsen aquesta expressió.

b) Troba una aproximació per a � utilitzant 7 sumandsen aquesta expressió.

c) Troba l’error absolut i relatiu que s’ha comès en elsapartats a) i b).

d) En quin ordre de magnitud millora l’estimació entreels apartats a) i b).

44

2 � 2 � 4 � 4 � 6 � 6 � 8 � 8 � 10 � 10…����1 � 3 � 3 � 5 � 5 � 7 � 7 � 9 � 9 � 11…

43

42 Una puça està situada sobre el punt 1 de la rectanumèrica, amb moltes ganes d’arribar a casa seva, que

està al 0. Escull saltar fins a �1

2�, que és el punt mig entre

0 i 1. Després a �1

4�, el punt mig entre �

1

2� i 0, i així

successivament, saltant fins al punt mig entre el 0 il’últim sobre el qual ha estat. Creus que arribarà enalgun moment a casa seva? Explica per què.

Realitza les operacions següents amb la calculadora iobserva com s’aproximen a la raó àuria.

a) �1 ��1�� c) �1 + ��1 + ���1 + ����1����b) �1 + ��1 + ���1��� d) Calcula el següent.

Si multipliquem dos nombres naturals, el productesempre és més gran que els dos nombres que hemmultiplicat (excepte si un d’ells és 0 o 1). Però això nosempre és així si multipliquem dos nombres decimals.

a) Quan és més gran el resultat que els dos nombresdecimals multiplicats?

b) Quan és més petit?

c) Quan està comprès entre ambdós?

d) Sabries determinar, sense necessitat de fer lamultiplicació, si el resultat serà més gran, més petito igual que 1?

47

46

45

23

1. Nombres reals

AVALUACIÓ

De les afirmacions següents, digues quines són certes:

I. La suma de dos nombres irracionals dóna semprecom a resultat un altre nombre irracional.

II. La multiplicació de dos nombres irracionals dónasempre un altre d’irracional.

III. La divisió de dos nombres irracionals dónasempre un altre d’irracional.

a) Totes. c) La I i la II.

b) Cap. d) La II i la III.

L’ordenació de més petit a més gran de les fraccions

�2

3�, �

4

5� i �

5

9� és:

a) �4

5� � �

2

3� � �

5

9� c) �

5

9� � �

4

5� � �

2

3�

b) �2

3� � �

5

9� � �

4

5� d) �

5

9� � �

2

3� � �

4

5�

Quina de les fraccions següents està compresa entre1,1 i 1,2?

a) �1

1

3

0� c) �

1

1

0�

b) �2

2

8

5� d) �

1

4�

Quina de les fraccions següents és equivalent a

��3

4

0

2�?

a) ��3

4� c) ��

3

4

5

9�

b) �5

7� d) �

1

1

0

4�

4

3

2

1 La fracció irreductible que correspon al nombredecimal 23,4� és:

a) �2

1

3

0

4� c) �

23

9

4�

b) �2

9

11� d) �

2

1

1

0

1�

A quin nombre racional correspon el punt A?

a) �1

3� b) �

3

4� c) ��

1

3� d) �

4

3�

El nombre 2,3456, arrodonit a les mil·lèsimes, és:

a) 2,345 c) 2,3b) 2,3457 d) 2,346

Quin és l’error relatiu que cometries en aproximar

2�3� amb tres xifres decimals?

a) 20 % c) 83,3 %b) 16,6 % d) 0,0029 %

El costat del quadrat mesura 1 unitat i el triangleombrejat és equilàter. Aleshores, x és:

a) 0,8

b) �7� + 1

c) �3� � 1

d) �0,5�Quin dels nombres següents és racional?

a) 1,213141516… c) �

b) ��2

5�� d) 23,47020202…

10

9

8

7

6

5