Nombre del Alumno: Grupo: Matrícula: N° Lista: Docente:

Nombre del Alumno: ____________________________________________

Grupo: ______ Matrícula: _____________ N° Lista: _____

Docente: ______________________________________________________

P á g i n a 1 | 44

Manejo de Formas y Espacios. Laboratorio Final.

EJERCICIO 1

1. Cada ángulo interior de un polígono regular mide 108°. Expresa la medida de este ángulo en radianes

y en términos de 𝜋 (Equivalencia: 𝜋 rad=180°)

A)

1. Cada ángulo interior de un hexágono mide 120°. Expresa la medida de éste ángulo en radianes en

términos de 𝜋 (Equivalencia: 𝜋 rad=180°)

A) 3

4𝜋 rad

B) 2

5𝜋 rad

C) 3

5𝜋 rad

D) 3

2𝜋 rad

E) 2

3𝜋 rad

B)

1. Cada ángulo interior de un octágono mide 135°. Expresa la medida de éste ángulo en radianes en

términos de 𝜋 (Equivalencia: 𝜋 rad=180°)

A) 2

5𝜋 rad

B) 3

4𝜋 rad

C) 3

5𝜋 rad

D) 2

3𝜋 rad

E) 3

2𝜋 rad

Procedimiento:

108° = 108° (𝜋

180°) =

108

180𝜋 =

54

90𝜋 =

27

45𝜋 =

9

15𝜋 =

3

5𝜋

A) 3

4𝜋 rad

B) 2

5𝜋 rad

C) 3

5𝜋 rad

D) 2

3𝜋 rad

E) 3

2𝜋 rad

F)

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EJERCICIO 2

2. Determina el valor del ángulo θ si la longitud del radio de la circunferencia es de 8cm y la longitud del

arco es de 17.5 cm como se muestra en la figura. Expresa la medida del ángulo en grados sexagesimales.

PROCEDIMIENTO:

A)

2. Determina el valor del radio, si el ángulo θ mide 114.6° y la longitud del arco es de 50 cm como se

muestra en la figura.

A) 25 cm

B) 20 cm

C) 40 cm

D) 70 cm

E) 50 cm

B)

2. Determina el valor del ángulo θ si la longitud del radio de la circunferencia es de 25 cm y la longitud

del arco es de 60 cm como se muestra en la figura. Expresa la medida del ángulo en grados

sexagesimales.

A) 203.7°

B) 154.2°

C) 137.5°

D) 125.3°

E) 98.5°

θ

S = 17

.5 cm

θ=114.6° S = 50 cm

r = 25 cm

S = 60 cm

Procedimiento:

𝜃 =𝑠

𝑟=

17.5𝑐𝑚

8𝑐𝑚= 2.1875 𝑟𝑎𝑑

2.1875 𝑟𝑎𝑑 = 2.1875 (180

𝜋)

= 2.1875 × 180 ÷ 3.1416 = 125.33°

A) 203.7°

B) 154.2°

C) 143.6°

D) 125.3°

E) 98.5°

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EJERCICIO 3

3. Sean ∠𝐴 = 2(4𝑥 − 10)° y ∠𝐵 = 10(𝑥 + 2)° ángulos complementarios. Encuentra la medida del

ángulo 𝐵.

A)

3. Sean ∠𝐴 = 4(𝑥 + 3)° y ∠𝐵 = 7(𝑥 − 3)° ángulos complementarios. Encuentra la medida del ángulo

𝐴.

A) 42°

B) 120°

C) 48°

D) 240°

E) 220°

B)

3. Sean ∠𝐴 = 2(4𝑥 − 10)° y ∠𝐵 = 10(𝑥 + 2)° ángulos conjugados. Encuentra la medida del ángulo 𝐴.

A) 70°

B) 120°

C) 220°

D) 240°

E) 140°

Procedimiento:

Ángulos complementarios suman 90°

2(4𝑥 − 10) + 10(𝑥 + 2) = 90 8𝑥 − 20 + 10𝑥 + 20 = 90 8𝑥 + 10𝑥 = 90 + 20 − 20 18𝑥 = 90

𝑥 =90

18

𝑥 = 5

∠𝐵 = 10(𝑥 + 2) ∠𝐵 = 10(5 + 2) ∠𝐵 = 50 + 20

∠𝐵 = 70

A) 70°

B) 50°

C) 58°

D) 60°

E) 42°

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A) 8

B) 4

C) 7

D) 5

E) 6

EJERCICIO 4

4. Encuentra el valor de “x” de la siguiente figura.

A)


A) 13

B) 24

C) 15

D) 18

E) 27

B)


A) 6

B) 4

C) 7

D) 5

E) 8

(5𝑥 + 36)° (3𝑥)°

A

D

B C

(17𝑥 + 6)° (15𝑥 − 18)°

A

D

B C

Procedimiento:

∠𝐴𝐶𝐷 + ∠𝐵𝐶𝐷 = 180°

150 + (9𝑥 − 6) = 180

9𝑥 = 180 − 150 + 6

9𝑥 = 36

𝑥 =36

9

𝑥 = 4

150° (9𝑥 − 6)°

A

D

B C

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A) 8

B) 4

C) 7

D) 5

E) 6

EJERCICIO 5


Procedimiento:

Ángulos opuestos por

el vértice se igualan.

7𝑥 + 53 = 3𝑥 + 85

7𝑥 − 3𝑥 = 85 − 53

4𝑥 = 32

𝑥 =32

4

𝑥 = 8

A)


A) 15

B) 12

C) 6

D) 9

E) 8

B)


A) 8

B) 4

C) 7

D) 5

E) 6

O

(7𝑥 + 53)°

D A

B C

(3𝑥 + 85)°

O

(17𝑥 + 6)°

D A

B C

(19𝑥 − 6)°

O

(19𝑥 − 6)°

D A

B C

(16𝑥 + 12)°

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A) 11

B) 14

C) 17

D) 16

E) 15

EJERCICIO 6

6. Si en la siguiente figura las rectas AB y CD son paralelas, encuentra el valor de “x”

Procedimiento:

Ángulos pares son iguales.

∡8 = ∡2

4𝑥 − 18 = 𝑥 + 24

4𝑥 − 𝑥 = 24 + 18

3𝑥 = 42

𝑥 =42

3

𝑥 = 14

A)

6. Si en la siguiente figura las letras AB y CD son paralelas, encuentra el valor de “x”

A) 4

B) 7

C) 5

D) 2

E) 6

B (𝑥 + 24)°

(4𝑥 − 18)°

𝑦

A

C

F

D

E

B

(17𝑥 + 8)°

(3𝑥 + 36)°

𝑦

A

C

F

D

E

M

N

B

∡2 ∡1

A

C

F

D

E

∡3 ∡4

∡5 ∡6 ∡7 ∡8

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A) 50°

B) 38°

C) 65°

D) 36°

E) 42°

B)

6. Si en la siguiente figura las letras AB y CD son paralelas, encuentra el valor de “x”

A) 23

B) 19

C) 27

D) 32

E) 15

EJERCICIO 7

7. Si en la siguiente figura, la recta r es paralela al lado AB del triángulo. Hallar la medida del ángulo B

Procedimiento:

El ángulo de 140° y su adyacente son

suplementarios.

Por lo tanto:

140° + ∡𝛼 = 180°

∡𝛼 = 180 − 140

∡𝛼 = 40°

∡𝛼 = ∡𝐴 = 40°

La suma de los ángulos interiores de cualquier

triángulo es 180°.

Por lo tanto:

∡𝐴 + ∡𝐵 + ∡𝐶 = 180°

40° + ∡𝐵 + 75° = 180°

∡𝐵 = 180 − 40 − 75

∡𝐵 = 65°

B

C

140

° r

75°

A

B

(6𝑥 + 18)°

(2𝑥 − 22)°

A

C

F

D

E

M

N

∡𝛼

B

C

140

° r

75°

A ∡𝐴 = ∡𝛼

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A)


A) 70°

B) 80°

C) 75°

D) 65°

E) 60°

B)


A) 50°

B) 55°

C) 38°

D) 36°

E) 42°

B

C

135°

r

75°

A

B

C

128°

r

73°

A

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A) 50°

B) 38°

C) 47°

D) 36°

E) 18°

EJERCICIO 8

8. Sean A, B y C los ángulos interiores de un triángulo, donde ∠𝐴 = (2𝑥 + 35)°, ∠𝐵 = (4𝑥 − 10)° y

∠𝐶 = (3𝑥 − 7)°. Determina la medida del ángulo ∠𝐶.

Procedimiento:

Los ángulos interiores de todos los

triángulos suman 180°. Por lo tanto:

∡𝐴 + ∡𝐵 + ∡𝐶 = 180°

(2𝑥 + 35) + (4𝑥 − 10) + (3𝑥 − 7) = 180

2𝑥 + 4𝑥 + 3𝑥 = 180 − 35 + 10 + 7

9𝑥 = 162

𝑥 = 18

∡𝐶 = (3𝑥 − 7)°

∡𝐶 = 3(18) − 7

∡𝐶 = 54 − 7

∡𝐶 = 47

A)

8. Sean A, B y C los ángulos interiores de un triángulo, donde ∠𝐴 = (4𝑥)°, ∠𝐵 = (3𝑥 − 35)° y ∠𝐶 =

(𝑥 + 15)°. Determina la medida del ángulo ∠𝐴.

A) 50°

B) 38°

C) 100°

D) 36°

E) 40°

B)

8. Sean A, B y C los ángulos interiores de un triángulo, donde ∠𝐴 = (2𝑥 + 35)°, ∠𝐵 = (4𝑥 − 10)° y

∠𝐶 = (3𝑥 − 7)°. Determina la medida del ángulo ∠𝐵.

A) 50°

B) 38°

C) 47°

D) 36°

E) 62°

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A) 75°

B) 95°

C) 85°

D) 80°

E) 70°

EJERCICIO 9

9. Determina la medida del ángulo interior B del siguiente triángulo:

Procedimiento:

El ángulo exterior de un triángulo es igual

a la suma de sus ángulos interiores opuestos

∡𝐴 + ∡𝐵 = ∡𝐶

15𝑥 + 25𝑥 = 120

40𝑥 = 120

𝑥 =120

40

𝑥 = 3

∡𝐵 = 25𝑥

∡𝐵 = 25(3)

∡𝐵 = 75°

A)

9. Determina la medida del ángulo interior B del siguiente triángulo:

A) B=80°

B) B=95°

C) B=85°

D) B=70°

E) B=75°

B)

9. Determina la medida del ángulo interior A del siguiente triángulo:

A) B=65°

B) B=55°

C) B=40°

D) B=45°

E) B=60°

A

B

C

(15x)° (120)°

(25x)°

A

B

C

(7x)

°

(110)°

(15x)

°

A

B

C

(15x)° (120)°

(25x)°

P á g i n a 11 | 44


EJERCICIO 10

10. Encuentre el valor de “x” de la siguiente figura si 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 𝐷𝐸̅̅ ̅̅

Datos:

𝐶𝐷̅̅ ̅̅ = 𝑥

𝐴𝐷̅̅ ̅̅ = 12

𝐶𝐸̅̅ ̅̅ = 9

𝐸𝐵̅̅ ̅̅ = 15

A) 6.4

B) 4.9

C) 8.5

D) 5.7

E) 7.2

A)

10. Encuentre el valor de “x” de la siguiente figura si 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 𝐷𝐸̅̅ ̅̅

Datos:

𝐶𝐷̅̅ ̅̅ = 8

𝐴𝐷̅̅ ̅̅ = 16

𝐶𝐸̅̅ ̅̅ = 𝑥

𝐸𝐵̅̅ ̅̅ = 20

A) 9

B) 10

C) 4

D) 15

E) 12

B)

10. Encuentre el valor de “x” de la siguiente figura si 𝑀𝑁̅̅ ̅̅ ̅ = 𝐵𝐶̅̅ ̅̅

Datos:

𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = 25

𝑀𝑁̅̅ ̅̅ ̅ = 15

𝐴𝑁̅̅ ̅̅ = 6

𝑁𝐶̅̅ ̅̅ = 𝑥.

A) 3

B) 7

C) 2

D) 4

E) 5

A

D E

C

B

A

D E

C

B

A

M

N C

B

Procedimiento:

De acuerdo con el teorema de Thales:

𝐶𝐷̅̅ ̅̅

𝐴𝐷̅̅ ̅̅=

𝐶𝐸̅̅ ̅̅

𝐸𝐵̅̅ ̅̅

𝑥

12=

9

15

𝑥 =9(12)

15

𝑥 = 7.2

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EJERCICIO 11 11. Un poste de 6 metros de altura proyecta una sombra de 3.5 metros. Calcula la altura (h) de un árbol, si al mismo tiempo, proyecta una sombra de 1.7 metros.

A) h = 2.23m B) h = 2.91m C) h = 3.4m D) h = 1.5m E) h = 1.7m

A) 11. Un poste de 7.2 metros de altura proyecta una sombra de 4.2 metros. Calcula la altura (h) de un árbol, si al mismo tiempo, proyecta una sombra de 2.04 metros.


B) 11. Un poste de 5.4 metros de altura proyecta una sombra de 3.15 metros. Calcula la altura (h) de un árbol, si al mismo tiempo, proyecta una sombra de 1.53 metros.


3.5 m

6 m

h =

1.7 m

4.2 m

7.2 m

h =

2.04 m

3.15 m

5.4 m

h =

1.53 m

Procedimiento: Poste Árbol

Altura 𝟔

𝟑.𝟓=

𝒉

𝟏.𝟕

Sombra

h = 2.9m

*Para encontrar el resultado, multiplica el

(6) (1.7) y el resultado, divídelo entre el 3.5.

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EJERCICIO 12 12. Determina la medida de cada ángulo interior de un polígono regular de 9 lados.

A) 140° B) 126° C) 132° D) 117° E) 154°

A) 12. Determina la medida de cada ángulo interior de un pentágono regular.

A. 140° B. 126° C. 108° D. 117° E. 132°

B) 12. Determina la medida de cada ángulo interior de un decágono regular.

A) 140° B) 126° C) 132° D) 117° E) 144°

Procedimiento:

Ai = 𝟏𝟖𝟎(𝒏−𝟐)

𝒏

Ai = 𝟏𝟖𝟎(𝟗−𝟐)

𝟗

Ai = 𝟏𝟖𝟎(𝟕)

𝟗

Ai = 𝟏,𝟐𝟔𝟎

𝟗

Ai = 140°

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EJERCICIO 13 13. Determina el número de lados de un polígono cuya suma de sus ángulos interiores es 1620°.

A) 4 lados B) 7 lados C) 16 lados D) 9 lados E) 11 lados

A) 13. Determina el número de lados de un polígono cuya suma de sus ángulos interiores es 1080°.


B) 13. Determina el número de lados de un polígono cuya suma de sus ángulos interiores es 1980°.


Procedimiento:

Sai = 180 (n - 2)

1,620 = 180 (n - 2)

𝟏,𝟔𝟐𝟎

𝟏𝟖𝟎 = n – 2

9 = n – 2

9 + 2 = n

11 = n

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EJERCICIO 14 14. Cada ángulo exterior de un polígono regular mide 45°. Encuentra el número de diagonales que se pueden trazar en el interior del polígono.

A) 12 diagonales B) 26 diagonales C) 20 diagonales D) 40 diagonales E) 34 diagonales

A) 14. Cada ángulo exterior de un polígono regular mide 72°. Encuentra el número de diagonales que se pueden trazar en el interior del polígono.


B) 14. Cada ángulo exterior de un polígono regular mide 40°. Encuentra el número de diagonales que se pueden trazar en el interior del polígono.


Procedimiento:

Ae = 𝟑𝟔𝟎

𝒏

45 = 𝟑𝟔𝟎

𝒏

45n = 360

n = 𝟑𝟔𝟎

𝟒𝟓

n = 8

d = 𝒏(𝒏−𝟑)

𝟐

d = 𝟖(𝟖−𝟑)

𝟐

d = 20

P á g i n a 16 | 44


EJERCICIO 15 15. Los ángulos interiores de un cuadrilátero están representados por: A = (1.4x)°, B = (2.6x)°, C = (3.5x)° y D = (4.5x)° Calcula la medida del ángulo B.

A) 39° B) 62° C) 78° D) 83° E) 105°

A) 15. Los ángulos interiores de un cuadrilátero están representados por: A = (2x + 10)°, B = (8x)°, C = (6x - 5)° y D = (9x + 5)° Calcula la medida del ángulo D.

A) 39° B) 105° C) 78° D) 83° E) 131°

B) 15. Los ángulos interiores (en grados sexagesimales) de un cuadrilátero están representados por: A = 1.4x, B = 2.6x, C = 3.5x y D = 4.5x Calcula la medida del ángulo C.

A) 90° B) 105° C) 120° D) 135° E) 115°

Procedimiento:

A + B + C + D = 360

1.4x + 2.6x + 3.5x + 4.5x = 360

12x = 360

x = 𝟑𝟔𝟎

𝟏𝟐

x = 30

B =2.6x

B = 2.6(30)

B = 78

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EJERCICIO 16 16. Si el cuadrilátero de la siguiente figura es un paralelogramo, encuentra el valor de “y”

A) y = 6 B) y = 12 C) y = 7 D) y = 5 E) y = 8

A) 16. Si el cuadrilátero de la siguiente figura es un paralelogramo, encuentra el valor de “y”

A) y = 26 B) y = 12 C) y = 5 D) y = 7 E) y = 8

B) 16. Si el cuadrilátero de la siguiente figura es un paralelogramo, encuentra el valor de “y”

A) y = 26 B) y = 17 C) y = 21 D) y = 19 E) y = 32

54

7x

3y + 6

5x - 6

18

7x

9y - 3

3x

48

5x

4y - 4

3x

Procedimiento:

3x = 18

x = 𝟏𝟖

𝟑

x = 6

9y - 3 = 42

9y = 42 + 3

9y = 45

y = 𝟒𝟓

𝟗

y = 5

P á g i n a 18 | 44


A

A

A

EJERCICIO 17 17. Si ABCD es un paralelogramo, encuentra el valor de “y”

A) y = 6 B) y = 12 C) y = 8 D) y = 7 E) y = 4

A) 17. Si ABCD es un paralelogramo, encuentra el valor de “y”

A) y = 6 B) y = 4 C) y = 8 D) y = 7 E) y = 12

B) 17. Si ABCD es un paralelogramo, encuentra el valor de “y”

A) y = 6 B) y = 12 C) y = 8 D) y = 4 E) y = 7

B C

D

E

B C

D

E

B C

D

E

Procedimiento:

3x = 24

x = 𝟐𝟒

𝟑

x = 8

2x + 5y = 36

2(8) + 5y = 36

16 + 5y = 36

5y = 36 - 16

y = 𝟐𝟎

𝟓

y = 4

P á g i n a 19 | 44


A

A

A

EJERCICIO 18 18. Si el cuadrilátero de la siguiente figura es un paralelogramo, calcula la medida del ángulo B

A) 126° B) 137° C) 115° D) 142° E) 153°

A) 18. Si el cuadrilátero de la siguiente figura es un paralelogramo, calcula la medida del ángulo B

A) 106° B) 115° C) 127° D) 53° E) 153°

B) 18. Si el cuadrilátero de la siguiente figura es un paralelogramo, calcula la medida del ángulo C

A) 83° B) 74° C) 55° D) 71° E) 62°

B C

D

(4x - 50)°

(x + 28)°

B C

D

(2x - 25)°

(x + 14)°

B C

D

(9x + 10)°

(6x + 46)°

Procedimiento:

4x - 50 = x + 28

4x – x = 28 + 50

3x = 78

x = 𝟕𝟖

𝟑

x =2 6

4x – 50

4(26) – 50

104 – 50

54

Ángulo B= 180 – 54

Ángulo B = 126

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A

B

C

D

A

B

C

D

EJERCICIO 19 19. Si ABCD es un rombo, encuentra el valor de “z”

A) 18 B) 74 C) 62 D) 86 E) 54

A) 19. Si ABCD es un rombo, encuentra el valor de “z”

A) 18 B) 25 C) 10 D) 36 E) 28

B) 19. Si ABCD es un rombo, encuentra el valor de “z”

A) 105 B) 119 C) 89 D) 96 E) 74

4x + 1 x + 28

𝑧

2

4x + 22 x + 28

5𝑧

6

A

B

C

D

4x + 7 x + 28

𝑧

3

Procedimiento:

4x + 1 = x + 28

4x - x = 28 – 1

3x = 27

x = 𝟐𝟕

𝟑

x = 9

x + 28

9 + 28

37

𝒛

𝟐 = 37

z = (37)(2)

z = 74

P á g i n a 21 | 44


A B

D C

A B

D C

A B

D C

EJERCICIO 20 20. Si el cuadrilátero de la siguiente figura es un trapecio isósceles, encuentra la medida del ángulo A

A) 50° B) 120° C) 140° D) 150° E) 80°

A) 20. Si el cuadrilátero de la siguiente figura es un trapecio isósceles, encuentra la medida del ángulo A

A) 100° B) 120° C) 140° D) 150° E) 80°

B) 20. Si el cuadrilátero de la siguiente figura es un trapecio isósceles, encuentra la medida del ángulo B

A) 150° B) 140° C) 120° D) 130° E) 110°

6(x - 5)° 2(x + 5)°

8(x - 5)° 4(x + 5)°

6(x - 5)° 3(x + 5)°

Procedimiento:

6(x – 5) = 2(x + 5)

6x – 30 = 2x + 10

6x – 2x = 10 + 30

4x = 40

x = 𝟒𝟎

𝟒

x = 10

6(x – 5)

6(10 – 5)

6(5)

30

Ángulo A= 180 – 30

Ángulo A = 150

P á g i n a 22 | 44


EJERCICIO 21 21. Las bases de un trapecio miden 25 cm y 35 cm respectivamente. Si el área es de 300 cm2, determina la longitud de su altura.

A) 12 cm B) 26 cm C) 10 cm D) 40 cm E) 34 cm

A) 21. Las bases de un trapecio miden 20 cm y 30 cm respectivamente. Si el área es de 300 cm2, determina la longitud de su altura.


B) 21. Las bases de un trapecio miden 50 cm y 40 cm respectivamente. Si el área es de 1,170 cm2, determina la longitud de su altura.


Procedimiento: Área = 300 cm2

Área del trapecio:

A = 𝒉(𝑩+𝒃)

𝟐

300 = 𝒉 (𝟑𝟓+𝟐𝟓)

𝟐

(300)(2) = h (60)

𝟔𝟎𝟎

𝟔𝟎 = h

10 = h

P á g i n a 23 | 44


EJERCICIO 22

22. Encontrar el valor de “x” en el siguiente triángulo rectángulo.

A) 5.6 B) 20.17 C) 34 D) 15 E) 23.32

A) 22. Encontrar el valor de “x” en el siguiente triángulo rectángulo.

A) 50.6 B) 28.17 C) 55 D) 15 E) 66.45

B) 22. Encontrar el valor de “x” en el siguiente triángulo rectángulo.

A) 5.6 B) 27.49 C) 32 D) 29 E) 23.32

24

13

Procedimiento:

a = √𝒄𝟐 − 𝒃𝟐 a = √𝟐𝟒𝟐 − 𝟏𝟑𝟐

a = √𝟓𝟕𝟔 − 𝟏𝟔𝟗

a = √𝟒𝟎𝟕

a = 20.17 x = 20.17

x

70

22

30

12

x

x

P á g i n a 24 | 44


EJERCICIO 23 23. Encuentra la longitud del lado que falta en el siguiente triángulo rectángulo y resuelve CosA:

A) 𝐶𝑜𝑠 𝐴 =9

13

B) 𝐶𝑜𝑠 𝐴 = 9

5

C) Cos A = 5

10.29

D) Cos A = 10.29

5

E) Cos A = 9

10.29

A)

23. Encuentra la longitud del lado que falta en el siguiente triángulo rectángulo y resuelve Cos A:


13

B) 𝐶𝑜𝑠 𝐴 = 9

5

C) Cos A = 12

13

D) Cos A = 13

5

E) Cos A = 9

12

B) 23. Encuentra la longitud del lado que falta en el siguiente triángulo rectángulo y resuelve Cos A:


37

B) 𝐶𝑜𝑠 𝐴 = 35

39

C) Cos A = 37

35

D) Cos A = 12

39

E) Cos A = 12

35

c

a = 9

Procedimiento:

c = √𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 c = √𝟗𝟐 + 𝟓𝟐

c = √𝟖𝟏 + 𝟐𝟓

c = √𝟏𝟎𝟔

c = 10.29

b = 5 A

B

C

Cos A = 𝒄.𝒂.

𝒉𝒊𝒑.

Cos A = 𝟓

𝟏𝟎.𝟐𝟗

c

a = 5

b = 12 A C

c

a = 12

C

B

B

P á g i n a 25 | 44


EJERCICIO 24 24. Para el siguiente triángulo rectángulo, encuentra el valor del ángulo B:

A) 45

B) 35

C) 25

D) 15

E) 55

A) 24. Para el siguiente triángulo rectángulo, encuentra el valor del ángulo B:

A) 52

B) 30

C) 22

D) 15

E) 55

B) 24. Para el siguiente triángulo rectángulo, encuentra el valor del ángulo B:

A) 45

B) 32

C) 25

D) 10

E) 67

b = 35 A

c

a

b

A

B

C

Procedimiento:

Ángulo B = 180° - Ángulo C – Ángulo A

Ángulo B = 180° - 90° - 55°

Ángulo B = 35°

55°

b

b

B

C

B

C

c

a

A 38°

c

a

A 23°

P á g i n a 26 | 44


EJERCICIO 25 25. Para el siguiente triángulo rectángulo, encuentra el valor del lado a:

A) 70.14

B) 34.41

C) 89.03

D) 49.15

E) 55.69

A) 25. Para el siguiente triángulo rectángulo, encuentra el valor del lado a:

A) 54.17

B) 34.41

C) 89.03

D) 49.15

E) 55.69

B) 25. Para el siguiente triángulo rectángulo, encuentra el valor del lado a:

A) 54.17

B) 34.41

C) 89.03

D) 49.15

E) 22.65

c = 60

a =?

b = ?

A

B

C

Procedimiento:

Sen A = 𝒄.𝒐.

𝒉𝒊𝒑.

Sen 55 = 𝒂

𝟔𝟎

(Sen 55)(60) = a

49.14 = a

55°

c = 88

a =?

b = ?

A

B

C

38°

c = 25

a =?

b = ?

A

B

C

65°

P á g i n a 27 | 44


EJERCICIO 26

26. Para el siguiente triángulo rectángulo, encuentra el valor del lado b:

A) 70.14

B) 34.41

C) 89.03

D) 49.15

E) 55.69

A) 26. Para el siguiente triángulo rectángulo, encuentra el valor del lado b:

A) 54.17

B) 35.41

C) 69.34

D) 49.15

E) 15.69

B) 26. Para el siguiente triángulo rectángulo, encuentra el valor del lado b:

A) 10.56

B) 42.11

C) 89.03

D) 49.15

E) 22.65

c = 60

a =?

b = ?

A

B

C

Procedimiento:

Cos A = 𝒄.𝒂.

𝒉𝒊𝒑.

Cos 55 = 𝒃

𝟔𝟎

(Cos 55)(60) = b

34.41 = b

55°

c = 88

a =?

b = ?

A

B

C

38°

c = 25

a =?

A

B

C

65°

b = ?

P á g i n a 28 | 44


EJERCICIO 27

27. Hallar el valor de la siguiente función trigonométrica: Tan 52°.

F) 1.3546 G) 1.1986 H) 1.4007 I) 1.2799 J) 1.5478

A) 27. Hallar el valor de la siguiente función trigonométrica: Cos 68°.

A) 0.3546 B) 0.3746 C) 0.3526 D) 0.3923 E) 0.3651

B) 27. Hallar el valor de la siguiente función trigonométrica: Sen 46°.

A) 0.8217 B) 0.7592 C) 0.7193 D) 0.6986 E) 0.5478

Procedimiento:

En la calculadora científica debes realizar

lo siguiente:

52 Tan =

P á g i n a 29 | 44


12 mts 8 mts

Funciones Trigonométricas Fundamentales

Sen ɵ = 𝒄.𝒐.

𝒉𝒊𝒑. Cos ɵ =

𝒄.𝒂.

𝒉𝒊𝒑. Tan ɵ =

𝒄.𝒐.

𝒄.𝒂.

EJERCICIO 28

28. Un obrero tiene una escalera de 12 metros de largo, la cual está apoyada sobre una pared de 8 metros

de altura. En base a los datos dados, ¿Cuál es el ángulo que forma la escalera con el suelo?

A) 41.81° B) 12.36° C) 71.32° D) 11.97° E) 21.34°

A) 28. Un obrero tiene una escalera de 20 metros de largo, la cual está apoyada sobre una pared de 5 metros

de altura. En base a los datos dados, ¿Cuál es el ángulo que forma la escalera con el suelo?

A) 41.40° B) 31.26° C) 50.48° D) 14.47° E) 12.32°

B) 28. Un obrero tiene una escalera de 15 metros de largo, la cual está apoyada sobre una pared de 10

metros de altura. En base a los datos dados, ¿Cuál es el ángulo que forma la escalera con el suelo?

A) 41.81° B) 31.26° C) 50.48° D) 14.47° E) 12.32°

Procedimiento:

Sen ɵ = 𝒄.𝒐.

𝒉𝒊𝒑.

Sen ɵ = 𝟖

𝟏𝟐

ɵ = sin -1 ( 𝟖

𝟏𝟐 )

ɵ = 41.81°

Shift

Sin

P á g i n a 30 | 44


EJERCICIO 29

29. De lo alto de un faro que emerge 40 mts sobre el mar, el ángulo de elevación de un bote es de 12°. ¿A qué distancia horizontal del faro se encuentra el barco?

A) 140° B) 260.3° C) 122.4° D) 57.18° E) 188.18°

A) 29. De lo alto de un faro que emerge 50 mts sobre el mar, el ángulo de elevación de un bote es de 20°. ¿A qué distancia horizontal del faro se encuentra el barco?

A) 140° B) 260.3° C) 137.37° D) 57.18° E) 118.18°

B) 29. De lo alto de un faro que emerge 62 mts sobre el mar, el ángulo de elevación de un bote es de 30°. ¿A qué distancia horizontal del faro se encuentra el barco?

A) 107.38° B) 260.3° C) 122.4° D) 57.18° E) 188.18°

Procedimiento:

Tan Q = 𝒄.𝒐.

𝒄.𝒂.

Tan 12 = 𝟒𝟎

𝒙

(Tan 12) (x) = 40

x = 𝟒𝟎

(𝑻𝒂𝒏 𝟏𝟐)

x = 188.18

P á g i n a 31 | 44


A) 12

5

B) 5

12

C) −12

5

D) 5

−12

EJERCICIO 30 30. Para el ángulo θ positivo en posición normal y cuyo lado terminal pasa por el punto (5, - 12) determina el valor de la función trigonométrica Tangente de θ. PROCEDIMIENTO: Calcule la distancia radian usando el teorema de Pitágoras

𝑅 = √𝑥2 + 𝑦2

𝑅 = √52 + (−12)2 𝑅 = 13

Por definición Tanθ=𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒=

𝑦

𝑥=

−12

5

RESPUESTA:

𝑇𝑎𝑛 𝜃 =−12

5

A) 30. Para el ángulo θ positivo en posición normal y cuyo lado terminal pasa por el punto (-24, 70) determina el valor de la función trigonométrica Seno de θ.

A) 12

37

B) 12

33

C) 12

35

D) 35

37

B) 30. Para el ángulo θ positivo en posición normal y cuyo lado terminal pasa por el punto (-15, -8) determina el valor de la función trigonométrica Coseno de θ.

A) 15

19

B) −17

15

C) −15

17

D) 15

17

5

-12

P á g i n a 32 | 44


A) 4

3

B) 3

5

C) 4

5

D) 3

4

EJERCICIO 31

31. Si tan 𝜃 =3

4 para un ángulo con lado terminal en el cuadrante I, determina la función cos 𝜃 para este

mismo ángulo. PROCEDIMIENTO:

Puesto que Tan θ = 𝑦

𝑥, entonces y=3 y x=4; luego

utilizando el teorema de Pitágoras para determinar la distancia radial:

𝑅 = √𝑥2 + 𝑦2

𝑅 = √42 + 32 𝑅 = 5

La función trigonométrica cos 𝜃 =𝑥

𝑅=

4

5

A)

31. Si sec 𝜃 =137

88 para un ángulo con lado terminal en el cuadrante I, determina la función sen 𝜃 para

este mismo ángulo.

A) sen 𝜃 =88

137

B) sen 𝜃 =105

137

C) sen 𝜃 =137

102

D) sen 𝜃 =137

105

B)

31. Si csc 𝜃 =101

−20 para un ángulo con lado terminal en el cuadrante III, determina la función cos 𝜃 para

este mismo ángulo.

A) 𝑐𝑜𝑠 =20

99

B) cos 𝜃 =99

101

C) cos 𝜃 =99

20

D) cos 𝜃 =101

99

4

3

P á g i n a 33 | 44


A) 36°

B) 38°

C) 54°

D) 52°

EJERCICIO 32 32. Determina el ángulo de referencia del ángulo θ=218°. PROCEDIMIENTO: Según el cuadrante donde se localiza el lado terminal de un ángulo en posición normal, la medida del ángulo de referencia está dada por:

Cuadrante I Cuadrante II Cuadrante III Cuadrante IV

θr=θ θr= 180°- θ θr= θ-180° θr=360°- θ

Como θ=218°, se encuentra en el Cuadrante III y: θr= θ-180° θr= 218°-180° θr= 38° RESPUESTA: θr= 38° A) 32. Determina el ángulo de referencia del ángulo θ=312°.

A) 52° B) 48° C) 46° D) 44°

B) 32. Determina el ángulo de referencia del ángulo θ=144°.

A) 54° B) 35° C) 34° D) 36°

P á g i n a 34 | 44


A) 300°

B) 230°

C) 255°

D) 240°

EJERCICIO 33 33. Dado sin 𝜃 = −0.8660, halla la medida del ángulo 𝜃 si su lado terminal está en el tercer cuadrante. PROCEDIMIENTO: Para encontrar el ángulo de referencia encontramos el ángulo relacionado con sin 𝜃 = 0.8660 ∠ 𝜃 = sin−1 0.8660= 60° Así el ángulo de referencia es θr=60° Para el tercer cuadrante: θ=180°+ θr = 180°+ 60°=240° A) 33. Dado cos 𝜃 = −0.9397, halla la medida del ángulo 𝜃 si su lado terminal está en el segundo cuadrante.

A) 20° B) 160° C) 200° D) 150°

B) 33. Dado tan 𝜃 = −2.1445, halla la medida del ángulo 𝜃 si su lado terminal está en el cuarto cuadrante.

A) 345° B) 295° C) 325° D) 305°

P á g i n a 35 | 44


EJERCICIO 34 34. Halla la longitud del lado 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ del triángulo oblicuángulo de la figura siguiente:

PROCEDIMIENTO:

El lado 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ =c y de acuerdo con la ley de cosenos:

𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 cos 𝐶 𝑐2 = 14.62 + 202 − 2(14.6)(20) cos 120°

𝑐2 = 905.16

𝑐 = √905.16 𝑐 = 30.08

𝑐~30.1

A)

34. Halla la longitud del lado 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ del triángulo oblicuángulo de la figura siguiente:

A) 76.4 B) 69.2 C) 47.8 D) 50.9

B)

34. Determina la longitud del lado 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ del triángulo oblicuángulo de la figura siguiente:

A) 80.2 B) 60.4 C) 70.1 D) 74.6

120

𝑐 = 𝑎 = 14.6

B

C 𝑏 = 20 A

100°

𝑏 = 𝑐 = 40

A

B 𝑎 = 50 C

28°

𝑎 =

B

C 𝑏 = 46 A

A) 35.4 B) 30.1

C) 28.6 D) 32.5

P á g i n a 36 | 44


A) ∠𝐴 = 25.6° B) ∠𝐴 = 40.1° C) ∠𝐴 = 32.7° D) ∠𝐴 = 35.8°

EJERCICIO 35 35. Determina la medida del ángulo A del triángulo de la figura siguiente: PROCEDIMIENTO:

De acuerdo con la ley de cosenos:

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 cos 𝐴 𝑎2 + 2𝑏𝑐 cos 𝐴 = 𝑏2 + 𝑐2 2𝑏𝑐 cos 𝐴 = 𝑏2 + 𝑐 − 𝑎2

cos 𝐴 =𝑏2 + 𝑐2 − 𝑎2

2𝑏𝑐

cos 𝐴 =352 + 742 − 502

2(35)(74)

cos 𝐴 = 0.8110 ∠𝐴 = cos−1( 0.8110) ∠𝐴 = 35.8°

A) 35. Determina la medida del ángulo B del triángulo de la figura siguiente:

A) ∠𝐵 = 103.6° B) ∠𝐵 = 110° C) ∠𝐵 = 97.2° D) ∠𝐵 = 112.8°

B) 35. Determina la medida del ángulo C del triángulo de la figura siguiente:

A) ∠𝐶 = 115.8° B) ∠𝐶 = 112.2° C) ∠𝐶 = 100.5° D) ∠𝐶 = 124.6°

𝑎 = 50

B

C 𝑏 = 35 A

𝑎 = 8

C

B 𝑐 = 8 A

13

B

C 17 A

P á g i n a 37 | 44


EJERCICIO 36

36. Encuentra la longitud del lado 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ del triángulo de la figura siguiente: PROCEDIMIENTO

Como 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 𝑐 y de acuerdo con la ley de senos:

𝑐

sin 𝐶=

𝑎

sin 𝐴

𝑐

sin 75°=

40

sin 40

𝑐 =40 sin 75°

sin 40

𝑐 = 60.1

A) 36. Encuentra la longitud del lado 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ del triángulo de la figura siguiente:

A) 50 B) 56 C) 45 D) 46

B) 36. Encuentra la longitud del lado 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ del triángulo de la figura siguiente:

A) 47.5 B) 34.2 C) 35.8 D) 39.12

75°

𝑎 = 40

B

C 𝑏 = A

40°

129°

𝑎 = 40

B

C 𝑏 = A

22°

130°

𝑎 =

B

C 𝑏 = A

22°

A) 69.4

B) 65.2

C) 60.1

D) 58

P á g i n a 38 | 44


A) ∠𝐴 = 52.3°

B) ∠𝐴 = 44.7°

C) ∠𝐴 = 40.1°

D) ∠𝐴 = 39.6°

EJERCICIO 37 37. Halla la medida del ángulo B del triángulo de la figura siguiente: PROCEDIMIENTO: De acuerdo con la ley de senos: sin 𝐵

𝑏=

sin 𝐶

𝑐

sin 𝐵 =𝑏 sin 𝐶

𝑐

sin 𝐵 =40 sin 80°

56

sin 𝐵 = 0.7034 ∠𝐵 = sin−1(0.7034) ∠𝐵 = 44.7°

A) 37. Halla la medida del ángulo A del triángulo de la figura siguiente:

A) B= 26.40° B) B= 18.80° C) B= 20.49° D) B= 23.10° E) B= 34.12°

B) 37. Halla la longitud del lado 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ del triángulo de la siguiente figura:

A) 80.1 B) 73.7 C) 62 D) 69.6

80°

𝑎 =

B

C 𝑏 = 40

A

𝑎 = 35

B

C 𝑏 = A

150°

𝑎 =

B

C 𝑏 = 50 A

45°

P á g i n a 39 | 44


EJERCICIO 38 38. Para determinar la distancia entre dos cabañas que se encuentran en las orillas de un lago, un topógrafo se situó en el punto R. Luego caminó a cada cabaña y midió 15.4 metros (m) y 22.6 m, respectivamente (véase la figura). Por último, midió el ángulo PQR, que resultó ser 60°. ¿Cuál es la distancia entre las cabañas? PROCEDIMIENTO De acuerdo con la ley de cosenos: 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 cos 𝐴 Para la nomenclatura usada en este modelo: 𝑑2 = 𝑞2 + 𝑝2 − 2𝑞𝑝 cos 𝑅 𝑑2 = 15.42 + 22.62 − 2(15.4)(22.6) cos 60° 𝑑2 = 399.88

𝑑 = √399.88 𝑑 = 19.99 𝑑 = 20 m A) 38. Un avión vuela 240 kilómetros (km) de la ciudad A a la ciudad B; luego cambia su rumbo 40° y se dirige a la ciudad C, ubicada a 162 km de B. ¿Cuál es la distancia de la ciudad A a C?

A) d = 378.7 km B) d = 420.5 km C) d = 350 km D) d = 396.8 km

B) 38. Se desea construir un puente colgante que debe atravesar un río desde el punto A hasta el punto C, como se muestra en la figura siguiente. Un topógrafo obtiene estas mediciones: AB=600 metros (m); ∠𝐴𝐵𝐶 = 75° Y ∠𝐵𝐴𝐶 = 45°. Calcula la distancia del punto B al punto C.

A) 735 m B) 500 m C) 0.5 m D) 0.06 m

22.6 m

Q

15.4 m

R

P d

60°

d

A B

C

40°

162 km

240 km

C B

A

A) 18 m B) 20 m

C) 24 m D) 26 m

P á g i n a 40 | 44


EJERCICIO 39 39. Desde dos torres vigía A y B, separadas 12 kilómetros (km) entre sí, se localiza un incendio en el punto C como se muestra en la figura siguiente. La estación B informa que el ángulo ∠𝐴𝐵𝐶 mide 65°, mientras que la estación A notifica que la medida del ángulo ∠𝐵𝐴𝐶 es de 75°, ¿cuán lejos está el fuego de la torre A? PROCEDIMIENTO El ángulo faltante “C” puede ser calculado acorde con la suma de ángulos interiores de un triángulo: ∠𝐴 + ∠𝐵 + ∠𝐶 = 180° ∠𝐶 = 180° − ∠𝐴 − ∠𝐵 ∠𝐶 = 180° − 75° − 65° ∠𝐶 = 40°

La distancia del fuego a la torre A se representa por 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ . Llamaremos a la distancia 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ como “b”. De acuerdo con la ley de senos:

𝑏

sin 𝐵=

𝑐

sin 𝐶

𝑏 =𝑐 sin 𝐵

sin 𝐶=

(12𝑘𝑚) (sin 65°)

sin 40°= 16.92𝑘𝑚

A) 39. Para determinar la distancia a través de un gran cañón, en una de las orillas se utiliza una línea de referencia AB de 800 metros (m) de longitud como se muestra en la figura. Se obtuvieron los resultados siguientes: 𝑚∠𝐵𝐴𝐶=60°; 𝑚∠𝐴𝐵𝐶=100°. ¿Cuál es la distancia del punto A al punto C?

A) 2303.5 m B) 2077.8 m C) 2108 m D) 2025.7 m

B) 39. Determina la altura (h) de la montaña de la figura siguiente

A) h=546.4 m B) h=540.1 m C) h=558.7 m D) h=562.9 m

B

A

C

A

C

B

75°

65°

A

B C

30° 45°

400 m

h

A) 20.4 km B) 19.8 km C) 16.9 km

D) 15.6 km

P á g i n a 41 | 44


EJERCICIO 40 40. Calcule el área del siguiente triángulo PROCEDIMIENTO

De acuerdo con 𝐴 =𝑎𝑏 sin 𝐶

2

𝐴 =(14.6)(20)( sin 120°)

2

𝐴 = 126.44 A) 40. Calcule el área del siguiente triángulo

A) 625.68 B) 300.0 C) 849.43 D) 598.1

B) 40. Calcule el área del siguiente triángulo

A) 637.01 B) 159.25 C) 318.51 D) 338.87

𝑎 = 14.6

B

C 𝑏 = 20 A

120°

𝑎

B

C 𝑏 = 20 A

130° 22°

𝑎 = 34

B

C 𝑏 = 28 A

138°

A) 64.7 B) 126.44

C) 146 D) 173.28

P á g i n a 42 | 44


1 C 1. A) E 1. B) B

2 D 2. A) A 2. B) C

3 A 3. A) C 3. B) E

4 B 4. A) D 4. B) A

5 A 5.A) C 5. B) E

6 B 6. A) D 6. B) A

7 C 7. A) E 7. B) B

8 C 8. A) C 8. B) E

9 A 9. A) E 9. B) D

10 E 10. A) B 10. B) D

11 B 11. A) D 11. B) A

12 A 12. A) C 12. B) E

13 E 13. A) B 13. B) D

14 C 14. A) E 14. B) B

15 C 15.A) E 15. B) B

16 D 16. A) A 16. B) C

17 E 17. A) B 17. B) D

18 A 18. A) C 18. B) E

19 B 19. A) D 19. B) A

20 D 20. A) A 20. B) C

P á g i n a 43 | 44


21 C 21. A) A 21. B) B

22 B 22. A) E 22. B) B

23 C 23. A) C 23. B) A

24 B 24. A) A 24. B) E

25 D 25.A) A 25. B) E

26 B 26. A) C 26. B) A

27 D 27. A) B 27. B) C

28 A 28. A) D 28. B) A

29 E 29. A) C 29. B) A

30 C 30. A) D 30. B) C

31 C 31. A) B 31. B) B

32 B 32. A) B 32. B) D

33 D 33. A) B 33. B) B

34 B 34. A) B 34. B) D

35 D 35.A) C 35. B) B

36 C 36. A) A 36. B) D

37 B 37. A) C 37. B) B

38 B 38. A) A 38. B) A

39 C 39. A) A 39. B) A

40 B 40. A) B 40. B) C

P á g i n a 44 | 44


Nombre del Alumno: Grupo: Matrícula: N° Lista: Docente:

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