Nociones de Trigonometría Esferica

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    MARTN JOSEMARA VUELTA ROJAS

    NOCIONES DE TRIGONOMETRA ESFRICA

    Seminario Permanente de Astronoma y Ciencias Espaciales

    Facultad de Ciencias Fsicas

    Universidad Nacional Mayor de San Marcos

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    Martn Josemara Vuelta Rojas 1

    1. Introduccio nLa Trigonometra aparece de forma incipiente, como auxiliar de la Geometra,

    en los primeros albores de la Matemtica. Los egipcios y los babilonios utilizan ensus clculos unos conceptos que pueden considerarse precursores de las razonestrigonomtricas. Sin embargo, el estudio sistemtico de las relaciones entre losarcos de una circunferencia y las longitudes de las cuerdas que subtienden se llevaa cabo por primera vez entre los griegos, uno de los cuales, Hiparco de Nicea (180-125 a.C.), al que se le atribuye un tratado sobre el clculo de las cuerdas en uncrculo, suele considerarse como el padre de la Trigonometra.

    Tambin la Trigonometra esfrica tiene sus inicios en la antigedad clsica.Menelao de Alejandra (100 d.C.) fue el primero en definir un tringulo esfrico en

    su tratado Sphoerica, y desarroll en l un gran nmero de teoremas de la trigo-nometra esfrica basados en el clebre teorema de Menelao.

    Pero el gran maestro en cuestiones trigonomtricas fue sin duda Claudio To-lomeo (85-165 d.C.) cuya ingente obra de trece libros -Almagesto- puede conside-rarse el tratado de Astronoma por excelencia hasta la poca de Coprnico y Kepler.

    Luego del oscurantismo, es a partir del siglo XII que llega la trigonometra alos pases occidentales de manos de los matemticos rabes, que transmiten lascontribuciones griegas e indias en esta materia. En todas ellas, los clculos trigo-nomtricos aparecen orientados de forma casi exclusiva a las aplicaciones astro-nmicas o nuticas; pero el matemtico rabe Nasir Al-Din (1201- 1274) ya preco-niza la consideracin de la Trigonometra como una rama particular de las Mate-mticas dotada de entidad propia, al publicar un primer tratado sobre trigonome-tra plana y esfrica independiente de la Astronoma.

    Es en pleno siglo XV que se produce un decisivo avance en la trigonometradebido a las obras de Johan Mller (1436-1476), ms conocido como Regiomon-tano, que realiza una exposicin sistemtica de los distintos mtodos de resolucinde tringulos planos y esfricos.

    A principios del siglo XVII, el matemtico Jhon Napier inventa los logaritmosy gracias a esto los clculos trigonomtricos recibieron un gran empuje. Ya a me-diados del mismo siglo, Isaac Newton inventa el clculo diferencial e integral. Unode los fundamentos del trabajo de Newton fue la representacin de muchas fun-ciones matemticas utilizando series infinitas de potencias. Newton encontr laserie para el y series similares para el y la . As, con la invencin delclculo, las funciones trigonomtricas fueron incorporadas al anlisis, donde toda-va hoy desempean un importante papel tanto en las matemticas puras como enlas aplicadas.

    En el siglo XVIII, el matemtico Leonhard Euler demostr que las propieda-

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    des de la trigonometra eran producto de la aritmtica de los nmeros complejos yadems defini las funciones trigonomtricas utilizando expresiones con exponen-ciales de nmeros complejos.

    Con anterioridad a 1971 la enseanza de la trigonometra esfrica, al lado de

    la trigonometra plana, formaba parte de los planes de estudios preuniversitarios.Sin embargo, desde entonces solamente la han cursado quienes han desarrolladoestudios relativos a la Astronoma, a la Geodesia o a la Navegacin. Pese a ello, apartir de conocimientos elementales de Geometra Euclidiana y de las nocionesbsicas de la Trigonometra plana se pueden obtener fcilmente las correspondien-tes nociones de la esfrica.

    Figura 1.Angulo diedro. La media del ngulo diedro es .Considere que

    2. Preliminares2.1. Consideraciones geomtricas

    La trigonometra esfrica suele considerarse parte de la geometra esfricaque, de modo anlogo a la trigonometra plana, estudia los polgonos que se for-man sobre la superficie de la esfera, en especial, los tringulos. Como tal podemospartir de unos cuantos conceptos geomtricos y trigonomtricos para poder cons-

    truir la teora bsica de la trigonometra esfrica asociada a los tringulos esfricos.Empecemos recordando algunas nociones de geometra del espacio

    Definicin 1.Un ngulo diedro es cada una de las dos partes del espaciodelimitadas por dos semiplanos que parten de recta comn denominadaarista.

    Definicin 2.El valor de un ngulo diedro o el ngulo correspondiente aldiedro es el de menor amplitud posible que conforman dos semirrectaspertenecientes a cada semiplano y contenidas en un plano perpendicular

    a la arista del diedro.

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    Una definicin importante que deriva de la anterior es la de ngulo poliedro,que ms adelante nos proporcionar una definicin de polgono esfrico.

    Definicin 3. Un ngulo poliedro es la regin del espacio limitada portres o ms semirrectas no coplanarias y con un origen comn, llamado

    vrtice.

    Cada semirrecta es una arista del ngulo poliedro, y dos de estas aristas con-secutivas determinan un plano llamado cara. Dos caras consecutivas forman unngulo diedro. El ngulo poliedro ms sencillo es un ngulo triedro, formado portres caras. Cuando el ngulo poliedro est todo l en el mismo semiespacio respec-to a cada una de sus caras, se dice que es convexo, siendo cncavo en caso contra-rio.

    Figura 2.Angulo poliedro.

    El caso de inters para nosotros, por razones que se pondrn de manifiestoms adelante, es el del ngulo triedro que segn la Definicin 3 es el ngulo polie-dro limitado por tres semirrectas no coplanarias.

    Figura 3.Angulo triedro.

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    Los ngulos y se denominan caras del triedro, aunque ensentido estricto las caras son los planos determinados por los puntos y. Por otro lado los ngulos diedros opuestos a las caras son aquellos formadospor los otros dos planos distintos de la cara, as p. ej. el diedro opuesto a la cara

    es el formado por las caras y . Las medidas correspondientes a lascaras se representan con letras latinas minsculas, as y , y la medida de los diedros opuestos de representa por las respectivasletras maysculas. Los convenios de notacin y nomenclatura recin establecidosnos permitirn expresarnos de forma clara y sin ambigedades. As pues veamosalgunas de las propiedades del ngulo triedro que ha de sernos tiles en lo sucesi-vo.

    Propiedades.

    1. La medida de las caras y de sus diedros opuestos siempre son menores que

    2. La medida de una cara siempre es mayor que las diferencia de las dos res-tantes y menor que la suma de las mismas.

    3. A mayor medida ngulo diedro le corresponde mayor medida de la cara.

    4. La suma de las caras es menor que

    5. La suma de los diedros es mayor que y menor que

    2.2. Consideraciones trigonomtricas

    A la par de las consideraciones geomtricas tambin es de gran valor tener encuenta el siguiente formulario bsico de trigonometra pues le evitara andar co-

    rriendo por el libro de consultas trigonomtricas. En lo sucesivo considere y

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    menores de aunque algunas frmulas son de carcter general.Relaciones entre ngulos complementarios.

    a.

    b. Relaciones entre ngulos complementarios.

    a. b. Relaciones entre ngulos opuestos.

    a.

    b. Razones trigonomtricas de ngulos compuestos.

    a. b. Razones trigonomtricas de ngulo doble.

    a. b. Razones trigonomtricas de ngulo mitad.

    a. b.

    Transformaciones de suma y diferencia a producto.

    a. b. c. d.

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    Es recomendable para el lector manipular las formulas aqu dadas para obte-ner otras identidades para las dems razones trigonomtricas.

    Adems de estas identidades es tambin de inters que el lector tenga pre-sente los resultados bsicos de resolucin de tringulos planos. Estos resultados se

    agrupan en dos conjuntos bsicos de frmulas: el grupo de cosenos y el grupo desenos. Como referencia para la lectura de estas frmulas tome la Figura 4.

    Grupo de los cosenos

    a. b. c.

    Grupo de los cosenos

    a. Teniendo en cuenta las consideraciones geomtricas y trigonomtricas se es-

    pera que el lector est listo para el posterior desarrollo del tema: TrigonometraEsfrica.

    Figura 4: Tringulo plano.

    3. Geometra de la esferaEl anlisis de las figuras que se representan sobre la superficie esfrica lo lle-

    va a cabo la Geometra Esfrica. Los conceptos fundamentales de esta Geometrason los siguientes: circunferencias mximas, circunferencias menores, distanciaesfrica, ngulo esfrico, etc. Mediante estos conceptos se definen el tringulo esf-

    rico y su tringulo polar y adems se deducen sus propiedades fundamentales.

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    3.1. Elementos geomtricos de la esferaPara empezar definamos lo que ha de ser la base de nuestro objeto de estu-

    dio:

    Definicin 4.Dado un punto C en el espacio euclideo tridimensional, sedenomina esfera con centro en C y de radio R al lugar geomtrico quecontiene a todos ubicados a una distancia menor o igual a R de C1.

    Si queremos una definicinsimblica de esfera bastara reescribir la definicin an-terior como sigue

    { }Para quienes gustan de las representaciones analticas podramos escribir

    ( ) donde y son las coordenadas del centro de la esfera respecto de algnreferencial cartesiano definido sobre .

    De la esfera solo estamos interesados en su frontera, es decir, en la superficieesfrica que se define de la siguiente manera

    Definicin 5.Dado un punto C en el espacio euclideo tridimensional

    , se

    denomina superficie esfrica con centro en C y de radio R al lugar geo-mtrico que contiene a todos ubicados a una distancia R de C.Las expresiones tipo 1 o 2 para la superficie esfrica se obtiene sin ms que

    cambiar la desigualdad por una igualdad.

    Algunos elementos de inters, para nosotros, asociados a la superficie esfri-ca son los siguientes

    Definicin 6.Se denomina circunferencia mxima a la interseccin de lasuperficie esfrica con el plano secante que contiene al centro de la misma.

    Definicin 7. Se denomina circunferencia menor a la interseccin de lasuperficie esfrica con cualquier plano secante que no pase por el centro

    de la misma.

    1 Para objetivos del presente artculo, En esta definicin debemos tener en cuenta que la distanciaviene definida mediante el producto escalar cannico en el espacio vectorial inducido por lastraslaciones en , es decir que la distancia entre dos puntos y pertenecientes a viene dadapor

    donde y son las coordenadas del vector en alguna base ortonormal de .

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    Definicin 8. Se denominan polos de una circunferencia mxima a losextremos del dimetro perpendicular al plano que contiene a dicha cir-cunferencia mxima.

    Figura 5. Elementos geomtricos de la esfera

    3.2. ngulos en la esferaAhora que tenemos nocin de los elementos bsicos en la geometra de la es-

    fera lo siguiente es saber cmo vamos a medir los ngulos en la esfera y para ello

    utilizaremos algunos de los elementos definidos en las preliminares.

    Definicin 9.El ngulo esfrico entre circunferencias mximas es ngulodiedro de menor amplitud formado por los planos que las contienen.

    Figura 6. Angulo esfrico

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    En la Figura 6 tenemos una ilustracin del ngulo esfrico de medida de-terminado por los planos contenedores de los arcos de circunferencia mxima y.Un concepto importante asociado al de anglo esfrico es el de distancia esfrica

    ente dos puntos.

    Definicin 10.La distancia esfrica entre dos puntos situados sobre unasuperficie esfrica es la longitud menor del arco de circunferencia mxi-ma que contiene a dichos puntos.

    Figura 7. Distancia esfrica entre dos puntos situados sobre una superficie esfrica

    El clculo de la distancia esfrica (la lnea (1) en la Figura 7) como un valornumrico se establece de la medicin de arcos en el plano. As, la longitud de esf-rica entre dos puntos viene determinada por

    Donde

    es la medida del diedro formado por los planos determinados por

    los puntos y con el dimetro perpendicular a la circunferencia mxima que loscontiene.3.3. Tringulo esfrico

    Sabiendo calcular distancias y medir ngulos sobre la esfera podemos ahoraestudiar las propiedades de los tringulos sobre la esfera.

    Definicin 11. Recibe el nombre de tringulo esfrico la interseccin deun triedro y una esfera centrada en el vrtice del triedro.

    Algunas veces suele definirse el tringulo esfrico como una regin esfrica

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    limitada por tres arcos de circunferencia mxima que se cortan dos a dos, sin em-bargo cualquier intento de hacer trigonometra morira si consideramos as mismocomo tringulo a complemento, respecto de la esfera, de la regin limitada por eltriedro.

    Figura 8. Triedro O-ABC y tringulo esfrico ABC.

    La definicin dada es particularmente conveniente pues nos permite derivaralgunas propiedades del tringulo esfrico a partir de las vistas para el triedro que

    le da origen. Consideremos pues los siguientes convenios antes de ver las propie-dades.

    Figura 9. Triedro O-ABC y tringulo esfrico ABC dentro de la esfera.

    Los lados del triedro y corresponden a los arcos y del trin-

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    gulo y se denominan lados del tringulo esfrico ABC. Ntese que se identifica ellado del tringulo esfrico con la medida angular correspondiente a la cara deltriedro a la cual pertenece. Los ngulos diedros del triedro se identifican con losngulos del tringulo esfrico.

    De la analoga expuesta tenemos entonces

    Propiedades.

    En un tringulo esfrico ABC:

    1. La medida de las caras y de sus ngulos opuestos siempre son meno-res que

    2. La medida de un lado siempre es mayor que las diferencia de las dosrestantes y menor que la suma de las mismas.

    3. A mayor medida ngulo le corresponde mayor lado.

    4. La suma de los lados es menor que

    5. La suma de los ngulos es mayor que y menor que Es interesante notar que la determinacin de un tringulo esfrico permite

    descomponer la superficie esfrica en un total de 8 tringulos esfricos incluido elque definimos intencionalmente. Consideremos el tringulo esfrico ABC de la Fi-gura 9 y dibujemos los puntos diametralmente opuestos a sus vrtices (antpodas)entonces tenemos 7 tringulos ms que son segn vemos en la Figura 10.

    Es un ejercicio interesante expresar los ngulos y los lados en de estos trin-

    gulos en funcin de los lados y ngulos del tringulo.

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    Figura 10. Descomposicin de la superficie esfrica en tringulos esfricos.

    3.4. Tringulo polarAdems de estos tringulos es tambin importante en la demostracin y

    comprensin de algunas propiedades, que veremos ms adelante, el denominadotringulo polar definido como

    Definicin 12.Dado un tringulo esfrico, se define su tringulo po-lar y se denota por tos

    , al que se obtiene uniendo por arcos de cir-

    cunferencia mxima los polos correspondientes a cada uno de los lados,escogiendo en cada caso aquel que se encuentre en el mismo hemisferioque el tringulo esfrico.

    Figura 11. Tringulo esfrico y su tringulo polar correspondiente

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    La definicin anterior puede ser un poco oscura, pero bien entendida permiteconstruir el tringulo polar asociado al tringulo de manera univoca. La cons-truccin del tringulo polar (Figura 11) vendra a ser como sigue: El vrtice esel polo, de la circunferencia que contiene al lado , ms cercano al vrtice. El vr-tice es el polo, de la circunferencia que contiene al lado , ms cercano al vrtice. Finalmente vrtice es el polo, de la circunferencia que contiene al lado , mscercano al vrtice .

    Es curiosos notar que, dada la definicin de triangulo polar, si el punto esel polo de la circunferencia que contiene al lado y es el polo, de la circunferen-cia que contiene al lado entonces el vrtice comn de y , es el polo de la cir-cunferencia mxima que contiene a . Haciendo la misma observacin sobre losvrtices y llegamos a una importante conclusin enunciada en el siguiente teo-rema.

    Teorema 1. Todo tringulo esfrico es el polar de su polar correspondiente.

    Es comn encontrar algunos textos que definen al tringulo polar en funcinde las relaciones de sus ngulos y sus lados con los del tringulo, relacionesque bajo ciertas condiciones son satisfechas tambin por el tringulo formado porlos puntos , y diametralmente opuestos a los puntos, y , vrticesdel tringulo polar asociado al tringulo.

    Estas relaciones de las que hablamos son las siguientes.

    Propiedades.

    En un tringulo esfrico ABC, sus lados y ngulos cumplen las siguientes

    relaciones con los lados y ngulos de su polar:

    1. Los lados del tringulo ABC tiene por suplemento a los ngulos hom-logos de su polar.

    2. Los ngulos del tringulo ABC tiene por suplemento a los lados hom-

    logos de su polar

    Las propiedades resultan evidentes a partir de la forma en la cual se constru-

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    ye el polar del tringuloABC, veamos entonces una breve demostracin.

    Demostracin de 1.

    En el tringulo esfrico ABC (Figura 12) prolonguemos el lado c hasta

    que corte a los lados y en los puntos y respectivamente. Resul-ta pues que el arco tiene la misma medida que el ngulo. Consi-derando esto se tenemos la igualdad . Del Teorema 1sabemos que es el polo de la circunferencia mxima que contiene allado y que cumple la misma relacin respecto al lado , tenemosentonces que con lo cual expresamos la igualdad como de conde se deduce autom-ticamente la primera igualdad de 1. Las demostraciones para los otros ngulos son anlogas.

    Figura 12.

    Demostracin de 2.

    En el tringulo esfrico ABC (Figura 13) prolonguemos los lados y hasta que corten al lado en los puntos y . Resulta pues que el ar-co tiene la misma medida que el ngulo . Considerando esto se te-nemos la igualdad . Si tenemos en cuenta el hechoque es el polo de la circunferencia mxima que contiene al lado yque cumple la misma relacin respecto al lado , tenemos entoncesque con lo cual la igualdad seexpresa como

    de donde se deduce automticamente la

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    primera igualdad de 2. Las demostraciones para los otros ngulos son anlogas.

    Figura 13.

    3.5. rea de un tringulo esfricoPuede resultar un ejercicio interesante la interesante el clculo del rea de un

    tringulo esfrico, para lo cual haremos uso de la descomposicin en tringulos de

    la superficie. Antes consideremos las siguientes definiciones:

    Definicin 13. Se denomina exceso esfrico del tringulo esfrico ABC a

    la cantidad .Definicin 14. Se denomina exceso esfrico del tringulo esfrico ABC ala cantidad .Podemos enunciar ahora el siguiente teorema:

    Teorema 2. El rea,

    de un tringulo esfrico es igual a producto del cua-

    drado del radio de la esfera sobre la que se encuentra por su exceso esfricomedido en radianes.

    Demostracin.

    Sea una superficie esfrica de radio . En la Figura 10 los tringulos es-fricos y forman el huso esfrico correspondiente al ngulo.El rea de este huso esfrico viene dada por ( ) . De igualforma los tringulos y forman el huso esfrico correspon-diente al ngulo y tiene por rea ( ) . Por ltimo los

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    tringulos y el huso esfrico correspondiente al ngulo yrea ( ) . Considerando que los tringulosy forman la mita de la superficie esfrica y que las reas de lostringulos ABC y ABC son iguales pues son simtricos respecto del

    centro de la superficie esfrica tenemos la igualdad ( ) de donde se deduce inmediatamente el teorema. Hay que tener en cuenta que en la demostracin se han considerado los ngu-

    los y estn medidos en radianes.Otro resultado interesante se expresa en el siguiente teorema.

    Teorema 3. El exceso y defecto esfrico de un tringulo ABC son iguales al de-fecto y exceso esfrico de su tringulo polar asociado respectivamente.

    La prueba es inmediata y un tanto trivial pero resulta importante pues permiteexpresar el rea del tringulo polar en funcin de los elementos del tringulo quelo origina.

    4. Trigonometra de la esfera.Uno de los objetivos primordiales de la Trigonometra esfrica es calcular un

    elemento - lado o ngulo- cualquiera de un tringulo esfrico, a partir del conoci-

    miento de otros tres. Adems, conviene que el clculo de dicho elemento sea inde-pendiente, es decir, que no utilice ningn elemento distinto de los previamente co-nocidos.

    4.1. Resolucin de tringulos esfricosLa determinacin realizada los lados y ngulos desconocidos en estas condi-

    ciones es lo que se considera resolveruntringuloesfrico. Existen unos grupos defrmulas que permiten estos clculos independientes en todos los casos posibles;son los llamados grupos de Bessel y los expresamos en los siguientes teoremas.

    4.2. Frmulas de BesselTeorema 4. (Primer grupo de Bessel)En un tringulo esfrico ABC, Los senosde los lados son proporcionales a los senos de sus ngulos opuestos.

    Demostracin.

    En el tringulo esfrico ABC de la Figura 14 es la proyeccin ortogo-nal de sobre la recta , es la proyeccin ortogonal de sobre larecta

    y

    es la proyeccin ortogonal de

    sobre sobre el plano de-

    terminado por , y . Entonces y .

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    Con esto tenemos que , por otro ladotenemos . Igualando las expresionesobtenidas y repitiendo el procedimiento para las otras caras, llegamosal resultado establecido por el Teorema 4.

    Figura 14.

    Este teorema relaciona los lados y los ngulos va sus razones trigonomtri-cas y permite la determinacin de un ngulo o un lado a partir del conocimiento dedos ngulos y el lado opuesto de uno de ellos o dos lados y el ngulo opuesto a unode ellos respectivamente.

    Teorema 5. (Segundo grupo de Bessel) En un tringulo esfrico el coseno decualquier lado es igual a la suma del producto de los cosenos de los otros doslados y el producto de los senos de los mismos por el coseno del ngulo opuesto

    Demostracin.

    Consideremos de nuevo las mismas condiciones del Teorema 4 en la Fi-

    gura 14. Tenemos que . Sea , entonces Conesto , desarrollando el , e igualando lle-gamos a donde, segn elgrafico, y . Reempla-zando y repitiendo el procedimiento para los otros ngulos obtenemosel resultado establecido por el Teorema 5.

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    Con este teorema podemos calcular un lado en funcin de los lados restantesy el ngulo opuesto al lado deseado.

    El tercer grupo de Bessel es un tanto ms complicado pero es deducible delprimero y del segundo grupo. Cada formula de este tercer grupo relaciona dos la-

    dos con dos ngulos no opuestos.

    Teorema 6. (Tercer grupo de Bessel)En un tringulo esfrico los ngulos y loslados cumplen las siguientes relaciones:

    Demostracin.

    Demostraremos solo la primera igualdad pues las dems son anlogas.

    Partimos del Teorema 5 aplicado al lado

    , as tenemos que

    Del Teorema 4 y Teorema 5 aplicado al lado la igualdad anterior setransforma en

    ()

    Lo cual concluye la prueba. Los grupos de Bessel vistos hasta ahora dependen de los lados ms que de los

    ngulos, sin embargo el cuarto grupo es un teorema para aplicar a los ngulos, ca-da frmula de este grupo relaciona los ngulos del tringulo esfrico con uno desus lados.

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    Teorema 7. (Cuarto grupo de Bessel) En un tringulo esfrico ABC, losngulos y los lados cumplen las siguientes relaciones:

    La prueba es bastante sencilla y consiste en la aplicacin directa del Teorema5 al triangulo polar asociado al triangulo esfrico y de las relaciones estable-cidas segn las propiedades (cf. pg. 13). Con estas indicaciones se espera que ellector realice la prueba detalladamente.

    Mediante estos cuatro grupos de Bessel puede calcularse cualquier elemento

    de un tringulo esfrico, a partir de otros tres conocidos. Los tres elementos cono-cidos, junto con el Que deseamos conocer, son los cuatro elementos que tienen querelacionarse; ellos nos indicarn el grupo al que hay que acudir y la frmula nica,dentro de este grupo, en la Que aparecen. Para cada una de las quince combinacio-nes cuaternarias posibles entre los seis elementos de un tringulo esfrico, existeuna y solo una frmula de Bessel Que los relaciona.

    4.3. Formulas auxiliaresSupongamos que tenemos alguno de los datos dados en trminos de su fun-

    cin trigonomtrica, las dificultades aparecen si la incgnita viene dada medianteun seno pues en este caso disponemos de dos valores suplementarios como posi-bles soluciones. Para decidir si deben aceptarse los dos valores o slo uno de ellos,necesitamos conocer otras propiedades relativas a los lados y ngulos de un trin-gulo esfrico; dichas sern deducidas de unas frmulas notables, las de Briggs y lasde Delambre-Gauss.

    Teorema 8. (Frmulas de Briggs)En un tringulo esfrico ABC, los ngu-los y los lados cumplen las siguientes relaciones:

    Donde

    es el semipermetro del tringulo.

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    Demostracin.

    Considerando el caso del seno tenemos

    Aplicando el Teorema 5 al lado y despejando el coseno de tenemos

    Aplicando las identidades vistas en la pg. 5 se llega a

    Con lo que concluimos la prueba. La demostracin para el coseno es por completo anloga y para la tangente

    basta con dividir las expresiones para la el coseno y el seno.

    Las frmulas de Briggs permiten obtener unas proporciones conocidas co-

    mo analogas en las que intervienen todos los elementos del tringulo esfrico.Las utilizaremos para establecer equivalencias muy tiles entre relaciones con pa-res de lados del tringulo y relaciones anlogas entre los ngulos opuestos.

    Teorema 9. (Analoga de GaussDelambre) En un tringulo esfrico ABC, losngulos y los lados cumplen las siguientes relaciones:

    Demostracin.

    Consideremos la primera de las analogas y calculemos el seno.

  • 8/6/2019 Nociones de Trigonometra Esferica

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    NOCIONES DE TRIGONOMETRA ESFRICA

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    Aplicando las frmulas de Briggs (Teorema 8)

    Aplicando la transformacin del seno a producto (pg. 5) obtenemos fi-nalmente la igualdad buscada

    Con lo que concluimos la demostracin. 5. Bibliografa

    [1] A. Vila Mijta, Elementos de Trigonometria esfrica, Barcelona: Ediciones UPC,1992.

    [2] M. Barrero Ripoll, L. Casado Fuente, A. Castejon Solanas y L. Sebastian Lorente,Trigonometria Esferica. Fundamentos., Madrid: E.T.S.I., 2008.

    [3] C. Chinea, Formulas de la Trigonometra Esfrica, Marchena, 2002.