Nociones de logica simbolica amarilis sagredo y eduardo luna
-
Upload
angel-baez -
Category
Education
-
view
1.508 -
download
83
Transcript of Nociones de logica simbolica amarilis sagredo y eduardo luna
Amarilis Sagredo - Eduardo Luna
NOCIONES DE LOGICASIMBOLICA
UCMM1988
NOCIONES DE LOGICA SIMBOLICAAmarilis Sagredo - Eduardo Luna
(Sexta Edición)
©, 1988, para la Sexta Edición,Colección de "Textos" UCMMDirector. Bienvenida Polanco
Impreso en la República DominicanaPrinted in Dominican Republic
Taller, Isabel la Católica 309, Santo Domingo, República Dominicana
TABLA PE CONTENIDO
PAGINA
NOTADE LOS AUTORES........................................ .1V
CAPITULOS
1. CALCULO PROPOSICIONAL .••••••••..•....••• •.••••••• 1
1.1 Propo~ici6n .•..••.•.•••..•.•..••••......• 11.2 Proposiciones compuestas... •..•..•••.••••. 61.3 Npgaci6n.................................. 81.4 Conjunci6n.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.S Disyunci6n ••••.•••••.•..••.••.•.•.•...•••• 121.6 Tablas de verdad.......................... 141.7 Equivalencia de formas proposicionales •••. 221.8 Bicondicional ••.••••••••.••••..•.•.••••••• 241.9 Condicional ~ .1.10 Totalidad de formas proposicionales con
Jos componentes at6mic0d •••••.••••.••• :.••
26
321.11 Clasificaci6n de las fo~as proposiciona-
les compues t..:.as . 333638
1.12 Condicionales der~vadas ....•..••••••.••.••1.13 Negaci6n de proposiciones ·compuestas.•••.•1.14 Tautolog!as de mayor uso •.•••••••••..••••. 421.15 Relaciones l6gicas •.••••••••..••.•.••••••• 431.16 Formas argumentales .•.•..••.••••••••••••.• 551.17 Argumentos 1... 601.18 Procedimientos para determinar la validez
de una forma argumental ••••••••••••••••••• 631.19 M~todos de demostraci6n usados en
Materriá tic a•• . • • . . . . . . . . . • . . . . . • • . . • . • . . •• • 69
2. CALCULO DE PREDICAPOS DE PRIMER ORDEN •••••••••••• 752.1 Proposiciones abiertas.................... 752.2 Cuantificador unive~sal •••••••.•••.• i ••••• 78
PAGINA2.3 Argumentos que contienen proposiciones
un!versales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832.4 Cuantificador existencial •••••••••.•••.••• 872.5 Otro cuantificador existencial •••••••••••• 932.6 Argumentos que ~ontienen proposiciones
existenciales .•••••••••••••.•••••••••••••. 932.7 Relaci6n entre el cuantificador universal
y el cuantificador existencial •..•••••.••• 962.8 Proposiciones que contienen varios
cuantificadores ••••••••••••.•.•••••••••••. 992.9' Negaci6n de proposiciones y formas propo-
sicionales con dos o mas cuantificadores •• 102IND 1CE. • • • • • • • • • . ~ . • • • • • • • • • • • .'. • • • • • • • • • • • • • • • •• 10 5
\
NOTA DE LOS AUTORESEN LA PRIMERA EDICION
Nociones de L6gica Simbólica es una obra dirigidaa estudiantes de Escuela Secundaria y alumnos que cursanMatem~tica en el Ciclo Básico de sus estudios universita-rios. Tiene un objetivo: proporcionar los conocimientosesenciales de Lógica Simb61ica necesarios para abordar elestudio de la Matem~tica Contemporánea.
Hacemos hincapié en dos aspectos fundamentales:lenguaje sencillo y preciso, elevado monto de ejemplos yejercicios. No pretendernos agotar temas ni abultar conhistoriograf1as y referencias de autores. Esperamos quelos profesores llenen esos vac10s que, aunque no tienenmucha trascendencia para los alumnos de este nivel, sir-ven ocasionalmente para fortalecer su mundo cultural.
Queremos dejar constancia de nuestro profundoagradecimiento al profesor Apolinar NGñez, a Eddy D1az,Alina Morales, Federico Velázquez, Carmen Liriano, ReinaSosa, y especialmente a la Universidad Católica Madre yMaestra, a través de su Vicerrector Administrativo, PedroPablo Cordero, y del Director del Departamento de Publi-caciones, Danilo de los Santos. Ellos hicieron posible laedici6n de esta obra. Nuestra labor intelectual estuvoconstantemente sosteniqa por su trabajo desinteresado ysus estimulos enaltecedores. Sie~pre estará presente ennosotros esa extraordinaria ayuda •.
Los Autores
Al concepto de proposici6n nos acercaremos intuitivamente.
Recordemos que el lenguaje reconoce cuatro tipos básicos de
oraciones: las declarativas, la~ exclamativas, las interroga
tivas y las imperativas. De ellas, las declarativas enuncian
la conformidad o disconformidad objetiva del sujeto con el pre
dicado, por lo cual estamos en capacidad de decidir si lo que
se dice es cierto' o no.
Definici6n 1.1 Proposici6n: Es una oraci6n declarativa
de la cual se puede .afirmar que es verdadera o falsa, pero no
que es ambas cosas al mismo tiempo.
Entendemos, que una proposici6n es verdadera, cuando lo
1.1 Proposici6n
En nuestro. lenguaj e ordinario se perciben ambigüedades-:
Pienso en mi habitaci6n.
Yo nunca me sienta en un banco.
Ayer hice una operaci6n.
Además, en cuanto instrumento de comunicaci6n de una
comunidad, de grupos sociales, de profesionales, muchas p~la
bras o expresiones adquieren matices significativos diferentes.
Debido a esto, en Matemática, ha de usarse un-lenguaje
distinto, que no est~ viciado por la ambigüedad y la falta de
universalidad. Para ello, se recurre a la L6gica que, aunque
maneja un lenguaje simb61ico, aporta mayor precisi6n o exacti
tud ~ue el lenguaje ordinario. Esto se logra mediante -una
serie de reglas bien claras y definidas.
La presentaci6n de esas reglas es el prop6sito de estos
apuntes.
.CALCULO PROPOSICIONAL
CAPITULO 1
declarativas son proposiciones, puesto que para que lo ~ean es
necesario que podamos a.sí qna.rLes un ün í co valor de verdad.
Por ejemplo, la oraci6n: Esta oraci6n declarativa es
falsa, no es una proposici6n porque no tiene u~ {Ínico valor de
verdad. Veamos: si decimo$ que ,su valor de verdad es falso,entonces la oraci6n declarativa es verdadera, porque, precisa
mente, lo que establece es que es una oraci6n faLaa , Tampoco
es verdadera, porque en este caso no está de acuerdo con lo
establecido por la oraci6n. N?te,que este tipo de oraci6n
lleva implicita una contradicci6n en si misma.
Consideremos la oraci6n: x es ~~ n{Ímero par~ A esta
oraci6n no es posible asignarle un {Ínicovalor de verdad, puesto
qua didho valor depende del objeto por el cual sustituyamos a x.
Al susti,t~iJ:,,~,ax por eL objeto. '.'dos",por ~jemplo, la oraci6n
Es importante hacer notar que no todas las oraciones
. , . ,. ~nioso Hidalgo" Don Quijote de 'la Mancha, es una pz'oposfcfén ver--dade ra-,
Ahora bí.eri, la oraci6n: Un cuadrado es una figura planaque tiene tres lados, es una proposici6n falsa, porque sabemos
que la figura a la cual se le llama cuadr-ado tiene cuatro lados
y no tres.
Por otra parte, si consideramos la oraci6n: E*isten seres
vivientes en el planeta Venus, aceptamos que es una proposici6n,puesto que es una oraci6n declarativa que es verdadera o falsa,
y no ambas'cosas' al mismo tiempo, pero tambi~n aceptamos que no
tenemos los suficientes conocimientos para asegurar su veraci
dad o su'falsedad.
Estos ejemplos ilustran ~na situaci6n muy interesante:
que no es a ¡a L6gica'a quien le toca informar acerca de la
veracidad o falsedad de una proposici6n, sino a la experiencia.
Definici6n 1.2 A la verdad o falsedad de una proposici6n
se le l~ama valor de verdad de la proposici6n.
que declara está en conformidad con los hechos, con la realidad.
'observemos con cuidado íos sigufentes ejemplos:
La oraci6n: Miguel de Cervantes escri'bi6'la obra El Inge-
2
BjerCi'cios 1.1
1. Clasifique'las siguientes oraciones, en declarativas,interrogativas, exclamativas o imperativa.s..a) Haga fila y c'llese.b) ¿Qui~n te pe16 que las orejas.te,d.j6?e) Los mdsicos son animales domesticado,s·.,
eh) La· lluvia cae y moja.d)~tC6mo me martirizas cuando no me al;>razas!e) Saque la lenq'ua.f) El ruido es un conjunto de silencios.q) Un cretense dijo: Los cretenses siempre
mienten.h) Si es capaz de razonar, entonces .es humano.------i) ¿Cuando brilla la luna?j) x + 2 es igual a cero.k) El hombre es un animal implume.
, ,1) lOud comiste que te ensuciaste el ,bigote?
11) Hay tanto para contar.m) ,Cuanto me d~ele la cabeza!n) Esta oraci6n declarativa es verdadera.ñ). S6 razonable frente a sus peticiones.o) No es ei~rto que 25 + 7 = 31.p) ll)(5ndepasaste las vacaciones?q) Hoyes domingo.
2. Identifique las proposiciones del ejercício"an~tiot.
declarativa se convierte en: Dos es un nOmero par, que es una, "
oraci6n verdad~~a, pero si sust!tuimo~ a x ~r el obje~o "tres·,obtenemos: Tres es un ndmero pa~, que es una oraci6n falsa.. ,En consecuencia, una oraci6n como dsta no es una.proposici6n.•
Por otra parte, una oraci6n como: El mundo es así, no essusceptible de asignarsele un valor de verdad sin conocer elcontexto donde esta referida. Est.oes, por sí sola es una orac16n que carece de sentido y, ~r t~nto, d~ valor de verdad,asf que no'es una proposici6n.
3
Nos interesa ,trabajar con representaciones simb6liqas de
las proposiciones más que con pro.posiciones específicas, parauu
fi~usaremos letras minüsculas, tales como p, q, r, etc. Ahora
bien, en estos casos nos enfrentarnos a un problema de termino
logía ya que,dichos símbolos, por sí solos, no constituyen una:.¡
proposici6n, pues-ce.que no,son susoept.i.bLes de asignárseles un
valor de verdad cornorequiere la definici6n de·'proposici6n, sin
antes conocer la oraci6n que representan. Sin embargo, dichos
símbolos se conv í erten en proposiciones en el momento en que se
reemplazan por proposiciones específicas.
Definici6n 1.3 Un símbolo p que puede ser sus~itu!do
por..una proposici6n 'cualquiera recibe el nombre de,forma pro
posicional.
La importancia de trabajar con for~as proposicionales
estriba en que pueden establecerse propiedades de ellas, que
seguirán siendo válidas no importando' qué proposici6n repre-. "
'senten, y sin Los problemas de inte.rpretaci6n que acarrearía el
cono.cer dichas proposiciones.
g) Un rectángulo es un con un
ángulo
h) El orden de los f ac'coz-e s .,i) La intersecci6n de
f) Si el triángulo ABe es congruente con el triángulo
A'B'C', entonces
d) El número uno es menor .que
e) Un número entero compuesto se puede expresar-----
c) Los ángulos son congruentes.
9h) Los triángulos con igual ·base y altura
es un número par.b) La suma de
3,.Complete ..las siguientes .proposiciones:a) El número es par y
4
Ejercicios 1.2
1. ¿Cuáles de las siguientes expresiones son proposiciones?
a) sé cauteloso.
b) Juan fue mordido por un perro.
c) l-1aríatiene 16 años y Elena es rubia"
ch) El profesor de Biología no es simpático.
d) ¿Cuándo viene tu hermano?
e) Pedro me acompañará o Antonio se enfadará.
f) ¡Me gusta ese cantante~
g) Hay ~uchas butacas vacías en el cine.
'h) Dejé de ver televisi6n y lo acompañé a la fiesta.
i) Deja de ver televisi6n y acompáñame a la fiesta.
j) (85 + 78) 2 =' 852 + 2 (85) (78) + 782•k) Si te esfuerzas, no repetirás el curso.
1) ¿Compraste un'auto?
11) C6mprate un auto.
m) Todos los ratones le temen a los gatos.
n) ¡Qué obra tan noble~
ñ) x2 + 1.
o) Asunci6n s~be jugar canasta o tiene mucha suerte.
p) Si vas a casa de Julia, entonces encontrarás a
Virginia.
q) No es verdad que los leones comen queso.
r) Existen seres vivientes en Marte.
s) Crist6bal Co16n cultiv6 el estudio de la Matemática.
2. Escriba tres proposiciones que tengan valor de verdad
Ejemplos: q: La colecci6n de los ndmeros primos es
infinita.
r: El agua del mar es dulce.
s: HaY'perros que muerden.
t: 4 + 6 = 10.
En estos ejemplos: v(q)= V, v(r)= F, v(s)= V y v(t)= V
Si P denota una proposici6n o una forma proposicional~
escribiremos v(p) para indicar el ~alor de verdad de p.'.
5
* De manera análoga podemos definir las f0r..mas_.proposicionales simples y compuestas.
d) Cuatro es el cuadrado de dos.
1. Indique si las proposiciones siguientes. son simples ocompuestas.
a) El 25 por ciento de $200 es $50.
b) Veintiuno es un ndmero impar y es m6ltiplo de.siete.e) El afio 1979 es bisiesto.
eh) Tres tercios es un entero o dos monedas de veinticinco
centavos valen lo mismo que Ullade cincuenta.
Ejercicios 1.s
"no", "y", "o", "si Y s6lo si", "si •••, entonces •••", conseguimos nuevas proposiciones a partir de 'las proposiciones 's~
pIes. Las proposiciones así formadas se llaman proposiciones
compuestas. *
Las oraciones: Siete es un ndmero primo, Pepe estudia
ingeniería, El profesor me cae mal, son llamadas proposicionessimples 0·at6micas. Pero este tipo de proposici6n es insufi
ciente para expresar la terminología matemática.
'.Ejemplos: 1) Seis no es un divisor de trece.
2) Dos es un n6mero primo y par.
3) Un ndmero entero es par o impar.4) Un triángulo es is6sceles si y,s6lo si
tiene dos lados congruentes.
5) Si un paralelogramo tiene un ángulo recto,
entonces es un rectángulo.
Definici6n 1.4 Usando los llamados conectivos l6gicoS2
1.2 Proposiciones Compuestas
verdadero y tres proposiciones cuyo valor de verdad seafalso.
6
Utilizando las formas proposicionales suelen representarse
los posibles valores de v~rdad de las proposiciones compuestas
entonces
si y s610 si
oc)
ch) Si
}i)
~entonces-------------------
f) Dos rectas son paralelas si y s6lo si
y están en un mismo plano.
g) Dos rectas coinciden si y s6lo si
en común.
h) Si un número es primo entonces, _
son s6lo uno y él mismo.
i) Si un paralelogramo es
sus diagonales 'son congruentes.
3. Construya proposiciones llenando los espacios en blanco:a) no
b) y
d)'Un cuadrado
e) Un número impar
ángulos agud<¡:>s.
cornodivi~or.
och) Un número entero positivo es
o acutángulo oc~ Un triángulo es
yb) Un triángulo is6sceles tiene
e) El número seis no es menor que el número tr.es.
f) El inverso multiplicativo de un número real es único.'
'g) Si dos rectas son perpendiculares, entonces forman
cuatro ángulos rectos.
h) La suma de las medidas de los ángulos de un cuadri~
látero es 360.
i) q~ p'aralelogramo es un rectángulo si y s6lo si tiene
un ángulo recto~
2. Construya proposiciones llenando los espacios en planco:
a) Un cuadrado es un y un
7
Definici6n 1.5 Dada una proposici6n, su negaci6n se
forma anteponiendo a la proposici6n las expresiones: Es
falso que, no es verdad que. También, siempre que sea posi
ble, Ln se'r tiando la partícula "no" en la proposici6n.
Ejemplos: 1) Venezuela es un país petrolero, es
una proposici6n, y su negaci6n puede ser escrita:
Es falso que Venezuela es un país petrolero.
No "esverdad que Venezuela es un país petrolero.
Venezuela no es un país petrolero.
2) La ~egaci6n de: Los án~ulos de un triángulo
equilátero son congruentes, es: Los ángulos de un trián
gulo equilátero no son congruentes.
3) La negaci6n de: El número dos es el primer número
primo, es: El número dos no es el primer número primo.
4) La negaci6n de: Los lados correspondientes en
triá~gulos semejantes son congruentes, es: Los lados
correspondientes en triángulos semejantes no son con
gruentes.
~) Pedro no sembr6 esa mata de guineo, es la negaci6n
de la proposici6n: Pedro sembr6 esa mata de guineo ..
6) Es falso que Juan es antipático, es una de lak fbr
mas en que se puede escribir la negaci6n de la proposici6n:
Juan es antipático.
7) La negaci6n de: Felipe vive en Egipt~ es: No es ver
dad que Felipe vive en Egipto.
1.3 Negaci6n
. ,sibíes combinaciones de valores de verdad de los componentes
at6micos de las proposiciones compuestas, y el valor de ver- -
dad en cada combinaci6n, de dichas proposiciones.
Veamos, a continuaci6n, los nombres y característiéas de
las proposiciones compuestas.
en las llamadas tablas .de verdad. Estas no son más que'
arreglos de filas y columnas donde 'se contemplan todas las po-
8
Definici6n 1.6 Al unir dos proposiciones mediante el
conectivo y, obtenemos ia conjunci6n de dichas proposiciopes.
Ejemplos: 1) lo es un satélite natural de Júpiter,
La gallina es un mamífero, son proposiciones. La conjunci6n
.de ellas 05:
1.4 Conjunci6n
e) Una oraci6n declarativa es una proposici6n.
f) Una oraci6n interrogativa puede ser una proposici6n.
g) Un cuadrado es un rectángulo.
h) Un rombo es un cuadrado.
i) La suma de números enteros es conmutativa.
1. Escriba la negaci6n de las siguientes proposiciones e
indique su valor de' verdad.
a) Una proposici6n tiene un único valor de verdad.
b) La negaci6n de una proposici6n falsa es una propo
sici6n falsa.
c) Una forma proposicional es una proposici6n.
ch) La expresi6n "'pes una forma p-roposicional.
d) Las proposiciones compuestas se forman utilizando los
conecti~os l6gicos.
Ejercicio 1.4
Col. 2Col. 1
Fila 1:
Fila 2:
F
V
V
F
Notaci6n: Sea:p una propo~ici6n, entonces sU negaci6n se
denota -cp. 'Es decir, la notaci6n para el conectivo "no", es: -v ,
Valor oe verdad: La negaci6n de una proposici6n verdadera
es una proposici6n falsa y la negaci6n de una proposici6n fal-"
sa es una proposici6n verdadera.
Tabla de verdad 1.1: Utilizando las formas proposicionales,I
podemos resumir lo anterior en una tabla de verdad de la manera
siguiente:
9
contenido en la tabla de verdad de la forma proposicional: p A. q:--Col. 1 Col. 2 Col. 3p q P A'q
Fila 1: V V V'
Fila 2: V r F
Fila 3 : F V 'F
Fila, 4 : F F F.
. ,
7) Un ángulo inscrito en una semicircunferencia es un
ángulo re~ct<?y los ~os segmentos tangentes a u,nacircunferen
cia desde un punto exterio'r son segm'entos congruehtes.
Notaci6n: Sean~p, q, dos proposiciones, entonces la
conjunci6n de ellas se denota: p Aq. Es decir, el conectivo
"y" se denota: A.
Valor de verdad: Una conjunci6n es una proposici6n .
verdadera, cuando sus dos componentes son proposiciones verda
deras, y e~ una proposici6n falsa en los demás,casos.
Tabla de Verdad 1.2: El valor de verdad, anterior está
lo es un satélite natural de Júpiter y la gallina es un~" . ' '. .mamífero .'
Al lector le llamará la atenci6n el ejemplo a~terior p~I
estar acostumbrado a que el uso de la conjunci6n "y", en elI
le~guaje ordinario, supone una estr~cha relaci6n entre las\...... - .. .
oraciones'ertlazadas por dicha conjunci6n, 1, claramente, tal
re~aci~n n~ ex í ste entre los componentes de la conjunci6n an
terior. Por esta raz6n es opor~uno aclarar qu~ a la L6gica
le interesa obtener nuevas proposiciones y no los contenidos
de esas proposiciones.
2) El gorri6n es un ave y los lagartos son reptiles.
3) El roble es una gramínea y la yuca es un tubérculo.
41 El triáng'ulo e,qu;il'áteroes'equiángulo y no es un
polígono regular.
5) El número dieciocho es un ndmexo .par y es divisible
por tres.
6) Tomás fue a la librería Y: Evelyn al cine.
10
a) (p Alq) si \I(p)= V Y v(q); F.b) (p A q) si v(p)= F y ,,(q)= F.e) p si \)(pAq)= v.
eh) q si v (p A q)= v.d) P si v Ip A q)= F Y v(q)= V.e) q si v(p A q)= F Y v(p)= F.f) P si v("'(pA q»= F.g) (p A q) si 'v("-p)=V.h) "'(pA q)
"
v(p)= V y v(q)=si F'.
i) ",(pA q) si \)(p)= V.
ch) y'~(Propo sieian ','verdadera ) -:-(=P-r-o-p-o-s-=i-c-=i:-::6r-n--v-e-r-d,.....a-d-:;-e-r-a~)
3. Determine el o los valores de verdad de:
y(Proposici6n verdadera)
e) ,--~(~P~r-o-po-s~i:-c"""i"""62""n--f:-a"""1:-s-a~)--
(proposici6n falsa)--~----~~~--~~~-- y(Proposici6n falsa)b)
(proposici6n falsa)
1. Determine el valor de verdad de las conjuncionessigu'ientes:a) Una proposici6n es una oraci6n declarativa y tiene un
dnico valor de verdad.b) Una oraci6n declarativa es una proposici6n y una forma
proposicional no es una proposici6n.e) Un rect4ngulo es un cuadri14tero y un polígono regular.
eh) España, es una isla y Jap6n no lo es.2. Complete los espacios en blanco seg6n lo indicado y
determine, luego, el valor de verdad de las conjuncionesobtenidas.a) y
(Proposici6n verdadera)
Ejercicios 1.S,
11
tivo "y", notamos que coinciden con las partfculas "noll, lIy"
del lenguaje ordinario. En el caso del conectivo 110", esta
coincidencia es s6lo parcial, porque,la partfcula "o" en el
Col. 1 Col. 2 Col. 3p q p v q
Fila 1: V V V
Fila 2 : V F V
Fila 3 : F V V
Fila 4 : F F F
Observaci6n: En el caso del conectivo "no" y del conec-
Definici6n 1.7 Dos proposiciones unidas mediante el
conectivo~, forman una nueva proposici6n llamada disyunci6n.
Ejemplos: 1) Consideremos las proposiciones: Un triángulo
es una figura plana, Beethoven compuso nueve sinfonfas. La
disyunci6n de ellas es: Un triángulo es una figura plana ,o
Beethoven compuso nueve sinfonfas.
2) Dos al cuadrado o dos por dos es igual a cuatro.
3) Un ángulo tiene más de una bisectriz o un triángulo
tiene una sola altura.
4) Dos puntos determinan una recta o los radios de una
circunferencia no son c'ongruentes.
5) Un triángulo r~~tángU10 es equilátero o la longitud
de uno de sus catetos es mayor que su hipotenusa.
6) Jesús se hará rico o morirá en el empeño.
7) Carlos traerá la ensalada o el dulce.
iNot~ci6n: Dadas las proposiciones:p, q, la disyunci6n de
,ellas se denota: p v q. Es decir, el conectivo "o" se repre
senta ~or v.
Valor de verdad: Una disyunci6n es una proposici6n falsa
cuando ambos componentes son proposiciones falsas. En loS de
más casos es una proposici6n verdadera.
Tabla de verdad 1.3: El valor de verdad anterior está
contenido en la tabla de verdad de la forma proposicional:p v q.
i.5 Disyunci6n
12'
c) Ó(Proposici6n verdadera)' (Proposici6n verdadera)
b) o(Proposici6n falsa) (Proposici6n falsa)
1. Determine el valor de verdad de las disyunciones
siguientes:
a) La negaci6n de una proposici6n verdadera es una propo
sici6n falsa o la conjunci6n de proposiciones falsas
es una proposici6n falsa.
b) Una proposici6n es una oraci6n exclamativa o no es
verdad que tiene dos valores de verdad.
e) La disyunci6n de dos proposiciones falsas es una pro
posici6n verdadera o la negaci6n de una proposici6n
falsa es una proposici6n falsa.
eh) Un triángulo es un polfgono o no hay polfgonos
regulares.
2. Llene los espacios en blanco y luego, determine el valor
de verdad de las disyunciones obtenidas:
a) o(Proposici6n falsa) (Proposici6n verdadera)
~jercicios 1.6
,llamado "exclusivo". En este caso, se excluye la posibilidad
de que ambos componentes sean verdaderos al mismo ti~mpo.
Por ejemplo, si decimos: Pepe naci6 en Argentina o en Puerto
Rico, se entenderá que s610 es posible uno de los dos casos,
pero no ambos. El otro sentido es el llamado "inclusivo".
En este caso,puede ser cierto s610 uno de los componentes y
también pueden serlo los dos. Un ejemploes: Este triángulo
es is6iceles o equilátero.En nuestro estudio de la L6gica .nos hemos decidido por el
sentido inclusivo del conectivo "o" como ppede verse en la ta
bla de verdad 1.3. Esto es, la forma proposicional:p v q, sig
nifica "p" o "q",o ambos.
lenguaje ordinario tiene dos sentidos. Uno de ellos es el
13
F
V
F
F
F
V
F.
V I
V
F
V
F
vV
F
F
Ejemplo 1: Construir la tabla de v.erdadde:pA'Vq..
Para conocer los posibles valores de la forma proposicional:
(pA~), necesitamos conocer el valor de verdad de Pi el valor de
verdad de q, para conocer el valor de verdad de 'Vqy por último
el valor de pA'Vq. Veamos:
1.6 Tablas de verdad
Es conveniente aclarar que la notaci6n usada en este li
bro no es un.í.versaL, esto es, puede, y de hecho lo hace, variar
de un autor a otro. Despu~s de todo, lo importante es el con
cepto y no el símbolo·usado para representarlo. Ahora bien, el
lector irá comprendiendo que el uso de'símbolos nos evita for
mulaciones complicadas. E~to último se en~enderá mejor si pen
sarnosen lo tedioso que sería escribir en palabras una expre
sión como: 'V['V(pA~q)v (rAs) A (tVr v q)].
a)· (p v q) si v(p)= V.
b) (p v q) si v(p)= F.
c) p si ",(pv q)= F.
eh) q si v(p v q)= V Y v(p)= F.
d) q si v(p v q)= V Y v(p)= V.
e) (p v q) si v('Vp)=V y \1(q)=F.
f) (p A (p v q» si v(p)= V.
g) (p v (p v q) si v(q)= V.
h) (p A q) v (p v q) si v(p)= ·V.
i) (p A q) A (p v q) si v(p)= V y v(q)==F.
3. Determine el o los valores de verdad de:
.~) o(Proposición verdadera) (Proposici6n falsa)
14
Si hay dos componentes, el número de combinaciones aumenta~
Para facilitar la comprensi6n, veamos un diagrama de árbol en
__E_
V
F
/Vp~
F
Esto es, v(p) es V o v(p) es F, lo cual se indica de la
siguiente manera:
Ahora bien, por abuso del lenguaje,muchas veces no esta
blecernosdiferencia,al decir tabla de verdad, entre la tabla
anterior y la tabla en que se incluyen los pasos intermedios.
Ejemplo 2: Construir la tabla de verdad de: (p'A~q)v r.
Hasta ahora hemos trabajado con tablas de verdad de for
mas proposicionales que a lo sumo tienen dos componentes, pero
en el caso que ahora nos ocupa hay tres componentes. Obviamen
te, necesitarnosmás filas para poder agotar todas las po~ibles
combinaciones de los valores de verdad de cada componente.
Cuando tenemos un solo componente, agotarnosbien pronto
las COmbinaciones porque hay s610 dos posibles valores. Veamos
F
F
F
V
V
F
V
F
vV
F
F
Debernosaclarar,que por tabla de verdad, se entiende s610
las columnas,donde se escriben los valores de verdad de los
componentes y la columna del valor de verda~ de la forma pro
posicional compuesta. Las otras columnas no son más que pasos
intermedios que facilitan la obtenci6n de la columna donde se
escribe el valor de verdad de la forma proposicio~al compuesta
dada. Esto quiere decir, que en el caso anterior, en que se
pide la tabla de verdad de pA~q, tendríamos:
15
Es decir, dado:v(p)= V, tenemos que:v(q)= V·o v(q)= Fi a
su vez, dado que:v(q)= V, entonces puede ser:v(r)= V o v(r)= Fi
<,pero\).(q)puede ser:F, y t.ambí.énpara este caso: v(r)= V o
~(r)= P, y así sucesivamente .. En consecuencia, las posibles
V V
V F
F V
F F
Si el nGmero d~ componentes es tres, el diagrama de árbol
es el siguiente:
El diagrama anterior nos dice que,dado:v(p)= V, entonces
v(q) puede ser V o F, y dado:v(p)= F, puede ser que:v(q)= V o
v(q)= F. En resumen, las posibles combinaciones son:
« :V-:pq
"""p
el que se estudia esta situaci6n:
16
~Note,que·en el.caso de un compo~ente hay 21 filas, en el
caso de dos componentes hay 22 filas, en el caso de tres comP9-
nentes hay 23 fil~s, y en el caso de cuatro componentes uste~
2) Construya un diagrama de árbol para determinar los casos
posibles con cinco componentes y especifique dichos casos.
F
v
posibles combinaciones.
Ejercicios 1.7
1) Complete el siguiente diagrama de árbol y especifique las
p q rV V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F
17
combinaciones son:
¿C6mo se usa una tabla de verdad? Supongamos que tenemos
las proposiciones:
r: El sol brilla por las noches. ,
s: Mozart se distingui6 como músico.
Deseamos conocer el valor de verdad de la proposici6n: El
sol brilla por las noches y Mozart se distingui6 como músico.
Esta proposici6n es una conjunci6n que, escrita en símbolos,
es: x t.«Sabemos que ioír )= F Y v( s)= V, entonces usando la tabla 1.2,
que es la tabla de verdad de la conjunci6n, y de ella la fila
3, ..que es la que estudia el caso' en que el primer componente es
F y el segundp componente es V, concluimos que:v(r!l.s)=F.
Deseamos, ahora, el valor de verdad de la proposici6n: El
sol no brilla por las noches o Mozart se distingui6 como músico.
Dicha proposici6n es una disyunci6n, que, en símbolos, es:
~p v q. En este caso, debemos, primero, usar la tabla 1.1 para
DA
Recordemos que, rigurosamente, la tabla de verdad de:
(pA~q)v r, es la formada s610 por las columnas marcadas A, B, ey D.
V
F
V
V
V
F
V
F
F
F
F
F
F
F
V
V
e
V F
r' ~q
B
V
F
F
V
V
F
F
V
V
V
F
F
F
F
V V
(pA'Vq)v r
F
V
V
F
F
V
V
F
V
F
V
F
V
F
p q
seguramente encontr6 '24 filas. Intuitivamente, hemos llegado a
la idea de que si hay n componentes, el número de filas es 2n•En este punto estamos capacitados para construir la tabla
de verdad de:(pA~q) v r.
18
1. Conteste las siguientes preguntas:
a) ¿Cuándo es falsa la forma proposicional:p v q?
b) ¿Cuándo es verdadera la forma proposiciona~:pAq?
c) ¿Cuándo es verdadera la forma proposicional:~p?
ch) Sabiendo que la forma proposicional r es verdadera,
¿puede asegurarse que la forma proposicional:(rAs)
es verdadera?
d) Sabiendo que la forma proposicional u es falsa, ¿pue
de asegurarse que la forma proposicional:(uAw) es
falsa?
e) Sabiendo que r es verdadera, ¿puede asegurarse que
la forma proposicional:r v p es verdadera?
f) Sabiendo que la forma proposicional:p es falsa, ¿pue
de asegurarse que la forma proposicional:(r v p) es
falsa?
2. Si una forma proposicional tiene 4 componentes, ¿cuántas
filas debe tener su tabla de verdad para que se incluyan
todas las posibles combinaciones de los valores de ver
dad de dichos componentes? Y si tiene n componentes,
¿cuántas fil~s son necesarias?
Ejercicios 1.8
conocer el valor de ~p. Como:v(p)= F, leemos la 'columna de
hp) en la fila 2 que estab.Leoe que: v (~p)= V. Luego, usemosla tabla 1.3, en la fila 1, que es donde se estudia el caso en
que ambos componentes son verdaderos y concluimos que:
v(~p v q)= V.
Por otra parte, supongamos que:v(p)= V, v(t)= F, y
v(w)= F, y deseamos conocer:\)(~(pAt) v w). Empecemos por cono
cer:v(pAt). Como:v(p)= V y v(t)= F, usando la fila 2 de la ta
bla 1.2, tene~os;v(pAt)= F. Por lo tanto, usando la fila 2 de
la tabla 1.1, tenemos que: v (~(pAt)= V, Y por últ,irno,usando Lafila 2 de la tabla 1.3, porque el primer componente : ~(pAt) I es
V y el segundo comnonente, w, es F, tenemos que:v(~(PAt) v w)=V.
19
B) Formule las proposiciones siguientes:
a) p v (q v r )b) 'VpAr
e) 'V(pAr)
eh) ('VpV 'Vr)"'Vq
d) (pAtVq) v 'Vr
A) Formule simb61icamente las proposiciones siguientes:
a) El verano llegó y el viento no sopla.
b) EL viento no sopla o Juan no está de vacaciones.
e) Es falso que (El verano lleg6 o el ~iento sopla).
eh) El verano lleg6, el viento sopla y Juan está de
vacaciones.
d) (El verano lleg6 y el viento no sopla) o (El verano
no llegó y Juan no está de vacaciones) .
q denota la proposici6n: El viento no sopla.
r denota la proposici6n: Juan está de vacaciones.
u) (p v q) A {(p v r) A (p v S) j
t) (p áq) v (vr á s)s) pA(p v q)
o) ('VpA'Vq)V r
p) ph('VqA'Vr)
q) 'V{'V(p V 'Vq»)
r) p v (pAq)
m) 'VpV 'Vq
n) 'V(p v q)e) (PAq)Ar
eh) PA(qAr)
d) p v q
e) q v pf) (p v q) v rg) p v (q v r)
h) pA(q v r)
.i) (pAq) v (par)j) p v (qAr)
k) (p v q) A (p v r)1) 'Vhp)
4. Sabiendo que:
p denota la proposici6n: El verano lleg6.
11) 'V(pAq)
3. Construya la tabla de verdad de las siguientes formas
proposicionales:
a) pAq
b) qAp
20
e) La negaci6n de la disyunci6n de dos proposiciones es
verdadera solamente cuando ambas proposiciones son
falsas.
verdadera y la otra es falsa.
7. En lasrayasen blanco escriba V,si 'considera que la
oraci6n es verdadera y F,si ,considera que es falsa:
a) La conjunci6n de dos proposiciones es falsa so~amente
cuando ambas proposiciones son falsas.
b) La disyunci6n de dos proposiciones es falsa solamente
cuando ambas proposiciones son falsas.
c) La disyunci6n de dos,proposiciones es verdadera cuando,
por lo menos,una de las proposiciones es verdadera.
ch) La conjunci6n de dos proposiciones es falsa cuando, por
lo menos, una de las dos proposiciones es falsa.
d) La negaci6n de la conjunci6n de dos pr~posiciones es
verdadera solamente cuando una de las proposiciones.es
a) pA~q
b) qAr
c) ~p v r
ch) ~(p v q).d) ~(p v q)A~ (p v r)
6. Dadas las proposiciones:
p: La gallina es un cuadrúpedo.
q: Bolivia es un país europeo.
r: La papa es un tubérculo.
Determine el valor de verdad de las pro~osiciones
siguientes:
g) (p v q) y rh) ~pA(qA",r)
i) (pAq) v (pAr)
c) ~ (pA~q)
ch) ~pA~{~q)
d) ~{(pAq) v ("'pv q)}
5. Sabiendo que p repr€senta una proposici6n ·falsa, q, una
proposici6n verdadera y r, una proposici6n falsa, deter
mine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
a) ~p v q e) ~(p v q)Ar
b) ~ (~p) f) ~{(p v q) Ar}
21
Observando con cuidado las columnas marcadas A y B, nota
mos que ambas formas proposicionales tienen la misma tabla del
'yerdad, por lo tanto, son equivalentes, es deci~ podemos escri-
BA
p q r pAq (PAq)Ar I qA-r. pA{qAr)
V V V V V V V
V V F V F F F
V F V F F F F
V F F F F F F
F V V F F V F
F V F F F F F
F F V F F F F
F F F F F F I F
Definici6n 1.8 Dos formas proposicionales compuestas que
poseen los mismos componentes at6micos son equivalentes cuando
tienen el mismo valor de verdad para todas las posibles combi
naciones de los valores de v=rdad de las formas proposicionales
simplés que las componen. Es decir, cuando tienen los mismos
corn_ponentesy las mismas tablas de verdad.
Notaci6n: Sean:p, q dos' formas proposicionales. Si di
chas formas son equivalentes, escribimos:p:: q.
Ejemplo: Mostraremos que la forma proposicional:{pAq)Ar,
'i la forma proposicional:PA{qAr) son equivalentes. Con tal
fin, construiremos sus tablas de verdad.
1.7 Equivalencias de formas proposicionales
h) La negaci6n de la conjunci6n de una proposici6n verda
dera es una proposici6n verdadera.
i) -La negaci6n de la negaci6n de una proposici6n falsa es
una proposici6n verdadera.
f) La conjunci6n de las negaciones de dos proposiciones
falsas es una proposici6& verdadera.
g) La disyunci6n de las negaciones'de dos proposiciones,verdaderas es una proposici6n falsa.
22
3.'Las equivalencias g) y h) se conocen con el nombre de
leyes de De Morgan.
sobre lala
d) La equivalencia e) se conoce cornola propiedad distributiva de la conjunci6n sobre la disyunci6n.
e) La propiedad f) se conoce cornola propiedad de
c) La equivalencia c) se conoce cornola propiedadde la disyunci6n.
ch) La equivalencia ch) se conoce cornola propiedadde la
2. a) La equivalencia a) se conoce cornola propiedad conmutativa de la conjunci6n.
b) La equivalencia ~) se conoce cornola prop1edad
de la
h)
=' (p v q) It (p v r)
_ q v p
_ (p v q) v rc)
ch)d) 1\, (I\,p) ::
e) pA (q v r) _
f)
g) 1\, (pAq) _
las equivalencias siguientes:1.8.3,completea) pAq ::------b) (pAq)Ar :: _
1. Observando las tablas de verdad que obtuvo en el ejercicio
Ejercicios 1.9
bir (pAq)Ar ::pA (qAr).La equivalencia anterior se conoce con el nombre de
propiedad asociativa de la conjunci6n. .
Dicha .pxop.í.edad nos indica que: p A q A r tiene uns~gnificado úni~o, puesto que sus dos posibles interpretacionesson equivalentes, esto es, tienen la misma tabla de verdad.
23
Definici6n 1.9 El conectivo "si y s6lo si" usado para
1.8 Bicondicional
(pAq)•Usando el conectivo de Sheffer,exprese:
8. El°10a)
~)
c)
9. Al
4. Pruebe que: (pAq).v p ::p5. El símbolo v denota la disyunci6n exclusiva, y p v q sig
nifica:"p" o "q", pero no ambos. Construya una tabla de
~erdad para:p v q.6. Construya la tabla de verdad de la forma proposi.cional:
°(pñ-vq)v ('VpAq).7. Compare las tablas de verdad de los ejercicios 5 y 6.°¿A
qué conclusi6n se llega?
El lector ha comprobado que utilizando los conectivos,hasta ~~ora considerados, es posible definir el conectivo "o"
°en el sentido exclusivo. Realmente,podíamos haber seleccionado',como punto de partida en nuestro estudio, el se.ntidoexclusivo y,a partir de él,definir el sentido inclusivo.
símbolo plq significa:"p y q no son ambos verdaderos",·que en símbolos es:'V(pAq).
Construya la tabla de v~rdad de:plq.
Pruebe que: p 1p == 'Vp(p°1p) 1(q1q) == p v qconectivo 1se le llama conectivo de Sheffer, en honor
°de H. Sheffer, que fue el primero en trabajar con él en
1916.
Las leyes de De Morgan nos indican que en realidad no
necesi tamos tres conectivos, sino/que basta tener el 'Vy el A~
o el IV y el.v, para expre.sarel tercero en'términos de los dos
conocidos.
24°
Complete:
i)'La negaci6n de unaOconjunci6n es la de
las de sus componentes.
ii) La negaci6n de una disyunci6n es la de
las de sus componentes.
1. Complete las siguientes pr-:>posiciones:a) Un número entero positivo es primo si y s6lo si
Ejercicios 1.10
V
F
F
V
V
F
V
F
V
V
F
F
unir dos proposiciones.da .como resultado una nueva proposici6n,
llamada bicondicional.Ejemplos: 1) Un número es par si y s6lo si es divisible
por dos.2) Un paralelogramo es un rombo si y s6lo si sus cuatro
lados son congruentes.3).Dos ángulos son congruentes si y s6lo si tienen la
misma medida.4) Un rombo es un cuadrado si y s6lo si uno de sus
ángulos es recto.5) Un paralelogramo es un rectángulo si y s6lo si sus
diagonales son'congruentes.6) Jorge irá a España si y s6lo si aprueba el curso de
Matemática.7) Un cuadrado es un rectángulo si y s6lo si la nieve
no es verde.Notaci6n: El conectivo "si Y.s6lo si" se simboliza por
~. Es decir, "p++q" se lee "p si y s6lo si q".Valor de verdad: Una bicondicional es una proposici6n
verdadera cuando ambos componentes tienen el mismo valor deverdad, esto es, si ambos son proposiciones verdaderas o ambosson proposiciones falsas. En los demás caso~ es una proposici6n falsa.
Tabla de verdad 1.4: La forma proposicional:"p si y s610
si q" tiene la siguiente tabla de verda4:
25
Definici6n 1.10 Al unir dos proposiciones mediante las
palabras "si, ••• ,entonces ••.", se obtiene una nueva proposic{6~
llamada condicional.·
La propbsici6n que precede al condicionador, se llaga an
tecedente y la que sigue al condicionador, consecuente.
~Ejempros: 1) Una condicional en la cual la pr090sición:
El dos es un número prim9, sea el antecedente y la proposición:\
Juan aprob6 el curso de r.1atemática, sea el consecuente, se es-
cribe de la siguiente manera: Si el dos es un número primo, en
tonce.s Juan aprob6 el curso de :/latemática.
2) Si dos triángulos son congruentes, entonces sus partes
correspondientes son congruentes.
3) Si dos ángulos son opuestos por el vértice, entonces
son congruentes.
4) Si a es un divisor de b, entonces b es un múltiplo de a.
5) Si a = b, entonces a + c = b + c~
2. Complete los espacios en blanco:
a) \1 (p) = V, \1 (q) = V, entonces \I(p++ q) =
b) v (p) = F, \1 (q) = V, entonces \I(p++ q) =
e)- \I(p) = V, \1 (q) = F, entonces \)(",p++q) =
ch) \I(p) = V, \1 (p ++q) = F, entonces \1 (q) =d) \l(q) = P, \l(p++ q) = F, entonces v (",p)=e) v (p) = F, \l(p++ q) = V, entonces v (q) = ...
1.9 Condicional
ch)
d) ae)
f) x =g)
si y s610 si es divisible por dos.
b =·c si y s610 si
si y s610 si a = b + c.
'va si y s610 si
si y s610 si x3 = 8.
si y s610 si las diagonalesc) Un cuadrilátero
se bisecan.
b) Dos rectas son paralelas si y s610 si
26
Ahora bien, faltan dos casos por ver, es decir, cuando
y{p)=:¡F Y v{q}= V, y cuando \l(p) = \I(g) :::; F. Ya sabemos que
hay s6lo dos posibles valorp.sde verdad en c6da caso, V o F.
Veamos en una tabla de verdad,lo que sucede al escribir 'las
6) Si 3 x 3 = 9, entonces los políticos son elefante~ per
fectos.
Observe que ,los tres prineros ejemplos son proposiciones
verdaderas y los tres ejemplos restantes son proposiciones fal
sas.
impar.
G) Si llueve, entonces me quedar€ en casa leyendo.
7) Si 2 x 3 = 8, entonces Pedro es un valiente.
Notaci6n: Dadas las proposiciones:p, q, la condicional:
"si p, entonces q", se denota p -+- q. En este caso, p es la pro
posici6n antecedente y q es la proposici6n consecuente.
Valor de verdad: Una condicional es una proposici6n falsa
cuando el antecedente es una proposici6n verdadera y el conse
cu~nte es una proposici6n falsa. 3n los demás casos, es una pro
posici6n verdadera.
La'justificaci6n del valor de verdad anterior radica en que
deseamos estar lo más cerca posible del lenguaje ordinario, y la
única manera de lograrlo, es estableciendo los valores de verdad,
como ~n el párrafo anterior. El uso de una tabla nos ayudará mu
cho en la comprensi6n de estas afirmaciones.
Consideremos la forma proposicional: p -+- q . Para que su va
lor de verdad coincida con el uso en el lenguaje ordinario, eS
tablecemos que cuando v(p) = V Y v(q) = V, entonces v(p -+- q) = V:
cuando v{p) = V Y v~q) = F, entonces v(p -+- q) = F, como nos indi
can los ejemplos siguientes:
1) Si vuela, entonces se sostiene en el aire.
2) Si me besas, entonces me tocarás con tus labios.
3) Si eres hombre, entonces no tienes plumas.
4) Si la vaca es un animal, entonces vuela.
5) Si dos es un número par, entonces cuatro es un número
27
p q p-+q
V V V
V F F
F V V
F F V
Observaciones: 1) La condicional "si p, entonCes q" , es
v(q) = V, Y escribimos F, cuando v(p) = v(q) = F. Note, que la ta
bla as~ obtenida coincide con el valor de q, por lo tanto, el re
sultado de la columna A no es el deseado, ya que estfu~os buscan
do una nueva forma proposicional.
Bajo la colu~a B, escribinos F¡ para los dos casos en es
tudio. De esta forma obtenernos la tabla de verdad de ~a conjun
ci6n (p A q), que tampoco es una forma proposicional nueva.
Para la columna C, hemos usado F, para_el caso en que:
v(p) = F Y v(q) = V, Y hemos usado V, cuando aMbos valores son
falsos. Observando con cuidado el resultado obtenido, nos darnos
cuenta de que es la t.abla de verdad de la bicondicional (p+-+q) •
5610 nos queda una posible combinaci6n que se da ~l escri
bir V cuando v(p)= F y v(q)= V, y también cuando v(p) y v(q) son
F. Con esta columna hemos encontrado una tabla de verdad que no
conocíamos, y de esta manera, por eliminaci6n, hemos obtenido
los posibles valores de verdad de una condicional.
Tabla de verdad 1.5: Por lo anterior concluimos, que la
tabla de verdad de la forma proposicional:"si p, entonces q" es
la siguiente:
p q A B C D
V V V V V V
V F F F F F
F V V F F V
F F F F V V
En la columna A, escribirnos V para cuando v(p) = F y
posibles combinaciones de valores de verdad en los dos últimos
casos citados, ya que en las dos primeras, el uso ordinario
nos ha fijado el valor de verdad.
28
c) (p V q)+-:>-(q v p)
ch) (p ~ p) v (p-+vp)
d) {p -+(q~r)} ++ {(p -+q)~ (p -+r) }
e) ,(pllq)-+p
f) q-+{p v q)
g) (P -+q) ++ ('Vpv q)
h) (p v q) ++ ('Vr11vs)
i) (p~q) -+'V('V~11 (r v s) }
1. Conteste las siguientes preguntas:
a) ¿Cuándo es verdadera la forma proposicional:p++q?
b) ¿Cu~ndo es falsa la forma proposicional:p++q?
c) Cuando v(p)= F, ¿cuál e$ el valor de verdad oe la
forma proposicional:p~q?
ch) Cuando v(q)= v, ¿cu~l es el valor de verdad de la
forma proposicional:p-+q?
,d) ¿Cuál es el valor de verdad de: (pllq)-+(p v q), si
v(q)= F?
2. Construir la tabla de verdad de cada una de las s~guientes
formas proposiciónales.
a) p ++ (q v r)b) (p v r). 11 (p -+q)
Ejercicios 1.11
entonces :.•", se entiende que existe relaci6n entre el antece
dente y el consecuente. Por eso es extraño, en L6giéa, unir
mediante este conectivo proposiciones no relacionadas. La raz6n
para esto último, 'es que a la L6gica le interesa el valor de
verdad de las proposiciones y no sus contenidos o las rela~ione~
de causa y efecto que puedan existir entre ellas.
.. 's1. ••• ,
diferente de la condiciona.l "si q, entonces p" .. Por ejemplo,
la condicional: Si 2+2= 5, entonces un paralelogramo es un.
cuadril~te~o, es una proposici6n verdadera. ¿Por qu~? Per~,· la
condicional: Si un paralelogramo es un cuadrilátero, entonces
2+2= 5, es una ·proposici6n falsa. ¿Por qu~?
2) En el, lenguaje ordinario al usar ~l conectivo
29
-ii) Formule las proposiciones siguientes:
.a) (p -+q) v (q-+p)
b) "'q+-+p
e) "'P++ r\,q
eh) (PAq)++ pd) (",pv q) + (PAq)
5. Sabiendo que p representa la proposici6n.: 3 es mayor que 5;
q, la proposici6n: 3 + 2= 5 , Y r; la proposici6n: 4 + 7=9,¿cuál es el valor de verdad de las siguientes proposiciones?
a) p -+'r
b ) P + (q:+ r)
e) (p-+q)-+r
eh) r -+ { {pA (q -+ p» v «q v r) + P) }
d) (p v q v r) +-+ (PAqAr)6. Cuál es el valor de verdad de la forma proposicional:
{(p-+ q) v ("'pAq)}A (r+ q).f dado que:a) \) (p)= \) (q) = V, \) (r)= F
b) \)(p) = \)(r) = F, \)(q)= V
e) \) (p) = \) (q) = \) (r)= F
eh) \).(p) = \) (q) = F I \) (r)= V\
d) \) (p) = \) (r) = V,\) (q) = F
7. Pruebe que: (p-+ q) -+r, y {p + (q-+ r)1 no son formas proposi-
~. a) ¿Qué conectivo ya estudiado tiene igual tabla de'verdad que :(p-+q) A (q-+p)?
b) ¿Qué podemos concluir de la respuesta a la preguntaanterior?
4. Dados p: Está lloviendo.q: Está tronando.
i) Traducir en símbolos cada uno de'los siguientesenunciados:a) Si está lloviendo, entonces está tronando.b) Si está tronando, entonces está lloviendo.e) Está tronando si y s6lo si está Ll.ov.í.erido .
eh) Si está tronando, entonces no está lloviendo.d) No es cierto que está llovi~ndo si y s610 si no
está tronando.
30
Construya las tablas de verdad de~a) . ("'p v q) A "'qb) (p -+q) A qe) "'{ (p -+",q)} ++ (p ~-q)
eh) p-+ {",.p A ("'qhp)}
v V
V F FF V V
F F F
9. Pruebe la equivalencia de las s,iguientes formasproposicionales:a) p-+qb) (ph"'q)-+ "'pe) (ph"'q) -+q
10. ¿Cuáles, de las siguientes (ormas proposicionales, sonequivalentes?a) ("'p -+q) h ('\Ir -+."'q)b) r ...."'pe) p -+"'r
eh)' "'{ ("'q + -vp) h (q -+",r)'11. Sea el conectivo A definido por la I siguiente tabla:.
8. Pruebe que:a) p + 9 ::"'p v qb) "'(p-+q) :: pA"'qe) {(pAq) v p}+'~} :: "'p v "'CI
eh) { ( (pAq) v p» + "'q} :: p+"'qd) (p-++ q) :: . (p +q) A (q -+p)e) (p++q) - (pAq) v ("'pA"'q)f) ("'p-+q) v (phq) :: p v qg) (p++q) -+("'phq) - "'p++qh) "'p++q :: '" (p++q)i) p++q :: q++p
cionales eauivalentes.
31
.posicionales, 'una para cada columna. Se le pide escribir,
1. A continuaci6h, se in~luyen los valores de verdad de dos
.proposicione~ simples, las posibles dieciséis columnas
que se cons í cuen a partir de ellas y dieciséis formas pro- .
Ejercicios 1.12
1.10 Al hablar de las tablas de verdad, dijimos que la
tabla de verdad de una forma proposicional con dos componentes
tiene cuatro filas. Desearnos conocer cuántas columnas diferen
tes pueden encontrarse, dadas dos proposiciones simples. Corno
una proposici6n es verdadera o es falsa, pero no ambas cosas
simultáneamente, para cada fila tenernos dos posibles elecciones:
escribir V o escribir F. Esto, es, para la primera fila podernos
escribir V o Fi luego de escrito esto~ tenernos que la segunda
fila puede ser V o Fi elegido el valor para la segunda fila, el
valor de la tercera fila puede' ser escogido V o F, y por último,
la cuarta fila tambi~n puede elegirse entre los valores V o F.
En conclusi6n, podernos formar 24= 16 columnas, todas ellas dife
rentes entre sf, con los sfmbolos V y F.
El hecho de que dadas dos proposiciones simples, encontre
mos diecis~is tablas de verdad diferentes, parece indicarnos que
necesitarnos, en consecuencia, dieciséis conectivos; pero lo inte
zesant.e es que bastan los conectivos: "',", v , para expresa r, .formas proposicionales correspondientes a cada columna.
Sin embargo, el uso de un solo conectivo comp+icarfa innecesa
riamente la expresi6n de muchas formas proposicionales.
Teniendo en cuenta lo demostrado en el ejercicio 1.9.8 y
en'el presente ejercicio, es evidente,que s610 necesitarnos un
conectivo 16gico para expresar cualquier forma proposicional.
12. a) Usando el conectivo de Sheffer,exprese formas
proposicionales equivalentes a:
i) p -+ qii) p+-+q
b) Pruebe que:{ (plq) I (plq)} I (r j r) :: (p"q) +r
32
2) La siguiente tabla de verdad'muestra que~
{ (pAq) -+ r} ++ {p -+ (q -+ r)} es una tautología. Para facilitar el
manejo de dicha tabla, llamaremos A,a la forma proposicional:
V
F
V
V
F
V
Definici6n 1.11: Una tautología es una forma proposicional
90mpuesta, que es verdadera, cualquiera que sea el 'valor de
verdad de sus componentes at.ónu.cos ,
Ejemplos: 1) La más trival de todas es: p v vp , Veamos la
tabla de verdad correspondiente:
1.11 Clasificaci6n de l~s formas proposicionales compuestas,
2, a) Identifique la'columna que corresponde a:p -+ q. ¿Qué
equivalencia puede usted escribir teniendo en cuenta
el ejercicio 1)?
b) Identifique la columna que corresponde a:p++q. ¿Qué
equivalencia puede usted escribir teniendo en cuenta
el ejercicio 1)?
h ) ( p Jtq ) v ('\.P A '\.q )
i) '\.pAq
j) P v q
k) p
1) p V '\.q
11) '\.pA'\.q
m) '\.q
n) pA'\.p
a) p v '\.p
b) q
c) (pA'\.q)v ('\.PAq)
ch) '\.p
d) pAq
e) '\.p v '\.qf) '\.p V q
g) pA'\.q
_p q 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1,4 15 16
V V F. / F F F V F 'p V F V V F V V V V
V F F F F V F F V F V F V V F V V V
F V F F V F F V F F V V F V V F V V
F F F V F F F V V V F F F V V V F V
~n la raya,al lado de cada forma proposicional, el ndmero de
la columna que le corresponda:
33
Oefinici6n 1.13: Se le llama contingencia a una forma
p q r A B AAB ~r C AABACV V V V V V F F F
V V F V F .F V V F
V F V F V F F F F
V F F F V F V V F
F V V V V V F F FF V F V F F V F FF F V V V V F F F
F F F V V V V F F
2) La siguiente tabla de verdad muestra que:
(P'"q)A (q-+r)A (PA~r)I es una contradicci6n. Para facilitar elmanejo de la tabla de verdad llamaremos A, a la forma proposicional : p -+q 1 B, a la forma proposicional: q -+r y, C I a laforma proposicional: pA'"r
F
F
F
V
V
F
Definici6n 1.12: Una contradicci6n es una forma proposi
cional compuesta,que es falsa, para todos los posibles valoresde verdad de sus componentes at6mico.s.
Ejemplos: 1) La más trivial es: PA~P. Veamos su tablade verdad:
~_p q r pAq A q ...r B A++BV V V V V V V VV V F V F F F V
V F V F V V V VV F F F V V V VF V V F V V V VF V F F V F V VF F V F V V V VF F F F V V V V
(pAq)...r y, B" a la ~orma proposicional p ...'(q...r)•
34
las siguientes formas proposicionales,
son tautologías, contradicciones o continaencias:
a) (p A q) -+'Vq
b) 'V(p v q) -+p
c) {p v (p fI q) } +-~ P
ch) P A (p v q) +-+p
d) ('Vpv q) +-+ (q -+p)
e) (q 1\ 'Vp)-+-+ ('Vq v p)
f) {(p v q) v 'Vr} -+p
g) p-+{(pl\q) l\'Vr}
h) {( P -+q) v (p -+r ) } +-+{p -+(q v r) }
i) 'V( P -+q) -+(p v q.)
p-+r (p v q) +-+(p-+r)
V V
F F
V V
F F
V V
V V
V F
V F
p q r p v qV V V V
V V F V
V F V V
V F F' V
F V V V
F V F V
F F V F
F F F F
Ejercicios 1.1.3
1. Determine, cuáles, de
2) La forma proposicional: (p v q) +-+ (p -+r) es una contin
gencia, como muestra la siguiente' tabla de verdad:.
contin-Ejemplos: 1) La forma proposicional: p A q es una
gencia, como ~uestra la siguiente tabla de verdad:
p q pAq
V V V·
V F F'
F V F
F F F
proposicional compuesta que no;es'una tautolrrgía ni una contra
dicci6n.
35
Definici6n 1.14 Dadas dos proposiciones:p, q, además de
la condicional p + q, podemos considerar las condicionales
siguientes:
1) q -+p, llamada recíproca de p -~q.
2) "'p-+ruq, llamada contraria de p -+ q.
3) v q+ v p , llamada contrarrecíproca de p ~ q.
Ejemplos: 1) Dada la condicional: Si es loco, entonces
está enfermo, sus condicionales derivadas son:
Recíproca: Si está enfermo, entonces es loco.
Contraria: Si no es loco, entonces no está enfermo.
determinar el valor de verdad, como en aquéllos que no
sea posible, justifique su respuesta.
a) p At i) e +p
b) P v t j) p~-rc
e) p -+-t k) rue
ch) t -+p 1) t v e
d) p++t, 11) t A e
e) rut m) t -+ c
f) pAc n) c -+ t
g) p v e ñ) c++t
h) p ....e
1.12 Condicionales derivadas
{(p-*q) 1\ (q-+r)} -+ (p-*r)
(p -*q) 1\ (q + r) 1\ ru(p-+-r)
(p v q) +->- (p Aq)
t una tautología, e una eontradicci6n y puna propo
siei6n cualquiera. Determine, si es posible, el valor de
verdad de las formas proposicionales que se darán a eon
tinuaci6n. Tanto en los casos en los cuales sea posible
(p v q)
{p A(p +q)} -*q
{p1\(g-+p)}+p
{(p-*,q) -* q} +
(p -s- q)
{ (p v q) [\ (p V ruq)} ~-+ p
36
j)
k)
1)11)m)
n)
ñ)
o)
2. Sea
6. Complete los espacios en blanco.
a) La contraria de la recíproca de p + q es
a) v(p)=F , ~(q)=V.
b) v(p)=V, v(q)=P.
c) v(p)=F, v(q)=F.
ch) \'(p)=V , v(q)=V.
d) v("p)=F, v(q)=F.
1. Construya una tabla de verdad para la condicional:p + q,y para cada una de sus condicionales derivadas.
2. Después de observar las tablas de verdad del ejercicio 1,¿qué equivalencias puede escribir?
3. Dadas las proposiciones:
p: Se ve humo.
q: Hay fuego.
Escriba en palabras y en sfmbolos la condicional: "si p,
entonces q", y cada una de sus condicionales derivadas.
4. Escriba las condicionales derivadas de las condicionales:
a) Si no llueve, entonces obtendr~ una A en el curso de
Matemática.
b) Si 4+2=8, entonces el 3 no es un número par.
c) Si el profesor no viene a clases, entonces no tendré
que ir a la universidad.
5. Determine el valor de verdad de: p-.q y de sus condicio
nales derivadas en cada uno de los siguientes casos:
Ejercicios 1.14
Contrarrecfproca: Si no está enfermo,' entonces no es loco.
2) Dada la condicional: Si dos rectas son paralelas, enton
ces no tienen puntos en común, sus condicionales derivadas son:
Recfproca: Si dos rectas no tienen puntos en comúnJ enton
ces son paralelas.
Contraria: Si dos rectas no son paralelas, entonces tienen
puntos en común.
Contrarrecfproca: Si dos rectas tienen puntos en común,
entonces no son paralelas.
37
a la negaci6n de una conjunci6n nos aseg-uraque:'"(p ]\q) ::'"p v "-q. Por lo tanto, la negaci6n de una conjun
ci6n es equivalente a la disyunci6n de las negaciones de suscomponentes. La tabla siguiente nos mostrará la equivalencia:
/sale por el este, es: El sol sale por el este.
Negaci6n de la conjunci6n: La ley de De Morgan con respecto
Ejemplos: 1) La negaci6h de la proposici6n: La caña noes'dulce, es : La caña es dulce.
2) La negaci6n de la proposici6n: Catorce no es divisible
por ~eis, es: Catorce es divisible por seis.3) La negaci6n de la proposici6n: Es falso que Petra pare
ce un elefante, es: Petra parece.un elefante.4) La negaci6n de la proposici6n: No es verdad que el sol
V
F
F
V
V
F
Cualquier proposici6n puede negarse anteponi~ndole laexpresi6n:"Es falso que", como es el caso de la proposici6n:Pedro es un cobarde y el sol brilla, cuya negaci6n puede escribirse: Es falso que, (Pedro es un cobarde y el sol brilla) •Sin embargo, en el fondo, negar una proposici6n compuesta es
más complicado que la simple anteposici6n de una expresi6n.Negaci6n de la negaci6n: La negaci6n de "'pes '"('"p), y
es:taforma proposicional es equivalente a p de acuerdo con lala siguiente tabla de verdad:
1.13 Negaci6n de proposiciones compuestas
38
b) La recíproca de la contrarrecíproca de p +q esc) La contrarrecíproca de la contraria de p +q es
ch) La recíproca de la contraria de p + q esd) La contraria.de la contrarrecíproca de p +q ese) La contrarrecíproca de la recíproca de p +q es
2) La negación de la proposición: Seis es un número par
o no es un número primo, es: Seis no es un número par y es un
número primo.
v V V F F F FV F V F 'F V FF V V F .v F FF F F V V V V
EjemElos: 1) La negación de la proposición: Estoy pasando
por la universidad o la universidad está pasando por mí, es:
No estoy pasando por la universidad y la universidad no está
pasando por mí.
Ejemplos: 1) La negación de la proposición: La rosa es
roja y e~ clavel es blanco, es: La'rosa no es roja o el clavel
no es blanco.
2) La negación de la proposición: La culebra es un reptil
y la vaca no es un ave, es: La culebra no es un reptil o la
vaca es un ave.
3) La negación de la proposLc.í.ón s Roma no es la capital
de Italia y Julio es·un haragán, es: Roma es la capital de
Italia o Julio no es un haragán.
4) La negación de la proposición: Mozart no fue un matemá
tico y 4 no es un número primo, es: Mozart fue un matemático o
4 es un número primo.
Ne~ación de la disyunción: La ley de De Morgan con res
pecto a la negación de la disyunción nos dice que:
(V (p v q) ::'VpA 'Vq. Esto es, la negación de una disyunción
es equivalente a la conjunción de las negaciones de sus compo
nentes. Para ~ayor comprensión de esta equivalencia se incluye
la siguiente tabla de verdad:
V
F
F
F
V
F
V
F
39
'V(
F F F F
V F V V
V V F V
V V V V
vV
F
F
, "
- ._
Ejemplos: 1) La negaci~n de la proposición: Si corres,
entonces sudarás, es: Corres y no sudarás.
2) La negación de la proposición: Si el pato no vuela,
entonces la tortuga es un batracio, es: El pato no vuela y la
tortuga no es ~n batracio.
3) La negación de la proposición: Si un triángulo es
rectángulo, entonces no es equilátero, es: Un triángulo es
rectánqulo y equilátero.
4) La negación de la proposición: Si no tienes catarro,
ent0nces no estornudarás, es: No tienes catarro y-estornudarás.
Negación de la bicondicional: La equivalencia:
(p++q) ::(p -+ q) A (q -+ p) queda establecida por las siguientes
tablas de verdad:
F
V
F
V
F
V
F
F
V
F
V
F
vV
F
F
F
V
F
F
nos indican que: (p -;":1)::("'pv q). Luego, '"(p -+ q) ::"'("'pv q).
Pero,por las leyes de De Morgan: tv("'pv q) ::"'("'p)A"'q.
Por lo tanto, '"(p.+q) ::pA"'q.
Pa,ra facilitar. 'La comprensión de las equivalencias ante
riones, presentarnos la siguiente tabla:
V
F
V
V
F
F
V
V
V
V
F
F
V
F
V
V
V
F
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
V
F
V
V
3) La negación de la proposición: Chopin no fue un poeta
o Gauss fue un matemático, es: Chopin fue un poeta y Gauss no
fue un matemático.
4) La negación de la proposición: No tienes dinero o no
eres simpá~ico, es: .Tienes dinero y eres simpático.
Negación de la condicional: Las tablas de verdad de
(p -+ q) y ('"p v q) que aparecen a continuación:
40
. . ,
Ejemplos: 1) .La negación de la proposición: Serás saluda
ble si y sólo si haces ejercicios, es: (Serás saludable y no
haces ejercicios)o (haces ejercicios y no serás saludable).
2) La negación de la proposición: Un pOlígono es regular
si y sólo si dos de sus lados son congruentes, es: (Un polígono
es regular y dos de sus lados no son congruentes)o aos de sus
lados son congruentes y el polígono no es reguiar).
3) La negación de la proposición: Dos no es un divisor
de a + b si y sólo si a + b es impar, es: (Dos no es un,divisor
de a + b Y a + bes par) o (a'+b es impar y dos es un divisor
de a + b) .
4) La negación de la proposición: No eng6rdarás si y s6lo
si no comes en exceso, ,es: (No ~ngordarás y comes en exceso) o
(comes en exceso y engordarás) .
p q A "'A "'q B "'p C B v C
V V V F F F F F F
V F F V V V F F V
F V F V F F V V V
F F V F V F V F F
leyes de De Morgan obtenemos:
"'{(p -+-q) A (q -+-p)} ::'"(p -+-q) v",(q -+-p). Finalmente, por la
negación de condicionales: "'(p-+-q)v "'(q-+-p):: (pA "'q) v (qA"'P)•
Luego, "'(p++q) :: (pA"'q)v (qA"'p).
Consulte la tabla siguient~ para comprender las equivalen
cias anteriores. En dicha tabla llamaremos, A, a la forma pro
posicional:p++q, B, a la forma proposicional:(pA~) y, C, a la
forma proposicional:(qA"'p).
v v v v v v v vV 'F F V F F V F
F V F F V V F F
F F V F F V V V
Por lo tanto, -,(p+-;..q)- "'{(p-+-q)A (q -+-p)}. Usando las
41
.'
Muchas de las tautologías que aparecen a continuación sonconocidas por el lector. Aquéllas que no le sean conocidas, debe demostrarlas. Indicaremos, entre paréntesis, el nombre con elaalalgunas de las leyes lógicas son conocidas, para referirnos
1.14 Tautolog!as de mayoL uso
a) (/\'pv q) /\(p-+q), b) "'p++-(q /\r)c) {(p v q) A r} ~ ("'q/\p)
eh) {p A (p ~q) }v Iq A ( /\, q ~ "'p)
d) -v (p ~q) ~ (p v q)
e) (/\,q ~ "'p) A (q v r)f) p++- (q A "'r)g) {( "'p/\ q) v (r ~ /\,s)} 1\ {( /\'pv"'q) ~ r}
1. Niegue las siguientes proposiciones:a) Quince es un número impar o es múltiplo de tres.b) Si un número es primo, entonces no es divisible por
cuatro.c) Es falso que veintisiete es un número par.
ch) {p 1\ (p-+ q)} v {g 1\ ("'g-+"'p)}d) Veinte es un número divisible por cinco 'y.la suma de
sus d!gitos no es divisible por cinco.e) La contraria de una condicional verdadera no es una
proposición falsa.f) Si dos proposiciones son falsas, entonces la conjun
ción y la disyunción de ellas son proposiciones falsas.g) Llueve y el sol brilla si y sólo si se está casando
una bruja.h) La división de números reales no es una operación conmu
tativa o seis entre dos es diferente de dos entre seis.i) Si la contrarrec!proca de p ~ q es una proposición ver
dadera, entonces p ~ q'es una proposición verdadera.2. Niegue las siguientes formas proposicionales:
Ejercicios 1.15
42
•
Aunque sí,n especificarlo, cuando hablábamos de equivalencia,
estábamos trabajando con una relación lógica, en dicho caso,
una rel~ción entre formas proposicionales.
Existen otras relaciones lógicas que serán estudiadas en
1.15 Relaciones lógicas
Ley del McdusTollens .
28) p A{(p A""q) -+ r } A {(pA'V q) -+""r } -+q Reducci6n al absurdo.
lI=y de la contradicci6n.
Reducci6n al absurdo.
ley del silogismo.
rey de la contrrarzecfproca-
ley del medio excluido.
rey del rrodus ponens.
22) (p -+q v r) +-+{"" r -+(p -+q) )
2 3 ) {p + (q --\.r ) -(--+{( P A q) + r)24) «p 4 q) A (p + r) +-+ (p -+ (q A r )
25) p Aq -+ (p -+q)
26) {{ r v s ) A (r -+s ) A (s -+t)} +s ..
27) {q A (""p -+ q) }-+q
a ellas posteriormente.
1) p v ""p2) {pA (p-+q)}-+q
3) (p Aq) -+Pi (p Aq) -+ q
4) P -+ (p v q)
5) {{p -+q) A (r-+q)}+-+{{p v r) -+q
6 ) {{~ v q) A "" p} + q7) {(p-+q) A {p-+"-'q)}-+ ""p
8) (pA ""p) -+ q
9) p++ 'V (""p)
10) (p -+q) +-+ ( -v q -+""p)
11) 'V(p Aq) ++( ""p V vq)
12) 'V(p V q) ++ (vp A'Vq )
13) (pAq)++(qAp)
14) (p vq) ++ (q vp)
15) {p A (q Ar)} ++ {(p Aq) A r)}
16) {p v(q v r)}+--+{{p v q)v r)}
17) (p A (q v r»++(pA q) v(pA z)18) (p v (q Ar ) +-+(p v q) A (p v r)
19) 'V(pA'Vp)
20) {{pA'Vq) + {r A 'Vr)}++ (p -+q)
21) «p -+q) A (q +r) -+(p +r)
43
1. Llene los espacios en blanco con una proposición,tal que
Ejercicios 1.16
esta sección, la primera de ·las cuales es la implicación.
Definición 1.15: Sean:p y q dos proposiciones. De~irr,os
que p implica q si el valor de verdad de la condicional p + q
es verdadera.
Ejemplos: 1) Sean:
p: Llueve
q: Se mojan las calles.
"p implica q" ya que la condícional: Si llue
ve, entonces se mojan las calles, es verdadera.
2) Sean:
r: Posees raz6n.
s: Eres humano.
Posees 'raz6n,implica eres humano, ya que la condicio
nal:r + s, es verdadera.
3) Consideremos:
t: Los &ngulos d y e son complementos de un mismo ángulo.
u: Los &ngulos a y e son congruentes.
Es evidente que "t implica u", (¿por quér )4) Designemos por m la proposición: Te mojaste, y,por n,
la proposición: Te baña?te.
"m no implica n" porque pudo mojarse por la lluvia, y
por tanto, la condicional: si te mojaste, entonces te bañaste,
es falsa.
5) Si llamamos t a la proposición: a x b es positivo, y,
u a la proposición: a y b son positivos, tenernosque litno
implica u", porque la condicional: Si a x b es positivo, enton
ces a y b son positivos, es falsa, pues a y b pueden ser ambos
negativos y el producto, en este caso, es positivo.
No'cación:Si "p implica q" escribiremos p~ q. Si "p no
implica q", f.- ~ q .
La implicaci6n: p~q, se caracteriza porque v(q) - V
siempre que v(p) =V.
44
cados diferentes, aunque existe estrecha afinidad entre ellas.
Cuando decimos p ~ q, estamos estableciendo una relaciÓn
entre p y q, en ca~io, cuando decimos P" q, estamos sólo·
planteando una proposici6n. Dadas dos proposiciones: p y q,
siempre podemos considerar la proposición p" q, pero no siempre
existe la relación p=>q, entre dich~s proposiciones. En otras
palabras, ..¡. es un conectivo y ==9 no es un conectivo, sino una
relaciÓn.
La confusi6n entre ambas se agrava por el hecho de que se
usan indistintamente, y asf vemos, c6mo muchos teoremas en
Matemática se enuncian de la forma: "Si ..., entonces ",
cuando en realidad, la forma correcta es: n ••• implica ",
porque un teorema es una proposici6n verdadera.
Ejemplos: 1) Si o: y 1) son ángulos comp Lementar í os,entonces
sen t:t =cos 1'.
3. Sean p y q dos proposiciones. Llene los espacios en
blanco con el o los valores de verdad requeridos:
a) Si P=9q y v(p)=V, entonces 'I)(q)=___
b) Si p~q Y ·.(q)~F, entonces 'I)(p)=----e) Si ~q Y v(q)=v/ entonces v(p)=_
ch) Si p~ Y v(p)=v, entonces v(q)=
d) Si p~q Y v(q)=F, entonces v(p)=
Es importante que d í st ins¡ar.\OSentre la relaciÓn p~q y
la condicional p...q, ya que diChas expresiones tienen signifi-
2. Demuestre,que si p >q y q~r, entonces p >r. Esta propie
dad se conoce corno la propiedad transitiva de la implicaci6n.
la primera proposici6n / amp Laque la segunda.
a) Un número es divisible por dos implica ------------------b) implica los triángulos son semejantes.
c) implica _
ch) Es un cuadrilátero implica -----------------d) Un número tiene un divisor distinto de ~l mismo implica
45
2)1 Si en una circunferencia dos cuerdas son congruentes,
entonces equidistan del centro.
,La definici6n 1.15 nos dice, que cuando el valor de verdad·de la condicional p+ q es V, entonces p implica q, y la tabla
de verdad 1:5 nos dice, que v(p + q) =F s6lo cuando v(p)=V
y v(q) =F. Por 10 tanto, si deseamos probar que la proposi
ci6n p implica la proposici6n q, solamente debernosmostrarque cuando p es verdadera tambi~n q es verdadera. Otra formade probarlo, consiste en mostrar que cuando q es falsa, tambi~np es falsa.
En Matemática se acostumbra utilizar diferentes expresio
nes para indicar "p implica q". Estas expresiones son las siguientes:
i) Si p, entonces q.
ii) P es condici6n suficiente para q.iii) P s6lo si q.iV) q es condici6n necesaria para p.Para entender mejor este lenguaje consideremos los si
guientes ejemplos:1) La condicional: Si un animal es un perro, entonces
tiene cuatro patas, es una proposici6n verdadera. Por tanto,la condici6n: Ser perro, implica que el animal tiene cuatro
patas. Ahora bien, ser perro, es condici6n suficiente para seranimal de cuatro patas, pero no es una condici6n necesaria,puesto que, si es un 1e6n, tambi~n tiene cuatro patas. Por otra
parte, la condici6n: Tener cuatro patas, es necesaria para serperro, pero no es suficiente, porque hay animales de cuatropatas que no son perros.
2) La proposici6n: Si dos triángulos son congruentes, entonces sus ángulos correspondientes son congruentes, es una
condicional verdadera. Note"que la condici6n "triángulos congruentes", es suficiente para que los ángulos correspondientes
sean congruentes, sin embargo, no es una condici6n necesaria,ya que podemos dibujar triángulos con ángulos correspondie~tescongruentes sin que sean triá~gulos co~gruentes. La condici6n:
46
Ejercicio 1.17
1. a) ¿Es:"el animal es carnívoro" condici6n necesaria ó
suficiente para: "El animal es un gato".
b) ¿Es: "El altimo'dígito es O 6 5" cond.í.cí.ónnecesaria
o suficiente para: "Un entero positivo'es múltiplo de 5".
c) ¿ES: "un número es mayor 'que 6 " condí.cí.ónnecesaria o
suficiente para:"El número es mayor que 10".
ii) Un entero positivo es múltiplo de tres, es condici6n
suficiente para que la suma de los ~ígitos que com~orienel
número s~a ~n múltiplo de tres.
iii) Un número entero positivo es múltiplo de tre~, s610 si
la suma de los dfgitos que componen el número, ,esun múltiplo
de tres.
iv) La suma de loa dfgitos que componen un,número es un
múltiplo de tres, es condici6n necesaria para qu~ dicho núme~o
sea maltip19 de tres.
, 'triángulos sean congruentes, pero no es un~ condici6n suficie~-
te porque los triángulos pu~den ser s6lo semejant~s.
Veamos otros ejemplos:
1) La proposici6n: Hay luz, implica'la proposici6n: Hay
c1ar~dad. Esta imp1icaci6n podemos expresafla de l~s siguieptes,
manerqs:
i) Si hay l~z, entonces hay claridad.
ii) Hay luz es condici6n suficiente para que haya cLar í dad,"
iii) Hay luz s610 si hay claridad.
,iv) Hay claridad es ~ondici6n necesaria para q~e haya luz.
2) Un entero positivo es un múltiplo de tres, implica que
la suma de los d~gitos que componen el número es un múltiplo de.,. ~tres. La implicaci6n anterior se puede escribir de las formas
siguientes:
i) Si un entero positivo es múltiplo de tres, entonces la
suma de los dfgitos que componen el número es un múlt~plo de
tres.'
"ángulos correspondientes congruentes", es necesaria para que los
47
Para facilitar el manejo de la misma, llamaremos A, a la forma
proposicional: (pA 'Vq)~ r, B, a la forma proposicional:
[P A (pA <q ) -+ rJ y e, a la forma proposicional: (pA "4) ~ '\J:"
V V V V V
V F F F V
F V V • I F V\
F F V F V
3) p A [(p A'Vq) -+ rJ A [ (p A'\Jq) ~ 'VrJ > q
La implicaci6n anterior queda justificada si construimos
la tabla de verdad de la forma p_roposicional correspondiente.
2) [(p ~ q) A pJ=)q
A continuación, presentamos la tabla de verdad de la for
ma proposicional: [(p ~ q) A pJ ~ q, para justificar la implica
ci6n.
una tautolog1a.
Ejemplos: 1) p )(pvq)
La tabla de verdad siguiente justifica este ejemplo:
p q )
V V V V
V F V V
F V V V
F F F ,V
eh) ¿Es: "Las diagonales son congruentes" condición necesa
ria o suficiente para: "El paralelogramo es un rectángulo".
d) ¿Es: "El tri~ngulo es equilátero" condición necesaria
o suficiente para: "El tri~ngulo es isósceles".
Definición 1.16 Sean p y q dos formas proposicionales. De
cimos que:p =>q si se cumple que la forma proposicional:p ~ q es
48
Como podemos apreciar, la tabla de verdad de la forma pro
posicional no es una tautolog!a, y esto justifica que:
~p -+q) ti (q-+r)] ~ r.
Otra relación l6gica de importancia es la llamada doble
implicaci6n.
Definición 1.17. Sean: P, q dos proposiciones, tales
que,p==§)q y q =9p. En este caso, decirnos que existe una rela
ci6n de doble implicaci6n entre p y q.
Notaci6n: Cuando existe una relaci6n de doble implicaci6h
entre p y q, escr rb í remos i p ee q . Si no existe tal relaci6n,
escribiremos p~ q.
Ejemplos: 1) Sean:
ro: Un triángulo es equilátero.
n. El triángulc tiene tres laaos congruentes.
p q r p-+q a-+r (p~ q) ti (q~ r) A
V V V V V V V
V V F V F F V
V F V F V F V
V F F F V F V
F V V V V V V
F V F V F F V
F F V V V V V
F F F V V V F
4) L(p~ q) ti (q~ r)]~ r. Llamaremos A, a la forma proposicional (p -+q) ti. (q -+r)] -+z .
p g_ r ",g_ PA'"q A B "'r C BAC (BAC) .+- q
V V V F F V V F V V V
V V F F F V V V V V V
V F V V V V V F F F V
V F F V V F F V V F V
F V V F F V F F V F V
F V F F F V F V V F V
F F V V F V F F V F V
F F F V F V F V V F V
49
u ~ t, porque 'todo rectángulo es un cuadrilátero, pero
t ~u, porque existen cuadriláteros que no son rectángulos,
por ejemplo, el trapecio.
5) Digamos que u es la proposici6n: Un cuadrilátero es un
cuadrado, y w es la proposici6n: Un cuadrilátero es un rombo.
Entre u y w no hay una relaci6n de doble implicaci6n,
porque: u ~w, ya que todo cuadrado es un rombo, pero w~ u,
puesto que éxi.stenrombos que no tienen ángulos rectos y por
lo tanto, no son cuadrados.
La definici6n 1.17 nos dice que entre la proposici6n
p y q existe una relación de doble implicaci6n cuando p =;> q, yal mismo tiempo q ~ p. La definici6n 1.15 nos dice,que p;;'q
significa que la condicional p ~ q es verdadera, y q~ p
s~gnifica que la condicional q ~ p es verdadera. En consecuencia
2) Denotemos por p la proposici6n: En un plano, un punto P
está en la mediatriz del segmento AB, y por q,la proposici6n:
La longitud del segmento PA es igual a la longitud del segmen
to l'B.En este caso, sabernosque p~ q, y q~ p, por lo cual
decirnos,qué existe una relación de doble implicaci6n entre las
proposiciones p y q.
3) Sean:
r: Un ser humano respira.
s: Un ser humano está vivo.
Es eviden.teque entre las proposiciones r y s existe una
relaci6n de doble i~plicaci6n .
. 4) Llamemos t a la proposici6n: Un polfgono es un cuadri
látero y, u, a la proposici6n: Un polfgono es un rectángulo.
En este caso no existe una relaci6n de doble implicaci6n, ya
que:
Observe que: "Un triángulo es equilátero", implica: "El
triángulo tiene tres lados congruentes" y: "Un triángulo tiene
tres lados congruentes", implica: "El triángulo es equilátero".
Por lo tanto, entre roy n existe una relaci6n de doble implicaci6n.
50
4) Dos triángulos son congruentes~existe una correspondencia uno a uno entre sus v~rtices, tal que, los ~nguloscorrespondie~tes son congruentes y los lados correspondientes
90.
podemos decir,que entre las proposiciones p y q existe una
relaci6n de doble implicaci6n si se cumple que la bicondic1onal p 1+ q es verdadera, ya que: (p -+ q) A (q -+ p):: (p_ q).De esto altimo, podemos deduci! que, cuando entre las proposiciones p y q existe la relaci6n de doble implicaci6n, sus valores de verdad coinciden, es decir, v(p} = v(q) = Vo v(p) = v(q) = F, porque la tabla de verdad 1.4 nos dice,que:y(p_ q) = F s610,cuando los componentes tienen diferentes valo
res de verdad. Si deseamos probar que entre p y q existe larelaci6n de doble implicaci6n, debernosmostrar que cada vezque v(p) = V, también v(q) = V, y, además, que todas lasveces en que v(q) = V, también v(p) = V. Otra forma de probarlo es mostrando que siempre v(q) = F, tambi~n v(p) = F, y,además, que toda vez que v(p) = F, tambi~n v(q) = F.
Cuando hablábamos de implicaci6n, decíamos que suele confundirse con la condicional. En el caso de la doble implicaci6n la confusi6n se presenta con la bicondicional, pero comoantes, decimos que cada una, representa expresiones con significados diferentes: la doble implicaci6n es una relaci6n entreproposiciones y la bicondicional es una proposic16n. Es decir,- es un conectivo y~ es una relaci6n y no un conectivo.
La relaci6n de doble implicaci6n es muy usada enl-1aternáticaen la definici6n de conceptos, porque una definici6n no es más que una proposici6n que expone con claridad yexactitud los caracteres gen~ricos y diferenciales de una cosamaterial o inmaterial.
Ejemplos: 1) Dos ángulos son congruentes < ) ambos tienen
la misma medida.2) Dos segmentos son congruentes <í ;> ambos tienen igual
longitud.3) Dos ángulos son complementarios~sus medidas suman
51
triángulo ABe es equilátero. Las dos implicaciones anteriores
justi~ican que: Ser triángulo equilátero, es condición sufi
ciente y necesaria para: Ser triángulo equiáng~lo y que: Ser
triángulo equiángulo, es condición necesaria y suficiente para:
Ser triángulo equilátero.
2) Entre la proposición: Un triángulo es isósceles, y la
proposici6n: Un triángulo tiene dos ángulos congruentes, exis
te una relaci6n de doble implicaci6n. Tal relaci6n, podemos
expresarla ae las siguientes formas:
i) ''Untriángulo es is6sceles", es condición suficiente y\
y, también: El triángulo ABe es equiángulo, implica e Lgulo
Note, que esta rtlti~a puede desglosarse en las oraciones:
1) p si q (q => p)
2) P s610 si q (p --i> q)
Ejemplos: 1) Consideremos la proposici6n: El triángulo
ABC es equilátero si y sólo si el triángulo ABC.es equiángulo,
que es una bicondicional verdadera. Por lo tanto: El triángu
lo ABe es equilátero, implica que el triángulo ABC es equián-
una relación de doble implicaci6n. Dichas expresiones son:
i) p es condición suficiente v necesaria para q ,(¿por qué?).¿
ii) q es condici6n necesaria y suficiente para p.
iii) P si y s610 si q.
son congruentes.
5) Dos triángulos son seme jant.ea e=e existe una correspon
denc~a entre sus vértices, tal que, los ángulos correspondien
tes son congruentes y los lados correspondientes son propor
cionales.
6) Un nrtmero entero positivo: p, es primo ~ sus rtnicos
divisores son 1 y p, y p ~ 1.
~unque las definiciones se presentan de la forma" ... si
y s610 si...", sabernos, que no es lo correcto, y s610 el abuso
del lenguaje ordinario, justifica que se admita como válida
esta forma de presentación.
En Hatemática se utilizan diferentes expresiones para
indicar que en~re dos proposiciones, digamos p y q, existe
52
3) (p A "'q) <=1=> (q A "'p)Llamaremos A, a la forma proposicional p {\~q y llamare
mos B I a la forma proposicional: qt, ",p.
p q r q v r A ",r p ->q B A -++BV V V V V F V V V
V V F V V V V V V
V F V V V F F V V
V F F F F V F F V
F V V V V F V V V
F V F V V V V V V
F F V V V F V V V
F F F F V V V V V
La relaci6n anterior queda justificada si construimos la
tabla de verdad correspondiente. Para facilitar el manejo de
dicha tabla f. llamaremos A, a la forma proposicional: p + (qv r)
y, B, a la forma proposicional: ~r + (p+ q) .
v V F V V
F F F F V
V V V V V
F V V V V
p+ (q v r) ~ "'r + (p + q)
F
F
2)
~I
necesaria para: "Fltriángulo tiene dos ángulos congruentes".
ii) Un triángulo tiene dos án9ulos congruentes, es condi
ci6n necesaria y suficiente para que el triángulo sea is6sceles.
iii) Un triángulo es is6sceles si y s610 si el triángulo
tiene dos ángulos congruentes.
Definici6n 1.18 Sean: p y q dos formas proposicionales.
Decimos que entre p y q existe una relaci6n de doble implica
ci6n si la forma proposicional p ++ q es una tautologia. En tal
caso, escribimos p~q.
Ejenplos: 1) Entre las formas proposicionales: p + q , y~p v q existe una relaci6n de doble implicaci6n.
La siguiente tabla de verdad justifica este ejemplo.
53
dl2.. Demuestre que:
a) p~ p. Esta propiedad se conoce como propiedad refle
xiva de la doble implicació&.
~ es un polígono convexo que---------------------además es equilátero y equiángulo.
eh)
--------------------_.a)'Dos rectas son perpendiculares ~
'b) Un ángulo es ~ su v~rtice es un
Eunto de una circunferencia y cada uno de sus lados
interseca la circunferencia en otros dos puntos.
e) Un polígono es convexo ~
1.' Llene los espacios en blanco con una proposici6n, tal que
entre la primera proposici6n y la segunda exista una relaci6n
de doble implicación.
Ejerci.cios 1.18
Por lo tanto, en el caso de las formas proposicionales,.puede usarse, indistintamente el símbolo = o el símbolo ... ,
porque ~i p = q, entonces p~q, y viceversa. Por abuso del
lenguaje, cuando tenemos dos proposiciones: p, q, decimos que
son equivalentes si se cumple p~ q.
La tabla de verdad correspondiente indica que la forma
pxopos í c í oneL; (p J\IVq) -++ (q J\"'p)no es una tautología. Esto
justifica q u e no exista relación de doble implicaci6n entre
.Las formas proposicionales.
Ahora bien, si la forma proposicional!p-++ q es una tauto-~
logía, es porque la forma proposicional p y la forma proposicio-
nal q tienen la misma tabla de verdad, pero la definici6n 1.8
nos decía que,en tal caso,las formas proposicionales son equi
valentes.,
p . q ",q. A ",p B A -++B
V V F F F F V
V F V V F F F
F I v F F V V F
F F V F V F V
54
1.16 Formas argumentales
Constantemente, en la vida diaria, nos encontramos con razonamientos, tales como:
1) Si un hombre está casado, entonces tiene problemas.Este hombre no tiene problemas. Por lo tanto, este hombre noes casado..
2) Si estudio Lógica, me duele la cabeza. Si me duele'l~
cabeza, tomo aspirinas. Anoche tornéaspirinas.,Por lo tanto,no estudié Lógica. ,
En base a nuestras experiencias, muchas veces podemo&decir, si un razonamiento como los anteriores, es correcto o
no. En otras ocasiones, en las que se presentan argumentosmuy complicados, el análisis de los mismos requiere una mayor
precisión de 10 que se entiende por un argumento correcto •....
Precisamente, uho de los más importantes frutos que los autoresesperan obtener con estos apuntes, es que el lector pueda de
terminar si un argumento es correcto o no.
Definición 1.19 Sean: P1' P2 ...,'Pn ' q, form~s proposicionales. Una forma argumental es una forma proposicional
del tipo: (P1J\P2J\...J\·Pn -+q.Definición 1.20 En la for~a argumental (P1 J\ P2 J\ ••• A Pn)..q,
las formas proposicionales P1' P2' ..., Pn se llaman premisaso hipótesis, y la forma proposicional ~ se llama conclusión.
Definición 1.21. La forma argumental (P1 J\ ••• J\ Pn) -+q es
--------------------_.
----------------~--.
cación.
3. a) Si p~q Y v(p)= V" entonces v(q)=
b) Si p~q Y v(q):;:F, entonces v(p)=
c) Si p~q Y v(q)= V, entonces v (p):;:
ch) Si p~q Y .,,(p)= v, entonc.es V ('l.q)=
d) Si p~q Y v(p)= F, entonces v(q)=
b) Si P .:=;. q, entonces q -==:> p. Esta propiedad se conoce como
la propiedad simétrica de la doble implicaci6n.c) Si p -==:> q, y q -==:> r, entonces p <==> r. Esta p~opiedad se
conoce como la propiedad transitiva de la doble i.mpli-
55
Cornovemo~ es una tautología, por lo tanto, la forma
argumental es válida.
Ejemplo 2: p A (r v s) + (pA r)
En este ejemp1~ las premisas son: p, (r v s) y la conclu
si6n es pAr.
Veamos la tabla de verdad correspondiente, en la cual
llamaremos A, a la forma proposicional:PA (r v s) y, B, a la
forma proposicional: PAr.
V
V
V
V
F
F
F
V
F
V
F
vV
F
F
válida si y s610 si (P1A P2 A ••• A Pn) ~ q. En caso contrario, de
cimos que la forma argumental es una falacia.
Ahora bien, recor~emos que para demostrar que p ~ q, basta-.
ba con mostrar que p ~ q es una tautología. Por 10 tanto, si
deseamos probar que la forma argumental: (P1A P2 A ... APn) + q
es válida, debemos probar que la forma proposicionaJ:
(P1A P2 A .•.A Pn) + q es una tautología.
Por esta raz6n, es que las tautologías son tan importantes
en el estudio de la L6gica.
Ejemplos: 1) (p A q) + q.
En este ejemp1~ p, q son las premisas, y q es la conc1usi6n.
Deseamos averiguar si ésta es una forma argumental válida
o no. Por la definici6n 1.21 sabemos que la validez depende de
que la forma proposicional sea una tautología. Para saber si
una forma proposicional es una tautología, debemos construir
su tabla de verdad, o bien, comparar la f~rma proposicional con
formas proposicionales que son tauto10g1as, por ejemplo, las
leyes que se incluyen en la secci6n 1.14.
En el presente ejempl~ sabemos que es una tautología porque
está incluida como tal en la secci6n 1.14, (número 3).
De todos modos construyamos su tabla de verdad:
56 .
La forma argumental: (Pl AP2 A•.• APn) -+ q, también puedepresentarse en forma vertical, de la siguiente manera:
Para demostrar que la forma argumeptal: (Pl A... ApJ -+ q esválida basta con establecer 'Pl A ..• Jo. P ~ q. Luego es suficienten .probar que \1 (q) =V siempre que \1 (Pl Jo. ••• APn)= V. Pero\1 (Pl A••• APn)= V si y s6lo si \1 (Pl) = ••• = \1 (Pn)= V. Por tanto,"una forma argumental es válida si y s610 si .la conclusi6n esverdadera en todos los casos de verdad en los que todas las premisas son verdaderas. En síntesis, nos interesa el valor de verdad de la conclusi6n, solamente cuando todas las premisas sonverdaderas.
Comovernos, la forma proposicional: [p A(r v s) J -+ (p Ar) noes una tautología y por lo tanto, la forma argumental es una falacia.
p q r s r v s A B A-+B
V V V V V V V V
V V V F V V V V
V V F V V V F F
V V F F F F F V
V F V V V V V V
V F V F V V V V
V F F V V V F F
V F F F F F F V
F V V V V F F V
F V V F V F F V
F V F V V F F V
F V F F F F F V
F F V V V F F V
F F V F V F F V
F F F V V F F V
F F F F F F F V
57
en----------------------conjunci~n de las premisas eslos casos de verdad en que la conclusi6n es falsa.
c) En una forma argumental válida el valor de verdad de la
1. Defina:a) forma argumental.b) forma argumental válida.e) forma argumental no,válida o falacia.
2. Complete:a) Si una forma argumental es válida, la conjunci6n de las
premisas implica lab) Si la de las premisas implica la
conclusi6n, entonces la forma argumental es
Ejerci.cios1.19
PAr
r v s
Entendiéndose,·en tales casos, que las formas proposicionales encima de la raya son las premisas y la forma proposiciona~por debajo de la raya,es la'conclusi6n.
En la forma vertical, los ejemplos 1) y 2) pueden ser escritos de la s~guiente manera:
Ejemplo 1: p
.s.,q
Ejemplo 2: p
q
58
q-++rp-++r
m) pA q;P+9
p v r
q v r
11) P -++q
1) P+ q
k) ID+ nd) P +qv q +rrr +P
e) pAqp+rSI +8r + s
f) P +q
"'9P
g) P ...q
9P
j) '\P
",(p A q)
h) '\!!+ "P
9P
i) P+ q
'9+ rr:
eh) Si la forma argumental: (Pi A•.. APn) + q es válida, entonces la tabla de verdad de la forma proposicional:PI A ••• A Pn + q es una
<1) Si la tabla ~e verdad de: (Pi AP2 A •.. Apn) + q es unacontingencia, entonces la forma argumental:(PI AP2 A •.• Apn) + q es
e) .Si la tabla de verdad de :(P1Á P2A •••11. Pn)+, q es unacontradic9i6n, entonces la forma argumental:(PI AP2 A ••• APn) + q es
3. Determine si las formas argurenta1es siguientes son válidaso son falacias:a) [q A (p + q)] + P
b) [_P A (p ~~ + qe) P +q
q .,..rP +r
ch) P(p v q) + r
59
Definici6n 1.22 Si en una forma argumental
(Pl A P2 A ••• 1\ p) .....q sustituimos las premisas y la conclusi6n porproposiciones específicas, obtenemos un argumento.
Un argumento es, pues, un conjunto finito de proposiciones
en el que se entiende que una de ellas, la conclusi6n, es con
sec~encia de las otras proposiciones, a las que se les llama
~+emisas.Definici6n 1.23 Un argumento es válido si y s6lo si la
forma argumental correspondiente es válida. De otro modo, decimos que es una falacia.
Por lo tanto, un argumento es válido cuando la conclusi6nes una proposici6n verdadera en todos aquellos casos en que laspremisas son proposiciones verdaderas.
Es de suma importancia resaltar, que la validez de un argumento no depende de los contenidos de las proposiciones que lo
componen, sino s6lo de la "forma" del argumehto. Est'ose debe a
que la validez de un argumento se basa en la validez de la.forma argumental correspondiente.
Otro detalle de interés, es que el valor de verdad de la
cenclusi6n no afecta la validez de un argumento. De hech~ podemos tener un argumento válido donde la conclusi6n es una propo
sici6n falsa, y se da el caso, de que tengamos una falacia, y laconclusi6n en tal argumento es verdadera.
Consideremos las proposiciones:
p: Un cuadrado tiene sus cuatro lados congruentes,q: Un pentágono tiene seis lados,
y el argumento: Si un cuadrado tiene sus cuatro lados congruen
tes, entonces un pentágono tiene seis lados. Un cuadrado tiene
sus cuatro lados congruentes. Por lo tanto, un pentágono tienese·islados.
La forma argumental de este argumento es:
\.17 Argumentos
60
Analicemos ahora los argumentos con los cuales se -inic16la secci6n 1.16.
1) Sean:
p: Un hombre está casado.q: Un hombre tiene problemas.
Entonces, {(p-+q) A ~}-+ ~p, es la forma argumental correspondiente.
Veamos si dicha forma argumental, es válida o no, constru-t
yendo la tabla de verdad correspondiente, en la cual llamaremos
sici6n: Un cuadrado tiene sus cuatro lados congruentes, qoe esla conclusi6n de este argumento, es una proposici6n verdadera.
v V V V VV F F F V
F V V V F
F F V F V
Como se aprecia en la tabla, el argumento no es válido, ya
que su forma argumental es una falacia. Sin 'embargo, la propo-
q
Es decir, [(p-+q)AP] -+q, pero vimos en la secci6n ~.14,que esta forma proposicional es una tau~olog!a, por lo tanto,el argumento es válido, y sin embargo, la conclusi6n: Un pent~
gono tiene seis lados, es una proposici6n falsa.Por otra parte, consideremos el argumento: Si un cuadrado
tiene sus cuatro lados congruentes, entonces un pentágono tieneseis lados. Un pentágono tiene seis lados. Por lo tanto, uncuadrado tiene sus cuatro lados congruentes.
La forma argumental de este argumen~o es:
p-+q
_s__p
construyemos la tabla de verdad de :[(p-+q) A q ] -+p.) A
61
Como la forma proposicional no es una tautología, concluimoa que el argumento es una fálacia.
p q r A B C ~ e-+_'\l.)V V V V V V F' F
V V F V F F F V
V F V F V F F V
V F F F V F F VI
F V V V V V V V
F V F V F F V V
F F V V V V V V
F F F V V F V V
"'PPara determinar la validez o no del argumento debemos de-
terminar .i [(p+ q)A (q+ r)A rJ -+"'pes una tautología. Para ellocon.t~yamos BU tabla de verdad. En la misma llamaremos A, a laforma proposicional:p-+ q, B, a la forma proposicional:q+ r y, C,a la forma ,proposicional :'(P+q) A (q-+r) A x ,
V F V FF V F VF F V V
ceec : [(p-+q) A "Iq] -+ I\p[(p-+q) A ~J -+"pe8 una forma
considerado tambi'ri lo es.2) Sean:
p: Estudio L6gica.q: Me duele la cabeza.r: Tomo aspirinas.
La forma a~gumental, correspondiente es:p-+qg -+rr
F F F V
F F V
F V V
V V V
es una tautología, tenernosqueargumental válida y el argumento
vvv
A, a la forma proposicional: (p-+q)A ",q.
A '"
62
1) Obtener que uno de los componentes at6micos de las premisas, o de la conclusi6n es verdadero y falso, lo cual noes posible, (¿por gu~?). De esta imposibilidad, concluimos, quenuestra suposici6n de que la forma proposicional: 'PlA P2 A ••• A Pn ..qno es una tautolog!a, es una suposici6n falsa. Por lo tanto, lanegaci6n de esta suposici6n es verdadera, es decir, la forma
A) Mediante tablas de verdad:En los ejemplos anteriores hemos ilustrado c6mo las tablas
de verdad correspondientes a (P1 A ••• A Pn) ..q nos permiten decidir acerca de la validez o no de una forma argumental. Ahorabien, si se nos pide determinar la v~lidez o no de la forma argumental: I(sv p) A (P" q) A (r"'"p) A {s..'"t>1 ..(qA t), el construir la tabla de verdad de la forma proposicional correspondiente sería sumamente trabajoso por la cantidad de componentesat6micos que posee. Esta es la raz6n por la cual, en ocasione~el procedimiento de la tabla de verdad no es muy convenientepara determinar la validez de un argumento, a pesar de quetiene un gran valor ya que determina automAticamente si unaforma argumental es válida o no.
B) Procedimiento practico:Por la definici6n 1.21 sabemos que la forma argumenta~
P1 A ••• A Pn ..q es válida si la forma proposicional:
P1 '"••• '"Pn -+ q es una tautología.Ahora bie~ si suponemos que la forma proposicional:
Pl ,'"P2 '"••• '"Pn -+ q no es una tautología, queremos decir, quepara algQn caso de verdad la forma proposicional:P1 1\ ~2 1\ ••• A Pn -+ q es falsa, y esto s6lo es posible si v(q)= ..,cuando v(P1A P2 A •• • '" Pn)= V, es decir, cuando todas las premisas son verdaderas y la conclusi6n es falsa.
El suponer que la forma proposicional: Pl A P2 A ••• A Pn -+ q noes una tautolog!a, puede llevarnos a uno de los dos casos siguientes:
1.18 Procedimientos para\determinar la validez de ~una formaargumental
63
b) Si la condicional es falsa, es porque el antecedentees V y el consecuente es F.
[Cp+q) A (q-+r)] -+(p-+r)® ~. ®
c) Si v(p-+ r)= F, entonces v(p)= V y v(r)= F.
[(P+ q) A «r- r~ -+ (p -+r)V ~ ®~®
eh) 'v «p -+q) A (q -+r»= V, implica que \¡ (p -+q)= y v (q -+r)= V.
proposicional:. Pl h P2A ••• APn-+q es una tautolog.ía. Esto quieredecir, que la forma argumental es válida.
2) Obtener un caso de verdad de los componentes at6micos
en el que la forma proposicional: Pl A P2A ••• A Pn-+q es falsa.Por lo tanto, Pl A P2A ••• APn-+q no es una tautolog.ía. Estosignifica que la forma argumental es una falacia.
Ejemplos: 1) [(p -+q) A (q -+r B -+ (P-+r) •Supongamosque: [(p -+q) A (q-+r~ -+ (p -+r) es falsa, entonces
(p -+q) A (q-+r) es verdadera y (p-+r) es falsa, (¿por qu~?). Ahorabien, si v(p-+r) = F, es porque v(p) = V Y v(q) = F. Por otra parte, si (p -+q) A (q -+r) es verdadera, entonces v(p-+q) = V Y,,(q-+r)= V, (¿por qu~?). Pero, tenernos que :v(p)::;; V y tambí én
v(p-+q)= V, por lo tanto, v(q) = V. Además, v(q-+r) = V, Yv(q)= V implica que v(r)= V. Sin embargo, más arriba establecimos que ver) = F. Luego, es falso que l(p -+q) A (q -+r~ -+ (p-+r)no es una tautolog.ía. Por lo tanto, [(p -+q) A (q -+r~ -+ (p-+r)es una tautolog.ía. Esto nos asegura la validez de la forma ar
gumental.Esquemáticamente, el análisis anterior se representa corno
sigue:a) Suponer [(p-+ q) A (q-+r)] -+ (P-+r) no es una tautolog.ía,
esto es, la condicional es falsa.
[(p-+q)A (q-+r~ -+ (p-+r)
®
64
Corno v( (p -+q) A (",~ v "'q» = V, significa que v(p -+q) = V Yv("'p v "'q) = V, tenernos, que: v(p) = V Y v(p -+q) = V, implica que:.. ,v(q) = Vi pero anteriormente establecimos que v(q) = F. Hemosencontrado una contradicci6n.
v(p)= V Y v(q)= F.Primer caso:
pSuponer [(p v q) A q J -+p no es una tautología, esto es, la
condicional es F, as! que debe ser v( ( p v q) A q) = V Y v(p) = F.
Por lo tanto, v(p v q) = V Y v(q) = V. Pero v(q) = V implicav(p v q)= V, independientemente del valor de verdad de p. Hemosencontrado un caso de verdad en el cual la condicional es falsa:v(p)= F y v(q)= V. Por lo tanto, la forma argumental es unafalacia.
3) p-+q
"'p v"'qPAq
Supongamos que! [(p -+q) A (",p,v ",q)] -+ (p Aq) no es una tautolog!a, esto quiere decir, que v( (p -+q) A (",p v ",q» = V Yv(p Aq) = F. Pero, p Aq es falsa en varias situaciones, lascuales debernos considerar.
d) v(P-+ q) = v y v(p)·:c V implica que v(q) = V.[(p -+q) A (q-+ r~ -+ (p -+r)
I I~ I Á I IIIV V '\:!.) V '\:!.) . F V F F
e) v(q -+r) = V Y v(q) = V implica que ver) = V.
[(p -+q) A (q -+r~ -+ (p -+r)I , I I I I Á' I I I IV V V V V V\:!) F V F F
f) Pero ver) = V Y ver) = F, no es posible. Por lo tanto,[(p -+q) A (q -+r)] -:-> (p -+r) y la fOli_ma-argumental es válida.
Para probar que la forma argumental: [(p -+q) A (q -+r~ -+ (p -+r)es válida, no es necesario presentar tan detalladamente los sietepasos anteriores. Lo hemos hecho así para la mejor comprensi6ndel lector.
2) p v q
q
65
b) Si yo no estudio, entonces dormir~.Si estoy preocupado, entonces no duermo.
Si estoy preocupadó, entonces estudiar~.
Si se construyen más casas, entonces los interesesbancarios disminuyeron.
Determine si los siguientes argumentos son válidos o no.
a) Si los intereses bancarios disminuyen, entonces las
personas pedirán más dinero prestado.Si las p~rsonas piden más dinero prestado, ent~ncesse construirán más casas.
Ejercicio 1.20
Segundo caso s v(p)= F Y v(q)= V.En este caso ~v(p-+-q)= V y' \)('VpV 'Vq)= V, (¿por qu~?).
Luego, en este caso de verdad, la condicional es falsa.Tercer caso: v(p) = F Y v(q)= F.Como v(p)= F Y v{q)= F tenemos que t v(p-+-q)= V,Y
v('VpV 'Vq)=V, (¿por qu~?). Luego, hemos encontrado otro caso
de verdad en el cual la condicional es falsa.
Por tanto, la forma argumental considerada es una falacia.Note el lector, que no era necesario el desarrollo de los trescasos, porque a partir del segundo caso pudimos concluir que laforma argumental era una falacia. Desarrollamos los tres casos
solamente con el fin de ilustrar lo siguiente:Primero: Si existen varios casos de verdad en los que la
condicional es falsa, no podemos concluir que la forma argumental es válida porque encóneremos una contradicci6n en uno de loscasos de verdad posibles (primer caso en nuestro ejemplo). Para
que lá forma-argumental sea vál~da debe establecerse una contradicci6n en cada uno de los casoé de verdad posibles.
Segundo: Si existen varios casos de verdad posibles y en
contramos un caso de verdad en el cual la condicional es falsa,podemos concluir que la forma argumental es una falacia.
66
Me quedaré calvo.
g) Si uso sombrero, me quedaré calvo.Uso sombrero.
Yo no podré terminar mis estudios universitarios.
f) Si ahorro dinero, podré terminar mis estudios universitarios.
Yo no ahorro.
Julián no es simpático.
e) Si un profesor es simpático,entonces no es profesor deFilosof!a.Julián es profesor de Filosof!a.
Si voy en guagua y la guagua está retrasada, entoncesobtendré el empleo.
d) Si voy en guagua y la guagua está retrasada, perderémi cita.Si pierdo mi cita y me siento deca!do, entonces nQ deboir a mi casa.
Si no obtengo el empleo, entonces me sentiré deca!do ytendré que ir a casa.
La pel!cula es alemana.
eh) Si la pel!cula es alemana,-entonces vale la pena ir averla.
La pel!cula no vale la pena o es muy caro ir a verla.
No es caro ir a ver la pel!cula.
El partido es pobre.
e) Si un partido pol!tico no tiene recursos econ6micos,entonces no puede gastar dinero en propaganda por televisi6n.Si un partido no puede gastar dinero en propaganda portelevisi6n, entonces sus posibilidades de ganar laselecciones son bajas.El partido tiene una alta probabilidad de ganar.
67
Este ser no habita en la Tierra.
11) S610 se puede habitar en la Tierra o en Gan!medes, pero
no en ambos.
Si habita la Tierra, vi~e men9s de 150 años.
Si habita en Gan!medes, entonces vive al menos 150 años.
Este ser puede vivir al menos 150 años.
/J
El alma humana es inmortal.
'1) El alma humana es simple.
Si es simple, entonces es incorruptible.
Es incorruptible s6lo si es inmortal.
Pedro es un viejo verde y un tonto.
k) Si un viejo se enamora, entonces es un viejo verde.
El que se enamora es un tonto.
Pedro es un viejo ,qu~ se enamora.
Estudio Ortografía o no iré a la fiesta de la ciudad.
j) Iré al cine o estudiaré Ortograffa.
Si no est.udí o Ortografía, reprobaré el primer examen de
Español.
Si repruebo el primer examen de Español, entonces tendré
que estudiar mucho para el pr6ximo examen.
Si tengo que estudiar mucho para el pr6ximo examen, en
tonces no podré ir a la fiesta de la ciudad.
Los triángulos dados tienen sus ángulos correspondientes
congruentes.
Si estudio L6gica, llegaré tarde a la pIase de L6gica.
i) Los triángulos dados son semejantes.
Si los triángulos dados tienen sus ángulos correspon-.
dientes congruentes, entonces ellos son semejantes.
h) Si estudio L6gica, entonces me acuesto tarde.
Si me acuesto tarde, no me levanto temprano.
Llegaré tarde a la clase de L6gica si no me levanto
temprano.
68
todo número natural n.
3) Si dos ángulos son opuestos por el vértice, entonces
son congruentes.
Muchos teoremas se expresan en forma análoga al ejemplo 3.
Ahora bien, recordemos que al hablar de la implicaci6n, hicimos
notar ~ue un teorema por ser una proposici6n verdadera es una
implicaci6n, aunque, por abuso del lenguaje se expresa en forma
de condicional.
Por lo tanto, para demostrar un teorema de la forma IISip,
entonces qll,tenernos que probar, que la proposici6n q es verda
dera cuando la proposici6n p es verdadera. Para realizar esta
demostraci6n contarnos con varios métodos, algunos de los cuales,
los más importantes~ serán presentados a continuaci6n.
Método directo de demostraci6n: Este método se caracteriza
porque establece que: v(q} = V, partiendo de la afirmaci6n ~v(p}= V.
El esquema que se sigue para demostrar, por el método
Existen números perfectos.n(n+1} .La igualdad 1 + 2 + .•. + n = 2 es vá11da para
1)
2)
En las unidades anteriores presentamos un estudio de las
proposiciones, relaciones l6gicas, formas argumentales, etc.
Todo ello, con el fin de preparar al lector para comprender la
manera c6mo se usan los conocimientos 16gicos para probar la va
lidez de los argumentos utilizados en Matemática para demostrar
que una proposici6n es un teorema.
Es conveniente apuntar, que la L6gica aporta los instrumen
tos necesarios para averiguar si una deducci6n es válida a partir
de las premisas dadas, y esto, porque la validez de una deducci6n
16gica depende tanto del proceso de razonamiento como de la ver
dad de las proposiciones iniciales.
En Matemática un teorema es una proposici6n verdadera y,
cornotal, tiene varias formas de presentarse. Veamos algunas de
ellas:
1.19 Métodos de demostraci6n usados en Matemática
69
m < A + m .<e = 180 Y m < B + m < C = 180 ~m <A+m <C=m <B+m <C
suplemento, el < c.m < A + m < C • 180
(p" Pl)y m < B ... m < C = 180
Luego, n es un divisor de a + b.3) Si dos ángulos, < A Y < B, tienen un mismo suplemento,
entonces los 4ngulos son congruentes.Supongamos que: < A Y < B tienen un mismo< A Y < B tienen < C como suplemento •
dt!a y b, entonces n es un divisor
divisor de a y de b.a = na' y b z: nb' (p .. 1'1)
a + b = na' + nb' (Pl .. P2)a + b = n(a' + b') (P2 .. P3)n es un divisor de a + b (P3 .. q)
2Luego, n es par.
2) S~ n es un divisorde a+b.
Supongamos que:n es unn divisor de a y b ~
a - na' y b = nb' ~a + b = na' + nb' ~a + b = n(a' + be) ~
(p =+ P1)
(P1 =+ P2)(P2 :+ P3)(P3 :+ q)
n es par ~ n = 2kn = 2k ~ n2 = 4k2n2 = 4k2 ~ n2 = 2(2k2)n2 = 2(2k2) ~ n2 es par
directo, cada teorema de la forma "Si p, entonces q", es:
1) Suponer v(p)= V.
2) Construir· una cadena de implicaciones de la forma:
Pa=+P1' P1-=)P2' •.•, Pn-1 ~Pn' Pn ~q.Dado que:p )P1' y que v(p)= v , se tiene que v.(P1)"=v, (¿por
qud?). Pero v (Pt)= V Y P1 )P2 implica que v (P2)= V, (por qu~?) •Si seguimos utilizando sucesivamente un razonamiento an4logo alos anteriores, llegaremos a la conclusi6n de que ~q)a V, porque
v(Pn)· V y Pn~q.Ej·emploa: 1) Designemos:
p: n es par.2q: n es par.
Entonces, para demostrar el teorema "n es par ~ n2 es par",debemos suponer· v(p)=V, esto es, n es par. Entonces:
70
Método Indirecto de Demostraci6n: Los métodos indirectos
para demostrar un teorema de la forma "si p, entonces q" se ca
racterizan porque parten de la hip6tesis v(",q)=V, para pro
bar que:v{q)= V. Su nombre se debe, pues, al rodeo que se
realiza para llegar a demostrar que la conc1usi6n es verdadera.
De este tipo existen varios métodos, pero aquí s610 estu
diaremos dos de ellos.
a) Método de la Contrarrecíprúca.
Este método se fundamenta en la equivalencia siguiente:
p+ q - ",q+",p
Si entonces 3n es par, n es par.
Si + b, entonces 2 2 + 2ab + b2•x·= a x = a
Si + b, entonces 3 3 + 3a2b + 3ab2 + b3•x = a x = a
d).
e)
f)
g) Si < A es congruente con <B y <B es congruente con < C,
entonces < A Y < C son congruentes.
h) Si dos rectas son paralelas, entonces los áng~los alter
nos internos son congruentes. (Para demostrar esta
proposici6n, acepte que la siguiente proposici6n es
verdadera: Si dos rectas son paralelas, en~onces los
ángulos correspondientes son congruentes) .
i) Si n es par y m es impar, entonces m.+ n es impar.
c) Si dos ángulos: < A Y < B, tienen un mismo comple-
mento, entonces los ángulos son congruentes.
ch) Si n es un divisor de a, entonces n es un divisor de
a x b.
Demuestre, utilizando el método directo, que:2a) ~i n es impar, entonces n es impar.
b) Si n es un divisor de a y b, entonces es un divisor de
a-b.
Ejercicio 1.21
(P2 ~ P3)(p'~'.~ q)
m<A+m<C=m<B+m<C~ m<A=m<B
m < A = m < B ~ < A Y <B son congruentes.
Por tanto, < A es congruente con < B.
71
es un número natural.2Sean: p: a es par, q: a es par.
2Supongamos que: a es par (p) y que a es impar ('Vq).
21) Demostrar que: a es par => a es par, donde aEjemElos:
b) Demostraci6n por contradicci6n o reducci6n al absurdo.Es fácil para el lector comprobar que es válida la forma
a:r;gumental:{P A (",q-+r)A (",q-+",r)}-+q.El método de reducci6n al absurdo está basado en dicha
forma argumental. El nombre de reducci6n al absurdo o contradicci6n se debe al hecho de que a partir de:pA "'qse deduce una
'contradicci6n de la forma:r A vr .La proposici6n que nombramos r puede ser la proposici6np,
algán axioma o proposici6n 'establecida o demostrada pr~viamente
o una definici6n.
·Detnues~,utilizarrlola contrarrec!proca,el siguienteteorana:
Si a3 es :impar, entoncesa es .impar, dondea es un nÚlleronatural.
Ejercicio 1.22
a es nn número natural.2Sean: p: a es impar, q: a es impar.
Entonces, el enunciado bajo consideraci6n, se expresa sim
b6licamente como:p 9> q.En símbolos, la contrarrec!proca de la condicional p-+q es
",q.....",p,.que en palabras es: Si a no es impar,entonces a2 no esimpar, pero esta condicional expresa lo mismo que la condicional:Si a es pa~ entonces a2 es par.
Por lo tanto, si ,usamos el m~todo de la contrarrec!proca,lo que debemos probár es que: a es par ~ a2 es par.
Pero esta implicaci6n fue demostrada en el ejemplo 1. En~
consecuencia, ",q~ '"p, y concluimos que p =9 q.
De manera que si probamos que: \)("-<1-+"'p)= V, entonces ha-bremos demostrado que:p ~ g.
EjemElo: Demostrar 2 impar impar, dondeque: a es ~a es
72
El método de demostraci6n por reducci6n al absurdo es·muy
usado en Mat~mática. Más aan, existen teorémas para los cuales
no hay otro método de demostraci6n posible.
En la práctica, la demostraci6n por reducci6n al absurdo
de un teorema termina tan pronto se consigue una contradicci6n· .
con una de las premisas, algan teorema, algan axioma o alguna
definici6n.
2) Sean Ll, L2, L3 tres rectas diferentes en un plano.
Deseamos demostrar que:
(L1 /1 L2) A (L2 1/ L3) ~ Ll 11 L3
Sean p: Lll/ L2
q: L21J L3
.t: Ll // L3
Supongamos que Ll // L2 (p), L2 JI .L3 (q), Li.)('-L3 <"'t).
Ll){ L3 ~ Ll Y L3 tienen un punto, digamos R~'en comün ,
Ll Y L3 tienen un punto R en coman ---> por R pasan dos rectas
paralelas a L2 (r).
Pero esto contradice el postulado o axioma que dice, que
por un.punto exterior a una recta pasa una y s6lo una recta para
lela a dicha recta, esto es, v(~r)= V.
Luego, v (t)= V (¿por qué?). Por tanto, p Aq ~ t.
..p ~ q.
a = 2k + 1 9> a2 = (2k + l)? = 4k2 + 4k + 1I
a2 = 4k2 + 4k + 1 ~ a2 = 2(2k2 + 2k} + 1
a2 = 2(2k2 + 2k) + 1 ~ a2 es impar
Luego, hemos probado ~q ~ ~p, (¿por qu~?) •
Pero ya sabemos que ~q ~ p, (¿por qu~?) •
Por lo tanto, la forma argumental escrita al principio de
la secci6n nos asegura que: v(q}= V cuando v(p)= V, es decir,
hq ~{Pl =9{P2 ~
{P3 ~
a = 2k + 1a es impar ~
73
La parte de la L6gica contenida en este capítulo se conoce
con el nombre de cálculo Proposicional. Debernos observar que no
se hizo ningGn hincapié en el contenido de las proposiciones.
Pusimos énfasis en el hecho de que cada proposici6n tiene un
ánico valor de verdad, 10 que nos permiti6 obtener el valor de
v~rdad de proposiciones arbitrarias combinadas por medio de co
nectivos. De esta manera, obtuvimos las leyes 16gicas, las cua
les son independientes del contenido de las proposiciones compo
nentes y de su v~lor de verdad. Es decir, resaltamos las formas
proposicionales, en lugar de las proposiciones. Finalmente,
notemos que cada forma proposicional fue identificada con su
correspondiente tabla de verdad.
1. Demuestre usando reducci6n al absurdo, que:
a) sí a2
es impar, a es impar, donde a es un ntlrreronatural.b) En un plano, si dos rectas son perpendicularesa una misma
recta entonces son paralelas.
c) Si dos rectas se intersecan,entonces tienen exactamenteunun punto en ccmün,
ch.}En un plano, por un punto exteriora una recta existe una y
s610-una recta perpendiculara ella.
d) Si a x b es par, a es par o b es par; a y b ntlmerosnaturales.
2. Demuestre que la forma argumental siguiente es v~ida:
{p A (p A "'q -+- r) A (p A "'q-+- vr ) } -+- q. (Forma general de reducci6n al absurdo).
Ejercicios 1.23
74
Analice, de manera semejante al ejemplo aneerí.or, .Los arqu-,mentos restantes.
Ejercicio 2.1
Al leerlos cuidadosamente notamos, que al,expresarlo. enforma argumental, obtenemos tres proposiciones aparentemente. . ." -inconexas,.. Tomemos, por ejemplo,: el argumento b):-
Sean: p: Todos los perros son carnívoros.qr Caro es un perro.r: Caro es un carnívoro.
Entonces, el argumento corresponde a la forma argumental:(p A'q)-+ r, la cual no podemos asegurar que sea valida, ya que~~ forma proposicional: (p A q) -+ r es una contingencia.
-Todos los estudiantes son caballerosos.
eh) Todos los estudiantes son acad€micos.Todos los académicos son caballerosos.
S6crates es mortal.
e) Todos'lo, hombres son mortales.S6crates es un hombre.
Caro es un carnfvoro •.
"Todos los perros son carnívoros.Caro 'es un perro.
Consideremos los siguientes -argumentos:a) Todos los estudiantes son inteligentes.
Las personas inteligentes tienen 'xito eflla vid'a.Todos los estudiantes tienen 'xito en la vida.
2.1 Proposidiones abiertas
C~qLO DE PREDICADOS DE PRIMER ORDEN
CAPITULO 2
llamaremos proposi~iones abiertas en una variable.
se puede sustituir la variable x se denomina dominio de defini
ci6n de la variable x, o simplemente, dominio de la variable x.
Ahora bien, la oraci6n declarativa: Si x es un estudiante,
entonces x es inteligente, no es una proposici6n, puesto que
carece de valor de verdad. Sin embargo, cuando sustituimos la
variable x por el nombre de una persona, la oraci6n declarativa
tiene un único valor de verdad, es decir, se transforma en una
proposici6n ..
Definici6n 2.3 A las'oraciones declarativas que contienen
una variable y que ,al sustituir dicha variable por un objeto de
su dominio de definici6n.se transforman en proposiciones, las,
La colecci6n dada de objetos por los queDefinici6n 2.2
Ahora bien, de acuerdo a nuestro sentido intuitivo de lo
l6gico~ los cuatro argumentos son válidos. Esto nos lleva a pen
sar, que la ~6gica Simb6lica desarrollada hasta este mom~nto, no
es suficiente para expresar los argumentos considerados, de tal
forma que pueda descubrirse la conexi6n l6gica entre las premisas
y la conclusi6n. En otras palabras, el análisis de las proposi
ciones desarrollado hasta este punto no es completo. Procurare
mos enmendar esa deficiencia en este capitulo.
Del argumento a) consideremos la proposici6n: Todos los es-
tudiantes son inteligentes. Esta ,proposici6n significa que:
Si José es un estudiante, entonces es inteligente.
Si Luisa es una estudiante, entonces es inteligente.
Si Pedro es un estudiante, entonces es inteligente.
Y as!, sucesivamente. Es decir, con cada persona estamos en con
diciones de generar una condicional como las anteriores. Podemo~
entonces, expresar dichas condicionales en la forma:
Si x es un estudiante, entonces x es inteligente,
donde el simbolo x puede ser sustituido por nombres de personas.
Definici6n 2.1 .Una-variable es un símbolo que puede ser
sustituido por cual~uier objeto de una colecci6n dada de tales
objetos.
76
A) Exprese en forma simb6lica las siguientes proposiciones abiertas:a) x es positivo o x es divisible por 3.b} Si x es mayor que cinco, entonces x es un'rtdmero
par.e} Si x'no es par, entonces no es mayor que 5.
eh) x es divisi,ble por 3 y x es un nümero par.d} x es ~ayor que 5 si y s6lo si x,es positivo.
1. sean:p(x)~ x es un entero impar. Sean~l, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9,los objetos del dominio de definici6n de x.a) Escriba el recorrido'de p{x)~b} ¿Para qué n~meros es p(x} verdadera?c} ¿Para qué n11meroses p(x} falsa?
ch) Dete'rmine el valor de verdad de:
i) {p(6} v p{?)} fI. p(5)ii) p(3) ....p(7)
iii) [(p(4)....p(7'))JAp(2)iv) (p(3) v p(6» -(o+',p{4)v) p(9)~[{p{8) .....p(l»]
2. Considere todos los ndmeros enteros cornoel dominio dedefinici6p de x, y sean:p(x): x es un n~mero par.q{x}: x es positivo.r{x): x es divisible por 3.t (x): x es mayor que 5·.
Ejercicios' 2.2
Una propos"ici6n abierta en la variable x la denotaremosp(x}. Si a es un ~lemento del ,dominio de definici6n de x, alsustituir a "x" en p(x} por a, obtendremos la proposici6n p(a)._
Def'i'nici6n2.4 La coLecc í.én de proposiciones generadaspor un~ proposiei6n abier:tap(x) al sustituir a "x" por uno de
"los objetos de su dominio de"definici6n, recibe el nombre derec'orrido"de'la proposici6n abierta p (x) •
77
representar todas las proposiciones generadas de esta forma y seconoce como cuantificador universal debido a que la palabra todos,que caracteriza a este tipo de oraci6n declarativa, indicaoantidad.
Usando el símbolo V , la oraci6n:' Todos los estudiantesaon inteligent~s, se expresa en la siguiente forma:
Si x es un estudiante, entonces x'ti (una A invertida) se usa para
Recordemos, que decíamos, que-la proposici6n:' Todos lose8tudiantes son inteligentes, se descomponf a en una colecci6n de,'proposiciones -de la forma:,ea1n~eligente. El símbolo
e) x es un estudiante -+ x es acad~mico.eh) tic es un mam1fero)·Abe vive en el agua)..d) x vive en el agua + x es un pez.et Ex 8S un estudiante)A 6c es inteligente) •f) x es un tríangulo -+ x es un polígono ..g) x es un trapezoide -+.x es un cuadrilátero.h) .~ es un n11meroprimo ~ x no es par'.i) (x es un carnívqrolv(x es un herbfvoro). '
2.2 Cuantificador universal
3. Muchas veces no es necesario indicar el dominio de definici6n de una variable contenida en una proposici6n abierta p{x) , ya que, por. el contexto, se sobreentiende cu4-le~ son los objetos a sustituir por x.Determine en cada caso un dominio de definici6n conveniénte para las siguientes proposiciones abiertas:a) x es un mamífero -+ x es un carnívoro.b) x es un hOmb+e -+ x es mortal.
Bl Exprese los siguientes símbolos en palabras:al [(p(x)A t (x)~ -+ q (x)b) '\Ir (x) A "'P (x)
e) q(x) v t(x)eh) [(p(x)A 't (x)ij ~.q (x)
d) '"t (x)A "'r(x)A q (x)
78
v x [x es estudiante -+x es inteligente] I
donde, entre corchetes, hemos indicado el alcance del cuantificador. Dicha expresi6n se lee: Para todo x, si x es estudiante,entonces x es inteligente.
Denotemos por p(x) la proposici6n abierta:x es estudiante-+x es inteligente, entonces la proposici6n que
nos ocup~, la expresamos V x fP (x~·•Mediante el uso del cuantificador universal, Y , hemos
logrado obtener las componentes básicos de la proposici6n: Todoslos estudiantes son inteligentes, y por analogía, los componentes básicos de todas las proposic~ones de este tipo. Por otraparte, nuestro lenguaje ordinario considera que una oraci6n deltipo de la proposici6n: Todos los estudiantes son inteligentes,es verdadera si y solamente si cada una de las proposiciones obtenidas al sustituir a "x" por un objeto de su dominio de definici6n, en nuestro ejemplo,por el nomhre de una persona, es unaproposici6n verdadera.
Leyendo.con cuidado el párrafo anterior, nos es fácil convencernos de qué estamos frente a una nueva conectiva. Procedamos a formalizar su definicf6n.
Definici6n 2.5 Sea: p(x) una proposici6n abierta. La proposici6n V x [p(x)] es verdadera si y solamente si cada una delas proposiciones que se obtienen al sustituir x por un objetode su dominio de definici6n en la proposici6n abierta p(x) es unaprpposici6n verdadera. La proposici6n: V x [p(x)] la llamaremosproposici6n universal.
Observemos que la definici6n anterior establece que:Vx ~(x)J es verdadera si y s6lo si cada una de las proposi
ciones en el recorrido de p(x) es verdadera. Por tanto, la uni-,~ersal es falsa si por lo menos una de las proposiciones en elrecorrido de p{x) es falsa.
Ejemplos: 1) Todos 10_ triángulos equiláteros sonis6sceles.
Esta proposici6n es equivalente a:
79
x es un mamífero -+ x es un carnívoro.
3) Sea: p(x) una proposici6n abierta y a un objeto del do
minio de definici6n de x. Demostrar que: V x [p(x)]-+ p (a) es
una tautología.
Demostraci6n: Si la condicional es falsa, entonces
Vx ~(xU es verdadera y pea) es falsa. Pero si pea) es falsa,'entonces 'Vx ~ (x)] es f aLaa , Hemos encoritrado una cont rad í.cc í.én ;
Luego, 'Vx [p(x)]-+ pea) no puede ser falsa y, por tanto, es
una tautología.
En el lenguaje ~rdinario utilizarnos varias expresiones para
i-ndicar el cuantificador universal: Todos, para cada, cada, para
todo, todo, cualquier.
\Ix [x es un triángulo equilátero -+ x es un tri~ngulo is6sceles] •
Ahora bien, un triángulo equilátero es también un triángulo
is6sceles porque para que un triángulo sea is6sceles, basta con
que tenga dos de sus lados congruentes, y en un triángulo equi
látero los tres lados son cangruentes. Luego, al sustituir a x
por un triángulo 'específico en la proposici6n abierta
x es equilátero -+ x es is6sceles
se obtiene ,siempre una proposici6n verdader~.
Si el triángulo es equilátero, la proposici6n es verda~erapor lo explicado más arriba y si el triángulo no es equilátero la
proposici6n es verdadera porque es una condicional con el antece
dente fa·lso. En consecuencia, la proposici6n universal es verda
dera porque todas 'las proposiciones de su recorrido son verdaderas.
2) Todos los mamíferos son carnívoros.
En símbolos esta proposici6n es:
Vx [x es mamífero -+ x es carnívoroJ.
Sustituyamos la variable x por el objeto de su dominio lla
mado "vaca", entonces obtenernos la proposici6n:
La vaca es un mamífero -+ la vaca es carnívoro,
la cual es una proposici6n falsa, (¿por qu~?) .
Concluimos que la universal es falsa porque hemos encontrado,
al menos,una proposici6n falsa en el recorrido de la proposici6n
abierta
80
dera.
g) Sean:p(x) y q(x) dos proposiciones abiertas. Si pea) es
verdadera y q(a) es falsa, entonces la universal:
Vx fp (x) A q (x)] es falsa.
h) Sean:p(x) y q(x) dos proposiciones abiertas. Si
v(p(a»= V y v(q(a»= F, entonces "Ix [p(x) ~q(x~ es
verdadera.
d) La universal: Todos los narnerosprimos son impares, es
falsa.
e) La universal: Todos los rombos son cuadrados, es falsa.
f) La universal: Todos los cuadrados son rombos, 8S verda-
Ejercicios 2.3
1) Clasifique las siguientes oraciones en verdaderas y falsas.
a) Una oraci6n que contiene una variable es una propos1-
ci6n abierta.
b) La proposici6n universal:'\J x [p(x)] es falsa cuandotodas las proposiciones del recorrido de p(x) son
verdaderas.
e) La proposici6n universal: V x [p.(x)]es falsa solamente
cuando todas las proposiciones del recorrido de p(x)
son falsas.
eh) Si una de las propos~c~ones del recorrido de p(x) 8S
falsa, entonces la universal: \/x [p(x)] es falsa.
Ejemplo: Todos los gordos tienen su lado flaco.
Para cada gordo existe su lado flaco.
Cada.gordo tiene su lado flaco.
Para todo gordo existe su lado flaco.
Todo gordo tiene su lado flaco.
Cualquier gordo tiene su lado flaco.
En la expresi6n: V x [p(x)] hay tres componentes:
i) .El cuantificador (V)
ii) La variable (x)
iiij El alcance del cuantificador (p(x»
81
nes y determine su valor de verdad.a) Vx [p(x)]b) \Ix [tVq (x)]-c) \Ix [p(x) + r (x)]eh) Vx [¡> (x) v q (x)]d) \Ix [p(x) v q(x) v r (x>]e) "Ix [p(x) v s (x)]f.) \Ix [r(x) v s (x>1
positivos.Escriba en palabras cada una de las siguientes proposicio-
de x son los ntimerosenteros
3. Sean:p (x) : x es un n11merop~imo,q (x) : x es n6mero perfecto,r (x) : ~ es un n11meroimpar,,s (x) : x es un n11meropar,donde el dominio de definici6n
- i) La proposici6n: Todos los cuadrados son rect4ngulos ytodos los mamíferos son herbívoros, es una proposici6nfalsa.
2.-Escriba en -forma simb6lica cada una de las siguientes proposiciones universales y determine su valor de verdad.a) Cada ndmero par es divisible por dos.b} Todos los n6meros que admiten a 2 y 3 como factores son
dfvisibles por 6.
e) Todos los triángulos congruentes son triángulos semejantes.
eh} Todos los polígonos ~egulares tienen sus lados congruen-tes.
d) Todos los rombos son pol!go~os regulares.e) Todos los planetas tienen luz propia.f} Todos los batracios son anfibios.g) Todos los quelonios son tortugas.h} Cualquier tubérculo es comestible.i) Cada ser viviente tiene un aparato respi~atorio.
82
r -+tY ésta es una forma argumental válida. Luego, si suponemos que
s -+tr -+5
Consideremos, nuevamente, el argumento a) del principio 4.
la secci6n anterior. En símbolos, dicho argumento puede expresarse de la siguiente manera:
\Ix [x es estudiante -+x es inteligente]'r/x [x es inteligente ..x tiene éxito en la vida]
\/x [x es estudiante -+x tiene éxito en la vida]
Si suponemos que las premisas son verdaderas, como hacemosen todos los argumentos, entonces para un objeto.en eapec!fico,xo del domi~io de x tendremos que:
Xo es estudiante -+Xo es inteligenteXo es inteligente -+Xo tiene éxito en La. vida
son proposiciones verdaderas.Ahora bien, no sabemos el valor de verdad de la propo.ici~nl
Xo es estudiante -+xO tiene éxito en la vida, y nos interesa cono
cer dicho valor.Pero, notemos, que usando estas dltimas proposiciones, lo que
tenemos es un argumento de la forma:
2.3 Argumentos que contienen proposiciones universales
g) \Ix [S(X)A'Vq(X)]
h) \Ix [q(x) -++ r (x)]i) \1x [(r (x) A S (x))-+q (x)]
4. Demuestre 'que las'siguientes proposiciones son tautologíasl
a} {\Ix [p(x) A q (x)]} -++ { \/x [p(x)]A \/x [q(xij}b) {'r/x [p(x)]v \Ix [q(x)]}-+ \Ix [p(x) v q(x)]e) {\Ix [p(x) '.. q (x)]-+ { Vx [p(x) ] -+"'x [q(x)]}
S. Demuestre que las proposiciones siguientes no son tautolo
gías.a) p (a) -+ V x [p (x)]
b) {"'x [p(x) v q(x)]}-+{\Ix [P(x)] v "Ix [q(x)]}e) {'r/x [p(x>}-+ \'/x [q(x)]} -+"Ix [p(x) +q(x)]
83
qque es válida, puesto que corresponde al modus ponens.
Por lo tanto, la conclusi6n: Caro es un carnívoro, es ver
dadera siempre que las premisas sean verdaderas, y esto significa
Caro es un carnívoro.
La forma argumental de este argumento es:
p ~ q
p
Caro es un perro ~ Caro es un carnívoro.
Caro es un perro.
te:
las premisas son verdaderas, tendremos que la proposici6n:
Xo es un estudiante ~ Xo tiene éxito en la vida, es verdadera.
Además, como elegimos un elemento arbitrario, xo' del dominio
de definici6n de x, esto es, un elemento .cualquiera de dicho domi
nio, podemos afirmar que la proposici6n: \Ix [x es un estudiante ~ x
tiene éxito en la vida], es una proposici6n verdadera siempre que
las premisas sean verdaderas. Pero, la proposici6n: \1 x [x es un
estudiante ~ x tiene éxito en la vida], es la conclusi6n del argu
mento considerado. Por tanto, dicho argumento es válido.
Es conveniente hacer notar, que al tornarun objeto específi
co, xo' en el dominio de x, lograrnos reducir la validez del argu
mento bajo consideraci6n, a la validez de un argumento dentro del
Cálculo Próposicional.
Pasemos ahora a analizar el argumento b), el cual puede ex
presarse en la forma:
\1x [x es un perro ~ x es un carnívoro]
Caro es un perro.
Caro es un carnívoro.
Supongamos que las premisas son verdaderas, entonces son ver
daderas las proposiciones: Caro es un perro, y Caro es un
.perro ~ Caro es un carnívoro, obtenida esta última, sustituyendo
a la variable x por el nombre Caro.El argumento b) se convierte, pues, en el argumento siguien-
84
3. Determine si los siguientes argumentos son válidos o no.
. q(xO)
e) 'Vx [p (x) -+ q (x)]y x [q (x) -+ r (x)]
V x Cr(x) -+ s (x)J\Ix W(x) -+ s (x)]
1. Exprese cada uno de los argumentos e) y eh) de la secci6nanterior en forma si.mb6licay determine si son válidos ono.
2. Demuestre que las siguientes formas argumentales son válidas.
a) 'ix [p (x) -+ q (x)]\/ x [q (x) -+ r (x)]
'ix [P(x) -+ r(x)]
b) \Ix Ú? (x) -+ q(x)]p (xO)
Ejercicios 2.4
q(xo)Siguiendo un proceso de deducci6n análogo a los usados en
cada caso, nos es fácil ver que son formas argumentales válidas.
que el argumento b) es válido.Los ejemplos anteriores pueden generalizarse en las for-
mas argumentales siguientes:\Ix [p (x) -+ q (x)]\1x [q(x) -+ r (x)]\1x [p (x) -+ r (x)]
\/x [p(x) -+ q(x)]
fleXO)
85
•g) Toda figura es un cuadrilátero.Un triángulo es una figura.
Un triángulo tiene cuatro lados.
h) Todo ndmero primo es p~r o impar.Cuatro es un ndmero par.Cuatro es un ndmero primo.
e) Todos los viejos no tienen dientes.Todq el que no tiene dientes no puede comer ma!z.Todos los viejos no pueden comer ma!z.
f) Mar!~ es cariñosa.Toda persona cariñosa es amada.Todos los que son amados son dichosos.Mar!a es dIchosa •
d) Todos los animales que tienen cuatro patas son cuadrdpedos.Todos los animales cuadrdpedos comen hierba.Las vacas tienen cuatro patas.Las vacas comen hierba.
eh)
Todos los maril1eros 'son nadadores.Todos los errantes son nadadores.Todos los marineros son errantes.
Todos los ajedrecistas son analistas.Todo,s los analistas son sabios.Todos los ajecrecistas son sabios.
e)
b) Todo el que ama es un loco.Juan vive en el campo.Todo el que vive en el campo no ama.Juan no es un loco.
.a), Los mangos son frutas dulces y apeti to,sas'.Toda fruta ,dulce y ape'titosa no crece en pantanos.
Los mango.s no crecen en pantanos.
86
Notamos,que en los argumentos anteriores se presentan proposiciones de la forma: Algunos mamíferos viven en el agua. En
el lenguaje ordinario la palabra "Algunos" es un tanto vaga, peroen Matemática, ,es usada con 'frecuencia:
1) Algunos números primos son impares.2) Algunos triángulos is6sceles son equiláteros.
d) Todos los cursos obligatorios se imparten los viernes.Algunos cursos se imparten los viernes.Algunos cursos no son obligatorios.
b) Algunos estudiantes son inteligentes.Todas las personas inteligentes son agradabfes.Algunos estudiantes son agradables.
e) Todos los ndrnerosenteros son ndmeros racionales.Algunos enteros son potencias de dos.Algunos ndmeros racionales son potencias de dos.
Consideremos los siguientes argumentos:a) Algunos mamíferos viven en el agua.
Todos los animales que viven en el agua son peces.Algunos mamíferos son peces.
2.4 Cuantificador existencial
k) Toda persona loca es insolente.Toda persona insolente es imbécil.Todo hombre es imbécil.Todo hombre es loco.
j) Todas las suegras son chismosas.Todas las personas chismosas son un problema.~das las suegras son un problema.
i) Todos los hombres que van al manicomio son locos.Los médicos deLmanicomio van todos los días'al manúxUdo.Mi papá es médico del manicomio.Mi papá es loco.
87
Proposiciones como la anterior, se consideran verdaderascuan~o existe, por lo menos,un objeto que cumpla con la condici6nestipulada. Por ejemplo, la proposici6n: Algunos"mamíferos vivenen el água, es verdadera, puesto que existe, por lo menos, un mam!fero, la ballena" que vive en el agua.
Definamos el nuevo conectLvo l6gico.Defi-nici'6n2.6 Sea:p(x) una proposici6n abierta. La propo
sioi6n: 3x [pex}J es verdadera si y s6lo si existe, por lo menos,
3) Algunos ndmeros reales son irracionales.En estos casos,el si-gnificadode "Algunos"es "uno o más". De
manera que las proposiciones anteriores equivalen a:1) Uno o más ndmeros primos son pares.2) Uno o más triángulos is6sceles son equiláteros.3) Uno o más ndmeros ~eales so~ irracionales.Dado que las proposiciones anteriores indican cantidad, es
evidente que estamos en presencia de otro cuantificador. Este esllamado cuantificador existencial para cuya representaci6n se usael s!mbolo 3 (una E invertida) •
Veamos c6mo este cuantificador nos ayuda a expresar la proposici6n: Algunos mamíferos viven en el agua. No es difícil convencerse de que esta proposici6n equivale a la siguiente:
Uno o más mamíferos viven en el agua,'qüé 'asu vez equivale a la expresi6n:
3x [x es un mamífero A x vive en el agua].~.ta expresi6n se lee: Existe x,tal que,x es un mamífero y x viveen el agua.
Si ~esignamos por p(x) a la proposici6n:x es un mamífero A x vive en el agua,
entonces podemos escribir:3x [p (x)] para expresar la proposici6nde la que estamos hablando.
De manera analoga al ejemplo anterior,podemos desglosar ensus componentes basicos,proposiciones del tipo: Alguno,smamíferosviven en"el agua. Estamos, pues, en presencia de un nuevo conectivo.
88
un objeto en el dominio de x,tal que, al susti~uir a x por dichoobjeto en p(x), se obtiene,una proposici6n verdadera. La proposici6n:3 x [p(x~ la llamaremos proposici6n existencial.
La definici6n anterior establece que:3 x [p(x)] es verdaderasi y's6lo si, al menos, una de las proposiciones en el recorridode p(x) es verdadera. Por lo tanto, la existencial es falsa sitodas las proposiciones en el recorrido de p(x) son falsas.
Ejemplos: 1) La proposic~6n;3x [(x es un nt1meroprimo) A (x es un nOmero par)] ,
es verdad~ra, ya que, al,sustituir en la proposici6n.abierta lavariable'por el objeto "dos" de su dominio de definic~6n, tenemos una proposici6n verdadera: Dos es un nOmero pr~ y dos esun nOmero par.
~) Algunos triángulos escalenos son is6sceles, ea una proposici6n falsa, puesto que , un triángulo es escaleno sino tiene unpar de lados congruentes, y un triá:1g'Jlt)es is6sceles si-dos desus lados son congruentes, por lo tanto, no existe un t~itnquloescaleno que sea is6sceles.
3) Sea:p(x) una proposici6n abierta Y,a un objeto en el dominio de definici6n de x. Demostrar que: Ji> (a) +3x .[p(x)]e. unatautología.
Supo!l9amosque la condicional dada es ,falsa....L\lego,v(p(a»-Vy ve 3x [p(x)]) c: F. Pero si3x [p(x)] es ~alsa, entonces toda.las proposiciones en el recorrido de p(x) son falsas, en particular pea) es falsa. Hemos obtenido la contradicci6n: pea) ••verdadera y falsa. Luego, la condicional es una tautología.
Las expresiones: Existe, hay, al~~n" uno o más,. son usada. enel lenguaje ordinario para expresar el c;:uantificadorexisteJ'lci.al.
Ejemplos: Existen personas que tienen la,cabeza de ,lujo.Hay personas que tienen la cebeaa.de lujo.Algunas personas tienen la cabeza d~·lujo.Una o más personas tienen la cabeza de lujo.
En la expresi6n: 3x [P.(x)] hay tres componentes:i) Un cuantificador (3)
ii) Una ~ariab!e (x)
89
1. Clasifique las siguientes oraciones en verdaderas o falsas.
a} La proposici6n existencial: 3 x [p(xD es falsa cuandotodas las proposiciones del recorrido de p(x) son falsas.
b) La proposici6n existencial: 3 x ~(xD es verdadera solamente cuando más de una de las proposiciones del recorrido de p(x) son verdaderas.
c} Si una proposici6n del recorrido de p(x) es falsa, entonce~
la proposici6n:3x [p(xD es falsa.ch) Si una proposici6n del recorrido de p(x) es verdadera, en
tonces la proposici6n:3x [p(xD es verdadera.d) La existencial: Existen números perfectos, es verdadera.e) La existencial: Existe un paralelogramo que tiene un ángulo
recto, es falsa.
f) Si v(p(a» = V Y v(q(a» = F, entonces la·proposici6n:':3x [p(x) v q (x)] es verdadera.
g} Si v(p(a).)=V Y v(q(a).)=F, entonces la proposici6n:3x [P (x) v q (x)] es falsa.
h) Si v(p(a))= F Y v(q(a))= V, entonces la proposici6n:
3 x [j? (x)-+ q (x)] es falsa.i) La proposici6n: Hay reptiles anfibios y algún pafs de Amé
rica del Sur habla portugués, es una proposici6n falsa.2. Escriba en forma simb6lica cada una de las siguientes pro
posiciones existenciales y determine su valor de verdad.a) Existen números racionales que son negativos.
b) Hay triángulos semejantes que son congruentes.
c) Algún triángulo rectángulo es is6sceles.ch} Existen números enteros positivos mayores que ocho.
d) Existen mamíferos que vuelan.e) Hay números primos que no son pares.f) Existen cuadriláteros que son rombos y rectángulos.
Ejercicios 2.5
iii} Una proposici6n abierta (p(x»
90
\
v(Vx [p(x~ )= V v(p(x»= V para cualquier,objeto en e.Ldomm.í,o de ·x.
:ve Vx [phc)] )=, F
v(3x [p(x)] ) l1li V
v(3 x [P(x)] }= F v(p(x» = F"'para cualqui~robjeto en el -domí.nao.de x.
v('~Vx fp (,x)])= V ..
v("'Vx [p(x)] )= F
v(",3x [p(x)] )= V.,
-v(",3x [p(x)] )~ F v{p(x» = V para, por les menos',
un objeto' .en .eL domi.nio de x.-
4. Complete el cuadro siguiente:
d) 3 x ' [q(X) ~ (f\X(x»]e) 3x [q(x) v r(x)]f) 3x [p(x) A. s6-t) +'q(x~
'g) 3x [P{x)'+ t{x)]
de x son los seres vivientes.
y determine su válor de vezdad , sean s .p(x): x es una planta,'q(x) :. x ,tiene flores',r(x): x no tiene frutos,S(k): x puede trasladarse,do~de el dominio de de~inici6na) 3x [q(x)]b) 3x\ ['\8 (x)]e), 3x [q (x) A r (x)]
eh) 3x [P (x) + 8 (x)J
g) Algunos triángulos equ.iláteros son t.riángulos rectángulos.h) Algunos trapecio~ son paralelogramos.i) Existen plantas sin flor~s.
3. Escriba eh palabras cada una de las siguientes proposiciones
91
6. Demuestre que las siguientes formas proposicionales son tautolog!as •.
a) \/x [p(x)] ....3x [p(x)]b) 3x [p(x) v q(x)J -++{3x[p(x)] v 3 x [q(x)]}e) 3 x {p (x) Aq (x)']....c3 x [p(x)] A3 x [q(x)]}
7. Dem~stre que las siguientes formas proposicionales no sontautologías.a) 3x [p(x)] ....V x [p(x)]b) .3x [p (x)'] ....p (a)e) {3x [p(x)] A3x [q(x)]}·"" 3 x [p.(x)A q(x)]
8. Si el dominio de la variable x se compone de un ndmero finitode objetos: al' a2, •••, an, demuestre que:a): \Ix [p(l:)j=p(al)'A p(a2) A .•• A p·(an).b} 3x [p(x)]=p(al.)vp(a2)v •••vp(an).
v('t/x [p (x)] )= V -Todas las propos1c10nes en elr.e.corrido de p(~) son ve.r.dader.as.•
v('fIx [p (xj] )= F
v (3 x [p(x)] )= V---
..- ...v (3 x [p(x)] )= F Todas las proposiciones ecr.el-- recorrido de p (x) son faJ.$as.
v (fIJ V x [p(x)])= V
v (fIJ V x [p(x)])= F
v,(fIJ 3- x [p(x)J)= V
v (fIJ 3 x [p(x)])~ F Existe una proposici6n verdaderaen el r~corrido de p(x) •
5. Complete el cuadro siguiente:
92
Supongamos que las premisas son verdaderas, que es ~l tlnico
[(x es mamífero) A (x es pez>]3x
el agua>]
la forma siguiente:
[(x es mamífero) A (x vive 'en
Ix '..'iveen el agua -+ x es pez]
"presentarse de
3x
\Ix
Consideremos el argumento a) de la secci6n 2.4. Por lo ex
presado en dicha secci6n, el 'argumento bajo consideraci6n puede. ,
2.6 Argumentos que contienen proposiciones existenciales'
Exprese 3! en t~rminos de los cuantificadores universal yexistencial.
Ejercicio 2.6
En este caso,estamos en presencia de otro cuantificador, que
se denota: 3!. 'Def'in1ci'6n2.7 Sea:p (x) una proposici6n abierta. La propo
sici6n :3! [p(x)] es verdadera si y solamente si existe un ilnico
objeto en el dominio de x,talque, al sustituir a x por dicho ob
jeto en p(x), se obtiene una proposici6n verdadera.
La definici6n anterior establece que:3! [p(x)]es,una ,propo,si
ci6n verdadera si y s6lo si una sola de las proposici'ones del re
corrido,de p(x) es verdadera. Por lo tanto, la proposici6n es '
falsa cuando todas las proposiciones en el recorrido'de p(x) son
falsas y tambi~n cuando'en el recorrido de p(x) hay más de una,
proposici6n verdadera.
-2.5 En Matemática#se usa con frecuencia la expresi6n: Existe
un l1nico•••
Ejemplos: 1) Existe un l1nico ntimero primo par.
2) Existe una tlnica recta paralela a una recta dada por un
punto fuera de dicha recta.
3) Existe una l1nica descomposici6n en factores primos de un
ntlmero compuesto.\
93
J2I!lracualquier elanento del daninio de x.
q-+-r
PAr,la,cual,como puede probarlo' el lector, es válida.
usando un proceso de razonamiento análogo, al usado en el caso~nterior, puede ,probarse que es válida la forma argumental:
3x (j>(X)A q{x)]Vx ~ (x1 -+-r (x)~3x p(x) A r{x)
~te que la.oonclusi6ne,s una pro¡x>sici6n~tencial. lAlego, bastaencontrar un elemento, a del ~ de x ~a el cual v (pea}Ar (a» =V. Si la conclusi6n fuera una profJOSici6nuniversal, terdr1anPs ~ probar: .v(p(x) Ar(x» ~V,
, '
(a es mamífero) A (a es un pez)Es,te argumento es un caso particular de la,forma argumental:
pAq
a vive en el agua -+-a es un pez.Como la proposici6n: a vive en el agua, es una proposici6n
verdadera,tenemos que aceptar que: a es un pez. ,Por lo tanto, laproposici6n :3x [(x es mamífero) A ,(xes pez)J, es una proposici6nverdadera, puesto que, es verdadera la conjunci6n:
(a es un mamífer~) A (a es un pez) •~ue90, la conc1usi6n del argumento es una proposici6n verdaderacuando las'premisas le;)son. 'Por'tanto, el argumento es válido.
Nuevamente hemos reducido' el argumento cons fdezado a un argumento del c41culo Proposicional,. Es decir,
(a es mamífero) A (a vive en el agua)a vive en e¡ agua -+-a es un pez
caso en el cual 'nos interesa conocer el valor de verdad de l,aconclusiÓn.
Si son ver~aderas, ~ntonces existe un objeto "a" en el dominio de x, tal que, la proposici6n:
(a es mamífero) A (a vive en el agua),es una proposiciÓn verdadera y, en consecuencia, son verdaderaslas proposiciones: a es mamífero, a vive en el agua.
La segunda premisa es una proposici6n universal que suponemosverdadera, por lo tanto, es verdadera la proposici6n~. ,
94
Existen triángulos que no .son oonqzuences.,
Hay personas que no pueden cantar.
f) Todos los triángulos congruentes son semejantes.•Existen triángulos que no son semejantes.
d) 'Los monos comen guineos.Algunos an'imalescpmen guineos.Algunos animales son monos.
e) Todas las personas que hab~an pueden cantar.Ha;i12ersonasgue no hablan.
Algunos hombres son parásitos.
ch) Algunos seres vivos son parásitos.Los hombres son seres vivos.
Algunos policías son exigentes.
c) Algunos policías creen que son cobradores.Los cobr.adores son exigentes.
Hay hombres que suelen hacerse pasax por tontos.•Ha;ihombres gue son inteligentes.
2. Determine si los siguientes argumentos son válidos o no.a) Todos los que roban son ladrones.
Ha;i12eloteros gue roban muéhas bases.Los peloteros son ladrones.
b) Si un hombre suele hacerse,pasar por tonto, entonces esinteligente.
3x [q(x)]
1. Demuestre que las siguientes formas argwmentales, son válidas:a) 3x [p(x) A q(x)]
\Ix [q(x) -+ r (x)]3x [p (x) A r (x) l
b) "Ix [p (x) -+ q (x) ]3x [p(x)]
Ejercicios' 2.7
95
Entre los cuantificadores universal y existencial existe una
estrecha relaci6n, de la que hablaremos en esta secci6n.
Sabemos que la negaci6n de una proposici6n falsa es una pro
posici6n verdader-a, Por lo tanto, si IV(V x [p(x)]) es verdadera,
entonces \Ix [p(x)J es falsa. Esto último quiere decir, que en
el reco+rido de p(x) una o más proposiciones son falsas, y esto,
a su vez, significa que 3x [IVp(x)J es verdadera, porque una o
más de las proposiciones del recorrido de IVp(X)son verdaderas.
Por otra parte, si IV(VX [p(x)]) es falsa, es porque "Ix[p(x)]
es verdadera, lo cual significa que todas las proposiciones del
recorrido de p(x) son verdaderas y, por lo tanto, todas las pro
posiciones del recorrido de ~(x) son falsas. En consecuencia,
3x ~P (x)]es falsa.Los dos párrafos anteriores nos llevan a asegurar que las
formas proposí.cionaLes t ct Yx fp(x)]-)y 3:>:, L'I'P(xUson equiva
lentes, (¿por qu~?).
De tal modo,hemos demostrado el teorema siguiente:
Teorema 2.1 Sea:p(x) una proposici6n abierta, entonces
IV(Vx [p(x)]) ::3 x [IVp(x)] .
A continuaci6n, escribiremos ,los corolarios que se derivan
del teorema anterior.
2.7 Relaci6n entre el cuantificador universal y el cuantificadorexistencial
En las secciones anteriores vimos cómo descomponiendo las pro
posiciones en sus componentes básicos~pudimos mctnejar los argu
mentos que contienen proposiciones universales y éxistenciales.
Ello contrasta con la forma en que tratamos las proposiciones
dentro del Cálculo Proposicional. Por esto, la L6gica contenida
en este capítulo se conoce con un nombre diferente: Cálculo de
Predicados.
g) Todos los profesores son chistosos.
Algunas personas inteligentes no son chistosas.
Algunos profesores son inteligentes.
96
~(E~ist:en estudiantes que son inteligentes)._2) 'V(Todoslos hombres son mortales) <~ (Existen hombres
que no son.mortales) .
3) 'V(Algunosmamíferos viven en el agua) < > (Todos los ma
míferos no viven en el agua).
4) 'V(Algunos hermanos no tienen un mismo padre)< > (Todoslos hermanos tienen un mismo padre) .
5) Desearnos negar la proposici6n: Ningún hombre es inmortal.
Esta proposici6n afirma que:
V x [x es hombre -+x no es inmortal] •
La negaci6n de la proposici6n anterior es:
3x ['V(xes hombre -+x no es inmortal~ •
Pero la negaci6n de: (x es hombre-+ x no es inmortal), es:
(x es hombre A x es inmortal).
Por lo tanto, la neqac rón de la proposici6n: Ning(in hombre
es inmortal, es: Existe un hombre que es inmortal.
6) Deseamos negar la forma proposicional: Y x [p(x) A "-q (x~
'V(V X [p(x) A 'Vq(x~ - 3 x ['V(p(x) A '\q (x)II- 3 x ["P (x) v 'V("'q(x)~
- 3 x ["P (x) v q (x~
Por lo tanto, la negaci6n de: Vx ~(x) A 'Vq(x~ , es:
3x ['Vp(x)v q(x)J .
7) Querernos negar la forma proposicional:
3x [(p(x) v q (x))-+r (x)] .
'V{3x [(p(x) v q Cx) -+r(x)] }
::Yx['V{(p(x) v q(x»-+r(x)}]
:: V x [p(x) v q (x)) A rur(x)]
8) Desearnos negar la proposici6n: Nadie es un tonto.
En términos de cuantificadores esta proposici6n es:
\Ix [x no es un tonto] .
97
Corolario 2.1 'V(V x ['Vp(xÜ ) ::3x [pcx)].
Corolario 2.2 'V(:3x ['Vp(xB ) -='Vx[p(x)] •
Corolario 2.3 IV( 3x [p(xB ) ::'Vx['Vp(xil.Ejern,elos: 1) 'V(Todos los estudiantes no son inteligentes)
h) Ningrtn paralelogramo es un cuadrado.
i) Ningdn borracho es sensato.
j), NlngGn nGmero mayor que cinco es un ndmero negativo.k) Nadie vive en la luna.1) Nadie trabaja en balde.
11) Nadie camina por las nubes.
m) Nadie quiere ir a la guerra.
2. Escriba la negaci6n ,de las siguientes formas proposicionales.
a) \Ix [P(x)-+: q(x)] e) 3x [p(x)-+ q(x)]
b) \Ix [p(x) ++ q(x)] f) 3x [p(x) ++ q(x)]e) 'Vx [p(x) v q(x)] g) 3x [p(x) v q(x)]
eh) \Ix [p (x) A q (x)] h) 3x tp(x) .A q (x>]
d) Vx ['Vp(x)] i) 3x ['Vp(x>]'3 o' Dem'lle_stre·los corolarios que apar-ecen en esta secci6n.
4. Determin~ si el siguiente a~gumento es válido o no:
1. Negar las proposiciones siguientes:
a) Existen ndmeros primos.
b) ~odos los cuadriláteros son pol!gonos.
c) Cualquier rectángulo es un cuadrado.
eh Existen ..cuadr-ados que no son rombos •. , .d) Existen herb!voros q,ueno son m;;un!feros.
e) Todos los mdltiplos de dos son ndmeros pares.
f) ,~xisten ndmeros cuadrados perfectos que son impares.g) ,Ningdp triángulo obtusángulo es equilátero.. "
Ejercicios 2.8
3x [x es un tonto].
Por lo tanto, la negaci'6n de: Nadie es un tonto, es la propo
sici6n: Alguien es un tonto.
Esto es: '
La negaci6n de dicha proposici6n es:
3x ['"(x no es un tonto)] •
98
En Matemática1abundan las proposiciones que contienen dos om4s cuantificadores. Por ejemplo:
Para cada ndmero entero ~ existe un entero b, tal ,que,a + b = O.
Para cada n6mero entero a, existe un entero b, tal que, a< b.Definici6n 2.8 Una oraci6n declarativa con dos o más varia
bles, que se transforma en una proposici6n cuando cada una de lasvariables se sustituye por un objeto de sus respectivos dominiosde definici6n, la llamaremos proposici6n abierta en dos o m4s variables.
La notaci6n que se utiliza en tales casos es: p(x,y);p(x,y,z), etc., dependiendo del ndmero de variables que contengala proposici6n abierta.
Ejemplos: 1) Consideremos la forma proposicional:
\/x [3y [x + y = OJJ, donde, tanto para x como para y, el dominio de definici6n son los ndmeros enteros.
Notemos ,que la conectiva principal es Y x, por lo tanto, laproposici6n es verdadera si para cada objeto "a", en el dominiode definici6n de x, es verdadera la proposici6n:3y [a+y = O] •Por ejemplo, si sustituimos 1a variable x por el objeto n~" desu dominio de definict6n, tendremos 3-y [3+y=0] • Esta proposici6n será verdadera si en el recorrido de 3+y=0, existe, por lomenos, una proposici6n verdadera. Tal proposici6n existe, puesto que si sustituimos 1a variable "y" por el objeto "-3", tendremos 3+(-3)=0, que es una proposici6n verdadera.
En forma similar vemos que para cada objeto "a" en el dominio de x, es verdadera la proposici6n: 3 y [a+y=OJ • Luego,V x [3Y [x+y=oJ] es una proposici6n verdadera.
2.8 Proposiciones que contienen varios cuantificadores
Ningdn borrach6n toma agua.Ningdn deportista es borrach6n.Ningdn borrach6n es deportista.
99
Es conveniente tener presente que cuando una variable, digamos'x, está precedida de un cuantificador, su funci6n no es s6loindicar que lo que expresa la proposici6n debe ser para todos los
objetos de su dominio de definici6n (si el cuantificador es eluniversal) o para alg~n objeto de su dominio de definici6n (si elcuantificador es existencial), sino también para señalar los lu
gares de la proposici6n en que debe insertarse el nombre de losobjetos de su dominio de definici6n.
Trabajar con varios cuantificadores es un tanto complicado.'por el hecho de que debemos utilizar varios corchetes: ~a simpli-ficaci6n de la notaci6n la haremos.de la manera que nos indicanlos siguientes ejemplos:
JJ not. [ ]Ejemplos: 1) \/y [3x [p(x,y) =' \1 y3x p (x,y) .Note, que hemos escrito "not" sobre el ,signo de equivalen
cia. LO hacemos as! para indicar que la equivalencia de las for
mas proposicionales es por notaci6n.2) 3 x ['1y [p (x,y j ] ] n~ t 3 x V y [p(x,y)] •
IlOt3) \{xJ[ \{y [\lz LP(X,y,z)JJ - ~x \}y Vz [P(x,y,z)]·.
2) 3x [\/Y [x ~ y]] , donde el dominio de las variables x, Y, sonlos n6meros enteros positivos.
En este ejemplo:3'~ es 'la conectiva principal. Por lo tanto,
.3x [\lY [x ~ yJJ es verdadera si y s610 si existe un ntimeroentero positivo "n", tal que, VY [n. ~ y] es una proposici6n verdadera, para lo cual necesitamos que en el recorrido de la proposi
ci6n abierta n ~ y, s610 haya proposiciones verdaderas.
Tomando n=l, tendremos que 1 ~ Y da lugar solamente a proposiciones verdaderas cuando se sustituye la variable "y" ppr ob-,jetos de'su dominio, por lo tanto, \/y [1 ~ y] es una proposici6n
verdadera. Esto nos asegura que:3x ['t/y [x ~ y]] es una proposici6n verdadera.
Los ejemplos anteriores nos muestran c6mo se debe trabajarcon una proposici6n con dos cuantificadores. De manera análoga setrabaja con proposiciones que contengan más de dos cuantificadores.
100
, "
Demostraci6n: probemos primeramente que:
'tix '\¡y [p(x,Y)] ,=> ti y. V x, [p(x,y)]. suponqamos 'que:V y 'V x [?(x,y'~es falsa y 'V x ,Y y [p(x,yB 'es verdadera.
~uego, "'.{Vy V x [p(x,yD '}', == " 3 y 3 x ["'p(x,yD 'esverdaderá, es decir, existén objetos a y b,en el domin~o de x,y, r,espect.Lvamerrce , tales que, ",p(a,b)es verdadez'a, Por tapto,. , ., - -',-
Vy [p(a,y~' es falsa y, en coneecuenc í a; V x V y [p(~"yU , esuna propo~ici6n falsa tambi~n.
Un argumento'similar al anterior nos permi~e demost~ar:\/y V x !?(x,Y!J-,)v'xV y ,Ú~(x,Y,)J• !?or tant()l~el teorema ha si-
do ;demostrado. ' ", - ,
Teorema: Vx 3 y [?(x,~n --+'~ y v, ~_ (íi(X,y)] no es una t.au-'tolog!a.
'Demostraci6n:Consideremos el' contraejemplo siguiente:
Las a~irmaciones iii) y iv) nos advierten que n9 debe inver,.tirse el orden de los cuantificadores cuando eptos son de distin-ta especie.
A continuaci6n, demostraremos los teoremas i,)y ~v).,.
Te~rema: V x V y [p(x,yll == V'y \1 x [p~x,y)]
g!a.
not4) 3x [ 'r/y[ 3 z [p(x,y,z>JJJ == 3x. \;j y 3z IP,(x,y,z)]
En general, diremo~,que el cuantificador a la izquierda dé
un 'bloque de cuantificadores es la "conectiva principal" de laforma proposicional o de la proposici6n.
Es posible demostrar los teoremas siguientes:
i) 't/x\1 y ,[p(x,y)] ::V y Y x [9(x,y)]:l í ) 3x 3 y [p(x,y)] == 3 y 3 x ú?(x,y)]Esto quie'redecir'que en una proposici6n Los cuantificado,res
de la misma especi~ pueden intercambiarse sin que por ello se altere su valor de verdad.
Además, se puede demostrar que:
iii) 3x V y [P(x,y)J~VY3x[p(x~Y)J.Ah~ra bien, la forma profosicional:i~) V x 3 y [p(x"y)] -+ 3 y V x [p(x,y)] no,es una. tautolo- '
101
3) Sean x, y, z,ndmeros enteros. Entonces:"'('VxVyV z [(x+y < z) V (x+z < y) v (y+z < x)] )
-+ "'q (y)].. "'q (y»]-v ("'q (x) )]
q(x)]
V'x("'3y [p(x)- "Ix V.y ["'(p(x)- V x V y [p(x) A
- V x V y [p (x) A
Entonces:enteros.Ejemplos: 1) Sean:x,y,ndmeros'"( V x 3 y [y = X 2J )
~ '3 x ["'3y [y = x2]].<~. '3 x V Y ['V(y= x2)]<! > 3 x V y [y"# le 2J2 ) 'V(3x 3 y [p (x) -+ "'q (y) ]) _
2.9 Negaci6n de propos1c10nes y formas proposicionales con dos omás cuantificadores.
enteros.N6tese, que en los ejemplos 1 y 3 escribimos: = porque es
tarnosen presencia de formas proposicionales. Pudimos haber escrito tambi~n el stmbolo~. Peco en los ejemplos 2 y 4 solamente podemos usar el stmbolo~porque estamos trabajando conproposiciones. Como indicamos en el capttulo anterior, por abuso de Lenguaje se usa = y<~indistintamente cuando manejamosproposiciones.
3y 3x [p (x ,y) 11 'Vq(x,y)]
> y], donde x,y son ndmer08
sean:x,Y,variables cuyo dominio de definici6n son los ndmerosenteros.
La proposici6mV x 3 y [x+y=O] es verdadera I (¿por qu~?), pero 3y V x [x+y=O] es una proposici6n falsal(¿por qu~?). Luego,la condicional:V x 3 y [x+y=o]"3 y Vx [x+y-O] es falsa y, por lotanto, el teorema ha quedado establecido.
Ejemplos: De acuerdo a los teoremas i) al iv) se tiene:1) \j x \1y [p(x,y) -+ q (x ,y)] = 'tiy 'tix [p(X , y) ..q (X , Y5] •2) \1x 'tiy [x(y+l) = xy+x] <=-> \1y 'r/x[x(y+l) • xy+x].
donde x,y,son ndmeros enteros.3) 3x 3y [p(x,y)A'Vq(X,y)] s4) 3 x 3 y [x > Y1~> 3y 3 x [x
102
1. Determine el valor de verdad de las p'ropos~c~ones siguientes,en las cuales el dominio de las variables es la co1ecci6n delos ndmeros enteros.a) 'Vx .v y [x.y = y.xJb) 'Vx V y 'V z [(x.y),¡z = x. (Yoz)]e) 'Vx V y V z [tx+y) +z = x + (y+z)]
eh) V x V y [x+y = y+x]d) V x 3 y [ X ,o y = OJe) 3 y V x [x+y = xJf)3 y V x [x.y = x]g) 'ti x :3 y [x+y = x]'h)'Vy:3 x [x.y = x]i) V x 'ti y [x < y]j) V x 3, y [x < y]
2..Escriba la negaci6n de cada una ae las proposiciones anteriores.
3. Demuestre:a) 3 x 3 y [p(x,y)] ::3 y 3 x [p(x,y)]b) 3 x V y [p(x,y)] :.>y'y 3 x [P.(x,y)]
4 o Complete los espao Los en blanco con la respuesta conveniente, asumiendo que x,y,son números reales:
al V x V y, [x ~ y J ~>b) :3 x :3 y [x + y = O] <*=>e). 3 x V y ,~ + y, = x]. :.>d) '1.{ Vx 3 y LX-i;. y < 41}. < >e) 'I.{Vx V y 3 z " [tx + y) + Z ". O.]}<~.f) . '1.{3 x V y \/ z [x < y + z]} ~ :>
Ejercicios -2.9
103
~ ):3x [ 'I.{Vy y Z [(x+y <. ,z) .v (x+z, < y) v (y+~ < x)] l](; )3x 3 y 3 ['1. {\{z [(x+y < z) v (x+z < y) v (y+z < x)]}]
(: ~3 x '3 y '3 z ['1. { (x+y < z) V (x+z < y) v (y+z ,< x)}]:
~ >3x 3 y :3 z [(x+y t z) A (x+z t y) A (y+z. t. X)]
<i >3 x 3 y :3 z [(x+y > .z ) 'A (x+z > y) A (y+z ~ X)]-
'r}x[Ixl < ó -? [sen x] < E] •\Ix [1x I < o -? leos x - 11 < E] .Vn [n > N -? _!_ < E] .
n 1 1"In \1m [(n>N) A (m x N) -? In - mi < EJ.\;J X [o < 1x - 2 1 < o -? Ilog x - log 2 I < E] •\jx [o < [x - al < o -? 1x2 - a21 < E] .\jx [O < 1x - al < o -? If (x) - L 1 < e] .\Ix \jy[lx-yl < o -? If(x) - f(y) 1 < E] •
Vn [n > N -? 1an - a 1 < E ] •
V n \:/ ro D n > N) A (m >,N·)+ 1an - am I < e:] •
104
\lE 30VE 36\lE :3N'rIE 3N\Ir. 36\lE ]6\/r. ]0\le 30Ve 3N'rIE 3N
d)
e)
·f)
g)
'11)i) ~
a)I
b)
e)
eh)
g) ,'\,{Vx 3 y [p(X,y) A ",q(X,y)]}=h) '"{ V x 'rj. y 3 -.z [p (x ,y) -? q (z )] } _i) ,Vx V y V i [(x~y) • z = z".(y.z)]~j) i\,{3xV y [P(X) A q(y) -? ",p(X,y~} =
5. Exprese en símbolos las proposiciones siguientes y luego determine la negaci6n de las mismas. En cada caso el dominio
de las variables es la colecci6n de los nümero'senteros:a) Para cada x, existe y,tal que,y3 = x2.b) Existe x1tal que,para todo y se cumple x+y = y.e) Para cualquier x, y, z,se cumple x.(y+z) = x.y+x.z,d) Dados x, y,existe z,tal que,x-y = z.e) Existen x, y, z,tales que,x2 + y2 = z2., .
6. Escriba la negaci6n de las siguientes proposiciones, asumien-do que y, son ndm~ros reales positivos; x, y, a, an, am'y L
.son n1lmerosreales y que n, m, y N, son nume.ros enteroshpositivos:
798796
12
13
13
49
5349
55
56
63
564
22
26
60
56
93
8356
24
55
26
24
926
34
34
PAGINA
.... .....Formas proposicionales ..equivalencia de .•.•••
._ .............................válida .lapara de.validezdeterminarprocedimiento
.......................falacia ....•..•••
..........................implicaci6n ..••.......
de formas proposicionales
de proposiciones .Formas argumentales ...............•..............••.....
................................inclusiva.
Doble
...........................................
...........................................existencial
relaci6n entre.
Disyunci6n •••
exclusiva.
..........................................
Consecuente .Contingencia .Contradicci6n .Cuantificador
universal ••
Sheffer.
Condicional.
Conectivo de
Conjunci6n •._
Bicondicional .Conclusi6n .
universales ..••.....•....
existenciales.proposiciones
proposiciones
que contienen
que contienen
válido.
...........falacia .............................
...............Antecedente.
Argumento ••
INDICE.
PAGINA
44
48
43
69
71
71
72
8
40
40
38
39
38
4, 14
55
1
6
88
99
79
76
99
77
14
33, 42
2, 5
76
76..........................dede definici6ndominio la.Variable .•..••..
·.......................................de·.......................................
Valor verdad.Tautología •••...
...................... , .verdad.de
.......................................de .•recorrido.....................varias variables.
una ~................................variable .....enen
Tablas
Proposici6n abierta..................~.................universal
cuantificadores.varios ................contienenqueexistencial
......................·.............. ..compuesta.Proposici6n•.
............................................·.......
.............................~negaci6n.
........................·........·..................................conjunci6n.
disyunci6n.
·..................................condicionalunaunaunaunauna
bicondicionaldedededede
.................................
Premisas.Notaci6n.
Negaci6n .....•••....•••
contrarrecíproca.reducci6n al absurdo.
·.........indirecto.·..........................................directo.••
de proposiciones••.••M~todos de demostraci6n
...........................proposicionales.
..............•..............................Implicaci6n.
de formas
Elta Sexta Édici6n de NOCIONES DE LOGICASIMBOUCA fue realizada en EDITORA TALLER,C. por A., Isabel la Católica 309" Santo Domingo,Rep6blica Dominicana, en el mes de febrero de 1988 y
conita de 2,000 (dos mil) ejemplares.
COLOFON