NÚMEROS

COMPLEXOS

ℚℤ

Conjunto dos números complexos

ℕ

𝕀ℝℂ

Número imaginário

𝑥² + 1 = 0𝑥² = −1

𝑥 = ± −1 Número

imaginário

i𝑥 = ± 𝑖

𝑥² + 4 = 0𝑥² = −4

𝑥 = ± −4

𝑥 = ± −1 ∙ 4𝑥 = ± 2𝑖

𝑖5 = 𝑖4 ∙ 𝑖 = 1 ∙ 𝑖 = 𝒊

𝑖6 = 𝑖5 ∙ 𝑖 = 𝑖 ∙ 𝑖 = 𝑖2 = −1 ² = −𝟏𝑖7 = 𝑖6 ∙ 𝑖 = −1 ∙ 𝑖 = −𝒊𝑖8 = 𝑖7 ∙ 𝑖 = −𝑖 ∙ 𝑖 = −𝑖2 = − −1 = 𝟏

Número imaginário

𝒊 = −1

𝑖² = −1 ² = −𝟏𝑖³ = 𝑖² ∙ 𝑖 = −1 ∙ 𝑖 = −𝒊𝑖4 = 𝑖³ ∙ 𝑖 = −𝑖 ∙ 𝑖 = −𝑖2 = − −1 = 𝟏

Número imaginário

A cada quatro potências consecutivas de i, iniciando com oexpoente 1, o conjunto solução sempre é o mesmo

{i, -1, i, 1}

Para determinar o valor de potências com expoentes maiores,basta dividir o expoente por 4 e considerar o resto da divisãocomo o novo expoente, que será o, 1, 2 ou 3.

𝑖2014 = ?5032012

–

2𝑖2014 = 𝑖² = -1

Número complexo: Forma Algébrica

Um número complexo é todo número na forma

z = a + biNúmero

complexo

Parte real de zParte imaginária

de z

Quando a = 0, ⟹ z = bi

Quando b = 0, ⟹ z = aNº imaginário

puro

Nº real

Número complexo

2 + 4i → número complexo

8 - i 2 → número complexo

6i → número complexo puro

4 → número real

-i → número complexo puro

i² → número real

Operações com números

complexos

Seja 𝑧 = 7 + 8𝑖 e 𝑤 = 2 − 5𝑖

ADIÇÃO

𝑧 + 𝑤 =

Operações com números

complexos

Seja 𝑧 = 7 + 8𝑖 e 𝑤 = 2 − 5𝑖

ADIÇÃO

𝑧 + 𝑤 = (7 + 2) + 8𝑖 + (−5𝑖 )

𝑧 + 𝑤 = 9 + 3𝑖 Soma parte real com

parte real e soma

parte imaginária com

parte imaginária.

Operações com números

complexos

Seja 𝑧 = 7 + 8𝑖 e 𝑤 = 2 − 5𝑖

SUBTRAÇÃO

𝑧 − 𝑤 =

Operações com números

complexos

Seja 𝑧 = 7 + 8𝑖 e 𝑤 = 2 − 5𝑖

SUBTRAÇÃO

𝑧 − 𝑤 = (7 − 2) + 8 − (−5 )𝑖

𝑧 − 𝑤 = 5 + 13𝑖

Subtrai parte real

com parte real e

subtrai parte

imaginária com

parte imaginária.

𝑧 − 𝑤 = 7 + 8𝑖 − (2 − 5𝑖)

𝑧 − 𝑤 = 7 + 8𝑖 − 2 + 5𝑖

Operações com números

complexos

Seja 𝑧 = 7 + 8𝑖 e 𝑤 = 2 − 5𝑖

MULTIPLICAÇÃO

𝑧 ∙ 𝑤 =

Operações com números

complexos

Seja 𝑧 = 7 + 8𝑖 e 𝑤 = 2 − 5𝑖

MULTIPLICAÇÃO

𝑧 ∙ 𝑤 = 14 − 35𝑖 + 16𝑖 − 40𝑖²

𝑧 ∙ 𝑤 = 14 − 19𝑖 + 40Aplica a propriedade

da distributividade.𝑧 ∙ 𝑤 = 54 − 19𝑖

Conjugado de um número

complexo

O conjugado de 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 é ҧ𝑧 = 𝑎 − 𝑏𝑖

𝑧 ∙ ҧ𝑧 = 𝑎2 − 𝑎𝑏𝑖 + 𝑎𝑏𝑖 − 𝑏2𝑖²

𝑧 ∙ ҧ𝑧 = 𝑎2 + 𝑏2

1

Operações com números

complexos

Seja 𝑧 = 7 + 8𝑖 e 𝑤 = 2 − 5𝑖

DIVISÃO

𝑧

𝑤=

7 + 8𝑖

2 − 5𝑖A ideia é a mesma

de quando tiramos

uma raiz de um

denominador.

ഥ𝑤 = 2 + 5𝑖Conjugado

de w

Operações com números

complexos

Seja 𝑧 = 7 + 8𝑖 e 𝑤 = 2 − 5𝑖

DIVISÃO

𝑧

𝑤=

7 + 8𝑖

2 − 5𝑖

Multiplica numerador e

denominador pelo

conjugado do

denominador.

∙2 + 5𝑖

2 + 5𝑖=

14 + 35𝑖 + 16𝑖 + 40𝑖²

4 + 10𝑖 − 10𝑖 − 25𝑖²

= −26

29+

51

29𝑖

Operações com números

complexos

Uma fonte de tensão de 220 V alimenta uma carga de impedância

Z = (10 + 10j) ohm. Qual a corrente elétrica fornecida pela fonte?

𝑖 =𝑈

𝑍=

220

10+10𝑗= ?

Operações com números

complexos

Uma fonte de tensão de 220 V alimenta uma carga de impedância

Z = (10 + 10j) ohm. Qual a corrente elétrica fornecida pela fonte?

𝑖 =𝑈

𝑍=

220

10+10𝑗∙

10 − 10𝑗

10 − 10𝑗

=2200−2200𝑗

100+100=

2200

200−

2200𝑗

200

𝑖 = 11 − 11𝑗

Operações com números

complexos

Sendo z=2+3i e w=-1+4i, obtenha:

a) z+wb) z-wc) 3z+6wd) z/we) (z+w)(z-w)f) (z+w)2

a) 1+7ib) 3-ic) 33 i

d)10

17−

11

17𝑖

e) 10+20if) -48+14i

F = x + yi permitecalcular a força dearrasto responsável pelasustentação do corpo.

A partir da soluçãodessa equação, define-se o perfil aerodinâmicoque facilita a circulaçãodo fluido em torno daasa do avião.

Os aviões da Air Race

seguem os mesmos

princípios de todos os

aviões, porém, para a

realização dos

malabarismos, a eficiência

aerodinâmica dessas

aeronaves precisam ser

potencializadas e o arrasto

reduzido.

Representação gráfica do número

complexoNo plano cartesiano, podemos representar qualquernúmero complexo através de um ponto (x,y) onde x é aparte real e y a parte imaginária.

1 2 3 4

4

3

2

1

z = 3 + 2i

y (reta imaginária)

x (reta dos reais)

AFIXO de z

w =

1 +

i

Os números complexos são representados geometricamente no plano XY, pela seguinte equivalênciaz = a + bi P = (a, b), conforme ilustração a seguir.

a) Represente, no plano XY anterior, os números complexosz1 = 2 + 2i e z2 = -2 + 2i.

RESPOSTA:

Exercício

Módulo de um número complexo

Por definição, o módulo é a distância do número até a suaorigem.

No número complexo, o módulo será a distância do seu afixo àorigem.

z = a + bi

a

b

𝒛 = 𝒂² + 𝒃² 𝐄𝐱: 𝑧 = 1 + 3 𝑖

𝑧 = 1² + 3 ²

𝑧 = 1 + 3 = 2

Forma polar ou trigonométrica

de um número complexo

z = a + bi

a

b

𝒔𝒆𝒏𝜽 =𝒃

|𝒛|⟹ 𝒃 = 𝒔𝒆𝒏𝜽 |𝒛|

𝒄𝒐𝒔𝜽 =𝒂

|𝒛|⟹ 𝒂 = 𝒄𝒐𝒔𝜽 |𝒛|

𝒛 = 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒛 + 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒛 𝒊

𝒛 = 𝒛 (𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒊 )𝒕𝒈𝜽 =

𝒃

𝒂

𝒐𝒖

𝒛 = 𝒛 𝜽

𝜽 = 𝒂𝒓𝒈(𝒛)

Determine o módulo, o argumento e represente graficamente o número complexo z = 2 + .

RESPOSTA:

i32

Considere a mira z e o alvo windicados na figura ao lado.Determine o tiro certeiro de z em w.

RESPOSTA:

NÚMEROS COMPLEXOS NO VESTIBULAR

Exercício

Forma polar ou trigonométrica

de um número complexo

Um afixo de um número complexo pode variar em uma circunferência decentro na origem e raio igual a 1.

Assim, o número complexo Z tem módulo 1 e seu argumento (ângulo)varia.

𝒛′ = 𝒛 ∙ (𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒊)

Operações de multiplicação,

utilizando a forma polar

𝒛𝟏𝒛𝟐 = 𝒛𝟏 |𝒛𝟐|[𝒄𝒐𝒔 𝜽𝟏 + 𝜽𝟐 + 𝒔𝒆𝒏(𝜽𝟏 + 𝜽𝟐 )𝒊

𝒛𝟏𝒛𝟐 = 𝒛𝟏 𝒛𝟐 𝜽𝟏 + 𝜽𝟐

𝒐𝒖

Operações de divisão, utilizando a

forma polar

𝒛𝟏

𝒛𝟐=

𝒛𝟏

|𝒛𝟐|[𝒄𝒐𝒔 𝜽𝟏 − 𝜽𝟐 + 𝒔𝒆𝒏(𝜽𝟏 − 𝜽𝟐 )𝒊

𝒛𝟏

𝒛𝟐=

𝒛𝟏

|𝒛𝟐|𝜽𝟏 − 𝜽𝟐

𝒐𝒖

Operações de potenciação,

utilizando a forma polar

𝒛𝒏 = |𝒛|[𝒄𝒐𝒔 𝒏𝜽 + 𝒔𝒆𝒏(𝒏𝜽)𝒊

𝒛𝒏 = 𝒛 𝒏 n𝜽

𝒐𝒖

Exercícios

Realize as operações com os números complexos abaixo:

Z1=2+5j, Z2=41 36º , Z3=3 98º , Z4=-5j, Z5=3[COS(60º)+jSEN(60º)], Z6=20-8j,

Z7=10-15j, Z8=Z5=4[COS(-30º)+jSEN(-30º)]

a) Z1+Z2+Z3b) Z3.Z7c) Z8+Z2.Z4d) (Z8+Z2)/Z7e) (Z6.Z7.Z4)/Z2f) Z2.Z4+Z1g) Z8+Z5+Z3

a) 5,04+5,97jb) 54,06 -41,17ºc) 6,54-19,32jd) 0,44 26,28ºe) 485,18 -138,1ºf) -8 -12,32jg) 4,55+3,57j

Aplicações de Números

Complexos

Um circuito elétrico que contém um resistor R, um indutor L e um capacitor C conectados em série ou em paralelo é

denominado circuito RLC.

A medida da resistência de um circuito RLC é chamada de impedância(Z).

A corrente elétrica i (não

confundir com o número

imaginário) é dada por𝑈

𝑍,

onde U é a tensão (diferença

de potencial ou voltagem).

Z = R + j X, ou na forma polar, Z = |Z| 𝜽

j² = -1 (não usa i para não confundir com corrente elétrica);

f é o ângulo (argumento) de defasagem entre a tensão aplicada e a corrente no circuito;

|Z| é o módulo de Z;

R é a resistência elétrica (em ohm);

X é a resultante (em ohm) das reatâncias indutivas e capacitivas do circuito.

Exercícios

Determine a corrente do circuito abaixo:

I=1,1 113,65º A