número de aparatos telefónicos (incluidos teléfonos...
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Ejercicio nº 1
En una empresa de telefonía están interesados en saber cuál es el número de aparatos telefónicos (incluidos teléfonos móviles) que se tiene en las viviendas. Se hace una encuesta y, hasta ahora, han recibido las siguientes respuestas:
32323
34234
21334
32122
a) Elabora una tabla de frecuencias.b) Representa gráficamente la distribución.
Ejercicio nº 1.-En una empresa de telefonía están interesados en saber cuál es el número de aparatos telefónicos (incluidos teléfonos móviles) que se tiene en las viviendas. Se hace una encuesta y, hasta ahora, hanrecibido las siguientes respuestas:a) Elabora una tabla de frecuencias.b) Representa gráficamente la distribución.
Solución:A) TABLA DE FRECUENCIAS B) DIAGRAMA DE BARRAS
xi fi 1 2 2 7 3 8 4 3 20
Ejercicio nº 2.-Hemos medido la estatura, en centímetros, de 30 personas, obteniendo los siguientes resultados:
a) Elabora una tabla de frecuencias, agrupando los datos en intervalos de longitud 5, empezando en 146,5.b) Representa gráficamente la distribución.
170147166150164
167164166164163
160159168175168
168167165168167
155168167164161
163164160165163
Ejercicio nº 2.-Hemos medido la estatura, en centímetros, de 30 personas, obteniendo los siguientes resultados:a) Elabora una tabla de frecuencias, agrupando los datos en intervalos de longitud 5, empezando en 146,5.b) Representa gráficamente la distribución.
Solución:
170147166150164
167164166164163
160159168175168
168167165168167
155168167164161
163164160165163
Intervalo Frecuencia
146,5-151,5 2
151,5-156,5 1
156,5-161,5 4
161,5-166,5 12
166,5-171,5 10
171,5-176,5 1
30
Cálculo de la media aritmética
Cálculo de la media aritmética
∑∑ ⋅
=i
ii
f
fxxaritméticaMedia :
Se calcula mediante la expresión:
Cálculo de la media aritmética
∑∑ ⋅
=i
ii
f
fxxaritméticaMedia :
Donde son los valores de los datos estadísticosix
y son las frecuencias absolutas. if
Se calcula mediante la expresión:
xi fi 1 2 2 7 3 8 4 3 20
En el Ejercicio 1, se había obtenido la tabla:
xi fi 1 2 2 7 3 8 4 3 20
En el Ejercicio 1, se había obtenido la tabla:
Aplicando la expresión∑∑ ⋅
=i
ii
f
fxxaritméticaMedia :
xi fi 1 2 2 7 3 8 4 3 20
En el Ejercicio 1, se había obtenido la tabla:
Aplicando la expresión∑∑ ⋅
=i
ii
f
fxxaritméticaMedia :
Obtenemos 6,220
52
20
1224142
20
34837221 ==+++=⋅+⋅+⋅+⋅=x
Intervalo Frecuencia
146,5-151,5 2
151,5-156,5 1
156,5-161,5 4
161,5-166,5 12
166,5-171,5 10
171,5-176,5 1
30
En el Ejercicio 2, se obtenía la siguiente tabla de datos agrupados:
Tabla a la que hemos añadido las marcas de clase y los productos xi.fi
1741174
169010169
196812164
6364159
1541154
2982149
xi.fiFrecuencia absoluta
Marca de clase
Intervalo
[ ]5,1515,146 <≤ x
[ ]5,1565,151 <≤ x
[ ]5,1615,156 <≤ x
[ ]5,1665,161 <≤ x
[ ]5,1715,166 <≤ x
[ ]5,1765,171 <≤ x
Tabla a la que hemos añadido las marcas de clase y los productos xi.fi
1741174
169010169
196812164
6364159
1541154
2982149
xi.fiFrecuencia absoluta
Marca de clase
Intervalo
[ ]5,1515,146 <≤ x
[ ]5,1565,151 <≤ x
[ ]5,1615,156 <≤ x
[ ]5,1665,161 <≤ x
[ ]5,1715,166 <≤ x
[ ]5,1765,171 <≤ x
Luego la media, será:∑∑ ⋅
=i
ii
f
fxxaritméticaMedia :
1741174
169010169
196812164
6364159
1541154
2982149
xi.fiFrecuencia absoluta
Marca de clase
Intervalo
[ ]5,1515,146 <≤ x
[ ]5,1565,151 <≤ x
[ ]5,1615,156 <≤ x
[ ]5,1665,161 <≤ x
[ ]5,1715,166 <≤ x
[ ]5,1765,171 <≤ x
∑∑ ⋅
=i
ii
f
fxxaritméticaMedia : =+++++=
30
17416901968636154298
1741174
169010169
196812164
6364159
1541154
2982149
xi.fiFrecuencia absoluta
Marca de clase
Intervalo
[ ]5,1515,146 <≤ x
[ ]5,1565,151 <≤ x
[ ]5,1615,156 <≤ x
[ ]5,1665,161 <≤ x
[ ]5,1715,166 <≤ x
[ ]5,1765,171 <≤ x
∑∑ ⋅
=i
ii
f
fxxaritméticaMedia : =+++++=
30
17416901968636154298
16430
4920 ==
PARÁMETROS DE DISPERSIÓN
Los parámetros de dispersión
(varianza y desviacivarianza y desviacióón tn tíípicapica principalmente)
nos indican el grado de concentración de los datos respecto a la media.
PARÁMETROS DE DISPERSIÓN
Los parámetros de dispersión
(varianza y desviacivarianza y desviacióón tn tíípicapica principalmente)
nos indican el grado de concentración de los datos respecto a la media.
Las fórmulas son:
•Varianza:2
2
xf
xfV
i
ii −⋅
=∑∑
•Desviación típica: 2
2
xf
xfs
i
ii −⋅
=∑∑
1741174
169010169
196812164
6364159
1541154
2982149
xi.fiFrecuencia absoluta
Marca de clase
Intervalo
[ ]5,1515,146 <≤ x
[ ]5,1565,151 <≤ x
[ ]5,1615,156 <≤ x
[ ]5,1665,161 <≤ x
[ ]5,1715,166 <≤ x
[ ]5,1765,171 <≤ x
Para calcular varianza y desviación típica, necesitamos añadir una nueva columna a la tabla:
Para calcular varianza y desviación típica, necesitamos añadir una nueva columna a la tabla:
1741174
169010169
196812164
6364159
1541154
2982149
xi.fiFrecuencia absoluta: fi
Marca de clase: xi
Intervalo
[ ]5,1515,146 <≤ x
[ ]5,1565,151 <≤ x
[ ]5,1615,156 <≤ x
[ ]5,1665,161 <≤ x
[ ]5,1715,166 <≤ x
[ ]5,1765,171 <≤ x 30.276
285.610
322.752
101.124
23.716
(149)2.2= 44.402
xi22.fi
Para calcular varianza y desviación típica, necesitamos añadir una nueva columna a la tabla:
1741174
169010169
196812164
6364159
1541154
2982149
xi.fiFrecuencia absoluta: fi
Marca de clase: xi
Intervalo
[ ]5,1515,146 <≤ x
[ ]5,1565,151 <≤ x
[ ]5,1615,156 <≤ x
[ ]5,1665,161 <≤ x
[ ]5,1715,166 <≤ x
[ ]5,1765,171 <≤ x 30.276
285.610
322.752
101.124
23.716
(149)2.2= 44.402
xi22.fi
8078802 =⋅∑ ii xf164: =
⋅=∑∑
i
ii
f
fxxMedia
FINALMENTE:
•Varianza:
3,3316430
807880 222
=−=−⋅
=∑∑
xf
xfV
i
ii
•Desviación típica: 77,53,332
2
==−⋅
=∑∑
xf
xfs
i
ii
Es importante saber que la MEDIA ARITMÉTICA
y la DESVIACIÓN TÍPICA,
tienen una relación muy interesante…
∑∑ ⋅
=i
ii
f
fxxaritméticaMedia :
22
xf
xfs
i
ii −⋅
=∑∑
Es importante saber que la MEDIA ARITMÉTICA
y la DESVIACIÓN TÍPICA,
tienen una relación muy interesante…
∑∑ ⋅
=i
ii
f
fxxaritméticaMedia :
22
xf
xfs
i
ii −⋅
=∑∑
•El intervalo contiene aproximadamente el 68% de los datos
•El intervalo aproximadamente el 95%
•El intervalo aproximadamente el 98%)3,3( sxsx +−
)2,2( sxsx +−
),( sxsx +−
∑∑ ⋅
=i
ii
f
fxxaritméticaMedia :
22
xf
xfs
i
ii −⋅
=∑∑
En este ejemplo podríamos decir que:
El 68% de los datos está comprendido entre (164-5,77 y 164+5,77), es
decir: El 68% de los datos está entre 158,23 y 169,77158,23 y 169,77
En resumen:
Dado que la media es 164 cm164 cm. y la desviación típica 5,775,77 concluímos que:
•La estatura media de ese grupo de 30 personas es de 164164 cm.
•Aproximadamente el 68% de ellas (algo más de 2/3), tiene estaturas
que van de 158 158 a 170 170 cm.
Para terminar, no estará de
más, que echemos de nuevo un
vistazo al HISTOGRAMA…
En resumen:
Dado que la media es 164 cm. y la desviación típica 5,77, concluímos que:
•La estatura media de ese grupo de 30 personas es de 164164 cm.
•Aproximadamente el 68% de ellas (algo más de 2/3), tiene estaturas
que van de 158 158 a 170 170 cm.
Para terminar, no estará de
más, que echemos de nuevo un
vistazo al HISTOGRAMA…
