NM3 MAGNITUDES VECTORIALES. OBJETIVOS 1)Reconocer la utilidad del lenguaje vectorial en la...
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NM3
MAGNITUDES VECTORIALES
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OBJETIVOS
1) Reconocer la utilidad del lenguaje vectorial en la descripción del movimiento.
2) Realizar operaciones simples con vectores.
3) Aplicar elementos de Algebra Vectorial y de Trigonometría en la resolución de problemas sobre ciertas magnitudes vectoriales: Desplazamiento, Velocidad, Fuerza; etc.
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Kg
UNIDADES DE MEDIDA
(S.I.)
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UNIDAD: MAGNITUDES DERIVADAS
• RAPIDEZ
•VELOCIDAD
• FUERZA
• TORQUE
• CANTIDAD DE MOVIMIENTO
• ACELERACIÓN
• POTENCIA
• ENERGIA
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UNIDAD: MAGNITUDES VECTORIALES
MAGNITUDES FÍSICAS QUE PARA SER EXPLICITADAS REQUIEREN DE 3 DATOS:
MÓDULO
DIRECCIÓN
SENTIDO
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ALGUNAS MAGNITUDES VECTORIALES
• VELOCIDAD
• FUERZA
• TORQUE
• CANTIDAD DE MOVIMIENTO
• ACELERACIÓN
• MOMENTO ANGULAR
• CAMPO ELÉCTRICO
• CAMPO MAGNÉTICO
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REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA MAGNITUD VECTORIAL
VECTOR = TRAZO DIRIGIDO
E (EXTREMO)
horizontal
O(ORIGEN)
OE: MÓDULO
E: SENTIDO
: DIRECCIÓN
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u
Dados dos vectores, ellos pueden diferenciarse en:
tamaño: dirección: o sentido:(módulo)
COMPARACIÓN ENTRE VECTORES
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EJERCICIO DADOS:
RESPONDER:
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SUMA DE VECTORES
A) MÉTODOS GEOMÉTRICOS
B) MÉTODO ANALÍTICO
POLÍGONO
PARALELÓGRAMO
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Al negativo de un vector se le llama VECTOR OPUESTO
SUMA POR MÉTODO DEL POLÍGONO
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SUMA POR MÉTODO DEL PARALELÓGRAMO
X + Y + Z = R
X + Y
RPASOS A SEGUIR:
1) Unir los vectores en un origen común
2) Tomar dos de ellos y trazándoles sus respectivas paralelas formando el primer paralelógramo.
3) Trazar el vector resultante en la diagonal del paralelógamo a partir del origen común de los vectores.
4) A este vector resultante se le suma el tercer vector de la misma forma… y así hasta considerar el último vector sumando
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PROPIEDADES DE LA SUMA VECTORIAL
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RESTA DE VECTORES
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PONDERACIÓN DE VECTORES
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EJERCICIO DADOS:
a)
b)
c)
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EJERCICIO DADOS:
a)
b)
c)
A B
C
E
D F
G
H
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REPRESENTACIÓN ANALÍTICA DE UN VECTOR
ĵ
ĵ
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REPRESENTACIÓN ANALÍTICA DE UN VECTOR
ĵ
ĵ
Si: ux=3 y uy=4
el vector u se puede escribir:
u = 3î + 4ĵ
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MEDICIÓN DE ÁNGULOS: GRADO SEXAGESIMAL
I cuad II cuad
III cuad IV cuad
ÁNGULOS +
ÁNGULOS -
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EL RADIÁN: MEDIDA DE ÁNGULOS
La magnitud de un ángulo medido en radianes está dada por la longitud del arco de circunferencia que subtiende, dividido por el valor del radio.
Se puede calcular fácilmente la longitud de un arco de circunferencia: SE MULTIPLICA EL RADIO POR EL ÁNGULO EN RADIANES.
Long. arco de circunferencia = [Ángulo en radianes] x [Radio de la circunferencia]
Como el perímetro de una circunferencia de radio r =1 es:
2 r = 2 , entonces el ángulo de una circunferencia
completa, medido en radianes es 2 .
Entonces: 360º = 2 (rad)
Luego: 1 radian = 57,29º
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EQUIVALENCIAS ENTRE RADIÁN Y GRADOS
360º = 2 radianes
180° = radianes
90º = /2 radianes
60º = /3 radianes
45º = /4 radianes
30º = /6 radianes
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FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
Seno (sen)
Coseno (cos)
Tangente (tg ó tan)
Cotangente (ctg ó cotan)
Secante (sec)
Cosecante (cosec ó csc)
SIEMPRE EL ARGUMENTO DE LA FUNCIÓN ES UN ÁNGULO EN GRADOS O EN RADIANES)
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DEFINICIONES FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
Sen = cateto opuesto/hipotenusa
cos = cateto adyacente/hipotenusa
tg = cateto opuesto / cateto adyacente
ESTAS DEFINICIONES SON VÁLIDAS SOLAMENTE PARA ÁNGULOS AGUDOS DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO
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DEFINICIONES FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
Sen = cateto opuesto/hipotenusa
cos = cateto adyacente/hipotenusa
tg = cateto opuesto / cateto adyacente
B
A b C
ca
sen = a / c
cos = b / c
tg = a / b
Entonces: tg = ?
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ALGUNOS VALORES DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
ángulo sen cos
0º 0 1
30º 1/2 ( 3)/2
45º ( 2)/2 (2)/2
60º (3)/2 1/2
90º 1 0
DETERMINAR:
Valores de la función tangente para los mismos ángulos
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LÍNEAS TRIGONOMETRICAS
Entonces; ¿Cuál será el valor máximo de:
sen = ? cos = ? tg
= ?
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Angulos 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270°(grados)Angulos
2 /6 /4 /3 /2 3 /2(radianes)
sen 0 1/2 1 0 -1
cos 1 1/2 0 -1 0
tg 0 1 0
ctg 1 0 0
sec 1 2 -1
cosec 2 1 -1
VALORES DE LAS FUNCIONES DE LOS ARCOS PRINCIPALES
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DESCOMPOSICIÓN DE VECTORES
PARA DETERMINAR LAS COMPONENTES RECTANGULARES DEL VECTOR V DE LA FIGURA :
V
SE TRAZA LA PROYECCIÓN DE V EN CADA EJE COORDENADO OBTENIENDO LAS COMPONENTES RECTANGULARES DE V:
Vx y Vy
y
x
V
Vx
Vy
¿QUÉ REPRESENTA
?
SE LE ASOCIA UN SISTEMA DE COORDENADAS X-Y DE MODO QUE SU ORIGEN COINCIDA CON EL ORIGEN DE V.
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DESCOMPOSICIÓN DE VECTORES
SI CONOCEMOS PODEMOS DETERMINAR LOS VALORES DE LAS COMPONENTES RECTANGULARES:
SI APLICAMOS PROPIEDADES DE LOS VECTORES PODEMOS TRASLADAR VY DE MODO DE FORMAR UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO. COMO:
y
x
V
Vx
Vy
Sen = Vy / V Vy = V Sen
Cos = Vx / V Vx = V Cos
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DESCOMPOSICIÓN DE VECTORES
DE ESTA MANERA EL VECTOR V SE PUEDE ESCRIBIR EN FUNCIÓN DE LOS VALORES DE SUS COMPONENTES RECTANGULARES COMO:
V = ( Vx , VY )
A PARTIR DE LOS VALORES ANTERIORES, SE DETERMINA LA
DIRECCIÓN APLICANDO LA FUNCIÓN tg:
tg = VY/Vx = arc tg (VY/Vx)
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DESCOMPOSICIÓN DE VECTORES
A CADA EJE COORDENADO SE LE PUEDE ASOCIAR UN VECTOR UNITARIO (VECTOR QUE
TIENE POR MÓDULO LA UNIDAD, ES DECIR, 1 Y QUE SIRVE PARA INDICAR LA DIRECCIÓN):
- AL EJE X : î - AL EJE Y : ĵ
V = 3î + 4ĵ
ENTONCES SI: V = ( 3 ,4 ); SE PUEDE ESCRIBIR:
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PROBLEMA
SOBRE UN CUERPO ACTÚAN SIMULTÁNEAMENTE LAS SIGUIENTES FUERZAS MEDIDAS EN (N):
F1 = 4î + 2 ĵ
F2 = 2î - 3 ĵ
F3 = 0î + 5ĵ
F4 = -3î + 0ĵ
¿CUÁL ES LA INTENSIDAD Y LA DIRECCIÓN DE LA FUERZA NETA O RESULTANTE FR?
INTENSIDAD: FR= 5(N)
FR= 3î + 4ĵ
DIRECCIÓN: = 53,13°
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PRODUCTOS ENTRE VECTORES
PRODUCTO ESCALAR
PRODUCTO VECTORIAL
EL PRODUCTO DE DOS VECTORES RESULTA UN ESCALAR
EL PRODUCTO DE DOS VECTORES RESULTA UN NUEVO VECTOR
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PRODUCTO ESCALAR ( O PUNTO)
EL PRODUCTO A • B EQUIVALE AL PRODUCTO ENTRE EL MÓDULO DE A Y EL MÓDULO DE LA PROYECCIÓN DE B SOBRE A (B COS )
B
A
B COS
POR LO TANTO:
A • B = AB COS
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PRODUCTO ESCALAR: EJEMPLO
TRABAJO MECÁNICO:
W = F • d
W = Fd cos
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PRODUCTO VECTORIAL ( O CRUZ )
EL PRODUCTO C X D= F; DONDE F ES UN VECTOR PERPENDICULAR AL PLANO DETERMINADO POR LOS DOS VECTORES Y CUYO SENTIDO SE DETERMINA POR LA “REGLA DEL TIRABUZÓN”
C
D
C X D ≠ D X C
EL MÓDULO DE F ESTÁ DADO POR EL ÁREA DEL PARALELÓGRAMO FORMADO POR LOS DOS VECTORES = PRODUCTO DE SUS LADOS POR EL SEN DEL ÁNGULO QUE FORMAN
F = CD sen
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PRODUCTO VECTORIAL: EJEMPLO
TORQUE ( ):
= r X F
= r F sen