NIVEL: MEDIO SUPERIOR CAMPO DISCIPLINAR: MATEMÁTICAS ... · revista, álbum impreso o digital,...

SECRETARÍA DE EDUCACIÓN

SUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN BÁSICA Y MEDIA SUPERIOR

DIRECCIÓN DE BACHILLERATOS ESTATALES Y PREPARATORIA ABIERTA

NIVEL: MEDIO SUPERIOR

CAMPO DISCIPLINAR:

MATEMÁTICAS

DISCIPLINA:

PENSAMIENTO MATEMÁTICO II




DISCIPLINA

PENSAMIENTO MATEMÁTICO II

SITUACIÓN DE APRENDIZAJE

Al navegar en internet, Lupita y Juan encontraron la convocatoria de un concurso que les llamó la atención, el “XXI

Concurso de fotografía Matemática”, en el que puede participar cualquier estudiante sin importar su país de residencia.

Entusiasmados, al día siguiente pidieron ayuda a su profesor de pensamiento matemático, ya que no entendían con

exactitud a qué se referían las categorías.

El profesor sorprendido ante la iniciativa de sus alumnos decidió proponer un concurso intramuros en su escuela, por lo

que llevó a clase información más precisa acerca de éste:

1.- ¿Qué es una fotografía matemática y bajo qué criterios se considera así

El objetivo de este concurso es resaltar la presencia de las Matemáticas en nuestra vida cotidiana y poner de manifiesto

su utilidad en la actividad personal y social, es decir, que el alumnado aprenda a interpretar el mundo que le rodea desde

el punto de vista matemático, que aprecie su valor práctico e incorpore a su lenguaje habitual la precisión que le aporta

este lenguaje científico.

CATEGORIAS




Categoria I: Fotografías que resaltan la rigidez y esbeltez de los ángulos, del triángulo, del círculo unitario, y sus

razones, así como su aplicación en la ingeniería, arquitectura, artes, etc.

Categoria II: Fotografías en que se observe la estetica o armonía del rectángulo áureo tan util en diseno, relacionado

con los numeros irracionales, los cuerpos geometricos y las congruencias y semejanzas entre construcciones naturales

y artificiales.

Categoria III: Fotografías asociadas con razones trigonometricas, así como tambien fotografías que ejemplifican los

movimientos en el plano.

Categoria IV: Fotografías realizadas en el marco “Día del medio ambiente”.

CONDICIONES GENERALES

1. Se recibirán 3 fotografias matematicas por cada participante o equipo.

2. Cada fotografía debe tener un TITULO, que se relacione con el principio matemático representado o utilizado.

3. No se podrán presentar fotografías premiadas en otros concursos o que tengan limitados los derechos de

publicación.

4. La participación en este concurso supone la aceptación de todas las condiciones.

5. El trabajo final deberá presentarse como un producto promocional digital o impreso (blog, videoclip, videoblog,

revista, álbum impreso o digital, etc.) utilizando fotografías matemáticas sobre los lugares de su comunidad favorito,

más representativos o aquellos que han sido deteriorados por la contaminación.

6.El fallo del jurado se hará publico al terminar la UAC III, durante el mes de julio.

1. Martínez, J. (Mayo 2013). 16° concurso de fotografía. Sociedad Madrilena de Profesores de Matemáticas "Emma Castelnuovo". Recuperado

de: https://www.smpm.es/actividades/fotografia/84-xvi-edicion/211-16o-concurso-de-fotografia-matematica




2. IES de Fadur. (2012). Fotografía y matemáticas. Recuperado de: http://www.ogasun.ejgv.euskadi.eus/r51-

341/es/contenidos/informacion/dia6_sigma/es_sigma/adjuntos/sigma_19/10_Foto_y_Matem.pdf

1.- ¿Que es una fotografía matemática y bajo que criterios se considera así?

2.- ¿Que principios matemáticos se requieren para captar correctamente una fotografía matemática?

3.- ¿Que necesito conocer y aplicar para poder participar en el concurso de fotografía matemática?

4.- ¿Cuál es el valor práctico que tiene la fotografía matemática?

5.- Dado el trabajo realizado utilice lo aprendido y fotografíe algun lugar favorito o que este en peligro de contaminación,

y argumente ¿que principios matemáticos se aplicaron en la captura de las fotos?

6.- Argumente cómo puede una fotografía matemática ayudar a promocionar un lugar favorito o mostrar las

consecuencias de la contaminación.

PROPÓSITO DE LA SITUACIÓN

Desarrollar un pensamiento matemático crítico y reflexivo al identificar la aplicación de ángulos, triángulos, cuerpos

geométricos, congruencias y semejanzas, ejemplificando los movimientos en el plano, solucionando triángulos

oblicuángulos, utilizando como medias fotografías tomadas con dispositivos móviles o digitales que te permitan interpretar

tu entorno y realidad.

¿QUÉ DEBO HACER?

Álbum impreso o digital (blog, página web, videoclip, videoblog, revista, álbum, etc.) de fotografías sobre los lugares

favoritos, más representativos o aquellos que han sido deteriorados por la contaminación de su comunidad, poniendo




en práctica principios matemáticos y favoreciendo la definición de su identidad, así como la autopercepción a través

actividades recreativas, culturales y artísticas.

¿CÓMO LO REALIZARÉ?

¿Qué es una fotografía matemática y bajo qué criterios se considera así?

Actividad 1.

1. Observe las siguientes fotografías de algunos lugares representativos del Estado de Puebla:




En su libreta; enumere cada una de las imágenes que se presentan y responda para cada imagen las siguientes

preguntas: ¿Qué es lo que hay ahí? ¿Qué formas geométricas percibes? ¿Dónde se encuentra ese lugar en el estado?

y, si tuviera la oportunidad de visitar ese lugar, ¿por qué lo visitarías?

2.- Copie la siguiente pregunta, y responda: ¿cuál es lugar que considera más representativo de su comunidad?

Copie la siguiente ficha y contéstela:




ACTIVIDAD 2.

Lea la situación de aprendizaje “MI ENTORNO A TRAVÉS DE LA LENTE”, copie las siguientes preguntas y responda

en su libreta:

a) ¿De quién se habla?

b) ¿En qué consiste la situación?




c) ¿En dónde sucede la situación?

d) ¿Cuándo acontece la situación?

e) ¿Cómo se enteraron del concurso los estudiantes?

Lea los siguientes documentos:

✔ Historias de Matemáticas. Una Visión Matemática: Matemáticas en Imágenes

https://dialnet.unirioja.es/descarga/articulo/4067994.pdf

✔ Las imágenes en la Enseñanza-aprendizaje de la Geometría:

https://www.researchgate.net/publication/301889215_Las_imagenes_en_la_Ensenanzaaprendizaje_de_la_Geom

etria/download

✔ Fotografía y Matemáticas: http://www.ogasun.ejgv.euskadi.eus/r51-


A continuación, en su libreta, redacte un reporte de lectura que responda a las preguntas:

● ¿Qué es una fotografía matemática?

● ¿Bajo qué criterios se considera una fotografía matemática?

En su libreta elabore una lista de las fotografías de la Actividad 1 y determine si son fotografías matemáticas o no,

justifique su conclusión en un escrito breve.


https://www.researchgate.net/publication/301889215_Las_imagenes_en_la_Ensenanzaaprendizaje_de_la_Geometria/download


http://www.ogasun.ejgv.euskadi.eus/r51-341/es/contenidos/informacion/dia6_sigma/es_sigma/adjuntos/sigma_19/10_Foto_y_Matem.pdf





ACTIVIDAD 3.

En un mapa del Estado de Puebla con división política por municipios (con nombres), trace un plano cartesiano

tomando como origen (0,0) la capital del Estado de Puebla y localice los lugares mostrados en la Actividad

1(fotografías) correspondientes a las siete regiones del estado de Puebla. Trace una línea desde el origen (0,0) hasta

cada uno de los puntos que señala la ubicación de los sitios localizados. Se debe cuadricular el plano cartesiano, para

mayor precisión. Utilice la escala 1:1 para trazar el plano cartesiano.

Nota: el mapa puede ser digital, si ese es el caso puede utilizar herramientas digitales que les permita realizar

las actividades sugeridas.

Puede apoyarse del siguiente material para ubicar los puntos en el plano cartesiano:

● PLANO CARTESIANO Super fácil: https://www.youtube.com/watch?v=kzOzYY-T-50

Pegue o dibuje el mapa en su libreta (Nota: si el mapa es digital, entonces solo responda en su libreta de apuntes

las preguntas.), copie las siguientes preguntas y responda lo siguiente:

a) Señale todos los ángulos que distinga sobre el mapa que acaba de trabajar.

b) ¿Qué características tienen para que los consideres ángulos?

https://www.youtube.com/watch?v=kzOzYY-T-50




Observe la siguiente imagen:

c) Copie la siguiente tabla a su libreta de apuntes, apoyándose de la imagen anterior y tomando como vértice el

origen (0,0) del plano (Puebla):




d) Copie en su libreta la siguiente tabla y conteste lo siguiente: Si trazamos un segmento desde el origen, ¿en

cuál cuadrante del plano está trazado si el ángulo formado con el eje X positivo mide..?




Puedes ayudarte del siguiente material para la saber como medir ángulos:

● Cómo medir un ángulo Super fácil - Para principiantes

https://www.youtube.com/watch?v=CRXi4jQiRIM

● Construcción y medida de ángulos con transportador

https://www.geogebra.org/m/fGxqM9hb#material/hQZcWusX

e) Realice en su libreta de apuntes una conclusión sobre las características de los ángulos y cómo se miden.

ACTIVIDAD 4

● Lea la siguiente información: ¿Sabías qué la elección de un tipo de ángulo u otro influye directamente en la percepción subjetiva del espectador

respecto a una imagen? Por lo tanto, emplear uno u otro produce un efecto distinto y se deben realizar






conscientemente. Como consejo es que siempre que estemos haciendo una toma intentemos hacer la captura

desde distintos ángulos, ya que eso nos permitirá salirnos de la rutina.

Observe el siguiente video: “Que es y cómo dibujar un ángulo”, que se encuentra en la liga:

https://www.youtube.com/watch?v=uMJDpmiIboo

Tomando como referencia la lectura anterior y el video defina que es un “ángulo” y realice de forma digital o escrita un

algoritmo ó diagrama sobre cómo se utiliza el “transportador”.

Copie en su libreta de apuntes la tabla: ángulos fotográficos y determine aproximadamente el valor de los ángulos

propuestos de cada uno de los tipos de ángulos fotográficos. Puede emplear como referencia el plano cartesiano y

transportador.







Lea el siguiente texto: “Ángulos en fotografía” que se encuentra en la siguiente liga:

https://hipertextual.com/archivo/2010/11/angulos-fotografia/

Copie en su libreta de apuntes la siguiente tabla, y con la información de la lectura anterior complementela.





Capture dos fotos desde los diferentes tipos de angulos, dichas fotos puede ser de algun lugar, construcción, o

persona; recuerda que la fotografía debe contar con los siguientes elementos:

● Título ● Autor (Nombre, Apellidos) ● Semestre y grupo ● Argumentación de la posición y medida angular (utilice el transportador), desde la que fue tomada. Describa el

efecto generado, así como las características del principio matemático utilizado o representado. ● Se puede entregar de forma digital y/o impresa; cabe destacar que dicha fotografía será parte del álbum a

entregar como producto integrador. ACTIVIDAD 5




Observe el siguiente video: “TIPOS DE ÁNGULOS Super facil | Para principiantes “, que se encuentra en la siguinete liga:

https://www.youtube.com/watch?v=-zLWJYY42GU

Trace los siguientes ángulos en su libreta de apuntes; y con la información observada en el video escriba qué tipo de

ángulos son y con ayuda del transportador determina cuánto miden.

Trace en su libreta de apuntes 6 ángulos diferentes (ponga su nombre y medida)

Observa el siguiente video: “ÁNGULOS ENTRE PARALELAS Y UNA TRANSVERSAL Super facil - Para principiantes”;

que se encuentra en la siguinete liga: https://www.youtube.com/watch?v=2OPoYzg_E58

Apoyándote del video, resuelve en tu libreta de apuntes los siguientes ejercicios.

Nota: Es recomendable escribir los procedimientos completos, gráficos bien trazados, remarca los resultados.

a) Si el ángulo alfa ( α) mide 83º, ¿Cuánto mide el ángulo beta (β)?


https://www.youtube.com/watch?v=2OPoYzg_E58




b) Si el ángulo DEC mide 55º, ¿cuánto mide AEB?

c) Halle el valor del ángulo BOC.

Tome una fotografía donde se aplique lo aprendido y argumente el principio matemático respecto a los angulos

generados por rectas paralelas cortadas por una secante, esta deberá incluir (Título, Autor (Nombre,

Apellidos),Semestre y grupo). Se puede entregar de forma digital y/o impresa; cabe destacar que dicha fotografía será

parte del álbum a entregar como producto integrador.

ACTIVIDAD 6




Observe el siguiente video de REGLA DE LOS TERCIOS ► Explicación, pros y contras (y análisis de fotos):

https://www.youtube.com/watch?v=VUl1HbrYH8o copie en su libreta las siguientes preguntas y conteste:

a) ¿De qué trata el video?

b) ¿Qué consejos se dan para tener una composición apropiada? Menciónelos.

Observe el siguiente video de FOTOGRAFÍA PARA PRINCIPIANTES - La regla de tercios -

https://www.youtube.com/watch?v=CzOgBs9_Eo8 copie en su libreta las siguientes preguntas y responda:

a. ¿En qué consiste el principio de las tercias?,

b. ¿había escuchado de él para la composición?

Lee la siguiente información de: “La Simetría Dinámica: Que es y cómo usarla en composición”

Lectura 2. “La Simetría Dinámica: Qué es y cómo usarla en composición”

Cuando hablamos de composición (disposición de elementos y sujetos dentro del cuadro o espacio de la fotografía),

siempre estamos recordando la importancia de las líneas y de los puntos clave para colocar correctamente a tu sujeto u

objeto fotografiado. Normalmente, la mayoría de fotógrafos te recomendarán que para aprender a componer sigas la

regla de los tercios. Como probablemente sabes, se trata de la simplificación de la famosa proporción áurea, que vemos

habitualmente en la naturaleza y que ya usaban los pintores clásicos para componer las obras pictóricas más conocidas

de la historia.

https://www.youtube.com/watch?v=VUl1HbrYH8o

https://www.youtube.com/watch?v=CzOgBs9_Eo8




Regla de los tercios

Paso 1.- Divida el marco de la fotografía (encuadre) en tercios, tanto horizontal como

verticalmente, creando una cuadrícula de tres por tres.

Paso 2.- Remarque las intersecciones que ubican donde se intersecan las líneas.

FIGURA 1

Los elementos clave de su imagen se colocan a lo largo de las líneas con puntos de interés donde las líneas se

intersecan.

FOTOGRAFÍA 1

No significa posicionar los objetos al centro sino más bien que estos toquen los puntos fuertes que son las

intersecciones. Veamos el ejemplo del niño al estar colocado en esta segunda posición es posible identificar como

centro de atención su acercamiento al oso de peluche.




Como se demuestra a continuación observemos que la fotografía 2 y 3 por lo anterior cumple con la regla de los tercios

ya que toca los puntos fuertes señalados en la figura 1 .

Pero ¿sabías que hay más alternativas? Hoy conoceremos una de ellas: la simetría dinámica. Al generar tensión visual,

estos puntos dinámicos consiguen composiciones muy atractivas para el ojo humano.

Estos puntos se consiguen dividiendo la composición con diagonales y obteniendo tres o más triángulos, también

llamados triángulos de oro ( La Proporción Aurea de http://www.sacred-geometry.es/?q=es/content/la-

proporci%C3%B3n-aurea ; y EL NÚMERO DE ORO de

http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/docums/numero_oro.pdf )

http://www.sacred-geometry.es/?q=es/content/la-proporci%C3%B3n-aurea


http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/docums/numero_oro.pdf




Calculando los puntos composición mediante simetría dinámica.

Pasos a dar:

Paso 1.-Primero trazaremos una línea diagonal que atraviese la foto, a la que llamaremos diagonal siniestra.

Paso 2.-Seguidamente, desde uno de los vértices trazaremos otra línea oblicua, pero en este caso perpendicular,

que conecte con la diagonal anterior. A esta nueva línea la llamaremos línea recíproca.

Paso 3. El resultado final será un primer punto de interés en la intersección obtenida.

Véase figura 1 y 2

Paso 4.-Si realizamos la misma operación trazando una nueva línea recíproca desde el vértice restante, obtendremos

otro nuevo punto dinámico de interés. Con este esquema ya podemos obtener el resto de puntos. Es tan fácil como

repetir la misma operación, pero trazando la diagonal contraria, también conocida como diagonal barroca.




Paso 5.-Seguidamente trazaremos las líneas recíprocas correspondientes y obtendremos todos los puntos clave. Véase

la fotografía 4.

FOTOGRAFÍA 4

Con la información de la lectura anterior consteste en su libreta de apuntes las siguientes preguntas:

● ¿Para qué sirve la composición?

● ¿En qué consiste la regla de las tercias? y ¿cómo se obtienen los puntos fuertes por este método?

● ¿Qué es la simetría dinámica? y ¿cómo se obtienen los puntos fuertes por este método?

● ¿Qué polígono se observa que se generan una vez que se trazan los puntos fuertes por regla de tercias y

puntos de simetría dinámica? Véase la Fotografía 3 y 4

● ¿Qué relación observa en cada uno de los triángulos generados?




Observe el siguiente ejemplo, identifique pares de triángulos que guardan relación entre sí y responda las preguntas en

su libreta de apuntes:

● ¿Qué relación observa en los triángulos de color verde, y en los triángulos de color amarillo?

● ¿Qué relación observa en los triángulos de color naranja?

● ¿Cómo son los lados por cada par de triángulos??

● ¿Cómo son los ángulos en cada par de triángulos?

● ¿Qué criterios pueden observarse al calcular los puntos de composición?

● ¿Puede encontrar algún par de triángulos que tenga esos criterios? ¿cuáles son y por qué?

Identifique los puntos fuertes de composición, por el método de simetría dinámica con las siguientes fotografías:




Por ejemplo la primera fotografía quedaría así:

ACTIVIDAD 7:

En su libreta copie las siguientes preguntas y conteste:




a) ¿Has pensado en la distancia que recorres al trasladarte de un lugar a otro (de tu casa a la escuela y de tu casa

a la casa de un amigo, por ejemplo)?

b) ¿Cuál sería la suma de las distancias que recorres? Represente ese trayecto en un plano cartesiano

c) Si el trayecto formará un triángulo ¿qué ángulos tendría y qué tipo de triángulo resultaría?

En su libreta redacte si se podrían identificar esos mismos principios a partir de una fotografía, tomando como

referencia las fotografías siguientes y las indicaciones:

1. Trace un plano cartesiano en el cual el origen esté en el centro del diente del león.




2. Halle numérica y geométricamente (coordenadas) la traslación de los aquenios visibles que han volado fuera de

ella.

3. Realice la suma numérica y geométrica de las distancias resultantes.

4. Identifique si alguno de los aquenios que guarda similitud, semejanza o congruencia (puedes guiarte del

siguiente video CONGRUENCIA Y SEMEJANZA https://www.youtube.com/watch?v=HGU9D54PlWs) con algún

otro que aún esté adherido al diente de león, ¿cuáles son sus coordenadas respecto a su semejante?

Identifique, las formas geométricas en la siguiente fotografía, escriba sus argumentaciones en la libreta y siga las

indicaciones.

1. Identifique si las formas observadas tienen un punto de giro. Argumente su respuesta.

2. Mencione si existen algunas figuras semejantes que se observen como si estuvieran en un espejo. Marque

cuales pueden ser y traza una línea recta que determine ese reflejo.

3. Determine el giro o rotación de cada elemento o figura geométrica detectada en la imagen, siguiendo el sentido

opuesto a las manecillas del reloj.

https://www.youtube.com/watch?v=HGU9D54PlWs




Con la siguiente fotografía observe, reflexione y responda las siguientes preguntas:

1) ¿La imagen inferior es un reflejo o es la misma imagen invertida? Argumente su respuesta

2) ¿Si le aplicaras un giro, a cada elemento superior por separado, sería en sentido de las manecillas del reloj o en

sentido inverso? Argumente su respuesta.

3) De la siguiente fotografía que se muestra trace una línea vertical que separe, en misma distancia desde la línea

trazada, los elementos que se muestran.

4) Trace una línea horizontal que separe, en la imagen, los elementos de la parte superior de los elementos de la

parte inferior.

5) Siguiendo las manecillas del reloj, identifique el punto de giro de ambas figuras y determine el ángulo de rotación.

6) Ahora determine los ángulos en sentido contrario a las manecillas del reloj.

7) Determine los ángulos en que rotaron los elementos para terminar en esa posición.

8) Argumente en su libreta porque los ángulos resultan distintos al seguir ambos sentidos




Investigue, los conceptos de traslación, rotación y simetría; construya en su libreta de apuntes un mapa conceptual u

organizador grafico con la información obtenida.

Puedes tomar como referencia de consulta en web los siguientes links:

✔ Movimientos en el plano https://matematica.laguia2000.com/general/movimientos-en-el-plano y

✔ Transformaciones geométricas. Movimientos.

https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/sites/espazoAbalar/files/datos/1491479279/contido/ud08_movimientos_p

lano/2_transformaciones_geomtricas_movimientos.html

ACTIVIDAD 8.

Identifique en las siguientes fotografías la existencia de triángulos

https://matematica.laguia2000.com/general/movimientos-en-el-plano

https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/sites/espazoAbalar/files/datos/1491479279/contido/ud08_movimientos_plano/2_transformaciones_geomtricas_movimientos.html

https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/sites/espazoAbalar/files/datos/1491479279/contido/ud08_movimientos_plano/2_transformaciones_geomtricas_movimientos.html




Observe las siguientes fotografías y conteste:

a. ¿Todos los triángulos que se identifican en las fotografías presentadas son congruentes o semejantes?

b. Explique, ¿por qué?




c. Remarque con plumón todos los triángulos que se encuentren en las fotografías.

Copie en su libreta la siguiente imagen y escribe de forma correcta los nombres de

los elementos del triángulo según corresponda. (puede apoyarse del siguiente video

“EL TRIÁNGULO, definición, elementos y región triangular”, que se encuentra en la

siguiente liga: https://www.youtube.com/watch?v=Kj60E7_MagI )

Copie en su libreta las siguientes preguntas y responda correctamente; para contestar las preguntas apoyate de los

siguientes videos:

✔ TIPOS DE TRIÁNGULOS (SEGÚN SUS LADOS, SEGÚN SUS ÁNGULOS)

https://www.youtube.com/watch?v=vKk0E_IXw3Q,

✔ EL TRIÁNGULO. https://www.youtube.com/watch?v=A6NFqI9L5qM

1.-¿Qué instrumentos necesito para trazar un triángulo?

2. Enliste ¿qué elementos visuales tiene un triángulo?

https://www.youtube.com/watch?v=Kj60E7_MagI

https://www.youtube.com/watch?v=vKk0E_IXw3Q

https://www.youtube.com/watch?v=A6NFqI9L5qM




3..- Los triángulos se pueden clasificar según sus ____________________ y según sus

____________________________

4.- ¿Qué relación guarda el nombre del triángulo con su clasificación de acuerdo a sus ángulos?

5.- Identifique en un triángulo (cualquiera) los ángulos interiores y los ángulos exteriores.

6.-¿Cuánto suman las medidas de los ángulos interiores de un triángulo?

7.- ¿Cuánto suman las medidas de los ángulos exteriores de un triángulo?

8. Anote en la imagen los lados del triángulo rectángulo (cateto opuesto, cateto adyacente e hipotenusa),

posteriormente investigue la relación de catetos e hipotenusa con sus razones trigonométricas (sen, cos y

tan).

De acuerdo a lo observado previamente, copie en su libreta y complete la tabla “Clasificación de triángulos”




De manera individual profundice e investigue los teoremas fundamentales de los triángulos (se sugiere el texto

”Teoremas fundamentales de los triángulos”,que se encuentra en la siguiente liga:

https://www.portaleducativo.net/contenidos/1073/teoremas-fundamentales-triangulos); elabore un cuadro comparativo

para analizar la información.

Tome una fotografía donde se aplique lo aprendido y argumente el principio matemático respecto a los tipos de

triángulos, esta deberá incluir (Título, Autor (Nombre, Apellidos),Semestre y grupo). Se puede entregar de forma

digital y/o impresa; cabe destacar que dicha fotografía será parte del álbum a entregar como producto integrador.

ACTIVIDAD 9

Observe el siguiente video “TEOREMA DE TALES Super Fácil”, que se encuentra en la liga:

https://www.youtube.com/watch?v=ifjbo-RyfNE

https://www.portaleducativo.net/contenidos/1073/teoremas-fundamentales-triangulos





Después del video conteste las siguientes preguntas:

a) ¿De qué trata el video?

b) ¿Qué teoremas se abordan?

c) ¿Qué procedimiento se utilizó para calcular la altura del edificio?

d) ¿Cómo se puede usar el teorema de Tales en las fotografías matemáticas?

Observe la siguiente fotografía y analice si la ampliación y reducción de los dibujos

realizados fueron adecuadas.

Copie las siguientes preguntas y responda en su libreta de apuntes:

1. ¿Si se acomodan las bases y alturas que particularidad se observa?

2. ¿Qué tipo de triángulo se forma según la medida de sus ángulos?

3. ¿Los triángulos que se forman son semejantes o congruentes? Explica por qué.

hh

h




4. ¿Cómo son las medidas de los triángulos generados?

5. ¿Cómo se podría calcular la base que debe poseer la ampliación para que esta sea fiel a la del objeto real?

6. ¿Cómo podrías calcular la base que debe poseer la reducción para que esta sea fiel a la del objeto real?

Dada la actividad anterior, compruebe si las medidas empleadas fueron las adecuadas

Imprima una fotografía o dibuje algún objeto (puede ser de una persona, lugar favorito, un lugar histórico o un lugar

deteriorado por la contaminación),dicha fotografía o dibujo debe cumplir las siguientes especificaciones:

a) La primera a una escala de 1:2 (reducción al 50%)

b) La segunda a una escala de 2:1 (ampliación al 200%)




c) La tercera fotografía en su tamaño natural, escala 1:1 (100%)

Nota: si las fotografías son digitales utilice herramientas digitales que les permita realizar las actividades que

se sugieren.

Por ejemplo:

Con ayuda de una regla marque y mida la base y altura de cada una de las fotografías.




Trace una diagonal en cada fotografía cuyo nombre será hipotenusa; aplicando el teorema de Pitágoras calcule la

medida de cada una de las hipotenusas.

En la fotografía o dibujo de tamaño natural pinte con colores diferentes los dos ángulos agudos y nombre a estos con

las letras griegas: α y β. En las dos fotografías o dibujos restantes pinte con el mismo color los ángulos que se

encuentren en la misma posición y asigne el mismo nombre.

Complete la Tabla: Razones Trigonométricas, ocupando las medidas de las fotografías según corresponda




Si lo consideras o tienes duda de la tabla revisa el siguiente video: “FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Super facil |

Para principiantes | Encontrar medida del lado” que se encuentra en la siguinete liga:

https://www.youtube.com/watch?v=NFcbb3BX-70

Tome una fotografía donde se aplique lo aprendido y argumente el principio matemático respecto a Funciones

trigonometricas o Teorema de Pitagoras, esta deberá incluir (Título, Autor (Nombre, Apellidos),Semestre y grupo)

https://www.youtube.com/watch?v=NFcbb3BX-70




exponga su fotografía al grupo. Se puede entregar de forma digital y/o impresa; cabe destacar que dicha fotografía será

parte del álbum a entregar como producto integrador.

ACTIVIDAD 10

Realice la lectura el siguiente fragmento: (Larios, 2018)

¿Sabías qué?

En las matemáticas se pueden encontrar en cualquier parte y que se pueden emplear para explicar muchos

aspectos de nuestra vida diaria.

Una imagen pertenece a la fotografía matemática cuando su contenido tiene que ver, de forma evidente, con algún

aspecto matemático, esto es, si se aprecia claramente el elemento matemático. La fotografía suele encargarse de

retratar el entorno, la realidad que nos rodea.

Las figuras geométricas (polígonos) pueden ser perfectamente visibles y reconocibles en nuestras fotografías, pero

también pueden estar presentes en la naturaleza e inclusive en cosas que ocupamos en la vida cotidiana. Un

método de incluir figuras geométricas es uniendo puntos o líneas o formas. El caso es que de una manera u otra

tengamos en cuenta que podemos incluir y jugar con las formas en nuestras fotografías y que si las utilizamos

adecuadamente nos pueden servir para crear equilibrios, dirigir la mirada (como hacíamos con las líneas) e incluso

transmitir sensaciones (para mejorar el mensaje).

De forma individual, anote en su libreta de apuntes cinco ideas que rescates sobre la importancia de las matemáticas

en la fotografía, así como también la importancia de dominar los conceptos matemáticos para poder aplicarlos en éstas.




Tome 6 fotografías matemáticas e imprima en media carta cada una o de forma digital las puede trabajar; si las

fotografías son impresas entonces con ayuda de plumones y regla, trace en ellas los polígonos que observe y/o

identifique; en caso de ser digitales ocupe las herramientas digitales para trazar los polígonos que observe.

De la siguiente lectura El poder de la geometría en la composición fotográfica https://3lentes.com/geometria-

composicion-fotografica/ , elabore un esquema sobre ¿Por qué utilizar la geometría en la composición fotográfica?

De la siguiente lectura Formas geométricas en composición fotográfica https://www.fotolarios.es/2017/06/formas-

geometricas.html elabore un cuadro comparativo sobre las formas geométricas que existen en una composición

fotográfica.

Tomando como referencia la lectura: “5. POLIGONOS”

(http://juannemesio1.weebly.com/uploads/3/2/9/2/3292267/5los_poligonos.pdf) pag. 44 y 45, complete la tabla de tres

entradas, en la cual clasifique los polígonos identificados en todas las fotografías que trabajó.

Tabla Clasificación de polígonos por amplitud de los ángulos

https://3lentes.com/geometria-composicion-fotografica/


https://www.fotolarios.es/2017/06/formas-geometricas.html


http://juannemesio1.weebly.com/uploads/3/2/9/2/3292267/5los_poligonos.pdf




De todas las fotografías que se han ocupado hasta el momento, en su libreta de apuntes dibuje cada uno de los

triángulos identificados en las fotografías y clasifíquelos de acuerdo al tipo de triángulo según su ángulo: Triángulos

Rectángulos y Triángulos Oblicuángulos, por ejemplo:




Nota: si las fotografías son digitales utilice herramientas digitales que les permita realizar las actividades.

Utilice transportador y regla para medir los triángulos identificados en las fotografías y clasificados en la actividad

anterior:

a) Del triángulo rectángulo: mida lado-lado y después ángulo-lado (considere triángulos diferentes para cada caso).

b) Del triángulo oblicuángulo: mida lado-ángulo-lado, ángulo-ángulo-lado y lado-lado-lado, de diferentes triángulos

En su libreta de apuntes dibuje cada uno de los triángulos identificados de las fotografías y clasificados, donde escriba a

qué tipo de triángulo se refiere, así como también las medidas propuestas:




Indague en diferentes fuentes bibliográficas o en la web la forma de cómo resolver por lo menos dos de estos triángulos

(Uno de triángulo rectángulo y otro de triángulo oblicuángulo). Con dicha información elabore un formulario en una ficha

bibliográfica donde plasme todas las fórmulas y teoremas que se pueden utilizar (Teorema de pitágoras, razones

trigonométricas, ley de senos y ley de cosenos).

Se recomienda consultar:

Trigonometría del triángulo rectángulo http://math.kendallhunt.com/documents/daa2/cls/daa2cls_011_12.pdf , y

ÁLGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

https://www.cimat.mx/ciencia_para_jovenes/bachillerato/libros/Zill-

Dewar/%5bZill,Dewar%5dAlgebra_trigonometria_y_geometria_analitica.pdf, CAPITULO 10 pag. 443)

Elija cuatro triángulos (dos triángulos rectángulos y dos triángulos oblicuángulos) de los que se dibujaron en su libreta

de apuntes. Copie las siguientes preguntas y responda:

● ¿Cuál es el valor a calcular ?

● ¿Cuáles son los datos que me proporciona el triángulo?

● ¿Cuál es la condición que debe de utilizar para ocupar algun teorema?

● ¿Se ha encontrado con un problema semejante? O ¿Ha visto el mismo problema planteado en forma ligeramente diferente?

● ¿Conoce algun teorema que le pueda ser util para triángulos rectángulos y oblicuángulos?

● ¿Que pasos se deben seguir para aplicar este teorema?

http://math.kendallhunt.com/documents/daa2/cls/daa2cls_011_12.pdf

https://www.cimat.mx/ciencia_para_jovenes/bachillerato/libros/Zill-Dewar/%5bZill,Dewar%5dAlgebra_trigonometria_y_geometria_analitica.pdf





Resuelva dichos triángulos elegidos por medio de Ley de senos, ley de cosenos y razones trigonometricas,

complementa su formulario con las anotaciones pertinentes (Anote en su libreta de apuntes el procedimiento a seguir)

Resuelva cuatro triángulos (dos oblicuángulos y dos rectángulos) de los dibujados en su libreta.

Copiar en su libreta y resolver el siguiente ejercicio: Se sabe que los barcos se encuentran separados a una distancia

de 15 mts. y el barco más pequeño a la punta de la barrera artificial atrapa plásticos es de 30 mts. el ángulo que tiene el

barco más pequeño es de 95ª. ¿Cuanto mide el atrapa plásticos The Ocean Cleanup? R= ________

Pegue la fotografía correspondiente a esta situación y conteste los siguientes cuestionamientos: (Si la fotografía es

digital solo responda las preguntas en su libreta de apuntes)

a) ¿Qué principios matemáticos son los que se utilizan en este tipo de situaciones?

b) ¿Qué representan los resultados obtenidos en la fotografía de donde surgió dicho triángulo?

c) ¿Qué utilidad tiene el conocer y saber resolver este tipo de situaciones?




d) ¿Consideras que el conocer la manera de resolver triángulos oblicuángulos te ayudan a tomar una fotografía

matemática? ¿por qué?

Escriba en su libreta de apuntes la conclusión a la que llegó sobre la importancia de conocer y dominar el principio

matemático y procedimiento de “resolución de triángulos oblicuángulos, así como su utilidad en su vida cotidiana.

Tome una fotografía (naturaleza, paisajes, lugar favorito, lugares contaminados, etc.) en donde se representen los dos

principios matemáticos analizados (resolución de triángulos rectángulos con razones trigonométricas y resolución de La

fotografía debe contener título, nombre completo del autor de la foto, semestre, grupo y una argumentación donde

explique la relación que existe entre el principio matemático y la fotografía que se presenta. Se puede entregar de forma

digital y/o impresa; cabe destacar que dicha fotografía será parte del álbum a entregar como producto integrador.

Actividad 11.

Observa y analice el siguiente video: Clasificación de cuerpos geométricos

https://www.youtube.com/watch?v=RfeouDjBRpU, elabore en su libreta un mapa conceptual de los cuerpos

geométricos.

Observe y analice el siguiente video: VOLUMEN DE PRISMAS Super facil

https://www.youtube.com/watch?v=n0j1XwaroHs , elabore en su libreta el formulario para calcular el volumen de un

prisma.

Identifique los cuerpos geométricos que reconozca en su casa o en la naturaleza, tome una fotografía y asigne un título.

https://www.youtube.com/watch?v=RfeouDjBRpU

https://www.youtube.com/watch?v=n0j1XwaroHs




Demuestre creatividad en la identificación de los cuerpos geométricos y en el título, relacionando el objeto retratado con

el cuerpo geométrico identificado en él.

Por ejemplo:

Con sus fotografías y anteriores, clasifique en: poliedros regulares, irregulares y cuerpos redondos. Para su clasificación

utilice la Tabla “Características de cuerpos geometricos”




Observe la siguiente fotografía e identifique las figuras que la conforman. Dibuje y nombre los cuerpos geométricos de

la composición tridimensional.




Seleccione un objeto asociado a un cuerpo geométrico; celular, vaso, lapicera, pelota de futbol, etc. Redacte en su

libreta, una reflexión que dé respuesta a los siguientes planteamientos:

1. ¿Cuántas dimensiones tiene el objeto? 2. ¿Por qué decimos que ese objeto tiene volumen? 3. De tu ejemplo anterior demuestra ¿A partir de qué elementos es posible obtener su volumen? 4. ¿En cualquier entorno existen cuerpos geométricos? ¿cómo cuáles? 5. Asocia los objetos a nombres de cuerpos geométricos 6. ¿Qué impacto tiene el utilizar la fotografía para reconocer cuerpos geométricos en tu entorno?

Tome una fotografía o busque una imagen digital de un lugar que se ha deteriorado por la contaminación y responda en su libreta la siguientes pregunta:

¿Cómo deben afrontarse los problemas ambientales?




Recuerde escribir título de la fotografía, autor (nombre, apellidos), semestre, grupo y argumentación de la relación que

existe entre la fotografía y el contenido de cuerpos geométricos. Se puede entregar de forma digital y/o impresa; cabe

destacar que dicha fotografía será parte del álbum a entregar como producto integrador.

ACTIVIDAD 12 Producto Integrador

En hojas blancas o de colores elabore un mapa mental utilizando diferentes aplicaciones o materiales de su gusto

donde el centro sea el concepto de fotografía matemática y como ideas secundarias los principios matemáticos

desarrollados en la UAC III ((Ángulos, Semejanza y congruencia, movimientos en el plano, triángulos, razones

trigonométricas, resolución de triángulos oblicuángulos, y cuerpos geométrico).

Elabore un álbum impreso o digital de fotografías matemáticas en los siguientes formatos blog, videoclip, videoblog,

revista, álbum, página web, reportaje, etc.

Para la elaboración del álbum:

● Entregue siete fotografías matemáticas previamente seleccionadas en cada uno de los contenidos abordados en las

actividades anteriores durante esta UAC).

● Cada fotografía debe:

* Relacionarse con un contenido trabajado durante la situación de aprendizaje (Ángulos, Semejanza y

congruencia, movimientos en el plano, triángulos, razones trigonométricas, resolución de triángulos

oblicuángulos, y cuerpos geométricos)

* Tener título, autor, argumentación que explique la relación entre el principio matemático y la fotografía.

* Anexar comprobación numérica, gráfica o analítica, que demuestre el contenido revisado. (Forma parte

de la argumentación)




● El álbum : Puede ser entregado de forma impresa o digital

▪ Si es impreso considere el tipo de material que le dé mejor presentación

▪ Si es digital considere algunos de los siguientes formatos: blog, videoclip, videoblog, revista, álbum,

página web, reportaje, etc.

● Debe contemplar:

▪ Portada ▪ Introducción del álbum ▪ Conclusión que dé respuesta a: (CO-004 Redactó con claridad y precisión) ▪ ¿Cual es valor práctico que tiene la fotografía matemática? ▪ ¿Cómo puede una fotografía matemática promocionar un lugar favorito o mostrar las consecuencias de la contaminación del lugar donde vive? HSE; Autopercepción. ▪ ¿Es la fotografía una actividad para aprovechar el tiempo libre?, ¿Por qué?

● Debe publicarse en alguna red social (si cuenta con internet y redes sociales, en caso contrario puede omitir este

paso), #Album_matematico (facebook, instagram, twitter, snapchat, flick, tumblr, mural, etc).

●Compartir el link del álbum digital con tus companeros y docente por medio de Whatsapp o messenger de facebook.

(si lo puede compartir por estos medios, realicelo; en caso contrario puede omitir este paso)

●Si el álbum es impreso presentelo a su familia.

AUTOEVALUACIÓN

Criterios de evaluación Puntaje




PRODUCTO INTEGRADOR

INSUFICIENTE ( puntos)

SUFICIENTE ( puntos)

BUENO ( puntos)

EXCELENTE ( puntos)

Identifica la relación existente entre conceptos, principios y procedimientos matemáticos en las fotografías que integran su álbum

Reconoce en la argumentación la relación con conceptos, principios o procedimientos matemáticos en menos de tres fotografías que integran su álbum.

Reconoce en la argumentación la relación con conceptos, principios o procedimientos matemáticos por lo menos en tres fotografías que integran su álbum.

Reconoce en la argumentación de por lo menos en cinco fotografías que integran su álbum, la relación con conceptos, principios o procedimientos matemáticos.

Reconoce en la argumentación de todas sus fotografías la relación con conceptos, principios o procedimientos matemáticos.

Maneja las tecnologías de la información y comunicación para representar gráficamente los conceptos y principios matemáticos

Representa de manera gráfica conceptos y/o principios matemáticos en menos de tres fotografías que integran su álbum.

Representa de manera gráfica conceptos y/o principios matemáticos por lo menos en tres fotografías que integran su álbum.

Representa de manera gráfica conceptos y/o principios matemáticos por lo menos en cinco fotografías que integran su álbum

Representa de manera gráfica conceptos y/o principios matemáticos en todas las fotografías que integran su álbum




en las fotografías.

Comprueba los conceptos, principios y procedimientos matemáticos de forma gráfica, numérica o analítica.

Argumenta conceptos, principios y procedimientos matemáticos de forma gráfica, numérica o analítica en menos de tres fotografías que integran su álbum.

Argumenta conceptos, principios y procedimientos matemáticos de forma gráfica, numérica o analítica por lo menos en tres fotografías que integran su álbum.

Argumenta conceptos, principios y procedimientos matemáticos de forma gráfica, numérica o analítica por lo menos en cinco fotografías que integran su álbum.

Argumenta conceptos, principios y procedimientos matemáticos de forma gráfica, numérica o analítica, en todas las fotografías que integran su álbum.




Valora y expresa la importancia de utilizar los conceptos, principios y procedimientos matemáticos para la fotografía matemática, así como la utilización de esta, para promocionar un lugar o mostrar las consecuencias de la contaminación.

No valora y tampoco expresa la importancia de utilizar los conceptos, principios y procedimientos matemáticos para la fotografía matemática. Promociona un lugar favorito.

Describe conceptos, principios y procedimientos sin reflexión de cómo se usan estos en la fotografía matemática. Promociona un lugar favorito.

Explica conceptos, principios, procedimientos y reflexiona cómo usar estos en la fotografía matemática. Promociona un lugar favorito pero no muestra conciencia de aquellos lugares que están deteriorados por la contaminación.

Valora y expresa conceptos, principios y procedimientos y reflexiona cómo usar estos en la fotografía matemática. Promociona un lugar favorito, muestra conciencia de aquellos lugares que están deteriorados por la contaminación en su comunidad y establece propuestas.




Emplea su tiempo libre en la fotografía matemática, como una opción incluyente en su proyecto de vida y autopercepción sobre sí mismo y del lugar en donde vive.

No entrega fotografías de tipo matemático, ni incluye a la fotografía matemática como parte de su proyecto de vida.

Entrega fotografías matemáticas, pero no incluye a la fotografía matemática como parte de su proyecto de vida.

Entrega fotografías de tipo matemático e incluye a la fotografía matemática como parte de su proyecto de vida.

Entrega fotografías de tipo matemático, incluye a la fotografía matemática como parte de su proyecto de vida y al mismo tiempo mejora su autopercepción mientras hace esta actividad, ya que se reconoce a sí mismo y el lugar en donde vive.

TOTAL

REFERENCIAS

Barrantes (2015), Las imágenes en la Enseñanza-aprendizaje de la Geometría:

https://www.researchgate.net/publication/301889215_Las_imagenes_en_la_Ensenanzaaprendizaje_de_la_Geometria/d

ownload

Carreón (2012) “CONGRUENCIA Y SEMEJANZA” https://www.youtube.com/watch?v=HGU9D54PlWs fecha de

consulta 02 de abril 2020










Carreón (2016) “TEOREMA DE TALES Super Fácil ” https://www.youtube.com/watch?v=ifjbo-RyfNE fecha de consulta

02 de abril 2020

Carreón (2017) “TIPOS DE ÁNGULOS Super facil | Para principiantes” :

Carreón (2017) “VOLUMEN DE PRISMAS Super fácil ” https://www.youtube.com/watch?v=n0j1XwaroHs fecha de


Carreón (2017), “PLANO CARTESIANO Super fácil” https://www.youtube.com/watch?v=kzOzYY-T-50 fecha de consulta

02 de abril 2020

Carreón (2019) “ANGULOS ENTRE PARALELAS Y UNA TRANSVERSAL Super fácil - Para principiantes”

https://www.youtube.com/watch?v=2OPoYzg_E58 fecha de consulta 02 de abril 2020

Carreón (2019) “CÓMO MEDIR UN ÁNGULO Super fácil - Para principiantes”

https://www.youtube.com/watch?v=CRXi4jQiRIM fecha de consulta 02 de abril 2020

CECyTEM La Paz (s.f.) “5. POLIGONOS ”

http://juannemesio1.weebly.com/uploads/3/2/9/2/3292267/5los_poligonos.pdf fecha de consulta 02 de abril 2020

Ceferino. A (2015) “Construcción y medida de ángulos con transportador”

Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish (2010) “Trigonometría del triángulo rectángulo ”

http://math.kendallhunt.com/documents/daa2/cls/daa2cls_011_12.pdf fecha de consulta 02 de abril 2020






















Frías (2017) “REGLA DE LOS TERCIOS ► Explicación, pros y contras (y análisis de fotos)”

https://www.youtube.com/watch?v=VUl1HbrYH8o fecha de consulta 02 de abril 2020

https://hipertextual.com/archivo/2010/11/angulos-fotografia/ fecha de consulta 02 de abril 2020

https://www.geogebra.org/m/fGxqM9hb#material/hQZcWusX fecha de consulta 02 de abril 2020

https://www.youtube.com/watch?v=-zLWJYY42GU fecha de consulta 02 de abril 2020

IES de Fadur. (2012). Fotografía y matemáticas: http://www.ogasun.ejgv.euskadi.eus/r51-


Langarita,(2004) “EL NÚMERO DE ORO” http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/docums/numero_oro.pdf fecha

de consulta 02 de abril 2020

Lantarón y López (Octubre 2012) Historias e matemáticas, Una visión matemática: Matemáticas en imágenes:


Larios (2017) “Formas geometricas en composición fotográfica ” https://www.fotolarios.es/2017/06/formas-

geometricas.html fecha de consulta 02 de abril 2020

Laura (2013) “Movimientos en el plano” https://matematica.laguia2000.com/general/movimientos-en-el-plano fecha de


Lenin-luna ( 2010 ) “Ángulos en fotografía”:























Martínez, J. (Mayo 2013). 16° concurso de fotografía. Sociedad Madrileña de Profesores de Matemáticas "Emma

Castelnuovo": https://www.smpm.es/actividades/fotografia/84-xvi-edicion/211-16o-concurso-de-fotografia-matematica

Mendoza (2016) “FOTOGRAFIA PARA PRINCIPIANTES - La regla de tercios –“

https://www.youtube.com/watch?v=CzOgBs9_Eo8 fecha de consulta 02 de abril 2020

Ortega (2016) “EL TRIÁNGULO, definición, elementos y región triangular. ”

https://www.youtube.com/watch?v=Kj60E7_MagI fecha de consulta 02 de abril 2020

Portal educativo (s.f.) “Teoremas fundamentales de los triángulos ”

https://www.portaleducativo.net/contenidos/1073/teoremas-fundamentales-triangulos fecha de consulta 02 de abril

2020

Rodríguez (s.f.) “El poder de la geometría en la composición fotográfica ” https://3lentes.com/geometria-composicion-

fotografica/ fecha de consulta 02 de abril 2020

Solà-Soler (2004) “La Proporción Aurea” http://www.sacred-geometry.es/?q=es/content/la-proporci%C3%B3n-aurea

fecha de consulta 02 de abril 2020

Taller de Mate (2018) “Clasificación de cuerpos geometricos ” https://www.youtube.com/watch?v=RfeouDjBRpU

fecha de consulta 02 de abril 2020

Transformaciones geométricas. Movimientos. (s.f)

https://www.edu.xunta.gal/espazoAbalar/sites/espazoAbalar/files/datos/1491479279/contido/ud08_movimientos_plano/2

_transformaciones_geomtricas_movimientos.html fecha de consulta 02 de abril 2020

https://www.smpm.es/actividades/fotografia/84-xvi-edicion/211-16o-concurso-de-fotografia-matematica

https://www.smpm.es/actividades/fotografia/84-xvi-edicion/211-16o-concurso-de-fotografia-matematica

















https://www.edu.xunta.gal/espazoAbalar/sites/espazoAbalar/files/datos/1491479279/contido/ud08_movimientos_plano/2_transformaciones_geomtricas_movimientos.html







Tutoriales de Arquitectura (2016) “EL TRIÁNGULO.” https://www.youtube.com/watch?v=A6NFqI9L5qM fecha de


Tutoriales DVC (2017) “TIPOS DE TRIÁNGULOS (SEGÚN SUS LADOS, SEGÚN SUS ÁNGULOS) ”

https://www.youtube.com/watch?v=vKk0E_IXw3Q fecha de consulta 02 de abril 2020

Zill, M. Dewar (2012) “ÁLGEBRA, TRIGONOMETRIA Y GEOMETRIA ANALITICA Tercera edición”

https://www.cimat.mx/ciencia_para_jovenes/bachillerato/libros/Zill-

Dewar/%5bZill,Dewar%5dAlgebra_trigonometria_y_geometria_analitica.pdf fecha de consulta 02 de abril 2020










NIVEL: MEDIO SUPERIOR CAMPO DISCIPLINAR: MATEMÁTICAS ... · revista, álbum impreso o digital,...

Documents

Transcript of NIVEL: MEDIO SUPERIOR CAMPO DISCIPLINAR: MATEMÁTICAS ... · revista, álbum impreso o digital,...