Neurria Eta Integrazioa UPV /EHU

Lan honek UPV/EHUko Zientzia eta Teknologia Fakultatean Matematikagraduko hirugarren mailan irakasten den Neurria eta Integrazioa materiarennotak batzen ditu. Programari jarraituz, lan honetan sei gai agertzen dira.Horietatik bost programan dauden gaiak dira, guztiek egitura berdina dute-larik: lehenik gaiari buruzko teoria azaltzen da eta azkenengo atalean klaseanlanduko den ariketa zerrenda. Badago desberdina den azkenengo gai bat, nonariketa gehigarriak ematen diren. Ariketa hauek ez dira klasean egiten dire-nak, baizik eta ikasleei ematen zaien material osagarria bakoitzak bere kabuzlantzeko.

Leioan, 2013ko apirila

i

orri zuria

ii

Aurkibidea

Aurkibidea iii

1 LEBESGUEREN NEURRIA 11.1 Integrazio-teoriaren garapena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Riemannen integralaren murrizketak . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Lebesgueren neurria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Espazio neurgarriak. Neurriak eta Kanpo-neurriak . . . . . . . . 91.5 Lebesgueren neurriaren propietateak . . . . . . . . . . . . . . . 141.6 Lebesgue-Stieljesen neurriak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.7 Ariketak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 FUNTZIO NEURGARRIAK. INTEGRAZIOA ETA PROPI-ETATEAK 232.1 Funtzio neurgarriak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2 Lusin eta Egoroven teoremak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3 Lebesgueren integrala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4 Funtzio integragarriak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.5 Konbergentzia Monotonoaren Teorema eta Fatouren Lema . . . 402.6 Lebesgueren Konbergentzia Menderatuaren Teorema . . . . . . 432.7 Riemannen integrala eta Lebesgueren integrala . . . . . . . . . . 482.8 Ariketak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3 FUBINIREN TEOREMA ETA ALDAGAIAREN ALDAKETA 553.1 Biderkadura-neurria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.2 Fubini-Tonelliren Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.3 Aldagaiaren aldaketa. Koordenatu polarrak . . . . . . . . . . . 663.4 Ariketak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4 HILBERT ESPAZIOAK 714.1 Hilbert espazioak: adibideak eta propietateak . . . . . . . . . . 724.2 Ortogonaltasuna eta proiekzioak . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.3 Sistema eta oinarri ortonormalak . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

iii

Aurkibidea

4.4 Ariketak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5 BANACH ESPAZIOAK ETA Lp ESPAZIOAK 955.1 Espazio normatuak. Banach espazioak . . . . . . . . . . . . . . 965.2 Lp espazioak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.3 Lp espazioen propietateak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.4 Espazio normatuen arteko eragile lineal eta jarraituak . . . . . . 1055.5 Ariketak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

6 ARIKETA OSAGARRIAK 1136.1 Lehen gaia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136.2 Bigarren gaia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1156.3 Hirugarren gaia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1176.4 Laugarren gaia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1186.5 Bostgarren gaia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

Bibliografia 123

iv

1. Gaia

LEBESGUEREN NEURRIA

1.1 Integrazio-teoriaren garapena

XX. mendearen hasieran Henry Lebesguek (1875-1941) bere izena duen teoriasortu zuen, Lebesgueren neurria eta Lebesgueren integrala, hain zuzen ere.Gaur egun erabiltzen dugun integrazioa eredu honetan oinarrituta dago.

XVIII. mendearen bigarren erdialdean funtzioaren definizioa ez zegoen batereargi. Gehienetan adierazpen analitiko batez idatz zitekeen zerbait zen. Ho-rrela ikusita, funtzio bat ekuazio mota bat zen, integrazioaren problema on-dokoa zelarik: emandako f(x) funtzioa hartuz, F (x) bere jatorrizko funtzioabilatzea.

Lebesgueren ustez, aldagai bateko funtzio erreala edozein korrespondentziazen, non x aldagaiari f(x) balioa dagokion. Definizio honen arabera, funtzioorokorragoak azter zitezkeen eta haien integralak definitu behar ziren. Ikusdezagun ordurarte egindako ibilibidea.

J. DAlambertek (1717-1783) uhin-ekuazioarentzat emandako ebazpenari be-gira, L. Eulerek (1707-1783) susmatu zuen agertzen ziren soluzioek ez zutelajarraituak izan behar, irregularrak edo orokorragoak baizik. Beste aldebatetik, korda-dardarkariaren problema aztertzerakoan, ia edozein funtzio sin-uen serie bezala idatz zitekeen arazoa sortu zen. D. Bernoulli (1667-1748),fisikako argudioetan oinarriturik, erantzuna baiezkoa zelakoan zegoen, bainaL. Euler eta J. Lagrangeren (1736-1813) ustez, hor kontraesana zegoen funtziodardakarien arbitrarietatearengatik.

XIX. mendean murgilduz, J. L. Fourieren (1768-1830) lanak erakusten zuenfuntzio bat serie trigonometrikoa bezala idatz zitekeela, koefizienteak inte-

1

Lebesgueren neurria

gralen bidez kalkulatuz: biz f(x) funtzioa [l, l] tartean definituta,

f(x) =1

2a0 +

n=1

(an cos

npix

l+ bn sin

npix

l

)(1.1)

da x [l, l] .Fourierek ordurarte izandako galderarik garrantzitsuena azaldu zuen: (4.3.6)serieraren batura partzialaren limitea f(x) izango al da ? Hau frogatzekoontzat hartu zuten seriearen integrala bere batugaien integralen seriea zela,hau da: l

l

(limn

sn(x))dx = lim

n

llsn(x)dx,

sn(x) serieraren batura partziala izanik.

Fourierek emandako frogapenak ez ziren inola ere zehatzak eta haren formulakjustifikatu nahian integralaren definizioak abiatu ziren: f edozein funtzioa

bada, nola defini daiteke

llf(x)dx ?

Integralaren lehen formulazioa A. Cauchyk (1789-1857) eman zuen, [a, b] tarteanjarraituak diren f funtzioaterako: a = t0 < t1 < < tn = b tartearen par-tiketa bat bada, ci [ti1, ti] puntua izanik, integrala

ni=1

f(ci)(ti ti1)

adierazpenaren limite bezala definitzen da, max(ti ti1) 0 denean. f -renjarraitutasun uniformeak limitearen existentzia bermatzen du alde batetik, etabestetik definizio hau erraz heda daiteke eten-puntuen kopurua finitua duenfuntzio bornatuaren kasura.

B. Riemannek (1826-1866) Cauchyren metodoa edozein funtziotara hedatzeapentsatu zuen, eta modu honetan ezagutzen dugun Riemannen integralarendefinizioa eman zuen, goi eta behe-baturak erabiliz: [a, b] tarte bornatuarenedozein P partiketa hartuz, behe-baturaren gorena eta goi-baturaren beherenaberdinak badira f funtzioa integragarria da eta integralaren balioa lortutakozenbakiaren balio hori da.

Cauchyren prozedura erabiliz, J. Dirichletek (1805-1859) integralak, edozeinfuntzioren kasuan, ez duela zertan balio bakar bat izan behar frogatu zuen,eta kontradibide gisa [0, 1] tarteko funtzio karakteristikoa erabili zuen. Honekiradoki zuen eten-puntuen kopurua eta multzoaren neurria zerikusia zutela.

2

Lebesgueren neurria

Garai hartan, G. Cantor (1845-1918) multzoen eta hauen neurrien ikasketanarduratzen zen, eta hori funtsezkoa izango zen geroago integrazio-teoriarengarapenerako.

Integragarritasuna eten-puntuekin lotuta zegoela konturatu zen lehena P. DuBois Reymond (1831-1889) izan zen. Puntu hoien multzoak nolabait neurtubehar ziren. Hemen ezar ditzakegu neurriaren teoriaren hastapenak.

Henri Lebesguek bere izena duen teoria bere tesian aurkeztu zuen 1902. urtean,Borelek definitutako neurria orokortuz eta zero neurriko multzoaren definizioaezarriz.

H. Lebesgue (1875-1941)

Lebesgueren integralaren ideia hauxe da: definizio-eremuaren partiketa eginbeharrean, egin dezagun irudi-eremuaren partiketa, hau da, irudi-multzoan bibalioen artean, zenbat aurreirudi dauden, edo beste modu batean esanda,aurreirudien multzoa neurtu.

Bere hitzak erabiliz hau da, grafikoki, bere integralaren definizioa: Kantitatebat ordaindu behar dut; nire poltsikoetan begiratu eta balio desberdinetako tx-anpon eta diru-paperak aurkitzen ditut. Nire hartzekodunari ematen dizkiotagertzen diren ordenean nire zorra ordaindu arte. Hori da Riemannen in-tegrala. Honen ordez, diru guztia atera eta balio berdineko diru-paperak etatxanponak batzen ditut eta horrela zorra ordaintzen dut. Hori da nire inte-grala. Zorraren ordainketa bigarren modura egiteko aurretik lan gehiago eginbehar da (diru guztia atera eta sailkatu) baina egindako lan horrek etekinahandiagoa emango digu gero. Hau da Lebesgueren integralarekin gertatukodena, definizioa emateko bide luzeagoa egin behar dugu baina gero emaitzahobeak lortuko ditugu.

3

Lebesgueren neurria

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

0.5

1.0

1.5

Urte batzuk geroago Burkillek, lengoai matematikoa erabiliz, Lebesgueri buruzesan zuen: bere lana Matematikako arlo bati dagokio, Analisi Errealari, hainzuzen ere. Arlo horretan bera da gorena.

1.2 Riemannen integralaren murrizketak

Integralaren kontzeptua eskualde bat neurtzearen ideiarekin lotuta dago. Rie-mannen integrazioan [a, b] tarte trinko batean bornaturik dauden funtzioakaztertzen dira soilik. Tartea edo funtzioa ez badira bornatuak arazoak agertzendira. R-ko edozein multzo neurtzeko saiaketak integragarritasuna (Riemannenarabera) eta jarraitutasunaren arteko erlazioan du jatorria.

XX. mendearen hasieran ezaguna zen funtzio bat Riemann-integragarria iza-teko eten-puntuen multzoa ezin zela handia, non handia finkatzeko zegoen.Lebesguek integragarritasuna eta eten-puntuen kopuraren arteko erlazioa ze-hazten du.

Beste aldetik, Riemannen integralak duen hutsunerik garrantzitsuenetariko batlimitearekiko duen portaeran datza, galdera opndokoa izanik: limitea eta in-tegralaren arteko ordenaren aldaketak eragina du, hau da b

a

(limn

fn(x))dx = lim

n

ba

fn(x)dx (1.2)

berdintza egiaztatzen da ? R. Bairek (1784-1932) erantzuna ezezkoa zela fro-

4

Lebesgueren neurria

gatu zuen adibidea hau erabiliz:

fn(x) =

{1 x = p

q, (p, q) = 1, q n,

0 beste kasutan.

Funtzio segida hau [0, 1] tartean uniformeki bornatua da eta bere limiteaarrazionalen funtzio karakteristikoa izanik, ez da Riemann-integragarria. Ho-nen aurrean, Lebesgueren integralak limitearekiko portaeran berdintasuna ber-matzen du balditza orokor batzuetan.

Adibidea 1.2.1. Izan bedi fn(x) = 2n2xen

2x2 funtzio segida. Aztertu inte-gralaren limitea eta limitearen integralaren arteko berdintza ematen den alaez.

-3 -2 -1 1 2 3

-4

-2

2

4

1.3 Lebesgueren neurria

Definizioak 1.3.1. Izan bitez a = (a1, . . . , an) eta b = (b1, . . . , bn), a, b Rn,non ai bi eta i = 1, 2, . . . n diren.

a eta b mugak dituen I tarte itxia

I = {x Rn, ai xi bi, i = 1, 2, . . . n} = [a1, b1] [an, bn]

multzoa bezala definitzen da.

Era berean definitzen da tarte irekia desberdintza hertsikiak hartuz

I = {x Rn, ai < xi < bi, i = 1, 2, . . . n} = (a1, b1) (an, bn).

Oro har, Rn-ko tarte bat modu berean definitzen da desberdintzak her-tsikiak izanik ala ez.

5

Lebesgueren neurria

Edozein I tarteren bolumena (irekia, itxia, ez irekia, ez itxia)

vol(I) =ni=1

(bi ai)

formularen bidez definitzen da.

Argi dago edozein I tartetarako eta edozein x Rn puntutarako x + I bestetarte bat dela, I-ren translazioa hain zuzen ere, honen mugak x+ a eta x+ bpuntuak direlarik eta tarte bien bolumenak berdinak izanik:

x+ I = {x+ y : y I}, vol(x+ I) =ni=1

(xi + bi (xi + ai)) = vol(I).

Era berean, edozein > 0 zenbaki positibotarako, I tarte bat da, I-renhomotetikoa hain zuzen ere, mugak a eta b direlarik eta bolumenen artekoerlazioa ondorengoa izanik:

I = {y : y I}, vol(I) =ni=1

(bi ai) = nvol(I).

Definizioa 1.3.2. Rn-ko tarte diadikoa [a1, b1) [an, bn) motatako tarteada, non ai eta bi zenbaki diadikoak diren, hau da, ai =

s

2l, s Z, l N.

Tarte diadikoak inoiz ez dira hutsak. Honetaz gain, tarte diadiko baten mugakzenbaki osoak badira, bere bolumena tartean dauden zenbaki osoen kopuruada, hau da, vol(I) = card(IZn). Hau kontutan harturik, eta tarte bat eta bereirudia homotezia baten bidez, ondorengoa dugu: I = [

s12l,t12l

) [sn2l,tn2l

)

bada, orduan

vol(I) =1

2lnvol(2lI) =

1

2lncard(2lI Zn).

Zenbaki diadikoen multzoa dentsoa da Rn, eta honek Rn-ko edozein tartetarakodiadikoa den familia bat eraikitzea bermatzen du, emandako tartea hurbiltzenduena. Ikus dezagun hau ondorengo lemetan.

Lema 1.3.3. Izan bedi I Rn tartea. Orduan

> 0, J tarte diadikoa, J I eta vol(I) vol(J) < . > 0, H tarte diadikoa, I int(H) eta

vol(H) vol(I) < .

6

Lebesgueren neurria

Lema 1.3.4. Izan bitez {I1, . . . , Im} eta {H1, . . . , Hp} tarteen familia finitubi. Ik tarteak binaka disjuntuak badira, eta

mk=1

Ik pi=1

Hi bada orduan

mk=1

vol(Ik) pi=1

vol(Hi)

da. Lema honi Errektangeluen lema deritzo.

Lema 1.3.5. Izan bitez {I1, . . . , Ik, . . .} eta {H1, . . . , Hk, . . .} tarteen familiazenbakigarri bi, non

k=1

Ik k=1

Hk den, eta lehen familiako tarteak disjuntuak

diren. Orduank=1

vol(Ik) k=1

vol(Hk).

Lema hauekin ondorengo propietatea froga daiteke.

Proposizioa 1.3.6. Rn-ko edozein multzo ireki ez-hutsa tarte diadikoen bil-dura zenbakigarria da, non tarteak binaka disjuntuak diren eta tarte hauenitxidurak emandako irekiaren barruan dauden.

Propietate eta lema hauetatik honakoa ondoriozta daiteke: Edozein multzoirekia multzo trinkoen familia gorakor baten bildura bezala idatz daiteke.

Ikus dezagun orain Lebesgueren neurriaren definizioa multzo irekietarako.

Definizioa 1.3.7. Izan bedi G Rn multzo ireki bat. G = bada, orduanm(G) = 0 bezala definitzen da. G 6= bada, izan bedi {Ik, k N} binakadisjuntuak diren tarteen familia zenbakigarria, non

k=1 Ik = G den. Orduan

m(G) =k=1

vol(Ik).

m(G) balioa aukeratutako familiaren independentea da.

Proposizioa 1.3.8. Multzo irekietarako definitutako m funtzioak ondoko pro-pietateak betezen ditu:

G1 G2 m(G1) m(G2).

7

Lebesgueren neurria

{Gk, k N} familiarako ,m(k=1

Gk) k=1

m(Gk). Familia disjuntua bada

m(k=1

Gk) =k=1

m(Gk) da.

G = I tarte irekia bada m(I) = vol(I).

G irekia bornatua bada m(G)

Lebesgueren neurria

Definizioa 1.3.12. A Rn multzoa Lebesgue-neurgarria (edo neurgarria)dela esango dugu > 0-rako, existitzen badira F multzo itxia eta G multzoirekia, F A G izanik eta m(G F ) < .Multzo bat Lebesgue-neurgarria bada, bere neurria kanpo-neurriaren bidez kalku-latzen da, hau da,

m(A) = m(A).

Adibidez, A = Rn bada F = G = Rn hartuz definizioa betetzen da. Kontutanizan behar dugu F multzo itxia denez, G F irekia da eta orduan m(G F )ondo definituta dago.

1.4 Espazio neurgarriak. Neurriak eta

Kanpo-neurriak

Atal honetan neurri bat zer den ikusiko dugu. Horretarako finka dezagunX Rn hutsa ez den azpimultzo bat. X-ren zatien multzoa P(X)-ren bidezizendatzen dugu, hau da, P(X) = {A : A X}. Orduan ondorengo definizioadugu.

Definizioa 1.4.1. Izan bedi M P(X). M -algebra bat dela diogu on-dorengo propietateak betetzen direnean:

X M, M. A M = X/A M.

(Ak){kN} M,k=1

Ak M

(X,M) bikoteari espazio neurgarria esaten zaio eta M-n dauden elementueimultzo neurgarriak. Bigarren eta hirugarren propietatetatik ondoriozta daitekemultzoen ebakidura zenbakigarria -algebraren barruan mantentzen dela, hau

da, (Ak){kN} M,k=1

Ak M.

Badaude jakinak diren bi -algebra: bata P(X) eta bestea X eta mul-tzoz osotutakoa. Hauetaz gain, X-ren azpimultzoen edozein F familia berepartetzat duen -aljebrara heda daiteke, baina hedapen guztietatik berezi bataztertuko dugu: F partetzat duten -aljebra guztien ebakidura -aljebra bat

9

Lebesgueren neurria

da, F partetzat dutenetatik txikiena, hain zuzen ere. Honi F -k sortarazitako-aljebra deituko diogu eta (F) ikurrarekin adieraziko dugu.Badago beste -aljebra berezi bat. X espazio topologikoa bada, multzo Borel-darrak edo Borelen multzoak egitura topologikoaren multzo irekiek sortzendituzten multzoak dira eta horrela eraikitako -aljebrari Boreldarra esatenzaio (Adibidez (R,m) espazioan, [0, 1) multzoa ez da ez irekia ez itxia, bainaboreldarra da (, 1) (, 0)c irekien bidez idatz daitekelako).Definizioa 1.4.2. Izan bedi (X,M) espazio neurgarria eta :M [0,]aplikazioa, non ondorengo propietateak betetzen diren:

() = 0,

(Ak)k=1, Ai Aj = , ( k=1

Ak

)=k=1

(Ak).

Orduan aplikazioa neurri bat da eta (X,M, ) hirukoteari neurri-espazioaesaten zaio.

Adibidea 1.4.3. Ikus ditzagun erabiltzen diren neurri batzuk.

1. Aurreko atalean definitutako m Lebesgueren neurria, neurri bat da.

2. Izan bedi X edozein multzoa eta P(X). Defini dezagun : P(X) [0,], non (A) = card(A), A finitua denean eta (A) = card(A)infinitua denean. neurri bat da, kontatzeko neurria deritzena, hainzuzen ere.

3. Izan bedi X edozein multzoa, P(X) -aljebra eta a X puntu finko bat.Defini dezagun

: P(X) {0, 1},non A multzo bakoitzerako (A) = 1 da a A bada eta (A) = 0 a / Abada. Funtzio hau neurri bat da ere bai.

4. Izan bedi X multzo ez-zenbakigarria eta

M = {A X,A zenbakigarria edo Ac zenbakigarria }.-aljebra honetan neurria definitzen dugu, non (A) = 0 da A multzozenbakigarria bada, eta (A) = 1 da Ac multzoa zenbakigarria bada.

5. Probabilitate- teorian (X,M, p) probabilitate-espazioa espazio neurridunada, = p definituz, non p(X) = 1 eta p(A) A gertaeraren probabilitateakdiren.

10

Lebesgueren neurria

Ikus ditzagun orain neurri baten propietate batzuk.

Teorema 1.4.4. Izan bedi (X,M, ) neurri-espazioa. Ondoko baieztapenakbetetzen dira:

1. (Ak)nk=1 M, Ai Aj = , (

nk=1

Ak

)=

nk=1

(Ak)

2. A,B M, A B = (A) (B). Horretaz gain (A)

Lebesgueren neurria

Gainera (A) < bada, aurreko adierazpena erabiliz emaitza lortzen da((A) = balitz, (B) (A) indeterminazioa izango litzateke).(3) Izan bitez B1 = A1, Bp = Ap

(p1k=1Ak

), p > 1-erako. Bk multzo

disjuntuak dira, Bk Ak etak=1

Bk =k=1

Ak, beraz

{ (k=1Bk) = (

k=1Ak)

k=1 (Bk)

k=1 (Ak)

}

( k=1

Ak

)

k=1

(Ak)

(4) Aurreko ataleko Bk multzo berdinak erabiliz, badakigu Ak eta Bk guztienbildurak berdinak direla. Gainera

Ak =ki=1

Bi

da beraz

(Ak) =

(ki=1

Bi

)=

ki=1

(Bi).

Limiteak hartuz

limk

(Ak) =i=1

(Bi) =

( i=1

Bi

)=

( i=1

Ai

).

(5) Osagarriak hartuz ( k=1

Ak

)=

( k=1

Ack

)cda. Gai baten neurria finitua bada, ebaketarena ere finitua izango da, orduanbigarren eta laugarren atala erabiliz

( k=1

Ak

)=

(( k=1

Ack

)c)= (X)

( k=1

Ack

)=

(X) limk

(Ack) = limk

(X Ack) = limk

(Ak).

Badago neurriak eraikitzeko beste modu bat, kanpo-neurriak eta Caratheodo-ryren Teorema erabiliz hain zuzen ere.

12

Lebesgueren neurria

Definizioa 1.4.5. Izan bedi (X,M) espazio neurgarria.

: P(X) [0,]

aplikazioa X-ren gaineko kanpo-neurria dela esango dugu ondoko propietateakbetetzen baditu:

() = 0,

A B X,(A) (B),

(Ak)k=1 P(X), ( k=1

Ak

)

k=1

(Ak).

Kanpo-neurri bat izan ezkero neurgarriak diren multzoak azter daitezke. Cara-theodoryren teoremak kanpo-neurria eta neurriaren arteko erlazioa ematendigu.

Teorema 1.4.6. (Caratheodoryren Teorema) A multzoa -neurgarria da edozeinM X multzotarako

(M) = (M A) + (M Ac)

bada. Honen arabera neurria neurgarriak diren multzoetara kanpo-neurriarenmurrizketa bezala definitzen da, hau da, (A) = (A). A multzoa neurgarria(edo -neurgarria) dela esango dugu.

Kanpo-neurria P(X) multzoan definitzen da eta hortik neurria definitzekoneurgarriak diren multzoak hartzen dira soilik hauek -aljebra bat osotzendutelarik.

Caratheodoryren Teorematik ondorengo emaitza ondoriozta daiteke Lebesguerenneurrirako:

Teorema 1.4.7. Izan bedi Rn-n Lebesgue-neurgarriak diren multzoz osotutakoM familia. Familia hau -aljebra bat da, tarteak eta zero kanpo-neurrikomultzoak barne direlarik.

Teorema 1.4.8. m Lebesgueren kanpo-neurriaren murrizketaM -aljebraraneurri bat da, Lebesgueren neurria, hain zuzen ere.

13

Lebesgueren neurria

1.5 Lebesgueren neurriaren propietateak

Proposizioa 1.5.1. m Lebesgueren neurria ondoko propietateak betetzen ditu:

neurri osoa da, hau da,m(A) = 0 bada , B A = m(B) = 0

da.

neurri -finitua da, hau da,

{An}nN,m(An)

Lebesgueren neurria

Ikus dezagun orian nola aldatzen den Lebesgueren neurria multzoa mugitzendenean.

Proposizioa 1.5.4. Izan bedi A Rn Lebesgue-neurgarria den multzo bat.Ondorengo propietateak betetzen dira:

m(x+A) = m(A), x Rn (multzo baten neurria ez da aldatzen multzohori trasladatu egiten denean).

m(A) = m(A), > 0 : Rn Rn isomorfismoa bada, orduan (A) neurgarria da eta

m((A)) = c m(A)

da, non c = m([0, 1)n) den. isometria bat bada, hau da c = 1, orduanm((A)) = m(A).

Orain arte ikusitakoaren arabera, badirudi Rn-ko azpimultzo guztiak neurga-rriak direla. Hau ez da egia. Ondorengo teoreman neurgarria ez den multzobat eraikiko dugu.

Teorema 1.5.5. (Vitaliren lema). Existitzen dira Lebesgue-neurgarriak ezdiren multzoak.

Frogapena: Giussepe Vitali matematikari italiarra Ravenan jaio zen 1875koabuztuaren 26an eta Bolonian hil zen 1932ko otsailaren 29an. Neurriarenteorian lan egin zuen Lebesgueren emaitzaren hainbat hedapen emanez. Orainaztertuko dugun multzoa hoietariko adibide bat da.

Izan bitez x, y [0, 1) eta defini dezagun ondorengo erlazioa:x y y x arrazionala den.

Erlazio hau baliokidetasun erlazioa bat da, beraz [0, 1) tartea E multzo dis-juntuetan banan daiteke, non x eta y E multzo berdinean daude x y de-nean. Zenbaki arrazionalen multzo zenbakigarria denez, E bakoitza ere zen-bakigarria izango da. Aldiz [0, 1) tartea ez da zenbakigarria, beraz honek esannahi du E multzoen kopurua ezin dela zenbakigarria izan (bestela multzo zen-bakigarrien bildura zenbakigarria ezin izango litzateke ez-zenbakigarria izan).Eraiki dezagun V multzo bat E multzo bakoitzetik elementu bat hartuz.Honela eraikitako V multzo hau ez dela Lebesgue-neurgarria frogatuko dugu.

Izan bitez rn, n = 0, 1, . . . [0, 1) tartean dauden zenbaki arrazionalak, r1 = 0izanik. n N zenbaki arrunt bakoitzerako defini dezagun Vn = rn+V multzoa.

15

Lebesgueren neurria

n 6= m bada, y Vn Vm x, x V, non y = x + rn = x + rm den.Alde batetik x x ez da arrazionala, eta bestetik x x = rm rn da,orduan gelditzen den aukera bakarra x = x izatea da. Beraz n 6= m bada,Vn Vm = da. Honetaz gain multzo guztien batura egiten badugu, ondokoalortzen da:

[0, 1) n=1

Vn [1, 2]

zeren eta x [0, 1) puntu bakoitzerako , n non x = x + rn den.V multzoa neurgarria balitz, Vn guztiak disjuntuak direnez,

m([0, 1)) n=1

m(Vn) 3

izan beharko litzateke. Vn eta V -ren neurriak berdinak dira, bata bestearentranslazioa delako, beraz

m([0, 1)) m(V ) +m(V ) + . . . .

Tartearen neurria luzera da, beraz berdintzaren eskerreko balioa bat da. m(V ) >0 bada, eskumako balioa infinitua izango da eta m(V ) = 0 bada, eskuinekobalioa zero da. Edozein kasutan desberdinak dira. Kontraesan bat lortu dugu.Honek adierazten du V multzoa ezin dela neurgarria izan.

Teorema 1.5.6. (Cantoren multzo hirutarra) Cantoren multzo hirutarra on-dorengo propietateak betetzen ditu:

[0, 1] tarteko multzo trinkoa da.

Bere Lebesgueren neurria zero da.

Multzo infinitu ez-zenbakigarria da (jarraituaren potentzia du).

Frogapena: Lehenengo eta behin ikus dezagun nola eraikitzen den Cantorenmultzoa.

Har dezagun [0, 1] tarte itxia. Tarte hau hiru zati disjuntutan banantzen dugu:[0, 1] = [0, 1

3]

(13, 23)

[23, 1]. Izan bedi G1 = (

13, 23). Lehenengo pausuan G1

multzoa kentzen dugu eta C1 = [0, 1]G1 izango da. Gelditzen diren bi azpi-tarteetan prozesua errepikatzen dugu, hau da, bakoitza hiru zatitan banatu etaerdikoa kendu. Beraz C1 = [0,

13]

[23, 1] multzoari G2 = (

19, 29)

(79, 89) kentzen

16

Lebesgueren neurria

diogu eta C2 = [0,19]

[29, 39]

[69, 79]

[89, 99] gelditzen da. Prozedura hau er-

repikatuz Cantoren multzo hirutarra Cn multzoen limite bezala definitzen da,hau da, Cn guztien ebakidura:

C =n=1

Cn.

Froga ditzagun teoreman aipatutako propietateak.

Lehenengo eta behin, multzo bornatua eta ez hutsa da [0, 1] tarteko azpimult-zoa delako eta mugetako puntuak, 0 eta 1 hain zuzen ere, inoiz ez ditugulakokentzen. Gainera multzo itxia da, zeren eta pausu bakoitzean kentzen den Gnazpimultzo irekia da, tarte irekien bildura delako, beraz

n=1

Gn = Cc

irekia bada C multzo itxia da. Orduan Cantoren multzoa multzo trinkoa da.

Kalkula dezagun orain m(C) zenbat den. Horretarako m(G) kalkulatuko dugueta m(C) = m([0, 1]) m(G) formula erabiliz C-ren neurria lortuko dugu.G =

n=1Gn denez, Gn disjuntuak izanik

m(n=1

Gn) =n=1

m(Gn)

da eta kalkulatu behar dena m(Gn) da, non Gn multzoa n-garren pausuankentzen dugun tarteen bildura den. Tarte hauen bildura disjuntua denez, neur-ria kalkulatzeko kontutan izan behar dugu gauza bakarra da zenbat kentzendugun eta hauen neurria. Lehen pausuan 1

3luzerako tarte bat kentzen dugu.

Bigarren pausuan 19

luzerako bi tarte kentzen ditugu, hirugarrenean 127

luzer-ako lau tarte eta abar. Honen arabera, n-garren pausuan 2n1 tarte kenduko

17

Lebesgueren neurria

ditugu, bakoitzaren luzera 13n

izanik, beraz m(Gn) =2n1

3nda. Orduan

n=1

m(Gn) =n=1

2n1

3n=

1

2

n=1

2n

3n=

1

2

1

1 23

= 1.

Honen arabera m(G) = 1 bada, m(C) = 0 izango da.

Hirugarren atala frogatzeko azter dezagun C multzoan dauden puntuak no-lakoak diren. Har dezagun zenbaki errealen adierazpenean hiru oinarrian.x [0, 1] bada,

x = 0, a1a2a3 . . .(3) =n=0

an3n, an = 0, 1, 2

eta 1 = 0, 222 . . .(3). Demagun x ez dela G multzoan dauden tarte batenmuga. x G1 x = 0, 1a2a3 . . .(3) eran adieraz badaiteke; x G2 x = 0, 01a3 . . .(3) edo x G2 x = 0, 21a3 . . .(3) eran adieraz badaiteke;G multzoko tarteen mugak adierazpen bi onartzen dituzte, bata zenbakiensegida finitua, non azkenengo zenbakia 1 den eta bestea 0 eta 2-z osotutako 2periododun adierazpen infinitua (hau da, puntu batetik aurrera gai guztiak 2dira). Honen arabera, x C bere adierazpena 1 zenbakia erabili gabe emanbadaiteke (hiru oinarrian beti). Defini dezagun orain ondorengo aplikazioa:

f : C [0, 1], non f(x) = 0, b1b2b3 . . .(2) den bj = aj/2 izanik.

Aplikazio honen bidez y [0, 1] (y 6= m2n,m, n N), x C bakarra non

f(x) = y den, eta y = m2n

bada aurreirudi bi ditu. Beraz existitzen da C-renazpimultzo zenbakigarria bat, N, non f : C/N [0, 1] bijekzioa den. Honenarabera C ezin da zenbakigarria izan.

Teorema 1.5.7. (Riemannen integrala eta Lebesgueren neurriaren arteko er-lazioa) Izan bitez f : [a, b] R funtzio bornatua eta D f -ren eten-puntuenmultzoa. f Riemann-integragarria da baldin eta soilik baldin D multzoarenLebesgueren neurria zero bada.

1.6 Lebesgue-Stieljesen neurriak

R espazioan Lebesgueren neurritik aparte oso erabilgarriak diren beste neurri-familia berezi bat aztertuko dugu atal honetan. Izan bedi R-n definitutako

18

Lebesgueren neurria

neurri finitu bat, non multzo neurgarriak multzo boreldarrak diren. Definidezagun ondoko funtzioa:

F : R [0,], F (x) = ((, x]).F -ri dentsitate-funtzioa esaten zaio eta F (x) balioari (, x] tarteko masaderitzogu. F funtzio hau gorakorra eta eskuin-jarraitua da. Horretaz gain, bpuntuan jarraitua izango da b puntuaren neurria zero bada

({b}) = F (b) F (b) = ((, b]) ((, b ])delako.

Oro har ((a, b]) = F (b) F (a) zeren eta(a, b] = (, b] (, a] ((a, b]) = ((, b]) ((, a])

da. x puntu bakoitzerako bere masa F (x) F (x)-ren bidez emanda dago,F (x) funtzioaren ezker-limitea x puntuan izanik.

Teorema 1.6.1. Biz F gorakorra eta eskuin-jarraitua den funtzio bat. Or-duan existitzen da R-n multzo boreldarretarako definitutako neurri bakar bat((a, b]) = F (b) F (a) baldintza betetzen duena. Gainera neurriaren eraiketaondoko eran egiten da kanpo-neurri baten bidez: biz ((a, b]) = F (b) F (a)eta J = {(a, b], < a < b

Lebesgueren neurria

1.7.2. Defini dezagun [0, 1] tartean fn segida modu honetan:

fn(x) =

{1 x = p

q, laburtezina bada, q n,

0 beste kasutan.

Egin f2, f3f4 eta f5 funtzioen grafikoak. Frogatu fn funtzioa Riemann- inte-gragarria dela. Kalkulatu fn segidaren puntuz-puntuko limitea eta aztertu eaRiemann- integragarria den.

1.7.3. Har dezagun [0, 1] tartean definituriko ondoko f funtzioa:

f(x) =

{1q

x = pq, laburtezina bada,

0 x irrazionala bada.

Froga ezazu f funtzioaren eten-puntuen multzoa Q [0, 1] dela. Ondorioztatu f funtzioa Riemann-integragarria dela.

1.7.4. Biz f : [0, 1] R funtzio monotono gorakorra eta bornatua. Frogaitzazu hurrengo baieztapenak:

f funtzioaren albo-limiteak existitzen dira [0, 1] tarteko puntu guztietan. 0 x1 xn 1 bada, orduan

nj=1

f(xj) f(xj1) f(1) f(0).

D = {x (0, 1) : f(x+) f(x) > } multzoa finitua da edozein positibotarako.

f funtzioa integragarria da Riemannen arabera.1.7.5. (a) Idatzi [0, 1] tartea itxia tarte irekien familia zenbakigarri baten ebakiduramodura.

(b) Idatzi (0, 1) tartea irekia tarte itxien familia zenbakigarri baten bilduramodura.

1.7.6. Izan bedi f(x) = sin 1/x, x (0, 1/pi]. Idatzi {x [0, 1pi] : f(x) 0}

multzoa tarte-bildura modura eta kalkulatu multzo horren neurria.

1.7.7. Kalkula ezazu E =n=0

(n+ rn, n+ 2rn) multzoaren neurria 0 < r < 12

izanik.

20

Lebesgueren neurria

1.7.8. Izan bedi X multzo zenbakigarria, f : X R ez-negatiboa eta AX-ren gaineko -aljebra. Defini dezagun ondoko eran:

() = 0 eta (E) =xE

f(x), E A, E 6= .

Honela definitutako , neurri bat da ? Neurria bada, -finitua da ?

1.7.9. Izan bitez A eta B multzo neurgarriak (X,A, ) espazioan, neurrifinitua izanik. Froga ezazu (A) = (X) bada,orduan (A B) = (B) dela.1.7.10. Izan bedi (X,A, ) neurri-espazio bat eta izan bitez f, g : X R,non {x X, f(x) > }, {x X, g(x) > } A, R. Froga ezazuhurrengo multzoak A-n daudela ere bai:

{x X, f(x) }, {x X, f(x) = }

eta {x X, f(x) < g(x)}.1.7.11. Izan bedi X multzo ez-zenbakigarria. Defini dezagun

A = {E X,E zenbakigarria edo X/E zenbakigarria}.

Froga ezazu A -aljebra bat dela. Izan bedi : A [0,+] definitutako funtzioa, non

(E) = min{card(E), card(X/E)}

den. Aztertu ea neurri bat den. (Oharra: hemen card(E) E-ren kardi-nala da, hau da, E-ren elementu kopurua, E finitua bada, eta card(E) =, E infinitua bada).

21

2. Gaia

FUNTZIO NEURGARRIAK.INTEGRAZIOA ETAPROPIETATEAK

Gai honetan Lebesgueren integrala definituko dugu eta honen propietateakaztertu Riemannen integralarekin konparatzeko. Horretarako (X,M, ) neurri-espazioa dela suposatuko dugu non neurria -finitua den.

2.1 Funtzio neurgarriak

Gure helburua Riemannen integralak dituen propietateak hobetzea da eta ho-rretarako beste integral bat definitu behar dugu. Hau dela eta, funtsezkoa dajakitea kontsideratuko ditugun funztioek zer nolakoak izan behar duten.

Definizioa 2.1.1. (X,M, ) espazioan f : X [,] definitutako fun-tzioa neurgarria dela esango dugu baliokideak diren ondoko baldintzeetako batbetetzen denean:

1. f1((,)) = {x X, f(x) > } multzo neurgarria da, R.

2. f1([,)) = {x X, f(x) } multzo neurgarria da, R.

3. f1((, )) = {x X, f(x) < } multzo neurgarria da, R.

23

Funtzio neurgarriak. Integrazioa eta propietateak

4. f1((, ]) = {x X, f(x) } multzo neurgarria da, R.

5. f1(V ) = {x X, f(x) V irekia } multzo neurgarria da, V R.

6. f1(F ) = {x X, f(x) F itxia } multzo neurgarria da, F R.

7. f1(I) = {x X, f(x) I tartea } multzo neurgarria da, I R.

8. f1(B) = {x X, f(x) B boreldarra } multzo neurgarria da, B R.

Grafikoki, hauek dira aztertzen ari garen multzoak:

Adibidea 2.1.2. Ikus ditzagun funtzio neurgarrien adibide batzuk.

1. Izan bedi f : Rn R funtzio jarraitua. Orduan f neurgarria da.Definizioaren bostgarren adierazpena erabiliz V Rn multzo irekia f1(V )irekia da ere bai, f jarraitua delako, beraz f1(V ) multzo neurgarria daRn-n.

24


2. Izan bedi f = A, A multzoko funtzio karakteristikoa:

f(x) =

{1, x A,0, x / A.

A funtzio neurgarria da A multzoa neurgarria bada.3. Izan bedi f : Rn R funtzio ez-beherakorra (era berean ez-gorakorra).

Orduan f neurgarria da.

Proposizioa 2.1.3. Izan bitez f, g : X R funtzio neurgarriak eta : R2 R funtzio jarraitua. Orduan h(x) = (f(x), g(x)) neurgarria da.

Frogapena: Izan bedi V R irekia.

h1(V ) = {x X,((f(x), g(x)) V } = {x X, (f(x), g(x)) 1(V )}.

funtzio jarraitua denez, 1(V ) ere irekia da R2-n, beraz honela idatz daiteke:

1(V ) =j=1

(I j I j ),

I j eta Ij tarte irekiak izanik. Orduan

h1(V ) = {x X, (f(x), g(x)) 1(V )}

=j=1

{x X, (f(x), g(x)) I j I j }

=j=1

(f1(I j)

g1(I j )

)M

da, zeren eta f1(I j) eta g1(I j ) multzo neurgarriak diraM -aljebra delako.

Orduan h1(V ) neurgarria denez, h funtzio neurgarria da.

Proposizio honen aplikazio bezala, hurrengo propietateak ondoriozta daitezke:

Korolarioa 2.1.4. Izan bitez f, g : R R funtzio neurgarriak. Orduan

1. (x, y) = x+ y bada, h(x) = f(x) + g(x) funtzio neurgarria da.

2. (x, y) = x y bada, h(x) = f(x) g(x) funtzio neurgarria da.3. K R (x, y) = Kx bada, h(x) = Kf(x) funtzio neurgarria da.

25


4. (x, y) = xy bada, h(x) = f(x)g(x) funtzio neurgarria da.

5. (x, y) = max {x, y} bada, h(x) = max {f(x), g(x)} funtzio neurgarriada.

6. (x, y) = min {x, y} bada, h(x) = min {f(x), g(x)} funtzio neurgarriada.

Proposizioa 2.1.5. Izan bitez f : X R funtzio neurgarria eta g : R Rfuntzio jarraitua. Orduan g o f : X R funtzio neurgarria da.

Frogapena: Har dezagun V R irekia eta h = g o f konposaketa.

h1(V ) = {x X, h(x) V } = {x X, g(f(x)) V }

= {x X, f(x) g1(V )}.g jarraitua denez, g1(V ) multzo irekia da. f neurgarria da beraz, funtzio neur-garrien definizioaren bostgarren adierazpena erabiliz, edozein multzo irekiarenaurreirudia multzo neurgarria da. Honen arabera {x X, f(x) g1(V )}neurgarria da.

Proposizioa 2.1.6. Izan bedi {fn, n N} funtzio neurgarrien segida. Orduan

1. sup fn eta inf fn funtzio neurgarriak dira.

2. lim sup fn eta lim inf fn funtzio neurgarriak dira.

Frogapena: (1) fn funtzio neurgarriak badira {x X, fn(x) > } multzoneurgarriak dira ere bai. Beste aldetik

{x X, supnN

(fn(x)) > } =n=1

{x X, fn(x) > }

multzo neurgarrien bildura da, beraz sup fn funtzio neurgarria da.

Infimoarena frogatzeko supremoarena erabiliko dugu:

inf fn = sup(fn) da. fn funtzio neurgarria fn neurgarria sup(fn)neurgarria inf fn neurgarria.(2) lim sup fn = inf (sup fi, i n) da, beraz neurgarria.lim inf fn = sup (inf fi, i n) da, beraz neurgarria ere bai.

26


Definizioa 2.1.7. Propietate bat ia nonahi (i. n.) betetzen dela esango duguzero neurriko azpimultzoan izan ezik multzo bateko puntu guztietan betetzendenean.

Proposizioa 2.1.8. Izan bedi neurri osoa eta f funtzio neurgarria. Izanbedi f = g i. n. Orduan g funtzioa neurgarria da ere bai.

Frogapena: g funtzioa neurgarria izango da M = {x X, g(x) > } multzoneurgarria bada. f = g i. n. denez, bi funtzio hauek berdinak dira zeroneurriko multzo baten izan ezik. Dei diezaiogun A zero neurriko multzo horri,hau da,

A = {x X, f(x) 6= g(x)}, (A) = 0 izanik.Deskonposa dezagun M multzoa M1 eta M2 multzo disjuntutan, non

M1 = {x A, g(x) > } eta M2 = {x X A, g(x) > }

diren. Orduan (M) = (M1) + (M2) da. M2 azpimultzo neurgarria da,bertan f eta g berdinak direlako eta f neurgarria delako. M1 A da, Azero neurriko multzoa izanik. Zero neurriko multzo baten edozein azpimultzoneurgarria da neurri osoa delako, beraz M1 neurgarria da bere neurria zerodelarik.

Definizioa 2.1.9. Biz (X,M, ) neurri-espazio. s funtzio sinplea dela esangodugu funtzio karakteristikoen konbinazio lineala bada, hau da,

cj R eta Aj M, j = 1, . . . n zeinetarako s =nj=1

cjAj den.

Aj tarte bornatuak badira, s mailakatua da. Funtzio sinpleek hartzen dituztenbalioen kopurua finitua da.

Proposizioa 2.1.10. Izan bedi s funtzio sinple bat. Orduan neurgarria da.

Frogapena: Demagun f -k a1, . . . , an balioak hartzen dituela. Orduan funtzioahonela adieraz daiteke:

f =nj=1

ajf1(aj).

Puntuak multzo itxiak direnez, f1(aj) multzoa itxia izango da ere bai etaorduan neurgarria, beraz f ere neurgarria izango da.

27


Teorema 2.1.11. Biz f : X [0,] funtzio neurgarria ez-negatiboa. Exis-titzen da ondorengo propietateak betetzen dituen (sn)nN funtzio sinpleen segidabat:

0 s1(x) s2(x) f(x), x X. lim

nsn(x) = f(x), x X.

Frogapena: Deskonposa dezagun [0, n) tartea hurrengo eran

[0, n) =n2nj=1

[j 1

2n,j

2n

)eta honen arabera defini dezagun ondorengo segida

sn(x) =

{j12n, j1

2n f(x) < j

2n,

n, f(x) n.

f funtzio neurgarria denez, f1([ j12n, j2n

))

eta f1 ([n,]) multzo neurgarriakdira (baina ez dira zertan tarteak izan behar). Orduan sn multzo neurgarrienfuntzio karakteristikoen konbinazio lineal bezala adieraz daiteke eta funtziosinplea da, hain zuzen ere,

sn(x) =n2nj=1

j 12n

f1([ j12n ,j2n

)) + nf1([n,]).

(f=beltza,s1=gorria,s2=berdea)

-2 -1 0 1 2 3 4 5

0.5

1.0

1.5

2.0

28


Gainera 0 sn(x) f(x) da. Froga dezagun segidaren puntuzko limitea ffuntzioa dela, hau da,

limn

sn(x) = f(x).

Izan bedi x0 puntua eta demagun f(x0) = dela. Orduan sn(x0) = n da n N eta

limn

sn(x0) = limn

n = = f(x0).Demagun orain f(x0) < dela. Kasu horretan n0 N, f(x0) < n0 f(x0) < n, n > n0. Kalkula dezagun f(x0) sn(x0) zenbat den:{

j12n f(x0) < j2n

sn(x0) =j12n

}= f(x0) sn(x0) < j

2n j 1

2n=

1

2n, n n0.

Orduan limn

sn(x0) = f(x0) eta

x X, limn

sn(x) = f(x) da.

Orain frogatu behar da eraiki den segida ez-beherakorra dela. Horretarakohar ditzagun x X eta n N finkoak. Demagun, lehenengo, f(x) < n dela.Orduan j zenbaki arrunt bat aukera daiteke non j1

2n f(x) < j

2nden eta

sn(x) =j12n

da.[j 1

2n,j

2n

)=

[2j 22n+1

,2j 12n+1

)[2j 12n+1

,2j

2n+1

)idatz daitekenez, sn+1(x) =

2j22n+1

edo sn+1(x) =2j12n+1

da eta horren ondoriozsn(x) sn+1(x) da.Demagun orain f(x) n + 1 dela. Orduan sn(x) = n da eta sn+1(x) = n + 1da eta berriro dugu sn(x) sn+1(x) dela.Azkenik, n f(x) < n + 1 bada, sn(x) = n da eta sn+1(x) = j12n+1 , non jhorretarako j1

2n+1 f(x) < j

2n+1betetzen den.

n f(x) < j2n+1

denez n2n+1 < j eta n2n+1 j 1ere bai, beraz

n j 12n+1

sn(x) sn+1(x)da.

Oharra 2.1.12. f funtzio bornatua bada, eraiki den funztio sinpleen segidakuniformeki konbergitzen du f -ra, zeren eta

k N, n k eta x X, f(x) < n |f(x) sn(x)| < 12n.

29


2.2 Lusin eta Egoroven teoremak

J. E. Littlewood matematikaria (England, 1885-1977) XX. mendeko mate-matikari garrantzitsuenatariko bat izan da. Bere Lectures on the Theory ofFunctions liburuan ondorengo hiru baieztapenak enuntziatu zituen:

multzo neurgarriak gutxi gora-behera multzo irekiak dira.

funtzio neurgarriak gutxi gora-behera funtzio jarraituak dira.

funtzio neurgarrien segida konbergenteak gutxi gora-behera uniformekikonbergenteak dira.

Baieztapen hauek Littlewooden hiru printzipio izenarekin ezagutzen dira etaNeurriaren Teoriaren emaitza gehienak aurreko hiru printzipioetan oinarri-turik daudela adierazten dute. (Gutxi gora-behera honek propietatea, guknahi dugun bezain txikia den multzo batean izan ezik, betetzen dela esan nahidu).

Hiru printzipio hauetatik lehena aurreko gaian ikusita dago Egituraren teore-maren bigarren atalean (Teorema 1.5.2, 2 atala):

A neurgarria G irekia, A G eta m(G A) < izanik.

Bigarren printzipioa Lusinen teorema da eta hirugarrena Egoroven teorema.

Teorema 2.2.1. (Lusinen Teorema) Izan bedi (X,M, ) espazio neurridunaeta E X, (E) 0 A E, (A) < non f jarraitua den E A multzoan.

Teorema 2.2.2. (Egoroven Teorema) Izan bedi (X,M, ) espazio neurriduna.Demagun (fn)nN funtzio neurgarrien segida dela, f funtziorantz puntuz puntukonbergentea E neurri finitudun multzoan. Orduan

> 0 A E multzo itxia (A) < izanik

eta

limn

fn = f uniformeki E A multzoan.

30


2.3 Lebesgueren integrala

(i) Funztio sinpleen integrazioa

Aurreko gaian frogatu dugu edozein funtzio neurgarri funtzio sinpleen segidabaten puntuzko limitea dela, beraz logikoa dirudi funtzio sinpleen integraladefinituz hastea.

Definizioak 2.3.1. (i) Izan bedi A multzo neurgarria eta A bere funtziokarakteristikoa. A funtzioaren Lebesgueren integrala

X

Ad = (A)

eran definitzen da.

(ii) Izan bedi s(x) =ni=1

ciAi funtzio sinple ez-negatiboa, non Ai multzo dis-

juntuak diren. s-ren Lebesgueren integrala honela definitzen da:X

sd =ni=1

ci(Ai).

(ii) Funztio ez-negatiboen integrazioa

Hurrengo urratsa funtzio ez-negatiboen integrala definitzea da.

Definizioa 2.3.2. Izan bedi f : X [0,] funtzio neurgarria. f -ren Lebes-gueren integrala baliokideak diren bi modu hauetan definitzen da:

X

fd = sup{X

sd, 0 s f, s funtzio sinplea}.

X

fd = limn

X

snd, (sn)nN funtzio sinpleen segida gorakorra,

limn

sn(x) = f(x).

Integral hau bakarra da finitua ala infinitua izan daitekelarik. X-ren ordezbeste edozein A multzoa jartzen bada, integrala honela kalkulatzen da:

A

fd =

X

(fA)d.

Ikus ditzagun Lebesgueren integralaren propietate batzuk.

31


Proposizioa 2.3.3. Izan bitez f eta g funtzio neurgarriak. Ondorengo pro-pietateak betetzen dira:

1. (A) = 0 bada =A

fd = 0 da.

2. 0 f g bada 0 X

fd X

gd da.

3. k 0,X

kfd = k

X

fd.

4.

X

fd = 0 f 0.

5.

X

(f + g)d =

X

fd+

X

gd.

6. A eta B multzo neurgarriak badira, A B izanik orduanA

fd B

fd.

7. A eta B multzo neurgarriak eta disjuntuak badira orduanAB

fd =

A

fd+

B

fd.

8. f = g bada i. n. =X

fd =

X

gd.

Frogapena: (1) Definizioz

A

fd =

X

fAd da. Edozein sn =

lk=1

akAk funtzio sinple eta neurgarri hartuz

X

snd =l

k=1

ak(A Ak) = 0

da, beraz limn

X

snAd = 0 da ere bai. Lehenengo propietate honetatik zera

ondoriozta daiteke: zero neurriko multzoak mespretxagarriak dira integrazio-rako, zeren eta multzo batean zero neurriko azpimultzo bat kentzen badugu,integrala hasierako multzoan eta bigarren multzoan berdinak dira.

(2) 0 f g bada, existitzen dira an eta bn funtzio sinpleen segida ez-beherakorrak puntuz puntu konbergenteak f eta g funtzioetara hurrenez hur-

ren, 0 an bn izanik. OrduanX

and X

bnd eta limiteak hartzerakoan

desberdintzak mantentzen direnez emaitza lortzen da.

32


(3) Integralaren definiziotik, edozein k 0 zenbakirako eta f -ra puntuz puntukonbergentea den sn funtzio sinpleen segida ez-beherakorra, ksn kf -ra doanfuntzio sinpleen segida da, beraz

X

kfd = limn

X

ksnd = limn

k

X

snd = k

X

fd.

(4) f = 0 bada ia nonahi, hurbiltzen duen segida bat segida nulua da, hau da,an = 0, n N. Orduan integrala ere zero izango da.Ikus dezagun alderantzizko inplikazioa. Demagun integrala zero dela. Orduan

limn

X

and = 0 da, an segida ez-beherakorra izanik puntuz puntu konbergen-

tea f funtziora.

X

and segida ez-beherakorra da ere bai, bere limitea zero

delarik, beraz segidako gai guztiek nuluak izan behar dute,

X

and = 0. Era

berean, segidako gaiak funtzio sinple ez-negatiboak direnez, honek esan nahidu gaia bera, an, zero dela. Hau egiatatzen da segida guztien gai guztietarako,beraz funtzioa nuloa izango da.

(5) an eta bn funtzio sinpleen segida ez-beherakorrak puntuzko konbergenteakf eta g-ra badira,

X

(f + g)d = limn

X

(an + bn)d = limn

X

and+ limn

X

bnd

=

X

fd+

X

gd.

(6) A B bada, fA fB, beraz propietate honen bigarren atala erabilizemaitza lortzen da.

(7) A eta B multzo disjuntuak badira, AB = A + B. Propietate honenbostgarren atala erabiliz emaitza dugu.

(8) f eta g berdinak dira zero neurriko multzo baten izan ezik, beraz zero neur-riko multzo horretan integrala zero da eta hortik kanpo, funtzioak berdinakdirenez integralak berdinak dira.

Adibidea 2.3.4. Izan bedi (R,M,m) Lebesgueren espazio neurriduna. Kalkulaezazu f(x) = 1

xfuntzioaren Lebesgueren integrala [1,] tartean.

f funtzioa jarraitua da [1,] tartean, beraz neurgarria da. Beste alde batetikfuntzio positiboa da, beraz bere integrala existitzen da, finitua ala infinitua izan

33


daitekelarik. Riemannen integrala aztertzen badugu 1

1

xdx = lim

A

A1

1

xdx = lim

AlnA =,

beraz integral inpropio dibergentea da.

Azter dezagun orain Lebesgueren integrala.

[1, n] [1,], n N[1,]

1

xdm

[1,n]

1

xdm.

Deskonposa dezagun [1, n] tartea azpitarte disjuntuetan:

[1, n] =nk=2

[k 1, k) {n}.

Orduan [1,n]

1

xdm =

nk=2

[k1,k)

1

xdm. (2.1)

Azpitarte bakoitzean1

x>

1

kda, beraz

[k1,k)

1

xdm >

[k1,k)

1

kdm.

Orain integralen propietateak erabiliz, konstantea ateratzen dugu integraletiketa gelditzen dena funtzio karakteristiko bat da, non Lebesgueren integrala mul-tzoaren neurria den. (2.1) berdintzara bueltatuz:

[1,]

1

xdm

[1,n]

1

xdm >

nk=2

1

k

da n N. Limiteak hartuz n,[1,]

1

xdm lim

n

nk=2

1

k=k=2

1

k=.

(iii) Edozein funtzioren Lebesgueren integrala

Funtzio ez-negatibo baterako integrala definitu ondoren, kontzeptu hau edozeinmotatako funtzioetarako hedatuko dugu.

34


Definizioa 2.3.5. Izan bedi f : X [,] funztio neurgarria. Bere Lebes-gueren integrala honela definitzen da:

X

fd =

X

f+dX

fd,

non f+ = max {0, f} den, f = min {0, f} eta f = f+ f.

Definizio honek arazo bat dauka: f+ eta f funztio ez-negatiboak direnez,hauen integralak infinitu izan daitezke. Biak batera infinitu badira f funtzioarenLebesgueren integrala ez dago definituta, beraz edozein f funtziorako bere in-tegrala existituko da f+ edo f funtzioen integralaren bat finitua denean.

Definizioa 2.3.6. Izan bedi f : X [,] funztio neurgarria. f Le-besgue-integragarria dela esango dugu bere balio absolutuaren integrala finituabada, hau da,

f integragarria X

|f |d


Partiketen egitura hau jarraituz, badago Lebesgueren integrala definitzekobeste modu bat, oraingo honetan partiketa irudien multzoan egingo dugularik.

Izan bitez A multzo neurgarri eta bornatua eta bertan definitutako f funtzioneurgarri eta bornatua. Defini ditzagun ondorengo bi balio:

l = inf{f(x), x A}, u > sup{f(x), x A}.

Definizioa 2.3.7. Izan bedi [l, u] tartean egindako P = {y0, y1, . . . , yn} par-tiketa. L(f, P ) balioari Lebesgueren batura esaten zaio, non

L(f, P ) =ni=1

y?im({x A, yi1 f(x) < yi})

den, y?i [yi1, yi] izanik, i = 1, . . . n.

Lebesguek, errektangeluak zenbatzeko modu desberdin bat proposatzen zuen,non errektangeluaren altuera y?i den eta oinarria m({x A, yi1 f(x) < yi})neurria.

RIEMANN versus LEBESGUE

Honen arabera, funtzio bat Lebesgue-integragarria izan daiten ondorengo defini-zoa dugu.

Definizioa 2.3.8. Izan bedi A multzo bornatu eta neurgarria eta bertan defini-tutako f funtzioa. Existitzen bada L R zenbakia zeinetarako

> 0 > 0, |L(f, P ) L| < , ||P || <

36


den, f funtzioa A multzoan Lebesgue-integragarria dela diogu. L zenbakiarif -ren Lebesgueren integrala esaten zaio eta

L =

A

fdm

eran adierazten da.

2.4 Funtzio integragarriak

Atal honetan funtzio integragarrien propietateak aztertuko ditugu, baina horiegin baino lehenago integragarritasunerako baldintza bat azter dezagun.

Proposizioa 2.4.1. Izan bedi A multzo bornatu eta neurgarria, eta bertandefinitutako f funtzioa.

f Lebesgue-integragarria

m > 0, f1, f2 funtzio sinpleak, zeinetarako f1 f f2

etaA

f1dmA

f2dm < .

Karakterizazio honen ondorioz Lebesgueren integralaren definizio biak elkartzenduen korolario hau dugu:

Korolarioa 2.4.2. Izan bedi f : A R funtzio bornatu eta neurgarria. Or-duan f integragarria da A multzoa bornatu eta neurgarrian, integralaren balioa

A

fdm = sup{A

f1dm, f1 f, f1 funtzio sinplea}

= inf{A

f2dm, f2 f, f2 funtzio sinplea}izanik.

Adibidea 2.4.3. Izan bedi Dirichleten funtzioa, hau da:

f(x) =

{1 x Q [0, 1],0 x I [0, 1].

Froga ezazu funtzio hori integragrria dela [0, 1] tartean eta integralaren balioazero dela.

37


Proposizioa 2.4.4. Izan bitez f eta g L1(). Ondoko propietateak betetzendira:

1. f + g L1() etaX

(f + g)d =

X

fd+

X

gd.

2. k R, kf L1() etaX

kfd = k

X

fd.

3. |f | L1() etaX

fd

X

|f |d.

Frogapena: (1)

X

(f + g)d =

X

(f+ + g+)dX

(f + g)d

=

X

f+d+

X

g+d(

X

fd+X

gd)

=

(X

f+dX

fd)

+

(X

g+dX

gd)

=

X

fd+

X

gd.

Beraz f + g integragarria da.

(2) > 0 bada, (f)+ = f+ eta (f) = f dira, berazX

fd =

X

f+dX

fd

eta Proposizio 2.3.3-ren 3. atala erabiliz,

X

f+d X

fd = (

X

f+dX

fd)

=

X

fd.

< 0 bada, (f)+ = f eta (f) = f+ dira. Aurreko kasuko arra-zonamendu bera erabiliz emaitza lortzen da.

(3) |f | = f+ + f denez,X

|f |d =X

f+d+

X

fd izango da. Gainera

X

fd

= X

f+dX

fd

X

f+d

+ X

fd

=

X

f+d+

X

fd =X

|f |d

38


Adibidea 2.4.5. 2.3.4 adibidean aztertutako f(x) = 1x

funtzioa ez da Lebesgue-integragarria [1,] tartean, bere integrala infinitua atera delako.

Adibidea 2.4.6. Froga ezazu f(x) =sinx

xfuntzioa ez dela Lebesgue-inte-

gragarria (0,) tartean, hau da,(0,)

sinxx dm =.

Integral hau infinitua dela frogatzeko infinitua den beste integral batekin behe-bornatuko dugu. Izan bedi B = {x (0,), | sinx| 1/2} multzoa, hau da,B =

k=0

[kpi +

pi

6, (k + 1)pi pi

6

].

6

5 6

2 4

12

1

Orduan(0,)

sinxx dm

B

sinxx dm n

k=0[kpi+pi6 ,(k+1)pipi6 ]

sinxx dm.

Azpimultzo guztiak disjuntuak direnez, integrala tarteetako integralen baturaizango da. Beste alde batetik | sinx| 1/2 da eta azpimultzo bakoitzean x [kpi + pi

6, (k + 1)pi pi

6] dagoenez 1

x> 1

(k+1)pipi6

da, beraz(0,)

sinxx dm 12

nk=0

1

(k + 1)pi pi6

m([kpi +pi

6, (k + 1)pi pi

6])

=pi

3

nk=0

1

kpi + 5pi6

, n N.

39


Azkenengo adierazpen hau n guztietarako denez, limiteak hartuz n seriedibergentea ateratzen da, beraz

(0,)

sinxx dm =

eta f ez da integragarria tarte horretan.

2.5 Konbergentzia Monotonoaren Teorema

eta Fatouren Lema

Teorema 2.5.1. (Konbergentzia Monotoaren Teorema) Izan bedi {fn}nNfuntzio neurgarri ez-negatiboen segida ez-beherakorra eta lim

nfn(x) = f(x) pun-

tuz puntuko limitea. Orduan

limn

X

fnd =

X

(limn

fn

)d =

X

fd.

Honek limitea eta integralaren ordena alda daitekela esan nahi du, hau da,berdina da lehenengo limitea egitea eta gero integratu ala alderantziz.

Frogapena: {fn}nN segida ez-beherakorra denez, fn fn+1 desberdintzabetetzen da. Limiteak hartuz desberdintza mantendu egiten da,

X

fnd X

fn+1d,

beraz

X

fnd segida ez-beherakorra da ere bai eta limitea existituko da, limite

hau finitua ala infinitua izan daitekelarik. Dei diezaiogun limite horri , hauda ,

= limn

X

fnd.

Beste alde batetik, fn f da segida ez-beherakorra delako. Integralak hartuzdesberdintza mantenduko da eta gero limiteak hartuz ere bai, beraz:

fn f =X

fnd X

fd =

= limn

X

fnd X

fd = X

fd.

40


= bada, badaukagu berdintza, zeren eta

= X

fd =X

fd = = limn

X

fnd.

Demagun finitua dela, hau da, < . OrduanX

fd desberdintza falta zaigu frogatzea. Segidako fi i-garren gai bakoitzerako funtziosinpleen segida ez-beherakorra existitzen da , non

aij 0, limj

aij(x) = fi(x) eta aij(x) fi(x)

den. Finkatu dezagun k N eta k finko bakoitzerako defini dezagunsk(x) = max{aij(x), i, j k}.

(Adibidez, k = 1-erako s1 = a11 izango da, k = 2-rako, s2 = max{a11,a12, a21, a22} da). k bakoitzerako, 0 sk fk da, sk-ren definiziogatik etaaij 0 direlako. Horrela eraikitako sk segida f -ra puntuz puntu konbergitzenduen funtzio sinpleen segida ez-beherakorra da. Alde batetik

limk

X

skd limk

X

fkd =

da eta bestetik, integralaren definiziotik, limk

X

skd =

X

fd. Beraz biak

elkartuz faltatzen zen beste desberdintza duguX

fd limk

X

fkd =

eta honela teorema frogatuta gelditzen da

Korolarioa 2.5.2. Biz {fn}nN funtzio neurgarria eta ez-negatiboen segida.Orduan

X

( n=1

fn

)d =

n=1

(X

fnd

)da.

Frogapena: Definiziozn=1

fn = limn

sn da, non sn =nk=1

fk segida

ez-beherakorra eta ez-negatiboa den. Konbergentzia Monotonoaren Teoremaaplikatuz

X

( n=1

fn

)d =

X

(limn

sn

)d = lim

n

X

snd.

41


Beraz

limn

X

snd = limn

X

nk=1

fkd = limn

nk=1

X

fkd =k=1

X

fkd

Korolarioa 2.5.3. Izan bedi f funtzio ez-negatibo eta integragarria. Orduan:

> 0, > 0 eta A X,(A) < etaA

fd < izanik.

Teorema 2.5.4. (Fatouren Lema) Izan bedi {fn}nN funtzio neurgarri ez-negatiboen segida. Orduan hurrengo desberdintza betetzen da:

X

(lim infn

fn)d lim infn

(X

fnd

)

Frogapena: Izan bedi gn(x) = infkn

(fk(x)) segida. Orduan

limn

X

gnd = limn

X

(infkn

fk)d lim infn

X

fnd (2.2)

gn(x) fn(x) delako. (Behe-limitea jarri behar dugu ez dakigulako limiteaexistitzen den ala ez). Beste alde batetik

X

(limn

gn

)d =

X

(limn

(infkn

fk)

)d =

X

lim infn

fnd. (2.3)

gn segida definizioz ez-beherakorra da beraz Konbergentzia Monotoaren Teo-rema aplika dakioke

limn

X

gnd =

X

(limn

gn

)d

berdintza lortuz. Bertan (2.2) eta (2.3) adierazpenetako emaitzak ordekatuzX

(lim infn

fn)d lim infn

(X

fnd

)lortzen dugu

Ikus dezagun orain Lema honen kontradibide bat berdintza ez dela beti ematenadierazten duena.

42


Adibidea 2.5.5. Izan bedi

fn(x) =

{[0, 1

2](x), n = 2k,

[ 12,1](x) n = 2k + 1.

segida, x [0, 1] izanik. Froga ezazu Fatouren Lemaren desberdintza hertsiadela, hau da,

X

(lim infn

fn)d < lim infn

(X

fnd

).

Azter dezagun nolakoa den segida hau:

x [0,

1

2

), fn(x) = {0, 1, 0, 1, . . . },

x (

1

2, 1

], fn(x) = {1, 0, 1, 0, . . . },

x =1

2, fn(x) = {1, 1, 1, 1 . . . }.

Segidaren behe-limitea zero da, beraz Lemaren ezkerreko adierazpenaX

(lim infn

fn)d =

X

0d = 0

da. Kalkula dezagun orain eskuineko adierazpena.X

fnd =

[0, 1

2)

fnd+

( 12,1]

fnd

n = 2k bada

[0, 1

2)

1d+

( 12,1]

0d =

([0,

1

2)

)=

1

2da eta

n = 2k + 1 bada

[0, 1

2)

0d+

( 12,1]

1d =

((1

2, 1]

)=

1

2.

Beraz

lim infn

(X

fnd

)=

1

2eta 0 n.

Kalkula dezagun fn bakoitzaren Lebesgueren integrala. Segidako gai guztiakfuntzio jarraituak dira eta tarte bakoitzaren neurria finitua denez, funtzioakRiemann-integragarriak badira Lebesgue-integragarriak dira integralak berdinakizanik, beraz

[1,n]

1

xdm =

n1

1

xdx = lnn.

Beste aldetik fn segida ez-beherakorra da eta puntuz puntu konbergentea ffuntziora, beraz Konbergentzia Monotonoaren Teorema erabiliz:

limn

X

fndm =

X

fdm,

49


hau da,

limn

lnn = =X

fdm.

2.8 Ariketak

2.8.1. Froga ezazu f funtzio neurgarria bada, f+ = max{f, 0} eta f =min{f, 0} funtzioak ere neurgarriak direla.2.8.2. Izan bedi {fn}nN funtzio neurgarrien segida bat. Frogatu supnN fn,infnNfn, lim supn fn eta lim infnfn funtzio neurgarriak direla.

Gogoratu zenbaki-segida baten goi-limitea eta behe-limitea honela definitzendirela:

lim supn

an = infnN supkn

ak eta lim infnan = supnN

infknak

2.8.3. Izan bedi {fn}nN funtzio neurgarrien segida bat. Azaldu, limitearendefinizioa erabiliz, zergaitik betetzen den berdintza hau:

{x : limnfn(x) = +} =m=1

k=1

n=k

{x : fn(x) m}.

Ondorioztatu ezker ataleko multzoa neurgarria dela. Baldin eta limnfn(x)finitua bada, {fn}nN Cauchyren segida da, eta alderantziz. Hori erabiliz,azalduberdintza hau:

{x : limnfn(x) R} =m=1

k=1

j,nk{x : 1

m< fn(x) fj(x) < 1

m}

. Ondorioztatu orain ere ezker ataleko multzoa neurgarria dela.

2.8.4. Izan bitez (X,A, ) espazio neurriduna, f funtzio neurgarria eta t (0,). Frogatu Chebysheven desberdintza:

({x X : |f(x)| t}) 1t

X

|f |d.

Ondorioztatu {x X : |f(x)| t} multzoaren neurria finitua dela t guzti-etarako.

2.8.5. Aurkitu f integragarria (0, 1) tartean, zeinetarako f 2 ez den integraga-rria. Izan daiteke f bornatua?

50


2.8.6. Biz f : R [0,+] funtzio neurgarria (Lebesgueren neurrirako) etaAn = {x R : 2n1 f(x) < 2n}. Froga ezazu f funtzioa integragarria delabaldin eta soilik baldin

+n=

2nm(An) seriea konbergentea den.

2.8.7. Izan bedi (fn)nN funtzio neurgarrien segida bat. Froga ezazu segidakonbergentea den puntuen multzoa, multzo neurgarria dela.

2.8.8. Izan bedi (X,A, ) espazio neurriduna. neurria osoa ez bada, frogaezazu existitzen direla f eta g funtzioak, f neurgarria eta g ez neurgarria,f = g izanik ia nonahi.

2.8.9. Azter ezazu hurrengo funtzioak Lebesgue integragarriak diren ala ez:

f1(x) = sinx lnxx(1 + x)

, x (0,+).

f2(x) = sinx1 + x

, x (0,+).

f3(x) = 1x

cos(1

x), x [0, 1] .

f4(x) =cos(

11x)

1 x , x [0, 1].

Froga ezazu f2 eta f3 funtzioei dagozkien Riemannen integral inpropioak kon-bergenteak direla.

2.8.10. Kalkula itzazu [0, pi2] tartean hurrengo funtzioen Lebesgueren integralak:

f(x) = sinx,

f(x) ={

sinx x Q bada ,cosx x 6 Q bada .

2.8.11. Biz f : [0, 1] R funtzio neurgarria eta S = {x [0, 1] : f(x) Z}.Froga ezazu

m(S) = limn+

10

| cos(pif(x))|n dx

berdintza egiaztatzen dela.

2.8.12. Biz (X,A, ) espazio neurriduna eta f L1(). n N bakoitzerakoEn = {x X : f(x) > 2n} multzoa definitzen dugu.

51


Froga ezazu limn

En

fd = 0 dela.

Froga ezazu limn

n(En) = 0 dela.

2.8.13. Izan bedi f : R [0,+] funtzio integragarria. Frogatu

limn

R(n,n)

f = 0 eta limn

(n,n+1)

f = 0

betetzen direla.

2.8.14. Azter ezazu hurrengo funtzioen Lebesgueren integragarritasuna (0,)tartean, a R parametroen balioen arabera:

f1(x) =eax

1 + x2; f2(x) =

1

1 + x; f3(x) = (1 + x

4)eax

2.8.15. Kalkula itzazu -ren balioak, zeinetarako

fn(x) =(n+ x2 2x)n

(n+ x2)n

denean, ondoko berdintza egiaztatzen baita:

limn

4

fn(x)ex dx =

4

limn

fn(x)ex dx.

2.8.16. Funtzio-serieak erabiliz, froga itzazu ondoko berdintzak: 10

x1/3

1 x log1

xdx =

n=0

9

(3n+ 4)2;

10

(log x

1 x)2

dx =pi2

3

2.8.17. Kalkula itzazu limite hauek:

limn

n

10

(1 t2)ndt; limn

n0

(1 x

n

)nex2 dx;

limn

0

nx2 3xnx+ 1

(1 +

x

n

)ne2x dx.

2.8.18. Izan bedi

0

1

1 + xextdx, t (0,).

Frogatu F ondo definituta dagoela eta deribagarria dela.

52


Kalkulatu F (t) F (t).

2.8.19. Izan bedi G(t) =

10

sin(xt)1 xdx funtzioa,

Frogatu G funtzioa ondo definituta dagoela R-n. Frogatu G funtzioa deribagarria dela R-n, deribatua ondokoa izanik

G(t) = 10

x cos(xt)1 x dx.

2.8.20. Izan bedi f funtzio neurgarria eta bornatua X multzoan neurri-arekiko. Demagun existitzen direla A > 0 eta < 1 konstanteak non > 0bakoitzerako

({x X, |f(x)| > }) < A

den. Froga ezazu f integragarria dela.

2.8.21. Izan bedi (X,A, ) neurri espazioa eta f L1(). Froga ezazu

> 0, > 0, |A

fd| < dela A A eta (A) < denean.

53

3. Gaia

FUBINIREN TEOREMA ETAALDAGAIAREN ALDAKETA

Oinarrizko kalkuluan Riemannen integral anikoitza integral iteratuen bidezdefinitzen da, integral iteratu bakoitza dimentsio bateko espazioan definitzendelarik. Lebesgueren integralaren kasurako hedatzerakoan, x f(x, y) etay f(x, y) sekzioen integragarritasunaren arazoa sortzen zen eta erabilitakokontradibideak ez ziren baliogarriak.

Lebesguek honi buruzko emaitza partzial bat frogatu zuen, laukizuzen bateanfuntzio bornatuetarako hain zuzen ere. Emaitza honetan oinarritzen da biderka-dura-neurria eraikitzeko jarraitutako bidea.

Hau aztertzeko biderkadura-espazioa eta bertako biderkadura-neurria zer direnfinkatu behar ditugu lehenago.

3.1 Biderkadura-neurria

Izan bitez (X,A, ) eta (Y,B, ) espazio neurridunak. Lehenik eta behin XYbiderkadura espazioan -aljebra bat definitu behar da. Kontsidera ditzagunAB motatako multzoak, A A eta B B izanik. Multzo hauei laukizuzenelementalak esaten zaie (bereziki A eta B tarteak direnean A B laukizuzenbat delako). Multzo hauek osotzen duten familia ez da -aljebra bat, berazdefini dezagun familia honek sortutako biderkadura -aljebra, AB adierazikodugularik. Egoera honetan hurrengo lema dugu.

Lema 3.1.1. Izan bedi AB =i=1

(Ai Bi) laukizuzen elementalen bildura

55

Fubiniren teorema eta aldagaiaren aldaketa

disjuntua eta zenbakigarria. Orduan

(A)(B) =i=1

(Ai)(Bi)

da.

Izan bedi E laukizuzen elementalen bildura disjuntu eta finituen familia. Multzohonetan ondokoa definitzen dugu:

(E) =ni=1

(Ai)(Bi), E =ni=1

(Ai Bi) izanik.

Honen arabera hurrengo kanpo-neurria eraikitzen da:

(P ) = inf{i=1

(Ei), P i=1

Ei, Ei E}.

Caratheodoryren prozedura jarraituz, kanpo-neurriaren bidez kanpo-neurria eraikitzen da A B -aljebran. Hasierako eta neurri -finituakbadira, definitutako neurria laukizuzen elementaletarako

(AB) = (A)(B)baldintza betetzen duen neurri bakarra da. Honela eraikitzen da

(X Y,A B, )biderkadura-espazio neurriduna.

Oharra 3.1.2. Rn eta Rm-n espazio bakoitzeko -aljebra boreldarra konsi-deratzen badugu, biderkadura -aljebren biderkadura da, hau da,

B (Rn+m) = B (Rn) B (Rm)da, zeren eta B (Rn+m) multzo irekiek sortutako -aljebra denez, Rn+m-koirekiak Rn eta Rm-ko tarte irekien biderkadurak izango dira, Rn+m espaziomultzo irekiak eta Rn Rm espazioko multzo irekiak identifika daitezkelako.

Lebesgue-neurgarriak diren multzoek sortutako -aljebra hartuz

L (Rn+m) 6= L (Rn) L (Rm)da. Ikus dezgun honen kontradibide bat.

56


Adibidea 3.1.3. Izan bitez (R,L1,m1) eta (R2,L2,m2) R eta R2-ko Lebesgue-ren -aljebrak eta neurriak. Frogatuko dugu L1 L1 6= L2 dela. Badakiguexistizten dela neurgarria ez den multzoa bat, beraz, izan bedi A / L1 multzohori. Har dezagun x R puntu finko bat eta izan bedi P = {x} A R2.m2(P ) = 0 da, zeren eta

{x} A {x} Rda eta hau zero neurriko multzo bat da R2-n. Lebesgueren neurria osoa denez,zero neurriko multzo baten edozein azpimultzoa zero neurrikoa da ere bai, berazP -ren neurria zero da. Orduan multzo neurgarria da R2-n, hau da, P L2.Beste aldetik, L1 L1 = L2 balitz, R2-ko edozein multzo neurgarria R-ko bimultzo neurgarrien biderkadura izan beharko litzateke, baina P ez da horrelakoa(neurgarria bider ez-neurgarria da). Ondorioz, L1 L1 6= L2 izan behar du.Definizioa 3.1.4. Izan bedi P (X Y,A B). Bere sekzioak honeladefinitzen dira:

Px = {y Y, (x, y) P} BPy = {x X, (x, y) P} A

P multzo neurgarria bada biderkadura-neurrirako, Px neurgarria da neurrirako eta Py neurgarria da neurrirako.

Biderkadura-espazioan gaudenez, logikoa da pentsatzea P A B mul-tzoaren neurria berez sekzioen neurrien menpekoa dela. Honek (Px) eta (Py)funtzioak aztertzera bideratzen gaitu, non (Px) X-n definitutako funtzioa deneta (Py) Y -n definiturikoa. P laukizuzen elementala bada, alegia, P = AB,(Px) eta (Py) funtzio sinpleak dira, eta bi funtzio hoien integralak (bakoitzabere espazioan eta bere neurriarekiko) berdinak dira, (A)(B) hain zuzenere. Honek ondorengo teoremara eramaten gaitu.

Teorema 3.1.5. (Cavalieriren printzipioa) Izan bitez (X,A, ) eta (Y,B, )espazio neurridunak, neurriak -finituak izanik. Orduan P A B bakoitze-rako

g : X [0,], g(x) = (Px)eta

h : Y [0,], h(y) = (Py)funtzio neurgarriak dira

( )(P ) =X

(Px)d =

Y

(Py)d (3.1)

berdintza betetzen delarik.

57


Idatz dezagun teorema hau Rp eta Lebesgueren neurriaren kasurako dagokionfrogapena emateko.

Teorema 3.1.6. (Cavalieriren printzipioa) Izan bedi A Rp = Rk Rnmultzo neurgarria. Orduan ia y Rn guztietarako Ay Rk multzo neurgarriada eta ia Rn guztian definitutako y mk(Ay) funtzioa, funtzio ez-negatiboeta neurgarria da,

mp(A) =

Rnmk(Ay)dmn(y) (3.2)

berdintza betetzen delarik. Era berean ia x Rk guztietarako Ax Rn multzoneurgarria da eta ia Rk guztian definitutako x mn(Ax) funtzioa, funtzioez-negatibo eta neurgarria da,

mp(A) =

Rkmn(Ax)dmk(x) (3.3)

berdintza betetzen delarik.

Frogapena: Frogapena lau pausutan egingo dugu:

(1) I Rp tartea bada, emaitza berehalakoa da kontutan izanik tarte batenneurria bere bolumena dela. Beinke, I = I I tarteen biderkadura kartesiarbezala idatz daiteke, I Rk eta I Rn izanik. Edozein y Rn-rako,

Iy =

{I , y I ,, y / I ,

beraz Iy neurgarria da. Gainera

mk(Iy) =

{mk(I

), y I ,0, y / I ,

eta hemendik mk(Iy) = mk(I)I(y) dela eta y mk(Iy) funtzio neurgarria

dela ondorioztatzen da. BerazRnmk(Iy)dmn(y) = mk(I

)mn(I ) = mp(I).

(2) Demagun orain G Rp multzo irekia dela. Badakigu G tarte disjuntuenbildura zenbakigarri bezala idatz daitekela, hau da,

G =j=1

Ij.

58


Beraz y Rn, Gy multzo neurgarria da,

Gy =j=1

(Ij)y

bildura disjuntu bezala idazten delarik. Orduan

mk(Gy) =j=1

mk((Ij)y)

eta y mk(Gy) funtzio neurgarria da. Gairik gai integratuzRnmk(Gy)dmn(y) =

j=1

Rnmk((Ij)y)dmn(y) =

j=1

mp(Ij) = mp(G).

(3) Demagun orain, A Rp edozein multzo neurgarri eta bornatua dela.Multzo neurgarriaren definiziogatik, aukera daiteke (Kj)jN multzo trinkoensegida bat eta (Gj)jN multzo irekien beste segida bat, zeinetarako

Kj A Gj, limj

mp(Gj Kj) = 0

den. Suposa daiteke ere irekien segida beherakorra eta bornatua dela (A bor-natua denez, bere barne duen edozein bola ireki eta Gj-ren arteko ebakidurahartzearekin nahiko da) eta trinkoen segida gorakorra dela. Har ditzagun

B =j=1

Kj eta C =j=1

Gj

multzoak. Argi dago B A C eta mp(A) = mp(C) dela eta

y Rn, Cy =j=1

(Gj)y eta By =j=1

(Kj)y

multzo neurgarriak direla. Edozein j-rako GjKj multzo irekia da eta orduanbigarren pausuan frogatutakoa erabil daiteke ondorengoa idazteko:

Rnmk((Gj Kj)y)dmn(y) = mp(Gj Kj) j 0.

Edozein j-rako, C B Gj Kj denez,mk((C B)y) mk((Gj Kj)y)

59


izango da, eta y mk((C B)y) funtzio neurgarria denez (funtzio neurga-rrien limitea izateagatik),

Rnmk((C B)y)dmn(y) = 0

dela ondorioztatzen da. Integral hau nulua bada, barruko funtzioa nulua da erebai, beraz mk((CB)y) = 0 da eta honek esan nahi du (CB)y (edo berdinaden Cy By) multzo neurgarria dela y Rn ia guztietarako. y hauetarakoBy Ay Cy inklusioak Ay, By-ren bildura eta zero neurriko multzo batenbildura dela ematen du. Monotoniaz

mk((Gj)y)j mk(Ay)

da, beraz y mk(Ay) funtzio neurgarria da, funtzio neurgarrien limiteaizateagatik. Frogapen honekin amaitzeko, G1 multzo ireki bornatua da, orduan

Rnmk((G1)y)dmn(y) = mp(G1)


Adibidea 3.1.7. Izan bedi A Rp = Rk Rn, eta y Rn bakoitzerako

(A)y(x) =

{1 (x, y) A,0 (x, y) / A.

Ay sekzioaren funtzio karakteristikoa. Betetzen da, orduan, (A)y = Ay dela.Funtzio karakteristiko bat neurgarria denez baldin eta soilik baldin multzo neur-garria bada, A Lebesgue-neurgarria bada Rn-n, x A(x, y) funtzioa ereneurgarria da. Gainera definizioz

mp(A) =

RkRn

A(x, y)dmp(x, y)

da eta Cavalieriren printzipioa erabiliz

mp(A) =

Rnmk(Ay)dmn(y), mk(Ay) =

RkA(x, y)dmk(x)

izanik. Gai biak batera idatziz RkRn

A(x, y)dmp(x, y) =

Rn

(RkA(x, y)dmk(x)

)dmn(y)

dela ondorioztatzen da.

Adibide honek, Cavalieriren printzipioa erabiliz, integral anikoitza integraliteratuen bidez kalkula daitekela iradokitzen digu.

3.2 Fubini-Tonelliren Teorema

Teorema honetan biderkadura-espazioa eta hasierako espazioen kalkulatutakointegralen arteko erlazioa aztertzen da. 1906. urtean, Bepo Levik Lebesguerenintegral bikoitza eta integral iteratuak berdinak zirela baieztatu zuen, ezerfrogatu gabe. Urte bat beranduago, Guido Fubinik Lebesgue-integragarria denedozein funtziotarako emaitza eman zuen, baina berak egindako frogapenakakats batzuk zituen. Fubiniren lanean oinarritutako lehen frogapen zehatzaLeonida Tonellik eman zuen 1909. urtean. Frogapen honek betirako ezarrizuen Lebesgueren integralaren nagusitasuna Riemannen integralaren aurrean.

Teorema 3.2.1. (Fubini-Tonelliren teorema) Izan bitez (X,A, ) eta (Y,B, )espazio neurridunak, eta neurri -finituak izanik.

61


1. Leviren teorema. f : X Y [0,] funtzio neurgarria bada, orduan

: X [0,], (x) =Y

f(x, y)d(y)

eta

: Y [0,], (y) =X

f(x, y)d(x)

funtzio neurgarri eta ez-negatiboak dira ondoko berdintzak betetzen dire-larik:

XYf(x, y)d( ) =

X

(Y

f(x, y)d(y)

)d(x)

=

Y

(X

f(x, y)d(x)

)d(y) .

2. Fubiniren teorema. f : X Y R funtzio integragarria bada, orduanx X-rako ia nonahi definitutako fx(y) = f(x, y) (x finkoa eta y-renfuntzioa) funtzioa integragarria da -rekiko, eta era berean, y Y -rako ianonahi definitutako fy(x) = f(x, y) (y finkoa eta x-ren funtzioa) funtzioaintegragarria da -rekiko. Ia nonahi definituriko

: X R, (x) =Y

f(x, y)d(y)

eta

: Y R, (y) =X

f(x, y)d(x)

funtzioak integragarriak dira, ondoko berdintzak egiaztatzen direlarik:XY

f(x, y)d( ) =X

(Y

f(x, y)d(y)

)d(x)

=

Y

(X

f(x, y)d(x)

)d(y)


Frogapena: (1) f funtzio karakteristikoa bada, teorema honen lehen atalaCavalieriren printzipioa da, beraz frogatuta dago kasu horretarako. f funztiosinplea bada, linealtasuna erabiliz, emaitza lortzen dugu. f edozein funtzioneurgarri eta positiboa bada, badakigu existizten dela funtzio sinpleen segidaez-beherakor f -ra puntuz puntu konbergentea, {ak(x, y)}kN, hain zuzen ere.Izan bedi

k(x) =

Y

ak(x, y)d(y)

neurgarria eta XY

akd( ) =X

kd(x)

emaitza funtzio sinpleetarako betetzen delako. Konbergentzia monotonoarenteorema aplikatuz k segidarako lim

kk(x) = (x) da, neurgarria izanik eta

XYfd( ) = lim

k

XY

akd( ) =

limk

X

kd(x) =

X

d(x) =

X

Y

f(x, y)d(y)d(x)

dela ondorioztatzen da. Era berean funtziorako.

(2) f integragarria bada, lehen ataleko emaitza aplikatzen diogu f+ funtziopositiboari. Orduan

Y

(X

f+d(x)

)d(y) =

XY

f+d( )


Adibidea 3.2.2. Izan bedi [1, 1] [1, 1] karratuan definitutako ondorengofuntzio neurgarria:

f(x, y) =

{xy

(x2+y2)2(x, y) [1, 1] [1, 1], (x, y) 6= (0, 0),

0 (x, y) = (0, 0),

Azter ezazu integral bikoitza existitzen den ala ez, eta gauza bera integral ite-ratuetarako.

f ez da funtzio positiboa, beraz ezin dugu teoremaren lehen atalaerabili. Azter dezagun balio absolutuaren integral iteratuak finituak diren alaez, hirugarren atala aplikatzeko: |f | jarraitua denez i.n., bere integrala Rie-mannen integrala izango da. 1

1

11

|xy|(x2 + y2)2

dydx = 2

11|x|( 1

0

y

(x2 + y2)2dy

)dx

=

11|x|( 1

1 + x2+

1

x2

)dx = 2

10

1

x x

1 + x2dx =.

Simetriagatik, beste integral iteratua ere infinitua da, beraz f ez da integraga-rria R2 n. Kalkulatu nahi badugu f -ren integrala, x0 bat finkatuz, 1

1

x0y

(x2 + y2)2dy = 0

da, funtzio bakoitia tarte simetrikoan delako, beraz

x 11f(x, y)dy

funtzioa zero da i. n., eta orduan bere integrala ere bai (gauza bera ordenaaldatuz). Ondorioz f -ren integral iteratu biak existitzen dira (zero dira) nahizeta funtzioa integragarria ez izan.

Adibidea 3.2.3. Fubiniren teorema erabiliz froga ezazu

0

sinx

xdx =

pi

2dela.

Aurreko gaian f(x) =sinx

xfuntzio ez dela Lebesgue-integragarria (0,) tartean

frogatu genuen. Kasu honetan frogatuko dugu integral inpropioa finitua dela,hau da, Riemann-integragarria dela. Horretarako x 0 denean

1

x=

0

extdt

64


dela erabiliko dugu (funtzio positiboa da, Riemannen integral inpropioa kon-bergentea, beraz Lebesgue-integragarria). Integral inpropioaren definizioa etaaurreko berdintza erabiliz

0

sinx

xdx = lim

n

n0

sinx

xdx = lim

n

n0

sinx

( 0

extdt)dx.

(x, t) sinxext funtzioa dugu (x, t) [0, n] [0,). Funtzio hau inte-gragarria bada bere definizio eremuan Fubiniren teorema aplikatu ahal izangodugu.

[0,n][0,)| sinxext|dm2 =

n0

| sinx|(

0

extdt)dx

=

n0

| sinx|x

dx


3.3 Aldagaiaren aldaketa. Koordenatu

polarrak

Izan bedi : U V funtzioa, U, V Rn izanik. Edozein A U azpi-multzo neurgarriarako (A) multzo neurgarria den ala ez aztertu nahi dugu,eta neurgarria bada, m((A)) eta m(A)-ren arteko erlazioa.

Proposizioa 3.3.1. Izan bedi : Rn Rn isomorfismo bat. A Rnedozein multzo Lebesgue-neurgarria bada, (A) Lebesgue-neurgarria da ere baiondorengo berdintza betetzen delarik

m((A)) = |det |m(A).

Propietate honek multzo neurgarri baten irudia neurgarria dela bermatzen du.

Proposizioa 3.3.2. Izan bedi : U Rn Rp, C1 motatako aplikazioa Umultzo irekian n p izanik. A U zero neurriko multzoa bada Rn-n, orduan(A) zero neurriko multzoa da Rp-n.

d : Rn Rn aplikazio lineala da, eta bere determinantea n n ordenakomatrizea izango da, hau da, (x) = (1(x), . . . , n(x)), x = (x1, . . . , xn) izanik.Bere deribatuaren determinantea honela adieraz daiteke d(x) =

1x1

1x2

. . . 1xn

2x1

2x2

. . . 2xn

. . . . . . . . . . . .nx1

nx2

. . . nxn

Teorema 3.3.3. Izan bitez U eta V Rn azpimultzo irekiak eta : U V, C1 motatako difeomorfismoa. Orduan edozein A U multzoa Lebesgue-neurgarria da baldin eta soilik baldin (A) V Lebesgue-neurgarria bada,(A)-ren neurria ondorengo formularen bidez kalkula daitekelarik

m((A)) =

A

| det d(x)|dx.

Hiru propietate hauekin Aldagai Aldaketaren Teorema ondorioztatzen da.

Teorema 3.3.4. (Aldagai Aldaketaren Teorema) Izan bitez U, V Rn eta beraien artean definitutako C1 motatako difeomorfismoa. Izan bedi f : V Rfuntzioa. Orduan

66


1. f 0 bada, f Lebesgue-neurgarria da (f o )|detd| Lebesgue-neurgarria bada.

2. f integragarria da (f o )|detd| integragarria bada.

Kasu bietan hurrengo berdintza betetzen daV

f(y)dy =

U

f((x))|detd(x)|dx,

y = (y1, . . . , yn) eta x = (x1, . . . , xn) izanik.

Kasu berezi bezala, f = (U) funtzio karakteristikoa bada, teorema honekaurreko emaitza ematen digu. Ikus ditzagun orain aldagai aldaketa berezi bat.

Adibidea 3.3.5. (Rn-ko koordenatu polarrak) Izan bedi Rn-ko norma euk-lidearra, hau da,

||x|| = (x21 + x22 + + x2n)1/2.Norma hau erabiliz Rn{0} espazioko edozein punturako beste adierazpen batlor daiteke, bi espazioen biderkadura bezala. Ikus dezagun. x 6= 0 bada, berenorma ere ez nulua izango da, eta defini daiteke bat erradiodun bolako x = x||x||bektorea.

x Sn1, non Sn1 = {x Rn, ||x|| = 1} den.(n = 1 bada, S0 = {1,1} puntuak dira, n = 2 bada, S1 = {(x, y) R2, x2 +y2 = 1}, eta abar). Defini dezagun hurrengo aplikazioa:

Rn {0} (0,) Sn1

x = (x1, x2, . . . , xn) (r, u)non r = ||x|| eta u = x||x|| aldagaiei koordenatu polarrak deritxe. Definitutakoaplikazio hau bijekzio bat da, non x Rn-ko puntu bakoitza (0,) Sn1bidekadura espazioko bikote bati lotuta dagoen. (0,) tartean Lebesgueren R-ko neurria kontsideratzen da eta Sn1 espazioan existitzen da neurri bat, nonf L1(Rn) bakoitzerako

Rnf(x)dx =

0

rn1(

Sn1f(ru)d(u)

)dr

=

Sn1

( 0

rn1f(ru)dr)d(u)

betetzen den.

67


Kasu berezi bezala, demagun f funtzioa erradiala dela. Honek esan nahi du bereadierazpena erradioren menpekoa dela soilik, hau da, polarretan idazterakoan,u-ren menpekotasunik desagertzen dela eta bakarrik r-ren menpekoa gelditzendela (f(x) = f0(||x|| = f0(r))). Orduan funtzioa koordenatu polarretan idatzizf(ru) = f0(r) aldagai bakarreko funtzio bezala idatziko genuke, eta honek,integralaren adierazpenean ordezkatuz,

Rnf(x)dx =

0

rn1(

Sn1f0(r)d(u)

)dr

= (Sn1) 0

rn1f0(r)dr

ematen du, hau da, aldagai bateko integral bat.

Adibidea 3.3.6. (Gaussen integralaren kalkulua) Izan bedi

0

ex2

dx Gaussen

integrala. Badakigu Barrowen erregela erabiliz ezin dela kalkulatu, ez delako ja-torrizko funtziorik existitzen. Koordenatu polarrak erabiliko ditugu integralarenbalioa lortzeko. Har dezagun f(x, y) = e(x

2+y2) R2-ko funtzio neurgarri positi-boa. Fubiniren teoremagatik

R2f(x, y)d(x, y) =

(

ex2y2dx

)dy (3.4)

=

(

ex2

dx

)(

ey2

dy

)=

(

ex2

dx

)2.

Beste aldetik koordenatu polarretan idaztiko duguR2f(x, y)d(x, y) =

2pi0

( 0

rer2

dr

)d = pi(er2)0 = pi. (3.5)

Orduan (3.4) eta (3.5) ekuazioak berdinduz(

ex2

dx

)2= pi

dela ateratzen da. ex2

funtzio bikoitia denez, (,) tarteko integrala(0,) tartekoaren bikoitza izango da, beraz

0

ex2

dx =

pi

2

dela lortzen dugu. Oro har Rne||x||

2

dx = pin/2.

68


3.4 Ariketak

3.4.1. Biz f delakoa (X,A, ) espazio neurridunean definituriko funtzio inte-gragarria eta har dezagun ondoko funtzioa: g(t) = ({x X : |f(x)| > t}).Froga itzazu hurrengo berdintzak:

X

|f |d = 0

g(t)dt.

p > 0,X

|f |pd = 0

ptp1g(t)dt.(Oharra: Idatzi g(t) honela:X

{x:|f(x)|>t}d(x) eta aplikatu Fubiniren teorema.)

3.4.2. Izan bitez f eta g funtzio integragarriak R-n.

Hartu h(x, y) = f(x)g(y) funtzioa. Frogatu h integragarria dela R2-n etaeman h-ren integrala f eta g-ren integralarem arabera.

Defini dezagun f eta g-ren konboluzioa era honetan:

f g(x) =Rf(y)g(x y)dy.

Frogatu f g integragarria dela R-n eta eman f g-ren integrala f etag-ren integralen arabera.

3.4.3. Aztertu ezazu (0, 1) (0, 1) eremuan definituriko funtzio hauen integra-garritasuna:

f(x, y) =x2 y2x2 + y2

, g(x, y) =x2 + y2

x2 y2 , h(x, y) =x2y, t(x, y) =

x yx+ y

3.4.4. Azter ezazu ondoko funtzioen integragarritasuna:R2

e2x23y2

x2 + y2dA,

R2

y2 sin2 x

x2(x2 + y2)(x2 + y2 +m2)dA,

R2

1 cosx(x2 + y2)5/2(1 + x2 + y2)

dA,

R3

x2 + y2 + z2

1 + (x2 + y2 + z2)3dV

3.4.5. Froga ezazu f : (x, y) ey sin 2xy funtzioa [0, 1] [0,) eremuanintegragarria dela Lebesgueren neurriarekiko, eta horren ondorioz, kalkulatuhurrengo integralaren balioa:

0

eysin2 y

ydy.

69


3.4.6. Izan bedi [1, 1] [1, 1] karratuan definitutako funtzio hau:

f(x, y) =x2y

x2 + y2

Kalkulatu funtzioaren integrala eta integral iteratuak, existitzen badira.

3.4.7. Izan bedi E = [0, 1] [0, 1] E multzoan definitutako hurrengo funtzioa:

f(x, y) =

{ 1(x1/2)3 0 < y < |x 1/2|,0 beste kasutan .

Aztertu hurrengo integralen existentzia eta berdintasuna:E

fdm2,

10

10

f(x, y)dxdy eta

10

10

f(x, y)dydx.

3.4.8. Aztertu -ren zein baliotarako den integragarria R3-n unitate bolandefinitutako funtzio hau:

f(x1, x2, x3) =

(sin ||x||2||x||72

)2,

non ||x|| =x21 + x

22 + x

23 den.

70

4. Gaia

HILBERT ESPAZIOAK

David Hilbert Konisbergen (Alemania) jaio zen 1862. urtean. Garai har-tako alemaniar gazteek unibertsitate batetik bestera ibiltzen ziren baina berabere bizitza osoa Gottingeneko Unibertsitatean emango du, hiri honetan 1943.urtean hil arte. Minkowskiren ikaskidea izan zen eta lagun handiak egingodira. Bien artean XX. mendeko lehenengo hamarkadan unibertsitate hauarrakastatsua izatea lortzen dute. 1909. urtean Minkowski hil egiten da etaHilbertek bakarrik jarraitzen du lanarekin. XX. mendeko lehenengo 30 urtee-tan Gottingeneko Matematika Institutoan mundu osoko ikasle eta irakasle bil-duko dira Hilberten ospea dela eta. Bere bizitzako azkenengo urteetan nahikobakarrik gelditu zen bere lagun gehienek atzerrira joan behar izan zutelakonaziek gobernura heltzen direnean, eta bera ostopo guztien gainetik, Alema-nian gelditzea erabakitzen duenean.

D. Hilbert (1862-1943)

Hilberten lana bost arlo desberdinetan sailka daiteke: Aldaezinen Teoria, Zen-baki Teoria, Geometriaren Oinarriak, Ekuazio Integralak eta Fisika. Ekuaziointegraletan egindako lana XX. mendearen hasieran Analisi Funtzionalaren

71

Hilbert espazioak

garapena suposatu zuen, bere izena daramaten espazioekin. Espazio hauekAnalisi Matematiko eta Mekanika Kuantikoan oso garrantzitsuak dira.

1900. urtean 23 problema planteatu zituen (jarraituaren hipotesia, Riemannenaierua, Goldbachen aierua besteak beste). Hauetariko bat ebatzen zen bakoitzeangertaera garrantzitsua zen matematikarien artean. Planteatutako problemabatzuk oraindik ebatzi gabe daude.

4.1 Hilbert espazioak: adibideak eta

propietateak

Intuitiboki, Hilbert espazioak dimentsio finitudun espazio euklidiarren oro-korpena izango da, angelua eta ortogonaltasunaren kontzeptuak agertuko dire-larik.

Definizioa 4.1.1. Izan bedi H K-ren gainean definitutako bektore-espazioa(K = R edo C izanik).

< , >: H H Kaplikazio bilineala biderkadura eskalarra dela esango dugu ondokopropietateak betetzen direnean:

1. < x, x > 0, eta < x, x >= 0 x = 0.2. < x, y >= < x, y >, x, y, H, K.3. < x, y >= < y, x >, x, y H.4. < x+ y, z >=< x, z > + < y, z >, x, y, z H.

Biderkadura eskalarra definituta duen H espazioari aurre-Hilbert esaten zaio.

Proposizioa 4.1.2. (Cauchy-Schwarzen desberdintza) x, y Hondoko desberdintza betetzen da

| < x, y > | < x, x >

Neurria Eta Integrazioa UPV /EHU

Documents

Transcript of Neurria Eta Integrazioa UPV /EHU