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ÍNDICE PRESENTACIÓN DEL LIBRO…………………..3 PRESENTACIÓN DEL MÓDULO……………….6

RESPUESTAS ESPERADAS……………………..168 GLOSARIO………………………………................178 BIBLIOGRAFÍA……………………………………..179

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PRESENTACIÓN DEL LIBRO

Apreciable alumno de bachillerato: Te felicitamos por haber llegado hasta esta etapa de tu vida, en la que has

optado por continuar superándote dentro del Sistema de Educación Media Superior del

Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica. Te invitamos a seguir tu

preparación con nosotros para enfrentar los múltiples e intrincados retos que te reserva

la vida profesional.

Este libro pretende ser una herramienta para tal fin. En él encontrarás íconos que te

guiarán durante la lectura y reflexión individual, acompañándote en esta hermosa

aventura de construir aprendizajes significativos de manera personal y colectiva con los

compañeros y profesores. De esta manera, cada vez que encuentres un ícono podrás

estar seguro del significado de lo contenido en la página o el párrafo.

Ícono identificador de la unidad, mismo que avisa cuando

has comenzado a tratar una nueva unidad.

Ícono identificador de la introducción a la unidad.

Apartado en el cual encontrarás una breve reseña de lo

que tratará la unidad.

Ícono identificador del propósito que se persigue alcanzar

al final del estudio de la unidad.

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Ícono identificador del sumario, que enlista los temas

principales que se tratarán en la unidad.

Ícono identificador del apartado en que se desarrollan los

temas.

Ícono identificador de ejercicios que te servirán para

consolidar lo aprendido.

Ícono identificador de respuestas esperadas de los

ejercicios propuestos.

En este libro encontrarás tres unidades, correspondientes al módulo de Matemáticas III geometría analítica, que corresponden a: 1. La recta. 2. Las cónicas. 3. Traslación y rotación de los ejes coordenados.

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El módulo, está enfocado al análisis de la geometría analítica a través del estudio de las funciones, la recta, y las cónicas (circunferencia, parábola, elipse e hipérbola) así como su representación en el sistema de coordenadas rectangulares, traslación y rotación de ejes como un modo de simplificar su análisis. La aplicación de la geometría se extiende a campos tan diversos como la Astronomía, el análisis de las estructuras arquitectónicas o en el simple lanzamiento de un clavado en una alberca, y en áreas tan diversas como el diseño de automóviles o antenas satelitales de uso común en nuestros días. No nos queda más que invitarte a recorrer sus páginas y deleitar esta herramienta

creada pensando en ti y en tu porvenir.

¡Disfrútalo mientras aprendes y aprovecha este tiem po para estudiar y formarte,

pues recuerda que muchas cosas no podrás recuperar, una de ellas es el tiempo!

¡Suerte!

Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica.

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PRESENTACIÓN DEL MÓDULO

La Geometría analítica fue iniciada y desarrollada por el eminente filósofo y matemático, René Descartes en su libro llamado Géometrie que se publicó en el año de 1637. En esta obra, se establecía la relación explícita entre las curvas y las ecuaciones. Podemos decir, que además de Descartes, todos los matemáticos de los siglos XVII y XVIII, contribuyeron de una forma o de otra, al desarrollo de esta nueva teoría, que en la actualidad se estudia con el nombre de Geometría Analítica, cuyo fundamento radica en el uso de Sistemas de Coordenadas Rectangulares o Cartesianas en honor de su fundador. La Geometría Analítica es una parte de las matemáticas que, entre otras cosas, se ocupa de resolver algebraicamente los problemas de la geometría. En esta materia se puede conocer una ecuación y deducir su gráfica, o determinar la ecuación conociendo la gráfica de una curva. A estos dos problemas se les conoce como los Problemas Fundamentales de la Geometría Analítica.

La importancia del módulo radica en que permite contar con los elementos teórico metodológicos sobre la recta, y las cónicas que determinan el modelo matemático así como su representación gráfica, en la resolución de problemas derivados de la misma matemática o de otras áreas del conocimiento como La Física, Química y Biología. Este módulo aborda el estudio de la Geometría Analítica, conocimientos básicos para el desarrollo del Cálculo Diferencial e Integral. El estudio de la geometría queda perfectamente estructurado como se muestra en la siguiente diagramación, así como las ecuaciones fundamentales que estudiarás también quedan ilustradas.

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UNIDAD 1 La recta. PROPÓSITO:

1. Al finalizar la unidad, aplicarás los principales modelos matemáticos de las rectas, en la solución de problemas.

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La línea es una figura geométrica que se genera por un punto en movimiento.

Si el punto se mueve sin cambiar de dirección, entonces es una línea recta .

La ecuación de la recta se puede escribir en diferentes formas y podemos pasar de una a otra mediante el manejo algebraico. En muchos de los fenómenos que se estudian en ciencias, tanto naturales como sociales, intervienen dos variables relacionadas por una ecuación que representa una recta. En esta unidad se presentan los elementos de la recta; cuándo dos rectas son paralelas o perpendiculares; cómo se grafica una recta conociendo la pendiente y la ordenada al origen; el procedimiento para obtener la ecuación de la recta cuando se conocen su pendiente y su ordenada al origen y cuando se conocen dos puntos, así como la forma de obtener, a partir de la ecuación, la pendiente, la ordenada al origen y la gráfica de dicha recta.

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1. Graficar rectas en un sistema coordenado.

1.1. Relaciones y funciones. 1.1.1. Variables dependientes. 1.1.2. Variables independientes. 1.1.3. Relaciones. 1.1.4. Funciones.

1.2. Pares ordenados. 1.3. Dominio, rango o imagen. 1.4. Coordenadas rectangulares.

1.4.1. Abscisa y ordenada . 1.4.2. Representación gráfica de puntos.

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1.1. Relaciones y funciones.

En el quehacer cotidiano manejamos relaciones entre

distintas magnitudes, como tus calificaciones, las cuales dependen de varios factores como exámenes, tareas, trabajos, etc.; la cantidad de comida que consumes depende de tu peso, talla, edad, etc. De igual forma existen otros tipos de dependencias entre variables de la vida cotidiana y las más importantes para su estudio son las Relaciones y Funciones.

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1.1.1. Variables dependientes. Son todas las variables cuyo resultado no es “autónomo” ya que depende de

otras tomadas como referencia. Generalmente se le asigna la letra y; cabe aclarar que es posible asignarle otras letras a estas variables las cuales correspondan al tipo de variables analizadas.

y=Calificaciones

1.1.2. Variables independientes. Son todas las variables cuyo resultado es “autónomo” y son usadas como

referencia para calcular otras (las dependientes). Generalmente se le asigna la letra x; cabe aclarar que es posible asignarle otras letras a estas variables las cuales correspondan al tipo de variables analizadas.

x1= exámenes x2= tareas x3= trabajos

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1.1.3. Relaciones.

Cualquier correspondencia entre dos variables se conoce como una relación, con la característica de que no importa cuántos valores de la variable dependiente (y) le corresponden a la variable independiente (x). Por lo tanto, puedes asignar dos o más valores de y a los valores de x.

Dentro de las relaciones podemos encontrar correspondencias muy específicas conocidas como funciones.

1.1.4. Funciones.

Una función es una relación que asocia a cada elemento x de un conjunto D un único elemento y = f(x) de otro conjunto R, mediante una regla determinada.

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Una función es una correspondencia entre números. Mediante la función f a cada número x se le hace corresponder un sólo número que se representa por f(x). Puesto que tanto x como f(x) pueden tomar diversos valores se les denomina variables. A x se le llama variable independiente y a f(x) variable dependiente. El conjunto de valores que puede tomar la variable independiente se llama dominio o dominio de definición de la función.

Una ecuación con dos incógnitas x e y puede servir para definir una función, siempre que para cada valor de x, la ecuación tenga una sola solución para y. Por ejemplo, la ecuación x+y = 3 define una función (a cada valor de x esta ecuación se le hace corresponder un sólo valor de y). Sin embargo, la ecuación y2+x = 10 no define una función pues para algunos valores de x existen dos soluciones de y. Mediante una curva y ejes de coordenadas también puede definirse una función. A cada valor de la abscisa x se le puede asociar la ordenada del punto de

la curva que tiene esa abscisa. Si hay dos puntos de la curva que tienen la misma abscisa, esa curva no define una función. Por ejemplo, una recta no paralela al eje de ordenadas, define una función; por el contrario, una circunferencia o una elipse no definen funciones. La curva asociada a una función se llama representación gráfica de la función. Si las infinitas soluciones de una ecuación con dos incógnitas “x” e “y” las consideramos como coordenadas de puntos, el conjunto de todos estos puntos forma una curva. Recíprocamente, la condición que cumplen todos los puntos de una curva se llama ecuación de la curva. Para la función f, su representación gráfica es una curva cuya ecuación es y = f(x).

y=calificaciones x1= exámenes x2= tareas x3= trabajos

1 2 3( , , )y f x x x=

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17

1.1.4.1. Tipos de funciones.

Función constante. A todas variables x del dominio se asigna el mismo valor c en el

codominio.

( )f x C=

Función lineal. Es la función cuya regla tiene la forma:

( )f x mx b= +

Función cuadrática. Es la función cuya regla tiene la forma:

2( )f x ax bx c= + +

Función radical de índice par con subradical de la forma ax b+ . Es la función de la forma:

2( )

nf x ax b= +

Función trigonométrica. Algunos ejemplos son:

( ) ; ( ) cosf x senx f x x= =

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1.1.4.2. Gráficas.

La gráfica de una función es el conjunto de parejas ordenadas

( ){ }, ( ) /x f x x D∈ ; el dominio de la función D se localiza en el eje x, mientras que el

rango se localiza en el eje y.

Una manera de identificar si la gráfica que representa una expresión dada es o no una función, es la siguiente: se traza sobre la gráfica una recta paralela al eje vertical en el sistema de coordenadas cartesianas. Si la recta intercepta a la gráfica únicamente en un punto, entonces ésta representa a una función, si la recta intercepta a la gráfica en dos o más puntos, entonces no es una función.

Uno de los métodos más comunes para obtener una aproximación a la gráfica de una función es el método de tabulación, el cual consiste en localizar cierto número de puntos de la gráfica y después unirlos. Para hacerlo, basta con asignar algunos valores a la variable x y determinar, a través del criterio de la función, los valores asociados a la variable y

1.1.4.3. Operaciones con funciones.

Suma y multiplicación de funciones

Si f y g son dos funciones, entonces f g+ y f g• son funciones con reglas de correspondencia:

[ ]( ) ( ) ( )f g x f x g x+ = +

Y

[ ]( ) ( ) ( )f g x f x g x• = • Para aquellos valores de x en los cuales es posible aplicar

ambas funciones, es decir, para las x que pertenezcan tanto al dominio de f como al dominio de g .

Con lo cual, tenemos que el valor de f g+ es igual a la suma de ( )f x y ( )g x , y el

valor de f g• es el producto de ( )f x y ( )g x .

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La figura anterior interpreta de manera gráfica la suma de dos funciones f y g . Así:

( ){ }, ( ) ( )f g x f x g x+ = + con x en el dominio de f y g .

y

( ){ }, ( ) ( )f g x f x g x• = • con x en el dominio de f y g

También podemos definir a las funciones que llamaremos f− y 1

f, tales que:

[ ]( ) ( )f x f x− = −

y

1 1( )

( )x

f f x

=

, siempre que ( ) 0f x =

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De esta forma, si tenemos dos funciones f y g con el mismo dominio y

( ) 0g x ≠ para toda x en el dominio, entonces podemos definir f

g de la siguiente

manera:

1

( ) ( )( )

fx f x

g g x

=

[ ] ( ( ))=�f g f g x

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1.2. Pares ordenados.

Un par ordenado es una colección de dos elementos tal que uno puede ser distinguido

como el primero y el otro como el segundo. Un par ordenado con primer elemento a y segundo b es escrito usualmente como (a, b). Dos pares ordenados cumplen:

( , ) ( , )a b c d a c b d= ⇔ = ∀ =

El conjunto de todos los pares ordenados en los cuales el primer elemento se toma de un conjunto x determinado y el segundo de un conjunto y se llama producto cartesiano de x con y.

1.3. Dominio, rango o imagen.

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Los elementos de una función son:

( )y f x=

1. La variable x es denominada variable independiente y la variable y es

denominada variable dependiente , ya que su valor depende del valor de x .

• El conjunto D de valores de x para los cuales tiene sentido calcular ( )f x se

conoce como dominio de la función. • y = ( )f x es llamada imagen de x .

• Al conjunto formado por todas las imágenes ( )f x de las x del dominio, se le

denomina rango o codominio de la función y es subconjunto de R.

Para especificar completamente una función, es necesario dar su dominio, así como su regla de asociación.

Para encontrar el dominio se debe considerar el conjunto de valores de x para los cuales tiene sentido calcular ( )f x .

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1.4. Coordenadas rectangulares. 1.4.1. Abscisa y ordenada.

Las coordenadas cartesianas o rectangulares son un sistema de coordenadas formadas por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen. El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados.

Es importante saber entonces que:

Ejes : son líneas de referencia para hacer gráficos. Generalmente, uno de los ejes es una línea horizontal llamado eje de abscisa y la otra, una línea vertical llamado eje de ordenadas. Los ejes horizontales y verticales son perpendiculares el uno al otro.

Eje de la Ordenadas : es la línea numerada que se usa para registrar o leer los valores y puntos de un gráfico. El eje de ordenadas es usualmente el eje vertical.

Eje de las abscisas : es la línea numerada que se usa para registrar o leer el valor de x de puntos en un gráfico. El eje de la abscisa es usualmente el eje horizontal.

1.4.2. Representación gráfica de puntos.

Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las x y uno de las y, respectivamente, esto indica que un punto se puede ubicar en el plano cartesiano con base en sus coordenadas, lo cual se representa como en la siguiente figura:

Figura 1. Plano cartesiano

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Asociaremos a un punto A en el plano, un par ordenado de números reales (x, y), de los cuales, el primero, x, es el punto en el eje x intersectado por una recta vertical que pasa por el punto A; y el segundo de los números, y, es el punto en el eje y, intersectado por una recta horizontal que pasa por el punto A. Al par ordenado (x, y) lo llamamos las coordenadas de A y a cada uno de los números en el par ordenado lo llamamos un componente o coordenada. El orden en que escribiremos los componentes del par ordenado es muy importante. En el dibujo previo se puede apreciar que las coordenadas (1, 2) corresponden a un punto distinto del que corresponde a las coordenadas (2, 1). Para cada par de números reales (x, y), existe solamente un punto en el plano que le corresponde y; recíprocamente, para cada punto en el plano existe sólo un par ordenado (x, y) que le corresponde. Por eso decimos, que existe una correspondencia “uno a uno” entre los puntos del plano y los pares ordenados de números reales. Este sistema está formado por dos rectas o ejes, perpendiculares entre sí, generalmente un eje es horizontal y el otro vertical, que al intersectarse forman ángulos rectos y dividen al plano donde están contenidos, en cuatro partes llamados cuadrantes, las cuales se enumeran en el sentido contrario de las manecillas del reloj, como se muestra en la Figura 2. Al cuadrante que está arriba del eje x y a la derecha del eje y lo llamamos el cuadrante uno (cuadrante I). Al cuadrante a la izquierda del cuadrante uno lo llamamos el cuadrante dos (cuadrante II). Debajo del cuadrante dos está el cuadrante tres (cuadrante III). A la derecha del cuadrante III está el cuadrante cuatro (cuadrante IV).

Considerando que cada eje es una recta numérica que contienen todos los números reales en forma creciente de izquierda a derecha en el eje horizontal y de abajo a arriba en el eje vertical, todos los números positivos están a la derecha y arriba del origen y los negativos a la izquierda y abajo del mismo origen.

Figura 2 . Numeración de los cuadrantes del sistema de ejes cartesianos

Por tanto, para todos los puntos del cuadrante I am bas coordenadas son positivas; para los puntos del cuadrante II, la coo rdenada x es negativa y la y es positiva. En el cuadrante III ambas coordenadas son negativas y en el cuadrante IV la coordenada x es positiva y la coordenada y es negativa.

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Sobre los ejes se marcan divisiones que corresponden a números enteros, siendo el cero el punto de intersección de dichos ejes llamado Origen de las Coordenadas.

En el plano, las coordenadas cartesianas o rectangulares x e y se denominan respectivamente abscisa y ordenada. Es decir que las coordenadas de un punto P son P(x,y) , las cuales se anotan como parejas ordenadas dentro de un paréntesis y separadas por una coma.

En resumen , para trazar un punto en el plano cartesiano, debes trazar una paralela al eje y para obtener el punto de x y una paralela a x para obtener el punto de y, y el punto de intersección es la coordenada deseada.

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1. Indica los cuadrantes en que se encuentran las coordenadas, (1, 2), (2, 1), (-3, 4), (4, -3), (-3, -2)

2. Dibuja en gráfico cartesiano y ubica los siguientes puntos:

A (-2, 5) B (-8,-4)

C (-6, 4) D (4, 5) E (0,-1) F (2, 6) G (5,-3) H (0, 6) I (-3, 0) J (4, 9) K (3,3) L (-3,-3) M (-3,3) N (3,-3)

3. La siguiente tabla muestra los valores de producción de una microempresa durante el año 2008. Elabora un plano cartesiano y traza los puntos de la tabla.

Producción (y) Mes (x)

5000 2 3000 3 4000 4 3500 5 6000 6 7000 7 1500 8 2700 9 1700 10 8000 11 9500 12

10000 13

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2. Usarás los diferentes tipos de ecuaciones de una recta para la solución de problemas prácticos.

1.5. La recta. 1.5.1. Distancia entre dos puntos. 1.5.2. Punto medio. 1.5.3. Pendiente de la recta. 1.5.4. Pendiente de rectas perpendiculares. 1.5.5. Ecuación de la recta. 1.5.6. Aplicaciones de la ecuación de la recta.

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29

1.5. La recta.

Una línea recta se puede entender como un conjunto de puntos alineados en una única dirección. Uno de los postulados de la geometría Euclidiana dice "…para determinar una recta sólo son necesarios dos puntos del plano…”.

Figura 3 . Representación de dos puntos en un plano.

Una línea recta, lo mismo que cualquier curva contenida totalmente en un plano, está representada, en relación con un sistema de ejes cartesianos, por una función de dos variables, siempre y cuando dicha función sea capaz de expresar la condición común que satisfacen absolutamente todos y cada uno de los puntos, que constituyen dicha línea. Por ejemplo, según la figura 3, la función que representa una paralela al eje de las abscisas es y = b, donde b es el punto por donde pasa la recta en el eje de las y, sin que tenga que intervenir la variable x porque para nada influye en el valor de y. Si la constante b es positiva, la paralela está situada arriba del eje de las x, si es negativa abajo.

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Figura 4 . Representación gráfica de una recta paralela al eje de la abscisa. Como consecuencia deducimos que la función que en este caso representa al eje de las x es y = 0. Igualmente la función que representa una paralela al eje de las ordenadas es x =a, dependiendo del signo de la constante (a) que la paralela esté situada a la derecha o a la izquierda del eje de ordenadas. Figura 5.

Figura 5 . Representación gráfica de una recta paralela al eje de las ordenadas. Como consecuencia deducimos que la función que en este caso representa al eje de las y es x = 0.

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1.5.1. Distancia entre dos puntos.

El teorema de Pitágoras establece que para un triángulo rectángulo, la suma de

los cuadrados de las longitudes de los dos lados menores equivale al cuadrado de la longitud del tercer lado. En un triángulo rectángulo, el lado mayor es el que está opuesto al ángulo recto y lo llamamos hipotenusa del triángulo. Para determinar la distancia entre dos puntos de coordenadas conocidas. A(x0, y0) y B(x, y) usaremos el Teorema de Pitágoras. Para ello representamos dichos puntos en un eje de coordenadas cartesianas, trazando el segmento que los conecta que junto a otros dos segmentos, forman los lados de un triángulo rectángulo donde d es el largo de la hipotenusa. Observemos la siguiente figura:

Figura 6. Representación de dos puntos en un plano cartesiano.

Si aplicamos el Teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo de la figura anterior tenemos que:

2 2 20( ) ( )od x x y y= − + −

Al extraer la raíz cuadrado a ambos miembros obtenemos que:

2 20( ) ( )od x x y y= − + −

Que es la fórmula para obtener la distancia entre dos puntos de coordenadas conocidas. La distancia entre dos puntos es igual a la raíz cu adrada de la suma del cuadrado de la diferencia de las abscisas, más el c uadrado de la diferencia de las ordenadas.

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1. Calcula la distancia entre los puntos: A (-3,2) y B (1,-1).

Solución: Aplicando la fórmula de la distancia entre dos puntos, tenemos:

2 2( 3 1) (2 1) 16 9 25 5AB = − − + + = + = =

suur

2. Calcula el perímetro del triángulo cuyos vértices son: A (-4,6), B (6,2) y C (4,-4). Solución: Sustituyendo valores en la expresión del cálculo de la distancia entre dos puntos, en cada caso se tiene:

2 2( 4 6) (6 2) 100 16 116 10.77AB = − − + − = + = =

suur

2 2( 4 4) (6 4) 64 100 164 12.80AC = − − + + = + = =suur

2 2(6 4) (2 4) 4 36 40 6.32BC = − + + = + = =suur

Por tanto, por conocimientos previos sabemos que:

Perímetro = 29.89+ + =

suur suur suurAB AC BC unidades

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1.5.2. Punto medio.

El punto medio es la mitad de la distancia entre dos puntos

de una recta dentro de un sistema de coordenadas, y se obtiene aplicando las siguientes fórmulas:

2

2

21

21

yyy

xxx

m

m

+=

+=

Que son las fórmulas para obtener las coordenadas del punto medio de un segmento de recta de extremos conocidos.

Por lo tanto la coordenada será: ( , )m mPM x y=

1.5.3. Pendiente de la recta.

La pendiente de una recta en un sistema de representación triangular (cartesiano), suele ser representado por la letra m, y es definido como el cambio o diferencia en el eje y dividido por el respectivo cambio en el eje x, entre 2 puntos de la recta. En la siguiente ecuación se describe:

El símbolo delta "∆", es comúnmente usado en cálculo para representar un cambio o diferencia.

Dados dos puntos (x1, y1) y (x2, y2), la diferencia en x es x2 − x1, mientras que el cambio en y se calcula como y2 − y1. Sustituyendo ambas cantidades en la ecuación descrita anteriormente obtenemos:

12

12

xx

yym

−−

=

x

ym

∆∆=

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De acuerdo a la Figura 6, haremos referencia a la recta y= mx, la cual supondremos que forma un ángulo θ positivo, con respecto al sentido positivo del eje de las x. Sobre la recta tomamos un punto cualquiera P(x, y) , desde el cual trazamos la perpendicular al eje de las x, y unimos el punto del origen con el punto cualquiera P, para formar el triángulo rectángulo, obteniendo la siguiente función trigonométrica:

x

y=θtan

Pero de la función y = mx despejamos m = y/x. Sustituyendo en la igualdad anterior tenemos que:

m = tan θ

Y por tanto θ = arctang m

Figura 7

Mientras el valor de la pendiente sea mayor, la recta tendrá a su vez mayor inclinación. Una línea horizontal tiene pendiente = 0, mientras que una que forme un ángulo de 45° con el eje x tiene una pendiente = +1 (si la recta "sube hacia la derecha"). Una recta con 45° de inclinación que "suba hacia la izquierda ", tiene pendiente = -1. Una recta vertical no tiene un número real que la defina, ya que su pendiente es infinita.

Dos o más rectas son paralelas, si ambas poseen la misma pendiente, o si ambas son verticales y por ende no tienen pendiente definida; dos o más rectas son perpendiculares (forman un ángulo recto entre ellas), si el producto de sus pendientes es igual a -1, o una posee pendiente 0 y la otra no esta definida (infinita).

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Por ejemplo: Si una recta tiene pendiente m = - 3 y es paralela a otra, entonces esa otra también tiene pendiente m = - 3.

En general, la pendiente es el cociente entre lo que sube o baja entre dos puntos de la recta y la distancia horizontal entre ellos, dicho matemáticamente es la tangente del ángulo que forma la recta con otra recta horizontal y n es el punto del eje y por donde pasa la recta.

Si m = 0, la recta es horizontal (paralela al eje x). Si y = 0, la recta es perpendicular. Si b = 0 la recta pasa por el origen.

Por ejemplo: Tenemos que una recta tiene una pendiente de 2 y que pasa por el punto (1,3), sólo tenemos que sustituir estos valores en la ecuación general y nos quedaría:

3 2(1) b= + , y despejando b, queda: b = 1. Por lo tanto la ecuación de esa recta será:

2 1y x= +

1.5.4. Pendiente de rectas perpendiculares.

Saber si dos rectas son perpendiculares es muy fácil: Sólo tenemos que calcular sus pendientes, m y m', y multiplicarlas, si el resultado es -1, las rectas son perpendiculares.

Para determinar el ángulo de dos rectas que se cortan, la forma más fácil es calcular los ángulos que forman cada una de las rectas con el eje x (esto es muy fácil: sólo tenemos que ver la pendiente de la recta y recordar que la pendiente es la tangente del ángulo que forma la recta con el eje x) y restarlos.

Las rectas con ecuaciones 4012 += xy y 4012

1 +−= xy son perpendiculares porque

sus pendientes, 12 y 12

1− satisfacen 12

−12

1=-1

Las rectas con ecuaciones 87 += xy y 247

1 +−= xy son perpendiculares porque sus

pendientes, 7 y 7

1− satisfacen 7

−7

1=-1

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1. Hallar la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por el punto (2,-3) y es perpendicular a la recta con ecuación 214 +−= xy .

Podemos proceder de la siguiente manera:

Primero: Determinamos la pendiente de la recta con ecuación 214 +−= xy . Esta pendiente es -4.

Segundo: Determinamos la pendiente de la recta cuya ecuación buscamos. Como esta recta es perpendicular a la otra, su pendiente m satisface -4m=-1. Por lo tanto la pendiente es

m= 41

Tercero: Usamos la ecuación punto-pendiente con el punto dado y la pendiente recién determinada. De ésta manera obtenemos:

)2(4

1)3( −=−− xy

Cuarto: Reescribimos la ecuación del paso previo en la forma punto-pendiente- En este caso terminamos con la ecuación:

2

5

4

1 −= xy

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1.5.5. Ecuación de la recta.

El nombre que recibe la expresión algebraica (función) que

determina a una recta dada se denomina Ecuación de la Recta.

Supongamos que tenemos la ecuación de una recta y haciendo las modificaciones oportunas, la ponemos en esta forma: y = mx + b, llamada forma explícita. En este caso m es la pendiente de la recta.

Si la ponemos en esta forma: y - y0 = m(x - x0), decimos que está en forma punto-pendiente. En este caso m es la pendiente de la

recta; x0, y0 las coordenadas de un punto cualquiera de la recta.

Si la ponemos en esta forma: 1=+b

x

a

x decimos que está en la forma simétrica o

canónica. En este caso, a es la distancia desde el origen de coordenadas al punto donde la recta corta al eje x y b es la distancia desde el origen de coordenadas al punto donde la recta corta al eje y.

1.5.5.1. Ecuación de la recta que pasa por el orige n del sistema de

coordenadas cartesianas.

Toda recta que pasa por el origen del sistema de coordenadas está representada por una función de la forma y = mx o sea, una función de dos variables de primer grado, sin término independiente, en la que m es la pendiente de la recta.

1.5.5.2. Ecuación de la recta que no pasa por el or igen. Punto pendiente y conociendo dos puntos.

Si y es una función lineal de x, entonces el coeficiente de x es la pendiente de la recta. Por lo tanto, si la ecuación está dada de la siguiente manera:

y mx b= +

Entonces m es la pendiente.

Si la pendiente m de una recta y el punto (x0, y0) de la recta son conocidos, entonces la ecuación de la recta puede ser encontrada usando:

0 0( )y y m x x− = − Esta forma de escribir la ecuación de la recta se llama forma punto-pendiente de la ecuación.

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Cuando se conocen dos puntos la ecuación que se usa es la siguiente:

2 11 1

2 1

( )y y

y y x xx x

−− = −−

Y se le llama ecuación de la recta conociendo dos puntos . Ejemplo 1 . La recta con ecuación 3 5y x= + tiene pendiente 3 y pasa por el punto (0,5). Ejemplo 2 . De la ecuación 3 2 5x y− = despejamos y:

2 3 5y x− = − + 3 5

2 2y x

−= +− −

Por lo tanto la recta correspondiente tiene pendiente: 3

2

Una línea recta, que no pasa por el origen del sistema de coordenadas responde a una función de dos variables de primer grado con término independiente, o sea, tiene una forma:

y mx b= +

En la que b es una constante que representa la distancia que hay desde el origen hasta el punto de intersección de la recta con el eje de ordenadas y, constante que recibe el nombre particular de ordenada al origen. Figura 8

Figura 8. Representación en un plano de coordenadas cartesianas de una recta que no pasa por el origen.

39

1. La pendiente de la recta que pasa por los puntos (1,-3) y (4, 0) es:

13

3

)1(4

)3(0 ==−

−−=m

2. Podemos calcular la pendiente de la recta con ecuación 3 1y x= + determinando dos puntos en la recta y luego usando la

fórmula de la pendiente. Podemos obtener dos puntos en esa recta sustituyendo en su ecuación cualesquiera dos valores de x y determinando los correspondientes valores de y. Si x = 0, y = 3(0) + 1 = 1, y por lo tanto el punto (0, 1) está en la recta. Similarmente determinamos que el punto (2, 7) también está en la recta. Entonces la pendiente está dada por:

32

6

)0(2

)1(7 ==−−=m

3. Halla la ecuación de la recta que tiene pendiente m = 3 e intersecta b = 10.

Solución : Para ello hallamos la ecuación de la recta, esto es,

y mx b= + .

Usando la información que se nos brinda:

m = 3 y b = 10, sustituimos en la ecuación

3 10y x= +

La ecuación de la recta que pide el ejercicio es 3 10y x= + .

40

4. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 2) y tiene pendiente m = - 5.

Solución : Hallamos la ecuación de la recta, esto es, y mx b= + .

Del enunciado del ejercicio sabemos que: m = - 5 y sustituimos en la ecuación:

5y x b= − +

Ahora para buscar n usamos el otro dato; la recta pasa por el punto (1, 2), por lo tanto, ese punto es una solución de la ecuación que estamos buscando. Sustituimos esos valores de x = 1, y = 2 en la ecuación: 2 5(1) b= − +

Despeja la variable n en:

2 5(1) b= − +

2 5(1) b= − +

2 5(1) b+ =

b = 7

Sustituimos entonces el valor de b que acabamos de hallar en la ecuación que estamos buscando: 5 7y x= − +

La ecuación es 5 7y x= − + .

41

1.5.5.3. Ecuación general.

La ecuación 0Ax By C+ + = donde A, B, C son números reales y A, B no son simultáneamente nulos, se conoce como la ecuación general de primer grado en las variables x y y. La ecuación explícita de la recta cuando se conocen dos puntos excluye las rectas paralelas al eje y, cuyas ecuaciones son de la forma x=constante, pero todas las rectas del plano, sin excepción, quedan incluidas en la ecuación 0Ax By C+ + = que

se conoce como: la ecuación general de la línea recta, como lo afirma el siguiente teorema: Teorema : La ecuación general de primer grado 0Ax By C+ + = , donde A, B, C ∈ R; A y B no son simultáneamente nulos, representan una línea recta.

1.5.6. Aplicaciones de la ecuación de la recta.

Las ecuaciones de la recta son ecuaciones de primer grado y tienen muchas aplicaciones. Por ejemplo para la administración, oferta, demanda, ingreso, costos, para la temperatura del cuerpo humano y muchas más.

42

1. Luisa fue al supermercado como cada quincena y notó algo raro en su cuenta. Resulta que compró 3 bolsas de frijol y según sus cálculos pagaría menos. Al llegar a la caja le cobraron las 3 bolsas más $4.50 pesos de IVA. En total pagó $34.50 pesos, ¿podrías decir cuánto costó cada bolsa de frijol?

Solución:

Comencemos asignando variables, llamemos T al total en pesos que pagó Luisa. Diremos que C es el costo de cada

bolsa de frijol. Sabemos que compró 3 bolsas; por lo tanto, debemos multiplicar por 3 el costo de la bolsa de frijol, además debemos sumar los $4.50 pesos que pagó por el IVA.

En resumen, los datos son:

T= Pago total = $34.50 C=Costo por bolsa=? m=número de bolsas=3 b=IVA=$4.50

La ecuación es de la forma y mx b= + , la cual sustituiremos por las letras del ejercicio

anterior, quedando T mC b= +

3 4.5T C= +

Lo que acabamos de establecer es una ecuación de una recta donde C es la variable independiente y T la dependiente y se puede graficar en un eje cartesiano. La pendiente m es 3 y la ordenada al origen es 4.50. Si resolvemos la ecuación de primer grado obtenemos que 10C =

Respuesta: El costo de cada bolsa de frijol fue de $10 pesos.

43

2. Una empresa de zapatos pone a la venta cada par en $450.00. Determina el ingreso por vender 500 pares. Considera que el ingreso es igual al precio de cada par por la cantidad vendida.

Solución:

Primero establecemos la ecuación de la recta y le asignamos letras a cada elemento que interviene en ella, así:

I = Ingreso p = precio . q = cantidad de piezas vendidas.

Entonces. I pq= ; Sustituimos los datos y obtenemos la ecuación de la recta que es de la forma y mx= :

450I q=

Como sabemos la cantidad de pares vendidos (q) finalmente obtenemos el ingreso.

(450)(500)

225000

I

I

==

Respuesta: El ingreso por vender 500 pares es de $2 25,000.00. Es importante señalar que ésta ecuación del ingreso sirve para cualquier cantidad de zapatos que se venda con un precio de $450.00 que es la pendiente m.

44

3. Otra aplicación es para los costos totales de una empresa. Si se sabe que el costo por producir cada refacción de una televisión es de $7.00 y que los costos de luz, renta del local y otros servicios son de $5000. Obtener la ecuación de la recta y el costo total de producir 1000 refacciones de T.V. Considera que el Costo Total es la suma de los costos de producir cada pieza (variables) y los costos por todos los otros servicios (fijos).

Solución:

En primer término le asignamos letras a cada elemento, así:

C = Costo total

fC =Costos fijos, estos son de $5000.00

vC =Costos variables; estos son de $7.00 por pieza producida (q)

7vC q=

La ecuación de la recta del costo total es:

v fC C C= +

Sustituyendo los valores la ecuación de la recta es de la forma y mx b= +

7 5000C q= +

Por último, el costo de producir 1000 piezas es:

7(1000) 5000

12000

C

C

= +=

Respuesta: El costo total es de $12,000.00

45

1. Dos jóvenes quieren tender un cable desde la casa de uno de ellos a la del otro. Ambas casas se encuentran en esquina, si consideramos el parque de la colonia como el punto de referencia (0, 0), y tomamos las coordenadas en cuadras, determina la longitud del cable si la casa del primero está en la esquina (2, 3) y la del otro en la esquina (4, -1), ten en cuenta que la longitud de cada cuadra es de 50m.

2. Durante las fiestas patrias, se quiere adornar con tiras de colores que caigan de manera vertical hasta el suelo, sujetándolas de un cable que sube desde una altura de 5m hasta los 25m. La distancia de la primer tira hasta la última es de 10m, sobre la horizontal, si se desea colocar una tira cada cierto intervalo sobre la horizontal, ¿podrías escribir una ecuación que le permitiera al trabajador calcular la longitud de cada tira en función de su posición horizontal? (Sugerencia: coloca como origen de tu sistema de coordenadas el punto donde la tira más corta toca el piso y expresa x y y en metros).

3. Un avión asciende 900m mientras se desplaza 500m de manera horizontal, ¿con qué ángulo de inclinación está subiendo?

4. En un balneario se quiere construir un tobogán recto con un ángulo de inclinación de 40°, que empiece a descender desde u na altura de 20m y que termine a 2m del piso, ¿qué espacio horizontal se requiere para el tobogán?

5. La siguiente ecuación, describe la recta que traza un tensor que sujeta un poste a una orquilla en el piso:

14 3y xm m

+ =

Determina la longitud del tensor. (Sugerencia: considera que el amarre con el piso corresponde al punto donde la recta corta al eje horizontal y que el amarre con el poste, es el punto donde la recta corta al eje vertical).

46

6. La ecuación para convertir la temperatura de grados Centígrados a grados Fahrenheit, tiene la forma de la ecuación de una recta:

1.8 32F CT T= + Si la escribes en la forma simétrica, puedes obtener fácilmente cuál es la

temperatura Fahrenheit a 0°C y la temperatura Centí grada a 0°F.

7. Un técnico telefónico quiere tender un cableado manteniendo todos los cables paralelos. El primer cable lo tiende con un ángulo de 20° a una altura de 6m del piso. Si ponemos el origen de un sistema de coordenadas en la base del primer poste, escribe una ecuación que le permita determinar a qué altura se debe sujetar el cable en función de la distancia entre postes, así mismo, escribe la ecuación para un cable cuya altura inicial sea de 8m.

8. La ecuación que permite determinar la velocidad de un avión en cualquier tiempo, cuando se acelera a una razón constante, tiene la forma de la ecuación de una recta:

1 0v at v= + donde: a es la aceleración, t el tiempo y v0 y v1 son las velocidades inicial y final

respectivamente. Si su velocidad inicial es de 4m/s y alcanza una velocidad de 14m/s en 30s, ¿cuál será la forma de la ecuación de la velocidad en función del tiempo?

9. Un barco se desplaza con una velocidad constante de 30 Km/h y su posición en t0 = 0 es de 50 Km; por ello, una expresión de su posición en función del tiempo tiene la forma de la ecuación de una recta, de la siguiente manera:

1 30 50Km

x t Kmh

= +

¿En cuánto tiempo alcanzará al barco una lancha rápida que se desplaza a 90 Km/h, si su posición inicial era de -20Km?

47

10. Sobre una cartografía marina se determina que la posición de un portaaviones está dada según la siguiente expresión:

1 10.64 800y x Km= − En qué punto se interceptará con un submarino cuya posición está dada por la

siguiente expresión:

1 10.25 200y x Km= +

11. Una persona quiere cambiar un foco que se encuentra a 1m de distancia de la pared y a 6m de altura con respecto al piso, para ello, coloca una escalera apoyada a 2m de la pared y a una altura de 5m contra la pared, ¿cuál será la distancia más corta entre la escalera y el foco? (Sugerencia: encuentra la ecuación de la recta que forma la escalera tomando como origen el punto de apoyo en el piso, con este mismo origen escribe las coordenadas del foco y calcula la distancia de una recta a un punto).

12. Dos cuerdas sujetas desde el piso a un poste, se cruzan entre sí y se desea colocar una malla entre las dos cuerdas, sin embargo, por simplicidad se trata de determinar el ángulo entre ellas para cortar la malla a la medida. De la base del poste a la primera cuerda hay una distancia de 4m y a la segunda cuerda la distancia es de 2.5m, la primera cuerda se amarra al poste a una altura de 6m y la otra a 8.5m, ¿cuál es el ángulo entre las cuerdas?

13. La expresión matemática de la segunda Ley de Newton, tiene la forma de la ecuación de la recta. Si consideramos la masa como una constate, entonces corresponderá a la pendiente; la aceleración sería la variable horizontal y la fuerza la vertical. Escribe la expresión de la segunda Ley y explica qué significa que la ordenada al origen sea cero. Respuesta: F ma= , si no hay aceleración, no se está aplicando fuerza.

14. Halla la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son A(-2, 5) y B(4, -3).

15. Determina la pendiente de la recta que pasa por los puntos (-3, -2) y (4, -1).

48

16. Halla la pendiente y el intercepto en y de las rectas correspondientes a cada una de las siguientes ecuaciones:

a) y = −3x + 2 b) y = 5 − x c) y = 2x d) y = 1+ x/ 3 e) x − 2y = 8

17. Halla la pendiente del segmento de recta cuyos extremos son los puntos (0, -2) y (3, -4).

18. Halla la ecuación de la recta que pasa por los dos puntos A (4, 2) y B (-5, 7)

19. Las coordenadas de un punto P son (2, 6), y la ecuación de una recta L es 4x + 3y = 12.

20. Encuentra el punto de intersección de las rectas: 7 1y x= − y 4 4y x= − + .

21. Escriba la ecuación la recta que pasa por el punto (– 1, 3) y cuya

pendiente es 2

5− .

22. Determina la ecuación de la recta que contiene el punto (– 2, – 1) y que es paralela a la recta cuya ecuación 2 1y x= − + .

23. Encuentra la ecuación de la recta que contiene al punto (6, – 7) y es perpendicular a la recta 2 5 3 0x y− + = .

24. Escribe la ecuación de la recta que pasa por (8, -2) y que es perpendicular a la recta 5 3 7x y− = .

49

25. Indica si son verdaderos o falsas las siguientes afirmaciones:

a) El punto p (0, 0) pertenece a la recta 3 4 0x y+ = . b) 2 1 0x − = es paralela al eje x. c) 2 5 0y + = , es paralela el eje y. d) El punto M (-1, 3) pertenece a la recta 2 3 7 0x y+ − = . e) Las rectas 2 0x y− + = y 2 2 4 0x y− + = son paralelas. f) Las rectas 2 3 1 0x y− − = y 2 2 0x y+ + = no son perpendiculares.

50

UNIDAD 2 Las cónicas. Propósito: Aplicarás los principales modelos matemá ticos de las cónicas en la solución de problemas.

51

En la vida cotidiana nos encontramos rodeados de una serie de elementos

geométricos tales como las circunferencias. Sin embargo, el hombre tardó mucho

tiempo en inventar la rueda, la cual, como sabemos, tiene múltiples aplicaciones; sólo

hay que observar las llantas y el volante de un coche o los diversos utensilios del

hogar para apreciar su utilidad.

La parábola es una curva cónica que tiene múltiples aplicaciones en la construcción de

instrumentos de óptica como espejos y lentes; también en todos los aparatos que

incluyen estos elementos: telescopios, cámaras fotográficas y de video, binoculares,

entre otros.

Tener conocimiento acerca de las cónicas es de gran importancia debido a su

conexión con el mundo real. Durante mucho tiempo se creyó que el Sol y las estrellas

giraban alrededor de la Tierra; sin embargo, a partir de los estudios efectuados por

Kepler (1571-1630), sabemos que los planetas se mueven alrededor del Sol en órbitas

elípticas, y que éste se encuentra en un foco de la elipse.

El conocimiento de la hipérbola tiene gran importancia en el estudio de la trayectoria

de los cometas; cuando entran del espacio exterior al espacio gravitacional solar

siguen una trayectoria hiperbólica alrededor del Sol, el cual como ya se mencionó, se

encuentra localizado en uno de los focos.

52

53

1. Usarás las ecuaciones de la circunferencia en la solución de problemas prácticos.

2.1. La circunferencia. 2.1.1. Elementos de la circunferencia. 2.1.2. Ecuación normal de la circunferencia. 2.1.3. Ecuación general de la circunferencia.

54

Las secciones cónicas, también llamadas cónicas, se

obtienen cortando un cono circular recto doble con un plano. Al cambiar la posición del plano se tiene un círculo, una elipse, una parábola o una hipérbola. Se dice que la cónica está en posición centrada, si sus ejes principales, coinciden con los ejes coordenados; en tal caso, su ecuación cartesiana recibe el nombre de ecuación canónica: Cada una de estas curvas se describirá como un lugar geométrico y se demostrará que cada una de ellas es la gráfica de una ecuación cuadrática en x o y, que se puede representar como caso especial de la ecuación general siguiente:

2 2 0Ax Bxy Cy Dx Ey F+ + + + + =

En la cual los coeficientes A, B y C no son todos cero.

55

2.1. La circunferencia.

De las cuatro curvas cónicas, la circunferencia es la más simple. Geométricamente

la circunferencia se describe como la intersección de un cono recto circular y un plano paralelo a la base del cono.

DEFINICIÓN. La circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que participan de la propiedad de equidistar de un punto fijo llamado centro.

2.1.1. Elementos de la circunferencia.

O = centro de la circunferencia. OA OB OC= = = radio de la circunferencia. AB = diámetro de la circunferencia.

1L = recta tangente a la circunferencia.

2L = recta secante a la circunferencia.

DE = cuerda de la circunferencia.

Figura 9. Elementos de la Circunferencia

56

Con estos elementos, en la circunferencia, se pueden trazar ángulos que son muy importantes en su aplicación. Estos tienen una relación con los arcos que forman: a) ángulo formado por dos radios. Relación entre el ángulo y el arco:

�ABα =

b) Angulo formado por dos cuerdas Relación entre el ángulo y el arco:

c) Los dos ángulos anteriores en una misma circunferencia

Relación entre los ángulos: 2α β=

57

d) Angulo formado por dos cuerdas Medida del ángulo α

e) Varios ángulos inscritos formando el mismo arco Relación entre los ángulos: α β δ= =

f) Ángulo formado por dos

secantes� �

2

AC BDα −=

Medida del ángulo a

58

g) Ángulo formado por dos tangentes

Medida del ángulo a:

� �

2

ACB ADBα −=

h) Ángulo formado por una cuerda y una

tangente

Medida del ángulo a: �

2

ABα =

i) Ángulos que forma una semicircunferencia Medida del ángulo α: α = 90°

59

j) Ángulo formado por una secante y una tangente

Medida del ángulo α :� �

2

AC ABα −=

k) Arcos formados por rectas paralelas que cortan a una circunferencia. Relación entre arcos

� �AB CD=

l) Ángulos opuestos de un cuadrilátero inscrito:

Relación entre ángulos:

180ºα β+ =

60

2.1.2. Ecuación normal de la circunferencia.

Para deducir la ecuación de esta curva, cuyas características geométricas son

bien conocidas, supondremos que el centro es el punto C (h, k) y que el radio es una constante r, como se muestra en la Figura 3.

Figura 10. Circunferencia de centro C y radio r. Sea M(x,y) un punto cualquiera de la circunferencia con centro en C(h, k) y radio igual a r. Por definición, el radio es una constante, por lo que la condición de movimiento de M es: MCsuuur

= Constante = r (1) Aplicando la fórmula de la distancia entre dos puntos, tenemos:

2 2( ) ( )MC x h y k= − + −suuur

Sustituimos en (1):

2 2( ) ( )x h y k r− + − = Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad, nos queda:

2 2 2( ) ( )x h y k r− + − = Esta es la ecuación común de la circunferencia, correspondiente a una ecuación cartesiana, cuyos parámetros, además del radio r, son la abscisa h y la ordenada k del centro, cuyas coordenadas deben tomarse siempre con signo contrario al que tenga en la ecuación.

61

2.1.3. Ecuación general de la circunferencia.

En muchos problemas se presenta desarrollada la ecuación de la

circunferencia, en cuyo caso interesa saber conocerla y poder determinar su centro y su radio. Ahora veremos la ecuación común.

2 2 2 2 22 2 0x hx h y xy k r− + + − + − = Esta ecuación no se altera si ambos miembros se multiplican por la constante A.

2 2 2 2 22 2 0Ax A hx Ah Ay A xy Ak Ar− + + − + − = Dado que: -2Ah, -2Ak y 2 2 2( )Ah Ak Ar+ − son constantes, podemos escribir la ecuación como:

2 2 0Ax Ay Dx Ey F+ + + + = En donde: D = -2Ah E = -2Ak F = 2 2 2 2 2 2( )Ah Ak Ar A h k r+ − = + − Entonces conociendo los valores de D, E, y F, se pueden encontrar las coordenadas del centro y la longitud del radio de una circunferencia.

62

Análisis de la ecuación. Podemos hacer el siguiente análisis.

1. Una ecuación con dos variables de segundo grado representa una circunferencia si los coeficientes de x y y son iguales y del mismo signo.

2. Si la ecuación contiene términos de primer grado, el centro está fuera del

origen. Si la ecuación carece de uno de los términos de primer grado, el centro está sobre el eje del sistema de nombre distinto al término faltante.

3. Si la ecuación no tiene término independiente, la circunferencia pasa por el

origen.

4. Observamos que el término rectángulo Bxy no existe, por lo que establecemos que B = 0.

63

1. Los extremos de un diámetro de la circunferencia son los puntos (-2, 3) y (4, -5). Halla la ecuación de la circunferencia.

Solución:

C= Centro es el punto medio

(-2 4) (3 -5),

2 2C

+ + =

( )1, 1C = −

r= radio = distancia entre dos puntos /2

22 ))3(5())2(4( −−+−−=dAB

Por lo tanto:

22 )35()24( −−++=dAB

22 )8()6( −+=dAB

64362 +=dAB

100=dAB 10=dAB

La ecuación de la circunferencia es:

100)1()1( 22 =++− yx

64

2. Determina la ecuación de una circunferencia que pasa por el punto P (1,0), sabiendo que es concéntrica a la representada por la ecuación:

2 2 2 8 13 0x y x y+ − − + =

Solución

La ecuación debe tener la forma dada por la fórmula 2 2( ) ( )x h y k r− + − = debiendo ser las coordenadas h y k del centro las mismas que la de la circunferencia dada y las calculamos llevando a la forma común la ecuación de la circunferencia conocida. Completando los trinomios cuadrados perfectos y reduciendo, tenemos:

2 2( 2 1 1) ( 8 16 16) 13 0x x y y− + − + − + − + =

2 2( 1) ( 4) 4x y− + − = De la expresión anterior encontramos que el centro es C (1,4), es decir h = 1 y k = 4. Como a2=4, entonces a = 2. El radio a de la circunferencia buscada se calcula como la distancia del punto P al centro C.

2 2(1 1) (0 4) 4a PC= = − + − = Por tanto, a2=16. Sustituyendo este valor y los de h y k en la fórmula

2 2( ) ( )x h y k r− + − = , encontramos la ecuación de la circunferencia pedida:

2 2( 1) ( 4) 4x y− + − =

65

3. Encuentra la gráfica y la ecuación ordinaria de la circunferencia, si el centro está en ( 2, 1)C − − y el radio es 4 .

Solución:

La ecuación ordinaria de la circunferencia con centro fuera del origen es 2 2 2( ) ( )x h y k r− + − = , entonces sustituimos en ésta las coordenadas del centro y el

valor del radio y obtenemos la ecuación:

2 2 2

2 2

( ( 2)) ( ( 1)) (4)

( 2) ( 1) 16

x y

x y

− − + − − =+ + + =

Para graficarla, identificamos el punto ( 2, 1)C − − , que es el centro de la circunferencia, enseguida trazamos la circunferencia de tal manera que cada punto de ésta tenga una distancia con respecto al centro de 4.

66

4. Obtén de la siguiente circunferencia su centro y el radio, así como su ecuación ordinaria.

Solución:

Centro: (3,5)C

Radio: 2r =

Ecuación ordinaria: 2 2( 3) ( 5) 4x y− + − =

67

5. Determina la ecuación ordinaria de la circunferencia con centro en 1 3

( , )2 5

C y

2r = y grafícala.

Solución:

Aplicando la forma ordinaria 2 2 2( ) ( )x h y k r− + − =

Obtenemos:

2 21 3

42 5

x y − + − =

Gráfica:

68

6. Obtén los elementos de la circunferencia cuya ecuación es:

2 22 3 4

5 4 9x y + + + =

Solución:

Centro:

2 3,

5 4C − −

Radio:

2

3r =

7. Ejercicio de Reflexión (YIN YANG)

La circunferencia es una de las figuras más usadas en la geometría. Quizá alguna vez has oído hablar del Yin Yang, Esta figura está diseñada con circunferencias, hablemos un poco más de esto. Dentro de la mitad de cada color hay un círculo menor del color opuesto en posición central, indicativo de que cada uno de los dos aspectos, en el punto culminante de su despliegue, lleva en gérmen a su opuesto polar para operar su transmutación. La próxima vez que veas el símbolo mídelo y obtén la ecuación de la circunferencia.

69

1. Se desea construir un circunferencia con focos para simular un reloj. Por simplicidad se determinan las posiciones de los focos midiendo longitudes a partir de una referencia en el piso, ubicados desde ese punto. El centro se encuentra en la posición (2m, 3.5m) y un punto de la circunferencia elegido al azar, tiene la posición (2.5m, 4m). Escribe una ecuación que nos dé la posición en términos de la distancia horizontal.

2. Por cuestiones de diseño, un arquitecto necesita construir una circunferencia. Sobre su restirador tiene un cuadriculado para ubicar las posiciones geométricas

y sabe que el origen del círculo debe estar en (-4, -2) y ser tangente a la recta que

cumple con la siguiente expresión: 4

23

y x= − + . Determina el radio de la

circunferencia. (Sugerencia: escribe la ecuación de la recta en forma general y calcula la distancia de una recta a un punto).

3. Determine la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C(5, -3) y su radio 19.

4. Una circunferencia tiene su centro en el punto C(-2,1) y es tangente a la recta: 4 3 12 0x y− − = . Determina su ecuación en las formas ordinaria y general.

5. Determinar la ecuación, centro y radio de la circunferencia que pasa por los puntos A (-2, 2), B (4, 1) y C (1, -6).

6. Determina el centro y el radio de la circunferencia de ecuación x2 + 10y – 2x + y2 –10= 0

7. Escribir la ecuación de la circunferencia que:

a) tiene centro (-3; 5) y radio 3 b) tiene centro en el origen y radio igual a 2 c) tiene centro en el punto (7; -6) y que pasa por el punto A(2; 2) d) tiene centro en (-2;5) y es tangente a la recta x = 7 e) tiene centro en (-3; 5) y es tangente a la recta 12x + 5y – 4= 0

70

8. Dada la siguiente circunferencia x2 + y2 +2x – 3= 0, halla los puntos de intersección con los ejes x e y.

9. Halla la ecuación de la circunferencia cuyo centro es C (-3, 4) y radio r = 5.

10. Encuentra el centro y radio de la circunferencias representadas por las siguientes ecuaciones:

a) x2 + y2 – 16x + 2y + 65= 0 b) 36x2 + 36y2 + 24x + 72y + 41=0

11. Halla centro y radio de la circunferencia 3x2 + 3y2 + 6x − 12y − 12 = 0.

71

2. Usar las ecuaciones de la parábola en la solució n de problemas prácticos.

2.2. Parábola. 2.2.1. Elementos de la parábola. 2.2.2. Parábola vertical.

2.2.2.1. Con vértice en el origen. 2.2.2.2. Con vértice fuera del origen.

2.2.3. Parábola horizontal. 2.2.3.1. Con vértice en el origen. 2.2.3.2. Con vértice fuera del origen.

2.2.4. Ecuación general. 2.3. Aplicaciones de las ecuaciones de la parábola.

72

2.2. Parábola.

La parábola, se describe geométricamente como la

curva que resulta al interceptar un cono recto circular y un plano paralelo a la generatriz del cono. Figura 11

Figura 11. Parábola DEFINICIÓN: La parábola es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que participan de la propiedad de equidistar de un punto fijo llamado foco y de una recta fija, que no pasa por el punto, llamada directriz.

2.2.1. Elementos de la parábola.

F es el punto fijo llamado foco , a la recta fija llamada directriz la representaremos como D D'. La distancia entre el foco y la directriz es p, en donde p > 0. V es el vértice de la parábola y es el punto de la parábola que coincide con el eje focal. La línea recta que divide simétricamente a la parábola en dos ramas y pasa por el vértice es el eje focal (EF). La recta perpendicular a la directriz y que pasa por el foco y por el punto de la parábola llamado vértice (V), se llama eje de la parábola . La posición del eje determina la posición de la parábola . La parábola siempre es simétrica con respecto a su propio eje.

73

De acuerdo a la definición de la parábola , el punto medio entre la directriz y el foco pertenece al lugar geométrico y se llama vértice . Directriz de la parábola es la recta perpendicular al eje de la parábola y está a la misma distancia del vértice que el vértice del foco . Cuerda focal es la cuerda que pasa por el foco. El lado recto (LR) es la cuerda focal que es perpendicular al eje focal. Para ejemplificar lo anterior observamos la figura 12.

Figura 12 . Parábola horizontal con vértice en el origen.

2.2.2. Parábola vertical. 2.2.2.1. Con vértice en el origen.

A fin de obtener una ecuación sencilla para una parábola, consideremos F (0; p) como foco (p ≠ 0) y y = -p como directriz. Por la fórmula de la distancia, un punto P(x, y) está sobre la parábola si y sólo si d (P, F) = d (P, P´), esto es, si

2 2 2 2( 0) ( ) ( ) ( )x y p x x y p− + − = − + +

74

Elevando al cuadrado ambos miembros y simplificando:

2 2 2( ) ( )x y p y p+ − = +

2 2 2 2 22 2x y yp p y yp p+ − + = + +

2 4x py=

Esta es la ecuación de la parábola vertical en su forma ordinaria o canónica. La ecuación de la directriz es:

x p= − . Una ecuación equivalente es:

2

4

1x

py =

La orientación del eje de la parábola la da el elemento que no esté al cuadrado; así una parábola en la que el elemento al cuadrado es x, quiere decir que su eje es

paralelo al eje y. El signo del eje focal indicará hacia dónde se abre la parábola (positivo: hacia arriba o derecha, negativo: hacia abajo o izquierda)

75

En resumen:

La ecuación de la parábola es:

Con vértice en el origen y eje de simetría sobre el eje y : 2 4x py=

Coordenadas del vértice (0,0)V

Coordenadas del foco ( ,0)F p

Ecuación del eje focal EF: 0x =

Ecuación de la directriz D:

y p= −

Cuando p es positivo, la parábola abre hacia arriba.

Cuando p es negativo, la parábola abre hacia abajo.

76

1. Encuentra el foco de la parábola 21

6y x= − . Para ello

observa que tiene la forma 2y ax= con a = -1/6. Como

vimos anteriormente 1

4a p= , entonces

2

3

6

41

)6

1(4

1

4

1 −=−

=−

==a

p

De esta forma, la parábola abre hacia abajo y tiene foco F (0, -3/2). La directriz es la recta horizontal y = 3/2.

77

2.2.2.2. Con vértice fuera del origen.

La ecuación de la parábola es:

Con vértice fuera del origen y eje de simetría para lelo al eje y

2( ) 4 ( )x h p y k− = −

Coordenadas del vértice ( , )V h k

Coordenadas del foco ( , )F h k p+

Ecuación del eje focal E.F.: x h=

Ecuación de la directriz D: y k p= −

Cuando p es positivo, la parábola abre hacia arriba.

Cuando p es negativo, la parábola abre hacia abajo

Una ecuación de segundo grado en las variables x y y que carezca del término xy

puede escribirse de la forma: 2 2 0Ax Cy Dx Ey F+ + + + =

Si 0, 0A C= ≠ y 0D ≠ , la ecuación representa una parábola cuyo eje es paralelo a (o coincide con) el eje x .

Si 0, 0A C≠ = y 0E ≠ la ecuación representa una parábola cuyo eje es paralelo a (o coincide con) el eje y .

78

2.2.3. Parábola horizontal. 2.2.3.1. Con vértice en el origen.

La ecuación algebraica que describe la parábola se encuentra expresada en

función de la posición geométrica de los elementos que la conforman, así como de la orientación propia de la misma, resultando en una ecuación característica de cada caso particular. Para simplificar la forma de obtener la ecuación antes mencionada trabajaremos con la parábola cuyo vértice está en el origen, su eje focal coincidiendo con el eje de las x y cuyas ramas se abren hacia la derecha. De acuerdo a la definición de parábola, la distancia entre un punto “ p” cualquiera de coordenadas (x, y ), y el foco “ F” será igual a la distancia existente entre la directriz (d) y dicho punto. Las coordenadas del foco son F (p, 0) y la ecuación de la directriz es x = -p. Figura 13.

Figura 13 . Representación de un punto P(x, y) en una parábola horizontal. Aplicando la fórmula de la distancia entre dos puntos:

2 2( )x p y x p− + = +

79

Elevando al cuadrado y desarrollando:

( )22 2 2( ) ( )x p y x p− + = +

2 2 2 2 22 2x px p y x px p− + + = + +

Simplificando términos semejantes y reordenando la expresión tenemos que:

2 4y px= Esta es la ecuación de la parábola horizontal en su forma ordinaria o canónica.

80

Análisis de la ecuación. Considerando totalmente desconocida la forma de la curva, así como su posición y sus características principales debemos analizar la ecuación 2 4y px= . Para obtener ese conocimiento conviene despejar a cada una de las variables de la ecuación, por lo que:

4y px= ± ecuación (a)

21

4x y

p

=

ecuación (b)

El análisis de la ecuación sería:

1. Saber si la curva es simétrica o asimétrica. La ecuación (a) demuestra que la curva es simétrica con relación al eje de las abscisas, porque para un valor de x se obtienen dos valores de y iguales y de signos contrarios. En cambio, la curva es asimétrica con relación al eje de las ordenadas, porque según la ecuación (b) para cada valor de y sólo se obtiene un valor de x.

2. Determinar los puntos de intersección de la curva con los ejes de coordenadas.

Si x=0, resulta y=0, lo cual significa que el único punto común de la curva con los ejes es el origen de coordenadas.

3. Determinar las zonas donde existe y donde deja de existir la curva. La ecuación

(a) permite ver que cuando el parámetro p es positivo, la variable x sólo debe recibir valores positivos porque de otro modo los de y resultan imaginarios. Esto significa que, cuando p>0, la curva solamente existe a la derecha del origen del sistema y la región izquierda es zona imaginaria de la parábola. En cambio, si p<0, la ecuación solamente existe a la izquierda del origen del sistema.

4. Investigar si la curva es abierta o cerrada. La misma ecuación (a) justifica que la

curva es abierta, porque si x aumenta indefinidamente, también y aumenta en la misma condición.

En ambos casos la ecuación es de la forma 2 4y px= y se dice que la parábola es horizontal con vértice en el origen.

81

En resumen: La ecuación de la parábola es:

Con vértice en el origen y eje de simetría sobre el eje x : 2 4y px=

Coordenadas del vértice (0,0)V

Coordenadas del foco ( ,0)F p

Ecuación del eje focal EF: 0y =

Ecuación de la directriz D: x p= −

Cuando p es positivo, la parábola abre hacia la derecha.

Cuando p es negativo, la parábola abre hacia la izquierda.

82

2.2.3.2. Con vértice fuera del origen.

La ecuación de la parábola es:

Con vértice fuera del origen y eje de simetría para lelo al eje x

2( ) 4 ( )y k p x h− = −

Coordenadas del vértice ( , )V h k

Coordenadas del foco ( , )F h p k+

Ecuación del eje focal EF: y k=

Ecuación de la directriz D: x h p= −

Cuando p es positivo, la parábola abre hacia la derecha.

Cuando p es negativo, la parábola abre hacia la izquierda.

83

2.2.4. Ecuación general. Parábola con vértice en h, k y eje paralelo respectivamente al eje x o al eje y:

2( ) 4 ( )y k p x h− = −

2 22 4 4y ky k px ph− + = −

En donde D= -4p E= -2k F= k2 + 4ph

2 0y Dx Ey F+ + + =

En general, para cualquier parábola (con eje paralelo al eje x) de vértice (h,k) se tiene que su ecuación principal es:

2( ) 4 ( )y k p x h− = −

De esta manera, el vértice pasa de (0,0) a (h, k) Elevando al cuadrado el lado izquierdo de la ecuación anterior y simplificando, nos lleva a una ecuación de la forma:

2x ay by c= + + De la igual forma si tenemos:

2( ) 4 ( )x h p y k− = −

podemos escribir la ecuación de la forma:

2y ax bx c= + + El signo de 4p indica la dirección de la apertura de la parábola, abre a la derecha si p > 0, o la izquierda si p < 0. Longitud del lado recto. Procediendo de una manera similar a la empleada para la deducción de la ecuación anterior, podemos enseguida deducir una formula que nos permita calcular la longitud del lado recto

Para ello partimos de la ecuación

2 4y px= −

84

Y sustituyendo x por –p se obtiene:

2 24y p= −

Extraemos raíz cuadrada en ambos miembros, y obtenemos:

2y p= ± Las coordenadas de los extremos del lado recto son entonces (-p, 2p) y (-p, -2p) como se observa en la figura 14

Figura 14 . Lado recto de la parábola horizontal. Si calculamos la distancia entre los extremos del lado recto, resulta:

2 ( 2 )LR p p= − −

(2 2 )LR p p= +

entonces:

4LR p=

2 4 ( )y p p= − −

85

1. Analicemos la gráfica de 22 8 22x y y= + + . Observemos que el término al cuadrado es en y, por tanto, estamos en presencia de una parábola horizontal. Escribimos la ecuación dada de la forma:

2 8 __ 2 22 __y y x+ + = − +

y luego completamos el cuadrado al sumar 162

82

=

a

ambos lados:

2 8 16 2 6y y x+ + = −

2( 4) 2( 3)y x+ = −

De esta manera, el vértice V (h, k) es V (4, -3) Observemos también que 4p = 2 o lo que es lo mismo p = ½. Esto da que el foco es F

1 7( , ) 3 , 4 ,4

2 2h p k F F

+ = + − =

Finalmente la directriz es x = h – p = 3 – ½ = 5/2

86

Ubicando la parábola para que el foco esté sobre un eje cartesiano, hay 4 posibles parábolas que veremos a continuación. Caso 1: Cuando la parábola se extiende en el sentido positivo del eje de las abscisas X

Figura 15

En este caso la ecuación de la parábola es: y2 = 4px La ecuación de la directriz es x + p =0

87

Caso 2: Cuando la parábola se extiende en el sentido positivo del eje de las ordenadas y

Figura 16

En este caso la ecuación de la parábola es: y2 = -4px La ecuación de la directriz es x - p =0

88

Caso 3: Cuando la parábola se extiende en el sentido positivo del eje de las ordenadas y Figura 17.

Figura 17

En este caso la ecuación de la parábola es: x2 = -4py La ecuación de la directriz es y + p =0

89

Caso 4: Cuando la parábola se extiende en el sentido negativo del eje de las ordenadas Y. Figura 18.

Figura 18

En este caso la ecuación de la parábola es: x2 = -4py La ecuación de la directriz es y - p =0

90

1. Halla la ecuación de la parábola que tiene su foco en F (2,0) y su dirección DD es la recta de ecuación x = -2.

Solución: Trazamos la gráfica de acuerdo a los elementos dados:

De acuerdo a la definición, un punto:

PF = FD Pero:

2 2( 2)PF x y= − +

2( 2)PD x= +

Luego, 2 2 2( 2) ( 2)x y x− + = +

Elevando al cuadrado ambos miembros obtenemos:

2 2 2( 2) ( 2)x y x− + = +

2 2 24 4 4 4x x y x x− + + = + +

De donde y2 = 8x es la ecuación de la parábola pedida.

91

1. Halla la ecuación de la parábola de vértice V = (3, 4) y foco F (6,4) Solución: Si V = (3, 4) y F (6,4) entonces, p es la distancia de V a F será:

2 2 2 2(6 3) (4 4) 3 0p = − + − = +

3p = La parábola está abierta hacia la derecha por tanto p = 3 > 0 Así la ecuación de la parábola es:

2( 4) 4(3)( 3)y x− = −

2 8 16 12 36y y x− + = −

2 12 8 52 0y x y− − + =

3. Encuentra el foco y la ecuación de la directriz de la parábola 22 8 24 56 0y x y− − + = . Solución:

22 8 24 56 0

2

y x y− − + =

2 4 12 28 0y x y− − + =

2 12 4 28y y x− = −

Completamos el cuadrado y entonces:

2( 6) 36 4 28y x− − = −

2( 6) 4 8y x− = +

2( 6) 4( 2)y x− = + Entonces el vértice es V (-2,6) Como 4p = 4, p = 1 > 0

92

Foco: = (-2 + p, 6) = (-1,6) Las coordenadas del foco son F (-1,3) Directriz: x = -2 –p = -3. La ecuación de la directriz es x = -3 Con estos datos representamos la parábola

93

1. Halla la ecuación de la parábola con foco P = (2,-1) y directriz el eje y = 0.

2. Determina la ecuación de la parábola cuyo vértice es el punto V (6, 4) y cuyo foco es el punto F (6, 2), determina también la ecuación de su directriz, y la longitud del lado recto.

3. Encuentra la ecuación de la parábola en su forma general, sabiendo que las coordenadas de su foco

son F (4, .3) y la ecuación de su directriz es y =1.

4. Determina la ecuación de la parábola cuyo eje de simetría es paralelo al eje y y que pasa por los puntos (-2, 9), (0, 1) y (3, 4).

5. Calcula el foco y el vértice de la parábola de ecuación y2 = 6x

6. Calcula el foco y el vértice de la parábola de ecuación x2 = 6y

7. Dadas las siguientes ecuaciones de las parábolas, halla coordenadas de foco, vértice y directriz.

a) y = 2x2 b) y = x2 – 4x + 7 c) y = x2 + 4

8. Halla la ecuación de la parábola que tiene:

a) vértice en el origen y foco en el punto (4, 0) b) vértice en el origen y foco en el punto (0, 4) c) vértice en el origen y directriz de ecuación y – 2 =0 d) foco en el punto (0, -3) y directriz en la recta y = 3 e) vértice en el origen y cuyo eje coincide con el eje x y pasa por el punto (-

2, 4) f) vértice en el origen y cuyo eje coincide con el eje y, y pasa por el punto

(6;-3) g) vértice en el origen, se abre hacia arriba, y la longitud del lado recto es 3. h) vértice (1;3) y directriz x = 0 i) vértice (-3;5) y directriz y = 1

94

9. Dada la ecuación: x2 – 3x + 5y – 1 = 0, prueba que corresponde a una parábola. Halla vértice, foco, directriz y lado recto.

10. Determina la ecuación de la parábola en cada caso: a) El foco es el punto (5,0) y la directriz es x + 5 = 0 b) El vértice es (-2,2) y su directriz la recta y = -3 c) Vértice (2,1), extremos del lado recto (-1,-5) y (-1,7) d) Vértice (-2,3), Foco (-2,4)

11. Dada la parábola que tiene por ecuación x2

= -6y, encuentra las coordenadas del vértice, del foco y la ecuación de la directriz.

12. Encuentra los elementos de las parábolas: a) y2 – 12x = 0 b) x2 + 6y = 0 c) x2 – 12x + 4y + 12 = 0 d) 2y2 – 8x – 8y – 32 = 0

95

2.3. Aplicaciones de la ecuación de la parábola.

Las parábolas se aplican en cálculo de trayectorias, lanzamiento de clavados, diseño de fuentes, puentes muy largos (como el Golden Gate), diseño de antenas parabólicas y también en construcciones arquitectónicas como los arcos de la base de la Torre Eiffel.

96

1. Una persona se encuentra en un edificio de 20 metros de altura. La persona lanza hacia arriba y hacia delante una piedra a una velocidad de 15 metros por segundo en el eje y. La piedra sigue una trayectoria representada en la

ecuación: 2( ) 5 15 20y t t t= − + +

a) Determina el tipo de parábola que se produce y elabora la gráfica que represente el evento.

b) Determina qué altura alcanza la piedra en 2.5 segundos.

Solución:

De la expresión inicial, veamos los siguientes dos términos; éstos son más sencillos. Para el segundo término el coeficiente es 15, la variable es t, y el grado es 1. El tercer y último término tiene coeficiente igual a 30. La variable es t, pero no se visualiza porque el exponente es 0. Para nuestro caso vemos que el mayor exponente es 2. Por lo tanto el grado del polinomio es 2 o sea una Parábola.

a) Por el signo menos del término cuadrático de la ecuación, podemos determinar que es una parábola vertical que abre hacia abajo.

Elaborando la gráfica obtenemos que:

b) La altura que alcanza en 2.5 segundos es:

Trayectoria= 25 15 20t t− + +

Sustituyendo:

Trayectoria= 25(2.5) 15(2.5) 20− + +

Altura= 26.25m

97

2. Clavadista. Una persona se lanza desde una altura de 10 m, y necesitamos saber en qué momento toca el agua. Solo conocemos que la expresión de su trayectoria

es: 25 5 10t t− + +

Solución:

Si observamos la trayectoria del clavadista, podemos decir que la persona toca el agua en t segundos y medirlo con un cronómetro. Pero ¿qué tal si no tenemos un cronómetro y tampoco tenemos la figura? La trayectoria es una parábola cóncava hacia abajo por el signo menos del primer término de la ecuación que es -5. Debemos buscar una forma para encontrar el valor de t que nos indique en qué momento el clavadista toca el agua. Utilizaremos la fórmula general. Esta es una ecuación de la

forma: 2 0ax bx c+ + = la cual representa una Parábola.

De la ecuación que define la trayectoria del clavadista:

25 5 10t t− + +

tenemos que:

5

5

10

a

b

c

= −==

98

Ahora los sustituiremos en la fórmula general y tenemos

2 4

2

b b acx

a

− ± −=

25 5 4( 5)(10)

2( 5)t

− ± − −=−

5 25 400

10t

− ± +=−

5 625

10t

− ±=−

5 15

10t

− ±=−

Finalmente tenemos dos valores, cuando 15 es positivo y cuando 15 es negativo:

1 1t = − 2 2t =

Respuesta: Se usa sólo el valor positivo del tiempo y se tiene que el clavadista tarda 2 segundos en tocar el agua después de lanzarse.

99

3. Parabólicas. Las antenas receptoras de las señales de radio y televisión tienen forma parabólica para así, concentrar las débiles señales que le llegan al foco (el foco, es el extremo de la línea que se encuentra en el vértice). La expresión matemática

para una de ellas es: 26 2400y x= − Determina el diámetro de la parábola.

Solución:

Podemos colocar la antena sobre un eje coordenado y establecer la ecuación cuadrática, para realizar operaciones. Colocamos la línea de la antena sobre el eje y, de manera que los extremos de la antena toquen el eje de la x.

26 2400y x= −

Como lo que buscamos conocer es el diámetro de la antena parabólica, necesitamos identificar la distancia entre los puntos que tocan el eje x. Para lograrlo, tenemos que encontrar esos puntos y medir la distancia entre ellos. Por lo tanto, debemos encontrar

para qué valores de la expresión anterior y es igual a 0, es decir 26 2400 0x − =

100

Despejamos x, obteniendo:

26 2400x = .

2 2400

6x =

2 400x =

400x =

1 20x = 2 20x = −

Analizando: ¿Cuál es el diámetro de la antena parabólica? O sea, la distancia entre los puntos que tocan el eje de las x si consideramos la figura. Lo que hasta ahora hemos encontrado son los puntos donde la antena toca al eje de las x, de manera que el diámetro está dado por las unidades que hay entre esos dos puntos.

Respuesta: El diámetro de la parábola es de 40 cm.

101

4. Un faro de automóvil tiene un reflector parabólico de 24 centímetros de diámetro y 8 centímetros de profundidad. ¿A qué distancia del vértice debe colocarse el bulbo luminoso?

Solución:

Colocamos los ejes cartesianos de manera que el vértice de la parábola esté en el origen y su eje coincida con el eje y. Entonces la ecuación de la parábola es:

2 4x py= Debemos determinar el valor de p , que es la distancia del foco al vértice.

Como el diámetro del faro es de 24 centímetros y éste tiene una profundidad de 8, los puntos (12,8) y (-12,8) están en la parábola. Sustituimos (12,8) en la ecuación de la parábola y despejamos p .

2(12) 4 (8)

144 32

144

324.5

p

p

p

p

==

=

=

Por lo que las coordenadas del foco son (0,4.5)F .

Respuesta: Se debe colocar el bulbo a 4.5 centímetros del vértice.

102

5. Los cables del tramo central de un puente colgante tienen la forma de una parábola. Si las torres tienen una separación de 240 metros y los cables están atados a ellas 80 metros arriba del piso del puente, ¿qué longitud debe tener el puntal que está a 50 metros de la torre? Suponga que el cable toca el piso en el punto medio del puente.

Solución:

La ecuación de la parábola es 2 4x py= . Debemos encontrar p. Como los puntos (120, 80) y (-120, 80) están en la parábola, resolvemos

2(120) 4 (80)

1440 320

45

p

p

p

==

=

obteniendo p = 5. Así que la ecuación de la parábola es 2 180x y=

Queremos encontrar ahora la segunda coordenada del punto de la parábola cuya primera coordenada es x = 70 (que es la diferencia de x = 120-50).

Resolvemos:

2(70) 180

4900 180

27.22

y

y

y

==

=

obteniendo:

27.22y = .

Respuesta : La altura del puntal que está a 50 m de la torre es de 27.22 m.

103

3. Usar las ecuaciones de la elipse en la solución de problemas prácticos.

2.4. Elipse. 2.4.1. Elementos de la elipse. 2.4.2. Elipse vertical.

2.4.2.1. Con centro en el origen. 2.4.2.2. Con centro fuera del origen.

2.4.3. Elipse horizontal. 2.4.3.1. Con centro en el origen. 2.4.3.2. Con centro fuera del origen.

2.4.4. Ecuación general. 2.5. Aplicaciones de las ecuaciones de la elipse.

104

2.4. La Elipse

Una elipse es la curva que se obtiene interceptando un cono circular recto y un plano: Si el plano está inclinado, no es paralelo a una de sus generatrices y corta a una sóla rama del cono, como se ve en la Figura 19.

Figura 19 . Elipse La generatriz de una superficie cónica es una recta fija en uno de sus puntos con uno de sus extremos describiendo una circunferencia plana. DEFINICIÓN: La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, participantes de la propiedad relativa: que la suma de sus distancias a dos puntos fijos del plano (los focos) sea una constante positiva. Los dos puntos son conocidos como focos de la elipse, mientras que la constante será representada por 2a

105

2.4.1. Elementos de la elipse.

La elipse es el lugar geométrico de los puntos, tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante positiva.

Los elementos de la elipse son los siguientes:

1F y 2F , representan los focos de la elipse.

La recta que pasa por los focos: eje focal .

Los puntos donde la curva interseca al eje focal, llamados vértices 1V y 2V de la elipse.

El segmento de la recta cuyos extremos son los vértices de la elipse es el eje mayor .

El punto medio del eje mayor, es el centro de la elipse.

El segmento perpendicular al eje mayor que pasa por el centro e intersecta a la elipse en los puntos 1B y 2B , se llama eje menor . Por lo tanto, 1B y 2B , son entonces los extremos dicho eje.

Cada uno de los segmentos del eje mayor, cuyos extremos son el centro de la elipse y los vértices (mitad del eje mayor), son el semieje mayor .

Cada segmento del eje menor, cuyos extremos son el centro de la elipse y los extremos del eje menor (mitad del eje menor), constituyen el semieje menor .

106

Podemos notar en la gráfica que siempre a b> .

La manera de medir el alargamiento de una elipse es por medio de su excentricidad, la cual se define como el cociente de la distancia focal entre el eje mayor.

ce

a=

Observa que como c a< , entonces 0 1e< < . De esta forma, cuanto más cerca esté la excentricidad a cero, la elipse se parecerá más a un círculo, y mientras más cerca esté de uno, más alargada será.

A fin de obtener una ecuación sencilla para una elipse, se debe escoger el eje x como la recta que pasa por los dos focos F y F´, con el centro de la elipse en el origen. Si F tiene coordenadas (c, 0) con c > 0, entonces, como en la figura siguiente, F´ tiene coordenadas (-c, 0) La suma de las distancias de un punto P (x, y) desde F y F´ se denotará con 2a.

Observando la figura anterior se tiene que: La condición de movimiento del punto P(x, y) , dada por la definición es:

' tan 2PF PF Cons te a+ = =suur suuur

107

Por la fórmula de la distancia entre dos puntos, lo anterior es equivalente a:

2 2 2 2( ) ( ) 2x c y x c y a− + + + + = Despejamos el segundo radical y obtenemos:

2 2 2 2( ) 2 ( )x c y a x c y− + = − + +

Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad tenemos:

( ) ( )2 22 2 2 2( ) 2 ( )x c y a x c y− + = − + +

( )2 2 2 2 2 2 2 2( ) 4 4 ( ) 2x c y a a x c y x xc c y− + = − + + + + + +

Desarrollando los términos al cuadrado y simplificando queda:

2 2 24 ( ) 4 4a x c y a xc+ + = + Dividiendo entre 4 obtenemos:

2 2 2( )a x c y a xc+ + = +

Volviendo a elevar al cuadrado ambos miembros obtenemos:

2 2 2 4 2 2 2a ((x + c) + y ) = a + 2 a cx + x c 2 2 2 2 2 2 2 2(a - c ) x + a y = a (a - c )

Desarrollando los términos al cuadrado y simplificando se tiene:

2 2 2 2 2 4 2 2ax + a c + a y = a + x c

La diferencia a2-c2, es constante y positiva, de tal manera que podemos representarla por b2, puesto que la letra b representa comúnmente una constante y el exponente 2 garantiza que es positiva, o sea:

2 2 2 2 2 2b x + a y = a b

Dividiendo por a2b2 donde b = a2 - c2, se obtiene la forma llamada simétrica o normal de una elipse.

108

2 2

2 21

x y

a b+ =

Graficando: Donde 2a es la longitud del eje mayor y 2b la longitud del eje menor.

Figura 20. Representación gráfica de una elipse.

109

Análisis de la ecuación.

Para hacer el análisis de la ecuación despejaremos x y y de la siguiente ecuación:

x ya b

2 2

2 2 1+ =

Por tanto:

2 2by = a - x

a± ecuación (a)

2 2a

x = b - yb

± ecuación (b)

1. La ecuación (a) permite ver que la elipse es simétrica con relación al eje de las abscisas, porque para cada valor de x, se obtienen dos valores de y iguales y con signos contrarios. Análogamente, la ecuación (b) demuestra que también hay simetría con relación al eje de las ordenadas. Consecuentemente con esto el origen es centro de simetría.

2. Si en la ecuación (b) hacemos y = 0, resulta: x = a± , de modo que los puntos

de intersección de la curva con el eje de las abscisas son:

A1 (-a, 0) y A2(a, 0)

Si en la ecuación (a) hacemos x = 0, resulta: y = b± , de tal manera que las intersecciones con el eje de las ordenadas son:

B1 (0, -b) y B2 (0, b)

3. La ecuación (a) permite ver que x solamente puede variar desde –a hasta +a porque afuera de estos valores los de y resultan imaginarios. Del mismo modo, la ecuación (b) justifica que y únicamente pueda variar desde –b hasta +b.

4. La curva es cerrada, lo que se deduce no solamente como consecuencia de la

simetría total existente.

110

Figura 21 . Elipse horizontal con vértice en el origen. Elementos

Y por tanto se dice que ésta es una elipse horizontal, con centro en el origen, cuyos elementos principales son los siguientes:

A1 y A2, vértices 1 2 2B B b=

suuur eje no focal

F´ y F, focos ' 2F F c=suuur

distancia focal

A1A2 = 2a eje focal 'QQsuuur

lado recto

C centro

Lado recto. El llamado Ancho Focal o Lado recto de la elipse es la magnitud del segmento de recta Q'Q perpendicular al eje mayor que pasa por los focos.

LR= Ancho focal = 22b

a

Excentricidad de la elipse.

Este es un concepto del cual depende la mayor o menor deformación que pueda experimentar una circunferencia para producir una elipse.

La excentricidad que se representa con la letra e, se define como el cociente de la semidistancia focal c entre el semieje mayor a:

111

Entonces podemos expresarla como:

;Excentricidad c

ea

=

Precisamente veremos que la excentricidad debe ser cualquier número mayor que cero pero menor que uno. Es decir: 1 > e > 0. En efecto, si e=0 forzosamente c = 0 y de la fórmula a2 – c2 = b2 se deduce que a = b, en cuyo caso la curva es una circunferencia, la que puede ser considerada como un caso particular de elipse con excentricidad nula. Ahora, si e = 1 es evidente que a = c y de la propia fórmula a2 – c2 = b2 resulta: b = 0, en cuyo caso la deformación ha sido total, de tal manera que la curva se ha convertido en línea recta. En consecuencia 1 > e > 0

2.4.2. Elipse vertical. 2.4.2.1. Con centro en el origen.

Si el centro de la elipse coincide con el origen del sistema de ejes de

coordenadas y los focos están en el eje y, con coordenadas F2 (0, c) y F1 (0,-c). Y aplicando los conocimientos anteriores tenemos que: Figura 22

112

Figura 22 . Elipse vertical con centro en el origen.

2 2 2 2(x + (c - y) + (x + (c + y) = 2a

Despejando el primer radical:

2 2 2 2(x + (c - y) = 2a - (x + (c + y) Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación, desarrollando y simplificando obtenemos:

2 2 24a (x + (c + y) = 4a + 4cy

Dividiendo por 4 ambos miembros llegamos a:

2 2 2a (x + (c + y) = a + cy

Elevando al cuadrado, desarrollando y simplificando de nuevo:

2 2 2 2 2 2 2 2a x + (a -c )y = a ( )a c−

Como vimos anteriormente 2 2b = a c− . Sustituyendo, dividiendo por

2 2 a b− y simplificando:

2 2

2 21

x y

b a+ =

Que es la ecuación común de la elipse vertical con centro en el origen. Figura 22.

113

En resumen:

La ecuación de la elipse:

Con centro en el origen y eje focal sobre el eje y : 2 2

2 21

x y

b a+ =

Coordenadas del centro (0,0)C

Distancia del centro de la elipse a cada foco

2 2c a b= −

Coordenadas de los focos 1(0, )F c y 2(0, )F c−

Coordenadas de los vértices 1(0, )V a y 2(0, )V a−

Coordenadas de los extremos del eje menor

1( ,0)B b y

2( ,0)B b− y

Longitud del eje mayor 2a

Longitud del eje menor 2b

Excentricidad c

ea

=

114

1. Considera la elipse con ecuación 2x2 + 9y2 = 18 y obtengamos las coordenadas de los focos. Para ello, escribimos la ecuación en la forma estándar.

2 2

19 2

x y+ =

De aquí se deduce que a = 3 y 2b = . Luego calculamos c a partir de la fórmula c2 = a2 – b2 obteniendo:

c2 = 9 – 2 = 7 o 7c = ±

Por lo tanto los focos de la elipse son: ( )7,0 y ( )7,0− .

2. Encuentra la ecuación de la elipse con vértices ( )4,0± y focos ( )2,0± . Para ello

usamos nuevamente la forma estándar.

2 2

2 21

x y

a b+ =

Donde a >0 Como los vértices son ( )4,0± , concluimos que a = 4. Análogamente, como los focos

son ( )2,0± , concluimos que c = 2. Luego, la fórmula c2 = a2 - b2 nos da

b2 = a2 - c2 = 16 - 4 = 12

De donde: 12b = ± . De esta forma la ecuación de la elipse tiene la forma explícita

2 2

116 12

x y+ =

115

2.4.2.2. Con centro fuera del origen.

CCCCon centro fuera del origen y eje focal paralelo al eje y :

2 2

2 2

( ) ( )1

x h y k

b a

− −+ =

Coordenadas del centro ( , )C h k

Distancia del centro de la elipse a cada foco

2 2c a b= −

Coordenadas de los focos 1( , )F h k c+ y 2( , )F h k c−

Coordenadas de los vértices 1( , )V h k a+ y 2( , )V h k a−

Coordenadas de los extremos del eje menor 1( , )B h b k− y 2( , )B h b k+

Longitud del eje mayor 2a

Longitud del eje menor 2b

Excentricidad c

ea

=

116

2.4.3. Elipse horizontal. 2.4.3.1. Con centro en el origen.

La ecuación de la elipse es:

Con centro en el origen y eje focal sobre el eje Con centro en el origen y eje focal sobre el eje Con centro en el origen y eje focal sobre el eje Con centro en el origen y eje focal sobre el eje x : 2 2

2 21

x y

a b+ =

Coordenadas del centro (0,0)C

Distancia del centro de la elipse a cada foco 2 2c a b= −

Coordenadas de los focos 1( ,0)F c y 2( ,0)F c−

Coordenadas de los vértices 1( ,0)V a y 2( ,0)V a−

Coordenadas de los extremos del eje menor 1(0, )B b y 2(0, )B b−

Longitud del eje mayor 2a

Longitud del eje menor 2b

Excentricidad c

ea

=

117

2.4.3.2. Con centro fuera del origen.

Con centro fuera del origen y eje focal paralelo al eje x :

2 2

2 2

( ) ( )1

x h y k

a b

− −+ =

Coordenadas del centro ( , )C h k

Distancia del centro de la elipse a cada foco 2 2c a b= −

Coordenadas de los focos 1( , )F h c k+ y 2( , )F h c k−

Coordenadas de los vértices 1( , )V h a k+ y 2( , )V h a k−

Coordenadas de los extremos del eje menor 1 ( , )B h k b= + y 2( , )B h k b−

Longitud del eje mayor 2a

Longitud del eje menor 2b

Excentricidad c

ea

=

2.4.1. Ecuación general.

La ecuación de la elipse también puede escribirse en su forma general de la

siguiente manera: 2 2 0Ax Cy Dx Ey F+ + + + =

En donde 2 2 2 2, , 2 , 2A b C a D b h E a k= = = − = − y 2 2 2 2 2 2F b h a k a b= + − .

Los coeficientes A y C deben ser del mismo signo.

118

2.5. Aplicaciones de la ecuación de la elipse.

1. La órbita de un planeta tiene forma de elipse, con un eje mayor de longitud 400 millones de km. Si la distancia entre focos es 300 millones de Km., obtén la ecuación de la órbita.

Representemos el problema:

Entonces, estamos hablando de una elipse con centro en el origen y eje focal sobre el

eje x, por lo tanto su ecuación es2 2

2 21

x y

a b+ = . Encontremos los valores de a y b .

Como 1 1( ,0) (150,0)F c F= , entonces 150c = , y como 1( ,0) 1(200,0), 200V a V a= = .

Sólo hace falta el valor de b , obtengámoslo a partir de la ecuación 2 2c a b= − , tenemos lo siguiente:

2 2

2 2 2

2 2 2

150 200

17500

50 7

200 150

150 200

b

b

b

b

b

= −

=

== −

= −

119

Sustituimos el valor de 200a = y 50 7b = en 2 2

2 21

x y

a b+ = , entonces la ecuación

que describe la órbita es:

2 2

2 2

2 2

1(200) (50 7)

140000 17500

x y

x y

+ =

+ =

2. Encontrar la diferencia entre el radio mayor y el radio menor de la órbita de la Júpiter, sabiendo que el radio mayor es aproximadamente de 5. 2 la de la Tierra que es de 149,600,000 Km.

Solución

Como la excentricidad de la órbita de Júpiter

0.048c

ea

= =

Despejando c=0.048; entonces c = 0.017 a y el radio menor es

2 2

2 2

2 2

2

(0.048 )

(1 (0.048)

0.97696

0.99884

149427561

b a c

b a a

b a

b a

b a

b

= −

= −

= −

===

así que la diferencia entre el radio mayor y el radio menor es de

5.2(149600000) 5.2(149427561) 896682.8km− =

120

2.5.1. Reflexiones.

a. Si un rayo emana de uno de sus focos y choca contra su superficie, debido a una propiedad conocida como tangente, éste se refleja hacia el otro foco.

b. En el Convento del Desierto de los Leones, cerca de la Ciudad de México, existe la "Galería de los suspiros"; una habitación con techo en forma de elipsoide. Si una persona se pone en uno de sus focos, otra persona colocada en el otro foco la oye perfectamente, no así cualquier otra persona que esté en la habitación. Esta construcción es común también en otros conventos y monasterios europeos.

c. Tabla de referencia. En la tabla siguiente aparece la excentricidad de las órbitas planetarias, así como la distancia media del planeta al sol medida en unidades astronómicas (U.A.), una unidad astronómica es, por definición, la distancia media de la tierra al Sol.

Planeta Excentricidad Distancia media (U.A.)

Mercurio 0.206 0.387

Venus 0.007 0.723

Tierra 0.017 1

Marte 0.093 1.52

Júpiter 0.048 5.2

Saturno 0.056 9.54

Urano 0.047 19.18

Neptuno 0.009 30.06

Plutón 0.25 39.44

d. No nada más los planetas satisfacen las leyes de Kepler1, también todos los

cuerpos que giran alrededor de otros como los cometas, los satélites girando alrededor de los planetas, y aún el sistema solar girando alrededor del centro de la Vía Láctea.

1 Establece que todos los planetas del sistema solar giran alrededor del Sol en órbitas elípticas.

121

1. Encuentra la ecuación de una elipse horizontal si su centro es (5, 1) y el diámetro mayor es igual a 10, y el diámetro menor es igual a 8.

Solución:

C = (h,k) = (5, 1)

b = 4

a = 5

2 2( 5 ) ( 1 )1

2 5 1 6

x y− −+ =

122

2. Halla la ecuación de la elipse que tiene su centro en (0, 0) y cuyos focos son los puntos F (3, 0) y F’ (-3, 0). El intercepto de la gráfica con el eje x es el punto (5, 0).

Solución:

Como la elipse corta al eje x en el punto (5, 0) se sigue que a = 5 y como c = 3 (figura) se tiene que b2 -52 – 32 -16, y por tanto 4b = ± .

De esta forma, los vértices de la elipse son los puntos V1 (5, 0), V2 (-5, 0), V3 (0, 4) y V4 (0, -4). Además, su ecuación viene dada por:

2 2 2 2

2 21 1

5 4 25 16

x y x y+ = ⇔ + =

123

3. Demuestra que la ecuación 2 29 4 36 24 36 0x y x y+ + − + = representa una elipse y determinar todos sus elementos.

Solución: Es suficiente observar que los coeficientes de x2 y y2 son desiguales y del mismo signo y que no hay término rectangular, para asegurar que la ecuación sí representa una elipse, con ejes de simetría paralelos a los de coordenadas. Para mayor seguridad nos convendrá ver si se puede llevar esta ecuación a la forma tipo correspondiente, lo que además nos servirá para determinar los elementos de la curva. Completando a trinomios cuadrados perfectos en x y y en la ecuación dada:

2 29( 4 4 4) 4( 6 9 9) 36 0x x y y+ + − + − + − + = Simplificando:

2 29( 2) 36 4( 3) 36 36 0x y+ − + − − + =

2 29( 2) 4( 3) 36x y+ + − = Dividiendo entre 36 queda:

2 2( 2) ( 3)1

4 9

x y+ −+ =

De la ecuación encontramos que a2 = 9 y b2 = 4. Por tanto, a = 3 y b = 2. Las coordenadas del centro son C (-2,3). Los ejes mayor y menor están dados por:

Eje mayor = 2a = 6 Eje menor = 2b = 4

Despejando a c de la expresión:

a2 – c2 = b2

2 2 5 2.23c a b= ± − = ± = ± Distancia focal: 2 4.46c =

124

Excentricidad:

e = 2.33

0.743

c

a= =

Ancho focal:

2 2 82.66

3

b

a= =

Vértices: A1 (-2,0) y A2 (-2,6) Focos: F1 (-2,0.74) y F2 (-2, 5.23)

125

1. Determina las coordenadas de los focos y los vértices de las siguientes elipses:

a) x2/16 + y2/12 = 1 b) x2 + 4y2 = 16 c) 3x2 + 2y2 = 6

2. Determina las coordenadas de los focos y los vértices de las siguientes elipses:

a) x2 + 2y2 – 2x + 8y + 5 = 0 b) 25x2 - 9y2 – 18y – 216 = 0 c) x2 + 3y2 – 6x + 6y = 0

d) 3x2 - y2 – 24x + 39 = 0

3. Calcula la ecuación de la elipse cuyos focos están en los puntos F (3,0) y F'(-3,0) y cuyo eje mayor mide 10.

4. Halla la ecuación de la elipse de vértices A( -4, 0), B(4, 0) y pasa por el punto P(1, -2)

5. Halla las ecuaciones de las siguiente elipse: Centro (-1, 3); foco (-2, 3), y eje mayor = 6

6. Halla la ecuación de la elipse que tiene su centro en (0, 0) y cuyos focos son las coordenadas de los puntos F (3, 0) y F’ (-3, 0), además la intersección de la gráfica con el eje x es el punto (5, 0).

7. Determina el centro, los focos y los vértices de la elipse que tiene por ecuación: 2 24 16 2 13 0x y x y+ − + + =

8. Halla la ecuación reducida de la elipse x2 + 4y2 − 2x + 8y + 1 = 0.

9. Encuentra la ecuación de la elipse para cada inciso: a) Centro (5 , 1) , vértice (5 , 4) , extremo de un eje menor en (3, 1) b) Vértice en (6, 3), focos en (-4, 3) y (4, 3) c) Foco en (1, -1) y extremos del eje menor en (-1, 2) y (-1, -4) d) Vértices en (-1, 3) y (5, 3), longitud del eje menor igual a 4 e) Focos en (-4, 2) y (4, 2), longitud del eje mayor igual a 10

126

10. Halla los elementos de la elipse de cada inciso: a) 9x2 + 25y2 – 225 = 0 b) 49x2 + 25y2 – 1225 = 0 c) 16x2 + 25y2 + 160x + 200y + 400 = 0 d) 4x2 + 8y2 – 4x – 24y –13 = 0

11. Halla la ecuación de la elipse , conociendo los siguientes datos: a) V ( 0 , 3 ), V’ ( 0 , -3 ) y F ( 0 , 2 ) , F’ ( 0 , -2 ) b) V ( 5 , 0 ) , V’ ( -5 , 0 ) y F ( 3 , 0 ) , F’ ( -3 , 0 ) c) V ( -2 , 8 ) , V’ ( -2 , 0 ) y F ( -2 , 6 ) , F’(-2 , 2 ) d) F (2, -1), F’ (10, -1) y excentricidad: e = 2 / 3 e) F (2, 3), F’ (8, 3) y longitud de los lados rectos 7 / 2

127

4. Usarás las ecuaciones de la hipérbola en la solu ción de problemas prácticos.

2.6. Hipérbola. 2.6.1. Elementos de la hipérbola. 2.6.2. Hipérbola vertical.

2.6.2.1. Con centro en el origen. 2.6.2.2. Con centro fuera del origen. 2.6.3. Hipérbola horizontal. 2.6.3.1. Con centro en el origen. 2.6.3.2. Con centro fuera del origen.

2.6.4. Ecuación general. 2.7. Aplicaciones de la hipérbola.

128

2.6. La Hipérbola.

Una hipérbola es la curva abierta de dos ramas que se

obtiene intersectando un cono circular recto y un plano; si el plano está inclinado, corta ambas secciones del cono y no pasa por el vértice del mismo. DEFINICIÓN: Una hipérbola es el conjunto de todos los puntos de un plano, tal que la diferencia de las distancias, en valor absoluto, a dos puntos fijos del plano (los focos) sea una constante (positiva) que representaremos como 2a.

Figura 23 . Hipérbola

La hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos , es una constante.

129

2.6.1. Elementos de la hipérbola.

1F y 2F son los focos de la hipérbola.

La recta que pasa por los focos recibe el nombre de eje focal .

Los puntos donde la curva intersecta al eje focal se llaman vértices 1V y 2V de la hipérbola.

El segmento de la recta que tiene como extremos los vértices de la hipérbola se llama

eje transverso 1 2VVsuur

.

El punto medio c del eje transverso es el centro de la hipérbola.

La recta perpendicular al eje focal que pasa por el centro de la hipérbola es el eje normal .

La distancia entre los focos 1 2F Fsuuur

se denomina distancia focal .

Los segmentos del eje normal 1 2B Bsuuur

se denomina eje conjugado ; 1B y 2B son los extremos del eje conjugado.

Las rectas diagonales del rectángulo auxiliar son las asíntotas de la hipérbola.

Cada uno de lo segmentos del eje transverso, cuyos extremos son el centro de la hipérbola, y cada uno de los vértices se llama semieje transverso .

Cada segmento del eje conjugado, cuyos extremos son el centro de la hipérbola y cada uno de los extremos del eje conjugado, se llama semieje conjugado .

130

131

2.6.2. Hipérbola vertical. 2.6.2.1. Con centro en el origen.

Cuando una hipérbola es de este tipo, sus focos son F´ (0, -c) y F (0, c) y están

sobre el eje de las y. Obtendremos su ecuación procediendo igualmente que otros casos ya vistos. Sea P(x, y) un punto cualquiera su condición de movimiento es:

' tan 2PF PF Cons te a+ = =suur suuur

Entonces:

2 2' ( )PF x y c= + +

suuur

y 2 2' ( )PF x y c= + −

suuur

Sustituyendo en la ecuación anterior tenemos que:

2 2 2 2( ) ( ) 2x y c x y c a+ + − + − = Despejando el primer radical:

2 2 2 2( ) 2 ( )x y c a x y c+ + = + + − Elevando al cuadrado ambos miembros:

( ) ( )2 22 2 2 2( ) 2 ( )x y c a x y c+ + = + + −

Desarrollando, reduciendo términos semejantes y dividiendo entre 4:

2 2 2( )cy a a x y c− = + −

Elevando al cuadrado nuevamente, desarrollando y simplificando tenemos que:

( )2 2 2 2 2 2 2 2( )c a y a x a c a− − = −

Según la figura anterior y aplicando el teorema de Pitágoras

2 2 2c a b= +

132

y por tanto 2 2 2b a c= −

Sustituyendo en la ecuación tendremos:

2 2 2 2 2 2b y a x a b− = Dividimos entre a2 b2 se tiene la forma simétrica de la ecuación de la hipérbola de este caso:

2 2

2 21

y x

a b− =

En este caso el eje focal coincide con el eje y el eje no focal con el eje x. Figura 24

Figura 24 . Parábola vertical en el origen.

La ecuación de las asíntotas es: a

y xb

= ±

133

En resumen:

La ecuación de la hipérbola es: 2 2

2 21

y x

a b− =

Con centro en el origen y eje focal sobre el ejeCon centro en el origen y eje focal sobre el ejeCon centro en el origen y eje focal sobre el ejeCon centro en el origen y eje focal sobre el eje yyyy:

Coordenadas del centro (0,0)C

Semidistancia focal 2 2c a b= +

Coordenadas de los focos 1(0, )F c y 2(0, )F c−

Coordenadas de los vértices

1(0, )V a y 2(0, )V a−

Coordenadas de los extremos del eje conjugado

1( ,0)B b y 2( ,0)B b− y

Semieje transverso a

Semieje conjugado b

134

2.6.2.2. Con centro fuera del origen.

La ecuación de la hipérbola es:

Con centro fuera del origen y eje focal paralelo al ejeCon centro fuera del origen y eje focal paralelo al ejeCon centro fuera del origen y eje focal paralelo al ejeCon centro fuera del origen y eje focal paralelo al eje yyyy:

2 2

2 2

( ) ( )1

y k x h

a b

− −− =

Coordenadas del centro ( , )C h k

Semidistancia focal 2 2c a b= +

Coordenadas de los focos 1( , )F h k c+ y 2( , )F h k c−

Coordenadas de los vértices 1( , )V h k a+ y 2( , )V h k a−

Coordenadas de los extremos del eje conjugado

1( , )B h b k− y 2( , )B h b k+

Semieje transverso a

Semieje conjugado b

135

2.6.3. Hipérbola horizontal.

2.6.3.1. Con centro en el origen.

La hipérbola tiene la forma aproximada que se muestra en la Figura 25.

Figura 25 . Hipérbola horizontal con vértice en el origen. Elem entos.

Esta es una hipérbola horizontal con centro en el origen, cuyos elementos principales son:

A1 y A2 vértices F´ y F focos

CDyDEsuur suur

lados

PQyRSsuur suur

asíntotas

1 2 2A A a=suuur

eje focal

1 2 2B B b=suuur

eje no focal

´ 2F F c=suuur

distancia focal

´QQsuuur

lado recto

136

La ecuación de la hipérbola es:

Con centro en el origen y eje focal sobre el eje x : 2 2

2 21

x y

a b− =

Coordenadas del centro (0,0)C

Semidistancia focal 2 2c a b= +

Coordenadas de los focos 1( ,0)F c y 2( ,0)F c−

Coordenadas de los vértices 1( ,0)V a y 2( ,0)V a−

Coordenadas de los extremos del eje conjugado 1(0, )B b y 2(0, )B b−

Semieje transverso a

Semieje conjugado b

137

2.6.3.2. Con centro fuera del origen.

La ecuación de la hipérbola es:

Con centro fuera del origen y eje focal paralelo al eje x :

2 2

2 2

( ) ( )1

x h y k

a b

− −− =

Coordenadas del centro ( , )C h k

Semidistancia focal 2 2c a b= −

Coordenadas de los focos 1( , )F h c k+ y 2( , )F h c k−

Coordenadas de los vértices 1( , )V h a k+ y 2( , )V h a k−

Coordenadas de los extremos del eje conjugado 1 ( , )B h k b= + y 2( , )B h k b−

Semieje transverso a

Semieje conjugado b

138

Demostración de la Ecuación normal. Escojamos un sistema de coordenadas con focos F´ (-c, 0) y F(c, 0) y denotamos la distancia (constante) con 2a. Observando la figura siguiente tenemos que:

La condición de movimiento del punto P(x, y) , dada por la definición es:

' tan 2PF PF Cons te a− = =suuur suur

Pero de acuerdo a la expresión para la distancia entre dos puntos tenemos:

2 2' ( ) ( 0)PF x c y= + + +

suuur

y 2 2( ) ( 0)PF x c y= − + +

suur

Sustituyendo en la ecuación anterior tenemos que:

2 2 2 2( ) ( 0) ( ) ( 0) 2x c y x c y a+ + + − − + + = Despejando el primer radical:

2 2 2 2( ) 2 ( )x c y a x c y+ + = + − + Elevando al cuadrado ambos miembros:

( ) ( )2 22 2 2 2( ) 2 ( )x c y a x c y+ + = + − +

Desarrollando y reduciendo términos semejantes:

2 2 24 4 4 ( )cx a a x c y− = − +

139

Dividiendo entre 4 ambos miembros llegamos a:

2 2 2( )cx a a x c y− = − +

Elevando al cuadrado nuevamente, desarrollando y simplificando tenemos que:

2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( )c a x a y a c a− − = −

La diferencia c2 -a2, es constante y positiva, de tal manera que podemos representarla por b2, puesto que la letra b representa comúnmente una constante y el exponente 2 garantiza que es positiva, o sea:

2 2 2 2 2 2b x a y a b− = (I)

Que es la ecuación definitiva de la hipérbola, la que también, al dividir entre a2b2, puede expresarse en la siguiente forma dividiendo por a2b2 donde b = c2 - a2

2 2

2 21

x y

a b− =

Se obtiene entonces la forma llamada simétrica o normal de una hipérbola.

Las funciones definidas mediante ecuaciones del tipo:

Ky

cx d=

+ ó

2ax by

cx d

+=+

Se llaman funciones de proporcionalidad inversa.

Análisis de la ecuación. Para hacer el análisis de la ecuación despejaremos las variables x, y de la ecuación (I) Por tanto:

2 2ax b y

b= ± + ecuación (a)

2 2by x a

a= ± − ecuación (b)

140

A partir de aquí haremos las siguientes consideraciones:

a) La simple observación de las ecuaciones (a) y (b), nos permite asegurar que la curva es simétrica con relación a los ejes del sistema y al origen.

b) Cuando y = 0, en (a) resulta x a= ± . De acuerdo con esto vemos que la

hipérbola corta al eje de las abscisas en los puntos

1( ,0)A a− y

2( ,0)A a

Cuando x = 0, en (b) resulta y b= ± . Este resultado nos permite asegurar que la curva, no corta al eje de las ordenadas.

c) La misma ecuación (b) nos hace comprender que la curva no existe entre x = -a y x = a, sino que solamente se extiende desde x = -a hacia la izquierda y desde x = a hacia la derecha, o sea que tiene dos ramas separadas, ambas controladas por la misma ecuación. Se trata pues de una curva discontinua.

d) La curva es abierta porque a medida que x aumenta independientemente,

también y hace lo propio.

Lado recto y excentricidad.

El lado recto (LR) es el segmento de recta ´QQsuuur

, cuyos extremos son puntos de la curva, perpendicular al eje focal y que pasa por uno de los focos, cuya ecuación es.

22bLR

a=

Las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola son:

by x

a = ±

La excentricidad se define también como:

;Excentricidad c

ea

=

Pero como en la hipérbola c > a, entonces e > 1.

141

De los ejes mencionados, pueden ser indistintamente uno mayor que otro o hasta iguales, sin que la hipérbola deje de ser horizontal. De las magnitudes de ellos, solamente depende la mayor o menor abertura de las ramas de la curva.

2.7. Aplicaciones de la hipérbola.

La propiedad de la definición de la hipérbola "la diferencia de las distancias de los puntos de la hipérbola a los focos es constante", se utiliza en la navegación.

En el sistema de navegación LORAN, una estación radioemisora maestra y otra estación radioemisora secundaria emiten señales que pueden ser recibidas por un barco en altamar. Puesto que un barco que monitoree las dos señales estará probablemente más cerca de una de las estaciones, habrá una diferencia entre las distancias

recorridas por las dos señales, lo cual se registrará como una pequeña diferencia de tiempo entre las señales. En tanto la diferencia de tiempo permanezca constante, la diferencia entre las dos distancias será también constante. Si el barco sigue la trayectoria correspondiente a una diferencia fija de tiempo, esta trayectoria será una hipérbola cuyos focos están localizados en las posiciones de las dos estaciones. Si se usan dos pares de transmisores, el barco deberá quedar en la intersección de las dos hipérbolas correspondientes. Fijamos un sistema rectangular, de manera que las dos estaciones estén sobre el eje x y el origen a la mitad de la distancia entre ellas.

142

1. Dos estaciones LORAN están a una distancia de 300 Km. entre sí a lo largo de un litoral recto. Un barco registra una diferencia de tiempo de 0.00075 s entre las dos señales LORAN. ¿En qué lugar tocaría tierra si siguiera la hipérbola correspondiente a esta diferencia de tiempo?

Solución:

El barco se encuentra en una hipérbola cuyos focos están en la posición de las estaciones. Puesto que la diferencia de tiempo es de 0.00075 s. y la velocidad de la luz es

300,000 Km/s, la diferencia entre las distancias del barco a cada estación es

300000 0.00075

225

= ×= ×=

distancia velocidad tiempo

d

d Km

La diferencia entre las distancias del barco a cada estación es de 225 Km, de manera que a = 112.5 km y el vértice de la parábola está en (112.5, 0) . Como el foco está en (300,0); si el barco sigue la hipérbola, tocará tierra a 300-112.5= 178.5 Km de la estación maestra. El Sistema de Posicionamiento Global consiste en una serie de satélites de órbita baja que continuamente emiten señales indicando su posición y la hora que es. Si un receptor se encuentra en tierra y recibe la señal de tres o más satélites, puede calcular su posición como la intersección de hiperboloides y la superficie de la tierra.

2. Ejercicio de Reflexión de Astronomía y Trayectorias de cometas. Un cuerpo celeste que provenga del exterior del sistema solar y sea atraído por el sol, describirá una órbita hiperbólica, teniendo como un foco al sol y saldrá nuevamente del sistema solar. Esto sucede con algunos cometas, así es que la próxima vez que sepas de un cometa averigua su trayectoria y su ecuación de la hipérbola.

143

3. Un balón se desliza sobre una de las ramas de la hipérbola 2 2

125 9

x y− = .

Encuentra las posibles ordenadas de la posición del balón cuando la abscisa es 6.

Sustituimos en la ecuación el valor de la abscisa 4x = para encontrar el valor de las ordenadas.

2 2

2

2

2

2

2

(6)1

25 9

361

25 9

361

9 25

11

9 259(11)

2599

25

99

25

3 11

5

y

y

y

y

y

y

y

y

− =

− =

= −

=

=

=

=

= ±

Respuesta: Las posibles ordenadas son:3 11

5+ y

3 11

5−

144

4. Los focos y los vértices de una hipérbola son los puntos: F (5, 0), F’ (-5, 0), V1

(4, 0) y V2 (-4, 0), respectivamente. Determina la ecuación de la hipérbola. Dibuja su gráfica e indica las asíntotas.

Solución:

Como los focos están sobre el eje x, la ecuación de la hipérbola es de la forma: 2 2

2 21

x y

a b− =

En este caso: a = 4, c = 5, de donde 25 16 3b = − = (Ver figura) En consecuencia, la ecuación de la hipérbola es:

2 2

116 9

x y− =

Usando los binomios conjugados, tenemos:

2 2

0 016 9 4 3 4 3

x y x y x y − = ⇔ − + =

04 3

x y− =

145

4

3x y=

y

04 3

x y+ =

3

4y x= −

5. Determina las ecuaciones de las hipérbolas cuyo centro es el punto C (2,-1) y cuyos semiejes paralelos a 0x y 0y miden 1 y 4, respectivamente.

Solución:

La ecuación de la hipérbola horizontal es de la forma:

2 2

2 2

( ) ( )1

x h y k

a b

− −− =

Sustituyendo valores:

2 2( 2) ( 1)1

1 16

x y− +− =

La ecuación de la hipérbola vertical es de la forma:

2 2

2 2

( ) ( )1

y k x h

a b

− −− =

Sustituyendo valores:

2 2( 1) ( 2)1

1 16

y x+ −− =

146

1. Escribe las siguientes hipérbolas en la forma simétrica.

a) 9x2 – 25y2 – 225 = 0 b) 64x2 – 36y2 – 2304 = 0 c) 9x2 – 4y2 + 36x –16y – 16 = 0 d) x2 – 2y2 + 6x + 4y + 5 = 0 e) 4x2 – 49y2 + 48x – 98y + 291 = 0

2. Encuentra la ecuación de la hipérbola para cada inciso

a) centro ( 2 , 0 ) , foco ( 10 , 0 ) un vértice en ( 6 , 0 ) b) centro ( 2 , 2 ) , foco ( 10 , 2 ) , un vértice en ( 5 , 2 )

3. Halla la ecuación de la hipérbola, conociendo los siguientes datos: a) V ( 3 , 4 ) , V’ ( 3 , 0 ) y F ( 3 , 5 ) , F’ ( 3 , -1 ) b) V ( 3 , 4 ) , V’ (5 , 4 ) y F ( 2 , 4 ) , F’ (6 , 4 ) c) V (2, 4), V’ (6, 4) y excentricidad: e = 3 / 2

4. Para la siguiente ecuación que representa una hipérbola, determina los vértices y los focos, x2 – 9y2= 18

5. Halla la ecuación reducida de la hipérbola 9x2 − y2 − 18x + 8 = 0.

6. Para cada una de las siguientes ecuaciones que representan hipérbolas, determina los focos y los vértices.

a) 16x2 – 25y2 = 100 b) 9x2 – 4y2 = 36 c) 4x2 – y2 = 16 d) x2 – 9y2 = 18 e) 4y2 – x2 = 8 f) 4y2 – 9x2 = 36

147

7. En los siguientes ejercicios encuentra la ecuación de la hipérbola que satisface las condiciones dadas.

a) Centro en (0, 0); vértice en (3, 0); foco en (5, 0). b) Centro en (0, 0); vértice en (-1, 0); foco en (-3, 0). c) Centro en (0, 0); vértice en (0, -1); foco en (0, -3). d) Centro en (0, 0); vértice en (0, 3); foco en (0, 5). e) V1 (-3, 2), V2 (-3, -2); 2b = 6. f) F (-7, 3), F’ (-1, 3); 2a = 4.

8. En cada uno de los ejercicios siguientes encuentra el centro, los focos y los vértices.

a) (x + 5)2 – 4(y –4)2 =16 b) 9(x - 3)2 – (y + 2)2 = 18 c) x2 + 4x – 4y2 – 8y + 4 = 0 d) 3y2 – x2 – 12y + 9 = 0 e) 9x2 + 18x – 4y2 – 8y – 23= 0 f) y2 – 4x2 – 8x – 6y = 9 g) x2 – 2x + 1 – 25y2 = 25 h) x2 – 9y2 + 16x – 18y = -9

148

Aplicación de las cónicas.

Las curvas cónicas: elipse, círculo, hipérbola y parábola, han sido de mucha importancia en la vida del ser humano, ya que gracias a ellas, se han podido desarrollar diferentes aparatos y artefactos, con el fin de beneficiar, y facilitar la vida del ser humano. Las curvas cónicas son importantes en:

1. Astronomía: dos cuerpos masivos que interactúan según la Ley universal de la gravitación describen secciones cónicas si su centro de masa se considera en reposo. Si están muy juntas describen elipses, si se alejan demasiado describirán hipérbolas o parábolas. También son importantes en aerodinámica y en su aplicabilidad industrial, ya que permiten ser repetidas por medios mecánicos con gran exactitud, logrando superficies, formas y curvas perfectas.

2. Debido a la resistencia del viento, las trayectorias que realizan los aviones cuando hacen viajes circulares se vuelven elípticas.

3. En arquitectura se utilizan con mayor frecuencia arcos con forma elíptica. 4. Algunos cometas tienen órbitas hiperbólicas. 5. La Ley de Boyle es una relación hiperbólica, ya que se establece entre

dos relaciones que son inversamente proporcionales entre sí. 6. Las trayectorias que siguen los proyectiles son parábolas. Newton lo

demostró considerando a la Tierra como un plano y sin tomar en cuanta la fricción del aire.

7. Para diseño de puentes, ya que se puede distribuir el peso de todo el puente.

8. Para explicar la teoría que dice que la Luna gira alrededor de la Tierra.

149

9. Antenas para captar señales de comunicación e informática. 10. Para explicar el movimiento de traslación de la Tierra alrededor del Sol.

Las órbitas de planetas como la Tierra son elípticas donde un foco corresponde al Sol.

150

1. Un parque de diversiones planea construir una rueda de la fortuna con un radio de 7m y con el centro a una altura de 8m, con respecto a la base. Determina la ecuación de la circunferencia que describe esta rueda colocando el origen en la base.

2. Colocando el origen de un sistema de coordenadas en el eje de una llanta de camión, se determina que un punto de la misma es: (5, 29.6). Encuentra la ecuación que describe la circunferencia de la rueda.

3. Sobre una pintura que tiene una carreta, se quiere dibujar una rueda que pase por el punto (-2, 3), con el origen sobre el punto (4, 3). ¿Cuál será el radio de la rueda?

4. Si la distancia de un lado al otro de una antena parabólica pasando por el foco es de 80 cm, ¿a qué distancia del vértice se encontrará el foco?

5. Se desea construir paraguas con forma parabólica; para ello, se utilizan tubos de 1.5 m de longitud como soporte. Si se considera que el foco de la parábola debe estar a la mitad del tubo, determina la distancia que habrá de lado a lado del paraguas, pasando por el foco.

6. Un arquitecto quiere levantar un arco de forma parabólica, abierto hacia arriba. Tomando como referencia una marca que se encuentra en el piso, el vértice de la parábola está 30 cm arriba de la misma. Si se considera que la posición del foco a partir de la marca del piso está en (0, 1.30m), escribe la ecuación de la parábola que le permitirá al arquitecto hacer el trazo de la misma.

7. En una unidad deportiva, se planea construir una pista de ciclismo de forma elíptica con una excentricidad de 0.2. Si el eje menor de la pista mide 40m, ¿cuál será la longitud del eje mayor?

8. Un juego mecánico giratorio es ligeramente excéntrico. Si su radio mayor es de 5.4m y su radio menor es de 5.2m, determina su excentricidad.

9. Se le pide a un artesano que manufacture un vitral de forma elíptica, que cumpla con la siguiente expresión matemática, considerando que está centrada

151

en el origen: 2 2

19 4

x y+ = , determina: a) la longitud de su eje mayor, b) del eje

menor, c) la posición de los focos y d) excentricidad.

10. A lo largo de un litoral recto, se encuentran dos estaciones de LORAN separadas por una distancia de 400Km. Un barco cercano, registra una diferencia de tiempo de 0.00062 s entre las dos señales de LORAN. ¿En qué lugar tocaría tierra si siguiera la hipérbola correspondiente a esta diferencia de tiempo?

11. Sobre una rampa de forma hiperbólica se desliza un ciclista. La pista

cumple con la siguiente expresión: 2 2

125 16

x y− = , con el vértice en (5, 0).

Determina a qué altura se encontrarán si sobre la horizontal se encuentran en: a) x = 6 y b) x = 10.

12. Una estructura volumétrica de gran estética y belleza, es la que se genera mediante la rotación sobre el eje no focal de una curva hiperbólica. Si la distancia del origen al vértice es 6 y el lado recto es 25, determina la ecuación de la parábola que describe esta curva.

152

UNIDAD 3 Traslación y rotación de ejes.

153

Las cónicas se analizan en el sistema de coordenadas cartesianas en el plano de dos dimensiones, para cualesquiera de las que has estudiado: circunferencia, parábola, elipse e hipérbola. Sucede que estas formas geométricas no siempre se localizan en ejes paralelos a la horizontal y vertical, sino con una inclinación que se puede indicar en grados; para ello es necesario trasladar y/o rotar los ejes para establecer una ecuación más simple que se resuelva de una manera más rápida.

En esta unidad se resolverán ejercicios donde las cónicas se encuentran inclinadas y debes aplicar las ecuaciones de rotación y/o traslación para su solución. Una vez aplicadas, el procedimiento algebraico es el mismo que en la unidad anterior, donde es necesario usar en algunas ocasiones el método de completar el trinomio cuadrado perfecto, también se debe identificar en algunas ocasiones la cónica que se está utilizando por medio de la ecuación general de las cónicas y analizando los coeficientes para aplicar las fórmulas y procedimientos que correspondan a la figura que sea el objeto de estudio.

154

1. Usarás la ecuación general de segundo grado en l a identificación del tipo de cónicas.

3.1. Ecuación general de las cónicas.

3.1.1. Reducción a forma canónica. 3.1.2. Determinación del tipo de curva considerando los coeficientes, A y

C. 3.1.3. Determinación del tipo de curva, considerand o el término Bxy. 3.1.4. Discriminante de la ecuación.

155

3.1. Ecuación general de las cónicas.

3.1.1. Reducción a forma canónica.

Una forma usual de considerar las cónicas es considerando su expresión analítica en el plano cartesiano. La ecuación representativa de las cónicas en una de sus formas es:

2 2 0Ax Cy Dx Ey F+ + + + = En donde los coeficientes A, C, D, E y F, son números reales que determinan el tipo de curva correspondiente que, en caso de existir, podríamos tener: la línea recta, la circunferencia, la parábola, la elipse o una hipérbola. En otros casos la curva, puede presentarse como una recta o un par de rectas, también puede ser un punto o el conjunto vacío.

156

3.1.2. Determinación del tipo de curva considerando los coeficientes, A y C. Tomando en consideración la forma de la ecuación:

2 2 0Ax Cy Dx Ey F+ + + + = (1) se nos presentan los que casos veremos a continuación: 1. Si los coeficientes A y C son iguales a cero, es decir: A = C = 0 La gráfica es una recta. De acuerdo a la ecuación (1) nos queda reducida a la forma:

0Dx Ey F+ + =

Que nos representa a la ecuación general de la recta, vista anteriormente. 2. Si los coeficientes A y C son diferentes a cero; es decir A ≠ 0 y C ≠ 0, es decir:

A = C ≠ 0 La gráfica será una circunferencia, un punto o el conjunto vacío. 3. También puede presentarse que uno de los coeficientes de las variables al cuadrado sea igual a cero, por lo que la gráfica de la curva será una parábola, una línea recta, dos líneas rectas o un conjunto vacío. 4. Si se cumple que el producto de los coeficientes A y C es un resultado mayor que cero, la gráfica representará una elipse, un punto o un conjunto vacío. Es decir que:

(A) (C) > 0 La gráfica es una hipérbola o dos líneas rectas que se intersectan.

157

3.1.3. Determinación del tipo de curva, considerand o el término Bxy.

La ecuación general de segundo grado de la parábola, elipse e hipérbola es de

la forma:

2 2 0Ax Bxy Cy Dx Ey F+ + + + + = Como vimos anteriormente los coeficientes de los términos de segundo grado son los que definen a la curva correspondiente dada una ecuación. El término Bxy aparece solamente cuando la curva tiene sus ejes inclinados con respecto a los ejes cartesianos. La elipse, la parábola y la hipérbola reciben el nombre general de curvas de segundo grado, porque, como ya vimos, cada una de ellas está representada por una ecuación de segundo grado. También es muy común llamarlas cónicas, porque resultan de un cono de revolución al ser cortado por un plano, ya sea oblicuamente a la base, perpendicularmente a ella o paralelamente a la generatriz.

3.1.4. Discriminante de la ecuación.

A partir de la ecuación general: 2 2 0Ax Bxy Cy Dx Ey F+ + + + + = podemos saber de qué cónica se trata recurriendo al binomio B2-4AC, llamado discriminante de la ecuación, el cual se representa con la letra D de donde:

2 4D B AC= − Por lo cual tenemos los casos siguientes: Si 2 4 0D B AC= − < , se trata de una ELIPSE Si 2 4 0D B AC= − = , se trata de una PARÁBOLA Si 2 4 0D B AC= − > , se trata de una HIPÉRBOLA Quiere decir que: Si el valor del discriminante de una ecuación es negativo, cero o positivo nos indica que la ecuación corresponde a una elipse, a una parábola o a una hipérbola respectivamente.

158

1. Simplifica la ecuación eliminando los términos de primer grado.

2 2a) x + y + 6x - 10y +12 = 0 2 2b) x + y + 6x +4y +8 = 0 2 2c) x + 3y - 4x - 30y + 76 = 0

2 2d) 3x + 2xy+3y -8x-8y=0 2 2e) 8x -24xy+15y +4y-4=0

2 2f) 16x -12xy+9y +32x-161=0

2 2g) 3x -7xy+3y -10=0

2 2h) 25x -10x+25y +20y-180=0

159

2. Usarás la traslación y rotación de ejes en la so lución de problemas.

3.2. Movimientos de traslación y rotación de ejes c oordenados en la solución

de problemas.

160

3.2. Traslación y rotación de ejes coordenados.

En todos los temas tratados en relación con la línea recta, y los que veremos con

respecto a la circunferencia, parábola, elipse e hipérbola, se considerada el sistema de coordenadas rectangulares. Con el propósito de identificar y trazar la gráfica de una curva de segundo grado, se procede a su reducción a forma canónica. Se lleva a cabo esta reducción por medio de una adecuada transformación de coordenadas (por ejemplo, cambio de sistema de referencia), en dos etapas o transformaciones sucesivas: Rotación de ejes. Traslación de ejes.

Figura 26 : Rotación y traslación de ejes

3.2.1. Traslación paralela de los ejes.

El conocimiento de las fórmulas de traslación nos ayuda a simplificar muchos problemas de la geometría analítica. De acuerdo a la siguiente figura verás como se pueden trasladar las ecuaciones de las curvas de un sistema cartesiano x o y, hasta ocupar una posición x´ o y´ de ejes paralelos a los primeros. Designamos el nuevo origen por 0’ (h, k), referido al sistema de coordenadas x, y. Por el punto 0´ trazamos rectas paralelas al eje x y al eje y, las que tomaremos como los nuevos ejes x´ y y´. Todo punto P(x, y) en el sistema original tendrá P´(x´, y´) referidos al nuevo sistema de ejes. Según la figura 27:

161

Figura 27 . Traslación de los ejes coordenados. Las coordenadas originales del punto P(x, y) son:

,AP x EP y= =

suur suur

Así mismo, tenemos:

', 'BP x DP y= =suur suur

Que son las nuevas coordenadas del punto P´ (x´, y´). De la figura también se deduce que:

'AP BP AB x h= + = +

suur suur suur

'EP DP AB y k= + = +

suur suur suur

Sustituyendo obtenemos que:

x = x´+ h ……. (1) y = y´ + k .……. (2)

162

o también: x´ = x - h y´ = y - k

Que son las ecuaciones de traslación, mediante las cuales se puede hacer una traslación paralela de los ejes de coordenadas. Su conocimiento nos ayuda a simplificar muchos problemas de la geometría analítica, y se emplearán en la deducción de algunas fórmulas, en los temas correspondientes a la parábola, elipse e hipérbola.

La traslación de ejes modifica la ecuación de una curva y algunas veces la simplifica, pero no altera la forma de la curva.

163

1. Tomando como origen el punto 0´ (-1,2), y siendo los nuevos ejes paralelos a los anteriores, encuéntrese la ecuación transformada, de la curva dada por la ecuación:

2x +2x-y +3 = 0 Solución: Del enunciado del ejercicio tenemos que: h = - 1 y k = + 2

En este caso las ecuaciones de traslación son:

x = x´- 1 y = y´+ 2

Esto lo sustituimos en la ecuación dada. Desarrollando:

2( ´ 1) 2( ´ 1) ( ´ 2) 3 0x x y− + − − + + =

2´ 2 ´ 1 2 ´ 2 ´ 2 3 0x x x y− + + − − − + = Simplificamos términos semejantes y obtenemos:

2´ ´ 0x y− = Que es la ecuación transformada de la curva.

164

2. Mediante una transformación paralela de los ejes, determina el centro de la circunferencia cuya ecuación es:

2 2x + y -2x -6y-6 = 0

Aplicando las ecuaciones (1) y (2) de traslación, en las que suponemos que h y k, coordenadas del nuevo origen, son al mismo tiempo las coordenadas del centro de la circunferencia. Sustituimos en la ecuación del ejercicio y desarrollamos:

2 2( ´ ) ( ´ ) 2( ´ ) 6( ´ ) 6 0x h y k x h y k+ + + − + − − − =

2 2 2 2´ 2 ´ ´ 2 ´ 2 ´ 2 6 ´ 6 6 0x x h h y y k k x h y k+ + + + + − − − + − =

2 2 2 2´ ´ (2 2) ´ (2 6) ' ( 2 6 6) 0x y h x k y h k h k+ + − + − + + − + − = De esta ecuación deben desaparecer los términos de primer grado, para lo cual se requiere que los coeficientes respectivos sean nulos, es decir:

2h − 2 = 0 Por tanto: h = 1 2k − 6 = 0 Por tanto: k = 3

De lo anterior, se tiene que el centro es: C (1,3)

165

3.2.2. Rotación o giro de los ejes coordenados.

Ahora simplificaremos, presentando un proceso llamado giro o rotación de los ejes de coordenadas, mediante el cual transformaremos la ecuación de la forma:

2 2 0Ax Bxy Cy Dx Ey F+ + + + + = en otra que carece del término Bxy, que siempre aparece

cuando los ejes focales de la parábola, elipse e hipérbola están inclinados respecto a los ejes de coordenadas. Consiste en someter el sistema de referencia original (ejes XY) a una rotación según un ángulo φ, de manera que los nuevos ejes coordenados sean paralelos a los ejes principales de la cónica. El nuevo sistema de referencia (ejes X1Y1) tiene el mismo origen que el sistema de referencia original, y la transformación de coordenadas correspondiente es de la forma:

cos '

cos '

x sen x

y sen y

φ φφ φ

− =

o bien:

´cos ´

´ ´cos

x x y sen

y x sen y

φ φφ φ

= −= +

Que son las ecuaciones de giro de los ejes, aplicables para cualquier posición del punto P y cualquier valor de φ. Veremos la aplicación de estas dos fórmulas que se usan para simplificar ecuaciones mediante un giro de ejes, o para encontrar las coordenadas de un punto, pasando de un sistema de coordenadas a otro en que los ejes hayan sido girados en determinado ángulo. Estas ecuaciones de transformación de coordenadas, cuando se aplican a la ecuación (1), simplifican la parte cuadrática de la ecuación, quedando de la siguiente manera:

2 2( , ) 2q x y Ax Bxy Cy= + +

Veremos la aplicación de estas dos fórmulas que se usan para simplificar ecuaciones mediante una rotación de ejes, o para encontrar las coordenadas de un punto, pasando de un sistema de coordenadas a otro en que los ejes hayan sido girados en determinado ángulo.

166

1. Haciendo girar los ejes un ángulo de 45°, prueba que la ecuación 2 2 1x xy y+ + = representa una elipse.

Solución:

Sabiendo que las ecuaciones de giro son, 1

45º2

sen = ;

1cos45º

2=

´cos ´

´ ´cos

x x y sen

y x sen y

φ φφ φ

= −= +

Sustituyendo el ángulo de giro, quedan:

´ ´ ´ ´´cos45º ´ 45º

2 2 2´ ´ ´ ´

´ 45º ´cos45º2 2 2

x y x yx x y sen

x y x yy x sen y

−= − = − =

+= + = + =

Sustituimos en la ecuación que nos dan en el enunciado del ejercicio, desarrollando

2 2´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´

12 2 2 2

x y x y x y x y− − + + + + =

2 2 2 2 2 2' 2 ' ' ' ' ' ' 2 ' ' '

12 2 2

x x y y x y x x y y− + − + ++ + =

2 2 2 2 2 2' 2 ' ' ' ' ' ' 2 ' ' '

12

x x y y x y x x y y− + + − + + + =

y eliminando términos semejantes, obtenemos:

2 23 ' ' 2x y+ = La ecuación también representa una elipse.

167

1. Escribe las ecuaciones de traslación de ejes.

2. Dada la ecuación 2 24 16 9 18 11x x y y− + + = , obtén la ecuación de la misma curva, refiriéndola a otro sistema, cuyo origen está en el punto (2,-1).

3. Dada la ecuación 2 2 16x y− = , obtén la ecuación de la misma curva, refiriéndola a otro sistema, cuyos ejes forman un ángulo de 45º con los primeros.

4. Trasladando los ejes al nuevo origen simplificar la ecuación:

a) x2 + y2 –6x + 4y – 3 = 0 ; ( 3 , -2 ) b) 3x2 + 4y2 + 12x – 8y + 8 = 0; (-2, -1) c) 7x2 + 16y2 + 42x – 64y + 15 = 0 ; ( - 3 , 2 ) d) 9x2 + 5y2 – 18x – 40y + 44 = 0 ; ( 1 , 4 )

5. Simplifica la ecuación mediante una rotación de los ejes coordenados x2 + 2xy + y2 –12x – 4y + 20 = 0. Girar un ángulo de 45°

6. Elimina el término xy de la siguiente ecuación: 2 216 16 4 6 14 10 0x xy y x y+ + − − − = .

7. Elimina el término xy de la siguiente ecuación: 2 218 4 48 150 388 80 0x y xy y y+ + − − − = .

168

RESPUESTAS ESPERADAS UNIDAD 1 Tema 1.2

1. I, I, II, IV, III

2.

169

3.

Tema 1.5.6

1. 223.6m

2. 2 5y x m= +

3. 61°

4. 21.5m

5. 5m

6. 132 17.7

CF TT + =−

, es decir, 32°F y -17.7°C

7. 0.36 6y x m= + , 0.36 8y x m= +

8. 1 20.33 4

m mv t

s s= +

9. 1 00.2m

x t xs

= − +

10. (2564.1 ,864 )Km Km

11. 1.3m

170

12. 17.3°

13. F ma= , si no hay aceleración, no se está aplicando fuerza. 14. 10 15. 1/7

16. a) -3, 2

b) -1, 5

c) 2, 0

d) 1/3, 1

e) ½, 4

17. -2/3

18. 5 38

9 9y x= − +

19. 2.8

20. 5 24

,11 11

21. 2 13

5 5y x= − +

22. 2 5y x= − −

23. 5

82

y x= − +

24. 5 46

3 3y x= −

25. a) verdadero

b) falso

c) falso

d) verdadero

e) verdadero

f) verdadero

171

UNIDAD 2 Tema 2.1

1. 2 2( 2) ( 3.5) 0.5x y− + − =

2. 5.6

3. ( ) ( )2 25 3 19x y− + + =

4. Forma ordinaria ( ) ( )2 2 5292 1

25x y+ + − = o forma general

2 225 25 100 50 404 0x y x y+ + − − =

5. Ecuación ordinaria 2 2

43 49 78329

90 30 4050x y − + + =

6. C = (1, -5), r = 6

7. a) 2 2( 3) ( 5) 9x y+ + − =

b) 2 2 4x y+ =

c) 2 2( 7) ( 6) 89x y− + + =

d) 2 2( 2) ( 5) 81x y+ + − =

e) 2 2( 3) ( 5) 1.33x y+ + − =

8. Intersecta a x en -3 y en 1. Con y no hay intersección.

9. 2 2( 3) ( 4) 25x y+ + − =

10. a) C = (8, -1), r = 0

b) C = (-1/3, -1), no es una circunferencia, el radio no existe.

11. C = (1, 2), r = 3

Tema 2.2

1. ( ) ( )22 2 1x y− = − +

2. ( ) ( )26 8 4x y− = − − . Ecuación del eje de la parábola 6x = , ecuación de la directriz

6y = y la longitud del lado recto es 8.

3. 2 8 8 24 0x x y− + + =

4. Forma ordinaria de la parábola ( )21x y− =

172

5. F (3, 0), V (0, 0) y la ecuación de la directriz es x = -3.

6. F (0, 3), V (0, 0) y la ecuación de la directriz es y = -3.

7. a) F (0.5, 0), V (0, 0) y la ecuación de la directriz es y = -2.

b) F (2, -2.75), V (2, -3) y la ecuación de la directriz es y = -3.25.

c) F (0, 4.25), V (0, 4) y la ecuación de la directriz es y = 3.75.

8. a) 2 16y x=

b) 2 16x y=

c) 2 8x y= −

d) 2 12x y= −

e) 2 8y x= −

f) 2 12x y= −

g) 2 3x y=

h) 2( 1) 6( 3)x y− = − +

i) 2( 3) 8( 5)x y+ = − −

9. V (1.5, 0.65), F (1.5, -0.6), y = 1.9, lr = 5

10. a) 2 10y x=

b) 2( 2) 10( 2)x y+ = −

c) 2( 1) 12( 2)y x− = − −

d) 2( 2) 4( 3)x y+ = −

11. V (0, 0), F (0, -3), y = 3

12. a) p = -3, V (0, 0), F (3, 0)

b) p = 3, V (0, 0), F (0, -3)

c) p = 2, V (6, 6), F (6, 4)

d) p = -1, V (-5, 2), F (-4, 2)

Tema 2.4

1. a) ( 2,0); ( 4,0)F V± ±

b) ( 12,0); ( 4,0)F V± ±

c) (0, 1); (0, 3)F V± ±

173

2. a) (1 2, 2); '(1 2, 2); (5, 2); '( 3, 2)F F V V+ − − − − − − b) (0,3); '(0, 5); (0,4); '(0, 6)F F V V− −

c) (3 8, 1); '(3 8, 1); (3 12, 1); '(3 12, 1)F F V V+ − − − + − − − d) No es elipse.

3. 2 2

125 16

x y+ =

4. 2 215

116 64

x y+ =

5. 2 2( 1) ( 5)

19 8

x y+ −+ =

6. 2 2

125 16

x y+ =

7. (2, 1); (2, 1 3); '(2, 1 3); (2,1); '(2, 3)C F F V V− − + − − −

8. 2 2( 1) ( 1)

14 1

x y− ++ =

9. a) 2 2( 5) ( 1)

14 9

x y− −+ =

b) 2 2

136 20

x y+ =

c) 2 2( 1) ( 1)

113 9

x y+ ++ =

d) 2 2( 2) ( 3)

19 4

x y− −+ =

e) 2 2( 2)

125 9

x y −+ =

10. a) a = 5, b = 4, c = 3

b) a = 22.1, b = 15.8, c = 15.5

c) a = 5, b = 4, c = 3

d) a = 4.6, b = 3.3, c = 3.3

174

11. a) 2 2

15 9

x y+ =

b) 2 2

125 16

x y+ =

c) 2 2( 2) ( 4)

112 16

x y+ −+ =

d) 2 2( 1) ( 6)

136 20

x y+ −+ =

e) 2 216( 5) 16( 3)

1193 49

x y− −+ =

Tema 2.7

1. a) 2 2

125 9

x y− =

b) 2 2

136 64

x y− =

c) 2 2( 2) ( 2)

14 9

x y+ +− =

d) 2 2( 3) ( 1)

12 1

x y+ −− =

e) 2 2( 1) ( 6)

14 49

y x+ +− =

2. a) 2 2( 2)

116 48

x y− − =

b) 2 2( 2) ( 2)

19 55

x y− −− =

3. a) 2 2( 2) ( 3)

14 5

y x− −− =

b) 2 2( 4) ( 4)

11 3

x y− −− =

175

c) 2 2( 4) ( 4)

14 5

x y− −− =

4. ( 18,0); ( 20,0)V F± ±

5. 2 29( 1) 1x y− − =

6. a) ( 3.2,0); ( 2.5,0)F V± ±

b) ( 13,0); ( 2,0)F V± ±

c) ( 20,0); ( 2,0)F V± ±

d) ( 20,0); ( 18,0)F V± ±

e) (0, 10); (0, 2)F V± ±

f) (0, 13); (0, 3)F V± ±

7. a) 2 2

19 16

x y− =

b) 2 2

11 8

x y− =

c) 2 2

11 8

y x− =

d) 2 2

19 16

y x− =

e) 2 2( 3)

14 9

y x +− =

f) 2 2( 3) ( 4)

14 5

y x− +− =

8. a) 1 2 1 2( 5,4); ( 5 20,4); ( 5 20,4); ( 9,4); ( 1,4)C F F V V− − + − − − −

b) 1 2 1 2(5, 2); (5 20, 2); (5 20, 2); (5 2, 2); (5 2, 2)C F F V V− + − − − − − + −

c) 1 2 1 2( 2, 1); ( 2, 1 5); ( 2, 1 5); ( 2,0); ( 2, 2)C F F V V− − − − + − − − − − −

d) 1 2 1 2(0,2); (0,4); (0,0); (0,3); (0,1)C F F V V

e) 1 2 1 2

91 91 28 28( 1, 1); ( 1 ,1); ( 1 ,1); ( 1 ,1); ( 1 ,1)

3 3 3 3C F F V V− − − + − − − + − −

176

f) 1 2 1 2

35 35( 1,3); ( 1,3 ); ( 1,3 ); ( 1,3 14); ( 1,3 14)

2 2C F F V V− − + − − − + − −

g) 1 2 1 2(1,0); (1 26,0); (1 26,0); (6,0); ( 4,0)C F F V V+ − −

h) 1 2 1 2

460 460( 18, 1); ( 18 , 1); ( 18 , 1); ( 18 46, 1); ( 18 46, 1)

3 3C F F V V− − − + − − − − − + − − − −

Generales unidad 2: página 150

1. 2 2( 8) 49x y+ − =

2. 2 2 900x y+ = 3. 6.3 4. 20 cm. 5. 3 m. 6. 2x 4y -1.2= 7. 40.8m 8. 1.45 9. a) 6

b) 2 c) (2.23, 0) y (-2.23, 0) d) 0.37

10. 307 Km 11. a) 7.04

b) 48

12. 2 2

136 75

x y− =

177

UNIDAD 3 Tema 3.2

1. x = x´+ h y = y´ + k

2. 2 24 ' 9 ' 36x y+ =

3. ' ' 8x y = −

4. a) 2 2' ' 16x y+ =

b) 2 23 ' 4 ' 16 ' 8x y y+ − = −

c) 2 27 ' 16 ' 112x y+ =

d) 2 29 ' 5 ' 45x y+ =

5. 2 23 1 16 8' ' ' ' ' ' 20 0

2 2 2 2x y x y x y− − + − + =

6. 210 5 ' 13 ' 11 ' 5 5 0x x y− − − =

7. 2 218 ' 7 ' 36 ' 77 ' 194 0x y x y− + − − =

178

GLOSARIO

Asíntotas : Rectas que son características de la hipérbola y que nunca tocarán a la figura más que en el infinito.

Centro en el origen : Cuando la figura que se analiza cuenta con su centro o su vértice en (0,0).

Centro fuera del origen : Cuando el centro de la figura analizada se encuentra fuera de (0,0). Circunferencia : Figura que posee un radio, centro y donde cada punto de ella se

encuentra a la misma distancia del centro. Cónica: Cada una de las curvas que resulta de la intersección de un plano con

un cono circular recto. Coordenadas : Líneas que sirven para determinar la posición de un punto, y de los

ejes o planos a que se refieren aquéllas líneas. Ecuación general : Es la ecuación que representa a todas las figuras cónicas y a la recta,

que se iguala a cero y posee coeficientes que varían de acuerdo a la figura que se trate.

Ecuación ordinaria : La ecuación que se usa de manera común para resolver problemas de geometría analítica.

Ecuación : Igualdad que contiene una o más incógnitas. Ejes: Barra, varilla o pieza similar que atraviesa un cuerpo giratorio y le sirve

de sostén en el movimiento. Elipse : Figura que se caracteriza por contar con dos focos, los cuales tienen

una distancia constante hacia cualquier punto de la elipse. Puede ser horizontal o vertical.

Excentricidad : Distancia entre el centro geométrico de una pieza y su centro de giro. Función : Dependencia entre dos o más variables donde a cada elemento del

dominio le corresponde uno del rango. Hipérbola : Figura que se caracteriza por contar con asíntotas para las dos curvas

que son las hipérbolas, y se asemeja en las ecuaciones a la elipse variando en los signos de la ecuación.

Parábola : Figura que se obtiene de un polinomio de segundo grado y puede ser horizontal, vertical, con vértice en el origen o fuera del origen o fuera de éste.

Pendiente: Inclinado, en declive. Perpendicular: Dicho de una línea o un plano que forma ángulo recto con otra línea o

con otro plano. Recta : Figura que se forma por dos puntos y tiene pendiente.

Rotación de ejes : Cuando el eje de referencia, ya sea x o y tiene un ángulo de inclinación y se usan ecuaciones para representar las figuras de una manera más sencilla.

Rotación: Movimiento de un cuerpo alrededor de un eje. Trasla ción de ejes : Cuando se analiza una figura en geometría usando ecuaciones para

considerar su centro o vértice en una coordenada (0,0). Traslación:

Movimiento de los cuerpos que siguen curvas de gran radio con relación a sus propias dimensiones.

179

BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA

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México, 2005.

• E. de Oteyza, E. Lam, J.A. Gómez, A. Ramírez, C. Hernández, "Geometría

Analítica ", Prentice-Hall Hispanoamericana, S.A., México, 2004.

• E. Purcell, D.Varberg, "Cálculo con Geometría Analítica ", Prentice-Hall

Hispanoamericana, S.A., México, 1998.

• M. Sullivan, "Trigonometría y Geometría Analítica", Prentice-Hall

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• Fuenlabrada, Geometría Analítica , McGraw-Hill, 1994

• Infante Murillo J. Geometría analítica , México.

• Lehman, Charles H. Geometría analítica , Unión Tipográfica Editorial

Hispano Americana, México.

• Peterson, John C. Matemáticas Básicas , CECSA, México, 2004.

• Smith, Stanley A. y otros. Algebra, trigonometría y geometría analítica ,

Pearson Education, México, 1998.

• Swokowski, Earl W. y Cole, Jeffrery A. Algebra y trigonometría con

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